ΕΥΓΕΝΙΑ Η. ΠΑΠΑΓΕΩΡΓΙΟΥ

Transcript

1 ΒΙΟΓΡΑΦΙΚΟ ΣΗΜΕΙΩΜΑ ΑΝΑΛΥΤΙΚΟ ΥΠΟΜΝΗΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΕΥΓΕΝΙΑ Η. ΠΑΠΑΓΕΩΡΓΙΟΥ Δρ. Μαθηματικού Λέκτορας του Τομέα Μαθηματικών της Σχολής Ναυτικών Δοκίμων ΑΘΗΝΑ 2015

2 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ 1. Προσωπικά Στοιχεία...σελ Επαγγελματική Διδακτική Προϋπηρεσία...σελ Εκπαίδευση...σελ Υποτροφίες - Βραβεία...σελ Συνοπτικός πίνακας διδακτικής και ερευνητικής δραστηριότητας...σελ Ανάλυση Ερευνητικής δραστηριότητας...σελ Συμμετοχή σε τριμελής επιτροπές διπλωματικών...σελ Επίβλεψη διπλωματικών εργασίων...σελ Δημοσιεύσεις...σελ Συμμετοχή σε Ερευνητικά Προγράμματα...σελ Διοικητικό έργο στη Σχολή Ναυτικών Δοκίμων...σελ Άλλη Επιστημονική-Ερευνητική Δραστηριότητα...σελ Αναφορές...σελ Αναλυτικό Υπόμνημα Δημοσιεύσεων...σελ. 14 1

3 ΠΡΟΣΩΠΙΚΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ. Τόπος και ημερομηνία γέννησης : Βαλτεσινίκο Αρκαδίας, 12/03/1974 Διεύθυνση κατοικίας : Αμαζόνων 46, Ελληνικό Τηλέφωνα : , epap@snd.edu.gr Οικογενειακή κατάσταση : Έγγαμη με ένα παιδί Σήμερα : ΕΠΑΓΓΕΛΜΑΤΙΚΗ - ΔΙΔΑΚΤΙΚΗ ΠΡΟΫΠΗΡΕΣΙΑ. Λέκτορας, Τομέας Μαθηματικών, Σχολή Ναυτικών Δοκίμων : Λέκτορας, Τομέας Μαθηματικών, Σχολή Ναυτικών Δοκίμων Λέκτορας, Τμήμα Αεροπορικών Σπουδών, Σχολή Ικάρων : Λέκτορας, Τμήμα Μηχανικών Σχεδίασης Προϊόντων και Συστημάτων, Πανεπιστήμιο Αιγαίου Λέκτορας, Τμήμα Επιστήμης και Τεχνολογίας Τηλεπικοινωνιών, Πανεπιστήμιο Πελοποννήσου Έκτακτη Καθηγήτρια, Τμήμα Αεροπορικών Σπουδών, Σχολή Ικάρων : Λέκτορας, Τμήμα Στατιστικής και Αναλογιστικών-Χρηματοοικονομικών Μαθηματικών, Πανεπιστήμιο Αιγαίου (εαρινό εξάμηνο). Λέκτορας, Τμήμα Επιστήμης και Τεχνολογίας Τηλεπικοινωνιών, Πανεπιστήμιο Πελοποννήσου Έκτακτη Καθηγήτρια, Τμήμα Αεροπορικών Σπουδών, Σχολή Ικάρων Εξωτερική Συνεργάτης, Τμήμα Στατιστικής και Αναλογιστικών-Χρηματοοικονομικών Μαθηματικών, Πανεπιστήμιο Αιγαίου (χειμερινό εξάμηνο). Επίκουρη Καθηγήτρια, Τμήμα Πληροφορικής με εφαρμογές στη Βιοϊατρική, Πανεπιστήμιο Στερεάς Ελλάδας (χειμερινό εξάμηνο) Έκτακτη Καθηγήτρια, Τομέας Μαθηματικών, Σχολή Ναυτικών Δοκίμων : Λέκτορας, Τμήμα Εφαρμοσμένων Μαθηματικών, Πανεπιστήμιο Κρήτης 2

4 Έκτακτη Καθηγήτρια, Τομέας Μαθηματικών, Σχολή Ναυτικών Δοκίμων : Λέκτορας, Τμήμα Μαθηματικών, Αριστοτέλειο Πανεπιστήμιο Θεσσαλονίκης (εαρινό εξάμηνο). Έκτακτη Καθηγήτρια, Τομέας Μαθηματικών, Σχολή Ναυτικών Δοκίμων (εαρινό εξάμηνο). Έκτακτη Καθηγήτρια, Τ.Ε.Ι. Ιονίων Νήσων (χειμερινό εξάμηνο) Έκτακτη Καθηγήτρια, Σχολή Τεχνικών Υπαξιωματικών Αεροπορίας (χειμερινό εξάμηνο) ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗ 1998 : Πτυχίο Μαθηματικών, Εθνικό και Καποδιστριακό Πανεπιστήμιο Αθηνών, Τμήμα Μαθηματικών : Διδακτορικό Δίπλωμα στην Επιστήμη των Μαθηματικών,Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Σχολή Εφαρμοσμένων Μαθηματικών και Φυσικών Επιστημών, (Τίτλος:Περιοδικά Συστήματα με μη Λείο Δυναμικό, Ύπαρξη και Πολλαπλότητα Λύσεων) : Διεπιστημονικό-Διατμηματικό Μεταπτυχιακό Δίπλωμα Ειδίκευσης στην Επιστημονική Περιοχή: «Μαθηματική Προτυποποίηση σε Σύγχρονες Τεχνολογίες και την Οικονομία», Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο, Σχολή Εφαρμοσμένων Μαθηματικών και Φυσικών Επιστημών. ΥΠΟΤΡΟΦΙΕΣ - ΒΡΑΒΕΙΑ 1. Υποτροφία από το Κληροδότημα Παπακυριακόπουλου για το διάστημα Μάρτιος 1999-Μάρτιος Βραβείο από Θωμαΐδειο Ίδρυμα για πρωτότυπη δημοσίευση το Έπαινος για άριστη επίδοση στο Διεπιστημονικό-Διατμηματικό Μεταπτυχιακό Πρόγραμμα Ειδίκευσης στην Επιστημονική Περιοχή: «Μαθηματική Προτυποποίηση σε Σύγχρονες Τεχνολογίες και την Οικονομία», Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο, Σχολή Εφαρμοσμένων Μαθηματικών και Φυσικών Επιστημών. ΣΥΝΟΠΤΙΚΟΣ ΠΙΝΑΚΑΣ ΔΙΔΑΚΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΕΡΕΥΝΗΤΙΚΗΣ ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΑΣ Διδακτική προϋπηρεσία 11 χρόνια Δημοσιεύσεις σε επιστημονικά περιοδικά 11 3

