Ταλαντώσεις 6.1 Απλή Αρµονική Ταλάντωση σε µία ιάσταση Ελατήριο σε οριζόντιο επίπεδο Σχήµα 6.1

Transcript

1 6 Ταλαντώσεις 6.1 Απλή Αρµονική Ταλάντωση σε µία ιάσταση Ελατήριο σε οριζόντιο επίπεδο Υποθέτουµε ότι το ελατήριο έχει αρχικό µήκος µηδέν, ιδανικό ελατήριο. F=-kx x K M x Σχήµα 6.1 ιαστάσεις µεγεθών : k d x dt Λύση της διαφορικής εξίσωσης κίνησης : = kx, Νόµος του Νεύτωνα d x dt = k x, ω = k, ω = d x dt = ω x Nt eter k Nt Kg eter sec. xt) = A cosωt) + B sinωt) Οι συναρτήσεις cosωt) και sinωt) ικανοποιούν, είναι λύσεις, της προηγούµενης διαφορικής εξίσωσης και το άθροισµα των δύο συναρτήσεων ικανοποιεί τη διαφορική εξίσωση. x = A cosωt) + B sinωt) = ) A + B A A + B cosωt) + B A + B sinωt) = x sinωt + φ ) sin φ = k A A + B, cos φ B = A + B x = A + B Αρχικές συνθήκες : x) = x 1 και v) = v 1 Χρησιµοποιώντας τα x 1, v 1 ϐρίσκουµε τα A, B ή x, φ.

2 13 Ταλαντώσεις x = A +B φ B A Σχήµα 6. Η ενέργεια διατηρείται, η δυναµική ενέργεια του ελατηρίου είναι : Ux) = 1 kx E = 1 v + 1 E = 1 kx kx σταθερή E = 1 ω x Μέση Κινητική και υναµική Ενέργεια Ορίζουµε τη µέση χρονική τιµή µιας ποσότητας At) A = 1 T T At)dt K = 1 T T = 1 1 T ω x U = 1 T T Kt)dt = 1 T T T 1 v t)dt cos ωt + φ ) dt = 1 4 ω x 1 kx sin ωt + φ ) dt = 1 4 ω x K = U και E = E = K + U Παρατήρηση T cos ωt + φ ) dt = T. Ελατήριο κατακόρυφα σε οµογενές ϐαρυτικό πεδίο Στην ϑέση x = στο σχήµα το ελατήριο έχει το ϕυσικό του µήκος. x= x F=-kx B=g x Σχήµα 6.3

3 6.1 Απλή Αρµονική Ταλάντωση σε µία ιάσταση 131 Εξίσωση κίνησης Θέτουµε y = x g k dy dt = dx dt και d x dt d x dt d y dt = kx + g = k = d x dt x k g ) d y dt yt) = y sin ωt + φ ) xt) = y sin ωt + φ ) + g k Ταλάντωση µε συχνότητα ω γύρω από το σηµείο x Ισ = g k. Στο σηµείο x Ισ έχουµε kx Ισ = g = k y = ω y άρα το σηµείο x Ισ είναι το σηµείο ισορροπίας του συστήµατος, όπου η δύναµη του ϐάρους ισούται µε τη δύναµη του ελατηρίου. Εξετάζουµε το σύστηµα ενεργειακά : Ux 1 ) Ux ) = x x F ολ dx = kx)dx + x 1 x 1 x Ux 1 ) Ux ) = 1 kx 1 1 kx + gx x 1 ) x 1 gdx Ορίζουµε Ux = ) = Ux) = 1 kx gx, παραβολή E Ux) x Ισ x U Σχήµα 6.4 d U dx du dx du dx = = kx g για x = x Ισ x Ισ = g k = k > ευσταθής ισορροπία

