Å Ó Ó ÐÅÉÑÁÌÁÔÉÊÏ ËÕÊÅÉÏ. ÁóêÞóåéò. ôçò ÅÕÁÃÃÅËÉÊÇÓ Ó ÏËÇÓ ÓÌÕÑÍÇÓ Å ÅÔÏÓ É ÉÄÑÕÓÇÓ

Transcript

1 ÐÅÉÑÁÌÁÔÉÊÏ ËÕÊÅÉÏ ôçò ÅÕÁÃÃÅËÉÊÇÓ Ó ÏËÇÓ ÓÌÕÑÍÇÓ Å Ó Ó Å ÅÔÏÓ É ÉÄÑÕÓÇÓ 1733 ÔÁÎÇ Ã MáèçìáôéêÜ ÃåíéêÞò Ðáéäåßáò ÁóêÞóåéò EEEbbBBeee ÊáèçãçôÞò: Í.Ó. ÌáõñïãéÜííçò Ó ïëéêü ôïò

2 Πειραματικο Λυκειο Ευαγγελικης Σχολης Σμυρνης Tah G, Majhmatika Genikhc Paideiac, Askhseic Kajhght c: Oi shmei seic autèc eðnai gia sqolik qr sh. MporoÔn na anaparaqjoôn kai na dianemhjoôn eleôjera arkeð na mhn all ei h morf touc. Gia ton periorismì, twn anapìfeuktwn, laj n upìkeintai se suneqeðc diorj seic. Dianèmontai wc èqoun kai o sunt kthc touc de fèrei kamða eujônh gia tuqìn probl mata pou anakôyoun apì th qr sh touc. 7 Maòou 2009 Stoiqeiojet jhkan me to L A TEX.

3 1 Sunart seic Majhmatika Genikhc Paideiac 1 1 Sunart seic 1.1 Συναρτήσεις: Γενικά 1. Στην ισότητα 2 +3y =4να εκφράσετε το y συναρτήσει του. y = Στην ισότητα (y +2)=2y 1 να εκφράσετε το y συναρτήσει του. y = Να βρείτε το πεδίο ορισμού των παρακάτω συναρτήσεων: (αʹ) f () = (βʹ) f () = (a ) D f =(, 3) [2, + ) (b ) D f = R { 1, 1, 2} =(, 1) ( 1, 1) (1, 2) (2, + ) 4. Για την συνάρτηση f είναι γνωστό ότι Εχει πεδίο ορισμού το R Είναι γνησίως αύξουσα. Να συμπληρώσετε με το κατάλληλο σύμβολο από τα <, > τις παρακάτω σχέσεις: (αʹ) f (1)...f (4) (βʹ) f (2)...f ( 2 ) (γʹ) f ( 1 2)...f (0) (δʹ) f ( +1)...f ( +2) (a') < (b') > (g') > (d') < 5. Να βρείτε το πεδίο ορισμού των παρακάτω συναρτήσεων: (αʹ) f () = ln 2 3ln +2 (βʹ) g () =ln 2e 1 +2 (a ) (0,e] [e 2, + ) (b ) (, 2) ( ln 2, + ) 6. Δίνεται η συνάρτηση f() = Να βρείτε για ποια ισχύει f() = 11. = 4, =3 7. Ενα διαγώνισμα του Εστω η συνάρτηση f () = (αʹ) Να καθορίσετε το πεδίο ορισμού της D f.

4 1 Sunart seic Majhmatika Genikhc Paideiac 2 (βʹ) Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας που διέρχεται από τα σημεία K (2,f(2)), Λ(3,f(3)). 8. Ενα διαγώνισμα του Εστω η συνάρτηση f () = (αʹ) Να καθορίσετε το πεδίο ορισμού της D f. (βʹ) Να αποδείξετε ότι για κάθε, +1 D f με ισχύει f 2 ( +1) f 2 () = Εστω η συνάρτηση g () = 2. Να επαληθεύσετε τις ισότητες: (αʹ) g () 2 = 2 (βʹ) g ( ) 1 + g () = Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας y = α + β στις ακόλουθες περιπτώσεις: (αʹ) Διέρχεται από τα σημεία A (1, 2), B ( 3, 1) (βʹ) Διέρχεται από το σημείο A (1, 2) και είναι παράλληλη προς την ευθεία y =2 +5 (γʹ) Διέρχεται από το σημείο A(1, 2) και είναι κάθετη προς την ευθεία y = 2 +5 (a ) y = (b ) y =2 (g ) y = Δίνεται η συνάρτηση f () = +. (αʹ) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της. (βʹ) Να επαληθεύσετε την ισότητα f(2 ) = +1. (a') [0, + ) 12. Εστω η συνάρτηση f με f () = Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας που διέρχεται από τα σημεία A (1,f(1)), B ( 3,f( 3)). y = Στα επόμενα σχήματα να εκφράσετε το y συναρτήσει του. ff ff ff y ff ff y ff (Ι) ff (ΙΙ) ff

5 1 Sunart seic Majhmatika Genikhc Paideiac 3 ff y ff y ff ff O ff ff (ΙΙΙ) ff (IV) (I) y = α 2 + 2, (II) y = 2 2α +2α 2 (III) y = α ημ (IV) y = 2αημ 14. Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f () = D f = [ , ] [1, + ) 15. Εστω f () = + 1. Να αποδείξετε ότι αν ln a +lnb =0τότε ισχύει f (a) =f (b). 16. Για την συνάρτηση f είναι γνωστό ότι: Είναι γνησίως αύξουσα. Εχει πεδίο ορισμού το R. (αʹ) Εστω ότι f ( 1 ) <f( 2 ).Τότεθαείναικαι 1 < 2.Γιατί; ( ) ( ) (βʹ) Να βρείτε όλα τα γιαταοποίαισχύειf <f (b') < 7 2 << Εστω δύο συναρτήσεις f, g. Εστω ακόμη s, d το άθροισμα και η διαφορά τους. Αν s (5) = 3 και d (5) = 2 βρείτε τα f (5),g(5). s (5) = 5 2,d(5) = Να βρείτε τα κοινά σημεία των γραφικών παραστάσεων των συναρτήσεων: A (0, 1),B ( 3 2, 19 ) 4 f () = g () = Για ποιές τιμές των α, β η γραφική παράσταση της συνάρτησης f () = α 2 + β +2διέρχεται από τα σημεία A ( 1, 9) και B (2, 6); α =3,β = Μία λίμνη μολύνεται από διαρροή τοξικού υγρού. Η ποσότητα, σε λίτρα, ϕ (t) εισρεύσει στη λίμνη μετά πάροδο χρόνου t ωρών είναι: 2t 5 t αν t 4 ϕ (t) = 10 t 32 αν t > 4 Η διαρροή διήρκεσε 10 ώρες.

6 1 Sunart seic Majhmatika Genikhc Paideiac 4 (αʹ) Να υπολογίσετε πόσα λίτρα τοξικού υγρού διοχετεύθηκαν στη λίμνη. (βʹ) Να βρείτε ποια χρονική στιγμή t 0 υπήρχαν στη λίμνη 8 λίτρα τοξικού υγρού. (a ) 68 lðtra (b ) t 0 =4 21. Είναι g () = + α ln και g (e) =7.Ναβρείτετοg ( e 2). e 2 2e Στα παρακάτω σχήματα απεικονίζεται η γραφική παράσταση μίας συνάρτησης f. Σε ποιές περιπτώσεις μπορούμε να πούμε ότι η f παρουσιάζει τοπικό ακρότατο στο 0 ; f ( 0) f ( 0) (α ) 0 (β ) 0 f ( 0) f ( 0) (γ ) 0 (δ ) 0 f ( 0) f ( 0) (ε ) 0 Stic (d') kai (e') (ς ) Εστω μία συνάρτηση f με πεδίο ορισμού το R. (αʹ) Να αποδείξετε ότι αν 1 < 2 και ο αριθμός λ = f(1) f(2) 1 2 είναι θετικός τότε θα είναι και f ( 1 ) <f( 2 ). (βʹ) Να αποδείξετε ότι αν για κάθε ζεύγος 1 2 ισχύει λ = f(1) f(2) 1 2 > 0 τότε η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα. 24. Να απλοποιήσετε τους τύπους των παρακάτω συναρτήσεων (αʹ) f () = (βʹ) g () = (γʹ) h () =

7 1 Sunart seic Majhmatika Genikhc Paideiac 5 (a ) f () = 2 +4 (b ) g () = (g ) h () = 3 2( 1) 25. Εστω η συνάρτηση ϕ () =ημ + συν2. (αʹ) Να υπολογίσετε το ϕ (0) (βʹ) Να υπολογίσετε το ϕ ( ) π 4 (γʹ) Να υπολογίσετε το ϕ ( π 2 ) ϕ ( π 2 + ) (a ) 1 (b ) 2 2 (g ) Εστω η συνάρτηση ϕ () = 1 ln ( 2). (αʹ) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f. (βʹ) Ναβρείτεγιαποιατιμήτουλ το σημείο M (λ, 3) ανήκει στη γραφική παράσταση της f. ( (γʹ) Να αποδείξετε ότι ϕ 2+e 1 2) =. (a ) (2,e+2] (b ) λ = e Ορια Συναρτήσεων 27. Να υπολογίσετε τα παρακάτω όρια: (αʹ) lim (βʹ) lim (γʹ) +1 lim 1 +2 (δʹ) lim α (a ) 4 (b ) 6 7 (g ) 0 (d ) α+1 α Να υπολογίσετε τα παρακάτω όρια: (αʹ) lim (βʹ) lim (γʹ) lim (δʹ) lim (a ) 1 2 (b ) 3 (g ) 2 (d ) Να υπολογίσετε τα παρακάτω όρια:

8 1 Sunart seic Majhmatika Genikhc Paideiac 6 (αʹ) lim (βʹ) lim (γʹ) (δʹ) lim lim (+1) (a ) 1 4 (b ) 7 10 (g ) 0 (d ) Να υπολογίσετε τα παρακάτω όρια: ( (αʹ) lim ) 3 (βʹ) lim (γʹ) lim (δʹ) lim (a ) 2 (b ) 0 (g ) 1 6 (d ) Να υπολογίσετε τα παρακάτω όρια: (αʹ) lim π 2 ημ+συν (ημ +3συν) (βʹ) lim π ημ συν 6 (a ) 1 (b ) Γιαποιάτιμήτουα ισχύει lim α =5± α 2 =5; α 3 + α 2 α 33. Για την συνάρτηση f () είναι γνωστό ότι είναι συνεχής στο 2 και ότι f (2) = 5. Ναυπολογίσετετοόριοlim 2 () 25)( 2 4) Να βρείτε το όριο lim /2 (f 2 (f() 5)( 2) Για τις συνεχείς συναρτήσεις f,g είναι γνωστό ότι f 2 (3) + g 2 (3) = 2f (3) + 4g (3) 5 Να υπολογίσετε το όριο: ( f 2 () 1 )( g 2 () 4 ) lim 3 (f () 1) (g () 2) Υποθέτουμε ότι lim α+β 3 =5. (αʹ) Να θέσετε f () = α+β 3, 3και να εκφράσετε το α + β ως παράσταση των f () και 3. (βʹ) Να αποδείξετε ότι β = 63 3α (γʹ) Να βρείτε τα α, β. α = 46, β =75

9 1 Sunart seic Majhmatika Genikhc Paideiac Υπολογισμοί Παραγώγων 37. Να βρεθούν οι παράγωγοι των συναρτήσεων: (αʹ) f() = 3 (βʹ) f() =3 3 (γʹ) f() = 5 (δʹ) f() = 0,1 (εʹ) f() = 4 (ϛʹ) f() = 11 (ζʹ) f() = 2 3 (ηʹ) f() = 5 6 (θʹ) f() = 2 (ιʹ) f() =2 (ιαʹ) f() = 3 (ιβʹ) f() = 5 (ιγʹ) f() = k (ιδʹ) f() = 3 2 (ιεʹ) f() = 3 2, > 0 (ιϛʹ) f() = 3 5 (ιζʹ) f() = (ιηʹ) f() = (ιθʹ) f() = e (κʹ) f() = 45 (a ) f () =3 2 (b ) f () =9 2 (g ) f () =5 4 (d ) f () =0, 1 0,9 = (e ) f () = 4 5 (± ) f () = (z ) f () = = (h ) f () = (j ) f () = (i ) f () = 1 (ia ) f () = (ib ) f () = (ig ) f () = (id ) f () = (ie ) f () = (i± ) f () = (iz ) f () = (ih ) f () = (ij ) f () =e e 1 (k ) f () = k k 1 k = k k k Να βρεθούν οι παράγωγοι των συναρτήσεων: (αʹ) f() =2ημ (βʹ) f() =3συν (γʹ) f() = εϕ (δʹ) f() = 2συν (εʹ) f() =11σϕ (ϛʹ) f() = (a ) f () =2συν (b ) f () = 3ημ (g ) f () = 1 εϕ 2 (d ) f () = 2ημ (e ) f () = 11 11σϕ 2 (± ) f () = Να βρεθούν οι παράγωγοι των συναρτήσεων:

10 1 Sunart seic Majhmatika Genikhc Paideiac 8 (αʹ) g() = +3 (βʹ) g() = 3 (γʹ) g() =3 (δʹ) g() = 3 (εʹ) g() = 3 (ϛʹ) g () = 3+ (a ) g () =1 (b ) g () =1 (g ) g () =3 (d ) g () = 1 3 (e ) g () = 3 (± ) g () =1 40. Να βρεθούν οι παράγωγοι των συναρτήσεων: (αʹ) ϕ() =5e (βʹ) ϕ() =e5 (γʹ) ϕ() = ( 1 e (δʹ) ϕ() =4 ) (εʹ) ϕ() =(e +1) (ϛʹ) ϕ() = 2 (ζʹ) ϕ() = 3 2 (ηʹ) ϕ() = 5 4 (θʹ) ϕ() =11 12 (a ) ϕ () =5e (b ) ϕ () =e5 ln 5 (g ) ϕ () = e (d ) ϕ () =(2ln2)4 (e ) ϕ () =(e +1) ln (e +1) (± ) ϕ () = ln (z ) ϕ () = ln 2 3 (h ) ϕ () = 2ln (j ) ϕ () =(11 ln 12) Να βρεθούν οι παράγωγοι των συναρτήσεων: (αʹ) h() = + 2 (βʹ) h() = (γʹ) h() =α 2 + β + γ (δʹ) h() =α 2 β + γ (εʹ) h() = (ϛʹ) h() = (ζʹ) h() = (h ) h() = (j ) h() = (i ) h() = α β γ + δ (a ) h () =1+2 (b ) h () = (g ) h () =2α + β (d ) h () =2α β (e ) h () = (± ) h () = (z ) h () = (h ) h () = (j ) h () = (i ) h () =α 2 + β + γ 42. Να βρεθούν οι παράγωγοι των συναρτήσεων:

11 1 Sunart seic Majhmatika Genikhc Paideiac 9 (αʹ) f() =ημ + e (βʹ) f() =2ημ +3συν (γʹ) f() =2ημ +3συν π 18 (δʹ) f() =2e +3e 4 (εʹ) f() =ημ π 5 ημ + eημ π 11 (ϛʹ) f() =εϕ + (ζʹ) f() = (ηʹ) f() =συν 2+συν π 8 (θʹ) f() = 2συν +ln (ιʹ) f() =ln 3 (ιαʹ) f() =5log (ιβʹ) f() =3log3 5log2 (ιγʹ) f() =log ( 2 2) (ιδʹ) f() =log(3+) (a ) f () =συν + e (b ) f () =2συν 3ημ (g ) f () =2συν (d ) f () =2e (e ) f () =ημ π 5 συν (± ) f () =1+εϕ (z ) f () = (h ) f () =0 (j ) f () = 2ημ + 1 (i ) f () = 3 (ia ) f () = 5 ln 10 (ib ) f () = 2 ln 10 (ig ) f () = 2 ln 10 (id ) f () = 1 (3+) ln Να βρεθούν οι παράγωγοι των συναρτήσεων: (αʹ) f() =( +1)( 2) (βʹ) f() =(2 +1)(5 2) (γʹ) f() =( 1) ( 2 +1 ) (δʹ) f() = ( ) ( 1) (εʹ) f() =(e + )( +ln) (ϛʹ) f() =( ) ( + 3) (ζʹ) f() =( +1)( +2)( +3) (ηʹ) f() =( + e )( +ln)( +1) (θʹ) f() =( 2 +1)ημ (ιʹ) f() =(ημ)(συν)(εϕ) (ιαʹ) f() =e ln ημ (ιβʹ) f() = (ιγʹ) f() = α 3 α (ιδʹ) f() = ( )( 2 +1 ) (a ) f () =2 1 (b ) f () =20 +1 (g ) f () = (d ) f () = (e ) f () =e + e ln +2 +ln + e + 1 e +1 (± ) f () = (z ) f () = (h ) f () = ln +ln + e 2 +3e + e ln +2e ln +1+2e + 1 e (j ) f () =3 2 ημ + ημ + 3 συν + συν (i ) f () =2συνημ (ia ) f () =e ln ημ + 1 e ημ + e ln συν (ib ) f () = (ig ) f () = α 3 α (1+) 2 4 (2+) 3 (id ) f () = Να βρεθούν οι παράγωγοι των συναρτήσεων:

12 1 Sunart seic Majhmatika Genikhc Paideiac 10 (αʹ) f() = +1 2 (βʹ) f() = (γʹ) f() = 2 (δʹ) f() = e (εʹ) f() = e 2 (ϛʹ) f() = ln (ζʹ) f() = ln ημ (ηʹ) f() = ln 3 ln 5 (θʹ) f() = e e (ιʹ) f() = 2 2 (ιαʹ) f() = (ιβʹ) f() = α+β γ+δ (ιγʹ) f() = (ιδʹ) f() = +ημ συν (ιεʹ) f() = +ln (ιϛʹ) f() = ln 1+ 1 (ιζʹ) f() = (ιηʹ) f() = e +e e e (ιθʹ) f() = (a ) f () = 3 ( 2) 2 (b ) f () = 6 ( 2 2) 2 (g ) f ln 2 1 () =2 2 (d ) f () =e 1 2 (e ) f () =e 2 3 (± ) f () = 1 ln 2 (z ) f () = (h ) f () = ημ+(ln συν) ( 1+συν 2 ) ln 5 ln 3 (ln 5+ln ) 2 (j ) f () =e e e 1 e +1 (i ) f () = 2 +2 ( 2 2) 2 (ia ) f () = 8 ( 2 2) 2 (ib ) f () = αδ γβ (γ+δ) 2 (ig ) f () = ( 1) 2 (id ) f () = συν+ημ+1 συν 2 (ie ) f () =2 1 ln ( ln ) 2 (i± ) f () = (+2) (+1) 2 (iz ) f () = 1 (+1) 2 (ih ) f e () = 4 2 ( 1+e 2 ) 2 ( (ij ) f () = 2 2 ) +2+3 ( ) Να βρεθούν οι παράγωγοι των συναρτήσεων: (αʹ) g() =(2) 3 (βʹ) g() =(q) r (γʹ) g() = 3 (δʹ) g() =( +1) 11 (εʹ) g() =(11 +1) 11 (ϛʹ) g() =ημ 3 (ζʹ) g() =ημ3 (ηʹ) g() =ημ 3 (θʹ) g() = 3 ημ (ιʹ) g() =ημ 3 (ιαʹ) g() =ημ 3 (ιβʹ) g() = 1 3 ημ (ιγʹ) g() =e 3 (ιδʹ) g() =e 2 +1 (ιεʹ) g() =e 2 2 (ιϛʹ) g() =ημ(ω) (ιζʹ) g() =ημ (3 +4) (ιηʹ) g() =εϕ3 (ιθʹ) g() =ln(ημ)

