2.3. Ασκήσεις σχ. βιβλίου σελίδας Α ΟΜΑ ΑΣ

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "2.3. Ασκήσεις σχ. βιβλίου σελίδας 100 104 Α ΟΜΑ ΑΣ"

Transcript

1 .3 Ασκήσεις σχ. βιβλίου σελίδας Α ΟΜΑ ΑΣ. Έξι διαδοχικοί άρτιοι αριθµοί έχουν µέση τιµή. Να βρείτε τους αριθµούς και τη διάµεσό τους. Αν είναι ο ποιο µικρός άρτιος τότε οι ζητούµενοι αριθµοί θα είναι οι, +, + 4, + 6, + 8, +0 Η µέση τιµή τους είναι = = = 60 = 0 Άρα οι αριθµοί είναι οι 0,, 4, 6, 8, 0 Επειδή το πλήθος των αριθµών είναι άρτιος αριθµός (6) και έχουν διαταχθεί σε αύξουσα σειρά, διάµεσος αυτών είναι το ηµιάθροισµα των δύο µεσαίων παρατηρήσεων ηλαδή δ = =

2 . Έχουµε ένα δείγµα ν = 0 παρατηρήσεων, όπου κάθε µία µπορεί να πάρει κάποια από τις τιµές ή ή 3. Είναι δυνατόν η µέση τιµή να είναι 4 γ),8 ; Αν όλες οι παρατηρήσεις είναι ίσες µε τότε η µέση τιµή τους θα είναι Όπως είναι φανερό η µέση τιµή των παρατηρήσεων είναι µεγαλύτερη ή ίση της µικρότερης παρατήρησης και µικρότερη ή ίση της µεγαλύτερης παρατήρησης. Άρα 4 δεν µπορεί να είναι. γ) Έστω ν, ν, ν 3 οι συχνότητες των τιµών,, 3 αντίστοιχα. Θα πρέπει ν +ν +ν3 3,8 = και ν + ν + ν 3 = = ν + ν + 3ν 3 και ν = 0 ν ν 3 8 = 0 ν ν 3 +ν + 3ν 3 και ν + ν + ν 3 = 0 8 = ν + ν 3 και ν + ν + ν 3 = 0 Για ν περιττό, από την εξίσωση 8 = ν + ν 3 έχουµε άτοπο, αφού δίνει µη ακέραια τιµή για το ν 3. Για ν άρτιο, δίνουµε τιµές στο ν και βρίσκουµε τους ν 3, ν. ν = 0 τότε ν 3 = 4 και ν = 6. Οι παρατηρήσεις θα είναι,,,,,, 3, 3, 3, 3 ν = κ.λ.π. Σηµείωση. Με τον ίδιο τρόπο µπορούµε να αντιµετωπίσουµε και το 3. Ένας επενδυτής επένδυσε το ίδιο ποσό χρηµάτων σε 8 διαφορετικές µετοχές του χρηµατιστηρίου. Κατά τη διάρκεια του προηγούµενου έτους οι µετοχές είχαν τις παρακάτω εκατοστιαίες µεταβολές στην αξία τους :, 6, 0, 0, 7, 4, 0, 34. Να βρεθεί η µέση εκατοστιαία απόδοση της επένδυσης. Είναι φανερό ότι η µέση εκατοστιαία απόδοση της επένδυσης ισούται µε την µέση τιµή των παραπάνω µεταβολών. Οπότε = = 66 = 8,% 8 8

3 3 4. Το µέσο ύψος 9 καλαθοσφαιριστών µιας οµάδας είναι 0 cm Για να ψηλώσει την οµάδα ο προπονητής πήρε ακόµα έναν παίκτη µε ύψος 6 cm. Ποιο είναι το µέσο ύψος της οµάδας τώρα; Αν ήθελε να ψηλώσει την οµάδα στα 08 cm, πόσο ύψος έπρεπε να έχει ο καλαθοσφαιριστής που πήρε ; Αν,,..., 9 είναι τα ύψη των 9 καλαθοσφαιριστών τότε, από την υπόθεση έχουµε 0 = (). 9 Μετά την πρόσληψη του νέου παίχτη η µέση τιµή του ύψους είναι = () 0 Όµως από την σχέση () έχουµε = 0 9 = 84 Οπότε η σχέση () γίνεται = = 06, cm 0 Αν 0 είναι το ύψος του νέου παίκτη τότε πρέπει να ισχύει = 0 08 = = = = 3

4 4. Η µέση ηλικία 8 αγοριών και κοριτσιών είναι,4 έτη. Εάν η µέση ηλικία των αγοριών είναι,8 έτη, να βρείτε την µέση ηλικία των κοριτσιών. Έστω,,..., 8 οι ηλικίες των αγοριών και ψ, ψ,..., ψ οι ηλικίες των κοριτσιών ψ +ψ ψ Τότε,4 = 30,4. 30 = ψ + ψ ψ 46 = και,8 = 8,8. 8 = () 84,4 = () () 46 = 84,4 + ψ + ψ ψ + ψ + ψ ψ () ψ + ψ ψ = 46 84,4 = 77,6 ψ +ψ ψ = 77,6 = 4,8. Άρα η µέση ηλικία των κοριτσιών είναι 4,8 έτη.

5 6. Σε µία κάλπη υπάρχουν άσπρες, µαύρες, κόκκινες και πράσινες µπάλες σε αναλογία 0%, 0%, 30% και 40% αντίστοιχα. Μία άσπρη µπάλα ζυγίζει 0 gr, µία µαύρη gr, µία κόκκινη gr και µία πράσινη 3 gr. Να βρείτε τη µέση τιµή, και τη διάµεσο του βάρους για όλες τις µπάλες, αν ξέρουµε ότι µέσα στην κάλπη υπάρχουν 0 µπάλες, 0 µπάλες, γ) δε γνωρίζουµε πόσες µπάλες υπάρχουν στην κάλπη Όταν στην κάλπη υπάρχουν συνολικά 0 µπάλες, τότε µε βάση τις δοσµένες αναλογίες θα υπάρχουν = άσπρη, = µαύρες = κόκκινες, = πράσινες Με βάση τα δοσµένα βάρη για κάθε µπάλα, η µέση τιµή του βάρους είναι α = = = gr 0 0 Οι παρατηρήσεις διατεταγµένες σε αύξουσα σειρά είναι οι 0,,,,,, 3, 3, 3, 3 Επειδή το πλήθος τους είναι άρτιος αριθµός, η διάµεσός τους δ α θα είναι ίση µε το ηµιάθροισµα των δύο µεσαίων παρατηρήσεων, δηλαδή της ης και της 6 ης. η η Άρα +6 δ = = + α = gr Όταν οι µπάλες είναι 0, τότε εργαζόµενοι όπως προηγουµένως βρίσκουµε ότι στην κάλπη υπάρχουν άσπρες, 4 µαύρες, 6 κόκκινες και 8 πράσινες µπάλες, οπότε η µέση τιµή του βάρους είναι β = = = gr. 0 0 Οι παρατηρήσεις είναι οι 0, 0,,,,,,,,,,, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3 η διάµεσος δ είναι ίση µε το ηµιάθροισµα των 0 ης και ης παρατηρήσεων, β δηλαδή 0 η + η + δ β = = = gr γ) Αφού δεν ξέρουµε πόσες συνολικά µπάλες είναι στην κάλπη αλλά ξέρουµε τα ποσοστά τους δηλαδή της σχετικές συχνότητες του κάθε είδους, θα βρούµε την µέση τιµή από τον τύπο µε τα f. Οι σχετικές συχνότητες των µπαλών µε βάση τα δοσµένα ποσοστά είναι οι f α = 0,0, f µ = 0,0, f κ = 0,30, f π = 0,40 Άρα η µέση τιµή του βάρους είναι η γ = 0 0,0 + 0, + 0, ,4 = +, + 3,6 +, = gr ιατάσσοντας τις µπάλες σε αύξουσα σειρά βάρους µε βάση τα δοσµένα ποσοστά, παρατηρούµε ότι το 0% έχουν βάρος µικρότερο ή ίσο των gr και το άλλο 0% έχουν βάρος µεγαλύτερο ή ίσο των gr. Άρα η διάµεσος και σ αυτή την περίπτωση είναι δ = gr γ

6 6 7. Η επίδοση ενός µαθητή σε πέντε µαθήµατα είναι, 0, 6, 8, 4 Να βρείτε την µέση επίδοση Αν τα µαθήµατα είχαν συντελεστές στάθµισης, 3,, και 3, ποια θα ήταν η µέση επίδοση; Σε ποια µαθήµατα θα έπρεπε να δώσει ιδιαίτερη προσοχή ο µαθητής; Η µέση επίδοση είναι = 4 = 70 = 4 Η µέση επίδοση σ αυτή την περίπτωση είναι ίση µε το σταθµικό µέσο των δοσµένων τιµών. Οπότε = = 30 = Είναι φανερό ότι, για να µεγαλώσει ο σταθµικός µέσος, ο µαθητής θα πρέπει να προσέξει τα µαθήµατα που έχουν µεγάλο συντελεστή βαρύτητας, δηλαδή αυτά που έχουν συντελεστή βαρύτητας Μία εταιρεία απασχολεί υπαλλήλους στο τµήµα Α µε µέσο µηνιαίο µισθό 49 ευρώ, 6 υπαλλήλους στο τµήµα Β µε µέσο µηνιαίο µισθό 80 ευρώ και 4 υπαλλήλους στο τµήµα Γ µε µέσο µηνιαίο µισθό 360 ευρώ. Ποιος είναι ο µέσος µηνιαίος µισθός όλων των υπαλλήλων ; Έστω,,, οι µισθοί των υπαλλήλων του τµήµατος Α. Τότε = = 49 = 64 () Έστω ψ, ψ,, ψ 6 οι µισθοί των υπαλλήλων του τµήµατος Β. Τότε ψ +ψ ψ6 80 = ψ + ψ + + ψ 6 = 80 6 = 7680 () 6 Έστω ζ, ζ, ζ 3, ζ 4 οι µισθοί των υπαλλήλων του τµήµατος Γ. Τότε ζ 360 = +ζ +ζ 3 +ζ 4 ζ + ζ + ζ 3 + ζ 4 = = 440 (3) 4 Αν είναι η µέση τιµή του µισθού όλων των υπαλλήλων, τότε ( ),( ),( 3 ) ψ +ψ ψ 6 + ζ +ζ +ζ 3 +ζ4 = = = 936 = 9 Άρα ο µέσος µηνιαίος µισθός όλων των υπαλλήλων είναι 9ευρώ.

7 7 9. Η µέση τιµή και η διάµεσος πέντε αριθµών είναι 6. Οι τρεις από τους αριθµούς είναι οι, 8, 9. Να βρείτε τους άλλους δύο. Αφού το πλήθος των αριθµών είναι περιττό, η διάµεσος 6 θα είναι o µεσαίος. Οπότε ένας από τους αριθµούς που αναζητάµε είναι ο 6. Αν τώρα είναι ο άλλος αριθµός τότε 6 = = 8 + = 0. Στο διπλανό πίνακα δίνονται οι τιµές µιας µεταβλητής Χ µε τις αντίστοιχες συχνότητές τους. Η πέµπτη συχνότητα χάθηκε! Μπορείτε να την ανακαλύψετε εάν γνωρίζετε ότι Η µέση τιµή είναι 4,4 Η διάµεσος είναι το 4, ν.6+.7 Θα είναι 4,4 = ν + 4, 4= ν ν ν ,4(8 + ν ) = 3 + 6ν 3,+ 4, 4ν = 3+ 6ν 3,,6ν = 3, ν = =,6 Αφού η διάµεσος είναι 4, και δεν ισούται µε κάποια παρατήρηση, το πλήθος των παρατηρήσεων θα πρέπει να είναι άρτιος αριθµός. Οι τιµές σε αύξουσα σειρά είναι, 3, 3, 3, 4,,, 6,, 7 4+ Παρατηρούµε ότι 4, =, άρα οι δύο µεσαίες παρατηρήσεις πρέπει να είναι το 4 και το πρώτο. Συνεπώς όσες τιµές είναι αριστερά του 4 τόσες θα πρέπει να είναι και δεξιά από το πρώτο. Αριστερά από το 4 είναι 4 τιµές συνεπώς και δεξιά από το πρώτο θα πρέπει επίσης να είναι 4 τιµές. Για να συµβαίνει αυτό θα πρέπει το πλήθος των 6 να είναι άρα ν =.

