Σημειώσεις Ανάλυσης Ι. Θεωρούμε γνωστούς τους φυσικούς αριθμούς

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Σημειώσεις Ανάλυσης Ι. Θεωρούμε γνωστούς τους φυσικούς αριθμούς"

Transcript

1 Σημειώσεις Ανάλυσης Ι 1. Οι ρητοί αριθμοί Θεωρούμε γνωστούς τους φυσικούς αριθμούς 1, 2, 3, και τις πράξεις (πρόσθεση - πολλαπλασιασμό)μεταξύ αυτών. Οι φυσικοί αριθμοί είναι επίσης διατεταγμένοι με κάποια σειρά και οι σχέσεις διάταξης σημειώνεται με τα συμβολα ανισότητας > και <. Μέσω της πρόσθεσης (στην προσπάθεια να λύσουμε εξισώσεις της μορφής β + x = α) οι φυσικοί αριθμοί γενικεύονται στους ακεραίους, 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3,, και έπειτα μέσω του πολλαπλασιασμού (στην προσπάθεια να λύσουμε εξισώσεις της μορφής β x = α) στους ρητούς που γράφονται ως α/β, όπου α και β ακέραιοι (με β 0). Η διάταξη στους ρητούς ορίζεται ως εξής: Είναι αν α β > γ δ αδ > βγ (στην περίπτωση που ο ρητός είναι θετικός θεωρούμε ότι και ο αριθμητής και ο παρονομαστής είναι θετικοί, ενώ αν είναι αρνητικός θεωρούμε ότι μόνο ο αριθμητής και όχι ο παρονομαστής είναι αρνητικός). Οι ρητοί έχουν μία ιδιαίτερη και μη προφανή ιδιότητα που τους ξεχωρίζει από τους ακέραιους και τους φυσικούς: μεταξύ δύο οποιονδήποτε ρητών υπάρχει και άλλος ρητός και επομένως υπάρχουν άπειροι ρητοί. Πράγματι, αν α β > γ δ για κάθε φυσικό ν, ο ρητός α + νγ β + νδ βρίσκεται μεταξύ των α/β και γ/δ. (Ένας άλλος τρόπος να το δει αυτός είναι να καταστήσει τα δύο κλάσματα ομώνυμα και επιπλεόν να πολλαπλασιάσει αριθμητές και παρονομαστές επί 2.) 1

2 Οι ρητοί, παρότι πυκνά διατεταγμένοι, δεν εξαντλούν όμως όλους του αριθμούς. Μάλιστα μεταξύ των ρητών αριθμών υπάρχει τεράστιος αριθμός κενών και πιο συγκεκριμένα μη αριθμήσιμο πλήθος κενών. Αυτό έγινε αντιληπτό, μάλλον πρώτα από τους Έλληνες, όταν κατάλαβαν ότι η διαγώνιος ενός τετραγώνου με πλευρές μοναδιαίου μήκους δεν μπορεί να είναι ρητός αριθμός. Αυτός ο αριθμός, καθώς και όλοι εκείνοι οι αριθμοί που συμπληρώνουν τα κενά μεταξύ των ρητών, ονομάστηκαν άρρητοι διότι δεν μπορεί να ειπωθούν (θα δούμε το λόγο). Αυτή η παρατήρηση αποτελεί μία από τις πιο σημαντικές ανακάλυψεις στα μαθηματικά και τη βάση για τη δόμηση της φυσικής που βασίζεται σε συνεχείς συναρτήσεις 1. Oι επιπτώσεις αυτής της πλήρωσης των ρητών αποτελεί κεντρικό θέμα της Ανάλυσης Ι. Η απόδειξη που ακολουθεί για το άρρητο του 2 αποδίδεται στους Πυθαγορείους και αναφέρεται από τον Αριστοτέλη, ως χαρακτηριστικό παράδειγμα αποδείξεων δια της προς άτοπον απαγωγής. Θεώρημα: Δεν υπάρχει ρητός αριθμός με τετράγωνο ίσο με 2. Απόδειξη: Ας υποθέσουμε ότι ο α/β είναι ρητός αριθμός με την ιδιότητα α 2 /β 2 = 2. Oι ακέραιοι α, β μπορούν πάντα να απλοποιηθούν και να καταστούν, αν αρχικά δεν ήταν, μεταξύ τους πρώτοι, δηλαδή να μην έχουν άλλο κοινό διαιρέτη εκτός από το 1. Συνεπώς υποθέτουμε ότι υπάρχει ρητός α/β τέτοιος ώστε α 2 /β 2 = 2 και οι α και β δεν έχουν κοινό διαιρέτη διάφορο της μονάδας. Έχουμε λοιπόν: α 2 = 2β 2, συνεπώς ο α, επειδή έχει άρτιο τετράγωνο, πρέπει να είναι και αυτός άρτιος, δηλαδή είναι α = 2m με m κάποιον ακέραιο. Συνεπώς: β 2 = 2m 2 και ο β είναι και αυτός άρτιος, δηλαδή β = 2n. Άρα οι α και β έχουν κοινό διαιρέτη τον 2 αντίθετα με την αρχική υπόθεση, όπερ άτοπον και επομένως η υπόθεση μας δεν ειναι δυνατόν να ισχύει, ό.έ.δ. 1 Ο Ιππάσιος από το Μεταπόντιον της κάτω Ιταλίας τον 5ο π.χ. αιώνα αναφέρεται ως ο πρώτος που απέδειξε οτι ο 2 είναι άρρητος αριθμός. Ο Ιππάσιος ήταν Πυθαγόρειος και αναφέρεται ότι επειδή αυτή η απόδειξη ερχόταν σε αντίθεση με την Πυθαγόρεια διδασκαλία, θανατώθηκε από τους Πυθαγόρειους οι οποίοι τον έπνιξαν στη θάλασσα. Ο Πλάτων αναφέρει στον Θεαίτητο ότι άκουσε για τους άρρητους αριθμούς από τον δάσκαλό του τον Θεόδωρο της Κυρήνειας. Ο Ευκλείδης δίνει στο δέκατο βιβλίο των Στοιχείων μια ενδιαφέρουσα κατασκευαστική απόδειξη του θεωρήματος αυτού και αναφέρει ότι η απόδειξη αυτή είναι σίγουρα αρχαία. 2

3 2. Πλήρωση των κενών των ρητών με τομές Dedekind. Κατασκευή των πραγματικών αριθμών. Ας θεωρήσουμε τον ρητό /33 = (δείξτε ότι η περιοδικότητα αυτού του αριθμού συνεπάγεται τη ρητότητα του αριθμού). Χωρίζουμε τους ρητούς σε δύο τάξεις. Στη τάξη X ανήκουν όλοι οι ρητοί που είναι μικρότεροι ή ίσοι του 7 8. Στη τάξη Ψ ανήκουν όλοι οι ρητοί που είναι 33 μεγαλύτεροι του 7 8. Ρητοί αριθμοί που ανήκουν στη τάξη X είναι: , 7.1,..., 7.24, 7.23,..., 7.242, 7.241,..., , ,... Ρητοί αριθμοί που ανήκουν στη τάξη Ψ είναι: 7.3, 7.4,..., 7.25, 7.26,..., 7.243, 7.244,..., , ,... Με τον τρόπο αυτό χωρίσαμε όλους τους ρητούς σε δύο τάξεις. Στην τάξη (X) είναι όλοι οι ρητοί που είναι μικρότεροι ή ίσοι από τον 7 8/33, στην τάξη (Ψ) είναι όλοι οι ρητοί που είναι μεγαλύτεροι από τον 7 8/33. Κάθε δε ρητος που είναι στη τάξη (X) είναι μικρότερος όλων των ρητών της τάξης (Ψ). Θα λέμε ότι αυτός ο χωρισμός όλων των ρητών σε δύο τάξεις που είναι διατεταγμένες έτσι ώστε όλοι οι ρητοί της πρώτης τάξης να είναι μικρότεροι από όλους τους ρητούς της δεύτερης τάξης αποτελεί μία τομή του Dedekind (1872). Τώρα, σε κάθε τομή Dedekind το σύμβολο (X,Ψ) αντιστοιχεί σε ένα απο τα ακόλουθα: τον μεγαλύτερο αριθμό της τάξης (X), ο οποίος και ανήκει στην τάξη (X), οπότε ο (X,Ψ) είναι ρητός. τον μικρότερο αριθμό της τάξης (Ψ), ο οποίος και ανήκει στην τάξη (Ψ), οπότε ο (X,Ψ) είναι και πάλι ρητός. 2 στο νέο αριθμό (X,Ψ) που είναι μεγαλύτερος όλων των ρητών της (X) και μικρότερος όλων της (Ψ), όταν δεν υπάρχει μεγαλύτερος αριθμός στην τάξη (X) ούτε μικρότερος στην τάξη (Ψ). Αυτός ο νέος αριθμός λέγεται άρρητος. 2 Είναι φανερό ότι δεν μπορεί να υπάρχει αριθμός τ που να είναι μεγαλύτερος όλων της (X) και να ανήκει στην (X) και άλλος αριθμός λ που να είναι μικρότερος όλων της (Ψ) και να ανήκει στην (Ψ), διότι τότε ο ρητός (τ + λ)/2 που βρίσκεται μεταξύ τους δεν είναι ούτε στη τάξη (X), ούτε στην (Ψ), οπότε θα υπήρχε ρητός εκτός των δύο τάξεων, που δεν είναι δυνατόν διότι εξ υποθέσεως οι (X) και (Ψ) εξαντλούν όλους τους ρητούς. 3