4 13 Ταλαντώσεις Ux) = 1 kx gx = 1 kx kx Ισ x ± 1 kx Ισ Ux) = 1 k x x ισ) + U, U = 1 kx Ισ Εποµένως για την εξίσωση κίνησης έχουµε Ταλάντωση µε συχνότητα γύρω από τη ϑέση ισορροπίας x Ισ. d x dt = F x) = du dx = kx x Ισ) ω = k = 1 d U dx 6.1. Κίνηση Συστηµάτων κοντά σε µια ϑέση Ευσταθούς Ισορροπίας Το σύστηµα περιγράφεται από µία συνάρτηση δυναµικής ενέργειας Ux) F = du dx Εάν έχουµε ένα σηµείο x ισ ευσταθούς ισορροπίας ελάχιστο της δυναµικής ενέργειας) dux = x ισ ) dx =, d Ux ισ ) dx > Αναπτύσσουµε τη δυναµική ενέργεια σε σειρά Taylor γύρω από το σηµείο x ισ dux Ux) = Ux ισ ) + ισ ) x x ισ ) + 1 dx Για x x ισ 1 κρατάµε µόνο τον πρώτο µη-µηδενικό όρο Θέτουµε Νόµος του Νεύτωνα : F = du dx d Ux ισ ) dx x x ισ ) +... Ux) = Ux ισ ) + 1 d Ux ισ ) dx x x ισ ) k = U x ισ ) = d Ux ισ ) dx > Ux) = Ux ισ ) + 1 kx x ισ) F = kx x ισ ) d x dt = kx x ισ) Εποµένως έχουµε ταλάντωση γύρω από τη ϑέση ισορροπίας x ισ µε συχνότητα ω = k = 1 U x ισ ) Εφαρµογή Κεντρικό δυναµικό δίνεται από τη σχέση α) Βρείτε για ποια τιµή του r έχουµε ισορροπία U = a r n + b r, a, b > ϐ) Για ποιες τιµές του n η ισορροπία αυτή είναι ευσταθής ; γ) Βρείτε την περίοδο της ταλάντωσης που εκτελεί ένα σώµα µάζας που ϐρίσκεται κοντά στο σηµείο της ευσταθούς ισορροπίας. Υποθέτουµε ότι το σώµα κινείται µόνο ακτινικά.

5 6.1 Απλή Αρµονική Ταλάντωση σε µία ιάσταση 133 Λύση: α) du dr = Ισορροπία ακρότατο πρώτη παράγωγος = du = na dr r=r ϐ) Ευσταθής ισορροπία ελάχιστο d Ur ) dr > d U dr U r ) = 1 r 4 + 1)na = n r n+ na b rn+1 r 3 r n+1 = b r 3 + 6b r 4 = 1 r 4 6b ) 6b n + 1) na r n r n = na b ) nn + 1)a r n = 1 r 4 6b bn + 1)) U r ) = b r 4 3 n + 1)) > > n γ) Περίοδος ταλάντωσης µάζας γύρω από το σηµείο ευσταθούς ισορροπίας r. U r ) = b n) r 4 = k > για n < και r n = na b, ω = k ω = k Ur ) = b ) r n 1 < E r 1 r r Ur) Ur ) Σχήµα 6.5 διότι Ur 1 ) =, r1 n = b a r n = b na > r n 1 = b a n > 1 Γενικά η δύναµη ορίζεται ως εξής F = U

6 134 Ταλαντώσεις όταν γνωρίζουµε τη δυναµική ενέργεια Ur). Οταν η δυναµική ενέργεια εξαρτάται µόνο από το r = r τότε F = du dr ˆr µε ακτινική κατεύθυνση. Ο νόµος του Νεύτωνα για την κίνηση είναι d r dt το σώµα δεν περιστρέφεται και εκτελεί µόνο ακτινική κίνηση έχουµε d r είναι Απλό εκκρεµές d r dt = du dr dt = F ωστόσο στην περίπτωση που = d r ˆr. Τελικά η εξίσωση κίνησης dt O -θ θ θ B T θέση ισορροπίας Σχήµα 6.6 r θ B + T = d r dt Χρησιµοποιούµε πολικές συντεταγµένες r, θ) = a v = dr dt = l dθ dt ˆθ όπου l το µήκος του νήµατος και η µάζα του σφαιριδίου. Το νήµα είναι αβαρές και µη εκτατό. a = d r dt = dv ) dt = l d θ dt ˆθ dθ l ˆr dt T = T ˆr, B = g sin θ ˆθ + g cos θˆr ) dθ l = T + g cos θ dt l d θ dt = g sin θ Χρησιµοποιούµε τη δεύτερη εξίσωση για να προσδιορίσουµε την κίνηση : θ = g l sin θ = ω sin θ ω = g l ω = Μέγιστη γωνία απόκλισης από την κατακόρυφο ϑέση ισορροπίας) είναι η θ. Το σώµα κάνει ταλάντωση περιοδική κίνηση από τη γωνία θ µέχρι τη γωνία θ. Αναπτύσσουµε τη συνάρτηση sin θ γύρω από τη ϑέση ισορροπίας θ = g l sin θ = θ θ3 3! + θ5 5! +...

