Κατ οίκον Εργασία 1 Σκελετοί Λύσεων

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Κατ οίκον Εργασία 1 Σκελετοί Λύσεων"

Transcript

1 ΕΠΛ Δομές Δεδομένων και Αλγόριθμοι Σεπτέμβριος 008 Κατ οίκον Εργασία Σκελετοί Λύσεων Άσκηση Παρατηρούμε ότι ο χρόνος εκτέλεσης μέσης περίπτωσης της κάθε εντολής if ξεχωριστά: if (c mod 0) for (k ; k < ; k++) p p + ; Παρατηρούμε ότι υπάρχουν δύο κατηγορίες στιγμιότυπων: - c mod 0. Αυτά τα στιγμιότυπα παρουσιάζονται με πιθανότητα ½ και έχουν χρόνο εκτέλεσης. - c mod. Αυτά τα στιγμιότυπα παρουσιάζονται με πιθανότητα ½ και έχουν χρόνο εκτέλεσης Ο(). Επομένως, ο χρόνος εκτέλεσης μέσης περίπτωσης της εντολής είναι της τάξης Ο(). Παρόμοια, η εντολή if (c mod 0) for (k ; k > /; k--) r r + ; έχει χρόνο εκτέλεσης μέσης περίπτωσης της τάξης Ο(), και η εντολή if (c mod 5 0) p p + r; else for (k ; k < ; k++) for (j ; j > /; j--) p p + ; r r + ; χρόνο εκτέλεσης μέσης περίπτωσης της τάξης Ο(²). Συνεπώς ο χρόνος εκτέλεσης μέσης περίπτωσης του εσωτερικού του βρόχου είναι της τάξης Ο(²) και ολόκληρης της συνάρτησης Ο(³). Άσκηση (i) Aν f () O(g()) και f () O(g()) τότε f () O(f ()) ή f () O(f ()). Η πρόταση είναι ψευδής όπως φαίνεται στο πιο κάτω αντιπαράδειγμα. f, ), (, g ( ), if mod 0 if mod if mod 0 if mod Αν και ισχύει ότι f () O(g()) και f () O(g()), f () O(f ()), f () O(f ()). (ii) Αν h() > και f() Ο(g()) τότε f()/g() Ο(g()/h()). f() O(g()), επομένως c, τ.ω. f() c g() για κάθε ()

2 ΕΠΛ Δομές Δεδομένων και Αλγόριθμοι Σεπτέμβριος 008 Γνωρίζουμε ότι h() > επομένως μπορούμε να διαιρέσουμε και τα δύο μέλη της ανισότητας στην πρόταση () παίρνοντας ότι c, τ.ω. f()/h() c g()/h() για κάθε Συνεπώς, f()/h() O(g()/h()) Άσκηση (i) ² + O(²/) Πρέπει να δείξουμε ότι υπάρχουν σταθερές c και 0 τέτοιες ώστε Έστω ότι c και 0. Αφού, ² + c ( /) για κάθε 0 ² + για κάθε ( και για κάθε ) (ii) ( + lg ) Θ( ) Έστω ότι ισχύει, δηλαδή ( + lg ) Θ( ( + lg ) O( ) ( + lg ) Ω( ) ). Τότε () () Από το (), c, 0 τ.ω. ( + lg ) c για κάθε 0, 0 + lg c για κάθε 0, 0 lg c για κάθε 0, 0 Καθώς το τείνει στο άπειρο, το lg τείνει στο άπειρο. Επομένως δεν είναι δυνατόν να υπάρχει θετική σταθερά c που να ικανοποιεί την πιο πάνω σχέση. Αυτό μας δίνει αντίφαση στην αρχική μας υπόθεση και συμπεραίνουμε ότι ( + lg ) O( ) και συνεπώς ότι ( + lg ) Θ( ) (iii) log 4 O(lg ) Έστω ότι ισχύει, δηλαδή log 4 O(lg ), δηλαδή c, 0 τ.ω. log 4 c. lg για κάθε 0 log c. lg log 4 για κάθε 0 lg c. lg για κάθε lg 4 0 c lg 4 για κάθε 0 c.lg 4 για κάθε 0

3 ΕΠΛ Δομές Δεδομένων και Αλγόριθμοι Σεπτέμβριος 008 Το τείνει στο άπειρο. Επομένως δεν είναι δυνατόν να υπάρχει θετική σταθερά c που να ικανοποιεί την πιο πάνω σχέση. Αυτό μας δίνει αντίφαση στην αρχική μας υπόθεση και συμπεραίνουμε ότι log 4 O(lg) (iv) c + d O( ) για κάθε c, d R + Πρέπει να δείξουμε ότι υπάρχουν σταθερές k και 0 τέτοιες ώστε c + d k. για κάθε 0 Έστω k 9c + d και 0. Θα αποδείξουμε την πιο πάνω πρόταση με τη μέθοδο της επαγωγής. Βάση της επαγωγής: Για, έχουμε ότι ζητούμενο έπεται. c + d c + d k < k m Υπόθεση της επαγωγής: Υποθέτουμε ότι cm + d k. για m. Βήμα της επαγωγής: Θα δείξουμε ότι c( m + ) + d k. m+ 9 k. Παρατηρούμε ότι και το c( m + ) + d cm cm cm < cm k < ( cm m+ + cm + c + d + d + c(m + ) + d + cm + d + cm + d + d) k m m m+ m² Άσκηση 4 Α. Παρατηρούμε ότι το τρίτο for loop της διεργασίας δεν εκτελείται ποτέ. Για να βρούμε τον χρόνο εκτέλεσης της διεργασίας, παρατηρούμε ότι ο χρόνος εκτέλεσης του δεύτερου βρόχου εξαρτάται από την τιμή i, η οποία καθορίζεται από τον εξωτερικό βρόχο. Ο πιο κάτω πίνακας δείχνει τον χρόνο εκτέλεσης των εσωτερικών βρόχων, T,,4 (i), σαν συνάρτηση του i: i 0 - T,,4 (i) κάθε επανάληψης του εξωτερικού βρόχου, δηλαδή: ( ).( ) i Θ( ) i 0 B. Οι δύο while βρόγχοι εξαρτούνται από τον εξωτερικό βρόγχο. Ο πρώτος while βρόγχος εξαρτάται από τον εξωτερικό βρόγχο λόγω της τιμής του j που αφαιρείται από το x, ενώ ο δεύτερος λόγω της συνθήκης τερματισμού. Οι δύο while βρόγχοι είναι ανεξάρτητοι μεταξύ τους.

4 ΕΠΛ Δομές Δεδομένων και Αλγόριθμοι Σεπτέμβριος 008 Ο πιο κάτω πίνακας δείχνει το χρόνο εκτέλεσης του πρώτου while, T (j), σαν συνάρτηση του j: j T (j) / / / Ο συνολικός χρόνος εκτέλεσης του πρώτου while βρόγχου είναι ίσος με το άθροισμα του χρόνου εκτέλεσης κάθε επανάληψης του εξωτερικού βρόχου, δηλαδή: T + / + / / ( + / + / /) O( l ) (Υπόδειξη) Ο πιο κάτω πίνακας δείχνει το χρόνο εκτέλεσης του δεύτερου while, T (j), σαν συνάρτηση του j: j T (j) Ο συνολικός χρόνος εκτέλεσης του δεύτερου while βρόγχου είναι ίσος με το άθροισμα του χρόνου εκτέλεσης κάθε επανάληψης του εξωτερικού βρόχου, δηλαδή: T ( ) ( + ) ( ) Θ( ) κάθε επανάληψης των εξωτερικών βρόχου, δηλαδή: T + T O( ) Γ. Για να βρούμε τον χρόνο εκτέλεσης της διεργασίας, παρατηρούμε ότι ο χρόνος εκτέλεσης του τρίτου βρόχου εξαρτάται από την τιμή i, η οποία καθορίζεται από τον εξωτερικό βρόχο. Υποθέτουμε χωρίς βλάβη της γενικότητας ότι το είναι δύναμη του. Ο πιο κάτω πίνακας δείχνει τον χρόνο εκτέλεσης των εσωτερικών βρόχων, T, (i), σαν συνάρτηση του i: i 4 8 T, (i) - (-) 4(-) 8(-) (-) 4