4 Στην περίπτωση της τομής (X,Ψ) του παραδείγματος, η τομή είναι ο ρητός 7 8/33 που είναι ο μεγαλύτερος της τάξης (X). Όλοι οι ρητοί μπορούν να ορισθούν με αυτό τον τρόπο. Η ενδιαφέρουσα περίπτωση είναι όμως η τρίτη περίπτωση όταν δεν υπάρχει μεγαλύτερος ρητός στην (X) ούτε μικρότερος στην (Ψ). Θεωρήστε την τάξη (X) που αποτελείται από όλους τους ρητούς x για τους οποίους είναι x 2 < 2 και την τάξη (Ψ) που αποτελείται από όλους τους ρητούς x για τους οποίους είναι x 2 > 2. Αυτές οι δύο τάξεις εξαντλούν τους ρητούς διότι έχουμε δείξει ότι δεν υπάρχει ρητός που να έχει τετράγωνο 2. Κάθε ρητός της (X) είναι μικρότερος από κάθε ρητό της (Ψ). Επίσης δεν υπάρχει ρητός που να είναι ο μεγαλύτερος της (X) και ομοίως δεν υπάρχει ρητός που να είναι μικρότερος της (Ψ). 3 Η τομή (X,Ψ) ορίζει τον άρρητο 2. Όλοι οι αριθμοί που προκύπτουν με τομές Dedekind, οι ρητοί (που ανήκουν στη Χαμηλή ή στην Ψηλή τάξη) και οι άρρητοι (που δεν ανήκουν στη Χαμηλή ή στην Ψηλή τάξη), λέγονται πραγματικοί αριθμοί. Οι πραγματικοί αριθμοί κληρονομούν τις πράξεις που έχουμε ορίσει στους ρητούς καθώς και τη διάταξη. Έχουν όμως πληρότητα και τα κενά που εντοπίσαμε στους ρητούς εξαλείφονται πλήρως. Π.χ. μεταξύ δύο ρητών υπάρχει πάντα άρρητος αριθμός, και μεταξύ δύο αρρήτων υπάρχει πάντα ρητός (απόδειξη αργότερα). Αυτό αποτυπώνεται στο βασικό αξίωμα της πληρότητας των πραγματικών αριθμών. Με το αξίωμα βεβαιώνεται ότι όλες οι τομές ρητών αριθμών ορίζουν πραγματικούς αριθμούς. Αξίωμα Dedekind Aν με οποιονδήποτε τρόπο όλοι οι πραγματικοί αριθμοί χωρισθούν σε δύο τάξεις (X) και (Ψ) έτσι ώστε κάθε αριθμός στην (X) να είναι μικρότερος από κάθε αριθμό της τάξης (Ψ), τότε υπάρχει ένας και μοναδικός πραγματικός αριθμός ξ τέτοιος ώστε κάθε αριθμός μικρότερος του ξ να ανήκει στην τάξη (X) και κάθε μεγαλύτερος να ανήκει στη τάξη (Ψ). Ο αριθμός ξ θα ανήκει στη τάξη (X) ή στη τάξη (Ψ). Αν ανήκει στη τάξη (X) θα είναι ο μεγαλύτερος αριθμός αυτής της τάξης, ενώ αν ανήκει στην (Ψ) θα είναι ο μικρότερος της (Ψ). 3. Άνω και κάτω φράγμα συνόλων πραγματικών αριθμών. Θεώρημα της πληρότητας. Ανώτερο και κατώτερο πέρας. Θεωρήστε τους εξής αριθμούς: A. Όλοι οι πρώτοι αριθμοί. Β. Οι ρητοί x που ικανοποιούν 1 x 2. 3 Διότι αν α/β είναι ο μεγαλύτερος ρητός της τάξης (X) ο (α + 2β)/(α + β) > α/β (δείξτε το) και το τετράγωνο του είναι μικρότερο του 2 (δείξτε το) και συνεπώς ανήκει στην τάξη (X), όπερ άτοπον. Η αντίστοιχη κατασκευή (2α + β)/(α + β) ισχύει και για τη τάξη (Ψ). 4

5 Γ. Οι πραγματικοί x που ικανοποιούν τη σχέση 1 x 2. Δ. Οι πραγματικοί x που ικανοποιούν τη σχέση 1 < x < 2. Όλα αυτά τα σύνολα έχουν άπειρο πλήθος στοιχείων. 4 Στην περίπτωση (Α) δεν υπάρχει αριθμός M που είναι μεγαλύτερος όλων των στοιχείων του συνόλου. Στις περιπτώσεις (Β), (Γ), (Δ) υπάρχουν αριθμοί που είναι μεγαλύτεροι όλων των στοιχείων των συνόλων, π.χ. ο 2 και οποιοσδήποτε μεγαλύτερός του, και αριθμοί που είναι μικρότεροι όλων των στοιχείων των συνόλων, π.χ. ο 1 και όλοι οι μικρότεροί του. Αν υπάρχει αριθμός M τέτοιος ώστε x M για κάθε x του συνόλου, ο M ονομάζεται ανώτερο φράγμα του συνόλου και το σύνολο καλείται φραγμένο άνωθεν (ομοίως για το κατώτερο φράγμα). Αν το σύνολο είναι φραγμένο και άνωθεν και κάτωθεν ονομάζεται φραγμένο. Τα σύνολα (Β),(Γ),(Δ) είναι φραγμένα. Άλλα παραδείγματα: Για το σύνολο αριθμών της ακολουθίας (α) = 1, 1 2, 1 3, 1 4,... ανώτερα φράγματα είναι η μονάδα και κάθε αριθμός μεγαλύτερος της μονάδας. Για το σύνολο των αριθμών της ακολουθίας (β) = 1, , ,..., κατώτερα φράγματα είναι η μονάδα και κάθε αριθμός μικρότερος της μονάδας. (Ελέγξτε αν υπάρχουν ανώτερα φράγματα.) Τα ανώτερα φράγματα του (α) σχηματίζουν το σύνολο των ανωτέρων φραγμάτων. Το σύνολο αυτό έχει ελάχιστο τον αριθμό 1. Ο ελάχιστος αριθμός των ανωτέρων φραγμάτων λέγεται ανώτερο πέρας ή supremum. Τα κατώτερα φράγματα της (β) σχηματίζουν το σύνολο των κατώτερων φραγμάτων. Το σύνολο αυτό έχει μέγιστο τον αριθμό 1. Ο μέγιστος αριθμός των κατωτέρων φραγμάτων λέγεται κατώτερο πέρας ή infimum. 4 Η απόδειξη ότι οι πρώτοι αριθμοί είνα άπειροι, απόδειξη που οφείλουμε στον Ευκλείδη, θεωρείται από τις σημαντικότερες αποδείξεις (εντελώς διαφορετικού τύπου απόδειξη από αυτήν που συναντήσαμε παραπάνω) και την παραθέτουμε όπως μας την παρέδωσε ο Ευκλείδης: Έστω 2, 3, 5,..., ν όλοι οι πρώτοι αριθμοί. Ο αριθμός µ = ν + 1 εύκολα μπορούμε να δείξουμε ότι δεν διαρείται από κανέναν απο τους 2, 3, 5,..., ν. Συνεπώς ο µ είναι και αυτός πρώτος ή διαρείται από κάποιο πρώτο που είναι μεταξύ ν και µ. Σε κάθε περίπτωση υπάρχει πρώτος αριθμός που είναι μεγαλύτερος από τον ν, και συνεπώς η πρόταση ότι υπάρχει μεγαλύτερος πρώτος δεν αληθεύει. Συνεπώς οι πρώτοι αριθμοί δεν έχουν πεπερασμένο πλήθος. 5

6 Θα αποδείξουμε ότι σύνολα πραγματικών που είναι άνωθεν φραγμένα έχουν ανώτερο πέρας και σύνολα κάτωθεν φραγμένα έχουν κατώτερο πέρας. Η υπάρξη supremum ή sup και infimum ή inf σε αυτές τις περιπτώσεις είναι το περιεχόμενο του επομένου θεωρήματος. Έστω Σ κάποιο άνωθεν φραγμένο σύνολο πραγματικών αριθμών. Θα συμβολίζουμε με Σ το σύνολο των ανώτερων φραγμάτων του. Θεώρημα της πληρότητας: Ένα άνωθεν φραγμένο σύνολο Σ έχει ανώτερο πέρας δηλαδή στο σύνολο των ανώτερων φραγμάτων Σ υπάρχει πάντα ελάχιστος αριθμός ξ, δηλ. υπάρχει κάποιος αριθμός ξ που (i) ανήκει στο Σ και (ii) δεν υπάρχει αριθμός του Σ που να είναι μικρότερος του ξ (το (i) εξασφαλίζει ότι είναι άνω φράγμα και το (ii) ότι είναι το μικρότερο από αυτά). X Ø Ó î ë Σχήμα 1: Η θέση των διαφόρων τάξεων, στοιχείων κλπ που αναφέρονται στην απόδειξη. Προσοχή ο αριθμός ξ μπορεί να ανήκει ή να μην ανήκει στο Σ. Ανήκει όμως στην τάξη Ψ. Απόδειξη: Χωρίζουμε όλους τους πραγματικούς αριθμούς σε δύο τάξεις. Η τάξη Ψ περιλαμβάνει όλα τα άνω φράγματα του συνόλου Σ (η τάξη Ψ είναι το σύνολο Σ ). Στην τάξη X ανήκουν όλοι οι υπόλοιποι πραγματικοί αριθμοί. Ο αριθμός x κατατάσσεται στη τάξη Ψ αν είναι μεγαλύτερος ή ίσος απο όλα τα στοιχεία του Σ, δηλαδή x σ για κάθε στοιχείο σ που ανήκει στο Σ. Ο αριθμός x κατατάσσεται στη τάξη X αν υπάρχει στοιχείο σ του Σ που είναι μεγαλύτερο του x, δηλαδή σ > x για κάποιο στοιχείο του Σ. Τα σύνολα X και Ψ δεν είναι κενά. Το Ψ δεν είναι κενό διότι εξ υποθέσεως είναι φραγμένο άνωθεν, οπότε κάθε ανώτερο φράγμα του ανήκει στο Ψ. To X δεν είναι κενό διότι αν το σ είναι κάποιο στοιχείο του Σ τότε το x = σ 1 θα ανήκει στο X. Κάθε στοιχείο x του X είναι μικρότερο από κάθε στοιχείο y του Ψ. Διότι υπάρχει στοιχείο του Σ που είναι σ > x και το y είναι μεγαλύτερο ή ίσο απο κάθε σ. Ο διαχωρισμός αυτός σε δύο τάξεις είναι ακριβώς η περίπτωση του αξιώματος Dedekind αφού όλα τα στοιχεία της Ψ είναι μεγαλύτερα από όλα τα στοιχεία της X και οι δύο τάξεις περιλαμβάνουν όλους τους πραγματικούς αριθμούς. 6

7 Από το αξίωμα του Dedekind οι δύο αυτές τάξεις ορίζουν έναν αριθμό (αυτόν ανάμεσά τους) ξ, τέτοιος ώστε για κάθε θετικό ϵ ο ξ ϵ ανήκει στο X και ο ξ + ϵ στο Ψ. Το αξίωμα του Dedekind ο αριθμός ξ μπορεί να ανήκει ή στο Ψ ή στο X. Θα δείξουμε ότι ο ξ ανήκει στην Ψ (και όχι στην (X)). Αν ο ξ ανήκε στο X θα υπήρχε κάποιο σ του Σ που θα ήταν σ > ξ. Αν ορίσουμε το ενδιάμεσό τους αριθμό η = (σ + ξ)/2 τότε θα ισχύει η ανισότητα σ > η > ξ. Απο την ανισότητα προκύπτει ότι το η ανήκει στο Ψ επειδή είναι η > ξ οπότε από τον ορισμό του Ψ θα πρέπει να είναι σ η, που οδηγεί σε άτοπο διότι εκ κατασκευής ισχύει η ανισότητα σ > η. Αποδείξαμε ότι ο ξ έχει τις εξής ιδιότητες: α) σ ξ για κάθε στοιχείο σ του Σ και (β) και για κάθε ξ ϵ μικρότερο του ξ υπάρχει σ που είναι σ > ξ ϵ. Η ιδιότητα (α) δείχνει ότι το ξ είναι άνω φράγμα του Σ και η ιδιότητα (β) δείχει ότι είναι το μικρότερο άνω φράγμα. 4. Η κατανομή των ακεραίων και των ρητών αριθμών Με τις τομές Dedekind κατασκεύασαμε το σώμα των πραγματικών αριθμών που έχει εφοδιασθεί εκτός από τις πράξεις της πρόσθεσης και του γινομένου και των σχέσεων διάταξης με την επιπρόσθετη κρίσιμη ιδιότητα της πληρότητας. Αυτή η ιδιότητα μας επιτρέπει να αναπτύξουμε μαθηματική θεωρία που μπορεί να περιγράψει το φυσικό κόσμο. Θα δώσουμε μερικές εφαρμογές του θεωρήματος της πληρότητας οι οποίες μπορεί να φαίνονται προφανείς ή κάπως σχολαστικές. Ο λόγος που τις περιλαμβάνουμε είναι για να καταλάβουμε λίγο περισσότερο τις επιπτώσεις της κατασκευής του Dedekind και για να αποκτήσουμε μεγαλύτερη οικειότητα με τον τρόπο χρήσης του θεωρήματος της πληρότητας. Θα γίνει έτσι περισσότερο κατανοητή η σημασία της κατασκευής του Dedekind. Σκοπός μας είναι να αποδείξουμε δύο θεωρήματα για τη κατανομή των ακεραίων και των ρητών. Θα επιλέξουμε όλους τους αριθμούς να είναι θετικοί για να αποφύγουμε τη περιπτωσιολογία. Οι αποδείξεις που θα δώσουμε εύκολα προσαρμόζονται αν δεν κάνουμε αυτή την παραδοχή. Θα αποδείξουμε α) ότι για α > 0 υπάρχει μόνο ένας θετικός ακέραιος στο διάστημα [α, α + 1). β) οτι για κάθε β > α > 0 υπάρχει ρητός r αναμέσα τους, που είναι β > r > α. Και οι δύο παραπάνω ιδιότητες προκύπτουν απο μία άλλη ιδιότητα την οποία διατύπωσε ο Αρχιμήδης (Αξίωμα 5 στο βιβλίο του Περί σφαίρας και κυλίνδρου ) 5 και η οποία στο πλαίσιο της κατασκευής των πραγματικών αριθμών που παρουσιάσαμε είναι πόρισμα της πληρότητας. Η ιδιότης αυτή βεβαιώνει ότι για 5 O Αρχιμήδης αποδίδει το αξίωμα αυτό στον θεώρημα του Ευδόξου. Επίσης η ιδιότης αυτη εμφανίζεται και στα Στοιχεία του Ευκλείδη (βιβλίο 5 ορισμός 4). 7

