Περιεχόμενα 4 Ρυθμιστές

Transcript

1 Περιεχόμενα 4 Ρυθμιστές Εισαγωγή Βασικοί τύποι ρυθμιστών Αναλογικός ρυθμιστής Ολοκληρωτικός ρυθμιστής Διαφορικός ρυθμιστής (D-ρυθμιστής) Αναλογικός-Ολοκληρωτικός ρυθμιστής Αναλογικός-Διαφορικός ρυθμιστής Αναλογικός-Ολοκληρωτικός-Διαφορικός ρυθμιστής (PID) Ρυθμιστής σύνδεσης-διακοπής (Ρυθμιστής δύο θέσεων) Συντελεστής ρύθμισης Γραμμικοί ρυθμιστές και ανατροφοδότηση Κατασκευή ενός PD-ρυθμιστή με ανατροφοδότηση Κατασκευή ενός ΡΙ-ρυθμιστή με ανατροφοδότηση Κατασκευή ενός PID-ρυθμιστή με ανατροφοδότηση Πνευματικά συστήματα ρύθμισης Μέθοδοι βαθμονόμησης ρυθμιστών Πειραματικός προσδιορισμός ευνοϊκών τιμών βαθμονόμησης ρυθμιστών για την περίπτωση που είναι άγνωστες οι μεταφορικές ιδιότητες της διεργασίας ρύθμισης Βαθμονόμηση ρυθμιστών με βάση την πρώτη προσέγγιση της συνάρτησης μετάβασης της διεργασίας ρύθμισης Διεργασίες ρύθμισης με νεκρό χρόνο T t ή με χρόνο αδράνειας και αντιστάθμιση Διεργασίες ρύθμισης με χρόνο αδράνειας και αντιστάθμιση ή χωρίς αντιστάθμιση Βαθμονόμηση ρυθμιστών με βάση την καλύτερη προσέγγιση της διεργασίας ρύθμισης Βέλτιστες τιμές βαθμονόμησης ρυθμιστών Βέλτιστες τιμές βαθμονόμησης των ρυθμιστών για διεργασίες ρύθμισης 2 ης τάξης χωρίς ή και με νεκρό χρόνο i

2 4.7.2 Βέλτιστες τιμές βαθμονόμησης των ρυθμιστών για διεργασίες ρύθμισης με n ίσες σταθερές χρόνου χωρίς ή και με νεκρό χρόνο Ψηφιακή μορφή PID ρυθμιστών Παραδείγματα σε Matlab Ασκήσεις κεφαλαίου Βιβλιογραφία Κεφαλαίου ii

3 Ρυθμιστές Εισαγωγή Ο όρος «αυτόματος ρυθμιστής» μπορεί να αποδοθεί τόσο σ ένα απλό μηχανισμό που ενσωματώνει μετρητική διάταξη, ρυθμιστή και στοιχείο τελικής ρύθμισης όσο και σε πολύπλοκα συστήματα, που περιλαμβάνουν τους μηχανισμούς ενίσχυσης και μετάδοσης του σήματος από το μετρητικό όργανο στο ρυθμιστή, τον καταγραφικό μηχανισμό, το ρυθμιστή, ο οποίος μπορεί να αποτελεί «λογική μονάδα» ικανή να εκτελέσει ορισμένους υπολογισμούς βάσει προκαθορισμένου προγράμματος, και το σύστημα ενίσχυσης και μετάδοσης σήματος από το ρυθμιστή στο στοιχείο τελικής ρύθμισης. Ανάλογα με τη μορφή ενέργειας που χρησιμοποιούν, τα συστήματα ρύθμισης, μπορούν να ταξινομηθούν στις εξής κατηγορίες: Αυτοδύναμοι ρυθμιστές απευθείας δράσης Υδραυλικά συστήματα ρύθμισης Πνευματικά συστήματα ρύθμισης Ηλεκτρικά, ηλεκτρονικά και ψηφιακά συστήματα ρύθμισης Στο σχήμα 4.1 δίνονται μερικές διατάξεις ρύθμισης με ρυθμιστές απευθείας δράσης. Οι απλές αυτές διατάξεις χρησιμοποιούνται ευρύτατα στη χημική βιομηχανία για ρύθμιση θερμοκρασίας, πίεσης και στάθμης καθώς και στα συστήματα ασφαλείας. 1

4 Ενότητα Στη διάταξη του σχήματος 4.1i η ρυθμιζόμενη μεταβλητή είναι η ροή μέσω της βαλβίδας. Όταν η πίεση μετά τη βαλβίδα είναι μικρή, τότε το διάφραγμα πιέζεται από το ελατήριο και μετακινείται προς τα κάτω, η βαλβίδα ανοίγει και η ροή αυξάνει. Με την αύξηση της ροής αυξάνει και η πίεση μετά τη βαλβίδα και ανυψώνεται το διάφραγμα και η βαλβίδα, έτσι ώστε η πίεση μετά τη βαλβίδα να εξισορροπεί την τάση του ελατηρίου. Την επιθυμητή τιμή της πίεσης καθορίζουμε ρυθμίζοντας την τάση του ελατηρίου. Σταν ρυθμιστή στάθμης του σχήματος 4.1ii το στέλεχος της βαλβίδας που ρυθμίζει την παροχή εκροής από μια δεξαμενή συνδέεται με πλωτήρα ο οποίος, όταν η στάθμη στη δεξαμενή ανέβει, μετακινείται προς τα πάνω και ανοίγει τη βαλβίδα, προκαλώντας αύξηση της παροχής εκροής. Στο σχήμα 4.1iii η θερμοστατική βαλβίδα κλείνει όταν η θερμοκρασία στο θερμόμετρο ατμού αυξηθεί, με αποτέλεσμα να αυξηθεί η πίεση στη φύσα και να κινηθεί προς τα κάτω το στέλεχος της βαλβίδας. Σχήμα 4.1: Παραδείγματα συστημάτων ρύθμισης απευθείας δράσης. Επιθυμητή τιμή Επιθυμητή τιμή Ελατήριο Φύσα Διάφραγμα Θερμόμετρο Βαλβίδα (i) Ρυθμιστής πίεσης. Βαλβίδα (ii) Ρυθμιστής στάθμης. Βαλβίδα (iii) Θερμοστατική βαλβίδα. Το βασικό πλεονέκτημα των ρυθμιστών απευθείας δράσης είναι η απλή και φθηνή κατασκευή. Οι δυνάμεις όμως που απαιτούνται για την κίνηση του τελικού στοιχείου ρύθμισης (βαλβίδας) είναι μεγάλες και σε πολλές περιπτώσεις το όργανο μέτρησης δεν μπορεί να προκαλέσει τη μετακίνηση της βαλβίδας αν δεν χρησιμοποιηθεί ενδιάμεσα μια διάταξη που να ενισχύει το σήμα του οργάνου. Η χρησιμοποίηση ενισχυτή μας δίνει τη δυνατότητα να χρησιμοποιήσουμε όργανα ευαίσθητα, μεγάλης ακρίβειας, που δίνουν μικρό σήμα στην έξοδο. Σε πολλές περιπτώσεις εξάλλου, το σημείο μέτρησης απέχει αρκετά από το σημείο που βρίσκεται το στοιχείο τελικής ρύθμισης και απαιτείται μια διάταξη για τη μετάδοση του σήματος από το όργανο μέτρησης στο ρυθμιστή και από το ρυθμιστή στο μηχανισμό ενεργοποίησης του στοιχείου τελικής ρύθμισης.

5 Ενότητα Τα πνευματικά συστήματα ρύθμισης, δηλαδή τα συστήματα που χρησιμοποιούν αέρα υπό πίεση σαν κινητήρια δύναμη, χρησιμοποιούνται ευρύτατα στη χημική βιομηχανία. Κύρια πλεονεκτήματά τους είναι η ανθεκτική κατασκευή, το χαμηλό κόστος συντήρησης, η μεγαλύτερη ασφάλεια σε χώρους όπου ηλεκτρικός σπινθήρας θα μπορούσε να προκαλέσει κίνδυνο έκρηξης και η απευθείας σύνδεση με πνευματική βαλβίδα διαφράγματος. Ενώ μέχρι πριν πολλά χρόνια τα πνευματικά συστήματα ρύθμισης κυριαρχούσαν στη χημική βιομηχανία, σήμερα επικρατούν τα ηλεκτρονικά συστήματα ρύθμισης. Η ανάπτυξη των ολοκληρωμένων κυκλωμάτων είχε ως αποτέλεσμα την αύξηση της πιστότητας και τη μείωση του κόστους των ηλεκτρονικών ρυθμιστών, έτσι που από άποψης λειτουργικότητας και κόστους να συναγωνίζονται τους πνευματικούς ρυθμιστές. Στους ηλεκτρονικούς μηχανισμούς δεν υπάρχουν κινούμενες μάζες ώστε να παρουσιάζονται αδρανειακά φαινόμενα και η μετάδοση σήματος σε μεγάλες αποστάσεις δεν παρουσιάζει προβλήματα. Αντίθετα, κατά τη μετάδοση πνευματικού σήματος παρουσιάζονται καθυστερήσεις που μειώνουν την ευστάθεια του συστήματος ρύθμισης. Επί πλέον με τα ηλεκτρονικά κυκλώματα είναι πιο εύκολος ο σχηματισμός της επιθυμητής μορφής στη σχέση εξόδου/εισόδου, ενώ συνδέονται ευκολότερα με ηλεκτρονικούς υπολογιστές που είναι δυνατό να χρησιμοποιηθούν για την αυτόματη ρύθμιση βιομηχανικών μονάδων. Δύο στοιχεία μπορεί να επιβαρύνουν το κόστος των ηλεκτρονικών συστημάτων ρύθμισης. Σε περιβάλλον όπου υπάρχει κίνδυνος έκρηξης πρέπει να χρησιμοποιούνται ειδικές κατασκευές. Εξάλλου, το τελικό στοιχείο ρύθμισης είναι κατά το πλείστον βαλβίδα διαφράγματος, που δέχεται πνευματικό σήμα. Απαιτείται επομένως η παρεμβολή διάταξης που μετατρέπει το ηλεκτρικό σήμα σε πνευματικό. Είναι δυνατό, αντί της ρυθμιστικής βαλβίδας διαφράγματος να χρησιμοποιηθεί ηλεκτροκίνητη ρυθμιστική βαλβίδα, το κόστος της οποίας όμως είναι μεγαλύτερο. Σχήμα 4.2: Βρόχος ρύθμισης. Z Διεργασία X a Στοιχείο τελικής ρυθμ. Στοιχείο μέτρησης Μηχανισμός ενεργοποίησ. Ρυθμιστής

