Σημειώσεις Ανάλυσης Ι. Θεωρούμε γνωστούς τους φυσικούς αριθμούς

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Σημειώσεις Ανάλυσης Ι. Θεωρούμε γνωστούς τους φυσικούς αριθμούς"

Transcript

1 Σημειώσεις Ανάλυσης Ι 1. Οι ρητοί αριθμοί Θεωρούμε γνωστούς τους φυσικούς αριθμούς 1, 2, 3, και τις πράξεις (πρόσθεση - πολλαπλασιασμό)μεταξύ αυτών. Οι φυσικοί αριθμοί είναι επίσης διατεταγμένοι με κάποια σειρά και οι σχέσεις διάταξης σημειώνεται με τα συμβολα ανισότητας > και <. Μέσω της πρόσθεσης (στην προσπάθεια να λύσουμε εξισώσεις της μορφής β + x = α) οι φυσικοί αριθμοί γενικεύονται στους ακεραίους, 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3,, και έπειτα μέσω του πολλαπλασιασμού (στην προσπάθεια να λύσουμε εξισώσεις της μορφής β x = α) στους ρητούς που γράφονται ως α/β, όπου α και β ακέραιοι (με β 0). Η διάταξη στους ρητούς ορίζεται ως εξής: Είναι αν α β > γ δ αδ > βγ (στην περίπτωση που ο ρητός είναι θετικός θεωρούμε ότι και ο αριθμητής και ο παρονομαστής είναι θετικοί, ενώ αν είναι αρνητικός θεωρούμε ότι μόνο ο αριθμητής και όχι ο παρονομαστής είναι αρνητικός). Οι ρητοί έχουν μία ιδιαίτερη και μη προφανή ιδιότητα που τους ξεχωρίζει από τους ακέραιους και τους φυσικούς: μεταξύ δύο οποιονδήποτε ρητών υπάρχει και άλλος ρητός και επομένως υπάρχουν άπειροι ρητοί. Πράγματι, αν α β > γ δ για κάθε φυσικό ν, ο ρητός α + νγ β + νδ βρίσκεται μεταξύ των α/β και γ/δ. (Ένας άλλος τρόπος να το δει αυτός είναι να καταστήσει τα δύο κλάσματα ομώνυμα και επιπλεόν να πολλαπλασιάσει αριθμητές και παρονομαστές επί 2.) 1

2 Οι ρητοί, παρότι πυκνά διατεταγμένοι, δεν εξαντλούν όμως όλους του αριθμούς. Μάλιστα μεταξύ των ρητών αριθμών υπάρχει τεράστιος αριθμός κενών και πιο συγκεκριμένα μη αριθμήσιμο πλήθος κενών. Αυτό έγινε αντιληπτό, μάλλον πρώτα από τους Έλληνες, όταν κατάλαβαν ότι η διαγώνιος ενός τετραγώνου με πλευρές μοναδιαίου μήκους δεν μπορεί να είναι ρητός αριθμός. Αυτός ο αριθμός, καθώς και όλοι εκείνοι οι αριθμοί που συμπληρώνουν τα κενά μεταξύ των ρητών, ονομάστηκαν άρρητοι διότι δεν μπορεί να ειπωθούν (θα δούμε το λόγο). Αυτή η παρατήρηση αποτελεί μία από τις πιο σημαντικές ανακάλυψεις στα μαθηματικά και τη βάση για τη δόμηση της φυσικής που βασίζεται σε συνεχείς συναρτήσεις 1. Oι επιπτώσεις αυτής της πλήρωσης των ρητών αποτελεί κεντρικό θέμα της Ανάλυσης Ι. Η απόδειξη που ακολουθεί για το άρρητο του 2 αποδίδεται στους Πυθαγορείους και αναφέρεται από τον Αριστοτέλη, ως χαρακτηριστικό παράδειγμα αποδείξεων δια της προς άτοπον απαγωγής. Θεώρημα: Δεν υπάρχει ρητός αριθμός με τετράγωνο ίσο με 2. Απόδειξη: Ας υποθέσουμε ότι ο α/β είναι ρητός αριθμός με την ιδιότητα α 2 /β 2 = 2. Oι ακέραιοι α, β μπορούν πάντα να απλοποιηθούν και να καταστούν, αν αρχικά δεν ήταν, μεταξύ τους πρώτοι, δηλαδή να μην έχουν άλλο κοινό διαιρέτη εκτός από το 1. Συνεπώς υποθέτουμε ότι υπάρχει ρητός α/β τέτοιος ώστε α 2 /β 2 = 2 και οι α και β δεν έχουν κοινό διαιρέτη διάφορο της μονάδας. Έχουμε λοιπόν: α 2 = 2β 2, συνεπώς ο α, επειδή έχει άρτιο τετράγωνο, πρέπει να είναι και αυτός άρτιος, δηλαδή είναι α = 2m με m κάποιον ακέραιο. Συνεπώς: β 2 = 2m 2 και ο β είναι και αυτός άρτιος, δηλαδή β = 2n. Άρα οι α και β έχουν κοινό διαιρέτη τον 2 αντίθετα με την αρχική υπόθεση, όπερ άτοπον και επομένως η υπόθεση μας δεν ειναι δυνατόν να ισχύει, ό.έ.δ. 1 Ο Ιππάσιος από το Μεταπόντιον της κάτω Ιταλίας τον 5ο π.χ. αιώνα αναφέρεται ως ο πρώτος που απέδειξε οτι ο 2 είναι άρρητος αριθμός. Ο Ιππάσιος ήταν Πυθαγόρειος και αναφέρεται ότι επειδή αυτή η απόδειξη ερχόταν σε αντίθεση με την Πυθαγόρεια διδασκαλία, θανατώθηκε από τους Πυθαγόρειους οι οποίοι τον έπνιξαν στη θάλασσα. Ο Πλάτων αναφέρει στον Θεαίτητο ότι άκουσε για τους άρρητους αριθμούς από τον δάσκαλό του τον Θεόδωρο της Κυρήνειας. Ο Ευκλείδης δίνει στο δέκατο βιβλίο των Στοιχείων μια ενδιαφέρουσα κατασκευαστική απόδειξη του θεωρήματος αυτού και αναφέρει ότι η απόδειξη αυτή είναι σίγουρα αρχαία. 2

3 2. Πλήρωση των κενών των ρητών με τομές Dedekind. Κατασκευή των πραγματικών αριθμών. Ας θεωρήσουμε τον ρητό /33 = (δείξτε ότι η περιοδικότητα αυτού του αριθμού συνεπάγεται τη ρητότητα του αριθμού). Χωρίζουμε τους ρητούς σε δύο τάξεις. Στη τάξη X ανήκουν όλοι οι ρητοί που είναι μικρότεροι ή ίσοι του 7 8. Στη τάξη Ψ ανήκουν όλοι οι ρητοί που είναι 33 μεγαλύτεροι του 7 8. Ρητοί αριθμοί που ανήκουν στη τάξη X είναι: , 7.1,..., 7.24, 7.23,..., 7.242, 7.241,..., , ,... Ρητοί αριθμοί που ανήκουν στη τάξη Ψ είναι: 7.3, 7.4,..., 7.25, 7.26,..., 7.243, 7.244,..., , ,... Με τον τρόπο αυτό χωρίσαμε όλους τους ρητούς σε δύο τάξεις. Στην τάξη (X) είναι όλοι οι ρητοί που είναι μικρότεροι ή ίσοι από τον 7 8/33, στην τάξη (Ψ) είναι όλοι οι ρητοί που είναι μεγαλύτεροι από τον 7 8/33. Κάθε δε ρητος που είναι στη τάξη (X) είναι μικρότερος όλων των ρητών της τάξης (Ψ). Θα λέμε ότι αυτός ο χωρισμός όλων των ρητών σε δύο τάξεις που είναι διατεταγμένες έτσι ώστε όλοι οι ρητοί της πρώτης τάξης να είναι μικρότεροι από όλους τους ρητούς της δεύτερης τάξης αποτελεί μία τομή του Dedekind (1872). Τώρα, σε κάθε τομή Dedekind το σύμβολο (X,Ψ) αντιστοιχεί σε ένα απο τα ακόλουθα: τον μεγαλύτερο αριθμό της τάξης (X), ο οποίος και ανήκει στην τάξη (X), οπότε ο (X,Ψ) είναι ρητός. τον μικρότερο αριθμό της τάξης (Ψ), ο οποίος και ανήκει στην τάξη (Ψ), οπότε ο (X,Ψ) είναι και πάλι ρητός. 2 στο νέο αριθμό (X,Ψ) που είναι μεγαλύτερος όλων των ρητών της (X) και μικρότερος όλων της (Ψ), όταν δεν υπάρχει μεγαλύτερος αριθμός στην τάξη (X) ούτε μικρότερος στην τάξη (Ψ). Αυτός ο νέος αριθμός λέγεται άρρητος. 2 Είναι φανερό ότι δεν μπορεί να υπάρχει αριθμός τ που να είναι μεγαλύτερος όλων της (X) και να ανήκει στην (X) και άλλος αριθμός λ που να είναι μικρότερος όλων της (Ψ) και να ανήκει στην (Ψ), διότι τότε ο ρητός (τ + λ)/2 που βρίσκεται μεταξύ τους δεν είναι ούτε στη τάξη (X), ούτε στην (Ψ), οπότε θα υπήρχε ρητός εκτός των δύο τάξεων, που δεν είναι δυνατόν διότι εξ υποθέσεως οι (X) και (Ψ) εξαντλούν όλους τους ρητούς. 3

