D α x γ. α D m x δ. m

Transcript

1 ΚΟΨΙΔΑΣ Η. ΔΗΜΗΤΡΙΟΣ Καθηγητς Φυσικς ο ΚΡΙΤΗΡΙΟ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΟ: ΜΗΧΑΝΙΚΕΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ (ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ) Διάρκεια εξέτασης: ώρες ΘΕΜΑ ο Οδηγία: Στις ερωτσεις -4 να γράψετε στο τετράδιο σας τον αριθμό της ερώτησης και δίπλα το γράμμα που αντιστοιχεί στην σωστ απάντηση.. Σε μια απλ αρμονικ ταλάντωση η συνισταμένη δύναμη δεν έχει: α. ίδια κατεύθυνση με την επιτάχυνση β. πάντα ίδια κατεύθυνση με την ταχύτητα γ. πάντα φορά προς την θέση ισορροπίας δ. τιμ ανάλογη με την απομάκρυνση (Μονάδες 5 ). Η επιτάχυνση ενός σώματος μάζας που εκτελεί απλ αρμονικ ταλάντωση συνδέεται με την απομάκρυνση από τη θέση ισορροπίας του σώματος με τη σχέση ( θετικ σταθερά ): α. α β. α γ. α δ. α (Μονάδες 6 ) 3. Σώμα μάζας εκτελεί Α.Α.Τ. δεμένο στο άκρο ελατηρίου σταθεράς. Η γωνιακ συχνότητα της ταλάντωσης είναι ίση με: α. β. γ. δ. (Μονάδες 6 ) Οδηγία: Στην παρακάτω ερώτηση 4 να γράψετε στο τετράδιο σας το γράμμα κάθε πρότασης και δίπλα την λέξη Σωστό για την σωστ πρόταση και την λέξη Λάθος για την λανθασμένη. 4. Σε μία απλ αρμονικ ταλάντωση: α. Η επιτάχυνση έχει πάντα φορά προς την θέση ισορροπίας. β. Η συνισταμένη δύναμη είναι μηδέν στις ακραίες θέσεις. γ. Η περίοδος είναι ανεξάρτητη του πλάτους. δ. Η σταθερά επαναφοράς εξαρτάται από την συχνότητα. (Μονάδες8 )

2 ΘΕΜΑ o A. Η εξίσωση της απομάκρυνσης για ένα σώμα μάζας που εκτελεί ταλάντωση δίνεται από τη σχέση: = Α ημωt. Αν Τ είναι η περίοδος της ταλάντωσης την στιγμ t T 8 σώμα έχει αλγεβρικ τιμ ίση με: α. ω Α β. η συνισταμένη δύναμη που ασκείται στο ω Α γ. ω Α Επιλέξτε την σωστ απάντηση. Αιτιολογείστε την επιλογ σας. (Μονάδες 4 ) (Μονάδες 8 ) Β. Δύο σώματα Σ, Σ έχουν μάζες και με = 4 και ισορροπούν κρεμασμένα από όμοια ιδανικά ελατρια. Απομακρύνουμε τα σώματα Σ και Σ από τη θέση ισορροπίας τους κατακόρυφα προς τα κάτω κατά d και d αντίστοιχα και τα αφνουμε ελευθέρα την ίδια χρονικ στιγμ, οπότε εκτελούν απλ αρμονικ ταλάντωση. Αν υ(a) και υ(a) είναι οι μέγιστες ταχύτητες των Σ και Σ αντίστοιχα θα ισχύει: α. υ(a) = υ(a) β. υ(a) = υ(a) γ. υ(a) = υ(a) Επιλέξτε την σωστ απάντηση. Αιτιολογείστε την επιλογ σας. (Μονάδες 4 ) (Μονάδες 9 ) ΘΕΜΑ 3o Σώμα μάζας Kg εκτελεί Α.Α.Τ. με εξίσωση απομάκρυνσης στο S.I.: = 0,5 ημ0t. Να βρείτε: Α. Την στιγμ που στο σώμα ασκείται δύναμη με μέγιστο μέτρο και θετικ κατεύθυνση για πρώτη φορά. (Μονάδες 8 ) Β. Την εξίσωση της συνισταμένης δύναμης σαν συνάρτηση της απομάκρυνσης στο S.I. και να την παραστσετε γραφικά σε βαθμολογημένους άξονες. (Μονάδες 8 ) Γ. Την συνισταμένη δύναμη που ασκείται στο σώμα την στιγμ t π 5. (Μονάδες 9 )

3 ΘΕΜΑ 4o Ένα σώμα μάζας = Kg ισορροπεί δεμένο στα κάτω άκρο ελατηρίου σταθεράς = 00 N/. Μετακινούμε το σώμα προς τα κάτω κατά d = 0, και την χρονικ στιγμ t = 0 το αφνουμε ελεύθερο να κινηθεί. Επιλέξτε θετικ φορά προς τα πάνω. Α. Να δείξετε ότι το σώμα εκτελεί Α.Α.Τ. (Μονάδες 5 ) Β. Να βρείτε την εξίσωση της ταχύτητας του σώματος σαν συνάρτηση του χρόνου στο S.I.. (Μονάδες 6 ) Γ. Να βρείτε την δύναμη του ελατηρίου σαν συνάρτηση του χρόνου στο S.I. και να την παραστσετε γραφικά σε βαθμολογημένους άξονες. (Μονάδες 7 ) Δ. Να βρείτε την στιγμ που το ελατριο έχει το φυσικό του μκος για πρώτη φορά. (Μονάδες 7 ) Δίνεται: g=0/. Καλ επιτυχία.