5 ΕΠΛ Δομές Δεδομένων και Αλγόριθμοι Σεπτέμβριος 008 κάθε επανάληψης του εξωτερικού βρόχου, δηλαδή: ( ) + ( ) + 4( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) Θ( ) Δ. Οι πρώτοι τρεις βρόγχοι της συνάρτησης είναι οι ίδιοι με αυτούς της άσκησης 4Γ, άρα ο χρόνος εκτέλεσης τους Θ( ). Έστω Τ() o χρόνος εκτέλεσης της waste(). Τότε η τιμή του Τ() δίνεται από την πιο κάτω αναδρομική εξίσωση. Τ() Τ() 9*T(/) + (Αν η διαδικασία κάνει δύο πράξεις, μια ανάθεση και μια σύγκριση: Ο()) (Αν > η διαδικασία έχει χρόνο εκτέλεσης όσο και η κλήση των τριών βρόγχων της άσκησης 4Γ (δηλαδή ), και 9 φορές το χρόνος εκτέλεσης του waste(), δηλαδή, σύμφωνα με τον ορισμό της συνάρτησης Τ, Τ(/). Θα λύσουμε την αναδρομική εξίσωση με τη μέθοδο της αντικατάστασης. Θα υποθέσουμε χωρίς βλάβη της γενικότητας ότι το είναι πολλαπλάσιο του : T() 9.T( ) + 9.( 9.T( ) 9 T( ) +... i 9 T( ) + i. i + ) + 9 T( ) + + Θέτουμε k log (δηλαδή k ) και αντικαθιστούμε k για i παίρνοντας ότι: k 9 T( ) + k k ( k ) T( ) + k + lg Θ( lg ) 5

Κατ οίκον Εργασία 1 Σκελετοί Λύσεων

Κατ οίκον Εργασία 1 Σκελετοί Λύσεων ΕΠΛ 1 Δομές Δεδομένων και Αλγόριθμοι Σεπτέμβριος 009 Κατ οίκον Εργασία 1 Σκελετοί Λύσεων Άσκηση 1 Αρχικά θα πρέπει να υπολογίσουμε τον αριθμό των πράξεων που μπορεί να εκτελέσει ο υπολογιστής σε μια ώρα,

Διαβάστε περισσότερα

Κατ οίκον Εργασία 1 Σκελετοί Λύσεων

Κατ οίκον Εργασία 1 Σκελετοί Λύσεων ΕΠΛ Δομές Δεδομένων και Αλγόριθμοι Σεπτέμβριος 00 Κατ οίκον Εργασία Σκελετοί Λύσεων Άσκηση Αφού ξέρουμε με ακρίβεια τον αριθμό των βασικών πράξεων που εκτελεί ο κάθε αλγόριθμος σε δεδομένα μεγέθους, θα

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ. ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΑΣΚΗΣΗ 1 ΛΥΣΕΙΣ Ανάλυση Πολυπλοκότητας

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ. ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΑΣΚΗΣΗ 1 ΛΥΣΕΙΣ Ανάλυση Πολυπλοκότητας ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΕΠΛ 231: Δομές Δεδομένων και Αλγόριθμοι ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΑΣΚΗΣΗ 1 ΛΥΣΕΙΣ Ανάλυση Πολυπλοκότητας ΠΕΡΙΓΡΑΦΗ Σε αυτή την άσκηση καλείστε να αναλύσετε και να υπολογίσετε το

Διαβάστε περισσότερα

Διάλεξη 04: Παραδείγματα Ανάλυσης

Διάλεξη 04: Παραδείγματα Ανάλυσης Διάλεξη 04: Παραδείγματα Ανάλυσης Πολυπλοκότητας/Ανάλυση Αναδρομικών Αλγόριθμων Στην ενότητα αυτή θα μελετηθούν τα εξής επιμέρους θέματα: - Παραδείγματα Ανάλυσης Πολυπλοκότητας : Μέθοδοι, παραδείγματα

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ. ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΑΣΚΗΣΗ 1 ΛΥΣΕΙΣ Ανάλυση Πολυπλοκότητας

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ. ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΑΣΚΗΣΗ 1 ΛΥΣΕΙΣ Ανάλυση Πολυπλοκότητας ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΕΠΛ 231: Δομές Δεδομένων και Αλγόριθμοι Εαρινό Εξάμηνο 2013 ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΑΣΚΗΣΗ 1 ΛΥΣΕΙΣ Ανάλυση Πολυπλοκότητας Διδάσκων Καθηγητής: Παναγιώτης Ανδρέου Ημερομηνία Υποβολής:

Διαβάστε περισσότερα

Διάλεξη 04: Παραδείγματα Ανάλυσης Πολυπλοκότητας/Ανάλυση Αναδρομικών Αλγόριθμων

Διάλεξη 04: Παραδείγματα Ανάλυσης Πολυπλοκότητας/Ανάλυση Αναδρομικών Αλγόριθμων Διάλεξη 04: Παραδείγματα Ανάλυσης Πολυπλοκότητας/Ανάλυση Αναδρομικών Αλγόριθμων Στην ενότητα αυτή θα μελετηθούν τα εξής επιμέρους θέματα: - Παραδείγματα Ανάλυσης Πολυπλοκότητας : Μέθοδοι, παραδείγματα

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΛ231 Δομές Δεδομένων και Αλγόριθμοι 4. Παραδείγματα Ανάλυσης Πολυπλοκότητας Ανάλυση Αναδρομικών Αλγόριθμων

ΕΠΛ231 Δομές Δεδομένων και Αλγόριθμοι 4. Παραδείγματα Ανάλυσης Πολυπλοκότητας Ανάλυση Αναδρομικών Αλγόριθμων ΕΠΛ31 Δομές Δεδομένων και Αλγόριθμοι 4. Παραδείγματα Ανάλυσης Πολυπλοκότητας Ανάλυση Αναδρομικών Αλγόριθμων Διάλεξη 04: Παραδείγματα Ανάλυσης Πολυπλοκότητας/Ανάλυση Αναδρομικών Αλγόριθμων Στην ενότητα

Διαβάστε περισσότερα

Διδάσκων: Παναγιώτης Ανδρέου

Διδάσκων: Παναγιώτης Ανδρέου Διάλεξη 6: ΠαραδείγματαΑνάλυσης Πολυπλοκότητας/Ανάλυση Αναδρομικών Αλγόριθμων Στην ενότητα αυτή θα μελετηθούν τα εξής επιμέρους θέματα: -Παραδείγματα Ανάλυσης Πολυπλοκότητας : Μέθοδοι, παραδείγματα -Γραμμική

Διαβάστε περισσότερα

Διδάσκων: Κωνσταντίνος Κώστα Διαφάνειες: Δημήτρης Ζεϊναλιπούρ ΕΠΛ 035 Δομές Δεδομένων και Αλγόριθμοι για Ηλ. Μηχ. και Μηχ. Υπολ.

Διδάσκων: Κωνσταντίνος Κώστα Διαφάνειες: Δημήτρης Ζεϊναλιπούρ ΕΠΛ 035 Δομές Δεδομένων και Αλγόριθμοι για Ηλ. Μηχ. και Μηχ. Υπολ. Διάλεξη : Παραδείγματα Ανάλυσης Πολυπλοκότητας / Ανάλυση Αναδρομικών Αλγόριθμων Στην ενότητα αυτή θα μελετηθούν τα εξής επιμέρους θέματα: Παραδείγματα Ανάλυσης Πολυπλοκότητας : Μέθοδοι, 6 παραδείγματα

Διαβάστε περισσότερα

Διδάσκων: Παναγιώτης Ανδρέου

Διδάσκων: Παναγιώτης Ανδρέου Διάλεξη 04: ΠαραδείγματαΑνάλυσης Πολυπλοκότητας/Ανάλυση Αναδρομικών Αλγόριθμων Στην ενότητα αυτή θα μελετηθούν τα εξής επιμέρους θέματα: -Παραδείγματα Ανάλυσης Πολυπλοκότητας : Μέθοδοι, παραδείγματα -Γραμμική

Διαβάστε περισσότερα

Διακριτά Μαθηματικά ΙΙ Χρήστος Νομικός Τμήμα Μηχανικών Η/Υ και Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων 2018 Χρήστος Νομικός ( Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Διακριτά

Διακριτά Μαθηματικά ΙΙ Χρήστος Νομικός Τμήμα Μηχανικών Η/Υ και Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων 2018 Χρήστος Νομικός ( Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Διακριτά Διακριτά Μαθηματικά ΙΙ Χρήστος Νομικός Τμήμα Μηχανικών Η/Υ και Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων 2018 Χρήστος Νομικός ( Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Διακριτά και Πληροφορικής Μαθηματικά Πανεπιστήμιο ΙΙ Ιωαννίνων

