4 Αρμονικές Ταλαντώσεις 1 γενικά 17/9/2014

Transcript

1 4 Αρμονικές Ταλαντώσεις γενικά 7/9/4 Περιοδικά φαινόμενα Περιοδικά φαινόμενα Περίοδος Συχνότητα ωνιακή συχνότητα Ταλαντώσεις Απλή αρμονική ταλάντωση Περιοδικό φαινόμενο Περιοδικά φαινόμενα ονομάζονται τα φαινόμενα που εξελίσσονται και επαναλαμβάνονται αναλλοίωτα σε σταθερά χρονικά διαστήματα. Η κίνηση της γης γύρω από τον ήλιο. Η περιστροφή της γης γύρω από τον άξονά της. Περίοδος Περίοδος (Τ) ενός (περιοδικού) φαινομένου ονομάζεται ο χρόνος που απαιτείται για να ολοκληρωθεί μια πλήρης επανάληψη αυτού του φαινομένου. Η περίοδος περιφοράς της γης γύρω από τον ήλιο είναι 365 μέρες. Η περίοδος περιστροφής της γης γύρω από τον άξονά της είναι 4 ώρες. Η περίοδος του ωροδείκτη του ρολογιού είναι ώρες, του λεπτοδείκτη ώρα. 3 4 Συχνότητα Συχνότητα f ενός (περιοδικού) φαινομένου ονομάζεται ο αριθμός των επαναλήψεων στη μονάδα του χρόνου (δλδ σε sec). Αν σε χρόνο Δt γίνονται Ν επαναλήψεις τότε σε ένα δευτερόλεπτο θα γίνονται: Σχέση συχνότητας & περιόδου: ια χρόνο Δt = Τ, εξ ορισμού θα είναι Ν =, άρα μεταξύ περιόδου και συχνότητας θα ισχύει: N f t f T Συχνότητα Μονάδα μέτρησης της συχνότητας είναι το Hz: f [ f] Hz T [ T] sec Πχ f = Hz ή αλλιώς επαναλήψεις σ ένα δευτερόλεπτο. Συνηθισμένα πολλαπλάσια της συχνότητας Πρόθεμα ονομασία τιμή χαρακτηρισμός k kilo 3 χιλιάδες M ega 6 εκατομμύρια G giga 9 δισεκατομμύρια Πχ: 9, MHz = 9, 6 Hz = 9,.. Hz = 9.. Hz 5 6 Φυσικός Ραδιοηλεκτρολόγος (MSc)

2 4 Αρμονικές Ταλαντώσεις γενικά 7/9/4 ωνιακή συχνότητα Η γωνιακή συχνότητα ορίζεται μέσω της σχέσης f T f Μονάδα μέτρησής της είναι το rad/sec. Ταλάντωση Ταλάντωση ονομάζουμε μια παλινδρομική κίνηση γύρω από ένα σημείο και ανάμεσα σε δυο συγκεκριμένα άκρα. Αν η τροχιά είναι ευθεία η ταλάντωση είναι γραμμική. Μια ειδική περίπτωση γραμμικής ταλάντωσης είναι απλή αρμονική ταλάντωση (αατ) ή γραμμική αρμονική ταλάντωση (γατ) ο ορισμός της θα δοθεί αργότερα. 7 8 ισορροπίας, απομάκρυνση & πλάτος Απλή αρμονική ταλάντωση B in = -A a = +A Επιλέγουμε άξονα για την περιγραφή της κίνησης. Την αρχή του άξονα την τοποθετούμε στο μέσο της γραμμικής τροχιάς (εκμετάλλευση συμμετρίας). Το σημείο αυτό ονομάζεται Ισορροπίας (ΘΙ). Απομάκρυνση του σώματος από τη ΘΙ ονομάζουμε την αλγεβρική τιμή της μετατόπισης του σώματος από την αρχή του άξονα (σημείο = ). Τη μέγιστη (θετική) απομάκρυνση του σώματος την ονομάζουμε πλάτος της ταλάντωσης. 9 B in = -A a = +A Απλή αρμονική ταλάντωση ονομάζεται η γραμμική ταλάντωση κατά την οποία η απομάκρυνση του σώματος (από τη ΘΙ) είναι ημιτονοειδής συνάρτηση του χρόνου. Μια αατ με πλάτος Α, γωνιακή συχνότητα ω, και αρχική φάση φ = περιγράφεται από την εξίσωση (για την αρχική φάση θα μιλήσουμε αργότερα): A t Απλή αρμονική ταλάντωση B in = -A a = +A A t Αργότερα θα δούμε πως στο διάγραμμα υπάρχει ένα λάθος & επιτάχυνση Αν η εξίσωση θέσης είναι: A t Η εξίσωση της ταχύτητας είναι: Η εξίσωση της επιτάχυνσης: t A a a a a t a A a a Φυσικός Ραδιοηλεκτρολόγος (MSc)

