ΦΥΣ Διαλ.13. Παράδειγμα Τάσεων

Transcript

1 ΦΥΣ Διαλ.13 1 Παράδειγμα Τάσεων Το παιδί της διπλανής εικόνας θέλει να φθάσει ένα µήλο στο δέντρο χωρίς να σκαρφαλώσει. Χρησιµοποιεί ένα σχοινί αµελητέας µάζας και µια αβαρή τροχαλία. Τραβάει το σχοινί προς τα κάτω και το δυναµόµετρο δείχνει µια δύναµη F=50. Το βάρος του παιδιού είναι 30Ν ενώ το βάρος της καρέκλας είναι 160Ν. Προσδιορίστε: (α) Τα διαγράµµατα ελευθέρου σώµατος για το παιδί και την καρέκλα ξεχωριστά και για τα δύο σαν να αποτελούσαν ένα σύστηµα. (β) Το µέτρο και διεύθυνση της επιτάχυνσης του συστήµατος. (γ) Την δύναµη που το παιδί ασκεί στην καρέκλα.

2 ΦΥΣ Διαλ.13 Παράδειγμα τάσεων Τα διαγράµµατα ελεύθερου σώµατος για την καρέκλα (α), το παιδί (β) και για το σύστηµα του παιδιού-καρέκλας (γ). (α) (β) (γ)

3 ΦΥΣ Διαλ.13 3 Παράδειγμα τάσεων (β) Να βρεθεί το μέτρο και διεύθυνση της επιτάχυνσης του συστήματος Θεωρούμε ότι το σύστημά μας αποτελείται από το παιδί και την καρέκλα. Προσέξτε ότι σχοινιά στηρίζουν το σύστημα και η τάση σε κάθε σχοινί είναι Τ=50Ν όση δείχνει το δυναμόμετρο. Εφαρμόζουμε το ο νόμο του ewton: F = m T 480 = 480 g ( )g = = 0.408m /s 480 Η επιτάχυνση του συστήματος έχει φορά προς τα πάνω.

4 ΦΥΣ Διαλ.13 4 Παράδειγμα τάσεων (γ) Να βρεθεί η δύναμη που ασκεί το παιδί στην καρέκλα Θεωρούμε ότι το σύστημά μας αποτελείται από το παιδί. Η δύναμη που ασκεί το παιδί στην καρέκλα είναι ίση και αντίθετη με την αντίδραση n που δέχεται το παιδί από την καρέκλα (3 ος νόμος του ewton). Εφαρμόζουμε το ο νόμο του ewton στο σύστημα: F = m π T + n m π g = m π n = g n = 83.3 m παιδιού

5 Δυνάμεις τριβής Οι δυνάμεις αυτές είναι πολύ σημαντικές Σκεφθείτε πόσο δύσκολο είναι να περπατήσετε πάνω σε πάγο. ΦΥΣ Διαλ.13 Η τριβή αναπτύσσεται µεταξύ επιφανειών που έρχονται σε επαφή και η µία αρχίζει να κινείται σε σχέση µε τη άλλη. Η διεύθυνσή τους είναι αντίθετη της φοράς κίνησης 5 Δεν ξέρουµε τι ακριβώς συµβαίνει αλλά υπάρχουν µερικοί εµπειρικοί κανόνες! Στατική τριβή F s η s v=0 F s F H δύναμη της τριβής είναι ανάλογη της κάθετης δύναμης (αντίδρασης της επιφάνειας) και ανεξάρτητη της ταχύτητας ή του εμβαδού επαφής B Η σταθερά η s δίνει μια μέγιστη τιμή. Προσοχή: η δύναµη της στατικής τριβής έχει οποιαδήποτε τιµή µε µέγιστη τιµή: n s που λαµβάνεται τι στιγµή που θα κινηθεί το σώµα Η δύναµη F s δεν θα ναι ίση µε η s Ν αν τραβήξουµε µε µια µικρή F

6 ΦΥΣ Διαλ.13 6 Δυνάμεις τριβής! Κινητική τριβή F k = η k F k v H δύναµη της τριβής είναι ανάλογη της κάθετης δύναµης (αντίδρασης επιφάνειας) και ανεξάρτητη της ταχύτητας ή του εµβαδού επαφής (προσέγγιση) B Η σταθερά η κ εξαρτάται από το είδος και των επιφανειών σε επαφή Οι προηγούμενοι εµπειρικοί νόμοι καλοί για τους σκοπούς μας. Γενικά η ς >η κ Μπορούµε να κρατήσουµε κάτι που κινείται µε µικρότερη δύναµη από αυτή που χρειάστηκε για να το θέσουµε σε κίνηση