5 με κριτές Συμμετοχές σε συνέδρια 4 Αναφορές στο ερευνητικό έργο 94 Συμμετοχές σε χρηματοδοτούμενα ερευνητικά προγράμματα Συμμετοχή σε τριμελείς συμβουλευτικές επιτροπές διπλωματικών εργασιών 3 5 Επίβλεψη διπλωματικών εργασιών 1 ΑΝΑΛΥΣΗ ΕΡΕΥΝΗΤΙΚΗΣ ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΑΣ Η ερευνητική μου δραστηριότητα επικεντρώνεται στις επόμενες περιοχές : Μελέτη προβλημάτων μη γραμμικής συναρτησιακής ανάλυσης Mελέτη των μη γραμμικών διαφορικών εξισώσεων (στο R και στο R Ν (συστήματα)) που έχουν μη λείο δυναμικό και πλειονότιμους όρους με σκοπό την εύρεση λύσεων ή πολλάπλων λύσεων αυτών των προβλημάτων. Οι μέθοδοι προσέγγισης των προβλημάτων είναι η θεωρία μη γραμμικών τελεστών μονότονου τύπου, οι μεταβολικές τεχνικές για μη λεία συναρτησοειδή καθώς και οι τεχνικές της θεωρίας Morse. Τα υπό μελέτη προβλήματα περιλαμβάνουν την συνήθη p-laplacian (βαθμωτή ή διανυσματική) ή γενίκευσης αυτής, συνεπώς οι εξισώσεις που μελετώνται παρουσιάζουν ισχυρή μη γραμμικότητα, Για να αποφευχθούν όποιες υποθέσεις ομαλότητας για τις συναρτήσεις που εμπεριέχονται στα υπό μελέτη προβλήματα, χρησιμοποιούνται οι ιδιότητες των χώρων Sobolev. Αυτοί οι χώροι συναρτήσεων επιτρέπουν την ύπαρξη μη κλασικών παραγώγων ενώ διατηρούν κάποιες βασικές ιδιότητες των ομαλών συναρτήσεων όπως η ολοκλήρωση κατά μέλη επιτρέπει τη μετάβαση από το αρχικό πρόβλημα, στη μεταβολική (varitional) εκδοχή του και κατόπιν, στην αναζήτηση λύσεων. Μη γραμμμικές διαφορικές εξισώσεις εμφανίζονται στην Μαθηματική Φυσική, Στην Μηχανική, στη Θεωρία Ελέγχου, στα Οικονομικά και γενικά στη μαθηματική μοντελοποίηση υπαρκτών προβλημάτων. Μαθηματικές μέθοδοι μοντελοποίησης φυσικών διεργασιών και βελτιστοποίησης των αποτελεσμάτων προσομοιώσεων Η μελέτη των μοντέλων για την πρόβλεψη τοπικών περιβαλλοντικών φαινομένων βρίσκει εφαρμογή σε ενά εύρος δραστηριοτήτων όπως είναι οι ανανεώσιμες πηγές ενέργειας, η ασφάλεια στις μεταφορές, τα συστήματα εγκαιρής προειδοποίησης για φυσικούς κινδύνους καθώς και στις τηλεπικοινωνίες. Τις τελευταίες δεκαετίες έχουν ανπτυχθεί πολλά συστήματα υψηλής ανάλυσης προσομοίωσης τα οποία αυξάνουν την ακρίβεια των προβλέψεων. Παρά αυτή την γενική προόδο η παρεχόμενη πρόβλεψη συνεχίζει να εμφανίζει σημαντικό συστηματικό ή όχι σφάλμα. Κύριος στόχος της μελέτης είναι να προταθούν νέες τεχνικές για την 4

6 καλύτερη πρόβλεψη τοπικών φαινομένων. Προς αυτή την κατεύθυνση έχουν αναπτυχθεί υβριδικά μοντέλα που συνδιάζουν τα Kalman φιλτά με τη Μπεϋζιανή συμπερασματολογία. Επιπλέον, σε συνεργασία με τον Τομέα Συστημάτων Μάχης, Ναυτικών Επιχειρήσεων, Θαλάσσιων Επιστημών, Ναυτιλίας, Ηλεκτρονικών και Τηλεπικοινωνιών της Σχολής Ναυτικών Δοκίμων, μελετούμε μοντέλα για τον υπολογισμό της εξασθένησης ηλεκτρομαγνητικών κυμάτων λόγω της ατμοσφαιρικής υγρασίας και της υψηλής βροχόπτωσης. Πιο συγκεκριμένα, μελετάμε στατιστικά την επίρδαση του ρυθμού βροχόπτωσης μέσω της αλλαγής του δείκτη διάθλασης της ατμόσφαιρας στις τηλεπικοινωνιακές ζεύξεις, xρησιμοποιώντας μετεωρολογικά δεδομένα (σχετική υγρασία, θερμοκρασία, πίεση, διάρκεια υετού, ύψος υετού) από διάφορα νησιά στο Αιγαίο. ΣΥΜΜΕΤΟΧΗ ΣΕ ΤΡΙΜΕΛΗΣ ΣΥΜΒΟΥΛΕΥΤΙΚΕΣ ΕΠΙΤΡΟΠΕΣ ΔΙΠΛΩΜΑΤΙΚΩΝ 1. Μέλος της τριμελούς συμβουλευτικής επιτροπής για την επίβλεψη της διπλωματικής του κ. Λάττα με θέμα «Θεωρία Αριθμών με εφαρμογές στην Κρυπτογραφία», Τομέας Μαθηματικών, Σχολή Ναυτικών Δοκίμων, Μέλος της τριμελούς συμβουλευτικής επιτροπής για την επίβλεψη της διπλωματικής του κ. Αποστόλου με θέμα «Επίλυση των Διαφορικών Εξισώσεων Bessel, Legendre, Hermite και εφαρμογές», Τομέας Μαθηματικών, Σχολή Ναυτικών Δοκίμων, Μέλος της τριμελούς συμβουλευτικής επιτροπής για την επίβλεψη της διπλωματικής του κ. Τσακαλαμγάς με θέμα «Χαρακτηριστικά του θαλάσσιου κυματισμού σε επιλεγμένες περιοχές του ευρύτερου Ελλαδικού χώρου», Τομέας Μαθηματικών, Σχολή Ναυτικών Δοκίμων, Μέλος της τριμελούς συμβουλευτικής επιτροπής για την επίβλεψη της διπλωματικής του κ. Τσουτσουράκη με θέμα «Μοντέλα θαλάσσιου κυματισμού: Κατηγορίες, δυνατότητες, εφαρμογές», Τομέας Μαθηματικών, Σχολή Ναυτικών Δοκίμων, Μέλος της τριμελούς συμβουλευτικής επιτροπής για την επίβλεψη της διπλωματικής του κ. Μπακαλάκου με θέμα «Ναυτικές εφαρμογές των διαφορικών εξισώσεων», Τομέας Μαθηματικών, Σχολή Ναυτικών Δοκίμων, ΕΠΙΒΛΕΨΗ ΔΙΠΛΩΜΑΤΙΚΩΝ ΕΡΓΑΣΙΩΝ 1. Συνεπίβλεψη της διπλωματικής του κ. Ρίζου με θέμα «Χρήση μαθηματικών μοντέλων για τον υπολογισμό της ενέργειας που μπορεί να παραχθεί από τον θαλάσσιο κυματισμό», Τομέας Μαθηματικών, Σχολή Ναυτικών Δοκίμων,

