GMm. 1 2GM ) 2 + L2 2 + R L=4.5 L=4 L=3.7 L= 1 2 =3.46 L= V (r) = L 2 /2r 2 - L 2 /r 3-1/r

Μέγεθος: px

Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "GMm. 1 2GM ) 2 + L2 2 + R L=4.5 L=4 L=3.7 L= 1 2 =3.46 L= V (r) = L 2 /2r 2 - L 2 /r 3-1/r"

Ζώνα Ιωαννίδης
5 χρόνια πριν
Προβολές:

Ονοματεπώνυμο: Εθνικό και Καποδιστριακό Πανεπιστήμιο Αθηνών, Τμήμα Φυσικής Εξετάσεις στη Μηχανική Ι, Τμήμα Κ Τσίγκανου & Ν Βλαχάκη, Σεπτεμβρίου 05 Διάρκεια εξέτασης 3 ώρες, Καλή επιτυχία = bonus

κινείται μέσα στο ομογενές βαρυτικό πεδίο της Γης η μόνη δύναμη που δέχεται είναι το βάρος του m g) Σε κάποια στιγμή κινείται απομακρυνόμενο από την επιφάνεια της Γης με ταχύτητα μέτρου v και

1 Ονοματεπώνυμο: Εθνικό και Καποδιστριακό Πανεπιστήμιο Αθηνών, Τμήμα Φυσικής Εξετάσεις στη Μηχανική Ι, Τμήμα Κ Τσίγκανου & Ν Βλαχάκη, Σεπτεμβρίου 05 Διάρκεια εξέτασης 3 ώρες, Καλή επιτυχία = bonus ερωτήματα), ΑΜ: Να ληφθεί υπόψη η πρόοδος της 8ης Ιανουαρίου 05: ΟΧΙ ΝΑΙ αν ΝΑΙ μην απαντήσετε τα θέματα και Εχω παραδώσει εργασίες η η 3 η 4 η 5 η 6 η 7 η 8 η 9 η 0 η η η 3 η Θέμα ο : α) Σώμα κινείται μέσα στο ομογενές βαρυτικό πεδίο της Γης η μόνη δύναμη που δέχεται είναι το βάρος του m g) Σε κάποια στιγμή κινείται απομακρυνόμενο από την επιφάνεια της Γης με ταχύτητα μέτρου v και διεύθυνση που σχηματίζει γωνία θ με τον ορίζοντα Τη στιγμή εκείνη ζητούνται α ) η επιτρόχιος επιτάχυνση, α ) η κεντρομόλος επιτάχυνση, α 3 ) η ακτίνα καμπυλότητας της τροχιάς β) Ομοια αν στο σώμα ασκείται επιπλέον και αντίσταση αέρα μέτρου F v), αντίθετη στην ταχύτητα γ) Καθώς το σώμα κινείται υπό την επίδραση του βάρους του και μόνο αγνοήστε εδώ την αντίσταση), πότε η ακτίνα καμπυλότητας γίνεται ελάχιστη; Πόση είναι αυτή η ελάχιστη τιμή; δ) Στην περίπτωση με αντίσταση F v) v v ποια η συνθήκη ελάχιστης ακτίνας καμπυλότητας; Θέμα ο : α) Εστω ιδανικό εκκρεμές το οποίο εκτελεί μικρές ταλαντώσεις σε κατακόρυφο επίπεδο, μέσα σε υγρό Η συνισταμένη βάρους και άνωσης είναι mω0 m η μάζα του σώματος, η ακτίνα