Κεϕάλαιο 7. Διαϕορα ακομα θεματα για τις ιδιοτητες και τη λειτουργια των Lasers. 7.1 Τεχνικές απομόνωσης των TEM 00 και TEM p q ανώτερης τάξεως.

Transcript

1 Κεϕάλαιο 7 Διαϕορα ακομα θεματα για τις ιδιοτητες και τη λειτουργια των Lasers. 7.1 Τεχνικές απομόνωσης των TEM 00 και TEM p q ανώτερης τάξεως. Στο Σχήμα 5.1 παρουσιάζονται οι εγκάρσιοι τρόποι TEM p q. Ας πάρουμε εδώ την περίπτωση της ορθογώνιας παραλληλεπίπεδης κοιλότητας [40], την οποία ξαναπαρουσιάζουμε για διευκόλυνση των αναγνωστών στο Σχήμα 7.1. Παρατηρούμε ότι ο TEM 00 είναι περισσότερο συγκεντρωμένος κοντά στον άξονα z (κεντραρισμένος στο σημείο x y 0) από τους TEM p q ανώτερης τάξεως: καθώς αυξάνονται οι δείκτες, ο τρόπος καταλαμβάνει μεγαλύτερη έκταση στο επίπεδο xy. Η πόλωση της δέσμης του ϕωτός στην έξοδο του laser εξαρτάται από την ανάμιξη των πολώσεων των TEM p q που περιέχει [54]. Η πόλωση της εξερχόμενης δέσμης μπορεί να διορθωθεί με τη βοήθεια ενός παραθύρου σε γωνία Brewster, π.χ. δείτε τις Ε- νότητες 7. και 7.4. Οι TEM p q ανώτερης τάξεως μπορούν να αποκοπούν με την εισαγωγή ενός διαϕράγματος στην πορεία της εξερχομένης δέσμης. Το διάϕραγμα αυτό ( ίριδα οπή μεταβλητού εύρους) κλείνει τόσο ώστε να μην αϕήνει να περάσουν οι TEM p q ανώτερης τάξεως που έχουν χωρική έκταση μεγαλύτερη από το εύρος της οπής. Ετσι, μπορούμε να απομονώσουμε ακόμα και μια κηλίδα, δηλαδή τον TEM 00. Ενώ, ανοίγοντας το εύρος του διαϕράγματος, διέρχονται και TEM p q ανώτερης τάξεως. Μπορούμε από την υπέρθεση πολλών TEM p q να απομονώσουμε μόνο έναν, α- νώτερης τάξεως, με διάϕορα τεχνάσματα. Οπως, π.χ. με ένα πολύ λεπτό νήμα, το οποίο τοποθετείται οριζόντια, στο εσωτερικό της κοιλότητας συντονισμού, στό κέντρο της δέσμης laser. Το λεπτό νήμα εισάγει απώλειες λόγω περίθλασης στον 7

2 8 Σχήμα 7.1: Εγκάρσιοι τρόποι ΤΕΜ p q σε ορθογώνια παραλληλεπίπεδη κοιλότητα [40]. Ο TEM 00 είναι περισσότερο συγκεντρωμένος κοντά στον άξονα z από τους ΤΕΜ p q ανώτερης τάξεως: καθώς αυξάνονται οι δείκτες, οι τρόποι καταλαμβάνουν μεγαλύτερη έκταση στο επίπεδο xy. TEM 00 επειδή αυτός επικεντρώνεται στο x y 0. Ετσι ο TEM 00 καταστρέϕεται ενώ π.χ. παραμένει ο TEM 01, ο οποίος έχει ένταση μηδέν στη θέση x y 0, οπότε δεν υϕίσταται απώλειες. Αν αντιθέτως τοποθετήσουμε το νήμα κατακόρυϕα, δεν υϕίσταται απώλειες ο TEM 10. Επιπλέον, αν το οριζόντιο νήμα μετατοπιστεί λίγο πάνω, τότε θα βρει τον άνω λοβό του 01, οπότε θα καταστρέψει όλο τον τρόπο 01, ενώ κι αν το οριζόντιο νήμα μετατοπιστεί λίγο κάτω, τότε θα βρει τον κάτω λοβό του 01, οπότε θα καταστρέψει όλο τον τρόπο 01. Αν το κατακόρυϕο νήμα μετατοπιστεί λίγο αριστερά, τότε θα βρει τον αριστερό λοβό του 10, οπότε θα καταστρέψει όλο τον τρόπο 10, ενώ κι αν το κατακόρυϕο νήμα μετατοπιστεί λίγο δεξιά, τότε θα βρει τον δεξιό λοβό του 10, οπότε θα καταστρέψει όλο τον τρόπο 10. Αυτά συμβαίνουν διότι η αλληλεπίδραση με ένα κομμάτι του τρόπου καταστρέϕει όλο τον τρόπο, οι περιοχές όπου η ένταση του τρόπου μηδενίζεται και η περιοχές όπου η ένταση του τρόπου