4 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ ο β β (Αιτιολόγηση: Από τον ο F νόμο του Νεύτωνα προκύπτει: a ) 3β (Αιτιολόγηση: Είναι: ) 4. α Σωστό β. Λάθος (Η συνισταμένη δύναμη στις ακραίες θέσεις είναι μέγιστη κατ απόλυτη τιμ) γ. Σωστό δ. Λάθος (Η σταθερά επαναφοράς εξαρτάται από τα φυσικά χαρακτηριστικά του συστματος) ΘΕΜΑ ο Α. Σωστ είναι η γ. Αιτιολόγηση: Η αλγεβρικ τιμ της συνισταμένης δύναμης είναι: T Την στιγμ t= η απομάκρυνση του σώματος είναι: 8 F () A t 8 4 Τελικά η () δίνει: F F Β. Σωστ είναι η α. Και τα δυο σώματα εκτελούν Α.Α.Τ. με = όπου είναι η κοιν σταθερά των δύο όμοιων ελατηρίων. Άρα: () Όμως είναι: και. Συνεπώς η () δίνει: επειδ = 4 προκύπτει: 4 4 () Τα πλάτη ταλάντωσης των Σ, Σ είναι αντίστοιχα: Α = d και Α = d. Άρα οι μέγιστες ταχύτητες ταλάντωσης των Σ, Σ είναι αντίστοιχα: d και d (a) (a) Ο λόγος των μεγίστων ταχυττων είναι: (a) d λόγω της (): d (a) τελικά: (a) (a) (a) (a)

5 Διαφορετικά: Είναι: Όμοια βρίσκουμε: (4) (3) Η μέγιστη ταχύτητα ταλάντωσης του Σ είναι: d λόγω της (3): (a) (a) d Όμοια η μέγιστη ταχύτητα ταλάντωσης του Σ είναι: d λόγω της (4): (a) (a) d Ο λόγος των μεγίστων ταχυττων είναι: d 4 τελικά: (a) (a) d (a) (a)

6 ΘΕΜΑ 3ο rad Α. Συγκρίνοντας την δοσμένη εξίσωση με την = Aημωt βρίσκουμε: A = 0,5 και 0. Η συνισταμένη δύναμη έχει μέγιστο μέτρο και θετικ κατεύθυνση (F = F a) όταν το σώμα βρίσκεται σε απομάκρυνση = A. Πράγματι επειδ: F = και F a =A θα ισχύει: F = F a = A = A Επειδ η εξίσωση της απομάκρυνσης είναι της μορφς = Aημωt το σώμα την t = 0 βρίσκεται στην θέση ισορροπίας κινούμενο κατά την θετικ φορά. Άρα το σώμα θα βρίσκεται σε απομάκρυνση 3T = A για πρώτη φορά την στιγμ: t = () 4 Είναι: αντικαθιστώντας: =0, 0 0 Αντικαθιστώντας στην () προκύπτει τελικά: t = t = 3 40 Β. Η αλγεβρικ τιμ της συνισταμένης δύναμης είναι: F όπου Α A. Η σταθερά επαναφοράς είναι: και αντικαθιστώντας: 0 N N 800 Άρα η εξίσωση της συνισταμένης δύναμης στο S.I. είναι: F 800 όπου 0,5 0,5. Το διάγραμμα της συνισταμένης δύναμης σαν συνάρτηση της απομάκρυνσης φαίνεται στο διπλανό σχμα. F(N) 400 Είναι: F a =A και αντικαθιστώντας: F a =800 0,5 N =400 N 0,5 0,5 () 400 Γ. Την στιγμ t η απομάκρυνση του σώματος είναι: ,5 0 0,5 0,5 = 0, Άρα η αλγεβρικ τιμ της συνισταμένης δύναμης είναι: F και αντικαθιστώντας: F 800 ( 0,5 3 )N F 00 3 N