3 4 Αρμονικές Ταλαντώσεις γενικά 7/9/4 & επιτάχυνση B in = -A a = +A Επιτάχυνση Η ταχύτητα στην αατ Η ταχύτητα ορίζεται ως ο ρυθμός μεταβολής της θέσης: t t t Όταν το σώμα κινείται προς τον θετικό ημιάξονα: t t t Όταν το σώμα κινείται προς τον αρνητικό ημιάξονα: t t t 3 4 Η ταχύτητα στην αατ & επιτάχυνση Επιτάχυνση ΘΙ -A +A Α 3/ Α / Θ.Ι. +Α / +Α 3/ Α Α/ +Α/ +Α t 3T/4 T/3, 5T/6 5T/8, 7T/8 7T/, T/, T/ T/, 5T/ T/8, 3T/8 T/6, T/3 -A -A 3/ -A / -A/ A/ A / A 3/ A υ υ a/ +υ a/ /.77, 3/.866 υ a/ + υ a/ 3υ a/ + 3υ a/ +υ a + 3υ a/ υ a 3υ a/ + υ a/ υ a/ T/4 +υ a/ υ a/ α +α a + 3α a/ + α a/ +α a/ -α a/ α a/ 3α a/ -α a Οι χρονικές στιγμές ισχύουν για αρχική φάση φ = 5 6 Η αρχική φάση ράφοντας την εξίσωση της απομάκρυνσης ως θεωρούμε πως για t = το θέση = : A t tt A t A t A A A t Η αρχική φάση ια να επιτρέψουμε το σώμα να ξεκινά από οποιοδήποτε σημείο [ AA, ] Προσθέτουμε στο όρισμα του ημιτόνου έναν παράγοντα φ, έτσι ώστε να μη μηδενίζεται το ημίτονο για t =. 7 8 Φυσικός Ραδιοηλεκτρολόγος (MSc) 3

4 4 Αρμονικές Ταλαντώσεις γενικά 7/9/4 Η αρχική φάση Η αρχική φάση Έτσι η εξίσωση της απομάκρυνσης γίνεται: A t Με αποτέλεσμα, για t = να είναι: tt A A t A t t A A Α / Α/ Α/ Α / A Πχ για 45 το σώμα ξεκινά από το σημείο (): 4 ή 4 A A A,77A 4 7 Πχ για ή το σώμα ξεκινά από το σημείο (): A A A A 6 9 Η φάση της ταλάντωσης & επιτάχυνση Το όρισμα του ημιτόνου ονομάζεται φάση της ταλάντωσης και είναι μια (αύξουσα αφού ω > ) γραμμική συνάρτηση του χρόνου: Αν η εξίσωση θέσης είναι: A t t t Η εξίσωση της ταχύτητας είναι: t A a a Η εξίσωση της επιτάχυνσης: a a t a A a a Τα διαγράμματα αντιστοιχούν σε φ = 7π/6 Η αρχική φάση Επίλυση τριγωνομετρικής εξίσωσης A Α / Α/ Α/ Α / A k? k k,,,... Διπλή απειρία λύσεων Επιτάχυνση Ομοίως: k? k 3 Φυσικός Ραδιοηλεκτρολόγος (MSc) 4