Διαβάστε περισσότερα

d k 10 k + d k 1 10 k d d = k i=0 d i 10 i.

d k 10 k + d k 1 10 k d d = k i=0 d i 10 i. Διακριτά Μαθηματικά ΙΙ Χρήστος Νομικός Τμήμα Μηχανικών Η/Υ και Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων 2018 Χρήστος Νομικός ( Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Διακριτά και Πληροφορικής Μαθηματικά Πανεπιστήμιο ΙΙ Ιωαννίνων

Διαβάστε περισσότερα

Διδάσκων: Παναγιώτης Ανδρέου ΕΠΛ231 Δομές Δεδομένων και Αλγόριθμοι

Διδάσκων: Παναγιώτης Ανδρέου ΕΠΛ231 Δομές Δεδομένων και Αλγόριθμοι Φροντιστήριο: Επανάληψη για την ενδιάμεση εξέταση Διδάσκων: Παναγιώτης Ανδρέου ΕΠΛ231 Δομές Δεδομένων και Αλγόριθμοι 1 Μαθηματική Επαγωγή Να αποδείξετε ότι 1 3 5... (2 1) 2 για >0. Απόδειξη: Επαληθεύουμε

Διαβάστε περισσότερα

Διάλεξη 09: Αλγόριθμοι Ταξινόμησης I

Διάλεξη 09: Αλγόριθμοι Ταξινόμησης I Διάλεξη 09: Αλγόριθμοι Ταξινόμησης I Στην ενότητα αυτή θα μελετηθούν τα εξής επιμέρους θέματα: - Οι αλγόριθμοι ταξινόμησης: Α. SelectionSort Ταξινόμηση με Επιλογή Β. InsertionSort Ταξινόμηση με Εισαγωγή

Διαβάστε περισσότερα

Στη C++ υπάρχουν τρεις τύποι βρόχων: (a) while, (b) do while, και (c) for. Ακολουθεί η σύνταξη για κάθε μια:

Στη C++ υπάρχουν τρεις τύποι βρόχων: (a) while, (b) do while, και (c) for. Ακολουθεί η σύνταξη για κάθε μια: Εργαστήριο 6: 6.1 Δομές Επανάληψης Βρόγχοι (Loops) Όταν θέλουμε να επαναληφθεί μια ομάδα εντολών τη βάζουμε μέσα σε ένα βρόχο επανάληψης. Το αν θα (ξανα)επαναληφθεί η εκτέλεση της ομάδας εντολών καθορίζεται

Διαβάστε περισσότερα

Ανάλυση της Ορθότητας Προγραμμάτων (HR Κεφάλαιο 4)

Ανάλυση της Ορθότητας Προγραμμάτων (HR Κεφάλαιο 4) Ανάλυση της Ορθότητας Προγραμμάτων (HR Κεφάλαιο 4) Στην ενότητα αυτή θα μελετηθούν τα εξής θέματα: Η διαδικαστική γλώσσα προγραμματισμού WHILE Τριάδες Hoare Μερική και Ολική Ορθότητα Προγραμμάτων Κανόνες

Διαβάστε περισσότερα

Διάλεξη 09: Αλγόριθμοι Ταξινόμησης I

Διάλεξη 09: Αλγόριθμοι Ταξινόμησης I Διάλεξη 09: Αλγόριθμοι Ταξινόμησης I Στην ενότητα αυτή θα μελετηθούν τα εξής επιμέρους θέματα: Οι αλγόριθμοι ταξινόμησης: Α. SelectoSort Ταξινόμηση με Επιλογή Β. IsertoSort Ταξινόμηση με Εισαγωγή Γ. MergeSort

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΕΠΛ 23: οµές εδοµένων και Αλγόριθµοι Ενδιάµεση Εξέταση Ηµεροµηνία : ευτέρα, 3 Νοεµβρίου 2008 ιάρκεια : 2.00-4.00 ιδάσκουσα : Άννα Φιλίππου Ονοµατεπώνυµο: ΣΚΕΛΕΤΟΙ

Διαβάστε περισσότερα

Ανάλυση της Ορθότητας Προγραμμάτων

Ανάλυση της Ορθότητας Προγραμμάτων Ανάλυση της Ορθότητας Προγραμμάτων Στην ενότητα αυτή θα μελετηθούν τα εξής θέματα: Η διαδικαστική γλώσσα προγραμματισμού WHILE Τριάδες Hoare Μερική και Ολική Ορθότητα Προγραμμάτων ΚανόνεςΑπόδειξηςΜερικήςΟρθότητας

Διαβάστε περισσότερα

Ενότητα 1: Εισαγωγή Ασκήσεις και Λύσεις

Ενότητα 1: Εισαγωγή Ασκήσεις και Λύσεις Ενότητα 1: Εισαγωγή Ασκήσεις και Λύσεις Άσκηση 1 Αποδείξτε τη µεταβατική και τη συµµετρική ιδιότητα του Θ. Λύση Μεταβατική Ιδιότητα (ορισµός): Αν f(n) = Θ(g(n)) και g(n) = Θ(h(n)) τότε f(n)=θ(h(n)). Για

Διαβάστε περισσότερα

8. Πολλαπλές μερικές παράγωγοι

8. Πολλαπλές μερικές παράγωγοι 94 8 Πολλαπλές μερικές παράγωγοι Οι μερικές παράγωγοι,,, αν υπάρχουν, μιας συνάρτησης : U R R ( U ανοικτό είναι αυτές συναρτήσεις από το U στο R, επομένως μπορεί να ορισθεί για αυτές η έννοια της μερικής

Διαβάστε περισσότερα

Αλγόριθµοι και Πολυπλοκότητα

Αλγόριθµοι και Πολυπλοκότητα Αλγόριθµοι και Πολυπλοκότητα Στην ενότητα αυτή θα µελετηθούν τα εξής θέµατα: Πρόβληµα, Στιγµιότυπο, Αλγόριθµος Εργαλεία εκτίµησης πολυπλοκότητας: οι τάξεις Ο(n), Ω(n), Θ(n) Ανάλυση Πολυπλοκότητας Αλγορίθµων

Διαβάστε περισσότερα

ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ

ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 1. Να βρείτε το πεδίο ορισμού των συναρτήσεων: 5 3 α) f 3 1 1 γ) f 9 β) f 3 δ) f log 1 4 α) Για να ορίζεται η f() πρέπει και αρκεί 3 3 + (1) Έχουμε: (1) ( 3+), και 1,

Διαβάστε περισσότερα

Ορισµός. Εστω συναρτήσεις: f : N R και g : N R. η f(n) είναι fi( g(n) ) αν υπάρχουν σταθερές C 1, C 2 και n 0, τέτοιες ώστε:

Ορισµός. Εστω συναρτήσεις: f : N R και g : N R. η f(n) είναι fi( g(n) ) αν υπάρχουν σταθερές C 1, C 2 και n 0, τέτοιες ώστε: Συµβολισµός Ω( ) Τάξη των Συναρτήσεων () Εκτίµηση Πολυπλοκότητας Αλγορίθµων Ορέστης Τελέλης telelis@unipi.gr Ορισµός. Εστω συναρτήσεις: f : N R και g : N R η f(n) είναι Ω( g(n) ) αν υπάρχουν σταθερές C

Διαβάστε περισσότερα

Πολλοί τρόποι περιγραφής αλγορίθμων. Όλοι είναι μηχανιστικά ισοδύναμοι και ειδικά ισοδύναμοι με μερικές αναδρομικές συναρτήσεις.