13 1 Sunart seic Majhmatika Genikhc Paideiac 11 (a ) g () =24 2 (b ) g () =rq r r 1 (g ) g () = 3 2 (d ) g () =11( +1) 10 (e ) g () = 121 (11 +1) 10 (± ) g () =3συν 3συν 3 (z ) g () =3συν3 (h ) g () =3 ( συν 3) 2 (j ) g () = συν 3 3 ημ 2 (i ) g () = συν (ia ) g () = 1 3 συν 1 3 (ib ) g () = 1 3 συν (ig ) g () =3e 3 (id ) g () =2e 2 +1 (ie ) g () = e 2 2 (i± ) g () =ωσυνω (iz ) g () =3συν (3 +4) (ih ) g () =3+3εϕ 2 3 (ij ) g () = συν ημ = σϕ 46. Να βρεθούν οι παράγωγοι των συναρτήσεων: (αʹ) f() =ημ ( συν 2) ln 2 (βʹ) f() =e (γʹ) f() = εϕ3 (δʹ) f() = 3 ln 2 (εʹ) f() = 2 (ϛʹ) f() = ( 2) (ζʹ) f() =ημ (a ) f () = 2 ( συν ( συν 2) ημ 2) (b ) f () =2 (g ) f () = 3 1+εϕ εϕ3 (d ) f () = ln 2 (e ) f () = 2 +1 (2 ln +1) (± ) f () = ( 2) ( ln 2 +2 ) (z ) f () = 1 2 ( ημ ( 1) ) ln(ημ)ημ+2συν 47. Να βρεθούν οι παράγωγοι των συναρτήσεων: (αʹ) g() = ημ (ln ) (βʹ) g() =ημ (ημ) (γʹ) g() =ln(ln) (δʹ) g() =e ημ ( ) 4 (εʹ) g() = +1 1 (ϛʹ) g() =(e 2 ln ) (ζʹ) g() =ln ( ) + 1 (ηʹ) g () =ημ ( 2 +1 ) (θʹ) g() =εϕ( π 4 ) (ιʹ) g() = (ιαʹ) g() = e 0,1 (ιβʹ) g() =( 1) 1 ) 1+ 1 (ιγʹ) g() = ( 1+ 1 (ιδʹ) g () =ημ (ln ) (a ) g () = συν(ln ) (b ) g () =(συν) συν (ημ) (g ) g () = 1 ln (d ) g () =e ημ (ημ + συν) (e ) g () = 8 (+1)3 ( 1) 5 (± ) g () =(e ln ) 2 2 (ln )+1 (ln ) (z ) g () = 2 1 ( 2 +1)

14 1 Sunart seic Majhmatika Genikhc Paideiac 12 (h ) g () =2 ( συν ( 2 +1 )) (j ) g () = π 4 ( ) 1+εϕ 2 π 4 (i ) g () = (ln +1) (ia ) g () =0, 1e 0,1 (ib ) g () =( 1) 1 (ln ( 1) + 1) (ig ) g () = (id ) g () = ( ) ln συν(ln ) 48. Να βρεθούν οι παράγωγοι των συναρτήσεων: (αʹ) f(t) =e 3t (βʹ) f(ω) =συν3ω (γʹ) S(ω) = ω+1 ω 1 (δʹ) s (t) = 1 2 t2 +3t 2 (εʹ) P (t) =t2 3t+3 (ϛʹ) V (t) = α ln t (ζʹ) E(r) =π(r +1)(r +2) (ηʹ) V () = 2 + ( + α)+β 2 (θʹ) I (λ) = λ ln λ (ιʹ) I (ξ) = ξ (ξ +1) (a ) f (t) =3e 3t (b ) f (ω) = 3ημ3ω (g ) S (ω) = 2 (ω 1) 2 (d ) s (t) =t +3 (e ) P (t) =8 1 t 24t8 t ln 2 (± ) V (t) = α t ln 2 t (z ) E (r) =2πr +3π (h ) V () =4 + α (j ) I (λ) = ln λ 1 ln 2 λ (i ) I (ξ) = 2ξ+1 2 ξ(ξ+1) 49. Να βρεθούν οι παράγωγοι των παρακάτω παραστάσεων ως προς την μεταβλητή που σημειώνεται: (αʹ) p = P1V1+P2V2 V 1+V 2 ως προς V 2 (βʹ) T =2π m D ως προς D (γʹ) y = y 0 ημ2π ( t T λ) ως προς t (δʹ) I = I 0 ( 1 e R L t ) ως προς t (εʹ) R = R1R2 R 1+R 2 ως προς R 1 (ϛʹ) q = N BS(συνθ 1) R Π+R G ως προς θ (a ) dp dv 2 = V 1 P 2 P 1 (V 1 +V 2 ) 2 (d ) di dt = I0 R R L e L t (b ) (g ) dt dd = π D 3 m dy dt = ( ( 2π T y0 συν2π t T )) λ (e ) (± ) dr R dr = (R 1 +R 2 ) 2 dq dθ = NBS ημθ R Π +R G 50. Στις παρακάτω σχέσεις να βρείτε την παράγωγο ως προς τις αναφερόμενες μεταβλητές: (αʹ) y = + y +1(της y ως προς ) (βʹ) PV = nrt (τουv ως προς T ) (γʹ) 1 R = 1 R R 2 (τουr 2 ως προς R 1 ) (δʹ) Cp C v = 5 3 (τουc v ως προς C p ) (εʹ) 2 = e y (του ως προς y) (ϛʹ) 2 = e y (του y ως προς ) (ζʹ) 2 + y 2 =9(τουy όταν είναι θετικό ως προς ) (ηʹ) 2 +2 y =10(του y ως προς )

15 1 Sunart seic Majhmatika Genikhc Paideiac 13 (a ) (b ) dy d = 2 ( 1) 2 ) dv dt = nr P (g ) dr 2 dr 1 = R2 (R R 1 ) 2 (d ) dcp dcv = 5 3 (e ) (± ) d dy = 1 2 ey dy d = 1 (z ) f () = (h ) 9 2 dy d = Να υπολογίσετε το f ( 0 ) στις παρακάτω περιπτώσεις: (αʹ) f() = +1, 0 =1 (βʹ) f() = + ημ, 0 = π 4 (γʹ) f() = ln, 0 = e 2 (δʹ) f() = + 2, 0 =1 (εʹ) f() =, 0 =1 (ϛʹ) f () =e, 0 =0 (a ) f (1) = 1 4 (b ) f ( ) π 4 = (g ) f ( e 2) =3 (d ) f (1) = (e ) f (1) = 1 (± ) f (0) = Να βρεθούν οι παράγωγοι των συναρτήσεων: (αʹ) f () = (βʹ) f () = e 1+ ln (γʹ) f () = e e e +e (δʹ) f () =ln +1 1 (a ) f () = 2 ( 2 +1) (b ) f () = (e ln +1)(1 ) (1+ ln ) 2 (g ) f () = (d ) f () = 4e2 (e 2 +1) 2 2 (+1)( 1+) 53. Να βρεθούν οι παράγωγοι των συναρτήσεων: (αʹ) f () =α 3 + β 2 + γ + δ (βʹ) f () = α β α 2 (γʹ) f () = β α 2 α 2 (δʹ) f () =( α)( β)( γ) (a ) f () =3α 2 +2β + γ (b ) f () = β α α 2 (g ) f β () = α 2 α 2 (d ) f () =3 2 2(α + β + γ) + αβ + βγ + γα 54. Εστω ότι οι f,g είναι δύο παραγωγίσιμες συναρτήσεις ορισμένες σε ένα διάστημα Δ. Να επαληθεύσετε τις ισότητες: (αʹ) ( f 2 () g () ) =2f () f () g ()+f 2 () g () (βʹ) ( f 2 ()+1 g() g 2 () (f 2 ()+1) ) = f()f ()g() f 2 ()g () g (), g() 0. (γʹ) ( f 2 ( +1) g 2 ( +1) ) =2f ( +1)f ( +1) 2g ( +1)g ( +1)

16 1 Sunart seic Majhmatika Genikhc Paideiac 14 (δʹ) ( f (ln ) g ( 3)) = 3f(ln )g ( 3 ) 3 +f (ln )g( 3 ) (εʹ) ( f () e f() +lng () ) = f () e f() f ()+e f() f ()+ g () g(), g () > 0 ( (ϛʹ) (f ()) g()) =(g () f ()lnf ()+f () g ()) (f ()) g() 1, f () > Εστω f μία παραγωγίσιμη συνάρτηση ορισμένη στο R για την οποία ισχύει f (3) = 1 Αν g () =f ( ) ποιά είναι η g (0); Εστω f μία συνάρτηση ορισμένη στο R για την οποία ισχύει f (3) = 10. Να βρείτε το όριο lim Εξίσωση Εφαπτομένης f() f(3) Εστω f () = Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της C f στο σημείο της A (2,f(2)). y = Εστω f () = Σε ποια σημεία της C f οι εφαπτομένες της είναι παράλληλες στον άξονα ; Sta A (1, 11) kai B (2, 10). 59. Να βρείτε εφαπτομένες της γραφικής παράστασης της f που είναι παράλληλες στον άξονα στις ακόλουθες περιπτώσεις: (αʹ) f () = ln (βʹ) f () = 3 +2 (a') y = 1 e (b') y =3 60. Εστω f () = ( 2 +1 ). Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της C f στο σημείο της που έχει τετμημένη ίση με 3. y = Εστω f () = +1. Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της C f στο σημείο της που έχει τεταγμένη ίση με 3. y = Εστω f () =ημ. Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της C f στο σημείο της που έχει τετμημένη ίση με π 6. y = π Εστω f () = Να βρείτε την γωνία που σχηματίζει με τον ηεφαπτομένητηςc f στο σημείο της που έχει τετμημένη ίση με 3 4. π Εστω f () = ( +1)( +2). Να βρείτε την γωνία που σχηματίζει με τον ηεφαπτομένητηςc f στο σημείο της που έχει τετμημένη ίση με 1. 3π 4