5 4 Αρμονικές Ταλαντώσεις γενικά 7/9/4 Επίλυση τριγωνομετρικής εξίσωσης : a a 6 k 6 a k,,,... k 6 Επίλυση τριγωνομετρικής εξίσωσης : a a 6 k 6 a k,,,... k 6 k kπ+π/6 π/6 3π/6 5π/6 (k+)π π/6 5π/6 7π/6 9π/6 k - - kπ+π/6 3π/6 π/6 π/6 3π/6 5π/6 (k+)π π/6 9π/6 7π/6 5π/6 7π/6 9π/6 π + π/6 π + π/6 π + π/6 περίοδο T =.8 sec και πλάτος A = c. Τη χρονική στιγμή t = το θέση = 5 c και αριστερά. Ποια χρονική στιγμή t = sec; ια να απαντήσουμε σε οποιοδήποτε ερώτημα, θα πρέπει πρώτα απ όλα να έχουμε βρει:. την εξίσωση κίνησης = (t), και κατά συνέπεια τις εξισώσεις. της ταχύτητας υ = υ(t) και 3. της επιτάχυνσης: α = α(t). t = ΘΙ περίοδο T =.8 sec και πλάτος A = c. Τη χρονική στιγμή t = το θέση = 5 c και χρονική στιγμή t = sec; Υποθέτουμε πως η εξίσωση κίνησης είναι της μορφής: t A t Από τα δεδομένα της άσκησης έχουμε πως: A c T,8sec 5 και sec T,5 sec Συνεπώς μας απομένει να βρούμε μόνο την αρχική φάση φ. = +5 + (c) περίοδο T =.8 sec και πλάτος A = c. Τη χρονική στιγμή t = το θέση = 5 c και χρονική στιγμή t = sec; Η αρχική φάση εξαρτάται μόνο από τις αρχικές συνθήκες, δλδ μόνο από τη θέση και την ταχύτητα υ τη χρονική στιγμή t =. Πρακτικά μου αρκεί να γνωρίζω το ένα από τα δυο και μόνο το πρόσημο του άλλου: (, πρόσημο της υ ) ή (υ, πρόσημο της ) 5c Από τα δεδομένα της άσκησης έχουμε για t και περίοδο T =.8 sec και πλάτος A = c. Τη χρονική στιγμή t = το θέση = 5 c και χρονική στιγμή t = sec; Από την εξίσωση θέσης για t = έχουμε: tt A t A t t A t, 5 5 A 6 k 6 k,,,... k 6 Καταλήγουμε λοιπόν σε μια διπλή απειρία λύσεων Τριγωνομετρική εξίσωση Φυσικός Ραδιοηλεκτρολόγος (MSc) 5