7 6.1 Απλή Αρµονική Ταλάντωση σε µία ιάσταση 135 Εάν θ.1 σε ακτίνια, δηλαδή σε µοίρες 6, µπορούµε να κρατήσουµε µόνο το γραµµικό όρο και να αµελήσουµε την επίδραση των όρων θ 3, θ 5,... στην κίνηση θ = ω θ Απλή Αρµονική Ταλάντωση θt) = θ sin ω t + φ ) Περίοδος ταλάντωσης : ω = π g T = l T = π l g Εξίσωση κίνησης από τη στροφορµή : L N dl dt = N = r v = l dθ dt ˆr ˆθ = l dθ dt ẑ = r B = lg sin θẑ l d θ = lg sin θ dt θ = g l sin θ Υπολογισµός των περιόδων ταλάντωσης T για µεγάλη γωνία απόκλισης θ. O θ θ h H Σχήµα 6.7 E = K + U K = 1 v = 1 ) dθ l dt U = gh = gl 1 cos θ) = gl sin θ Η ενέργεια διατηρείται = EH) = gl 1 cos θ ) = gl sin θ 1 ) dθ l + gl1 cos θ) = gl 1 cos θ ) dt ) dθ = g cos θ cos θ ) = 4g dt l l g dθ dt = l sin θ sin θ sin θ θ ) sin

8 136 Ταλαντώσεις T/4 Ελλειπτικό ολοκλήρωµα πρώτου είδους. Αλλαγή µεταβλητής sin θ = sin θ sin u dt = 1 Πλήρες ελλειπτικό ολοκλήρωµα πρώτου είδους. l θ g dθ sin θ sin θ g T π/ l 4 = du 1 k sin u, k = sin θ Θα υπολογίσουµε το ολοκλήρωµα µε ανάπτυξη σε σειρά της συνάρτησης 1 k sin u) 1/ 1 k sin u ) 1/ = k sin u k4 sin 4 u +... g T l 4 = π + k T = π π/ l g sin udu + 3k4 8 π/ sin 4 udu θ 4 sin + 9 θ ) 64 sin Μερικές απλές σχέσεις που χρησιµοποιήθηκαν στους υπολογισµούς π/ sin udu = π 4 d sin θ ) = sin θ dsin u) dθ = sinθ /) cos udu cosθ/) cos θ = 1 sin θ sin u 6. Φθίνουσα και Εξαναγκασµένη Ταλάντωση 6..1 Λύση της απλής αρµονικής ταλάντωσης x = ω x Γραµµική οµογενής δευτέρου ϐαθµού µε σταθερούς συντελεστές. οκιµάζουµε σαν λύση την x = e ρt. x = ρ e ρt ρ = ω ρ = ±iω x = c 1 e iωt + c e iωt γενική λύση της διαφορικής) e iωt = cosωt) + i sinωt) x R c = c 1 x = c 1 + c 1) cosωt) + i c 1 c 1) sinωt) A = c 1 + c 1 R και B = i c 1 c 1) R x = A cosωt) + B sinωt) = x sinωt + φ )