7 ΔΗΜΟΣΙΕΥΣΕΙΣ A. Δημοσιεύσεις σε επιστημονικά περιοδικά με κριτές Evgenia H. Papageorgiou, Bifurcation type phenomena for positive solutions of nonlinear Neumann eigenvalue problems, Differential Equation & Applications, 6 (3), 2014, pp Evgenia H. Papageorgiou - Nikolaos S. Papageorgiou, Existence and multiplicity of solution for nonlinear periodic problems with the scalar p-laplacian and double resonance, J. Differential Equations, 255, 2013, pp Panos K. Palamides - Evgenia H. Papageorgiou, Approach to a Fifth-Order Boundary value problem, via Sperner s Lemma, Applied Mathematics, 2011, 2, pp Evgenia H. Papageorgiou - Nikolaos S. Papageorgiou, Multiplicity of solutions for a class of resonant p- Laplacian Dirichlet problems, Pacific Journal of Mathematics, 241 (2), 2009, pp Evgenia H. Papageorgiou - Nikolaos S. Papageorgiou, A multiplicity theorem for problems with the p- Laplacian, Journal of Functional Analysis 224, 2007, pp Evgenia H. Papageorgiou - Nikolaos S. Papageorgiou, On Multiple Solutions for Strongly Resonant Problems with the p-laplacian, Dynamic Systems and Applications 16 (1), 2007 pp Evgenia H. Papageorgiou - Nikolaos S. Papageorgiou, Nonlinear boundary value problems involving the p- Laplacian and p-laplacian-like operators, Journal for Analysis and its Applications, 24 (4), 2005 pp Evgenia H. Papageorgiou - Nikolaos S. Papageorgiou, Nonlinear second order periodic systems with nonsmooth potential, Proc. Indian Acad. Sci. (Math. Sci.), 114 (3), 2004, pp Evgenia H. Papageorgiou - Nikolaos S. Papageorgiou, Existence of solutions and of multiple solutions for nonlinear nonsmooth periodic systems, Czechoslovak Math Jour, 54 (129), 2004, pp Evgenia H. Papageorgiou - Nikolaos S. Papageorgiou, Strongly nonlinear multivalued periodic problems with maximal monotone terms, Differential Integral Equations, 17(3-4), 2004, pp Evgenia H. Papageorgiou - Nikolaos S. Papageorgiou, Two nontrivial solutions for quasilinear periodic equations, Proceeding AMS, 132 (2), 2003, pp Evgenia H. Papageorgiou, Multible and nodal solutions for a class of nonlinear, nonhomogeneous periodic eigenvalue problems (υποβληθείσα). E. A. Karagianni - C.N. Vazouras E.H. Papageorgiou A.D. Sarantopoulos H.E.Nistazakis, Maximum rainrate evaluations in Aegean archipelagos Hellas for rain attenuation modelling at microwave frequencies (υποβληθείσα). G. Galanis E. Papageorgiou A. Liakatas, A hybrid Bayesian Kalman Filter and applications to numerical atmospheric modeling (υποβληθείσα). Β. Δημοσιεύσεις σε πρακτικά συνεδρίων και επετηρίδες 1. Evgenia H. Papageorgiou - Nikolaos S. Papageorgiou, Existence and multiplicity of solution for nonlinear periodic problems with the scalar p-laplacian and double resonance, ICNODEA, July 5-8, 2011, Cluj-Napoca, Romania. 6