6 4 Αρμονικές Ταλαντώσεις γενικά 7/9/4 περίοδο T =.8 sec και πλάτος A = c. Τη χρονική στιγμή t = το θέση = 5 c και χρονική στιγμή t = sec; ια διάφορες τιμές του k οι εξισώσεις μας δίνουν τις εξής λύσεις: k 6 k,,,... k 6 k - - kπ+π/6 3π/6 π/6 π/6 3π/6 5π/6 (k+)π π/6 9π/6 7π/6 5π/6 7π/6 9π/6 Όλες αυτές οι τιμές για την αρχική φάση ικανοποιούν την απαίτηση για t = να είναι = 5 c. Ποια απ όλες όμως θα επιλέξουμε; περίοδο T =.8 sec και πλάτος A = c. Τη χρονική στιγμή t = το θέση = 5 c και χρονική στιγμή t = sec; Πρώτα απ όλα λόγω της περιοδικότητας των αρμονικών συναρτήσεων μπορούμε να απαιτήσουμε η αρχική φάση να ανήκει σε ένα διάστημα εύρους π: k - - kπ+π/6 3π/6 π/6 π/6 3π/6 5π/6 (k+)π π/6 9π/6 7π/6 5π/6 7π/6 9π/6 Οι τιμές που ικανοποιούν αυτή την απαίτηση είναι μόνο δυο. περίοδο T =.8 sec και πλάτος A = c. Τη χρονική στιγμή t = το θέση = 5 c και χρονική στιγμή t = sec; Η επιλογή ανάμεσα στις δυο αυτές τιμές θα γίνει λαμβάνοντας υπ όψιν και την αρχική ταχύτητα. Θέλουμε για t = το σώμα να κινείται προς τ αριστερά. Με τη συνήθη επιλογή της φοράς του άξονα προς τα δεξιά αυτό μεταφράζεται στην απαίτηση: Από την εξίσωση της ταχύτητας για t = έχουμε: t a t a 5 Με a A rad / secc5 c/ sec περίοδο T =.8 sec και πλάτος A = c. Τη χρονική στιγμή t = το θέση = 5 c και χρονική στιγμή t = sec; Άρα, για t = θα έχουμε: a 3 ια φ = π/6 είναι: a a ια φ = 5π/6 είναι: a a 6 Συνεπώς: φ = 5π/6. περίοδο T =.8 sec και πλάτος A = c. Τη χρονική στιγμή t = το θέση = 5 c και χρονική στιγμή t = sec; Έτσι, η εξίσωση της θέσης είναι: 5 5 ( t ) t/ sec, / c 6 Και η εξίσωση της ταχύτητας: ( t ) t/ sec, / c/ sec 6 Συνεπώς, για t = sec, έχουμε: 5 5 t 35 sec ( t ) 5c sec 5 ( t t ) Αρχική φάση = Α υ = φ = 3π/ ΘΙ -A +A = υ < φ = π = υ > φ = = +Α υ = φ = π/ Φυσικός Ραδιοηλεκτρολόγος (MSc) 6

7 4 Αρμονικές Ταλαντώσεις γενικά 7/9/4 Αρχική φάση Αρχική φάση & γραφική παράσταση Α < < υ > 3π/ < φ < π = υ > φ = < < Α υ > < φ < π/ = Α = +Α υ = υ = φ = 3π/ φ = π/ -A Α < < = < < Α +A υ < υ < υ < φ = π π/ < φ < π π < φ < 3π/ φ = φ = π/ Η δυναμική της αατ Είδαμε πως στην αατ η επιτάχυνση δίνεται από τη σχέση: Συνεπώς, έχουμε: a a t a A a A t a a At a Δλδ η επιτάχυνση είναι ανάλογη της απομάκρυνσης, και μάλιστα αν λάβουμε υπ όψιν πως μιλάμε για διανύσματα, αυτά είναι μεταξύ τους αντίρροπα: a Η δυναμική της αατ aa A At aaat a At a 39 4 Η δυναμική της αατ Από το ο νόμο του Newton έχουμε: Ορίζοντας ως σταθερά επαναφοράς: Η παραπάνω σχέση γράφεται: F F a D D Δλδ η (συνισταμένη) δύναμη είναι ανάλογη της απομάκρυνσης, και μάλιστα αν λάβουμε υπ όψιν πως μιλάμε για διανύσματα, αυτά είναι μεταξύ τους αντίρροπα: F D a Η (συνισταμένη) δύναμη στην αατ ονομάζεται δύναμη επαναφοράς. F Η δυναμική της αατ F ΘΙ F -A +A F D F F a a a F Από τη σχέση D παρατηρούμε πως η δύναμη επαναφοράς έχει πάντα κατεύθυνση προς τη ΘΙ. Τείνει δλδ να επαναφέρει το σώμα στη θέση =. Αυτό δικαιολογεί το όνομά της 4 4 Φυσικός Ραδιοηλεκτρολόγος (MSc) 7