8 8. Για την κατανοµή του βαθµού των Μαθηµατικών Απόσπασµα του πίνακα 4 της Β τάξης των 40 µαθητών και µαθητριών της Γ Λυκείου του πίνακα 4 της σελίδας 64, να βρείτε : τη µέση τιµή τη διάµεσο Για να βρούµε την µέση τιµή συµπληρώνουµε τον παραπάνω πίνακα µε την στήλη των ν. ν = = ν = 68 =,4 40 Βαθµός Συχν ν Βαθµος Συχνοτ ν ν Σύνολο Αφού το πλήθος των παρατηρήσεων είναι 40 (άρτιος), η διάµεσος θα ισούται µε το ηµιάθροισµα των 0 ης και ης παρατηρήσεων. Από τον πίνακα συχνοτήτων διαπιστώνουµε ότι η 0 η και η η παρατηρήσεις έχουν τιµή ίση µε άρα δ + = =

9 9. επισκέψεις Συχνότητα [0, ) Ο διπλανός πίνακας δίνει τον αριθµό των επι σκέψεων 40 µαθητών σε διάφορα µουσεία της χώρας κατά την διάρκεια ενός έτους. Να βρείτε τη µέση τιµή τη διάµεσο Συµπληρώνουµε τον πίνακα µε τη στήλη της κεντρικής τιµής, του γινοµένου ν, της f % και της F %. Επισκέψεις Συχν Κεντρική ν f % F % [, ) ν Τιµή Σύνολο = ν = 7 = 4,3 ν = 40 Κατασκευάζουµε το πολύγωνο των F% και βλέπουµε ότι η τιµή που αντιστοιχεί στο 0% των παρατηρήσεων είναι ίση µε 4, άρα δ = 4. F %

10 0 3. Το µέσο ύψος των 30 µαθητών και µαθητριών µιας τάξης είναι 70 cm. Ποιο θα είναι το µέσο ύψος της τάξης : αν φύγει ένας µαθητής µε ύψος 80 cm αν έρθει µία νέα µαθήτρια µε ύψος 70 cm γ) αν φύγει ένας µαθητής µε ύψος 80 cm και έρθει µία µαθήτρια µε ύψος 70 ; Αν,,, 30 είναι τα ύψη των παιδιών της τάξης, θα έχουµε = = = 00 () 30 Μετά την αποχώρηση του µαθητή το συνολικό ύψος θα µειωθεί κατά 80 και το πλήθος των παιδιών της τάξης θα είναι 9, άρα ( ) + +,,, = = = 69,66 cm περίπου 9 9 Όταν έρθει στην τάξη µία νέα µαθήτρια µε ύψος 70, το συνολικό ύψος θα αυξηθεί κατά 70 και το πλήθος των παιδιών της τάξης θα είναι 3, οπότε = = = 70 cm 3 3 γ) Τέλος όταν φύγει ένας µαθητής µε ύψος 80 και έρθει µία µαθήτρια µε ύψος 70, το συνολικό ύψος θα ελαττωθεί κατά 0 ενώ το πλήθος των παιδιών της τάξης θα είναι πάλι 30, άρα = = = 69,67 cm περίπου Καθεµία από τις παρακάτω λίστες δεδοµένων έχει µέση τιµή 0. Σε ποια λίστα υπάρχει () µεγαλύτερη () µικρότερη διασπορά παρατηρήσεων; (Να µη γίνουν οι πράξεις) 0, 0, 40, 0, 60, 80, 00 0, 48, 49, 0,,, 00 0,,, 0, 98, 99, 00 Μπορεί να χρησιµοποιηθεί για σύγκριση των δεδοµένων αυτών το εύρος ; Στη δεύτερη λίστα δεδοµένων οι αποκλίσεις των τιµών από την µέση τιµή είναι η ποιο µικρές, άρα η δεύτερη λίστα θα παρουσιάζει την ποιο µικρή διασπορά. Ενώ η τρίτη λίστα θα παρουσιάζει την ποιο µεγάλη, αφού οι αποκλίσεις των τιµών από την µέση τιµή είναι οι ποιο µεγάλες. Όχι γιατί όλες οι λίστες έχουν το ίδιο εύρος.

11 . Η βαθµολογία δέκα µαθητών σε ένα διαγώνισµα ήταν 7,, 0, 3,, 3,,, 4, 4. Να υπολογίσετε Τη µέση τιµή και τη διάµεσο. Το εύρος την τυπική απόκλιση και τον συντελεστή µεταβολής Οι τιµές της βαθµολογίας σε αύξουσα σειρά είναι 3, 4, 7, 0,,,, 3 4, Η µέση τιµή είναι = = = Αφού το πλήθος των παρατηρήσεων είναι άρτιος αριθµός, η διάµεσος θα ισούται µε το ηµιάθροισµα των δύο µεσαίων παρατηρήσεων, δηλαδή δ = + = (3 0) + (4 0) ( 0) Η διακύµανση είναι ίση µε S = 0 = = 0 = 0 0 οπότε η τυπική απόκλιση S είναι S = = 3,87 περίπου 3,87 και ο συντελεστής µεταβολής cv = S = = 0,387= 38,7% 0

12 6. Να υπολογιστεί η τυπική απόκλιση των δεδοµένων της άσκησης. επισκέψεις συχνότητα [ 0, ) 8 [, 4) [4, 6) 0 [6, 8) 6 [8, 0) 4 σύνολο 40 Συµπληρώσαµε τον πίνακα. Επισκέ- Συχνότ. Κεντρ. ν ν ψεις ν τιµή [0, ) [, 4) [4, 6) [6, 8) [8, 0) Σύνολο Οπότε S ν = = ν ν = ν = 40 { } = = 44, 4 = 6, S = 6, =, 47 40

13 3 7. Ο µέσος χρόνος που χρειάζονται οι µαθητές ενός σχολείου να πάνε το πρωί από το σπίτι τους στο σχολείο είναι 0 λεπτά µε τυπική απόκλιση λεπτά. Υποθέτοντας ότι έχουµε περίπου κανονική κατανοµή, να βρείτε κατά προσέγγιση το ποσοστό των µαθητών που χρειάζονται: κάτω από 8 λεπτά γ) το πολύ 0 λεπτά πάνω από 4 λεπτά δ) από 6 έως λεπτά για να πάνε στο σχολείο τους Η κατανοµή του προβλήµατος έχει µέση τιµή 0 και τυπική απόκλιση άρα η καµπύλη της κανονικής κατανοµής και τα γνωστά ποσοστά για το πρόβληµα αυτό είναι Κάτω από 8 λεπτά χρειάζονται το 0 34 = 6% Πάνω από 4 λεπτά χρειάζονται το,3 + 0, =,% γ) Το πολύ 0 λεπτά χρειάζονται το 0% δ) Από 6 έως λεπτά χρειάζονται το 3, = 8,%

14 4 8. Να υπολογίσετε τη µέση τιµή και τη διάµεσο για τα παρακάτω δείγµατα δεδοµένων, και να σχολιάσετε τα αποτελέσµατα. 6 4 γ) 6 δ) 4 = = 3 και δ = Αν είναι οι τιµές του πρώτου δείγµατος και ψ οι τιµές του δεύτερου, τότε παρατηρούµε ότι ψ =. Άρα, από γνωστή εφαρµογή, έχουµε ότι ψ = = 3 = 6 και δ = = 4 γ) Αν ζ είναι οι τιµές του τρίτου δείγµατος παρατηρούµε ότι αυτές προκύπτουν από τις τιµές του πρώτου δείγµατος αν προσθέσουµε σ αυτές το 0, δηλαδή ζ = + 0. Άρα πάλι από τη γνωστή εφαρµογή έχουµε ζ = + 0 = 3+ 0 = 3 και δ = + 0 = δ) Αν ω είναι οι τιµές του τέταρτου δείγµατος παρατηρούµε ότι οι τιµές προκύπτουν από τις τιµές του πρώτου δείγµατος πολλαπλασιάζοντας µε το και προσθέτοντας 0 δηλαδή ω = + 0, άρα ω = + 0 = 3+ 0 = 6 και δ = + 0 = 4

15 9. Να υπολογίσετε την διακύµανση και την τυπική απόκλιση για κάθε µία από τις παρακάτω λίστες δεδοµένων. Συγκρίνοντας τα δεδοµένα και τα αποτελέσµατα τι συµπέρασµα βγάζετε;, 3, 4,, 7 3, 9,,, γ) 6, 8, 9, 0, δ), 3, 4,, 7 α = = 0 = 4, οπότε ( 4) + (3 4) + (4 4) + ( 4) + (7 4) S α = άρα Sα = 4 = β = = =, οπότε (3 ) (9 ) ( ) ( ) ( ) Sβ = άρα Sβ = 36 = 6 = = 4 = = 36 γ) γ = = = 9, οπότε (6 9) + (8 9) + (9 9) + (0 9) + ( 9) S γ = = άρα Sγ = 4= = 4 δ) δ = = 4, οπότε ( 4) ( 3 4) ( 4 4) ( 4) ( 7 4) Sδ = = = 4 άρα S δ = 4= Αν α είναι οι τιµές του πρώτου δείγµατος, β οι τιµές του δεύτερου, γ οι τιµές του τρίτου και δ οι τιµές του τέταρτου, τότε παρατηρούµε ότι β = 3 α οπότε, από γνωστή εφαρµογή, S β = 3S α = 3 = 6 γ = α + οπότε S γ = S α = δ = α οπότε S δ = S α = S α =

16 6 0. Οι µαθητές του Γ τµήµατος ξόδεψαν ετησίως κατά µέσο όρο 6 ευρώ αγοράζοντας διάφορα τρόφιµα από το κυλικείο του σχολείου τους. Εάν ο συντελεστής µεταβολής είναι 7,%, να βρείτε την τυπική απόκλιση. Εάν επί πλέον γνωρίζουµε ότι = , πόσοι είναι οι µαθητές του Γ ; Από τα δεδοµένα έχουµε ότι = 6 και CV = 7,%. Αποσοστοποιώντας τον CV έχουµε ότι CV = 0,7 Άρα S = S 0, 7 = 0, 7 S= 6 0,7 S = 70 ευρώ. 6 Γνωρίζουµε ότι S k k = = ν = ν = { } ν Σ ν 70 = ν ( ν 6 ) ν 70 = ν 6 ν 70 + ν 6 = ν ( 70 + ν = 6 ) = ν = 8