9 6. Φθίνουσα και Εξαναγκασµένη Ταλάντωση Φθίνουσα ταλάντωση, δύναµη τριβής ανάλογη της ταχύτητας d x dt = kx bdx dt x + bx + kx = x = e ρt ρ + bρ + k = Λύνουµε το τριώνυµο ρ 1, = b ± 1 b 4k ρ 1, = b b ± ) k, ω = k Γενική λύση : ρ 1, = b ± ) b x = c 1 e ρ1t + c e ρt ιερεύνηση α) b 4k >, µεγάλη δύναµη τριβής, απεριοδική κίνηση ρ 1 = b b ρ 1, R και ρ = b + ) k < ) b k < c 1 + c xt) = c 1 e β1t + c e βt t = t Σχήµα 6.8 ρ 1 = β 1, ρ = β ϐ) b 4k <, µικρή δύναµη τριβής, περιοδική κίνηση όπου ω = ω b ) ρ 1, = b ± 1 ρ 1, = b ± i 4k b ) k ) b = b ± i ω xt) = c 1 e bt/ e i ωt + c e bt/ e i ωt x R c = c 1 xt) = x e bt/ sin ωt + φ )

10 138 Ταλαντώσεις xt) για φ = π/ x e bt/ Σχήµα 6.9 Ενεργειακή µελέτη Εάν ορίσουµε την µηχανική ενέργεια στιγµιαία ως συνήθως Et) = Kt) + Ut) έχουµε : Et) = 1 v + 1 kx de dv = v dt dt + kxdx dt de dt = dv ) dt + kx v = bv v = bv = F τϱ v άρα η απώλεια ενέργειας είναι ίση µε το έργο της δύναµης τριβής. Πρόβληµα Σώµα µάζας είναι δεµένο στην άκρη οριζόντιου ελατηρίου σταθεράς k. Ο συντελεστής τριβής µεταξύ µάζας και οριζοντίου επιπέδου είναι σταθερός και ίσος µε µ. Την χρονική στιγµή t = δίνεται στην µάζα αρχική ταχύτητα v. Βρείτε την µετατόπιση xt) του ταλαντωτή σαν συνάρτηση του χρόνου. Σε πόσο χρόνο ϕτάνει η µάζα πρώτη ϕορά στο ακρότατο σηµείο ; Πόση ταχύτητα έχει η µάζα στη ϑέση ισορροπίας µετά από µία πλήρη ταλάντωση ; Λύση: Επειδή η δύναµη τριβής F T εξαρτάται από την κατεύθυνση της κίνησης λύνουµε την εξίσωση κίνησης χωριστά για κάθε ένα από τα τέσσερα µέρη µιας πλήρους ταλάντωσης. ι) Εάν A 1 η µέγιστη αποµάκρυνση από την ϑέση ισορροπίας, µελετάµε την κίνηση για < x < A 1 καθώς το σώµα κινείται προς το ακρότατο A 1. Η δύναµη τριβής είναι F T = µg. Η εξίσωση κίνησης είναι : x = kx + F T = kx µg x = k x µg = ω x + µg ) όπου = k. Ορίζοντας την νέα µεταβλητή y = x + µg η εξίσωση κίνησης γίνεται : Η λύση της εξίσωσης κίνησης είναι : όπου µπορούµε να γράψουµε ω = π T. Αρχικές συνθήκες y = ω y yt) = A cos ω t + B sin ω t y t) = ω A sin ω t + ω B cos ω t x) = y) = A = µg ω x ) = y ) = v ω B = v B = v ω

