Ο ΡΑΣΙΟΝΑΛΙΣΜΟΣ ΤΟΥ ΠΛΑΤΩΝΑ ΚΑΙ Ο ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΗΣ

Transcript

1 1 Stewart Shapiro ΣΚΕΨΕΙΣ ΓΙΑ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ο ΡΑΣΙΟΝΑΛΙΣΜΟΣ ΤΟΥ ΠΛΑΤΩΝΑ ΚΑΙ Ο ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΗΣ Ας αρχίσουμε από την αρχή. Ένα πολύ καλό σημείο για να αρχίσει κανείς. (The Sound of Music) Ε ΙΝΑΙ φυσικό να αρχίσουμε τη σύντομη ιστορική μας περιγραφή από την αρχαία Ελλάδα, εφόσον είναι ευρέως αποδεκτό ότι και τα μαθηματικά και η φιλοσοφία, όπως τα ξέρουμε σήμερα, γεννήθηκαν εκεί. Προφανώς, τα προ- Ελληνικά μαθηματικά αποτελούνταv κυρίως από υπολογιστικές τεχνικές και συστήματα αρίθμησης, που είχαν σχέση είτε με θρησκευτικά είτε με πρακτικά θέματα, όπως το μοίρασμα της γης. Για καλό ή για κακό, οι Έλληνες μαθηματικοί έστρεψαν τη προσοχή στην ακριβολόγηση και την αυστηρή απόδειξη. Ο μύθος λέει πως το μαντείο του Απόλλωνα κάποτε είπε πως μια μάστιγα θα σταματούσε εάν ένας συγκεκριμένος βωμός 1 διπλασιαζόταν σε μέγεθος διατηρώντας το σχήμα του. Εάν οι ενδιαφερόμενοι πολίτες είχαν αυξήσει κάθε διάσταση του βωμού κατά ένα τρίτο, το αποτέλεσμα θα ήταν ένα αντικείμενο περίπου 2,37 φορές μεγαλύτερο του αρχικού του μεγέθους. Κάποιος θα φανταζόταν πως o θεός θα ήταν ευχαριστημένος με αυτό το επιπλέον 37%, αλλά ο μύθος λέει πως η μάστιγα συνεχίστηκε έπειτα από το διπλασιασμό κάθε πλευράς του βωμού, αυξάνοντας το μέγεθος του οκτώ φορές. Εάν οι πολίτες είχαν αυξήσει τις αρχικές πλευρές κατά 26%, ο βωμός θα ήταν περίπου 2,0004 φορές ο αρχικός του όγκος. Ασφαλώς αυτό θα ευχαριστούσε τον θεό. Η διαφορά μεταξύ δύο φορές το μέγεθος και 2,0004 φορές το μέγεθος δεν μπορεί να ανιχνευθεί πειραματικά, τουλάχιστον από τους ανθρώπους. Ωστόσο, οι Έλληνες μαθηματικοί θεώρησαν αυτήν την εργασία ως μια εργασία διπλασιασμού του βωμού ακριβώς. Δεν ενδιαφέρονταν για μια προσέγγιση, όσο κοντινή και αν ήταν. Αυτό το 'πρακτικό' θέμα της αποτροπής της καταστροφής όπως πιστεύεται οδήγησε στο γεωμετρικό πρόβλημα του διπλασιασμού του κύβου: δοθέντος ενός ευθύγραμμου τμήματος, και χρησιμοποιώντας μόνο κανόνα και διαβήτη, να κατασκευασθεί ένα ευθύγραμμο τμήμα του οποίου ο κύβος να είναι ακριβώς διπλάσιος από τον αρχικό. Οι μαθηματικοί το ήθελαν ακριβώς και το ήθελαν αποδεδειγμένο. Δύο παρόμοια προβλήματα ήταν η τριχοτόμηση μιας γωνίας και η κατασκευή (με κανόνα και διαβήτη) ενός ευθύγραμμου τμήματος του οποίου το τετράγωνο να έχει το ίδιο εμβαδόν με αυτό ενός δοσμένου κύκλου. Αυθαίρετα κοντινές προσεγγίσεις ήταν διαθέσιμες, αλλά αυτές δεν ικανοποιούσαν. Αυτά τα προβλήματα απασχολούσαν τους μαθηματικούς για αιώνες φτάνοντας στο αποκορύφωμα τους 2000 χρόνια μετά, οπότε αποδείχθηκε ότι δεν υπάρχουν λύσεις - αυτά τα προβλήματα ήταν άλυτα (με κανόνα και διαβήτη). Το σημαντικό βιβλίο του Thomas Kuhn Δομή των Επιστημονικών Επαναστάσεων (1970) μιλάει για επαναστάσεις και μετατοπίσεις του παραδείγματος 2 που κάνουν δύσκολη την κατανόηση των επιστημονικών εργασιών του παρελθόντος. Σύμφωνα με τον Kuhn, για να κατανοήσουμε μια παλαιότερη εργασία, πρέπει να ξεχάσουμε την τρέχουσα επιστήμη και να προσπαθήσουμε να εμβαπτισθούμε στην ανατραπείσα κοσμοθεωρία. Οι ανακαλύψεις που μεσολάβησαν έχουν αλλάξει για πάντα τις ιδέες και τα εργαλεία της εν λόγω εποχής κάνοντας την περασμένη εργασία «ασύμμετρη» με τη δική μας. Και με τα μαθηματικά τι γίνεται; Εάν η ιστοριογραφία

2 2 της επιστήμης και η φιλοσοφία του Kuhn εφαρμόζονται στα μαθηματικά, τότε οι επαναστάσεις και οι αλλαγές των παραδειγμάτων είναι ακόμα περισσότερο λεπτές. Ένας σύγχρονος μαθηματικός δεν χρειάζεται να κάνει πολλές (ή και καμία) εννοιολογικές αναδιοργανώσεις ώστε να μελετήσει και να θαυμάσει τα Στοιχεία του Ευκλείδη. Οι σύγχρονες λογικές τεχνικές έχουν αποκαλύψει μερικά κενά στο συλλογισμό, αλλά τα ενδιαφέροντα του Ευκλείδη μοιάζουν με τα δικά μας, όπως και οι αποδείξεις του και οι κατασκευές του. Τα Στοιχειά, παρά τα λογικά κενά τους, είναι ένα πρότυπο μαθηματικής αυστηρότητας. Πιστεύεται ευρέως ότι τα Στοιχεία είναι μια κορύφωση ενός προγράμματος έρευνας που είχε ξεκινήσει στη διάρκεια της ζωής του Πλάτωνα. Η αρχαία Ελλάδα ήταν επίσης το μέρος όπου γεννήθηκε η δυτική, μη θρησκευτική κοσμική φιλοσοφία. Βλέπουμε τον Σωκράτη, τον Πλάτωνα και τον Αριστοτέλη (όπως επίσης και μερικούς από τους Προσωκρατικούς φιλοσόφους) να παλεύουν με πολλά από τα ζητήματα που απασχολούν τους σημερινούς φιλοσόφους, συμπεριλαμβανομένων και μερικών θεμάτων που παρουσιάζονται σ' αυτό το βιβλίο. Ο Πλάτωνας είναι επικεφαλής μιας μεγάλης παράδοσης της φιλοσοφίας που μερικές φορές λέγεται ρασιοναλισμός ή «πλα-τωνισμός» (ή «πλατωνισμός», εάν θέλουμε να ξεφύγουμε λίγο από την αυθεντία του). Στη συνέχεια εκτίθεται μια σύντομη περιγραφή της γενικής φιλοσοφίας του Πλάτωνα, ή της Θεωρίας των Μορφών (ή Ιδεών). Στη συνέχεια έχουμε μια συζήτηση για τις απόψεις του Πλάτωνα για τα μαθηματικά -και ιδιαίτερα την αριθμητική και τη γεωμετρία. Το τμήμα που ακολουθεί αναστρέφει τον προσανατολισμό και ασχολείται με την επιρροή των μαθηματικών στη φιλοσοφική εξέλιξη του Πλάτωνα. Το τελευταίο μέρος αυτού του κεφαλαίου αναφέρεται στον Αριστοτέλη, τον μαθητή και κύριο αντίπαλο του Πλάτωνα. Χρησιμεύει ως μια μετάβαση στη διαπραγμάτευση του εμπειρισμού που θα επιχειρήσουμε αργότερα (π.χ. Κεφ. 4, 4.3 Κεφ. 8, 8.2). Ο Κόσμος του Είναι Το κίνητρο του Πλάτωνα ήταν ένα κενό μεταξύ των ιδεών που συλλαμβάνουμε και του φυσικού κόσμου γύρω μας. Για παράδειγμα, ενώ έχουμε σχετικά καθαρές πνευματικές εικόνες για τη δικαιοσύνη, όλα όσα βλέπουμε και ακούμε υστερούν ως προς τη τέλεια δικαιοσύνη. Έχουμε οπτικές εικόνες του ωραίου και παρόλα αυτά τίποτα δεν είναι απόλυτα ωραίο. Τίποτα δεν είναι απόλυτα ευσεβές, ενάρετο και τα λοιπά. Όλα στον υλικό κόσμο έχουν ψεγάδια. Φυσικά οι σωκρατικές ερωτήσεις σίγουρα θα αποκάλυπταν ότι οι αντιλήψεις μας για τη δικαιοσύνη, την ομορφιά και τα συναφή δεν είναι τόσο εναργείς όσο φαίνονται μερικές φορές, αλλά αυτό δεν μειώνει την αξία των παρατηρήσεων μας σχετικά με τα ψεγάδια του φυσικού κόσμου. Έχουμε κάποια κατανόηση των τέλειων ιδεών και παρόλα αυτά δεν τις βρίσκουμε ποτέ. Γιατί άραγε συμβαίνει αυτό; Η απάντηση του Πλάτωνα είναι ότι υπάρχει ένα κόσμος Μορφών, ο οποίος περιέχει τέλεια είδη, όπως είναι η Ομορφιά, η Δικαιοσύνη και η Ευσέβεια. Πολλές φορές μιλάει για 'την Ομορφιά καθαυτή', 'τη Δικαιοσύνη καθαυτή' και 'την Ευσέβεια καθαυτή'. Ένα φυσικό αντικείμενο, όπως ένας πίνακας ζωγραφικής, είναι όμορφο στο βαθμό που 'μοιάζει', 'συμμετέχει' ή 'έχει μέρος από' την Ομορφιά καθαυτή. Ένα άτομο είναι δίκαιο στο βαθμό που μοιάζει με τη Δικαιοσύνη καθαυτή. Ο Πλάτωνας ονομάζει τον φυσικό κόσμο κόσμο του Γίγνεσθαι, γιατί τα φυσικά αντικείμενα υπόκεινται στην αλλαγή και τη φθορά. Άλλοτε γίνονται καλύτερα και άλλοτε χειρότερα. Ό,τι είναι όμορφο μπορεί να γίνει άσχημο. Οτιδήποτε είναι ενάρετο μπορεί να γίνει φαύλο. Αντίθετα, οι Μορφές είναι αιώνιες και