του νήματος και ω 0 σταθερά), ενώ η αντίσταση από το υγρό είναι mγ v σχ όπου γ θετική σταθερά με γ < ω 0 και v σχ = v c η ταχύτητα του σώματος ως προς το υγρό c είναι η ταχύτητα του υγρού) Αν το υγρό είναι ακίνητο c = 0) δώστε τη γενική λύση για την γωνιακή απομάκρυνση από τη θέση ισορροπίας φt) β) Εστω το προηγούμενο εκκρεμές ισορροπεί με το υγρό ακίνητο Σε κάποια στιγμή t = 0 το υγρό αρχίζει να κινείται με σταθερή οριζόντια ταχύτητα c β ) Θεωρώντας ότι η απομάκρυνση από την αρχική θέση μένει πάντα μικρή κάτι που ισχύει για αρκούντως μικρή c), βρείτε τη θέση του εκκρεμούς σε κάθε χρόνο t > 0 β ) Που θα καταλήξει το σώμα σε «μεγάλους» χρόνους; Ποια η έννοια των «μεγάλων» χρόνων; β 3 ) Ποιο το εύρος κίνησης του εκκρεμούς; Θα ξαναπεράσει από την αρχική του θέση; Για ποιες ταχύτητες c είναι σωστή η θεώρηση μικρών ταλαντώσεων; Θέμα 3 ο : Η κίνηση σώματος μάζας m γύρω από μια μελανή οπή Schwarzschild μάζας M περιγράφεται από τις διατηρήσεις στροφορμής L = mr θ και ενέργειας E = mṙ + L GM ) GMm mr c r r α) Το ολοκλήρωμα ενέργειας γράφεται E = mṙ + V r) με το γράφημα της V r) για διάφορες τιμές της στροφορμής να φαίνεται παρακάτω σε κατάλληλες μονάδες, με την δυναμική ενέργεια σε μονάδες mc, την απόσταση σε μονάδες GM/c και την στροφορμή σε μονάδες GM m/c) Τα μαύρα σημεία είναι τα ακρότατα της συνάρτησης V r) V r) = L /r - L /r 3 -/r L=45 L=4 L=37 L= =346 L= r Βρείτε τις ακτίνες όπου η V r) έχει ακρότατα, οι οποίες αντιστοιχούν σε κυκλικές τροχιές β) Δείξτε ότι όλες οι ευσταθείς κυκλικές τροχιές έχουν ακτίνες μεγαλύτερες του 6GM/c γ) Δείξτε ότι όλες οι τροχιές του σώματος είναι λύσεις της d u dθ + u = GMm + 3GM u με u = L c r δ) Εστω η ακτίνα κυκλικής ευσταθούς τροχιάς που αντιστοιχεί σε στροφορμή L, οπότε η u = / ικανοποιεί την εξίσωση του προηγούμενου ερωτήμα- τος, δηλ = GMm + 3GM Αν διαταράξουμε την κυκλική αυτή τροχιά χωρίς να αλλάξουμε τη L c + στροφορμή, δηλ u = + ɛθ) με ɛθ), ποια εξίσωση ικανοποιεί η συνάρτηση ɛθ) και ποια η λύση της;

