Κεφάλαιο 10 Εισαγωγή στην Εκτίμηση

Transcript

1 Κεφάλαιο 10 Εισαγωγή στην Εκτίμηση

2 Εκεί που είμαστε Κεφάλαια 7 και 8: Οι διωνυμικές,κανονικές, εκθετικές κατανομές και κατανομές Poisson μας επιτρέπουν να κάνουμε διατυπώσεις πιθανοτήτων γύρω από το Χ (ένα μέλος του πληθυσμού). Για να το κάνουμε αυτό χρειαζόμαστε τις παραμέτρους πληθυσμού. Διωνυμική: p Poisson: µ Κανονικές: µ και σ Εκθετικές: λ ή µ

3 Εκεί που είμαστε Κεφάλαιο 9: Οι κατανομές δειγματοληψίας μας επιτρέπουν να κάνουμε διατυπώσεις πιθανοτήτων γύρω από τη στατιστική. Χρειαζόμαστε τις παραμέτρους πληθυσμού: Δειγματικός μέσος: µ και σ Αναλογία δείγματος: p Διαφορά μεταξύ δειγματικών μέσων: µ 1,σ 1, µ 2, και σ 2

4 Εκεί που πάμε Ωστόσο, σε όλες σχεδόν τις πραγματικές καταστάσεις οι παράμετροι είναι άγνωστες. Θα χρησιμοποιήσουμε την κατανομή δειγματοληψίας για να εξάγουμε συμπεράσματα γύρω από άγνωστες παραμέτρους πληθυσμών.

5 Επαγωγική Στατιστική Επαγωγική στατιστική είναι η μεθοδολογία που επιτρέπει τον υπολογισμό των παραμέτρων ενός πληθυσμού από τους στατιστικούς δείκτες δειγμάτων του πληθυσμού. Statistics Data Information Population Sample Inference Statistic Parameter Για να προβούμε στην επαγωγική στατιστική χρειαζόμαστε τις δυνατότητες και τη γνώση της περιγραφικής στατιστικής, των κατανομών πιθανοτήτων, και των κατανομών δειγματοληψίας.

6 Εκτίμηση Ο υπολογισμός μπορεί να γίνει με δύο τρόπους: εκτίμηση και έλεγχο υποθέσεων. Θα ασχοληθούμε πρώτα με την εκτίμηση. Αντικειμενικός στόχος της εκτίμησης είναι ο προσδιορισμός της προσεγγιστικής τιμής μια παραμέτρου πληθυσμού με βάση τον στατιστικό δείκτη ενός δείγματος. Π.χ., ο μέσος ενός δείγματος ( ) χρησιμοποιείται στην εκτίμηση του μέσου ενός πληθυσμού ( ).

7 Εκτίμηση Αντικειμενικός στόχος της εκτίμησης είναι ο προσδιορισμός της προσεγγιστικής τιμής μια παραμέτρου πληθυσμού με βάση τον στατιστικό δείκτη ενός δείγματος. Υπάρχουν δύο τύποι εκτιμητών: Σημειακός Εκτιμητής Εκτιμητής Διαστήματος

8 Σημειακός Εκτιμητής Ένας σημειακός εκτιμητής εξάγει συμπεράσματα γύρω από ένα πληθυσμό εκτιμώντας την τιμή μιας άγνωστης παραμέτρου χρησιμοποιώντας μια μεμονωμένη τιμή ή ένα σημείο. Είδαμε ενωρίτερα ότι οι πιθανότητες σημείων σε συνεχείς κατανομές ήταν στην πραγματικότητα μηδενικές. Ομοίως, θα αναμέναμε ότι ο σημειακός εκτιμητής προσεγγίζει την τιμή της παραμέτρου σε ένα αυξημένο μέγεθος δείγματος, όμως οι σημειακοί εκτιμητές δεν αντανακλούν τις επιπτώσεις δειγμάτων μεγάλου μεγέθους. Ως εκ τούτου θα χρησιμοποιήσουμε τον εκτιμητή διαστήματος για να υπολογίσουμε παραμέτρους πληθυσμού..

