ΜΙΑ ΜΕΘΟΔΟΣ ΤΙΜΩΡΙΑΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΠΟΡΡΙΨΗ ΑΚΡΑΙΩΝ ΤΙΜΩΝ ΣΤΗΝ ΑΝΘΕΚΤΙΚΗ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗ

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ΜΙΑ ΜΕΘΟΔΟΣ ΤΙΜΩΡΙΑΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΠΟΡΡΙΨΗ ΑΚΡΑΙΩΝ ΤΙΜΩΝ ΣΤΗΝ ΑΝΘΕΚΤΙΚΗ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗ"

Transcript

1 Ελληνικό Στατιστικό Ινστιτούτο Πρακτικά 8 ου Πανελληνίου Συνεδρίου Στατιστικής (005) σελ ΜΙΑ ΜΕΘΟΔΟΣ ΤΙΜΩΡΙΑΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΠΟΡΡΙΨΗ ΑΚΡΑΙΩΝ ΤΙΜΩΝ ΣΤΗΝ ΑΝΘΕΚΤΙΚΗ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗ Αντώνης Αβραμίδης και Γιώργος Ζιούτας Γενικό Τμήμα Πολυτεχνικής Σχολής Α.Π.Θ. ΠΕΡΙΛΗΨΗ Στην ανθεκτική παλινδρόμηση, συχνά χρειάζεται να αποφανθούμε πόσες είναι οι ασυνήθιστες παρατηρήσεις (outlers) στα δεδομένα και ποιες από αυτές πρέπει να απομακρυνθούν με σκοπό την εύρεση της καλύτερης γραμμής παλινδρόμησης στις υπόλοιπες παρατηρήσεις. Μία βασική μέθοδος είναι η LS (least trmmed squares), η οποία αναφέρεται στην προσαρμογή της γραμμής στην πλειοψηφία των δεδομένων (~5%) αναγνωρίζοντας ως ακραίες παρατηρήσεις τα υπόλοιπα σημεία (~49%) που προκαλούν τη μεγαλύτερη ζημιά στην προσαρμογή της ευθείας. Στην προτεινόμενη μέθοδο, εισάγουμε κόστος τιμωρίας για την απόρριψη κάθε ακραίας παρατήρησης (outler), επομένως, η καλύτερη προσαρμογή της γραμμής στην πλειοψηφία των δεδομένων επιτυγχάνεται απομακρύνοντας μόνο τις παρατηρήσεις που επιδρούν κακώς στην παλινδρόμηση. Η προτεινόμενη ανθεκτική εκτιμήτρια παλινδρόμησης προκύπτει λύνοντας ένα κυρτό μικτό ακέραιο τετραγωνικό πρόβλημα και για την σύγκριση της αποτελεσματικότητας και ανθεκτικότητάς της με άλλες ανθεκτικές εκτιμήτριες, διεξάγουμε μελέτη προσομοίωσης (Monte Carlo Smulaton) με κατάλληλα αριθμητικά δεδομένα.. ΕΙΣΑΓΩΓΗ Έστω το γραμμικό μοντέλο παλινδρόμησης y = x β + u, (.) όπου y η εξαρτημένη μεταβλητή, x το px διάνυσμα των ανεξάρτητων μεταβλητών, β το px διάνυσμα των αγνώστων παραμέτρων και u το διάνυσμα των τυχαίων σφαλμάτων με μέση τιμή μηδέν και διακύμανση σ. Παρατηρούμε ένα τυχαίο δείγμα (x, y ),...,(x n, y n ) και επιθυμούμε να βρούμε μία ανθεκτική εκτιμήτρια εννοώντας ότι η επίδραση κάθε παρατήρησης (x, y ) στη δειγματική εκτιμήτρια περιορίζεται. Όπως είναι γνωστό, η εκτιμήτρια ελαχίστων τετραγώνων β δεν ικανοποιεί τις προϋποθέσεις της ανθεκτικότητας. Οι γενικευμένες M εκτιμήτριες (GM estmators), όπως οι προτάσεις των Mallows (975), Hampel (978), Krasker and Welsch (98) και άλλες ανθεκτικές εκτιμήτριες

2 σχεδιάστηκαν με σκοπό να προστατέψουν την εκτιμήτρια από τις ακραίες παρατηρήσεις. Πιο συγκεκριμένα, έχουν συναρτήσεις επίδρασης περιορισμένες τόσο στα x όσο και στα y. Ατυχώς, αυτές οι περιορισμένης επίδρασης εκτιμήτριες έχουν χαμηλά σημεία κατάρρευσης. Έχουν προταθεί αρκετές εκτιμήτριες υψηλού σημείου κατάρρευσης, γνωστές ως HBP (hgh breakdown pont), οι οποίες επιτυγχάνουν σημεία κατάρρευσης κοντά στο 50%. Ανάμεσα σε αυτές είναι η ελάχιστη διάμεσος τετραγώνων (least medan of squares estmator LMS) Rousseeuw (984) και η least trmmed squares (LS) Rousseeuw (984), Rousseeuw and Leroy (987). Η LS μπορεί να θεωρηθεί ως μία εναλλακτική ανθεκτική μέθοδος παλινδρόμησης των GM-μεθόδων, η οποία ορίζει μια εκτιμήτρια των παραμέτρων (α, β), ελαχιστοποιώντας το άθροισμα τετραγώνων των υπολοίπων στο υποσύνολο των [(n+p+)/] καλύτερων σημείων. Κάποιες καλύτερες προτάσεις εκτιμητριών επιτυγχάνουν υψηλά σημεία κατάρρευσης και ταυτόχρονα βελτιώνουν την αποτελεσματικότητα των HBP εκτιμητριών. Ανάμεσα σε αυτές είναι οι S εκτιμήτριες των Rousseeuw and Yoha (984), οι MM εκτιμήτριες Yoha (987) και Yoha and Zamar (988), οι οποίες συνδυάζουν καλή ασυμπτωτική αποτελεσματικότητα στο κανονικό γραμμικό μοντέλο με HBP. Οι εκτιμήτριες αυτές επιτυγχάνουν καλές ασυμπτωτικές ιδιότητες, μπορεί όμως να έχουν χαμηλή αποτελεσματικότητα σε πεπερασμένα δείγματα εάν το δείγμα περιέχει σημεία υψηλής επίδρασης (hgh leverage ponts). Με σκοπό να επιτευχθούν ταυτόχρονα εκτιμήτριες παλινδρόμησης περιορισμένης επίδρασης, υψηλού σημείου κατάρρευσης και αποτελεσματικότητας, οι Coakley and Hettmansperger (993), Smpson, Ruppert and Carroll (99) πρότειναν την εκτιμήτρια ενός βήματος SS, ξεκινώντας με αρχικές εκτιμήτριες υψηλού σημείου κατάρρευσης και χρησιμοποιώντας το σχήμα Schweppe με συντελεστές βαρύτητας Mallows. Οι εκτιμήτριες αυτές βελτιώνουν την αποτελεσματικότητα. Όμως, η απόδοσή ς στην πράξη εξαρτάται κατά μεγάλο ποσοστό από τις αρχικές τιμές LS. Ο σκοπός αυτής της εργασίας είναι να προτείνει μια νέα ανθεκτική προσέγγιση η οποία βασίζεται μόνο σε ανθεκτική εκτιμήτρια κλίμακας καταλοίπων (παρέχεται από την LS μέθοδο) και σε ανθεκτικά βάρη σχεδιασμού. Για την κατασκευή της νέας εκτιμήτριας παλινδρόμησης NQMIP, η οποία συνδυάζει υψηλό σημείο κατάρρευσης με καλή αποτελεσματικότητα, προτείνουμε νέα αντικειμενική συνάρτηση (loss functon), η οποία αποτελείται από το άθροισμα των τετραγώνων των καταλοίπων και κόσς τιμωρίας για την απομάκρυνση των ακραίων παρατηρήσεων. Στην ουσία, το πέναλτυ κόστος είναι μια συνάρτηση της ανθεκτικής κλίμακας σ και των καταλοίπων των δεδομένων. Η αντικειμενική συνάρτηση της νέας εκτιμήτριας παρουσιάζεται στη η ενότητα. Η ελαχιστοποίηση της προτεινόμενης αντικειμενικής συνάρτησης φορμάρεται ως μικτό ακέραιο τετραγωνικό πρόβλημα προγραμματισμού στην 3 η ενότητα. Τα αποτελέσματα της ΝQMIP εκτιμήτριας παρουσιάζονται χρησιμοποιώντας προσομοιώσεις Monte-Carlo στην 4 η ενότητα. Τέλος, συμπεράσματα, μελλοντική έρευνα και κάποια υπολογιστικά θέματα αναφέρονται στην 5 η ενότητα

3 . Η ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΗ ΕΚΤΙΜΗΤΡΙΑ. ΟΡΙΣΜΟΣ Θεωρούμε την εκτιμήτρια η οποία ορίζεται ως η λύση στο πρόβλημα ελαχιστοπο ίηση ρ c ( ) (.) β όπου ρ c σ είναι η αντικειμενική συνάρτηση η οποία ορίζεται ως u για u < c h σ ρc σ ( u ) = (.) (cσ) για u c h σ όπου σ είναι κάποια ανθεκτική εκτιμήτρια κλίμακας των καταλοίπων u, c τα σημεία αποκοπής για ακραίες παρατηρήσεις τα οποία εξαρτώνται από τα σημεία σχεδιασμού, c = c ( w( x )), w(x ) είναι τα βάρη σχεδιασμού και c η γνωστή παράμετρος αποκοπής. Η επιλογή της παραμέτρου c ρυθμίζει την ανθεκτικότητα και την αποτελεσματικότητα της εκτιμήτριας. Η προτεινόμενη αντικειμενική συνάρτηση όπως φαίνεται στην (.) είναι απλή. Για μεγάλα κατάλοιπα u ( u c σ ) το άθροισμα των τετραγώνων των καταλοίπων είναι λιγότερο απότομα αυξανόμενο, αφού το μεγάλο τετραγωνικό κατάλοιπο ελαττώνεται στην τιμή ( c σ), η οποία εξαρτάται μόνο από τα σημεία σχεδιασμού και την αρχική εκτιμήτρια κλίμακας σ. Η τιμή αυτή, ( c σ), ερμηνεύεται ως το κόστος τιμωρίας για την απομάκρυνση μιας ακραίας παρατήρησης. Μια βέλτιστη εφικτή λύση προβλήματος (.) επιτυγχάνεται χρησιμοποιώντας μαθηματικό προγραμματισμό. Το πρόβλημα (.) φορμάρεται ως ένα κυρτό μικτό ακέραιο τετραγωνικό πρόβλημα προγραμματισμού. Η τεχνική αυτή αναπτύσσεται στην 3 η ενότητα.. ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ Αν και στην παρούσα εργασία το θεωρητικό υπόβαθρο για τις ιδιότητες της προτεινόμενης εκτιμήτριας δεν αναπτύσσεται ικανοποιητικά, κάποιες καλές ιδιότητές της βασίζονται σε λογικές εξηγήσεις οι οποίες προέρχονται από το πρόβλημα ελαχιστοποίησης (.) και την εξίσωση (.). Συνέπεια (Consstency): Η εκτιμήτρια ορίζεται από τη λύση προβλήματος ελαχιστοποίησης (.). Το πρόβλημα αυτό είναι ισοδύναμο με την απόφαση πόσες και ποιες από τις ακραίες παρατηρήσεις πρέπει να απομακρυνθούν ώστε να προκύψει το ελάχιστο άθροισμα τετραγώνων των καταλοίπων και κόσς τιμωρίας. Μετά την απομάκρυνση των ακραίων παρατηρήσεων, η Εκτιμήτρια Ελαχίστων Τετραγώνων (OLS estmator) μπορεί να εφαρμοστεί στα καθαρά δεδομένα. Ανθεκτικότητα (Robustness): Στο πρόβλημα ελαχιστοποίησης (.), το κόστος τιμωρίας ( c σ) για την απομάκρυνση μιας ακραίας παρατήρησης εξαρτάται από τον πίνακα σχεδιασμού και την κλίμακα των καταλοίπων. Στα σημεία υψηλής επίδρασης n = σ u - 4 -