8 4 Αρμονικές Ταλαντώσεις γενικά 7/9/4 Η δυναμική της αατ Απόδειξη αατ (πχ, σελ ) Από τη σχέση που μας δίνει τη δύναμη επαναφοράς έχουμε: F A F DF DA A F DA Άρα:. Στη ΘΙ η δύναμη επαναφοράς είναι μηδέν. Αυτό δικαιολογεί το όνομα ΘΙ.. Στις θέσεις μέγιστης απομάκρυνσης (ακραίες θέσεις) η δύναμη είναι κατά μέτρο μέγιστη: F DA A a a a k y Φυσικό μήκος ισορροπίας Τυχαία θέση Σώμα μάζας έχει προσδεθεί στο κάτω άκρο κατακόρυφου ιδανικού ελατηρίου (σταθεράς k) το άλλο άκρο του οποίου είναι στερεωμένο σε ακλόνητο σημείο. Απομακρύνουμε το σώμα κατακόρυφα και το αφήνουμε ελεύθερο. Να υπολογιστεί η περίοδος της ταλάντωσης που θα εκτελέσει. Η περίοδος της ταλάντωσης εξαρτάται από το σύστημα: D T T T D D Δεν είναι δυνατόν να εφαρμόσουμε τη σχέση αυτή, που ισχύει μόνο στις αρμονικές ταλαντώσεις, αν πρώτα δεν αποδείξουμε ότι η κίνηση του σώματος είναι απλή αρμονική ταλάντωση ια να γίνει αυτό θα αποδείξουμε ότι η συνισταμένη δύναμη σε μια τυχαία θέση του σώματος είναι ανάλογη της απομάκρυνσής του από τη θέση ισορροπίας και αντίθετης φοράς. Απόδειξη αατ (πχ, σελ ) Απόδειξη αατ (πχ, σελ ) k F w F ' w l y Φυσικό μήκος ισορροπίας Τυχαία θέση SS: Θετικές θεωρούμε τις δυνάμεις που είναι ομόρροπες με την τυχαία απομάκρυνση.. Σχεδιάζουμε το ελατήριο στο ΦΜ.. Σχεδιάζουμε το σώμα στη ΘΙ. Εφαρμόζουμε τη συνθήκη ισορροπίας: F F F F F y y Εδώ: F F w y 3. Σχεδιάζουμε το σώμα σε μια τυχαία απομάκρυνση (μετρημένη από τη ΘΙ) και υπολογίζουμε τη συνισταμένη δύναμη (στον άξονα της κίνησης): Εδώ: F ' y wf' g k l g k kl F ' y k F kl wg kl g k F w F ' w l y Φυσικό μήκος ισορροπίας Τυχαία θέση ρήκαμε: F ' y k Άρα, εκτελεί αατ με: D k Συνεπώς, για την περίοδο έχουμε: Dk T T D k ini quiz # Οι μάζες είναι ίδιες ( = ). k ini quiz # Επίσης και τα ελατήρια είναι απολύτως όμοια (k = k ). Το πρώτο ελατήριο επιμηκύνεται κατά 5c ενώ το δεύτερο κατά c. Τα σώματα αφήνονται ελεύθερα ταυτόχρονα. Τριβές δεν υπάρχουν. Ποιο θα περάσει πρώτο από τη ΘΙ; Μάζες και ελατήρια ίδια: Τ = Τ. k k = k = k = = Dk T T D k Θα περάσουν ταυτόχρονα σε Δt = Τ/4. Η περίοδος σε μια αατ δεν εξαρτάται από το πλάτος. Εξαρτάται μόνο από σύστημα Φυσικός Ραδιοηλεκτρολόγος (MSc) 8

