Μαθηματικά: Αριθμητική και Άλγεβρα Μάθημα 6 ο, Τμήμα Α. Μέγιστος Κοινός Διαιρέτης (Μ.Κ.Δ.) και Ελάχιστο Κοινό Πολλαπλάσιο (Ε.Κ.Π.)

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Μαθηματικά: Αριθμητική και Άλγεβρα Μάθημα 6 ο, Τμήμα Α. Μέγιστος Κοινός Διαιρέτης (Μ.Κ.Δ.) και Ελάχιστο Κοινό Πολλαπλάσιο (Ε.Κ.Π.)"

Transcript

1 Μαθηματικά: Αριθμητική και Άλγεβρα Μάθημα 6 ο, Τμήμα Α Μέγιστος Κοινός Διαιρέτης (Μ.Κ.Δ.) και Ελάχιστο Κοινό Πολλαπλάσιο (Ε.Κ.Π.) Ε.Κ.Π. (Ελάχιστο Κοινό Πολλαπλάσιο) Κοινό όταν δύο άτομα έχουν ένα κοινό πρόβλημα, τότε έχουν και τα δύο το ίδιο πρόβλημα. Πολλαπλάσιο αριθμού Κοινό πολλαπλάσιο 2 ή περισσότεροι αριθμοί έχουν το ίδιο, άρα κοινό πολλαπλάσιο. π.χ. ένα κοινό πολλαπλάσιο του 5 και του 7 είναι το 35. Πόσα κοινά πολλαπλάσια μπορούμε να έχουμε; Εκτός από το 35 μπορούμε να έχουμε το 70, το 140, άρα έχουμε άπειρα κοινά πολλαπλάσια, τα οποία προκύπτουν πολλαπλασιάζοντας το 35 με τα 2, 3, 4, Ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο από όλα τα κοινά πολλαπλάσια, που είναι άπειρα, το πιο μικρό. Το πιο μικρό κοινό πολλαπλάσιο του 5 και του 7 είναι το 35. Μ.Κ.Δ. (Μέγιστος Κοινός Διαιρέτης) Κοινός διαιρέτης δύο ή περισσοτέρων αριθμών είναι ένας αριθμός που τους διαιρεί όλους. Για παράδειγμα, κοινός διαιρέτης του 8 και του 16 είναι το 4. Πόσους κοινούς διαιρέτες μπορούν να έχουν 2 αριθμοί; Έχουν πεπερασμένους κοινούς διαιρέτες. Μάλιστα, οι κοινοί διαιρέτες το πολύ-πολύ να είναι ίσοι με τον μικρότερο από τους αριθμούς αυτούς. Δηλαδή στην περίπτωση του 8 και του 16 το πολύ-πολύ να είναι το 8, επειδή το 16 δεν διαιρεί το 8. Ο μέγιστος κοινός διαιρέτης είναι ο μεγαλύτερος από τους κοινούς διαιρέτες. Άρα στην περίπτωση του 8 και του 16 είναι το 8. Όλοι οι αριθμοί σε ζευγάρια έχουν κοινούς διαιρέτες; π.χ. το 8 και το 16 έχουν κοινούς διαιρέτες τα 8, 4, 2.

2 Υπάρχει ζευγάρι αριθμών που να μην έχει κοινό διαιρέτη; π.χ. το 7 και το 13, το 5 και το 7, το 23 και το 19,... δεν έχουν άλλον κοινό διαιρέτη εκτός από την μονάδα (1). Αυτοί οι αριθμοί είναι οι πρώτοι αριθμοί. Πρώτοι αριθμοί είναι οι αριθμοί εκείνοι που διαιρούνται μόνο από την μονάδα (1) και τον εαυτό τους, π.χ. τα 7, 13, διαιρούνται μόνο από τον εαυτό τους και την μονάδα. Ο Ευκλείδης απέδειξε ότι το πλήθος των πρώτων αριθμών είναι άπειρο, δηλαδή ότι οι πρώτοι αριθμοί είναι άπειροι. Επίσης οι πρώτοι αριθμοί έχουν περίεργες ιδιότητες. Υπάρχει περίπτωση τα ζευγάρια των πρώτων αριθμών να είναι όπως παρακάτω και ονομάζονται φίλοι αριθμοί. Το 9 δεν είναι πρώτος αριθμός, γιατί διαιρείται και από το Εκείνοι οι αριθμοί που είναι κοντινοί και πρώτοι ονομάζονται φίλοι αριθμοί. Έχουμε έναν εύκολο τρόπο να βρίσκουμε τους πρώτους αριθμούς που είναι από το 1 έως το 100: το κόσκινο του Ερατοσθένη. Κόσκινο είναι ένα στρογγυλό αντικείμενο με σήτα για να κοσκινίζουν οι νοικοκυρές το αλεύρι, το σιτάρι και πάνω στην σήτα έμεναν τα φλούδια. Αυτή την τεχνική του κοσκινίσματος χρησιμοποίησε ο Ερατοσθένης και έφτιαξε ένα «κόσκινο». Πώς έφτιαξε το κόσκινο ο Ερατοσθένης; Αρχικά έγραψε τους αριθμούς από το 1 έως το 100 σε ένα πλέγμα 10 επί 10. Γνωρίζοντας ότι το 2 διαιρείται από τον εαυτό του και το 1, είναι δηλαδή πρώτος αριθμός, βρήκε και έδιωξε όλα τα πολλαπλάσιά του, γιατί αν ένας αριθμός είναι πολλαπλάσιο του 2 δεν είναι πρώτος αριθμός αφού εκτός από την μονάδα και τον εαυτό του διαιρείται και από το 2. Ο επόμενος πρώτος αριθμός είναι το 3 και ακολούθησε την ίδια διαδικασία. Έτσι διώχνοντας όλα τα πολλαπλάσια έμειναν οι πρώτοι αριθμοί. Αυτή είναι μία απλή μέθοδος για να βρίσκουμε τους πρώτους αριθμούς από το 1 έως το 100. Με ποιον τρόπο μπορούμε να υπολογίσουμε το Ε.Κ.Π. και τον Μ.Κ.Δ. των αριθμών π.χ. 4, 12 και 20; Αρχικά θα βρούμε το Ε.Κ.Π. των τριών αυτών αριθμών το οποίο θα είναι ίσο ή μεγαλύτερο με τον μεγαλύτερο από τους αριθμούς, που είναι το 20. Α τρόπος Ο πιο απλός τρόπος για να βρεθεί το Ε.Κ.Π. ακολουθεί την παραπάνω λογική. Πρώτα βρίσκουμε τα πολλαπλάσιά τους, μετά τα κοινά πολλαπλάσιά τους και μετά το ελάχιστο από τα κοινά πολλαπλάσιά τους. Π 4 = {4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36, 40, } Π 12 = {12, 24, 48, } Π 20 = {20, 40, 60, 80, }

3 Βρήκαμε τα πολλαπλάσια, αλλά δεν παρατηρούμε κάποιο κοινό πολλαπλάσιο. Αν αντί για 20 είχαμε το 24, τότε το Ε.Κ.Π. θα ήταν το 24. Παρατηρούμε ότι αυτός ο τρόπος για να βρίσκουμε το Ε.Κ.Π. είναι δύσκολος, χρονοβόρος και δεν βοηθά πάντα. Υπάρχει ένας 2ος τρόπος να βρίσκουμε το Ε.Κ.Π. που είναι πιο εύκολος, πιο γρήγορος και πιο αποτελεσματικός. Β τρόπος Βρίσκουμε το Ε.Κ.Π. με ανάλυση του αριθμού σε γινόμενο πρώτων παραγόντων δηλαδή γράφουμε τον αριθμό ως γινόμενο πρώτων αριθμών. Θα μπορούσαμε για παράδειγμα το 24 να το γράψουμε ως 2x12, δεν είναι σωστό όμως γιατί ναι μεν το γράφουμε ως γινόμενο αλλά το 12 δεν είναι πρώτος αριθμός αυτή δεν είναι ανάλυση σε γινόμενο πρώτων παραγόντων, είναι απλώς ανάλυση σε γινόμενο δύο αριθμών. Οι παράγοντες του γινομένου πρέπει να είναι πρώτοι αριθμοί. Ο πρώτος πρώτος αριθμός που σκεφτόμαστε είναι το 2. Θέλουμε δηλαδή το 20 να το γράψουμε ως _x_x_. O πρώτος κατά σειρά, αφού θέλουμε να το γράψουμε ως γινόμενο πρώτων αριθμών, πρώτος αριθμός είναι το 2. Το 20 το γράφουμε ως 2 επί κάτι, άρα το 20 έγινε 2 επί 10 (20 = 2x10). Το 10 θα το γράψουμε ως κάτι επί κάτι, σιγά σιγά δηλαδή το αναλύουμε. Το 10 δεν είναι πρώτος αριθμός και διαιρείται με το 2, άρα 10 = 2x5. Το 5 είναι πρώτος αριθμός και διαιρείται με τον εαυτό του. Όταν φτάνουμε στο 1 σημαίνει ότι τελείωσε η διαδικασία, δεν μπορούμε να αναλύσουμε πλέον το γινόμενο Άρα 20 = 2x2x5 = 2 2 x5 Κάθε φορά που κάνουμε την ανάλυση, πρέπει να εξαντλούμε με τη σειρά όλους τους πρώτους αριθμούς = = 2 2 x3

4 Αυτό το σύστημα της ανάλυσης σε γινόμενο πρώτων παραγόντων είναι φτιαγμένο για όλους τους αριθμούς. Π.χ. πολύ εύκολα γίνεται η ανάλυση ακόμα και μεγάλων αριθμών Διαιρούμε με το 2 μέχρι να μην διαιρείται άλλο με το 2. Εξαντλούμε όλες τις δυνατότητες που έχουμε για τον κάθε πρώτο αριθμό = 2 6 x3 3 Ένας τεράστιος αριθμός σε πολύ μικρό χρονικό διάστημα γράφτηκε ως 2 6 x3 3. Με τον πρώτο τρόπο θα είχαμε μία ασύμφορη διαδικασία. Το κοινό πολλαπλάσιο των αριθμών 20, 12 και 4 πώς θα γραφτεί από άποψη παραγόντων; 20 = 2 2 x5, 12 = 2 2 x3, 4 = 2 2 Το πολλαπλάσιο θα έχει σίγουρα μία δύναμη του 2. Αν ήταν το 2 1 δεν θα γινόταν η διαίρεση με το 2 2 άρα το ελάχιστο που μπορεί να είναι είναι το 2 2. Και το 3 πρέπει να είναι μέσα στο πολλαπλάσιο, και το ελάχιστο είναι το 3 1 για να διαιρεί το 12, και το 5 1 πρέπει να είναι μέσα για να διαιρεί το 20. Άρα το Ε.Κ.Π. πρέπει να έχει μέσα όλους τους παράγοντες και μάλιστα με την μεγαλύτερη δύναμη για να μπορεί να γίνει η διαίρεση. Άρα το πολλαπλάσιο θα έχει μέσα του το 2 2, το 3 και το 5 και άρα το Ε.Κ.Π. (4, 12, 20 )= 2 2 x3x5 Αυτό σημαίνει ότι το 2 2 x3x5 είναι πολλαπλάσιο και του 4 και του 12 και του 20, δηλαδή τα 20, 12, 4 διαιρούν το 2 2 x3x5 (οι έννοιες αυτές είναι συμπληρωματικές και εναλλακτικές, το 12 είναι πολλαπλάσιο του 3 άρα το 3 διαιρεί το 12). Για να βεβαιωθούμε ότι ο αριθμός αυτός είναι το Ε.Κ.Π. θα κάνουμε την διαίρεση 2 2 x3x5:2 2. Επίσης την ίδια διαίρεση θα κάνουμε και με τους άλλους δύο αριθμούς. 2 2 x3 1 x x5 1