Πολλοί τρόποι περιγραφής αλγορίθμων. Όλοι είναι μηχανιστικά ισοδύναμοι και ειδικά ισοδύναμοι με μερικές αναδρομικές συναρτήσεις. Θέση Church-Turing I Πολλοί τρόποι περιγραφής αλγορίθμων. Όλοι είναι μηχανιστικά ισοδύναμοι και ειδικά ισοδύναμοι με μερικές αναδρομικές συναρτήσεις Θέση Church-Turing: Όλες οι υπολογίσιμες συναρτήσεις

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικές Διαδικασίες

Επαναληπτικές Διαδικασίες Επαναληπτικές Διαδικασίες Οι επαναληπτικές δομές ( εντολές επανάληψης επαναληπτικά σχήματα ) χρησιμοποιούνται, όταν μια ομάδα εντολών πρέπει να εκτελείται αρκετές- πολλές φορές ανάλογα με την τιμή μιας

Διαβάστε περισσότερα

Σ Υ Ν Α Ρ Τ Η Σ Ε Ι Σ

Σ Υ Ν Α Ρ Τ Η Σ Ε Ι Σ Σ Υ Ν Α Ρ Τ Η Σ Ε Ι Σ. Να βρείτε το πεδίο ορισµού των παρακάτω συναρτήσεων: ( = g( = + 4 h( = t( = 5 φ( = ln σ( = ln(ln p( = ln m( = λ R λ - λ - k( = ln 4 s( = ηµ. Να εξετάσετε αν για τις παραπάνω συναρτήσεις

Διαβάστε περισσότερα

Αλγόριθµοι και Πολυπλοκότητα

Αλγόριθµοι και Πολυπλοκότητα Αλγόριθµοι και Πολυπλοκότητα Στην ενότητα αυτή θα µελετηθούν τα εξής θέµατα: Πρόβληµα, Στιγµιότυπο, Αλγόριθµος Εργαλεία εκτίµησης πολυπλοκότητας: οι τάξεις Ο(), Ω(), Θ( ) Ανάλυση Πολυπλοκότητας Αλγορίθµων

Διαβάστε περισσότερα

Σχεδίαση και Ανάλυση Αλγορίθμων

Σχεδίαση και Ανάλυση Αλγορίθμων Σχεδίαση και Ανάλυση Αλγορίθμων Ενότητα 4.0 Επιλογή Αλγόριθμοι Επιλογής Select και Quick-Select Σταύρος Δ. Νικολόπουλος 2016-17 Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων Webpage: www.cs.uoi.gr/~stavros

Διαβάστε περισσότερα

Σειρά Προβλημάτων 1 Λύσεις

Σειρά Προβλημάτων 1 Λύσεις ΕΠΛ664: Ανάλυση και Επαλθευση Συστημάτων Τμμα Πληροφορικς Άσκηση 1 Σειρά Προβλημάτων 1 Λύσεις (α) Χρησιμοποιούμε τις επιπλέον μεταβλητές PC0, PC1, (program counters) οι οποίες παίρνουν ως τιμές ονόματα

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Ασυμφραστικές Γλώσσες (3)

Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Ασυμφραστικές Γλώσσες (3) Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Ασυμφραστικές Γλώσσες (3) Στην ενότητα αυτή θα μελετηθούν τα εξής επιμέρους θέματα: Μη Ασυμφραστικές Γλώσσες (2.3) Λήμμα Άντλησης για Ασυμφραστικές Γλώσσες Παραδείγματα

Διαβάστε περισσότερα

Επαγωγή και αναδρομή για άκυκλα συνεκτικά γραφήματα

Επαγωγή και αναδρομή για άκυκλα συνεκτικά γραφήματα ΘΕ4 Αναδρομή και Επαγωγή για Γραφήματα Επαγωγή και αναδρομή για άκυκλα συνεκτικά γραφήματα Επαγωγή για άκυκλα συνεκτικά γραφήματα (με αφαίρεση κορυφής) Η αρχή της επαγωγής, με αφαίρεση κορυφής, για δεδομένη

Διαβάστε περισσότερα

Ανάλυση της Ορθότητας Προγραμμάτων

Ανάλυση της Ορθότητας Προγραμμάτων Ανάλυση της Ορθότητας Προγραμμάτων Στην ενότητα αυτή θα μελετηθούν τα εξής θέματα: Η διαδικαστική γλώσσα προγραμματισμού WHILE Τριάδες Hoare Μερική και Ολική Ορθότητα Προγραμμάτων Κανόνες Απόδειξης Μερικής

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΛ 232 Αλγόριθµοι και Πολυπλοκότητα 2-1

ΕΠΛ 232 Αλγόριθµοι και Πολυπλοκότητα 2-1 ιαίρει και Βασίλευε Στην ενότητα αυτή θα µελετηθούν τα εξής θέµατα: Η Μέθοδος Σχεδιασµού Αλγορίθµων ιαίρει και Βασίλευε Επίλυση Αναδροµικών Εξισώσεων ΕΠΛ 3 Αλγόριθµοι και Πολυπλοκότητα - ιαίρει και Βασίλευε

Διαβάστε περισσότερα

Μορφές αποδείξεων Υπάρχουν πολλά είδη αποδείξεων. Εδώ θα δούμε τα πιο κοινά: Εξαντλητική μέθοδος ή μέθοδος επισκόπησης. Οταν το πρόβλημα έχει πεπερασμ

Μορφές αποδείξεων Υπάρχουν πολλά είδη αποδείξεων. Εδώ θα δούμε τα πιο κοινά: Εξαντλητική μέθοδος ή μέθοδος επισκόπησης. Οταν το πρόβλημα έχει πεπερασμ Μαθηματικά Πληροφορικής 4ο Μάθημα Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών Πανεπιστήμιο Αθηνών Μορφές αποδείξεων Υπάρχουν πολλά είδη αποδείξεων. Εδώ θα δούμε τα πιο κοινά: Εξαντλητική μέθοδος ή μέθοδος επισκόπησης.

Διαβάστε περισσότερα

Σειρά Προβλημάτων 1 Λύσεις

Σειρά Προβλημάτων 1 Λύσεις Άσκηση 1 Σειρά Προβλημάτων 1 Λύσεις (α) Χρησιμοποιούμε τις επιπλέον μεταβλητές PC 0, PC 1, (program counters) οι οποίες παίρνουν ως τιμές ονόματα των γραμμών του κώδικα όπως φαίνεται πιο κάτω. P[0] P[1]

Διαβάστε περισσότερα

a n = 3 n a n+1 = 3 a n, a 0 = 1

a n = 3 n a n+1 = 3 a n, a 0 = 1 Διακριτά Μαθηματικά ΙΙ Χρήστος Νομικός Τμήμα Μηχανικών Η/Υ και Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων 2018 Χρήστος Νομικός ( Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Διακριτά και Πληροφορικής Μαθηματικά Πανεπιστήμιο ΙΙ Ιωαννίνων

Διαβάστε περισσότερα

Επαγωγή και αναδρομή για συνεκτικά γραφήματα

Επαγωγή και αναδρομή για συνεκτικά γραφήματα ΘΕ4 Αναδρομή και Επαγωγή για Γραφήματα Επαγωγή και αναδρομή για συνεκτικά γραφήματα Επαγωγή για συνεκτικά γραφήματα (με αφαίρεση κορυφής) Η αρχή της επαγωγής, με αφαίρεση κορυφής, για δεδομένη προτασιακή

Διαβάστε περισσότερα

Μορφές αποδείξεων. Μαθηματικά Πληροφορικής 2ο Μάθημα. Μορφές αποδείξεων (συνέχεια) Εξαντλητική μέθοδος

Μορφές αποδείξεων. Μαθηματικά Πληροφορικής 2ο Μάθημα. Μορφές αποδείξεων (συνέχεια) Εξαντλητική μέθοδος Μορφές αποδείξεων Μαθηματικά Πληροφορικής ο Μάθημα Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών Πανεπιστήμιο Αθηνών Υπάρχουν πολλά είδη αποδείξεων. Εδώ θα δούμε τα πιο κοινά: Εξαντλητική μέθοδος ή μέθοδος επισκόπησης.

Διαβάστε περισσότερα

Μορφές αποδείξεων Υπάρχουν πολλά είδη αποδείξεων. Εδώ θα δούμε τα πιο κοινά: Εξαντλητική μέθοδος ή μέθοδος επισκόπησης. Οταν το πρόβλημα έχει πεπερασμ

Μορφές αποδείξεων Υπάρχουν πολλά είδη αποδείξεων. Εδώ θα δούμε τα πιο κοινά: Εξαντλητική μέθοδος ή μέθοδος επισκόπησης. Οταν το πρόβλημα έχει πεπερασμ Μαθηματικά Πληροφορικής 2ο Μάθημα Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών Πανεπιστήμιο Αθηνών Μορφές αποδείξεων Υπάρχουν πολλά είδη αποδείξεων. Εδώ θα δούμε τα πιο κοινά: Εξαντλητική μέθοδος ή μέθοδος επισκόπησης.