17 1 Sunart seic Majhmatika Genikhc Paideiac Εστω f () =e Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της C f στοσημείοτηςp (0,f(0)). y =1 66. Εστω f () = + 1. Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της C f που διέρχεται από το σημείο A (4, 4). y = Εστω f () = Να εξετάσετε αν η y = της C f. Nai sto shmeðo thct (1, 0) είναι εφαπτομένη 68. Εστω f () =ln +1.ΝαβρείτεεφαπτομένητηςC f που να σχηματίζει με τον γωνία ίση με π 3. y = ln Εστω f () = Γιαποιατιμήτουt ηευθείαy =4 2t +1 είναι εφαπτομένη της C f ; t =1, t = Να βρείτε εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της συνάρτησης f () = +1 που διέρχεται από το σημείο A(1, 1) y = kai y = Να βρείτε ευθεία που να εφάπτεται στις γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων f () = 2 +3και g () = y = 4 1 kai y = Εστω f () = Εστω (ε) ηεφαπτομένητηςc f στο σημείο της A ( 3 4,f( 3 4)).ΝαβρείτεεφαπτομένητηςCf που είναι κάθετη στην (ε). y = Να βρείτε εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της f () = ln που διέρχεται από την αρχή των αξόνων. To shmeðo epaf c èqei tetmhmènh 0 = e kai h efaptomènh eðnai h y = 1 2e 74. Δίνεται η συνάρτηση g () = α 2 + β 1. Να βρεθούν οι πραγματικοί αριθμοί α, β έτσι ώστε η ευθεία y = 2 +5να εφάπτεται στην γραφική παράσταση της g στο σημείο M ( 1, 1). α = 2, β = Να βρείτε τους αριθμούς κ, λ αν είναι γνωστό ότι οι γραφικές παραστάσεις των y = 2 +κ+1 και y =2 2 ++λ έχουν κοινή εφαπτομένη εφάπτονται σε σημείο με τετμημένη 1. κ3, λ =2 76. Εστω η συνάρτηση h () = και 0 =1, (αʹ) Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της γραφικής παράστσης της h στοσημείομετετμημένη 0. (βʹ) Να αποδείξετε ότι η εφαπτομένη του προηγουμένου ερωτήματος επανατέμνει την γραφική παράσταση της h σε ένα σημείο του οποίου και να προσδιορίσετε τις συντεταγμένες. (a') y =2 2 (b') M (2, 2)

18 1 Sunart seic Majhmatika Genikhc Paideiac Μονοτονία 77. Εστω f () = Να βρείτε τα διαστήματα μονοτονίας της f. gnhsðwc aôousa sto (, 2], gnhsðwc fjðnousa sto [ 2, 1],gnhsÐwc aôousa sto [1, + ) 78. Να βρείτε τα διαστήματα μονοτονίας της συνάρτησης f () = gnhsðwc fjðnousa sto [0, 1], gnhsðwc aôousa sto [1, + ) 79. Να βρείτε τα διαστήματα μονοτονίας της συνάρτησης f () =e ( 1) 2 gnhsðwc aôousa sto (, 1], gnhsðwc fjðnousa sto [ 1, 1], gnhsðwc aôousa sto [1, + ) 80. Να βρείτε τα διαστήματα μονοτονίας της συνάρτησης f () = ln 2 4 ln +4 + e gnhsðwc aôousa sto (0, 1], gnhsðwc fjðnousa sto [1,e 2 ], gnhsðwc aôousa sto [e 2, + ) 81. Να βρείτε τα διαστήματα μονοτονίας της συνάρτησης f () = ln gnhsðwc aôousa sto (0,e], gnhsðwc fjðnousa sto [e, + ) 82. Σε ποια διαστήματα είναι η συνάρτηση f () = 2 ημ + συν γνησίως αύξουσα; sto [0, + ). 83. Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f () =e e είναι γνησίως αύξουσα. 84. Για ποιές τιμές του λ η συνάρτηση f () = 3 3λ 2 +(9λ 6) +1είναι γνησίως αύξουσα; gia 1 λ Εστω η συνάρτηση f () = (α + β) 2 +αβ+α 2 +β 2 όπου α<β. Να βρείτε τα α, β αν είναι γνωστό ότι η f: είναι γνησίως αύξουσα στο (, 13] είναι γνησίως φθίνουσα στο [13, 18] είναι γνησίως αύξουσα στο [18, + ) α =13,β = Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f () = ln είναι γνησίως αύξουσα. 87. Εστω f () =e Να βρείτε τα διαστήματα μονοτονίας της. gnhsðwc fjðnousa sto (, 2], gnhsðwc aôousa sto [2, + ) 88. Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση g () = (ημ (ln ) συν (ln )) είναι γνησίως αύξουσα. 89. Εστω η συνάρτηση ϕ () = Να βρείτε σε ποια διαστήματα είναι γνησίως φθίνουσα. sta (, 3], [1, 2] 90. Να αποδείξετε ότι η h () = είναι γνησίως αύξουσα.

19 1 Sunart seic Majhmatika Genikhc Paideiac Να αποδείξετε ότι η h () = διάστημα (0, + ). είναι γνησίως αύξουσα στο 92. Να αποδείξετε ότι η ω () = 1 3συν3 + ημ 3 είναι γνησίως φθίνουσα. 93. Να αποδείξετε ότι η g () = 2ημ συν είναι γνησίως αύξουσα στο διάστημα [ ] 0, π Να βρείτε τα διαστήματα μονοτονίας της συνάρτησης f () = ln 2 7 ln +13 gnhsðwc aôousa sto (0,e 2 ],gnhsðwc fjðnousa sto [ e 2,e 3], gnhsðwc aôousa sto [e 3, + ) 95. Να βρείτε τα διαστήματα μονοτονίας της συνάρτησης f () = log +1 gnhsðwc aôousa sto (0,e], gnhsðwc aôousa sto [e, + ) 1.6 Μέγιστα - Ελάχιστα 96. Να βρείτε την ελάχιστη τιμή της συνάρτησης f () =+ 1 το (0, + ). 2gia =1 με πεδίο ορισμού 97. Να βρείτε την ελάχιστη τιμή της συνάρτησης f () = με πεδίο 3 ορισμού το (0, + ). H f gðnetai el qisth gia 0 = H el qisth tim thc eðnai h f (0) = Να βρείτε την ελάχιστη τιμή της συνάρτησης f () = ln 2. H f gðnetai el qisth gia 0 = e. H el qisth tim thc eðnai h f (e) = e 99. Εστω f () = Να βρείτε την ελάχιστη τιμή της f. H f parousi zei topikì el qisto sta 0 =1kai 0 =3. EÐnai f (1) = f (3) = 5 4 kai h el qisth timh thc f eðnai Εστω f () =( 1) 2 +( 2) 2 +( 3) 2. Να βρείτε την ελάχιστη τιμή της f. 2gia = Για τους αριθμούς, y είναι γνωστό ότι ισχύει 2 +3y =1.Ναβρείτετην ελάχιστη τιμή της παράστασης 2 +3y 2 + y gia = Για τους αριθμούς, y είναι γνωστό ότι ισχύει 2 3y =5.Ναβρείτετην ελάχιστη τιμή της παράστασης 2 +3y 2 + y gia = 18 kai y = Εστω η συνάρτηση f () = με πεδίο ορισμού το διάστημα [ 2, 4]. Να βρείτε την μέγιστη και την ελάχιστη τιμή της f. Mègisto f ( 2) = 11, el qisto f ( 3 2 ) = 5 4.

20 1 Sunart seic Majhmatika Genikhc Paideiac Εστω η συνάρτηση f () = με πεδίο ορισμού το διάστημα [ 2, 4]. Να βρείτε την μέγιστη και την ελάχιστη τιμή της f. Mègisto f (4) = 53, el qisto f ( 2) = f (1) = Να βρείτε την ελάχιστη τιμή της παράστασης συν 2 θ +4συνθ +6όταν το θ μεταβάλλεται στο διάστημα [0, 2π]. φ (π) = Να βρείτε την ελάχιστη τιμή της παράστασης e + e y όταν είναι γνωστό ότι + y =1. 2 e gia = y = Εστω g () = ln g (e) =e, >1. Να βρείτε την ελάχιστη τιμή της g Δίνεται η συνάρτηση g () = (αʹ) Να αποδείξετε ότι g () =12 ( ) ( +1) (βʹ) Να αποδείξετε ότι f παιρενι μόνο θετικές τιμές Μία δεξαμενή πετρελαίου έχει σχήμα ορθογωνίου παραλληλεπιπέδου με διαστάσεις 2m 1m 1m (βλ. σχήμα). Ενα βυτιοφόρο γεμίζει την δεξαμενή μέ ρυθμό 0, 5 lit/ sec. Με τί ρυθμό ανεβαίνει η στάθμη της δεξαμενής; 2 m 0, 025 cm/sec 110. Το σημείο M κινείται κατα μήκος της πλευρά ΓΔ του τετραγώνου ABΓΔ (βλ. σχήμα). Δ Μ 1- Γ 1 Α Β (αʹ) Να αποδείξετέ ότι το μήκος s () της τεθλασμένης AMB είναι s () = (1 ) 2. (βʹ) Να αποδείξετε ότι s () > > 0

21 1 Sunart seic Majhmatika Genikhc Paideiac 19 (γʹ) Να αποδείξετε ότι 5 s () Ενα διαγώνισμα του 1999 ΖΗΤΗΜΑ 1. Εστω η συνάρτηση f() =2 και C f η γραφική παράσταση της. (αʹ) 1 Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της C f στοσημείοτης A (4, f(4)). (βʹ) Ναβρείτεγιαποιατιμήτουλ το σημείο B (λ, 4) ανήκει στην C f. ΖΗΤΗΜΑ 2. Από όλα τα ορθογώνια παραλληλόγραμμα με εμβαδόν 100 m 2 ποιό είναι εκείνο που: (αʹ) 2 Εχει τη μικρότερη περίμετρο; (βʹ) i. Εχει τη μικρότερη διαγώνιο; ii. Το τρίγωνο που ορίζεται από μία διαγώνιο και δύο πλευρές του έχει τη μικρότερη περίμετρο; 112. Ενα διαγώνισμα του 1999 ΖΗΤΗΜΑ 1. Εστω f() = 3 3 (αʹ) 3 Να υπολογίσετε τις τιμές f (1), f (2), f ( 1). (βʹ) Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της γραφικής παράστασης της f στο σημείο της M( 1),f( 1). ΖΗΤΗΜΑ 2. Το άθροισμα δύο αριθμών και y είναι ίσο με 40 (αʹ) 4 Να βρείτε τη μεγαλύτερη τιμή που μπορεί να πάρει το γινόμενο τους. (βʹ) Ποια είναι η μικρότερη τιμή που μπορεί να πάρει η παράσταση y 2000 ; 113. Για ποιά τιμή του α η συνάρτηση f () = α +1 παρουσιάζει ακρότατο στο 0 =1; Ποιό είναι το είδος του ακροτάτου; Gia α = 9. To akrìtato eðnai topikì el qisto Εστω η συναρτήση f () = 2 + λ + λ, λ R. Να βρείτε για ποια τιμή του λ η f έχει την μεγαλύτερη ελάχιστη τιμή. λ = Εστω f () = Να βρείτε ποιο σημείο της C f απέχει από το σημείο A(1, 1) ελάχιστη απόσταση. 1 Sqolikì biblðo, sel. 27, Ask. 5,ii 2 Sqolikì biblðo, sel. 45, Ask Sqolikì biblðo, sel. 17, Ask Sqolikì biblðo, sel. 45, Ask. 4.