4 Στην περίπτωση της τομής (X,Ψ) του παραδείγματος, η τομή είναι ο ρητός 7 8/33 που είναι ο μεγαλύτερος της τάξης (X). Όλοι οι ρητοί μπορούν να ορισθούν με αυτό τον τρόπο. Η ενδιαφέρουσα περίπτωση είναι όμως η τρίτη περίπτωση όταν δεν υπάρχει μεγαλύτερος ρητός στην (X) ούτε μικρότερος στην (Ψ). Θεωρήστε την τάξη (X) που αποτελείται από όλους τους ρητούς x για τους οποίους είναι x 2 < 2 και την τάξη (Ψ) που αποτελείται από όλους τους ρητούς x για τους οποίους είναι x 2 > 2. Αυτές οι δύο τάξεις εξαντλούν τους ρητούς διότι έχουμε δείξει ότι δεν υπάρχει ρητός που να έχει τετράγωνο 2. Κάθε ρητός της (X) είναι μικρότερος από κάθε ρητό της (Ψ). Επίσης δεν υπάρχει ρητός που να είναι ο μεγαλύτερος της (X) και ομοίως δεν υπάρχει ρητός που να είναι μικρότερος της (Ψ). 3 Η τομή (X,Ψ) ορίζει τον άρρητο 2. Όλοι οι αριθμοί που προκύπτουν με τομές Dedekind, οι ρητοί (που ανήκουν στη Χαμηλή ή στην Ψηλή τάξη) και οι άρρητοι (που δεν ανήκουν στη Χαμηλή ή στην Ψηλή τάξη), λέγονται πραγματικοί αριθμοί. Οι πραγματικοί αριθμοί κληρονομούν τις πράξεις που έχουμε ορίσει στους ρητούς καθώς και τη διάταξη. Έχουν όμως πληρότητα και τα κενά που εντοπίσαμε στους ρητούς εξαλείφονται πλήρως. Π.χ. μεταξύ δύο ρητών υπάρχει πάντα άρρητος αριθμός, και μεταξύ δύο αρρήτων υπάρχει πάντα ρητός (απόδειξη αργότερα). Αυτό αποτυπώνεται στο βασικό αξίωμα της πληρότητας των πραγματικών αριθμών. Με το αξίωμα βεβαιώνεται ότι όλες οι τομές ρητών αριθμών ορίζουν πραγματικούς αριθμούς. Αξίωμα Dedekind Aν με οποιονδήποτε τρόπο όλοι οι πραγματικοί αριθμοί χωρισθούν σε δύο τάξεις (X) και (Ψ) έτσι ώστε κάθε αριθμός στην (X) να είναι μικρότερος από κάθε αριθμό της τάξης (Ψ), τότε υπάρχει ένας και μοναδικός πραγματικός αριθμός ξ τέτοιος ώστε κάθε αριθμός μικρότερος του ξ να ανήκει στην τάξη (X) και κάθε μεγαλύτερος να ανήκει στη τάξη (Ψ). Ο αριθμός ξ θα ανήκει στη τάξη (X) ή στη τάξη (Ψ). Αν ανήκει στη τάξη (X) θα είναι ο μεγαλύτερος αριθμός αυτής της τάξης, ενώ αν ανήκει στην (Ψ) θα είναι ο μικρότερος της (Ψ). 3. Άνω και κάτω φράγμα συνόλων πραγματικών αριθμών. Θεώρημα της πληρότητας. Ανώτερο και κατώτερο πέρας. Θεωρήστε τους εξής αριθμούς: A. Όλοι οι πρώτοι αριθμοί. Β. Οι ρητοί x που ικανοποιούν 1 x 2. 3 Διότι αν α/β είναι ο μεγαλύτερος ρητός της τάξης (X) ο (α + 2β)/(α + β) > α/β (δείξτε το) και το τετράγωνο του είναι μικρότερο του 2 (δείξτε το) και συνεπώς ανήκει στην τάξη (X), όπερ άτοπον. Η αντίστοιχη κατασκευή (2α + β)/(α + β) ισχύει και για τη τάξη (Ψ). 4

5 Γ. Οι πραγματικοί x που ικανοποιούν τη σχέση 1 x 2. Δ. Οι πραγματικοί x που ικανοποιούν τη σχέση 1 < x < 2. Όλα αυτά τα σύνολα έχουν άπειρο πλήθος στοιχείων. 4 Στην περίπτωση (Α) δεν υπάρχει αριθμός M που είναι μεγαλύτερος όλων των στοιχείων του συνόλου. Στις περιπτώσεις (Β), (Γ), (Δ) υπάρχουν αριθμοί που είναι μεγαλύτεροι όλων των στοιχείων των συνόλων, π.χ. ο 2 και οποιοσδήποτε μεγαλύτερός του, και αριθμοί που είναι μικρότεροι όλων των στοιχείων των συνόλων, π.χ. ο 1 και όλοι οι μικρότεροί του. Αν υπάρχει αριθμός M τέτοιος ώστε x M για κάθε x του συνόλου, ο M ονομάζεται ανώτερο φράγμα του συνόλου και το σύνολο καλείται φραγμένο άνωθεν (ομοίως για το κατώτερο φράγμα). Αν το σύνολο είναι φραγμένο και άνωθεν και κάτωθεν ονομάζεται φραγμένο. Τα σύνολα (Β),(Γ),(Δ) είναι φραγμένα. Άλλα παραδείγματα: Για το σύνολο αριθμών της ακολουθίας (α) = 1, 1 2, 1 3, 1 4,... ανώτερα φράγματα είναι η μονάδα και κάθε αριθμός μεγαλύτερος της μονάδας. Για το σύνολο των αριθμών της ακολουθίας (β) = 1, , ,..., κατώτερα φράγματα είναι η μονάδα και κάθε αριθμός μικρότερος της μονάδας. (Ελέγξτε αν υπάρχουν ανώτερα φράγματα.) Τα ανώτερα φράγματα του (α) σχηματίζουν το σύνολο των ανωτέρων φραγμάτων. Το σύνολο αυτό έχει ελάχιστο τον αριθμό 1. Ο ελάχιστος αριθμός των ανωτέρων φραγμάτων λέγεται ανώτερο πέρας ή supremum. Τα κατώτερα φράγματα της (β) σχηματίζουν το σύνολο των κατώτερων φραγμάτων. Το σύνολο αυτό έχει μέγιστο τον αριθμό 1. Ο μέγιστος αριθμός των κατωτέρων φραγμάτων λέγεται κατώτερο πέρας ή infimum. 4 Η απόδειξη ότι οι πρώτοι αριθμοί είνα άπειροι, απόδειξη που οφείλουμε στον Ευκλείδη, θεωρείται από τις σημαντικότερες αποδείξεις (εντελώς διαφορετικού τύπου απόδειξη από αυτήν που συναντήσαμε παραπάνω) και την παραθέτουμε όπως μας την παρέδωσε ο Ευκλείδης: Έστω 2, 3, 5,..., ν όλοι οι πρώτοι αριθμοί. Ο αριθμός µ = ν + 1 εύκολα μπορούμε να δείξουμε ότι δεν διαρείται από κανέναν απο τους 2, 3, 5,..., ν. Συνεπώς ο µ είναι και αυτός πρώτος ή διαρείται από κάποιο πρώτο που είναι μεταξύ ν και µ. Σε κάθε περίπτωση υπάρχει πρώτος αριθμός που είναι μεγαλύτερος από τον ν, και συνεπώς η πρόταση ότι υπάρχει μεγαλύτερος πρώτος δεν αληθεύει. Συνεπώς οι πρώτοι αριθμοί δεν έχουν πεπερασμένο πλήθος. 5

6 Θα αποδείξουμε ότι σύνολα πραγματικών που είναι άνωθεν φραγμένα έχουν ανώτερο πέρας και σύνολα κάτωθεν φραγμένα έχουν κατώτερο πέρας. Η υπάρξη supremum ή sup και infimum ή inf σε αυτές τις περιπτώσεις είναι το περιεχόμενο του επομένου θεωρήματος. Έστω Σ κάποιο άνωθεν φραγμένο σύνολο πραγματικών αριθμών. Θα συμβολίζουμε με Σ το σύνολο των ανώτερων φραγμάτων του. Θεώρημα της πληρότητας: Ένα άνωθεν φραγμένο σύνολο Σ έχει ανώτερο πέρας δηλαδή στο σύνολο των ανώτερων φραγμάτων Σ υπάρχει πάντα ελάχιστος αριθμός ξ, δηλ. υπάρχει κάποιος αριθμός ξ που (i) ανήκει στο Σ και (ii) δεν υπάρχει αριθμός του Σ που να είναι μικρότερος του ξ (το (i) εξασφαλίζει ότι είναι άνω φράγμα και το (ii) ότι είναι το μικρότερο από αυτά). X Ø Ó î ë Σχήμα 1: Η θέση των διαφόρων τάξεων, στοιχείων κλπ που αναφέρονται στην απόδειξη. Προσοχή ο αριθμός ξ μπορεί να ανήκει ή να μην ανήκει στο Σ. Ανήκει όμως στην τάξη Ψ. Απόδειξη: Χωρίζουμε όλους τους πραγματικούς αριθμούς σε δύο τάξεις. Η τάξη Ψ περιλαμβάνει όλα τα άνω φράγματα του συνόλου Σ (η τάξη Ψ είναι το σύνολο Σ ). Στην τάξη X ανήκουν όλοι οι υπόλοιποι πραγματικοί αριθμοί. Ο αριθμός x κατατάσσεται στη τάξη Ψ αν είναι μεγαλύτερος ή ίσος απο όλα τα στοιχεία του Σ, δηλαδή x σ για κάθε στοιχείο σ που ανήκει στο Σ. Ο αριθμός x κατατάσσεται στη τάξη X αν υπάρχει στοιχείο σ του Σ που είναι μεγαλύτερο του x, δηλαδή σ > x για κάποιο στοιχείο του Σ. Τα σύνολα X και Ψ δεν είναι κενά. Το Ψ δεν είναι κενό διότι εξ υποθέσεως είναι φραγμένο άνωθεν, οπότε κάθε ανώτερο φράγμα του ανήκει στο Ψ. To X δεν είναι κενό διότι αν το σ είναι κάποιο στοιχείο του Σ τότε το x = σ 1 θα ανήκει στο X. Κάθε στοιχείο x του X είναι μικρότερο από κάθε στοιχείο y του Ψ. Διότι υπάρχει στοιχείο του Σ που είναι σ > x και το y είναι μεγαλύτερο ή ίσο απο κάθε σ. Ο διαχωρισμός αυτός σε δύο τάξεις είναι ακριβώς η περίπτωση του αξιώματος Dedekind αφού όλα τα στοιχεία της Ψ είναι μεγαλύτερα από όλα τα στοιχεία της X και οι δύο τάξεις περιλαμβάνουν όλους τους πραγματικούς αριθμούς. 6