3 3 αναλλοίωτες. Η Ομορφιά καθαυτή ήταν, είναι και θα είναι πάντα ίδια- τα πράγματα καθαυτά είναι όμορφα στο βαθμό που συμφωνούν με αυτό το άχρονο, αναλλοίωτο ιδεώδες μέτρο. Έτσι γίνεται φανερό ότι Ο Πλάτωνας δεν θα συμφωνούσε με την άποψη ότι η ομορφιά βρίσκεται στον τρόπο με τον οποίο βλέπει κανείς τα πράγματα. Το ίδιο ισχύει και για τη Δικαιοσύνη και για τις άλλες Μορφές. Δεν υπάρχει τίποτα υποκειμενικό ή συμβατικό, ή σχετιζόμενο με τον πολιτισμό γι' αυτές. Αυτή είναι, με λίγα λόγια, η οντολογία του Πλάτωνα για τις Μορφές. Ποια είναι, όμως, η επιστημολογία του; Πώς ξέρουμε ή πώς αντιλαμβανόμαστε αυτές τις Μορφές; Κατανοούμε τον φυσικό κόσμο -τον κόσμο του Γίγνεσθαι-μέσω των αισθήσεων. Τον κόσμο αυτόν τον ονομάζει βασίλειο των 'ορατών και των ήχων'. Αντίθετα, αντιλαμβανόμαστε τις Μορφές μόνο μέσω της νόησης. Βλέπουμε και ακούμε όμορφα πράγματα και δίκαιους ανθρώπους, αλλά πρέπει να σκεφτούμε τη διαδρομή μας προς την Ομορφιά και τη Δικαιοσύνη. Το επόμενο κείμενο από το Βιβλίο 6 της Πολιτείας είναι ενδεικτικό. Ας σας θυμίσω τη διαφορά που σημειώσαμε πριν και συχνά σημειώνουμε και σε άλλες περιπτώσεις, μεταξύ της πολλαπλότητας των πραγμάτων που λέμε καλά ή όμορφα ή οτιδήποτε άλλο μπορεί να έχουμε και από την άλλη πλευρά τη Καλοσύνη καθαυτή ή την Ομορφιά καθαυτή και ούτω καθ' εξής. Σε καθεμία από αυτές τις ομάδες πραγμάτων, αντιστοιχούμε, ως αίτημα, μια μοναδική Μορφή ή πραγματική ουσία, όπως τη λέμε... Επιπλέον, τη πολλαπλότητα των πραγμάτων, για τα οποία μιλάμε, μπορούμε να τα δούμε, αλλά δεν είναι αντικείμενα ορθολογιστικής σκέψης ενώ οι Μορφές είναι αντικείμενα της σκέψης, αλλά είναι αόρατες. Στο διάλογο του Μένων, ο Πλάτωνας προτείνει μια άλλη επιστημολογία. Στο διάλογο αυτόν o Πλάτωνας βάζει τον Σωκράτη να οδηγήσει έναν σκλάβο στο θεώρημα το οποίο λέει ότι το τετράγωνο της διαγωνίου ενός δοσμένου τετραγώνου είναι το διπλάσιο του αρχικού τετραγώνου. Ο Σωκράτης δίνει έμφαση στο ότι ούτε αυτός ούτε κάποιος άλλος δίδαξε το θεώρημα στον σκλάβο. Ρωτώντας προσεκτικά επιλεγμένες ερωτήσεις και με τη βοήθεια κάποιου σχήματος, ο Σωκράτης οδηγεί τον σκλάβο στο να ανακαλύψει το θεώρημα από μόνος του. Ο Πλάτωνας χρησιμοποιεί το πείραμα για να υποστηρίξει τη θεωρία ότι, όταν πρόκειται για γεωμετρία -ή για τον κόσμο του Γίγνεσθαι γενικότερα- αυτό που λέγεται 'μάθηση' είναι στη πραγματικότητα ανάμνηση από μια προηγούμενη ζωή, πιθανώς από μια περίοδο όπου η ψυχή είχε απευθείας πρόσβαση στον κόσμο του Είναι. Οι ειδικοί μελετητές διαφωνούν σχετικά με τη φύση και το ρόλο αυτής της 'ανάμνησης' στην επιστημολογία του Πλάτωνα, και πολλοί μετέπειτα πλατωνιστές τον αμφισβητούν. Ασχέτως μ' αυτό, o Πλάτωνας υποστήριζε ότι η ψυχή ανήκει σε μια τρίτη οντολογική κατηγορία, με την ικανότητα να καταλαβαίνει και τον κόσμο του Είναι και το κόσμο του Γίγνεσθαι. Με ή χωρίς τα 'μυστικιστικά' στοιχεία της επιστημολογίας, έχει κανείς την εντύπωση από τους διάλογους ότι o φυσικός κόσμος είναι κατασκευασμένος με αυτό τον τρόπο ακριβώς για να μας οδηγεί πέρα από τις αισθήσεις για την εξερεύνηση του κόσμου του Είναι. Για τον Πλάτωνα, τα μαθηματικά είναι ένα κρίσιμο μέσον για αυτήν τη διαδικασία. Εξυψώνουν το πνεύμα, φτάνοντας πέρα από τον υλικό κόσμο στον αιώνιο κόσμο του Είναι. Ο Πλάτωνας για τα Μαθηματικά

4 4 Τα μαθηματικά, ή τουλάχιστον η γεωμετρία, παρέχει ένα κατ' ευθείαν παράδειγμα του κενού μεταξύ του ατελούς υλικού κόσμου γύρω μας και του καθαρού, ιδεώδους, και τέλειου κόσμου των ιδεών. Από την εποχή πριν τον Πλάτωνα και μέχρι σήμερα είχαμε τελείως αυστηρούς ορισμούς για την ευθεία γραμμή, τον κύκλο και τα λοιπά, αλλά ο φυσικός κόσμος δεν περιέχει τέλειες ευθείες γραμμές χωρίς πλάτος, ούτε και τέλειους κύκλους, ή τουλάχιστον κάποιον που να μπορούμε να δούμε. Ίσως ευθείες χωρίς πλάτος και τέλειοι κύκλοι, και τα παρόμοια, να είναι μέρος ενός φυσικού χώρου (ή χωροχρόνου) που όλοι καταλαμβάνουμε, αλλά, ακόμα και έτσι, δεν τα συναντούμε ως τέτοια, με οιονδήποτε φυσικό τρόπο. Έτσι, τι μελετάμε στη γεωμετρία και πώς το μελετάμε; Για να εξηγήσει το προφανές, ο Πλάτωνας πίστευε ότι τα θεωρήματα της γεωμετρίας είναι αντικειμενικά αληθή ή ψευδή, ανεξαρτήτως του νου, της γλώσσας και λοιπών χαρακτηριστικών των μαθηματικών. Με την ορολογία του Κεφαλαίου 2, ήταν ένας ρεαλιστής ως προς την τιμή αλήθειας. Ο ρεαλισμός αυτός θεωρείται λίγο πολύ δεδομένος, και έτσι στο σύνολο των διαλόγων δεν αναπτύσσεται καμία επιχειρηματολογία για την υπεράσπιση του. Ίσως δεν υπήρχαν σοβαρές εναλλακτικές προτάσεις. Αλλά με τι ασχολείται η γεωμετρία; Ποια είναι η οντολογία της; Με τι τρόπο αποκτούμε γνώση για τη γεωμετρία; Ο Πλάτωνας υποστήριζε ότι το θεματικό αντικείμενο της γεωμετρίας είναι ένας κόσμος αντικειμένων τα οποία υπάρχουν ανεξάρτητα από τον ανθρώπινο νου, τη γλώσσα κ.ο.κ. Υποστήριζε από τον ρεαλισμό ως προς τη τιμή αλήθειας μέχρι τον ρεαλισμό στην οντολογία, ένα θέμα που ο απόηχος του θα ήταν παρών σ' όλη τη μεταγενέστερη ιστορία. Οι κύριοι αμφισβητούμενοι ισχυρισμοί του Πλάτωνα αφορούν τη φύση των γεωμετρικών αντικειμένων και την πηγή της γεωμετρικής γνώσης. Πίστευε ότι τα γεωμετρικά αντικείμενα δεν είναι φυσικά και ότι είναι αιώνια και αναλλοίωτα. Με αυτή την έννοια, τουλάχιστον, τα γεωμετρικά αντικείμενα είναι όπως οι Μορφές και βρίσκονται στον κόσμο του Είναι. Επομένως θα απέρριπτε την παραπάνω πρόταση ότι τα γεωμετρικά αντικείμενα υπάρχουν στον φυσικό χώρο. Στο τέλος του Βιβλίου 6 της Πολιτείας ο Πλάτωνας περιγράφει την ιεράρχηση της οντολογίας του μέσω μιας μεταφοράς μιας διηρημένης γραμμής (βλ. Σχήμα 1). ΤΟ ΑΓΑΘΟ ΜΟΡΦΕΣ Μαθηματικά αντικείμενα ΕΙΝΑΙ Φυσικά αντικείμενα ανακλάσεις Γίγνεσθαι