5 Επαλήθευση: 2 2 x 3 1 x5 1 = 2 2 x3 1 x5 1 Δ δ π Επαλήθευση: π x δ = Δ 2 2 x3 1 x x x3 1 x x Άρα ο αριθμός αυτός είναι κοινό πολλαπλάσιο γιατί όλοι οι αριθμοί τον διαιρούν και μάλιστα είναι το μικρότερο, το ελάχιστο x3 6 x x x3 5 x5 200 Άρα και ο αριθμός αυτός είναι κοινό πολλαπλάσιο αλλά δεν είναι το ελάχιστο. Στο Ε.Κ.Π. παίρνουμε τους κοινούς και μη κοινούς παράγοντες με τον μεγαλύτερο εκθέτη. Είναι θέμα λογικής ότι στο Ε.Κ.Π. παίρνουμε τους κοινούς και μη κοινούς παράγοντες με τον μεγαλύτερο εκθέτη: για να διαιρείται με το 2 2 θα πρέπει οπωσδήποτε το Ε.Κ.Π. να έχει τουλάχιστον ένα 2 2 γιατί αν έχει ένα 2 1 δεν διαιρείται με το 2 2 που είναι μεγαλύτερο, δεν μπορούμε έναν μικρό αριθμό να τον διαιρέσουμε με έναν μεγαλύτερο. Το Ε.Κ.Π. πρέπει να έχει ένα 5 1, γιατί οι δύο στους τρεις αριθμούς δεν έχουν 5 αλλά το Ε.Κ.Π. πρέπει να τους διαιρεί και τους τρεις, έστω κι αν ένας έχει το 5, αυτό πάει στο Ε.Κ.Π. γι αυτό οι αριθμοί μπορούν επίσης να γραφτούν: 12=2 2 x3 1 x5 0 20=2 2 x5 1 x3 0 4=2 2 x3 0 x5 0 Έτσι και οι τρεις αριθμοί έχουν το 2,το3 και το 5. Αφού πρόκειται για πολλαπλάσιο, παίρνουμε τον μεγαλύτερο εκθέτη.

6 Γι αυτό όσοι αριθμοί δεν περιέχουν δύναμη του 2, του 3 ή του 5 είναι σαν να τα περιέχουν αλλά στην μηδενική δύναμη. Αν έναν πρώτο αριθμό τον περιέχει ο ένας από τους αριθμούς που αναλύουμε, τότε είναι σαν να τον περιέχουν όλοι στην μηδενική δύναμη και απλώς δεν φαίνεται. Ας υποθέσουμε ότι κάποιος έκανε λάθος και έλεγε ότι το Ε.Κ.Π. (4, 12, 20) = 2 1 x3 1 x x3 1 x x3 Κάνοντας όμως την διαίρεση με τους διαιρέτες βλέπουμε ότι δεν γίνεται η διαίρεση, επειδή το 2 2 δεν χωράει στο 2 1, γι αυτό και πρέπει το Δ να είναι μεγαλύτερο ή ίσο με το δ. 2, 3, 4 Π 2 = {2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, } Π 3 = {3, 6, 9, 12, 15, } Π 4 = {4, 8, 12, 16, 20, } Άρα το Ε.Κ.Π. (2, 3, 4) = 12 Αφού το 12 είναι πολλαπλάσιο των 2, 3, 4 σημαίνει ότι τα 2, 3, 4 διαιρούν το 12 (είναι διαιρέτες του 12). Με τον ίδιο τρόπο βρίσκουμε τον Μ.Κ.Δ. αλλά αντί για πολλαπλάσια σκεφτόμαστε τους διαιρέτες. Μ.Κ.Δ. 4, 12, 20 Είτε ψάχνουμε να βρούμε το Ε.Κ.Π. είτε τον Μ.Κ.Δ. αριθμών όσων αριθμών το πρώτο βήμα είναι να τους αναλύσουμε σε γινόμενο πρώτων παραγόντων. 12 = 2 2 x3 1 x = 2 2 x5 1 x3 0 4 = 2 2 x3 0 x5 0 Τώρα δεν ψάχνουμε το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο αλλά εκείνον τον αριθμό που θα τους διαιρεί και τους τρεις. Στην πραγματικότητα τώρα δεν ψάχνουμε τον μεγαλύτερο, αλλά τον μικρότερο αριθμό που θα χωράει μέσα σ όλους, και τους τρεις.

7 Ποιος είναι ο αριθμός που χωράει μέσα σ όλους; Το 2 2. Δηλαδή Μ.Κ.Δ. (4, 12, 20) = 2 2 Το 2 2 διαιρεί και τους τρεις αριθμούς. Δεν θα μπορούσαμε να είχαμε μεγαλύτερο, γιατί αν είχαμε Μ.Κ.Δ. το 2 2 x3 πώς θα μπορούσαμε να κάνουμε την διαίρεση 2 2 :2 2 x3; 2 2 x x Άρα με απλή διατύπωση, το Ε.Κ.Π. πρέπει να είναι ο πιο μεγάλος αριθμός (κοινοί και μη κοινοί με τον μεγαλύτερο εκθέτη) ενώ ο Μ.Κ.Δ. πρέπει να είναι ο πιο μικρός αριθμός για να χωράει μέσα σ όλους (μόνο κοινοί με τον μικρότερο εκθέτη). Ασκησίδιο Να βρείτε τον Μ.Κ.Δ. και το Ε.Κ.Π. των αριθμών: 192, 220, 300, =2 6 x3 220=2 2 x5x11 300=2 2 x3x =2 2 x3 4 Ε.Κ.Π. (192, 220, 300, 324) = 2 6 x3 4 x5 2 x11 Μ.Κ.Δ. (192, 220, 300, 324) = 2 2 Η ίδια η ανάλυση πολλές φορές δείχνει αν έχει γίνει λάθος. Επίσης σημαντικό είναι να πάρουμε πρώτα τον πιο μικρό αριθμό, μετά τον αμέσως μεγαλύτερο, κ.ο.κ.

8 Μετά μας ζητήθηκε να φτιάξουμε 2 προβλήματα, ένα για τον Μ.Κ.Δ. και ένα για το Ε.Κ.Π. Μία ιδέα ήταν να γράψουμε ένα πρόβλημα που να περιέχει κλάσματα με διαφορετικούς παρονομαστές ώστε να χρειαστεί να γίνουν τα κλάσματα ομώνυμα με το Ε.Κ.Π. Όμως αυτά τα προβλήματα δεν είναι προβλήματα της καθημερινής ζωής και δεν είναι απαραίτητο για να προσθέσουμε κλάσματα να χρησιμοποιήσουμε Ε.Κ.Π. Όταν κατασκευάζουμε ένα πρόβλημα πρέπει να είναι ένα πρόβλημα κανονικό, δηλαδή να λύνεται, να το καταλαβαίνουν οι άνθρωποι,... Π.χ. ένα πρόβλημα που διατυπώθηκε ήταν ότι κάποιοι άνθρωποι μπαίνουν σε μια αίθουσα και θέλουν να διαλέξουν μπαστούνια, τα οποία είναι αριθμημένα από το 1 έως το 4, αλλά δεν γνωρίζουμε κανένα άλλο χαρακτηριστικό τους, ούτε καν το μήκος τους. Πώς θα διαλέξουν μπαστούνια; Αν μας έλεγαν όμως να διαλέξουμε ένα μπαστούνι, θα διαλέγαμε από το ξύλο, το μέγεθος, το χρώμα, την λαβή,... (ρεαλιστικό ή όχι του προβλήματος). Άλλο πράγμα είναι να ξέρουμε τον αλγόριθμο, την διαδικασία και άλλο πράγμα είναι η επίλυση του προβλήματος. Και από την επίλυση του προβλήματος, άλλο πράγμα είναι να μας δώσουν ένα πρόβλημα για να το λύσουμε και άλλο πράγμα είναι να μας ζητήσουν να κατασκευάσουμε ένα πρόβλημα. Υπάρχουν δηλαδή τρία διαφορετικά επίπεδα δυσκολίας: 1. Το να εφαρμόζουμε απλά τύπους, που δεν είναι καν μαθηματικά, είναι τεχνικές. Το να καταλάβουμε τι εφαρμόζουμε με τους τύπους, το πώς τους εφαρμόζουμε. Τότε αρχίζουμε να κάνουμε μαθηματικά. 2. Σοβαρά μαθηματικά κάνουμε, όμως, μόνο σε δύο περιπτώσεις: όταν αποδεικνύουμε κάτι και όταν λύνουμε προβλήματα. 3. Και ακόμα περισσότερα μαθηματικά κάνουμε όταν μας δώσουν μία έννοια και μας πουν: κατασκευάστε ένα πρόβλημα που να λύνεται με αυτή την έννοια. Σε κάθε πρόβλημα κοιτάμε πρώτα αν λύνεται (μπορεί και να μην λύνεται) και δεύτερον πώς λύνεται γιατί μπορεί να λύνεται με Ε.Κ.Π., μπορεί και να λύνεται και με πιο απλό τρόπο. Ένα πρόβλημα ήταν το εξής: Η Ειρήνη έχει 10 καραμέλες, η Ιωάννα έχει 12 καραμέλες και η Μαρίνα 20 καραμέλες. Θέλουν να δώσουν τόσες καραμέλες ώστε να τους μείνει ίσος αριθμός καραμελών. Πόσες καραμέλες θα μείνουν στην καθεμία; Πρέπει να δούμε αν είναι πρόβλημα. Το να γράφουμε μια εκφώνηση που να έχει μέσα αριθμούς και στο τέλος μία ερώτηση δεν το κάνει πρόβλημα, δηλαδή μερικές φορές τα προβλήματα έχουν την όψη προβλημάτων χωρίς να είναι προβλήματα ή αντίθετα ενώ δεν έχουν όψη προβλημάτων, είναι προβλήματα. Στην πραγματικότητα δεν πρόκειται για Ε.Κ.Π., γιατί για παράδειγμα η μία θα δώσει 1 καραμέλα, η άλλη 3 και η άλλη θα δώσει 11. Έτσι έμειναν και στις τρεις 9 καραμέλες. Αν αποφάσιζαν να μείνουν και στις τρεις 8 καραμέλες θα έδιναν περισσότερες καραμέλες.