7 Από το αξίωμα του Dedekind οι δύο αυτές τάξεις ορίζουν έναν αριθμό (αυτόν ανάμεσά τους) ξ, τέτοιος ώστε για κάθε θετικό ϵ ο ξ ϵ ανήκει στο X και ο ξ + ϵ στο Ψ. Το αξίωμα του Dedekind ο αριθμός ξ μπορεί να ανήκει ή στο Ψ ή στο X. Θα δείξουμε ότι ο ξ ανήκει στην Ψ (και όχι στην (X)). Αν ο ξ ανήκε στο X θα υπήρχε κάποιο σ του Σ που θα ήταν σ > ξ. Αν ορίσουμε το ενδιάμεσό τους αριθμό η = (σ + ξ)/2 τότε θα ισχύει η ανισότητα σ > η > ξ. Απο την ανισότητα προκύπτει ότι το η ανήκει στο Ψ επειδή είναι η > ξ οπότε από τον ορισμό του Ψ θα πρέπει να είναι σ η, που οδηγεί σε άτοπο διότι εκ κατασκευής ισχύει η ανισότητα σ > η. Αποδείξαμε ότι ο ξ έχει τις εξής ιδιότητες: α) σ ξ για κάθε στοιχείο σ του Σ και (β) και για κάθε ξ ϵ μικρότερο του ξ υπάρχει σ που είναι σ > ξ ϵ. Η ιδιότητα (α) δείχνει ότι το ξ είναι άνω φράγμα του Σ και η ιδιότητα (β) δείχει ότι είναι το μικρότερο άνω φράγμα. 4. Η κατανομή των ακεραίων και των ρητών αριθμών Με τις τομές Dedekind κατασκεύασαμε το σώμα των πραγματικών αριθμών που έχει εφοδιασθεί εκτός από τις πράξεις της πρόσθεσης και του γινομένου και των σχέσεων διάταξης με την επιπρόσθετη κρίσιμη ιδιότητα της πληρότητας. Αυτή η ιδιότητα μας επιτρέπει να αναπτύξουμε μαθηματική θεωρία που μπορεί να περιγράψει το φυσικό κόσμο. Θα δώσουμε μερικές εφαρμογές του θεωρήματος της πληρότητας οι οποίες μπορεί να φαίνονται προφανείς ή κάπως σχολαστικές. Ο λόγος που τις περιλαμβάνουμε είναι για να καταλάβουμε λίγο περισσότερο τις επιπτώσεις της κατασκευής του Dedekind και για να αποκτήσουμε μεγαλύτερη οικειότητα με τον τρόπο χρήσης του θεωρήματος της πληρότητας. Θα γίνει έτσι περισσότερο κατανοητή η σημασία της κατασκευής του Dedekind. Σκοπός μας είναι να αποδείξουμε δύο θεωρήματα για τη κατανομή των ακεραίων και των ρητών. Θα επιλέξουμε όλους τους αριθμούς να είναι θετικοί για να αποφύγουμε τη περιπτωσιολογία. Οι αποδείξεις που θα δώσουμε εύκολα προσαρμόζονται αν δεν κάνουμε αυτή την παραδοχή. Θα αποδείξουμε α) ότι για α > 0 υπάρχει μόνο ένας θετικός ακέραιος στο διάστημα [α, α + 1). β) οτι για κάθε β > α > 0 υπάρχει ρητός r αναμέσα τους, που είναι β > r > α. Και οι δύο παραπάνω ιδιότητες προκύπτουν απο μία άλλη ιδιότητα την οποία διατύπωσε ο Αρχιμήδης (Αξίωμα 5 στο βιβλίο του Περί σφαίρας και κυλίνδρου ) 5 και η οποία στο πλαίσιο της κατασκευής των πραγματικών αριθμών που παρουσιάσαμε είναι πόρισμα της πληρότητας. Η ιδιότης αυτή βεβαιώνει ότι για 5 O Αρχιμήδης αποδίδει το αξίωμα αυτό στον θεώρημα του Ευδόξου. Επίσης η ιδιότης αυτη εμφανίζεται και στα Στοιχεία του Ευκλείδη (βιβλίο 5 ορισμός 4). 7

8 κάθε πραγματικό α > 0 υπάρχει κάποιος θετικός ακέραιος ν που ικανοποιεί την ανισότητα 1/ν < α ή ότι για κάθε πραγματικό β > 0 υπάρχει κάποιος θετικός ακέραιος ν μεγαλύτερος του β. Η Αρχιμήδεια ιδιότητα βεβαιώνει ότι υπάρχουν οσοδήποτε μικροί και μεγάλοι πραγματικοί αριθμοί. Αρχιμήδεια Ιδιότητα: Για κάθε α > 0 και β > 0 υπάρχει ακέραιος ν > 0 που ικανοποιεί την ανισότητα να > β. Απόδειξη: Ας υποθέσουμε ότι δεν ισχύει η Αρχιμήδεια ιδιότητα. Τότε υπάρχουν α > 0 και β > 0 τέτοια ώστε να είναι να β για κάθε ν > 0. Ας θεωρήσουμε το σύνολο Σ που έχει ως στοιχεία του τα να. Τότε το σύνολο Σ είναι άνωθεν φραγμένο δεδομένου ότι το β είναι άνω φράγμα του Σ. Έστω ότι το supremum του Σ είναι το ξ, και γράφουμε ξ = sup Σ. Τότε ξ α < ξ και θα υπάρχει ακέραιος ν 0 που ικανοποιεί την ανισότητα ξ α < ν 0 α. Αλλά τότε ξ < (ν 0 + 1)α που είναι άτοπο διότι το ξ είναι μεγαλύτερο ή ίσο απο τα να για κάθε ν. Άρα ισχύει η Αρχιμήδεια ιδιότητα. Μπορούμε τώρα να χρησιμοποιήσουμε την Αρχιμήδεια ιδιότητα για να αποδείξουμε πρώτα την πιο εύκολη πρόταση ότι μεταξύ δύο ρητών υπάρχει πάντοτε άρρητος. Εστω r 1 > r 2 δύο ρητοί αριθμοί. Τότε απο την Αρχιμήδεια ιδιότητα γνωρίζουμε ότι υπάρχει ν τέτοιο ώστε ν(r 1 r 2 ) > 2 ή r 1 > r 2 + 2/ν. O αριθμός ξ = r 2 + 2/ν είναι άρρητος και ικανοποιεί την ανισότητα r 1 > ξ > r 2, και με τον τρόπο αυτό κατασκευάσαμε άρρητο μεταξύ των δύο ρητών. Μάλιστα η κατασκευή αυτή μας οδηγεί στην κατασκευή απείρων αρρήτων μεταξύ των δύο αυτών ρητών. Σκεφθείτε αν με τον ίδιο τρόπο μπορούμε να δείξουμε ότι μεταξύ δύο αρρήτων υπάρχει απειρία αρρήτων (το άθροισμα δύο αρρήτων είναι πάντα άρρητος;). Θα μας χρειασθεί για την συνέχεια η εξής πρόταση: Πρόταση: Έστω Α ενα μη κενό σύνολο με στοιχεία ακέραιους αριθμούς (όχι κατά ανάγκη πεπεπερασμένο) το οποίο είναι άνωθεν φραγμένο. Τότε το σύνολο έχει μέγιστο στοιχείο. Απόδειξη: Σύμφωνα με το θεώρημα της πληρότητας (που ισχύει για κάθε είδους φραγμένο σύνολο πραγματικών αριθμών) το Α θα έχει supremum το αριθμό α. Επειδή το α είναι supremum θα υπάρχει (ακέραιο) στοιχείο ν του Α που θα ικανοποιεί τις ανισότητες α ν > α 1. Συνεπώς ν + 1 > α ν. Επειδή όμως στο διάστημα [ν, ν + 1) δεν υπάρχει ακέραιος άλλος απο τον ν, το ν, που ανήκει στο Α, είναι και το μεγαλύτερο στοιχείο του Α και συγχρόνως το supremum του, δηλαδή α = ν.[παρατηρείστε στην απόδειξη αυτή ότι το θεώρημα της πληρότητας εξασφάλισε την ύπαρξη του α, ο οποίος έπειτα εξασφάλισε την ύπαρξη του 8

9 αριθμού ν, οποίος είναι προφανώς ο μέγιστος του συνόλου.] Πρόταση: Για κάθε αριθμό α > 0 υπάρχει ένας και μόνο ένας θετικός ακέραιος στο διάστημα [α, α + 1). Απόδειξη: Θεωρήστε το σύνολο Σ που έχει στοιχεία τους ακέραιους που είναι ν < α+1. Το σύνολο Σ δεν είναι κενό, π.χ. το ν = 1 ανήκει σε αυτό. Το φραγμένο αυτό σύνολο των ακεραίων Σ έχει μέγιστο στοιχείο, έστω το ν 0. Το στοιχείο αυτό είναι μικρότερο απο το α + 1 και ν 0 α διότι αν ήταν ν 0 < α τότε και ν < α + 1, που είναι αντίθετο στην υπόθεση ότι το ν 0 είναι ο μέγιστος του Σ. Άρα υπάρχει ακέραιος στο διάστημα [α, α + 1). Είναι μοναδικός διότι αν υπήρχε και άλλος στο διάστημα αυτό η διαφορά τους θα ήταν μικρότερη από το 1, που είναι αδύνατο αν οι ακέραιοι είναι διαφορετικοί. Τώρα είμαστε έτοιμοι να αποδείξουμε ότι μεταξύ δύο πραγματικών υπάρχει πάντα αναμέσα τους ρητός αριθμός. Απόδειξη: Έστω οι αριθμοί: α < β. Απο την Αρχιμήδεια ιδιότητα υπάρχει ν τέτοιο ώστε (b a) > 1/n ή a < b 1/n. Σύμφωνα με την προηγούμενη πρόταση υπάρχει ακέραιος m που ανήκει στο διάστημα [nb 1, nb), δηλαδή ικανοποιεί την ανισότητα nb 1 m < nb ή ισοδύναμα a < b 1/n m/n < b που συνεπάγεται ότι υπάρχει ρητός m/n α και β. 9

Infimum. Ορισμός κάτω φράγματος συνόλου A. Ορισμός infimum του συνόλου A. Το σύνολο A R είναι κάτω φραγμένο αν. k R : x A k x.

Infimum. Ορισμός κάτω φράγματος συνόλου A. Ορισμός infimum του συνόλου A. Το σύνολο A R είναι κάτω φραγμένο αν. k R : x A k x. Infimum Ορισμός κάτω φράγματος συνόλου A Το σύνολο A R είναι κάτω φραγμένο αν k R : x A k x k = κάτω φράγμα Ορισμός infimum του συνόλου A inf A = infimum του συνόλου A Το μεγαλύτερο από τα κάτω φράγματα

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΛΥΣΗ 1 ΤΕΤΑΡΤΟ ΜΑΘΗΜΑ, Μ. Παπαδημητράκης.

ΑΝΑΛΥΣΗ 1 ΤΕΤΑΡΤΟ ΜΑΘΗΜΑ, Μ. Παπαδημητράκης. ΑΝΑΛΥΣΗ 1 ΤΕΤΑΡΤΟ ΜΑΘΗΜΑ, 15-10-13 Μ. Παπαδημητράκης. 1 Παράδειγμα. Ως εφαρμογή της Αρχιμήδειας Ιδιότητας θα μελετήσουμε το σύνολο { 1 } A = n N = {1, 1 n 2, 1 } 3,.... Κατ αρχάς το σύνολο A έχει προφανώς

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΛΥΣΗ 1 ΕΙΚΟΣΤΟ ΕΒΔΟΜΟ ΜΑΘΗΜΑ, Μ. Παπαδημητράκης.