5 5 Σχήμα 1: Η διηρημένη ευθεία Ο κόσμος του Γίγνεσθαι είναι στο κάτω μέρος και ο κόσμος του Είναι στο επάνω (με τη μορφή του Αγαθού πάνω από όλα). Κάθε μέρος της γραμμής διαιρείται ξανά. Ο κόσμος του Γίγνεσθαι διαιρείται στον κόσμο των φυσικών αντικειμένων στη κορυφή και στις αντανακλάσεις αυτών (π.χ. στο νερό) στο κάτω μέρος. Ο κόσμος του Είναι διαιρείται στις Μορφές στη κορυφή και στα αντικείμενα των μαθηματικών στο κάτω μέρος. 3 Αυτό δείχνει ότι τα φυσικά αντικείμενα είναι 'αντανακλάσεις' των μαθηματικών αντικειμένων τα οποία με τη σειρά τους είναι 'αντανακλάσεις' των Μορφών. Υπάρχουν, ωστόσο, αποδείξεις, συμπεριλαμβανομένων κάποιων αναφορών του Αριστοτέλη, ότι o Πλάτωνας θεώρησε τουλάχιστον κάποια μαθηματικά αντικείμενα ως Μορφές. Υπάρχουν ενδείξεις ότι κατά τη περίοδο της νεοπυθαγόρειας περιόδου ο Πλάτωνας θεώρησε όλες τις Μορφές μαθηματικές. Υπάρχουν περιγραφές μιας δημόσιας διάλεξης περί του Αγαθού όπου, προς απογοήτευση μερικών από τους ακροατές του, ο Πλάτωνας μίλησε σχεδόν αποκλειστικά για μαθηματικά θέματα. Δεν χρειάζεται να ασχοληθούμε με αυτές τις εξηγητικές λεπτομέρειες. Το νόημα είναι ότι σε όλες τις περιόδους και σε όλες τις ερμηνείες o κόσμος της γεωμετρίας του Πλάτωνα είναι χωρισμένος από τον φυσικό κόσμο, και το πιο σπουδαίο είναι ότι η γεωμετρική γνώση είναι χωρισμένη από την αισθητηριακή παρατήρηση. Η γεωμετρική γνώση αποκτάται με την καθαρή σκέψη, ή με ανάμνηση της παρελθούσας εξοικείωσης μας με τον γεωμετρικό κόσμο, όπως αναφέρθηκε προηγουμένως. Όσον αφορά την οντολογία, και τουλάχιστον την αρνητική πλευρά της επιστημολογίας, το επιχείρημα του Πλάτωνα είναι παραπλανητικά απλό. Οι προτάσεις της γεωμετρίας αφορούν σημεία που δεν έχουν διάσταση, τέλειες ευθείες γραμμές που δεν έχουν πλάτος και τέλειους κύκλους. Ο φυσικός κόσμος δεν περιέχει τέτοια αντικείμενα, και δεν βλέπουμε ευκλείδεια σημεία, γραμμές και κύκλους. Επομένως η γεωμετρία δεν αφορά κάτι από τον φυσικό κόσμο, τον κόσμο του Γίγνεσθαι, και δεν κατανοούμε τα γεωμετρικά αντικείμενα μέσω των αισθήσεων. Βεβαίως, μερικά φυσικά αντικείμενα προσεγγίζουν τα ευκλείδεια σχήματα. Η Περιφέρεια ενός πορτοκαλιού και ένας προσεκτικά σχεδιασμένος κύκλος στο χαρτί λίγο-πολύ μοιάζουν με ευκλειδείους κύκλους, του πορτοκαλιού λιγότερο και του ζωγραφισμένου κύκλου περισσότερο. Όμως τα γεωμετρικά θεωρήματα δεν ισχύουν γι' αυτές τις προσεγγίσεις. Θεωρήστε, για παράδειγμα, το θεώρημα ότι η εφαπτομένη και ο κύκλος έχουν ένα και μοναδικό κοινό σημείο. Ακόμα και αν κάποιος σχεδιάσει προσεκτικά έναν κύκλο και μια εφαπτόμενη ευθεία γραμμή, χρησιμοποιώντας περίπλοκα και ακριβά εργαλεία ή ένα καλά ξασμένο μολύβι (ή έναν υψηλής ανάλυσης εκτυπωτή), θα δει ότι η γραμμή επικαλύπτεται από το σύνορο του κύκλου σε μια μικρή περιοχή, και όχι σε ένα μοναδικό σημείο (βλ. Σχήμα.2).

6 6 Σχήμα 3.2: Εφαπτομένη κύκλου Εάν κανείς χρησιμοποιήσει μαυροπίνακα ή ένα κομμάτι ξύλο σε μια παραλία για την άσκηση, η περιοχή επικάλυψης θα είναι αρκετά μεγαλύτερη. Φυσικά τίποτα από όλα αυτά δεν αναιρεί το καθιερωμένο θεώρημα ότι η τομή ενός κύκλου με την εφαπτομένη είναι ένα μοναδικό σημείο. Η εξήγηση του Πλάτωνα γίνεται εύκολα κατανοητή. Οι ζωγραφισμένοι κύκλοι και οι γραμμές είναι φτωχές προσεγγίσεις του πραγματικού Κύκλου και της πραγματικής Ευθείας, τα οποία τα κατανοούμε μόνο με το νου (ή τα ενθυμούμαστε). Το μικρό σύνορο στο οποίο επικαλύπτονται τα ζωγραφισμένα σχήματα είναι μια ανεπαρκής προσέγγιση ενός σημείου. Είμαστε σε θέση τώρα να καταλάβουμε καλύτερα τη παρατήρηση του Πλάτωνα στη περικοπή από το βιβλίο 7 της Πολιτείας που έχει παρατεθεί στο Κεφάλαιο 1: [Η] επιστήμη [της γεωμετρίας] βρίσκεται σε πλήρη αντίφαση με την ορολογία που χρησιμοποιούν αυτοί που την έχουν επάγγελμα τους... [Η] όροι δηλαδή που χρησιμοποιούν είναι πολύ γελοίοι αν και αναγκαίοι, καθότι λένε τετραγωνίζω, προεκτείνω και προσθέτω, σαν να τα έκαναν αυτά πραγματικά και ένεκα αυτής της πράξης να δημιουργούν αυτήν την ορολογία... ενώ στη πραγματικότητα αυτό το μάθημα είναι αφιερωμένο στη καθαρή γνώση... Πως πρόκειται για τη γνώση του αιωνίου όντος και όχι αυτού που πότε γεννιέται και πότε χάνεται. Πλάτωνας 1961, 527a στη σταθερή αρίθμηση των εκδόσεων του Πλάτωνα. Εάν ο Πλάτωνας έχει δίκιο ότι η γεωμετρία ασχολείται με αιώνια και αναλλοίωτα πράγματα στον κόσμο του Είναι, τότε δεν θα υπήρχε δυναμική γλώσσα στη γεωμετρία. Είναι δύσκολο για έναν πλατωνιστή να κατανοήσει τις κατασκευές στα Στοιχεία του Ευκλείδη για παράδειγμα. Σύμφωνα με τον Πρόκλο, νεοπλατωνιστή του 5ου αιώνα, το πρόβλημα του «πώς μπορούμε να εισαγάγουμε κίνηση σε ακίνητα γεωμετρικά αντικείμενα» απασχόλησε για γενιές πολλές από τις μεγαλύτερες διάνοιες της Ακαδημίας του Πλάτωνα.

7 7 Υπάρχει ένα παρόμοιο ζήτημα το οποίο αφορά τα γεωμετρικά σχήματα που συνήθως συνοδεύουν τις γεωμετρικές αποδείξεις. Ένας πλατωνιστής σίγουρα θα ανησυχούσε ότι αυτά ίσως μπερδέψουν τον αναγνώστη, με το να θεωρήσει ότι το εν λόγω θεώρημα αφορά στο φυσικά ζωγραφισμένο σχήμα. Ποιος είναι τελικά ο σκοπός του γεωμετρικού σχήματος; Η εξήγηση του Πλάτωνα μπορεί να είναι ότι το γεωμετρικό σχήμα με κάποιον τρόπο βοηθά το νου να συλλάβει τον αιώνιο και αναλλοίωτο γεωμετρικό κόσμο, ή μας βοηθά στην ανάμνηση του κόσμου του Είναι. Ωστόσο μπορεί κανείς να αναρωτηθεί πώς είναι αυτό δυνατόν, εφόσον ο κόσμος του Είναι δεν είναι προσεγγίσιμος μέσω των αισθήσεων. Στην Πολιτεία (510d), ο Πλάτωνας γράφει:.. Οπότε θα γνωρίζεις ότι [οι γεωμέτρες] χρησιμοποιούν και τα ορατά είδη (δηλαδή τα σχήματα) και φτιάχνουν την ορολογία τους γι' αυτά, ενώ οι συλλογισμοί τους δεν αφορούν αυτά αλλά εκείνα τα οποία απεικονίζουν, γιατί διανοούνται για το τετράγωνο αυτό καθεαυτό και για τη διαγώνιο του καθεαυτή και όχι γι' αυτήν που ζωγραφίζουν, των οποίων υπάρχουν και σκιές και εικόνες στο νερό, αυτά μεν τα χρησιμοποιούν ως εικόνες. Ενώ δε αναζητούν δημιουργικά αυτά, προσπαθούν να δουν εκείνα για τα οποία δεν υπάρχει άλλος τρόπος να τα δει κανείς πάρα μόνο αυτός της καθαρής νόησης. Εδώ έχουμε την ίδια μεταφορά όπως στη χωρισμένη γραμμή: τις αντανακλάσεις και τις εικόνες. Υποθέτω ότι o έμπειρος μαθηματικός δεν έχει ανάγκη από σχήματα, καθ' όσον είναι σε περισσότερο άμεση επαφή με τον γεωμετρικό κόσμο. Ο Πλάτωνας δεν ήταν ο τελευταίος φιλόσοφος που αναρωτήθηκε για το ρόλο των σχημάτων στις γεωμετρικές αποδείξεις. 4 Μολονότι, όπως έχει σημειωθεί, οι μεταγενέστεροι πλατωνιστές δεν υιοθέτησαν τις πιο μυστικιστικές απόψεις της επιστημολογίας του Πλάτωνα, οι πιο πολλοί διατήρησαν την άποψη ότι η γεωμετρική γνώση είναι a priori, ανεξάρτητη από την αισθητηριακή εμπειρία. Είναι ίσως δυνατόν να χρειάζεται κάποια αισθητηριακή εμπειρία για να συλλάβουμε τις σχετικές έννοιες, ή μπορεί να χρειάζεται να σχεδιάσουμε κάποια διαγράμματα ως μια οπτική βοήθεια για το νου ή ίσως για να ανοίξουμε τις διάνοιες μας στον αιώνιο και αναλλοίωτο γεωμετρικό κόσμο του ευκλείδειου χώρου. Ωστόσο, είναι κρίσιμο το ότι η μαθηματική γνώση είναι γενικά ανεξάρτητη από την αισθητηριακή εμπειρία. Ο κύριος λόγος γι' αυτό προέρχεται από τη πλατωνική οντολογία. Η γεωμετρία δεν ασχολείται με φυσικά αντικείμενα στο φυσικό χώρο. Αυτή η άποψη αφήνει αναπάντητο το πρόβλημα της εξήγησης του γιατί η γεωμετρία έχει εφαρμογές στον φυσικό κόσμο, έστω και κατά προσέγγιση. Στον Τίμαιο, ο Πλάτωνας παρέχει μια λεπτομερή αλλά υποθετική ιστορία για το πώς ο φυσικός κόσμος κατασκευάστηκε γεωμετρικά, από τα πέντε επονομαζόμενα πλατωνικά στερεά: τετράεδρο (πυραμίδα), οκτάεδρο, εξάεδρο (κύβος), εικοσάεδρο, δωδεκάεδρο. 5 Οι λεπτομέρειες των απόψεων του Πλάτωνα σχετικά με την αριθμητική και την άλγεβρα 6 δεν είναι τόσο άμεσες όσο αυτές για τη γεωμετρία, αλλά η συνολική εικόνα παραμένει η ίδια. Ήταν ένας ειλικρινής ρεαλιστής και στη τιμή αλήθειας και στην οντολογία, ισχυριζόμενος ότι οι προτάσεις της αριθμητικής και της άλγεβρας είναι αληθινές ή ψεύτικες ανεξάρτητα από τον μαθηματικό, από τον φυσικό κόσμο, ακόμα και από το νου, και επί πλέον ισχυριζόταν ότι οι αριθμητικές προτάσεις έχουν να κάνουν με έναν κόσμο αφηρημένων αντικειμένων που ονομάζονται 'αριθμοί'.