8 κάθε πραγματικό α > 0 υπάρχει κάποιος θετικός ακέραιος ν που ικανοποιεί την ανισότητα 1/ν < α ή ότι για κάθε πραγματικό β > 0 υπάρχει κάποιος θετικός ακέραιος ν μεγαλύτερος του β. Η Αρχιμήδεια ιδιότητα βεβαιώνει ότι υπάρχουν οσοδήποτε μικροί και μεγάλοι πραγματικοί αριθμοί. Αρχιμήδεια Ιδιότητα: Για κάθε α > 0 και β > 0 υπάρχει ακέραιος ν > 0 που ικανοποιεί την ανισότητα να > β. Απόδειξη: Ας υποθέσουμε ότι δεν ισχύει η Αρχιμήδεια ιδιότητα. Τότε υπάρχουν α > 0 και β > 0 τέτοια ώστε να είναι να β για κάθε ν > 0. Ας θεωρήσουμε το σύνολο Σ που έχει ως στοιχεία του τα να. Τότε το σύνολο Σ είναι άνωθεν φραγμένο δεδομένου ότι το β είναι άνω φράγμα του Σ. Έστω ότι το supremum του Σ είναι το ξ, και γράφουμε ξ = sup Σ. Τότε ξ α < ξ και θα υπάρχει ακέραιος ν 0 που ικανοποιεί την ανισότητα ξ α < ν 0 α. Αλλά τότε ξ < (ν 0 + 1)α που είναι άτοπο διότι το ξ είναι μεγαλύτερο ή ίσο απο τα να για κάθε ν. Άρα ισχύει η Αρχιμήδεια ιδιότητα. Μπορούμε τώρα να χρησιμοποιήσουμε την Αρχιμήδεια ιδιότητα για να αποδείξουμε πρώτα την πιο εύκολη πρόταση ότι μεταξύ δύο ρητών υπάρχει πάντοτε άρρητος. Εστω r 1 > r 2 δύο ρητοί αριθμοί. Τότε απο την Αρχιμήδεια ιδιότητα γνωρίζουμε ότι υπάρχει ν τέτοιο ώστε ν(r 1 r 2 ) > 2 ή r 1 > r 2 + 2/ν. O αριθμός ξ = r 2 + 2/ν είναι άρρητος και ικανοποιεί την ανισότητα r 1 > ξ > r 2, και με τον τρόπο αυτό κατασκευάσαμε άρρητο μεταξύ των δύο ρητών. Μάλιστα η κατασκευή αυτή μας οδηγεί στην κατασκευή απείρων αρρήτων μεταξύ των δύο αυτών ρητών. Σκεφθείτε αν με τον ίδιο τρόπο μπορούμε να δείξουμε ότι μεταξύ δύο αρρήτων υπάρχει απειρία αρρήτων (το άθροισμα δύο αρρήτων είναι πάντα άρρητος;). Θα μας χρειασθεί για την συνέχεια η εξής πρόταση: Πρόταση: Έστω Α ενα μη κενό σύνολο με στοιχεία ακέραιους αριθμούς (όχι κατά ανάγκη πεπεπερασμένο) το οποίο είναι άνωθεν φραγμένο. Τότε το σύνολο έχει μέγιστο στοιχείο. Απόδειξη: Σύμφωνα με το θεώρημα της πληρότητας (που ισχύει για κάθε είδους φραγμένο σύνολο πραγματικών αριθμών) το Α θα έχει supremum το αριθμό α. Επειδή το α είναι supremum θα υπάρχει (ακέραιο) στοιχείο ν του Α που θα ικανοποιεί τις ανισότητες α ν > α 1. Συνεπώς ν + 1 > α ν. Επειδή όμως στο διάστημα [ν, ν + 1) δεν υπάρχει ακέραιος άλλος απο τον ν, το ν, που ανήκει στο Α, είναι και το μεγαλύτερο στοιχείο του Α και συγχρόνως το supremum του, δηλαδή α = ν.[παρατηρείστε στην απόδειξη αυτή ότι το θεώρημα της πληρότητας εξασφάλισε την ύπαρξη του α, ο οποίος έπειτα εξασφάλισε την ύπαρξη του 8

9 αριθμού ν, οποίος είναι προφανώς ο μέγιστος του συνόλου.] Πρόταση: Για κάθε αριθμό α > 0 υπάρχει ένας και μόνο ένας θετικός ακέραιος στο διάστημα [α, α + 1). Απόδειξη: Θεωρήστε το σύνολο Σ που έχει στοιχεία τους ακέραιους που είναι ν < α+1. Το σύνολο Σ δεν είναι κενό, π.χ. το ν = 1 ανήκει σε αυτό. Το φραγμένο αυτό σύνολο των ακεραίων Σ έχει μέγιστο στοιχείο, έστω το ν 0. Το στοιχείο αυτό είναι μικρότερο απο το α + 1 και ν 0 α διότι αν ήταν ν 0 < α τότε και ν < α + 1, που είναι αντίθετο στην υπόθεση ότι το ν 0 είναι ο μέγιστος του Σ. Άρα υπάρχει ακέραιος στο διάστημα [α, α + 1). Είναι μοναδικός διότι αν υπήρχε και άλλος στο διάστημα αυτό η διαφορά τους θα ήταν μικρότερη από το 1, που είναι αδύνατο αν οι ακέραιοι είναι διαφορετικοί. Τώρα είμαστε έτοιμοι να αποδείξουμε ότι μεταξύ δύο πραγματικών υπάρχει πάντα αναμέσα τους ρητός αριθμός. Απόδειξη: Έστω οι αριθμοί: α < β. Απο την Αρχιμήδεια ιδιότητα υπάρχει ν τέτοιο ώστε (b a) > 1/n ή a < b 1/n. Σύμφωνα με την προηγούμενη πρόταση υπάρχει ακέραιος m που ανήκει στο διάστημα [nb 1, nb), δηλαδή ικανοποιεί την ανισότητα nb 1 m < nb ή ισοδύναμα a < b 1/n m/n < b που συνεπάγεται ότι υπάρχει ρητός m/n α και β. 9

1. στο σύνολο Σ έχει ορισθεί η πράξη της πρόσθεσης ως προς την οποία το Σ είναι αβελιανή οµάδα, δηλαδή

1. στο σύνολο Σ έχει ορισθεί η πράξη της πρόσθεσης ως προς την οποία το Σ είναι αβελιανή οµάδα, δηλαδή KΕΦΑΛΑΙΟ ΤΟ ΣΥΝΟΛΟ ΤΩΝ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ιατεταγµένα σώµατα-αξίωµα πληρότητας Ένα σύνολο Σ καλείται διατεταγµένο σώµα όταν στο σύνολο Σ έχει ορισθεί η πράξη της πρόσθεσης ως προς την οποία το Σ είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΛΟΓΙΚΗ ΚΑΙ ΑΠΟΔΕΙΞΗ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΛΟΓΙΚΗ ΚΑΙ ΑΠΟΔΕΙΞΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΛΟΓΙΚΗ ΚΑΙ ΑΠΟΔΕΙΞΗ Περιεχόμενα : Α) Προτάσεις-Σύνθεση προτάσεων Β)Απόδειξη μιας πρότασης Α 1 ) Τι είναι πρόταση Β 1 ) Βασικές έννοιες Α ) Συνεπαγωγή Β ) Βασικές μέθοδοι απόδειξης Α 3 ) Ισοδυναμία

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ. a β a β.

ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ. a β a β. ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ε.1 ΤΟ ΛΕΞΙΛΟΓΙΟ ΤΗΣ ΛΟΓΙΚΗΣ Στη παράγραφο αυτή θα γνωρίσουμε μερικές βασικές έννοιες της Λογικής, τις οποίες θα χρησιμοποιήσουμε στη συνέχεια, όπου αυτό κρίνεται αναγκαίο, για τη σαφέστερη

Διαβάστε περισσότερα

Πρόσθεση, αφαίρεση και πολλαπλασιασμός φυσικών αριθμών

Πρόσθεση, αφαίρεση και πολλαπλασιασμός φυσικών αριθμών Πρόσθεση, αφαίρεση και πολλαπλασιασμός φυσικών αριθμών TINΑ ΒΡΕΝΤΖΟΥ www.ma8eno.gr www.ma8eno.gr Σελίδα 1 Πρόσθεση, αφαίρεση και πολλαπλασιασμός φυσικών αριθμών Στους πραγματικούς αριθμούς ορίστηκαν οι

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα

Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Κεφάλαιο 1. Μαθηματικό Υπόβαθρο 23, 26 Ιανουαρίου 2007 Δρ. Παπαδοπούλου Βίκη 1 1.1. Σύνολα Ορισμός : Σύνολο μια συλλογή από αντικείμενα Στοιχεία: Μέλη συνόλου Τα στοιχεία

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ. ρ Χρήστου Νικολαϊδη

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ. ρ Χρήστου Νικολαϊδη ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ ρ Χρήστου Νικολαϊδη Δεκέμβριος Περιεχόμενα Κεφάλαιο : σελ. Τι είναι ένας πίνακας. Απλές πράξεις πινάκων. Πολλαπλασιασμός πινάκων.