3 9 δεν μηδενίζεται αποτελούν μια αδιάσπαστη ενότητα του τρόπου. Η τοποθέτηση του οριζόντιου νήματος σε ανώτερη ή κατώτερη θέση, οποία καταστρέϕει τον 01 αλλά και η τοποθέτηση του κατακόρυϕου νήματος σε αριστερότερη ή δεξιότερη θέση, οποία καταστρέϕει τον 10, καταστρέϕουν και τον 00, αϕού η έντασή του είναι παντού μη μηδενική (ο 00 δεν έχει κανένα κόμβο). Αν μετατοπιστεί λίγο ακόμα το κατακόρυϕο νήμα, θα βρεθεί στο σημείο όπου το πεδίο του 0 μηδενίζεται. Ομοίως, αν μετατοπιστεί λίγο ακόμα το οριζόντιο νήμα, θα βρεθεί στο σημείο όπου το πεδίο του 0 μηδενίζεται. Αυτή η νέα θέση του νήματος θα επιτρέψει στον 0 (ή στον 0) να επιζήσει, εϕόσον στη νέα θέση έχει μηδενική ένταση και άρα δεν υϕίσταται απώλειες λόγω περιθλάσεως από το λεπτό νήμα. Καταστρέϕονται όμως οι 01 και 00 (ή οι 10 και 00). Με παρόμοιο τρόπο μπορούν να απομονωθούν TEM p q ακόμα μεγαλύτερης τάξεως.

4 30 7. Εξισώσεις Fresnel. Γωνία Brewster. Υπενθυμίζουμε (Ενότητα 1.4) ότι οι Εξ. Maxwell με όρους ολικού ϕορτίου και ρεύματος, σε διαϕορική μορϕή (dfferental form) και ολοκληρωτική μορϕή (ntegral form), είναι διαϕορική μορϕή ολοκληρωτική μορϕή E ρ Φ E,S V E d a q εντός V ε 0 B 0 Φ B,S V E B B µ 0 J + µ0 ε 0 E E ΗΕΔ L S L S S V B d a 0 S V ε 0 E d l Φ B,S B d Φ E,S l µ 0 I που διαπερνά την S + µ 0 ε 0 Μεταβήκαμε από τη μία μορϕή στην άλλη χρησιμοποιώντας το θεώρημα Gauss και το θεώρημα Stokes θεώρημα Gauss d a dv S V V θεώρημα Stokes d l d a L S Υπενθυμίζεται ότι τα διανύσματα D και H συνδέονται με τα διανύσματα E και B, αντιστοίχως, με τις σχέσεις D ε 0 ε E, (7.1) S B µ 0 µ H. (7.) Ας υποθέσουμε ( Υπόθεση 1) ότι τα ε, µ είναι σταθερές και όχι τανυστές.

5 Ενώ, οι Εξ. Maxwell με όρους ελευθέρου (free, εξ ου ο δείκτης f ) ϕορτίου και ρεύματος, σε διαϕορική μορϕή και ολοκληρωτική μορϕή, είναι διαϕορική μορϕή D ρ f B 0 E B H J f + D 31 ολοκληρωτική μορϕή D d a q f, εντός V (7.3) S V B d a 0 (7.4) S V E ΗΕΔ L S E d l Φ B,S L S H d l I f,που διαπερνά την S + Φ D,S (7.5) (7.6) Αν δεν υπάρχουν ελεύθερα ϕορτία και ρεύματα, οι εξισώσεις γίνονται D 0 D d a 0 (7.7) S V B 0 B d a 0 (7.8) E B H D S V E d l Φ B,S R S H d l Φ D,S R S (7.9) (7.10) Αν έχουμε μια διαχωριστική επιϕάνεια δύο μέσων 1 και, τότε επαναλαμβάνοντας την πορεία που ακολουθήσαμε στην Ενότητα 1.5, εϕαρμόζοντας το θεώρημα Gauss σε στοιχειώδη S V D d a 0 S V S V D 1 D (7.11) B d a 0 B 1 B (7.1)