4 το κόστος τιμωρίας μειώνεται επειδή τα βάρη w(x ) γενικά μικραίνουν στα σημεία μοχλούς. Επομένως, τα σημεία υψηλής επίδρασης τείνουν να απομακρυνθούν εκτός αν τα κατάλοιπά ς είναι μικρά. Επιπλέον, για παρατηρήσεις που είναι y-outlers, μια απομάκρυνση πραγματοποιείται μόνο στην περίπτωση που u c σ. Αποτελεσματικότητα (Effcency): Η προτεινόμενη ανθεκτική διαδικασία απορρίπτει μόνο τις καταστροφικές παρατηρήσεις, αφού υπάρχει κόστος τιμωρίας ( c σ) για κάθε απομάκρυνση, όπως φαίνεται στην (.). Γενικά, μία παρατήρηση απομακρύνεται αν το τελικό κατάλοιπο u είναι μεγάλο ( u c σ ). Τελικά, η καλύτερη προσαρμογή μοντέλου αποκτάται στα καθαρά δεδομένα. Υψηλό Σημείο Κατάρρευσης (Hgh Break Down-Pont): Η προτεινόμενη εκτιμήτρια βασίζεται σε εκτιμήτρια των καταλοίπων σ υψηλού σημείου κατάρρευσης όπως προκύπτει από τον LS και σε ανθεκτική των βαρών w(x ), τα οποία εξαρτώνται μόνο από τα σημεία σχεδιασμού. Υπό αυτές τις συνθήκες, η προτεινόμενη εκτιμήτρια κληρονομεί υψηλό σημείο κατάρρευσης όπως παρουσιάζεται μέσω προσομοιώσεων Monte Carlo στην 4 η ενότητα. 3. ΠΡΟΤΥΠΑ ΜΙΚΤΟΥ ΑΚΕΡΑΙΟΥ ΤΕΤΡΑΓΩΝΙΚΟΥ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΥ 3. Η ΕΚΤΙΜΗΤΡΙΑ LS Αφού θεωρούμε ότι η προτεινόμενη εκτιμήτρια είναι μία βελτίωση της LS, δίνουμε τον ορισμό της εκτιμήτριας LS και αναπτύσσουμε μία μαθηματική φόρμα για την επίλυσή της. Στη συνέχεια (επόμενη παράγραφο) τροποποιούμε την φόρμα για να επιτύχουμε την προτεινόμενη μέθοδο «τιμωρίας» Η εκτιμήτρια LS (Least rmmed Squares) η οποία προτάθηκε από τον Rousseeuw (984) ορίζεται σαν το p-διάνυσμα β LS = ελαχιστοποίηση Q LS ( β) (3.) όπου = h ι= u Q (β), LS u β u u 3... u h είναι σε αύξουσα σειρά τα τετράγωνα των καταλοίπων και h είναι η παράμετρος που ρυθμίζει το σημείο κατάρρευσης και για το υψηλότερο σημείο κατάρρευσης έχει την τιμή h=(n+p+)/. Για την επίλυση προβλήματος (3.) αναπτύσσουμε την παρακάτω φόρμουλα μικτού ακέραιου τετραγωνικού προγραμματισμού: ελαχιστοποίηση n β, β, u, ε, δ = u (3.) - 4 -

5 σύμφωνα με ς περιορισμούς: x β x β ε δ K n δ + u u = n ( n + p + ) / δ : (0,) μεταβλητή β, β, u, ε = x β x β 0 y για ε y + ε =,..., n όπου ε παριστάνει το μέγεθος προσέλκυσης των y που απαιτείται για να μηδενισθούν τα μεγάλα κατάλοιπα u Στην φόρμα αυτή οι μεταβλητές απόφασης είναι όλες θετικές και είναι οι άγνωστοι συντελεστές παλινδρόμησης β =(β,...β p ), β =(β,...,β p ), β=β - β, τα κατάλοιπα u και οι αποστάσεις προσέλκυσης ε. Οι πρώτοι δύο περιορισμοί περιγράφουν γεωμετρικά την παλινδρόμηση για την περίπτωση των θετικών ή αρνητικών καταλοίπων αφού τα u είναι μόνο θετικά. Ακόμη, δ είναι μια δυαδική μεταβλητή λήψης αποφάσεων, τέτοια ώστε: Για δ =,ο τρίτος περιορισμός επιτρέπει την απόσταση προσέλκυσης ε να πάρει οποιοδήποτε άνω όριο K στο μέγιστο απόλυτο κατάλοιπο όπου ή y προσελκύεται προς την εκτιμώμενο πολυεπίπεδο της παλινδρόμησης έτσι ώστε να μειωθεί το κατάλοιπο στο μηδέν, u =0. Για δ =0, ο τρίτος περιορισμός θέτει την απόσταση προσέλκυσης ε στο μηδέν, οπότε, η τιμή y δεν προσελκύεται προς την εκτιμώμενη γραμμή. Στον τέταρτο περιορισμό υποδεικνύεται ότι ο αριθμός των διαγραφόμενων σημείων είναι (n-(n+p+)/), ο οποίος είναι ο μέγιστος αριθμός των σημείων που απορρίπτονται στην εκτιμήτρια LS. Το πρόβλημα (3.) έχει κυρτή αντικειμενική συνάρτηση και οι περιορισμοί σχηματίζουν κυρτό σύνολο Arthanar and Dodge (993), γι αυτό η μέθοδος smplex ψάχνοντας την λύση σταματά στο σημείο ( β, β, u, ε), το οποίο είναι και η μοναδική ολική βέλτιστη λύση. 3. Η ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΗ ΕΚΤΙΜΗΤΡΙΑ NQMIP Με σκοπό την απομάκρυνση μόνο των καταστροφικών ακραίων παρατηρήσεων, οι Zoutas and Avramds (005) πρότειναν κόστος τιμωρίας για κάθε απομάκρυνση μιας ακραίας παρατήρησης (outler). Έτσι το πρόβλημα ελαχιστοποίησης (3.) διαμορφώθηκε στην ακόλουθη φόρμουλα : ελαχιστοποίηση β, β, u, ε, δ n = (u + δ ( c σ) ) (3.3)

6 σύμφωνα με ς περιορισμούς: x β x β + u ε δ K x β x β u δ : (0,) μεταβλητή y β,, β, u ε 0 για =,..., n Για δ =, ο τρίτος περιορισμός επιτρέπει την απόσταση προσέλκυσης ε να πάρει οποιαδήποτε τιμή έτσι ώστε να μειωθεί το κατάλοιπο στο μηδέν, u =0, η αντικειμενική συνάρτηση όμως αυξάνει κατά ένα σταθερό κόστος τιμωρίας ( c σ). Στην περίπτωση αυτή θεωρούμε ότι το σημείο ( x, y ) δεν επηρεάζει πλέον την εκτιμήτρια παλινδρόμησης. Η εκτιμήτρια που προκύπτει από την λύση προβλήματος (3.3) συμβολίζεται με QMIP. Στην παρούσα εργασία διερευνήθηκε ένα καλύτερο κόστος τιμωρίας έτσι ώστε να μην απορρίπτονται από το δείγμα σημεία τα οποία είναι καλοί μοχλοί (good leverage ponts) και συμβάλουν στην ακρίβεια της εκτιμήτριας. Το κόστος τιμωρίας πρέπει να είναι τέτοιο ώστε να απορρίπτονται σημεία των οποίων τα τελικά κατάλοιπα είναι μεγαλύτερα από τρεις φορές το τυποποιημένο σφάλμα u > 3 h σ, όπου h είναι το διαγώνιο στοιχείο πίνακα Η (Hat) και η τιμή δηλώνει αν ένα σημείο είναι μοχλός (leverage). Ατυχώς όμως, όταν υπάρχει μία ομάδα από μοχλούς (leverage ponts) στα δεδομένα, συμβαίνει το φαινόμενο της επικάλυψης και το h αποτυγχάνει να υποδείξει όλα τα σημεία που είναι πράγματι μοχλοί. Για να αποφευχθούν τέτοιες συνέπειες στην παραπάνω εκτιμήτρια QMIP, το κόστος τιμωρίας για παρατηρήσεις με μεγάλη επίδραση (hgh leverage ponts) ελαφρύνεται χρησιμοποιώντας τα βάρη w(x ), όπως υπέδειξε ο Hampel (978) για τον εκτιμητή Mallows, προκειμένου να περιορίσει την επίδραση των μοχλών σε μία παλινδρόμηση. Μέχρι τώρα υπάρχουν εναλλακτικές προτάσεις για την ελάφρυνση των δυνατών μοχλών σε μία παλινδρόμηση. Στη νέα προτεινόμενη μέθοδο τιμωρίας τίθεται κατώτερο φράγμα στο κόστος απόρριψης μιας παρατήρησης, έτσι ώστε να παραμένει στο δείγμα όταν το τελικό της κατάλοιπο είναι μικρό, μικρότερο,5σ. Τελικά, ένα κόστος τιμωρίας που επιτρέπει ευκολότερα την απόρριψη των σημείων που είναι κακοί μοχλοί (bad leverage) στην παλινδρόμηση αλλά διατηρεί ς καλούς μοχλούς (good leverage) στο δείγμα είναι το ακόλουθο ( c σ) = max[(.5σ ), (3wσ ) ]. Τη νέα εκτιμήτρια συμβολίζουμε με NQMIP. ε y + ε 4. ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΑ MONE CARLO Για την αξιολόγηση της αποδοτικότητας της ανθεκτικής μας εκτιμήτριας, διεξάγουμε μελέτη προσομοίωσης συγκρίνοντάς την με άλλες γνωστές ανθεκτικές

7 εκτιμήτριες. Για τη διεξαγωγή ενός πειράματος προχωρούμε ως εξής. Δίνονται οι κατανομές των ανεξάρτητων μεταβλητών και οι τιμές των παραμέτρων. Σφάλματα παράγονται σύμφωνα με μια κατανομή των σφαλμάτων και παρατηρήσεις, y,προκύπν ακολουθώντας το μοντέλο παλινδρόμησης y = β0 + βx + βx + u. Θεωρούμε πως το δείγμα μπορεί να περιέχει τρεις τύπους ακραίων τιμών, bad leverage ponts (κακός μοχλός), good leverage ponts (καλός μοχλός) και y- outlers. Επιλέγουμε δείγματα μεγέθους n=50 και βαθμό μοντέλου παλινδρόμησης p= με συντελεστές β =.0, β =-0.80 και σταθερό όρο β 0 =0.0, ενώ προτιμούμε την κατανομή Gauss ως την κατανομή των σφαλμάτων, u ~ N(0, σ=6). Θεωρούμε πέντε διαφορετικούς τύπους ανθεκτικών εκτιμητριών: την LS, την MM, την SS, την QMIP και τη νέα προτεινόμενη εκτιμήτρια NQMIP (New QMIP). Οι υπολογισμοί των ανθεκτικών εκτιμητριών προέκυψαν από τη χρήση στατιστικού πακέ S-plus, έναν κώδικα MINIAB των Coakley και Hettmansperger (993) και τον επιλυτή FortMP/QMIP-Fortran Code. Για να πετύχουμε αξιόπιστα αποτελέσματα στη Monte Carlo προσομοίωση, συνήθως απαιτείται ένας μεγάλος αριθμός επαναλήψεων, π.χ. 000, Hawkns and Olve (999). Παρόλα αυτά, για τις προτεινόμενες εκτιμήτριες QMIP και NQMIP, οι 00 επαναλήψεις ήταν αρκετές για να επιτύχουμε ακρίβεια μικρότερη από 0%, δηλαδή ( β βˆ) / β < 0%, με επίπεδο εμπιστοσύνης λάχιστον 90%. Η απόδοση των ανθεκτικών εκτιμητριών μετρήθηκε από τις εκτιμήσεις της προσομοίωσης σύμφωνα με τα κριτήρια: μέση β, διακύμανση β, νόρμα μεροληψίας β, μέσο τετραγωνικό σφάλμα προσαρμογής. Όλα τα παρακάτω συμπεράσματα προέκυψαν μετά από προσεκτική εξέταση καθεμιάς από τις εκτιμήτριες. εκτιμήτριες ˆ0 β ΠΙΝΑΚΑΣ Αρ. των bad leverage ponts 6, good leverage ponts 4, y-outlers 6, παράμετροι παλινδρόμησης: β 0 = 0.00, β =.0, β = ˆ β ˆ β ˆ0 β ˆ β ˆ β νόρμα μερολ. ˆβ μέσο τετραγ. σφάλμα προσαρ. μέσος χρόνος υπολογ. LS < sec MM < sec QMIP sec SS < sec NQMIP sec