6 Ενότητα Κατά την εξέταση του βρόχου ρύθμισης (σχήμα 4.2) το στοιχείο μέτρησης και το στοιχείο τελικής ρύθμισης με τον μηχανισμό ενεργοποίησης θα θεωρηθούν ως αυτόνομοι - ανεξάρτητοι μηχανισμοί. Επομένως ως ρυθμιστής ορίζεται η διάταξη η όποια είναι υπεύθυνη για την επεξεργασία των πληροφοριών των σχετικών με την κατάσταση του συστήματος, που προέρχονται από το όργανο μέτρησης. Η ροή πληροφοριών στο βρόχο ρύθμισης δίνεται από το σχήμα 4.3. Σχήμα 4.3: Ροή πληροφοριών στο βρόχο ρύθμισης. Μεταφορά πληροφοριών Μεταφορά πληροφοριών Δημιουργία πληροφοριών Μέτρηση Έλεγχος Παρατήρηση Επεξεργασία πληροφοριών Σύγκριση Ενίσχυση Υπολογισμός Εκμετάλλευση πληροφοριών Ένδειξη Καταγραφή (μνήμη) Ενεργοποίηση Ως σύστημα ρύθμισης ορίζεται το σύνολο των μηχανισμών που αποτελείται από τον ρυθμιστή, το στοιχείο μέτρησης και το στοιχείο τελικής ρύθμισης με το μηχανισμό ενεργοποίησης. Για την εκπλήρωση των σκοπών της αυτόματης ρύθμισης ο ρυθμιστής πρέπει να είναι σε θέση να εκτελεί τις ακόλουθες εργασίες: 1. Σχηματισμό της ρυθμιστικής απόκλισης E = X a W, από τη σύγκριση μεταξύ της επιθυμητής (W ) και στιγμιαίας (X a ) τιμής της ρυθμιζόμενης μεταβλητής. 2. Σύμφωνα με τη συγκεκριμένη ρυθμιστική απόκλιση να προσδιορίζει ένα τέτοιο σήμα εισόδου Y για το μηχανισμό ενεργοποίησης, ώστε η ρυθμιστική απόκλιση E για τιμές t να γίνεται ελάχιστη. Με τον τρόπο αυτό επιτυγχάνεται μία ευνοϊκή λειτουργία του συστήματος ρύθμισης για τη μόνιμη κατάσταση (στατική συμπεριφορά του ρυθμιστή). 3. Ο μηχανισμός ενεργοποίησης πρέπει να επηρεάζεται κατά τέτοιο τρόπο από τον ρυθμιστή, ώστε κατά το δυνατό να μηδενίζονται oι επιδράσεις των διαταραχών επί του συστήματος, και να επιτυγχάνεται η άριστη προσαρμογή του συστήματος ρύθμισης στη διεργασία με αποτέλεσμα μια ευνοϊκή δυναμική συμπεριφορά του συστήματος. Η επιθυμητή τιμή W μπορεί να είναι δοσμένη ως σταθερά στο σύστημα ρύθμισης οπότε στη συγκεκριμένη περίπτωση ο ρυθμιστής ονομάζεται ρυθμιστής σταθερής τιμής.

7 Ενότητα Για την περίπτωση όμως που η επιθυμητή τιμή (μεταβλητή καθοδήγησης) W αποτελεί συνάρτηση του χρόνου ή ενός συγκεκριμένου αλγόριθμου τότε ο ρυθμιστής ονομάζεται ρυθμιστής κατ ακολουθία γιατί η ρυθμιζόμενη μεταβλητή X a οδηγείται σύμφωνα με την τιμή καθοδήγησης. Οποιαδήποτε μορφή ενέργειας και αν χρησιμοποιείται στο ρυθμιστή (ηλεκτρική, υδραυλική, πνευματική) η δυναμική του συμπεριφορά προσδιορίζεται, μόνο, από τη σχέση μεταξύ σήματος εξόδου και του σήματος εισόδου αυτού (συνάρτηση μεταφοράς). Η σχέση αυτή μεταξύ του σήματος εξόδου και εισόδου είναι συνήθως μία συνάρτηση χρόνου και ανάλογα με τη μορφή της σχέσης εξόδου/εισόδου που δίνεται από τη συνάρτηση μεταφοράς G c (a) του ρυθμιστή κατατάσσονται οι (γραμμικοί) ρυθμιστές στις ακόλουθες βασικές κατηγορίες: Αναλογικός (Ρ-ρυθμιστής) Ολοκληρωτικός (Ι-ρυθμιστής) Διαφορικός (D-ρυθμιστής) Ρυθμιστής σύνδεσης-διακοπής (ρυθμιστής δύο θέσεων). Κατασκευαστικά δεν υπάρχει πάντα σαφής διαχωρισμός μεταξύ του ρυθμιστή και των στοιχείων μέτρησης και τελικής ρύθμισης αλλά πολλές φορές oι διατάξεις αυτές αποτελούν έναν ενιαίο μηχανισμό. Σύμφωνα με το σχήμα 4.4 ο ρυθμιστής έχει ως σήμα εισόδου τη ρυθμιζόμενη μεταβλητή X a, και τη μεταβλητή καθοδήγησης W και ένα σήμα εξόδου y. Σχήμα 4.4: Διάγραμμα βαθμίδων του ρυθμιστή. W - E X a + Ρυθμιστής y Ο μηχανισμός του ρυθμιστή που σχηματίζει τη ρυθμιστική απόκλιση E ονομάζεται και συγκριτής του ρυθμιστή γιατί συγκρίνει την επιθυμητή τιμή και τη στιγμιαία τιμή της ρυθμιζόμενης μεταβλητής.

8 Ενότητα Βασικοί τύποι ρυθμιστών Αναλογικός ρυθμιστής Οι αναλογικοί ρυθμιστές είναι συνήθως πιο απλοί στην κατασκευή, το δε σήμα εξόδου y αυτών είναι ανάλογο της ρυθμιστικής απόκλισης E. Μεταξύ του σήματος εξόδου του Ρ-ρυθμιστή και της ρυθμιστικής απόκλισης ισχύει η ακόλουθη σχέση: y = K c E Επομένως η συνάρτηση μεταφοράς του αναλογικού ρυθμιστή δίνεται από τη σχέση: G(s) = Y (s) E(s) = K c (4.1) Η σταθερά K c ονομάζεται συντελεστής αναλογίας ή συντελεστής ενίσχυσης του Ρ-ρυθμιστή και στην πράξη μπορεί να μεταβάλλεται σε μεγάλη περιοχή. Η συνάρτηση μετάβασης του ιδανικού Ρ-ρυθμιστή χωρίς καθυστέρηση δίνεται από τη βαθμωτή (βηματική) συνάρτηση του σχήματος 4.5i. Σχήμα 4.5: Συνάρτηση μετάβασης Ρ-ρυθμιστή. y K c y K c (i) Χωρίς καθυστέρηση (ιδανικός Ρ- ρυθμιστής). t (ii) Με καθυστέρηση πρώτης τάξης. t Η σχέση (4.1) δίνει τη συνάρτηση μεταφοράς του Ρ-ρυθμιστή χωρίς καθυστέρηση. Για την περίπτωση που ο ρυθμιστής παρουσιάζει καθυστέρηση ισχύει: T m y (m) + + T 2 y + T 1 y + y = K c E (4.2)

9 Ενότητα Από την ίδια τη φύση των ρυθμιστών προκύπτει ότι ο Ρ-ρυθμιστής δρα επί του μηχανισμού ενεργοποίησης του συστήματος ρύθμισης, μόνο, στην περίπτωση που υπάρχει ρυθμιστική απόκλιση. Ο αναλογικός ρυθμιστής μπορεί να ελαττώσει τη ρυθμιστική απόκλιση E που οφείλεται στη δράση κάποιας διαταραχής στο σύστημα ρύθμισης, αλλά δεν είναι όμως ποτέ σε θέση, ο ίδιος να απαλείψει τελείως τη ρυθμιστική απόκλιση. Η ρυθμιστική αυτή απόκλιση θα συνεχίσει να υπάρχει στο σύστημα ρύθμισης και θα είναι τόσο μικρότερη όσο μεγαλύτερος είναι ο συντελεστής ενίσχυσης K c του Ρ-ρυθμιστή. Αυτό οφείλεται στο γεγονός ότι ο ρυθμιστής αποτελεί κατά κάποιο τρόπο την ανατροφοδότηση του συστήματος ρύθμισης με αποτέλεσμα η αύξηση του συντελεστή ενίσχυσης του Ρ-ρυθμιστή να συνεπάγεται την αύξηση του σήματος εισόδου του μηχανισμού ενεργοποίησης ο οποίος ρυθμίζει τη μεταβλητή εκ χειρισμού. Όπως αποδεικνύεται και στο κεφάλαιο που εξετάζει την ευστάθεια και δυναμική συμπεριφορά των συστημάτων αυτόματης ρύθμισης, ο συντελεστής ενίσχυσης K c του Ρ-ρυθμιστή δεν μπορεί να αυξηθεί κατά βούληση γιατί ταυτόχρονα αυξάνει και ο κίνδυνος για την αστάθεια και την κακή δυναμική συμπεριφορά του συστήματος ρύθμισης (δημιουργούνται ταλαντώσεις για τη ρυθμιζόμενη μεταβλητή). Στο σχήμα 4.5ii δίνεται η συνάρτηση μετάβασης του Ρ-ρυθμιστή με καθυστέρηση πρώτης τάξης. Διάφοροι κατασκευαστές συστημάτων ρύθμισης συνηθίζουν να χρησιμοποιούν για τον αναλογικό ρυθμιστή, εκτός από τον συντελεστή ενίσχυσης K και την έννοια της αναλογικής ζώνης X p (Ρ-ζώνη). Η αναλογική ζώνη ορίζεται ως η τιμή εκείνη της ρυθμιστικής απόκλισης που απαιτείται για να μετακινηθεί ο μηχανισμός του στοιχείου τελικής ρύθμισης (μηχανισμός ενεργοποίησης) από το κατώτερο στο ανώτερο όριο της περιοχής λειτουργίας αυτού (περιοχή ρύθμισης Y h ). Στο σχήμα 4.6 δίνεται η σχέση μεταξύ της περιοχής ρύθμισης Y h του στοιχείου τελικής ρύθμισης και της αναλογικής ζώνης ενός Ρ-ρυθμιστή. Από το σχήμα 4.6 συμπεραίνεται ότι η αναλογική ζώνη είναι αντιστρόφως ανάλογη του συντελεστή ενίσχυσης K c.