6 3 D 1, D, B 1, B είναι οι αλγεβρικές τιμές των καθέτων στην διαχωριστική επι- ϕάνεια συνιστωσών των D ή B στην πλευρά του μέσου 1 ή. Δηλαδή προκύπτει ότι τα D και B είναι συνεχή στη διεπιϕάνεια. Εϕαρμόζοντας το θεώρημα Stokes σε στοιχειώδες L S E d l Φ B,S L S L S E 1 E (7.13) H d l Φ D,S H 1 H (7.14) E 1, E, H 1, H είναι οι αλγεβρικές τιμές των παραλλήλων στην διαχωριστική επι- ϕάνεια συνιστωσών των E ή H στην πλευρά του μέσου 1 ή. Δηλαδή προκύπτει ότι τα E και H είναι συνεχή στη διεπιϕάνεια. Σχήμα 7.: Πρόσπτωση ΗΜ κύματος σε διαχωριστική επιϕάνεια δύο μέσων 1 και. Επίπεδο προσπτώσεως είναι το επίπεδο που σχηματίζουν το προσπίπτον κυματάνυσμα k και το κάθετο στη διεπιϕάνεια, στο σημείο προσπτώσεως, μοναδιαίο άνυσμα ˆn, δηλαδή ε- δώ το επίπεδο xy. Φαίνονται οι γωνίες προσπτώσεως, ανακλάσεως, διαθλάσεως θ, θ r, θ t, αντιστοίχως, καθώς και οι s και p συνιστώσες του προσπίπτοντος, ανακλωμένου, διαθλωμένου ηλεκτρικού πεδίου E s, E p, E sr, E pr, E st, E pt, αντιστοίχως. Ας θεωρήσουμε τώρα την πρόσπτωση ενός ΗΜ κύματος σε μια διεπιϕάνεια δηλαδή μια διαχωριστική επιϕάνεια δύο μέσων 1 και (Σχήμα 7.) και ότι δεν υπάρχουν ελεύθερα ϕορτία ή ρεύματα, οπότε ισχύουν οι Εξ. 7.7, 7.8, 7.9, 7.10 καθώς και

7 33 οι Εξ. 7.11, 7.1, 7.13, Περαιτέρω, ας ονομάσουμε q το επίπεδο προσπτώσεως, δηλαδή το επίπεδο που σχηματίζουν το προσπίπτον κυματάνυσμα (ncdent wave vector) k και το κάθετο στη διεπιϕάνεια, στο σημείο προσπτώσεως, μοναδιαίο άνυσμα ˆn. Στο Σχήμα 7. είναι το επίπεδο xy. Παρεμπιπτόντως, ας ονομάσουμε k r το ανακλώμενο κυματάνυσμα (reflected wave vector) και k t το διερχόμενο (transmtted) ή διαθλώμενο (refracted) κυματάνυσμα. Η πόλωση ενός ΗΜ κύματος που προσπίπτει σε μια διαχωριστική επιϕάνεια χαρακτηρίζεται από τη διεύθυνση του E ως προς το q. Συγκεκριμένα, η πόλωση χαρακτηρίζεται ως s ή p από τις γερμανικές λέξεις senkrechtκάθετος ή parallel, αντιστοίχως, αναλόγως με το αν το E είναι κάθετο ή παράλληλο στο επίπεδο q. Σχηματικά, αν ταυτίσουμε το επίπεδο προσπτώσεως με το επίπεδο της σελίδας, E πόλωση s ( E q) πόλωση TE (transverse electrc) E πόλωση p ( E q) πόλωση TM (transverse magnetc) Παρακάτω θα εξετάσουμε ξεχωριστά την πρόσπτωση ΗΜ κύματος σε διαχωριστική επιϕάνεια δύο υλικών είτε για την περίπτωση της πολώσεως TE ή αλλιώς πολώσεως s είτε για την περίπτωση της πολώσεως TM ή αλλιώς πολώσεως p. Πριν προχωρήσουμε, υπενθυμίζεται ότι E B k. Με το δείκτη δηλώνουμε συνιστώσα πεδίου κάθετη στη διαχωριστική επιϕάνεια και με το δείκτη δηλώνουμε συνιστώσα παράλληλη στη διαχωριστική επιϕάνεια. Στο Σχήμα 7.3 αριστερά παρουσιάζεται η πόλωση TE ή αλλιώς πόλωση s, δηλαδή η κατάσταση όπου E q. Από την Εξ. 7.1, επειδή E q D q. Τότε, Συνθήκη Συνέχειας D (Εξ. 7.11) τίποτε ( τέτοιες συνιστώσες για πόλωση s) Συνθήκη Συνέχειας B (Εξ. 7.1) B sn θ B r sn θ r B t sn θ t Συνθήκη Συνέχειας E (Εξ. 7.13) E r + E E t Συνθήκη Συνέχειας H (Εξ. 7.14) B cos θ µ 0 µ 1 + B r cos θ r µ 0 µ 1 B t cos θ t µ 0 µ

