ΕΙΣΑΓΩΓΗ. Γεράσιμος Μ. ΚΩΤΣΟΒΟΣ 1, Δημήτριος Μ. ΚΩΤΣΟΒΟΣ 2

Transcript

1 3 o Πανελλήνιο Συνέδριο Αντισεισμικής Μηχανικής & Τεχνικής Σεισμολογίας 5 7 Νοεμβρίου, 28 Άρθρο Αντισεισμικός σχεδιασμός τοιχωμάτων από οπλισμένο σκυρόδεμα: Μια προσπάθεια αποφυγής υπερ-όπλισης Seismic design of structural concrete walls: An attempt to reduce reinforcement congestion Γεράσιμος Μ. ΚΩΤΣΟΒΟΣ 1, Δημήτριος Μ. ΚΩΤΣΟΒΟΣ 2 ΠΕΡΙΛΗΨΗ: Στην παρούσα εργασία γίνεται χρήση μη γραμμικής ανάλυσης με τη μέθοδο των πεπερασμένων στοιχείων για μια συγκριτική μελέτη της συμπεριφοράς δύο τύπων τοιχωμάτων, τοιχωμάτων W1 με λόγο διατμητικού μήκους προς στατικό ύψος μεταξύ 1 και 2 και τοιχωμάτων W2 με τιμή του ανωτέρω λόγου μεγαλύτερη από 2. Τα τοιχώματα αυτά, που υποβάλλονται σε στατική (μονότονη και ανακυκλιζόμενη) και δυναμική (σεισμική) φόρτιση, έχουν τα ίδια γεωμετρικά χαρακτηριστικά και κατακόρυφο οπλισμό, αλλά διαφέρουν ως προς τη διάταξη του οριζόντιου οπλισμού, ο οποίος είναι σχεδιασμένος σύμφωνα είτε με ισχύουσες κανονιστικές αντισεισμικές διατάξεις είτε με τη μέθοδο της τροχιάς θλιπτικής δύναμης. Τα αριθμητικά αποτελέσματα δείχνουν ότι η υιοθέτηση της δεύτερης από τις παραπάνω μεθόδους οδηγεί σε σημαντικά λιγότερο εγκάρσιο οπλισμό, ενώ, ταυτοχρόνως, ικανοποιεί τις κανονιστικές απαιτήσεις. ABSTRACT: Nonlinear finite element analysis is used for a comparative study of the behaviour of two types of structural concrete walls, walls W1 with a value of the shear spanto-depth ratio between 1 and 2, and walls W2 with a value of the above ratio larger than 2. The walls, which are subjected to static (monotonic and cyclic) and dynamic (seismic excitation) loading, have the same geometry and vertical reinforcement details, but differ in the horizontal reinforcement arrangement, the latter designed either in compliance with the earthquake-resistant design clauses of current codes or in accordance with the method of the compressive force path. The results obtained indicate that adopting the latter method yields significantly more efficient design solutions without compromising the code performance requirements. ΕΙΣΑΓΩΓΗ Οι ισχύοντες κανονισμοί για τον αντισεισμικό σχεδιασμό τοιχωμάτων οπλισμένου σκυροδέματος προδιαγράφουν δύο διακριτές διατάξεις οπλισμού: μια, η οποία σχηματίζει «κρυφοκολώνες» (που συνήθως εκτείνονται μεταξύ θεμελίου και πρώτου ορόφου κτιρίων) στα δύο καθ ύψος άκρα των τοιχωμάτων, και την άλλη, η οποία αποτελείται από δύο επίπεδα πλέγματα από ομοιόμορφα διανεμημένες κατακόρυφες και οριζόντιες ράβδους, 1 Επιστημονικός Συνεργάτης, Εργαστήριο Οπλισμένου Σκυροδέματος, ΕΜΠ, gkotsov@gmail.com 2 Research Assistant, Civil Engineering Department, Imperial College London.

