ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ. Β κύκλος

Transcript

1 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Β κύκλος 6-7 ) Δίνεται η παραγωγίσιμη στο συνάρτηση f για την οποία ισχύει : α) Να δείξετε ότι f()=+e -, f ()+f()=, για κάθε και f()=e+ β) Να βρείτε το όριο ( y f(y)) γ) Να δείξετε ότι η f είναι κυρτή στο ) Δίνεται η συνάρτηση f, συνεχής στο R, για την οποία ισχύει : f() συν ημ=, για κάθε R i) Να υπολογιστούν τα : f () ii) Να βρεθεί το f() και f () iii) Να δειχθεί ότι η εξίσωση f()= έχει πραγματική ρίζα -- f () 3) Έστω f: με f(+y)=f()f(y) για κάθε,y και i) Να δειχθεί ότι η f είναι παραγωγίσιμη στο και f ()=α f() ii) Αν η εφαπτόμενη της C f στο = σχηματίζει με τον άξονα γωνία, να δείξετε ότι α= και να 4 βρεθεί ο τύπος της f -- 4) Μια παραγωγίσιμη συνάρτηση f: έχει την ιδιότητα f ()=e -f() για κάθε Αν η C f έχει κέντρο συμμετρίας την αρχή των αξόνων, να αποδείξετε ότι: α) η f είναι άρτια συνάρτηση, β) f()= γ) f()=, --

2 5) Έστω συνάρτηση f()=e +, Α) Δείξτε ότι η f αντιστρέφεται και βρείτε το πεδίο ορισμού της f - Β) Αν η συνάρτηση f - είναι παραγωγίσιμη τότε: i) Να βρεθεί η εφαπτομένη (ε) ευθεία της C f στο σημείο της o =e+ ii) Να δείξετε ότι η f - είναι κοίλη iii) Να υπολογίστε το εμβαδό του χωρίου που περικλείεται από την C f την παραπάνω εφαπτομένη (ε) και τον άξονα χ χ iv) Να υπολογίσετε το όριο L f ) Οι συναρτήσεις f, g είναι ορισμένες και παραγωγίσιμες στο με g(), ( ) ( ) και f g f g ( ) ( ) για κάθε Α Να αποδείξετε ότι: i g( ) g( ) f ( ) για κάθε ii H g είναι γνησίως μονότονη σε καθένα από τα διαστήματα,,, και έχει ακρότατο το Β i Να μελετήσετε τη συνάρτηση f ως προς την κυρτότητα και να βρείτε τα σημεία καμπής της ii Nα γράψετε την εξίσωση της εφαπτομένης της γραφικής παράστασης της f στο σημείο (,) Γ Αν είναι το εμβαδόν του χωρίου, που ορίζεται από τη γραφική παράσταση της f και τις ευθείες y,, να δείξετε ότι: ln g () 7) Οι συναρτήσεις f, g είναι ορισμένες και παραγωγίσιμες στο με f ( ) g( ), f ( ) για κάθε g( ) Αν στο όριο L= εφαρμόσουμε τον κανόνα του ορίου πηλίκου, παρουσιάζεται f ( ) απροσδιόριστη μορφή α Να υπολογίσετε το όριο L β Να βρείτε τις ασύμπτωτες των γραφικών παραστάσεων των συναρτήσεων f, g στο γ Να αποδείξετε ότι η g έχει το πολύ μία ρίζα δ Να αποδείξετε ότι f ( ) g( ) 4 ---

3 8) Μία συνάρτηση f :, Α Να αποδείξετε ότι: i f () ii f f έχει την ιδιότητα: iii f ( ) ln, y ln( y) yf ( ) f ( y) f ( y) για κάθε, y,, B Να υπολογίσετε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της f, τον άξονα και τις ευθείες και e e --- 9) Δίνεται η συνάρτηση α f ( ) e, α α Να μελετήσετε την f ως προς τη μονοτονία β Δείξτε ότι η συνάρτηση f έχει ένα μόνο ακρότατο το οποίο είναι μέγιστο γ Αν το μέγιστο της f είναι το e τότε: i να δείξετε ότι α= ii να βρείτε τις ασύμπτωτες της δ να βρείτε το a ( ) f d a C f στο --- ) Δίνεται η συνάρτηση f ( ) e α Να μελετήσετε την f ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα β Να αποδείξετε ότι e για κάθε γ Δείξτε ότι η εξίσωση e έχει μοναδική πραγματική ρίζα, την οποία και να βρείτε δ Να βρείτε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της g( ) e και τις ευθείες y και ln --- 3