9 Είναι δεκτό δηλαδή σαν πρόβλημα αλλά όχι σαν πρόβλημα για το Ε.Κ.Π. Είναι απλώς πρόβλημα πρόσθεσης και αφαίρεσης. Π.χ. Πώς μπορούμε να μετρήσουμε το πάχος μίας σελίδας; Με χάρακα δεν μπορούμε, αλλά μπορούμε να πάρουμε ένα πακέτο με 1000 χαρτιά, να μετρήσουμε με τον χάρακα το πάχος του πακέτου και να διαιρέσουμε με τον αριθμό των φύλλων (για την έννοια του δεκαδικού αριθμού). Παρατηρούμε ότι αυτό δεν έχει την όψη προβλήματος ούτε καν αριθμούς, αλλά είναι πρόβλημα. Έχουμε ένα κιλό ρύζι. Πόσους κόκκους ρύζι έχει μέσα; Σκέφτομαι μαθηματικά όταν έχω να κάνω με προβλήματα που δεν έχουν μέσα αριθμούς. (Οι αριθμοί αλλοτριώνουν την σκέψη). Θα πάρουμε ένα κουτάλι της σούπας, θα το γεμίσουμε, θα μετρήσουμε τους κόκκους και θα τους ζυγίσουμε (π.χ. 1 gr) αναλογίες. Η διαδικασία επίλυσης ενός πραγματικού προβλήματος με την βοήθεια των μαθηματικών λέγεται modeling (μοντελοποίηση). Δηλαδή τα μαθηματικά μάς χρησιμεύουν για να φτιάχνουμε μοντέλα για να λύνουμε πραγματικά προβλήματα. Τα μοντέλα που φτιάχνουμε ενέχουν και την πιθανότητα του λάθους. Η μέτρηση έχει μέσα της και το περιθώριο λάθους του οργάνου. Σύμφωνα με τον Λατούρ, οι μετρήσεις που παίρνουμε μέσω των μαθηματικών είναι προσεγγιστικά αληθείς. Ένα άλλο πρόβλημα που διατυπώθηκε ήταν το εξής: Ένας γεωργός χρησιμοποιεί δύο είδη κουβάδων για κάθε είδους φρούτο. Στον ένα κουβά βάζει τα μήλα και στον άλλο τα αχλάδια. Οι κουβάδες για τα μήλα χωράνε μέσα 3 κομμάτια ενώ οι κουβάδες για τα αχλάδια χωράνε μέσα 5 κομμάτια. Πόσα μήλα και πόσα αχλάδια είναι το ελάχιστο που έχει συλλέξει αυτός ο γεωργός όταν ο αριθμός τους είναι ίσος και ο γεωργός έχει χρησιμοποιήσει ακέραιο αριθμό γεμάτων κουβάδων; Στο τέλος θέλουμε ο αριθμός των μήλων να είναι ίσος με τον αριθμό των αχλαδιών. Ποιος είναι ο ελάχιστος αριθμός φρούτων που φόρτωσε; Αυτό το πρόβλημα λύνεται με Ε.Κ.Π. και μάλιστα το αποτέλεσμα είναι ότι φόρτωσε 15 μήλα (5 κουβάδες) και 15 αχλάδια (3 κουβάδες). Άρα ο ελάχιστος αριθμός φρούτων που φόρτωσε ήταν 15 μήλα και 15 αχλάδια. Ένα ακόμα πρόβλημα που διατυπώθηκε ήταν: Η Μαρία και ο Κώστας έχουν συνολικά 60 καραμέλες, η Δήμητρα έχει 40 και η Ειρήνη 24. Πόσος είναι ο ελάχιστος δυνατός αριθμός καραμελών που θα δώσουν στην Δέσποινα; Δεν είναι πρόβλημα Ε.Κ.Π.

10 Η Μαρία θέλει να βάλει πλακάκια σε δύο δωμάτια του σπιτιού της. Οι διαστάσεις που δεν πρέπει να ξεπεράσει είναι 25 cm πλάτος και 25 cm μήκος. Το ένα πλακάκι αποτελείται από 4 πλακάκια συνεχόμενα κάθετα και το άλλο από 12 πλακάκια ενωμένα μεταξύ τους. Θα υπάρξει στα δύο δωμάτια ίσος αριθμός από πλακάκια; Μερικές φορές διαβάζοντας ένα πρόβλημα αισθανόμαστε την ανάγκη να το ζωγραφίσουμε. Μερικές φορές καταλαβαίνουμε ένα πρόβλημα καλύτερα κάνοντας ένα σχέδιο. Άρα το δωμάτιό της είναι τετράγωνο. Υποθέτουμε ότι το κάθε πλακάκι είναι 1 cm. Έχουμε ένα ρεαλιστικό πρόβλημα γιατί αν το πλάτος είναι 25 cm και 1 cm να είναι το πλακάκι δεν υπάρχει περίπτωση να στρώσει το δάπεδο, αφού έχουμε πλάτος 25 cm και αν βάλουμε δύο πλακάκια των 12 cm (2x12 = 24 cm) δεν υπάρχει περίπτωση να στρωθεί το δάπεδο. Οπότε έγιναν κάποιες διορθώσεις. Το ένα είδος θα χρησιμοποιηθεί για το ένα δωμάτιο και το άλλο για το άλλο δωμάτιο. Έστω ότι θα έχουμε ένα πλακάκι 4x1 και ένα άλλο 12x1. Επίσης έχουμε πλάτος δωματίου 24 cm. Αφού το ένα πλακάκι έχει πλάτος 12 cm και μήκος 1 cm και το πλάτος του δωματίου είναι 24 cm θα χρησιμοποιήσουμε 2 πλακάκια επί 24 για το μήκος 24x2 = 48 πλακάκια ενώ για το άλλο δωμάτιο θέλουμε 6 επί 24, 6x24 = 144 πλακάκια, που δεν είναι πρόβλημα Ε.Κ.Π. αλλά περισσότερο πρόβλημα γεωμετρίας. Πρόβλημα Η Μαρία έχει λεφτά με τα οποία μπορεί να αγοράσει είτε 20 μολύβια είτε 12 στυλό είτε 4 τετράδια. Πόσα λεφτά μπορεί να έχει το λιγότερο; Μπορεί να έχει 1, γιατί αν διαιρέσουμε το 1 διά 20 θα βρούμε την τιμή του ενός μολυβιού. Έστω ότι είναι ακέραιοι. Τότε είναι πρόβλημα Ε.Κ.Π. Π.χ. έστω ότι το κάθε μολύβι από τα 20 μολύβια κάνει 1, όμως δεν μπορεί, γιατί 20:12 (αφού μπορεί να αγοράσει με τα ίδια λεφτά 12 στυλό) δεν δίνει ακέραια τιμή στα στυλό, αλλά 20:4 τετράδια είναι εντάξει αφού βγαίνει 5 το τετράδιο.

11 Πρέπει λοιπόν να είναι ένας αριθμός που να διαιρείται με όλους και το πηλίκο να είναι ακέραιο, γιατί η τιμή του είδους είναι ακέραια και να είναι ο μικρότερος δυνατός αριθμός άρα είναι πρόβλημα Ε.Κ.Π. Πρέπει να είναι πολλαπλάσια, γιατί αν τα διαιρέσουμε με αυτά τα είδη να μας δίνει ακέραια τιμή για το κάθε είδος και πρέπει να είναι και το ελάχιστο αφού μας ζητά τα ελάχιστα χρήματα που πρέπει να έχουμε. Η Μαρία έχει 20, ο Νίκος 12 και η Γεωργία 4. Πόσα μπορεί να δώσει ο καθένας ώστε να αγοράσουν μια πίτσα χωρίς να δώσει κανένας παραπάνω και κανένας λιγότερα; Δεν είναι πρόβλημα Μ.Κ.Δ. αλλά είναι πρόβλημα άλλης ύλης του δημοτικού σχολείου. Στην πραγματικότητα, έστω ότι η Μαρία έδωσε x (Μ x), ο Νίκος έδωσε y (Ν y) και η Γεωργία έδωσε z (Γ z) για να υπάρχει μία ισορροπία. Θα πρέπει: x y z δηλαδή ο λόγος αυτού που δίνει προς αυτά που έχει (λόγος και αναλογία) Για να το λύσουμε, μας χρειάζεται επίσης να μας δώσουν πόσα λεφτά έδωσαν συνολικά όλοι, π.χ. ότι x+y+z = 100, γιατί στην πραγματικότητα έχουμε 3 αγνώστους και χρειαζόμαστε 3 εξισώσεις. Πρόβλημα Η Μαρία θέλει να κάνει ένα κουρελοχαλί με δύο κομμάτια ύφασμα. Το ένα έχει πλάτος 72 πόντους και το άλλο 90. Χωρίς να χάσει ύφασμα, θέλει να τα κόψει σε λωρίδες ίσου πλάτους. Πόσο θα είναι το πλάτος κάθε λωρίδας; (με Μ.Κ.Δ.)

Χαρακτήρες διαιρετότητας ΜΚΔ ΕΚΠ Ανάλυση αριθμού σε γινόμενο πρώτων παραγόντων

Χαρακτήρες διαιρετότητας ΜΚΔ ΕΚΠ Ανάλυση αριθμού σε γινόμενο πρώτων παραγόντων Χαρακτήρες διαιρετότητας ΜΚΔ ΕΚΠ Ανάλυση αριθμού σε γινόμενο πρώτων παραγόντων TINΑ ΒΡΕΝΤΖΟΥ www.ma8eno.gr www.ma8eno.gr Σελίδα 1 Ορισμός Ευκλείδεια διαίρεση ονομάζεται η πράξη κατά την οποία ένας αριθμός

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά: Αριθμητική και Άλγεβρα. Μάθημα 3 ο, Τμήμα Α. Τρόποι απόδειξης

Μαθηματικά: Αριθμητική και Άλγεβρα. Μάθημα 3 ο, Τμήμα Α. Τρόποι απόδειξης Μαθηματικά: Αριθμητική και Άλγεβρα Μάθημα 3 ο, Τμήμα Α Ο πυρήνας των μαθηματικών είναι οι τρόποι με τους οποίους μπορούμε να συλλογιζόμαστε στα μαθηματικά. Τρόποι απόδειξης Επαγωγικός συλλογισμός (inductive)

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ. Άρτιοι αριθμοί ονομάζονται οι αριθμοί που διαιρούνται με το 2 και περιττοί εκείνοι

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ. Άρτιοι αριθμοί ονομάζονται οι αριθμοί που διαιρούνται με το 2 και περιττοί εκείνοι ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ 1)Ποιοι αριθμοί ονομάζονται άρτιοι και ποιοι περιττοί ; Άρτιοι αριθμοί ονομάζονται οι αριθμοί που διαιρούνται με το 2 και περιττοί εκείνοι που δεν διαιρούνται

Διαβάστε περισσότερα

Η κλασματική γραμμή είναι η πράξη της διαίρεσης.

Η κλασματική γραμμή είναι η πράξη της διαίρεσης. όροι του κλάσματος : αριθμητής παρονομαστής πόσα ίσα μέρη της ακέραιης μονάδας πήρα πόσα ίσα μέρη χώρισα την ακέραιη μονάδα Η κλασματική γραμμή είναι η πράξη της διαίρεσης. Τα κόκκινα κομμάτια αποτελούν

Διαβάστε περισσότερα

Α.2.1 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΚΛΑΣΜΑΤΟΣ

Α.2.1 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΚΛΑΣΜΑΤΟΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο ΚΛΑΣΜΑΤΑ Α.. Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΚΛΑΣΜΑΤΟΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΣΥΓΚΡΙΣΗ ΚΛΑΣΜΑΤΟΣ ΜΕ ΤΟ Αν ο αριθμητής ενός κλάσματος είναι μεγαλύτερος από τον παρανομαστή, τότε το κλάσμα είναι μεγαλύτερο από το. Αν ο αριθμητής

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Πίνακας περιεχομένων Κεφάλαιο 1 - ΟΙ ΦΥΣΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ... 2 Κεφάλαιο 2 ο - ΤΑ ΚΛΑΣΜΑΤΑ... 6 Κεφάλαιο 3 ο - ΔΕΚΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ... 10 ΣΩΤΗΡΟΠΟΥΛΟΣ ΝΙΚΟΣ 1 Κεφάλαιο 1 - ΟΙ ΦΥΣΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ

Διαβάστε περισσότερα

Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α Α Γ Υ Μ Ν Α Σ Ι Ο Υ

Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α Α Γ Υ Μ Ν Α Σ Ι Ο Υ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α Α Γ Υ Μ Ν Α Σ Ι Ο Υ 1 Συνοπτική θεωρία Ερωτήσεις αντικειμενικού τύπου Ασκήσεις Διαγωνίσματα 2 ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ-ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ 1. Πότε ένας φυσικός αριθμός λέγεται άρτιος; Άρτιος

Διαβάστε περισσότερα

7.Αριθμητική παράσταση καλείται σειρά αριθμών που συνδέονται με πράξεις μεταξύ τους. Το αποτέλεσμα της αριθμητικής παράστασης ονομάζεται τιμή της.