10 Ενότητα y Σχήμα 4.6: Αναλογική ζώνη του Ρ-ρυθμιστή. Y h ανώτερο όριο arctankc X p Xp 1 2 κατώτερο όριο E Σύμφωνα με το σχήμα 4.6 και τον ορισμό της αναλογικής ζώνης ισχύει η ακόλουθη σχέση: Y h = K c X p ή X p = Y h /K c (4.3) Επομένως η αναλογική ζώνη μπορεί να εκφραστεί με τις μονάδες μέτρησης της ρυθμιζόμενης μεταβλητής, δηλαδή μονάδες πίεσης, θερμοκρασίας κλπ. Επειδή όμως ο ίδιος αναλογικός ρυθμιστής μπορεί να χρησιμοποιηθεί σε διαφορετικές διεργασίες ρύθμισης όπως π.χ. ρύθμιση θερμοκρασίας, ρύθμιση πίεσης ή ακόμη και ρύθμιση τάσης ή έντασης ρεύματος είναι προτιμότερο η αναλογική ζώνη να εκφράζεται σε ποσοστά. Η μετατροπή της αναλογικής ζώνης σε ποσοστά γίνεται με την ακόλουθη σχέση: X p % = 1 Ζώνη Ρύθμισης 100 (4.4) K c Ζώνη Μέτρησης Με τη σχέση (4.4) η αναλογική ζώνη X p εκφράζεται με ποσοστό του εύρους απόκλισης δηλαδή κατά ποιο ποσοστό του εύρους μέσα στο οποίο μπορεί να κυμαίνεται πρέπει να μεταβληθεί η ρυθμιζόμενη μεταβλητή, για να προκληθεί κατά 100% μεταβολή στην έξοδο του ρυθμιστή ή στη μεταβλητή εκ χειρισμού.

11 Ενότητα Ας θεωρήσουμε για παράδειγμα τη δεξαμενή του σχήματος 4.7 της οποίας η στάθμη ρυθμίζεται με ένα απλό μηχανισμό Ρ-ρυθμιστή τοποθετημένο στο σωλήνα εισροής. Η στάθμη έχει τη δυνατότητα να μεταβάλλεται από 1.5 μέτρα έως 0.5 μέτρα. Η παροχή υγρού στη δεξαμενή μπορεί να μεταβάλλεται από 0 όταν η βαλβίδα είναι κλειστή έως 20lit/s όταν η βαλβίδα είναι τελείως ανοιχτή. Έστω ότι έχουμε τοποθετήσει τον ρυθμιστή σε τέτοια θέση ώστε η βαλβίδα να είναι τελείως ανοιχτή, όταν η στάθμη κατέβει στα 0.8 μέτρα και τελείως κλειστή όταν η στάθμη ανέβει στα 1.2 μέτρα. Στη συγκεκριμένη περίπτωση ο συντελεστής αναλογίας του Ρ-ρυθμιστή είναι: K c = 20lit/s 0.4m = 50lit/s m και η αναλογική ζώνη: X p = 40cm ή X p = = 40% Σχήμα 4.7: Ρύθμιση στάθμης με Ρ-ρυθμιστή.. V εισ B Ρύθμιση Επιθ. τιμής O Ρύθμιση K c h max (1.5m) (0.5m). V εκ. Αν θέλουμε να ελαττώσουμε την ευαισθησία του ρυθμιστή, μπορούμε, μεταθέτοντας το σημείο στήριξης O προς τα δεξιά, νά επιτύχουμε ώστε η βαλβίδα να είναι τελείως ανοιχτή όταν η στάθμη είναι π.χ. 0.5 μέτρα και τελείως κλειστή όταν η στάθμη ανέβει στα 1.5 μέτρα. Ο συντελεστής αναλογίας είναι τότε: K c = 20lt/s m, η δε αναλογική ζώνη 1 μέτρο ή 1/( ) 100 = 100%. Δηλαδή μικρή αναλογική ζώνη αντιστοιχεί σε μεγάλο συντελεστή αναλογίας. Ο συντελεστής αναλογίας θα μπορούσε να ρυθμιστεί έτσι ώστε και όταν ακόμη η στάθμη βρίσκεται στο κατώτερο σημείο των 0.5 μέτρων, να μην ανοίγει τελείως η βαλβίδα αλλά να δίνει μόνο π.χ. 15lt/s, ενώ όταν η στάθμη βρίσκεται στο ανώτατο σημείο των 1.5 μέτρων να μην διακόπτεται τελείως η παροχή αλλά να είναι π.χ. 5lt/s. Στην περίπτωση αυτή: K c = = 10lit/s m

12 Ενότητα και η αναλογική ζώνη: 20lit/s X p = 100 = 200% (15 5)lit/s (2 0)m ή X p = 100 = 200% ( )m Συνήθως στους ρυθμιστές υπάρχει η δυνατότητα να μεταβληθεί η αναλογική ζώνη από 2 μέχρι 150%. Έστω τώρα ότι θέλουμε να διατηρείται η στάθμη στο 1.0 μέτρο, όταν η παροχή εκροής είναι 5lt/s. Αυτό θα το επιτύχουμε μετατοπίζοντας προς τα πάνω το στέλεχος B, έτσι ώστε όταν η στάθμη βρίσκεται στο 1 μέτρο η βαλβίδα να είναι κατά τό 1/4 ανοιχτή (υποθέτουμε ότι η βαλβίδα παρουσιάζει αναλογικά χαρακτηριστικά) και η παροχή είναι 5lt/s. Αν κρατήσουμε τον συντελεστή αναλογίας του ρυθμιστή στα X p = 40%, η παροχή θα είναι 20lt/s όταν η στάθμη βρίσκεται στα 0.7 μέτρα και 0 όταν η στάθμη φτάσει τα 1.1 μέτρα. Έστω ότι αφήνουμε τον ρυθμιστή στη θέση αυτή λειτουργίας και ανοίγουμε τη βαλβίδα εκροής, έτσι ώστε η παροχή εκροής V εκ να γίνει 10lt/s. Η στάθμη στη δεξαμενή θα αρχίσει να κατέρχεται και ο πλωτήρας θα προκαλέσει άνοιγμα της ρυθμιστικής βαλβίδας αυξάνοντας την παροχή εισροής V εισ. Μετά την αποκατάσταση ισορροπίας η παροχή εισροής θα είναι ίση με την παροχή εκροής δηλαδή 10lt/s. Εύκολα μπορεί να βρεθεί γραφικά ή υπολογιστικά ότι η στάθμη που αντιστοιχεί σε παροχή 10lt/s είναι 0.9 μέτρα, επομένως η στάθμη θα σταθεροποιηθεί μετά την αλλαγή του φορτίου σε μία νέα τιμή 0.1 μέτρα χαμηλότερα από την επιθυμητή τιμή 1m. Η απόκλιση της ρυθμιζόμενης μεταβλητής από την επιθυμητή τιμή λέγεται μόνιμη ρυθμιστική απόκλιση (offset) και είναι χαρακτηριστικό της αναλογικής ρύθμισης. Στο σχήμα 4.8 δίνεται ένας πνευματικός Ρ-ρυθμιστής ο οποίος χρησιμοποιεί ως ενισχυτή τον συνδυασμό ακροφυσίου-ελάσματος. Ο πνευματικός ρυθμιστής του σχήματος 4.8 απαιτεί για τη λειτουργία του μία πρόσθετη βοηθητική ενέργεια, στη συγκεκριμένη περίπτωση βοηθητικό αέρα, για την τροφοδότηση του μηχανισμού ενεργοποίησης. Όταν μεταβάλεται η πίεση στο σημείο μέτρησης, δηλαδή στον αγωγό τροφοδότησης του αεροφυλακίου, μεταβάλεται αντίστοιχα και το μήκος της φύσας στην οποία είναι σταθερά τοποθετημένο το έλασμα του πνευματικού ενισχυτή με αποτέλεσμα η πίεση στον αγωγό A να αυξάνει ή να μειώνεται ανάλογα με την απόσταση του ελάσματος από το ακροφύσιο.