8 Στον Σοφιστή (238α), ο Ξένος λέει ότι «μεταξύ των πραγμάτων τα οποία υπάρχουν συμπεριλαμβάνουμε και τον αριθμό γενικώς» και Ο Θεαίτητος απαντά «Ναι, ο αριθμός, οπωσδήποτε, υπάρχει εάν οτιδήποτε άλλο υπάρχει». ι διάλογοι περιέχουν αρκετές περικοπές που εφαρμόζουν τις πλατωνικές διακρίσεις στους αριθμούς. Υπάρχουν, βέβαια, αριθμοί φυσικών αντικειμένων, τους οποίους θα μπορούσαμε να ονομάσουμε 'φυσικούς αριθμούς'. Αυτοί είναι αριθμοί στον κόσμο του Γίγνεσθαι. Αυτοί διακρίνονται από τους 'αριθμούς καθαυτούς', οι οποίοι δεν συλλαμβάνονται από τις αισθήσεις, αλλά μόνον από την καθαρή σκέψη. Στον Φίληβο (56), για παράδειγμα, ο Πλάτωνας μέσω του Σωκράτη διαχωρίζει, ως προς την αριθμητική, τον 'κοινό άνθρωπο' από τον 'φιλόσοφο'. Υπάρχουν, κατά μια έννοια, δύο διαφορετικές αριθμητικές. Ο συνομιλητής, ο Πρώταρχος, ρωτά «σε ποια αρχή... μπορεί να βασιστεί αυτή η διάκριση». Ο Σωκράτης απαντά: «Ο συνηθισμένος ειδικός επί της αριθμητικής (αριθμοθεωρητικός) βεβαίως, λειτουργεί με άνισες μονάδες, το 'δύο' του μπορεί να είναι δύο στρατιές ή δύο αγελάδες ή δύο οτιδήποτε από το ελάχιστο μέχρι το μέγιστο πράγμα στον κόσμο, ενώ ο φιλόσοφος δεν έχει καμιά σχέση με αυτόν, εκτός αν συναινέσει να κάνει κάθε επί μέρους παράδειγμα της μονάδας του ακριβώς ίσο με κάθε ένα από τα άπειρα άλλα επί μέρους παραδείγματα του». Βλ. επίσης Θεαίτητος, 196, Πολιτεία, 525. Βλέπουμε έτσι ότι η αριθμητική, όπως και η γεωμετρία, ισχύει στον υλικό κόσμο μόνο κατά προσέγγιση, ή μόνον στο βαθμό κατά τον οποίο τα αντικείμενα μπορούν να διακρίνονται μεταξύ τους. Η αριθμητική του φιλοσόφου ισχύει ακριβώς και αυστηρώς μόνο στον κόσμο του Είναι. Δεν υπάρχει ομοφωνία επί των απόψεων του Πλάτωνα που αφορούν τη φύση των αριθμών. Μια ερμηνεία ισχυρίζεται ότι o Πλάτωνας θεώρησε τους αριθμούς ως λόγους γεωμετρικών μεγεθών. 7. Ο αριθμός τέσσερα, για παράδειγμα, θα είναι Ο λόγος της περιμέτρου ενός τετραγώνου διά της μιας πλευράς του, και επίσης ο λόγος του εμβαδού ενός τετραγώνου διά του εμβαδού ενός τετραγώνου του οποίου η πλευρά είναι η μισή της αρχικής. Αυτή η προσέγγιση έχει το πλεονέκτημα να καλύπτει όχι μόνο τους φυσικούς αριθμούς αλλά επίσης τους (θετικούς) ρητούς και άρρητους αριθμούς (όπως συζητήθηκαν σε διάλογους όπως o Θεαίτητος). Το μειονέκτημα αυτής της εξήγησης είναι ότι δεν προσφέρει εξήγηση για τη χρήση των αριθμών σε άλλα πλαίσια εκτός γεωμετρίας. Ακόμα και αν εστιάσουμε την προσοχή μας στον κόσμο του Είναι, απαριθμούμε πράγματα πέρα των γεωμετρικών μεγεθών. Λέμε, για παράδειγμα, ότι μια δοσμένη εξίσωση έχει δύο ρίζες, ότι υπάρχουν πέντε πλατωνικά στερεά, ότι υπάρχουν τέσσερις πρώτοι αριθμοί μικρότεροι του δέκα. Το παραπάνω κείμενο από τον διάλογο Φίληβος προτείνει μια άλλη εξήγηση της αριθμητικής του Πλάτωνα. Όταν ο κοινός αριθμητικός απαριθμεί ένα ζευγάρι παπούτσια, κάθε παπούτσι είναι μια μονάδα, αλλά τα δύο παπούτσια δεν έχουν το ίδιο σχήμα ούτε ακριβώς το ίδιο μέγεθος. Αντιθέτως, όταν ένας φιλόσοφος απαριθμεί 'δύο', αναφέρεται σε ένα ζευγάρι μονάδων οι οποίες είναι ίδιες από κάθε άποψη. Για τον φιλόσοφο, οι φυσικοί αριθμοί είναι συλλογές καθαρών μονάδων, οι οποίες είναι αξεχώριστες η μια από την άλλη (Πολιτεία, 425, Σοφιστής, 245). Σημειώστε, παρεμπιπτόντως, ότι και για το κοινό άτομο και για τον φιλόσοφο, Ό αριθμός' είναι πάντα αριθμός κάποιου πράγματος ή κάποιου άλλου. Οι αριθμοί του κοινού ανθρώπου είναι αριθμοί συλλογών, όπως στρατιές ή αγελάδες. Οι αριθμοί του φιλοσόφου είναι αριθμοί καθαρών μονάδων. Αρκετές αρχαίες πηγές διαχωρίζουν τη θεωρία των αριθμών, που ονομάζεται 'αριθμητική', από τη θεωρία του υπολογισμού (λογαριασμού), που λέγεται 'λογιστική'. Οι περισσότεροι συγγραφείς θεωρούν την τελευταία πρακτικό κλάδο, που σχετίζεται με μετρήσεις και εμπορικούς λογαριασμούς (π.χ. Πρόκλος, 1970, 20). 8