17 7 Β ΟΜΑ ΑΣ. Η βαθµολογία 0 µαθητών στην ιστορία κυµαίνεται από 0 µέχρι 0 (κανένας δεν είναι κάτω από τη βάση). Γνωρίζουµε επίσης ότι µαθητές έχουν βαθµό κάτω από, δεκαπέντε κάτω από 4, πέντε µεγαλύτερο ή ίσο του 8 και δεκαπέντε µεγαλύτερο ή ίσο του 6. Να παρασταθούν τα δεδοµένα µ έναν πίνακα συχνοτήτων. Να υπολογίσετε : ) τη µέση τιµή, ) την διάµεσο. γ) Αν στο % των µαθητών µε την καλύτερη επίδοση δοθεί έπαινος, πόσο βαθµό πρέπει να έχει κάποιος µαθητής για να πάρει έπαινο ; Είναι προφανές ότι, αφού δεν ξέρουµε τις συχνότητες των βαθµών θα πρέπει να κάνουµε οµαδοποίηση των δεδοµένων. Το εύρος της κατανοµής είναι R = 0 0 =0 και οι κλάσεις προφανώς. Άρα το πλάτος κάθε κλάσης είναι c = R κ = 0 = Η συχνότητα της κλάσης [0, ) είναι. Αφού µαθητές έχουν βαθµό κάτω από 4 και οι από αυτούς βρίσκονται στην κλάση [0, ), οι υπόλοιποι 0 θα βρίσκονται στην κλάση [, 4). Οπότε η συχνότητα της κλάσης [, 4) θα είναι 0. Η συχνότητα της κλάσης [8, 0) είναι, και βαθµό µεγαλύτερο ή ίσο του 6 έχουν µαθητές, άρα οι 0 από αυτούς θα βρίσκονται στην κλάση [6, 8). Οπότε η συχνότητα της κλάσης [6, 8) θα είναι 0. Το σύνολο των µαθητών είναι 0 και µε βάση τα προηγούµενα έχουν κατανεµηθεί 30 µαθητές, οπότε οι υπόλοιποι 0 θα βρίσκονται στην κλάση [4, 6) Άρα η συχνότητα της κλάσης [4, 6) θα είναι 0. Εποµένως ο πίνακας συχνοτήτων, συµπληρωµένος και µε τις στήλες ν και f %, F % είναι Κλάσεις [, ) Κεντ. Τιµή Συχνότ. ν ν Σχετ. συχν f % Αθρ. Σχετ. συχν F % [0, ) 0 0 [, 4) [4, 6) [6, 8) [ 8, 0) Σύνολο =. ν = 0

18 8 Για να βρούµε την διάµεσο θα σχεδιάσουµε το πολύγωνο που αντιστοιχεί στο ιστόγραµµα των F%. F% βαθµός Από το πολύγωνο βλέπουµε ότι ο βαθµός που αντιστοιχεί στο 0% των παρατηρήσεων είναι το, άρα δ =. γ) Επειδή η σχετική συχνότητα της τελευταίας κλάσης είναι 0% και θα πάρει έπαινο µόνο το %, αυτό σηµαίνει ότι θα πάρουν έπαινο οι µισοί από τους µαθητές της τελευταίας κλάσης και λόγω του ότι οι µαθητές είναι ισοκατανεµηµένοι σε κάθε κλάση οι µισοί µαθητές της τελευταίας κλάσης θα έχουν βαθµό από 9 και πάνω άρα θα πάρουν έπαινο όσοι µαθητές έχουν βαθµό πάνω από 9.

19 9. Η µέση τιµή και η διακύµανση των τιµών ενός δείγµατος είναι = 4 και S =0. Εάν για τις τέσσερις τιµές ισχύει 4 ( ) 4 =, να βρεθεί η πέµπτη τιµή. = Αν,, 3, 4, είναι οι τιµές, τότε ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) S = (). 4 Όµως από την υπόθεση έχουµε ( ) = 4. = Αυτό σηµαίνει ότι ( ) + ( ) + ( ) + ( ) = 4 () 4+ ( ) S = 4+ ( 4) 0 = 0 = = 0 Λύνοντας την εξίσωση αυτή βρίσκουµε ότι = ή = 0

20 0 3. Ένας µαθητής αγόρασε 0 βιβλία που κόστιζαν χωρίς ΦΠΑ, 9, 6, 8,, 6, 8, 7, 9, ευρώ αντίστοιχα. Ποια είναι η µέση και η διάµεση αξία (τιµή) των βιβλίων; Πως µεταβάλλονται οι απαντήσεις του ερωτήµατος (, αν προσθέσουµε και το ΦΠΑ που είναι 8% ; γ) Αν ο µαθητής πληρώσει επί πλέον 0,3 ευρώ ( χωρίς ΦΠΑ) για το ντύσιµο κάθε βιβλίου, πως διαµορφώνονται τώρα οι απαντήσεις στο ερώτηµα ( ; Τοποθετώντας σε αύξουσα σειρά τις τιµές των βιβλίων έχουµε 6, 6, 9, 9, 9,,, 8,, 7 Επειδή το πλήθος των παρατηρήσεων είναι 0, η διάµεσος δ είναι ίση µε το ηµιάθροισµα των ης και 6 ης των παρατηρήσεων. Άρα δ = 9+ = 0, ευρώ. Μέση τιµή : = = 3 = 3, ευρώ. 0 0 Μετά την πρόσθεση σε κάθε τιµή του ΦΠΑ που είναι 8%, η νέα τιµή ψ θα είναι ψ = + 8 ψ = +0,8 ψ =,8. 00 Οπότε, από γνωστή εφαρµογή, θα είναι ψ =,8 ψ =,8 3, ψ =,76 ψ +ψ 6,8 +,86 9,8+,8 ιάµεσος δ = = = =,39 ευρώ γ) Μετά την πληρωµή και των 0,3 ευρώ για το ντύσιµο του κάθε βιβλίου, αν ζ είναι οι νέες τιµές, θα έχουµε ζ = ψ + 0,3 οπότε ζ = ψ + 0,3 ζ =,76 + 0,3 =,876 ιάµεσος δ = δ + 0,3 =,39 + 0,3 =,69 ευρώ

21 4. Να δείξετε ότι, εάν από όλες τις τιµές 0,, 4, 6, 8, 0 και ενός δείγµατος, αφαιρέσουµε την µέση τιµή τους και διαιρέσουµε µε την τυπική τους απόκλιση τότε οι τιµές που θα προκύψουν θα έχουν µέση τιµή 0 και διασπορά. Είναι = = 6 7 (0 6) + ( 6) + (4 6) ( 6) και S = 7 = = 6 7 Άρα η τυπική απόκλιση είναι S = 4. Αν τώρα από κάθε τιµή αφαιρέσουµε την µέση τιµή και διαιρέσουµε µε την τυπική απόκλιση οι νέες τιµές θα είναι οι : 6, 4,, 0,, 4, Η µέση τιµή των νέων τιµών είναι η,,, 0,, 0, 0,,,,, 0,+ 0+ 0,+ +, = = 0 7 (,) + ( ) + ( 0,) + (0) + (0,) + () + (,) 7 και η διασπορά S = = = 7 7 Παρατήρηση : Θα αποδείξουµε γενικά ότι, αν από τις τιµές µιας µεταβλητής Χ αφαιρέσουµε την µέση τιµή τους και διαιρέσουµε µε την τυπική τους απόκλιση S, τότε οι νέες τιµές ψ θα έχουν µέση τιµή 0 και διασπορά. Πράγµατι. Αν είναι οι τιµές της µεταβλητής Χ µε µέση τιµή και τυπική απόκλιση S τότε ψ = ψ = S S S Οπότε από την γνωστή εφαρµογή έχουµε ψ = = = 0 και S S S S S = S S S = ψ S = (αφού S > 0) Επειδή S ψ =, προφανώς και S ψ =, άρα οι νέες τιµές έχουν διασπορά.

22 . Στο διπλανό σχήµα φαίνονται τα ύψη των πωλήσεων σε χιλιάδες ευρώ που έγιναν από τους πωλητές µιας εταιρείας κατά τη διάρκεια ενός έτους. Πόσοι είναι οι πωλητές; Πόσοι πωλητές έκαναν πωλήσεις πάνω από χιλιάδες ευρώ; γ) Να κατασκευάσετε τον πίνακα συχνοτήτων και να βρείτε τη µέση τιµή και τη διακύµανση. αριθµός πωλητών πωλήσεις σε χιλ. ευρώ Επειδή το ύψος κάθε ορθογωνίου είναι ίσο µε την συχνότητα της κάθε κλάσης, το πλήθος των πωλητών είναι ίσο µε το άθροισµα των υψών όλων των ορθογωνίων. Οπότε το πλήθος των πωλητών είναι = 60. Οι πωλητές που έκαναν πωλήσεις πάνω από χιλιάδες ευρώ είναι : οι µισοί της κλάσης [4, 6) και όλοι όσοι βρίσκονται στις δεξιά από αυτήν κλάσεις, δηλαδή = 33. γ) Ο πίνακας συχνοτήτων συµπληρωµένος και µε τις κατάλληλες στήλες για να βρούµε την µέση τιµή και την διακύµανση είναι Κλάσεις Κεντρ. Τιµή Συχνότητα ν ν [, ) ν [0,) [,4) [4, 6) [6,8) [8,0) [0,) 60 [,4) Σύνολο Η µέση τιµή είναι 7 = ν ν Η διακύµανση είναι S = = = = 34 =,7 χιλ. ευρώ = 700 ευρώ 60 7 ν ν = ν = ν =,4 (χιλ. ευρώ) = 40 (ευρώ )

23 3 6. Στο διπλανό πίνακα δίνεται η κατανοµή της ηλικίας των ατόµων µιας πόλης. Να υπολογίσετε την τυπική απόκλιση και το συντελεστή µεταβολής. Συµπληρώνουµε τον παραπάνω πίνακα µε τις κατάλληλες στήλες για να βρούµε την τυπική απόκλιση. Ηλικία (σε έτη) Συχνότητα (σε χιλιάδες) Κλάσεις Κεντρ.τιµή Συχνότητα ν ν [, ) ν [0, 0) [0, 40) [40, 60) [60, 80) [80, 00) Σύνολο Η διακύµανση είναι S = ν ν = ν = ν = = 4, Άρα η τυπική απόκλιση είναι S= 4, = 3,9 έτη. Οπότε ο συντελεστής µεταβολής είναι S 3,9 CV = = = 0,37 = 3,7% 43,33 ( δείγµα ανοµοιογενές )

24 4 7. Από την στατιστική της Φυσικής Κίνησης Πληθυσµού της Ελλάδας οι θάνατοι λόγω υπερτασικής νόσου το 99 δίνονται στον παρακάτω πίνακα. Να κατασκευάσετε στο ίδιο σχήµα τα πολύγωνα αθροιστικών σχετικών συχνοτήτων για την ηλικία ανδρών και γυναικών, αντίστοιχα, που πέθαναν από υπερτασική νόσο το 99, και στη συνέχεια να τα συγκρίνετε. Επειδή όπως δίνονται οι οµάδες των ηλικιών δεν Ηλικία Θάνατοι Άντρες γυναίκες είναι βολικές για την οµαδοποίηση, δεδοµένου ότι οι δεξιά τιµές των κλάσεων δεν ανήκουν σε καµία κλάση, γι αυτό παίρνουµε σαν ελάχιστη ηλικία την 49, και πλάτος κλάσεων το και στην συνέχεια συµπληρώνουµε τον παραπάνω πίνακα µε τις κατάλληλες στήλες για να µπορέσουµε να βρούµε τις αθροιστικές σχετικές συχνότητες F %. Μετά από αυτά έχουµε Κλάσεις Κεν. τιµ Ανδρες ν f % Γυναίκες F % ν f % F % [49,-4,) 0,3,3 7,, [4,-9,) 7 0,3 4,6 4 0,7,8 [9,-64,) 6 7 4,0 8,6 3,4, [64,-69, ,4 7,0 7 9, 4,4 [69,-74,) , 7, 6 9,9 4,3 [74,-79,) ,0 44, 09 7,7 4,0 [79,-84,) 8 7 7, 7,4 6 6,3 68,3 [84,-89,) ,6 00,0 9 3,7 00,0 Σύνολο Κατασκευάζουµε τα πολύγωνα που αντιστοιχούν στα ιστογράµµατα των σχετικών αθροιστικών συχνοτήτων. Παρατηρούµε ότι σε όλες τις ηλικίες τα ποσοστά των ανδρών που πέθαναν από υπερτασική νόσο ήταν µεγαλύτερα από τα ποσοστά των γυναικών. Ακόµα παρατηρούµε ότι το 0% και των ανδρών και των γυναικών που πέθαναν ήταν πάνω από 80 χρονών περίπου. F % , Άνδρες Γυναίκες 79, 89,

Πίνακας κατανοµής συχνοτήτων και αθροιστικών συχνοτήτων. Σχετ.