2 Θέμα 4 ο : Ενας δορυφόρος της Γης κινείται κυκλικά σε απόσταση από το κέντρο της Σε κάποια στιγμή σπάει σε δύο ίσα μέρη μαζών m = m = m Το m αμέσως μετά τη διάσπαση κινείται στην ίδια κυκλική τροχιά, αλλά με αντίθετη φορά σε σχέση με την κίνηση του αρχικού δορυφόρου Βρείτε τα χαρακτηριστικά της κίνησης του m Συγκεκριμένα βρείτε: α) την ταχύτητά του αμέσως μετά τη διάσπαση, β) την ενέργεια και τη στροφορμή του, γ) την εκκεντρότητα της τροχιάς του, δ) την τελική ταχύτητά του μέτρο και διεύθυνση) και ε) την απόσταση b που φαίνεται στο σχήμα Δεδομένα θεωρούνται η μάζα της Γης M, η μάζα m, η ακτίνα και η σταθερά G m m b p Δίνονται οι σχέσεις r = + ε cos θ και ε = + L E G M m 3 με p = L GMm

3 ΛΥΣΕΙΣ: Θέμα ο : v Θέμα ο : O y ε n θ θ φ T g α ) a ε = a ˆε)ˆε = g ˆε)ˆε = g sin θ ˆε α ) a κ = a ˆn)ˆn = g ˆn)ˆn = g cos θ ˆn α 3 ) a κ = v / = v /g cos θ) β) Τώρα a = g F ˆε οπότε η επιτρόχιος γίνεται m a ε = a ˆε)ˆε = g sin θ F ) ˆε, ενώ η κεντρομόλος και η ακτίνα καμπυλότητας μένουν όπως πριν m γ) Είναι cos θ = v x v, όπου v x η οριζόντια συνιστώσα της ταχύτητας, η οποία μένει σταθερή Άρα η v g cos θ = v3 = γίνεται ελάχιστη στο ανώτατο gv x ύψος όπου η v γίνεται ελάχιστη Αφού v min = v x η ελάχιστη τιμή είναι min = v x g = v cos θ, δηλ g cos 3 θ φορές μικρότερη της = v /g cos θ) δ) Αν ˆx ο οριζόντιος άξονας στη φορά της οριζόντιας κίνησης και ŷ ο κατακόρυφος με φορά προς τα πάνω, είναι v x = F v x m v και v y = g F v y m v Χρησιμοποιώντας αυτές στην χρονική παράγωγο της = v x + vy) 3/ Ṙ βρίσκουμε gv x = 3g v y v v F ) Άρα όσο ανεβαίνει το σώμα 3mg v y > 0) η ελαττώνεται Το ίδιο και όταν κατεβαίνει v y < 0) όσο ισχύει v y < F Οταν γίνει v 3mg v y = F η ακτίνα καμπυλότητας γίνεται ελάχιστη Στη συνέχεια η v y συνεχίζει να v 3mg αυξάνεται μέχρι να πάρει τη μέγιστη τιμή της όταν F = mg Στην περιοχή αυτή η ακτίνα καμπυλότητας επίσης αυξάνεται και γίνεται άπειρη όταν η ταχύτητα αποκτά την οριακή της τιμή διότι v x 0) Η συνθήκη για ελάχιστη ακτίνα καμπυλότητας γράφεται και σαν mg = 3 F, όπου g = g v v = g v y v η προβολή του g πάνω στην κίνηση Αν mg < 3 F η μειώνεται ενώ αν mg > 3 F αυξάνεται m φ x v = φ ˆφ, a = φ ˆφ φ ˆϖ Η προβολή του νόμου Νεύτωνα στη διεύθυνση ˆφ δίνει την εξίσωση κίνησης m φ = mω0ˆx ˆφ mγ φ c ˆφ) Είναι ˆx ˆφ = sin φ ενώ για οριζόντια ταχύτητα του υγρού c = cŷ είναι c ˆφ = c cos φ Επομένως η γενική εξίσωση κίνησης είναι m φ = mω0 sin φ mγ φ + mγc cos φ φ + γ φ + ω0 sin φ γc cos φ = 0 α) Για ακίνητο υγρό c = 0) και μικρές ταλαντώσεις sin φ φ) έχουμε φ+γ φ+ω 0φ = 0 Οι λύσεις του χαρακτηριστικού πολυωνύμου για ασθενή απόσβεση είναι γ ± iω με ω = ω0 γ, οπότε η γενική λύση είναι φ = e γt [C cosωt) + C sinωt)] β ) Για οριζόντια κινούμενο υγρό με σταθερή ταχύτητα c = cŷ και μικρές ταλαντώσεις κρατώντας μέχρι πρώτης τάξης όρους ως προς φ θέτουμε sin φ φ, cos φ ) έχουμε φ + γ φ + ω0φ = γc φ = γc ω 0 φ c Μια μερική λύση είναι η σταθερά, ενώ η λύση της ομογενούς βρέθηκε ω0 πριν Επομένως η γενική λύση είναι φ = φ + e γt [C cosωt) + C sinωt)] και η παράγωγός της φ = e γt [ωc γc ) cosωt) γc + ωc ) sinωt)] Με αρχικές συνθήκες φt = 0) = 0, φt = 0) = 0 βρίσκουμε C = φ, C = γ ω φ, οπότε η λύση είναι φt) = φ φ ω e γt [ω cosωt) + γ sinωt)] Ορίζοντας ω = ω 0 cos λ και γ = ω 0 sin λ με λ 0, π/), η λύση μπορεί να γραφεί σαν φt) = φ φ cos λ e ω 0t sin λ cosλ ω 0 t cos λ) β ) Το σώμα θα καταλήξει στη γωνία φ Θεωρητικά αυτό θα γίνει σε t, πρακτικά όμως σε «μεγάλους» χρόνους 5/γ στους οποίους το e γt μπορεί να θεωρηθεί μηδέν