8 2. George Galanis - Evgenia Papageorgiou - Aristotelis Liakatas, Numerical and Statistical models for sea wave simulations and Naval applications, 3 rd International Conference on Technology Trends and Scientific Applications in Artillery and other Military Science (TTSAAMS 2015). 3. G. Galanis - E. Papageorgiou - A. Liakatas- G. Kallos, Local Adaptation Techniques for Numerical Atmospheric and Wave Prediction Models based on Kalman Filters and Bayesian Models, International Congress on Computational Mechanics, July 2015, Volos, Greece. 4. S. Kyritsi - E. Papageorgiou, Nonlinear double resonant periodic problems with the p-laplacian, MASSEE International Congress on Mathematics MICOM-2015, September 22-26, 2015, Athens, Greece. 5. A.P. Mitropoulos - E. A. Karagianni - C.N. Vazouras E.H. Papageorgiou H.E.Nistazakis, Research for Rain Attenuation in Aegean Archipelagos at Microwave Frequencies, Τεχνολογική Έρευνα και Καινοτομία στα ΑΣΕΙ-Δυνατότητες και Προοπτικές στην Υπηρεσία της Εθνικής Άμυνας, Ημερίδα ΓΔΑΕΕ, 20 Οκτωβρίου 2015, Σχολή Ικάρων, Αθήνα. ΣΥΜΜΕΤΟΧΗ ΣΕ ΕΡΕΥΝΗΤΙΚΑ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΑ Έχω συμμετάσχει στα επόμενα χρηματοδοτούμενα Προγράμματα: 1. Ερευνητικό Πρόγραμμα του Εθνικού Μετσόβιου Πολυτεχνείου χρηματοδοτούμενο από τον Ειδικό Λογαριασμό Έρευνας (01/01/02-31/03/04) με τίτλο «Μη Γραμμικές Διαφορικές Εξισώσεις με Μονόπλευρους Περιορισμούς». 2. Ερευνητικό Πρόγραμμα του Εθνικού Μετσόβιου Πολυτεχνείου χρηματοδοτούμενο από τον Ειδικό Λογαριασμό Έρευνας (03/03/98-03/06/98) με τίτλο «Μαθηματική Θεωρία Πολλαπλής Σκέδασης σε Ακουστικά, Ηλεκτρομαγνητικά και Ελαστικά Πεδία». 3. Ερευνητικό Πρόγραμμα του Εθνικού Μετσόβιου Πολυτεχνείου χρηματοδοτούμενο από τον Ειδικό Λογαριασμό Έρευνας (01/01/98-20/02/98) με τίτλο «Νέα Όργανα για Έγκαιρη Ιατρική Διάγνωση και Βιοτεχνολογικές Εφαρμογές». ΔΙΟΙΚΗΤΙΚΟ ΕΡΓΟ ΣΤΗ ΣΧΟΛΗ ΝΑΥΤΙΚΩΝ ΔΟΚΙΜΩΝ Μέλος της ομάδας εργασίας για την Εσωτερική Αξιολόγηση για το Διδακτικό Εργο (2011-σήμερα). ΑΛΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΟΝΙΚΗ - ΕΡΕΥΝΗΤΙΚΗ ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΑ Κριτής για τη δημοσίευση επιστημονικών εργασιών (referee) στα επόμενα διεθνή Επιστημονικά περιοδικά: o Applied Mathematics and Computation (Elsevier) o Asian Journal of Mathematics and computer Research 7

9 ΑΝΑΦΟΡΕΣ Γνωρίζω τις επόμενες αναφορές σε εργασίες μου Στην «Existence of solutions and of multiple solutions for nonlinear nonsmooth periodic systems», Czechoslovak Math Jour, 54 (129), 2004, pp , αναφέρονται οι επόμενες εργασίες: 1. G. Barletta - N.S. Papageorgiou, Nonautonomous second order periodic systems: Existence and multiplicity of solutions, Journal of nonlinear and convex analysis 8(3), L. Zhang- P. Zhang, Periodic Solutions of Second-Order Differential Inclusions Systems with Laplacian, Abstract and Applied Analysis, 2012(1), L. Gasiński - N. S. Papageorgiou, Solutions and multiple solutions for periodic p-laplacian systems with a non-smooth potential, Applicable Analysis 89(2): , K. Teng - X. Wu, Existence and subharmonicity of solutions for nonlinear non-smooth periodic systems with a p Laplacian, Nonlinear Analysis 68(12): , M. Filippakis - N.S. Papageorgiou, A nonlinear periodic system with nonsmooth potential of indefinite sign, Archivum Mathematicum (BRNO), 42, , S.Hu- N.S.Papageorgiou, Positive Periodic and Homoclinic Solutions for Nonlinear Differential Equations with Nonsmooth Potential, Positivity 10(2): , L. Gasiński - N. S. Papageorgiou, Existence and multiplicity of solutions for second order periodic systems with the p-laplacian and a nonsmooth potential, Monatshefte für Mathematik 158(2): , K. Teng, Multiple solutions for semilinear resonant elliptic problems with discontinuous nonlinearities via nonsmooth double linking theorem, Global Optimization 46(1):89-110, F. Papalini, Nonlinear periodic systems with the p-laplacian: Existence and multiplicity results, Abstract and Applied Analysis, 2007, article number Q. Zhang - X. Liu, On the boundary blow-up solutions of p(x)-laplacian equations with singular coefficient, Nonlinear Analysis j.na S. Carl - D. Motreanu, Sing changing and extremal constant sing solutions for nonlinear elliptic problems with supercritical nonlinearities. Communication on Appl. Nonlin. Anal. 14 (2007), D. Averna - S.Marano - D.Motreanu, Multiple solutions for a Dirichlet problem with p-laplacian and set-valued nonlinearity. Bulletin Australian Math. Soc. 77 (2008), Στην «A multiplicity theorem for problems with the p-laplacian», Journal of Functional Analysis 224, 2007, pp , αναφέρονται οι επόμενες εργασίες: 1. G. D Aguì - S.A. Marano - N.S. Papageorgiou, Multiple solutions to a Robin problem with indefinite weight and asymmetric reaction, S. Aizicovici- N. S. Papageorgiou- Vasile Staicu, Nodal solutions for (p, 2)-Equations, Transactions of the American Mathematical Society Volume 367, Number 10, 2015,