4 ) Δίνεται η συνάρτηση f με α, f ( ) e ln,,, α α Να υπολογίσετε το όριο e β Να υπολογίσετε τον α ώστε η f να είναι συνεχής στο διάστημα, γ Για α =, να αποδείξετε ότι: i υπάρχει ένας τουλάχιστον πραγματικός αριθμός ξ, τέτοιο ώστε η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της f στο σημείο Aξ, f (ξ) να είναι παράλληλη προς τον άξονα ii υπάρχει τέτοιο ώστε: e ln ) Θεωρούμε τη συνάρτηση f α β με * α,β α Να βρεθούν τα α,β ώστε το σημείο, να είναι σημείο καμπής της γραφικής παράστασης της f β Για α= και β=3 i Nα μελετήσετε την f ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα ii Nα αποδείξετε ότι ρ ρ 9 f ( ) d f ( ) d 4, όπου ρ ρ,ρ οι θέσεις του τοπικού ελαχίστου και τοπικού μεγίστου της f αντίστοιχα 3) Μία συνάρτηση f : α Να δείξετε ότι f () β Να βρείτε τον τύπο της f έχει την ιδιότητα συν γ Να υπολογίσετε το f ( ) f ( y) f ( ) f ( y) 3 y y, για κάθε, y 4

5 4) Δίδονται οι συναρτήσεις f και g, δυο φορές παραγωγίσιµες στο και τέτοιες ώστε: f ( ) g( ) για κάθε και f () g() Α Έστω ότι η εξίσωση f ( ) έχει δυο λύσεις ρ ρ ον ) Να αποδείξετε ότι: α) η εξίσωση ( ) g έχει μία τουλάχιστον λύση στο διάστημα β) υπάρχει ένας τουλάχιστον ξ ρ,ρ τέτοιος ώστε να ισχύει ον ) Αν g ρ,ρ g ξ για κάθε και η C g στρέφει τα κοίλα άνω στο, να αποδείξετε ότι: α) η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα στο β) η συνάρτηση f έχει ολικό ελάχιστο στο σημείο ξ του ερωτ Α ον β) Β Έστω ότι η ευθεία y 3 7 είναι ασύμπτωτη της γραφ παράστασης της f το ον g( ) g( ) 3 ημ ) Να βρείτε τα όρια: α) β) f ( ) 3 ον ) Να αποδείξετε ότι η ευθεία µε εξίσωση y 5 είναι ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης της g στο --- 5) Έστω μια συνάρτηση f ορισμένη και παραγωγίσιμη στο διάστημα, για την οποία ισχύει: f ( ) e f ( ) f ( ) e, και f ( ) α Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση g( ) e είναι σταθερή στο, β Δείξτε ότι f ( ) e, γ Δείξτε ότι η εξίσωση f ( ) έχει μοναδική ρίζα στο, δ Να δείξετε ότι συνάρτηση h( ) f ( ) 3e, έχει ένα σημείο καμπής το οποίο και να βρεθεί --- 6) Mια παραγωγίσιμη στο συνάρτηση f ικανοποιεί τη συνθήκη: f() = f() d- f () για κάθε και f() = i) Να δείξετε ότι: f e e ii) Να βρείτε την οριζόντια ασύμπτωτη της C f όταν το + iii) Να βρείτε το εμβαδόν του χωρίου που ορίζεται από την C f, την παραπάνω ασύμπτωτη και τις ευθείες = και = --- 5