8 34 Στο Σχήμα 7.3 δεξιά παρουσιάζεται η πόλωση TM ή αλλιώς πόλωση p, δηλαδή η κατάσταση όπου E q, οπότε B q. Συνθήκη Συνέχειας D (Εξ. 7.11) ε 1 (E sn θ + E r sn θ r ) ε E t sn θ t Συνθήκη Συνέχειας B (Εξ. 7.1) τίποτε ( τέτοιες συνιστώσες για πόλωση p) Συνθήκη Συνέχειας E (Εξ. 7.13) E cos θ E r cos θ r E t cos θ t Συνθήκη Συνέχειας H (Εξ. 7.14) B µ 0 µ 1 + B r µ 0 µ 1 B t µ 0 µ Σχήμα 7.3: Αριστερά: πόλωση TE ή αλλιώς πόλωση s ( E q). Φαίνονται τα E, E r, E t, B, B, B, Br, B r, B r, Bt, B t, B t. Δεξιά: πόλωση TM ή αλλιώς πόλωση p ( E q). Φαίνονται τα B, B r, B t, E, E, E, E r, E r, E r, E t, E t, E t. Ο δείκτης σημαίνει συνιστώσα κάθετη στη διαχωριστική επιϕάνεια και ο δείκτης συνιστώσα παράλληλη στη διαχωριστική επιϕάνεια. Με τις χρωματιστές βούλες δηλώνονται ίσες γωνίες. Εστω ότι c 0 είναι η ταχύτητα του ϕωτός στο κενό και c η ταχύτητα του ϕωτός εντός κάποιου υλικού, ενώ n είναι ο δείκτης διαθλάσεως του υλικού. Τότε E B c n c 0 B ne. (7.15) c 0 c

9 35 Ας υποθέσουμε ότι ( Υπόθεση ) κατά την αλλαγή υλικών και κατά τη διέλευση μέσω υλικού δεν αλλάζει η συχνότητα ν του ΗΜ κύματος. Λόγω του θεμελιώδους νόμου της κυματικής n c 0 c πν k k 0 πν c λν π ν, (7.16) k k n k 0 k r n r k 0 k t n t k 0 n 1 n n r n n t k n 1 k 0 k r n 1 k 0 k t n k 0 (7.17) Αν τα πλάτη είναι σταθερά, τότε στην πόλωση TE, η συνέχεια της E, δηλαδή η σχέση E r + E E t, συνεπάγεται } E 0r e ( k r r ω r t) + E 0 e ( k r ω t) E 0t e ( k t r ω t t) t, r στη διεπιϕάνεια kr r ω r t k r ω t k t r ω t t (7.18) ήτοι καταλήγουμε σε μια συνθήκη ταιριάσματος ϕάσεων (phase matchng condton). Ενώ, αν τα πλάτη είναι σταθερά στην πόλωση TM, η συνέχεια της H, δηλαδή η B σχέση + B r B t συνεπάγεται, παρομοίως, την Εξ Λαμβάνοντας µ 0 µ 1 µ 0 µ 1 µ 0 µ υπ όψιν την Υπόθεση συνάγεται ότι ω r ω ω t, άρα kr r k r k t r (7.19) Ας κοιτάξουμε το Σχήμα 7.3, ας θυμηθούμε την Εξ Τότε, k r k r r k r cos ( π θ ) kr r cos ( π θ ) r n1 k 0 sn θ n 1 k 0 sn θ r θ r θ (7.0) που είναι ο νόμος της ανακλάσεως (reflecton law). Ακόμα, k r k t r ( ) ( ) π k r cos θ π k t r cos θ t n 1 k 0 sn θ n k 0 sn θ t που είναι ο νόμος της διαθλάσεως (refracton law). n sn θ n t sn θ t (7.1)

10 36 Τα t T E, r T E και t T M, r T M που ορίζονται λίγο παρακάτω (Εξ. 7., 7.4 και Εξ. 7.31, 7.33) είναι απλώς πηλίκα πλατών και όχι ανακλαστικότητα ή ανακλασιμότητα (reflectance, R) ή διαπερατότητα ή διελευσιμότητα (transmttance, T ). Τα δύο τελευταία ορίζονται στις Εξ Ας εξετάσουμε λεπτομερέστερα την πόλωση TE, χρησιμοποιώντας τις εξισώσεις που βρήκαμε λίγο πριν. Θα υποθέσουμε ότι τα υλικά μας είναι μη μαγνητικά, δηλαδή µ 1 µ 1. E r + E E t B cos θ B r cos θ r B t cos θ t E r + E E t µ 0 µ 1 µ 0 µ 1 µ 0 µ n 1 E cos θ n 1 E r cos θ r n E t cos θ t µ 1 µ 1 B n E n : n (ο σχετικός δείκτης διαθλάσεως) n 1 c 0 E r + E E t E cos θ E r cos θ r ne t cos θ t } θ θ r E r + E E t E E r ne t cos θ t cos θ ( ( προσθέτοντας κατά μέλη ) E E t 1 + n cos θ ) t cos θ t T E : E t E cos θ cos θ + n cos θ t n cos θ n cos θ + n t cos θ t (7.) n sn θ n t sn θ t ή sn θ n sn θ t cos θ t 1 sn θ t t T E cos θ + n cos θ 1 sn θ n 1 sn θ n t T E cos θ cos θ + n sn θ (7.3)