4 Η τελική θέση ισορροπίας βρίσκεται και από την απαίτηση οι συνιστώσες του βάρους και της αντίστασης πάνω στο ˆφ να αλληλοαναιρούνται Ετσι βρίσκουμε το ακριβές αποτέλεσμα mω0 sin φ = mγc cos φ tan φ = γc το οποίο για μικρές ω0 γωνίες δίνει φ = γc ω0 β 3 ) Αφού φ = φ ω0 ω e γt sinωt) η φt) είναι αύξουσα στα διαστήματα ωt kπ, kπ + π) με k N στα οποία αυξάνεται από φ ) e kπγ/ω σε φ ) + e k+)πγ/ω και φθίνουσα στα διαστήματα ωt kπ + π, kπ + π) με k N στα οποία μειώνεται από φ ) + e k+)πγ/ω σε φ ) e k+)πγ/ω Ολα τα τοπικά ελάχιστα είναι θετικά για k N και μηδέν για k = 0 Άρα φ > 0 για t > 0, δηλ το σώμα δεν ξαναγυρίζει στην αρχική θέση Το μεγαλύτερο από τα τοπικά μέγιστα της γωνίας είναι το φ max = φ ) + e πγ/ω Η προσέγγιση των «μικρών» γωνιών ισχύει σε κάθε χρόνο αν φ max, ή ισοδύναμα αν c ω0/γ Το επόμενο γράφημα δείχνει τη λύση για γ/ω 0 = 0 Φαίνονται τα τοπικά ελάχιστα και μέγιστα +e -γt φt)/φ -e -γt 0 π π 3π 4π 5π 6π 7π ωt Το επόμενο γράφημα δείχνει τη λύση για διάφορα γ/ω 0 Για συγκεκριμένα ω 0 και c, το γ καθορίζει την περίοδο, την τελική θέση και το πόσο γρήγορα φτάνει το σώμα σε αυτή ω 0 /c)φ γ/ω 0 =099 γ/ω 0 =06 γ/ω 0 =04 γ/ω 0 =0 γ/ω 0 = ω 0 t Θέμα 3 ο : α) dv dr = GMm r 4 ) r L GMm r + 3L m c = 0 στα σημεία r = ± = L ± λ ) = 6GM/c ό- GMm λ που λ = G M m Οπως φαίνεται από L c το σχήμα η μεγαλύτερη ακτίνα αντιστοιχεί σε ελάχιστο οπότε είναι ευσταθής και η μικρότερη ακτίνα αντιστοιχεί σε μέγιστο και είναι ασταθής Το ίδιο προκύπτει και από τη μελέτη της μονοτονίας της V μέσω του πρόσημου της παραγώγου dv /dr, το οποίο είναι αρνητικό ανάμεσα στις ρίζες ± και θετικό για r > και r < β) Προφανώς τα ακρότατα αυτά υπάρχουν αν το υ- πόριζο στην έκφραση του λ είναι θετικό, δηλ αν GMm L > το οποίο αντιστοιχεί σε ακτίνες c > 6GM/c Η ελάχιστη τιμή 6GM/c αντιστοιχεί στην «εσώτατη ευσταθή κυκλική τροχιά» innermost stable circularbit) dr γ) Θέτοντας ṙ = θ dθ = L dr mr dθ = L du στο ο- m dθ ) λοκλήρωμα ενέργειας έχουμε E = L du + m dθ L m u L GM u 3 GMmu Παραγωγίζοντας mc ) ως προς u έχουμε 0 = L du d du + L m dθ du dθ m u 3L GM u GMm Θέτοντας du d mc dθ du = d dθ βρίσκουμε τη ζητούμενη Αλλιώς: Το ολοκλήρωμα ενέργειας δείχνει ότι το πρόβλημα είναι ισοδύναμο με κίνηση σώματος σε κεντρικό πεδίο V r) = L GM ) GMm, mr c r r F r) = dv dr = GM 3L mc r 4 GMm Αντικαθι- r στώντας τη δύναμη αυτή στην εξίσωση d u dθ + u = mf βρίσκουμε τη ζητούμενη L u δ) Αντικαθιστώντας u = + ɛθ) στην εξίσωση που καθορίζει την τροχιά και διώχνοντας τόσο τους όρους μηδενικής τάξης λόγω της = GMm + 3GM ) όσο και τον όρο δεύτερης τάξης L c + ɛ, βρίσκουμε d ɛ dθ + 6GM c ) ɛ = 0, ή αντικα-