8 εκτιμήτριες ˆ0 β ΠΙΝΑΚΑΣ Αρ. των bad leverage ponts 6, good leverage ponts 0, παράμετροι παλινδρόμησης: β 0 = 0.00, β =.0, β = ˆ β ˆ β ˆ0 β ˆ β ˆ β νόρμα μερολ. ˆβ μέσο τετραγ. σφάλμα προσαρ. μέσος χρόνος υπολογ. LS < sec MM < sec QMIP sec SS < sec NQMIP sec Σς Πίνακες -3 παρουσιάζονται τα αποτελέσματα της προσομοίωσης για τις πέντε εκτιμήτριες όσον αφορά τα κριτήρια που αναφέρθηκαν παραπάνω. Και στις τρεις περιπτώσεις, είναι φανερό ότι η νέα εκτιμήτρια NQMIP πλεονεκτεί έναντι των άλλων ως προς το μέσο τετραγωνικό σφάλμα προσαρμογής, το οποίο είναι και το βασικό από τα παραπάνω κριτήρια ως προς την αποτελεσματικότητα των εκτιμητριών. Πιο συγκεκριμένα, το μέσο τετραγωνικό σφάλμα προσαρμογής, δοθέντων των αληθινών τιμών των συντελεστών της παλινδρόμησης (β 0 = 0.00, β =.0, β = -0.80), είναι 56, οπότε με τη νέα προσέγγιση NQMIP υπάρχει σημαντική βελτίωση της τάξης 0%. Ακολουθεί η προηγούμενη προσέγγιση QMIP, εκτός της περίπτωσης μολύνσεως των δεδομένων μόνο με good leverage ponts Πίνακα 3, στην οποία η εκτιμήτρια ΜΜ υπερισχύει έναντι των υπολοίπων τριών εκτιμητριών. εκτιμήτριες ˆ0 β ΠΙΝΑΚΑΣ 3 Αρ. των bad leverage ponts 0, good leverage ponts 6, παράμετροι παλινδρόμησης: β 0 = 0.00, β =.0, β = ˆ β ˆ β ˆ0 β ˆ β ˆ β νόρμα μερολ. ˆβ μέσο τετραγ. σφάλμα προσαρ. μέσος χρόνος υπολογ. LS < sec MM < sec QMIP sec SS < sec NQMIP sec Σε όλες τις περιπτώσεις πάντως, οι εκτιμήτριες MM και SS βελτιώνουν την εκτιμήτρια LS, όπως αναμενόταν. Η νέα εκτιμήτρια δίνει επιπλέον τις πιο κοντινές μέσες εκτιμήσεις στις πραγματικές τιμές των παραμέτρων όπως επίσης έχει και τις μικρότερες διακυμάνσεις και στις τρεις εκτιμώμενες παραμέτρους. ΠΙΝΑΚΑΣ 4 Αρ. των bad leverage ponts 6, good leverage ponts 4, y-outlers 6, παράμετροι παλινδρόμησης: β 0 = 0.00, β =.0, β = Εκτιμήτριες Αριθμός απόρριψης good leverage ponts QMIP 3 NQMIP

9 Ο Πίνακας 4 δίνει τον αριθμό των good leverage ponts που απορρίφθηκαν με την προηγούμενη και τη νέα προσέγγιση QMIP στις 00 επαναλήψεις, στην περίπτωση της μεγαλύτερης μόλυνσης που πραγματοποιήθηκε στα δεδομένα (3%). Η μείωση αριθμού των σημείων από 3 σε 8 (επί συνόλου 400) δείχνει το μέγεθος της βελτίωσης της εκτιμήτριας, καθώς τα σημεία αυτά συμβάλλουν στην αποτελεσματικότητα της εκτιμήτριας. 5. ΤΕΛΙΚΑ ΣΧΟΛΙΑ - ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ Η προτεινόμενη εκτιμήτρια NQMIP περιορίζει σημαντικά τον αριθμό των απορριπτόμενων good leverage σημείων, για αυτό και παρουσιάζει αξιόλογη αποτελεσματικότητα. Βασιζόμενοι στα παραπάνω κριτήρια και αποτελέσματα, συμπεραίνουμε πως η νέα ΝQMIP εκτιμήτρια συμπεριφέρεται καλά και είναι αποδοτική σε όλα τα είδη ακραίων παρατηρήσεων, και υπάρχει όφελος από την προτεινόμενη προσέγγιση στην ανθεκτική παλινδρόμηση έναντι των γνωστών μεθόδων. Παρόλα αυτά, ο μέσος χρόνος υπολογισμού της επίλυσης προβλήματος ΝQMIP ενός δείγματος μεγέθους n=50 πλησιάζει τα 0 δευτερόλεπτα. Είναι πλέον αποδεκτό ότι στα δείγματα μικρού ή μεσαίου μεγέθους, το όφελος από τη χρήση της προτεινόμενης εκτιμήτριας υπερκαλύπν τον επιπρόσθετο χρόνο υπολογισμού. Η μέθοδος μικτού ακέραιου τετραγωνικού προγραμματισμού προσφέρει μια συστηματική προσέγγιση στη βελτίωση της συμπεριφοράς μικρού ή μεσαίου μεγέθους δειγμάτων στην ανθεκτική παλινδρόμηση. Αφού ο αριθμός των ακραίων παρατηρήσεων σε ένα δείγμα είναι άγνωστος, προτείνουμε τη χρήση της εκτιμήτριας ΝQMIP, η οποία παρέχει την ικανότητα διαχωρισμού των bad και good leverage σημείων, σημαντικό γεγονός στην ανθεκτική παλινδρόμηση. ABSRAC In robust regresson we often have to decde how many are the unusual observatons, whch should be removed from the sample n order to obtan better fttng for the rest of the observatons. Generally, we use the basc prncple of LS, whch s to ft the majorty of the data, dentfyng as outlers those ponts that cause the bggest damage to the robust ft. However, n the LS regresson method the choce of default values for hgh break downpont affects serously the effcency of the estmator. In the proposed approach we ntroduce penalty cost for dscardng an outler, consequently, the best ft for the majorty of the data s obtaned by dscardng only catastrophc observatons. he robust estmaton s obtaned by solvng a convex quadratc mxed nteger programmng problem. Fnally, we conduct a smulaton study to compare other robust estmators wth our approach n terms of ther effcency and robustness. ΑΝΑΦΟΡΕΣ Arthanar,. S. and Dodge, Y. (993), Mathematcal Programmng n Statstcs, John Wley& Sons, Inc. Coakley, C. W. and Hettmansperger,. P. (993), A Bounded Influence, Hgh Breakdown, Effcent Regresson Estmator, J.A.S.Α., 88,

10 Hampel, F. R. (978), Optmally boundng the gross error senstvty and nfluence of poston n factor space, Proceedngs of the ASA Statstcal Computng Secton, ASA, Wasnghton, D.C.,pp Huber, P. J. (98), Robust Statstcs, John Wley, New York. Hawkns, D.M. and Olve, D.J. (999), Improved Feasble Soluton Algorthms for Hgh Breakdown Estmaton, Computatonal Statstcs and Data Analyss, 30, -. Krasker, W. S. and Welsch, R. E. (98), Effcent Bounded-Influence Regresson Estmaton, J.A.S.Α., 77, Mallows, C. L. (975), On Some opcs n Robustness, unpublshed memorandum, Bell elephone Laboratores, Murray Hll, New Jersey. Rousseeuw, P. J. (984), Least Medan of Squares Regresson, J.A.S.Α., 79, Rousseeuw, P. J. and Leroy, A. M. (987), Robust Regresson and Outler Detecton, Wley: New York. Rousseeuw, P. J. and Yoha, V.J. (984), Robust Regresson by Means of S Estmators, n Robust and Nonlnear me Seres Analyses (Lecture Notes n Statstcs No. 6), eds. J. Franke, W. Hardle, and R. D. Martn, New York: Sprnger Verlag pp Smpson, D.J., Ruppert, D. and Carroll, R.J. (99), On One Step GM Estmates and Stablty of Inferences n Lnear Regresson, J.A.S.Α., 87, Yoha, V.J. (987), Hgh Breakdown-pont and Hgh Effcency Robust Estmates for Regresson, Annals of Statstcs 5, Yoha, V.J. and Zamar, R.Z. (988), Hgh Breakdown-pont Estmates of Regresson by Means of Mnmzaton of an Effcent Scale, J.A.S.Α., 83, Zoutas, G. and Avramds, A. (005), Deletng Outlers n Robust Regresson wth Mxed Integer Programmng, Acta Mathematcae Applcatae Snca, Englsh Seres,,

ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ι Συμπληρωματικές Σημειώσεις Δημήτριος Παντελής

ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ι Συμπληρωματικές Σημειώσεις Δημήτριος Παντελής ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ι Συμπληρωματικές Σημειώσεις Δημήτριος Παντελής ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΕΣ ΕΚΤΙΜΗΣΕΙΣ Οι συναρτήσεις πιθανότητας ή πυκνότητας πιθανότητας των διαφόρων τυχαίων μεταβλητών χαρακτηρίζονται από κάποιες

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ II ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ 1. ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ ΚΑΤΑ ΕΝΑ ΚΡΙΤΗΡΙΟ 2. ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ ΚΑΤΑ ΔΥΟ ΚΡΙΤΗΡΙΑ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ II ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ 1. ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ ΚΑΤΑ ΕΝΑ ΚΡΙΤΗΡΙΟ 2. ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ ΚΑΤΑ ΔΥΟ ΚΡΙΤΗΡΙΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ II ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΕΣ 1. ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ ΚΑΤΑ ΕΝΑ ΚΡΙΤΗΡΙΟ. ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ ΚΑΤΑ ΔΥΟ ΚΡΙΤΗΡΙΑ 1. ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ ΚΑΤΑ ΕΝΑ ΚΡΙΤΗΡΙΟ (One-Way Analyss of Varance) Η ανάλυση

Διαβάστε περισσότερα

Q- ΔΙΑΓΡΑΜΜΑΤΑ ΓΙΑ ΤΗΝ ΠΑΡΑΜΕΤΡΟ p ΤΗΣ ΔΙΩΝΥΜΙΚΗΣ ΚΑΤΑΝΟΜΗΣ

Q- ΔΙΑΓΡΑΜΜΑΤΑ ΓΙΑ ΤΗΝ ΠΑΡΑΜΕΤΡΟ p ΤΗΣ ΔΙΩΝΥΜΙΚΗΣ ΚΑΤΑΝΟΜΗΣ Ελληνικό Στατιστικό Ινστιτούτο Πρακτικά 20 ου Πανελληνίου Συνεδρίου Στατιστικής (2007), σελ 249-258 Q- ΔΙΑΓΡΑΜΜΑΤΑ ΓΙΑ ΤΗΝ ΠΑΡΑΜΕΤΡΟ p ΤΗΣ ΔΙΩΝΥΜΙΚΗΣ ΚΑΤΑΝΟΜΗΣ Μανώλης Μανατάκης Τμήμα Μηχανολόγων και Αεροναυπηγών

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ Πρόβλημα απουσιών στ)

ΑΣΚΗΣΕΙΣ Πρόβλημα απουσιών στ) ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Ο διευθυντής προσωπικού μιας μεγάλης εταιρείας πιστεύει ότι ίσως υφίσταται κάποια σχέση μεταξύ των ημερών απουσίας και της ηλικίας των εργαζομένων. Με βάση την υπόθεση αυτή ενδιαφέρεται να κατασκευάσει

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΕΙΔΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ. Κεφάλαιο 16. Απλή Γραμμική Παλινδρόμηση και Συσχέτιση

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΕΙΔΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ. Κεφάλαιο 16. Απλή Γραμμική Παλινδρόμηση και Συσχέτιση ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΔΥΤΙΚΗΣ ΕΛΛΑΔΑΣ ΤΜΗΜΑ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΠΑΤΡΑΣ Εργαστήριο Λήψης Αποφάσεων & Επιχειρησιακού Προγραμματισμού Καθηγητής Ι. Μητρόπουλος ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΕΙΔΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ

Διαβάστε περισσότερα

Συσχέτιση μεταξύ δύο συνόλων δεδομένων

Συσχέτιση μεταξύ δύο συνόλων δεδομένων Διαγράμματα διασποράς (scattergrams) Συσχέτιση μεταξύ δύο συνόλων δεδομένων Η οπτική απεικόνιση δύο συνόλων δεδομένων μπορεί να αποκαλύψει με παραστατικό τρόπο πιθανές τάσεις και μεταξύ τους συσχετίσεις,

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΜΕΤΑΦΟΡΑΣ

ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΜΕΤΑΦΟΡΑΣ (Transportation Problems) Βασίλης Κώστογλου E-mail: vkostogl@it.teithe.gr URL: www.it.teithe.gr/~vkostogl Περιγραφή Ένα πρόβλημα μεταφοράς ασχολείται με το πρόβλημα του προσδιορισμού του καλύτερου δυνατού