Πίνακας κατανοµής συχνοτήτων και αθροιστικών συχνοτήτων. Σχετ. Λυµένη Άσκηση στην οµαδοποιηµένη κατανοµή Στην Γ τάξη του Ενιαίου Λυκείου µιας περιοχής φοιτούν 4 µαθητές των οποίων τα ύψη τους σε εκατοστά φαίνονται στον ακόλουθο πίνακα. 7 4 76 7 6 7 3 77 77 7 6 7 6

Διαβάστε περισσότερα

ΗΛΙΑΣΚΟΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ. Γενικής Παιδείας Μαθηματικά Γ Λυκείου Στατιστική ΥΠΗΡΕΣΙΕΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΥΨΗΛΟΥ ΕΠΙΠΕΔΟΥ

ΗΛΙΑΣΚΟΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ. Γενικής Παιδείας Μαθηματικά Γ Λυκείου Στατιστική ΥΠΗΡΕΣΙΕΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΥΨΗΛΟΥ ΕΠΙΠΕΔΟΥ ΗΛΙΑΣΚΟΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΥΠΗΡΕΣΙΕΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΥΨΗΛΟΥ ΕΠΙΠΕΔΟΥ Γενικής Παιδείας Μαθηματικά Γ Λυκείου Στατιστική Επιμέλεια: ΑΝΔΡΕΑΣ ΓΚΟΥΡΤΖΟΥΝΗΣ ΣΤΕΦΑΝΟΣ ΗΛΙΑΣΚΟΣ e-mail: info@iliaskos.gr www.iliaskos.gr 1) Να

Διαβάστε περισσότερα

Λύση α) Μετά από την σχετική διαλογή ο πίνακας των συχνοτήτων και σχετικών συχνοτήτων είναι ο παρακάτω. Aθρ. Συχν N. συχν

Λύση α) Μετά από την σχετική διαλογή ο πίνακας των συχνοτήτων και σχετικών συχνοτήτων είναι ο παρακάτω. Aθρ. Συχν N. συχν 1 2.2 Ασκήσεις σχ. βιβλίου σελίδας 78 83 Α ΟΜΑ ΑΣ 1. Η βαθµολογία 5 φοιτητών στις εξετάσεις ενός µαθήµατος είναι: 3 4 5 8 9 7 6 8 7 1 8 7 6 5 9 3 8 5 6 6 6 3 5 6 4 2 9 8 7 7 1 6 3 1 5 8 1 2 3 4 5 6 7 9

Διαβάστε περισσότερα

Α) Αν η διάμεσος δ του δείγματος Α είναι αρνητική, να βρεθεί το εύρος R του δείγματος.

Α) Αν η διάμεσος δ του δείγματος Α είναι αρνητική, να βρεθεί το εύρος R του δείγματος. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΣΥΛΛΟΓΗ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ου ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ Άσκηση 1 (Προτάθηκε από Χρήστο Κανάβη) Έστω CV 0.4 όπου CV ο συντελεστής μεταβολής, και η τυπική απόκλιση s = 0. ενός δείγματος που έχει την ίδια

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ. 1 12 2 3 24 40 5 0,05 Σύνολο. x i v i f i % N i F i -1 4 0,1 0 30 2 3 6 Άθροισμα 40

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ. 1 12 2 3 24 40 5 0,05 Σύνολο. x i v i f i % N i F i -1 4 0,1 0 30 2 3 6 Άθροισμα 40 ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ 1.Να συμπληρωθούν οι πίνακες x i v i f i f i % x 1 7 x 2 5 x 3 15 x 4 14 x 5 9 Άθροισμα 50 x i v i f i f i % 1 12 2 3 24 40 5 0,05 Σύνολο x i v i f i % N i F i -1 4 0,1 0 30 2 3 6 Άθροισμα 40

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΛΛΑΔΙΟ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΠΑΝΟΣ ΣΑΡΑΚΗΝΟΣ

ΦΥΛΛΑΔΙΟ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΠΑΝΟΣ ΣΑΡΑΚΗΝΟΣ ΦΥΛΛΑΔΙΟ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΠΑΝΟΣ ΣΑΡΑΚΗΝΟΣ Άσκηση 1 Οι βαθμοί 5 φοιτητών που πέρασαν το μάθημα της Στατιστικής ήταν: 6 5 7 5 9 5 6 6 8 10 8 5 6 7 5 6 5 7 8 9 5 6 7 5 8 i. Να κάνετε πίνακα κατανομής

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ-ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ. Να γράψετε στο τετράδιο σας τον πίνακα των τιμών της μεταβλητής Χ σωστά συμπληρωμένο.

ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ-ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ. Να γράψετε στο τετράδιο σας τον πίνακα των τιμών της μεταβλητής Χ σωστά συμπληρωμένο. ΘΕΜΑ (ΙΟΥΝΙΟΣ 000) ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ-ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Να γράψετε στο τετράδιο σας τον πίνακα των τιμών της μεταβλητής Χ σωστά συμπληρωμένο. Τιμές Μεταβλητής Συχνότητα σχετική Σχετική Αθροιστική f % f N 0

Διαβάστε περισσότερα

Μέση τιμή Για να βρούµε τη µέση τιµή ενός συνόλου παρατηρήσεων, προσθέτουµε όλες τις παρατηρήσεις και διαιρούµε µε το πλήθος των παρατηρήσεων αυτών.

Μέση τιμή Για να βρούµε τη µέση τιµή ενός συνόλου παρατηρήσεων, προσθέτουµε όλες τις παρατηρήσεις και διαιρούµε µε το πλήθος των παρατηρήσεων αυτών. ΜΕΡΟΣ Α 4.5 ΜΕΣΗ ΤΙΜΗ-ΔΙΑΜΕΣΟΣ 185 4.5 ΜΕΣΗ ΤΙΜΗ-ΔΙΑΜΕΣΟΣ Μέση τιμή Για να βρούµε τη µέση τιµή ενός συνόλου παρατηρήσεων, προσθέτουµε όλες τις παρατηρήσεις και διαιρούµε µε το πλήθος των παρατηρήσεων αυτών.

Διαβάστε περισσότερα

Μέση τιμή - Διάμεσος

Μέση τιμή - Διάμεσος Μέσ τιμή - Διάμεσος Ονομάζεται μέσ τιμή μιας μεταβλτής x και συμβολίζεται x το πλίκο του αθροίσματος όλων των τιμών τς μεταβλτής δια του πλήθους τους. Δλαδή: Όταν έχουμε ένα δείγμα μεγέθους ν με τιμές

Διαβάστε περισσότερα

ΖΗΤΗΜ Α 1 Ο. Α1. Τι είναι το ραβδόγραµµα και πότε χρησιµοποιείται; 5) Α2. Σε τι διακρίνονται οι µεταβλητές και τι είναι οι τιµές τους;

ΖΗΤΗΜ Α 1 Ο. Α1. Τι είναι το ραβδόγραµµα και πότε χρησιµοποιείται; 5) Α2. Σε τι διακρίνονται οι µεταβλητές και τι είναι οι τιµές τους; ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΥΡΙΑΚΗ 1 ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΥ 2015 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙΔΩΝ: ΠΕΝΤΕ (5) ΖΗΤΗΜ Α 1 Ο Α1. Τι είναι το ραβδόγραµµα

Διαβάστε περισσότερα

ΟΜΑΔΟΠΟΙΗΣΗ ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΩΝ

ΟΜΑΔΟΠΟΙΗΣΗ ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΩΝ ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΩΝ Όταν το πλήθος των παρατηρήσεων είναι μεγάλο, είναι απαραίτητο οι παρατηρήσεις να ταξινομηθούν σε μικρό πλήθος ομάδων που ονομάζονται κλάσεις (class intervals). Η ομαδοποίηση αυτή γίνεται

Διαβάστε περισσότερα

Ε π ι μ έ λ ε ι α Κ Ο Λ Λ Α Σ Α Ν Τ Ω Ν Η Σ

Ε π ι μ έ λ ε ι α Κ Ο Λ Λ Α Σ Α Ν Τ Ω Ν Η Σ Ε π ι μ έ λ ε ι α Κ Ο Λ Λ Α Σ Α Ν Τ Ω Ν Η Σ Θέμα εξετάσεων 2000 Εξετάσαμε 50 μαθητές ως προς τα βιβλία που έχουν διαβάσει και διαπιστώσαμε ότι: 5 μαθητές δεν έχουν διαβάσει κανένα βιβλίο, 15 μαθητές έχουν

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΕΣ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΕΠΑΛ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο «ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ»

ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΕΣ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΕΠΑΛ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο «ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ» ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΕΣ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΕΠΑΛ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο «ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ» Επιμέλεια : Παλαιολόγου Παύλος ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Στατιστική είναι ο κλάδος των μαθηματικών ο οποίος ως έργο έχει την συγκέντρωση

Διαβάστε περισσότερα

Ελλιπή δεδομένα. Εδώ έχουμε 1275. Στον πίνακα που ακολουθεί δίνεται η κατά ηλικία κατανομή 1275 ατόμων

Ελλιπή δεδομένα. Εδώ έχουμε 1275. Στον πίνακα που ακολουθεί δίνεται η κατά ηλικία κατανομή 1275 ατόμων Ελλιπή δεδομένα Στον πίνακα που ακολουθεί δίνεται η κατά ηλικία κατανομή 75 ατόμων Εδώ έχουμε δ 75,0 75 5 Ηλικία Συχνότητες f 5-4 70 5-34 50 35-44 30 45-54 465 55-64 335 Δεν δήλωσαν 5 Σύνολο 75 Μπορεί

Διαβάστε περισσότερα

ÈÅÌÁÔÁ 2007 ÏÅÖÅ ( ) Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ

ÈÅÌÁÔÁ 2007 ÏÅÖÅ ( ) Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΘΕΜΑ ο Α.Τι λέγεται δειγµατικός χώρος ενός πειράµατος τύχης; Μονάδες. Πώς ορίζεται η διάµεσος ενός δείγµατος ν παρατηρήσεων; (ν θετικός ακέραιος) Μονάδες 4 B. Αν η

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Ο «ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ»

ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Ο «ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ» ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο «ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ» Επιμέλεια : Παλαιολόγου Παύλος Μαθηματικός ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ. ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Στατιστική είναι ο κλάδος των εφαρμοσμένων