9 Εκτιμητής Διαστήματος Ένας εκτιμητής διαστήματος εξάγει συμπεράσματα γύρω από ένα πληθυσμό υπολογίζοντας την τιμή μιας άγνωστης παραμέτρου χρησιμοποιώντας ένα διάστημα. Δηλαδή λέμε (με κάποια % βεβαιότητα) ότι η υπό εξέταση παράμετρος πληθυσμού βρίσκεται μεταξύ κάποιου κατώτερου και ανώτερου ορίου.

10 Εκτίμηση Σημείου & Εκτίμηση Διαστήματος Για παράδειγμα, έστω ότι θέλουμε να υπολογίσουμε το μέσο θερινό εισόδημα μιας τάξης φοιτητών Διοίκησης Επιχειρήσεων. Για n = 25 φοιτητές, ο μέσος υπολογίζεται σε 400 ευρώ/μήνα. εκτίμηση σημείου εκτίμηση διαστήματος Μια εναλλακτική διατύπωση: Το μέσο εισόδημα είναι μεταξύ 380 και 420 ευρώ/μήνα.

11 Ιδιότητες Εκτιμητών Οι επιθυμητές ιδιότητες των εκτιμητών περιλαμβάνουν την αμεροληψία, τη συνέπεια, και την σχετική αποτελεσματικότητα: Αμερόληπτος εκτιμητής μιας παραμέτρου του πληθυσμού είναι ένας εκτιμητής του οποίου η αναμενόμενη τιμή ισούται με την τιμή αυτής της παραμέτρου. Ένας αμερόληπτος εκτιμητής λέγεται ότι είναι συνεπής εάν η διαφορά μεταξύ της τιμής του εκτιμητή και της τιμής της παραμέτρου μειώνεται με την αύξηση του μεγέθους του δείγματος. Εάν υπάρχουν δύο αμερόληπτοι εκτιμητές μιας παραμέτρου, αυτός που έχει τη μικρότερη διασπορά ονομάζεται σχετικά αποτελεσματικός.

12 Αμερόληπτοι Εκτιμητές Αμερόληπτος εκτιμητής μιας παραμέτρου του πληθυσμού είναι ένας εκτιμητής του οποίου η αναμενόμενη τιμή ισούται με την τιμή αυτής της παραμέτρου. Π.χ. ο δειγματικός μέσος X είναι ένας αμερόληπτος εκτιμητής του μέσου του πληθυσμού µ, αφού: E(X) = µ

13 Συνέπεια Ένας αμερόληπτος εκτιμητής ονομάζεται συνεπής εάν η διαφορά μεταξύ της τιμής του εκτιμητή και της τιμής της παραμέτρου μειώνεται με την αύξηση του μεγέθους του δείγματος. Π.χ. ο X είναι ένας συνεπής εκτιμητής του µ επειδή η V(X) είναι σ 2 /n Δηλαδή, όσο αυξάνεται το n, η διασπορά του Χ μειώνεται.

14 Συνέπεια Ένας αμερόληπτος εκτιμητής ονομάζεται συνεπής εάν η διαφορά μεταξύ της τιμής του εκτιμητή και της τιμής της παραμέτρου μειώνεται με την αύξηση του μεγέθους του δείγματος. Π.χ. Ο δειγματικός μέσος είναι ένας συνεπής εκτιμητής του µ επειδή η διασπορά του ισούται με 1.57σ 2 /n Δηλαδή, όσο αυξάνει το n, η διασπορά του δειγματικού μέσου μειώνεται.