Διαβάστε περισσότερα

Μάθημα Αστικής Γεωγραφίας

Μάθημα Αστικής Γεωγραφίας Μάθημα Αστικής Γεωγραφίας Διδακτικό Έτος 2015-2016 Παραδόσεις Διδακτικής Ενότητας: Πληθυσμιακή πρόβλεψη Δούκισσας Λεωνίδας, Στατιστικός, Υποψ. Διδάκτορας, Τμήμα Γεωγραφίας, Χαροκόπειο Πανεπιστήμιο Σελίδα

Διαβάστε περισσότερα

2. ΧΡΗΣΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΩΝ ΠΑΚΕΤΩΝ ΣΤΗ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗ

2. ΧΡΗΣΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΩΝ ΠΑΚΕΤΩΝ ΣΤΗ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗ 2. ΧΡΗΣΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΩΝ ΠΑΚΕΤΩΝ ΣΤΗ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗ Η χρησιμοποίηση των τεχνικών της παλινδρόμησης για την επίλυση πρακτικών προβλημάτων έχει διευκολύνει εξαιρετικά από την χρήση διαφόρων στατιστικών

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΒΛΕΨΗ ΑΦΕΡΕΓΓΥΟΤΗΤΑΣ Η ΝΟΡΜΑ ΤΟΥ ΑΣΦΑΛΙΣΤΙΚΟΥ ΚΛΑΔΟΥ ΓΙΑ ΥΓΙΕΙΣ ΕΤΑΙΡΙΕΣ ΣΤΟ ΠΛΑΙΣΙΟ ΤΗΣ ΦΕΡΕΓΓΥΟΤΗΤΑΣ ΙΙ

ΠΡΟΒΛΕΨΗ ΑΦΕΡΕΓΓΥΟΤΗΤΑΣ Η ΝΟΡΜΑ ΤΟΥ ΑΣΦΑΛΙΣΤΙΚΟΥ ΚΛΑΔΟΥ ΓΙΑ ΥΓΙΕΙΣ ΕΤΑΙΡΙΕΣ ΣΤΟ ΠΛΑΙΣΙΟ ΤΗΣ ΦΕΡΕΓΓΥΟΤΗΤΑΣ ΙΙ Ελληνικό Στατιστικό Ινστιτούτο Πρακτικά 20 ου Πανελληνίου Συνεδρίου Στατιστικής (2007), σελ 355-362 ΠΡΟΒΛΕΨΗ ΑΦΕΡΕΓΓΥΟΤΗΤΑΣ Η ΝΟΡΜΑ ΤΟΥ ΑΣΦΑΛΙΣΤΙΚΟΥ ΚΛΑΔΟΥ ΓΙΑ ΥΓΙΕΙΣ ΕΤΑΙΡΙΕΣ ΣΤΟ ΠΛΑΙΣΙΟ ΤΗΣ ΦΕΡΕΓΓΥΟΤΗΤΑΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΚΟΛΛΙΝΤΖΑ. Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής. Συντάκτης: Δημήτριος Κρέτσης

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΚΟΛΛΙΝΤΖΑ. Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής. Συντάκτης: Δημήτριος Κρέτσης ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΚΟΛΛΙΝΤΖΑ Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής Συντάκτης: Δημήτριος Κρέτσης 1. Ο κλάδος της περιγραφικής Στατιστικής: α. Ασχολείται με την επεξεργασία των δεδομένων και την ανάλυση

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΑ ΕΜΠΙΣΤΟΣΥΝΗΣ ΓΙΑ AΝΑΛΟΓΙΕΣ

ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΑ ΕΜΠΙΣΤΟΣΥΝΗΣ ΓΙΑ AΝΑΛΟΓΙΕΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΑ ΕΜΠΙΣΤΟΣΥΝΗΣ ΓΙΑ AΝΑΛΟΓΙΕΣ Α. Περίπτωση Ενός Πληθυσμού Έστω ότι μελετάμε μια ακολουθία ανεξαρτήτων δοκιμών κάθε μία από τις οποίες οδηγεί είτε σε επιτυχία είτε σε αποτυχία με σταθερή

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΕΡΕΥΝΗΣΗ ΜΕΘΟΔΩΝ ΠΡΟΣΔΙΟΡΙΣΜΟΥ ΚΙΝΗΤΙΚΩΝ ΠΑΡΑΜΕΤΡΩΝ ΘΕΡΜΙΚΗΣ ΑΠΕΝΕΡΓΟΠΟΙΗΣΗΣ

ΔΙΕΡΕΥΝΗΣΗ ΜΕΘΟΔΩΝ ΠΡΟΣΔΙΟΡΙΣΜΟΥ ΚΙΝΗΤΙΚΩΝ ΠΑΡΑΜΕΤΡΩΝ ΘΕΡΜΙΚΗΣ ΑΠΕΝΕΡΓΟΠΟΙΗΣΗΣ ΔΙΕΡΕΥΝΗΣΗ ΜΕΘΟΔΩΝ ΠΡΟΣΔΙΟΡΙΣΜΟΥ ΚΙΝΗΤΙΚΩΝ ΠΑΡΑΜΕΤΡΩΝ ΘΕΡΜΙΚΗΣ ΑΠΕΝΕΡΓΟΠΟΙΗΣΗΣ Μαρία Γιαννακούρου ΤΕΙ Αθηνών, Σχολή Τεχνολογίας Τροφίμων και Διατροφής, Τμήμα Τεχνολογίας Τροφίμων Νικόλαος Γ. Στοφόρος Γεωπονικό

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΣΧΕΤΙΣΗ και ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗ

ΣΥΣΧΕΤΙΣΗ και ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗ Αλεξάνδρειο Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Θεσσαλονίκης Τμήμα Πληροφορικής Εργαστήριο «Θεωρία Πιθανοτήτων και Στατιστική» ΣΥΣΧΕΤΙΣΗ και ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗ Περιεχόμενα 1. Συσχέτιση μεταξύ δύο ποσοτικών

Διαβάστε περισσότερα

Ενδεικτικές ασκήσεις ΔΙΠ 50

Ενδεικτικές ασκήσεις ΔΙΠ 50 Ενδεικτικές ασκήσεις ΔΙΠ 50 Άσκηση 1 (άσκηση 1 1 ης εργασίας 2009-10) Σε ένα ράφι μιας βιβλιοθήκης τοποθετούνται με τυχαία σειρά 11 διαφορετικά βιβλία τεσσάρων θεματικών ενοτήτων. Πιο συγκεκριμένα, υπάρχουν

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΛΥΣΗ ΤΗΣ ΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ (ΑΝOVA)

ΑΝΑΛΥΣΗ ΤΗΣ ΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ (ΑΝOVA) ΑΝΑΛΥΣΗ ΤΗΣ ΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ (ΑΝOVA). Εισαγωγή Η ανάλυση της διακύμανσης (ANalysis Of VAriance ANOVA) είναι μια στατιστική μεθόδος με την οποία η μεταβλητότητα που υπάρχει σ ένα σύνολο δεδομένων διασπάται στις

Διαβάστε περισσότερα

Δομές Δεδομένων (Data Structures)

Δομές Δεδομένων (Data Structures) Δομές Δεδομένων (Data Structures) Ανάλυση - Απόδοση Αλγορίθμων Έλεγχος Αλγορίθμων. Απόδοση Προγραμμάτων. Χωρική/Χρονική Πολυπλοκότητα. Ασυμπτωτικός Συμβολισμός. Παραδείγματα. Αλγόριθμοι: Βασικές Έννοιες

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΤΑ-ΑΝΑΛΥΣΗ (Meta-Analysis)

ΜΕΤΑ-ΑΝΑΛΥΣΗ (Meta-Analysis) ΚΕΦΑΛΑΙΟ 23 ΜΕΤΑ-ΑΝΑΛΥΣΗ (Meta-Analysis) ΕΙΣΑΓΩΓΗ Έχοντας παρουσιάσει τις βασικές έννοιες των ελέγχων υποθέσεων, θα ήταν, ίσως, χρήσιμο να αναφερθούμε σε μια άλλη περιοχή στατιστικής συμπερασματολογίας

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΔΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ (SPSS)

ΕΙΔΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ (SPSS) ΕΙΔΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ (SPSS) Έλεγχος Υποθέσεων για τους Μέσους - Εξαρτημένα Δείγματα (Paired samples t-test) Το κριτήριο Paired samples t-test χρησιμοποιείται όταν θέλουμε να συγκρίνουμε

Διαβάστε περισσότερα

Στοχαστικότητα: μελέτη, μοντελοποίηση και πρόβλεψη φυσικών φαινομένων

Στοχαστικότητα: μελέτη, μοντελοποίηση και πρόβλεψη φυσικών φαινομένων Στοχαστικότητα: μελέτη, μοντελοποίηση και πρόβλεψη φυσικών φαινομένων Δρ. Τακβόρ Σουκισιάν Κύριος Ερευνητής ΕΛΚΕΘΕ Forecasting is very dangerous, especially about the future --- Samuel Goldwyn 1 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ

Διαβάστε περισσότερα

Υπολογιστικές Μέθοδοι στις Κατασκευές

Υπολογιστικές Μέθοδοι στις Κατασκευές Γενικά Για Τη Βελτιστοποίηση Η βελτιστοποίηση µπορεί να χωριστεί σε δύο µεγάλες κατηγορίες: α) την Βελτιστοποίηση Τοπολογίας (Topological Optimization) και β) την Βελτιστοποίηση Σχεδίασης (Design Optimization).

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΟ ΕΤΟΣ 3-4 ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ Βασικά Εργαλεία και Μέθοδοι για τον Έλεγχο της Ποιότητας [ΔΙΠ 5] 3η ΓΡΑΠΤΗ ΕΡΓΑΣΙΑ Προσοχή: Οι απαντήσεις των ασκήσεων πρέπει να φθάσουν

Διαβάστε περισσότερα

Μπεϋζιανή Στατιστική και MCMC Μέρος 2 ο : MCMC

Μπεϋζιανή Στατιστική και MCMC Μέρος 2 ο : MCMC Μπεϋζιανή Στατιστική και MCMC Μέρος 2 ο : MCMC Περιεχόμενα Μαθήματος Εισαγωγή στο Πρόβλημα. Monte Carlo Εκτιμητές. Προσομοίωση. Αλυσίδες Markov. Αλγόριθμοι MCMC (Metropolis Hastings & Gibbs Sampling).

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΡΓΑΣΙΑ 6 η Ημερομηνία Αποστολής στο Φοιτητή: 23 Απριλίου 2012

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΡΓΑΣΙΑ 6 η Ημερομηνία Αποστολής στο Φοιτητή: 23 Απριλίου 2012 ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΡΓΑΣΙΑ 6 η Ημερομηνία Αποστολής στο Φοιτητή: Απριλίου 0 Ημερομηνία παράδοσης της Εργασίας: 8 Μαΐου 0 Πριν από τη

Διαβάστε περισσότερα

ΔΗΜΟΚΡΙΤΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΡΑΚΗΣ Τμήμα Επιστήμης Φυσικής Αγωγής και Αθλητισμού Πρόγραμμα Διδακτορικών Σπουδών ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΚΟ ΕΝΤΥΠΟ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ

ΔΗΜΟΚΡΙΤΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΡΑΚΗΣ Τμήμα Επιστήμης Φυσικής Αγωγής και Αθλητισμού Πρόγραμμα Διδακτορικών Σπουδών ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΚΟ ΕΝΤΥΠΟ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ ΔΗΜΟΚΡΙΤΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΡΑΚΗΣ Τμήμα Επιστήμης Φυσικής Αγωγής και Αθλητισμού Πρόγραμμα Διδακτορικών Σπουδών ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΚΟ ΕΝΤΥΠΟ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 1. ΤΙΤΛΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ: Προχωρημένη Στατιστική 2. ΠΕΡΙΓΡΑΜΜΑ ΕΙΣΗΓΗΣΕΩΝ

Διαβάστε περισσότερα

Γενικά Μαθηματικά (Φυλλάδιο 1 ο )

Γενικά Μαθηματικά (Φυλλάδιο 1 ο ) ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ Γενικά Μαθηματικά (Φυλλάδιο 1 ο ) Επιμέλεια Φυλλαδίου : Δρ. Σ. Σκλάβος Περιλαμβάνει: ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΜΙΑΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΜΙΑΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