2 διατεταγμένα παράλληλα στις πλευρικές επιφάνειες των στοιχείων (ACI-318-6, EC2 24, ΕΚΩΣ 2). Με τη μόρφωση κρυφοκολώνων επιδιώκεται η εξασφάλιση πλάστιμης συμπεριφοράς, ενώ ο κορμός του τοιχώματος σχεδιάζεται έτσι ώστε να αποφευχθεί κάθε μορφή αστοχίας σε τέμνουσα, πριν την εξάντληση της καμπτικής αντοχής. Η επιδιωκόμενη πλαστιμότητα θεωρείται ότι επιτυγχάνεται με την περίσφιξη του σκυροδέματος (στον κορμό των κρυφοκολώνων) μέσω μια πυκνής διάταξης συνδετήρων, αυξάνοντας έτσι τόσο την αντοχή όσο και την παραμορφωσιμότητα του υλικού. Ταυτοχρόνως, η αστοχία σε τέμνουσα εμποδίζεται με την τοποθέτηση ικανού αριθμού οριζόντιων ράβδων οπλισμού. Θα πρέπει επίσης να σημειωθεί ότι ο υπολογισμός της καμπτικής αντοχής θα πρέπει να λαμβάνει υπόψη τη συμβολή όλων των κατακόρυφων ράβδων, δηλ., τόσο αυτών που είναι τοποθετημένες στις κρυφοκολώνες, όσο και αυτών που ευρίσκονται στον κορμό των τοιχωμάτων. Όμως, η παραπάνω διαδικασία σχεδιασμού έχει μια σημαντική αδυναμία: η πυκνή διάταξη των συνδετήρων περίσφιξης συχνά οδηγεί σε υπερόπλιση των κρυφοκολώνων, η οποία προκαλεί δυσκολία στη σκυροδέτηση με αποτέλεσμα την ατελή συμπύκνωση του υλικού. Στόχος της παρούσης εργασίας, λοιπόν, είναι η διερεύνηση της δυνατότητας μείωσης των συνδετήρων χωρίς, όμως, ταυτόχρονη μείωση της φέρουσας ικανότητας και της πλαστιμότητας σε τιμές μικρότερες από αυτές, τις οποίες οι ισχύουσες διατάξεις των κανονισμών θεωρείται ότι εξασφαλίζουν. Η εργασία βασίζεται σε σχετικά πρόσφατα πειραματικά δεδομένα τα οποία δείχνουν ότι, όταν η τιμή του ασκούμενου φορτίου πλησιάζει τη φέρουσα ικανότητα, το σκυρόδεμα στη θλιβόμενη ζώνη γραμμικών στοιχείων οπλισμένου σκυροδέματος σε κάμψη υπόκειται σε τριαξονική ένταση, που αναπτύσσεται για λόγους συμβιβαστού των παραμορφώσεων, ανεξάρτητα από την παρουσία ή όχι οπλισμού περίσφιξης (Kotsovos & Pavlovic 1995, Kotsovos & Pavlovic 1999). Τοπικά, η τριαξονική αυτή ένταση χαρακτηρίζεται από την παρουσία εγκάρσιου εφελκυσμού η οποία είναι δυνατόν να προκαλέσει ξαφνική απώλεια της φέρουσας ικανότητας, όταν η θλιβόμενη ζώνη δεν είναι κατάλληλα οπλισμένη. Ο απαιτούμενος για το σκοπό αυτό οπλισμός μπορεί να υπολογισθεί με τη μέθοδο της «τροχιάς της θλιπτικής δύναμης» (Kotsovos & Pavlovic 1999) και, όπως θα δειχθεί, είναι σημαντικά λιγότερος από την ποσότητα που προκύπτει από την εφαρμογή των κανονιστικών διατάξεων για περίσφιξη. Γίνεται φανερό από τα παραπάνω, λοιπόν, ότι, αν και είναι ευρέως αποδεκτό ότι στη θλιβόμενη ζώνη υπάρχει ανάγκη για οπλισμό περίσφιξης που να εξασφαλίζει επαρκή πλαστιμότητα των τοιχωμάτων, θα μπορούσε να υιοθετηθεί η άποψη ότι ο οπλισμός αυτός, στην πραγματικότητα, δεν απαιτείται ως οπλισμός περίσφιξης, αλλά για να αναλάβει τον εγκάρσιο εφελκυσμό, o οποίος αναπόφευκτα αναπτύσσεται όταν το στοιχείο πλησιάζει την οριακή κατάσταση αστοχίας του. Πράγματι, η τοποθέτηση οπλισμού για την ανάληψη του εγκάρσιου αυτού εφελκυσμού έχει ήδη βρεθεί ότι βελτιώνει σημαντικά την πλαστιμότητα γραμμικών στοιχείων οπλισμένου σκυροδέματος. Συνεπώς, στόχος της παρούσης εργασίας είναι η αποσαφήνιση του τρόπου με τον οποίο η τοποθέτηση συνδετήρων στις κρυφοκολώνες των τοιχωμάτων συνδέεται με την πλαστιμότητα των στοιχείων, καθώς μια τέτοια αποσαφήνιση θεωρείται ότι έχει πρωταρχική σημασία στην προσπάθεια μείωσης αυτού του τύπου οπλισμού σε ποσότητα μικρότερη αυτής που προκύπτει από την εφαρμογή των κανονιστικών διατάξεων. Η εργασία βασίζεται 2

3 σε μια συγκριτική διερεύνηση της συμπεριφοράς τοιχωμάτων σχεδιασμένων, αφ ενός μεν σύμφωνα με τη μέθοδο της τροχιάς της θλιπτικής δύναμης, βάσει της οποίας ο οπλισμός σχεδιάζεται έτσι ώστε να μπορεί να αναλάβει τον εγκάρσιο εφελκυσμό που αναπτύσσεται στις κρυφοκολώνες, και αφ ετέρου σύμφωνα με τις ισχύουσες αντισεισμικές διατάξεις σύγχρονων κανονισμών, όπως ο κανονισμός των ΗΠΑ (ACI 318-6), ο ευρωκώδικας (EC2 24) και η ελληνική έκδοση του ευρωκώδικα (ΕΚΩΣ 2), βάσει των οποίων οι συνδετήρες υπολογίζονται ως οπλισμός περίσφιξης. Δύο τύποι τοιχωμάτων με λόγο ύψους προς πλάτος ίσο με 1 και 2 οι οποίοι αναφέρονται ως W1 και W2, αντίστοιχα αποτελούν το αντικείμενο διερεύνησης της εργασίας. Η συμπεριφορά των τοιχωμάτων υπό στατική (μονότονη και ανακυκλιζόμενη) και δυναμική (σεισμική) φόρτιση διερευνήθηκε αριθμητικά κάνοντας χρήση ενός λογισμικού πεπερασμένων στοιχείων το οποίο είναι ικανό να εκτελέσει τριαξονική ανάλυση κατασκευών από οπλισμένο σκυρόδεμα και έχει βρεθεί να οδηγεί σε ρεαλιστικές προβλέψεις της συμπεριφοράς ενός ευρέους φάσματος δομικών στοιχείων (τοιχωμάτων συμπεριλαμβανομένων) σε όλες τις περιπτώσεις που χρησιμοποιήθηκε μέχρι του παρόντος (Kotsovos & Pavlovic 1995, Cotsovos 24, Cotsovos & Pavlovic 25, 26). Εις την εργασία έμφαση δίδεται στη σύγκριση των αναλυτικών αποτελεσμάτων, και όχι στη περιγραφή της μεθόδου ανάλυσης δεδομένου ότι αυτή έχει αποτελέσει το αντικείμενο προγενέστερων δημοσιεύσεων. Θα πρέπει να σημειωθεί ότι τα αποτελέσματα ανάλυσης σε πολλές περιπτώσεις αντιμετωπίζονται με καχυποψία. Εντούτοις, η επιλογή μιας αναλυτικής μεθόδου ως βάσης της παρούσης εργασίας έγινε όχι μόνο διότι το λογισμικό που επελέγη για το σκοπό αυτό θεωρείται αξιόπιστο, καθώς έχει ήδη βρεθεί να οδηγεί σε προβλέψεις συμπεριφοράς που συγκλίνουν σε πειραματικά δεδομένα, αλλά επίσης διότι το κόστος μιας αναλυτικής διερεύνησης είναι σημαντικά χαμηλότερο μιας αντίστοιχης πειραματικής, η οποία επίσης απαιτεί πολύ εξειδικευμένο εξοπλισμό, ειδικά στην περίπτωση δοκιμών υπό δυναμικό (σεισμικό) φορτίο. Λεπτομέρειες σχεδιασμού ΥΠΟ ΕΞΕΤΑΣΗ ΤΟΙΧΩΜΑΤΑ Οι λεπτομέρειες σχεδιασμού των τοιχώμάτων φαίνονται στο σχήμα 1. Από το σχήμα 1 φαίνεται ότι τα τοιχώματα W1 έχουν μήκος βάσης l=3m(βλ. Σχήμα 1α) ενώ τα τοιχώματα W2 μήκος ίσο με l=1.5m (βλ. σχήμα 1β). Το ύψος h και πάχος b των τοιχωμάτων είναι ίσο με 3 m και 25 mm, αντίστοιχα. Στις κρυφοκολώνες και των δύο τύπου τοιχωμάτων τοποθετείται κατακόρυφος διαμήκης οπλισμός 6Φ2 σε ζεύγη, διανεμημένα σε απόσταση 15mm από κέντρο βάρος σε κέντρο βάρους διατομής ράβδου, ενώ στον κορμό των τοιχωμάτων τοποθετείται κατακόρυφος οπλισμός διαμέτρου d=12mm σε ζεύγη διανεμημένα σε αποστάσεις 2 mm για τα τοιχώματα τύπου W1 και αποστάσεις 25 mm για τα τοιχώματα τύπου W2. H τάση διαρροής (f y ) και αστοχίας (f u ) του χάλυβα είναι 5 MPa και 6 ΜPa αντίστοιχα, ενώ η θλιπτική αντοχή του σκυροδέματος είναι ίση με f c = 3 MPa Σε αντίθεση με τον κατακόρυφο οπλισμό, ο οριζόντιος οπλισμός τοποθετήθηκε αναλόγως με την μεθοδολογία σχεδιασμού με την οποία σχεδιάσθηκε το κάθε τοίχωμα. Στις 3