15 Σχετική Αποτελεσματικότητα Εάν υπάρχουν δύο αμερόληπτοι εκτιμητές μιας παραμέτρου, αυτός που έχει τη μικρότερη διασπορά ονομάζεται σχετικά αποτελεσματικός. Π.χ. τόσο η διάμεσος του δείγματος όσο και ο δειγματικός μέσος είναι αμερόληπτοι εκτιμητές του μέσου του πληθυσμού, όμως η διάμεσος του δείγματος έχει μεγαλύτερη διασπορά από τον δειγματικό μέσο, έτσι επιλέγουμε τον δειγματικό μέσο αφού είναι σχετικά αποτελεσματικός σε σύγκριση με τη διάμεσο του δείγματος. Επομένως, ο δειγματικός μέσος ενός μέσου του πληθυσμού μ. είναι ο «καλύτερος» εκτιμητής

16 Υπολογισμός του όταν το είναι Γνωστό. Στο Κεφάλαιο 8 εξάγαμε την παρακάτω γενική διατύπωση πιθανοτήτων σχετικά με το X P 2 ( Z / 2 Z Z / ) 1 Και από το Κεφάλαιο 9 η κατανομή δειγματοληψίας του X είναι κατά προσέγγιση κανονική με αριθμητικό μέσο µ και τυπική απόκλιση / n Άρα η X Z / n ακολουθεί (κατά προσέγγιση) την τυποποιημένη κανονική κατανομή.

17 Υπολογισμός του όταν το είναι Γνωστό. Επομένως, αντικαθιστώντας τη Z έχουμε x ( z/ 2 z/ ) 1 / n P 2 Στο Κεφάλαιο 9 (με λίγη άλγεβρα) εκφράσαμε το εξής z / 2 x z / 1 n n P 2 Με λίγη διαφορετική άλγεβρα έχουμε x z / 2 x z / 1 n n P 2

18 Υπολογισμός του µ όταν το σ είναι Γνωστό Αυτή η σχέση x z / 2 x z / 1 n n P 2 συνεχίζει να είναι μια διατύπωση πιθανοτήτων για το x. Ωστόσο, η διατύπωση αποτελεί και ένα εκτιμητή διαστήματος εμπιστοσύνης του μ.

19 Υπολογισμός του µ όταν το σ είναι Γνωστό Το διάστημα μπορεί να εκφραστεί επίσης ως Κατώτερο όριο εμπιστοσύνης = x z / 2 n Ανώτερο όριο εμπιστοσύνης = x z / 2 n Η πιθανότητα 1 α είναι η στάθμη εμπιστοσύνης, η οποία αποτελεί μια μέτρηση του πόσο συχνά το διάστημα θα περιλαμβάνει πραγματικά το μ.

20 Παράδειγμα 10.1 Η εταιρεία υπολογιστών Dell Computer Company παράγει τους δικούς της υπολογιστές και τους πουλά απευθείας σε καταναλωτές μέσα από το Διαδίκτυο. Για να πετύχει το στόχο της ταχύτητας παράδοσης, η Dell περιορίζεται σε πέντε δημοφιλή μοντέλα υπολογιστών και τα προωθεί σε υποκαταστήματα από τα οποία μπορεί γενικώς να παραδώσει έναν υπολογιστή στον πελάτη μέσα σε 24 ώρες. Η στρατηγική αυτή απαιτεί υψηλά επίπεδα αποθεμάτων που επιβαρύνουν την εταιρεία με σημαντικό κόστος.