9 9 θα μπορούσε κανείς να σκεφθεί ότι αυτή η διάκριση θα βόλευε πολύ τον Πλάτωνα, δοθέντος της άκαμπτης αντίθεσης μεταξύ του κόσμου του Είναι και του κόσμου του Γίγνεσθαι. Η αριθμητική ασχολείται με το Είναι, ενώ η λογιστική με το Γίγνεσθαι. Ωστόσο, ο Πλάτωνας είχε εστιάσει και την αριθμητική και τη λογιστική στον κόσμο του Είναι. Η διαφορά έχει να κάνει με τον τρόπο με τον οποίο οι φυσικοί αριθμοί καθαυτοί μπορούν να μελετηθούν. Η αριθμητική «ασχολείται με τα ζυγά και τα μονά, με αναφορές στο πόσο καθ' ένα από αυτά τυχαίνει να είναι» (Γοργίας, 451). Εάν «κανείς γίνει τέλειος στην αριθμητική τέχνη», τότε «ξέρει επίσης όλα τα σχετικά με τους αριθμούς» {Θεαίτητος, 198). Η λογιστική του Πλάτωνα διαφέρει από την αριθμητική «στο βαθμό που μελετά τα ζυγά και τα μονά με σεβασμό στο πλήθος που περιέχουν και καθαυτά και μεταξύ τους» {Γοργίας, 451). Επομένως η αριθμητική ασχολείται με τους φυσικούς αριθμούς ξεχωριστά και η λογιστική ασχολείται με τις σχέσεις μεταξύ των αριθμών. Για τη λογιστική, ο Πλάτωνας προτείνει αρχές για το πώς οι φυσικοί αριθμοί 'γεννιούνται' από άλλους φυσικούς αριθμούς (μέσω του γνώμονα). Αυτό είναι κάτι παρόμοιο με μια αξιωματική διαπραγμάτευση της γένεσης της οντολογίας. Ο Πλάτωνας έλεγε ότι θα πρέπει κανείς να επιδιώκει και την αριθμητική και τη λογιστική για το καλό της γνώσης. Είναι μέσω της μελέτης των αριθμών αυτών καθαυτούς, και των σχέσεων μεταξύ των αριθμών, που το πνεύμα μπορεί να συλλάβει τη φύση των αριθμών όπως είναι καθαυτοί. Όπως το έθεσε ο Jacob Klein (1968, σελ. 23), η θεωρητική λογιστική «ανυψώνει σε μια σαφή επιστήμη αυτήν τη γνώση των σχέσεων μεταξύ των αριθμών η οποία... προηγείται και πράγματι πρέπει να προηγείται όλων των υπολογισμών». Η λογιστική του Πλάτωνα είναι για τον πρακτικό υπολογισμό ό,τι είναι η γεωμετρία του για τα σχήματα στο χαρτί ή στην άμμο. Κάποιος μπορεί να αναρωτιέται, όπως o Klein (1968, 20), τι ακριβώς μελετά η αριθμητική του Πλάτωνα, σε αντίθεση με τη λογιστική του. Προφανώς, η τέχνη τού να μετράει κανείς -απαρίθμηση αριθμών- είναι κατεξοχήν αριθμητική. Εντούτοις «η πρόσθεση καθώς επίσης και η αφαίρεση είναι μόνο μια επέκταση της απαρίθμησης». Επιπλέον «η μέτρηση καθαυτή ήδη προϋποθέτει μια συνεχή σχέση και διάκριση των απαριθμημένων πραγμάτων όπως επίσης και των αριθμών». Ο Klein (1968, σελ. 24) προσωρινά καταλήγει ότι η λογιστική ασχολείται με λόγους μεταξύ καθαρών μονάδων, ενώ η αριθμητική ασχολείται με απαρίθμηση, πρόσθεση και αφαίρεση. Σε ευθυγράμμιση με τους ύστερους διάλογους, θα ήταν καλύτερο να θεωρήσουμε τη λογιστική του Πλάτωνα ως κάτι που θα ονομάζαμε 'αριθμητική', δηλαδή τη μαθηματική μελέτη των φυσικών αριθμών. Η αριθμητική του Πλάτωνα είναι ένα μέρος μιας ανώτερης φιλοσοφίας, όπου καλείται κανείς να συλλάβει τη μεταφυσική φύση του αριθμού καθαυτόν. Η Επίδραση των Μαθηματικών στον Πλάτωνα Ο θαυμασμός του Πλάτωνα για τα συναρπαστικά επιτεύγματα των μαθηματικών είναι προφανής, ακόμα και στον περιστασιακό αναγνώστη των διαλόγων. Όπως το έθεσε ο Γρηγόρης Βλαστός (1991, σελ. 107), o Πλάτωνας «μπορούσε να συναναστρέφεται με άνεση στην Ακαδημία τους καλύτερους μαθηματικούς της εποχής του συμμεριζόμενος και ενθαρρύνοντας τον ενθουσιασμό τους για τη δουλειά τους». Μερικοί πρόσφατοι μελετητές έχουν εστιάσει τη προσοχή τους στην επιρροή της εξέλιξης των μαθηματικών στη φιλοσοφία του Πλάτωνα. Με έναν δραματικό τρόπο, έχουν φωτισθεί κάποιες από τις αιχμηρές διαφορές μεταξύ του Πλάτωνα και του δασκάλου του, του Σωκράτη.

10 Απ' όσα γνωρίζουμε, ο Σωκράτης ενδιαφερόταν κυρίως για την ηθική και την πολιτική και όχι για τα μαθηματικά και την επιστήμη. Θεωρούσε ότι είχε μια θεϊκή εντολή να διαδώσει τη φιλοσοφία σε όλους. Όλοι μας απολαμβάνουμε την εικόνα του Σωκράτη να τριγυρίζει στους δρόμους της Αθήνας συζητώντας για δικαιοσύνη και αξίες με οποιονδήποτε ήθελε να ακούσει και να συζητήσει. Με οποιονδήποτε. Έζησε σύμφωνα με το σύνθημα ότι o φιλοσοφικός στοχασμός είναι η ουσία της ζωής. Έχουμε γεννηθεί για να σκεφτόμαστε. Στη δίκη του, ο Σωκράτης δήλωσε ότι θα ήταν ανυπακοή στον Θεό αν σταμάταγε να μιλά και ασχολιόταν μόνο με τη ζωή του: «Σου λέω ότι το να μην αφήσεις καμιά μέρα να περάσει χωρίς να συζητήσεις για την καλοσύνη και όλα τα άλλα θέματα για τα οποία με ακούς να μιλάω και να διερευνώ και τον εαυτό μου και τους άλλους είναι πράγματι το καλύτερο πράγμα που μπορεί να κάνει ένας άνθρωπος, και ότι η ζωή χωρίς αυτού του είδους την αναζήτηση δεν αξίζει να τη ζεις». (Απολογία, 38α) Ο Σωκράτης τυπικά προχωρά εκμαιεύοντας τα πιστεύω ενός συνομιλητή και στη συνέχεια, μέσω προσεκτικών ερωτήσεων, προσπαθεί να εκμαιεύσει από αυτόν απροσδόκητες και ανεπιθύμητες συνέπειες αυτών των πεποιθήσεων. Στις περισσότερες περιπτώσεις η αντίθεση δεν σταματά με την εις άτοπον απαγωγή της αρχικής θέσης του συνομιλητή. Αντίθετα ο συνομιλητής προκαλείται να επανεξετάσει τις πεποιθήσεις του και να μάθει διατυπώνοντας νέες. Ο Σωκράτης το καταφέρνει αυτό ακόμα και στη δίκη του, εναντίον των κατηγόρων του. 8 Η σωκρατική μέθοδος, λοιπόν, είναι μια μέθοδος για την εκρίζωση των λανθασμένων αντιλήψεων. Εάν η μέθοδος πράγματι παράγει αλήθεια, αυτό γίνεται μόνον με μια διαδικασία απαλοιφής ή με τη μέθοδο της δοκιμής και της πλάνης. Ο Σωκράτης ποτέ δεν ισχυρίστηκε ότι διαθέτει κάποια ιδιαίτερη θετική γνώση της δικαιοσύνης, της ηθικής κ.λπ. Το αντίθετο, θεώρησε ότι η σοφία του χαρακτηρίζεται από το «εν οίδα ότι ουδέν οίδα». Ίσως έφτασε σε αυτό το αρνητικό συμπέρασμα διερευνώντας τον εαυτό του. Επιπλέον, η σωκρατική μέθοδος δεν καταλήγει σε βεβαιότητα. Μπορεί να μας πληροφορήσει ότι κάποιες από τις πεποιθήσεις μας είναι λανθασμένες ή συγκεχυμένες, αλλά δεν μας δείχνει αναπόφευκτα ποιες από τις αντιλήψεις είναι λανθασμένες ή συγκεχυμένες. Η μέθοδος υπόκειται σε σφάλματα και είναι υποθετική, αλλά είναι η καλύτερη που έχουμε. Η μεθοδολογία του ώριμου Πλάτωνα δεν μοιάζει με του Σωκράτη σε τίποτα από αυτά. Ο Πλάτωνας σημειώνει παρεμπιπτόντως ότι τα μαθηματικά «είναι καθολικά χρήσιμα σε όλες τις τέχνες και σε κάθε μορφή γνώσης και διανοητικής λειτουργίας - το πρώτο πράγμα που πρέπει κανείς να μάθει» (Πολιτεία, 523). 9 Από την εποχή του Πλάτωνα, για να μάθει κανείς μαθηματικά χρειαζόταν εντατικές και παρατεταμένες σπουδές. Μια πρόχειρη εξοικείωση με αυτά δεν είναι καθόλου αρκετή. Επομένως, ο Πλάτωνας συνειδητοποίησε ότι χρειαζόταν κανείς εντατικές και μακροχρόνιες σπουδές για οποιαδήποτε «μορφή γνώσης και διανοητικής λειτουργίας». Ειδικά για τη φιλοσοφία. Αντίθετα με τον δάσκαλο του, ο Πλάτωνας θεωρούσε ότι η φιλοσοφία δεν είναι για τον καθένα. Στην ιδανική πολιτεία 10 που οραματίστηκε στην Πολιτεία μόνο μερικοί προσεκτικά επιλεγμένοι άρχοντες μετείχαν στον φιλοσοφικό στοχασμό, και μόνο μετά από μια περίοδο εκπαίδευσης που διαρκούσε μέχρι την ηλικία των 50 ετών τουλάχιστον. Η μεγάλη πλειοψηφία των κατοίκων νουθετούνταν να παίρνουν τις οδηγίες τους από αυτούς τους άρχοντες και να ασχολούνται με τη δουλειά τους. Οι αγρότες καλλιεργούν και οι μάγειροι μαγειρεύουν. Ο καθένας κάνει μόνο αυτό που κάνει καλύτερα. Και η φιλοσοφία παραμένει στους ειδικούς -τους Φύλακες. Ο Πλάτωνας θεωρούσε ακόμα ότι είναι επικίνδυνο για τις μάζες να μετέχουν στη 10

