Ρυθµιστές PID. Βρόχος Ανατροφοδότησης Αναλογικός Ρυθµιστής (Ρ) Ολοκληρωτικός Ρυθµιστής (Ι) ιαφορικός Ρυθµιστής (D) Ρύθµιση PID

Transcript

1 Ρυθµιστές PID Βρόχος Ανατροφοδότησης Αναλογικός Ρυθµιστής (Ρ) Ολοκληρωτικός Ρυθµιστής (Ι) ιαφορικός Ρυθµιστής (D) Ρύθµιση PID 1

2 Βρόχος Ανατροφοδότησης! Θεωρούµε το βρόχο ανατροφοδότησης SP ιεργασία D G m G d + _ E C MV G c G f G p + + CV G m 2

3 Βρόχος Ανατροφοδότησης! Μοντέλο Simulink του προηγούµενου βρόχου ανατροφοδότησης SP ιεργασία D G m G d + _ E C MV G c G f G p + + CV G m 3

4 Βρόχος Ανατροφοδότησης! Σηµειώστε το διάγραµµα ροής και χρησιµοποιείστε το για επαλήθευση του ό,τι ακολουθεί στην παράδοση 4

5 Βρόχος Ανατροφοδότησης! Από τις σχέσεις των διαγραµµάτων βαθµίδων έχουµε για το βρόχο αυτό CV D CV SP = Gregulator = 1+ Gd GGGG p f c m GG c fgg p m = Gservo = 1+ GGGG p f c m 5

6 Βρόχος Ανατροφοδότησης! Ο τύπος του ρυθµιστή ανατροφοδότησης καθορίζει τη φύση του σήµατος C, το οποίο εξαρτάται από το σήµα σφάλµατος και τη συνάρτηση µεταφοράς του ρυθµιστή. C = G E c! Θα θεωρήσουµε 3 τύπους ρυθµιστών ανατροφοδότησης: αναλογικούς, ολοκληρωτικούς, διαφορικούς ρυθµιστές. 6

7 Αναλογικός Ρυθµιστής! Στο πεδίο χρόνου το σήµα του αναλογικού ρυθµιστή δίνεται από ( ) ( ) Ct = K Et + I C δηλ. το σήµα είναι ανάλογο του σφάλµατος.! I P είναι η σταθερά µηδενισµού (το bias) του σήµατος. P 7

8 Αναλογικός Ρυθµιστής! Στο πεδίο Laplace, έχουµε για τις µεταβλητές απόκλισης ( ) K E( s) C s = C άρα η συνάρτηση µεταφοράς για τον αναλογικό ρυθµιστή είναι G C ( ) () C s = = Es K C 8

9 Αναλογικός Ρυθµιστής! Ο συντελεστής ενίσχυσης του ρυθµιστή (controller gain), K C, αποτελεί προσαρµοζόµενη παράµετρο που µπορεί να ρυθµίζει ο µηχανικός για να ελέγχει την απόκριση του συστήµατος. 9

10 Αναλογικός Ρυθµιστής! Απόκριση του βρόχου ρύθµισης για βηµατική µεταβολή στην τιµή αναφοράς (set point) για διεργασίες 1ης τάξης.! Με τις ακόλουθες παραδοχές G G G f P C = G = 1 = = 10 m K P τ Ps + 1 K C

11 Αναλογικός Ρυθµιστής! Για το πρόβληµα servo G servo GG c fgg p m = = 1 + GGGG p f c m KP KC τps + 1 KP 1+ KC τ s + 1 P = KK C P KK C P + 1 τp s + 1 KK + 1 C P = KP τ s + 1 P η χαρακτηριστική εξίσωση: τ s + 1 P 11