6 7) Έστω α,β και η συνάρτηση f : με τύπο f ( ) α β 4 3 η οποία έχει τρία διαφορετικά τοπικά ακρότατα, για,, 3, με 3 α Να σημειώστε στο τετράδιό σας το γράμμα που αντιστοιχεί στη σωστή απάντηση Το άθροισμα 3 είναι ίσο με: (Δικαιολογήστε την απάντησή σας) Α α Β α Γ 4α Δ Ε 3α 3 4 β Να αποδείξετε ότι γραφική παράσταση της f έχει ακριβώς δύο σημεία καμπής γ Αν η γραφική παράσταση εφάπτεται σε δύο διαφορετικά σημεία στον άξονα, να αποδείξετε ότι η f έχει ελάχιστο το μηδέν --- 8) Έστω f : συνάρτηση παραγωγίσιμη με σύνολο τιμών και ισχύει : f 3 ()+f()=, () i) Να μελετήσετε την f ως προς τα κοίλα - κυρτά και σημεία καμπής ii) Να βρεθεί η εφαπτομένη ευθεία στο σημείο καμπής της iii) Δείξτε ότι η f αντιστρέφεται και να δείξετε ότι f - ()= 3 +, - f () iv) Αν g()= βρείτε την ασύμπτωτη της C g στο + και υπολογίστε το εμβαδό του χωρίου που περικλείεται από την C g την παραπάνω ασύμπτωτη και τις ευθείες = και = e --- 9) Έστω f συνεχής στο [,+ ) με f()=, f() και f () f(t) dt+ f () =, i) Να δείξετε ότι f 3 ii) Αν g() = f() + ln, > δείξτε ότι η C g τέμνει τον σ ένα ακριβώς σημείο iii) Aν < α < β συγκρίνετε τους αριθμούς a, ln Έστω οι δύο φορές παραγωγίσιμες συναρτήσεις f, g: [α, β], για τις οποίες ισχύουν: f (α) = f ' (α) = και f " () g() = f () g"() για κάθε [α, β] α) Να αποδείξετε ότι f ' () g() = f () g'() για κάθε [α, β] β) Αν ισχύει g() για κάθε [α,β], να δείξετε ότι ισχύει f()= για κάθε [α,β ] --- 6

7 ) Δίνεται η παραγωγίσιμη συνάρτηση f για την οποία ισχύει : [f()] 8 +α[f()] 3 = -e f(), α>,για κάθε α) Να δείξετε ότι f()=c, για κάθε,όπου c αρνητική σταθερά f ( ) β) Να βρείτε τις ασύμπτωτες της συνάρτησης g() = e - ) Δίνεται η συνάρτηση f() = e + 3 +, α) Να δείξετε ότι η f είναι αντιστρέψιμη και να βρείτε το πεδίο ορισμού της f β) Να λύσετε την εξίσωση f () = γ) Θεωρώντας ότι η f είναι παραγωγίσιμη στο πεδίο ορισμού της, να βρείτε την παράγωγο της f στο σημείο -- 3) Δίνεται ορθογώνιο παραλληλεπίπεδο του οποίου οι διαστάσεις μεταβάλλονται συναρτήσει του χρόνου t Αν το μήκος και το πλάτος αυξάνονται με ρυθμό m/sec, m/sec αντιστοίχως, ενώ το ύψος ελαττώνεται με ρυθμό m/sec, να βρείτε τη χρονική στιγμή t o που το ύψος είναι ίσο με το πλάτος και ίσο με 4m : α) το ρυθμό μεταβολής του εμβαδού της ολικής επιφάνειας του ορθογωνίου παραλληλεπιπέδου β) το ρυθμό μεταβολής του όγκου του ορθογωνίου παραλληλεπιπέδου -- 4) Δίνεται η συνάρτηση f() = 5 α +6 β +7 γ με f() 3, για κάθε Αποδείξτε ότι : 5 α 6 β 7 γ = 5) Δίνεται η συνάρτηση f() = α, α > α) Να μελετηθεί η f ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα β) Να βρείτε το σύνολο τιμών της f γ) Να βρείτε το πλήθος των πραγματικών ριζών της εξίσωσης f() = 6) Έστω η συνάρτηση f τρεις φορές παραγωγίσιμη στο, τέτοια ώστε : f (5) + f () = f (35) + f () α) Να δείξετε ότι υπάρχουν ξ, ξ (, 35) με ξ < ξ τέτοια ώστε f ( ξ ) = f ( ξ ) β) Αποδείξτε ότι υπάρχει ένα τουλάχιστον ξ(, 35) τέτοιο ώστε f (3) (ξ) = - 7