11 6. Φθίνουσα και Εξαναγκασµένη Ταλάντωση 139 Η λύση για την µετατόπιση xt) είναι : xt) = yt) µg ω και για την ταχύτητα του σώµατος ϐρίσκουµε : = µg cos ω t + v sin ω t µg ω vt) = x µg v t) = ω sin ω t + ω cos ω t ω Γράφουµε την λύση µε ένα διαφορετικό τρόπο ο οποίος µπορεί να µας δώσει περισσότερες πληροφορίες yt) = A cos ω t + B sin ω t = ) A + B A A + B cos ω B t + A + B sin ω t και όπου sin φ = Η ταχύτητα της µάζας είναι = y sin φ cos ω t + cos φ sin ω t) = y sinω t + φ ) xt) = y sinω t + φ ) µg ω y = A + B = µ g ω 4 + v ω A A + B, cos φ B = A + B tan φ = A B = µg v ω vt) = x t) = ω y cosω t + φ ) Η ταχύτητα της µάζας είναι µηδέν όταν cosω t 1 + φ ) = εκείνη την χρονική στιγµή sinω t 1 + φ ) = 1 και το ελατήριο έχει την µέγιστη απαµάκρυνση A 1 όπου A 1 = y µg ω = µ g Άρα η µάζα ϕτάνει στο ακρότατο A 1 όταν ικανοποιείται η εξίσωση Ενεργειακή µελέτη του προβλήµατος : ω t 1 + φ = π t 1 = ω 4 + v µg π ω φ ω = T 4 φ π T W ɛλ A 1 + W T A 1 = K = 1 v W ɛλ A 1 = U) UA 1 ) = 1 ka 1, W T A 1 = µga 1 1 ka 1 µga 1 = 1 v v = k A 1 + µga 1 = ω A 1 + µga 1 Η λύση της τελευταίας εξίσωσης είναι : A 1, = µg ± 1 4µ g + 4 v = µg µ ± g 4 + v κρατάµε µόνο την ϑετική λύση. Άρα η µέγιστη αποµάκρυνση του ελατηρίου από την ϑέση ισορροπίας είναι : A 1 = µg µ + g 4 + v Η δύναµη του ελατηρίου στο ακρότατο είναι F ελ = ka 1 ενώ η δύναµη της τριβής ειναι F T = µg. Οι δύο δυνάµεις έχουν αντίθετη κατεύθυνση. Εάν F T > F ελ τότε το σώµα παραµένει ακίνητο στην ϑέση x = A 1.

12 14 Ταλαντώσεις ιι) Μελέτη της κίνησης καθώς το σώµα επιστρέφει για πρώτη ϕορά στη ϑέση ισορροπίας, < x < A 1. Υποθέτουµε ότι F T < F ελ δηλαδή µg < ka 1, το σώµα αρχίζει να κινείται προς την ϑέση ισορροπίας και ϕτάνει εκεί µε ταχύτητα v 1. Υπολογίζουµε την ταχύτητα v 1 από το ϑεώρηµα µεταβολής της κινητικής ενέργειας : έχουµε : W ɛλ A 1 + W T A 1 = 1 v 1 1 ka 1 µga 1 = 1 v 1 v 1 = k A 1 µga 1 v = k A 1 + µga 1 k A 1 = v µga 1 v 1 = v 4µgA 1 < v Λύση της εξίσωσης κίνησης για την κίνηση του σώµατος απο x = A 1 x = και υπολογισµός του χρόνου κίνησης t : x = k x + µg = ω x µg ) µε αρχικές συνθήκες xt = ) = A 1, vt = ) =. Ορίζουµε την νέα µεταβλητή y = x µg και η εξίσωση κίνησης γίνεται y = ω ω y. Λύνουµε την νέα εξίσωση κίνησης ως προς y και χρησιµοποιώντας τις αρχικές συνθήκες ϐρίσκουµε την λύση για την µετατόπιση x. yt) = A cos ω t + B sin ω t, y t) = ω A sin ω t + ω B cos ω t y) = A = A 1 µg, y ) = x ) = B = x µg ω Υπολογίζουµε τον χρόνο κίνησης : = A 1 µg ω xt ) = A 1 µg ) cos ω t + µg Εχουµε ήδη δεχτεί ότι ka 1 > µg άρα A 1 > µg k = µg ω ) cos ω t x = A 1 µg ) cos ω t + µg = cos ω t = µg ω A 1 µg ω cos ω t < ω t > π t > T 4 ιιι) Μελέτη της κίνησης καθώς το σώµα κινείται σε αρνητικές τιµές της αποµάκρυνσης από τη ϑέση ισορροπίας µέχρι το ακρότατο για x = A και πίσω στη ϑέση ισορροπίας x =. Το σώµα µαζας κινείται προς τα αριστερα αρνητικά x) µε αρχική ταχύτητα v) = v 1 και ϕτάνει µέχρι τη ϑέση x = A όπου µε ϐάση τα προηγούµενα ερωτήµατα έχουµε : A = µg + µ g ω 4 + v 1 ω < A 1 Εάν ka > µg τότε το σώµα ϑα κινηθεί προς τα δεξιά µέχρι τη ϑέση ισορροπίας όπου ϑα ϕτάσει µε ταχύτητα : v = v 1 4µgA < v 1 Εά υποθέσουµε τέλος ότι µg = ka T τότε κάποια στιγµή το σώµα ϑα ακινητοποιηθεί όταν A n < A T Εξαναγκασµένη ταλάντωση d x dt = kx bdx dt + F t) F t) = περιοδική δύναµη = F sinωt) Η λύση xt) είναι άθροισµα της λύσης της οµογενούς εξίσωσης χωρίς την εξωτερική δύναµη και µια µερική λύση της εξίσωσης µε την εξωτερική δύναµη F t). xt) = x οµογ t) + x εξ t)