Διαβάστε περισσότερα

(t) x (t) t t t t. ΘΕΜΑ Α Α 1. Σχολικό βιβλίο σελ. 150 Α 2. Σχολικό βιβλίο σελ. 56 Α 3. Σχολικό βιβλίο σελ. 149 Α 4. i) Λ ii) Σ iii) Λ iv) Λ v) Σ

(t) x (t) t t t t. ΘΕΜΑ Α Α 1. Σχολικό βιβλίο σελ. 150 Α 2. Σχολικό βιβλίο σελ. 56 Α 3. Σχολικό βιβλίο σελ. 149 Α 4. i) Λ ii) Σ iii) Λ iv) Λ v) Σ ΑΡΧΗ ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ ΘΕΜΑ Α Α Σχολικό βιβλίο σελ Α Σχολικό βιβλίο σελ 6 Α Σχολικό βιβλίο σελ 9 Γ ΤΑΞΗ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑ Α Β ) ΚΥΡΙΑΚΗ // - ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΣΥΝΟΛΟ

Διαβάστε περισσότερα

ΟΜΑΔΟΠΟΙΗΣΗ ΤΩΝ ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΩΝ

ΟΜΑΔΟΠΟΙΗΣΗ ΤΩΝ ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΩΝ 9 ο ΜΑΘΗΜΑ ΟΜΑΔΟΠΟΙΗΣΗ ΤΩΝ ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΩΝ Πότε κάνουμε ομαδοποίηση των παρατηρήσεων; Όταν το πλήθος των τιμών μιας μεταβλητής είναι αρκετά μεγάλο κάνουμε ομαδοποίηση των παρατηρήσεων. Αυτό συμβαίνει είτε

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΕΜΠΤΗ 14 ΙΟΥΝΙΟΥ 2001 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ

ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΕΜΠΤΗ 14 ΙΟΥΝΙΟΥ 2001 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΕΜΠΤΗ 14 ΙΟΥΝΙΟΥ 2001 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΘΕΜΑ 1ο Α.1. Να αποδείξετε ότι για δύο ενδεχόµενα Α και Β ενός

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. 1 ο Αχαρνών 197 Αγ. Νικόλαος 210.8651962. 2 ο Αγγ. Σικελιανού 43 Περισσός 210.2718688. Ε. ΛΙΑΤΣΟΣ Μαθηµατικός 1

ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. 1 ο Αχαρνών 197 Αγ. Νικόλαος 210.8651962. 2 ο Αγγ. Σικελιανού 43 Περισσός 210.2718688. Ε. ΛΙΑΤΣΟΣ Μαθηµατικός 1 ο Αχαρνών 97 Αγ Νικόλαος 086596 ο Αγγ Σικελιανού Περισσός 078688 Ε ΛΙΑΤΣΟΣ Μαθηµατικός 7 t t 5 Ο πληθυσµός µιας κοινωνίας βακτηριδίων δίνεται από τον τύπο P(t) = e e σε δεκάδες µικρόβια και t 0 Α Να αποδειχθεί

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8 ΤΟ ΜΑΘΗΜΑ ΑΡΧΕΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8 ΤΟ ΜΑΘΗΜΑ ΑΡΧΕΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8 ΤΟ ΜΑΘΗΜΑ ΑΡΧΕΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Εισαγωγή Στο Κεφάλαιο 8 υπολογίζονται και συγκρίνονται τα ποσοστά επιλογής του µαθήµατος στους ετήσιους πληθυσµούς, ανά φύλο και κατεύθυνση. Υπολογίζεται

Διαβάστε περισσότερα

Θέµατα Μαθηµατικών & Στ. Στατ/κής Γενικής Παιδείας Γ Λυκείου 2000

Θέµατα Μαθηµατικών & Στ. Στατ/κής Γενικής Παιδείας Γ Λυκείου 2000 Θέµατα Μαθηµατικών & Στ. Στατ/κής Γενικής Παιδείας Γ Λυκείου 000 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ Ζήτηµα ο Α.α) ίνεται η συνάρτηση F() f() + g(). Αν οι συναρτήσεις f, g είναι παραγωγίσιµες, να αποδείξετε ότι: F () f () + g

Διαβάστε περισσότερα

Για το Θέμα 1 στα Μαθηματικά Γενικής Παιδείας Γ Λυκείου

Για το Θέμα 1 στα Μαθηματικά Γενικής Παιδείας Γ Λυκείου Για το Θέμα 1 στα Μαθηματικά Γενικής Παιδείας Γ Λυκείου Διαφορικός Λογισμός 1. Ισχύει f (g())) ) f ( = f (g())g () όπου f,g παραγωγίσιµες συναρτήσεις 2. Αν µια συνάρτηση f είναι παραγωγίσιµη σε ένα διάστηµα

Διαβάστε περισσότερα

γ. Η διακύμανση είναι μέτρο διασποράς και είναι καθαρός αριθμός, δηλαδή δεν έχει μονάδες. Μονάδες 9

γ. Η διακύμανση είναι μέτρο διασποράς και είναι καθαρός αριθμός, δηλαδή δεν έχει μονάδες. Μονάδες 9 ΟΝΟΜΑΤΕΠΩΝΥΜΟ:........................................... ΤΜΗΜΑ:....... ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ:.... / 0 / 20 ΘΕΜΑ A. Έστω μεταβλητή Χ, με τιμές x, x 2,...., x k, που αφορά τα άτομα ενός δείγματος μεγέθους ν, με k,

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝ. ΠΑΙΔΕΙΑΣ - Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝ. ΠΑΙΔΕΙΑΣ - Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝ. ΠΑΙΔΕΙΑΣ - Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΜΑ A A. Αν οι συναρτήσεις f, g είναι παραγωγίσιμες στο, να αποδείξετε ότι f g f g,. Μονάδες 7 Α. Σε ένα πείραμα με ισοπίθανα αποτελέσματα

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 4 Δείκτες Κεντρικής Τάσης

Κεφάλαιο 4 Δείκτες Κεντρικής Τάσης Πανεπιστήµιο Κρήτης Σχολή Επιστηµών Αγωγής Παιδαγωγικό Τµήµα Δηµοτικής Εκπαίδευσης Β06 03. Στατιστική περιγραφική εφαρµοσµένη στην Ψυχοπαιδαγωγική Διδάσκων: Κωνσταντίνος Π. Χρήστου ΑΣΚΗΣΗ 1 Κεφάλαιο 4

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΕΘΝΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 00 Πέµπτη, Ιουνίου 00 ΓΕΝΙΚΗ ΠΑΙ ΕΙΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΘΕΜΑ Α.. Να αποδείξετε ότι για δύο ενδεχόµενα Α και Β ενός δειγµατικού χώρου Ω ισχύει ότι P(A B) P(A)

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ. ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ - ΘΕΜΑ Ο Έστω η συνάρτηση f( ) =, 0 ) Να αποδείξετε ότι f ( ). f( ) =. ) Να υπολογίσετε το όριο lm f ( )+ 4. ) Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης

Διαβάστε περισσότερα

4.2 4.3 ΕΠΙΛΥΣΗ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΩΝ

4.2 4.3 ΕΠΙΛΥΣΗ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΩΝ 1 4. 4.3 ΕΠΙΛΥΣΗ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΩΝ ΘΕΩΡΙΑ 1. Πρόβληµα : Ονοµάζουµε την κατάσταση που δηµιουργείται όταν αντι- µετωπίζουµε εµπόδια και δυσκολίες στην προσπάθεια µας να φτάσουµε σε έναν συγκεκριµένο στόχο.. Επίλυση

Διαβάστε περισσότερα

ν ν = 6. όταν είναι πραγµατικός αριθµός.

ν ν = 6. όταν είναι πραγµατικός αριθµός. Συνάρτηση: ΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ λέγεται µια διαδικασία µε την οποία κάθε στοιχείο ενός συνόλου Α αντιστοιχίζεται σε ένα ακριβώς στοιχείο κάποιου άλλου συνόλου Β. Γνησίως αύξουσα: σε ένα διάστηµα του πεδίου

Διαβάστε περισσότερα

1.4 ΕΠΙΛΥΣΗ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΩΝ ΜΕ ΤΗΝ ΧΡΗΣΗ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ

1.4 ΕΠΙΛΥΣΗ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΩΝ ΜΕ ΤΗΝ ΧΡΗΣΗ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ 1 1.4 ΕΠΙΛΥΣΗ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΩΝ ΜΕ ΤΗΝ ΧΡΗΣΗ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΣΧΟΛΙΟ Για τη λύση του προβλήµατος : ιαβάζουµε µε µεγάλη προσοχή το πρόβληµα Ξεχωρίζουµε τα δεδοµένα από τα ζητούµενα Συµβολίζουµε τον άγνωστο µε µία µεταβλητή

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 2014

ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 2014 ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 0 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΘΕΜΑ Α Α. Αν η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο R και c σταθερός πραγματικός αριθμός, να αποδείξετε με τη χρήση του

Διαβάστε περισσότερα

Λύσεις των θεμάτων ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ 30 MAΪΟΥ 2014 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ

Λύσεις των θεμάτων ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ 30 MAΪΟΥ 2014 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ 30 MAΪΟΥ 04 Λύσεις των θεμάτων

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ 30 MAΪΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ 30 MAΪΟΥ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΠΑΝΕΛΛΑ ΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΠΑΛ (ΟΜΑ Α Β ) ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ 30 MAΪΟΥ 04 Λύσεις των θεµάτων

Διαβάστε περισσότερα

Δ Ι Α Γ Ω Ν Ι Σ Μ Α Σ Τ Α Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α Γ Ε Ν Ι Κ Η Σ Π Α Ι Δ Ε Ι Α Σ. οι τιμές μιας μεταβλητής Χ ενός δείγματος πλήθους ν με k.

Δ Ι Α Γ Ω Ν Ι Σ Μ Α Σ Τ Α Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α Γ Ε Ν Ι Κ Η Σ Π Α Ι Δ Ε Ι Α Σ. οι τιμές μιας μεταβλητής Χ ενός δείγματος πλήθους ν με k. Δ Ι Α Γ Ω Ν Ι Σ Μ Α Σ Τ Α Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α Γ Ε Ν Ι Κ Η Σ Π Α Ι Δ Ε Ι Α Σ ΘΕΜΑ Α A Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση () είναι παραγωγίσιμη στο R με () Α Έστω k οι τιμές μιας μεταβλητής Χ ενός δείγματος πλήθους

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ 2012 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ 2012 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ 0 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α Α. Αν οι συναρτήσεις f, g είναι παραγωγίσιµες στο, να αποδείξετε ότι (f() + g ()) f () + g (),. Μονάδες 7 Α. Σε ένα πείραµα µε ισοπίθανα

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΘΕΜΑ Α A Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f () είναι παραγωγίσιμη στο R με f () Α Αν είναι οι τιμές μιας μεταβλητής Χ ενός δείγματος παρατηρήσεων μεγέθους ν ( ) να ορίσετε την

Διαβάστε περισσότερα

Αξιολόγηση. Θεωρία. Έστω η ορισµένη στο διάστηµα D συνάρτηση f. Α1 Να αναφέρετε πότε λέµε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα στο D

Αξιολόγηση. Θεωρία. Έστω η ορισµένη στο διάστηµα D συνάρτηση f. Α1 Να αναφέρετε πότε λέµε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα στο D ΦΥΛΛΑ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ Βασίλης Γατσινάρης ωρεάν υποστηρικτικό υλικό 1 Περί συναρτήσεων Έστω η ορισµένη στο διάστηµα D συνάρτηση f Α1 Να αναφέρετε πότε λέµε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα στο D Α Να αναφέρετε