7 ΘΕΜΑ 4ο Α. Έστω ότι στην θέση ισορροπίας (Θ.Ι.) το ελατριο είναι επιμηκυμένο κατά Δl. Τότε θα ισχύει: Θ.Φ.Μ. Θ.Ι. t = 0 Τ.Θ. t = t F 0 F 0 Α F l g () Θεωρώντας θετικ φορά προς τα πάνω στην τυχαία θέση (Τ.Θ.) όπου 0<<Δl το ελατριο θα είναι επιμηκυμένο κατά Δl = Δl. Άρα στην Τ.Θ. η αλγεβρικ τιμ της συνισταμένης δύναμης που ασκείται στο σώμα θα είναι: Δl F ελ d F ελ Δl F ελ Δl O F F Α F l g F ( l ) g F l g λόγω της (): F Άρα το σώμα εκτελεί Α.Α.Τ. με σταθερά επαναφοράς =. Β. Έστω ότι η εξίσωση της απομάκρυνσης είναι = Aημ(ωt + φ 0) όπου 0 φ 0 < π. Την t = 0 είναι: = A όπου A = d. Άρα: 3 A A ( 0 0 ) 0 0 που έχει γενικά λύσεις: 3 0 όπου κ = ακέραιος 3 Επειδ 0 φ 0 < π είναι: 0 Το πλάτος της ταλάντωσης είναι προφανώς: A = d Είναι: 00 rad rad 0 0, και αντικαθιστώντας: Το πλάτος της ταχύτητας του σώματος είναι: a και αντικαθιστώντας: a 0 0, a Τελικά η εξίσωση της ταχύτητας του σώματος στο S.I. είναι: 3 0t

8 Γ. Αν F ελ είναι η αλγεβρικ τιμ της δύναμης που ασκεί το ελατριο στο σώμα θα ισχύει στην Τ.Θ. θεωρώντας θετικ φορά προς τα πάνω: F F F F g (3) όπου Α A 0, 0,. Διαφορετικά: Αν F ελ είναι η αλγεβρικ τιμ της δύναμης που ασκεί το ελατριο στο σώμα θα ισχύει στην Τ.Θ. θεωρώντας θετικ φορά προς τα πάνω: F l ( l ) l λόγω της (): F g Σύμφωνα με την (3) για να βρούμε την αλγεβρικ τιμ της δύναμης του ελατηρίου σαν συνάρτηση του χρόνου πρέπει να βρούμε την απομάκρυνση σαν συνάρτηση του χρόνου. Αυτ είναι: = Aημ(ωt + φ 0) αντικαθιστώντας στο S.I.: 3 0, 0t (4) Αντικαθιστώντας η (3) λόγω και της (4) δίνει: 3 F , 0t 3 F 0 0 0t (5) (S.I.) Σύμφωνα με την (5) το διάγραμμα της αλγεβρικς τιμς της δύναμης του ελατηρίου φαίνεται στο διπλανό σχμα. Παρατηρσεις: ) Την στιγμ t = 0 είναι: = A = 0,. Από τις (3) (5) προκύπτει τότε: F ελ (Ν) 30 F 30 N T ) Την στιγμ t βρίσκεται στην Θ.Ι. 4 για πρώτη φορά ( = 0). Τότε η (3) δίνει: 0 F 0 N T 3) Την στιγμ t βρίσκεται στην ανώτερη θέση για πρώτη φορά ( =Α = 0, ). Τότε η (3) δίνει: 0 t 0,π t() F 0 N Το αρνητικό πρόσημο ερμηνεύεται από το γεγονός ότι στην ανώτερη θέση το ελατριο είναι συμπιεσμένο και συνεπώς η δύναμη του ελατηρίου έχει φορά προς τα κάτω, δηλαδ αρνητικ κατεύθυνση (επιλέξαμε θετικ φορά προς τα πάνω). Δ. Όταν το ελατριο δεν ασκεί δύναμη στο σώμα έχει το φυσικό του μκος (Θ.Φ.Μ.). Αυτό συμβαίνει όταν η απομάκρυνση του σώματος είναι = Δl. Από την () προκύπτει: g l και αντικαθιστώντας: 0 l 00 l 0,

9 Άρα: = Δl 3 0t 6 3 0, 0t 0, οποία έχει λύσεις: 3 0, 0t 0, 3 0t (A) t (Β) όπου κ = ακέραιος 6 Από την (Α) προκύπτει: 3 3 Για κ = 0: 0t 0t t < 0 (απορρίπτεται) 3 3 Για κ = : 0t 0t 0t t Από την (Β) προκύπτει: Για κ = 0: Για κ = : t 0t 0 t < 0 (απορρίπτεται) t 0t 0t t 5 Επειδ είναι η πρώτη φορά δεκτ είναι η λύση: t 5 Διαφορετικά: Όταν F 0 από την (5) προκύπτει: t t 3 0 0t 0 κ.τ.λ.

10 Θ.Φ.Μ. Θ.Ι. t = 0 Τ.Θ. t = t Δl Δl F ελ d F ελ Δl O Α Θ.Φ.Μ. Θ.Ι. t = 0 Τ.Θ. t = t Δl F ελ F ελ Δl Δl O d Α

11