3.4.2 Ο Συντελεστής Συσχέτισης τ Του Kendall

3.4.2 Ο Συντελεστής Συσχέτισης τ Του Kendall 3..2 Ο Συντελεστής Συσχέτισης τ Του Kendall Ο συντελεστής συχέτισης τ του Kendall μοιάζει με τον συντελεστή ρ του Spearman ως προς το ότι υπολογίζεται με βάση την τάξη μεγέθους των παρατηρήσεων και όχι

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΕΓΧΟΙ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ ΓΙΑ ΤΗΝ ΣΥΓΚΡΙΣΗ ΜΕΣΩΝ ΤΙΜΩΝ ΚΑΙ ΑΝΑΛΟΓΙΩΝ ΔΥΟ

ΕΛΕΓΧΟΙ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ ΓΙΑ ΤΗΝ ΣΥΓΚΡΙΣΗ ΜΕΣΩΝ ΤΙΜΩΝ ΚΑΙ ΑΝΑΛΟΓΙΩΝ ΔΥΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 19 ΕΛΕΓΧΟΙ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ ΓΙΑ ΤΗΝ ΣΥΓΚΡΙΣΗ ΜΕΣΩΝ ΤΙΜΩΝ ΚΑΙ ΑΝΑΛΟΓΙΩΝ ΔΥΟ ΚΑΝΟΝΙΚΩΝ ΠΛΗΘΥΣΜΩΝ Όταν ενδιαφερόμαστε να συγκρίνουμε δύο πληθυσμούς, η φυσιολογική προσέγγιση είναι να προσπαθήσουμε να συγκρίνουμε

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ I ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ I ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗ ΚΕΦΑΛΑΙΟ I ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗ ΕΝΟΤΗΤΕΣ 1. ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΜΟΝΤΕΛΑ ΚΑΙ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗ. ΧΡΗΣΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΩΝ ΠΑΚΕΤΩΝ ΣΤΗ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗ 3. ΣΕΙΡΙΑΚΟΣ ΣΥΝΤΕΛΕΣΤΗΣ ΣΥΣΧΕΤΙΣΗΣ 4. ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗ ΤΑΞΗΣ ΜΕΓΕΘΟΥΣ

Διαβάστε περισσότερα

Case 08: Επιλογή Διαφημιστικών Μέσων Ι ΣΕΝΑΡΙΟ (1)

Case 08: Επιλογή Διαφημιστικών Μέσων Ι ΣΕΝΑΡΙΟ (1) Case 08: Επιλογή Διαφημιστικών Μέσων Ι ΣΕΝΑΡΙΟ (1) Το πρόβλημα της επιλογής των μέσων διαφήμισης (??) το αντιμετωπίζουν τόσο οι επιχειρήσεις όσο και οι διαφημιστικές εταιρείες στην προσπάθειά τους ν' αναπτύξουν

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΕΥΝΑ ΑΓΟΡΑΣ ΣΕ ΞΕΝΟΔΟΧΕΙΑ ΤΗΣ ΚΡΗΤΗΣ ΠΤΥΧΙΑΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΑΠΌ ΣΑΛΟΥΣΤΡΟΥ ΑΝΤΙΓΟΝΗ ΣΥΓΛΕΤΟΥ ΕΛΕΝΗ

ΕΡΕΥΝΑ ΑΓΟΡΑΣ ΣΕ ΞΕΝΟΔΟΧΕΙΑ ΤΗΣ ΚΡΗΤΗΣ ΠΤΥΧΙΑΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΑΠΌ ΣΑΛΟΥΣΤΡΟΥ ΑΝΤΙΓΟΝΗ ΣΥΓΛΕΤΟΥ ΕΛΕΝΗ ΕΡΕΥΝΑ ΑΓΟΡΑΣ ΣΕ ΞΕΝΟΔΟΧΕΙΑ ΤΗΣ ΚΡΗΤΗΣ ΠΤΥΧΙΑΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΑΠΌ ΣΑΛΟΥΣΤΡΟΥ ΑΝΤΙΓΟΝΗ ΣΥΓΛΕΤΟΥ ΕΛΕΝΗ ΑΝΑΓΚΗ ΔΗΜΙΟΥΡΓΙΑΣ ΤΗΣ ΕΡΕΥΝΑΣ Μελέτη ποιοτικών χαρακτηριστικών ξενοδοχείων Συμβουλευτικές υπηρεσίες από εσωτερικούς

Διαβάστε περισσότερα

Μοντέλο πρόβλεψης αγοραίων αξιών ακινήτων βάσει των μεθόδων OLS και GWR με χρήση GIS Η περίπτωση του Δήμου Θεσσαλονίκης

Μοντέλο πρόβλεψης αγοραίων αξιών ακινήτων βάσει των μεθόδων OLS και GWR με χρήση GIS Η περίπτωση του Δήμου Θεσσαλονίκης ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΙΡΑΙΩΣ ΤΜΗΜΑ ΟΡΓΑΝΩΣΗΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗ ΔΙΟΙΚΗΣΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΓΙΑ ΣΤΕΛΕΧΗ (EMBA) Διατριβή μεταπτυχιακού Μοντέλο πρόβλεψης αγοραίων αξιών ακινήτων

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 1 o Εξισώσεις - Ανισώσεις

Κεφάλαιο 1 o Εξισώσεις - Ανισώσεις 2 ΕΡΩΤΗΣΕΙΙΣ ΘΕΩΡΙΙΑΣ ΑΠΟ ΤΗΝ ΥΛΗ ΤΗΣ Β ΤΑΞΗΣ ΜΕΡΟΣ Α -- ΑΛΓΕΒΡΑ Κεφάλαιο 1 o Εξισώσεις - Ανισώσεις Α. 1 1 1. Τι ονομάζεται Αριθμητική και τι Αλγεβρική παράσταση; Ονομάζεται Αριθμητική παράσταση μια παράσταση

Διαβάστε περισσότερα

Πίσω στα βασικά: Βασικές αρχές στατιστικής για κοινωνιολογικές έρευνες

Πίσω στα βασικά: Βασικές αρχές στατιστικής για κοινωνιολογικές έρευνες Σχετικές πληροφορίες: http://dlib.ionio.gr/~spver/seminars/statistics/ Πίσω στα βασικά: Βασικές αρχές στατιστικής για κοινωνιολογικές έρευνες Σπύρος Βερονίκης Τμήμα Αρχειονομίας - Βιβλιοθηκονομίας Θεματικές

Διαβάστε περισσότερα

Μέθοδοι δειγματοληψίας, καθορισμός μεγέθους δείγματος, τύποι σφαλμάτων, κριτήρια εισαγωγής και αποκλεισμού

Μέθοδοι δειγματοληψίας, καθορισμός μεγέθους δείγματος, τύποι σφαλμάτων, κριτήρια εισαγωγής και αποκλεισμού Μέθοδοι δειγματοληψίας, καθορισμός μεγέθους δείγματος, τύποι σφαλμάτων, κριτήρια εισαγωγής και αποκλεισμού Γεσθημανή Μηντζιώρη MD, MSc, PhD Μονάδα Ενδοκρινολογίας της Αναπαραγωγής, Α Μαιευτική και Γυναικολογική

Διαβάστε περισσότερα

... (additive collective value function) n 1. b i (1) 1 (2) + σ

... (additive collective value function) n 1. b i (1) 1 (2) + σ 1. Εισαγωγή Το πρόγραµµα επιδότησης πρακτικής άσκησης ΕΠΕΑΕΚ ΙΙ στοχεύει στη γνωριµία και απόκτηση ουσιαστικής επαφής των φοιτητών µε τον εργασιακό χώρο, ώστε να επιτυγχάνεται µε τον καλύτερο δυνατό τρόπο

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΤΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ. Κεφάλαιο 4 Αριθμητικές Μέθοδοι Περιγραφικής Στατιστικής

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΤΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ. Κεφάλαιο 4 Αριθμητικές Μέθοδοι Περιγραφικής Στατιστικής ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΔΥΤΙΚΗΣ ΕΛΛΑΔΑΣ ΤΜΗΜΑ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΠΑΤΡΑΣ Εργαστήριο Λήψης Αποφάσεων & Επιχειρησιακού Προγραμματισμού Καθηγητής Ι. Μητρόπουλος ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΤΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ

Διαβάστε περισσότερα

Ολοκλήρωση - Μέθοδος Monte Carlo

Ολοκλήρωση - Μέθοδος Monte Carlo ΦΥΣ 145 - Διαλ.09 Ολοκλήρωση - Μέθοδος Monte Carlo Χρησιμοποίηση τυχαίων αριθμών για επίλυση ολοκληρωμάτων Η μέθοδος Monte Carlo δίνει μια διαφορετική προσέγγιση για την επίλυση ενός ολοκληρώμτατος Τυχαίοι

Διαβάστε περισσότερα

Ελλιπή δεδομένα. Εδώ έχουμε 1275. Στον πίνακα που ακολουθεί δίνεται η κατά ηλικία κατανομή 1275 ατόμων

Ελλιπή δεδομένα. Εδώ έχουμε 1275. Στον πίνακα που ακολουθεί δίνεται η κατά ηλικία κατανομή 1275 ατόμων Ελλιπή δεδομένα Στον πίνακα που ακολουθεί δίνεται η κατά ηλικία κατανομή 75 ατόμων Εδώ έχουμε δ 75,0 75 5 Ηλικία Συχνότητες f 5-4 70 5-34 50 35-44 30 45-54 465 55-64 335 Δεν δήλωσαν 5 Σύνολο 75 Μπορεί

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗ

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗ Δημοκρίτειο Πανεπιστήμιο Θράκης Τμήμα Δασολογίας και Διαχείρισης Περιβάλλοντος και Φυσικών Πόρων 4 0 εξάμηνο ΚΙΤΙΚΙΔΟΥ ΚΥΡΙΑΚΗ ΕΙΣΑΓΩΓΗ Σχέσεις εξάρτησης μεταξύ των μεταβλητών

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ του Παν. Λ. Θεοδωρόπουλου 0

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ του Παν. Λ. Θεοδωρόπουλου 0 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ του Παν. Λ. Θεοδωρόπουλου 0 Η Θεωρία Πιθανοτήτων είναι ένας σχετικά νέος κλάδος των Μαθηματικών, ο οποίος παρουσιάζει πολλά ιδιαίτερα χαρακτηριστικά στοιχεία. Επειδή η ιδιαιτερότητα

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 5: Στρατηγική χωροταξικής διάταξης

Κεφάλαιο 5: Στρατηγική χωροταξικής διάταξης K.5.1 Γραμμή Παραγωγής Μια γραμμή παραγωγής θεωρείται μια διάταξη με επίκεντρο το προϊόν, όπου μια σειρά από σταθμούς εργασίας μπαίνουν σε σειρά με στόχο ο κάθε ένας από αυτούς να κάνει μια ή περισσότερες

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο ΤΥΧΑΙΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΛΕΓΧΟΣ ΤΥΧΑΙΟΤΗΤΑΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο ΤΥΧΑΙΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΛΕΓΧΟΣ ΤΥΧΑΙΟΤΗΤΑΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο ΤΥΧΑΙΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΛΕΓΧΟΣ ΤΥΧΑΙΟΤΗΤΑΣ 3.1 Τυχαίοι αριθμοί Στην προσομοίωση διακριτών γεγονότων γίνεται χρήση ακολουθίας τυχαίων αριθμών στις περιπτώσεις που απαιτείται η δημιουργία στοχαστικών

Διαβάστε περισσότερα

Η Κανονική Κατανομή κανονική κατανομή (normal distribution) Κεντρικό Οριακό Θεώρημα (Central Limit Theorem) συνδέει οποιαδήποτε άλλη κατανομή

Η Κανονική Κατανομή κανονική κατανομή (normal distribution) Κεντρικό Οριακό Θεώρημα (Central Limit Theorem) συνδέει οποιαδήποτε άλλη κατανομή Η Κανονική Κατανομή H κανονική κατανομή (ormal dstrbuto) θεωρείται η σπουδαιότερη κατανομή της Θεωρίας Πιθανοτήτων και της Στατιστικής. Οι λόγοι που εξηγούν την εξέχουσα θέση της, είναι βασικά δύο: ) Πολλές

Διαβάστε περισσότερα

ΟΚΙΜΑΣΙΕΣ χ 2 (CHI-SQUARE)