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ 04/ 01/ 2010

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ 04/ 01/ 2010 ΕΠΩΝΥΜΟ:........................ ΟΝΟΜΑ:........................... ΤΜΗΜΑ:........................... ΤΣΙΜΙΣΚΗ & ΚΑΡΟΛΟΥ ΝΤΗΛ ΓΩΝΙΑ THΛ : 270727 222594 ΑΡΤΑΚΗΣ 12 Κ. ΤΟΥΜΠΑ THΛ : 919113 949422 www.syghrono.gr

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ 1. ο παρακάτω διάγραµµα παρουσιάζει την κατανοµή των οικογενειών ενός χωριού σε σχέση µε τον αριθµό των παιδιών τους. 40 35 Αριθµός οικογενειών 30 25 20 15 10 5 0 0 1

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΤΗΣ ΚΡΗΤΗΣ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΤΗΣ ΚΡΗΤΗΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΤΗΣ ΚΡΗΤΗΣ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΑΓΩΓΗΣ- ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΟ ΤΜΗΜΑ ΔΗΜΟΤΙΚΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ Εργασία για το σεµινάριο «Στατιστική περιγραφική εφαρµοσµένη στην ψυχοπαιδαγωγική(β06σ03)» ΤΙΤΛΟΣ: «ΜΕΛΕΤΗ ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2012

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2012 Ε_3.Μλ3Γ(ε) ΤΑΞΗ: ΜΑΘΗΜΑ: ΘΕΜΑ Α Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ / ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ Ηµεροµηνία: Κυριακή 1 Απριλίου 01 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ Α1. Για δύο ενδεχόµενα Α και Β ενός δειγµατικού χώρου

Διαβάστε περισσότερα

Λύσεις των θεμάτων ΣΑΒΒΑΤΟ 14 MAΪΟΥ 2011 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ

Λύσεις των θεμάτων ΣΑΒΒΑΤΟ 14 MAΪΟΥ 2011 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΣΑΒΒΑΤΟ 4 MAΪΟΥ 0 Λύσεις των θεμάτων Έκδοση

Διαβάστε περισσότερα

3.5 ΕΜΒΑ ΟΝ ΚΥΚΛΙΚΟΥ ΙΣΚΟΥ

3.5 ΕΜΒΑ ΟΝ ΚΥΚΛΙΚΟΥ ΙΣΚΟΥ 1 3.5 ΕΜΒ Ν ΚΥΚΛΙΚΥ ΙΣΚΥ ΘΕΩΡΙ Εµβαδόν κυκλικού δίσκου ακτίνας ρ : Ε = πρ Σηµείωση : Tο εµβαδόν του κυκλικού δίσκου, χάριν ευκολίας αναφέρεται σαν εµβαδόν του κύκλου. ΣΧΛΙ Για το εµβαδόν του κυκλικού δίσκου

Διαβάστε περισσότερα

5.2 ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΠΡΟΟ ΟΣ

5.2 ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΠΡΟΟ ΟΣ 5. ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΠΡΟΟ ΟΣ ΘΕΩΡΙΑ. Ορισµός Μια ακολουθία λέγεται αριθµητική πρόοδος, αν και µόνο αν κάθε όρος της προκύπτει από τον προηγούµενο του µε πρόσθεση του ίδιου πάντοτε αριθµού.. Μαθηµατική έκφραση

Διαβάστε περισσότερα

1) ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ - ΑΤΑΞΙΝΟΜΗΤΑ ΔΕΔΟΜΕΝΑ

1) ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ - ΑΤΑΞΙΝΟΜΗΤΑ ΔΕΔΟΜΕΝΑ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΧΕΙΜΕΡΙΝΟ ΕΞΑΜΗΝΟ 205-206 ΔΙΔΑΣΚΟΝΤΕΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΚΑΛΛΙΒΩΚΑΣ, ΘΑΝΑΣΗΣ ΚΑΖΑΝΑΣ ) ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ - ΑΤΑΞΙΝΟΜΗΤΑ ΔΕΔΟΜΕΝΑ ΑΣΚΗΣΗ Τα παρακάτω δεδομένα αναφέρονται στη

Διαβάστε περισσότερα

Μεθοδολογία Επίλυσης Προβλημάτων ============================================================================ Π. Κυράνας - Κ.

Μεθοδολογία Επίλυσης Προβλημάτων ============================================================================ Π. Κυράνας - Κ. Μεθοδολογία Επίλυσης Προβλημάτων ============================================================================ Π. Κυράνας - Κ. Σάλαρης Πολλές φορές μας δίνεται να λύσουμε ένα πρόβλημα που από την πρώτη

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ «ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ»

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ «ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ» 1. Να αντιστοιχίσετε κάθε μεταβλητή της αριστερής στήλης του παρακάτω πίνακα με την κατηγορία που βρίσκεται στη δεξιά στήλη: ΜΕΤΑΒΛΗΤΗ ΚΑΤΗΓΟΡΙΑ 1. ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΑΣΤΑΣΗ 2. ΜΙΣΘΟΣ 3.ΑΡΙΘΜΟΣ ΤΗΛΕΦΩΝΟΥ Α. ΠΟΙΟΤΙΚΗ

Διαβάστε περισσότερα

Π Α Ν Ε Λ Λ Η Ν Ι Ε Σ 2 0 1 4 Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α K A I Σ Τ Ο Ι Χ Ε Ι Α Σ Τ Α Τ Ι Σ Τ Ι Κ Η Σ

Π Α Ν Ε Λ Λ Η Ν Ι Ε Σ 2 0 1 4 Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α K A I Σ Τ Ο Ι Χ Ε Ι Α Σ Τ Α Τ Ι Σ Τ Ι Κ Η Σ Π Α Ν Ε Λ Λ Η Ν Ι Ε Σ 0 Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α K A I Σ Τ Ο Ι Χ Ε Ι Α Σ Τ Α Τ Ι Σ Τ Ι Κ Η Σ Ε π ι μ ε λ ε ι α : Τ α κ η ς Τ σ α κ α λ α κ ο ς Π α ν ε λ λ α δ ι κ ε ς Ε ξ ε τ α σ ε ι ς ( 0 ) o ΘΕΜΑ A. Aν n

Διαβάστε περισσότερα

(f(x)+g(x)) =f (x)+g (x), x R

(f(x)+g(x)) =f (x)+g (x), x R ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΠΑΝΕΛΛΑ ΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 0 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ Α Α. Αν οι συναρτήσεις, g είναι παραγωγίσιµες στο IR, να αποδείξετε ότι (()+g()) ()+g (), R Μονάδες 7 Α.

Διαβάστε περισσότερα

(f(x) + g(x)) = f (x) + g (x).

(f(x) + g(x)) = f (x) + g (x). ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ ΘΕΜΑ 1o ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΡΙΤΗ 1 ΙΟΥΛΙΟΥ 2008 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙ

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 2012 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ

ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 2012 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΘΕΜΑ Α Α. Αν οι συναρτήσεις f, g είναι παραγωγίσιμες στο R, να αποδείξετε ότι (f() + g() )=f ()+g (), R Μονάδες 7 Α. Σε

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΧΗ 2ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ γ) Για την παράγωγο μιας σύνθετης συνάρτησης ισχύει (f(g(x))) =f (g(x)) g (x) Μονάδες 2

ΑΡΧΗ 2ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ γ) Για την παράγωγο μιας σύνθετης συνάρτησης ισχύει (f(g(x))) =f (g(x)) g (x) Μονάδες 2 ΘΕΜΑ Α ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑ Α Β ) ΣΑΒΒΑΤΟ 14 MAΪΟΥ 2011 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ

Διαβάστε περισσότερα

f x g x f x g x, x του πεδίου ορισμού της; Μονάδες 4 είναι οι παρατηρήσεις μιας ποσοτικής μεταβλητής Χ ενός δείγματος μεγέθους ν και w

f x g x f x g x, x του πεδίου ορισμού της; Μονάδες 4 είναι οι παρατηρήσεις μιας ποσοτικής μεταβλητής Χ ενός δείγματος μεγέθους ν και w ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΤΕΤΑΡΤΗ 0 ΜΑΪΟΥ 015 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΘΕΜΑ Α Α1 Αν οι συναρτήσεις f,g

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 2011 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 2011 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΠΑΝΕΛΛΑΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 0 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΕΙΑΣ ΘΕΜΑ Ο : Α. Για δύο ενδεχόμενα Α και Β ενός δειγματικού χώρου Ω να αποδειχθεί ότι: Ρ(Α-Β)=Ρ(Α)-

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ 2ο (2000) Α. Να γράψετε στο τετράδιό σας τον πίνακα των τιμών της μεταβλητής Χ σωστά συμπληρωμένο.

ΘΕΜΑ 2ο (2000) Α. Να γράψετε στο τετράδιό σας τον πίνακα των τιμών της μεταβλητής Χ σωστά συμπληρωμένο. ΘΕΜΑ 2ο (2000) Α. Να γράψετε στο τετράδιό σας τον πίνακα των τιμών της μεταβλητής Χ σωστά συμπληρωμένο. Τιμές Μεταβλητής Συχνότητα Σχετική Συχνότητα Σχετική Συχνότητα Αθροιστική Συχνότητα x i ν i f i f

Διαβάστε περισσότερα

6.5 ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΑΝΑΛΟΓΙΩΝ

6.5 ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΑΝΑΛΟΓΙΩΝ 1 6.5 ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΑΝΑΛΟΓΙΩΝ ΘΕΩΡΙΑ 1. Τρόποι ελέγχου αν δύο ποσά είναι ανάλογα α) Εξετάζουµε αν µεταβάλλονται µε τον ίδιο τρόπο. ηλαδή, όταν πολλαπλασιάζεται (διαιρείται) η τιµή του ενός µε έναν αριθµό,

Διαβάστε περισσότερα

ÑÏÕËÁ ÌÁÊÑÇ. Εποµένως η συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα και άρα δεν έχει ακρότατα. δ. Με x 1 είναι

ÑÏÕËÁ ÌÁÊÑÇ. Εποµένως η συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα και άρα δεν έχει ακρότατα. δ. Με x 1 είναι ΘΕΜΑ ο Α.. Βλέπε σχολικό βιβλίο σελίδα 9.. Βλέπε σχολικό βιβλίο σελίδα 87. Β. Βλέπε σχολικό βιβλίο σελίδα 0. Γ. Σ, Σ, Σ, 4 Σ, Λ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ ο α. Πρέπει x > 0,

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΕΜΠΤΗ 22 ΜΑΪΟΥ 2008 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ

ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΕΜΠΤΗ 22 ΜΑΪΟΥ 2008 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 008 ΘΕΜΑ o ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΕΜΠΤΗ ΜΑΪΟΥ 008 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ & ΟΜΑ ΟΠΟΙΗΣΗ ΒΑΘΜΟΛΟΓΙΩΝ. 4.1 Κατανοµή γραπτού µέσου όρου ετήσιων πληθυσµών

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ & ΟΜΑ ΟΠΟΙΗΣΗ ΒΑΘΜΟΛΟΓΙΩΝ. 4.1 Κατανοµή γραπτού µέσου όρου ετήσιων πληθυσµών ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ & ΟΜΑ ΟΠΟΙΗΣΗ ΒΑΘΜΟΛΟΓΙΩΝ Εισαγωγή Στο κεφάλαιο 4 υπολογίζονται τα κυριότερα στατιστικά µέτρα θέσης και µεταβλητότητας, κατασκευάζονται ιστογράµµατα συχνοτήτων και θηκογράµµατα για

Διαβάστε περισσότερα

Σ Υ Λ Λ Ο Γ Ι Σ Μ Ο Ι Π Ρ Ο Β Λ Η Μ Α Τ Ι Σ Μ Ο Ι. της απαντήσεις τους κατασκευάστηκε το παρακάτω ραβδόγραμμα. κανάλι α i. συχνότητα ν i.