13 Ενότητα Με τη μεταβολή της πίεσης P + P μετακινείται η μεμβράνη του πνευματικού μηχανισμού ενεργοποίησης η οποία είναι σταθερά συνδεδεμένη με το στοιχείο τελικής ρύθμισης. Σχήμα 4.8: Πνευματικός Ρ-ρυθμιστής. Φύσα Αέρας Ρύθμιση επιθ. τιμής Κατεύθυνση δράσης Μηχανισμός ενεργοποίησης Στοιχείο τελικής ρύθμισης Εισροή Αεροφυλάκιο Εκροή Ο αναλογικός ρυθμιστής παρουσιάζει τις ακόλουθες βασικές ιδιότητες: 1. Ο Ρ-ρυθμιστής επειδή θεωρητικά λειτουργεί χωρίς καθυστέρηση παρουσιάζει καλή δυναμική συμπεριφορά. 2. Ο Ρ-ρυθμιστής παρουσιάζει σχετικά κακή στατική συμπεριφορά γιατί δεν είναι σε θέση να μηδενίσει τη μόνιμη ρυθμιστική απόκλιση η οποία υπάρχει στο σύστημα ρύθμισης μετά την επιβολή μιας τυχαίας διαταραχής. 3. Ο Ρ-ρυθμιστής είναι απλός στην κατασκευή και συνεπώς είναι σχετικά φθηνός και εύκολος στη συντήρηση. 4. Ρυθμιζόμενη παράμετρος για την προσαρμογή του Ρ-ρυθμιστή στη συμπεριφορά της διεργασίας είναι ο συντελεστής αναλογίας K c ή η αναλογική ζώνη X p Ολοκληρωτικός ρυθμιστής Στην προηγούμενη ενότητα αναφέρθηκε ότι ο αναλογικός ρυθμιστής δεν είναι σε θέση να μηδενίσει τη ρυθμιστική απόκλιση που παρουσιάζει η ρυθμιζόμενη μεταβλητή σε ένα σύστημα ρύθμισης. Αν και το γεγονός αυτό για πολλές εφαρμογές δεν είναι και τόσο αποφασιστικής σημασίας, συχνά στην πράξη απαιτούνται ρυθμιστές

14 Ενότητα οι οποίοι έχουν την ικανότητα να μηδενίζουν τη ρυθμιστική απόκλιση E μετά την επιβολή μιας διαταραχής Z στο σύστημα ρύθμισης. Σχήμα 4.9: Ολοκληρωτικός ρυθμιστής Watt. Γ Τ Φυγοκεντρικό εκκρεμές Μ Μηχ. ενεργ. Α 1 Ενισχυτής ΜΕ Α 2 Ζ Είσοδος ατμού Δ Ατμοστρόβιλος Ειδικές εφαρμογές λοιπόν απαιτούν τη χρήση ενός ρυθμιστή ο οποίος να είναι σε θέση να μεταβάλλει συνεχώς τη ρυθμιζόμενη μεταβλητή όσο υπάρχει απόκλιση αυτής από την επιθυμητή τιμή. Την προαναφερόμενη ιδιότητα προσφέρει ο ρυθμιστής του σχήματος 4.9 ο οποίος είναι γνωστός και ως ρυθμιστής του Watt [1]. Ο ρυθμιστής του σχήματος 4.9 χρησιμοποιήθηκε για πρώτη φορά από τον Watt στη ρύθμιση των στροφών μιας ατμομηχανής. Χαρακτηριστικό του ρυθμιστή αυτού είναι ότι χρησιμοποιεί ως στοιχείο μέτρησης το φυγοκεντρικό εκκρεμές T. Ο ρυθμιστής Watt αποτελείται από το φυγοκεντρικό εκκρεμές T, το συνδυασμό του κυλίνδρου ελαίου Z με το διπλό έμβολο ως υδραυλικό ενισχυτή και το δεύτερο κύλινδρο ελαίου M E με το έμβολο ως μηχανισμό ενεργοποίησης με το στοιχείο τελικής ρύθμισης. Όταν η ατμομηχανή περιστρέφεται με την επιθυμητή τιμή στροφών, τότε το διπλό έμβολο του κυλίνδρου Z βρίσκεται σε τέτοια θέση ώστε να φράσσει τους δύο αγωγούς ελαίου A 1 και A 2 που συνδέονται με τον κύλινδρο του μηχανισμού ενεργοποίησης M E.

15 Ενότητα Όταν ελαττώνονται αντίθετα οι στροφές της ατμομηχανής, π.χ. λόγω αύξησης του φορτίου της μηχανής, τότε οι σφαίρες του εκκρεμούς T κατέρχονται και ωθούν το έδρανο M, στο οποίο στηρίζεται ο οριζόντιος άξονας Γ, προς τα κάτω. Ταυτόχρονα ο άξονας Γ ωθεί το διπλό έμβολο προς τα κάτω, αποφράσσει τους αγωγούς A 1 και A 2 με αποτέλεσμα το λάδι από την αντλία υψηλής πίεσης μέσω του αγωγού A 1 να ωθεί το έμβολο του μηχανισμού ενεργοποίησης M E προς τα πάνω. Επειδή το έμβολο του μηχανισμού ενεργοποίησης είναι σταθερά συνδεδεμένο με τη βαλβίδα ρύθμισης της παροχής ατμού (στοιχείο τελικής ρύθμισης) της ατμομηχανής, ανερχόμενο αυξάνει την παροχή ατμού με αποτέλεσμα να αυξάνονται και οι στροφές της ατμομηχανής. Για την περίπτωση που οι στροφές της ατμομηχανής είναι περισσότερες από την επιθυμητή τιμή, τότε το σύστημα ρύθμισης του σχήματος 4.9 δρα προς την αντίθετη κατεύθυνση, δηλαδή το διπλό έμβολο μετακινείται προς τα πάνω και το λάδι εισρέει στον κύλινδρο του μηχανισμού ενεργοποίησης μέσω του αγωγού A 2. Στη συγκεκριμένη περίπτωση του ολοκληρωτικού ρυθμιστή του σχήματος 4.9 το έμβολο του μηχανισμού ενεργοποίησης θα μετακινείται διαρκώς όσο θα υπάρχει ρυθμιστική απόκλιση, γιατί η ρυθμιστική απόκλιση συνεπάγεται το άνοιγμα των αγωγών A 1 και A 2 του κυλίνδρου με το διπλό έμβολο. Η ταχύτητα ẏ του μηχανισμού ενεργοποίησης, ταχύτητα που ανέρχεται και κατέρχεται το έμβολο, εξαρτάται άμεσα από την παροχή λαδιού του κυλίνδρου ṁ που μετακινεί το έμβολο του μηχανισμού ενεργοποίησης. Η παροχή λαδιού στον κύλινδρο του μηχανισμού ενεργοποίησης εξαρτάται από την πίεση της αντλίας λαδιού και την αντίσταση εισροής μέσω των αγωγών A 1 ή A 2, ανάλογα με το αν το έμβολο μετακινείται προς τα επάνω ή προς τα κάτω. Επομένως η ταχύτητα του εμβόλου του μηχανισμού ενεργοποίησης και ως εκ τούτου και η ταχύτητα που ανοίγει ή κλείνει η βαλβίδα (στοιχείο τελικής ρύθμισης) εξαρτάται άμεσα από την ρυθμιστική απόκλιση E. Από τα προαναφερόμενα συμπεραίνεται ότι για τη συγκεκριμένη περίπτωση ισχύουν οι ακόλουθες σχέσεις: ẏ ανάλογη της ṁ και ṁ ανάλογη της Ė

16 Ενότητα Επομένως και τo διάστημα που διανύει το έμβολο του μηχανισμού ενεργοποίησης είναι συνάρτηση της ρυθμιστικής απόκλισης E της μορφής: και ẏ = dy dt = 1 T i E y = 1 T i t 0 Edt (4.5) (4.6) όπου y το διάστημα κατά το οποίο μετακινείται το έμβολο του μηχανισμού ενεργοποίησης ή ο σύρτης της βαλβίδας (στοιχείο τελικής ρύθμισης). Από την ολοκληρωτική αυτή σχέση που ισχύει μεταξύ του αποτελέσματος (μετατόπιση του σύρτη ρύθμισης της παροχής ατμού) και της αιτίας (ρυθμιστική απόκλιση) ο προαναφερόμενος ρυθμιστής ονομάζεται ολοκληρωτικός ρυθμιστής ή Ι- ρυθμιστής. Η σταθερά χρόνου παριστάνει το χρόνο που χρειάζεται ο μηχανισμός ενεργοποίησης (στοιχείο τελικής ρύθμισης) για να διανύσει την περιοχή ρύθμισης Y h με τη μέγιστη ταχύτητα και ονομάζεται ολοκληρωτικός χρόνος. Η ταχύτητα μετατόπισης του μηχανισμού ενεργοποίησης θα μηδενιστεί όταν η ρυθμιστική απόκλιση της ρυθμιζόμενης μεταβλητής γίνει ίση με μηδέν. Για τον συγκεκριμένο Ι-ρυθμιστή του σχήματος 4.9 το έμβολο του μηχανισμού ενεργοποίησης δεν ακινητοποιείται σε μία συγκεκριμένη θέση, αφού μηδενιστεί η ρυθμιστική απόκλιση, αλλά επειδή δεν υφίσταται μία σταθερή σύνδεση μεταξύ της ρυθμιζόμενης μεταβλητής και της μεταβλητής εκ χειρισμού μπορεί να ακινητοποιείται σε οποιαδήποτε θέση ανεξάρτητα από την τιμή που έχει η ρυθμιζόμενη μεταβλητή. Στο σχήμα 4.10 δίνεται η συνάρτηση μετάβασης του Ι-ρυθμιστή χωρίς καθυστέρηση (Ιδανικός Ι-ρυθμιστής). Στην πράξη όμως δεν μπορούν να κατασκευαστούν Ι-ρυθμιστές χωρίς καθυστέρηση και ως εκ τούτου oι Ι-ρυθμιστές παρουσιάζουν καθυστέρηση πρώτης ή ανώτερης τάξης.