11 φιλοσοφία. Είναι ακόμα επικίνδυνο και για τους υποψήφιους Φύλακες να μετέχουν στη φιλοσοφία πριν να έχουν κατάλληλα εκπαιδευτεί. Ο Πλάτωνας επέμενε ότι για την πλειοψηφία των ανθρώπων η ζωή όπως είναι (η χωρίς διερεύνηση) αξίζει πολύ να τη ζει κανείς. Εάν ίσχυε αυτή η άποψη του Πλάτωνα, τότε η διερευνητική ζωή θα ήταν απαγορευμένη σχεδόν σε όλους. Από αυτήν την άποψη, δεν θα μπορούσε να φανταστεί κανείς μια πιο έντονη αντίθεση από αυτή, μεταξύ του Σωκράτη και του πιο διάσημου μαθητή του. Είναι αξιοσημείωτο ότι για τον Πλάτωνα μια ολόκληρη δεκαετία από την εκπαίδευση των Φυλάκων ήταν αφιερωμένη στα μαθηματικά. Δεν κάνουν σχεδόν τίποτα άλλο μεταξύ της ηλικίας των 20 και 30. Αυτό είναι περισσότερο από ό,τι αναμένουμε από μελλοντικούς επαγγελματίες μαθηματικούς σήμερα. Η εξήγηση του Πλάτωνα γι' αυτό είναι ξεκάθαρη. Για να διοικούν σωστά, οι Φύλακες είναι ανάγκη να στρέψουν την προσοχή τους από τον κόσμο του Γίγνεσθαι στον κόσμο του Είναι. Επομένως, ένα κρίσιμο μέρος της εκπαίδευσης τους πρέπει να «στρέψει το πνεύμα τους από μια ημέρα που είναι σκοτεινή όπως η νύχτα σε μια αληθινή ημέρα, η οποία μας εξυψώνει σε ένα αληθινό κόσμο τον οποίο θα ονομάζουμε την αληθή επιδίωξη της σοφίας» (Πολιτεία, 521). Τα μαθηματικά «αποσπούν την ψυχή από τον κόσμο της αλλαγής στη πραγματικότητα». «Ξυπνά με φυσικό τρόπο τη δύναμη της σκέψης... να μας αποσπάσει από την πραγματικότητα» -τουλάχιστον για τις λίγες ψυχές που είναι ικανές για μια τέτοια άνοδο. Η διαφοροποίηση του Πλάτωνα από τον δάσκαλο του είναι κατανοητή, εάν όχι αξιοθαύμαστη. Ο Σωκράτης δεν έδινε αξία στα μαθηματικά, ενώ ο Πλάτωνας έβλεπε τα μαθηματικά ως μια πύλη στον κόσμο του Είναι, μια πύλη την οποία πρέπει κανείς να περάσει εάν θέλει να έχει κάποια ελπίδα να καταλάβει οτιδήποτε πραγματικό. 11 Τα μαθηματικά, η προϋπόθεση της φιλοσοφικής μελέτης, απαιτούν μια μεγάλη περίοδο εντατικών σπουδών. Δεν είναι λοιπόν αξιοπερίεργο ότι πολλοί από εμάς ζούμε τη ζωή μας μέσα στην άγνοια της αληθινής πραγματικότητας, και πρέπει να στηριζόμαστε στους Φύλακες για καθοδήγηση στο πώς να τις ζήσουμε καλά. Η γοητεία που ασκούσαν τα μαθηματικά στον Πλάτωνα ίσως να ήταν υπεύθυνη για την αντιπάθεια του για την υποθετική και υποκείμενη σε λάθη σωκρατική μεθοδολογία. Τα μαθηματικά προχωρούν (ή οφείλουν να προχωρούν) μέσω απόδειξης, και όχι μόνο με τη μέθοδο της δοκιμής και του λάθους. Όσο ο Πλάτωνας ωριμάζει, η σωκρατική μέθοδος σταδιακά παραγκωνίζεται. Στο διάλογο Μένων ο Πλάτωνας χρησιμοποιεί γεωμετρική γνώση και απόδειξη, ως το παράδειγμα για κάθε γνώση, συμπεριλαμβανομένης της ηθικής γνώσης και της μεταφυσικής. Σε αυτόν το διάλογο ο Πλάτωνας θέλει να δηλώσει κάτι για την ηθική, και για τη γνώση μας γι' αυτήν, και εξάγει μια σαφή αναλογία με τη γεωμετρική γνώση. Είναι μια συνηθισμένη σωκρατική και πλατωνική στρατηγική να ξεκινά κανείς με εναργείς περιπτώσεις και να συνεχίζει στις πιο προβληματικές περιπτώσεις, μέσω της αναλογίας. Ο Πλάτωνας θεωρεί τα πράγματα καθαρά και με χωρίς περιπλοκές όταν πρόκειται για τα μαθηματικά και τη μαθηματική γνώση, και προσπαθεί να γενικεύσει τα πορίσματα και τη μεθοδολογία τους σ' όλη τη γνώση. Στο διάλογο κανείς δεν αμφισβητεί την αναλογία μεταξύ μαθηματικών και ηθικής ή μεταφυσικής. Ο ρασιοναλισμός βασίζεται στην ίδια αναλογία (βλ. Κεφ. 4, 4.1). Κατά τις δεκάχρονες μαθηματικές τους σπουδές, οι υποψήφιοι Φύλακες προχωρούν 'υποθετικά' με αιτήματα και αξιώματα. Πρέπει απλώς να δεχθούν αυτές τις 'υποθέσεις' και δεν ξέρουν ποια είναι η απώτερη θεμελίωση τους. Όπως υποδείχτηκε από τη μεταφορά της διηρημένης ευθείας, οι μαθηματικοί χρησιμοποιούν επίσης διαγράμματα και άλλα βοηθήματα από τον κόσμο του Γίγνεσθαι. Σ' αυτό το στάδιο οι μελλοντικοί Φύλακες προχωρούν από τον κόσμο του 11

12 12 Γίγνεσθαι στον κόσμο του Είναι. Αυτό το στάδιο είναι απαραίτητο, αλλά δεν είναι μια κατάλληλη κατάληξη των σπουδών τους. Ο Πλάτωνας υπαινίσσεται μια πιο σίγουρη και ασφαλή μεθοδολογία για τη φιλοσοφία. Ξεκινώντας από την ηλικία των 30 -μετά τη δεκαετία των μαθηματικών-οι μελλοντικοί άρχοντες περνούν κάποια χρόνια ασχολούμενοι με τη 'διαλεκτική', όπου συναντούν και κατανοούν τις Μορφές καθαυτές, ανεξάρτητα από οποιαδήποτε παραδείγματα στον υλικό κόσμο, και φτάνουν σε μη υποθετικές πρώτες αρχές, το απώτατο θεμέλιο για κάθε γνώση και κατανόηση. Ο άριστος εξ αυτών θα μπορέσει τότε να υψωθεί και να ατενίσει το Αγαθό. Συνοψίζοντας, λοιπόν, για τον Πλάτωνα, η αδέξια αλλά συναρπαστική και εξισωτική σωκρατική μέθοδος παραχωρεί τη θέση της στην ελιτίστικη αυστηρότητα της ελληνικής μαθηματικής απόδειξης. Αυτή μετά αντικαθίσταται από μια πιο ελιτίστικη 'διαλεκτική' συνάντηση με τις Μορφές. Αριστοτέλης, ένας Αξιόλογος Αντίπαλος Τα περισσότερα από όσα λέει ο Αριστοτέλης σχετικά με τα μαθηματικά είναι μια πολεμική εναντίον των απόψεων του Πλάτωνα, και δεν υπάρχει ομοφωνία μεταξύ των ειδικών για τα διασκορπισμένα θετικά σχόλια που έκανε. Παρ' όλα αυτά, αποτελεί τουλάχιστον την κύρια κατεύθυνση μιας (ή περισσοτέρων) πραγματεύσεων των μαθηματικών που είναι προάγγελος κάποιων σύγχρονων στοχαστών. Η φιλοσοφία του Αριστοτέλη περιέχει σπέρματα εμπειρισμού. Όπως αναφέρθηκε πιο πάνω, η φιλοσοφία του Πλάτωνα για τα μαθηματικά είναι συνδεδεμένη με τη πραγματεία του περί των μορφών ως αιώνιων, αναλλοίωτων οντοτήτων στην ξεχωριστή υπαρκτική περιοχή του Είναι. Κατά παρόμοιο τρόπο η φιλοσοφία του Αριστοτέλη για τα μαθηματικά είναι συνδεδεμένη με την απόρριψη του ξεχωριστού αυτού κόσμου του Είναι. Ο Αριστοτέλης δεχόταν την ύπαρξη των Μορφών. Η Ομορφιά, για παράδειγμα, είναι αυτό που όλα τα όμορφα πράγματα έχουν κοινό, και όχι κάτι πάνω και πέρα από αυτά τα όμορφα πράγματα. Εάν καταφέρει κανείς να καταστρέψει όλα τα όμορφα πράγματα, θα καταστρέψει την Ομορφιά καθαυτή -γιατί δεν θα έχει μείνει τίποτα μέσω του οποίου να υπάρχει η Ομορφιά. Το ίδιο ισχύει για τη 'Δικαιοσύνη', την 'Αρετή', τον 'Άνθρωπο' και τις άλλες Μορφές. Εν συντομία, για τον Αριστοτέλη τα πράγματα στον φυσικό κόσμο έχουν Μορφές, αλλά δεν υπάρχει ξεχωριστός κόσμος που φιλοξενεί αυτές τις Μορφές. Οι Μορφές ενυπάρχουν στα μεμονωμένα αντικείμενα. Ο Αριστοτέλης μερικές φορές θεωρεί ότι η σημαντική ερώτηση αφορά τη φύση των μαθηματικών αντικειμένων, όχι την απλή ύπαρξη ή μη ύπαρξή τους: «Εάν τα μαθηματικά αντικείμενα υπάρχουν, πρέπει να υπάρχουν σε αντιληπτά αντικείμενα όπως λένε μερικοί, ή σε ξεχωριστά από τα αντιληπτά αντικείμενα (μερικοί το λένε και αυτό), ή εάν δεν ισχύουν αυτά, τότε δεν υπάρχουν καθόλου ή υπάρχουν με κάποιον άλλο τρόπο. Επομένως η διαμάχη θα είναι όχι στο εάν υπάρχουν, αλλά με ποιον τρόπο υπάρχουν» (Μεταφυσικά, Βιβλίο Μ, 1076α: η μετάφραση που χρησιμοποιείται εδώ και στη συνέχεια είναι του Annas 1976). Ένα πρόβλημα για τον Αριστοτέλη είναι ότι, αν απορρίψουμε τις πλατωνικές μορφές, τότε για ποιο λόγο να πιστεύουμε στα μαθηματικά αντικείμενα; Ποια είναι η φύση τους (εάν υπάρχουν) και κυρίως, σε τι χρειαζόμαστε τα μαθηματικά αντικείμενα; Σε ποιου πράγματος την εξήγηση βοηθούν, ή σε τι ρίχνουν φως; Όπως το έθεσε ο ίδιος: θα μπορούσε κανείς να διευθετήσει αυτήν την ερώτηση για τους αριθμούς: Που μπορούμε να βρούμε λόγους για να πιστεύουμε ότι οι