7.Αριθμητική παράσταση καλείται σειρά αριθμών που συνδέονται με πράξεις μεταξύ τους. Το αποτέλεσμα της αριθμητικής παράστασης ονομάζεται τιμή της. ΟΙ ΦΥΣΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Α.1.2 1. Οι ιδιότητες της πρόσθεσης των φυσικών αριθμών είναι οι εξής : Αντιμεταθετική ιδιότητα π.χ. α+β=β+α Προσετεριστική ιδιότητα π.χ. α+β+γ=(α+β)+γ=α+(β+γ) 2.Η πραξη της αφαίρεσης

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΝΔΡΕΣΑΚΗΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΦΥΛΛΑ ΕΡΓΑΣΙΑΣ ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ ΕΝΟΤΗΤΑ Α.1.2. ΠΡΑΞΕΙΣ ΦΥΣΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ΚΑΙ ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΟΝΟΜΑΤΕΠΩΝΥΜΟ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΝΔΡΕΣΑΚΗΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΦΥΛΛΑ ΕΡΓΑΣΙΑΣ ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ ΕΝΟΤΗΤΑ Α.1.2. ΠΡΑΞΕΙΣ ΦΥΣΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ΚΑΙ ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΟΝΟΜΑΤΕΠΩΝΥΜΟ ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ ΕΝΟΤΗΤΑ Α.1.2. ΠΡΑΞΕΙΣ ΦΥΣΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ΚΑΙ ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΟΝΟΜΑΤΕΠΩΝΥΜΟ ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ / / ΠΡΟΣΘΕΣΗ ΦΥΣΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ 12+ 7 = 19 Οι αριθμοί 12 και 7 ονομάζονται ενώ το 19 ονομάζεται.. 3+5 =, 5+3 =...

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΑΓΡΑΦΟΣ 1. 2 ΠΡΟΣΘΕΣΗ ΑΦΑΙΡΕΣΗ ΚΑΙ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΦΥΣΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ

ΠΑΡΑΓΡΑΦΟΣ 1. 2 ΠΡΟΣΘΕΣΗ ΑΦΑΙΡΕΣΗ ΚΑΙ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΦΥΣΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ΠΑΡΑΓΡΑΦΟΣ 1. 2 ΠΡΟΣΘΕΣΗ ΑΦΑΙΡΕΣΗ ΚΑΙ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΦΥΣΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΕ ΑΘΡΟΙΣΜΑΤΑ ΚΑΙ ΑΦΑΙΡΕΣΕΙΣ ( 1 ) Να υπολογίσετε τις παραστάσεις Α = 3 + 23 + 19 Β = 8 +13 +45-7 Γ = 3 + 0 Α = 3+23 +19 =

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Ο ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ-ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Ο ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ-ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ-ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ. ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΟΥ ΒΑΘΜΟΥ.3 ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΟΥ ΒΑΘΜΟΥ Α. Επίλυση εξισώσεων δευτέρου βαθμού με ανάλυση σε γινόμενο παραγόντων 1. ΕΡΩΤΗΣΗ Ποια εξίσωση λέγεται εξίσωση ου βαθμού

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά. Ενότητα 2: Δεκαδικοί αριθμοί, κλάσματα, δυνάμεις, ρίζες και ποσοστά. Σαριαννίδης Νικόλαος Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής

Μαθηματικά. Ενότητα 2: Δεκαδικοί αριθμοί, κλάσματα, δυνάμεις, ρίζες και ποσοστά. Σαριαννίδης Νικόλαος Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής Μαθηματικά Ενότητα 2: Δεκαδικοί αριθμοί, κλάσματα, δυνάμεις, ρίζες και ποσοστά Σαριαννίδης Νικόλαος Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Α Γυμνασίου. Επαναληπτικές ερωτήσεις θεωρίας

Μαθηματικά Α Γυμνασίου. Επαναληπτικές ερωτήσεις θεωρίας Μαθηματικά Α Γυμνασίου Επαναληπτικές ερωτήσεις θεωρίας Επαναληπτικές Ερωτήσεις Θεωρίας 1. Τι ονομάζεται Ελάχιστο Κοινό Πολλαπλάσιο (ΕΚΠ) δύο ή περισσότερων αριθμών; Ελάχιστο Κοινό Πολλαπλάσιο (ΕΚΠ) δύο

Διαβάστε περισσότερα

Οι φυσικοί αριθμοί. Παράδειγμα

Οι φυσικοί αριθμοί. Παράδειγμα Οι φυσικοί αριθμοί Φυσικοί Αριθμοί Είναι οι αριθμοί με τους οποίους δηλώνουμε πλήθος ή σειρά. Για παράδειγμα, φυσικοί αριθμοί είναι οι: 0, 1,, 3,..., 99, 100,...,999, 1000, 0... Χωρίζουμε τους Φυσικούς

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ 2 η ΕΚΑ Α

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ 2 η ΕΚΑ Α 1 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ 2 η ΕΚΑ Α 11. Έστω η παράσταση Α = [(30 : 6) 2] 2 [(15 5) : 3 + 2 2 6] 3 (2 5 3 3 + 2 1 ) Να υπολογίσετε την τιµή της παράστασης Α Αν Α = 30, i) να αναλύσετε τον αριθµό Α σε γινόµενο

Διαβάστε περισσότερα

2. Να γράψετε έναν αριθμό που είναι μεγαλύτερος από το 3,456 και μικρότερος από το 3,457.

2. Να γράψετε έναν αριθμό που είναι μεγαλύτερος από το 3,456 και μικρότερος από το 3,457. 1. Ένα κεφάλαιο ενός βιβλίου ξεκινάει από τη σελίδα 32 και τελειώνει στη σελίδα 75. Από πόσες σελίδες αποτελείται το κεφάλαιο; Αν το κεφάλαιο ξεκινάει από τη σελίδα κ και τελειώνει στη σελίδα λ, από πόσες

Διαβάστε περισσότερα

Περιληπτικά, τα βήματα που ακολουθούμε γενικά είναι τα εξής:

Περιληπτικά, τα βήματα που ακολουθούμε γενικά είναι τα εξής: Αυτό που πρέπει να θυμόμαστε, για να μη στεναχωριόμαστε, είναι πως τόσο στις εξισώσεις, όσο και στις ανισώσεις 1ου βαθμού, που θέλουμε να λύσουμε, ακολουθούμε ακριβώς τα ίδια βήματα! Εκεί που πρεπει να

Διαβάστε περισσότερα

ΓΙΑΝΝΗΣ ΖΑΧΑΡΟΠΟΥΛΟΣ. Γρήγορα τεστ. Μαθηματικά ΣT Δημοτικού ΕΚΔΟΣΕΙΣ ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ

ΓΙΑΝΝΗΣ ΖΑΧΑΡΟΠΟΥΛΟΣ. Γρήγορα τεστ. Μαθηματικά ΣT Δημοτικού ΕΚΔΟΣΕΙΣ ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΓΙΑΝΝΗΣ ΖΑΧΑΡΟΠΟΥΛΟΣ Γρήγορα τεστ Μαθηματικά ΣT Δημοτικού 1 ΕΚΔΟΣΕΙΣ ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΓΡΗΓΟΡΑ ΤΕΣΤ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ - ΣΤ Δημοτικού No 1 Γιάννης Ζαχαρόπουλος Διόρθωση: Αντωνία Κιλεσσοπούλου 201, Εκδόσεις Κυριάκος

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικα A Γυμνασιου

Μαθηματικα A Γυμνασιου Μαθηματικα A Γυμνασιου Θεωρια & παραδειγματα livemath.eu σελ. απο 45 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΦΥΣΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ 4 ΠΡΟΣΘΕΣΗ ΦΥΣΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ 4 ΟΡΙΣΜΟΣ ΦΥΣΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ 4 ΣΤΡΟΓΓΥΛΟΠΟΙΗΣΗ ΦΥΣΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ 4 ΑΦΑΙΡΕΣΗ ΦΥΣΙΚΩΝ

Διαβάστε περισσότερα

Κανόνας, για να λύσεις αυτό το μαθηματικό σταυρόλεξο. Μια πρακτική συμβουλή για τη λύση του σταυρόλεξου:

Κανόνας, για να λύσεις αυτό το μαθηματικό σταυρόλεξο. Μια πρακτική συμβουλή για τη λύση του σταυρόλεξου: ΟΝΟΜΑΤΕΠΩΝΥΜΟ: Κανόνας, για να λύσεις αυτό το μαθηματικό σταυρόλεξο. Όλα τα κενά τετράγωνα με ροζ χρώμα πρέπει συμπληρωθούν είτε με μονοψήφιους αριθμούς είτε με ένα από τα μαθηματικά σύμβολα: +, -, >,

Διαβάστε περισσότερα

Λυμένες ασκήσεις. Ο κ. Πέτρος αγόρασε ένα βαρέλι κρασί. Γέμισε δύο μπουκάλια. Το πρώτο μπουκάλι χώρεσε το 1 5

Λυμένες ασκήσεις. Ο κ. Πέτρος αγόρασε ένα βαρέλι κρασί. Γέμισε δύο μπουκάλια. Το πρώτο μπουκάλι χώρεσε το 1 5 23 ο Κεφάλαιο 44 Λυμένες ασκήσεις εκτός βιβλίου Ο κ. Πέτρος αγόρασε ένα βαρέλι κρασί. Γέμισε δύο μπουκάλια. Το πρώτο μπουκάλι χώρεσε το 1 5 του βαρελιού, ενώ το δεύτερο χώρεσε το 0,3 του βαρελιού. Άδειασε

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά: Αριθμητική και Άλγεβρα. Μάθημα 10 ο, Τμήμα Α

Μαθηματικά: Αριθμητική και Άλγεβρα. Μάθημα 10 ο, Τμήμα Α Μαθηματικά: Αριθμητική και Άλγεβρα Μάθημα 10 ο, Τμήμα Α Ορθογώνιο παραλληλόγραμμο 3 cm 5 cm Ο τύπος όπως είναι γραμμένος δείχνει ότι μπορούμε να πολλαπλασιάσουμε δύο μήκη. Ε=3cm x 5cm=15cm 2. Πώς καταλαβαίνετε

Διαβάστε περισσότερα

Ύλη εξετάσεων Κλάσματα Δεκαδικοί Δυνάμεις Ρητοί Αριθμοί Διαιρετότητα ΕΚΠ ΜΚΔ...