Διαβάστε περισσότερα

Βασικές Γνώσεις Μαθηματικών Α - Β Λυκείου

Βασικές Γνώσεις Μαθηματικών Α - Β Λυκείου Βασικές Γνώσεις Μαθηματικών Α - Β Λυκείου Αριθμοί 1. ΑΡΙΘΜΟΙ Σύνολο Φυσικών αριθμών: Σύνολο Ακέραιων αριθμών: Σύνολο Ρητών αριθμών: ακέραιοι με Άρρητοι αριθμοί: είναι οι μη ρητοί π.χ. Το σύνολο Πραγματικών

Διαβάστε περισσότερα

1.5 Αξιοσημείωτες Ταυτότητες

1.5 Αξιοσημείωτες Ταυτότητες 1.5 Αξιοσημείωτες Ταυτότητες Ορισμός: Κάθε ισότητα που περιέχει μεταβλητές και αληθεύει για όλες τις τιμές των μεταβλητών της λέγεται ταυτότητα. Ταυτότητες που πρέπει να γνωρίζουμε: Τετράγωνο αθροίσματος

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΕΣ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΕΣ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΕΣ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Επιμέλεια : Παλαιολόγου Παύλος Μαθηματικός Αγαπητοί μαθητές. αυτό το βιβλίο αποτελεί ένα βοήθημα στην ύλη της Άλγεβρας Α Λυκείου, που είναι ένα από

Διαβάστε περισσότερα

ΤΟ ΛΕΞΙΛΟΓΙΟ ΤΗΣ ΛΟΓΙΚΗΣ

ΤΟ ΛΕΞΙΛΟΓΙΟ ΤΗΣ ΛΟΓΙΚΗΣ 1. ΤΟ ΛΕΞΙΛΟΓΙΟ ΤΗΣ ΛΟΓΙΚΗΣ Στόχος Να γνωρίζουν οι μαθητές: να αξιοποιούν το σύμβολο της συνεπαγωγής και της ισοδυναμίας να αξιοποιούν τους συνδέσμους «ή», «και» ΕΙΣΑΓΩΓΗ Η συννενόηση μεταξύ των ανθρώπων

Διαβάστε περισσότερα

Συνεχή Κλάσματα. Εμμανουήλ Καπνόπουλος Α.Μ 282

Συνεχή Κλάσματα. Εμμανουήλ Καπνόπουλος Α.Μ 282 Συνεχή Κλάσματα Εμμανουήλ Καπνόπουλος Α.Μ 282 5 Νοεμβρίου 204 Ορισμός και ιδιότητες: Ορισμός: Έστω a 0, a, a 2,...a n ανεξάρτητες μεταβλητές, n N σχηματίζουν την ακολουθία {[a 0, a,..., a n ] : n N} όπου

Διαβάστε περισσότερα

Τα παρακάτω σύνολα θα τα θεωρήσουμε γενικά γνωστά, αν και θα δούμε πολλές από τις ιδιότητές τους: N Z Q R C

Τα παρακάτω σύνολα θα τα θεωρήσουμε γενικά γνωστά, αν και θα δούμε πολλές από τις ιδιότητές τους: N Z Q R C Κεφάλαιο 1 Εισαγωγικές έννοιες Στο κεφάλαιο αυτό θα αναφερθούμε σε ορισμένες έννοιες, οι οποίες ίσως δεν έχουν άμεση σχέση με τους διανυσματικούς χώρους, όμως θα χρησιμοποιηθούν αρκετά κατά τη μελέτη τόσο

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ του Παν. Λ. Θεοδωρόπουλου 0

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ του Παν. Λ. Θεοδωρόπουλου 0 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ του Παν. Λ. Θεοδωρόπουλου 0 Η Θεωρία Πιθανοτήτων είναι ένας σχετικά νέος κλάδος των Μαθηματικών, ο οποίος παρουσιάζει πολλά ιδιαίτερα χαρακτηριστικά στοιχεία. Επειδή η ιδιαιτερότητα

Διαβάστε περισσότερα

Συναρτήσεις Όρια Συνέχεια

Συναρτήσεις Όρια Συνέχεια Κωνσταντίνος Παπασταματίου Μαθηματικά Γ Λυκείου Κατεύθυνσης Συναρτήσεις Όρια Συνέχεια Συνοπτική Θεωρία Μεθοδολογίες Λυμένα Παραδείγματα Επιμέλεια: Μαθηματικός Φροντιστήριο Μ.Ε. «ΑΙΧΜΗ» Κ. Καρτάλη 8 (με

Διαβάστε περισσότερα

Q = (2 3 5... P) + 1.

Q = (2 3 5... P) + 1. Η ΑΠΟΛΟΓΙΑ ΕΝΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΥ G.H. Hardy ΘΑ ΠΡΕΠΕΙ ΝΑ ΕΙΝΑΙ Η Η ΦΑΝΕΡΟ ότι, αν θέλουµε να έχουµε οποιαδήποτε πιθανότητα να προχωρήσει η συζήτηση, οφείλω να δώσω παραδείγµατα «πραγµατικών» µαθηµατικών θεωρηµάτων

Διαβάστε περισσότερα

«ΣΥΝΕΧΗ ΚΛΑΣΜΑΤΑ ΚΑΙ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ: ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΕΙΣ ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ»

«ΣΥΝΕΧΗ ΚΛΑΣΜΑΤΑ ΚΑΙ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ: ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΕΙΣ ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ» Σχολή Εφαρμοσμένων Μαθηματικών και Φυσικών Επιστημών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο «ΣΥΝΕΧΗ ΚΛΑΣΜΑΤΑ ΚΑΙ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ: ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΕΙΣ ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ» ΜΠΙΘΗΜΗΤΡΗ ΒΑΣΙΛΙΚΗ ΣΤΕΛΛΑ Επιβλέπουσα: Αν. Καθηγήτρια

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. 118 ερωτήσεις θεωρίας με απάντηση 324 416 ασκήσεις για λύση. 20 συνδυαστικά θέματα εξετάσεων

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. 118 ερωτήσεις θεωρίας με απάντηση 324 416 ασκήσεις για λύση. 20 συνδυαστικά θέματα εξετάσεων ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ 118 ερωτήσεις θεωρίας με απάντηση 34 416 ασκήσεις για λύση ερωτήσεις κατανόησης λυμένα παραδείγματα 0 συνδυαστικά θέματα εξετάσεων Π Ε Ρ Ι Ε Χ Ο Μ Ε Ν Α Εισαγωγική ενότητα Το λεξιλόγιο

Διαβάστε περισσότερα

Μεταθέσεις και πίνακες μεταθέσεων

Μεταθέσεις και πίνακες μεταθέσεων Παράρτημα Α Μεταθέσεις και πίνακες μεταθέσεων Το παρόν παράρτημα βασίζεται στις σελίδες 671 8 του βιβλίου: Γ. Χ. Ψαλτάκης, Κβαντικά Συστήματα Πολλών Σωματιδίων (Πανεπιστημιακές Εκδόσεις Κρήτης, Ηράκλειο,

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου Κεφάλαιο ο Αλγεβρικές Παραστάσεις ΛΕΜΟΝΙΑ ΜΠΟΥΤΣΚΟΥ Γυμνάσιο Αμυνταίου ΜΑΘΗΜΑ Α. Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς ΑΣΚΗΣΕΙΣ ) ) Να συμπληρώσετε τα κενά ώστε στην κατακόρυφη στήλη

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β Γυμνασίου

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β Γυμνασίου ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΠΟΛΙΤΙΣΜΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β Γυμνασίου Ενότητα 3: Πραγματικοί αριθμοί Πυθαγόρειο Θεώρημα ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΟ ΙΝΣΤΙΤΟΥΤΟ ΥΠΗΡΕΣΙΑ ΑΝΑΠΤΥΞΗΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β Γυμνασίου Ενότητα 2: Πραγματικοί

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Η διαίρεση καλείται Ευκλείδεια και είναι τέλεια όταν το υπόλοιπο είναι μηδέν.

ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Η διαίρεση καλείται Ευκλείδεια και είναι τέλεια όταν το υπόλοιπο είναι μηδέν. ΑΛΓΕΒΡΑ 1 ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 1. Τι είναι αριθμητική παράσταση; Με ποια σειρά εκτελούμε τις πράξεις σε μια αριθμητική παράσταση ώστε να βρούμε την τιμή της; Αριθμητική παράσταση λέγεται κάθε

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. Να εξετάσετε αν ισχύουν οι υποθέσεις του Θ.Μ.Τ. για την συνάρτηση στο διάστημα [ 1,1] τέτοιο, ώστε: C στο σημείο (,f( ))

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. Να εξετάσετε αν ισχύουν οι υποθέσεις του Θ.Μ.Τ. για την συνάρτηση στο διάστημα [ 1,1] τέτοιο, ώστε: C στο σημείο (,f( )) ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 6: ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ (Θ.Μ.Τ.) [Θεώρημα Μέσης Τιμής Διαφορικού Λογισμού του κεφ..5 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Παράδειγμα. ΘΕΜΑ

Διαβάστε περισσότερα

ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ. 2.1 ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 1 ου ΒΑΘΜΟΥ. Η εξίσωση αx β 0

ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ. 2.1 ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 1 ου ΒΑΘΜΟΥ. Η εξίσωση αx β 0 ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ.1 ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 1 ου ΒΑΘΜΟΥ Η εξίσωση α 0 Στο Γυμνάσιο μάθαμε τον τρόπο επίλυσης των εξισώσεων της μορφής α 0 για συγκεκριμένους αριθμούς α,,με α 0 Γενικότερα τώρα, θα δούμε πώς με την οήθεια των

Διαβάστε περισσότερα

Περιληπτικά, τα βήματα που ακολουθούμε γενικά είναι τα εξής:

Περιληπτικά, τα βήματα που ακολουθούμε γενικά είναι τα εξής: Αυτό που πρέπει να θυμόμαστε, για να μη στεναχωριόμαστε, είναι πως τόσο στις εξισώσεις, όσο και στις ανισώσεις 1ου βαθμού, που θέλουμε να λύσουμε, ακολουθούμε ακριβώς τα ίδια βήματα! Εκεί που πρεπει να

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 1 o Εξισώσεις - Ανισώσεις

Κεφάλαιο 1 o Εξισώσεις - Ανισώσεις 2 ΕΡΩΤΗΣΕΙΙΣ ΘΕΩΡΙΙΑΣ ΑΠΟ ΤΗΝ ΥΛΗ ΤΗΣ Β ΤΑΞΗΣ ΜΕΡΟΣ Α -- ΑΛΓΕΒΡΑ Κεφάλαιο 1 o Εξισώσεις - Ανισώσεις Α. 1 1 1. Τι ονομάζεται Αριθμητική και τι Αλγεβρική παράσταση; Ονομάζεται Αριθμητική παράσταση μια παράσταση

Διαβάστε περισσότερα

2 α1 = 0, αν+1 = 2. Να βρείτε τον αναδρομικό τύπο των ακολουθιών : α. αν = 2ν 3 β. βν = 5 3 ν γ. γν = 1 + 2 ν

2 α1 = 0, αν+1 = 2. Να βρείτε τον αναδρομικό τύπο των ακολουθιών : α. αν = 2ν 3 β. βν = 5 3 ν γ. γν = 1 + 2 ν 1. Να βρείτε τους τέσσερις πρώτους όρους των παρακάτω ακολουθιών και να παραστήσετε σε ορθογώνιο σύστημα αξόνων τα αντίστοιχα σημεία. α. αν = 4ν + 3 β. αν = 2 + ( 1) ν γ. 1 1 1 1 αν = + + +... + 1 2 2