13 13 αριθμοί υπάρχουν; Για κάποιον που αποδέχεται τις Μορφές, αυτές παρέχουν κάποιο είδος εξήγησης για τα πράγματα, αφού κάθε αριθμός είναι μια Μορφή και μια Μορφή είναι μια εξήγηση για την ύπαρξη άλλων πραγμάτων με κάποιο τρόπο (θα δεχθούμε αυτήν την υπόθεση). Αλλά τι γίνεται με κάποιον που δεν δέχεται αυτήν την άποψη αφού έχει δει τις δυσκολίες που είναι κρυμμένες στις Μορφές, επομένως αυτός δεν είναι λόγος για να δεχθεί ότι υπάρχουν αριθμοί...; Γιατί να τον πιστέψουμε όταν λέει ότι αυτό το είδος αριθμού υπάρχει, και ποια είναι η χρησιμότητα του για οτιδήποτε άλλο; Δεν υπάρχει τίποτα που να αιτολογεί την πίστη του αυτή... (Μεταφυσικά, Βιβλίο Ν, 1090α). Η διαπραγμάτευση του Αριστοτέλη των μαθηματικών αντικειμένων ακολουθεί τη διαπραγμάτευση του των Μορφών. Όπως και στο πρώτο απόσπασμα που παρατέθηκε, πιστεύει ότι τα μαθηματικά αντικείμενα «ενυπάρχουν στα αισθητά αντικείμενα», και όχι ξέχωρα από αυτά. Ωστόσο, δεν υπάρχει ομοφωνία ως προς το τι ακριβώς σημαίνει αυτό. Το ζήτημα κάπως φωτίζεται από μια συζήτηση στα Φυσικά Β σχετικά με το τι είναι χαρακτηριστικό στη μαθηματική μεθοδολογία: Το επόμενο σημείο που θα θεωρήσουμε είναι σε τι διαφέρει ο μαθηματικός από το φυσικό. Προφανώς τα φυσικά σώματα περιέχουν επιφάνειες, όγκους, γραμμές και σημεία και αυτά είναι το θεματικό αντικείμενο των μαθηματικών... Ο μαθηματικός τώρα, παρόλο που ασχολείται με αυτά τα πράγματα (επιφάνειες, όγκους, μήκη, σημεία), δεν τα θεωρεί ως τα όρια ενός φυσικού σώματος ούτε μελετά τις ιδιότητες που αναφέρονται ως ιδιότητες τέτοιων σωμάτων. Γι' αυτό τις ξεχωρίζει, γιατί στη σκέψη είναι διαχωρίσιμες από τη κίνηση και δεν υπάρχει καμία διαφορά ούτε κάποιο λάθος αν διαχωριστούν... Ενώ η γεωμετρία ερευνά φυσικά μήκη, αλλά όχι ως φυσικά, η οπτική ερευνά μαθηματικά μήκη, όχι ως μαθηματικά. ( α) Το βιβλίο Μ των Μεταφυσικών περιέχει παρόμοιες απόψεις: Είναι δυνατόν να υπάρχουν δηλώσεις και αποδείξεις σχετικά με αισθητά μεγέθη, αλλά όχι ως αισθητά αλλά ως κάποιου συγκεκριμένου είδους... Στην περίπτωση των κινούμενων αντικειμένων θα υπάρχουν δηλώσεις και τομείς γνώσης σχετικά με αυτά, όχι ως κινητά, αλλά απλά ως σώματα και πάλι απλά ως επίπεδα και απλά ως μήκη, ως διαιρετά και ως μη διαιρετά, αλλά με θέση... Είναι επίσης αλήθεια να λέμε, χωρίς επιφύλαξη, ότι τα μαθηματικά αντικείμενα υπάρχουν και είναι όπως έχει ειπωθεί ότι είναι... Οι μαθηματικοί κλάδοι της γνώσης δεν θα είναι για τα αισθητά αντικείμενα απλώς επειδή τα αντικείμενα τους συμβαίνει να είναι αισθητά,... αλλά ούτε θα είναι σχετικά με άλλα ξεχωριστά αντικείμενα πάνω από αυτά... Έτσι αν κανείς προϋποθέτει αντικείμενα ξεχωριστά από αυτά που ανήκουν συμπτωματικά σε αυτά και τα μελετά ως τέτοια, δεν θα τα καταφέρει να μιλά, λόγω αυτού, λανθασμένα περισσότερο από έναν που ζωγραφίζει ένα πόδι στο έδαφος και το ονομάζει ένα μακρύ πόδι, όταν δεν είναι ένα μακρύ πόδι... Ένας άνδρας είναι ένας και αδιαίρετος ως άνδρας, και ο αριθμητικός υποθέτει ότι αυτός είναι αδιαίρετος και μελετά ότι συμπτωματικά εμπίπτει στον άνδρα ως αδιαίρετο ο γεωμέτρης από την άλλη δεν τον μελετά ούτε ως άνδρα ούτε ως αδιαίρετο, αλλά ως ένα στερεό αντικείμενο... Γι' αυτό οι γεωμέτρες μιλούν σωστά: μιλούν για υπάρχοντα πράγματα και πραγματικά υπάρχουν... (1077ο α).

14 Επιμένοντας στη γεωμετρία προς το παρόν, η ιδέα εδώ φαίνεται να είναι ότι τα φυσικά αντικείμενα με κάποιον τρόπο κυριολεκτικά περιέχουν τις επιφάνειες, τις γραμμές και τα σημεία που μελετούνται στα μαθηματικά. Ο γεωμέτρης, ωστόσο, δεν μεταχειρίζεται αυτές τις επιφάνειες, για παράδειγμα, ως τις επιφάνειες των φυσικών αντικειμένων. Νοητικά μπορεί κανείς να διαχωρίσει επιφάνειες, γραμμές και σημεία από τα φυσικά αντικείμενα που τα περιέχουν. Αυτό σημαίνει ότι μπορούμε να εστιάσουμε στις επιφάνειες, στις γραμμές και στα επίπεδα, και να αγνοήσουμε το γεγονός ότι αυτά είναι φυσικά αντικείμενα. Αυτός Ο διαχωρισμός είναι ψυχολογικός, ή ίσως λογικός. Αφορά τον τρόπο με το οποίο σκεπτόμαστε τα φυσικά αντικείμενα. Για τον Αριστοτέλη, το λάθος του Πλάτωνα ήταν ότι συμπεραίνει ότι τα γεωμετρικά αντικείμενα είναι μεταφυσικώς διαχωρισμένα από τις φυσικές τους εκφάνσεις, ακριβώς επειδή οι μαθηματικοί καταφέρνουν να αγνοούν συγκεκριμένες πλευρές του θεματικού τους αντικειμένου. Εδώ υπάρχουν αρκετές ερμηνείες του Αριστοτέλη. Η μία είναι να πάρουμε στα σοβαρά τη συζήτηση για τα μαθηματικά αντικείμενα και λίγο ή πολύ κυριολεκτικά. Σύμφωνα με αυτό, o Αριστοτέλης έθεσε ως αίτημα κάποια νοητική ικανότητα αφαίρεσης με την οποία τα αντικείμενα δημιουργούνται, ή αλλιώς παράγονται ή συλλαμβάνονται, με τη θεώρηση των φυσικών αντικειμένων. Αφαιρούμε μερικά από τα γνωρίσματα τους (βλ. για παράδειγμα, Mueller 1970 και την Εισαγωγή του Annas, 1976). Έστω, για παράδειγμα, ότι ξεκινάμε με μια μπρούτζινη σφαίρα. Αν επιλεκτικά αγνοήσουμε το υλικό του χαλκού και επικεντρωθούμε μόνο στο σχήμα του αντικειμένου, θα σχηματίσουμε τη γεωμετρική σφαίρα. Εάν επικεντρωθούμε στην επιφάνεια μιας από τις πλευρές ενός κύβου από πάγο, παίρνουμε το τμήμα ενός επιπέδου, και, αν επικεντρωθούμε στην άκρη αυτού του επιπέδου, παίρνουμε ένα τμήμα μιας γραμμής. Επομένως, τα γεωμετρικά αντικείμενα μοιάζουν με τις Μορφές. Κατά μια έννοια, τα γεωμετρικά αντικείμενα είναι οι μορφές των φυσικών αντικειμένων. Βέβαια είναι αριστοτελικές και όχι πλατωνικές Μορφές. Τα μαθηματικά αντικείμενα που παράγονται μέσω αφαίρεσης δεν υπάρχουν πριν από -ή ανεξάρτητα από- τα φυσικά αντικείμενα από τα οποία έχουν αφαιρεθεί. Σε αυτήν την εξήγηση, οι φυσικοί αριθμοί κατακτώνται μέσω αφαίρεσης από συλλογές φυσικών αντικειμένων. Ξεκινάμε με ένα πλήθος από, ας πούμε, πέντε πρόβατα και επιλεκτικά αγνοούμε τις διαφορές ανάμεσα στα πρόβατα ή ακόμα και το γεγονός ότι είναι πρόβατα. Εστιάζουμε μόνον στο γεγονός ότι είναι διαφορετικά αντικείμενα, και φτάνουμε έτσι στον αριθμό 5, ο οποίος είναι μια μορφή, ειδών, του συνόλου. Άρα οι αριθμοί υπάρχουν, ως αριστοτελικές Μορφές, σε συλλογές αντικειμένων των οποίων είναι οι αριθμοί. Σημειώστε ότι η αριθμητική και η γεωμετρία επαληθεύονται κυριολεκτικά με μια τέτοια ερμηνεία, στην οποία η μόνη εκκρεμότητα είναι μια εξήγηση της αφαίρεσης. Η γεωμετρία αφορά στα γεωμετρικά αντικείμενα, τα οποία έχουν τις ιδιότητες που τους αποδίδονται στις γεωμετρικές πραγματείες. Η αριθμητική ασχολείται με τους φυσικούς αριθμούς. 12 Αυτός είναι ένας ευχάριστος ρεαλισμός και ως προς τη τιμή αλήθειας και ως προς την οντολογία, συνεπής με περικοπές όπως «οι γεωμέτρες μιλούν σωστά: μιλάνε για πράγματα που υπάρχουν και αυτά πράγματι υπάρχουν...» (Μεταφυσικά, Μ 1078α). Κάποιοι ερευνητές θεωρούν ότι o Αριστοτέλης ξεχωρίζει τις 'επιστήμες' στη βάση του βαθμού αφαίρεσης από την ύλη. Επομένως η φυσική ασχολείται με την ύλη σε κίνηση, αγνοώντας τι είδους ύλη είναι. Τα μαθηματικά ασχολούνται με την ύλη, ως (γεωμετρική ή αριθμητική) ποσότητα, αγνοώντας τη κίνηση. Η μεταφυσική ασχολείται με το είναι καθαυτό, αγνοώντας οτιδήποτε άλλο. 14