ΑΝΑΛΥΣΗ 1 ΕΙΚΟΣΤΟ ΕΒΔΟΜΟ ΜΑΘΗΜΑ, Μ. Παπαδημητράκης. ΑΝΑΛΥΣΗ 1 ΕΙΚΟΣΤΟ ΕΒΔΟΜΟ ΜΑΘΗΜΑ, 6-12-13 Μ. Παπαδημητράκης. 1 Τώρα θα δούμε την απόδειξη του Θεωρήματος που διατυπώσαμε στο τέλος του προηγούμενου μαθήματος. Απόδειξη. [α] Θεωρούμε συνάρτηση f : A R και

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ Τμήμα Φυσικής Σημειώσεις Ανάλυσης Ι (ανανεωμένο στις 20 Νοεμβρίου 2012

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ Τμήμα Φυσικής Σημειώσεις Ανάλυσης Ι (ανανεωμένο στις 20 Νοεμβρίου 2012 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ Τμήμα Φυσικής Σημειώσεις Ανάλυσης Ι ανανεωμένο στις 20 Νοεμβρίου 202 Τμήμα Θ Αποστολάτου & Π Ιωάννου Ακολουθίες - Όρια ακολουθιών Έστω η ακολουθία μια αριθμημένη σειρά δηλαδή) των αριθμών:

Διαβάστε περισσότερα

Δύο λόγια από τη συγγραφέα

Δύο λόγια από τη συγγραφέα Δύο λόγια από τη συγγραφέα Τα μαθηματικά ή τα λατρεύεις ή τα μισείς! Για να λατρέψεις κάτι πρέπει να το κατανοήσεις, για τη δεύτερη περίπτωση τα πράγματα μάλλον είναι λίγο πιο απλά. Στόχος αυτού του βιβλίου

Διαβάστε περισσότερα

1. στο σύνολο Σ έχει ορισθεί η πράξη της πρόσθεσης ως προς την οποία το Σ είναι αβελιανή οµάδα, δηλαδή

1. στο σύνολο Σ έχει ορισθεί η πράξη της πρόσθεσης ως προς την οποία το Σ είναι αβελιανή οµάδα, δηλαδή KΕΦΑΛΑΙΟ ΤΟ ΣΥΝΟΛΟ ΤΩΝ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ιατεταγµένα σώµατα-αξίωµα πληρότητας Ένα σύνολο Σ καλείται διατεταγµένο σώµα όταν στο σύνολο Σ έχει ορισθεί η πράξη της πρόσθεσης ως προς την οποία το Σ είναι

Διαβάστε περισσότερα

mail:

mail: Λογισμός Ι - Τμήμα 1Β Κ. Δασκαλογιάννης Γραφείο 18, 3ος όροφος ΣΘΕ τηλ: 2310-998074 mail: daskalo@math.auth.gr ιστοσελίδα: users.auth.gr/daskalo 2014 ΛΟΓΙΣΜΟΣ CALCULUS (Διαφορικός Λογισμός, Απειροστικός

Διαβάστε περισσότερα

Ο μαθητής που έχει μελετήσει το κεφάλαιο της θεωρίας αριθμών θα πρέπει να είναι σε θέση:

Ο μαθητής που έχει μελετήσει το κεφάλαιο της θεωρίας αριθμών θα πρέπει να είναι σε θέση: Ο μαθητής που έχει μελετήσει το κεφάλαιο της θεωρίας αριθμών θα πρέπει να είναι σε θέση: Να γνωρίζει: την αποδεικτική μέθοδο της μαθηματικής επαγωγής για την οποία πρέπει να γίνει κατανοητό ότι η αλήθεια

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ Τμήμα Φυσικής Σημειώσεις Ανάλυσης Ι (ανανεωμένο στις 5 Δεκεμβρίου 2012)

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ Τμήμα Φυσικής Σημειώσεις Ανάλυσης Ι (ανανεωμένο στις 5 Δεκεμβρίου 2012) ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ Τμήμα Φυσικής Σημειώσεις Ανάλυσης Ι (ανανεωμένο στις 5 Δεκεμβρίου 2012) Τμήμα Θ. Αποστολάτου & Π. Ιωάννου 1 Σειρές O Ζήνων ο Ελεάτης (490-430 π.χ.) στη προσπάθειά του να υποστηρίξει

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΛΥΣΗ 1 ΠΡΩΤΟ ΜΑΘΗΜΑ, Μ. Παπαδημητράκης.

ΑΝΑΛΥΣΗ 1 ΠΡΩΤΟ ΜΑΘΗΜΑ, Μ. Παπαδημητράκης. ΑΝΑΛΥΣΗ 1 ΠΡΩΤΟ ΜΑΘΗΜΑ, 8-10-13 Μ. Παπαδημητράκης. 1 Κατ αρχάς θα δούμε μια πολλή απλή πρόταση. 0xx x x ΠΡΟΤΑΣΗ. Έστω ότι ο έχει την εξής ιδιότητα: x για κάθε x > 0. Τότε 0. Απόδειξη. Για να καταλήξουμε

Διαβάστε περισσότερα

R={α/ αρητός ή άρρητος αριθμός }

R={α/ αρητός ή άρρητος αριθμός } o ΛΥΚΕΙΟ ΠΕΤΡΟΥΠΟΛΗΣ Οι ρητοί και οι άρρητοι αριθμοί λέγονται πραγματικοί αριθμοί. Το σύνολο που περιέχει όλους τους πραγματικούς αριθμούς λέγεται σύνολο των πραγματικών αριθμών και συμβολίζεται με R.

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με μεταβλητές (γράμματα) και αριθμούς καλείται αλγεβρική, όπως για παράδειγμα η : 2x+3y-8

ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με μεταβλητές (γράμματα) και αριθμούς καλείται αλγεβρική, όπως για παράδειγμα η : 2x+3y-8 ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Άλγεβρα 1 ο Κεφάλαιο 1. Τι ονομάζουμε αριθμητική και τι αλγεβρική παράσταση; Να δώσετε από ένα παράδειγμα. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με αριθμούς, καλείται αριθμητική παράσταση,

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΑΧΙΣΤΑ ΑΝΩ ΜΕΓΙΣΤΑ ΚΑΤΩ ΦΡΑΓΜΑΤΑ

ΕΛΑΧΙΣΤΑ ΑΝΩ ΜΕΓΙΣΤΑ ΚΑΤΩ ΦΡΑΓΜΑΤΑ ΕΛΑΧΙΣΤΑ ΑΝΩ ΜΕΓΙΣΤΑ ΚΑΤΩ ΦΡΑΓΜΑΤΑ Κασαπίδης Γεώργιος Μαθηµατικός Στο άρθρο αυτό µελετάµε την πιο χαρακτηριστική ιδιότητα του συνόλου R των πραγµατικών αριθµών. ΟΡΙΣΜΟΣ 1 Ένα σύνολο Α από πραγµατικούς

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. 8. Πότε το γινόμενο δύο ή περισσοτέρων αριθμών παραγόντων είναι ίσο με το μηδέν ;

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. 8. Πότε το γινόμενο δύο ή περισσοτέρων αριθμών παραγόντων είναι ίσο με το μηδέν ; ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο : ( ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ) ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ : Το κεφάλαιο αυτό περιέχει πολλά θέματα που είναι επανάληψη εννοιών που διδάχθηκαν στο Γυμνάσιο γι αυτό σ αυτές δεν θα επεκταθώ αναλυτικά

Διαβάστε περισσότερα

Φ1: ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ

Φ1: ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Φ: ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΓΙΑΝΝΗΣ ΧΡΑΣ 0-0 ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ Α - ΘΕΩΡΙΑ - ΣΩΣΤΟ-ΛΑΘΟΣ - ΠΟΛΛΑΠΛΗΣ ΕΠΙΛΟΓΗΣ - ΑΝΤΙΣΤΟΙΧΗΣΗΣ - ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ-ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΘΕΜΑ Β - ΑΣΚΗΣΕΙΣ

Διαβάστε περισσότερα

4.2 ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΔΙΑΙΡΕΣΗ

4.2 ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΔΙΑΙΡΕΣΗ 14 4 ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΔΙΑΙΡΕΣΗ Ας υποθέσουμε ότι θέλουμε να βρούμε το πηλίκο και το υπόλοιπο της διαίρεσης του με τον Σύμφωνα με το γνωστό αλγόριθμο της διαίρεσης, το πηλίκο θα είναι ένας ακέραιος κ, τέτοιος,

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΛΥΣΗ 1 ΕΙΚΟΣΤΟ ΕΝΑΤΟ ΜΑΘΗΜΑ, Μ. Παπαδημητράκης.

ΑΝΑΛΥΣΗ 1 ΕΙΚΟΣΤΟ ΕΝΑΤΟ ΜΑΘΗΜΑ, Μ. Παπαδημητράκης. ΑΝΑΛΥΣΗ 1 ΕΙΚΟΣΤΟ ΕΝΑΤΟ ΜΑΘΗΜΑ, 12-12-13 Μ. Παπαδημητράκης. 1 Ας δούμε ένα παράδειγμα υπολογισμού ορίου με χρήση της συνέχειας της σύνθεσης συνεχών συναρτήσεων. Παράδειγμα. Θέλουμε να υπολογίσουμε το όριο

Διαβάστε περισσότερα

Μ Α Θ Η Μ Α Τ Α Γ Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ

Μ Α Θ Η Μ Α Τ Α Γ Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Α Γ Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ (Α ΜΕΡΟΣ: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ) Μαθηματικά Προσανατολισμού Γ Λυκείου- Μαθηματικός Περιηγητής ΕΝΟΤΗΤΑ

Διαβάστε περισσότερα

Πρόταση. Αληθείς Προτάσεις

Πρόταση. Αληθείς Προτάσεις Βασικές έννοιες της Λογικής 1 Πρόταση Στην καθημερινή μας ομιλία χρησιμοποιούμε εκφράσεις όπως: P1: «Καλή σταδιοδρομία» P2: «Ο Όλυμπος είναι το ψηλότερο βουνό της Ελλάδας» P3: «Η Θάσος είναι το μεγαλύτερο

Διαβάστε περισσότερα

Οι πραγµατικοί αριθµοί

Οι πραγµατικοί αριθµοί Οι πραγµατικοί αριθµοί Προλεγόµενα Η ανάγκη απαρίθµησης αντικειµένων, οδήγησε στην εισαγωγή του συνόλου των φυσικών αριθµών Η ανάγκη µέτρησης µεγεθών, οδήγησε στην εισαγωγή του συνόλου των ρητών αριθµών

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΛΥΣΗ 1 ΕΝΑΤΟ ΜΑΘΗΜΑ, Μ. Παπαδημητράκης.

ΑΝΑΛΥΣΗ 1 ΕΝΑΤΟ ΜΑΘΗΜΑ, Μ. Παπαδημητράκης. ΑΝΑΛΥΣΗ 1 ΕΝΑΤΟ ΜΑΘΗΜΑ, 5-10-13 Μ. Παπαδημητράκης. 1 Τώρα θα μιλήσουμε για την έννοια της περιοχής, η οποία έχει κεντρικό ρόλο στη μελέτη της έννοιας του ορίου (ακολουθίας και συνάρτησης). Αν > 0, ονομάζουμε

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΛΥΣΗ 1 ΕΙΚΟΣΤΟ ΕΚΤΟ ΜΑΘΗΜΑ, Μ. Παπαδημητράκης.