4 κρυφοκολώνες τοποθετήθηκαν κλειστοί συνδετήρες διαμέτρου Φ8 ανά 62 mm (ΑCI 318), 82 mm (EC2) και 26 mm (ΕΚΩΣ) για τα τοιχώματα τύπου W1 (να σημειωθεί εδώ ότι για τον τύπο τοιχωμάτων W1 σύμφωνα με την μέθοδο ΤΘΔ δεν απαιτούνται συνδετήρες στις κρυφοκολώνες) και συνδετήρες Φ8 ανά 62 mm (ΑCI 318), 58 mm (EC2), 44 mm (ΕΚΩΣ) και 263 mm (ΤΘΔ) για τα τοιχώματα τύπου W2. Ο οριζόντιος οπλισμός του κορμού συνίσταται από ευθύγραμμες ράβδους διαμέτρου Φ8 οι οποίες τοποθετούνται σε κάθε πλευρά του κορμού σχηματίζοντας εσχάρα με τον κατακόρυφο οπλισμό του κορμού. Η μεταξύ απόσταση μεταξύ των ράβδων του οριζόντιου οπλισμού του κορμού είναι 16 mm (ACI 318 & EC2) και 25 (ΕΚΩΣ & ΤΘΔ) για τα τοιχώματα τύπου W1, και 16 mm (ACI 318), 135 mm (EC2), 185 mm (ΕΚΩΣ) και 343 mm (ΤΘΔ) για τα τοιχώματα τύπου W2. Σημειώνεται εδώ ότι δεν έγινε καμία προσπάθεια για επιλογή τιμών για την διάμετρο και τις αποστάσεις του εγκάρσιου οπλισμού οι οποίες έχουν πρακτική εφαρμογή (αυτές που απορρέουν από τις κανονιστικές διατάξεις) καθώς η διαδικασία και τα αποτελέσματα της ανάλυσης είναι ανεξάρτητα από αυτές. Επίσης με την επιλογή των υπολογισθέντων τιμών γίνονται πιο εύκολα αντιληπτές οι διαφορές μεταξύ των μεθόδων σχεδιασμού. Όπως και στην περίπτωση του κατακόρυφου οπλισμού, η τάση διαρροής (f y ) και αστοχίας (f u ) του χάλυβα είναι 5 MPa και 6 ΜPa αντίστοιχα. Αναλόγως με την μέθοδο με την οποία σχεδιάστηκε η διάταξη του εγκάρσιου οπλισμού τα τοιχώματα αναφέρονται ως W1-ACI, W1-CFP, W1-EC, W1-EKOS, W2-ACI, W2-CFP, W2-EC και W2-EKOS. Από το Σχήμα 1 γίνεται εύκολα αντιληπτό και είναι ενδιαφέρον να σημειωθεί ότι, σύμφωνα με τη μέθοδο της ΤΘΔ, για τα τοιχώματα τύπου W1 δεν απαιτούνται συνδετήρες στις κρυφοκολώνες, ενώ απαιτείται αρκετά μικρότερο ποσοστό εγκάρσιου οπλισμού στον κορμό του τοιχίου. Επίσης για τα τοιχώματα τύπου W2 απαιτείται 5 φορές λιγότερο ποσοστό συνδετήρων στις κρυφοκολώνες και περίπου 2 φορές λιγότερο ποσοστό εγκάρσιου οπλισμού στον κορμό του τοιχώματος. Τύποι φόρτισης Τα τοιχώματα υποβλήθηκαν σε τρεις τύπους οριζόντιου φορτίου το οποίο εφαρμόσθηκε στον οριζόντιο άξονα συμμετρίας του άκαμπτου πρισματικού στοιχείου το οποίο βρίσκεται στην κορυφή του τοιχώματος και συνδέεται μονολιθικά με αυτό (βλ. Σχήμα 1) : α) στατικό μονοτονικά αυξανόμενο φορτίο μέχρι την αστοχία του τοιχώματος, β) στατικό ανακυκλιζόμενο φορτίο επίσης αυξανόμενο μέχρι αστοχίας από μία τιμή που αντιστοιχεί στο 5% του καμπτικού στατικού φορτίου αστοχίας, με βήματα που αντιστοιχούν στο 1% του φορτίου αστοχίας σε κάθε ανακύκλιση όπως φαίνεται στο σχήμα 2 και γ) σεισμική επιτάχυνση, όπως φαίνεται στο Σχήμα 3 υποθέτοντας την ύπαρξη μιας «αβαρούς» μάζας 1 τόνων στο κέντρο βάρους του άκαμπτου πρισματικού στοιχείου. Σχεδιασμός Τα τοιχώματα σχεδιάσθηκαν για φορτίο σχεδιασμού το οποίο αντιστοιχεί στην πλήρη εξάντληση της καμπτικής αντοχής της διατομής της βάσης του τοιχώματος όπου σχηματίζεται πλαστική άρθρωση. Από τα γεωμετρικά και μηχανικά χαρακτηριστικά της διατομής και υποθέτοντας ορθογωνική κατανομή των θλιπτικών τάσεων σε όλο το ύψος της θλιβόμενης ζώνης με τιμή ίση με f c και λαμβάνοντας υπόψη τον κατακόρυφο οπλισμό τόσο των κρυφοκολώνων όσο και του κορμού του τοιχώματος, υπολογίσθηκε η καμπτική αντοχή M f 4