21 Παράδειγμα 10.1 Σε μια προσπάθεια περιορισμού του κόστους, ο Διευθυντής Λειτουργιών θέλει να χρησιμοποιήσει ένα μοντέλο απογραφής. Παρατηρεί ότι η ζήτηση κατά τη διάρκεια του χρόνου ανανέωσης των αποθεμάτων έχει κανονική κατανομή και χρειάζεται να γνωρίζει τον αριθμητικό μέσο για να υπολογίσει το βέλτιστο επίπεδο αποθεμάτων. Παρατηρεί 25 χρονικές περιόδους ανανέωσης αποθεμάτων και καταγράφει τη ζήτηση κατά τη διάρκεια κάθε περιόδου. Τα δεδομένα δίνονται στον πίνακα της επόμενης διαφάνειας. Ο διευθυντής θέλει μια εκτίμηση διαστήματος εμπιστοσύνης 95% της μέσης ζήτησης κατά τη διάρκεια του χρόνου ανανέωσης αποθεμάτων. Υποθέστε ότι ο διευθυντής γνωρίζει ότι η τυπική απόκλιση είναι 75 υπολογιστές.

22 Παράδειγμα

23 Παράδειγμα 10.1 «Θέλουμε να εκτιμήσουμε τη μέση ζήτηση κατά το χρόνο ανανέωσης αποθεμάτων με εμπιστοσύνη 95% ώστε να καθορίσουμε τα επίπεδα αποθεμάτων.» ΑΝΑΓΝΩΡΙΣΗ Επομένως, η προς εκτίμηση παράμετρος είναι ο μέσος του πληθυσμού: μ Και άρα, ο εκτιμητής διαστήματος εμπιστοσύνης θα είναι:

24 Παράδειγμα 10.1 ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ Για να χρησιμοποιήσουμε τον εκτιμητή διαστήματος εμπιστοσύνης, χρειαζόμαστε τα παρακάτω στοιχεία: Υπολογισμένο από τα στοιχεία n 25 δεδομένα επομένως: Το κατώτερο και το ανώτερο όριο εμπιστοσύνης είναι και

25 Παράδειγμα 10.1 Η εκτίμηση της μέσης ζήτησης κατά τον χρόνο ανανέωσης των αποθεμάτων είναι μεταξύ και μπορούμε να το χρησιμοποιήσουμε αυτό ως μέσο στην ανάπτυξη μιας πολιτικής απογραφής. Δηλαδή, υπολογίσαμε ότι η μέση ζήτηση κατά τη διάρκεια του χρόνου ανανέωσης αποθεμάτων είναι μεταξύ και , και αυτός ο τύπος εκτιμητή είναι σωστός το 95% του χρόνου. Αυτό σημαίνει επίσης ότι το 5% του χρόνου ο εκτιμητής δεν θα είναι ορθός. Παρεμπιπτόντως, τα μέσα συχνά αναφέρουν το νούμερο 95% ως «19 φορές στις 20», κάτι που τονίζει την μακροπρόθεσμη προοπτική της στάθμης εμπιστοσύνης. ΕΡΜΗΝΕΙΑ

26 Ερμηνεία του Εκτιμητή Διαστήματος Εμπιστοσύνης Αρκετοί άνθρωποι ερμηνεύουν εσφαλμένα την εκτίμηση διαστήματος εμπιστοσύνης στο Παράδειγμα 10.1, πιστεύοντας ότι υπάρχει 95% πιθανότητα ο μέσος του πληθυσμού να βρίσκεται μεταξύ και Η ερμηνεία αυτή είναι λανθασμένη επειδή συνεπάγεται ότι ο μέσος του πληθυσμού είναι μια μεταβλητή για την οποία μπορούμε να υπολογίσουμε πιθανότητες. Στην πραγματικότητα, ο μέσος του πληθυσμού είναι μια σταθερή αλλά άγνωστη ποσότητα. Κατά συνέπεια, δεν μπορούμε να ερμηνεύουμε τον εκτιμητή διαστήματος εμπιστοσύνης του μ ως μια έκφραση πιθανότητας για τον μέσο μ του πληθυσμού.