12 Αναλογικός Ρυθµιστής! Σηµειώνουµε ότι: το σύστηµα παραµένει συνολικά 1ης τάξης όταν χρησιµοποιείται αναλογικός ρυθµιστής ο πραγµατικός συντελεστής ενίσχυσης µόνιµης κατάστασης (process gain) K P µειώνεται (λιγότερη µόνιµη απόκλιση ή offset) η πραγµατική χρονική σταθερά µειώνεται (ταχύτερη απόκριση). 12

13 Αναλογικός Ρυθµιστής! Αν θεωρήσουµε βηµατική µεταβολή µεγέθους M στην τιµή αναφοράς () () CV s = G SP s = servo KP τ s + 1 M s! Η τελική τιµή µόνιµης κατάστασης δίνεται από P K CV ( s G SP() s ) P = lim s t servo = lim s s τ s P 1 M s = KM P 13

14 Αναλογικός Ρυθµιστής! Η µόνιµη απόκλιση (οffset( ffset) δίνεται από! Σηµειώστε ότι: ( 1 ) Offset = SP CV = M K M = M K t t P P το offset δεν εξαφανίζεται τελείως µε αναλογική ρύθµιση, το offset µειώνεται µε την αύξηση του συντελεστή ενίσχυσης του ρυθµιστή (K P προσεγγίζει την 1 καθώς K C προσεγγίζει το άπειρο), θα δούµε ότι πολύ µεγάλα K C µπορούν να χαλάσουν την ευστάθεια. 14

15 Αναλογικός Ρυθµιστής! Για συστήµατα 2ης τάξης G servo = KP KC 2 2 τ s + 2τξs+ 1 = KP KC τ s + τξs τ K K 2 KCKP KCKP τξ s K K + 1 C P C P s

16 Αναλογικός Ρυθµιστής! Σηµειώστε ότι: το σύστηµα παραµένει 2ης τάξης, ο συνολικός συντελεστής ενίσχυσης µόνιµης κατάστασης µειώνεται µε αύξηση του K C, η περίοδος µειώνεται µε αύξηση του K C : τ = τ K C K P + 1 ο συντελεστής απόσβεσης µειώνεται µε αύξηση του K C : ξ = K C K P ξ

17 Αναλογικός Ρυθµιστής! Το σύστηµα µπορεί εποµένως να γίνει υποαποσβεννύµενο (ή ασταθές) µε αύξηση του K C.! Παράδειγµα µε το MATLAB... Αφήνεται σαν άσκηση για τους σπουδαστές να καθορίσουν το offset ενός συστήµατος 2ης τάξης. Επαναλάβετε την ανάλυση για το πρόβληµα του ρυθµιστή (regulator), θεωρώντας συναρτήσεις µεταφοράς G d 1ης και 2ης τάξης. 17

18 Ολοκληρωτικός Ρυθµιστής! Στην περίπτωση αυτή το σήµα του ρυθµιστή δίνεται από () C () Ct K = Etdt+ τ 0 I I I! τ Ι αναφέρεται ως χρόνος επαναφοράς (reset time) ή χρόνος ολοκλήρωσης (integral time). 18

19 Ολοκληρωτικός Ρυθµιστής Σήµα ολοκληρωτικής εξόδου κατά τη διάρκεια διατήρησης σφάλµατος C I -I I K c Κλίση = τ I Χρόνος 19

20 Ολοκληρωτικός Ρυθµιστής! Στο πεδίο Laplace, έχουµε () C () C s = άρα η συνάρτηση µεταφοράς για τον ολοκληρωτικό ρυθµιστή είναι G C K τ I ( ) () s Es C s KC = = Es τ I s 20