ΑΝΑΛΥΣΗ 1 ΕΙΚΟΣΤΟ ΕΚΤΟ ΜΑΘΗΜΑ, Μ. Παπαδημητράκης. ΑΝΑΛΥΣΗ ΕΙΚΟΣΤΟ ΕΚΤΟ ΜΑΘΗΜΑ, 5--3 Μ. Παπαδημητράκης. Είδαμε στο προηγούμενο μάθημα ότι για να έχει νόημα το όριο f(x) x ξ πρέπει το ξ να είναι σε κατάλληλη θέση σε σχέση με το πεδίο ορισμού A της συνάρτησης

Διαβάστε περισσότερα

2. Να γράψετε έναν αριθμό που είναι μεγαλύτερος από το 3,456 και μικρότερος από το 3,457.

2. Να γράψετε έναν αριθμό που είναι μεγαλύτερος από το 3,456 και μικρότερος από το 3,457. 1. Ένα κεφάλαιο ενός βιβλίου ξεκινάει από τη σελίδα 32 και τελειώνει στη σελίδα 75. Από πόσες σελίδες αποτελείται το κεφάλαιο; Αν το κεφάλαιο ξεκινάει από τη σελίδα κ και τελειώνει στη σελίδα λ, από πόσες

Διαβάστε περισσότερα

f(t) = (1 t)a + tb. f(n) =

f(t) = (1 t)a + tb. f(n) = Παράρτημα Αʹ Αριθμήσιμα και υπεραριθμήσιμα σύνολα Αʹ1 Ισοπληθικά σύνολα Ορισμός Αʹ11 (ισοπληθικότητα) Εστω A, B δύο μη κενά σύνολα Τα A, B λέγονται ισοπληθικά αν υπάρχει μια συνάρτηση f : A B, η οποία

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις για το µάθηµα «Ανάλυση Ι και Εφαρµογές»

Ασκήσεις για το µάθηµα «Ανάλυση Ι και Εφαρµογές» Ασκήσεις για το µάθηµα «Ανάλυση Ι και Εφαρµογές» Κεφάλαιο : Το σύνολο των πραγµατικών αριθµών Α Οµάδα Εξετάστε αν οι παρακάτω προτάσεις είναι αληθείς ή ψευδείς αιτιολογήστε πλήρως την απάντησή σας) α)

Διαβάστε περισσότερα

Φ(s(n)) = s (Φ(n)). (i) Φ(1) = a.

Φ(s(n)) = s (Φ(n)). (i) Φ(1) = a. 1. Τα θεμελιώδη αριθμητικά συστήματα Με τον όρο θεμελιώδη αριθμητικά συστήματα εννοούμε τα σύνολα N των φυσικών αριθμών, Z των ακεραίων, Q των ρητών και R των πραγματικών. Από αυτά, το σύνολο N είναι πρωτογενές

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ Τμήμα Φυσικής Εξέταση στο μάθημα Ανάλυση Ι & Εφαρμογές 26 Φεβρουαρίου 2015

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ Τμήμα Φυσικής Εξέταση στο μάθημα Ανάλυση Ι & Εφαρμογές 26 Φεβρουαρίου 2015 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ Τμήμα Φυσικής Εξέταση στο μάθημα Ανάλυση Ι & Εφαρμογές 26 Φεβρουαρίου 25 Απαντήστε και στα 4 προβλήματα με σαφήνεια και απλότητα. Όσοι έχουν πάρει προβιβάσιμο βαθμό στην Πρόοδο (πάνω

Διαβάστε περισσότερα

n 5 = 7 ε (π.χ. ορίζοντας n0 = 1+ ε συνεπώς (σύμϕωνα με τις παραπάνω ισοδυναμίες) an 5 < ε. Επομένως a n β n 23 + β n+1

n 5 = 7 ε (π.χ. ορίζοντας n0 = 1+ ε συνεπώς (σύμϕωνα με τις παραπάνω ισοδυναμίες) an 5 < ε. Επομένως a n β n 23 + β n+1 Θέμα 1 (α) Υποθέτουμε (προς απαγωγή σε άτοπο) ότι το σύνολο A έχει μέγιστο στοιχείο, έστω a = max A Τότε, εϕόσον a A, έχουμε a R Q και a M Ομως ο αριθμός μητρώου M είναι ρητός αριθμός, άρα (εϕόσον ο a

Διαβάστε περισσότερα

Ξέρουμε ότι: Συνάρτηση-απεικόνιση με πεδίο ορισμού ένα σύνολο Α και πεδίο τιμών ένα σύνολο Β είναι κάθε μονοσήμαντη απεικόνιση f του Α στο Β.

Ξέρουμε ότι: Συνάρτηση-απεικόνιση με πεδίο ορισμού ένα σύνολο Α και πεδίο τιμών ένα σύνολο Β είναι κάθε μονοσήμαντη απεικόνιση f του Α στο Β. Η έννοια της ακολουθίας Ξέρουμε ότι: Συνάρτηση-απεικόνιση με πεδίο ορισμού ένα σύνολο Α και πεδίο τιμών ένα σύνολο Β είναι κάθε μονοσήμαντη απεικόνιση f του Α στο Β. Δηλαδή: f : A B Η ακολουθία είναι συνάρτηση.

Διαβάστε περισσότερα

αριθμούς Βασικές ασκήσεις Βασική θεωρία iii) φυσικοί; ii) ακέραιοι; iii) ρητοί;

αριθμούς Βασικές ασκήσεις Βασική θεωρία iii) φυσικοί; ii) ακέραιοι; iii) ρητοί; Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς Βασικές ασκήσεις Βασική θεωρία Ρητοί και άρρητοι αριθμοί. α) Ποιοι αριθμοί ονομάζονται: iii) φυσικοί; ii) ακέραιοι; iii) ρητοί; iv) άρρητοι; v) πραγματικοί; β) Να βρείτε

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1: Πρότυπα. x y x z για κάθε x, y, R με την ιδιότητα 1R. x για κάθε x R, iii) υπάρχει στοιχείο 1 R. ii) ( x y) z x ( y z)

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1: Πρότυπα. x y x z για κάθε x, y, R με την ιδιότητα 1R. x για κάθε x R, iii) υπάρχει στοιχείο 1 R. ii) ( x y) z x ( y z) ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1: Πρότυπα Στο κεφάλαιο αυτό θα υπενθυμίσουμε τις βασικές έννοιες που αφορούν πρότυπα πάνω από ένα δακτύλιο Θα περιοριστούμε στα πλέον απαραίτητα για αυτά που ακολουθούν στα άλλα κεφάλαια Η κατευθυντήρια

Διαβάστε περισσότερα

0x2 = 2. = = δηλαδή η f δεν. = 2. Άρα η συνάρτηση f δεν είναι συνεχής στο [0,3]. Συνεπώς δεν. x 2. lim f (x) = lim (2x 1) = 3 και x 2 x 2

0x2 = 2. = = δηλαδή η f δεν. = 2. Άρα η συνάρτηση f δεν είναι συνεχής στο [0,3]. Συνεπώς δεν. x 2. lim f (x) = lim (2x 1) = 3 και x 2 x 2 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 8: ΘΕΩΡΗΜΑ BOLZANO - ΠΡΟΣΗΜΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΘΕΩΡΗΜΑ ΕΝΔΙΑΜΕΣΩΝ ΤΙΜΩΝ - ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΕΓΙΣΤΗΣ ΚΑΙ ΕΛΑΧΙΣΤΗΣ ΤΙΜΗΣ - ΣΥΝΟΛΟ ΤΙΜΩΝ ΣΥΝΕΧΟΥΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

Αριθμήσιμα σύνολα. Μαθηματικά Πληροφορικής 5ο Μάθημα. Παραδείγματα αριθμήσιμων συνόλων. Οι ρητοί αριθμοί

Αριθμήσιμα σύνολα. Μαθηματικά Πληροφορικής 5ο Μάθημα. Παραδείγματα αριθμήσιμων συνόλων. Οι ρητοί αριθμοί Αριθμήσιμα σύνολα Μαθηματικά Πληροφορικής 5ο Μάθημα Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών Πανεπιστήμιο Αθηνών Ορισμός Πόσα στοιχεία έχει το σύνολο {a, b, r, q, x}; Οσα και το σύνολο {,,, 4, 5} που είναι

Διαβάστε περισσότερα

ή κανονικός ( regular ), αν για κάθε x και κάθε κλειστό αντιπαραδείγματα με τα οποία αποδεικνύεται ότι οι αντίστροφες συνεπαγωγές δεν ισχύουν.

ή κανονικός ( regular ), αν για κάθε x και κάθε κλειστό αντιπαραδείγματα με τα οποία αποδεικνύεται ότι οι αντίστροφες συνεπαγωγές δεν ισχύουν. 93 4 Διαχωριστικά αξιώματα Στο κεφάλαιο αυτό εισάγουμε τα λεγόμενα διαχωριστικά αξιώματα και εξετάζουμε τις βασικές ιδιότητές τους. Ένα από αυτά το έχουμε ήδη εισαγάγει δηλαδή το αξίωμα Husdorff ( ορισμός

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΛΟΓΙΚΗ ΚΑΙ ΑΠΟΔΕΙΞΗ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΛΟΓΙΚΗ ΚΑΙ ΑΠΟΔΕΙΞΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΛΟΓΙΚΗ ΚΑΙ ΑΠΟΔΕΙΞΗ Περιεχόμενα : Α) Προτάσεις-Σύνθεση προτάσεων Β)Απόδειξη μιας πρότασης Α 1 ) Τι είναι πρόταση Β 1 ) Βασικές έννοιες Α ) Συνεπαγωγή Β ) Βασικές μέθοδοι απόδειξης Α 3 ) Ισοδυναμία

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ. a β a β.

ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ. a β a β. ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ε.1 ΤΟ ΛΕΞΙΛΟΓΙΟ ΤΗΣ ΛΟΓΙΚΗΣ Στη παράγραφο αυτή θα γνωρίσουμε μερικές βασικές έννοιες της Λογικής, τις οποίες θα χρησιμοποιήσουμε στη συνέχεια, όπου αυτό κρίνεται αναγκαίο, για τη σαφέστερη

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΤΟ ΔΙΩΝΥΜΙΚΟ ΘΕΩΡΗΜΑ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΤΟ ΔΙΩΝΥΜΙΚΟ ΘΕΩΡΗΜΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΤΟ ΔΙΩΝΥΜΙΚΟ ΘΕΩΡΗΜΑ Εισαγωγή Οι αριθμοί που εκφράζουν το πλήθος των στοιχείων ανά αποτελούν ίσως τους πιο σημαντικούς αριθμούς της Συνδυαστικής και καλούνται διωνυμικοί συντελεστές διότι εμφανίζονται

Διαβάστε περισσότερα

h(x, y) = card ({ 1 i n : x i y i

h(x, y) = card ({ 1 i n : x i y i Κεφάλαιο 1 Μετρικοί χώροι 1.1 Ορισμός και παραδείγματα Ορισμός 1.1.1 μετρική). Εστω X ένα μη κενό σύνολο. Μετρική στο X λέγεται κάθε συνάρτηση ρ : X X R με τις παρακάτω ιδιότητες: i) ρx, y) για κάθε x,

Διαβάστε περισσότερα

Η έννοια του συνόλου. Εισαγωγικό κεφάλαιο 27

Η έννοια του συνόλου. Εισαγωγικό κεφάλαιο 27 Εισαγωγικό κεφάλαιο 27 Η έννοια του συνόλου Σύνολο είναι κάθε συλλογή αντικειμένων, που προέρχονται από την εμπειρία μας ή τη διανόησή μας, είναι καλά ορισμένα και διακρίνονται το ένα από το άλλο. Αυτός

Διαβάστε περισσότερα

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ. Από προηγούμενες τάξεις γνωρίζουμε ότι το τετράγωνο οποιουδήποτε πραγματικού αριθμού

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ. Από προηγούμενες τάξεις γνωρίζουμε ότι το τετράγωνο οποιουδήποτε πραγματικού αριθμού ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΈΝΝΟΙΑ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΠΡΑΞΕΙΣ ΣΤΟ ΣΥΝΟΛΟ ΤΩΝ ΜΙΓΑΔΙΚΩΝ ΣΥΖΥΓΕΙΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΔΥΝΑΜΕΙΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΚΑΙ ΤΟΥ i ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Γ Γυμνασίου

Μαθηματικά Γ Γυμνασίου Α λ γ ε β ρ ι κ έ ς π α ρ α σ τ ά σ ε ι ς 1.1 Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς (επαναλήψεις συμπληρώσεις) A. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους Διδακτικοί στόχοι Θυμάμαι ποιοι αριθμοί λέγονται

Διαβάστε περισσότερα

Τετραγωνική ρίζα πραγματικού αριθμού

Τετραγωνική ρίζα πραγματικού αριθμού Τετραγωνική ρίζα του θετικού αριθμού α, ονομάζεται ο θετικός αριθμός χ, όταν χ = α. Ορίζουμε επίσης ότι: 0 0. Δηλαδή αν α, x > 0 και x, τότε x. Συνέπειες του ορισμού Για κάθε πραγματικό αριθμό x ισχύει:

Διαβάστε περισσότερα

Ερωτήσεις θεωρίας για τα Μαθηματικά Γ γυμνασίου. Άλγεβρα...

Ερωτήσεις θεωρίας για τα Μαθηματικά Γ γυμνασίου. Άλγεβρα... Ερωτήσεις θεωρίας για τα Μαθηματικά Γ γυμνασίου Άλγεβρα 1.1 Β: Δυνάμεις πραγματικών αριθμών. 1. Πως ορίζεται η δύναμη ενός πραγματικού αριθμού ; Η δύναμη με βάση έναν πραγματικό αριθμό α και εκθέτη ένα

Διαβάστε περισσότερα

Π Κ Τ Μ Ε Μ Λύσεις των ασκήσεων

Π Κ Τ Μ Ε Μ Λύσεις των ασκήσεων Π Κ Τ Μ Ε Μ Λύσεις των ασκήσεων Πρ. Η f : [0, ] R είναι συνεχής στο [0, ]. Χρησιμοποιώντας το Θεώρημα Bolzao- Weierstraß δείξτε ότι η f είναι φραγμένη στο [0, ]. Μην επικαλεστείτε κάποιο άλλο θεώρημα.

Διαβάστε περισσότερα

Έχοντας υπόψιν το Λήμμα του Urysohn, είναι φυσικό να θέσουμε το ακόλουθο ερώτημα: Αν

Έχοντας υπόψιν το Λήμμα του Urysohn, είναι φυσικό να θέσουμε το ακόλουθο ερώτημα: Αν 3 4.3 Τελείως κανονικοί χώροι ( ). 3 2 Έχοντας υπόψιν το Λήμμα του Urysoh, είναι φυσικό να θέσουμε το ακόλουθο ερώτημα: Αν κανονικός χώρος, x και κλειστό ώστε x. Υπάρχει τότε συνεχής συνάρτηση f :, ώστε

Διαβάστε περισσότερα

Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος ΜEd: «Σπουδές στην εκπαίδευση»

Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος ΜEd: «Σπουδές στην εκπαίδευση» 1 2.1 ΟΙ ΠΡΑΞΕΙΣ ΚΑΙ ΟΙ ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΤΟΥΣ Ιδιότητες των πράξεων Στους πραγματικούς αριθμούς ορίστηκαν οι πράξεις της πρόσθεσης και του πολλαπλασιασμού και με την οήθειά τους η αφαίρεση και η διαίρεση. Για

Διαβάστε περισσότερα

Σ αυτή την παράγραφο θα γνωρίσουμε τέσσερις βασικές έννοιες της λογικής, οι οποίες θα μας φανούν χρήσιμες στα επόμενα κεφάλαια του βιβλίου.

Σ αυτή την παράγραφο θα γνωρίσουμε τέσσερις βασικές έννοιες της λογικής, οι οποίες θα μας φανούν χρήσιμες στα επόμενα κεφάλαια του βιβλίου. Σ αυτή την παράγραφο θα γνωρίσουμε τέσσερις βασικές έννοιες της λογικής, οι οποίες θα μας φανούν χρήσιμες στα επόμενα κεφάλαια του βιβλίου. Η προσέγγιση των εννοιών αυτών θα γίνει με τη βοήθεια απλών παραδειγμάτων,

Διαβάστε περισσότερα

2.1 Διαιρετότητα, ισοϋπόλοιποι αριθμοί. q Z, a = b q + r.

2.1 Διαιρετότητα, ισοϋπόλοιποι αριθμοί. q Z, a = b q + r. Κεφάλαιο 2 Θεωρία Αριθμών Κύριες βιβλιογραφικές αναφορές για αυτό το Κεφάλαιο είναι οι Hardy and Wright 1979 και Graham, Knuth, and Patashnik 1994. 2.1 Διαιρετότητα, ισοϋπόλοιποι αριθμοί Θεώρημα 2.1 Αν

Διαβάστε περισσότερα

Θεώρημα Βolzano. Κατηγορία 1 η. 11.1 Δίνεται η συνάρτηση:

Θεώρημα Βolzano. Κατηγορία 1 η. 11.1 Δίνεται η συνάρτηση: Κατηγορία η Θεώρημα Βolzano Τρόπος αντιμετώπισης:. Όταν μας ζητούν να εξετάσουμε αν ισχύει το θεώρημα Bolzano για μια συνάρτηση f σε ένα διάστημα [, ] τότε: Εξετάζουμε την συνέχεια της f στο [, ] (αν η

Διαβάστε περισσότερα

Η Θεωρία στα Μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ Λυκείου

Η Θεωρία στα Μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ Λυκείου Η Θεωρία στα Μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ Λυκείου wwwaskisopolisgr έκδοση 5-6 wwwaskisopolisgr ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 5 Τι ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση; Έστω Α ένα υποσύνολο του Ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματική Λογική και Απόδειξη

Μαθηματική Λογική και Απόδειξη Μαθηματική Λογική και Απόδειξη Σύντομο ιστορικό σημείωμα: Η πρώτη απόδειξη στην ιστορία των μαθηματικών, αποδίδεται στο Θαλή το Μιλήσιο (~600 π.χ.). Ο Θαλής απέδειξε, ότι η διάμετρος διαιρεί τον κύκλο

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Οι πραγματικοί αριθμοί αποτελούνται από τους ρητούς και τους άρρητους αριθμούς, τους φυσικούς και τους ακέραιους αριθμούς. Δηλαδή είναι το μεγαλύτερο σύνολο αριθμών που μπορούμε

Διαβάστε περισσότερα

Ερωτήσεις επί των ρητών αριθµών

Ερωτήσεις επί των ρητών αριθµών Σελ. 1 Ερωτήσεις επί των ρητών αριθµών 1. Ποια είναι τα πρόσηµα των ακεραίων αριθµών; Ζ={... -3,-2,-1,0,+1,+2,+3,... } 2. Ποιοι αριθµοί λέγονται θετικοί και ποιοι αρνητικοί; Γράψε από έναν. 3. Στον άξονα

Διαβάστε περισσότερα

Διάλεξη 1 - Σημειώσεις 1

Διάλεξη 1 - Σημειώσεις 1 Διάλεξη 1 - Σημειώσεις 1 Σύνολα Πως διαβάζουμε κάποιους συμβολισμούς: ανήκει και η άρνηση, δηλαδή δεν ανήκει υπάρχει για κάθε : τέτοιο ώστε. Επίσης το σύμβολο έχει την ερμηνεία «τέτοιο ώστε» και ή υπονοεί

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ - ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ & ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ - ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ & ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ - ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ & ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ Επιμέλεια: Βασίλης Κράνιας wwwe-mathsgr ΑΝΑΛΥΣΗ Τι ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση Έστω Α ένα υποσύνολο

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά: Αριθμητική και Άλγεβρα. Μάθημα 3 ο, Τμήμα Α. Τρόποι απόδειξης

Μαθηματικά: Αριθμητική και Άλγεβρα. Μάθημα 3 ο, Τμήμα Α. Τρόποι απόδειξης Μαθηματικά: Αριθμητική και Άλγεβρα Μάθημα 3 ο, Τμήμα Α Ο πυρήνας των μαθηματικών είναι οι τρόποι με τους οποίους μπορούμε να συλλογιζόμαστε στα μαθηματικά. Τρόποι απόδειξης Επαγωγικός συλλογισμός (inductive)

Διαβάστε περισσότερα

Κάθε αριθμός που δεν είναι ρητός, ονομάζεται άρρητος αριθμός.