22 1 Sunart seic Majhmatika Genikhc Paideiac 20 y 2 13 = 4 A( 11,) To M ( 2, 3 4 ) 116. Εστω σ () = ΝαβρείτεσεποιοσημείοτηςC σ η εφαπτομένη της σχηματίζει με τον άξονα την μικρότερη δυνατή γωνία. Sto P ( 1 2, 17 ) 2. α 117. Δείξτε ότι το όριο lim 2 3 +α 2 α 2 2 α είναι πάντα μεγαλύτερο ή ίσο του Να αποδείξετε ότι η γραφική παράσταση της συνάρτησης f () = δεν έχει σημεία κάτω από τον άξονα. 1.7 Ασκήσεις σε όλο το κεφάλαιο 119. Αν lim f() =7να βρείτε το όριο lim 2 f () Ενα διαγώνισμα του Εστω η συνάρτηση f () = 3ln 2 (αʹ) Να βρείτε τα διαστήματα μονοτονίας της f. (βʹ) Να βρείτε την εφαπτομένη της C f στο σημείο της με τετμημένη Ενα διαγώνισμα του Εστω η συνάρτηση f () = 3 +1 (αʹ) Να βρείτε τα διαστήματα μονοτονίας της f. (βʹ) Να βρείτε τις εξισώσεις των εφαπτομένων της C f που σχηματίζουν με τον άξονα γωνία π Ενα διαγώνισμα του ΖΗΤΗΜΑ 1. Εχουμε περιφράξει με συρματόπλεγμα μήκους 100m, μιαορθογώνια περιοχή από τις τρεις πλευρές της. Η τέταρτη πλευρά είναι τοίχος.

23 1 Sunart seic Majhmatika Genikhc Paideiac 21 Αν το μήκος του τοίχου που θα χρησιμοποιηθεί είναι : (αʹ) 5 Να εκφράσετε το εμβαδόν της περιοχής ως συνάρτηση του. (βʹ) Να βρείτε ποιο είναι το μέγιστο δυνατό εμβαδόν της περιοχής. ΖΗΤΗΜΑ 2. Εστω f () = e e +e. (αʹ) 6 Να βρείτε την παράγωγο της f() (βʹ) Να αποδείξετε ότι αν α<βτότε ισχύει 123. Ενα διαγώνισμα του ΖΗΤΗΜΑ 1 Εστω f () = , >0. e α e α +e α < eβ e β +e β (αʹ) 7 Να βρείτε την παράγωγο της f. (βʹ) Να αποδείξετε ότι για κάθε >0 ισχύει f () ΖΗΤΗΜΑ2 Εστωησυνάρτησηf () = (αʹ) 8 Να βρείτε τα ακρότατα της f. (βʹ) Για τους θετικούς αριθμούς και y ισχύει: 2 + y =3 Να βρείτε τη μέγιστη τιμή που μπορεί να πάρει η παράσταση: A = y Για την συνάρτηση f () =2 2 α + β με α, β R είναι γνωστό ότι η εφαπτομένη της γραφικής της παράστασης της f στο σημείο A (1,f(1)) είναι ηευθεία(ε 1 ): y =3 1. (αʹ) Να βρεθούν οι τιμές των α, β. (βʹ) Να βρεθεί το σημείο της γραφικής παράστασης στο οποίο η εφαπτομένη (ε 2 ) είναι κάθετη στην (ε 1 ). (a ) α =1,β =1 (b ) Prìkeitai gia to shmeðo M ( 1 6, 8 9 ) Να βρείτε για ποια τιμή του λ ισχύει lim = 1 4. λ = Ενα διαγώνισμα του ΖΗΤΗΜΑ1 Εστωησυνάρτησηf () = (αʹ) 9 Να βρείτε την παράγωγο της f. (βʹ) Να μελετήσετε την f ως προς τη μονοτονία. 5 Sqolikì biblðo, sel. 18, Ask Sqolikì biblðo, sel. 17, Ask. 16, iv. 7 Sqolikì biblðo, sel. 37, Ask. 7, iii. 8 Sqolikì biblðo, sel. 45, Ask. 2, ii. 9 Sqolikì biblðo, sel. 36, Ask. 7, iii.

24 1 Sunart seic Majhmatika Genikhc Paideiac 22 ΖΗΤΗΜΑ 2 Το άθροισμα δύο αριθμών, y είναι ίσο με 40. (αʹ) 10 Να βρείτε την μεγαλύτερη τιμή που μπορεί να πάρει το γινόμενο τους. (βʹ) Να αποδείξετε ότι 2 + y Από τις εξετάσεις του Δίνεται η συνάρτηση f () =συν + ημ. (αʹ) Να αποδείξετε ότι f ()+f () =0. (βʹ) Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της γραφικής παράστασης της f στο σημείο A (0, 1). (γʹ) Να βρείτε την τιμή λ R για την οποία ισχύει η σχέση: ( λf π ) ( π ) 2f =2 2 2 (b') y = +1(g') λ = Από τις εξετάσεις του Δίνεται η συνάρτηση f () = (αʹ) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f. (βʹ) Να υπολογίσετε το όριο lim f (). 3 (γʹ) Να βρεθεί η πρώτη παράγωγος της f. (δʹ) Να βρεθούν οι εφαπτομένες της καμπύλης της συνάρτησης f ου είναι παράλληλες στην ευθεία y =2 +5. (a') (, 1) ( 1, + ) (b') 3 2 (g') f 2 () = (1+) 2 (d') y =2, y = Ενα διαγώνισμα του ΖΗΤΗΜΑ1 Εστωησυνάρτηση f () = 1 1+συν (αʹ) 11 Να βρείτε την παράγωγο της f. (βʹ) Να μελετήσετε ως προς την μονοτονία την f στο διάστημα ( π, π). ΖΗΤΗΜΑ 2 Εστω υ = 100p (1 + ln r) 100qr συνάρτηση του r, όπου p, q είναι θετικές σταθερές. (αʹ) 12 Να αποδείξετε ότι το υ γίνεται μέγιστο όταν r = p q. (βʹ) i. Ναβρείτετηνμέγιστητιμήτουυ. ii. Νααποδέίξετεότιανp<qτότε θα είναι υ< Εστω η συνάρτηση f () =α 3 + β για την οποία είναι γνωστό ότι παρουσιάζει ακρότατα στα =1, =2. 10 Sqolikì biblðo, sel. 45, Ask Sqolikì biblðo, sel. 36, Ask. 12, i. 12 Sqolikì biblðo, sel. 46, Ask. 1.

25 1 Sunart seic Majhmatika Genikhc Paideiac 23 (αʹ) Να βρείτε τα α, β. (βʹ) Για τις τιμές των α, β που βρήκατε στο ερώτημα (α ) να προσδιορίσετε το είδος των ακροτάτων. (a ) α =2,β = 9 (b ) Topikì mègisto sto 1 kai topikì el qisto sto Για μία παραγωγίσιμη συνάρτηση f ισχύει f ( + y) =f ()+f (y) για όλα τα, y. Νααποδείξετεότιγιακάθε ισχύει f () =f (0) Ενα διαγώνισμα του Αν h(θ) =ημθ συνθ: ΖΗΤΗΜΑ 1 (αʹ) 13 i. Να υπολογίσετε τις τιμές h(0) και h ( ) π 2 ii. Για ποιες τιμές της γωνίας θ είναι h(θ) =0; (βʹ) Να αποδείξετε ότι στο διάστημα [ ] 0, π 2 η h είναι γνησίως αύξουσα. Εστω f () = ΖΗΤΗΜΑ 2 (αʹ) 14 Να βρείτε την παράγωγο της f. (βʹ) i. Να βρείτε τα ακρότατα της f. ii. Να βρείτε εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της f που σχηματίζει με τον γωνία (αʹ) Να αποδείξετε ότι για όλα τα ισχύει e + e 2 και ότι το = ισχύει για =0. (βʹ) Να αποδείξετε ότι αν α>βτότε ισχύει e α e α 2α >e β e β 2β 134. Εστω ότι f(1) = 3, f (1) = 1, h(3) = 2 και h (3) = 5. Αν είναι g() = h( 2 f()) ποιό είναι το g (1) Για τους θετικούς αριθμούς, y είναι γνωστό ότι + y =2.Ναβρείτετην ελάχιστη τιμή της παράστασης y. 2gia = y = Για την συνάρτηση f () =e λ είναι γνωστό ότι ισχύει για όλα τα. Ναβρείτετολ Sqolikì biblðo, sel. 18, Ask Sqolikì biblðo, sel. 36, Ask. 7 ii) λf ()+2f () 3f ()

26 1 Sunart seic Majhmatika Genikhc Paideiac Για την συνάρτηση f () =e λ είναι γνωστό ότι ισχύει για όλα τα. Ναβρείτετολ. 1 λf ()+2f () 3f () 138. Να βρείτε όλα τα σημεία M της γραφικής παράστασης της f () = που έχουν την ιδιότητα η εφαπτομένη στο M να διέρχεται από το σημείο K ( 1 2, 0). M ( 1 2, 1) kai M ( 3 2, 3) 139. Για ποιές τιμές του α ηευθείαy =3+1 εφάπτεται στην γραφική παράσταση της y = α 2 +4; α = Να αποδείξετε ότι το σημείο τομής των εφαπτομένων της γραφικής παράστασης της f() = 2 στα σημεία της M 1 ( 1,f( 1 )) και M 2 ( 2,f( 2 )) είναι M ( 1+ 2 ) 2, Εστω ϕ () =e 2 e +2. (αʹ) Να βρεθεί η ϕ (). (βʹ) Να βρεθεί η ϕ (). (γʹ) Να βρεθούν τα διαστήματα μονοτονίας της ϕ. (δʹ) Ποιό σημείο της γραφικής παράστασης της ϕ έχει τεταγμένη 10; (εʹ) Να βρεθεί η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της ϕ στο σημείο της R (0,ϕ(0)). (a ) ϕ () =2e 2 e (b ) ϕ () =4e 2 e (g ) GnhsÐwc fjðnousa sto (, ln 2] kai gnhsðwc aôousa sto [ ln 2, + ). ( ( (d ) To M ln 1 2 ) ) , 10. (e ) y = Από τις εξετάσεις του Δίνεται η συνάρτηση με τύπο όπου πραγματικός αριθμός. f() =e +3 (αʹ) Να αποδείξετε ότι f () =f()+e 3. f (βʹ) Να βρεθεί το lim () e 0 2