7 Τριβή ΦΥΣ Διαλ.13 7! Ποιά δύναµη απαιτείται ώστε το σώµα να κινείται µε σταθερή ταχύτητα. Η µάζα του βιβλίου είναι 1kg, ο συντελεστής στατικής τριβής η s =0.84 και ο συντελεστής της κινητικής τριβής η κ =0.75. Σταθερή ταχύτητα F = 0 Κάθετη δύναµη -διεύθυνση F χερ. F τρ. = 0 F χερ. = F τρ. F χερ. = η κ F καθ. -διεύθυνση F καθ. F βαρ. = 0 F καθ. = F βαρ. = mg Τριβή Βάρος F χερ. = η κ mg = 0.75 ( 1kg) ( 9.8 m s ) F χερ. = 7.3 Χέρι Φυσική

8 Παράδειγµα επιταχυνόµενης κίνησης ΦΥΣ Διαλ.13 Ένα τρακτέρ Τ µάζας m T =300kg τραβά ένα βαγονάκι µάζας m B =400kg µε σταθερή δύναµη σε οριζόντιο δρόµο. Το σύστηµα κινείται µε σταθερή επιτάχυνση 1.5m/s. Να βρεθεί η οριζόντια δύναµη στο τρακτέρ από το δρόµο T Τρ F εδ. Βαγ T 8 -διεύθυνση: Τρακτέρ F = m T F εδ T = m T F εδ = T + m T -διεύθυνση: Βαγονάκι F = m Β T = m Β B F εδ = m B + m T F εδ = ( m B + m T ) B Να βρεθεί η καθαρή δύναµη που ασκείται στο τρακτέρ και στο βαγονάκι F τρ. = m T F τρ = ( 300kg) 1.5 m s ( ) = 450Ν ( ) = 600Ν F βαγ. = m Β F βαγ. = ( 400kg) 1.5 m s

9 Παράδειγµα δύναµης µε γωνία ΦΥΣ Διαλ.13 Ένα άτοµο σπρώχνει ένα κιβώτιο µάζας 15kg µε σταθερή ταχύτητα κατά µήκος ενός δαπέδου. Ο συντελεστής κινητικής τριβής δαπέδου-κιβωτίου είναι η κ =0.4. Το άτοµο σπρώχνει το κιβώτιο µε γωνία 5 ο. Να βρεθεί η δύναµη που εφαρµόζει το άτοµο Ν F ατόµου 9 θ F ατ F ατ θ -διεύθυνση: F = m = 0 F ατ F τρ = 0 F ατ ( ) = F ατ cos θ F τρ. = η κ -διεύθυνση: F = m = 0 B F ατ = 0 = B + F ατ sin( θ) (υ=σταθ.) F ατ cos( θ) = F τρ F τρ. = η κ ( B + F ατ sin( θ) ) F ατ F ατ = cos( θ) η κ sin( θ) cos θ η κ mg F τρ = η κ mg ( ) η κ sin( θ) Η κάθετη δύναµη είναι µεγαλύτερη από το βάρος B=mg

10 Παράδειγµα ΦΥΣ Διαλ.13 Μια δύναµη T εφαρµόζεται σε σχοινί που είναι εξαρτηµένο σε σώµα 1 προκαλώντας επιτάχυνση α=3m/s. Η τριβή κρατά το σώµα πάνω στο σώµα 1 χωρίς να γλυστρά. Να βρεθεί η δύναµη T -διεύθυνση: Μάζα F = m F 1 τρ = m -διεύθυνση: Μάζα 1 Μ Μ 1 F = T F τρ 1 = 3 ος Νόµος: F τρ 1 = F 1 τρ T F 1 τρ B Μ 1 εδ. B 1 T = + m T = ( + m ) Τ Μ 1 B F 1 τρ Ίδιο αποτέλεσµα σα να είχαµε ένα και µόνο σώµα µε µάζα Μ = M 1 + M 10