ΟΚΙΜΑΣΙΕΣ χ 2 (CHI-SQUARE) ΔΟΚΙΜΑΣΙΕΣ χ (CI-SQUARE) ΟΚΙΜΑΣΙΕΣ χ (CI-SQUARE). Εισαγωγή Οι στατιστικές δοκιμασίες που μελετήσαμε μέχρι τώρα ονομάζονται παραμετρικές (paramtrc) διότι χαρακτηρίζονται από υποθέσεις σχετικές είτε για

Διαβάστε περισσότερα

Τεχνικές Ανάλυσης Διοικητικών Αποφάσεων

Τεχνικές Ανάλυσης Διοικητικών Αποφάσεων ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΙΡΑΙΩΣ ΤΜΗΜΑ ΟΡΓΑΝΩΣΗΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ Τεχνικές Ανάλυσης Διοικητικών Αποφάσεων ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ Δ.Α.Π. Ν.Δ.Φ.Κ. ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟΥ ΠΕΙΡΑΙΩΣ Τμηματικό e-mal : dap_ode@yahoo.gr www.dap-pape.gr

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΣ 114 - Διαλ.01 1 Θεωρία - Πείραμα Μετρήσεις - Σφάλματα

ΦΥΣ 114 - Διαλ.01 1 Θεωρία - Πείραμα Μετρήσεις - Σφάλματα ΦΥΣ 114 - Διαλ.01 1 Θεωρία - Πείραμα Μετρήσεις - Σφάλματα q Θεωρία: Η απάντηση που ζητάτε είναι αποτέλεσμα μαθηματικών πράξεων και εφαρμογή τύπων. Το αποτέλεσμα είναι συγκεκριμένο q Πείραμα: Στηρίζεται

Διαβάστε περισσότερα

ΣΧΕΔΙΑ ΣΥΝΕΧΟΥΣ ΔΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑΣ ΓΙΑ ΤΟΝ ΕΛΕΓΧΟ ΠΟΙΟΤΗΤΑΣ ΣΤΗΝ ΠΑΡΑΓΩΓΗ

ΣΧΕΔΙΑ ΣΥΝΕΧΟΥΣ ΔΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑΣ ΓΙΑ ΤΟΝ ΕΛΕΓΧΟ ΠΟΙΟΤΗΤΑΣ ΣΤΗΝ ΠΑΡΑΓΩΓΗ Ελληνικό Στατιστικό Ινστιτούτο Πρακτικά 8 ου Πανελληνίου Συνεδρίου Στατιστικής (2005) σελ.383-390 ΣΧΕΔΙΑ ΣΥΝΕΧΟΥΣ ΔΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑΣ ΓΙΑ ΤΟΝ ΕΛΕΓΧΟ ΠΟΙΟΤΗΤΑΣ ΣΤΗΝ ΠΑΡΑΓΩΓΗ Νίκος Φαρμάκης, Μαυρουδής Ελευθερίου

Διαβάστε περισσότερα

Ανάπτυξη και δηµιουργία µοντέλων προσοµοίωσης ροής και µεταφοράς µάζας υπογείων υδάτων σε καρστικούς υδροφορείς µε χρήση θεωρίας νευρωνικών δικτύων

Ανάπτυξη και δηµιουργία µοντέλων προσοµοίωσης ροής και µεταφοράς µάζας υπογείων υδάτων σε καρστικούς υδροφορείς µε χρήση θεωρίας νευρωνικών δικτύων Ανάπτυξη και δηµιουργία µοντέλων προσοµοίωσης ροής και µεταφοράς µάζας υπογείων υδάτων σε καρστικούς υδροφορείς µε χρήση θεωρίας νευρωνικών δικτύων Περίληψη ιδακτορικής ιατριβής Τριχακης Ιωάννης Εργαστήριο

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΕΓΧΟΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΩΝ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ. Επαγωγική στατιστική (Στατιστική Συμπερασματολογία) Εκτιμητική Έλεγχος Στατιστικών Υποθέσεων

ΕΛΕΓΧΟΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΩΝ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ. Επαγωγική στατιστική (Στατιστική Συμπερασματολογία) Εκτιμητική Έλεγχος Στατιστικών Υποθέσεων ΕΛΕΓΧΟΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΩΝ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ Επαγωγική στατιστική (Στατιστική Συμπερασματολογία) Εκτιμητική Έλεγχος Στατιστικών Υποθέσεων α) Σημειοεκτιμητική β) Εκτιμήσεις Διαστήματος ΕΛΕΓΧΟΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΩΝ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ Παράδειγμα

Διαβάστε περισσότερα

Μ Ε Ρ Ο Σ B. Στατιστική Συμπερασματολογία

Μ Ε Ρ Ο Σ B. Στατιστική Συμπερασματολογία Μ Ε Ρ Ο Σ B Στατιστική Συμπερασματολογία ΚΕΦΑΛΑΙΟ EKTIMHTIKH: ΣΗΜΕΙΑΚΗ ΕΚΤΙΜΗΣΗ ΤΟ ΠΡΟΒΛΗΜΑ ΤΗΣ ΕΚΤΙΜΗΤΙΚΗΣ Σε πολλές περιπτώσεις στην στατιστική, συναντώνται προβλήματα για τα οποία απαιτείται να εκτιμηθεί

Διαβάστε περισσότερα

ΣΕΜΙΝΑΡΙΟ:Στατιστική περιγραφική εφαρμοσμένη στην ψυχοπαιδαγωγική Πούλιου Χριστίνα(5543) Κορρέ Πελαγία(5480) Παιδαγωγικό Τμήμα Δημοτικής Εκπαίδευσης

ΣΕΜΙΝΑΡΙΟ:Στατιστική περιγραφική εφαρμοσμένη στην ψυχοπαιδαγωγική Πούλιου Χριστίνα(5543) Κορρέ Πελαγία(5480) Παιδαγωγικό Τμήμα Δημοτικής Εκπαίδευσης ΣΕΜΙΝΑΡΙΟ:Στατιστική περιγραφική εφαρμοσμένη στην ψυχοπαιδαγωγική Πούλιου Χριστίνα(55) Κορρέ Πελαγία(580) Παιδαγωγικό Τμήμα Δημοτικής Εκπαίδευσης Εαρινό εξάμηνο 0 Ρέθυμνο, 5/6/0 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ:. Εισαγωγή.

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΣΧΟΛΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΣΧΟΛΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΣΧΟΛΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΔΙΑΤΜΗΜΑΤΙΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ «ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΚΑΙ ΤΩΝ ΑΠΟΦΑΣΕΩΝ» ΔΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ Θέμα: «Γραμμικά μοντέλα παλινδρόμησης

Διαβάστε περισσότερα

Πεπερασμένες Διαφορές.

Πεπερασμένες Διαφορές. Κεφάλαιο 1 Πεπερασμένες Διαφορές. 1.1 Προσέγγιση παραγώγων. 1.1.1 Πρώτη παράγωγος. Από τον ορισμό της παραγώγου για συναρτήσεις μιας μεταβλητής γνωρίζουμε ότι η παράγωγος μιας συνάρτησης f στο σημείο x

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑ 5 Ο ΠΟΣΟΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟ ΟΙ ΣΤΗΝ ΛΗΨΗ ΑΠΟΦΑΣΕΩΝ (εργαστήριο) ΑΚΑ ΗΜΑΙΚΟ ΕΤΟΣ 2012-2013-ΕΑΡΙΝΟ ΕΞΑΜΗΝΟ

ΜΑΘΗΜΑ 5 Ο ΠΟΣΟΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟ ΟΙ ΣΤΗΝ ΛΗΨΗ ΑΠΟΦΑΣΕΩΝ (εργαστήριο) ΑΚΑ ΗΜΑΙΚΟ ΕΤΟΣ 2012-2013-ΕΑΡΙΝΟ ΕΞΑΜΗΝΟ ΜΑΘΗΜΑ 5 Ο ΠΟΣΟΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟ ΟΙ ΣΤΗΝ ΛΗΨΗ ΑΠΟΦΑΣΕΩΝ (εργαστήριο) ΑΚΑ ΗΜΑΙΚΟ ΕΤΟΣ 2012-2013-ΕΑΡΙΝΟ ΕΞΑΜΗΝΟ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΥΣΑΑΝΑΛΥΣΗ Ε ΟΜΕΝΩΝ(DEA) Η ανάλυση DEA είναι πολύ ισχυρή και ιδιαίτερα διαδεδοµένη µέθοδο,

Διαβάστε περισσότερα

Συνεχείς συναρτήσεις και συντελεστής µεταβλητότητας: Προσέγγιση µέσα από δειγµατοληψία

Συνεχείς συναρτήσεις και συντελεστής µεταβλητότητας: Προσέγγιση µέσα από δειγµατοληψία ΤΕΤΡΑ ΙΑ ΑΝΑΛΥΣΗΣ Ε ΟΜΕΝΩΝ, ΤΕΥΧΟΣ 16 (σσ. 14-) DATA ANALYSIS BULLETIN, ISSUE 16 (pp. 14-) Συνεχείς συναρτήσεις και συντελεστής µεταβλητότητας: Προσέγγιση µέσα από δειγµατοληψία Νικόλαος Φαρµάκης Τµήµα

Διαβάστε περισσότερα

Αφαίρεση του Φαινομένου του Μικροφωνισμού σε Ακουστικά Βαρηκοΐας

Αφαίρεση του Φαινομένου του Μικροφωνισμού σε Ακουστικά Βαρηκοΐας Αφαίρεση του Φαινομένου του Μικροφωνισμού σε Ακουστικά Βαρηκοΐας Νιαβής Παναγιώτης Επιβλέπων: Καθ. Γ. Μουστακίδης Περιεχόμενα Εισαγωγή Μικροφωνισμός σε ακουστικά βαρηκοΐας Προσαρμοστική αναγνώριση συστήματος

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενα. Κεφάλαιο 1 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ... 11. Κεφάλαιο 2 ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ: BΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ... 29

Περιεχόμενα. Κεφάλαιο 1 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ... 11. Κεφάλαιο 2 ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ: BΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ... 29 Περιεχόμενα Πρόλογος 5 Κεφάλαιο ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Προβλήματα βελτιστοποίησης Γραμμικά προγράμματα Ακέραια προγράμματα Τετραγωνικά προγράμματα Διατύπωση προβλήματος Σύμβαση λύσης Κεφάλαιο ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ

Διαβάστε περισσότερα

Μεγιστοποίηση μέσα από το τριώνυμο

Μεγιστοποίηση μέσα από το τριώνυμο Μεγιστοποίηση μέσα από το τριώνυμο Μια από τις πιο όμορφες εφαρμογές του τριωνύμου στη φυσική είναι η μεγιστοποίηση κάποιου μεγέθους μέσα από αυτό. Η ιδέα απλή και βασίζεται στη λογική επίλυσης του παρακάτω

Διαβάστε περισσότερα

Βέλτιστα Ψηφιακά Φίλτρα: Φίλτρα Wiener, Ευθεία και αντίστροφη γραµµική πρόβλεψη

Βέλτιστα Ψηφιακά Φίλτρα: Φίλτρα Wiener, Ευθεία και αντίστροφη γραµµική πρόβλεψη ΒΕΣ 6 Προσαρµοστικά Συστήµατα στις Τηλεπικοινωνίες Βέλτιστα Ψηφιακά Φίλτρα: Φίλτρα Wiener, Ευθεία και αντίστροφη γραµµική πρόβλεψη 7 Nicolas sapatsoulis Βιβλιογραφία Ενότητας Benvenuto []: Κεφάλαιo Wirow

Διαβάστε περισσότερα

Οι κλασσικότερες από αυτές τις προσεγγίσεις βασίζονται σε πολιτικές αναπαραγγελίας, στις οποίες προσδιορίζονται τα εξής δύο μεγέθη:

Οι κλασσικότερες από αυτές τις προσεγγίσεις βασίζονται σε πολιτικές αναπαραγγελίας, στις οποίες προσδιορίζονται τα εξής δύο μεγέθη: 4. ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΑΠΟΘΕΜΑΤΩΝ ΥΠΟ ΑΒΕΒΑΙΑ ΖΗΤΗΣΗ Στις περισσότερες περιπτώσεις η ζήτηση είναι αβέβαια. Οι περιπτώσεις αυτές διαφέρουν ως προς το μέγεθος της αβεβαιότητας. Δηλαδή εάν η αβεβαιότητα είναι περιορισμένη

Διαβάστε περισσότερα

Αναγνώριση Προτύπων (Pattern Recognition) Μπεϋζιανή Θεωρία Αποφάσεων (Bayesian Decision Theory) Π. Τσακαλίδης