27 2 Statistik Majhmatika Genikhc Paideiac 25 2 Statistik 143. Στον παρακάτω πίνακα εμφανίζονται οι βαθμοί σε ένα διαγώνισμα Μαθηματικών ενός σχολείου. Βαθμός Μαθητές (αʹ) Να ομαδοποιήσετε αυτά τα δεδομένα σε κλασεις πλάτους 2,5 ώστε η κεντρική τιμή της πρώτης κλάσης να είναι 0. (βʹ) Να παραστήσετε τα ομαδοποιημένα δεδομένα σε ένα διάγραμμα. (γʹ) Να υπολογίσετε τη μέση τιμή των βαθμών πρίν και μετά την ομαδοποίηση. (b') 10 8 Suqnìthta ,0 2,5 5,0 7,5 10,0 12,5 15,0 17,5 20,0 Bajmìc (g') 13,6 kai 13, Σε μία έρευνα που διεξήγαγε η εταιρεία ΚΑΠΑ RESEARCH σε ένα δείγμα γονέων το 2001 διαπιστώθηκε ότι το 51, 7% δηλώνει ότι η παρουσία των μεταναστών στην ελληνική κοινωνία τους προκαλεί ανησυχία και το 16, 2% δηλώνει ότι η παρουσία των ξένων τους ενοχλεί. Αδιάφορο εμφανίζεται το 17, 1% ενώ το 11, 6% δηλώνει ότι η νέα αυτή πολυπολιτισμική πραγματικότητα του φαίνεται ενδιαφέρουσα. (αʹ) Βρείτε τι ποσοστό του δείγματος έδωσε άλλη απάντηση εκτός των αναφερομένων. (βʹ) Αν παραστήσουμε τα δεδομένα σε κυκλικό διάγραμμα τι γωνία θα αποδώσουμε στην πρώτη απάντηση; Στην δεύτερη; (a') 3, 4% (b')perðpou 186 kai 58.

28 2 Statistik Majhmatika Genikhc Paideiac Στον παρακάτω πίνακα εμφανίζονται τα πλήθη των τροχαίων ατυχημάτων ενός έτους σε μία πόλη. Μήνας Αριθμός Ατυχημάτων Ιανουάριος 125 Φεβρουάριος 150 Μάρτιος 80 Απρίλιος 50 Μάιος 40 Ιούνιος 43 Ιούλιος 80 Αύγουστος 75 Σεπτέμβριος 80 Οκτώβριος 65 Νοέμβριος 50 Δεκέμβριος 95 Να παραστήσετε τα δεδομένα σε ένα ραβδόγραμμα. (a') Pl joc atuqhm twn M nac 146. Στο σχήμα που ακολουθεί παρουσιάζεται μία αθροιστική ομαδοποιημένη κατανομή.

29 2 Statistik Majhmatika Genikhc Paideiac 27 Να βρείτε τις συχνότητες των κλάσεων. Kl sh ν i [α 1,α 2) 1 [α 2,α 3) 1 [α 3,α 4) 1 [α 4,α 5) 5 [α 5,α 6) Παρακάτω παρουσιάζεται το κυκλικό διάγραμμα της κατανομής ενός δείγματος μεγέθους N = ffi 15 ffi 100 ffi 45 ffi 10ffi 130 ffi Να βρείτε τις συχνότητες που αντιστοιχούν σε κάθε τομέα , 15 75, , , 10 50, Να βρείτε την διάμεσο και την μέση τιμή στις παρακάτω σειρές δεδομένων: (αʹ) 1, 2, 3, 4, 250 (βʹ) 1, 2, 3, 4, 250, 250 (γʹ) 1, 2, 3, 4, 250, 250, 250 (a ) δ =3, =52 (b ) δ = , =85 (g ) δ =4, = Η μέση τιμή της βαθμολογίας στα Μαθηματικά της Α τάξης ενός Λυκείου είναι 10. Στο Λύκειο αυτό μεταγράφεται ένας μαθητής με βαθμολογία στα Μαθηματικά 18 και η μέση τιμή γίνεται 10, 1. Να βρείτε το αρχικό πλήθος των μαθητών Η μέση τιμή, ως προς μία μεταβλητή ενός πληθυσμού A με ν άτομα είναι α ενώ η μέση τιμή, ως προς την ίδια μεταβλητή ενός πληθυσμού B με μ άτομα είναι β. Ποια θα είναι η μέση τιμή του πληθυσμού που προκύπτει από την ένωση των δύο παραπάνω πληθυσμών; να+μβ ν+μ

30 2 Statistik Majhmatika Genikhc Paideiac Να βρείτε την διάμεσο της παρακάτω κατανομής: 2,4,-1,5,5,6,7,7,1,2,11,12. Ποια θα είναι η διάμεσος αν η τιμή 12 γίνει 13; H di mesoc kai stic dôo peript seic ja eðnai Σε μία επιχείρηση η μέση τιμή των ετησίων αποδοχών των εργαζομένων είναι ευρώ. Πως θα διαμορφωθεί η μέση τιμή αν: (αʹ) Σε όλους του εργαζόμενους δοθεί ως δώρο το ποσό των 1000 ευρώ; (βʹ) Σε όλους του εργαζόμενους δοθεί αύξηση 5%; (γʹ) Σε όλους του εργαζόμενους δοθεί αύξηση 5% και το ποσό των 1000 ευρώ; (a ) eur. (b ) eur. (g ) eur Εστω η παρακάτω σειρά δεδομένων: Να βρεθεί ο ώστε: (αʹ) Ημέσητιμήναείναι6. (βʹ) Η διάμεσος να είναι: i. 6 ii. 5 (a') 4 (b') i. 7ii. 5 2, 4, 2,,11, 16, 7, 7, 2, Να βρείτε τη μέση τιμή και την διάμεσο στην παρακάτω κατανομή: Βαθμός Μαθητές Ν 70 =8, 6, δ = =8, Εστω η παρακάτω σειρά δεδομένων: 3, 4, 5, 5, 6, 7, 7, 8, 8, 8 Να υπολογίσετε το εύρος, την διακύμανση και την τυπική απόκλιση. R =5, s 2 =2, 89, s =1, Η τυπική απόκλιση μίας κατανομής είναι 3 και η μέση τιμή 12. Ποιός θα είναι ο συντελεστής μεταβλητότητας; 25% 157. Η τυπική απόκλιση των δεδομένων 2, 3, 4, 5, είναι 1. Ποιος είναι ο ; Απαντηση: = 7 2

31 2 Statistik Majhmatika Genikhc Paideiac Το ημερομίσθιο των εργαζομένων σε ένα εργοτάξιο παρουσιάζει τυπική απόκλιση 3. Τι τυπική απόκλιση παρουσιάζουν οι εβδομαδιαίες αποδοχές τους; (Υπολογίστε 5 ημέρες εργασίας ανά εβδομάδα) Η παρακάτω κατανομή 2, 3, 4, 4, 5, 6, 7, 2, 3, 4, 5, 1, 2, 3, 0 έχει μέση τιμή = =3, 4 και τυπική απόκλιση s = = 1, 8. Να βρείτε το ποσοστό των στοιχείων που έχει τιμή μεταξύ και + s. 33, 3% 160. Η μέση τιμή των αριθμών 1, 2,..., n είναι 7. Ποιος είναι ο n; Να αποδείξετε ότι ισχύει s R Να αποδείξετε ότι αν s =0τότε = δ Στο σχήμα που ακολουθεί παριστάνεται μία κανονική κατανομή με μέσο = 3 και τυπική απόκλιση s =0, 2. 34% 34% 13; 5% 13; 5% 2; 35% 2; 35% 0; 15% 0; 15% μ 3s μ s μ + s μ +3s μ 2s μ μ +2s Να βρείτε το ποσοστό του πληθυσμού που έχει τιμη:

32 2 Statistik Majhmatika Genikhc Paideiac 30 (αʹ) Μεταξύ 3 και 3,2. (βʹ) Μεταξύ 2,8 και 3,4. (γʹ) Το πολύ 3,6. (δʹ) Τουλάχιστον 2,4. (a') 34% (b') 81, 5% (g') 99, 85% (d') 99, 85% 164. Ο συντελεστής μεταβλητότητας της μεταβλητής X είναι 30%, και της μεταβλητής X +1είναι 20%. Να βρείτε το = Αφου συμπληρώσετε τον παρακάτω πίνακα να υπολογίσετε την τυπική απόκλιση: Kl seic Kentrikèc Timèc Suqnìthtec [3, 7) 4 2 i ν i i ν i 2 i [7, 11) 6 [11, 15) 8 [15, 19) 2 N = νi i = νi 2 i = s = Να βρείτε την τυπική απόκλιση των παρακάτω δεδομένων: Κλάση Συχνότητα s = Από τις εξετάσεις του Α. Να γράψετε στο τετράδιο σας τον πίνακα των τιμών της μεταβλητής X σωστά συμπληρωμένο: Timèc Suqnìthta Sqetik Sqetik Ajroistik metablht c i ν i f i Suqnìthta f i% Suqnìthta N i Suqnìthta iν i 2 i 2 i νi SUNOLO Β. Να υπολογίσετε τη μέση τιμή και τη διάμεσο. Γ. Να δείξετε ότι η διακύμανση είναι s 2 =0, 49. Δίνεται ότι: ( k ) 2 s 2 = 1 k i ν i 2 i=1 i ν i ν ν i=1