11 ΦΥΣ Διαλ Σώµα σε κεκλιµένο επίπεδο και τριβή Σώµα βρίσκεται σε κεκλιµένο επίπεδο γωνίας θ ως προς την οριζόντια διεύθυνση. Ποιος ο συντελεστής στατικής τριβής θ mg f s Το σώµα ισορροπεί εξαιτίας της ύπαρξης της δύναµης της στατικής τριβής f s που αντιτίθεται στη κίνηση του προς τη βάση του κεκλιµένου επιπέδου. Εφόσον το σώµα δεν κινείται f s f s m = µ s Αυξάνοντας τη γωνία του κεκλιµένου επιπέδου, θ, η συνιστώσα της βαρυτικής δύναµης στη -διεύθυνση αυξάνει και εποµένως η τριβή µέχρι f s m Τη στιγµή που συµβαίνει αυτό το σώµα είναι έτοιµο να γλυστρήσει πάνω στην επιφάνεια και όταν αρχίσει να κινείται έχουµε κινητική τριβή Στην οριακή αυτή περίπτωση, f s = f s m = µ s Εφαρµόζοντας το ο νόµο του ewton θα έχουµε: -διεύθυνση: mgsinθ f s = 0 mgsinθ µ s = 0 µ s = mgsinθ -διεύθυνση: mgcosθ = 0 = mgcosθ µ s mgcosθ = mgsinθ µ s = sinθ cosθ µ s = tnθ Ανεξάρτητος της µάζας και διαστάσεων του σώµατος!!

12 ΦΥΣ Διαλ.13 1 Παράδειγµα Παρουσία τριβής Τούβλο µάζας =1.0kg βρίσκεται πάνω σε κεκλιµένο επίπεδο όπως στο σχήµα. Συνδέεται µε άλλο τούβλο µάζας m =.0kg µε ένα σχοινί µέσω αβαρούς τροχαλίας. Οι συντελεστές στατικής και κινητικής τριβής µεταξύ και επιπέδου είναι µ s =0.5 και µ κ =0.4. Ποια η επιτάχυνση του συστήµατος Τρεις πιθανές περιπτώσεις (ανεξάρτητες): (1) Το σώµα θα παραµείνει ακίνητο () Το σώµα θα επιταχυνθεί προς τα πάνω T (3) Το σώµα θα επιταχυνθεί προς τα κάτω f s B 1 B 1 Δεν ξέρουµε που θέλει να κινηθεί το σώµα B και η κίνηση εξαρτάται από τη τριβή 1 Ξέρουµε όµως τη µέγιστη τιµή της στατικής τριβής: f m s = µ s = µ s gcosθ (1) Ξέρουµε ακόµα πως αν το σύστηµα είναι ακίνητο τότε: T = m g () (A) Υποθέτουµε ότι είναι σχεδόν έτοιµη να κινηθεί προς τα πάνω: H f s θα έχει φορά προς τα κάτω µε µέτρο: f s = µ s gcosθ Από το ο νόµο του ewton στη -διεύθυνση θα έχουµε: T B 1 f m s = 0 T gsinθ f m s = 0 (η είναι ακόµα ακίνητη!) T = gsinθ + f s m m g = gsinθ + f s m Αν η m γίνει ελάχιστα µεγαλύτερη τότε το σύστηµα θα επιταχυνθεί προς τα πάνω m g gsinθ + f s m Εποµένως η ικανή συνθήκη για να συµβεί είναι: B T

13 Παράδειγµα Παρουσία τριβής ΦΥΣ Διαλ (Β) Υποθέτουµε ότι είναι σχεδόν έτοιµη να κινηθεί προς τα κάτω: H f s θα έχει φορά προς τα πάνω µε µέτρο: f s = µ s gcosθ Από το ο νόµο του ewton στη -διεύθυνση θα έχουµε: T B 1 + f m s = 0 T gsinθ + f m T s = 0 f s T T = gsinθ f s m m g = gsinθ f s m Αν η m γίνει ελάχιστα µικρότερη τότε το σύστηµα θα επιταχυνθεί προς τα κάτω Εποµένως η ικανή συνθήκη για να συµβεί είναι: m g gsinθ f s m B 1 B 1 B 1 B (Γ) Αν οι συνθήκες (Α) και (Β) δεν ικανοποιηθούν και οι δυο τότε: το σύστηµα θα παραµείνει ακίνητο

14 Παράδειγµα Παρουσία τριβής Αντικατάσταση στα δεδοµένα του προβλήµατος: m =Kg, =1kg, θ=30 0 και µ s =0.5 Εποµένως θα έχουµε: gsinθ = 1kg m g = kg ( ) 1 = 5 ( ) 10 m s ( ) = 0 ( ) 10 m s ( ) 3 ( ) 10 m s f m s = µ s = µ s gcosθ = 0.5 1kg = 4.33 Προσοχή ότι χρησιµοποιήσαµε το συντελεστή µ s Εξετάζουµε τις 3 συνθήκες για να βρούµε πως θα κινηθεί το σύστηµα: ΦΥΣ Διαλ m (A) m g gsinθ + f s Αντικατάσταση: Ισχύει Εποµένως το σύστηµα θα κινηθεί προς τα πάνω Ποια είναι η επιτάχυνση και ποια η τάση του νήµατος; Από τη στιγµή που το σύστηµα αρχίζει να κινείται η τριβή γίνεται κινητική τριβή, έχει φορά προς τα κάτω και µέτρο f k =µ κ gcosθ Από το ο νόµο του ewton στη -διεύθυνση θα έχουµε: T f k gsinθ = T µ k gcosθ gsinθ = ( ) = T g µ k cosθ sinθ Αλλά το m επιταχύνεται µε α: f k B 1 B 1 T B 1 Μια εξίσωση µε αγνώστους (Τ και α) T m g = m T = m ( g ) Η Τ<m g=0 B T