Σ Υ Λ Λ Ο Γ Ι Σ Μ Ο Ι Π Ρ Ο Β Λ Η Μ Α Τ Ι Σ Μ Ο Ι. της απαντήσεις τους κατασκευάστηκε το παρακάτω ραβδόγραμμα. κανάλι α i. συχνότητα ν i. Γ. ΛΥΚ. ΘΡΑΚΟΜΑΚΕΔΟΝΩΝ (2014-15) Λ. Γρίλλιας Σ Υ Λ Λ Ο Γ Ι Σ Μ Ο Ι Π Ρ Ο Β Λ Η Μ Α Τ Ι Σ Μ Ο Ι 1) Σε ένα σχολείο ρωτήθηκαν 70 μαθητές για την προτίμησή τους σε ποδοσφαιρικές ομάδες. Από της απαντήσεις

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ 2010 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ 2010 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ 00 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α Α. Έστω t, t,..., t ν οι παρατηρήσεις µιας ποσοτικής µεταβλητής Χ ενός δείγµατος µεγέθους ν, που έχουν µέση τιµή x. Σχηµατίζουµε

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ 1o ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ A. Η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο ΙR. και c πραγματική σταθερά. Να αποδείξετε ότι (c f()) =c f (), ΙR. B.α. Πότε δύο ενδεχόμενα

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ. Ρίχνουµε ένα νόµισµα τρείς φορές (i) Να βρείτε τον δειγµατικό χώρο του πειράµατος τύχης. (ii) Να βρείτε την πιθανότητα των ενδεχοµένων: Α: Οι τρεις ενδείξεις είναι ίδιες. Β:

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ( ΘΕΡΙΝΑ )

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ( ΘΕΡΙΝΑ ) 5 1 1 1η σειρά ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ( ΘΕΡΙΝΑ ) ΘΕΜΑ 1 Α. Ας υποθέσουμε ότι x 1,x,...,x κ είναι οι τιμές μιας μεταβλητής X, που αφορά τα άτομα ενός δείγματος μεγέθους

Διαβάστε περισσότερα

Π Α Ν Ε Λ Λ Η Ν Ι Ε Σ 2 0 1 5 Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α K A I Σ Τ Ο Ι Χ Ε Ι Α Σ Τ Α Τ Ι Σ Τ Ι Κ Η

Π Α Ν Ε Λ Λ Η Ν Ι Ε Σ 2 0 1 5 Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α K A I Σ Τ Ο Ι Χ Ε Ι Α Σ Τ Α Τ Ι Σ Τ Ι Κ Η Π Α Ν Ε Λ Λ Η Ν Ι Ε Σ 0 Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α K A I Σ Τ Ο Ι Χ Ε Ι Α Σ Τ Α Τ Ι Σ Τ Ι Κ Η Ε π ι μ ε λ ε ι α : Τ α κ η ς Τ σ α κ α λ α κ ο ς o ΘΕΜΑ Π α ν ε λ λ α δ ι κ ε ς Ε ξ ε τ α σ ε ι ς ( 0 ) A. Aν οι συναρτησεις

Διαβάστε περισσότερα

1-3 10 1-3 6 3-5 40 3-5 30 5-7 20 5-7 20 7-9 20 7-9 30 9-11 8 9-11 10 11-13 2 11-13 4 Σύνολο 100 Σύνολο 100

1-3 10 1-3 6 3-5 40 3-5 30 5-7 20 5-7 20 7-9 20 7-9 30 9-11 8 9-11 10 11-13 2 11-13 4 Σύνολο 100 Σύνολο 100 1. (Εξεταστ. Φεβ. 2004) Μια µεγάλη εταιρία θέλει να εξετάσει εάν το εκπαιδευτικό πρόγραµµα που ακολουθήσανε οι 100 πωλητές της ήταν αποτελεσµατικό (δηλαδή εάν αυξήθηκαν οι πωλήσεις). Οι δύο παρακάτω πίνακες

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΟΛΟΓΙΑ

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΟΛΟΓΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΟΛΟΓΙΑ Στα πλαίσια της ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΟΛΟΓΙΑΣ προσπαθούµε να προσεγγίσουµε τα χαρακτηριστικά ενός συνόλου (πληθυσµός) δια της µελέτης των χαρακτηριστικών αυτών επί ενός µικρού

Διαβάστε περισσότερα

ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. 11. Δίνεται ο μηνιαίος μισθός (σε ευρώ) των 50 υψηλόμισθων υπαλλήλων μιας μεγάλης εταιρείας.

ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. 11. Δίνεται ο μηνιαίος μισθός (σε ευρώ) των 50 υψηλόμισθων υπαλλήλων μιας μεγάλης εταιρείας. ΟΜΑΔΟΠΟΙΗΣΗ ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΩΝ (κλάσεις ίσου πλάτους) ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ου 11. Δίνεται ο μηνιαίος μισθός (σε ευρώ) των 5 υψηλόμισθων υπαλλήλων μιας μεγάλης εταιρείας. 18 11 17 19 1 195 195 13 13 195 2 3 2 3 2

Διαβάστε περισσότερα

Μάθηµα 3 ο. Περιγραφική Στατιστική

Μάθηµα 3 ο. Περιγραφική Στατιστική Μάθηµα 3 ο Περιγραφική Στατιστική ΗΣτατιστικήείναι Μια τυποποιηµένη σειρά αναλυτικών µεθόδων, οι οποίες χρησιµοποιούνται από τον εκάστοτε ερευνητή για την ανάλυση των διαθέσιµων δεδοµένων. Υπάρχουν δύο

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 5 Δείκτες Διασποράς

Κεφάλαιο 5 Δείκτες Διασποράς Πανεπιστήµιο Κρήτης Σχολή Επιστηµών Αγωγής Παιδαγωγικό Τµήµα Δηµοτικής Εκπαίδευσης Β06 03. Στατιστική περιγραφική εφαρµοσµένη στην Ψυχοπαιδαγωγική Διδάσκων: Κωνσταντίνος Π. Χρήστου Κεφάλαιο 5 Δείκτες Διασποράς

Διαβάστε περισσότερα

Δύο κύριοι τρόποι παρουσίασης δεδομένων. Παράδειγμα

Δύο κύριοι τρόποι παρουσίασης δεδομένων. Παράδειγμα Δύο κύριοι τρόποι παρουσίασης δεδομένων Παράδειγμα Με πίνακες Με διαγράμματα Ονομαστικά δεδομένα Εδώ τα περιγραφικά μέτρα (μέσος, διάμεσος κλπ ) δεν έχουν νόημα Πήραμε ένα δείγμα από 25 άτομα και τα ρωτήσαμε

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ Α. α) Αν x>0, τότε ( x ) = x

ΘΕΜΑ Α. α) Αν x>0, τότε ( x ) = x ΘΕΜΑ Α ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΑΒΒΑΤΟ 4 ΙΟΥΝΙΟΥ 2011 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ

Διαβάστε περισσότερα

Θέματα Εξετάσεων Γ Λυκείου Μαθηματικά και Στοιχεία Στατιστικής 2000-2015

Θέματα Εξετάσεων Γ Λυκείου Μαθηματικά και Στοιχεία Στατιστικής 2000-2015 Θέματα Εξετάσεων Γ Λυκείου Μαθηματικά και Στοιχεία Στατιστικής 000-015 Περιεχόμενα Θέματα Επαναληπτικών 015.................................................. 3 Θέματα 015............................................................

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ. 1. Στον πιο κάτω πίνακα παρουσίαζονται οι μέρες της άδειας ασθενείας των υπαλλήλων μιας εταιρείας. Μέρες Άδειας Ασθενείας

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ. 1. Στον πιο κάτω πίνακα παρουσίαζονται οι μέρες της άδειας ασθενείας των υπαλλήλων μιας εταιρείας. Μέρες Άδειας Ασθενείας ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ 1. Στον πιο κάτω πίνακα παρουσίαζονται οι μέρες της άδειας ασθενείας των υπαλλήλων μιας εταιρείας. Μέρες Άδειας Ασθενείας 5 6 7 8 9 10 Υπάλληλοι 9 13 6 9 5 4 Α. Να βρεθεί πόσοι υπάλληλοι

Διαβάστε περισσότερα

Περιοδικό ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β Ε.Μ.Ε. (τεύχος 56)

Περιοδικό ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β Ε.Μ.Ε. (τεύχος 56) ΓΕΝΙΚEΣ AΣΚΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Κώστας Βακαλόπουλος, Κώστας Παπαϊωάννου, Θανάσης Χριστόπουλος Άσκηση ( λ) λ λ 5 Δίνεται η συνάρτηση F(x) x λx. α) Να βρεθεί η F (x). Ν(Β) Άρα: Β = {5}, οπότε

Διαβάστε περισσότερα

3.6 ΕΜΒΑ ΟΝ ΚΥΚΛΙΚΟΥ ΤΟΜΕΑ

3.6 ΕΜΒΑ ΟΝ ΚΥΚΛΙΚΟΥ ΤΟΜΕΑ 1 3.6 ΕΜΝ ΚΥΚΛΙΚΥ ΤΜΕ ΘΕΩΡΙ 1. Εµβαδόν κυκλικού τοµέα γωνίας µ ο : Ε = πρ. µ, όπου ρ η ακτίνα του κύκλου και π ο γνωστός αριθµός. Εµβαδόν κυκλικού τοµέα γωνίας α rad: Ε = 1 αρ, όπου ρ η ακτίνα του κύκλου

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΓΚΥΠΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2013 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΟΙΝΟΥ ΚΟΡΜΟΥ

ΠΑΓΚΥΠΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2013 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΟΙΝΟΥ ΚΟΡΜΟΥ ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ Στασίνου 6, Γραφ. 102, Στρόβολος 200, Λευκωσία Τηλ. 57-2278101 Φαξ: 57-2279122 cms@cms.org.cy, www.cms.org.cy ΠΑΓΚΥΠΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 201 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΟΙΝΟΥ ΚΟΡΜΟΥ Ημερομηνία:

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ 2006 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ 2006 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ o ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ 006 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ A. Η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιµη στο ΙR. και c πραγµατική σταθερά. Να αποδείξετε ότι (c f(x)) =c f (x), x ΙR. Μονάδες

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Κ. Τζιρώνης, Θ. Τζουβάρας ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Συµπλήρωµα στις λύσεις των ασκήσεων του βιβλίου Περιλαµβάνει λύσεις ή υποδείξεις για ασκήσεις του βιβλίου που αφορούν κυρίως προβλήµατα των οποίων η επίλυση

Διαβάστε περισσότερα

2 o Καλοκαιρινό σχολείο Μαθηµατικών Νάουσα 2008

2 o Καλοκαιρινό σχολείο Μαθηµατικών Νάουσα 2008 2 o Καλοκαιρινό σχολείο Μαθηµατικών Νάουσα 2008 Μικρό Θεώρηµα του Fermat, η συνάρτηση του Euler και Μαθηµατικοί ιαγωνισµοί Αλέξανδρος Γ. Συγκελάκης ags@math.uoc.gr Αύγουστος 2008 Αλεξανδρος Γ. Συγκελακης