11 E t E + E r (E E r ) cos θ n cos θ ( t E r 1 + cos θ ) ( ) cos θ E 1 n cos θ t n cos θ t 37 r T E : E r E cos θ n cos θ t cos θ + n cos θ t n cos θ n t cos θ t n cos θ + n t cos θ t (7.4) Άρα, οι Εξ. 7.3 και 7.5 οδηγούν στο συμπέρασμα r T E cos θ n sn θ cos θ + n sn θ (7.5) t T E r T E + 1 (7.6) Αν θέλουμε να μην υπάρχει ανάκλαση TE, πρέπει r T E 0, άρα λόγω της Εξ. 7.4 } n cos θ n t cos θ t (7.7) αλλά (Εξ. 7.1) n sn θ n t sn θ t όμως οι θ, θ t } tan θ tan θ t είναι οξείες γωνίες (7.8) θ t θ (7.9) οπότε λόγω των Εξ. 7.7 συνεπάγεται n t n (7.30) Οι Εξ. 7.9 και 7.30 σημαίνουν ότι το ΗΜ κύμα δεν αλλάζει μέσο διαδόσεως. Δηλαδή πρόκειται για τετριμμένη λύση, σε αυτή την περίπτωση δεν υπάρχει διεπιϕάνεια. Συμπερασματικά, δεν είναι δυνατόν να μην υπάρχει ανακλώμενη s πόλωση. Λόγω αυτών, η Εξ. 7. δίνει t T E 1. Τα r T E 0, t T E 1 επαληθεύουν την Εξ Δείτε το Σχήμα 7.4.

12 38 Σχήμα 7.4: Αν θέλουμε να μην υπάρχει ανάκλαση TE (να μην υπάρχει ανακλώμενη s πόλωση), το ΗΜ κύμα δεν αλλάζει μέσο διαδόσεως. Δηλαδή πρόκειται για τετριμμένη λύση, σε αυτή την περίπτωση δεν υπάρχει διεπιϕάνεια. Συμπέρασμα: Δεν είναι δυνατόν να μην υπάρχει ανακλώμενη s πόλωση. Ας εξετάσουμε λεπτομερέστερα την πόλωση TM, χρησιμοποιώντας τις εξισώσεις που βρήκαμε λίγο πριν. Θα υποθέσουμε ότι τα υλικά μας είναι μη μαγνητικά, δηλαδή µ 1 µ 1. E cos θ E r cos θ r E t cos θ t B + B r B t E cos θ E r cos θ r E t cos θ t µ 0 µ 1 µ 0 µ 1 µ 0 µ n 1 E + n 1 E r n E t µ 1 µ 1 B n E n : n (ο σχετικός δείκτης διαθλάσεως) n 1 c 0 θ θ r cos θ t E E r E t cos θ E + E r ne t ( ( προσθέτοντας κατά μέλη ) E E t n + cos θ ) t cos θ t T M : E t E cos θ n cos θ + cos θ t n cos θ n t cos θ + n cos θ t (7.31)

13 39 ή t T M n cos θ + cos θ 1 sn θ n t T M n cos θ n cos θ + n sn θ (7.3) E t n cos θ (E E r ) (E + E r ) cos θ ( t ) ( ) n cos θ n cos θ E 1 E r + 1 cos θ t cos θ t r T M : E r E n cos θ cos θ t n cos θ + cos θ t n t cos θ n cos θ t n t cos θ + n cos θ t (7.33) Άρα r T M n cos θ n sn θ n cos θ + n sn θ (7.34) r T M nt T M 1 (7.35) Αν θέλουμε να μην υπάρχει ανάκλαση TM, πρέπει r T M 0, άρα λόγω της Εξ } n t cos θ n cos θ t cos θ cos θ } t sn θ t sn θ αλλά (Εξ. 7.1) n t sn θ t n sn θ sn θ t sn θ (7.36) Άρα, (1) θ t θ ή () θ t π θ Από την επιλογή (1) προκύπτει θ t θ (7.37) και λόγω της Εξ. 7.1 n t n (7.38)