9 4 Αρμονικές Ταλαντώσεις γενικά 7/9/4 Δυναμική ενέργεια Εάν το σώμα βρίσκεται στο σημείο Ο και είναι ακίνητο, για να μετακινηθεί στη θέση Δ, που απέχει απόσταση από τη θέση ισορροπίας, πρέπει να του ασκηθεί δύναμη F' τέτοια ώστε να εξουδετερώνει τη δύναμη επαναφοράς F. Το μέτρο αυτής της δύναμης, σε κάθε θέση, θα είναι F = D Δυναμική ενέργεια Η δυναμική ενέργεια σε συνάρτηση με την απομάκρυνση: Η δυναμική ενέργεια σε συνάρτηση με το χρόνο: D U At D U t DA t U Αποτετραγωνισμός: Το έργο της δύναμης F' υπολογίζεται από τη γραφική παράσταση F =F (), και είναι W = (/)D. Το έργο της δύναμης F' αποθηκεύεται ως δυναμική ενέργεια στο σύστημα, επομένως U D Άρα, τελικά θα έχουμε: U t t DA 49 5 Κινητική ενέργεια Η κινητική ενέργεια σε συνάρτηση με την ταχύτητα: Η δυναμική ενέργεια σε συνάρτηση με το χρόνο: K K at a A D K t DA t K t A t Αποτετραγωνισμός: Άρα, τελικά θα έχουμε: t K t DA Μηχανική ή ολική ενέργεια Η μηχανική ενέργεια είναι: Άρα, έχουμε: K t DA t U t DA t t t E t K U E t DA t t E t DA t DA t E t DA Συνεπώς η μηχανική ενέργεια είναι σταθερή, ανεξάρτητη του χρόνου. 5 5 Συμπεράσματα DA U t DA t K t DA t E t Συμπεράσματα DA U t DA t K t DA t E t T ενέργειας T ταλάντωσης T ενέργειας Φυσικός Ραδιοηλεκτρολόγος (MSc) 9

10 4 Αρμονικές Ταλαντώσεις γενικά 7/9/4 Συμπεράσματα DA U t DA t T ενέργειας T t ταλάντωσης DA fταλάντωσης fενέργειας f Tενέργειας T T ταλάντωσης T ταλάντωσης ενέργειας 55 E t K t DA t t DA 56 Ενέργεια και θέση E DA σταθ. U D K E U DA D Ενέργεια και θέση Ενέργεια και θέση E DA σταθ. U D K E U DA D Ενέργεια και θέση E DA σταθ. Ενέργεια U D K E U DA D E K U 59 6 Φυσικός Ραδιοηλεκτρολόγος (MSc)

11 4 Αρμονικές Ταλαντώσεις γενικά 7/9/4 Εφαρμόζοντας ΑΔ(Μ)Ε στην αατ Η ολική ενέργεια της ταλάντωσης μπορεί να πάρει τις εξής μορφές: E DA a D D Στην τυχαία θέση. Στην τυχαία θέση. Σχέση απομάκρυνσης ταχύτητας Από την ΑΔ(Μ)Ε στην ταλάντωση έχουμε: DA D DA D D A A : A A Στη θέση ισορροπίας Στις ακραίες θέσεις A ια να τη χρησιμοποιήσουμε χρειάζεται να την αποδείξουμε. 6 6 Σχέση απομάκρυνσης ταχύτητας A A ρήκαμε πως: -A - + +A. Συνεπώς, όταν το σώμα διέρχεται από κάποιο σημείο, το μέτρο της ταχύτητάς του είναι το ίδιο άσχετα από τη φορά κίνησης του σώματος.. Το σώμα διέρχεται από συμμετρικά ως προς τη ΘΙ σημεία με την ίδια κατά μέτρο ταχύτητα: A A A ΘΙ -A A A 3 A +A 3 a a a A A Τελικά Το σύστημα είναι φτιαγμένο όπως είναι: Η περίοδος (άρα και η συχνότητα και η γωνιακή συχνότητα) εξαρτάται από το σύστημα και τη μάζα : Η ενέργεια του συστήματος εξαρτάται από την ενέργεια που θα δώσει ο εξωτερικός παράγοντας: Το πλάτος της ταλάντωσης εξαρτάται από την ενέργεια: D, T D E D E A D 65 Φυσικός Ραδιοηλεκτρολόγος (MSc)