21 Ολοκληρωτικός Ρυθµιστής! Η ολοκληρωτική ρύθµιση υπόκειται σε κλείσιµο επαναφοράς (reset wind-up) το ολοκληρωτικό σήµα αυξάνει όσο υπάρχει σφάλµα το στοιχείο τελικής ρύθµισης µπορεί να κορεστεί (π.χ. τελείως ανοιχτή ή τελείως κλειστή βαλβίδα) όµως, το σήµα του ρυθµιστή θα συνεχίσει να αυξάνει ρυθµιστές του εµπορίου εφοδιασµένοι µε µηχανισµό anti-reset wind-up κλείνουν τη ρυθµιστική τους δράση όταν το στοιχείο υφίσταται κορεσµό (υπάρχουν διάφοροι αλγόριθµοι γι αυτό). 21

22 Ολοκληρωτικός Ρυθµιστής! Για το πρόβληµα του ρυθµιστή (regulator) για το οποίο η συνάρτηση µεταφοράς G d είναι 1ης τάξης, έχουµε G regulator Κ d Gd = = τs GGGG K K C P f m C P 1+ τ s τs + 1 I = ττs I 2 Kdτ Is KCKP τ I + K K s + 1 C P 22

23 Ολοκληρωτικός Ρυθµιστής! Με άλλα λόγια... Η συνολική τάξη του συστήµατος έχει αυξηθεί και γίνει 2ης τάξης, η πραγµατική περίοδος του συστήµατος είναι τ = ττ I K K P ο συντελεστής απόσβεσης του συστήµατος είναι 1 τ I ξ = 2 τkk P C 23 C

24 Ολοκληρωτικός Ρυθµιστής! Ισχύουν παρόµοια σχόλια και για το πρόβληµα servo.! Θεωρούµε τη µόνιµη απόκλιση (offset) για βηµατική µεταβολή στη διαταραχή... 24

25 Ολοκληρωτικός Ρυθµιστής! Για βηµατική µεταβολή έχουµε () () CV s = G SP s = regulator Ks d 2 2 τ s + 2ξτ s+ 1! Στο όριο καθώς το t προσεγγίζει το άπειρο M s lim t () CV t = lim s 0 s Ks d 2 2 τ s + 2ξ + τ s 1 M s = 0 25

26 Ολοκληρωτικός Ρυθµιστής! Η µόνιµη απόκλιση (offset) είναι Offset = SP CV = 0 0= 0 t t! Η ολοκληρωτική ρύθµιση έχει τη δυνατότητα να εξαλείψει το offset στην περίπτωση µιας συνεχούς διαταραχής (παρόµοια συµπεριφορά παρατηρείται για το πρόβληµα servo - δοκιµάστε το σαν άσκηση).! Παράδειγµα µε το MATLAB... 26

27 ιαφορικός Ρυθµιστής! Στην περίπτωση αυτή το σήµα του ρυθµιστή δίνεται από C() t de = K τ + dt I C D D όπου τ D είναι η προσαρµοζόµενη παράµετρος του διαφορικού ρυθµιστή,, η διαφορική χρονική σταθερά. 27

28 ιαφορικός Ρυθµιστής! Στο πεδίο Laplace, έχουµε για τις µεταβλητές απόκλισης ( ) τ ( ) C s = K se s C Η συνάρτηση µεταφοράς του διαφορικού ρυθµιστή δίνεται από D ( ) () C s Es = G = K τ s C C D 28

29 ιαφορικός Ρυθµιστής! Ορισµένες παρατηρήσεις: Μιλώντας αυστηρά µαθηµατικά, δεν µπορεί να κατασκευαστεί ρυθµιστής µε ακριβώς διαφορική δράση (η συνάρτηση µεταφοράς έχει αριθµητή µεγαλύτερης τάξης στο s απ ό,τι ο παρονοµαστής). Ο διαφορικός ρυθµιστής αποκρίνεται µόνο στο ρυθµό µεταβολής του σφάλµατος - σταθερό και διατηρηµένο σφάλµα δεν θα οδηγούσε σε απόκριση από το διαφορικό ρυθµιστή (εποµένως η διαφορική ρύθµιση δεν εφαρµόζεται ποτέ από µόνη της). 29