Διαβάστε περισσότερα

ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ - ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ

ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ - ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΤΕΙ ΔΥΤΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ ΚΑΣΤΟΡΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ Η/Υ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ - ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ 2o ΜΑΘΗΜΑ Ι ΑΣΚΩΝ: ΒΑΣΙΛΕΙΑ ΗΣ ΓΕΩΡΓΙΟΣ Email: gvasil@math.auth.gr Ιστοσελίδες Μαθήματος: users.auth.gr/gvasil

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ ΤΕΙ ΥΤΙΚΗΣ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ ΚΑΣΤΟΡΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ Η/Υ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 4o ΜΑΘΗΜΑ Ι ΑΣΚΩΝ ΒΑΣΙΛΕΙΑ ΗΣ ΓΕΩΡΓΙΟΣ Email: gvasil@math.auth.gr Ιστοσελίδα Μαθήματος: users.auth.gr/gvasil

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική Ι. Ενότητα 2: Στατιστικά Μέτρα Διασποράς Ασυμμετρίας - Κυρτώσεως. Δρ. Γεώργιος Κοντέος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Γρεβενών

Στατιστική Ι. Ενότητα 2: Στατιστικά Μέτρα Διασποράς Ασυμμετρίας - Κυρτώσεως. Δρ. Γεώργιος Κοντέος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Γρεβενών Στατιστική Ι Ενότητα 2: Στατιστικά Μέτρα Διασποράς Ασυμμετρίας - Κυρτώσεως Δρ. Γεώργιος Κοντέος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Γρεβενών Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ ΑΠΟ ΤΗΝ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ

ΘΕΜΑΤΑ ΑΠΟ ΤΗΝ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ 3. Δίνεται ο πίνακας: 3 3 3 ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ ΘΕΜΑ ο. Ένα κουτί περιέχει άσπρες, μαύρες, κόκκινες και πράσινες μπάλες. Οι άσπρες είναι 5, οι μαύρες είναι 9, ενώ οι κόκκινες και οι πράσινες μαζί είναι 6. Επιλέγουμε

Διαβάστε περισσότερα

ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ

ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ Πρόγραµµα Σπουδών: ΙΟΙΚΗΣΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ και ΟΡΓΑΝΙΣΜΩΝ Θεµατική Ενότητα: ΕΟ-3 Ποσοτικές Μέθοδοι Ακαδηµαϊκό Έτος: 003- ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΠΕΡΙΓΡΑΦΗ Ε ΟΜΕΝΩΝ ΑΤΑΞΙΝΟΜΗΤΑ

Διαβάστε περισσότερα

2010-2011. 4 o Γενικό Λύκειο Χανίων Γ τάξη. Γενικής Παιδείας. Ασκήσεις για λύση

2010-2011. 4 o Γενικό Λύκειο Χανίων Γ τάξη. Γενικής Παιδείας. Ασκήσεις για λύση 00-0 4 o Γενιό Λύειο Χανίων Γ τάξη Μαθηματιά Γενιής Παιδείας γ Ασήσεις για λύση Επιμέλεια: Μ. Ι. Παπαγρηγοράης http://users.sch.gr/mipapagr 4 ο Γενιό Λύειο Χανίων 00 0 ΣΥΝΔΙΑΣΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ

Διαβάστε περισσότερα

Περιοδικό ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β Ε.Μ.Ε. (Τεύχος 96) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΤΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ. f (x) s lim e. t,i 1,2,3,...

Περιοδικό ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β Ε.Μ.Ε. (Τεύχος 96) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΤΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ. f (x) s lim e. t,i 1,2,3,... Περιοδικό ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β ΕΜΕ (Τεύχος 96) Άσκηση ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΤΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Έστω οι παρατηρήσεις δυο δειγμάτων αντίστοιχα των μεταβλητών Χ και Ψ Δίνεται ότι η μέση τιμή

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ

ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗ Ποσοτική Ποιοτική ιακριτή ή ασυνεχής (dscrete qutttve vrble (Πεπερασµένο πλήθος πιθανών τιµών Άπειρο αλλά αριθµήσιµο πλήθος πιθανών τιµών Συνεχής (cotuous qutttve

Διαβάστε περισσότερα

Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. Θέμα 2 ο (150)

Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. Θέμα 2 ο (150) Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Θέμα ο (150) -- Τράπεζα θεμάτων Άλγεβρας Α Λυκείου Φεργαδιώτης Αθανάσιος -3- Τράπεζα θεμάτων Άλγεβρας Α Λυκείου Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΚΕΦΑΛΑΙΟ

Διαβάστε περισσότερα

----------Εισαγωγή στη Χρήση του SPSS for Windows ------------- Σελίδα: 0------------

----------Εισαγωγή στη Χρήση του SPSS for Windows ------------- Σελίδα: 0------------ ----------Εισαγωγή στη Χρήση του SPSS for Windows ------------- Σελίδα: 0------------ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 ο 9.1 ηµιουργία µοντέλων πρόβλεψης 9.2 Απλή Γραµµική Παλινδρόµηση 9.3 Αναλυτικά για το ιάγραµµα ιασποράς

Διαβάστε περισσότερα

Α Λυκείου Άλγεβρα Τράπεζα Θεμάτων Το Δεύτερο Θέμα

Α Λυκείου Άλγεβρα Τράπεζα Θεμάτων Το Δεύτερο Θέμα Α Λυκείου Άλγεβρα Τράπεζα Θεμάτων Το Δεύτερο Θέμα Θεωρούμε την ακολουθία (α ν ) των θετικών περιττών αριθμών: 1, 3, 5, 7, α) Να αιτιολογήσετε γιατί η (α ν ) είναι αριθμητική πρόοδος και να βρείτε τον εκατοστό

Διαβάστε περισσότερα

ε. Το μέλος δεν έχει επιλέξει κανένα από τα δύο προγράμματα. Το μέλος έχει επιλέξει αυστηρά ένα μόνο από τα δύο προγράμματα.

ε. Το μέλος δεν έχει επιλέξει κανένα από τα δύο προγράμματα. Το μέλος έχει επιλέξει αυστηρά ένα μόνο από τα δύο προγράμματα. 1. Τα μέλη ενός Γυμναστηρίου έχουν τη δυνατότητα να επιλέξουν προγράμματα αεροβικής ή γυμναστικής με βάρη. Θεωρούμε τα ενδεχόμενα: Α = Ένα μέλος έχει επιλέξει πρόγραμμα αεροβικής. Β = Ένα μέλος έχει επιλέξει

Διαβάστε περισσότερα

Θέµατα Αρχών Οικονοµικής Θεωρίας Επιλογής Γ' Λυκείου 2001

Θέµατα Αρχών Οικονοµικής Θεωρίας Επιλογής Γ' Λυκείου 2001 Θέµατα Αρχών Οικονοµικής Θεωρίας Επιλογής Γ' Λυκείου 2001 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΟΜΑ Α Α Στις προτάσεις, από Α.1. µέχρι και Α.6, να γράψετε τον αριθµό της καθεµιάς και δίπλα σε κάθε αριθµό την ένδειξη Σωστό, αν η

Διαβάστε περισσότερα

ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΚΑΙ ΠΟΛΙΤΙΣΜΟΥ ΙΕΥΘΥΝΣΗ ΑΝΩΤΕΡΗΣ ΚΑΙ ΑΝΩΤΑΤΗΣ ΕΚΠΑΙ ΕΥΣΗΣ ΥΠΗΡΕΣΙΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΠΑΓΚΥΠΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2013 ΛΥΣΕΙΣ

ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΚΑΙ ΠΟΛΙΤΙΣΜΟΥ ΙΕΥΘΥΝΣΗ ΑΝΩΤΕΡΗΣ ΚΑΙ ΑΝΩΤΑΤΗΣ ΕΚΠΑΙ ΕΥΣΗΣ ΥΠΗΡΕΣΙΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΠΑΓΚΥΠΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2013 ΛΥΣΕΙΣ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΚΑΙ ΠΟΛΙΤΙΣΜΟΥ ΙΕΥΘΥΝΣΗ ΑΝΩΤΕΡΗΣ ΚΑΙ ΑΝΩΤΑΤΗΣ ΕΚΠΑΙ ΕΥΣΗΣ ΥΠΗΡΕΣΙΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΠΑΓΚΥΠΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 01 Μάθημα : ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΟΙΝΟΥ ΚΟΡΜΟΥ Ημερομηνία και ώρα εξέτασης: Παρασκευή 1/5/01 8:00

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ ΛΥΕΙΟΥ

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ ΛΥΕΙΟΥ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ ΛΥΕΙΟΥ ΘΕΜΑ Α Α1. Έστω μια συνάρτηση ff που έχει πεδίο ορισμού το ΔΔ. 1. Πότε η ffλέγεται συνεχής στο xx 0 ΔΔ ; 2. Πότε η ff λέγεται συνεχής; (Μονάδες

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΠΡΟΟΔΟΣ. Σύμφωνα με τα παραπάνω, για μια αριθμητική πρόοδο που έχει πρώτο όρο τον ...

ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΠΡΟΟΔΟΣ. Σύμφωνα με τα παραπάνω, για μια αριθμητική πρόοδο που έχει πρώτο όρο τον ... ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΠΡΟΟΔΟΣ Ορισμός : Μία ακολουθία ονομάζεται αριθμητική πρόοδος, όταν ο κάθε όρος της, δημιουργείται από τον προηγούμενο με πρόσθεση του ίδιου πάντοτε αριθμού. Ο σταθερός αριθμός που προστίθεται

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στη Στατιστική

Εισαγωγή στη Στατιστική Εισαγωγή στη Στατιστική Μετεκπαιδευτικό Σεμινάριο στην ΨΥΧΟΚΟΙΝΩΝΙΚΗ ΑΠΟΚΑΤΑΣΤΑΣΗ ΨΥΧΟΚΟΙΝΩΝΙΚΕΣ ΘΕΡΑΠΕΥΤΙΚΕΣ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΕΙΣ Δημήτρης Φουσκάκης, Επίκουρος Καθηγητής, Τομέας Μαθηματικών, Σχολή Εφαρμοσμένων

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΔΑΚΤΙΚΟ ΣΕΝΑΡΙΟ: ΜΕΤΡΑ ΔΙΑΣΠΟΡΑΣ ΣΥΝΤΕΛΕΣΤΗΣ ΜΕΤΑΒΟΛΗΣ ΔΙΔΑΚΤΙΚΟ ΣΕΝΑΡΙΟ

ΔΙΔΑΚΤΙΚΟ ΣΕΝΑΡΙΟ: ΜΕΤΡΑ ΔΙΑΣΠΟΡΑΣ ΣΥΝΤΕΛΕΣΤΗΣ ΜΕΤΑΒΟΛΗΣ ΔΙΔΑΚΤΙΚΟ ΣΕΝΑΡΙΟ ΔΙΔΑΚΤΙΚΟ ΣΕΝΑΡΙΟ ΤΙΤΛΟΣ ΣΕΝΑΡΙΟΥ Μέτρα διασποράς - Συντελεστής μεταβολής ΤΑΥΤΟΤΗΤΑ ΣΕΝΑΡΙΟΥ ΣΥΓΓΡΑΦΕΙΣ: Καραγιάννης Βασίλης ΑΜ: 201118 Οικονόμου Κυριάκος AM: 201102 ΓΝΩΣΤΙΚΗ ΠΕΡΙΟΧΗ: Στατιστική Γ Λυκείου

Διαβάστε περισσότερα