15 15 Αυτό το είδος της αφαίρεσης έχει ρητά επικριθεί στην ιστορία της φιλοσοφίας. Εάν μου επιτρέπεται ένα άλμα ετών, μια από τις πιο αιχμηρές και πλατιές επιθέσεις εναντίον της αφαίρεσης έχει γίνει από τον λογικολόγο Gottlob Frege (γράφοντας για κάποιον από τους σύγχρονους του). Ο Frege (1971, σελ. 125) συζητά για τη λεγόμενη διαδικασία όπου παίρνουμε ένα πλήθος από 'μετρήσιμα κομμάτια' και αφαιρούμε τις διαφορές μεταξύ τους ώστε τα κομμάτια να γίνουν 'ίσα', όπως οι ιδανικές μονάδες του Πλάτωνα. Θεωρητικά μετά φτάνουμε στον αριθμό τους, όπως στο συγκεκριμένο ανάγνωσμα του Αριστοτέλη. Ο Frege απαντά ότι, μέσω της αφαίρεσης, «τα μετρήσιμα κομμάτια γίνονται ταυτόσημα, επομένως έχουμε ένα μετρήσιμο κομμάτι- το μέτρημα λοιπόν δεν θα προχωρήσει πέραν του 'ενός'. Όποιος δεν μπορεί να διαχωρίσει μεταξύ των πραγμάτων που έχει για μέτρημα, δεν μπορεί να τα μετρήσει». Αυτό σημαίνει ότι, αν καταφέρουμε να αφαιρέσουμε τις διαφορές μεταξύ των κομματιών, μετά δεν μπορούμε να τα διαχωρίσουμε ώστε να τα μετρήσουμε: Εάν η αφαίρεση κατάφερνε να εξαφανίσει όλες οι διαφορές, θα αφαιρούσαμε και τη δυνατότητα της μέτρησης. Από την άλλη πλευρά, εάν η λέξη 'ίσο' δεν υποτίθεται ότι σημαίνει ταυτότητα, τότε τα αντικείμενα που είναι ίδια θα διαφέρουν σε σχέση με κάποιες ιδιότητες και θα συμφωνούν σε σχέση με κάποιες άλλες. Αλλά για να το γνωρίζουμε αυτό, δεν χρειάζεται πρώτα να αφαιρέσουμε τις διαφορές τους... Η αφαίρεση δεν διακρίνει και είναι αόρατη δεν είναι μια δύναμη ενόρασης ή διαύγειας, αλλά μια δύναμη ασάφειας και σύγχυσης. Ο Frege (1980a, σελ ) τονίζει μια παρόμοια θέση αλλά με περισσότερο σαρκασμό: Η αφαίρεση είναι ένα ισχυρό απορρυπαντικό δεν πρέπει να χρησιμοποιείται πολύ συμπυκνωμένο, ώστε να μην διαλυθούν όλα, και ομοίως όχι πολύ αραιωμένο, ώστε το αποτέλεσμα της να έχει μια επαρκή αλαλαγή στα πράγματα. Επομένως το ερώτημα είναι να βρούμε τον σωστό βαθμό διάλυσης αυτό είναι δύσκολο να το καταφέρουμε, και εγώ εν πάση περιπτώσει δεν το έχω καταφέρει ποτέ... [Η αφαίρεση] είναι ειδικά αποτελεσματική. Δίνουμε λιγότερη σημασία σε μια ιδιότητα και αυτή εξαφανίζεται. Κάνοντας το ένα χαρακτηριστικό μετά το άλλο να εξαφανιστεί, παίρνουμε όλο και περισσότερο αφηρημένες έννοιες... Έστω ότι υπάρχει μια μαύρη γάτα και μια άσπρη γάτα που κάθονται δίπλα-δίπλα μπροστά μας. Σταματάμε να προσέχουμε το χρώμα τους και γίνονται άχρωμες, αλλά ακόμα κάθονται δίπλα-δίπλα. Σταματάμε να κοιτάμε τη στάση τους και πλέον κάθονται (παρότι δεν έχουν αποκτήσει άλλη στάση), αλλά η καθεμία βρίσκεται στη θέση της. Σταματάμε να κοιτάμε τη θέση τους παύουν να έχουν θέση, αλλά ακόμα παραμένουν διαφορετικές. Με αυτόν τον τρόπο, ίσως, αποκτούμε από καθεμία από αυτές τη γενική ιδέα της Γάτας. Συνεχίζοντας να εφαρμόζουμε αυτήν τη μέθοδο, αποκτούμε από κάθε αντικείμενο ένα όλο και περισσότερο άυλο φάντασμα. Τελικά αποκτούμε από καθένα ένα κάτι τελείως χωρίς περιεχόμενο αλλά το κάτι που αποκτήθηκε από το ένα αντικείμενο είναι διαφορετικό από το κάτι που αποκτήθηκε από το άλλο -μολονότι δεν είναι εύκολο να δούμε πώς.

16 Βλ. επίσης Frege 1884, 13, 34. Για να παραφράσω τον Berkeley, τα αφηρημένα στοιχεία φαίνεται να είναι τα φαντάσματα των αποθανόντων αντικειμένων. Μια δεύτερη ερμηνεία των παρατηρήσεων του Αριστοτέλη επί των μαθηματικών είναι να αντιτεθεί κανείς στην οντολογική αφαίρεση, και επομένως να απορρίψει τον ρεαλισμό ως προς την οντολογία. Δεν λαμβάνουμε γεωμετρικά ή αριθμητικά αντικείμενα μέσω καμιάς διαδικασίας. Αυστηρά μιλώντας, δεν υπάρχουν τέτοια αντικείμενα. Το κόλπο είναι να διατηρηθεί ο ρεαλισμός ως προς τη τιμή αλήθειας και επομένως και η αντικειμενικότητα των μαθηματικών. Ο Jonathon Lear (1982) ερμηνεύει τον γεωμέτρη του Αριστοτέλη σαν να μελετά συγκεκριμένες όψεις (κάποιων) συνηθισμένων φυσικών αντικειμένων, ίσως σύμφωνα με τις απόψεις που προτάθηκαν από τον Frege. Θεωρούμε πάλι μια σφαίρα από μπρούτζο. Ο γεωμέτρης δεν αφαιρεί τον μπρούτζο για να φτάσει στη γεωμετρική σφαίρα. Απλά αγνοεί τον μπρούτζο και λαμβάνει υπόψη μόνο τις ιδιότητες του φυσικού αντικειμένου που συνεπάγεται η σφαιρικότητα της. Ό,τι συμπεράσματα βγάλει θα ισχύουν και για μια ξύλινη σφαίρα. Όπως υποδεικνύουν οι παραπάνω περικοπές, είναι τυπικό για έναν γεωμέτρη να υποθέσει ότι υπάρχει ένα γεωμετρικό αντικείμενο το οποίο έχει όλες τις ιδιότητες που αποδίδονται στη σφαίρα και μόνον αυτές. Αυτό γίνεται για να θέσουμε ως αίτημα την ύπαρξη γεωμετρικών αντικειμένων, αντίθετα με την ερμηνεία του Αριστοτέλη. Παρ' όλα αυτά, o Αριστοτέλης σημειώνει ότι το αίτημα για την ύπαρξη γεωμετρικών αντικειμένων είναι ακίνδυνο, αφού η πραγματική φυσική σφαίρα έχει επίσης όλες αυτές τις ιδιότητες που αποδίδουμε στην υποθετικά υπάρχουσα σφαίρα. Αυστηρά και κυριολεκτικά, ο γεωμέτρης μιλά μόνο για φυσικά αντικείμενα (μολονότι όχι 'ως φυσικά'). Παρ' όλα αυτά, είναι ασφαλές να προσποιηθούμε ότι η γεωμετρική σφαίρα είναι ξεχωριστή. Με άλλα λόγια, τα αντικείμενα της γεωμετρίας είναι χρήσιμα αποκυήματα της φαντασίας. Ας υποθέσουμε ότι ένας γεωμέτρης λέει, «Έστω Α ένα ισοσκελές τρίγωνο». Αποδίδει τότε στο Α μόνο ιδιότητες που έπονται από το ότι είναι ένα ισοσκελές τρίγωνο. Οι μαθηματικοί πολλές φορές λένε ότι το Α είναι ένα 'αυθαίρετο' ισοσκελές τρίγωνο, αλλά όλοι εννοούν ότι το Α μπορεί να είναι οποιοδήποτε τέτοιο τρίγωνο. Κατ' αναλογίαν με τη παρούσα θεώρηση, είναι μια αβλαβής μυθοπλασία να λέμε ότι το Α είναι ένα ειδικό αντικείμενο που έχει όλες τις ιδιότητες κοινές σ' όλα τα ισοσκελή τρίγωνα. Θα παίρναμε μια παρόμοια πραγμάτευση της αριθμητικής με το να θεωρούσαμε ένα δοσμένο αντικείμενο μιας συλλογής 'ως αδιαίρετο' ή 'ως μια μονάδα'. Σε μια συλλογή των πέντε προβάτων, για παράδειγμα, θεωρούμε κάθε πρόβατο ως αδιαίρετο. Φυσικά, όπως γνωρίζουν οι χασάπηδες, κάθε πρόβατο είναι αρκετά διαιρέσιμο, και επομένως η υπόθεση του μαθηματικού είναι λανθασμένη. Η ιδέα είναι ότι οι μαθηματικοί αδιαφορούν για κάθε ιδιότητα της συλλογής που προέρχεται από τη διαιρετότητα του μεμονωμένου προβάτου. Προσποιούμαστε ότι κάθε πρόβατο είναι αδιαίρετο, και έτσι το χειριζόμαστε ως αδιαίρετο. Ο Αριστοτέλης συμφωνεί με τον Πλάτωνα ότι o αριθμός είναι πάντα ένας αριθμός για κάτι, αλλά για τον Αριστοτέλη οι αριθμοί είναι αριθμοί συλλογών από συνηθισμένα αντικείμενα. Οι αριθμοί του Αριστοτέλη είναι οι αριθμοί της φύσης (physical mumbers) του Πλάτωνα. Όσο για τη γεωμετρία, δεν βλάπτει να εισάγουμε τους αριθμούς ως χρήσιμα φαντασιακά αντικείμενα, για να πάρουμε έτσι την ευρετική (heuristics) της αριθμητικής. Και στις δύο ερμηνείες της φιλοσοφίας του Αριστοτέλη για τα μαθηματικά, η εφαρμοσιμότητα των μαθηματικών στον φυσικό κόσμο είναι άμεση. Ο μαθηματικός μελετά πραγματικές ιδιότητες των πραγματικών φυσικών αντικειμένων. Δεν είναι 16