30 ιαφορικός Ρυθµιστής Οι πραγµατικοί ρυθµιστές στην πράξη χρησιµοποιούν ένα τύπο εµπρόσθιας καθυστέρησης (lead-lag) lag) διαφορικής ρύθµισης (θα επανέλθουµε σ αυτό όταν µιλήσουµε για τους ρυθµιστές PID). Αν η τιµή αναφοράς ξαφνικά αλλάξει, τότε ο ρυθµός µεταβολής του σφάλµατος απειρίζεται - αναφέρεται σαν διαφορικό κλώτσηµα (derivative kick). Για την αποφυγή του, οι ρυθµιστές συχνά εκφράζουν τη διαφορική τους συνιστώσα µε το µετρηµένο σήµα (Y) αντί για το σφάλµα (E): Ct () dym = KCτ D + dt 30 I D

31 ιαφορικός Ρυθµιστής! Αφήνεται σαν άσκηση να δειχθούν τα εξής: Για προβλήµατα servo σε διεργασία 1ης τάξης, η διαφορική ρύθµιση δεν αλλάζει την τάξη της απόκρισης αλλά αυξάνει τη σταθερά χρόνου. Σε συστήµατα 2ης τάξης,, η φυσική περίοδος δεν µεταβάλλεται αλλά ο συντελεστής απόσβεσης αυξάνει (περισσότερη απόσβεση και άρα σύστηµα λιγότερα ευµετάβλητο). 31

32 Ρυθµιστής PID! Οι δράσεις των στοιχείων του αναλογικού (P), ολοκληρωτικού (I), και διαφορικού (D) ρυθµιστή µπορούν να συνδυαστούν για την κατασκευή ενός ρυθµιστή PID... 32

33 Ρυθµιστής PID! Στο πεδίο χρόνου: Πρότυπο ISA ( ISA (International Systems Automation) 1 Ct () = K Et () Etdt () C τ I ( ) de t χρησιµοποιείται επίσης και το παρακάτω 1 Ct () = K Et () Etdt () C + τ 0 τ I τ D D dt ( ) dy t m dt + + I I 33

34 Ρυθµιστής PID! Στο πεδίο Laplace: 1 C s = C + + τ s () K 1 τ s E() s ή, γραµµένο σα συνάρτηση µεταφοράς I D ( ) () C s Es 1 = KC 1+ + τ s I τ D s 34

35 Ρυθµιστής PID! Οι ρυθµιστές στην πράξη χρησιµοποιούν έναν τύπο εµπρόσθιας καθυστέρησης (lead-lag) lag) για να προσεγγίσουν τον ιδανικό διαφορικό ρυθµιστή, εποµένως ο ρυθµιστής PID γίνεται ( ) () C s Es = K C 1+ τ I s 1+ τ τ s 1+ ατ s s! Η σταθερά α είναι συνήθως κάποιος µικρός αριθµός (0.05 µε 0.2). I 35 D D

36 Ρυθµιστής PID! Παρατηρούµε ότι το σύστηµα είναι αυστηρά µαθηµατικά σωστό, αφού η τάξη µεγέθους του παρονοµαστή είναι µεγαλύτερη από αυτή του αριθµητή. 36

37 Ρυθµιστής PID! Οι τρείς τύποι ρύθµισης λειτουργώντας σε συνεργία παράγουν, ποιοτικά, την ίδια απόκριση όπως τα επιµέρους συστατικά: Ο ολοκληρωτικός ρυθµιστής επιβραδύνει την ολική απόκριση, αυξάνει την τάξη µεγέθους, και λειτουργεί για την απαλοιφή του offset. Αύξηση του χρόνου επαναφοράς µειώνει το συντελεστή απόσβεσης. Αύξηση του K C µειώνει το χρόνο απόκρισης (µπορεί να οδηγήσει σε αστάθεια). Ο διαφορικός ρυθµιστής έχει σταθεροποιητική επίδραση. 37