Διαβάστε περισσότερα

Mαθηματικά Θετικής - Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Γ. Λυκείου Ανάλυση Κεφ. 1 ο ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ

Mαθηματικά Θετικής - Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Γ. Λυκείου Ανάλυση Κεφ. 1 ο ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Γ. Λυκείου Ανάλυση Κεφ. ο Γ / ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΙΣΟΤΗΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΣΥΝΘΕΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΟΡΙΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΙΡΑΙΩΣ ΤΜΗΜΑ ΨΗΦΙΑΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΙΡΑΙΩΣ ΤΜΗΜΑ ΨΗΦΙΑΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΙΡΑΙΩΣ ΤΜΗΜΑ ΨΗΦΙΑΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑ: ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ ΚΑΙ ΠΟΛΥΠΛΟΚΟΤΗΤΑ 1. α. Να βάλετε σε αύξουσα σειρά μεγέθους τις παρακάτω συναρτήσεις χρονικής πολυπλοκότητας αλγορίθμων: nlogn, n logn,

Διαβάστε περισσότερα

Ανάπτυξη Εφαρμογών σε Προγραμματιστικό Περιβάλλον

Ανάπτυξη Εφαρμογών σε Προγραμματιστικό Περιβάλλον Ανάπτυξη Εφαρμογών σε Προγραμματιστικό Περιβάλλον 2.4.5 8.2 Δομή Επανάληψης Δομές Επανάληψης Οι δομές επανάληψης χρησιμοποιούνται στις περιπτώσεις όπου μια συγκεκριμένη ακολουθία εντολών πρέπει να εκτελεστεί

Διαβάστε περισσότερα

Δυναμικός προγραμματισμός για δέντρα

Δυναμικός προγραμματισμός για δέντρα ΘΕ5 Ιδιότητες Δέντρων και Αναδρομή για Δέντρα Δυναμικός προγραμματισμός για δέντρα Έστω ότι, για k=1,..., m, το γράφημα Γ k = (V k, E k ) είναι δέντρο. Έστω w V 1... V m, z k V k, για k=1,..., m. Συμβολίζουμε

Διαβάστε περισσότερα

Διάλεξη 17: Επανάληψη για την ενδιάμεση εξέταση. Διδάσκων: Παναγιώτης Ανδρέου. ΕΠΛ035 Δομές Δεδομένων και Αλγόριθμοι για Ηλ. Μηχ. Και Μηχ. Υπολ.

Διάλεξη 17: Επανάληψη για την ενδιάμεση εξέταση. Διδάσκων: Παναγιώτης Ανδρέου. ΕΠΛ035 Δομές Δεδομένων και Αλγόριθμοι για Ηλ. Μηχ. Και Μηχ. Υπολ. Διάλεξη 7: Επανάληψη για την ενδιάμεση εξέταση Διδάσκων: Παναγιώτης Ανδρέου ΕΠΛ35 Δομές Δεδομένων και Αλγόριθμοι για Ηλ. Μηχ. Και Μηχ. Υπολ. ΑΠΟΡΙΕΣ ΕΠΛ35 Δομές Δεδομένων και Αλγόριθμοι για Ηλ. Μηχ. Και

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην Ανάλυση Αλγορίθμων (2-3)

Εισαγωγή στην Ανάλυση Αλγορίθμων (2-3) Εισαγωγή στην Ανάλυση Αλγορίθμων (2-3) 3.1 Ασυμπτωτικός συμβολισμός (Ι) Οι ορισμοί που ακολουθούν μας επιτρέπουν να επιχειρηματολογούμε με ακρίβεια για την ασυμπτωτική συμπεριφορά. Οι f(n) και g(n) συμβολίζουν

Διαβάστε περισσότερα

Ανάλυση Αλγορίθµων. Σύντοµη επανάληψη (ΕΠΛ 035).

Ανάλυση Αλγορίθµων. Σύντοµη επανάληψη (ΕΠΛ 035). Ανάλυση Αλγορίθµων Σύντοµη επανάληψη (ΕΠΛ 035). Περίληψη Ανάλυση αλγορίθµων Ο, Θ, Ω Ανάλυση µη αναδροµικών αλγόριθµων Ανάλυση αναδροµικών αλγόριθµων Εµπειρική Ανάλυση Visualization Απόδοση Αλγορίθµων Απόδοση

Διαβάστε περισσότερα

Κατ οίκον Εργασία 1 Σκελετοί Λύσεων

Κατ οίκον Εργασία 1 Σκελετοί Λύσεων EΠΛ Αλγόριθµοι και Πολυπλοκότητα Φεβρουάριος 00 Κατ οίκον Εργασία Σκελετοί Λύσεων. Ο αλγόριθµος διαίρει και βασίλευε για το πρόβληµα έχει ως εξής: Μοίρασε τον πίνακα σε δύο µισά. Υπολόγισε αναδροµικά τα

Διαβάστε περισσότερα

Ενδεικτικές Λύσεις 1ου Σετ Ασκήσεων

Ενδεικτικές Λύσεις 1ου Σετ Ασκήσεων Κ Σ Ι Ενδεικτικές Λύσεις 1ου Σετ Ασκήσεων Παναγιώτα Παναγοπούλου Άσκηση 1. Υποθέστε ότι οι διεργασίες ενός σύγχρονου κατανεμημένου συστήματος έχουν μοναδικές ταυτότητες (UIDs), γνωρίζουν ότι είναι συνδεδεμένες

Διαβάστε περισσότερα

Εργαστήριο 6: Αναζήτηση, Ανάλυση Πολυπλοκότητας

Εργαστήριο 6: Αναζήτηση, Ανάλυση Πολυπλοκότητας Εργαστήριο 6: Αναζήτηση, Ανάλυση Πολυπλοκότητας Στην ενότητα αυτή θα μελετηθούν τα εξής επιμέρους θέματα: - Αναζήτηση με linearsearch, binarysearch, ternarysearch - Ανάλυση Πολυπλοκότητας ternarysearch

Διαβάστε περισσότερα

Quicksort [Hoare, 62] Αλγόριθµοι & Πολυπλοκότητα (Χειµώνας 2011) Quicksort 1

Quicksort [Hoare, 62] Αλγόριθµοι & Πολυπλοκότητα (Χειµώνας 2011) Quicksort 1 Quicksort [Hoare, 62] Αλγόριθµοι & Πολυπλοκότητα (Χειµώνας 2011) Quicksort 1 Quicksort [Hoare, 62] Στοιχείο διαχωρισµού (pivot), π.χ. πρώτο, τυχαίο, Αναδιάταξη και διαίρεση εισόδου σε δύο υπο-ακολουθίες:

Διαβάστε περισσότερα

Μονοτονία - Ακρότατα - 1 1 Αντίστροφη Συνάρτηση

Μονοτονία - Ακρότατα - 1 1 Αντίστροφη Συνάρτηση 4 Μονοτονία - Ακρότατα - Αντίστροφη Συνάρτηση Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Μονοτονία συνάρτησης Μια συνάρτηση f λέγεται: Γνησίως αύξουσα σ' ένα διάστημα Δ του πεδίου ορισμού της, όταν για οποιαδήποτε,

Διαβάστε περισσότερα

Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά

Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά Ενότητα 5: Αναδρομικές σχέσεις - Υπολογισμός Αθροισμάτων Στεφανίδης Γεώργιος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Δομές δεδομένων Άσκηση αυτοαξιολόγησης 1 Παναγιώτα Φατούρου Τμήμα Επιστήμης Υπολογιστών Ενότητα 1: Εισαγωγή Ασκήσεις και Λύσεις Άσκηση 1 Αποδείξτε τη µεταβατική

Διαβάστε περισσότερα

Αριθμητικές Μέθοδοι σε Προγραμματιστικό Περιβάλλον

Αριθμητικές Μέθοδοι σε Προγραμματιστικό Περιβάλλον Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής Αριθμητικές Μέθοδοι σε Προγραμματιστικό Περιβάλλον Δρ. Δημήτρης Βαρσάμης Επίκουρος Καθηγητής Οκτώβριος 2015 Δρ. Δημήτρης Βαρσάμης Οκτώβριος 2015 1 / 47 Αριθμητικές Μέθοδοι

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις3 Διαγωνισιμότητα Βασικά σημεία Διαγωνίσιμοι πίνακες: o Ορισμός και παραδείγματα.