Ύλη εξετάσεων Κλάσματα Δεκαδικοί Δυνάμεις Ρητοί Αριθμοί Διαιρετότητα ΕΚΠ ΜΚΔ... ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Ύλη εξετάσεων...2 1. Κλάσματα...3 2. Δεκαδικοί...8 3. Δυνάμεις...11 4. Ρητοί Αριθμοί...13. Διαιρετότητα...16 6. ΕΚΠ ΜΚΔ...17 7. Εξισώσεις- υστήματα...19 8. Αναλογίες - Απλή μέθοδος των τριών...2

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 1. Τι είναι η Ευκλείδια διαίρεση; Είναι η διαδικασία κατά την οποία όταν δοθούν δύο φυσικοί αριθμοί Δ και δ, τότε βρίσκουμε άλλους δύο φυσικούς αριθμούς π και υ,

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά: Αριθμητική και Άλγεβρα. Μάθημα 4 ο, Τμήμα Α

Μαθηματικά: Αριθμητική και Άλγεβρα. Μάθημα 4 ο, Τμήμα Α Μαθηματικά: Αριθμητική και Άλγεβρα Μάθημα 4 ο, Τμήμα Α Τι συμβαίνει όταν η περίοδος δεν ξεκινάει αμέσως μετά το κόμμα όπως συμβαίνει με τον αριθμό 3,4555 και θέλουμε να γραφεί σαν κλάσμα; 345 Υπήρχαν πολλές

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΘΕΤΙΚΟΙ ΚΑΙ ΑΡΝΗΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΧΑΛΑΤΖΙΑΝ ΠΑΥΛΟΣ

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΘΕΤΙΚΟΙ ΚΑΙ ΑΡΝΗΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΧΑΛΑΤΖΙΑΝ ΠΑΥΛΟΣ ΘΕΤΙΚΟΙ ΚΑΙ ΑΡΝΗΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΧΑΛΑΤΖΙΑΝ ΠΑΥΛΟΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 Ο ΘΕΤΙΚΟΙ ΚΑΙ ΑΡΝΗΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ 1. Όταν μπροστα" (αριστερα") απο" ε"ναν αριθμο" γραφει" το συ"μβολο + το"τε ο αριθμο"ς

Διαβάστε περισσότερα

Καθηγήτρια : Ιωάννα Ερωτοκρίτου τηλ:

Καθηγήτρια : Ιωάννα Ερωτοκρίτου τηλ: ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Ύλη εξετάσεων...2 1. Κλάσματα...3 2. Δεκαδικοί...8 3. Δυνάμεις...11 4. Ρητοί Αριθμοί...13 5. Διαιρετότητα...16 6. ΕΚΠ ΜΚΔ...17 7. Εξισώσεις- υστήματα...19 8. Αναλογίες - Απλή μέθοδος των τριών...25

Διαβάστε περισσότερα

Ενδεικτικά θέματα Μαθηματικών για την εισαγωγή στα Πρότυπα Πειραματικά Γυμνάσια

Ενδεικτικά θέματα Μαθηματικών για την εισαγωγή στα Πρότυπα Πειραματικά Γυμνάσια ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΔΟΚΙΜΑΣΙΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΓΙΑ ΤΗΝ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΜΑΘΗΤΩΝ ΣΤΑ ΠΡΟΤΥΠΑ-ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΑ ΓΥΜΝΑΣΙΑ ΔΟΚΙΜΑΣΙΑ 1 (ΜΟΝΑΔΕΣ 40) α) Ο αριθμός 1.047 έχει διαιρέτη το 3; Να δικαιολογήσετε την απάντησή σας. β) Να βάλετε

Διαβάστε περισσότερα

τον αριθμητή 8 την κλασματική γραμμή τον παρανομαστή

τον αριθμητή 8 την κλασματική γραμμή τον παρανομαστή ΤΑΞΗ: ΣΤ ΔΙΑΘΕΣΙΜΟ ΣΤΗ: http //blogs.sch.gr/anianiouris ΥΠΕΥΘΥΝΟΣ: Νιανιούρης Αντώνης (email: anianiouris@sch.gr) «Η έννοια του Κλάσματος και οι πράξεις του» Κλασματικός είναι ένας αριθμός ο οποίος εκφράζει

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Γ Γυμνασίου

Μαθηματικά Γ Γυμνασίου Α λ γ ε β ρ ι κ έ ς π α ρ α σ τ ά σ ε ι ς 1.1 Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς (επαναλήψεις συμπληρώσεις) A. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους Διδακτικοί στόχοι Θυμάμαι ποιοι αριθμοί λέγονται

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ 1 ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ ΑΡΙΘΜΩΝ EΞΙΣΩΣΕΙΣ...47 ΠΡΟΛΟΓΟΣ... 9

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ 1 ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ ΑΡΙΘΜΩΝ EΞΙΣΩΣΕΙΣ...47 ΠΡΟΛΟΓΟΣ... 9 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΠΡΟΛΟΓΟΣ... 9 1 ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ...11 1.1 Βασικές θεωρητικές γνώσεις... 11 1.. Λυμένα προβλήματα... 19 1. Προβλήματα προς λύση... 4 1.4 Απαντήσεις προβλημάτων Πραγματικοί αριθμοί... 0 ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Διαιρετότητα Μαθαίνω Πολλαπλάσια ενός φυσικού αριθμού α είναι όλοι οι αριθμοί που προκύπτουν από τον πολλαπλασιασμό του με όλους τους φυσικούς αριθμούς, δηλαδή οι αριθμοί: 0, α, 2 α, 3 α, 4 α,... Το μηδέν

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά: Αριθμητική και Άλγεβρα. Μάθημα 11 ο, Τμήμα Α. Γεωμετρία

Μαθηματικά: Αριθμητική και Άλγεβρα. Μάθημα 11 ο, Τμήμα Α. Γεωμετρία Μαθηματικά: ριθμητική και Άλγεβρα Μάθημα 11 ο, Τμήμα Γεωμετρία Η γεωμετρία σε σχέση με την άλγεβρα ή την αριθμητική έχει την εξής ιδιαιτερότητα: πρέπει να είμαστε πολύ ακριβείς στην περιγραφή μας (σκέψη

Διαβάστε περισσότερα

Όταν οι αριθμοί είναι ομόσημοι Βάζουμε το κοινό πρόσημο και προσθέτουμε

Όταν οι αριθμοί είναι ομόσημοι Βάζουμε το κοινό πρόσημο και προσθέτουμε Κανόνες των προσήμων Στην πρόσθεση Όταν οι αριθμοί είναι ομόσημοι Βάζουμε το κοινό πρόσημο και προσθέτουμε (+) και (+) κάνει (+) + + 3 = +5 (-) και (-) κάνει (-) - - 3 = -5 Όταν οι αριθμοί είναι ετερόσημοι

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ. Θέματα: - Εξισώσεις - Σχέσεις/μοτίβα

ΑΛΓΕΒΡΑ. Θέματα: - Εξισώσεις - Σχέσεις/μοτίβα ΑΛΓΕΒΡΑ Θέματα: - Εξισώσεις - Σχέσεις/μοτίβα 1 Εξισώσεις 1. Η Αντωνία διάβασε τις πρώτες 78 σελίδες ενός βιβλίου, που έχει συνολικά 130 σελίδες. Ποια μαθηματική πρόταση μπορεί να χρησιμοποιήσει η Αντωνία,

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ A ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ A ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ ΦΥΛΛΑΔΙΟ ΧΡΙΣΤΟΥΓΕΝΝΩΝ 2016 14 ΙΑΝΟΥΑΡΙΟΥ 2017 Δ.Ε. ΚΟΝΤΟΚΩΣΤΑΣ 1 η ΑΣΚΗΣΗ Τρεις φίλοι, ο Γιώργος, ο Κώστας και ο Δημήτρης συνεννοήθηκαν να πηγαίνουν στο Δημοτικό στάδιο, για τρέξιμο. Λόγω

Διαβάστε περισσότερα

1) Να συμπληρώσετε τα τετραγωνάκια με τον κατάλληλο μονοψήφιο αριθμό ώστε: (α) ο αριθμός 25 να διαιρείται ακριβώς με το 2, το 3 και το 5

1) Να συμπληρώσετε τα τετραγωνάκια με τον κατάλληλο μονοψήφιο αριθμό ώστε: (α) ο αριθμός 25 να διαιρείται ακριβώς με το 2, το 3 και το 5 Μαθηματικά Α' Γυμνασίου - Ασκήσεις επανάληψης στην Άλγεβρα Σελίδα 1 1) Να συμπληρώσετε τα τετραγωνάκια με τον κατάλληλο μονοψήφιο αριθμό ώστε: (α) ο αριθμός 5 να διαιρείται ακριβώς με το, το και το 5 (β)

Διαβάστε περισσότερα

ΤΑΞΗ Α - ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ (ΓΙΑ ΤΗΝ ΤΕΛΙΚΗ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ)

ΤΑΞΗ Α - ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ (ΓΙΑ ΤΗΝ ΤΕΛΙΚΗ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ) ΤΑΞΗ Α - ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ (ΓΙΑ ΤΗΝ ΤΕΛΙΚΗ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ) Α ΜΕΡΟΣ- ΑΛΓΕΒΡΑ ΕΡΩΤΗΣΗ 1 Ποιοι αριθμοί ονομάζονται πρώτοι και ποιοι σύνθετοι; Να δώσετε παραδείγματα. ΑΠΑΝΤΗΣΗ 1 Όταν ένας αριθμός διαιρείται

Διαβάστε περισσότερα

Συνοπτική Θεωρία Μαθηματικών Α Γυμνασίου

Συνοπτική Θεωρία Μαθηματικών Α Γυμνασίου Web page: www.ma8eno.gr e-mail: vrentzou@ma8eno.gr Η αποτελεσματική μάθηση δεν θέλει κόπο αλλά τρόπο, δηλαδή ma8eno.gr Συνοπτική Θεωρία Μαθηματικών Α Γυμνασίου Αριθμητική - Άλγεβρα Γεωμετρία Άρτιος λέγεται

Διαβάστε περισσότερα

Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΖΕΡΒΟΣ ΜΑΝΟΛΗΣ

Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΖΕΡΒΟΣ ΜΑΝΟΛΗΣ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΖΕΡΒΟΣ ΜΑΝΟΛΗΣ 1 ΜΕΡΟΣ Α ΚEΦΑΛΑΙΟ 1 Ο ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ 1.1 ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΥΣ ΑΡΙΘΜΟΥΣ Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους 1. ΕΡΩΤΗΣΗ Τι ονομάζουμε

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά της Φύσης και της Ζωής

Μαθηματικά της Φύσης και της Ζωής Μαθηματικά της Φύσης και της Ζωής Τάξη: ΣΤ Η γάτα και το ποντίκι 1. Ένα ποντίκι βρίσκεται πάνω σε έναν τοίχο ύψους 2 μέτρων και κάτω στο έδαφος, περιμένοντας το, βρίσκεται μια γάτα. Κατά τη διάρκεια της

Διαβάστε περισσότερα

ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΔΟΚΙΜΑΣΙΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΓΙΑ ΤΗΝ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΜΑΘΗΤΩΝ ΣΤΑ ΠΡΟΤΥΠΑ-ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΑ ΓΥΜΝΑΣΙΑ

ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΔΟΚΙΜΑΣΙΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΓΙΑ ΤΗΝ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΜΑΘΗΤΩΝ ΣΤΑ ΠΡΟΤΥΠΑ-ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΑ ΓΥΜΝΑΣΙΑ ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΔΟΚΙΜΑΣΙΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΓΙΑ ΤΗΝ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΜΑΘΗΤΩΝ ΣΤΑ ΠΡΟΤΥΠΑ-ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΑ ΓΥΜΝΑΣΙΑ ΔΟΚΙΜΑΣΙΑ 6 1) Να εκφράσετε τον αριθμό 48 σε γινόμενο πρώτων παραγόντων με δενδροδιάγραμμα. 2) Να συγκρίνετε

Διαβάστε περισσότερα

1.2 Εξισώσεις 1 ου Βαθμού

1.2 Εξισώσεις 1 ου Βαθμού 1.2 Εξισώσεις 1 ου Βαθμού Διδακτικοί Στόχοι: Θα μάθουμε: Να κατανοούμε την έννοια της εξίσωσης και τη σχετική ορολογία. Να επιλύουμε εξισώσεις πρώτου βαθμού με έναν άγνωστο. Να διακρίνουμε πότε μια εξίσωση

Διαβάστε περισσότερα

Πρόγραμμα Σπουδών Εκπαίδευσης Παιδιών-Προφύγων Τάξεις Ε+ΣΤ Δημοτικού

Πρόγραμμα Σπουδών Εκπαίδευσης Παιδιών-Προφύγων Τάξεις Ε+ΣΤ Δημοτικού Πρόγραμμα Σπουδών Εκπαίδευσης Παιδιών-Προφύγων 2016-2017 Τάξεις Ε+ΣΤ Δημοτικού Περιεχόμενα Στόχοι Πηγή Υλικού 3.1 Αριθμοί Οι μαθητές πρέπει: Σχολικά βιβλία Ε και ΣΤ Φυσικοί, Δεκαδικοί, μετρήσεις Να μπορούν