5 θιστώντας την ακτίνα d ɛ dθ + λ ɛ = 0 Η διαταραχή γύρω από την τροχιά ακτίνας είναι αρμονική συνάρτηση ɛ = e cos [λ θ θ 0 )] με κατάλληλη στροφή του συστήματος μπορούμε να διώξουμε τη σταθερά θ 0 ) Φαίνεται κι από εδώ ότι η τροχιά αυτή είναι ευσταθής Η εξίσωση της διαταραγμένης τροχιάς είναι r = + e cos λθ) Η εξίσωση αυτή περιγράφει έλλειψη της οποίας το περίκεντρο μεταπίπτει δείτε και το 4ο θέμα της ε- ξέτασης 6//0) Ομοια μελέτη για διαταραχές γύρω από την ασταθή κυκλική τροχιά καταλήγει στην εξίσωση d ɛ dθ λ ɛ = 0, εξίσωση που έχει εκθετικές λύσεις κάτι που δείχνει ότι η τροχιά είναι ασταθής Θέμα 4 ο : α) Η αρχική ταχύτητα του δορυφόρου είναι v o = GM από m)v o = GMm) ) ro Το m κινείται επίσης με ταχύτητα v o από mv o = GMm ) r o Από διατήρηση ορμής m)v o = mv o + mv GM v = 3v o = 3 είναι η αρχική ταχύτητα του m β) E = mv GMm = 7 GMm, L = m v = 3m GM γ) ε = + L E G M m = 8 3 δ) Το m εκτελεί υπερβολική τροχιά Η τελική ταχύτητά του έχει μέτρο v με E = mv v = 7GM Οταν η απόσταση απειρίζεται είναι +ε cos θ = 0 θ = arccos ) = π 8 + arcsin 8 π + 8 ακτίνια = 97 μοίρες Άρα η τελική ταχύτητα σχηματίζει γωνία 7 μοιρών με την αρχική ε) L = m r v = mr v = mbv b = 3 7

Σχετικά έγγραφα

γ /ω=0.2 γ /ω=1 γ /ω= (ω /g) v. (ω 2 /g)(x-l 0 ) ωt. 2m.

γ /ω=0.2 γ /ω=1 γ /ω= (ω /g) v. (ω 2 /g)(x-l 0 ) ωt. 2m. Μηχανική Ι Εργασία #7 Χειμερινό εξάμηνο 015-016 Ν. Βλαχάκης 1. Σώμα μάζας m και φορτίου q κινείται σε κατακόρυφο άξονα x, δεμένο σε ελατήριο σταθεράς k = mω του οποίου το άλλο άκρο είναι σταθερό. Το σύστημα