Ασκήσεις3 Διαγωνισιμότητα Βασικά σημεία Διαγωνίσιμοι πίνακες: o Ορισμός και παραδείγματα. Ασκήσεις 0 Ασκήσεις Διαγωνισιμότητα Βασικά σημεία Διαγωνίσιμοι πίνακες: o Ορισμός και παραδείγματα o H -στήλη του P P είναι E αν και μόνο αν η -στήλη του P είναι ιδιοδιάνυσμα του που αντιστοιχεί στην ιδιοτιμή

Διαβάστε περισσότερα

ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ Γ' ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΕΠΙΛΟΓΗΣ ΛΥΚΕΙΟΥ. «Ευκλείδης» Ημερομηνία: 29/04/2017 Ώρα εξέτασης: 10:00-14:30

ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ Γ' ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΕΠΙΛΟΓΗΣ ΛΥΚΕΙΟΥ. «Ευκλείδης» Ημερομηνία: 29/04/2017 Ώρα εξέτασης: 10:00-14:30 ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ Γ' ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΕΠΙΛΟΓΗΣ ΛΥΚΕΙΟΥ «Ευκλείδης» Ημερομηνία: 29/04/2017 Ώρα εξέτασης: 10:00-14:30 ΟΔΗΓΙΕΣ: 1. Να λύσετε όλα τα θέματα αιτιολογώντας πλήρως τις απαντήσεις σας. 2.

Διαβάστε περισσότερα

Πολυπλοκότητα Αλγορίθµων

Πολυπλοκότητα Αλγορίθµων Πολυπλοκότητα Αλγορίθµων Στην ενότητα αυτή θα µελετηθούν τα εξής επιµέρους θέµατα: Πρόβληµα, Στιγµιότυπο, Αλγόριθµος Εµπειρική Θεωρητική Ανάλυση Αλγορίθµων Εργαλεία εκτίµησης πολυπλοκότητας: οι τάξεις

Διαβάστε περισσότερα

Ειδικά θέματα Αλγορίθμων και Δομών Δεδομένων (ΠΛΕ073) Απαντήσεις 1 ου Σετ Ασκήσεων

Ειδικά θέματα Αλγορίθμων και Δομών Δεδομένων (ΠΛΕ073) Απαντήσεις 1 ου Σετ Ασκήσεων Ειδικά θέματα Αλγορίθμων και Δομών Δεδομένων (ΠΛΕ073) Απαντήσεις 1 ου Σετ Ασκήσεων Άσκηση 1 α) Η δομή σταθμισμένης ένωσης με συμπίεση διαδρομής μπορεί να τροποποιηθεί πολύ εύκολα ώστε να υποστηρίζει τις

Διαβάστε περισσότερα

1. Δύο συναρτήσεις f,g είναι ίσες μόνο όταν έχουν ίδιο πεδίο ορισμού και ίδιο τύπο. Η πρόταση είναι Λάθος. Αντιπαράδειγμα:

1. Δύο συναρτήσεις f,g είναι ίσες μόνο όταν έχουν ίδιο πεδίο ορισμού και ίδιο τύπο. Η πρόταση είναι Λάθος. Αντιπαράδειγμα: 1. Δύο συναρτήσεις f,g είναι ίσες μόνο όταν έχουν ίδιο πεδίο ορισμού και ίδιο τύπο. 3 017 f(), D { 1,0,1} και g() D { 1,0,1} f f έχουμε D D και f( 1) g( 1), f(0) g(0), f(1) g(1) g Άρα f()=g() για Df =Dg

Διαβάστε περισσότερα

β) 3 n < n!, n > 6 i i! = (n + 1)! 1, n 1 i=1

β) 3 n < n!, n > 6 i i! = (n + 1)! 1, n 1 i=1 Κεφάλαιο 2: Στοιχεία Λογικής - Μέθοδοι Απόδειξης 1. Να αποδειχθεί ότι οι λογικοί τύποι: (p ( (( p) q))) (p q) και p είναι λογικά ισοδύναμοι. Θέλουμε να αποδείξουμε ότι: (p ( (( p) q))) (p q) p, ή με άλλα

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικές μέθοδοι

Επαναληπτικές μέθοδοι Επαναληπτικές μέθοδοι Η μέθοδος της διχοτόμησης και η μέθοδος Regula Fals που αναφέραμε αξιοποιούσαν το κριτήριο του Bolzano, πραγματοποιώντας διαδοχικές υποδιαιρέσεις του διαστήματος [α, b] στο οποίο,

Διαβάστε περισσότερα

Μορφές αποδείξεων. Μαθηματικά Πληροφορικής 2ο Μάθημα. Μορφές αποδείξεων (συνέχεια)

Μορφές αποδείξεων. Μαθηματικά Πληροφορικής 2ο Μάθημα. Μορφές αποδείξεων (συνέχεια) Μορφές αποδείξεων Μαθηματικά Πληροφορικής 2ο Μάθημα Αρχικός συγγραφέας: Ηλίας Κουτσουπιάς Τροποποιήσεις: Σταύρος Κολλιόπουλος Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών Πανεπιστήμιο Αθηνών Υπάρχουν πολλά είδη

Διαβάστε περισσότερα

1o Φροντιστήριο ΗΥ240

1o Φροντιστήριο ΗΥ240 1o Φροντιστήριο ΗΥ240 Άσκηση 1 Αποδείξτε τη μεταβατική και τη συμμετρική ιδιότητα του Θ Μεταβατική Ιδιότητα (ορισμός): Αν f(n) = Θ(g(n)) και g(n) = Θ(h(n)) τότε f(n)=θ(h(n)) Για να ισχύει f(n)= Θ(h(n))

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. Για την επίλυση ενός γραμμικού συστήματος με την χρήση των οριζουσών βασική είναι η παρακάτω επισήμανση:

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. Για την επίλυση ενός γραμμικού συστήματος με την χρήση των οριζουσών βασική είναι η παρακάτω επισήμανση: ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Η επίλυση συστήματος εμφανίστηκε για πρώτη φορά σε αρχαία κινέζικη συλλογή προβλημάτων και αργότερα στο έργο «Αριθμητικά» του Έλληνα μαθηματικού της Αλεξανδρινής περιόδου Διόφαντου όπου για πρώτη

Διαβάστε περισσότερα

Quicksort. Επιμέλεια διαφανειών: Δ. Φωτάκης Μικροαλλαγές: Α. Παγουρτζής. Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών

Quicksort. Επιμέλεια διαφανειών: Δ. Φωτάκης Μικροαλλαγές: Α. Παγουρτζής. Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Quicksort Επιμέλεια διαφανειών: Δ. Φωτάκης Μικροαλλαγές: Α. Παγουρτζής Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Quicksort [Hoare, 6] Στοιχείο διαχωρισμού (pivot),

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΑΝΑΛΥΣΗ ΑΛΓΟΡΙΘΜΩΝ

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΑΝΑΛΥΣΗ ΑΛΓΟΡΙΘΜΩΝ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΑΝΑΛΥΣΗ ΑΛΓΟΡΙΘΜΩΝ Ενότητα 3: Ασυμπτωτικός συμβολισμός Μαρία Σατρατζέμη Τμήμα Εφαρμοσμένης Πληροφορικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.

Διαβάστε περισσότερα

Διάλεξη 5: Κάτω Φράγμα για Αλγόριθμους Εκλογής Προέδρου. ΕΠΛ 432: Κατανεμημένοι Αλγόριθμοι

Διάλεξη 5: Κάτω Φράγμα για Αλγόριθμους Εκλογής Προέδρου. ΕΠΛ 432: Κατανεμημένοι Αλγόριθμοι Διάλεξη 5: Κάτω Φράγμα για Αλγόριθμους Εκλογής Προέδρου ΕΠΛ 432: Κατανεμημένοι Αλγόριθμοι Κάτω Φράγμα στον Αριθμό Μηνυμάτων Ένας οποιοσδήποτε αλγόριθμος εκλογής προέδρου Α ο οποίος 1. Δουλεύει σε ασύγχρονο

Διαβάστε περισσότερα

Quicksort. ημήτρης Φωτάκης. Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών. Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο

Quicksort. ημήτρης Φωτάκης. Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών. Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Quicksort ημήτρης Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Quicksort [Hoare, 62] Στοιχείο διαχωρισμού (pivot), π.χ. πρώτο, τυχαίο, Αναδιάταξη και διαίρεση

Διαβάστε περισσότερα

n 5 = 7 ε (π.χ. ορίζοντας n0 = 1+ ε συνεπώς (σύμϕωνα με τις παραπάνω ισοδυναμίες) an 5 < ε. Επομένως a n β n 23 + β n+1

n 5 = 7 ε (π.χ. ορίζοντας n0 = 1+ ε συνεπώς (σύμϕωνα με τις παραπάνω ισοδυναμίες) an 5 < ε. Επομένως a n β n 23 + β n+1 Θέμα 1 (α) Υποθέτουμε (προς απαγωγή σε άτοπο) ότι το σύνολο A έχει μέγιστο στοιχείο, έστω a = max A Τότε, εϕόσον a A, έχουμε a R Q και a M Ομως ο αριθμός μητρώου M είναι ρητός αριθμός, άρα (εϕόσον ο a