17 Ενότητα Σχήμα 4.10: Συνάρτηση μετάβασης του Ι-ρυθμιστή χωρίς καθυστέρηση. E y Κλίση 1 T i E (i) t (ii) t Για τους Ι-ρυθμιστές με καθυστέρηση ισχύει: T m y (m) + + T 1 y + y = 1 T i Edt (4.7) H συνάρτηση μετάβασης του ολοκληρωτικού ρυθμιστή με καθυστέρηση πρώτης τάξης δίνεται στο σχήμα Σχήμα 4.11: Ολοκληρωτικός ρυθμιστής για τη ρύθμιση των στροφών. y T 1 t Η συμπεριφορά της ρυθμιστικής απόκλισης στον Ι-ρυθμιστή μετά την επιβολή μιας βηματικής διαταραχής Z στο σύστημα δίνεται στο σχήμα O ολοκληρωτικός ρυθμιστής παρουσιάζει τις ακόλουθες ιδιότητες: 1. Απαλείφει τελείως την επίδραση των διαταραχών επί του συστήματος (για t ) αφού έχει την ικανότητα να μηδενίζει τη ρυθμιστική απόκλιση με

18 Ενότητα Σχήμα 4.12: Ρυθμιστική απόκλιση του Ι-ρυθμιστή για T i1 < T i2. Z E χωρίς ρύθμιση όριο T i2 t T i1 t (i) (ii) αποτέλεσμα να παρουσιάζει καλή στατική συμπεριφορά (σε μόνιμη κατάσταση). 2. Ο Ι-ρυθμιστής παρουσιάζει τριβές και αδράνεια και ως εκ τούτου λειτουργεί σχετικά πιο αργά με αποτέλεσμα μια σχετικά κακή δυναμική συμπεριφορά. Συνέπεια της κακής δυναμικής συμπεριφοράς του Ι-ρυθμιστή είναι ο κίνδυνος δημιουργίας ταλαντώσεων, στο σύστημα και ιδιαίτερα όταν η σταθερά χρόνου λάβει μικρές τιμές. 3. Ρυθμιζόμενη παράμετρος στον Ι-ρυθμιστή είναι ο ολοκληρωτικός χρόνος T i με τον οποίο επιτυγχάνεται η προσαρμογή του Ι-ρυθμιστή στη δυναμική συμπεριφορά της διεργασίας Διαφορικός ρυθμιστής (D-ρυθμιστής) Oι δύο τύποι ρυθμιστών, αναλογικός και ολοκληρωτικός, που εξετάστηκαν δρουν ανάλογα με το εύρος του σήματος εισόδου, δηλαδή ανάλογα με το μέγεθος της ρυθμιστικής απόκλισης E. Η ανάληψη έργου λοιπόν από τους προαναφερόμενους ρυθμιστές προϋποθέτει την ύπαρξη ρυθμιστικής απόκλισης στο σύστημα. Διάφορες όμως πρακτικές εφαρμογές απαιτούν ρυθμιστές οι οποίοι να μπορούν να δράσουν με την εμφάνιση της διαταραχής στο σύστημα, δηλαδή να αναλάβουν έργο για την απάλειψη της ρυθμιστικής απόκλισης πριν από τη δημιουργία αυτής. Τη δυνατότητα αυτή προσφέρει ο διαφορικός ρυθμιστής (D-ρυθμιστής), ο οποίος μετρώντας τον ρυθμό μεταβολής της ρυθμιστικής απόκλισης E(t), σχηματίζει το αντίστοιχο σήμα εξόδου αυτού y, πριν ακόμη η ρυθμιστική απόκλιση προφτάσει να σχηματίσει ένα συγκεκριμένο εύρος.

19 Ενότητα Επομένως ο D-ρυθμιστής με την ιδιότητα να δρα πολύ γρήγορα με την εμφάνιση μιας μεταβολής (διαταραχής) στο σύστημα προπορεύεται της ρυθμιστικής απόκλισης. Για τη δράση της προπορείας (D-ρυθμιστής) ισχύει ότι το σήμα εξόδου του D- ρυθμιστή είναι ανάλογο του ρυθμού μεταβολής τής ρυθμιστικής απόκλισης: ή y = de dt de y = T d dt (4.8) Η σταθερά χρόνου που εκφράζει την αναλογία μεταξύ του σήματος εξόδου του D-ρυθμιστή y και της πρώτης παραγώγου της ρυθμιστικής απόκλισης E ονομάζεται χρόνος προπορείας T d. Η σχέση (4.8) περιγράφει τον ιδανικό D-ρυθμιστή χωρίς καθυστέρηση ο όποιος δεν υπάρχει στην πράξη, γιατί τα φυσικά συστήματα παρουσιάζουν πάντα κάποια καθυστέρηση. Από την εξίσωση (4.8) διαπιστώνεται επίσης ότι στον ιδανικό D-ρυθμιστή το σήμα εξόδου είναι μηδέν, όταν υπάρχει μία σταθερή ρυθμιστική απόκλιση στο σύστημα, ενώ για απότομη (βηματική) μεταβολή της ρυθμιστικής απόκλισης το σήμα εξόδου του D-ρυθμιστή τείνει στο άπειρο. Αυτή είναι και η βασική αιτία που δεν μπορεί να χρησιμοποιηθεί ο D-ρυθμιστής μόνος του σ ένα σύστημα ρύθμισης παρά, μόνο, σε συνδυασμό με άλλους τύπους ρυθμιστών. Ο παραμικρός θόρυβος (διαταραχή) στο σύστημα μέτρησης του D-ρυθμιστή είναι ικανός να δημιουργήσει μία απότομη αλλαγή μικρής διάρκειας του ρυθμού μεταβολής της ρυθμιστικής απόκλισης του συστήματος που θα είχε ως συνέπεια τον σχηματισμό ενός λανθασμένου υπερβολικά μεγάλου σήματος εξόδου στον D-ρυθμιστή. Από τά προαναφερόμενα συμπεραίνεται ότι η χρήση του D-ρυθμιστή στην πράξη πρέπει να γίνεται με ιδιαίτερη προσοχή. Αναμφισβήτητα όμως ο διαφορικός ρυθμιστής συμβάλλει στην αύξηση της ευστάθειας του συστήματος και στη βελτίωση της δυναμικής του συμπεριφοράς. Ρυθμιζόμενη παράμετρος στον D-ρυθμιστή για την προσαρμογή αυτού στη δυναμική συμπεριφορά της διεργασίας είναι ο χρόνος προπορείας T d.

20 Ενότητα Αναλογικός-Ολοκληρωτικός ρυθμιστής Οι τρεις τύποι ρυθμιστών που αναφέρθηκαν παρουσιάζουν προτερήματα αλλά όμως και σοβαρά μειονεκτήματα ιδιαίτερα για την περίπτωση αυτόματης ρύθμισης περίπλοκων διεργασιών με αποτέλεσμα να προτιμούνται οι διάφοροι συνδυασμοί που περιέχουν αναλογικό, ολοκληρωτικό ή και διαφορικό μέρος. Ένας τέτοιος συνδυασμός είναι και ο ΡΙ-ρυθμιστής ο οποίος συνδυάζει τη σχετικά μεγάλη ταχύτητα του αναλογικού ρυθμιστή, καλή δυναμική συμπεριφορά, με την ιδιότητα του ολοκληρωτικού ρυθμιστή να μηδενίζει τη ρυθμιστική απόκλιση της ρυθμιζόμενης μεταβλητής, καλή στατική συμπεριφορά. Το αναλογικό μέρος του ΡΙ-ρυθμιστή δρα αμέσως μόλις παρουσιαστεί η ρυθμιστική απόκλιση, επιτυγχάνοντας με τον τρόπο αυτό μια πρώτη μείωση της επιβαλλόμενης διαταραχής και στη συνέχεια δρα το ολοκληρωτικό μέρος το οποίο παρουσιάζει μια σχετική αδράνεια για να μηδενίσει τη ρυθμιστική απόκλιση. Η αδράνεια του ολοκληρωτικού μέρους του ΡΙ-ρυθμιστή έχει ως συνέπεια τα δύο αυτά φαινόμενα να δρουν με μία σχετική μετατόπιση η οποία εξαρτάται από την ταχύτητα μετακίνησης του μηχανισμού ενεργοποίησης, την αδράνεια του ολοκληρωτικού μέρους και από τη χρονική συμπεριφορά της διεργασίας ρύθμισης. Για τον ΡΙ-ρυθμιστή ισχύει: y = y P + y I (4.9) όπου y P η δράση του αναλογικού μέρους και y I η δράση του ολοκληρωτικού μέρους. Επομένως ισχύει η συνολική εξίσωση: y = K c E + 1 T i t 0 Edt (4.10) Η σχέση (4.10) περιγράφει τον ΡΙ-ρυθμιστή χωρίς καθυστέρηση. Η γενική διαφορική εξίσωση για τον ΡΙ-ρυθμιστή με καθυστέρηση δίνεται από την ακόλουθη

21 Ενότητα Σχήμα 4.13 y y T 1 T n K c E (i) Συνάρτηση μετάβασης του ΡΙ-ρυθμιστή χωρίς καθυστέρηση. t T n K c (ii) ΡΙ-ρυθμιστής με καθυστέρηση 1 ης τάξης. T 1 t σχέση: T m y (m) + + T 1 y + y = K c E + 1 T i t 0 Edt (4.11) Στους ρυθμιστές που αποτελούνται από συνδυασμούς τής Ρ-, I-, D- συμπεριφοράς για το χαρακτηρισμό του ολοκληρωτικού μέρους αντί του ολοκληρωτικού χρόνου T i στις σχέσεις (4.10) και (4.11) χρησιμοποιείται ο χρόνος μετενεργοποίησης T n που παριστάνει τον χρόνο που παρέρχεται μέχρι την αρχή της δράσης του ολοκληρωτικού μέρους σε σχέση με το αναλογικό. Όπως φαίνεται και από το σχήμα 4.13 για έναν καθαρά ολοκληρωτικό ρυθμιστή o χρόνος μετενεργοποίησης T n είναι μηδέν. Στο σχήμα 4.13 δίνονται οι συναρτήσεις μετάβασης του ιδανικού ΡΙ-ρυθμιστή και του ΡΙ-ρυθμιστή με καθυστέρηση 1 ης τάξης. Στο σχήμα 4.14 δίνεται ένας ΡΙ-ρυθμιστής για τη ρύθμιση των στροφών μιας ατμομηχανής. Ρυθμιζόμενη μεταβλητή είναι oι στροφές n της μηχανής και μεταβλητή εκ χειρισμού η παροχή ατμού που ρυθμίζεται με τη βαλβίδα στην είσοδο της διεργασίας ρύθμισης. Όταν αυξάνει το φορτίο της μηχανής τότε οι στροφές n αυτής ελαττώνονται με αποτέλεσμα να κατεβαίνουν oι σφαίρες του φυγοκεντρικού εκκρεμούς και να ωθούν προς τα πάνω τον άξονα H, ο οποίος είναι συνδεδεμένος με το στοιχείο τελικής ρύθμισης μέσω του άξονα, και με το διπλό έμβολο του κυλίνδρου ελαίου μέσω του άξονα Z με αποτέλεσμα να παρατηρείται αύξηση της παροχής ατμού με την ελάττωση των στροφών n.