27 Ερμηνεία του Εκτιμητή Διαστήματος Εμπιστοσύνης Για να ερμηνεύσουμε σωστά τον εκτιμητή διαστήματος εμπιστοσύνης πρέπει να θυμόμαστε ότι ο εκτιμητής διαστήματος εμπιστοσύνης προήλθε από την κατανομή δειγματοληψίας του δειγματικού μέσου. Χρησιμοποιήσαμε την κατανομή δειγματοληψίας ως μια έκφραση πιθανοτήτων για τον δειγματικό μέσο. Αν και η μορφή έχει αλλάξει, ο εκτιμητής διαστήματος εμπιστοσύνης αποτελεί επίσης μια έκφραση πιθανοτήτων για τον δειγματικό μέσο.

28 Ερμηνεία του Εκτιμητή Διαστήματος Εμπιστοσύνης Δηλώνει ότι υπάρχει 1 - α πιθανότητα ο δειγματικός μέσος να είναι ίσος με μια τιμή τέτοια ώστε το διάστημα x z / 2 n έως x z / 2 n να περιλαμβάνει τον μέσο του πληθυσμού. Από τη στιγμή που υπολογίζεται ο δειγματικός μέσος, το διάστημα ενεργεί ως το κατώτερο και ανώτερο όριο της εκτίμησης διαστήματος του μέσου του πληθυσμού.

29 Ερμηνεία του Εκτιμητή Διαστήματος Εμπιστοσύνης Ως παράδειγμα, ας υποθέσουμε ότι θέλουμε να εκτιμήσουμε τη μέση τιμή της κατανομής που προκύπτει από τη ρίψη ενός ζαριού. Επειδή γνωρίζουμε την κατανομή, γνωρίζουμε επίσης ότι µ = 3.5 και σ = Ας υποθέσουμε τώρα ότι γνωρίζουμε μόνο το σ = 1.71, ότι το µ είναι άγνωστο, και ότι θέλουμε να υπολογίσουμε την τιμή του. Για την εκτίμησή του, επιλέγουμε ένα μέγεθος δείγματος n = 100 και υπολογίζουμε. Ο εκτιμητής διαστήματος εμπιστοσύνης είναι x z / 2 n

30 Ερμηνεία του Εκτιμητή Διαστήματος Εμπιστοσύνης Ο εκτιμητής διαστήματος εμπιστοσύνης 90% είναι 1.71 x z / 2 x x.281 n 100

31 Ερμηνεία του Εκτιμητή Διαστήματος Εμπιστοσύνης Το αποτέλεσμα αυτό σημαίνει ότι, εάν επιλέξουμε επανειλημμένα δείγματα μεγέθους 100 από αυτό τον πληθυσμό, το 90% των τιμών του θα είναι τέτοιες ώστε το μ να βρίσκεται κάπου μεταξύ x x.281 και x. 281 και ότι το 10% των τιμών του συμπεριλαμβάνουν το μ. x θα παράγει διαστήματα που δεν θα Φανταστείτε τώρα ότι επιλέγουμε 40 δείγματα των 100 παρατηρήσεων το καθένα. Οι τιμές και οι προκύπτουσες εκτιμήσεις διαστήματος εμπιστοσύνης φαίνονται στον Πίνακα 10.2.

32 Εύρος Διαστήματος Ένα ευρύ διάστημα παρέχει λίγες πληροφορίες. Για παράδειγμα, μια έρευνα διαπιστώνει ότι ο μέσος αρχικός ετήσιος μισθός ενός λογιστή είναι μεταξύ 15,000 και 100,000 ευρώ με στάθμη εμπιστοσύνης 95%. Σε αντίθεση με αυτό: η έρευνα διαπιστώνει ότι ο μέσος αρχικός ετήσιος μισθός είναι μεταξύ 42,000 και 45,000 ευρώ με στάθμη εμπιστοσύνης 95%. Η δεύτερη εκτίμηση είναι πολύ πιο περιορισμένου εύρους, κάτι που παρέχει στους φοιτητές της Λογιστικής πιο ακριβείς πληροφορίες σχετικά με τον αρχικό μισθό.