Αναγνώριση Προτύπων (Pattern Recognition) Μπεϋζιανή Θεωρία Αποφάσεων (Bayesian Decision Theory) Π. Τσακαλίδης Αναγνώριση Προτύπων (Pattern Recognton Μπεϋζιανή Θεωρία Αποφάσεων (Bayesan Decson Theory Π. Τσακαλίδης ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ Μπεϋζιανή Θεωρία Αποφάσεων (Bayes Decson theory Στατιστικά

Διαβάστε περισσότερα

Το Πρόβλημα Μεταφοράς

Το Πρόβλημα Μεταφοράς Το Πρόβλημα Μεταφοράς Αφορά τη μεταφορά ενός προϊόντος από διάφορους σταθμούς παραγωγής σε διάφορες θέσεις κατανάλωσης με το ελάχιστο δυνατό κόστος. Πρόκειται για το πιο σπουδαίο πρότυπο προβλήματος γραμμικού

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΟΛΟΓΙΑ

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΟΛΟΓΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΟΛΟΓΙΑ Στα πλαίσια της ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΟΛΟΓΙΑΣ προσπαθούµε να προσεγγίσουµε τα χαρακτηριστικά ενός συνόλου (πληθυσµός) δια της µελέτης των χαρακτηριστικών αυτών επί ενός µικρού

Διαβάστε περισσότερα

Οι θεµελιώδεις έννοιες που απαιτούνται στη Επαγωγική Στατιστική (Εκτιµητική, ιαστήµατα Εµπιστοσύνης και Έλεγχοι Υποθέσεων) είναι:

Οι θεµελιώδεις έννοιες που απαιτούνται στη Επαγωγική Στατιστική (Εκτιµητική, ιαστήµατα Εµπιστοσύνης και Έλεγχοι Υποθέσεων) είναι: Κατανοµές ειγµατοληψίας 1.Εισαγωγή Οι θεµελιώδεις έννοιες που απαιτούνται στη Επαγωγική Στατιστική (Εκτιµητική, ιαστήµατα Εµπιστοσύνης και Έλεγχοι Υποθέσεων) είναι: 1. Στατιστικής και 2. Κατανοµής ειγµατοληψίας

Διαβάστε περισσότερα

6.1 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

6.1 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 6. Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΘΕΩΡΙΑ. Ορισµός της συνάρτησης Συνάρτηση από ένα σύνολο Α σε ένα σύνολο Β λέγεται µια διαδικασία (κανόνας τρόπος ), µε την οποία κάθε στοιχείο του συνόλου Α αντιστοιχίζεται σε

Διαβάστε περισσότερα

Ποσοτικές Μέθοδοι., Εισηγητής: Ν.Κυρίτσης, MBA, Ph.D. Candidate,, e-mail: kyritsis@ist.edu.gr

Ποσοτικές Μέθοδοι., Εισηγητής: Ν.Κυρίτσης, MBA, Ph.D. Candidate,, e-mail: kyritsis@ist.edu.gr Ποσοτικές Μέθοδοι Εισηγητής: Ν.Κυρίτσης MBA Ph.D. Candidate e-mail: kyritsis@ist.edu.gr Εισαγωγή στη Στατιστική Διδακτικοί Στόχοι Μέτρα Σχετικής Διασποράς Κατανομές Πιθανοτήτων Η Κανονική Κατανομή Η Τυποποιημένες

Διαβάστε περισσότερα

ΔΕΣΜΕΥΜΕΝΕΣ Ή ΥΠΟ ΣΥΝΘΗΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ

ΔΕΣΜΕΥΜΕΝΕΣ Ή ΥΠΟ ΣΥΝΘΗΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ ΔΕΣΜΕΥΜΕΝΕΣ Ή ΥΠΟ ΣΥΝΘΗΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ Έστω ότι επιθυμούμε να μελετήσουμε ένα τυχαίο πείραμα με δειγματικό χώρο Ω και έστω η πιθανότητα να συμβεί ένα ενδεχόμενο Α Ω Υπάρχουν περιπτώσεις όπου ενώ δεν γνωρίζουμε

Διαβάστε περισσότερα

Νέα µέθοδος προσδιορισµού κατανοµής µεγέθους πόρων για νανοπορώδη υλικά

Νέα µέθοδος προσδιορισµού κατανοµής µεγέθους πόρων για νανοπορώδη υλικά ΑΚΜΩΝ Νέα µέθοδος προσδιορισµού κατανοµής µεγέθους πόρων για νανοπορώδη υλικά Νέα µέθοδος προσδιορισµού κατανοµής µεγέθους πόρων για νανοπορώδη υλικά Τα πορώδη υλικά αποτελούν µια πολύ σηµαντική κατηγορία

Διαβάστε περισσότερα

Μια εισαγωγή στο φίλτρο Kalman

Μια εισαγωγή στο φίλτρο Kalman 1 Μια εισαγωγή στο φίλτρο Kalman Το 1960, R.E. Kalman δημόσιευσε το διάσημο έγγραφό του περιγράφοντας μια επαναλαμβανόμενη λύση στο γραμμικό πρόβλημα φιλτραρίσματος διακριτών δεδομένων. Από εκείνη τη στιγμή,

Διαβάστε περισσότερα

Άριστες κατά Pareto Κατανομές

Άριστες κατά Pareto Κατανομές Άριστες κατά Pareto Κατανομές - Ορισμός. Μια κατανομή x = (x, x ) = (( 1, )( 1, )) ονομάζεται άριστη κατά Pareto αν δεν υπάρχει άλλη κατανομή x = ( x, x ) τέτοια ώστε: U j( x j) U j( xj) για κάθε καταναλωτή

Διαβάστε περισσότερα

ΕΝΟΤΗΤΑ 1.2 ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΣΕ ΜΙΑ ΔΙΑΣΤΑΣΗ

ΕΝΟΤΗΤΑ 1.2 ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΣΕ ΜΙΑ ΔΙΑΣΤΑΣΗ ΕΝΟΤΗΤΑ 1.2 ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΣΕ ΜΙΑ ΔΙΑΣΤΑΣΗ 1. Τι λέμε δύναμη, πως συμβολίζεται και ποια η μονάδα μέτρησής της. Δύναμη είναι η αιτία που προκαλεί τη μεταβολή της κινητικής κατάστασης των σωμάτων ή την παραμόρφωσή

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. Να εξετάσετε αν ισχύουν οι υποθέσεις του Θ.Μ.Τ. για την συνάρτηση στο διάστημα [ 1,1] τέτοιο, ώστε: C στο σημείο (,f( ))

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. Να εξετάσετε αν ισχύουν οι υποθέσεις του Θ.Μ.Τ. για την συνάρτηση στο διάστημα [ 1,1] τέτοιο, ώστε: C στο σημείο (,f( )) ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 6: ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ (Θ.Μ.Τ.) [Θεώρημα Μέσης Τιμής Διαφορικού Λογισμού του κεφ..5 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Παράδειγμα. ΘΕΜΑ

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ 5 ΠΕΡΙΟΔΩΝ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ 5 ΠΕΡΙΟΔΩΝ ΕΥΡΩΠΑΙΚΟ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΟ 010 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ 5 ΠΕΡΙΟΔΩΝ ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: 4 Ιουνίου 010 ΔΙΑΡΚΕΙΑ ΕΞΕΤΑΣΗΣ: 4 ώρες (40 λεπτά) ΕΠΙΤΡΕΠΟΜΕΝΑ ΒΟΗΘΗΜΑΤΑ Ευρωπαικό τυπολόγιο Μη προγραμματιζόμενος υπολογιστής, χωρίς γραφικά

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ. Δρ. Βασίλης Π. Αγγελίδης Τμήμα Μηχανικών Παραγωγής & Διοίκησης Δημοκρίτειο Πανεπιστήμιο Θράκης

ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ. Δρ. Βασίλης Π. Αγγελίδης Τμήμα Μηχανικών Παραγωγής & Διοίκησης Δημοκρίτειο Πανεπιστήμιο Θράκης ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ Δρ. Βασίλης Π. Αγγελίδης Τμήμα Μηχανικών Παραγωγής & Διοίκησης Δημοκρίτειο Πανεπιστήμιο Θράκης Στόχοι Ο κύριος στόχος του μαθήματος είναι να βοηθήσει τους φοιτητές να αναπτύξουν πρακτικές

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 4 ΣΥΣΧΕΤΙΣΗ ΚΑΙ ΠΑΛΙΝ ΡΟΜΗΣΗ. 4.1 Συσχέτιση δύο τ.µ.

Κεφάλαιο 4 ΣΥΣΧΕΤΙΣΗ ΚΑΙ ΠΑΛΙΝ ΡΟΜΗΣΗ. 4.1 Συσχέτιση δύο τ.µ. Κεφάλαιο 4 ΣΥΣΧΕΤΙΣΗ ΚΑΙ ΠΑΛΙΝ ΡΟΜΗΣΗ Στα προηγούµενα κεφάλαια ορίσαµε και µελετήσαµε την τ.µ. µε τη ϐοήθεια της πιθανο- ϑεωρίας (κατανοµή, ϱοπές) και της στατιστικής (εκτίµηση, στατιστική υπόθεση). Σ

Διαβάστε περισσότερα

Έλεγχοι. Τη συγκέντρωση του φαρμάκου σε δείγμα ιστού ή βιολογικού υγρού

Έλεγχοι. Τη συγκέντρωση του φαρμάκου σε δείγμα ιστού ή βιολογικού υγρού Έλεγχοι Τη συγκέντρωση του φαρμάκου σε δείγμα ιστού ή βιολογικού υγρού Το ρυθμό απελευθέρωσης του φαρμάκου από το σκεύασμα Έλεγχο ταυτότητας και καθαρότητας της πρώτης ύλης και των εκδόχων( βάση προδιαγραφών)

Διαβάστε περισσότερα

Γραμμικός Προγραμματισμός

Γραμμικός Προγραμματισμός Γραμμικός Προγραμματισμός Εισαγωγή Το πρόβλημα του Σχεδιασμού στη Χημική Τεχνολογία και Βιομηχανία. Το συνολικό πρόβλημα του Σχεδιασμού, από μαθηματική άποψη ανάγεται σε ένα πρόβλημα επίλυσης συστήματος

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή. Προχωρημένα Θέματα Τηλεπικοινωνιών. Ανάκτηση Χρονισμού. Τρόποι Συγχρονισμού Συμβόλων. Συγχρονισμός Συμβόλων. t mt

Εισαγωγή. Προχωρημένα Θέματα Τηλεπικοινωνιών. Ανάκτηση Χρονισμού. Τρόποι Συγχρονισμού Συμβόλων. Συγχρονισμός Συμβόλων. t mt Προχωρημένα Θέματα Τηλεπικοινωνιών Συγχρονισμός Συμβόλων Εισαγωγή Σε ένα ψηφιακό τηλεπικοινωνιακό σύστημα, η έξοδος του φίλτρου λήψης είναι μια κυματομορφή συνεχούς χρόνου y( an x( t n ) n( n x( είναι

Διαβάστε περισσότερα

Οι ιδιότητες των αερίων και καταστατικές εξισώσεις. Θεόδωρος Λαζαρίδης Σημειώσεις για τις παραδόσεις του μαθήματος Φυσικοχημεία Ι

Οι ιδιότητες των αερίων και καταστατικές εξισώσεις. Θεόδωρος Λαζαρίδης Σημειώσεις για τις παραδόσεις του μαθήματος Φυσικοχημεία Ι Οι ιδιότητες των αερίων και καταστατικές εξισώσεις Θεόδωρος Λαζαρίδης Σημειώσεις για τις παραδόσεις του μαθήματος Φυσικοχημεία Ι Τι είναι αέριο; Λέμε ότι μία ουσία βρίσκεται στην αέρια κατάσταση όταν αυθόρμητα

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 7 Βασικά Θεωρήµατα του ιαφορικού Λογισµού

Κεφάλαιο 7 Βασικά Θεωρήµατα του ιαφορικού Λογισµού Σελίδα 1 από Κεφάλαιο 7 Βασικά Θεωρήµατα του ιαφορικού Λογισµού Στο κεφάλαιο αυτό θα ασχοληθούµε µε τα βασικά θεωρήµατα του διαφορικού λογισµού καθώς και µε προβλήµατα που µπορούν να επιλυθούν χρησιµοποιώντας

Διαβάστε περισσότερα

M m l B r mglsin mlcos x ml 2 1) Να εισαχθεί το µοντέλο στο simulink ορίζοντας από πριν στο MATLAB τις µεταβλητές Μ,m,br