22 Ενότητα Για την εξήγηση της λειτουργίας και της δράσης του αναλογικού μέρους του ΡΙρυθμιστή του σχήματος 4.14 γίνεται η παραδοχή ότι αρχικά το σημείο I δεν κινείται λόγω της αδράνειας του υδραυλικού ενισχυτή και του μηχανισμού ενεργοποίησης, το δε σημείο II περιστρέφεται στο σημείο I με αποτέλεσμα το σημείο III να ανέρχεται κατά y p. Επομένως και o σύρτης του στοιχείου τελικής ρύθμισης που ρυθμίζει την παροχή ατμού, με την άνοδο του άξονα, λόγω της πτώσης των στροφών, ανέρχεται κατά y p. Με τη μετατόπιση του άξονα H, προς τα πάνω, ωθείται και ο άξονας Z προς τα πάνω, με αποτέλεσμα το διπλό έμβολο του ενισχυτή ελαίου να ανοίγει τους αγωγούς που διοχετεύουν λάδι από την αντλία ελαίου προς τον μηχανισμό ενεργοποίησης και να ωθείται το έμβολο αυτού προς τα πάνω. Σχήμα 4.14: Ρύθμιση των στροφών ατμομηχανής με τη βοήθεια ενός ΡΙ-ρυθμιστή. Ατμός y p II III y I y I H Z n Ρυθμιζόμενη μεταβλητή Φορτίο Ατμομηχανή Για την εξήγηση της λειτουργίας και της δράσης του ολοκληρωτικού μέρους του ΡΙ-ρυθμιστή του σχήματος 4.14 γίνεται η παραδοχή, ότι το σημείο II είναι σταθερό και το σημείο I περιστρέφεται με άξονα το σημείο II, με αποτέλεσμα κατά την άνοδο του εμβόλου του μηχανισμού ενεργοποίησης, λόγω ελάττωσης των στροφών, το σημείο III και ως εκ τούτου και ο σύρτης του στοιχείου τελικής ρύθμισης να μετατοπίζεται προς τα πάνω κατά y I. Ρυθμιζόμενες παράμετροι στον ΡΙ-ρυθμιστή για την προσαρμογή αυτού στη δυναμική συμπεριφορά της διεργασίας είναι ο συντελεστής ενίσχυσης ή αναλογίας K c και ο χρόνος μετενεργοποίησης T n Αναλογικός-Διαφορικός ρυθμιστής Για την αύξηση της αποτελεσματικότητας του αναλογικού ρυθμιστή, κατασκευάζονται αναλογικοί ρυθμιστές με διαφορικό μέρος οι οποίοι έχουν την ιδιότητα να αντιδρούν στο ρυθμό μεταβολής της ρυθμιστικής απόκλισης.

23 Ενότητα Η συμπεριφορά του PD-ρυθμιστή χωρίς καθυστέρηση περιγράφεται από την ακόλουθη σχέση: ( ) de y = K c E + T d dt (4.12) Στο σχήμα 4.15 δίνεται η συνάρτηση μετάβασης του ιδανικού PD-ρυθμιστή ο οποίος δεν παρουσιάζει καθυστέρηση και έχει ως σήμα εισόδου τη ρυθμιστική απόκλιση της ρυθμιζόμενης μεταβλητής. Σχήμα 4.15: Συνάρτηση μετάβασης του PD-ρυθμιστή χωρίς καθυστέρηση. E y K c E t t (i) (ii) Η παράγωγος της βηματικής συνάρτησης E(t) δίνει τον παλμό του σχήματος Το σήμα εξόδου του ρυθμιστή y λαμβάνει για το σημείο t = 0 τιμή άπειρο και επανέρχεται στο αναλογικό μέρος της καμπύλης, το μέγεθος του οποίου προσδιορίζεται από τον συντελεστή ενίσχυσης K c. Εάν σε έναν PD-ρυθμιστή χωρίς καθυστέρηση μεταβληθεί η ρυθμιστική απόκλιση από το σημείο t = t 0 γραμμικά, τότε ο χρόνος προπορείας προσδιορίζεται, όπως φαίνεται στο σχήμα Σχήμα 4.16: Προσδιορισμός του χρόνου προπορείας T d του PD-ρυθμιστή. E y D-μέρ. T d P-μέρος t 0 (i) t t 0 t (ii)

24 Ενότητα Στην πράξη όμως δεν μπορούν να κατασκευαστούν PD-ρυθμιστές χωρίς καθυστέρηση και συνεπώς οι PD-ρυθμιστές που χρησιμοποιούνται περιγράφονται από την ακόλουθη διαφορική εξίσωση: ( ) T 1 y de + y = K c E + T d dt (4.13) Η συνάρτηση μετάβασης του PD-ρυθμιστή με καθυστέρηση 1 ης τάξης δίνεται στο σχήμα Σχήμα 4.17: Συνάρτηση μετάβασης του PD-ρυθμιστή με καθυστέρηση 1 ης τάξης. y K c T d T 1 K E c T 1 t Η καθυστέρηση επιδρά κατά τέτοιο τρόπο ώστε η συνάρτηση μετάβασης του PD-ρυθμιστή να παρουσιάζει στο σημείο t = 0 συνέχεια. Στο χρόνο t = 0 το σήμα εξόδου του PD-ρυθμιστή με καθυστέρηση λαμβάνει μια τιμή που είναι ανάλογη του εύρους της διαταραχής που επιβάλλεται στο σήμα εισόδου του συστήματος και συνεπώς και της ρυθμιστικής απόκλισης. Το εύρος του σήματος εξόδου του PD-ρυθμιστή με καθυστέρηση εξαρτάται επίσης από τον συντελεστή αναλογίας K c και τον χρόνο προπορείας T d. Για τιμές t > 0 ο PD-ρυθμιστής επανέρχεται στην αναλογική συμπεριφορά με μια χρονική καθυστέρηση που προσδιορίζεται από τη σταθερά χρόνου T 1. Ρυθμιζόμενες παράμετροι στον PD-ρυθμιστή είναι ο συντελεστής ενίσχυσης K c για το αναλογικό μέρος και ο χρόνος προπορείας για το διαφορικό μέρος. Oι PD-ρυθμιστές χρησιμοποιούνται με επιτυχία για τη ρύθμιση της πορείας τηλεκατευθυνόμενων οχημάτων, αεροπλάνων και πυραύλων.

25 Ενότητα Στο σχήμα 4.18 δίνεται ένας PD-ρυθμιστής για τη ρύθμιση της πορείας ενός αεροπλάνου. Επειδή η μετακίνηση του πηδαλίου του αεροπλάνου απαιτεί σχετικά ισχυρές δυνάμεις, εφαρμόζεται ένας ηλεκτρικός-υδραυλικός μηχανισμός ενεργοποίησης όπου το ηλεκτρικό μέρος χρησιμοποιείται για την τηλερύθμιση και το υδραυλικό μέρος για την ενίσχυση. Η χρησιμοποίηση των PD-ρυθμιστών στη ρύθμιση του πηδαλίου γίνεται αναπόφευκτη και από το γεγονός ότι η απόσβεση της ίδιας της πτήσης, ως ρυθμιζόμενης διεργασίας, δεν είναι αρκετή για να υπάρξει ευστάθεια στο σύστημα και συνεπώς απαιτείται η εφαρμογή διαφορικού μέρους στο σύστημα για τη βελτίωση της ευστάθειας και της δυναμικής συμπεριφοράς αυτού. Η γωνία της τροχιάς του αεροπλάνου, αναλογικό μέρος, δίνεται από το γυροσκόπιο πορείας και το διαφορικό μέρος, για την απόσβεση, δίνεται από το γυροσκόπιο απόσβεσης (σχήμα 4.18). Σχήμα 4.18: Ρύθμιση της πορείας ενός αεροσκάφους με PD-ρυθμιστή. Επιθυμητή πορεία + Γυροσκόπιο πορείας w - X S N S Μετατροπέας Υδραυλική ενίσχυση Γυροσκόπιο απόσβεσης - Πηδάλιο Αναλογικός-Ολοκληρωτικός-Διαφορικός ρυθμιστής (PID) O PID-ρυθμιστής ενσωματώνει τις τρεις βασικές ιδιότητες των ρυθμιστών σ ένα ρυθμιστή και συνεπώς είναι επόμενο vα αποτελεί τον ρυθμιστή με τις καλύτερες ιδιότητες τόσο για τη στατική όσο και τη δυναμική συμπεριφορά. Η συμπεριφορά του PID-ρυθμιστή περιγράφεται από την ακόλουθη σχέση: ( T m y (m) + + T 1 y + y = K c E + 1 T n ) de Edt + T d dt (4.14) H συνάρτηση μετάβασης του PID-ρυθμιστή χωρίς καθυστέρηση δίνεται στο σχήμα 4.19.

26 Ενότητα Σχήμα 4.19: Συνάρτηση μετάβασης του PID-ρυθμιστή χωρίς καθυστέρηση. y K c E T n t Οι ρυθμιστές όμως με πρακτική εφαρμογή παρουσιάζουν καθυστέρηση η οποία οφείλεται στην αδράνεια αυτών και την αδράνεια του μηχανισμού ενεργοποίησης. Για τους ρυθμιστές επίσης στην πράξη, τόσο το διαφορικό όσο και η ολοκλήρωση αποτελούν προσέγγιση των αντίστοιχων μαθηματικών πράξεων. Στο σχήμα 4.20 δίνεται η συνάρτηση μετάβασης και οι χαρακτηριστικές παράμετροι του PID-ρυθμιστή με καθυστέρηση 1 ης τάξης. Ρυθμιζόμενες παράμετροι στον PID-ρυθμιστή είναι ο συντελεστής ενίσχυσης K c ή η αναλογική ζώνη x p για το αναλογικό μέρος και ο χρόνος προπορείας T d για το διαφορικό μέρος. Σχήμα 4.20: Συνάρτηση μετάβασης του PID-ρυθμιστή με καθυστέρηση 1 ης τάξεως. y K c E T n 1 T 1 K c E t Στο σχήμα 4.21 δίνεται ένας πνευματικός PID-ρυθμιστής για τη ρύθμιση της θερμοκρασίας ενός εναλλάκτη. Για το σχήμα 4.21 ισχύει:

27 Ενότητα a - Εναλλάκτης θερμότητας c - Θερμικό στοιχείο e - Στοιχείο μέτρησης θερμοκρασίας g - Ρύθμιση επιθυμητής τιμής k - Έλασμα πνευματικού ενισχυτή m - Πνευματικός ενδιάμεσος ενισχυτής b - Μηχανισμός ενεργοποίησης d - Τριχοειδής Αγωγός f - Ένδειξη της θερμοκρασίας h, i - Διαφορικοί μοχλοί 1 - Ακροφύσιο n - Ανατροφοδότηση Με τη βοήθεια του θερμομέτρου ως σύστημα μέτρησης δημιουργείται μια πίεση η οποία είναι ανάλογη της μετρούμενης θερμοκρασίας. Η πίεση μετράται με τη βοήθεια του Bourdon e. Σχήμα 4.21: PID-ρυθμιστής για τη ρύθμιση της θερμοκρασίας ενός εναλλάκτη θερμότητας. μέτρηση f d e h c αέρας l k q g επιθυμητή τιμή a y m n b μηχανισμός D ενεργοποίησης I Για τη ρύθμιση του συντελεστή ενίσχυσης K c (αναλογίας) μετακινείται το σημείο στήριξης των μοχλών q που χρησιμεύουν για την αναμετάδοση της μηχανικής αναλογίας. Ο χρόνος προπορείας T d ρυθμίζεται με τη βοήθεια της βαλβίδας D. Ο χρόνος μετενεργοποίησης ρυθμίζεται με τη βαλβίδα I

28 Ενότητα Ένας PID-ρυθμιστής με ευρεία εφαρμογή στην πράξη είναι ο πνευματικός PIDρυθμιστής με τη σταυρωτή διάταξη τεσσάρων φυσών που δίνεται στο σχήμα Σχήμα 4.22: Πνευματικός PID-ρυθμιστής. ενισχυτής αέρας E D 1 X a X a X p R+ D 2 y R- E στοιχείο τελ. ρυθμ. Οι τέσσερις φύσες που στηρίζονται σταυρωτά στο μέσο του ρυθμιστή περιβάλλονται από ένα κινητό δακτύλιο. Διαφορές πίεσης σε δύο φύσες συνεπάγονται τη μετακίνηση του δακτυλίου που χρησιμεύει ως έλασμα του πνευματικού ενισχυτή ακροφυσίου-ελάσματος. Για τη ρύθμιση της αναλογικής ζώνης X p μπορεί να μετακινηθεί το εξωτερικό ακροφύσιο κατά ένα τεταρτοκύκλιο. Για την περίπτωση που το ακροφύσιο βρίσκεται αριστερά κοντά στη ρυθμιζόμενη μεταβλητή X a (σχήμα 4.22) τότε ο PID-ρυθμιστής έχει τη μικρότερη αναλογική ζώνη. Ο χρόνος προπορείας T d ρυθμίζεται με τη βαλβίδα D 1 και ο χρόνος μετενεργοποίησης με τη βαλβίδα D Ρυθμιστής σύνδεσης-διακοπής (Ρυθμιστής δύο θέσεων) Η ρύθμιση δύο θέσεων προϋποθέτει ένα διακόπτη ενέργειας γιατί η ρύθμιση γίνεται ακριβώς μεταξύ των δύο θέσεων του διακόπτη. Ρυθμίσεις δύο θέσεων εφαρμόζονται στις περιπτώσεις που το φαινόμενο της συνεχούς ταλάντωσης της ρυθμιζόμενης μεταβλητής δεν επηρεάζει τη διεργασία ρύθμισης.

29 Ενότητα Η απλότητα της κατασκευής του ρυθμιστή δύο θέσεων είχε ως συνέπεια την ευρύτατη εφαρμογή του, ιδιαίτερα στις συσκευές οικιακής χρήσης όπως π.χ. θερμοσίφωνες, ψυγεία, κεντρικές θερμάνσεις κ.λπ. Αν π.χ. η θερμοκρασία ενός ηλεκτρικού φούρνου που μεταβάλλεται σχετικά αργά δεν απαιτεί μια ρύθμιση με ακρίβεια, τότε χρησιμοποιώντας ένα ρυθμιστή δύο θέσεων, επιτυγχάνουμε τη ρύθμιση με χαμηλό κόστος. Στο σχήμα 4.23 δίνεται ένας ηλεκτρικός φούρνος που ρυθμίζεται με ρυθμιστή δύο θέσεων χρησιμοποιώντας ένα ηλεκτρικό πηνίο για τη διακοπή της ηλεκτρικής ενέργειας. Σχήμα 4.23: Ρυθμιστής ηλεκτρικού φούρνου on-off. επιθυμητή τιμή πηνίο πηγή Για την καλύτερη κατανόηση του ρυθμιστή δύο θέσεων θεωρούμε ότι ως μετατροπέας μέτρησης χρησιμοποιείται ένα θερμόμετρο υδραργύρου του οποίου το επάνω μέρος είναι ανοιχτό και συνεπώς η επιθυμητή θερμοκρασία μπορεί να ρυθμιστεί τοποθετώντας ένα σύρμα ανάλογου μήκους μέσα στο σωλήνα του θερμόμετρου. Το σύρμα είναι με το άλλο άκρο σταθερά συνδεδεμένο με ένα από τούς δύο πόλους πηγής ηλεκτρικής ενέργειας. Ο άλλος πόλος της πηγής ηλεκτρικής ενέργειας συνδέεται μέσω του πηνίου με τον υδράργυρο του θερμομέτρου. Όταν ο ηλεκτρικός φούρνος θερμανθεί πέρα του επιθυμητού ορίου, διαστέλλεται ο υδράργυρος και ακουμπά στο σύρμα κλείνοντας με τον τρόπο αυτό το κύκλωμα που ενεργοποιεί το πηνίο, με αποτέλεσμα να διακόπτεται η παροχή του ηλεκτρικού ρεύματος του φούρνου. Στην περίπτωση που η θερμοκρασία του φούρνου κατέβει κάτω από το επιτρεπτό όριο, τότε συστέλλεται ο υδράργυρος και ανοίγει το κύκλωμα του πηνίου με αποτέλεσμα να συνδέεται η παροχή ηλεκτρικού ρεύματος στο φούρνο. Σύμφωνα με το σχήμα 4.24 παρέρχεται ένας νεκρός χρόνος τ μετά τη σύνδεση της παροχής του ηλεκτρικού ρεύματος ώσπου να αρχίσει να ανεβαίνει η θερμοκρασία του φούρνου.

30 Ενότητα Μετά την αποσύνδεση της παροχής του ηλεκτρικού ρεύματος η θερμοκρασία δεν πέφτει αμέσως αλλά αρχικά συνεχίζει να ανεβαίνει για ένα χρονικό διάστημα που είναι ίσο με τον νεκρό χρόνο. Σχήμα 4.24: Συμπεριφορά της θερμοκρασίας του φούρνου σε σχέση με την παρεχόμενη ηλεκτρική ενέργεια. θερμοκρ. Xa Επιθυμητή τιμή τ τ τ t ενέργεια y t Στη συνέχεια εξετάζεται το σύστημα ρύθμισης στάθμης στη δεξαμενή του σχήματος 4.25 που δεν παρουσιάζει νεκρό χρόνο. Ο ρυθμιστής έχει συνδεθεί με μια βαλβίδα με σωληνοειδές. Όταν η στάθμη κατέλθει κάτω από την επιθυμητή τιμή το κύκλωμα διακόπτεται και η βαλβίδα ανοίγει με τη βοήθεια ενός ελατηρίου. Όταν η στάθμη ανέβει πάνω από την επιθυμητή τιμή το κύκλωμα αποκαθίσταται, η βαλβίδα κλείνει και διακόπτεται η παροχή εισροής. Προφανώς πρέπει να υπάρχει μία περιοχή γύρω από την επιθυμητή τιμή της στάθμης, μέσα στην οποία ο ρυθμιστής δεν ενεργοποιείται διότι αν ο διακόπτης ανοίγει αμέσως μόλις η στάθμη κατέβει κάτω από τη θέση h i και κλείνει μόλις η

31 Ενότητα στάθμη ανέβει πάνω από το h i τo σύστημα θα ανοίγει και θα κλείνει συνεχώς με αποτέλεσμα την πρόωρη φθορά του διακόπτη και της βαλβίδας. Σχήμα 4.25: Ρύθμιση στάθμης δεξαμενής με ρυθμιστή δύο θέσεων. LC V 1 h 2 h h 1 V εκ Στη δεξαμενή του σχήματος 4.25 η βαλβίδα (στοιχείο τελικής ρύθμισης) κλείνει όταν η στάθμη ανέλθει πάνω από τη θέση h 2 και ανοίγει όταν η στάθμη κατέλθει κάτω από τη θέση h 1. Η περιοχή h 1 έως h 2, μέσα στην οποία το σύστημα δεν δραστηριοποιείται, λέγεται διαφορικό χάσμα (differential gap). Ας θεωρήσουμε ότι σε δεδομένη στιγμή η στάθμη βρίσκεται στη θέση h 1 και η βαλβίδα είναι ανοιχτή. Το ισοζύγιο μάζας για τη δεξαμενή είναι: V 1 V εκ = A dh dt δηλαδή η στάθμη αυξάνει με σταθερό ρυθμό: dh dt = V 1 V εκ A Όταν η στάθμη φθάσει στη θέση h 2, η βαλβίδα κλείνει και η στάθμη αρχίζει να κατέρχεται με ρυθμό: dh dt = V εκ A Όπως φαίνεται στο σχήμα 4.26 η στάθμη ταλαντώνεται συνεχώς μεταξύ των τιμών h 1 και h 2. Όσο μικρότερο είναι το διαφορικό χάσμα τόσο μικρότερο είναι το εύρος των ταλαντώσεων και τόσο μεγαλύτερη η συχνότητα. Για να ελαττώσουμε τη συχνότητα των ταλαντώσεων θα μπορούσαμε να δώσουμε στην V 1 τιμή όσο το δυνατό κοντά στην V εκ έτσι ώστε η κλίση V 1 V εκ A να είναι