5 της διατομής του τοιχώματος. Από την καμπτική αντοχή κάνοντας χρήση των συνθηκών ισορροπίας υπολογίσθηκε το φορτίο αστοχίας Pf το οποίο αντιστοιχεί στην τέμνουσα δύναμη Vf του τοιχώματος. Οι τιμές των Mf και Vf που υπολογίσθηκαν είναι 4671 knm και 157 kn για τα τοιχώματα τύπου W1 και 1595 και 515kN για τα τοιχώματα τύπου W2. Η τιμή της Vf χρησιμοποιήθηκε για τον υπολογισμό του οριζόντιου οπλισμού ο οποίος απαιτείται για την αποφυγή ψαθυρών αστοχιών. Οι συντελεστές ασφαλείας σε κάθε περίπτωση υπολογισμού ελήφθησαν ίσοι με την μονάδα. 1 P ACI & EC2:D8/16 EKOS & CFP: D8/25 2 2x(11D12/2) 2x(3D2/15) 3 ACI : D8/62 EC2:D8/82 EKOS: D8/ x2= Σχήμα 1α. Λεπτομέρειες σχεδιασμού τοιχωματων W1 5

6 1 P 2 2x(3D12/25) ACI: 2x(D8/16) EC2: 2x(D8/135) EKOS: (2xD8/185) CFP: (2xD8/343) 2x(3D2/15) 3 (*) CFP CC stirrups extending to 125 on either side ACI: D8/62 EC2: D8/58 EKOS: D8/44 CFP: D8/263 (*) Σχήμα 1β. Λεπτομέρειες σχεδιασμού τοιχωματων W2 Όπως αναφέρθηκε προηγουμένως, ο εγκάρσιος οπλισμός των τοιχωμάτων υπολογίσθηκε είτε σύμφωνα με τους κανονισμούς λαμβάνοντας υπόψη της αντισεισμικές διατάξεις (ACI318-6, EC2 24 και ΕΚΩΣ 2) είτε σύμφωνα με την μέθοδο ΤΘΔ. Στο σχήμα 1 φαίνεται η πυκνή δίαταξη των συνδετήρων σε όλο το ύψος των κρυφοκολώνων την οποία προδιαγράφουν οι κανονισμοί, με τον ΕΚΩΣ να προδιαγράφει την πυκνότερη διάταξη, ειδικά για τα τοιχώματα τύπου W1. Η πύκνωση αυτή (η οποία προκύπτει από τις σχέσεις 21-4 στον ACI (παρ ), 5-15 στον EC2 (παρ ) και στον ΕΚΩΣ) θεωρείται 6

7 ότι οδηγεί στην περίσφιξη του σκυροδέματος των κρυφοκολώνων, στην αύξηση της παραμορφωσιμότητας του σκυροδέματος και συνεπώς στην πλάστιμη συμπεριφορά του τοιχώματος κατά την αστοχία. Σε αντίθεση με την λογική των κανονισμών η μέθοδος της ΤΘΔ απαιτεί αρκετά λιγότερο αριθμό συνδετήρων στις κρυφοκολώνες, όχι για την περίσφιξη του σκυροδέματος, αλλά για την ανάληψη των εγκάρσιων εφελκυστικών τάσεων στην θλιβόμενη ζώνη, οι οποίες είναι αποτέλεσμα της αναδιανομής των τάσεων λόγω της απώλειας της συνάφειας του καμπτόμενου οπλισμού και του σκυροδέματος. Απαραίτητη προϋπόθεση για την κατανόηση της λογικής αυτής, είναι η αντίληψη της τριαξονικής συμπεριφοράς του σκυροδέματος στην περιοχή της θλιβόμενης ζώνης η οποία συμβαίνει αναπόφευκτα λόγω της ανομοιογένειας του υλικού και είναι ανεξάρτητη της παρουσίας εγκάρσιου οπλισμού. P/P f 1. δ.7.5 -,6 -,8 time Σχήμα 2. Ιστορία ανακυκλιζόμενης φόρτισης Όσον αφορά τον κορμό του τοιχώματος ο οπλισμός που υπολογίσθηκε σύμφωνα με τους ισχύοντες κανονισμούς (βλ. παρ και 21.7 στον ACI, 6.2 και 9.6 στον ΕC2, και β(2) και στον ΕΚΩΣ) τοποθετήθηκε για την αποφυγή αστοχίας σε τέμνουσα πριν την εξάντληση της καμπτικής αντοχής. Αντίθετα ο οριζόντιος οπλισμός στον κορμό του τοιχώματος, σύμφωνα με την μέθοδο ΤΘΔ τοποθετήθηκε α) στα τοιχώματα τύπου W1 για την αύξηση της καμπτικής ροπής που αντιστοιχεί στο μέγιστο φορτίο αντοχής στο επίπεδο της καμπτικής αντοχής και όχι στην ανάληψη της τέμνουσας δύναμης και β) στα τοιχώματα τύπου W2 για την ανάληψη της εφελκυστικής δύναμης στην περιοχή της αλλαγής της διεύθυνσης της τροχιάς των θλιπτικών τάσεων λόγω της κάμψης. 7