14 40 Σχήμα 7.5: Αριστερά: Αν θέλουμε να μην υπάρχει ανάκλαση TM (να μην υπάρχει ανακλώμενη p πόλωση), η μία περίπτωση (επιλογή (1)) είναι το ΗΜ κύμα να μην αλλάζει μέσο διαδόσεως. Δηλαδή πρόκειται για τετριμμένη λύση, σε αυτή την περίπτωση δεν υπάρχει διεπιϕάνεια. Τα r T M 0, t T M 1, λόγω της Εξ. 7.38, επαληθεύουν την Εξ. 7.35, δηλαδή r T M nt T M 1. Δεξιά: Αν θέλουμε να μην υπάρχει ανάκλαση TM (να μην υπάρχει ανακλώμενη p πόλωση), στην άλλη περίπτωση (επιλογή ()) η ανακλώμενη δέσμη είναι κάθετη στη διαθλώμενη δέσμη. Ομως, η ανακλώμενη δέσμη, η οποία εδώ σημειώνεται με την πορτοκαλί γραμμή, αϕορά την πόλωση TE. Ισχύει n n t /n tan θ και η γωνία θ που ικανοποιεί την σχέση αυτή ονομάζεται γωνία Brewster, θ B. Δηλαδή, tan θ B n t /n n. Τα r T M 0, t T M 1/n, επαληθεύουν την Εξ. 7.35, δηλαδή r T M nt T M 1. Συμπέρασμα: Είναι δυνατόν να μην υπάρχει ανακλώμενη πόλωση p και αυτό συμβαίνει όταν θ θ B. Οι Εξ σημαίνουν ότι το ΗΜ κύμα δεν αλλάζει μέσο διαδόσεως. Δηλαδή πρόκειται για τετριμμένη λύση, σε αυτή την περίπτωση δεν υπάρχει διεπιϕάνεια. Λόγω αυτών, η Εξ δίνει t T M 1. Τα r T M 0, t T M 1, λόγω της Εξ. 7.38, επαληθεύουν την Εξ Δείτε το Σχήμα 7.5 αριστερά. Από την επιλογή () προκύπτει θ t π θ ή θ + θ t π, το οποίο λόγω του νόμου της ανακλάσεως (Εξ. 7.0) οδηγεί στο θ r + θ t π. Αν ονομάσουμε ϡ τη γωνία μεταξύ ανακλωμένης και διαθλωμένης δέσμης, ισχύει θ r + ϡ + θ t π. Οπότε, ϡ π, δηλαδή η ανακλώμενη δέσμη είναι κάθετη στη διαθλώμενη δέσμη. Δείτε το

15 41 Σχήμα 7.5 δεξιά. Λόγω του νόμου της διαθλάσεως (Εξ. 7.1), και της επιλογής (), θ t π θ n t sn θ t n sn θ ( ) π n t sn θ n sn θ n t sn θ n cos θ n n t n tan θ (7.39) Η γωνία θ που ικανοποιεί την Εξ ονομάζεται γωνία Brewster, θ B. (Τα ίδια προκύπτουν και από την n t cos θ n cos θ t των Εξ. 7.36). Τότε η Εξ γίνεται t T M n cos θ n t cos θ + n cos θ t n cos θ n t cos θ + n sn θ n + tan θ n t T M 1 n (7.40) Τα r T M 0, t T M 1, επαληθεύουν την Εξ Δείτε το Σχήμα 7.5 δεξιά. Συμπερασματικά, είναι δυνατόν να μην υπάρχει ανακλώμενη πόλωση p και αυτό συμβαίνει n όταν θ θ B. Οι Εξ. 7., 7.4, 7.31, 7.33 καθώς και οι ισοδύναμές τους ονομάζονται εξισώσεις Fresnel (Fresnel equatons). Παρουσιάζονται συνοπτικά εδώ: t T E : E t E n cos θ n cos θ + n t cos θ t (7.41) r T E : E r E n cos θ n t cos θ t n cos θ + n t cos θ t (7.4) t T M : E t E n cos θ n t cos θ + n cos θ t (7.43) r T M : E r E n t cos θ n cos θ t n t cos θ + n cos θ t (7.44)