32 Ενότητα Σχήμα 4.26: Διάγραμμα λειτουργίας της δεξαμενής του σχήματος Διεργασία 1ης τάξης χωρίς αυτορύθμιση, μετρητικό όργανο και βαλβίδα χωρίς χρονική υστέρηση. V 1 t h 2 h i διαφορικό χάσμα t h 1 Κλίση V 1 - Vεκ A Κλίση - V εκ A μικρή. Για να ελαττωθεί εξάλλου η κλίση της πτώσης της στάθμης V εκ μπορούμε A να χρησιμοποιήσουμε μια δεύτερη εισροή V 2, η οποία θα είναι πάντοτε μικρότερη της V εκ και η οποία θα παρακάμπτει τη ρυθμιστική βαλβίδα. Έτσι η εισροή δεν θα κυμαίνεται μεταξύ 0 και V 1 αλλά μεταξύ V 2 και V 1 + V 2 Oι παροχές V 2 και V 1 + V 2 πρέπει να εκλεγούν έτσι ώστε να ισχύει πάντοτε η σχέση: V 2 < V εκ < V 1 + V 2 Θα πρέπει δηλαδή να προσδιοριστούν τα όρια μέσα στα οποία θα κυμαίνεται η μεταβλητή φορτίου ώστε η V εκ vα μην υπερβαίνει σε καμιά χρονική στιγμή την ανώτερη τιμή της εισροής, ούτε να γίνεται μικρότερη από την κατώτερη τιμή της εισροής. Το διάγραμμα λειτουργίας του σχήματος 4.26 ισχύει μόνο όταν η διεργασία είναι

33 Ενότητα ολοκληρωτική 1ης τάξης δηλαδή το σύστημα έχει χώρηση χωρίς αντίσταση. Μόνο στην περίπτωση αυτή η δίοδος (ρυθμιζόμενη μεταβλητή) μεταβάλλεται γραμμικά για βαθμωτή μεταβολή της εισόδου. Επί πλέον δεχόμαστε ότι το μετρητικό όργανο και η βαλβίδα δεν παρουσιάζουν χρονική υστέρηση. Αν υπάρχει χρονική υστέρηση στα διάφορα στοιχεία του ρυθμιστικού βρόχου η βαλβίδα εξακολουθεί να παραμένει ανοιχτή, παρόλο που η στάθμη έχει υπερβεί το h 2 (4.27). Έτσι, η στάθμη εξακολουθεί να αυξάνει και θα φτάσει σε μια θέση ψηλότερη από την h 2 θα παρατηρηθεί δηλαδή υπέρβαση της ανώτερης τιμής κατά h 2 h 2. Σχήμα 4.27: Διάγραμμα λειτουργίας της δεξαμενής του σχήματος 4.25 με χρονική υστέρηση στο όργανο μέτρησης. V 1 V 1 t t h T 2 h 2 h T h i t t h 1 Κλίση V T εκ - Κλίση A (i) V 1 Vεκ - A (ii) T Όπως φαίνεται στο σχήμα 4.27 το μέγεθος της υπέρβασης εξαρτάται αφενός μεν από τη χρονική υστέρηση T των στοιχείων του ρυθμιστικού βρόχου και αφετέρου από τον ρυθμό μεταβολής της ρυθμιζόμενης μεταβλητής. Αν επομένως μεταβληθεί το φορτίο, π.χ. ελαττωθεί η V εκ, θα μεταβληθούν oι κλίσεις των ευθειών h/t και συγκεκριμένα θα αυξηθεί ο ρυθμός ανόδου της στάθμης και θα ελαττωθεί ο ρυθμός πτώσης της στάθμης. Αντίστοιχα θα αυξηθεί η υπέρβαση του ανώτατου ορίου και θα ελαττωθεί η υπέρβαση του κατώτατου ορίου. Αν αντί της δεξαμενής του σχήματος 4.25 έχουμε ένα σύστημα από δύο βαθμίδες 1ης τάξης σε σειρά όπως του σχήματος 4.28i, ο ρυθμιστής διακόπτει την εισροή στη δεξαμενή I όταν η στάθμη στη δεξαμενή II υπερβεί το ανώτερο όριο h II,2. Η παροχή εισροής όμως από τη δεξαμενή I προς τη δεξαμενή II δεν διακόπτεται.

34 Ενότητα Σχήμα 4.28: Ρύθμιση με ρυθμιστή σύνδεσης-διακοπής συστήματος με περισσότερες από μία βαθμίδες.. V1 V 1 LC I V II t II h II V εκ h II,2 t h II,1 (i) (ii) Αρχίζει να ελαττώνεται βαθμιαία όσο κατέρχεται η στάθμη στη δεξαμενή I. Έτσι, ενώ η ρυθμιστική βαλβίδα είναι κλειστή, η στάθμη στη δεξαμενή II εξακολουθεί να ανέρχεται εφόσον η εισροή υπερβαίνει την εκροή V εκ. Όταν η V II γίνει μικρότερη από τη V εκ η στάθμη h II αρχίζει να κατέρχεται. Η βαλβίδα ανοίγει όταν η h II φτάσει το κατώτερο όριο h II,1 αλλά η στάθμη εξακολουθεί να κατέρχεται αφού η V II εξακολουθεί να είναι μικρότερη της V εκ έτσι έως ότου η στάθμη στη δεξαμενή I ανέλθει τόσο ώστε η V II να γίνει μεγαλύτερη από τη V εκ. Το διάγραμμα της μεταβολής της h II με το χρόνο εικονίζεται στο σχήμα 4.28ii. Το μέγεθος της υπέρβασης εξαρτάται αφενός μεν από τις σταθερές χρόνου των δύο δεξαμενών και αφετέρου από τις παροχές V I και V εκ. Αν η στάθμη ρυθμίζεται σε ψηλότερο σημείο τόσο η εκροή V εκ όσο και η εισροή V II πρέπει να είναι μεγαλύτερες. Η στάθμη h I επομένως κατέρχεται με γρηγορότερο ρυθμό μετά το κλείσιμο της βαλβίδας, με αποτέλεσμα να ελαττώνεται η υπέρβαση του ανώτερου ορίου ενώ παράλληλα αυξάνεται η υπέρβαση του κατώτερου ορίου. Απολύτως ανάλογα με το σύστημα των δύο δεξαμενών εργάζεται ένα σύστημα κεντρικής θέρμανσης. Και εδώ η μεταφορά θερμότητας μπορεί να θεωρηθεί (στην απλούστερη μορφή) ότι γίνεται σε δύο βαθμίδες. Στην πρώτη βαθμίδα το νερό θερμαίνεται στον λέβητα και στη δεύτερη βαθμίδα το νερό που κυκλοφορεί στα σώματα θερμαίνει το χώρο.

35 Ενότητα Ας υποθέσουμε ότι ο θερμοστάτης χώρου έχει ρυθμιστεί, έτσι ώστε να διακόπτει την παροχή καυσίμου στον καυστήρα όταν η θερμοκρασία του χώρου ανέλθει πάνω από 20 C και να ανάβει τον καυστήρα όταν η θερμοκρασία του χώρου κατέλθει κάτω από τούς 18 C. Όταν ο χώρος φτάσει στους 20 C και ο θερμοστάτης σταματήσει τον καυστήρα, εξακολουθεί μέσα στα σώματα να κυκλοφορεί θερμό νερό το οποίο ανεβάζει τη θερμοκρασία του χώρου πάνω από τούς 20 C, έως ότου η θερμοκρασία του νερού στα σώματα ελαττωθεί τόσο, ώστε το ποσό θερμότητας που μεταφέρεται από τα σώματα προς τον θερμαινόμενο χώρο να γίνει μικρότερο από το ποσό των θερμικών απωλειών, οπότε η θερμοκρασία του χώρου θα αρχίσει να κατέρχεται. Το μέγεθος της υπέρβασης εξαρτάται αφενός μεν από τα χαρακτηριστικά του συστήματος (π.χ. θερμοκρασία νερού, μέγεθος χώρου, επιφάνεια σωμάτων) και αφετέρου από τις θερμικές απώλειες δηλαδή από τον ρυθμό απαγωγής θερμότητας προς το περιβάλλον. Για παράδειγμα μια ζεστή ημέρα, οπότε οι απώλειες από τον θερμαινόμενο χώρο στο περιβάλλον είναι μικρές, η θέρμανση του χώρου εξακολουθεί επί πολύ χρόνο αφού διακοπεί η θέρμανση του νερού επειδή έστω και μικρά ποσά θερμότητας που μεταφέρονται από τα σώματα στο χώρο αρκούν για να καλύψουν τις απώλειες. Έτσι η θερμοκρασία υπερβαίνει κατά πολύ τους 20 C. Όταν πάλι η θερμοκρασία του χώρου κατέλθει κάτω από τούς 18 C και αποκατασταθεί η λειτουργία του καυστήρα θα απαιτηθεί μικρός χρόνος για να ανέλθει η θερμοκρασία του νερού και εν συνεχεία η θερμοκρασία του χώρου. Δηλαδή η υπέρβαση του κατώτερου ορίου θα είναι μικρή. Αντίθετα, μια ψυχρή ημέρα όπου oι θερμικές απώλειες είναι μεγάλες, τα σώματα μόλις κατέβει η θερμοκρασία δεν επαρκούν πλέον για να καλύψουν τις απώλειες και η θερμοκρασία δεν προλαμβάνει να υπερβεί τούς 20 C, ενώ αντίστοιχα θα κατέλθει πολύ κάτω από τους 18 C. Στο σχήμα 4.29 δίνονται συγκριτικά τα διαγράμματα θερμοκρασίας/χρόνου για μικρό φορτίο και μεγάλο φορτίο. Για μικρά φορτία η θερμοκρασία ανέρχεται γρήγορα και κατέρχεται αργά. Το αντίθετο συμβαίνει για μεγάλα φορτία. Όπως αναφέρθηκε και προηγουμένως, η μορφή της καμπύλης θερμοκρασίας/χρόνου εξαρτάται από τα χαρακτηριστικά του συστήματος (αντιστάσεις, χωρήσεις, φορτία). Οι καμπύλες που δίνονται στο σχήμα 4.29 είναι ενδεικτικές προς σύγκριση της επίδρασης του φορτίου. Όπως φαίνεται στο σχήμα 4.29 μετά την αύξηση του φορτίου η μέση θερμοκρασία αποκαταστάθηκε σε χαμηλότερη τιμή. Παρατηρείται δηλαδή κάτι ανάλογο με τη μόνιμη απόκλιση που παρουσιάζεται στην αναλογική ρύθμιση.