8 3 2 acceleration (g) time (sec) Σχήμα 3. Επιταχυνσιογράφημα που υιοθετήθηκε για τη σεισμική φόρτιση ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΠΕΡΙΓΡΑΦΗ ΛΟΓΙΣΜΙΚΟΥ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΩΝ ΣΤΟΙΧΕΙΩΝ Περιγραφή μη γραμμικής διαδικασίας Το ανωτέρω λογισμικό είναι ικανό να εκτελέσει τριαξονική, μη-γραμμική στατική και δυναμική ανάλυση, κάνοντας χρήση του καταστατικού προσομοιώματος που αναφέρεται παρακάτω. Η προσομοίωση του σκυροδέματος ως στερεού γίνεται με στοιχεία Lagrange 27 κόμβων με 3x3x3 σημεία ολοκλήρωσης ενώ των ράβδων οπλισμού με το ισοπαραμετρικό (παραβολικό) στοιχείο δικτυώματος με 3 κόμβους και δυνατότητα 2 ή 3 σημείων ολοκλήρωσης, ανάλογα με τον αριθμό των σημείων ολοκλήρωσης των πρισματικών στοιχείων με το οποία χρησιμοποιείται. Η υιοθέτηση τριαξονικής ανάλυσης υπαγορεύεται από την ανάγκη να υπολογισθεί με ακρίβεια η εντατική κατάσταση της κατασκευής, δεδομένου ότι η αντοχή (ρηγμάτωση) του σκυροδέματος είναι εξαιρετικώς ευαίσθητη ακόμη και σε μικρές μεταβολές των τιμών των συνιστωσών τάσεων. Η μη-γραμμική ανάλυση εκτελείται με μια επαναληπτική διαδικασία, την τροποποιηθείσα μέθοδο Newton-Raphson (Kotsovos & Pavlović 1995), η οποία χρησιμοποιείται για τον υπολογισμό των τάσεων, ανηγμένων παραμορφώσεων και μη-εξισορροπούμενων δυνάμεων (residual forces). Αρχικώς κάθε σημείο ολοκλήρωσης (σημείο Gauss) ελέγχεται για να προσδιορισθεί εάν επικρατούν συνθήκες φόρτισης ή αποφόρτισης, ενώ στη συνέχεια ελέγχεται για να διαπιστωθεί εάν υφιστάμενες ρωγμές κλείνουν ή νέες ρωγμές ανοίγουν. Αναλόγως με τα αποτελέσματα των ελέγχων αυτών γίνονται τροποποιήσεις των μητρώων των μηχανικών ιδιοτήτων των υλικών σε μεμονωμένα πεπερασμένα στοιχεία και, συνεπώς, του μητρώου στιβαρότητας της κατασκευής. Με βάση αυτές τις τροποποιήσεις υπολογίζονται οι μετατοπίσεις και οι διορθώσεις των ανηγμένων παραμορφώσεων και των τάσεων, ενώ σύγκλιση επιτυγχάνεται όταν οι διορθώσεις γίνονται μικρότερες από προεπιλεγμένες οριακές τιμές. Πλήρης περιγραφή της μη-γραμμικής διαδικασίας δίδεται αλλού (Cotsovos 24). 8

9 Για την επίλυση δυναμικών προβλημάτων γίνεται χρήση της έμμεσης μεθόδου Newmark, που επιτρέπει την αριθμητική επίλυση της εξίσωσης της κίνησης. Με το τρόπο αυτό το δυναμικό πρόβλήμα μετατρέπεται σε ένα ισοδύναμο στατικό, η επίλυση του οποίου μπορεί να γίνει με την επαναληπτική διαδικασία που έχει αναπτυχθεί στο υφιστάμενο λογισμικό επίλυσης στατικών μη-γραμμικών προβλημάτων. Η διαδικασία που ακολουθεί το παρόν λογισμικό προκειμένου να λάβει υπόψη του τη μη γραμμική συμπεριφορά του σκυροδέματος και του χάλυβα που εκδηλώνεται κατά την επιβολή της κάθε επαύξησης του εξωτερικού φορτίου στον φορέα, περιγράφεται πλήρως στη βιβλιογραφία (Κotsovos & Pavlovic 1995, Cotsovos 24) Καταστατικό προσομοίωμα σκυροδέματος Το καταστατικό προσομοίωμα του σκυροδέματος που είναι ενσωματωμένο στο παρόν λογισμικό έχει προκύψει από την ανάλυση πειραματικών αποτελεσμάτων. Τα αποτελέσματα αυτά προέρχονται από πειράματα σε κυλινδρικά δοκίμια και έχουν τη μορφή καμπύλων που εκφράζουν τις σχέσεις μεταξύ κύριων τάσεων και ανηγμένων παραμορφώσεων κατά τη διεύθυνση των κύριων τάσεων. Έχει την ικανότητα να περιγράφει με ακρίβεια τη συμπεριφορά του υλικού υπό τριαξονική ένταση (δεδομένου ότι η ανάπτυξη τριαξονικής έντασης είναι αναπόφευκτη σε μια κατασκευή όπως έχει προκύψει από πειράματα σε δοκούς υπό καμπτοδιατμητική ένταση). Ένα σημαντικό χαρακτηριστικό του προσομοιώματος είναι ότι ορίζεται πλήρως από μια και μόνη παράμετρο, την μονοαξονική θλιπτική αντοχή (f c ) του σκυροδέματος. Επιπροσθέτως δίδεται μεγάλη έμφαση στη συμπεριφορά του υλικού υπό τριαξονική ένταση, μέσω της οποίας περιγράφονται χαρακτηριστικά της συμπεριφοράς του σκυροδέματος τα οποία συνήθως αποδίδονται στην ύπαρξη φθιτού κλάδου, ενώ θεωρείται ότι οι μηχανικές ιδιότητες είναι ανεξάρτητες της ταχύτητας φόρτισης. Καταστατικό προσομοίωμα χάλυβα Για την ανάλυση φορέων από οπλισμένο σκυρόδεμα το λογισμικό υιοθετεί και ένα καταστατικό προσομοίωμα που περιγράφει την συμπεριφορά του χάλυβα. Επειδή ο χάλυβας είναι ένα υλικό ομοιογενές, συνεχές και ισότροπο, η μαθηματική διατύπωση του προσομοιώματος δεν είναι τόσο πολύπλοκη όσο στην περίπτωση του σκυροδέματος. Η συμπεριφορά του περιγράφεται από ένα διγραμμικό προσομοίωμα που περιγράφει τη συμπεριφορά μιας ράβδου από χάλυβα τόσο στην περίπτωση μονοαξονικού εφελκυσμού όσο και στην περίπτωση μονοαξονικής θλίψης. Aλληλεπίδραση οπλισμού και σκυροδέματος Στο παρόν λογισμικό χρησιμοποιείται η παραδοχή της πλήρους συνάφειας μεταξύ του οπλισμού και του σκυροδέματος. Προσομοίωση ρηγμάτωσης Όταν οι τάσεις που αναπτύσσονται σε μια περιοχή του φορέα αντιστοιχούν σ ένα σημείο του τασικού χώρου ( σ 1, σ 2, σ 3 ) που βρίσκεται εκτός του χώρου που περικλείει η επιφάνεια αστοχίας, τότε στην περιοχή αυτή επέρχεται αστοχία του υλικού με την μορφή ρηγμάτωσης. Το επίπεδο της ρωγμής που σχηματίζεται είναι κάθετο στην διεύθυνση της μικρότερης κύριας τάσης και η εμφάνισή της συνεπάγεται την απώλεια της ικανότητας του υλικού να παραλαμβάνει στην περιοχή αστοχίας εφελκυστικές τάσεις με διεύθυνση εγκάρσια στο 9