10 3. L. Gasiński - N. S. Papageorgiou, Extremal, nodal and stable solutions for nonlinear elliptic equations, Advanced Nonlinear Studies, 15(3): , N.S. Papageorgiou-V.D. Rǎdulescu, Solutions with sign information for nonlinear nonhomogeneous elliptic equations, Topological Methods in Nonlinear Analysis Volume 45, No. 2, 2015, Y. Liang-Q. Zhang- Ch. Zhao, On the boundary blow-up solutions of p(x)-laplacian equations with gradient terms, DOI: /tjm N. S. Papageorgiou-G. Smyrlis, On a class of parametric Neumann problems with indefinite and unbounded potential, Forum Mathematicum, 2013, DOI: /forum S.A. Marano - N.S. Papageorgiou, On a Robin problem with $p$-laplacian and reaction bounded only from above, Monatshefte für Mathematik, L. Gasiński - N. S. Papageorgiou, Existence of Three Nontrivial Smooth Solutions for Nonlinear Resonant Neumann Problems Driven by the p-laplacian, Zeitschrift für Analysis und ihre Anwendungen = Journal of analysis and its applications 29(4), L. Gasiński - N. S. Papageorgiou, Nonlinear Neumann equations driven by a nonhomogeneous differential operator, Journal of nonlinear and convex analysis 14(3), F.Fei - C. Ji, On quasilinear parabolic equations in the Orlicz spaces, Nonlinear Analysis Real World Applications 22, P. Cabdito - S. Carl - R. Livrea, Variational versus pseudomonotone operator approach in parameter-dependent nonlinear elliptic problems, Dynamic Systems and Applications 22(2), D. Montreanu - N.S. Papageorgiou, Papageorgiou, N.S.: Multiple solutions for nonlinear Neumann problems driven by a nonhomogeneous differential operator. Proc. Am. Math. Soc. 139, , Proceedings of the American Mathematical Society 139(10), L. Gasiński - N. S. Papageorgiou, Multiple solutions for a class of nonlinear Neumann eigenvalue problems,communications on Pure and Applied Analysis 13(4), N.S. Papageorgiou S-R. Sandos V. Staicu, Constant sign and nodal solutions for a class of nonlinear Dirichlet problems, Journal of Mathematical Analysis and Applications 422(1): , S.Th. Kyritsi - N.S. Papageorgiou, Multiple solutions for nonlinear elliptic equations with an asymmetric reaction term, Discrete and Continuous Dynamical Systems 33(6), N.S. Papageorgiou - P. Winkert, On a parametric nonlinear Dirichlet problem with subdiffusive and equidiffusive reaction, Advanced Nonlinear Studies 14(3): , A-M. Candela - G. Palmieri, Multiplicity results for some quasilinear equations in lack of symmetry, D. Monteanu - V.V. Monteanu - N.S. Papageorgiou, Topological and variational methods with applications to nonlinear boundary value problems, Springer,

11 19. N.S. Papageorgiou - V.D. Rǎdulescu, Multiple solutions with precise sign for nonlinear parametric Robin problems, Journal of Differential Equations 256(7), S. Aizicovici - N.S. Papageorgiou - V. Staicu, Multiple solutions for superlinear $p$-laplacian Neumann problems, OSAKA JOURNAL OF MATHEMATICS 49(3), L. Gasiński - N. S. Papageorgiou, Multiple Solutions for Nonlinear Coercive Problems with a Nonhomogeneous Differential Operator and a Nonsmooth Potential, Set-Valued and Variational Analysis 20(3), Q. Zhang - V. Wang - Z. Qiu, Existence of solutions and boundary asymptotic behavior of p(r)- Laplacian equation multi-point boundary value problems, Nonlinear Analysis 72(6): , F. Fei - Z. Tan, Existence and multiplicity of solutions for a class of quasilinear elliptic equations: An Orlicz Sobolev space setting, Journal of Mathematical Analysis and Applications 389(1): , P. Candito - S. Carl - R. Livrea, Multiple solutions for quasilinear elliptic problems via critical points in open sublevels and truncation principles, Journal of Mathematical Analysis and Applications 395(1): , D. Cao - S. Peng - S. Yan, Infinitely many solutions for p-laplacian equation involving critical Sobolev growth, Journal of Functional Analysis 262(6): , N.S. Papageorgiou - E.M. Rocha, Existence of three nontrivial solutions for asymptotically -linear noncoercive -Laplacian equations, Fuel and Energy Abstracts 74(16): , L. Gasiński - N. S. Papageorgiou, Anisotropic nonlinear Neumann problems,calculus of Variations 42(3), L. Wei - M. Wang - J. Zhu, Multiple Nontrivial Solutions for a Class of p-laplacian Equations, Acta Applicandae Mathematicae 110(3): , B. Ge - X. Xue, Multiple solutions for inequality Dirichlet problems by the p ( x ) Laplacian, Nonlinear Analysis Real World Applications 11(4): , S.Th. Kyritsi - N.S. Papageorgiou, Multiple solutions for nonlinear coercive Neumann problems, Communications on Pure and Applied Analysis 8(6): , X. Chang, Multiplicity of solutions for semilinear elliptic problems with combined nonlinearities, Communications in Contemporary Mathematics 13(3): , S. Aizicovici - N.S. Papageorgiou - V. Staicu, Existence of multiple solutions with precise sign information for superlinear Neumann problems, Annali di Mathematica 188, , S. Hu - N.S. Papageorgiou, Three non-trivial solutions for not necessarily coercive p-laplacian equations, Proceedings of the Edinburgh Mathematical Society 52(03): , B. Ge - X. Xue - Q. Zhou, The existence of radial solutions for differential inclusion problems in RN involving the p(x)-laplacian, Nonlinear Analysis 73(3): ,

12 35. L. Gasiński - N.S. Papageorgiou, Nodal and multiple constant sign solutions for resonant p- Laplacian equations with a nonsmooth potential, Nonlinear Analysis 71(11): , S.Th. Kyritsi - D. O Regan - N.S. Papageorgiou, A multiplicity theorem for p-superlinear p-laplacian equations using critical groups and morse theory, Monatshefte für Mathematik 163(4): , N.S. Papageorgiou - S-R. Sandos - V. Staicu, Eigenvalue Problems for Hemivariational Inequalities, Set-Valued Analysis 16(7): , Στην «Two nontrivial solutions for quasilinear periodic equations», Proceeding AMS, 132 (2), 2003, pp , αναφέρονται οι επόμενες εργασίες: 1. G. Barletta - R. Livrea - N.S. Papageorgiou, A nonlinear eigenvalue problem for the periodic scalar p- Laplacian, Communications on Pure and Applied Analysis 13(3), N.S. Papageorgiou- Francesca Papalini, On the existence of three nontrivial solutions for periodic problems driven by the scalar p-laplacian, Advanced Nonlinear Studies 11(2), S.Th. Kyritsi - N.S. Papageorgiou, Multiple Solutions for Nonlinear Periodic Problems, Canadian Mathematical Bulletin 56(2), S.Th. Kyritsi - D. O Regan - N.S. Papageorgiou, A Morse theoretic approach to the existence of multiple solutions for nonlinear periodic problems, Dynamics of Continuous, Discrete and Impulsive Systems Series A: Mathematical Analysis 19(3), G. Barletta- R. Livrea- N.S. Papageorgiou, A nonlinear eigenvalue problem for the periodic scalar p- Laplacian, Communications on Pure and Applied Analysis 13(3), 2014, DOI: /cpaa S.Th. Kyritsi - D. O Regan - N.S. Papageorgiou, Periodic problems with the scalar p-laplacian resonant at any eigenvalue via critical point methods, Advanced Nonlinear Studies, 13(3), S.Th. Kyritsi - D. O Regan - N.S. Papageorgiou, Solutions and multiple solutions for superlinear perturbations of the periodic scalar p-laplacian, Proceedings of the Edinburgh Mathematical Society, 56(03), N.S. Papageorgiou -L. Gasiński, Three nontrivial solutions for periodic problems with the $p$laplacian and a $p$-superlinear nonlinearity, Communications on Pure and Applied Analysis, 8(4): , S.Th. Kyritsi - N.S. Papageorgiou, On the multiplicity of solutions for non-linear periodic problems with the non-linearity crossing several eigenvalues, Glasgow Mathematical Journal, 52(02): , S. Aizicovici - N.S. Papageorgiou - V. Staicu, Nonlinear resonant periodic problems with concave terms, Journal of Mathematical Analysis and Applications 375(1): , Z. Denkowski - L. Gasiński- N. S. Papageorgiou, Existence of positive and of multiple solutions for nonlinear periodic problems, Nonlinear Analysis 66(10): May