Διαβάστε περισσότερα

4.2 ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΔΙΑΙΡΕΣΗ

4.2 ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΔΙΑΙΡΕΣΗ 14 4 ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΔΙΑΙΡΕΣΗ Ας υποθέσουμε ότι θέλουμε να βρούμε το πηλίκο και το υπόλοιπο της διαίρεσης του με τον Σύμφωνα με το γνωστό αλγόριθμο της διαίρεσης, το πηλίκο θα είναι ένας ακέραιος κ, τέτοιος,

Διαβάστε περισσότερα

2 ΟΥ και 8 ΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ

2 ΟΥ και 8 ΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΣΕ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΤΙΚΟ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΜΑΡΙΑ Σ. ΖΙΩΓΑ ΚΑΘΗΓΗΤΡΙΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 2 ΟΥ και 8 ΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΔΟΜΗ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΩΣΤΟ ΛΑΘΟΣ Σημειώστε αν είναι

Διαβάστε περισσότερα

(a 1, b 1 ) (a 2, b 2 ) = (a 1 a 2, b 1 b 2 ).

(a 1, b 1 ) (a 2, b 2 ) = (a 1 a 2, b 1 b 2 ). ΕΜ0 - Διακριτά Μαθηματικά Ιανουαρίου 006 Άσκηση - Λύσεις Πρόβλημα [0 μονάδες] Εστω L και L δύο κυκλώματα σε ένα γράφημα G. Εστω a μία ακμή που ανήκει και στο L και στο L και έστω b μία ακμή που ανήκει

Διαβάστε περισσότερα

περιεχόμενα ρυθιμός αύξησης συναρτήσεων ασυμπτωτική πολυπλοκότητα ασυμπτωτική επίδοση ασυμπτωτικοί συμβολισμοί ασυμπτωτικός συμβολισμος

περιεχόμενα ρυθιμός αύξησης συναρτήσεων ασυμπτωτική πολυπλοκότητα ασυμπτωτική επίδοση ασυμπτωτικοί συμβολισμοί ασυμπτωτικός συμβολισμος ρυθμός αύξησης συναρτήσεων περιεχόμενα Ασυμπτωτικός συμβολισμός Καθιερωμένοι συμβολισμοί και συνήθεις συναρτήσεις Παύλος Εφραιμίδης 2 ασυμπτωτική πολυπλοκότητα ασυμπτωτική επίδοση Πολυπλοκότητα χειρότερης

Διαβάστε περισσότερα

Στοιχεία Αλγορίθµων και Πολυπλοκότητας

Στοιχεία Αλγορίθµων και Πολυπλοκότητας Στοιχεία Αλγορίθµων και Πολυπλοκότητας Ορέστης Τελέλης telelis@unipi.gr Τµήµα Ψηφιακών Συστηµάτων, Πανεπιστήµιο Πειραιώς Ο. Τελέλης Πανεπιστήµιο Πειραιώς Πολυπλοκότητα 1 / 16 «Ζέσταµα» Να γράψετε τις συναρτήσεις

Διαβάστε περισσότερα

Δομές Ακολουθίας- Επιλογής - Επανάληψης. Δομημένος Προγραμματισμός

Δομές Ακολουθίας- Επιλογής - Επανάληψης. Δομημένος Προγραμματισμός Δομές Ακολουθίας- Επιλογής - Επανάληψης Δομημένος Προγραμματισμός 1 Βασικές Έννοιες αλγορίθμων Σταθερές Μεταβλητές Εκφράσεις Πράξεις Εντολές 2 Βασικές Έννοιες Αλγορίθμων Σταθερά: Μια ποσότητα που έχει

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ & ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΗ ΦΥΣΙΚΗ

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ & ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΗ ΦΥΣΙΚΗ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ & ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΗ ΦΥΣΙΚΗ Μέρος 5ο ΝΙΚΟΛΑΟΣ ΣΤΕΡΓΙΟΥΛΑΣ ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ 1 Η ΕΝΤΟΛΗ for Με την εντολή for δημιουργούμε βρόχους επανάληψης σε

Διαβάστε περισσότερα

οµές εδοµένων 3 ο Εξάµηνο Τµήµα Πανεπιστήµιο Πληροφορικής Ιωαννίνων ΟΜΕΣ Ε ΟΜΕΝΩΝ

οµές εδοµένων 3 ο Εξάµηνο Τµήµα Πανεπιστήµιο Πληροφορικής Ιωαννίνων ΟΜΕΣ Ε ΟΜΕΝΩΝ Τµήµα Πανεπιστήµιο Πληροφορικής Ιωαννίνων ΟΜΕΣ Ε ΟΜΕΝΩΝ ΕΝΟΤΗΤΑ 1 ΕΙΣΑΓΩΓΗ 1 εδοµένα Σύνολο από πληροφορίες που πρέπει να αποθηκευτούν σε έναν υπολογιστή Υπολογιστικό Μοντέλο ένας επεξεργαστής και µεγάλος

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑ ΛΟΓΙΣΜΙΚΟΥ Ι

ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑ ΛΟΓΙΣΜΙΚΟΥ Ι ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑ ΛΟΓΙΣΜΙΚΟΥ Ι κ. ΠΕΤΑΛΙΔΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΤΕ 1 Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις3 Διαγωνίσιμες Γραμμικές Απεικονίσεις

Ασκήσεις3 Διαγωνίσιμες Γραμμικές Απεικονίσεις Ασκήσεις 5 Βασικά σημεία Ιδιότητες ιδιόχωρων: Έστω,, Ισχύουν τα εξής Ασκήσεις Διαγωνίσιμες Γραμμικές Απεικονίσεις κάποιες διακεκριμένες ιδιοτιμές της γραμμικής απεικόνισης : V V, όπου o Αν v v 0, όπου

Διαβάστε περισσότερα

Ανάλυση αλγορίθμων. Χρόνος εκτέλεσης: Αναμενόμενη περίπτωση. - απαιτεί γνώση της κατανομής εισόδου

Ανάλυση αλγορίθμων. Χρόνος εκτέλεσης: Αναμενόμενη περίπτωση. - απαιτεί γνώση της κατανομής εισόδου Ανάλυση αλγορίθμων Παράμετροι απόδοσης ενός αλγόριθμου: Χρόνος εκτέλεσης Απαιτούμενοι πόροι, π.χ. μνήμη, επικοινωνία (π.χ. σε κατανεμημένα συστήματα) Προσπάθεια υλοποίησης Ανάλυση της απόδοσης Θεωρητική

Διαβάστε περισσότερα

Αριθμοθεωρητικοί Αλγόριθμοι

Αριθμοθεωρητικοί Αλγόριθμοι Αλγόριθμοι που επεξεργάζονται μεγάλους ακέραιους αριθμούς Μέγεθος εισόδου: Αριθμός bits που απαιτούνται για την αναπαράσταση των ακεραίων. Έστω ότι ένας αλγόριθμος λαμβάνει ως είσοδο έναν ακέραιο Ο αλγόριθμος

Διαβάστε περισσότερα

Αριθµοθεωρητικοί Αλγόριθµοι και το. To Κρυπτοσύστηµα RSA

Αριθµοθεωρητικοί Αλγόριθµοι και το. To Κρυπτοσύστηµα RSA Αριθµοθεωρητικοί Αλγόριθµοι και το Κρυπτοσύστηµα RSA Στην ενότητα αυτή θα µελετηθούν τα εξής θέµατα: Υπολογισµός Μέγιστου Κοινού ιαιρέτη Αλγόριθµος του Ευκλείδη Κλάσεις Ισοδυναµίας και Αριθµητική modulo

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην Ανάλυση Αλγορίθμων

Εισαγωγή στην Ανάλυση Αλγορίθμων Εισαγωγή στην Ανάλυση Αλγορίθμων (4) Μεθοδολογία αναδρομικών σχέσεων (Ι) Με επανάληψη της αναδρομής Έστω όπου r και a είναι σταθερές. Βρίσκουμε τη σχέση που εκφράζει την T(n) συναρτήσει της T(n-) την T(n)

Διαβάστε περισσότερα

Αριθμητικές Μέθοδοι σε Προγραμματιστικό Περιβάλλον (Εργαστήριο 4)