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ. Α' τάξης Γενικού Λυκείου

ΑΛΓΕΒΡΑ. Α' τάξης Γενικού Λυκείου ΑΛΓΕΒΡΑ Α' τάξης Γενικού Λυκείου ΣΥΓΓΡΑΦΕΙΣ Ανδρεαδάκης Στυλιανός Κατσαργύρης Βασίλειος Παπασταυρίδης Σταύρος Πολύζος Γεώργιος Σβέρκος Ανδρέας ΟΜΑΔΑ ΑΝΑΜΟΡΦΩΣΗΣ Ανδρεαδάκης Στυλιανός Κατσαργύρης Βασίλειος

Διαβάστε περισσότερα

Π Α Ν Ε Λ Λ Η Ν Ι Ε Σ 2 0 1 5 Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α K A I Σ Τ Ο Ι Χ Ε Ι Α Σ Τ Α Τ Ι Σ Τ Ι Κ Η

Π Α Ν Ε Λ Λ Η Ν Ι Ε Σ 2 0 1 5 Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α K A I Σ Τ Ο Ι Χ Ε Ι Α Σ Τ Α Τ Ι Σ Τ Ι Κ Η Π Α Ν Ε Λ Λ Η Ν Ι Ε Σ 0 Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α K A I Σ Τ Ο Ι Χ Ε Ι Α Σ Τ Α Τ Ι Σ Τ Ι Κ Η Ε π ι μ ε λ ε ι α : Τ α κ η ς Τ σ α κ α λ α κ ο ς o ΘΕΜΑ Π α ν ε λ λ α δ ι κ ε ς Ε ξ ε τ α σ ε ι ς ( 0 ) A. Aν οι συναρτησεις

Διαβάστε περισσότερα

ΟΛΗ Η ΘΕΩΡΙΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΟΛΗ Η ΘΕΩΡΙΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΟΛΗ Η ΘΕΩΡΙΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΟΡΙΣΜΟΙ ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ : ΣΩΣΤΟ ΛΑΘΟΣ ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ

Διαβάστε περισσότερα

Μιγαδική ανάλυση Μέρος Α Πρόχειρες σημειώσεις 1. Μιγαδικοί αριθμοί. ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Μιγαδική Ανάλυση Α 1

Μιγαδική ανάλυση Μέρος Α Πρόχειρες σημειώσεις 1. Μιγαδικοί αριθμοί. ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Μιγαδική Ανάλυση Α 1 ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Μιγαδική Ανάλυση Α 1 Μιγαδική ανάλυση Μέρος Α Πρόχειρες σημειώσεις 1 Μιγαδικοί αριθμοί Τι είναι και πώς τους αναπαριστούμε Οι μιγαδικοί αριθμοί είναι μια επέκταση του συνόλου

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 4: Διαφορικός Λογισμός

Κεφάλαιο 4: Διαφορικός Λογισμός ΣΥΓΧΡΟΝΗ ΠΑΙΔΕΙΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΕΣΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ Κεφάλαιο 4: Διαφορικός Λογισμός Μονοτονία Συνάρτησης Tζουβάλης Αθανάσιος Κεφάλαιο 4: Διαφορικός Λογισμός Περιεχόμενα Μονοτονία συνάρτησης... Λυμένα παραδείγματα...

Διαβάστε περισσότερα

Μιγαδικοί Αριθμοί. Μαθηματικά Γ! Λυκείου Θετική και Τεχνολογική Κατεύθυνση

Μιγαδικοί Αριθμοί. Μαθηματικά Γ! Λυκείου Θετική και Τεχνολογική Κατεύθυνση Μιγαδικοί Αριθμοί Μαθηματικά Γ! Λυκείου Θετική και Τεχνολογική Κατεύθυνση Θεωρία - Μέθοδοι Υποδειγματικά λυμένες ασκήσεις Ασκήσεις προς λύση Επιλεγμένα θέματα «Σας εύχομαι, καλό κουράγιο και μεγάλη δύναμη

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Ε.1 I. 1. α 2 = 9 α = 3 ψ p: α 2 = 9, q: α = 3 Σύνολο αλήθειας της p: Α = {-3,3}, Σύνολο αλήθειας της q: B = {3} A B 2. α 2 = α α = 1 ψ p: α 2 = α, q: α = 1 Σύνολο

Διαβάστε περισσότερα

ProapaitoÔmenec gn seic.

ProapaitoÔmenec gn seic. ProapaitoÔmeec g seic. Α. Το σύνολο των πραγματικών αριθμών R και οι αλγεβρικές ιδιότητες των τεσσάρων πράξεων στο R. Το σύνολο των φυσικών αριθμών N = {1,, 3,... }. Προσέξτε: μερικά βιβλία (τα βιβλία

Διαβάστε περισσότερα

B Γυμνασίου. Ενότητα 9

B Γυμνασίου. Ενότητα 9 B Γυμνασίου Ενότητα 9 Γραμμικές εξισώσεις με μία μεταβλητή Διερεύνηση (1) Να λύσετε τις πιο κάτω εξισώσεις και ακολούθως να σχολιάσετε το πλήθος των λύσεων που βρήκατε σε καθεμιά. α) ( ) ( ) ( ) Διερεύνηση

Διαβάστε περισσότερα

Α. 27 Β. 29 Γ. 45 Δ. 105 Ε. 127

Α. 27 Β. 29 Γ. 45 Δ. 105 Ε. 127 Α - Β Γυμνασίου η Κυπριακή Μαθηματική Ολυμπιάδα Απρίλιος 0. Αν = M = 60, η τιμή του M + N είναι: 5 45 N Α. Β. 9 Γ. 45 Δ. 05 Ε.. Ένα τετράγωνο και ένα τρίγωνο έχουν ίσες περιμέτρους. Το μήκος των τριών

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Σημειώσεις Σταύρος Τουμπής ΟΠΑ, 24 i Οδηγίες Χρήσης Το παρόν ΔΕΝ είναι διδακτικό βιβλίο. Είναι οι σημειώσεις του μαθήματος «Μαθηματικά Ι», όπως το διδάσκω στο πρώτο εξάμηνο του Τμήματος Πληροφορικής

Διαβάστε περισσότερα

Μεθοδολογία Επίλυσης Προβλημάτων ============================================================================ Π. Κυράνας - Κ.

Μεθοδολογία Επίλυσης Προβλημάτων ============================================================================ Π. Κυράνας - Κ. Μεθοδολογία Επίλυσης Προβλημάτων ============================================================================ Π. Κυράνας - Κ. Σάλαρης Πολλές φορές μας δίνεται να λύσουμε ένα πρόβλημα που από την πρώτη

Διαβάστε περισσότερα

ΔΕΣΜΕΥΜΕΝΕΣ Ή ΥΠΟ ΣΥΝΘΗΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ

ΔΕΣΜΕΥΜΕΝΕΣ Ή ΥΠΟ ΣΥΝΘΗΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ ΔΕΣΜΕΥΜΕΝΕΣ Ή ΥΠΟ ΣΥΝΘΗΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ Έστω ότι επιθυμούμε να μελετήσουμε ένα τυχαίο πείραμα με δειγματικό χώρο Ω και έστω η πιθανότητα να συμβεί ένα ενδεχόμενο Α Ω Υπάρχουν περιπτώσεις όπου ενώ δεν γνωρίζουμε

Διαβάστε περισσότερα

εξισώσεις-ανισώσεις Μαθηματικά α λυκείου Φροντιστήρια Μ.Ε. ΠΑΙΔΕΙΑ σύνολο) στα Μαθηματικά, τη Φυσική αλλά και σε πολλές επιστήμες

εξισώσεις-ανισώσεις Μαθηματικά α λυκείου Φροντιστήρια Μ.Ε. ΠΑΙΔΕΙΑ σύνολο) στα Μαθηματικά, τη Φυσική αλλά και σε πολλές επιστήμες Με τον διεθνή όρο φράκταλ (fractal, ελλ. μορφόκλασμα ή μορφοκλασματικό σύνολο) στα Μαθηματικά, τη Φυσική αλλά και σε πολλές επιστήμες ονομάζεται ένα γεωμετρικό σχήμα που επαναλαμβάνεται αυτούσιο σε άπειρο

Διαβάστε περισσότερα

Α Λ Γ Ε Β Ρ Α ΤΗΣ Α Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ Α. ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΩΣΤΟΥ - ΛΑΘΟΥΣ

Α Λ Γ Ε Β Ρ Α ΤΗΣ Α Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ Α. ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΩΣΤΟΥ - ΛΑΘΟΥΣ Α Λ Γ Ε Β Ρ Α ΤΗΣ Α Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ Α. ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΩΣΤΟΥ - ΛΑΘΟΥΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 1. Για οποιαδήποτε ενδεχόμενα Α, Β ενός δειγματικού χώρου Ω ισχύει η σχέση ( ) ( ) ( ).. Ισχύει ότι P( A B) P( A

Διαβάστε περισσότερα

Η διδασκαλία της λογικής και της απόδειξης στο Λύκειο ΕΙΣΑΓΩΓΗ

Η διδασκαλία της λογικής και της απόδειξης στο Λύκειο ΕΙΣΑΓΩΓΗ Η διδασκαλία της λογικής και της απόδειξης στο Λύκειο Μαθηματικών Δυτικής Θεσσαλονίκης gthom@otenet.gr ΕΙΣΑΓΩΓΗ Έχουν γίνει αρκετές απόπειρες στο παρελθόν για τη διδασκαλία στοιχείων της μαθηματικής λογικής

Διαβάστε περισσότερα

HY118- ιακριτά Μαθηµατικά. Παράδειγµα άµεσης απόδειξης. Μέθοδοι αποδείξεως για προτάσεις της µορφής εάν-τότε. 08 - Αποδείξεις

HY118- ιακριτά Μαθηµατικά. Παράδειγµα άµεσης απόδειξης. Μέθοδοι αποδείξεως για προτάσεις της µορφής εάν-τότε. 08 - Αποδείξεις HY118- ιακριτά Μαθηµατικά Παρασκευή, 06/03/2015 Αντώνης Α. Αργυρός e-mail: argyros@csd.uoc.gr Το υλικό των διαφανειών έχει βασιστεί σε διαφάνειες του Kees van Deemter, από το University of Aberdeen 3/8/2015

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΟ ΤΟΥΣ : Γιάννης Πετσουλας-Μπαλής Στεφανία Ολέκο Χριστίνα Χρήστου Βασιλική Χρυσάφη

ΑΠΟ ΤΟΥΣ : Γιάννης Πετσουλας-Μπαλής Στεφανία Ολέκο Χριστίνα Χρήστου Βασιλική Χρυσάφη ΑΠΟ ΤΟΥΣ : Γιάννης Πετσουλας-Μπαλής Στεφανία Ολέκο Χριστίνα Χρήστου Βασιλική Χρυσάφη Ο ΠΥΘΑΓΟΡΑΣ (572-500 ΠΧ) ΗΤΑΝ ΦΟΛΟΣΟΦΟΣ, ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΚΑΙ ΘΕΩΡΗΤΙΚΟΣ ΤΗΣ ΜΟΥΙΣΚΗΣ. ΥΠΗΡΞΕ Ο ΠΡΩΤΟΣ ΠΟΥ ΕΘΕΣΕ ΤΙΣ ΒΑΣΕΙΣ