33 Εύρος Διαστήματος Η εκτίμηση του εύρους διαστήματος εμπιστοσύνης είναι συνάρτηση της στάθμης εμπιστοσύνης, της τυπικής απόκλισης πληθυσμού και του μεγέθους του δείγματος

34 Εύρος Διαστήματος Η εκτίμηση του εύρους διαστήματος εμπιστοσύνης είναι συνάρτηση της στάθμης εμπιστοσύνης, της τυπικής απόκλισης πληθυσμού και του μεγέθους του δείγματος Μια υψηλότερη στάθμη εμπιστοσύνης παράγει ένα ε υ ρ ύ τ ε ρ ο διάστημα εμπιστοσύνης: Estimators.xls

35 Εύρος Διαστήματος Η εκτίμηση του εύρους διαστήματος εμπιστοσύνης είναι συνάρτηση της στάθμης εμπιστοσύνης, της τυπικής απόκλισης πληθυσμού και του μεγέθους του δείγματος Μεγαλύτερες τιμές του σ παράγουν ε υ ρ ύ τ ε ρ α διαστήματα εμπιστοσύνης Estimators.xls

36 Εύρος Διαστήματος Η εκτίμηση του εύρους διαστήματος εμπιστοσύνης είναι συνάρτηση της στάθμης εμπιστοσύνης, της τυπικής απόκλισης πληθυσμού και του μεγέθους του δείγματος Η αύξηση του μεγέθους του δείγματος μειώνει το εύρος του διαστήματος εμπιστοσύνης ενώ η στάθμη εμπιστοσύνης μπορεί να παραμένει αμετάβλητη. Estimators.xls Σημείωση: αυτό αυξάνει επίσης το κόστος απόκτησης επιπλέον δεδομένων.

37 Επιλογή του Μεγέθους του Δείγματος Στο Κεφάλαιο 5 επισημάναμε ότι σφάλμα δειγματοληψίας είναι η διαφορά μεταξύ ενός εκτιμητή και μιας παραμέτρου. Μπορούμε επίσης να ορίσουμε αυτή τη διαφορά ως σφάλμα εκτίμησης. Στο κεφάλαιο αυτό μπορεί να εκφραστεί ως η διαφορά μεταξύ μιας παραμέτρου του πληθυσμού και ενός εκτιμητή.

38 Επιλογή του Μεγέθους του Δείγματος Το όριο σφάλματος εκτίμησης είναι B = Z / 2 n Με λίγη άλγεβρα βρίσκουμε το μέγεθος του δείγματος για τον υπολογισμό ενός μέσου. n z / 2 B 2

39 Επιλογή του Μεγέθους του Δείγματος Για παράδειγμα, έστω ότι στο Παράδειγμα 10.1 πριν την συλλογή των δεδομένων ο διευθυντής είχε αποφασίσει ότι θέλει το σφάλμα εκτίμησης της μέσης ζήτησης να μην υπερβαίνει τις 16 μονάδες, που είναι το όριο του σφάλματος εκτίμησης. Έχουμε επίσης 1 α = 0.95 και σ = 75. Υπολογίζουμε n z / 2 B 2 (1.96)(75)

40 Επιλογή του Μεγέθους του Δείγματος Επειδή το n πρέπει να είναι ακέραιος αριθμός και επειδή θέλουμε το όριο σφάλματος εκτίμησης να μην υπερβαίνει τις 16 μονάδες, όλες οι μη-ακέραιες τιμές πρέπει να στρογγυλοποιούνται προς τα επάνω.. Επομένως, η τιμή του n στρογγυλοποιείται στο 85, κάτι που σημαίνει ότι για να υπάρχει 95% εμπιστοσύνη ότι το σφάλμα εκτίμησης δεν θα υπερβαίνει τις 16 μονάδες, πρέπει να επιλέξουμε 85 τυχαία δείγματα διαστημάτων χρόνου ανανέωσης αποθεμάτων.