10 επίπεδο της ρωγμής, ενώ η διατμητική ακαμψία στο επίπεδο αυτό ελαχιστοποιείται. Οι παραπάνω τάσεις μετατρέπονται σε ισοδύναμες δυνάμεις που αποτελούν τις υπολειμματικές (μη εξισορροπούμενες) δυνάμεις οι οποίες επιβάλλονται στο σύστημα με την μορφή εξωτερικής φόρτισης. Με τον τρόπο αυτό και ακολουθώντας την επαναληπτική διαδικασία που περιγράφεται στην προηγούμενη ενότητα επιτυγχάνεται η αναδιανομή της εσωτερικής έντασης του φορέα ώστε να ικανοποιούνται οι συνθήκες ισορροπίας. Αν η αναδιανομή αυτή δεν είναι εφικτή, τότε αυτό σημαίνει πως ο φορέας αστοχεί μην μπορώντας να παραλάβει την συγκεκριμένη εξωτερική φόρτιση. Διακριτοποίηση τοιχωμάτων Στην παρούσα εργασία τα τοιχώματα υποδιαιρέθηκαν σε 6x1x6=36 (τοιχώματα τύπου W1) και 4x1x6=24 (τοιχώματα τύπου W2) χωρικά στοιχεία όπως φαίνεται στο σχήμα 4. Όπως συζητήθηκε στην παράγραφο 2.2, το φορτίο ασκήθηκε μέσω ενός άκαμπτου πρισματικού στοιχείου το οποίο συνδέεται μονολιθικά με το τοίχωμα στο πάνω μέρος του. Το στοιχείο αυτό υποδιαιρέθηκε σε 6x1x1=6 χωρικά στοιχεία όπως φαίνεται επίσης στο σχήμα 4. Ο διαμήκης και εγκάρσιος οπλισμός προσομοιάστηκε με γραμμικά στοιχεία τα οποία είχαν κοινούς κόμβους με τα χωρικά στοιχεία. Επειδή η απόσταση των γραμμικών στοιχείων ήταν προκαθορισμένη από τους κόμβους των χωρικών στοιχείων το εμβαδόν του οπλισμού τροποποιήθηκε κατάλληλα ώστε να είναι ισοδύναμος με τον οπλισμό που προέκυψε από τον σχεδιασμό των τοιχωμάτων με την εκάστοτε μέθοδο σχεδιασμού (βλ. σχήμα 1) ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤA Τα κύρια αποτελέσματα της εργασίας φαίνονται στα σχήματα 5 έως 1. Τα σχήματα 5 και 8 παριστάνουν καμπύλες φορτίου-μετατόπισης υπό στατική μονοτονική φόρτιση, ενώ οι καμπύλες φορτίου-μετατόπισης που προέκυψαν από την στατική ανακυκλιζόμενη φόρτιση φαίνονται στα σχήματα 6 και 9. Τέλος, τα σχήματα 7 και 1 παρουσιάζουν την απόκριση των τοιχωμάτων στη σεισμική επιτάχυνση. Η απόκριση των τοιχωμάτων εκφράζεται ως συνάρτηση της μετατόπισης, της ταχύτητας, της επιτάχυνσης της μάζας και της τέμνουσας βάσης σε σχέση με τον χρόνο Τοιχώματα W1 ΣΧΟΛΙΑΣΜΟΣ ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΩΝ Από το σχήμα 1α φαίνεται ότι τα τοιχώματα τα οποία σχεδιάσθηκαν σύμφωνα με α) τον ΕΚΩΣ (W1-EKOS) και β) την μέθοδο ΤΘΔ (W1-CFP) διαφέρουν στο γεγονός ότι στο W1- EKOS οι κρυφοκολώνες έχουν πυκνή διάταξη συνδετήρων, ενώ στο W1-CFP δεν υπάρχει τέτοια δίαταξη συνδετήρων. Παρά ταύτα, όπως φαίνεται στα σχήματα 5 έως 9, τα τοιχώματα χαρακτηρίζονται από παρόμοια συμπεριφορά στις φορτίσεις στις οποίες υποβλήθηκαν. Αναλυτικότερα, υπό στατική φόρτιση (μονοτονική και ανακυκλιζόμενη) το τοίχωμα W1-EKOS είχε φορτίο διαρροής ελαφρώς μεγαλύτερο, ενώ το τοίχωμα W1-CFP ανέπτυξε ελαφρώς μεγαλύτερο φορτίο αστοχίας, και τα δύο όμως ανέπτυξαν παρόμοια μέγιστη οριζόντια μετατόπιση. Υπό δυναμική φόρτιση και τα δύο τοιχώματα επέδειξαν παρόμοια συμπεριφορά. 1

11 Όλα τα παραπάνω δείχνουν ότι για τον συγκεκριμένο τύπου τοιχώματος, η παρουσία συνδετήρων στην περιοχή των κρυφοκολώνων δεν επηρεάζει την συμπεριφορά του τοιχώματος. 2 6x5=3 (α) x5=3 (β) 25 4x375=15 Σχήμα 4. Διακριτοποίηση με πεπερασμένα στοιχεία τοιχωμάτων (a) W1 και (β) W2. Παρόμοιο συμπέρασμα προκύπτει αν συγκριθεί η συμπεριφορά των τοιχωμάτων που σχεδιάσθηκαν σύμφωνα με τους κανονισμούς, W1-ACI, W1-EC και W1-EKOS. Και τα τρία τοιχώματα έχουν παρόμοια διάταξη εγκάρσιου οπλισμού η οποία χαρακτηρίζεται από συνδετήρες στις κρυφοκολώνες, με την απόσταση των συνδετήρων να εξαρτάται από την μέθοδο σχεδιασμού. Έχει ενδιαφέρον να σημειωθεί ότι παρόλο που υπάρχουν διαφορές 11