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικα Γ Γυμνασιου

Μαθηματικα Γ Γυμνασιου Μαθηματικα Γ Γυμνασιου Θεωρια και παραδειγματα livemath.eu σελ. απο 9 Περιεχομενα Α ΜΕΡΟΣ: ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΑΙ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 4 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Χ 4 ΜΟΝΩΝΥΜΑ & ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ 5 ΜΟΝΩΝΥΜΑ 5 ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ 5 ΡΙΖΑ ΠΟΛΥΩΝΥΜΟΥ 5 ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 2013 ΘΕΩΡΙΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Η ΤΕΛΕΥΤΑΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Βαγγέλης Α Νικολακάκης Μαθηματικός http://cutemaths.wordpress.com/ ΛΙΓΑ ΛΟΓΑ Η παρούσα εργασία μου δεν στοχεύει απλά στο κυνήγι του 20,

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β Γυμνασίου

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β Γυμνασίου ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΠΟΛΙΤΙΣΜΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β Γυμνασίου Ενότητα 1: Σύνολα ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΟ ΙΝΣΤΙΤΟΥΤΟ ΥΠΗΡΕΣΙΑ ΑΝΑΠΤΥΞΗΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β Γυμνασίου Ενότητα 1: Σύνολα Συγγραφή: Ομάδα Υποστήριξης Μαθηματικών

Διαβάστε περισσότερα

ΓΙΩΡΓΟΣ Α. ΚΑΡΕΚΛΙΔΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΘΕΩΡΙΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ

ΓΙΩΡΓΟΣ Α. ΚΑΡΕΚΛΙΔΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΘΕΩΡΙΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΓΙΩΡΓΟΣ Α. ΚΑΡΕΚΛΙΔΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΘΕΩΡΙΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΕΚΔΟΣΕΙΣ ΓΙΩΡΓΟΣ Α. ΚΑΡΕΚΛΙΔΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΘΕΩΡΙΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ τη ΘΕΩΡΙΑ με τις απαραίτητες διευκρινήσεις ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ

Διαβάστε περισσότερα

Φυσικοί αριθμοί - Διάταξη φυσικών αριθμών - Στρογγυλοποίηση

Φυσικοί αριθμοί - Διάταξη φυσικών αριθμών - Στρογγυλοποίηση Φυσικοί αριθμοί - Διάταξη φυσικών αριθμών - Στρογγυλοποίηση TINΑ ΒΡΕΝΤΖΟΥ www.ma8eno.gr Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΜEd Email : stvrentzou@gmail.com 2 Φυσικοί

Διαβάστε περισσότερα

Υποθετικές προτάσεις και λογική αλήθεια

Υποθετικές προτάσεις και λογική αλήθεια Υποθετικές προτάσεις και λογική αλήθεια Δρ. Παναγιώτης Λ. Θεοδωρόπουλος Σχολικός Σύμβουλος κλάδου ΠΕ03 www.p-theodoropoulos.gr Περίληψη Στην εργασία αυτή επιχειρείται μια ερμηνεία της λογικής αλήθειας

Διαβάστε περισσότερα

Aλγεβρα A λυκείου α Τομος

Aλγεβρα A λυκείου α Τομος Aλγ ε β ρ α A Λυ κ ε ί ο υ Α Τό μ ο ς Κάθε γνήσιο αντίτυπο φέρει την υπογραφή του συγγραφέα Σειρά: Γενικό Λύκειο, Θετικές Επιστήμες Άλγεβρα Α Λυκείου, Α Τόμος Παναγιώτης Γριμανέλλης Στοιχειοθεσία-σελιδοποίηση,

Διαβάστε περισσότερα

ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΑΚΡΟΠΟΛΕΩΣ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ 2014 2015 ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΙΟΥΝΙΟΥ 2015. ΧΡΟΝΟΣ: 2 ώρες ΥΠ. ΚΑΘΗΓΗΤΗ:...

ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΑΚΡΟΠΟΛΕΩΣ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ 2014 2015 ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΙΟΥΝΙΟΥ 2015. ΧΡΟΝΟΣ: 2 ώρες ΥΠ. ΚΑΘΗΓΗΤΗ:... ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΑΚΡΟΠΟΛΕΩΣ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ 2014 2015 ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΙΟΥΝΙΟΥ 2015 ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΒΑΘΜΟΣ ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: 5/06/2015 ΤΑΞΗ: A Αριθμητικά... ΧΡΟΝΟΣ: 2 ώρες ΥΠ. ΚΑΘΗΓΗΤΗ:... Ολογράφως:...

Διαβάστε περισσότερα

Θέματα. Θέμα 1 Α. Να αποδείξετε ότι για δύο ενδεχόμενα Α και Β ενός δειγματικού χώρου Ω, ισχύει P(A-B)=P(A)-P( A B) (10 μονάδες)

Θέματα. Θέμα 1 Α. Να αποδείξετε ότι για δύο ενδεχόμενα Α και Β ενός δειγματικού χώρου Ω, ισχύει P(A-B)=P(A)-P( A B) (10 μονάδες) Θέματα Θέμα 1 Α. Να αποδείξετε ότι για δύο ενδεχόμενα Α και Β ενός δειγματικού χώρου Ω, ισχύει P(A-B)=P(A)-P( A B) (10 μονάδες) Β. Είναι Σωστή ή Λάθος καθεμιά από τις παρακάτω προτάσεις ; Θέμα α. Αν x

Διαβάστε περισσότερα

of Mathematics των I.Stewart και D.Tall, Oxford University Press.

of Mathematics των I.Stewart και D.Tall, Oxford University Press. Σημειώσεις του Μαθήματος Μ1124 Θεμέλια των Μαθηματικών Βασισμένες στο βιβλίο των I.Stewart και D.Tall Χρήστος Κουρουνιώτης ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ 2012 Εισαγωγή Αρχίζοντας τη μελέτη των μαθηματικών

Διαβάστε περισσότερα

ΟΡΙΣΜΟΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ ΟΡΙΣΜΟΣ ΕΦΑΠΤΟΜΕΝΗΣ

ΟΡΙΣΜΟΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ ΟΡΙΣΜΟΣ ΕΦΑΠΤΟΜΕΝΗΣ ΟΡΙΣΜΟΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ. Mια συνάρτηση λέμε ότι είναι παραγωγίσιμη σε ένα σημείο του πεδίου ορισμού ( της, αν υπάρει το lim και είναι πραγματικός αριθμός. Το όριο αυτό λέγεται παράγωγος της στο και συμβολίζεται

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΔΙΑΤΑΞΕΙΣ, ΜΕΤΑΘΕΣΕΙΣ, ΣΥΝΔΥΑΣΜΟΙ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΔΙΑΤΑΞΕΙΣ, ΜΕΤΑΘΕΣΕΙΣ, ΣΥΝΔΥΑΣΜΟΙ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΔΙΑΤΑΞΕΙΣ ΜΕΤΑΘΕΣΕΙΣ ΣΥΝΔΥΑΣΜΟΙ Εισαγωγή. Οι σχηματισμοί που προκύπτουν με την επιλογή ενός συγκεκριμένου αριθμού στοιχείων από το ίδιο σύνολο καλούνται διατάξεις αν μας ενδιαφέρει η σειρά καταγραφή

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΗ 1 Για τις ερωτήσεις 1-4 θεωρήσατε τον ακόλουθο γράφο. Ποιές από τις παρακάτω προτάσεις αληθεύουν και ποιές όχι;

ΑΣΚΗΣΗ 1 Για τις ερωτήσεις 1-4 θεωρήσατε τον ακόλουθο γράφο. Ποιές από τις παρακάτω προτάσεις αληθεύουν και ποιές όχι; ΘΕΜΑΤΑ ΔΕΝΔΡΩΝ ΓΙΑ ΤΙΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΠΛΗ0 ΑΣΚΗΣΗ Για τις ερωτήσεις - θεωρήσατε τον ακόλουθο γράφο. Ποιές από τις παρακάτω προτάσεις αληθεύουν και ποιές όχι; Β Ε Α 6 Δ 5 9 8 0 Γ 7 Ζ Η. Σ/Λ Δυο από τα συνδετικά

Διαβάστε περισσότερα

Παρατηρήσεις. Προβλήματα είχαν οι ασκήσεις:

Παρατηρήσεις. Προβλήματα είχαν οι ασκήσεις: ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΚΑΙ ΛΥΣΕΙΣ Στέλιιος Μιιχαήλογλου-Δημήτρης Πατσιιμάς Εκκφωννήήσσεει ιςς κκααι ι λλύύσσεει ιςς θθεεμμάάττωνν Άλλγγεεββρρααςς Τρράάππεεζζααςς θθεεμμάάττωνν

Διαβάστε περισσότερα

, 1 0 9 1, 2. A a και το στοιχείο της i γραμμής και j

, 1 0 9 1, 2. A a και το στοιχείο της i γραμμής και j Κεφάλαιο Πίνακες Βασικοί ορισμοί και πίνακες Πίνακες Παραδείγματα: Ο πίνακας πωλήσεων ανά τρίμηνο μίας εταιρείας για τρία είδη που εμπορεύεται: ο Τρίμηνο ο Τρίμηνο ο Τρίμηνο ο Τρίμηνο Είδος Α 56 Είδος

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΤΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ. Κεφάλαιο 6. Πιθανότητες

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΤΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ. Κεφάλαιο 6. Πιθανότητες ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΔΥΤΙΚΗΣ ΕΛΛΑΔΑΣ ΤΜΗΜΑ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΠΑΤΡΑΣ Εργαστήριο Λήψης Αποφάσεων & Επιχειρησιακού Προγραμματισμού Καθηγητής Ι. Μητρόπουλος ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΤΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ

Διαβάστε περισσότερα

ΤΜΗΜΑ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ

ΤΜΗΜΑ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΤΜΗΜΑ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ. ΤΙ ΕΙΝΑΙ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ; Η επιστήμη των αριθμών Βασανιστήριο για τους μαθητές και φοιτητές Τέχνη για τους μαθηματικούς ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α Εξάμηνο ΙΩΑΝΝΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

Δυνάμεις Φυσικών Αριθμών

Δυνάμεις Φυσικών Αριθμών Δυνάμεις Φυσικών Αριθμών TINΑ ΒΡΕΝΤΖΟΥ www.ma8eno.gr www.ma8eno.gr Σελίδα 1 Δυνάμεις φυσικών αριθμών Δύναμη ονομάζουμε το γινόμενο πολλών ίσων παραγόντων Πχ: 8 8= 64, 4 4 4= 64, 3 3 3 3= 81. Έτσι, το γινόμενο

Διαβάστε περισσότερα

Γνωστό: P (M) = 2 M = τρόποι επιλογής υποσυνόλου του M. Π.χ. M = {A, B, C} π. 1. Π.χ.