M m l B r mglsin mlcos x ml 2 1) Να εισαχθεί το µοντέλο στο simulink ορίζοντας από πριν στο MATLAB τις µεταβλητές Μ,m,br ΑΣΚΗΣΗ 1 Έστω ένα σύστηµα εκκρεµούς όπως φαίνεται στο ακόλουθο σχήµα: Πάνω στη µάζα Μ επιδρά µια οριζόντια δύναµη F l την οποία και θεωρούµε σαν είσοδο στο σύστηµα. Έξοδος του συστήµατος θεωρείται η απόσταση

Διαβάστε περισσότερα

Στόχος µαθήµατος: ΒΙΟΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΙΙ. 1. Απλή γραµµική παλινδρόµηση. 1.2 Παράδειγµα 6 (συνέχεια)

Στόχος µαθήµατος: ΒΙΟΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΙΙ. 1. Απλή γραµµική παλινδρόµηση. 1.2 Παράδειγµα 6 (συνέχεια) ΠΜΣ ΕΠΑΓΓΕΛΜΑΤΙΚΗ ΚΑΙ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΙΚΗ ΥΓΕΙΑ, ΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΚΑΙ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΑΠΟΤΙΜΗΣΗ ΑΚ. ΕΤΟΣ 2006-2007, 3ο εξάµηνο ΒΙΟΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΙΙ. Απλή γραµµική παλινδρόµηση Παράδειγµα 6: Χρόνος παράδοσης φορτίου ΜΑΘΗΜΑ

Διαβάστε περισσότερα

3. ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΜΕΤΑΦΟΡΑΣ ( Transportation )

3. ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΜΕΤΑΦΟΡΑΣ ( Transportation ) 3. ΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΜΕΤΑΦΟΡΑΣ 3. ΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΜΕΤΑΦΟΡΑΣ ( Transportation ) Σε αυτή την ενότητα θα ασχοληθούμε με προβλήματα που αφορούν τη μεταφορά αγαθών από διαφορετικά σημεία παραγωγής ή κεντρικής αποθήκευσης

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 4 Διανυσματικοί Χώροι

Κεφάλαιο 4 Διανυσματικοί Χώροι Κεφάλαιο Διανυσματικοί Χώροι Διανυσματικοί χώροι - Βασικοί ορισμοί και ιδιότητες Θεωρούμε τρία διαφορετικά σύνολα: Διανυσματικοί Χώροι α) Το σύνολο διανυσμάτων (πινάκων με μία στήλη) με στοιχεία το οποίο

Διαβάστε περισσότερα

ΛΥΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ 5.1 5.8

ΛΥΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ 5.1 5.8 ΛΥΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ 5. 5.8 5. Ένας υγειονοµικός σταθµός θέλει να ελέγξει αν ο µέσος αριθµός βακτηριδίων ανά µονάδα όγκου θαλασσινού νερού σε µια παραλία υπερβαίνει το επίπεδο ασφαλείας των 9 µονάδων. ώδεκα

Διαβάστε περισσότερα

ΠΙΝΑΚΑΣ 3-1 Προσομοιωση και Βελτιστοποιηση Συστηματος (Haimes, 1977) ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΗ ΑΠΟΚΡΙΣΗ ΦΥΣΙΚΟΥ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΑΠΟΚΡΙΣΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ

ΠΙΝΑΚΑΣ 3-1 Προσομοιωση και Βελτιστοποιηση Συστηματος (Haimes, 1977) ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΗ ΑΠΟΚΡΙΣΗ ΦΥΣΙΚΟΥ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΑΠΟΚΡΙΣΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ 3 ΤΕΧΝΙΚΕΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ 3.1 Εισαγωγη ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ Τα συστηματα εφαρμοζονται σε αναπτυξιακα προγραμματα, σε μελετες σχεδιασμου εργων, σε προγραμματα διατηρησης ή προστασιας περιβαλλοντος και υδατικων πορων και

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Θετικής Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β Λυκείου

Μαθηματικά Θετικής Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β Λυκείου Μαθηματικά Θετικής Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β Λυκείου Κεφάλαιο ο : Κωνικές Τομές Επιμέλεια : Παλαιολόγου Παύλος Μαθηματικός ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ. Ο ΚΥΚΛΟΣ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ Ένας κύκλος ορίζεται αν

Διαβάστε περισσότερα

ΓΙΩΡΓΟΣ Α. ΚΑΡΕΚΛΙΔΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΘΕΩΡΙΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ

ΓΙΩΡΓΟΣ Α. ΚΑΡΕΚΛΙΔΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΘΕΩΡΙΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΓΙΩΡΓΟΣ Α. ΚΑΡΕΚΛΙΔΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΘΕΩΡΙΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΕΚΔΟΣΕΙΣ ΓΙΩΡΓΟΣ Α. ΚΑΡΕΚΛΙΔΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΘΕΩΡΙΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ τη ΘΕΩΡΙΑ με τις απαραίτητες διευκρινήσεις ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΕΦΗΜΕΡΙΣ ΤΗΣ ΚΥΒΕΡΝΗΣΕΩΣ

ΕΦΗΜΕΡΙΣ ΤΗΣ ΚΥΒΕΡΝΗΣΕΩΣ 22559 ΕΦΗΜΕΡΙΣ ΤΗΣ ΚΥΒΕΡΝΗΣΕΩΣ ΤΗΣ ΕΛΛΗΝΙΚΗΣ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑΣ ΤΕΥΧΟΣ ΔΕΥΤΕΡΟ Αρ. Φύλλου 1561 17 Αυγούστου 2007 ΑΠΟΦΑΣΕΙΣ Αριθμ. 85038/Γ2 Αναλυτικό Πρόγραμμα Σπουδών του Τομέα Οικονομικών και Διοικητικών Υπηρεσιών

Διαβάστε περισσότερα

Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Η/Υ. Βήματα προς τη δημιουργία εκτελέσιμου κώδικα

Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Η/Υ. Βήματα προς τη δημιουργία εκτελέσιμου κώδικα Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Η/Υ Βήματα προς τη δημιουργία εκτελέσιμου κώδικα Ιωάννης Λυχναρόπουλος Μαθηματικός, MSc, PhD Βήματα προς τη δημιουργία εκτελέσιμου κώδικα

Διαβάστε περισσότερα

Λύσεις των θεμάτων ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ 30 MAΪΟΥ 2014 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ

Λύσεις των θεμάτων ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ 30 MAΪΟΥ 2014 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ 30 MAΪΟΥ 04 Λύσεις των θεμάτων

Διαβάστε περισσότερα

Δύο φίλοι θα παίξουν τάβλι και αποφασίζουν νικητής να είναι εκείνος που θα κερδίσει τρεις συνολικά παρτίδες ή δύο συνεχόμενες παρτίδες.

Δύο φίλοι θα παίξουν τάβλι και αποφασίζουν νικητής να είναι εκείνος που θα κερδίσει τρεις συνολικά παρτίδες ή δύο συνεχόμενες παρτίδες. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΣΥΛΛΟΓΗ ΑΣΚΗΣΕΩΝ 3 ου ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ Άσκηση (Προτάθηκε από pito ) Για ένα φάρμακο σε πειραματικό στάδιο αποδείχθηκε ότι δημιουργεί δύο ειδών παρενέργειες. Η πιθανότητα να δημιουργήσει

Διαβάστε περισσότερα

Επίδραση του συνδυασμού μόνωσης και υαλοπινάκων στη μεταβατική κατανάλωση ενέργειας των κτιρίων

Επίδραση του συνδυασμού μόνωσης και υαλοπινάκων στη μεταβατική κατανάλωση ενέργειας των κτιρίων Επίδραση του συνδυασμού μόνωσης και υαλοπινάκων στη μεταβατική κατανάλωση ενέργειας των κτιρίων Χ. Τζιβανίδης, Λέκτορας Ε.Μ.Π. Φ. Γιώτη, Μηχανολόγος Μηχανικός, υπ. Διδάκτωρ Ε.Μ.Π. Κ.Α. Αντωνόπουλος, Καθηγητής

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΙΣΤΗΜΟΝΙΚΟ ΕΠΙΜΟΡΦΩΤΙΚΟ ΣΕΜΙΝΑΡΙΟ «ΚΑΤΑΡΤΙΣΗ ΕΡΩΤΗΜΑΤΟΛΟΓΙΟΥ ΚΑΙ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ» Τριανταφυλλίδου Ιωάννα Μαθηματικός

ΕΠΙΣΤΗΜΟΝΙΚΟ ΕΠΙΜΟΡΦΩΤΙΚΟ ΣΕΜΙΝΑΡΙΟ «ΚΑΤΑΡΤΙΣΗ ΕΡΩΤΗΜΑΤΟΛΟΓΙΟΥ ΚΑΙ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ» Τριανταφυλλίδου Ιωάννα Μαθηματικός ΕΠΙΣΤΗΜΟΝΙΚΟ ΕΠΙΜΟΡΦΩΤΙΚΟ ΣΕΜΙΝΑΡΙΟ «ΚΑΤΑΡΤΙΣΗ ΕΡΩΤΗΜΑΤΟΛΟΓΙΟΥ ΚΑΙ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ» ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΜΕ ΤΟ SPSS To SPSS θα: - Κάνει πολύπλοκη στατιστική ανάλυση σε δευτερόλεπτα -

Διαβάστε περισσότερα

Στοιχεία εισαγωγής για τη Φυσική Α Λυκείου

Στοιχεία εισαγωγής για τη Φυσική Α Λυκείου Στοιχεία εισαγωγής για τη Φυσική Α Λυκείου 1 ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ ΚΑΙ ΠΡΟΤΕΡΑΙΟΤΗΤΑ ΠΡΑΞΕΩΝ 1.1 Προτεραιότητα Πράξεων Η προτεραιότητα των πράξεων είναι: (Από τις πράξεις που πρέπει να γίνονται πρώτες,

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1:ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΔΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1:ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΔΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑΣ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ :ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΔΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑΣ 3. Γενικά 3. Βασικά στάδια μιας δειγματοληψίας 4.3 Εκτιμητής και κανονική κατανομή 7.4 Απόκλιση και μέσο τετραγωνικό σφάλμα ενός εκτιμητή 8.5 Μέθοδοι δειγματοληψίας

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενα. Πρώτος πρόλογος... 13 Δεύτερος Πρόλογος... 15 Αντί Προλόγου... 17 Εισαγωγικό σημείωμα επιμελητών... 25

Περιεχόμενα. Πρώτος πρόλογος... 13 Δεύτερος Πρόλογος... 15 Αντί Προλόγου... 17 Εισαγωγικό σημείωμα επιμελητών... 25 Περιεχόμενα Πρώτος πρόλογος... 13 Δεύτερος Πρόλογος... 15 Αντί Προλόγου... 17 Εισαγωγικό σημείωμα επιμελητών... 25 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Στόχος και στάδια διεξαγωγής της εμπειρικής κοινωνικής έρευνας... 27 1.1 Στόχοι

Διαβάστε περισσότερα

ΑΤΤΙΚΗ. Οκτώβριος 2014

ΑΤΤΙΚΗ. Οκτώβριος 2014 ΤΑΥΤΟΤΗΤΑ ΕΡΕΥΝΑΣ ΤΥΠΟΣ ΕΡΕΥΝΑΣ ΠΕΡΙΟΧΗ ΕΡΕΥΝΑΣ ΠΟΣΟΤΙΚΗ ΕΡΕΥΝΑ ΜΕ ΤΗ ΧΡΗΣΗ ΔΟΜΗΜΕΝΟΥ ΕΡΩΤΗΜΑΤΟΛΟΓΙΟΥ ΠΕΡΙΟΔΟΣ ΕΡΕΥΝΑΣ 09/07/2013 30/09/2013 ΜΕΘΟΔΟΣ ΔΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑΣ ΤΥΧΑΙΑ ΔΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑ ΜΕΓΕΘΟΣ ΔΕΙΓΜΑΤΟΣ

Διαβάστε περισσότερα

ιαγράµµατα Ελέγχου Ιδιοτήτων (Control Charts for Attributes)

ιαγράµµατα Ελέγχου Ιδιοτήτων (Control Charts for Attributes) ιαγράµµατα Ελέγχου Ιδιοτήτων (Control Charts for Attributes) Πολλά ΧΠ δεν µπορούν να αναπαρασταθούν αριθµητικά. Τα ΧΠ χαρακτηρίζονται συµµορφούµενα και µη-συµµορφούµενα. Τα ΧΠ τέτοιου είδους ονοµάζονται

Διαβάστε περισσότερα