13 6. Φθίνουσα και Εξαναγκασµένη Ταλάντωση 141 x οµογ t) = x ϕθιν t) = ce bt/ sin ωt + φ ) x οµογ t ) και παραµένει µόνο η λύση που οφείλεται στην εξωτερική δύναµη x εξ t) = A sinωt) + B cosωt) xt) = A sinωt) + B cosωt) για t τ = b Αντικαθιστούµε την xt) και τις παραγώγους στη διαφορική εξίσωση και υπολογίζουµε τους συντελεστές A, B. x t) = ωa cosωt) ωb sinωt) x t) = ω A sinωt) ω B cosωt) [ ω A ωbb + ka ] sinωt) + [ ω B + ωba + kb ] cosωt) = F sinωt) { ω A ωbb + ka = F ω B + ωba + kb = Από τη δεύτερη εξίσωση έχουµε A = k + ω B A = ω ωb b/)ω B, όπου ω = k και από την πρώτη εξίσωση παίρνουµε ω ω ) B = b F b ω ) A = ω + ω ) b F ω ω ) ) ω + ω ) Απόκρισή του συστήµατος στην εξωτερική δύναµη x = x sin ωt + φ ) όπου x = A + B x = F / [ ) ] 1/ b ω + ω ) tan φ = B A = b/)ω ω ω Η γωνία φ είναι πάντα αρνητική ω < ω π < φ < ω > ω π < φ < π Μέγιστη απορόφηση ενέργειας από το σύστηµα όταν η δύναµη είναι σε ϕάση µε την ταχύτητα διότι dw dt = F v v = dx dt = ωx cosωt + φ) όταν ω ω έχουµε φ π και η ταχύτητα είναι v ωx sinωt) σε ϕάση µε την δύναµη. Μέγιστο πλάτος ταλάντωσης : dx = dω ω=ωax