Γνωστό: P (M) = 2 M = τρόποι επιλογής υποσυνόλου του M. Π.χ. M = {A, B, C} π. 1. Π.χ. Παραδείγματα Απαρίθμησης Γνωστό: P (M 2 M τρόποι επιλογής υποσυνόλου του M Τεχνικές Απαρίθμησης Πχ M {A, B, C} P (M 2 3 8 #(Υποσυνόλων με 2 στοιχεία ( 3 2 3 #(Διατεταγμένων υποσυνόλων με 2 στοιχεία 3 2

Διαβάστε περισσότερα

1.3 ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ

1.3 ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ - ΕΝΟΤΗΤΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ Ορισμός : αν λ πραγματικός αριθμός με 0 και μη μηδενικό διάνυσμα τότε σαν γινόμενο του λ με το ορίζουμε ένα διάνυσμα

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενο διδασκαλίας Στόχοι Παρατηρήσεις. υπολογίζουν το λόγο δύο λόγο δύο τμημάτων

Περιεχόμενο διδασκαλίας Στόχοι Παρατηρήσεις. υπολογίζουν το λόγο δύο λόγο δύο τμημάτων Νίκος Γ. Τόμπρος ΣΧΕΔΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΩΝ Ενότητα : ΟΜΟΙΟΤΗΤΑ (ΛΟΓΟΣ ΑΝΑΛΟΓΙΑ) Σκοποί: Η ανάπτυξη ενδιαφέροντος για το θέμα, η εξοικείωση με τη χρήση τεχνολογίας, η παρότρυνση για αναζήτηση πληροφοριών (εδώ σε

Διαβάστε περισσότερα

ΑΚΕΡΑΙΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ- ΠΡΑΞΕΙΣ ΑΥΤΩΝ 1.2 ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑΣ ΤΩΝ ΑΡΝΗΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ

ΑΚΕΡΑΙΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ- ΠΡΑΞΕΙΣ ΑΥΤΩΝ 1.2 ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑΣ ΤΩΝ ΑΡΝΗΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ΑΚΕΡΑΙΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ- ΠΡΑΞΕΙΣ ΑΥΤΩΝ 1.1 ΕΙΣΑΓΩΓΗ Ασχολήθηκα 30 χρόνια με τη διδασκαλία των Μαθηματικών του Γυμνασίου, τόσο στην Μέση Εκπαίδευση όσο και σε Φροντιστήρια. Η μέθοδος που χρησιμοποιούσα για τη

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ I. ΣΥΝΟΛΑ

ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ I. ΣΥΝΟΛΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ I. ΣΥΝΟΛΑ 1.Τι ονοµάζεται σύνολο; Σύνολο ονοµάζεται κάθε συλλογή αντικειµένων, που προέρχονται από την εµπειρία µας ή την διανόηση µας, είναι καλά ορισµένα και διακρίνονται το ένα από το άλλο.

Διαβάστε περισσότερα

Επίλυση Προβλημάτων με Χρωματισμό. Αλέξανδρος Γ. Συγκελάκης asygelakis@gmail.com

Επίλυση Προβλημάτων με Χρωματισμό. Αλέξανδρος Γ. Συγκελάκης asygelakis@gmail.com Επίλυση Προβλημάτων με Χρωματισμό Αλέξανδρος Γ. Συγκελάκης asygelakis@gmail.com 1 Η αφορμή συγγραφής της εργασίας Το παρακάτω πρόβλημα που τέθηκε στο Μεταπτυχιακό μάθημα «Θεωρία Αριθμών» το ακαδημαϊκό

Διαβάστε περισσότερα

ΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΑΣΦΑΛΙΣΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ Σ

ΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΑΣΦΑΛΙΣΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ Σ ΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΑΣΦΑΛΙΣΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ Σ υ ν δ υ α σ τ ι κ ή Πειραιάς 2007 1 Μάθημα 4ο Συνδυασμοί 2 2.3 ΣΥΝΔΥΑΣΜΟΙ Έστω Χ= {x 1, x 2,..., x ν } ένα πεπερασμένο σύνολο με ν στοιχεία x 1, x 2,...,

Διαβάστε περισσότερα

Σειρά: ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΑ ΒΙΒΛΙΑ Tίτλος: ΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΑ ΓΙΑ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Συγγραφέας: ΦΩΤΗΣ ΚΟΥΝΑ ΗΣ

Σειρά: ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΑ ΒΙΒΛΙΑ Tίτλος: ΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΑ ΓΙΑ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Συγγραφέας: ΦΩΤΗΣ ΚΟΥΝΑ ΗΣ Ι Α Γ Ω Ν Ι Σ Μ Α Τ Α Γ Ι Α Τ Α Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α Α Γ Υ Μ Ν Α Σ Ι Ο Υ Φώτης Κουνάδης Ι Α Γ Ω Ν Ι Σ Μ Α Τ Α Γ Ι Α Τ Α Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α Α Γ Υ Μ Ν Α Σ Ι Ο Υ ΕΚ ΟΤΙΚΟΣ ΟΡΓΑΝΙΣΜΟΣ ΛΙΒΑΝΗ ΑΘΗΝΑ 2007 Σειρά:

Διαβάστε περισσότερα

μαθηματικά β γυμνασίου

μαθηματικά β γυμνασίου μαθηματικά β γυμνασίου Κάθε αντίτυπο φέρει την υπογραφή ενός εκ των συγγραφέων Σειρά: Γυμνάσιο, Θετικές Επιστήμες Μαθηματικά Β Γυμνασίου, Βασίλης Διολίτσης Ιωάννα Κοσκινά Νικολέττα Μπάκου Θεώρηση Κειμένου:

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 4 Διανυσματικοί Χώροι

Κεφάλαιο 4 Διανυσματικοί Χώροι Κεφάλαιο Διανυσματικοί Χώροι Διανυσματικοί χώροι - Βασικοί ορισμοί και ιδιότητες Θεωρούμε τρία διαφορετικά σύνολα: Διανυσματικοί Χώροι α) Το σύνολο διανυσμάτων (πινάκων με μία στήλη) με στοιχεία το οποίο

Διαβάστε περισσότερα

Το σύνολο Z των Ακεραίων : Z = {... 2, 1, 0, 1, 2, 3,... } Να σηµειώσουµε ότι οι φυσικοί αριθµοί είναι και ακέραιοι.

Το σύνολο Z των Ακεραίων : Z = {... 2, 1, 0, 1, 2, 3,... } Να σηµειώσουµε ότι οι φυσικοί αριθµοί είναι και ακέραιοι. 1 E. ΣΥΝΟΛΑ ΘΕΩΡΙΑ 1. Ορισµός του συνόλου Σύνολο λέγεται κάθε συλλογή πραγµατικών ή φανταστικών αντικειµένων, που είναι καλά ορισµένα και διακρίνονται το ένα από το άλλο. Τα παραπάνω αντικείµενα λέγονται

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΛΥΤΙΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ Α ΤΑΞΗΣ

ΑΝΑΛΥΤΙΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ Α ΤΑΞΗΣ ΑΝΑΛΥΤΙΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ Α ΤΑΞΗΣ Το αναλυτικό πρόγραμμα που παρουσιάζουμε εδώ είναι μια πρόταση από περιεχόμενα που θα μπορούσαν να διδαχτούν στο σχολείο δεύτερης ευκαιρίας. Αυτό δεν σημαίνει ότι το πρόγραμμα

Διαβάστε περισσότερα

ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ. Τι ονοµάζουµε διάνυσµα; αλφάβητου επιγραµµισµένα µε βέλος. για παράδειγµα, Τι ονοµάζουµε µέτρο διανύσµατος;

ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ. Τι ονοµάζουµε διάνυσµα; αλφάβητου επιγραµµισµένα µε βέλος. για παράδειγµα, Τι ονοµάζουµε µέτρο διανύσµατος; ΙΝΥΣΜΤ ΘΕΩΡΙ ΘΕΜΤ ΘΕΩΡΙΣ Τι ονοµάζουµε διάνυσµα; AB A (αρχή) B (πέρας) Στη Γεωµετρία το διάνυσµα ορίζεται ως ένα προσανατολισµένο ευθύγραµµο τµήµα, δηλαδή ως ένα ευθύγραµµο τµήµα του οποίου τα άκρα θεωρούνται

Διαβάστε περισσότερα

Τρεις ενδιαφέρουσες αποδείξεις του Πυθαγορείου Θεωρήματος

Τρεις ενδιαφέρουσες αποδείξεις του Πυθαγορείου Θεωρήματος Τρεις ενδιαφέρουσες αποδείξεις του Πυθαγορείου Θεωρήματος Δρ. Παναγιώτης Λ. Θεοδωρόπουλος Σχολικός Σύμβουλος κλάδου ΠΕ03 www.p-theodoropoulos.gr Εισαγωγή Είναι γνωστό ότι για το Πυθαγόρειο θεώρημα έχουν

Διαβάστε περισσότερα

7 ΑΛΓΕΒΡΑ ΜΗΤΡΩΝ. 7.2 ΜΗΤΡΕΣ ΕΙΔΙΚΗΣ ΜΟΡΦΗΣ (Ι)

7 ΑΛΓΕΒΡΑ ΜΗΤΡΩΝ. 7.2 ΜΗΤΡΕΣ ΕΙΔΙΚΗΣ ΜΟΡΦΗΣ (Ι) 77 78 7 ΑΛΓΕΒΡΑ ΜΗΤΡΩΝ. 7. ΕΙΣΑΓΩΓΗ Η Άλγεβρα των μητρών οι πινάκων είναι ιδιαίτερα χρήσιμη για την επίλυση συστημάτων καθώς επίσης στις επιστήμες της οικονομετρίας και της στατιστικής. ΟΡΙΣΜΟΣ: Μήτρα

Διαβάστε περισσότερα

ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ. 3. Για κάθε z 1, z 2 C ισχύει z1 + z2 = z1 + z2. 4. Για κάθε z C ισχύει z z 2 z. 5. Για κάθε µιγαδικό z ισχύει: 6.

ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ. 3. Για κάθε z 1, z 2 C ισχύει z1 + z2 = z1 + z2. 4. Για κάθε z C ισχύει z z 2 z. 5. Για κάθε µιγαδικό z ισχύει: 6. ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ 1 Για κάθε z 1, z 2 C ισχύει z1 z2 z1 z2 1 2 Για κάθε z 1, z 2 C ισχύει z1 z2 z1 z2 3 Για κάθε z 1, z 2 C ισχύει z1 + z2 = z1 + z2 4 Για κάθε z C ισχύει z z 2 z 5 Για κάθε µιγαδικό z ισχύει:

Διαβάστε περισσότερα

Συσχέτιση μεταξύ δύο συνόλων δεδομένων

Συσχέτιση μεταξύ δύο συνόλων δεδομένων Διαγράμματα διασποράς (scattergrams) Συσχέτιση μεταξύ δύο συνόλων δεδομένων Η οπτική απεικόνιση δύο συνόλων δεδομένων μπορεί να αποκαλύψει με παραστατικό τρόπο πιθανές τάσεις και μεταξύ τους συσχετίσεις,

Διαβάστε περισσότερα

Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΜEd

Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΜEd 1 1) Δίνεται η εξίσωση x 2-2(λ + 2) χ + 2λ 2-17 = 0. Να βρείτε το λ ώστε η εξίσωση να έχει μία ρίζα διπλή. Υπολογίστε τη ρίζα. Aσκήσεις στις εξισώσεις Β βαθμού Για να έχει η εξίσωση μία ρίζα διπλή πρέπει:

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 9 1 Ιδιοτιμές και Ιδιοδιανύσματα