13 12. G. Zhang - S. Liu, Multiple periodic solutions for eigenvalue problems with a $ p $-Laplacian and nonsmooth potential, Bulletin of the Korean Mathematical Society 48: , L. Gasiński, Multiplicity theorems for scalar periodic problems at resonance with p-laplacian-like operator, Journal of Global Optimization 38(3): , S. Aizicovici - N.S. Papageorgiou - V. Staicu, Multiple nontrivial solutions for nonlinear periodic problems with the p-laplacian, Journal of Differential Equations 243(2): , L. Gasiński, Multiplicity theorems for periodic systems with a p-laplacian-like operator, Nonlinear Analysis 67(9): , Στην «Nonlinear boundary value problems involving the p-laplacian and p-laplacian-like operators», Journal for Analysis and its Applications, 24 (4), 2005 pp , αναφέρονται οι επόμενες εργασίες: 1. Y. Cheng - F. Cong - X. Xue, Boundary value problems of a class of nonlinear partial differential inclusions, Nonlinear Analysis Real World Applications 12(6): , Q. Zhang, Nonlinear second order differential inclusions with a series of convex functions, Nonlinear Analysis 72(11): , S. Djebali - A. Quahab, Existence Results for phi-laplacian Dirichlet BVPs of Differential Inclusions with Applications to Control Theory, L. Gasiński - N. S. Papageorgiou, Solutions and multiple solutions for periodic p-laplacian systems with a non-smooth potential, Applicable Analysis 89(2): , G. Dincǎ - P. Jebelean, A priori estimates for the vector p -Laplacian with potential boundary conditions, Archiv der Mathematik 90(1):60-69, P. Jebelean - R. Precup, Poincare inequalities in reflexive cones, Applied Mathematics Letters 24(3): , K-M. Teng - X. Wu, Existence and subharmonicity of solutions for nonlinear nonsmooth periodic systems with p-laplacian, Nonlinear Analysis j.na Στην «Multiplicity of solutions for a class of resonant p-laplacian Dirichlet problems», Pacific Journal of Mathematics, 241 (2), 2009, pp , αναφέρεται η επόμενη εργασία: 1. L. Gasiński - N. S. Papageorgiou, Anisotropic nonlinear Neumann problems, Calculus of Variations 42(3), R. Pei J. Zhang, Nontrivial solutions for asymmetric problems on RN, Electronic Journal of Differential Equations, Στην «Strongly nonlinear multivalued periodic problems with maximal monotone terms», Differential Integral Equations, 17(3-4), 2004, pp , αναφέρονται οι επόμενες εργασίες: 1. M. Filippakis, Existence and multiplicity results for nonlinear nonautonomous second-order systems, Nonlinear Analysis 68(6): ,

14 2. L. Ferracuti- F. Papalini, Boundary-value problems for strongly nonlinear multivalued equations involving different Φ-Laplacians, Advanced in Differential Equations, 14(5), P. Jebelean- N. S. Papageorgiou, On noncoercive periodic systems with vector p-laplacian, Topological Methods in Nonlinear Analysis, 38(2), C. Marcelli- F. Papalini, Comparison results and existence of bounded solutions to strongly nonlinear second order differential equations, Topological Methods in Nonlinear Analysis, 34(1), C. Marcelli, Existence of solutions to boundary-value problems governed by general nonautonomous nonlinear differential operators, Electronic Journal of Differential Equations, 2012(171), C. Marcelli, The role of boundary data on the solvability of some equations involving nonautonomous nonlinear differential operators, Boundary Value Problems, 2013(1), N. S. Papageorgiou- F. Papalini, Multiple solutions for nonlinear periodic systems with combined nonlinearities and a nonsmooth potential, Journal of Nonlinear and Convex Analysis, 13(4), G. Cupini-C. Marcelli- F. Papalini, Heteroclinic solutions of boundary-value problems on the real line involving general nonlinear differential operators, Differential and Integral Equations, 24(7/8), F. Papalini, Strongly nonlinear multivalued systems involving singular $\Phi$Laplacian operators, Communications on Pure and Applied Analysis, 9(4): , L. Gasiński - N. S. Papageorgiou, Solutions and multiple solutions for periodic p-laplacian systems with a non-smooth potential, Applicable Analysis 89(2): , S.Th. Kyritsi, Solutions and multiple solutions for periodic systems with nonhomogeneous differential operators, Nonlinear Analysis 71(5): , S. Hu - N.S. Papageorgiou, Positive Periodic and Homoclinic Solutions for Nonlinear Differential Equations with Nonsmooth Potential, Positivity 10(2): , L. Gasiński - N. S. Papageorgiou, Existence and multiplicity of solutions for second order periodic systems with the p-laplacian and a nonsmooth potential, Monatshefte für Mathematik 158(2): , F. Papalini, Nonlinear periodic systems with the p-laplacian: Existence and multiplicity results, Abstract and Applied Analysis, 2007, (2007), article number M. E. Filippakis - N. S. Papagreorgiou, Variational for nonlinear, nonsmooth second-order periodic systems, Optimization 55, no.1-2, 37-64, Στην «Nonlinear second order periodic systems with non-smooth potentia»l, Proc. Indian Acad. Sci. (Math. Sci.), 114 (3), 2004, pp. 1-30, αναφέρονται οι επόμενες εργασίες: 1. K. Teng - X. Wu, Existence and subharmonicity of solutions for nonlinear non-smooth periodic systems with a p Laplacian, Nonlinear Analysis 68(12): , Yan Ning- Tianqing An, Periodic solutions of a class of nonautonomous second-order Hamiltonian systems with nonsmooth potentials, Boundary Value Problems, 2015(1),