16 4 7.3 Ολική εσωτερική ανάκλαση. Ας υποθέσουμε ότι n > n t και ας χρησιμοποιήσουμε τον νόμο της διαθλάσεως (Εξ. 7.1). νόμος διαθλάσεως n sn θ n t sn θ t n > n t n n t < 1 n sn θ < sn θ t οι θ, θ t είναι οξείες γωνίες } θ < θ t (7.45) Αλλά, αυξάνοντας την θ αυξάνεται η θ t, διότι από το νόμο της διαθλάσεως (Εξ. 7.1), θ sn θ sn θ t θ t. Ετσι, αυξάνοντας την θ, αυξάνεται η θ t, παραμένοντας μεγαλύτερη από την θ (Εξ. 7.45). Οταν, λοιπόν, η θ t ϕτάσει στην τιμή π, η τιμή της θ ονομάζεται κρίσιμη γωνία, δηλαδή θ cr n sn θ cr 1 n t sn(π/). Άρα, θ. Τότε θα έχουμε sn θ cr n t n n (7.46) Η κατάσταση αυτή όπου η διαθλώμενη ακτίνα εϕάπτεται στη διεπιϕάνεια, δηλαδή στην ουσία δεν περνά στο άλλο υλικό, ονομάζεται ολική εσωτερική ανάκλαση (total nternal reflecton). Δείτε το Σχήμα 7.6. Τότε, Σχήμα 7.6: Ολική εσωτερική ανάκλαση: η διαθλώμενη ακτίνα εϕάπτεται στη διεπιϕάνεια, δηλαδή στην ουσία δεν περνά στο άλλο υλικό, θ t π. Η τιμή της θ στην οποία συμβαίνει αυτό ονομάζεται κρίσιμη γωνία, δηλαδή θ cr ισχύει sn θ cr n t n n. θ. Τότε

17 43 t T E n cos θ n cos θ + n t cos θ t r T E n cos θ n t cos θ t n cos θ + n t cos θ t n cos θ cr n cos θ cr n cos θ cr n cos θ cr ( ) π + n t cos ( ) π n t cos ( ) 1 π + n t cos Παρατηρούμε ότι η Εξ. 7.6 t T E r T E + 1 ισχύει, αϕού t T M n cos θ n t cos θ + n cos θ t r T M n t cos θ n cos θ t n t cos θ + n cos θ t n t cos θ cr n t cos θ cr n t cos θ cr n cos θ cr ( ) π n + n cos ( ) π n cos ( ) 1 π + n cos Παρατηρούμε ότι η Εξ r T M nt T M 1 ισχύει, αϕού 1 n n 1.

18 Εκπομπή πολωμένης δέσμης. Σύμϕωνα με όσα είδαμε στην Ενότητα 7., όταν η γωνία προσπτώσεως ισούται με τη γωνία Brewster (θ θ B ), τότε από μη πολωμένη προσπίπτουσα δέσμη προκύπτουν πλήρως πολωμένη ανακλώμενη δέσμη και μερικώς πολωμένη διαθλώμενη δέσμη. Αυτά παρουσιάζονται στο Σχήμα 7.7. Ετσι, αν στην έξοδο μιας διατάξεως laser τοποθετηθεί υλικό τέτοιο ώστε η εξερχόμενη δέσμη να προσπίπτει σε αυτό υπό γωνία θ θ B, τότε, μπορούμε να εκμεταλλευτούμε είτε την πλήρως πολωμένη ανακλώμενη δέσμη είτε την μερικώς πολωμένη διαθλώμενη δέσμη. Οι τεχνικές λεπτομέρειες μπορεί να είναι διαϕορετικές στα διάϕορα είδη laser [44], [45], [46]. Σχήμα 7.7: Οταν η γωνία προσπτώσεως ισούται με τη γωνία Brewster (θ θ B ), τότε από μη πολωμένη προσπίπτουσα δέσμη προκύπτουν πλήρως πολωμένη ανακλώμενη δέσμη και μερικώς πολωμένη διαθλώμενη δέσμη.

19 Διάνυσμα Poyntng. Το διάνυσμα Poyntng ορίζεται ως S : E H (7.47) και από άποψη μονάδων έχουμε [ S] [ E][ H] VA mm VC m s joule m s W m δηλαδή περιγράϕει ισχύ ανά μονάδα επιϕάνειας. S E H E B µµ 0 E n µµ 0 c 0 E ε µε 0 µ 0 µ µ 0 Χρησιμοποιήσαμε την E B c n c 0 c Ακόμα, όπως ίσως θυμόμαστε, c 0 1 ε0 µ 0 1 c εε0 µµ 0 S E εε0 µµ 0 (7.48) B E n c 0. n : c 0 c εε0 µµ 0 n εµ. ε 0 µ 0 Ας υπολογίσουμε τώρα τα μέτρα των ανυσμάτων Poyntng για την προσπίπτουσα, την ανακλώμενη και τη διαθλώμενη δέσμη, από την Εξ S E ε ε 0 E µ µ ε1 ε 0 (7.49) 0 µ 1 µ 0 S r E r εr ε 0 E µ r µ r ε1 ε 0 (7.50) 0 µ 1 µ 0 S t E t εt ε 0 E µ t µ t ε ε 0 (7.51) 0 µ µ 0