14 14 Ταλαντώσεις x x ax ω ax /ω 1 ω=ω ) ω/ω Σχήµα 6.1 Συντονισµός για ω ω ax, x = µέγιστο ω ax = ω x,ax = F b b 1 ω b /4 ) 1/ b x,ax, φ π Παρατήρηση : Οταν b = παίρνουµε B = και x = A sinωt) όπου A = F Εφαρµογή : εξαναγκασµένη ταλάντωση χωρίς απόσβεση 1 ω ω. Απλός αρµονικός ταλαντωτής έχει µάζα και ιδιοσυχνότητα ταλάντωσης ω. Την χρονική στιγµή t = καθώς ο ταλαντωτής περνά από τη ϑέση ισορροπίας µε ταχύτητα v ασκείται εξωτερική περιοδική δύναµη F t) = F cos ωt. α) Βρείτε την µετατόπιση xt) του ταλαντωτή από την ϑέση ισορροπίας. ϐ) Υποθέτωντας ότι ω ω δηλαδή ω = ω + δω και δω ϐρείτε την εξίσωση κίνησης του ταλαντωτή. α) Η εξίσωση κίνησης του ταλαντωτή υπό την επίδραση και της εξωτερικής δύναµης είναι : ϑέτοντας k = η εξίσωση κίνησης γίνεται : x = kx + F t) x + k x = F cos ωt x + x = F cos ωt Η Γενική Λύση της εξίσωσης κίνησης είναι το άθροισµα της Λύσης της Οµογενούς εξίσωσης συν µία Μερική Λύση λόγω της εξωτερικής δύναµης : xt) = A 1 cos ω t + B 1 sin ω t + A cos ωt x t) = ω A 1 sin ω t + ω B 1 cos ω t ωa sin ωt x t) = ω A 1 cos ω t ω B 1 sin ω t ω A cos ωt Με αντικατάσταση στην εξίσωση κίνησης ϐρίσκουµε ότι : ω A + A = F A = F 1 ω ω Παρατήρηση : Εάν προσθέσουµε στη λύση και τον όρο B sin ωt µπορούµε να δείξουµε εύκολα ότι τελικά έχουµε B =.

15 6. Φθίνουσα και Εξαναγκασµένη Ταλάντωση 143 Αρχικές συνθήκες Η λύση για την µετατόπιση xt) είναι : x) = A 1 + A = A 1 = A = F xt) = 1 ω ω v) = v ω B 1 = v B 1 = v ω F ω ω ) cos ωt cos ω t) + v ω sin ω t ϐ) Ζητάµε το όριο της xt) όταν ω = ω + δω και δω. Επειδή το δω είναι µία µικρή ποσότητα αναπτύσσουµε την συνάρτηση συνηµίτονο σε σειρά cos ωt = cosω t + δωt) = cos ω t sinω t)δωt 1 cosω t)δωt) και κρατάµε µόνο τον γραµµικό ως προς δω όρο. Ο όρος που είναι ανάλογος του δω) δεν συνεισφέρει στο όριο δω. Για τον παρονοµαστή της αρχικής έκφρασης έχουµε : ω ω = ω + ω)ω ω) = ω + δω) δω) ω δω στο όριο όπου δω. Αντικαθιστώντας στην αρχική συνάρτηση xt) της µετατόπισης ϐρίσκουµε : xt) = F ω δω cos ω t δωt sin ω t cos ω t) + v ω sin ω t xt) = F ω δω δωt) sin ω t + v ω sin ω t xt) = F ω t sin ω t + v ω sin ω t xt) = v ω + F ω t) sin ω t 6..4 Ηλεκτρικά κυκλώµατα R, L, C α) Κύκλωµα L, C V L + V C = L di dt + Q C = I = dq dt L d Q dt + Q C = Q = 1 LC Q Q = Q sin ω t + φ ) ω = 1 LC L +Q -Q C ϐ) Κύκλωµα R, L, C σε σειρά

16 144 Ταλαντώσεις V L + V R + V C = L di dt + IR + Q C = R = R 1 + R, I = dq dt L R 1 R C Φθίνουσα ταλάντωση L d Q dt + R dq dt + Q C = Q = Q e Rt/L sin ωt + φ ), ω = 1 LC ) R L γ) Κύκλωµα R, L, C και εξωτερική πηγή V t) = V sinωt) V L + V R + V C = V t) L di dt + IR + Q C = V sinωt) R = R 1 + R, I = dq dt L Vt) R 1 C R Συντονισµός ω = 1 LC R L µέγιστο Q LQ + RQ + Q C = V sinωt) Q = Q sin ωt + φ ) V /L Q = [ R ) ω L + ω 1 ) ] 1/ LC I = dq dt = ωq cos ωt + φ ) V ω/l I = ωq = [ R ) ω L + ω 1 ) ] 1/ LC R ) L V = I ω L ω + ω 1 ) LC V = I R + Lω 1 ) = ZI ωc ω = 1 LC µέγιστο I