15 3. P. Jebelean- N. S. Papagreorgiou, On noncoercive periodic systems with vector p-laplacian, Topological Methods in Nonlinear Analysis, 38(2), L. Zhang- P. Zhang, Periodic Solutions of Second-Order Differential Inclusions Systems with Laplacian, Abstract and Applied Analysis, 2012(1), F. Papalini, Nonlinear Periodic Systems with the p-laplacian: Existence and Multiplicity Results, Abstract and Applied Analysis, P. Jebelean, Variational methods for ordinary p-laplacian systems with potential boundary conditions, Advances in Differential Equations 13, , Συνολικός Αριθμός Αναφορών : 94(11/2015) ΑΝΑΛΥΤΙΚΟ ΥΠΟΜΝΗΜΑ ΔΗΜΟΣΙΕΥΣΕΩΝ. 1. Evgenia H. Papageorgiou - Nikolaos S. Papageorgiou, Two nontrivial solutions for quasilinear periodic equations, Proceeding AMS, 132 (2), 2003, pp Στην εργασία αυτή μελετάμε ένα μη γραμμικό περιοδικό πρόβλημα που εμπεριέχει την συνήθης βαθμωτή p- Laplacian και μία Caratheodory μη γραμμικότητα. Αποδεικνύουμε την ύπαρξη δύο τουλάχιστον μη τετριμμένων λύσεων. Η προσέγγιση μας είναι μεταβολική και βασίζεται στην μη λεία θεωρία κρίσιμων σημείων και το Second Deformation theorem. 2. Evgenia H. Papageorgiou - Nikolaos S. Papageorgiou, Strongly nonlinear multivalued periodic problems with maximal monotone terms, Differential Integral Equations, 17(3-4), 2004, pp Σε αυτήν την δημοσίευση αρχικά μελετούμε περιοδικούς μη γραμμικούς δεύτερης τάξης διαφορικούς εγκλεισμούς, που περιέχουν τον διαφορικό τελεστή x a x x x και εμπλέκουν τον μεριστικά μονότονο τελεστή p2 ( ( ) ' ')' A και μία πλειονότιμη μη γραμμικότητα F( t, x ), η οποία ικανοποιεί την Hartman συνθήκη. Υποθέτουμε ότι το doma είναι όλος ο R Ν και άρα μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε μεταβολικές ανισότητες. Με αυτόν το τρόπο παίρνουμε τις γενικεύσεις. Πρώτον, επιτρέπουμε στη F να εξαρτάται από το μη γραμμικός διαφορικός τελεστής x a( x, x')', και η μη γραμμικότητα x '. Δεύτερον, υποθέτουμε ο γενικός πλειονότιμος F είναι ανεξάρτητες από το μέθοδος μας βασίζεται σε τεχνικές από την πλειονότιμη Ανάλυση και την Θεωρία των τελεστών μονότονου τύπου. x '. Η 3. Evgenia H. Papageorgiou - Nikolaos S. Papageorgiou, Existence of solutions and of multiple solutions for nonlinear nonsmooth periodic systems, Czechoslovak Math Jour, 54 (129), 2004, pp Σε αυτή την εργασία εξετάζουμε μη γραμμικά περιοδικά συστήματα που περιέχουν την p-laplacian και μία διαφορίσημη, τοπικά Lipshitz μη γραμμικότητα. Η προσέγγιση μας βασίζεται στην λεία θεωρία κρισίμων σημείων και χρησιμοποιεί την θεωρία του υποδιαφορικού για τοπικά Lipshitz συναρτήσεις. Αποδεικνύουμε ύπαρξη και πολλαπλότητα λύσεων για το sublinear πρόβλημα. Για το semilinear πρόβλημα (δηλ. p 2 ) χρησιμοποιούμε μία 14