Διαβάστε περισσότερα

2ο video (επίλυση ανίσωσης 1 ου βαθμού)

2ο video (επίλυση ανίσωσης 1 ου βαθμού) 2ο video (επίλυση ανίσωσης 1 ου βαθμού) 1 Γεια σας και πάλι! Συγχαρητήρια για την επιτυχία σας στην πρώτη ενότητα! 2 Σε αυτό το video θα θυμηθούμε τη διαδικασία επίλυσης πρωτοβάθμιας ανίσωσης, δηλαδή όλα

Διαβάστε περισσότερα

qwertyuiopasdfghjklzxcvbnmq ertyuiopasdfghjklzxcvbnmqwer tyuiopasdfghjklzxcvbnmqwerty uiopasdfghjklzxcvbnmqwertyui opasdfghjklzxcvbnmqwertyuiop

qwertyuiopasdfghjklzxcvbnmq ertyuiopasdfghjklzxcvbnmqwer tyuiopasdfghjklzxcvbnmqwerty uiopasdfghjklzxcvbnmqwertyui opasdfghjklzxcvbnmqwertyuiop qwertyuiopasdfghjklzxcvbnmq wertyuiopasdfghjklzxcvbnmqw ertyuiopasdfghjklzxcvbnmqwer tyuiopasdfghjklzxcvbnmqwerty Επαναληπτικό Φυλλάδιο Μαθηματικών Α Γυμνασίου uiopasdfghjklzxcvbnmqwertyui 3 η έκδοση 29/04/15

Διαβάστε περισσότερα

Προβλήματα με πρόσθεση και αφαίρεση κλασμάτων

Προβλήματα με πρόσθεση και αφαίρεση κλασμάτων Κεφάλαιο 23 ο Προβλήματα με πρόσθεση και αφαίρεση κλασμάτων Η σωστή ενέργεια Όπως είδαμε στο προηγούμενο κεφάλαιο για να προσθέσουμε και να αφαιρέσουμε κλάσματα, πρέπει να είναι ομώνυμα. Τώρα μπορούμε

Διαβάστε περισσότερα

Παράδειγμα 1 Γράψε ένα δεκαδικό αριθμό μεταξύ του 2 και του 3 που δεν περιέχει το 5 που περιέχει το 7 και που βρίσκεται όσο πιο κοντά γίνεται με το

Παράδειγμα 1 Γράψε ένα δεκαδικό αριθμό μεταξύ του 2 και του 3 που δεν περιέχει το 5 που περιέχει το 7 και που βρίσκεται όσο πιο κοντά γίνεται με το Παράδειγμα 1 Γράψε ένα δεκαδικό αριθμό μεταξύ του 2 και του 3 που δεν περιέχει το 5 που περιέχει το 7 και που βρίσκεται όσο πιο κοντά γίνεται με το 5/2 1 Παράδειγμα 2: Γράψε ένα κλάσμα που χρησιμοποιεί

Διαβάστε περισσότερα

Στόχοι ΑΠΣ για τα μαθηματικά της Ε τάξης

Στόχοι ΑΠΣ για τα μαθηματικά της Ε τάξης Στόχοι ΑΠΣ για τα μαθηματικά της Ε τάξης ΘΕΜΑΤΙΚΕΣ ΕΝΟΤΗΤΕΣ ΚΕΦΑΛΑΙΑ ΣΤΟΧΟΙ ΧΡΟΝΟΣ Αριθμοί και πράξειςακέραιοι 2, 3, 4, 5 2. να μπορούν να εκφράζουν αριθμούς μέχρι και το 1.000.000 με διάφορους τρόπους

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ ΦΥΛΛΑΔΙΟ ΧΡΙΣΤΟΥΓΕΝΝΩΝ 20 ΔΕΚΕΜΒΡΙΟΣ 20 Δ.Ε. ΚΟΝΤΟΚΩΣΤΑΣ Οι ασκήσεις να λυθούν σε χαρτί Α4 η ΑΣΚΗΣΗ Τρεις φίλοι, ο Γιώργος, ο Κώστας και ο Δημήτρης συνεννοήθηκαν να πηγαίνουν στο Δημοτικό

Διαβάστε περισσότερα

4.6 Η ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΔΙΟΦΑΝΤΙΚΗ ΕΞΙΣΩΣΗ

4.6 Η ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΔΙΟΦΑΝΤΙΚΗ ΕΞΙΣΩΣΗ 174 46 Η ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΔΙΟΦΑΝΤΙΚΗ ΕΞΙΣΩΣΗ Εισαγωγή Ένα από τα αρχαιότερα προβλήματα της Θεωρίας Αριθμών είναι η αναζήτηση των ακέραιων αριθμών που ικανοποιούν κάποιες δεδομένες σχέσεις Με σύγχρονη ορολογία

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. ΜΕΡΟΣ 1ο ΑΛΓΕΒΡΑ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. ΜΕΡΟΣ 1ο ΑΛΓΕΒΡΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΕΡΟΣ 1ο ΑΛΓΕΒΡΑ 1 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ ΜΕΡΟΣ 1ο : ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1ο ΦΥΣΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ 1. Ποιοι αριθμοί ονομάζονται φυσικοί, ποια ιδιότητα έχουν και πως χωρίζονται; Οι αριθμοί

Διαβάστε περισσότερα

Ιγνάτιος Ιωαννίδης Χρήσιμες Γνώσεις 5

Ιγνάτιος Ιωαννίδης Χρήσιμες Γνώσεις 5 Ιγνάτιος Ιωαννίδης Χρήσιμες Γνώσεις 5 Α Σύνολα αριθμών Για τα σύνολα των αριθμών γνωρίζουμε ότι N Z Q R. ) Το N= { 0,,,,... } είναι το σύνολο των φυσικών αριθμών. ) Το Z = { 0, ±, ±, ±,... } είναι το σύνολο

Διαβάστε περισσότερα

Νικος Χαλιδιας Μαθηματικό Τμήμα κατεύθυνση Στατιστικής και Αναλογιστικών-Χρηματοοικονομικών Μαθηματικών Πανεπιστημιο Αιγαιου

Νικος Χαλιδιας Μαθηματικό Τμήμα κατεύθυνση Στατιστικής και Αναλογιστικών-Χρηματοοικονομικών Μαθηματικών Πανεπιστημιο Αιγαιου Νικος Χαλιδιας Μαθηματικό Τμήμα κατεύθυνση Στατιστικής και Αναλογιστικών-Χρηματοοικονομικών Μαθηματικών Πανεπιστημιο Αιγαιου Λημμα Εστω A ένα σύνολο άπειρου πλήθους θετικών ακέραιων αριθμών των οποίων

Διαβάστε περισσότερα

Ενότητα 4. Επίλυση μαθηματικών προβλημάτων με το ΒΥΟΒ

Ενότητα 4. Επίλυση μαθηματικών προβλημάτων με το ΒΥΟΒ Ενότητα 4: Επίλυση μαθηματικών προβλημάτων -1- Ενότητα 4. Επίλυση μαθηματικών προβλημάτων με το ΒΥΟΒ α. Υπολογισμός δύναμης ακεραίων Σε προηγούμενη ενότητα, είδαμε ότι το ΒΥΟΒ δεν γνωρίζει την πράξη της

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ Σχολική Χρονιά: Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ Σχολική Χρονιά: Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Ενότητα 1: Σύνολα 1. Με τη βοήθεια του πιο κάτω διαγράμματος να γράψετε με αναγραφή τα σύνολα: Ω A 5. 1. B Ω =. 6. 4. 3. 7. 8.. Από το διπλανό διάγραμμα, να γράψετε με αναγραφή τα σύνολα: 3. Δίνεται το

Διαβάστε περισσότερα

Διορθώσεις - Βελτιώσεις. στα βιβλία μαθητή των Μαθηματικών του Γυμνασίου

Διορθώσεις - Βελτιώσεις. στα βιβλία μαθητή των Μαθηματικών του Γυμνασίου Διορθώσεις - Βελτιώσεις στα βιβλία μαθητή των Μαθηματικών του Γυμνασίου 1 Μαθηματικά Α Γυμνασίου A/A Σελίδα Αντί Να γραφεί 1 11, 1 η Δραστηριότητα Βρες τους έξι διαφορετικούς τριψήφιους αριθμούς που. Βρες

Διαβάστε περισσότερα

Οδύσσεια Τα απίθανα... τριτάκια! Tετάρτη τάξη ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Δ ΤΑΞΗ. 4 η ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ (κεφ ) Πηγή πληροφόρησης: e-selides

Οδύσσεια Τα απίθανα... τριτάκια! Tετάρτη τάξη ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Δ ΤΑΞΗ. 4 η ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ (κεφ ) Πηγή πληροφόρησης: e-selides Οδύσσεια Τα απίθανα... τριτάκια! Tετάρτη τάξη ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Δ ΤΑΞΗ 4 η ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ (κεφ. 21 26) Πηγή πληροφόρησης: e-selides 4 η ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ - κεφ. 21 26 Συμπληρώνουμε σωστά τον παρακάτω

Διαβάστε περισσότερα

ΛΧ1004 Μαθηματικά για Οικονομολόγους

ΛΧ1004 Μαθηματικά για Οικονομολόγους ΛΧ1004 Μαθηματικά για Οικονομολόγους Μάθημα 1 ου Εξαμήνου 2Θ+2Φ(ΑΠ) Ι. Δημοτίκαλης, Επίκουρος Καθηγητής 1 ΤΕΙ ΚΡΗΤΗΣ-ΤΜΗΜΑ Λ&Χ: jdim@staff.teicrete.gr ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΟ ΒΙΒΛΙΟ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ

Διαβάστε περισσότερα

ΓΝΩΡΙΜΙΑ ΜΕ ΤΟ ΕΥΡΩ ΤΕΤΡΑΔΙΟ ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΩΝ. ΠΕΡΙΕΧΕΙ: Πρωτότυπες ασκήσεις και προβλήματα που θα βοηθήσουν τα παιδιά στις συναλλαγές.

ΓΝΩΡΙΜΙΑ ΜΕ ΤΟ ΕΥΡΩ ΤΕΤΡΑΔΙΟ ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΩΝ. ΠΕΡΙΕΧΕΙ: Πρωτότυπες ασκήσεις και προβλήματα που θα βοηθήσουν τα παιδιά στις συναλλαγές. ΓΝΩΡΙΜΙΑ ΜΕ ΤΟ ΕΥΡΩ ΤΕΤΡΑΔΙΟ ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΩΝ ΠΕΡΙΕΧΕΙ: Πρωτότυπες ασκήσεις και προβλήματα που θα βοηθήσουν τα παιδιά στις συναλλαγές. Αγοράζω Πληρώνω Παίρνω ρέστα Συνεργάστηκαν οι: Σπίνος Γεράσιμος, Υποδ/ντής

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Α Γυμνασίου

Μαθηματικά Α Γυμνασίου Μαθηματικά Α Γυμνασίου A/A Σελίδα Αντί Να γραφεί 1 11, 1 η Δραστηριότητα Βρε του έξι διαφορετικού τριψήφιου αριθμού που. Βρε όλου του διαφορετικού τριψήφιου αριθμού που. 2 11, Θυμόμαστε Η δυνατότητα αυτή

Διαβάστε περισσότερα

THE G C SCHOOL OF CAREERS ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟ ΣΧΟΛΕΙΟ

THE G C SCHOOL OF CAREERS ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟ ΣΧΟΛΕΙΟ THE G C SCHOOL OF CAREERS ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟ ΣΧΟΛΕΙΟ ΔΟΚΙΜΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΙΚΑΝΟΤΗΤΩΝ ΧΡΟΝΟΣ: 1 ΩΡΑ 3 ΛΕΠΤΑ Το δοκίμιο αυτό αποτελείται από δύο μέρη. Το πρώτο μέρος αποτελείται από 15 ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής.