17 6.3 Εφαρµογή για τη σύνθεση ταλαντώσεων διακρότηµα) 145 i) K M K M K ii) x 1 x Σχήµα Εφαρµογή για τη σύνθεση ταλαντώσεων διακρότηµα) ύο µάζες 1 = = ολισθαίνουν χωρίς τριβή σε οριζόντιο επίπεδο, υπό την επίδραση τριών ελατηρίων µε k 1 = k = k 3 = k. α) Υποθέστε ότι για t = οι µάζες ϐρίσκονται στις ϑέσεις ισορροπίας τους και v 1 = v. Βρείτε τη ϑέση της κάθε µάζας συναρτήσει του χρόνου και τη συχνότητα της ταλάντωσης. ϐ) v 1 = v για t = παρόµοια ερωτήµατα). γ) v 1 =, v =, x = a, y = για t = παρόµοια ερωτήµατα). Οι εξισώσεις κίνησης είναι Αθροίζουµε : Αφαιρούµε : d x 1 dt = kx 1 + k x x 1 ) d x dt = kx k x x 1 ) d dt x 1 + x ) = kx 1 + x ) d dt x 1 x ) = 3kx 1 x ) Ορίζουµε τις νέες µεταβλητές A = x 1 + x και B = x 1 x µε εξίσωση κίνησης Λύση των διαφορικών εξισώσεων : d A dt d B dt = ka ω A = k = 3kB ω B = 3k At) = A 1 sin ω A t + A cos ω A t Bt) = B 1 sin ω B t + B cos ω B t Γυρνάµε πίσω στα x 1, x : At) + Bt) x 1 t) = = 1 [A 1 sin ω A t + B 1 sin ω B t + A cos ω A t + B cos ω B t] At) Bt) x t) = = 1 [A 1 sin ω A t B 1 sin ω B t + A cos ω A t B cos ω B t]

18 146 Ταλαντώσεις Απάντηση στην περίπτωση α) µε x 1 t = ) =, x t = ) =, v 1 t = ) = v t = ) { x 1 ) = A + B = x ) = A B = A =, B = x 1 t) = A 1 sin ω At + B 1 sin ω Bt x t) = A 1 sin ω At B 1 sin ω Bt v 1 = dx 1 dt v = dx dt = ω A A 1 cos ω At + ω B B 1 cos ω Bt = ω A A 1 cos ω At ω B B 1 cos ω Bt A 1 v 1 ) = v ) ω A + ω B = ω A + ω B ω A A 1 = A 1 = διότι ω A x 1 t) = B 1 sin ω Bt x t) = B 1 sin ω Bt δηλαδή το σύστηµα ταλαντεύεται µε x 1 t) = x t) και µε συχνότητα ω B. B 1 A 1 B 1 Οµοια απαντάµε στην περίπτωση ϐ) όπου ϐρίσκουµε x 1 t) = A 1 sin ω At x t) = A 1 sin ω At δηλαδή το σύστηµα ταλαντεύεται µε x 1 t) = x t) και µε συχνότητα ω A = k/, σαν να µην υπάρχει το µεσαίο ελατήριο. Απάντηση στην περίπτωση γ) µε v 1 ) =, v ) =, x 1 ) = a, x ) = { v 1 ) = ω A A 1 + ω B B 1 = v ) = ω A A 1 ω B B 1 = A 1 =, B 1 = x ) = A = B x 1 t) = A cos ω At + cos ω B t) x t) = A cos ω At cos ω B t) x 1 ) = a = A = A A = a cos ω A t + cos ω B t = cos ω B ω A t cos ω B + ω A t cos ω A t cos ω B t = sin ω B ω A t sin ω B + ω A t [ )] ) ωb ω A ωb + ω A x 1 t) = a cos t cos t [ )] ) ωb ω A ωb + ω A x t) = a sin t sin t

19 6.3 Εφαρµογή για τη σύνθεση ταλαντώσεων διακρότηµα) 147 t t Σχήµα 6.1: ιακρότηµα