33 2 Statistik Majhmatika Genikhc Paideiac Ενα διαγώνισμα του σχολικού έτους ΖΗΤΗΜΑ 1ο Η μέση τιμή και η διάμεσος πέντε αριθμών είναι 6. Οι τρεις από αυτούς είναι οι 5, 8, 9. (αʹ) 15 Να βρείτε τους άλλους δύο. (βʹ) Να βρείτε τον συντελεστή μεταβλητότητας του δείγματος που απαρτίζουν οι πέντε αυτοί αριθμοί. ΖΗΤΗΜΑ 2ο (αʹ) 16 Να δείξετε ότι αν από όλες τις τιμές 0, 2, 4, 6, 8, 10 και 12 ενός δείγματος αφαιρέσουμε τη μέση τιμή τους και διαιρέσουμε με την τυπική απόκλιση, τότε οι τιμές που θα προκύψουν θα έχουν μέση τιμή 0 και διασπορά 1. (βʹ) i. Να διατυπώστε ένα ανάλογο συμπέρασμα με εκείνο του του ερωτήματος 1. για τυχόν δείγμα. ii. Να αποδείξετε το συμπέρασμα που διατυπώσατε στο ερώτημα ερώτημα (α ) Ενα διαγώνισμα του ΖΗΤΗΜΑ 1 (αʹ) 17 Να συμπληρώσετε τον παρακάτω πίνακα: i ν i f i N i F i f i % F i % , , Σύνολο (βʹ) Να υπολογίσετε τον συντελεστή μεταβολής για τα δεδομένα του προηγούμενου πίνακα. ΖΗΤΗΜΑ 2 18 Η μέση ηλικία 13 αγοριών και 12 κοριτσιών μίας τάξης είναι 15,4 χρόνια. Η μέση ηλικία των αγοριών είναι 15,8 χρόνια. (αʹ) Να βρείτε την μέση ηλικία των κοριτσιών. (βʹ) Εστω ότι: τυπική απόκλιση της ηλικίας των κοριτσιών= τυπική απόκλιση τηλ ηλικίας των αγοριών=α 15 Sqolikì biblðo selðda 101, skhsh 9 16 Sqolikì biblðo selðda 103, skhsh 4 17 Sqolikì biblðo selðda 79, skhsh 5 18 Sqolikì biblðo selðda 100, skhsh 5

34 2 Statistik Majhmatika Genikhc Paideiac 32 Να συγκρίνετε την τυπική απόκλιση της ηλικίας των μαθητών όλης της τάξης με το α. DÐnetai ìti: ( ) 2 k s 2 = 1 iν i k 2 i ν νi i=1 ν i= Ενα άλλο διαγώνισμα του 2003 (των απόντων του προηγουμένου). ΖΗΤΗΜΑ 1 (αʹ) 19 Χρησιμοποιώντας τον παρακάτω πίνακα συχνοτήτων, που δίνει την κατανομή του αριθμού των ημερών απουσίας από την εργασία τους λόγω ασθενείας 50 εργατών, να βρεθεί ο αριθμός και το ποσοστό των εργατών που απουσίασαν: i. τουλάχιστον 1 ημέρα ii. πάνωαπό5ημέρες iii. από3έως5ημέρες iv. το πολύ 5 ημέρες v. ακριβώς5ημέρες Αριθμός Ημερών Συχνότητα Αριθμός Ημερών Συχνότητα (βʹ) Να υπολογίσετε τον συντελεστή μεταβολής για τα δεδομένα του προηγούμενου πίνακα. ΖΗΤΗΜΑ 2 Εχουμε ένα δείγμα ν =10παρατηρήσεων, όπου κάθε παρατήρηση μπορεί να είναι 1, 2 ή 3. (αʹ) 20 Είναιδυνατόνημέσητιμήναείναι: i. 1 ii. 4 iii. 1,8 (βʹ) Να εξετάσετε αν είναι δυνατόν η μέση τιμή να είναι 1,9. Δίνεται ότι: ( k ) 2 s 2 = 1 k i ν i 2 i ν ν i=1 i ν i=1 19 Sqolikì biblðo selðda 79, skhsh 4 20 Sqolikì biblðo selðda 100, skhsh 2

35 2 Statistik Majhmatika Genikhc Paideiac Μία κανονική κατανομή έχει τυπική απόκλιση 4. Ποιο είναι το εύρος της; PerÐpou Εστω ότι δύο δείγματα A, B έχουν πλήθη μ, ν. Ως προς μία μεταβλητή έχουν μέσες τιμές α, β και αποκλίσεις p, q. Να αποδείξετε ότι το δείγμα A B έχει τυπική απόκλιση μ ( α 2 + p 2) + ν ( β 2 + q 2) ( ) 2 μα + νβ μ + ν μ + ν 173. Από τις εξετάσεις του Σεμίαέρευναπουέγινεστουςμαθητές μίας πόλης, για τον χρόνο που κάνουν να πάνε από το σπίτι στο σχολείο διαπιστώθηκε ότι το 50% περίπου των μαθητών χρειάζεται περισσότερο από 12 λεπτά, ενώ το 16% περίπου χρειάζεται λιγότερο από 10 λεπτά. Υποθέτουμε ότι η κατανομή του χρόνου της διαδρομής είναι κατά προσέγγιση κανονική. Α. Να βρείτε το μέσο χρόνο διαδρομής των μαθητών και την τυπική απόκλιση του χρόνου διαδρομής τους. Β. Να εξετάσετε αν το δείγμα είναι ομοιογενές. Γ. Αν οι μαθητές της πόλης είναι 4.000, πόσοι μαθητές θα κάνουν χρόνο διαδρομής από 14 έως 16 λεπτά; Δ. Μία μέρα, λόγω έργων στον κεντρικό δρόμο της πόλης, κάθε μαθητής καθυστέρησε 5 λεπτά. Να βρείτε κατά πόσο μεταβάλλεται ο συντελεστής μεταβολής CV Από τις εξετάσεις του Στα σχολεία ενός Δήμου υπηρετούν συνολικά 100 εκπαιδευτικοί. Ο συνολικός χρόνος υπηρεσίας των εκπαιδευτικών δίνεται από τον παρακάτω πίνακα: Χρόνια υπηρεσίας Σχετική Συχνότητα [ ) f i % Α. Πόσοι εκπαιδευτικοί έχουν τουλάχιστον 15 χρόνια υπηρεσίας; Β. Με την προϋπόθεση ότι κάθε εκπαιδευτικός θα συνταξιοδοτηθεί, όταν συμπληρώσει 35 χρόνια: α) πόσοι εκπαιδευτικοί θα συνταξιοδοτηθούν στα επόμενα 12,5 χρόνια; β) πόσοι συνολικά εκπαιδευτικοί πρέπει να προσληφθούν μέσα στα επόμενα πέντε χρόνια, ώστε ο αριθμός των εκπαιδευτικών που υπηρετούν στα σχολεία του Δήμου να παραμείνει ο ίδιος; Να δικαιολογήσετε την απάντηση σας Από ένα διαγώνισμα του Στον πίνακα που ακολουθεί δίνονται οι τιμές μίας μεταβλητής X με τις αντίστοιχες συχνότητες τους εκτός της πέμπτης.

36 2 Statistik Majhmatika Genikhc Paideiac 34 i ν i ; 7 1 (αʹ) 21 Να βρείτε την πέμπτη συχνότητα αν γνωρίζετε ότι η μέση τιμή είναι 4,4. (βʹ) Να αποδείξετε ότι όποια τιμή και να πάρει η πέμπτη συχνότητα θα είναι πάντα Από ένα διαγώνισμα του Η μέση ηλικία 18 αγοριών και 12 κοριτσιών μίας τάξης είναι 15,4 χρόνια. Εάν η μέση ηλικία των αγοριών είναι 15,8 χρόνια: (αʹ) 22 Να βρείτε την μέση ηλικία των κοριτσιών. (βʹ) Να αποδείξετε ότι αν κανένας μαθητής ή μαθήτρια δεν είναι κάτω των 15 ετών τότε το πολύ 6 άτομα μπορούν να είναι 17 ετών Από τις εξετάσεις του 2003 (Εσπερινά Λύκεια). Ενα δείγμα εργαζομένων μιας εταιρείας εξετάστηκε ως προς το χρόνο (σε ώρες) υπερωριακής απασχόλησης κατά τη διάρκεια ενός μηνός και προέκυψε ο παρακάτω πίνακας. Να βρείτε: Wrec uperwriak c apasqìlhshc, Kl seic [-) Ajroistik suqnìthta N i (αʹ) το μέγεθος του δείγματος, (βʹ) τις συχνότητες και τις σχετικές συχνότητες των κλάσεων και (γʹ) τη μέση τιμή Από τις εξετάσεις του Ενα προϊόν πωλείται σε 10 διαφορετικά καταστήματα στις παρακάτω τιμές, σε Ευρώ: 8, 10, 13, 13, 15, 16, 18, 14, 14, 9. (αʹ) Να υπολογίσετε τη μέση τιμή, τη διάμεσο και την επικρατούσα τιμή. (βʹ) Να υπολογίσετε το εύρος, την τυπική απόκλιση και τον συντελεστή μεταβολής. (γʹ) Αν οι τιμές του προϊόντος σε όλα τα καταστήματα υποστούν έκπτωση 10%, να εξετάσετε αν θα μεταβληθεί ο συντελεστής μεταβολής. 21 Sqolikì biblðo, selðda 101 ask Sqolikì biblðo, selðda 100 ask. 5

37 2 Statistik Majhmatika Genikhc Paideiac Από τις εξετάσεις του Στον πίνακα που ακολουθεί παρουσιάζεται η χρηματική παροχή από τους γονείς, σε Ευρώ, δείγματος έξι μαθητών της πρώτης τάξης (ομάδα Α) και έξι μαθητών της δεύτερης τάξης (ομάδα Β) ενός Γυμνασίου. Ομάδα Α Ομάδα Β (αʹ) Να υπολογίσετε τη μέση τιμή και τη διάμεσο των παρατηρήσεων κάθε ομάδας. (βʹ) Να συγκρίνετε μεταξύ τους ως προς την ομοιογένεια τις δύο ομάδες. (γʹ) Αν σε κάθε παρατήρηση της ομάδας Α γίνει αύξηση 20% και οι παρατηρήσεις της ομάδας Β αυξηθούν κατά 5 Ευρώ η κάθε μία, πώς διαμορφώνονται οι νέες μέσες τιμές των δύο ομάδων (δʹ) Να συγκρίνετε μεταξύ τους ως προς την ομοιογένεια τις δύο ομάδες με τα νέα δεδομένα Στα δεδομένα 1, 2,,y έχουμε μέση τιμή 5 2 και τυπική απόκλιση 5 2.Βρείτε τα, y. =3,y =4, =4,y = Να αποδείξετε ότι ο σταθμικός μέσος κάποιων τιμών βρίσκεται μεταξύ της μεγαλύτερης και της μικρότερης τιμής Μια βιομηχανία κάνει συσκευασία γάλακτος σε 4 μεγέθη κουτιών και σε ποσοστά: 10%, 20%, 30% 40% με αντίστοιχο κόστος συσκευασίας 16, 12, 8, 4 λεπτά ανά κουτί. (αʹ) Να βρεθεί το μέσο κόστος συσκευασίας και η τυπική απόκλιση του κόστους αυτού. (βʹ) Αν το κόστος κάθε συσκευασίας αυξηθεί κατά 10% να βρεθεί η νέα τυπική απόκλιση του κόστους συσκευασίας. H mèsh tim eðnai 8 kai h tupik apìklish eðnai 4. Met thn aôhsh tou 10% ja gðnoun 8,8 kai 4, Ενα δείγμα αποτελείται από 5 αριθμούς. Οι 4 από αυτούς είναι οι 1, 2, 3, 4. Πως πρέπει να επιλεγεί ο 5ος ώστε το δείγμα να παρουσιάζει την μικρότερη δυνατή τυπική απόκλιση; = Κατά μία μέτρηση του αναστήματος των 10 αθλητών βρέθηκε ότι η μέση τιμή του ήταν 1,71. Ωστόσο στη συνέχεια βρέθηκε ότι οι υπολογισμοί έγιναν με μία λάθος τιμή: Αντί του πραγματικού αναστήματος 1,87 ενός αθλητή είχε δοθέι η τιμή 1,78. Ποιά είναι η πραγματική μέση τιμή του αναστήματος; 1, 72