15 ΦΥΣ Διαλ Παράδειγµα Παρουσία τριβής Διαφορετικά δεδοµένα Έστω τα δεδοµένα του προβλήµατος είναι: m =0.4Kg, =1kg, θ=30 0 και µ s =0.5 Εποµένως θα έχουµε: gsinθ = 1kg m g = 0.4kg ( ) 1 = 5 ( ) 10 m s ( ) = 4 ( ) 10 m s f m s = µ s = µ s gcosθ = 0.5 1kg = 4.33 Εξετάζουµε τις 3 συνθήκες για να βρούµε πως θα κινηθεί το σύστηµα: (A) m g gsinθ + f s m ( ) 3 ( ) 10 m s Αντικατάσταση: m (B) m g gsinθ f s Αντικατάσταση: B 1 B 1 T B 1 Δεν Ισχύει Οι συνθήκες (Α) και (Β) δεν ικανοποιούνται και εποµένως το σύστηµα θα παραµείνει ακίνητο Από το ο νόµο του ewton θα έχουµε τώρα: Δεν Ισχύει T gsinθ + f s = 0! f s = T gsinθ = 5 4! f s = +1 Δηλαδή η στατική τριβή έχει φορά προς τα πάνω και µέτρο 1< f s m f s B T

16 ΦΥΣ Διαλ Mηχανή Atwood µε κινούµενη τροχαλία Θεωρείστε τη µηχανή Atwood του σχήµατος. (α) Να γραφούν οι τρεις εξισώσεις F=mα. Θεωρείστε θετική τη φορά προς τα πάνω. (β) Να βρεθεί η επιτάχυνση της µεσαίας µάζας (m) συναρτήσει των επιταχύνσεων των δύο άλλων µαζών. (γ) Να βρεθούν και οι τρεις επιταχύνσεις

17 ΦΥΣ Διαλ Mηχανή Atwood µε κινούµενη τροχαλία (α) Να γραφούν οι τρεις εξισώσεις F=mα. Τ Τ Τ Τ α Τ Τ α 1 α 3 F = m11 = T m1g F = m = T + T mg F = m33 = T m3g m11 = T m1g m = T mg m33 = T m3g Τρεις εξισώσεις αλλά με 4 αγνώστους: α 1,α,α 3,T 1 ακόμα εξίσωση

18 ΦΥΣ Διαλ Μηχανή Atwood µε κινούµενη τροχαλία (β) Αρχή διατήρησης του νήµατος και η επιτάχυνση της µάζας m m m 3 " Έστω η µάζα κινείται κατά 1 προς τα πάνω και η µάζα m 3 κινείται κατά 3 προς τα πάνω. # Το νήµα όµως δεν χάνεται, άρα µήκος νήµατος ίσο µε πρέπει να εµφανιστεί στη µεσαία περιοχή. " Αφού υπάρχουν τµήµατα νήµατος, το καθένα θα πρέπει να επιµηκυνθεί κατά ( )/. Η µάζα m πηγαίνει προς τα κάτω κατά το ίδιο διάστηµα. Εποµένως µπορούµε να βρούµε την επιτάχυνσή της. = dv dt = d dt d dt = d d dt dt [ ( ) ] = ( + ) 1 = 1 3 (+) (+) 1 d dt d 1 dt m m 3 3 (-) ( 1 + 3) + d dt = d 3 dt

19 ΦΥΣ Διαλ Mηχανή Atwood µε κινούµενη τροχαλία (γ) Οι επιταχύνσεις των τριών µαζών και η τάση Τ του νήµατος Τώρα έχουµε 4 εξισώσεις µε 4 αγνώστους: 1 3 Από τις (6) και (3) έχουµε: = m( 3 ) + 3mg T = m(9 3 ) (7) Από τις (1) και (7) έχουµε: T mg (1) = m = 1 (5) T mg T mg = = () m m T 3mg 3 = 3 = 1 (6) (3) 3m = (4) T g m(91 3g) mg 1 = 10m1 = mg 1 = m g 5 Αντικαθιστώντας στις (5),(6) και (7) = g 5 3 = 3g 5 T = mg