Κεφάλαιο 9 1 Ιδιοτιμές και Ιδιοδιανύσματα Σελίδα από 58 Κεφάλαιο 9 Ιδιοτιμές και Ιδιοδιανύσματα 9. Ορισμοί... 9. Ιδιότητες... 9. Θεώρημα Cayley-Hamlto...9 9.. Εφαρμογές του Θεωρήματος Cayley-Hamlto... 9.4 Ελάχιστο Πολυώνυμο...40 Ασκήσεις του Κεφαλαίου

Διαβάστε περισσότερα

Δραστηριότητα για τους µαθητές µε το κόσκινο του Ερατοσθένη:.. (και άσκηση 10 σελ. 219 «Η φύση και η δύναµη των µαθηµατικών»)

Δραστηριότητα για τους µαθητές µε το κόσκινο του Ερατοσθένη:.. (και άσκηση 10 σελ. 219 «Η φύση και η δύναµη των µαθηµατικών») Πρώτοι αριθµοί: Τι µας λέει στο βιβλίο (σελ.25-26): 1. Μου αρέσουν οι πρώτοι αριθµοί, γι αυτό αρίθµησα µε πρώτους τα κεφάλαια. Οι πρώτοι αριθµοί είναι αυτό που αποµένει όταν αφαιρέσεις όλα τα στερεότυπα

Διαβάστε περισσότερα

Ελλιπή δεδομένα. Εδώ έχουμε 1275. Στον πίνακα που ακολουθεί δίνεται η κατά ηλικία κατανομή 1275 ατόμων

Ελλιπή δεδομένα. Εδώ έχουμε 1275. Στον πίνακα που ακολουθεί δίνεται η κατά ηλικία κατανομή 1275 ατόμων Ελλιπή δεδομένα Στον πίνακα που ακολουθεί δίνεται η κατά ηλικία κατανομή 75 ατόμων Εδώ έχουμε δ 75,0 75 5 Ηλικία Συχνότητες f 5-4 70 5-34 50 35-44 30 45-54 465 55-64 335 Δεν δήλωσαν 5 Σύνολο 75 Μπορεί

Διαβάστε περισσότερα

Α Λυκείου Άλγεβρα Τράπεζα Θεμάτων Το Δεύτερο Θέμα

Α Λυκείου Άλγεβρα Τράπεζα Θεμάτων Το Δεύτερο Θέμα Α Λυκείου Άλγεβρα Τράπεζα Θεμάτων Το Δεύτερο Θέμα Θεωρούμε την ακολουθία (α ν ) των θετικών περιττών αριθμών: 1, 3, 5, 7, α) Να αιτιολογήσετε γιατί η (α ν ) είναι αριθμητική πρόοδος και να βρείτε τον εκατοστό

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕ ΝΕΟ ΣΥΣΤΗΜΑ 2014 Θ ΕΩΡΙA 10

ΜΕ ΝΕΟ ΣΥΣΤΗΜΑ 2014 Θ ΕΩΡΙA 10 ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΕ ΝΕΟ ΣΥΣΤΗΜΑ 04 Θ ΕΩΡΙA 0 ΘΕΜΑ A Α Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στην κόλλα σας δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση τη

Διαβάστε περισσότερα

ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΔΟΚΙΜΑΣΙΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΓΙΑ ΤΗΝ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΜΑΘΗΤΩΝ ΣΤΑ ΠΡΟΤΥΠΑ-ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΑ ΓΥΜΝΑΣΙΑ

ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΔΟΚΙΜΑΣΙΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΓΙΑ ΤΗΝ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΜΑΘΗΤΩΝ ΣΤΑ ΠΡΟΤΥΠΑ-ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΑ ΓΥΜΝΑΣΙΑ ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΔΟΚΙΜΑΣΙΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΓΙΑ ΤΗΝ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΜΑΘΗΤΩΝ ΣΤΑ ΠΡΟΤΥΠΑ-ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΑ ΓΥΜΝΑΣΙΑ ΔΟΚΙΜΑΣΙΑ 6 1) Να εκφράσετε τον αριθμό 48 σε γινόμενο πρώτων παραγόντων με δενδροδιάγραμμα. 2) Να συγκρίνετε

Διαβάστε περισσότερα

6. Εγγεγραμμένα Σχήματα. Αθανασίου Δημήτρης (Μαθηματικός) asepfreedom@yahoo.gr

6. Εγγεγραμμένα Σχήματα. Αθανασίου Δημήτρης (Μαθηματικός) asepfreedom@yahoo.gr 6. Εγγεγραμμένα Σχήματα Αθανασίου Δημήτρης (Μαθηματικός) asepfreedom@yahoo.gr 1 Επίκεντρη γωνία Μια γωνία λέγεται επίκεντρη γωνία ενός κύκλου αν η κορυφή της είναι το κέντρο του κύκλου. Το τόξο ΑΓΒ που

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ 1 ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ 1. α. Τι γνωρίζετε για την Ευκλείδεια διαίρεση; Πότε λέγεται τέλεια; β. Αν σε μια διαίρεση είναι Δ=δ, πόσο είναι το πηλίκο και

Διαβάστε περισσότερα

µηδενικό πολυώνυµο; Τι ονοµάζουµε βαθµό του πολυωνύµου; Πότε δύο πολυώνυµα είναι ίσα;

µηδενικό πολυώνυµο; Τι ονοµάζουµε βαθµό του πολυωνύµου; Πότε δύο πολυώνυµα είναι ίσα; ΘΕΩΡΙΑ ΠΟΛΥΩΝΥΜΩΝ 1. Τι ονοµάζουµε µονώνυµο Μονώνυµο ονοµάζεται κάθε γινόµενο το οποίο αποτελείται από γνωστούς και αγνώστους (µεταβλητές ) πραγµατικούς αριθµούς. Ο γνωστός πραγµατικός αριθµός ονοµάζεται

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά 1. Τελεστές και πίνακες. 1. Τελεστές και πίνακες Γενικά. Τι είναι συνάρτηση? Απεικόνιση ενός αριθμού σε έναν άλλο.

ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά 1. Τελεστές και πίνακες. 1. Τελεστές και πίνακες Γενικά. Τι είναι συνάρτηση? Απεικόνιση ενός αριθμού σε έναν άλλο. ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά 1 Τελεστές και πίνακες 1. Τελεστές και πίνακες Γενικά Τι είναι συνάρτηση? Απεικόνιση ενός αριθμού σε έναν άλλο. Ανάλογα, τελεστής είναι η απεικόνιση ενός διανύσματος σε ένα

Διαβάστε περισσότερα

Αφαίρεση και Γενίκευση στα Μαθηματικά

Αφαίρεση και Γενίκευση στα Μαθηματικά 1 Αφαίρεση και Γενίκευση στα Μαθηματικά Δρ. Παναγιώτης Λ. Θεοδωρόπουλος Σχολικός Σύμβουλος κλάδου ΠΕ3 www.p-theodoropoulos.gr ΠΕΡΙΛΗΨΗ Στην εργασία αυτή εξετάζεται εντός του πλαισίου της Διδακτικής των

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο ΤΥΧΑΙΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΛΕΓΧΟΣ ΤΥΧΑΙΟΤΗΤΑΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο ΤΥΧΑΙΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΛΕΓΧΟΣ ΤΥΧΑΙΟΤΗΤΑΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο ΤΥΧΑΙΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΛΕΓΧΟΣ ΤΥΧΑΙΟΤΗΤΑΣ 3.1 Τυχαίοι αριθμοί Στην προσομοίωση διακριτών γεγονότων γίνεται χρήση ακολουθίας τυχαίων αριθμών στις περιπτώσεις που απαιτείται η δημιουργία στοχαστικών

Διαβάστε περισσότερα

Σηµειώσεις στις σειρές

Σηµειώσεις στις σειρές . ΟΡΙΣΜΟΙ - ΓΕΝΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Σηµειώσεις στις σειρές Στην Ενότητα αυτή παρουσιάζουµε τις βασικές-απαραίτητες έννοιες για την µελέτη των σειρών πραγµατικών αριθµών και των εφαρµογών τους. Έτσι, δίνονται συστηµατικά

Διαβάστε περισσότερα

Πανεπιστήμιο Δυτικής Μακεδονίας. Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής & Τηλεπικοινωνιών. Διακριτά Μαθηματικά. Ενότητα 2: Γραφήματα

Πανεπιστήμιο Δυτικής Μακεδονίας. Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής & Τηλεπικοινωνιών. Διακριτά Μαθηματικά. Ενότητα 2: Γραφήματα Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής & Τηλεπικοινωνιών Διακριτά Μαθηματικά Ενότητα 2: Γραφήματα Αν. Καθηγητής Κ. Στεργίου e-mail: kstergiou@uowm.gr Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών Άδειες Χρήσης

Διαβάστε περισσότερα

Κάθε γνήσιο αντίτυπο φέρει τη σφραγίδα του εκδότη

Κάθε γνήσιο αντίτυπο φέρει τη σφραγίδα του εκδότη Κάθε γνήσιο αντίτυπο φέρει τη σφραγίδα του εκδότη ΘΩΜΑΣ Α. ΚΥΒΕΝΤΙΔΗΣ Γεννήθηκε το 947 στο Νέο Πετρίτσι του Ν. Σερρών. Το 965 αποφοίτησε από το εξατάξιο Γυμνάσιο Σιδηροκάστρου του Ν. Σερρών και εγγράφηκε

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 2 Πίνακες - Ορίζουσες

Κεφάλαιο 2 Πίνακες - Ορίζουσες Κεφάλαιο Πίνακες - Ορίζουσες Βασικοί ορισμοί και πίνακες Πίνακες Παραδείγματα: Ο πίνακας πωλήσεων ανά τρίμηνο μίας εταιρείας για τρία είδη που εμπορεύεται: ο Τρίμηνο ο Τρίμηνο 3 ο Τρίμηνο ο Τρίμηνο Είδος

Διαβάστε περισσότερα

2 ΟΥ και 7 ΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ

2 ΟΥ και 7 ΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΣΕ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΤΙΚΟ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΜΑΡΙΑ Σ. ΖΙΩΓΑ ΚΑΘΗΓΗΤΡΙΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑ 2 ΟΥ και 7 ΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΑΛΓΟΡΙΘΜΩΝ και ΔΟΜΗ ΑΚΟΛΟΥΘΙΑΣ 2.1 Να δοθεί ο ορισμός

Διαβάστε περισσότερα

1.5 ΕΣΩΤΕΡΙΚΟ ΓΙΝΟΜΕΝΟ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΩΝ

1.5 ΕΣΩΤΕΡΙΚΟ ΓΙΝΟΜΕΝΟ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ - ΕΝΟΤΗΤΑ.. ΕΣΩΤΕΡΙΚΟ ΓΙΝΟΜΕΝΟ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΩΝ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ Αν είναι δυο μη μηδενικά διανύσματα τότε ονομάζουμε εσωτερικό γινόμενο των και τον αριθμό : όπου φ είναι η γωνία των

Διαβάστε περισσότερα

Πεπερασμένες Διαφορές.

Πεπερασμένες Διαφορές. Κεφάλαιο 1 Πεπερασμένες Διαφορές. 1.1 Προσέγγιση παραγώγων. 1.1.1 Πρώτη παράγωγος. Από τον ορισμό της παραγώγου για συναρτήσεις μιας μεταβλητής γνωρίζουμε ότι η παράγωγος μιας συνάρτησης f στο σημείο x

Διαβάστε περισσότερα