38 2 Statistik Majhmatika Genikhc Paideiac Στην παρακάτω κατανομή ηδιάμεσοςείναι 40 9.Ναβρεθείτο. =9 [2, 3) 5 [3, 4) 6 [4, 5) [6, 7) Από τις εξετάσεις του 2003 (Εσπερινά Λύκεια). Οι χρόνοι σε ώρες (παρατηρήσεις) που έξι από τους επίγειους σταθμούς δεν είχαν επαφή με τον Ελληνοκυπριακό δορυφόρο είναι: t 1 =0, t 2 =0, t 3 =1, t 4 =2, t 5 =4, t 6 =5 (αʹ) Να βρείτε τη μέση τιμή και τη διάμεσο δ των παρατηρήσεων. (βʹ) Αν f () =(t 1 ) 2 +(t 2 ) 2 +(t 3 ) 2 +(t 4 ) 2 +(t 5 ) 2 + (t 6 ) 2 τότε: i. νααποδείξετεότιf ( ) =0 ii. νααποδείξετεότιf ( ) =6s 2,όπουs 2 είναι η διακύμανση των παρατηρήσεων και iii. να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της γραφικής παράστασης της συνάρτησης f στο σημείο A (, f ( )) Να βρείτε την μέγιστη τιμή που μπορεί να πάρει ο συντελεστής μεταβολής των παρακάτω δεδομένων 1, 2, 3, ( >0) to opoðo gia = 7 3 s EÐnai = 1 5 3=0, 35. 'Ara h mègisth tim tou CV eðnai 35%. paðrnei thn mègisth tim tou 188. Να αποδείξετε ότι αν έχουμε r πληθυσμούς με n 1,..., n r οι οποίοι, ως προς μία μεταβλητή X,έχουν μέσες τιμές α 1,..., α r τότε η ένωση τους έχει μέση τιμή τον σταθμικό μέσο των α 1,..., α r με βάρη n 1,..., n r. Upodeih: An èqete lôsei thn skhsh 150 èqete lôsei to prìblhma gia r = Εστω ότι σε μία κατανομή ένός δείγματος μεγέθους ν εμαφνίζονται οι τιμές: t 1 t 2... t ν να αποδείξετε ότι για η διάμεσος είναι: { t ν+1, ν = περιττȯς 2 δ = t ν +t ν , ν = αρτιoς 190. Ενα διαγώνισμα του ΖΗΤΗΜΑ 1 Εξη διαδοχικοί άρτιοι αριθμοί έχουν μέση τιμή 15.

39 2 Statistik Majhmatika Genikhc Paideiac 37 (αʹ) 23 i. Τους αριθμούς ii. Τηδιάμεσοτους (βʹ) Να βρείτε την διασπορά τους. ΖΗΤΗΜΑ 2 Στον διπλανό πίνακα δίνονται οι τιμές μίας μεταβλητήςx με τις αντίστοιχες συχνότητες τους εκτός της πέμπτης. i ν i n 7 1 (αʹ) Να βρείτε την πέμπτη συχνότητα αν γνωρίζετε ότι η μέση τιμή είναι 4,4. 24 (βʹ) i. Να αποδείξετε ότι ο συντελεστής μεταβολής είναι 50 25n n % ii. Για ποια τιμή του n ο συντελεστής μεταβολής είναι %; 191. Ενα άλλο διαγώνισμα του 2004 (των απόντων του προηγουμένου). ΖΗΤΗΜΑ 1 Η μέση τιμή και η διάμεσος πέντε αριθμών είναι 6. Οι τρεις από αυτούς είναι οι 5, 8, (αʹ) Να βρείτε τους άλλους δύο αριθμούς. (βʹ) Να βρείτε την διασπορά τους. ΖΗΤΗΜΑ 2 Σε μία κάλπη υπάρχουν άσπρες, μαύρες, κόκκινες και πράσινες μπάλες σε αναλογία 10%, 20%, 30% και 40% αντιστοίχως. Μία άσπρη μπάλα έχει βάρος 10gr, μία μαύρη 11gr μία κόκκινη 12gr και μία πράσινη 13gr. (αʹ) Να βρείτε τη μέση τιμή του βάρους για όλες τις μπάλες. 26 (βʹ) Είναι το δείγμα που περιέχεται στην κάλπη ομογενές; 23 Sqolikì biblðo, selðda 100 ask Sqolikì biblðo, selðda 101 ask Sqolikì biblðo, selðda 101 ask Sqolikì biblðo, selðda 100 ask. 6

40 2 Statistik Majhmatika Genikhc Paideiac Από τις εξετάσεις του Στην Ἁττική οδό εξυπηρετούνται καθημερινά 200 χιλιάδες οχήματα, τα οποία διανύουν από 5 έως 45 χιλιόμετρα. Η διανυόμενη απόσταση σε χιλιόμετρα από τα οχήματα αυτά παρουσιάζεται στην πρώτη στήλη του πίνακα: Kl seic Kèntro Suqnìthta Sqetik Ajroistik Ajr. Sqet. se kl shc Suqnìthta suqnìthta suqnìthta qlm i ν i f i% N i se qlm F i% [5, 15) 60 [15, 25) 68 [25, 35) 180 [35, 45) SÔnolo 200 (αʹ) Να μεταφέρετε στο τετράδιο σας τον παραπάνω πίνακα και να συμπληρώσετε τις τιμές των αντιστοίχων μεγεθών (βʹ) Να σχεδιάσετε το ιστόγραμμα ( i,f%) και το πολύγωνο σχ ετικών συχνοτήτων. (γʹ) Να βρείτε τη μέση τιμή. (δʹ) Να βρείτε το πλήθος των οχημάτων που διανύουν απόσταση τουλάχιστον 25 χιλιομέτρων. (a') [5, 15) [15, 25) [25, 35) [35, 45) SÔnolo (b') (g) =21, 2 (d) 64 qili dec autokðnhta 193. Για τα δεδομένα του παρακάτω πίνακα ημέσητιμήείναι8,2. (αʹ) Να βρείτε τις συχνότητες κ, λ. (βʹ) Να βρείτε τη διάμεσο. (γʹ) Να βρείτε τη διάσπορά. Κλάσεις Συχνότητες ν i [0,4) 35 [4,8) κ [8,12) 28 [12,16) λ [16,20) 12 ΣΥΝΟΛΟ 100

41 2 Statistik Majhmatika Genikhc Paideiac 39 (a') κ =12, λ =13(b') δ = = =8, 48 (g) s2 =30, Σε μία κανονική κατανομή το εύρος είναι 18 και το κατώτερο 16% φθάνει μέχρι την τιμή 10. Ποια είναι η μέση τιμή; Ενα διαγώνισμα του ΖΗΤΗΜΑ 1 Ο μέσος χρόνος που χρειάζονται οι μαθητές ενός σχολείου να πάνε το πρωί από το σπίτι τους μέχρι το σχολείο είναι 10 λεπτά με τυπική απόκλιση 2 λεπτά. Υποθέτοντας ότι έχουμε περίπου κανονική κατανομή: (αʹ) Να βρείτε κατά προσέγγιση το ποσοστό των μαθητών που χρειάζονται: i. κάτωαπό8λεπτά ii. πάνω από 14 λεπτά iii. τοπολύ10λεπτά iv. από 6 έως 12 λεπτά για να πάνε στο σχολείο τους. (βʹ) Να βρείτε τον συντελεστή μεταβολής του παραπάνω δείγματος. ΖΗΤΗΜΑ 2 Σε μια κάλπη υπάρχουν άσπρες, μαύρες, κόκκινες και πράσινες μπάλες σε αναλογία 10%, 20%, 30% και 40% αντίστοιχα αλλά δε γνωρίζουμε πόσες μπάλες υπάρχουν στην κάλπη. Μια άσπρη μπάλα έχει βάρος 10 gr, μια μαύρη 11 gr, μια κόκκινη 12 gr και μια πράσινη 13 gr. (αʹ) Να βρείτε i. τημέσητιμήκαι ii. τηδιάμεσο του βάρους όλων των μπαλών (βʹ) i. Να βρείτε την διασπορά του βάρους όλων των μπαλών. ii. Αφαιρούμε από την κάλπη μία μπάλα από κάθε είδος. Η μέση τιμή άραγε θα αυξηθεί, θα ελαττωθεί ή θα παραμείνει ίδια; (Δεκτές μόνο αιτιολογημένες απαντήσεις) Σε μία επιχείρηση ο μέσος μηνιαίος μισθός του προσωπικού είναι 1200 ευρώ. Ο μέσος μισθός των ανδρών της επιχείρησης είναι 1250 ευρώ και των γυναικών 1100 ευρώ. Αν οι γυναίκες πάρουν αύξηση 5% πως θα διαμορφωθεί ό μέσος μηνιαίος μισθός των εργαζομένων; 1241, 7 eur 197. Οι τιμές ενός δείγματος είναι 5, 4, 3, 6, 12 και οι αθροιστικές σχετικές συχνότητες τους είναι αντιστοίχως 0, 2, 0, 3, 0.4 0, 8 και 1. Βρίτε τη μέση τιμή τους. 4, 14