16 λεία πολλών διαστάσεων εκδοχή της Ambrosetti-Rabinowitz συνθήκης, αποδεικνύουμε ένα θεώρημα ύπαρξης για superlinear πρόβλημα. Η δουλεία μας γενικεύει αποτελέσματα του Tang(PAMS126(1998)). 4. Evgenia H. Papageorgiou - Nikolaos S. Papageorgiou, Nonlinear second order periodic systems with nonsmooth potential, Proc. Indian Acad. Sci. (Math. Sci.), 114 (3), 2004, pp Σε αυτή την εργασία μελετάμε δεύτερης τάξης μη γραμμικά περιοδικά συστήματα που περιέχουν την συνήθη p- Laplacian με μία μη λεία, τοπικά Lipshitz συνάρτηση δυναμικού. Η προσέγγιση μας είναι μεταβολική και βασίζεται στην μη λεία θεωρία κρίσιμων σημείων. Αποδεικνύουμε ύπαρξη και πολλαπλότητα αποτελεσμάτων κάτω από αυξητικές συνθήκες για την συνάρτηση του δυναμικού. Συμπεραίνουμε την ύπαρξη μη τετριμμένων ομοκλινικών (στο μηδέν) λύσεων. Τα θεωρήματα μας είναι τα πρώτα αποτελέσματα (ακόμα και για τα λεία προβλήματα ) για συστήματα με την p-laplacian. Στο τελευταίο μέρος της εργασίας εξετάζουμε το βαθμωτό μη γραμμικό (δηλ και semilinear (δηλ. συνθήκης. p 2 p 2 ) πρόβλημα. Στην απόδειξη χρησιμοποιούμε μία γενίκευση της Landesman-Laser ) 5. Evgenia H. Papageorgiou - Nikolaos S. Papageorgiou, Nonlinear boundary value problems involving the p- Laplacian and p-laplacian-like operators, Journal for Analysis and its Applications, 24 (4), 2005 pp Εξετάζουμε μη γραμμικά συνοριακών τιμών προβλήματα για συστήματα που περιέχουν τον διανυσματικό p- Laplacian ή τον p-laplacian like τελεστή και έχουν ένα μεριστικό όρο. Θεωρούμε περιοδικά προβλήματα και προβλήματα με μη γραμμικές συνοριακές συνθήκες με όρους από μεριστικά μονότονους τελεστές. Με αυτόν το τρόπο επιτυγχάνουμε την αντιμετώπιση τους ως κλασικά Dirichlet, Neumann και περιοδικά προβλήματα. Οι υποθέσεις επιτρέπουν τις Hartaman και Nagumo-Hartman μη γραμμικότητες, επεκτείνοντας με αυτόν το τρόπο πρόσφατα αποτελέσματα του Mawhin και συνεργατών του. 6. Evgenia H. Papageorgiou - Nikolaos S. Papageorgiou, A multiplicity theorem for problems with the p- Laplacian, Journal of Functional Analysis 224, 2007, pp Θεωρούμε ένα μη γραμμικό ελλειπτικό πρόβλημα οδηγούμενο από την p-laplacian, με παράμετρο και με μη γραμμικότητα όπου δημιουργεί σε μια υπεργραμμική συμπεριφορά στο μηδέν και στο άπειρο. Δείχνουμε ότι αν η παράμετρος είναι μεγαλύτερη από 2 =την δεύτερη ιδιοτιμή της (, ( )), τότε το πρόβλημα έχει W 1, p p 0 τουλάχιστον τρείς μη τετριμμένες λύσεις. Η προσέγγιση μας συνδυάζει την μέθοδο των άνω-κάτω λύσεων με τεχνικές που εμπλέκουν το Second Deformation Theorem. Το πολλαπλό αποτέλεσμα που αποδεικνύουμε επεκτείνει ένα πρόσφατο ημιγραμμικό (δηλ. p 2 ) αποτέλεσμα του Struwe. 7. Evgenia H. Papageorgiou - Nikolaos S. Papageorgiou, On Multiple Solutions for Strongly Resonant Problems with the p-laplacian, Dynamic Systems and Applications 16 (1), 2007 pp Το υπό μελέτη ελλειπτικό πρόβλημα εμπλέκει την p-laplacian και μία μη λεία συνάρτηση (hemivariational inequality). Χρησιμοποιώντας μια μεταβολική προσέγγιση βασισμένη στην θεωρία κρίσιμων σημείων και το Second Deformation Theorem, υπολογίζουμε τουλάχιστον δύο μη τετριμμένες λύσεις. 15

17 8. Evgenia H. Papageorgiou - Nikolaos S. Papageorgiou, Multiplicity of solutions for a class of resonant p- Laplacian Dirichlet problems, Pacific Journal of Mathematics, 241 (2), 2009, pp Θεωρούμε τα μη γραμμικά Dirichlet προβλήματα που εμπεριέχουν την p-laplacian, τα οποία στο άπειρο ακολουθούν την αρχή της ιδιοτιμής. Χρησιμοποιώντας μια μεταβολική μέθοδο η οποία βασίζεται στην θεωρία κρίσιμου σημείου δείχνουμε ότι το πρόβλημα έχει τρεις μη τετριμμένες λύσεις δύο από τις οποίες έχουν σταθερό πρόσημο (μια θετικό και η άλλη αρνητικό). Στην ημιγραμμική περίπτωση, υποθέτοντας μια πιο ισχυρή συνθήκη κανονικότητας για την μη γραμμική διαταραχή f(x,.) και χρησιμοποιώντας την θεωρία Morse, δείχνουμε ότι το πρόβλημα έχει τουλάχιστον τέσσερις λείες λύσεις δύο από τις οποίες σταθερού προσήμου. 9. Panos K. Palamides - Evgenia H. Papageorgiou, Approach to a Fifth-Order Boundary value problem, via Sperner s Lemma, Applied Mathematics, 2011, 2, pp Θεωρούμε το πέντε-σημείων συνοριακό πρόβλημα για μια πέμπτης-τάξης διαφορική εξίσωση, όπου η μη γραμμικότητα είναι υπέργραμμική και στην αρχή και στο +άπειρο. Η μέθοδός επίλυσης συνδυάζει το θεώρημα Kneser με το γνωστό από την αλγεβρική τοπολογία Sperner Λήμμα. Η γεωμετρική προσέγγιση του προβλήματος είναι βασισμένη στο αντίστοιχο διανυσματικό πεδίο. 10. Evgenia H. Papageorgiou - Nikolaos S. Papageorgiou, Existence and multiplicity of solution for nonlinear periodic problems with the scalar p-laplacian and double resonance, J. Differential Equations, 255, 2013, pp Θεωρούμε ένα περιοδικό που εμπεριέχει την p-laplacian και μία Caratheodory συνάρτηση η οποία μπορεί να παρουσιάσει διπλό συντονισμό στο ±. Συνδυάζοντας μεταβολικές μεθόδους βασισμένες στη θεωρία κρίσιμων σημείων με θεωρητικές τεχνικές Morse, αποδεικνυούμε ότι έχουμε ύπαρξη λύσης όταν ο διπλός συντονισμός συμβαίνει σε κάθε διάστημα φάσματος, ένω έχουμε πολλαπλότητα με τουλάχιστον τρεις λύσεις όταν ο διπλός συντονισμός συμβαίνει σε κάθε διάστημα φάσματος έκτος από το αρχικό [λ 0 = 0, λ 1]. 11. Evgenia H. Papageorgiou, Bifurcation type phenomena for positive solutions of nonlinear Neumann eigenvalue problems, Differential Equation & Applications, 6 (3), 2014, pp Θεωρούμε ένα παραμετρικό μη γραμμικό πρόβλημα που εμπεριέχει τον p-laplacian διαφορικό τελεστή και μια συνάρτηση η οποία είναι p-superlinear κοντά στο + χωρίς να χρειάζεται να ικανοποιεί τη συνήθη σε αυτές τις περιπτώσεις Ambrosetti-Rabinowitz συνθήκη. Χρησιμοποιώντας τη θεωρία κρίσιμων σημείων και τεχνικές σύγκρισης αποδεικνύουμε ένα τύπου διακλάδωσης θεώρημα για τέτοια προβλήματα. 16