Κάθε αριθμός που δεν είναι ρητός, ονομάζεται άρρητος αριθμός. ΜΕΡΟΣ Α. ΑΡΡΗΤΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ-ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ 69. ΑΡΡΗΤΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ-ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΑΡΡΗΤΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Κάθε αριθμός που δεν είναι ρητός, ονομάζεται άρρητος αριθμός. Για παράδειγμα ο αριθμός που στην προηγούμενη

Διαβάστε περισσότερα

6 Συνεκτικοί τοπολογικοί χώροι

6 Συνεκτικοί τοπολογικοί χώροι 36 6 Συνεκτικοί τοπολογικοί χώροι Έστω R διάστημα και f : R συνεχής συνάρτηση τότε, όπως γνωρίζουμε από τον Απειροστικό Λογισμό, η f έχει την ιδιότητα της ενδιάμεσου τιμής. Η ιδιότητα αυτή δεν εξαρτάται

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΛΟΠΟΝΝΗΣΟΥ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΛΟΠΟΝΝΗΣΟΥ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΛΟΠΟΝΝΗΣΟΥ ΤΜΗΜΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΤΜΗΜΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι 27 ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΥ 2016 ΕΙΣΑΓΩΓΗ Ο απειροστικός λογισμός αποτελείται από το διαφορικό και ολοκληρωτικό

Διαβάστε περισσότερα

f(x) f(c) x 1 c x 2 c

f(x) f(c) x 1 c x 2 c Μαθηματικός Λογισμός Ι Φθινόπωρο 2014 Σημειώσεις 1-12-14 Μ. Ζαζάνης 1 Πραγματικές Συναρτήσεις και Ορια Εστω S R ένα υποσύνολο του R και f : S R μια συνάρτηση με πεδίο ορισμού το S και τιμές στους πραγματικούς

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ 1 ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ ΑΡΙΘΜΩΝ EΞΙΣΩΣΕΙΣ...47 ΠΡΟΛΟΓΟΣ... 9

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ 1 ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ ΑΡΙΘΜΩΝ EΞΙΣΩΣΕΙΣ...47 ΠΡΟΛΟΓΟΣ... 9 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΠΡΟΛΟΓΟΣ... 9 1 ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ...11 1.1 Βασικές θεωρητικές γνώσεις... 11 1.. Λυμένα προβλήματα... 19 1. Προβλήματα προς λύση... 4 1.4 Απαντήσεις προβλημάτων Πραγματικοί αριθμοί... 0 ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ

Διαβάστε περισσότερα

Μ Α Θ Η Μ Α Τ Α Γ Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ

Μ Α Θ Η Μ Α Τ Α Γ Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Α Γ Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ (Α ΜΕΡΟΣ: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ) Επιμέλεια: Καραγιάννης Ιωάννης, Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών

Διαβάστε περισσότερα

- ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 6: ΜΗ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΟ ΟΡΙΟ ΣΤΟ

- ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 6: ΜΗ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΟ ΟΡΙΟ ΣΤΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 6: ΜΗ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΟ ΟΡΙΟ ΣΤΟ R - ΟΡΙΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΣΤΟ ΑΠΕΙΡΟ - ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΟ ΟΡΙΟ ΑΚΟΛΟΥΘΙΑΣ [Κεφ..6: Μη Πεπερασμένο Όριο στο R - Κεφ..7: Όρια Συνάρτησης

Διαβάστε περισσότερα

Πρόσθεση, αφαίρεση και πολλαπλασιασμός φυσικών αριθμών

Πρόσθεση, αφαίρεση και πολλαπλασιασμός φυσικών αριθμών Πρόσθεση, αφαίρεση και πολλαπλασιασμός φυσικών αριθμών TINΑ ΒΡΕΝΤΖΟΥ www.ma8eno.gr www.ma8eno.gr Σελίδα 1 Πρόσθεση, αφαίρεση και πολλαπλασιασμός φυσικών αριθμών Στους πραγματικούς αριθμούς ορίστηκαν οι

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Υπολογισμού Άρτιοι ΑΜ. Διδάσκων: Σταύρος Κολλιόπουλος. eclass.di.uoa.gr. Περιγραφή μαθήματος

Θεωρία Υπολογισμού Άρτιοι ΑΜ. Διδάσκων: Σταύρος Κολλιόπουλος. eclass.di.uoa.gr. Περιγραφή μαθήματος Περιγραφή μαθήματος Θεωρία Υπολογισμού Άρτιοι ΑΜ Σκοπός του μαθήματος είναι η εισαγωγή στη Θεωρία Υπολογισμού και στη Θεωρία Υπολογιστικής Πολυπλοκότητας (Θεωρία Αλγορίθμων). Διδάσκων: Σταύρος Κολλιόπουλος

Διαβάστε περισσότερα

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΕΥΡΙΠΙΔΟΥ 80 ΝΙΚΑΙΑ ΝΕΑΠΟΛΗ ΤΗΛΕΦΩΝΟ 0965897 ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΣΠΟΥΔΩΝ ΒΡΟΥΤΣΗ ΕΥΑΓΓΕΛΙΑ ΜΠΟΥΡΝΟΥΤΣΟΥ ΚΩΝ/ΝΑ ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Η έννοια του μιγαδικού

Διαβάστε περισσότερα

Ας θεωρήσουμε δύο πραγματικούς αριθμούς. Είναι γνωστό ότι:,. Αυτό σημαίνει ότι: «=», «

Ας θεωρήσουμε δύο πραγματικούς αριθμούς. Είναι γνωστό ότι:,. Αυτό σημαίνει ότι: «=», « .1 Στη παράγραφο αυτή θα γνωρίσουμε μερικές βασικές έννοιες της Λογικής, τις οποίες θα χρησιμοποιήσουμε στη συνέχεια, όπου αυτό κρίνεται αναγκαίο, για τη σαφέστερη διατύπωση μαθηματικών εννοιών, προτάσεων

Διαβάστε περισσότερα

7.Αριθμητική παράσταση καλείται σειρά αριθμών που συνδέονται με πράξεις μεταξύ τους. Το αποτέλεσμα της αριθμητικής παράστασης ονομάζεται τιμή της.

7.Αριθμητική παράσταση καλείται σειρά αριθμών που συνδέονται με πράξεις μεταξύ τους. Το αποτέλεσμα της αριθμητικής παράστασης ονομάζεται τιμή της. ΟΙ ΦΥΣΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Α.1.2 1. Οι ιδιότητες της πρόσθεσης των φυσικών αριθμών είναι οι εξής : Αντιμεταθετική ιδιότητα π.χ. α+β=β+α Προσετεριστική ιδιότητα π.χ. α+β+γ=(α+β)+γ=α+(β+γ) 2.Η πραξη της αφαίρεσης

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 2

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 2 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο ιδασκοντες: Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt014/nt014.html https://sites.google.com/site/maths4edu/home/14

Διαβάστε περισσότερα

Να υπολογίζουμε τη λύση ή ρίζα ενός πολυωνύμου της μορφής. Να υπολογίζουμε τη ν-οστή ρίζα ενός μη αρνητικού αριθμού.

Να υπολογίζουμε τη λύση ή ρίζα ενός πολυωνύμου της μορφής. Να υπολογίζουμε τη ν-οστή ρίζα ενός μη αρνητικού αριθμού. Ενότητα 3 Ρίζες Πραγματικών Αριθμών Στην ενότητα αυτή θα μάθουμε: Να υπολογίζουμε τη λύση ή ρίζα ενός πολυωνύμου της μορφής Ρ x x ν α. Να υπολογίζουμε τη ν-οστή ρίζα ενός μη αρνητικού αριθμού. Τις ιδιότητες

Διαβάστε περισσότερα

(a + b) + c = a + (b + c), (ab)c = a(bc) a + b = b + a, ab = ba. a(b + c) = ab + ac

(a + b) + c = a + (b + c), (ab)c = a(bc) a + b = b + a, ab = ba. a(b + c) = ab + ac Σημειώσεις μαθήματος Μ1212 Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Χρήστος Κουρουνιώτης ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ 2014 Κεφάλαιο 1 Διανυσματικοί Χώροι Στο εισαγωγικό μάθημα Γραμμικής Άλγεβρας ξεκινήσαμε μελετώντας

Διαβάστε περισσότερα

Ιστορία των Μαθηματικών

Ιστορία των Μαθηματικών ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΧΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 2: Τα Μαθηματικά στην αρχαία Ελλάδα. Χαρά Χαραλάμπους ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΧΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα

Διαβάστε περισσότερα

4.2 4.3 ΕΥΚΛΕΙ ΕΙΑ ΙΑΙΡΕΣΗ ΙΑΙΡΕΤΟΤΗΤΑ

4.2 4.3 ΕΥΚΛΕΙ ΕΙΑ ΙΑΙΡΕΣΗ ΙΑΙΡΕΤΟΤΗΤΑ 1 4.2 4.3 ΕΥΚΛΕΙ ΕΙΑ ΙΑΙΡΕΣΗ ΙΑΙΡΕΤΟΤΗΤΑ ΘΕΩΡΙΑ 1. Θεώρηµα Αν α, β ακέραιοι µε β 0, τότε υπάρχουν µοναδικοί ακέραιοι κ και υ, έτσι ώστε α = κβ + υ µε 0 υ < β. 2. Τέλεια διαίρεση Αν το υπόλοιπο υ της Ευκλείδειας

Διαβάστε περισσότερα

f I X i I f i X, για κάθεi I.

f I X i I f i X, για κάθεi I. 47 2 Πράξεις σε τοπολογικούς χώρους 2. Η τοπολογία γινόμενο Σε προηγούμενη παράγραφο ορίσαμε την τοπολογία γινόμενο στο καρτεσιανό γινόμενο Y δύο τοπολογικών χώρων Y, ( παράδειγμα.33 () ). Στην παρούσα

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγικά Παραδείγματα: Παρατηρήσεις:

Εισαγωγικά Παραδείγματα: Παρατηρήσεις: 1 Εισαγωγικά Η έννοια του συνόλου είναι πρωταρχική στα Μαθηματικά, δεν μπορεί δηλ. να οριστεί από άλλες έννοιες. Γενικά, μπορούμε να πούμε ότι σύνολο είναι μια συλλογή αντικειμένων. υτά λέμε ότι περιέχονται

Διαβάστε περισσότερα

Για να εκφράσουμε τη διαδικασία αυτή, γράφουμε: :

Για να εκφράσουμε τη διαδικασία αυτή, γράφουμε: : Η θεωρία στα μαθηματικά προσανατολισμού Γ υκείου Τι λέμε συνάρτηση με πεδίο ορισμού το σύνολο ; Έστω ένα υποσύνολο του Ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση με πεδίο ορισμού το μία διαδικασία (κανόνα), με την

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα

Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Κεφάλαιο 1. Μαθηματικό Υπόβαθρο 23, 26 Ιανουαρίου 2007 Δρ. Παπαδοπούλου Βίκη 1 1.1. Σύνολα Ορισμός : Σύνολο μια συλλογή από αντικείμενα Στοιχεία: Μέλη συνόλου Τα στοιχεία

Διαβάστε περισσότερα

R ισούται με το μήκος του. ( πρβλ. την ιστορική σημείωση 3.27 στο τέλος

R ισούται με το μήκος του. ( πρβλ. την ιστορική σημείωση 3.27 στο τέλος 73 3. Συμπαγείς χώροι 3. Συμπαγείς χώροι και βασικές ιδιότητες Οι συμπαγείς χώροι είναι μια από τις πιο σημαντικές κλάσεις τοπολογικών χώρων. Η κλάση των συμπαγών χώρων περιλαμβάνει τα κλειστά διαστήματα,b

Διαβάστε περισσότερα

1. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν γράφοντας την ένδειξη Σωστό ή Λάθος και να δικαιολογήσετε την απάντησή σας.

1. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν γράφοντας την ένδειξη Σωστό ή Λάθος και να δικαιολογήσετε την απάντησή σας. Κεφάλαιο Πραγματικοί αριθμοί. Οι πράξεις και οι ιδιότητές τους Κατανόηση εννοιών - Θεωρία. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν γράφοντας την ένδειξη Σωστό ή Λάθος και να δικαιολογήσετε την απάντησή

Διαβάστε περισσότερα

Ε π ι μ έ λ ε ι α Κ Ο Λ Λ Α Σ Α Ν Τ Ω Ν Η Σ

Ε π ι μ έ λ ε ι α Κ Ο Λ Λ Α Σ Α Ν Τ Ω Ν Η Σ Ε π ι μ έ λ ε ι α Κ Ο Λ Λ Α Σ Α Ν Τ Ω Ν Η Σ 1 Συναρτήσεις Όταν αναφερόμαστε σε μια συνάρτηση, ουσιαστικά αναφερόμαστε σε μια σχέση ή εξάρτηση. Στα μαθηματικά που θα μας απασχολήσουν, με απλά λόγια, η σχέση

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΠΡΟΟΔΟΣ. Σύμφωνα με τα παραπάνω, για μια αριθμητική πρόοδο που έχει πρώτο όρο τον ...

ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΠΡΟΟΔΟΣ. Σύμφωνα με τα παραπάνω, για μια αριθμητική πρόοδο που έχει πρώτο όρο τον ... ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΠΡΟΟΔΟΣ Ορισμός : Μία ακολουθία ονομάζεται αριθμητική πρόοδος, όταν ο κάθε όρος της, δημιουργείται από τον προηγούμενο με πρόσθεση του ίδιου πάντοτε αριθμού. Ο σταθερός αριθμός που προστίθεται

Διαβάστε περισσότερα

Οριακά σημεία ακολουθιών

Οριακά σημεία ακολουθιών Οριακά σημεία ακολουθιών Ο πραγματικός αριθμός ξ καλείται οριακό σημείο της ακολουθίας πραγματικών αριθμών α ν όταν για κάθε θετικό αριθμό ε>0, και κάθε φυσικό αριθμό Ν υπάρχει φυσικός αριθμός n N έτσι

Διαβάστε περισσότερα

lim y < inf B + ε = x = +. f(x) =

lim y < inf B + ε = x = +. f(x) = ΣΧΟΛΗ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ & ΦΥΣΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Εξετάσεις στη Μαθηματική Ανάλυση Ι ΟΜΑΔΑ: Α 8 Μαρτίου, 0 Θέμα. (αʹ) Εστω A, B μη κενά σύνολα πραγματικών αριθμών τέτοια ώστε x y, για

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά. Ενότητα 2: Δεκαδικοί αριθμοί, κλάσματα, δυνάμεις, ρίζες και ποσοστά. Σαριαννίδης Νικόλαος Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής

Μαθηματικά. Ενότητα 2: Δεκαδικοί αριθμοί, κλάσματα, δυνάμεις, ρίζες και ποσοστά. Σαριαννίδης Νικόλαος Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής Μαθηματικά Ενότητα 2: Δεκαδικοί αριθμοί, κλάσματα, δυνάμεις, ρίζες και ποσοστά Σαριαννίδης Νικόλαος Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες

Διαβάστε περισσότερα

Ακολουθίες πραγματικών αριθμών

Ακολουθίες πραγματικών αριθμών ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ακολουθίες πραγματικών αριθμών Όταν διαδοχικές τιµές που παίρνει µία μεταβλητή προσεγγίζουν απεριόριστα µία συγκεκριµένη τιµή έτσι ώστε τελικά να διαφέρουν από αυτήν λιγότερο από όσο επιθυµεί

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενα. Πρόλογος 3

Περιεχόμενα. Πρόλογος 3 Πρόλογος Η Γραμμική Άλγεβρα είναι ένα σημαντικό συστατικό στο πρόγραμμα σπουδών, όχι μόνο των Μαθηματικών, αλλά και άλλων τμημάτων, όπως είναι το τμήμα Φυσικής, Χημείας, των τμημάτων του Πολυτεχνείου,

Διαβάστε περισσότερα

Ανάλυση Γ Λυκείου όριο συνάρτησης στο xο. 0, τότε

Ανάλυση Γ Λυκείου όριο συνάρτησης στο xο. 0, τότε Ανάλυση Γ Λυκείου όριο συνάρτησης στο ο Ιδιότητες των ορίων Όριο και διάταξη ΘΕΩΡΗΜΑ ο Αν f >, τότε f > κοντά στο Αν f

Διαβάστε περισσότερα

Α. ΔΙΑΤΑΞΗ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ

Α. ΔΙΑΤΑΞΗ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ΜΕΡΟΣ Α.5 ΑΝΙΣΟΤΗΤΕΣ-ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΜΕ ΕΝΑΝ ΑΓΝΩΣΤΟ 9. 5 ΑΝΙΣΟΤΗΤΕΣ- ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΜΕ ΕΝΑΝ ΑΓΝΩΣΤΟ Α. ΔΙΑΤΑΞΗ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ΟΡΙΣΜΟΙ Εάν έχουμε δύο πραγματικούς αριθμούς α και β τότε λέμε ότι ο α είναι μεγαλύτερος

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά. Ενότητα 1: Οι Αριθμοί. Σαριαννίδης Νικόλαος Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής

Μαθηματικά. Ενότητα 1: Οι Αριθμοί. Σαριαννίδης Νικόλαος Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής Μαθηματικά Ενότητα 1: Οι Αριθμοί Σαριαννίδης Νικόλαος Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό,

Διαβάστε περισσότερα

2.3 Πολυωνυμικές Εξισώσεις

2.3 Πολυωνυμικές Εξισώσεις . Πολυωνυμικές Εξισώσεις η Μορφή Ασκήσεων: Ασκήσεις που μας ζητούν να λύσουμε μια πολυωνυμική εξίσωση.. Να λυθούν οι εξισώσεις: i. + + + 6 = 0 ii. 7 = iii. ( + ) + 7 = 0 iv. 8 + 56 = 0 i. + + + 6 = 0 (

Διαβάστε περισσότερα

Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΖΕΡΒΟΣ ΜΑΝΟΛΗΣ

Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΖΕΡΒΟΣ ΜΑΝΟΛΗΣ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΖΕΡΒΟΣ ΜΑΝΟΛΗΣ 1 ΜΕΡΟΣ Α ΚEΦΑΛΑΙΟ 1 Ο ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ 1.1 ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΥΣ ΑΡΙΘΜΟΥΣ Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους 1. ΕΡΩΤΗΣΗ Τι ονομάζουμε

Διαβάστε περισσότερα

Ρητοί αριθμοί λέγονται οι αριθμοί που έχουν ή μπορούν να πάρουν τη μορφή

Ρητοί αριθμοί λέγονται οι αριθμοί που έχουν ή μπορούν να πάρουν τη μορφή ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ (ΕΙΣΑΓΩΓΗ)-ΘΕΩΡΕΙΑ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Το σύνολο των πραγματικών αριθμών Υπενθυμίζουμε ότι το σύνολο των πραγματικών αριθμώv αποτελείται από τους ρητούς και τους άρρητους αριθμούς και παριστάνεται

Διαβάστε περισσότερα

1.1 ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΥΣ ΑΡΙΘΜΟΥΣ. Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) είναι πραγματικός, γ) Το 3 είναι άρρητος,

1.1 ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΥΣ ΑΡΙΘΜΟΥΣ. Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) είναι πραγματικός, γ) Το 3 είναι άρρητος, . ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΥΣ ΑΡΙΘΜΟΥΣ Τηλ 0676-7 /0600 Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους. Να συμπληρωθούν τα κενά ώστε στην κατακόρυφη στήλη να προκύψει το έτος γέννησης σας : +....= 9.. = ( -

Διαβάστε περισσότερα

2.1 ΠΡΑΞΕΙΣ ΚΑΙ ΟΙ ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΤΟΥΣ

2.1 ΠΡΑΞΕΙΣ ΚΑΙ ΟΙ ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΤΟΥΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΟΙ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. ΠΡΑΞΕΙΣ ΚΑΙ ΟΙ ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΤΟΥΣ Ρητός ονομάζεται κάθε αριθμός που έχει ή μπορεί να πάρει τη μορφή κλάσματος, όπου, είναι ακέραιοι με 0. Ρητοί αριθμοί : Q /, 0. Έτσι π.χ.

Διαβάστε περισσότερα

4.6 Η ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΔΙΟΦΑΝΤΙΚΗ ΕΞΙΣΩΣΗ

4.6 Η ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΔΙΟΦΑΝΤΙΚΗ ΕΞΙΣΩΣΗ 174 46 Η ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΔΙΟΦΑΝΤΙΚΗ ΕΞΙΣΩΣΗ Εισαγωγή Ένα από τα αρχαιότερα προβλήματα της Θεωρίας Αριθμών είναι η αναζήτηση των ακέραιων αριθμών που ικανοποιούν κάποιες δεδομένες σχέσεις Με σύγχρονη ορολογία

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2. Γραμμικοί Κώδικες. 2.1 Η έννοια του Γραμμικού κώδικα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2. Γραμμικοί Κώδικες. 2.1 Η έννοια του Γραμμικού κώδικα ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Γραμμικοί Κώδικες 2.1 Η έννοια του Γραμμικού κώδικα Μέχρι τώρα θεωρούσαμε έναν κώδικα C με παραμέτρους (n, M, d) απλώς ως ένα υποσύνολο του συνόλου A n, όπου A είναι ένα αλφάβητο. Είχαμε, όμως,

Διαβάστε περισσότερα

Pragmatikèc Sunart seic miac Metablht c

Pragmatikèc Sunart seic miac Metablht c Aˆlush Prgmtikèc Surt seic mic Metblht c Μιχάλης Παπαδημητράκης Τμήμα Μαθηματικών Πανεπιστήμιο Κρήτης Στη Μαρία και στα παιδιά μας, Μυρτώ και Δημήτρη. 3 4 Proktrktikˆ. Το αντικείμενο αυτών των σημειώσεων

Διαβάστε περισσότερα

Βασικές Γνώσεις Μαθηματικών Α - Β Λυκείου

Βασικές Γνώσεις Μαθηματικών Α - Β Λυκείου Βασικές Γνώσεις Μαθηματικών Α - Β Λυκείου Αριθμοί 1. ΑΡΙΘΜΟΙ Σύνολο Φυσικών αριθμών: Σύνολο Ακέραιων αριθμών: Σύνολο Ρητών αριθμών: ακέραιοι με Άρρητοι αριθμοί: είναι οι μη ρητοί π.χ. Το σύνολο Πραγματικών

Διαβάστε περισσότερα

Μ Α Θ Η Μ Α Τ Α Γ Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ

Μ Α Θ Η Μ Α Τ Α Γ Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Α Γ Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ (Α ΜΕΡΟΣ: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ) Επιμέλεια: Καραγιάννης Ιωάννης, Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ. Το 1ο Θέμα στις πανελλαδικές εξετάσεις

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ. Το 1ο Θέμα στις πανελλαδικές εξετάσεις Επιμέλεια Καραγιάννης Β. Ιωάννης Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Το ο Θέμα στις πανελλαδικές εξετάσεις Ερωτήσεις+Απαντήσεις

Διαβάστε περισσότερα