Διαβάστε περισσότερα

Aπάντηση Απόλυτη τιμή αριθμού είναι η απόσταση του αριθμού από το 0. Συμβολίζεται με 3 = 3-3 = 3 + και και είναι πάντα θετικός αριθμός. Π.

Aπάντηση Απόλυτη τιμή αριθμού είναι η απόσταση του αριθμού από το 0. Συμβολίζεται με 3 = 3-3 = 3 + και και είναι πάντα θετικός αριθμός. Π. ΜΕΡΟΣ Α : Α Λ Γ Ε Β ΡΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1ο ΟΙ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ 1.1 Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και πράξεις τους 1. Γράψε τα βασικότερα σύνολα τιμών: Aπάντηση Ν{0,1,,,4,5,6,..+

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Η διαίρεση καλείται Ευκλείδεια και είναι τέλεια όταν το υπόλοιπο είναι μηδέν.

ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Η διαίρεση καλείται Ευκλείδεια και είναι τέλεια όταν το υπόλοιπο είναι μηδέν. ΑΛΓΕΒΡΑ 1 ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 1. Τι είναι αριθμητική παράσταση; Με ποια σειρά εκτελούμε τις πράξεις σε μια αριθμητική παράσταση ώστε να βρούμε την τιμή της; Αριθμητική παράσταση λέγεται κάθε

Διαβάστε περισσότερα

Πρόβλημα 1. Ο Τάκης και η Αριάδνη αγόρασαν ένα δώρο για τους γονείς τους, το οποίο κοστίζει 42. Πλήρωσαν μισά-μισά!

Πρόβλημα 1. Ο Τάκης και η Αριάδνη αγόρασαν ένα δώρο για τους γονείς τους, το οποίο κοστίζει 42. Πλήρωσαν μισά-μισά! Πρόβλημα 1 Ο Τάκης και η Αριάδνη αγόρασαν ένα δώρο για τους γονείς τους, το οποίο κοστίζει 42. Πλήρωσαν μισά-μισά! Ο Τάκης έδωσε τα Αριάδνη τα από το χαρτζιλίκι του και η από το δικό της. Ποιος από τους

Διαβάστε περισσότερα

Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά

Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά Ενότητα 10: Αριθμητική υπολοίπων - Κυκλικές ομάδες: Διαιρετότητα - Ευκλείδειος αλγόριθμος - Κατάλοιπα Στεφανίδης Γεώργιος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤ ΤΑΞΗΣ ΔΗΜΟΤΙΚΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΥ ΓΙΑ ΜΑΘΗΤΕΣ. Σάββατο, 8 Ιουνίου 2013

ΣΤ ΤΑΞΗΣ ΔΗΜΟΤΙΚΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΥ ΓΙΑ ΜΑΘΗΤΕΣ. Σάββατο, 8 Ιουνίου 2013 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ ΚΕΝΤΡΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ Διεύθυνση: Προξένου Κορομηλά 51 Τ.Κ. 54622, Θεσσαλονίκη Τηλέφωνο και Fax 2310 285377 e-mail: emethes@otenet.gr http://www.emethes.gr ΘΕΜΑΤΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΥ

Διαβάστε περισσότερα

Οδύσσεια Τα απίθανα... τριτάκια! Tετάρτη τάξη. 2η ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ (κεφ. 8 14)

Οδύσσεια Τα απίθανα... τριτάκια! Tετάρτη τάξη. 2η ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ (κεφ. 8 14) Οδύσσεια Τα απίθανα... τριτάκια! Tετάρτη τάξη ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Δ ΤΑΞΗ 2η ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ (κεφ. 8 14) 1. Υπολογίζω τα γινόμενα. 44 Χ 10 = 57 Χ 10 = 35 Χ 10 = 34 Χ 100 = 27 Χ 100 = 42 Χ 10 = 39 Χ 100 = 15

Διαβάστε περισσότερα

ΕΝΟΤΗΤΑ 10 ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΚΑΙ ΔΙΑΙΡΕΣΗ

ΕΝΟΤΗΤΑ 10 ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΚΑΙ ΔΙΑΙΡΕΣΗ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΚΑΙ ΔΙΑΙΡΕΣΗ ΔΕΙΚΤΕΣ ΕΠΙΤΥΧΙΑΣ ΑΡΙΘΜΟΙ Υπολογισμοί και Εκτίμηση Αρ3.12 Εκτιμούν και υπολογίζουν το άθροισμα, τη διαφορά, το γινόμενο και το πηλίκο αριθμών μέχρι το 100 000 και επαληθεύουν

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά. Ενότητα 1: Οι Αριθμοί. Σαριαννίδης Νικόλαος Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής

Μαθηματικά. Ενότητα 1: Οι Αριθμοί. Σαριαννίδης Νικόλαος Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής Μαθηματικά Ενότητα 1: Οι Αριθμοί Σαριαννίδης Νικόλαος Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό,

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΟ ΤΜΗΜΑ ΔΗΜΟΤΙΚΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ

ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΟ ΤΜΗΜΑ ΔΗΜΟΤΙΚΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΟ ΤΜΗΜΑ ΔΗΜΟΤΙΚΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ Y404. ΔΙΜΕΠΑ: ΠΡΑΚΤΙΚΗ ΑΣΚΗΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Β ΦΑΣΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΣΜΟΥ ΜΕ ΜΑΘΗΤΗ ΔΙΔΑΣΚΩΝ: ΧΑΡΑΛΑΜΠΟΣ ΛΕΜΟΝΙΔΗΣ ΟΝΟΜΑΤΕΠΩΝΥΜΟ: ΔΗΜΗΤΡΙΑΔΗΣ ΗΡΑΚΛΗΣ ΑΕΜ: 3734 Περιεχόμενα

Διαβάστε περισσότερα

( ) ( ) Τοα R σημαίνει ότι οι συντελεστές δεν περιέχουν την μεταβλητή x. αντικ σταση στο που = α. [ ο αριθµ ός πουτο µηδεν ίζει

( ) ( ) Τοα R σημαίνει ότι οι συντελεστές δεν περιέχουν την μεταβλητή x. αντικ σταση στο που = α. [ ο αριθµ ός πουτο µηδεν ίζει μέρος πρώτο v v 1 v 1 Γενική μορφή πολυωνύμου: ( ) 1 1 Όροι του ( ) v v v P = a v + av 1 + av +... + a + a 1 + a, ν Ν, α ν R Τοα R σημαίνει ότι οι συντελεστές δεν περιέχουν την μεταβλητή. P : a, a, a,...,

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΠΟΥ ΛΥΝΟΝΤΑΙ ΜΕ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ

ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΠΟΥ ΛΥΝΟΝΤΑΙ ΜΕ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΠΟΥ ΛΥΝΟΝΤΑΙ ΜΕ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 1. Η συνδρομή για την συμμετοχή στον όμιλο κολύμβησης είναι 15 τον μήνα και 5 για κάθε φορά που χρησιμοποιούμε την πισίνα. Αν τον προηγούμενο μήνα πληρώσαμε 75, πόσες

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ Α ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ

ΘΕΜΑ Α ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ 1ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ ΘΕΜΑ Α ΑΝΑΚΕΦΑΛΑΙΩΤΙΚΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ Γ' ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΕΜΠΤΗ 26 ΑΠΡΙΛΙΟΥ 2012 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΣΕ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΤΙΚΟ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ (ΚΥΚΛΟΥ

Διαβάστε περισσότερα

Κάνοντας ακριβέστερες μετρήσεις με την βοήθεια των Μαθηματικών. Ν. Παναγιωτίδης, Υπεύθυνος ΕΚΦΕ Ν. Ιωαννίνων

Κάνοντας ακριβέστερες μετρήσεις με την βοήθεια των Μαθηματικών. Ν. Παναγιωτίδης, Υπεύθυνος ΕΚΦΕ Ν. Ιωαννίνων Κάνοντας ακριβέστερες μετρήσεις με την βοήθεια των Μαθηματικών Ν. Παναγιωτίδης, Υπεύθυνος ΕΚΦΕ Ν. Ιωαννίνων Αν κάναμε ένα τεστ νοημοσύνης στους μαθητές και θέταμε την ερώτηση: Πως μπορεί να μετρηθεί το

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΠΡΟΟΔΟΣ. Σύμφωνα με τα παραπάνω, για μια αριθμητική πρόοδο που έχει πρώτο όρο τον ...

ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΠΡΟΟΔΟΣ. Σύμφωνα με τα παραπάνω, για μια αριθμητική πρόοδο που έχει πρώτο όρο τον ... ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΠΡΟΟΔΟΣ Ορισμός : Μία ακολουθία ονομάζεται αριθμητική πρόοδος, όταν ο κάθε όρος της, δημιουργείται από τον προηγούμενο με πρόσθεση του ίδιου πάντοτε αριθμού. Ο σταθερός αριθμός που προστίθεται

Διαβάστε περισσότερα

Συνοπτική Μεθοδολογία Ασκήσεων IP Fragmentation. Ασκήσεις στο IP Fragmentation

Συνοπτική Μεθοδολογία Ασκήσεων IP Fragmentation. Ασκήσεις στο IP Fragmentation Συνοπτική Μεθοδολογία Ασκήσεων IP Fragmentation Οι σημειώσεις που ακολουθούν περιγράφουν τις ασκήσεις IP Fragmentation που θα συναντήσετε στο κεφάλαιο 3. Η πιο συνηθισμένη και βασική άσκηση αναφέρεται

Διαβάστε περισσότερα

Τι είναι: μονάδα, δεκάδα και εκατοντάδα

Τι είναι: μονάδα, δεκάδα και εκατοντάδα Α ΠΕΡΙΟ ΟΣ - ΕΝΟΤΗΤΑ 1 η Κεφάλαιο 1ο Παιχνίδια στην κατασκήνωση Υπενθύμιση τάξης Τι είναι: μονάδα, δεκάδα και εκατοντάδα Τα ψηφία 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 αντιστοιχούν στις μονάδες, λέμε δηλαδή ανήκουν

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 ο. Στο εργαστήρι πληροφορικής. Στο κεφάλαιο αυτό, θα προσπαθήσουµε να επιτύχουµε τους εξής στόχους:

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 ο. Στο εργαστήρι πληροφορικής. Στο κεφάλαιο αυτό, θα προσπαθήσουµε να επιτύχουµε τους εξής στόχους: ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 ο εκαδικά κλάσµατα δεκαδικοί αριθµοί Στο εργαστήρι πληροφορικής Στο κεφάλαιο αυτό, θα προσπαθήσουµε να επιτύχουµε τους εξής στόχους: Να διαβάζουµε, να γράφουµε και να συγκρίνουµε δεκαδικούς

Διαβάστε περισσότερα

(ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΑ) Δεν μπορώ να βρω το ζητούμενο ενός προβλήματος αν δεν μου δίνονται όλα τα απαραίτητα στοιχεία.

(ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΑ) Δεν μπορώ να βρω το ζητούμενο ενός προβλήματος αν δεν μου δίνονται όλα τα απαραίτητα στοιχεία. (ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΑ) Δεν μπορώ να βρω το ζητούμενο ενός προβλήματος αν δεν μου δίνονται όλα τα απαραίτητα στοιχεία. Περίμετρος ενός σχήματος είναι το άθροισμα των πλευρών του το οποίο εκφράζεται με τη μονάδα

Διαβάστε περισσότερα

Οδύσσεια Τα απίθανα... τριτάκια! Tετάρτη τάξη ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Δ ΤΑΞΗ. 3 η ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ (κεφ ) Πηγή πληροφόρησης: e-selides

Οδύσσεια Τα απίθανα... τριτάκια! Tετάρτη τάξη ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Δ ΤΑΞΗ. 3 η ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ (κεφ ) Πηγή πληροφόρησης: e-selides Οδύσσεια Τα απίθανα... τριτάκια! Tετάρτη τάξη ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Δ ΤΑΞΗ 3 η ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ (κεφ. 15 20) Πηγή πληροφόρησης: e-selides Έμαθα ότι: Κεφάλαιο 15 «Θυμάμαι τους δεκαδικούς αριθμούς» Όταν θέλω να

Διαβάστε περισσότερα

6.5. ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΑ ΕΡΕΥΝΩΝ ΣΤΟΥΣ ΚΑΤ ΕΚΤΙΜΗΣΗ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΥΣ ΤΗΣ ΣΧΟΛΗΣ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΤΗΣ ΦΥΣΗΣ ΚΑΙ ΤΗΣ ΖΩΗΣ

6.5. ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΑ ΕΡΕΥΝΩΝ ΣΤΟΥΣ ΚΑΤ ΕΚΤΙΜΗΣΗ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΥΣ ΤΗΣ ΣΧΟΛΗΣ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΤΗΣ ΦΥΣΗΣ ΚΑΙ ΤΗΣ ΖΩΗΣ 6.5. ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΑ ΕΡΕΥΝΩΝ ΣΤΟΥΣ ΚΑΤ ΕΚΤΙΜΗΣΗ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΥΣ ΤΗΣ ΣΧΟΛΗΣ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΤΗΣ ΦΥΣΗΣ ΚΑΙ ΤΗΣ ΖΩΗΣ 6.5.1. Οι γνώσεις υποψηφίων δασκάλων για την υπολογιστική εκτίμηση Σε μια έρευνα των Lemonidis

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Οι πραγματικοί αριθμοί αποτελούνται από τους ρητούς και τους άρρητους αριθμούς, τους φυσικούς και τους ακέραιους αριθμούς. Δηλαδή είναι το μεγαλύτερο σύνολο αριθμών που μπορούμε

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ 1 ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ 1. α. Τι γνωρίζετε για την Ευκλείδεια διαίρεση; Πότε λέγεται τέλεια; β. Αν σε μια διαίρεση είναι Δ=δ, πόσο είναι το πηλίκο και

Διαβάστε περισσότερα

Η εξίσωση 0 x = 0 επαληθεύεται για οποιαδήποτε τιμή του x και ο- νομάζεται ταυτότητα ή αόριστη.

Η εξίσωση 0 x = 0 επαληθεύεται για οποιαδήποτε τιμή του x και ο- νομάζεται ταυτότητα ή αόριστη. ΜΕΡΟΣ Α 2.1 Η ΕΞΙΣΩΣΗ ΑX+Β=0 16 2. 1 Η ΕΞΙΣΩΣΗ ΑX+Β=0 Η εξίσωση αx+β=0 Κάθε εξίσωση της μορφής αx+β=0 όπως για παράδειγμα οι εξισώσεις x- 2=0, 4x=-,2x-2=x+6 ονομάζεται εξίσωση 1ου βαθμού με έναν άγνωστο

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικές Ασκήσεις Μαθηματικών Γ τάξη 1 η Ενότητα

Επαναληπτικές Ασκήσεις Μαθηματικών Γ τάξη 1 η Ενότητα ilias ili Οδύσσεια Τα απίθανα... τριτάκια! Tετάρτη τάξη Επαναληπτικές Ασκήσεις Μαθηματικών Γ τάξη 1 η Ενότητα Αριθμοί μέχρι το 1000 - Οι τέσσερις πράξεις Γεωμετρικά σχήματα Πηγή: e-selides 1) Γράφω τους

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος ΜEd: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο : Εξισώσεις - Ανισώσεις 1 1.1 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ ΟΡΙΣΜΟΙ Μεταβλητή

Διαβάστε περισσότερα

ΕΝΟΤΗΤΑ 2 ΠΡΟΣΘΕΣΗ ΚΑΙ ΑΦΑΙΡΕΣΗ ΜΕΧΡΙ ΤΟ 100

ΕΝΟΤΗΤΑ 2 ΠΡΟΣΘΕΣΗ ΚΑΙ ΑΦΑΙΡΕΣΗ ΜΕΧΡΙ ΤΟ 100 ΠΡΟΣΘΕΣΗ ΚΑΙ ΑΦΑΙΡΕΣΗ ΜΕΧΡΙ ΤΟ 100 ΔΕΙΚΤΕΣ ΕΠΙΤΥΧΙΑΣ ΑΡΙΘΜΟΙ Διερεύνηση αριθμών Αρ2.9 Αναγνωρίζουν και ονομάζουν τους όρους: άθροισμα, διαφορά, γινόμενο, πηλίκο, αφαιρέτης, αφαιρετέος, προσθετέος, διαιρέτης,

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά: Αριθμητική και άλγεβρα. Μάθημα 2 ο, Τμήμα Α

Μαθηματικά: Αριθμητική και άλγεβρα. Μάθημα 2 ο, Τμήμα Α Μαθηματικά: Αριθμητική και άλγεβρα Μάθημα 2 ο, Τμήμα Α Στην αρχή του μαθήματος τονίστηκε πως κάθε φορά θα γίνεται αναφορά σε ένα θέμα που θα ξεφεύγει από την ροή του μαθήματος, αλλά που θα έχει σχέση με

Διαβάστε περισσότερα

Οδύσσεια Τα απίθανα... τριτάκια! Tετάρτη τάξη ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Δ ΤΑΞΗ Συμπεράσματα Ενοτήτων

Οδύσσεια Τα απίθανα... τριτάκια! Tετάρτη τάξη ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Δ ΤΑΞΗ Συμπεράσματα Ενοτήτων Οδύσσεια Τα απίθανα... τριτάκια! Tετάρτη τάξη ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Δ ΤΑΞΗ Συμπεράσματα Ενοτήτων Πηγή πληροφόρησης: e-selides ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Δ ΤΑΞΗΣ 1η ΕΝΟΤΗΤΑ (ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΑ) Δεν μπορώ να βρω το ζητούμενο ενός προβλήματος

Διαβάστε περισσότερα

Επιμέλεια: Σπυρίδων Τζινιέρης-ΘΕΩΡΙΑ ΚΛΑΣΜΑΤΩΝ ΓΙΑ ΤΗΝ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ ΚΛΑΣΜΑΤΩΝ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

Επιμέλεια: Σπυρίδων Τζινιέρης-ΘΕΩΡΙΑ ΚΛΑΣΜΑΤΩΝ ΓΙΑ ΤΗΝ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ ΚΛΑΣΜΑΤΩΝ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Τι είναι κλάσμα; Κλάσμα είναι ένα μέρος μιας ποσότητας. ΘΕΩΡΙΑ ΚΛΑΣΜΑΤΩΝ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Κλάσμα είναι ένας λόγος δύο αριθμών(fraction is a ratio of two whole numbers) Πως εκφράζετε συμβολικά ένα κλάσμα; Εκφράζετε

Διαβάστε περισσότερα

B Γυμνασίου. Ενότητα 9

B Γυμνασίου. Ενότητα 9 B Γυμνασίου Ενότητα 9 Γραμμικές εξισώσεις με μία μεταβλητή Διερεύνηση (1) Να λύσετε τις πιο κάτω εξισώσεις και ακολούθως να σχολιάσετε το πλήθος των λύσεων που βρήκατε σε καθεμιά. α) ( ) ( ) ( ) Διερεύνηση

Διαβάστε περισσότερα

Φίλη μαθήτρια, φίλε μαθητή

Φίλη μαθήτρια, φίλε μαθητή Φίλη μαθήτρια, φίλε μαθητή Το βιβλίο αυτό έχει διπλό σκοπό: Να σε βοηθήσει στη γρήγορη, άρτια και αποτελεσματική προετοιμασία του καθημερινού σχολικού μαθήματος. Να σου δώσει όλα τα απαραίτητα εφόδια,

Διαβάστε περισσότερα

Θέµατα Καγκουρό 2010 Επίπεδο: 2 (για µαθητές της Ε' και ΣΤ' τάξης ηµοτικού)

Θέµατα Καγκουρό 2010 Επίπεδο: 2 (για µαθητές της Ε' και ΣΤ' τάξης ηµοτικού) Μιχάλης Λάµπρου Νίκος Κ. Σπανουδάκης Θέµατα Καγκουρό 2010 Επίπεδο: 2 (για µαθητές της Ε' και ΣΤ' τάξης ηµοτικού) Ερωτήσεις 3 πόντων: 1) Αν όπου είναι κάποιος συγκεκριµένος αριθµός, τότε ο αριθµός αυτός

Διαβάστε περισσότερα

4.2 ΔΙΑΙΡΕΣΗ ΠΟΛΥΩΝΥΜΩΝ

4.2 ΔΙΑΙΡΕΣΗ ΠΟΛΥΩΝΥΜΩΝ 4 ΔΙΑΙΡΕΣΗ ΠΟΛΥΩΝΥΜΩΝ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΘΕΩΡΗΜΑ (ΤΑΥΤΟΤΗΤΑ ΤΗΣ ΔΙΑΙΡΕΣΗΣ) Για κάθε ζεύγος πολυωνύμων ( και ( με ( 0 υπάρχουν δυο μοναδικά πολυώνυμα ( και (, τέτοια ώστε : ( ( όπου το ( ή είναι το μηδενικό

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου Κεφάλαιο ο Αλγεβρικές Παραστάσεις ΛΕΜΟΝΙΑ ΜΠΟΥΤΣΚΟΥ Γυμνάσιο Αμυνταίου ΜΑΘΗΜΑ Α. Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς ΑΣΚΗΣΕΙΣ ) ) Να συμπληρώσετε τα κενά ώστε στην κατακόρυφη στήλη

Διαβάστε περισσότερα

Διακριτά Μαθηματικά. Απαρίθμηση: Διωνυμικοί συντελεστές

Διακριτά Μαθηματικά. Απαρίθμηση: Διωνυμικοί συντελεστές Διακριτά Μαθηματικά Απαρίθμηση: Διωνυμικοί συντελεστές Συνδυασμοί Το πλήθος των συνδυασμών r από n στοιχεία, C(n,r) συμβολίζεται και ως Ο αριθμός αυτός λέγεται και διωνυμικός συντελεστής Οι αριθμοί αυτοί

Διαβάστε περισσότερα

ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΑΓΛΑΝΤΖΙΑΣ ΣΧΟΛΙΚΗ ΧΡΟΝΙΑ ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΙΟΥΝΙΟΥ 2015 ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ. Ονοματεπώνυμο:...

ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΑΓΛΑΝΤΖΙΑΣ ΣΧΟΛΙΚΗ ΧΡΟΝΙΑ ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΙΟΥΝΙΟΥ 2015 ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ. Ονοματεπώνυμο:... ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΑΓΛΑΝΤΖΙΑΣ ΣΧΟΛΙΚΗ ΧΡΟΝΙΑ 2014-2015 ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΙΟΥΝΙΟΥ 2015 ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΑΞΗ: Α Γυμνασίου Χρόνος: 2 ώρες Ημερομηνία: Δευτέρα, 8 Ιουνίου 2015 Βαθμός:. Υπογραφή καθηγητή/

Διαβάστε περισσότερα

Υπενθύμιση Δ τάξης. Παιχνίδια στην κατασκήνωση

Υπενθύμιση Δ τάξης. Παιχνίδια στην κατασκήνωση ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1ο Υπενθύμιση Δ τάξης Παιχνίδια στην κατασκήνωση Συγκρίνω δυο αριθμούς για να βρω αν είναι ίσοι ή άνισοι. Στην περίπτωση που είναι άνισοι μπορώ να βρω ποιος είναι μεγαλύτερος (ή μικρότερος). Ανάμεσα

Διαβάστε περισσότερα