12 στην απόσταση τόσο των συνδετήρων στις κρυφοκολώνες (26 mm για τον ΕΚΩΣ, 62 mm για τον ACI318 και 82 mm για τον EC2) όσο και στον εγκάρσιο οπλισμό του κορμού (16 mm για τους EC2 και ACI318 και 25 mm για τον ΕΚΩΣ) οι διαφορές αυτές δεν έχουν καμία επιρροή στην συμπεριφορά των τοιχωμάτων load - kn CFP ACI EC2/8 EKOS deflection - mm Σχήμα 5. Καμπύλες φορτίου-μετατόπισης για τα τοιχώματα W1 υπό στατική μονότονα αυξανόμενη φόρτιση 15 load - kn 1 5 ACI CFP EKOS EC deflection - mm Σχήμα 6. Καμπύλες φορτίου-μετατόπισης για τα τοιχώματα W1 υπό στατική ανακυκλιζόμενη φόρτιση Υπενθυμίζεται ότι για όλους τους τύπους των τοιχωμάτων στην παρούσα εργασία σύμφωνα με τους κανονισμούς απαιτούνται α) συνδετήρες για την περίσφιξη του σκυροδέματος στις κρυφοκολώνες και β) οριζόντιος οπλισμός ο οποίος αυξάνει την αντοχή σε τέμνουσα του κορμού σε τιμή μεγαλύτερη από την τιμή της τέμνουσας δύναμης που αντιστοιχεί στην 12

13 καμπτική αστοχία. Αντίθετα, για στοιχεία ΟΣ με ανηγμένο διατμητικό μήκος μεταξύ 1 και 2, όπως τα τοιχώματα τύπου W1, σύμφωνα με τη μέθοδο ΤΘΔ απαιτείται μόνο οριζόντιος κορμός στον κορμό του τοιχώματος ομοιόμορφα κατανεμημένος στο ύψος του τοιχώματος, σε ποσότητα ικανή να αυξήσει την καμπτική ροπή που αντιστοιχεί σε ψαθυρή αστοχία στην τιμή της καμπτικής αστοχίας (βλ. σχήμα 11). Φαίνεται από τα σχήματα 5 έως 7 ότι η μέθοδος ΤΘΔ ικανοποιεί τις απαιτήσεις των κανονισμών για επαρκή αντοχή και πλαστιμότητα με πιο απλή διάταξη οπλισμού από αυτή των κανονισμών. Τοιχώματα W2 Σε αντίθεση με τα τοιχώματα τύπου W1, όλες οι μέθοδοι σχεδιασμού συμπεριλαμβανομένης και της μεθόδου ΤΘΔ προδιαγράφουν συνδετήρες στις κρυφοκολώνες των τοιχωμάτων τύπου W2. Και ενώ σύμφωνα με τους κανονισμούς, οπως αναφέρθηκε και σε προηγούμενη ενότητα, οι συνδετήρες τοποθετούνται στις κρυφοκολώνες για την περίσφιξη του σκυροδέματος στην περιοχή αυτή, σύμφωνα με την μέθοδο ΤΘΔ ο οπλισμός αυτός τοποθετείται για την ανάληψη των εφελκυστικών τάσεων οι οποίες αναπτύσσονται στην θίβόμενη ζώνη εγκάρσια στην διεύθυνση της κύριας θλίψης ως αποτέλεσμα της απώλειας συνάφειας μεταξύ του σκυροδέματος και του καμπτόμενου οπλισμού σε περιοχές, όπως η βάση του τοιχώματος, στις οποίες υπάρχει συνδυασμός μεγάλων τιμών καμπτικής ροπής και τέμνουσας δύναμης (βλ. σχήμα 12) Το σχήμα παρουσιάζει τμήμα δομικού στοιχείου μεταξύ δύο διατομών οι οποίες ορίζονται από συνεχόμενες ρωγμές, καθώς και οι εσωτερικές δυνάμεις οι οποίες αναπτύσσονται στις διατομές πριν και μετά την απώλεια της συνάφειας τ, η οποία είναι απαραίτητη για την αύξηση της εφελκυστικής δύναμης κατά ΔFs. Από το σχήμα φαίνεται ότι η απώλεια συνάφειας οδηγεί σε προέκταση της δεξιάς ρωγμής και συνεπώς στην μείωση της θλιβόμενης ζώνης x, η οποία είναι απαραίτητη για την ικανοποίηση της ισορροπίας ροπών του στοιχείου με βάση την οποία προκύπτει ότι Fc (x - x 1 )/2 = V(x/2). Η μείωση της θλιβόμενης ζώνης οδηγεί στην αύξηση της έντασης των θλιπτικών τάσεων σε σχέση με την αριστερή παρειά του στοιχείου, έχοντας ως αποτέλεσμα την διόγκωση του σκυροδέματος. Η διόγκωση του σκυροδέματος οδηγεί στην ανάπτυξη εφελκυστικών τάσεων (σ t στο Σχήμα 12) στις παράπλευρες περιοχές. Τα σχήματα 8 έως 1 δείχνουν ότι μεταβολή της τάξης του 4% είτε των συνδετήρων των κρυφοκολώνων είτε του οριζόντιου οπλισμού του κορμού έχει αμελητέα επιρροή στην συμπεριφορά των τοιχωμάτων σχεδιασμένων σύμφωνα με τους κανονισμούς. Ακόμα πιο σημαντικό είναι το γεγονός, ότι η συμπεριφορά του τοιχώματος φαίνεται να είναι ανεξάρτητη της ραγδαίας μείωσης του εγκάρσιου οπλισμού, της τάξης του 8%, για τους συνδετήρες των κρυφοκολώνων και της τάξης του 6% του οριζόντιου οπλισμού του κορμού του τοιχώματος. Είναι γεγονός, ότι η μείωση για τον εγκάρσιο οπλισμό των κρυφοκολώνων είναι ακόμα μεγαλύτερη αν αναλογιστεί κανείς ότι στο δοκίμιο σχεδιασμένο σύμφωνα με την μέθοδο ΤΘΔ ο οπλισμός αυτός τοποθετήθηκε από την βάση μέχρι το 1/3 του ύψους του τοιχώματος, σε αντίθεση με τα τοιχώματα των κανονισμών στα οποία τοποθετήθηκε σε όλο το ύψος. 13