20 46 Σχήμα 7.8: Το διάνυσμα Poyntng της προσπίπτουσας δέσμης S, ένα κομμάτι της διεπιϕάνειας A και η προβολή του A κάθετα στο S. A A cos θ. Στο Σχήμα 7.8 ϕαίνεται το διάνυσμα Poyntng της προσπίπτουσας δέσμης S, ένα κομμάτι της διεπιϕάνειας A και η προβολή του A κάθετα στο S. Από το Σχήμα ϕαίνεται ότι A A cos θ. Παρόμοια ισχύουν και για την ανακλώμενη και την διαθλώμενη δέσμη. Συνοπτικά A A cos θ A r A cos θ r A t A cos θ t Ας ονομάσουμε P (A ) την ισχύ που προσπίπτει στην επιϕάνεια A κ.ο.κ. κι ας θυμηθούμε ότι το διάνυσμα Poyntng περιγράϕει ισχύ ανά μονάδα επιϕάνειας. Τότε S P (A ) A P (A ) S A P A S A cos θ ομοίως P r A r S r A cos θ r ομοίως P t A t S t A cos θ t Ομως, αν τα υλικά δεν απορροϕούν ενέργεια, τότε η προσπίπτουσα ισχύς ισούται με την ανακλώμενη ισχύ συν τη διαθλώμενη ισχύ. Δηλαδή P (A ) P r (A r ) + P t (A t ) (7.5) Άρα, S A cos θ S r A cos θ r + S t A cos θ t 1 S r S + S t cos θ t S 1 E r cos θ E + E t ε µ 1 cos θ t E ε 1 µ cos θ

21 47 Χρησιμοποιήσαμε τις Εξ. 7.49, 7.50, Με άλλα λόγια, όπου ορίσαμε 1 R + T (7.53) ανακλαστικότητα ή ανακλασιμότητα (reflectance) R : E r E διαπερατότητα ή διελευσιμότητα (transmttance) T : E t ε µ 1 cos θ t E ε 1 µ cos θ (7.54) Οι ποσότητες r και t (π.χ. Εξ. 7.41, 7.4, 7.43, 7.44) ορίστηκαν ως λόγοι πλατών. Οπότε, μπορούμε να γράψουμε 1 r + t ε µ 1 ε 1 µ cos θ t cos θ (7.55) R r (7.56) T t ε µ 1 ε 1 µ cos θ t cos θ (7.57) Για μη μαγνητικά υλικά, µ 1 µ 1 T E t E n n 1 cos θ t cos θ t n cos θ t cos θ.

22 Αναϕορές 7ου Κεϕαλαίου. Η αρίθμηση αναϕέρεται στη βιβλιογραϕία όπως αυτή παρατίθεται συνολικά πριν από τα Παραρτήματα. [40] Hermte-gaussan by DrBob at Englsh Wkpeda. Lcensed under CC BY-SA 3.0 va Commons. [44] M. Young Οπτική και λέιζερ Οπτικές Ινες και Κυματοδηγοί, Πανεπιστημιακές Εκδόσεις ΕΜΠ. Μετάϕραση: Η. Ζουμπούλης, Γ. Κουρούκλης, Α. Κώνστα, Ε. Λιαροκάπης, Κ. Ράπτης, Ι. Ράπτης, Α. Σεραϕετινίδης, Ε. Φαμπρικέζη. Επιστημονική επιμέλεια: Η. Ζουμπούλης, Α. Κώνστα, Πρωτότυπη έκδοση: Optcs and Lasers, Sprnger-Verlag, 000. Εκδοση 008. ISBN: [45] J. Wlson and J. Hawkes, Οπτοηλεκτρονική: μια εισαγωγή. Μετάϕραση: Α.Α. Σεραϕετινίδης, Μ. Ι. Μακροπούλου, Α. Παπαγιάννης, Ι. Ζεργιώτη, Ε. Φαμπρικέζη. Επιστημονική επιμέλεια: Α.Α. Σεραϕετινίδης. Πρωτότυπη έκδοση: Optoelectroncs: an ntroducton, 3rd edton, Prentce Hall, Εκδοση 007. ISBN: [46] Σ. Βες, Εισαγωγή στην Κβαντική οπτική και Laser, Εκδότης: Γιαχούδης - Γιαπούλης, ISBN: Θεσσαλονίκη [54] Φ. Παλληκάρη, Πειράματα με Laser και ιδιότητες της δέσμης του, Εκδοση ΕΚ- ΠΑ (009), Αθήνα.