Αριθμητικές Μέθοδοι σε Προγραμματιστικό Περιβάλλον (Εργαστήριο 4) Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής Αριθμητικές Μέθοδοι σε Προγραμματιστικό Περιβάλλον (Εργαστήριο 4) Δρ. Δημήτρης Βαρσάμης Επίκουρος Καθηγητής Δρ. Δημήτρης Βαρσάμης Αριθμητικές Μέθοδοι (E 4) Σεπτέμβριος 2015

Διαβάστε περισσότερα

ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 9: ΤΟΠΙΚΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΘΕΩΡΗΜΑ FERMAT

ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 9: ΤΟΠΙΚΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΘΕΩΡΗΜΑ FERMAT ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 9: ΤΟΠΙΚΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΘΕΩΡΗΜΑ FERMAT [Ενότητες Η Έννοια του Τοπικού Ακροτάτου Προσδιορισμός των τοπικών Ακροτάτων πλην του Θεωρήματος Εύρεση Τοπικών Ακροτάτων

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑ ΜΟΝΟΤΟΝΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ. Αντίστροφη συνάρτηση. ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ Συνάρτηση 1-1. Θεωρία Σχόλια Μέθοδοι Ασκήσεις

ΜΑΘΗΜΑ ΜΟΝΟΤΟΝΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ. Αντίστροφη συνάρτηση. ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ Συνάρτηση 1-1. Θεωρία Σχόλια Μέθοδοι Ασκήσεις ΜΑΘΗΜΑ 5. ΜΟΝΟΤΟΝΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ Συνάρτηση - Αντίστροφη συνάρτηση Θεωρία Σχόλια Μέθοδοι Ασκήσεις ΘΕΩΡΙΑ. Ορισµός Συνάρτηση :Α R λέγεται συνάρτηση, όταν για οποιαδήποτε, Α µε ισχύει

Διαβάστε περισσότερα

~ 1 ~ ΜΙΓΑΔΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ & ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΙ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗ ΠΕΡΙΟΔΟΣ ΙΑΝΟΥΑΡΙΟΥ 2013 ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ

~ 1 ~ ΜΙΓΑΔΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ & ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΙ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗ ΠΕΡΙΟΔΟΣ ΙΑΝΟΥΑΡΙΟΥ 2013 ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ ~ ~ ΜΙΓΑΔΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ & ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΙ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗ ΠΕΡΙΟΔΟΣ ΙΑΝΟΥΑΡΙΟΥ ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ ΘΕΜΑ α) Μια συνάρτηση f ( ) u( x, y) iv( x, y ) έχει παράγωγο σε ένα σημείο x iy αν ικανοποιούνται

Διαβάστε περισσότερα

Διδάσκων: Κωνσταντίνος Κώστα Διαφάνειες: Παναγιώτης Ανδρέου

Διδάσκων: Κωνσταντίνος Κώστα Διαφάνειες: Παναγιώτης Ανδρέου Διάλεξη Ε3: Επανάληψη Επανάληψη για την ενδιάμεση εξέταση Διδάσκων: Κωνσταντίνος Κώστα Διαφάνειες: Παναγιώτης Ανδρέου Ε3- Είναι ισοδύναμα; typedef struct ode { t data; struct ode *ext; NODE; A. NODE ;

Διαβάστε περισσότερα

Αναζήτηση. 1. Σειριακή αναζήτηση 2. Δυαδική Αναζήτηση. Εισαγωγή στην Ανάλυση Αλγορίθμων Μάγια Σατρατζέμη

Αναζήτηση. 1. Σειριακή αναζήτηση 2. Δυαδική Αναζήτηση. Εισαγωγή στην Ανάλυση Αλγορίθμων Μάγια Σατρατζέμη Αναζήτηση. Σειριακή αναζήτηση. Δυαδική Αναζήτηση Εισαγωγή στην Ανάλυση Αλγορίθμων Μάγια Σατρατζέμη Παραδοχή Στη συνέχεια των διαφανειών (διαλέξεων) η ασυμπτωτική έκφραση (συμβολισμός Ο, Ω, Θ) του χρόνου

Διαβάστε περισσότερα

Σχεδίαση & Ανάλυση Αλγορίθμων

Σχεδίαση & Ανάλυση Αλγορίθμων Σχεδίαση & Ανάλυση Αλγορίθμων Ενότητα 3 Αλγόριθμοι Επιλογής Σταύρος Δ. Νικολόπουλος Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων Webpage: www.cs.uoi.gr/~stavros Αλγόριθμοι Επιλογής Γνωρίζουμε

Διαβάστε περισσότερα

ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ

ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΗ 1η Να βρείτε το πεδίο ορισμού των συναρτήσεων: 5 α) f β) f 1 1 9 γ) f δ) f log 1 4 ημ ημ συν ε) f α) Για να ορίζεται η f() πρέπει και αρκεί + (1) Έχουμε: (1).(

Διαβάστε περισσότερα

2 ΟΥ και 8 ΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ

2 ΟΥ και 8 ΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΣΕ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΤΙΚΟ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΜΑΡΙΑ Σ. ΖΙΩΓΑ ΚΑΘΗΓΗΤΡΙΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑ 2 ΟΥ και 8 ΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΔΟΜΗ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ 1) Πότε χρησιμοποιείται η δομή επανάληψης

Διαβάστε περισσότερα

Τυχαιοκρατικοί Αλγόριθμοι

Τυχαιοκρατικοί Αλγόριθμοι Πιθανότητες και Αλγόριθμοι Ανάλυση μέσης περίπτωσης Μελέτα τη συμπεριφορά ενός αλγορίθμου σε μια «μέση» είσοδο (ως προς κάποια κατανομή) Τυχαιοκρατικός αλγόριθμος Λαμβάνει τυχαίες αποφάσεις καθώς επεξεργάζεται

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις Απειροστικού Λογισμού ΙΙ Πρόχειρες Σημειώσεις Τμήμα Μαθηματικών Πανεπιστήμιο Αθηνών Περιεχόμενα Υπακολουθίες και ακολουθίες Cuchy Σειρές πραγματικών αριθμών 3 3 Ομοιόμορφη συνέχεια 3 4 Ολοκλήρωμα

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΑΝΑΛΥΣΗ ΑΛΓΟΡΙΘΜΩΝ

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΑΝΑΛΥΣΗ ΑΛΓΟΡΙΘΜΩΝ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΑΝΑΛΥΣΗ ΑΛΓΟΡΙΘΜΩΝ Ενότητα 4: Αναδρομικές σχέσεις και ανάλυση αλγορίθμων Μαρία Σατρατζέμη Τμήμα Εφαρμοσμένης Πληροφορικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ «ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ» ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΡΓΑΣΙΑ 4

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ «ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ» ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΡΓΑΣΙΑ 4 ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ «ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ» ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΡΓΑΣΙΑ 4 Ηµεροµηνία αποστολής στον φοιτητή: 9 Φεβρουαρίου 5. Τελική ηµεροµηνία αποστολής από τον φοιτητή: Μαρτίου 5.

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 5 Αξιωματική Σημασιολογία και Απόδειξη Ορθότητας Προγραμμάτων

Κεφάλαιο 5 Αξιωματική Σημασιολογία και Απόδειξη Ορθότητας Προγραμμάτων Κεφάλαιο 5 Αξιωματική Σημασιολογία και Απόδειξη Ορθότητας Προγραμμάτων Προπτυχιακό μάθημα Αρχές Γλωσσών Προγραμματισμού Π. Ροντογιάννης 1 Εισαγωγή Τα προγράμματα μιας (κλασικής) γλώσσας προγραμματισμού

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΛ 232: Αλγόριθµοι και Πολυπλοκότητα. Κατ οίκον Εργασία 1 Σκελετοί Λύσεων

ΕΠΛ 232: Αλγόριθµοι και Πολυπλοκότητα. Κατ οίκον Εργασία 1 Σκελετοί Λύσεων ΕΠΛ 22: Αλγόριθµοι και Πολυπλοκότητα Κατ οίκον Εργασία Σκελετοί Λύσεων. (α) Έστω δροµολόγηση e, e 2,, e των εργασιών, 2,,. Τότε οι χρόνοι συµπλήρωσης των εργασιών είναι e d e e 2 d e + d e 2 e d e + d

Διαβάστε περισσότερα

Quicksort. ιδάσκοντες: Σ. Ζάχος,. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης. Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών

Quicksort. ιδάσκοντες: Σ. Ζάχος,. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης. Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Quicksort ιδάσκοντες: Σ. Ζάχος,. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Άδεια Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται

Διαβάστε περισσότερα