14 disp (mm) time (sec) velocity (mm/sec) time (sec) acceleration (mm/sec2) time (sec) Base shear (N) W1-aci W1-cfp W1-ec 7 time (sec) W1-ekos Σχήμα 7. Μεταβολή στο χρόνο (από πάνω προς τα κάτω) μετατόπισης, ταχύτητας, επιτάχυνσης και τέμνουσας βάσης για το τοίχωμα W1. Φαίνεται από τα παραπάνω, ότι, όπως και στην περίπτωση των τοιχωμάτων τύπου W1, τα τοιχώματα τύπου W2 παρουσίασαν παρόμοια συμπεριφορά υπό την δράση των φορτίσεων στις οποίες υποβλήθηκαν στην παρούσα εργασία. Η παρόμοια αυτή συμπεριφορά των τοιχωμάτων δείχνει ότι η απλούστερη διάταξη του εγκάρσιου οπλισμού των τοιχωμάτων σχεδιασμένων σύμφωνα με την μέθοδο ΤΘΔ ικανοποιεί πλήρως τις απαιτήσεις των κανονισμών για επαρκή αντοχή και πλαστιμότητα. 14

15 6 5 load - kn EC2/8 CFP ACI EKOS deflection - mm Σχήμα 8. Καμπύλες φορτίου-μετατόπισης για τα τοιχώματα W2 υπό στατική μονότονα αυξανόμενη φόρτιση load - kn EC2/8 CFP -1 ACI -2 EKOS deflection - mm Σχήμα 9. Καμπύλες φορτίου-μετατόπισης για τα τοιχώματα W1 υπό στατική ανακυκλιζόμενη φόρτιση ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΑ Ο σχεδιασμός των τοιχωμάτων σύμφωνα με την μέθοδο ΤΘΔ οδηγεί σε σημαντική μείωση του ποσοστού του εγκάρσιου οπλισμού και στις δύο περιπτώσεις των τοιχωμάτων που εξετάστηκαν, ικανοποιώντας ταυτόχρονα τις απαιτήσεις των κανονισμών για επαρκή αντοχή και πλαστιμότητα. 15

16 disp (mm) time (sec) velocity (mm/sec) time (sec) acceleration (mm/sec2) time (sec) Base shear (N) W2-aci W2-cfp W2-ec 9 time (sec) W2-ekos Σχήμα 1. Μεταβολή στο χρόνο (από πάνω προς τα κάτω) μετατόπισης, ταχύτητας, επιτάχυνσης και τέμνουσας βάσης για το τοίχωμα W2. Ειδικότερα, σε αντίθεση με τους κανονισμούς, ο σχεδιασμός τοιχωμάτων σύμφωνα με τη μέθοδο ΤΘΔ δεν απαιτεί την παρουσία εγκάρσιου οπλισμού στις κρυφοκολώνες για τοιχώματα με ανηγμένο διατμητικό μήκος μεταξύ 1 και 2, ενώ το ποσοστό του οριζόντιου οπλισμού μέσα στον κορμό των τοιχωμάτων είναι παρόμοιο με αυτό που προκύπτει από τους κανονισμούς. 16

17 Στα τοιχώματα με ανηγμένο διατμητικό μήκος μεγαλύτερο του 2, το ποσοστό του εγκάρσιου οπλισμού συνδετήρων στις κρυφοκολώνες σύμφωνα με την μέθοδο ΤΘΔ είναι αρκετά χαμηλότερο από αυτό που απαιτούν οι κανονισμοί. Επιπλέον δε, οι συνδετήρες τοποθετούνται στο 1/3 του ύψους του τοιχίου σε αντίθεση με τα τοιχία σχεδιασμένα με τους κανονισμούς στα οποία οι συνδετήρες τοποθετούνται σε όλο το ύψος των κρυφοκολώνων. Το ίδιο παρατηρείται και για τον εγκάρσιο οπλισμό του κορμού του τοιχίου, καθώς το ποσοστό που απαιτείται σύμφωνα με την μέθοδο της ΤΘΔ είναι αρκετά χαμηλότερο από αυτό των κανονισμών. F c F sv = 2(M f -M c )/α v V f z F s α v /2 R f α v M f = R f α v : καμπτική αντοχή κρίσιμης διατομής M c = F c z : καμπτική ροπή ψαθυρής αστοχίας F sv : Η ελάχιστη συνολική δύναμη που πρέπει να αναλάβουν οι συνδετήρες ώστε να αποφευχθεί ψαθυρή αστοχία προκειμένου M c M f Σχήμα 11: Υπολογισμός εγκάρσιου οπλισμού για τα τοιχώματα W1. a~x/2 a~x/2 F c F c +ΔF c F c V s F c x x σ t x 1 V s V s V s z z z z+δz τ τ= F s F s +ΔF s F s F s Σχήμα 12. Ανακατανομή εσωτερικών δυνάμεων στη θλιβόμενη ζώνη λόγω απώλειας της συνάφειας μεταξύ σκυροδέματος και καμπτικού οπλισμού 17

18 ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ American Concrete Institute. 26. Building Code requirements for Reinforced Concrete (ACI 318-6) and Commentary - ACI 318R-6. European Standard, ENV Eurocode No. 2 (EC2) (24), Design of concrete structures. Part 1: General rules and rules of building. Brussels. EKOS 2. Greek Code for Reinforced Concrete, April 21 (in Greek). Kotsovos M. D. and Pavlovic M. N. (1995), "Structural concrete: Finite-element analysis for limit-state design. Thomas Telford, 1995, 55pp. Kotsovos M. D. and Pavlovic M. N. (1999), Ultimate Limit-State Design of Concrete Structures: A New Approach. Thomas Telford (London), 164 pp. Kotsovos M.D. and Spiliopoulos K.V. (1998), Modelling of crack closure for finite-element analysis of structural concrete. Computers and Structures, Vol. 69, pp Cotsovos D. M. (24), Numerical Investigation of Structural Concrete under Dynamic (Earthquake and Impact) Loading. PhD thesis, University of London, UK. Cotsovos D. M, Pavlovic MN. (25) Numerical Investigation of RC walls subjected to cyclic loading. Computers and Concrete, Vol. 2, pp Cotsovos D. M, Pavlovic MN. (26), Simplified FE model for RC structures under earthquakes, Proceedings of the Institution of Civil Engineers. Structures and buildings, vol:159 pg: Bathe K. J. (1996), Finite Element Procedures. Prentice Hall, New Jersey. 18