8 7) α) Αν f είναι μια παραγωγίσιμη στο συνάρτηση και η εξίσωση f () = έχει το πολύ ν διακεκριμένες πραγματικές ρίζες (νν), τότε η εξίσωση f() = έχει το πολύ ν+ διακεκριμένες πραγματικές ρίζες β) Να λυθεί η εξίσωση : 4 = + 5 8) α) Έστω f μια συνεχής και γνησίως μονότονη συνάρτηση στο [α, β] Να δείξετε ότι η εξίσωση f() = έχει λύση στο (α, β) αν και μόνο αν f(α)f(β) < β) Να δείξετε ότι η εξίσωση λ = έχει λύση στο (-, ) αν και μόνο αν λ(- 4, 4) 9) Μια συνάρτηση g είναι συνεχής στο [,] και ισχύει ότι g( t) dt Δείξτε ότι υπάρχει, τέτοιο ώστε g( )= 3) Έστω g παραγωγίσιμη στο με g ()+3g ()=, g() για κάθε και g()= i) Να βρείτε τον τύπο της g ii) Να δείξετε ότι g( ) d 3) Να βρεθούν οι συναρτήσεις f:(,+ ) (,+ ) με f () = e οι οποίες έχουν αρχική τη συνάρτηση f ( ) g()=, > - 3) Έστω η παραγωγίσιμη συνάρτηση f: [α, β], με f (α) = α και f (β) = β Να αποδείξετε ότι: α) υπάρχει εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της f που είναι παράλληλη στην ευθεία y = + 6, β) αν α >, τότε υπάρχει εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της f που διέρχεται από την αρχή των αξόνων, γ) η εξίσωση f (χ) = α + β έχει τουλάχιστον μία λύση στο διάστημα, (α, β), δ) υπάρχουν ξ, ξ με α < ξ < ξ < β τέτοια, ώστε να ισχύει f ( ) f ( ) 8

9 33) Έστω η παραγωγίσιμη συνάρτηση f:, για την οποία ισχύει f () >, f () < και f () > Να αποδείξετε ότι: α) υπάρχει τουλάχιστον (, ) τέτοιο, ώστε f ' ( ) =, β) η εξίσωση f ' () + f () = + έχει τουλάχιστον μία λύση στο διάστημα (, ) 34) Έστω η δύο φορές παραγωγίσιμη συνάρτηση f:[,] με f()=f '()= και f()= α) Να αποδείξετε ότι υπάρχει τουλάχιστον ένα (, ) τέτοιο, ώστε f ' ( ) = β) Να αποδείξετε ότι υπάρχει τουλάχιστον ένα (, ) τέτοιο, ώστε f " ( ) = 35) Έστω η συνάρτηση f: [, ], η οποία είναι δύο φορές παραγωγίσιμη στο διάστημα [, ], με f () = και f( l) = α) Να βρείτε c τέτοιο, ώστε για τη συνάρτηση g() = f( ) - c( - ) f( ) να ικανοποιούνται οι προϋποθέσεις του θεωρήματος Rolle στο διάστημα [, ] β) Να αποδείξετε, για την τιμή του c από το (α) ερώτημα, ότι υπάρχει (, ) τέτοιο, ώστε f " ( ) = - 8f ( ) 36) Να βρεθούν οι παραγωγίσιμες συναρτήσεις f :, με f()=3, οι οποίες έχουν συνεχή παράγωγο και για κάθε ικανοποιούν τη σχέση: f () e f () 37) Έστω η παραγωγίσιμη συνάρτηση f: [,], με f ( ) = και f () = 4 Να αποδείξετε ότι υπάρχει: α) (, ) τέτοιο, ώστε f( ) = 3, β) (, ) τέτοιο, ώστε f ( ) = 3, γ) 3 (, ) τέτοιο, ώστε f ( 3 ) = 3 f ( 4) δ) 4 (, ) τέτοιο, ώστε f ( 4 ) = 4 9

10 38) Έστω η παραγωγίσιμη συνάρτηση f: [, ], για την οποία ισχύουν: Να αποδείξετε ότι: f( )=f( l) = ( ) και - < f ' () < για κάθε (, ) () α) υπάρχει (, ) τέτοιο, ώστε f ( ) + = β) f( ) - f ( ) < - για κάθε, [, ] με, γ) f () < για κάθε [, ] 39) Έστω η παραγωγίσιμη συνάρτηση f: [, + ) με f () =, για την οποία ισχύει f ' () > f () για κάθε [, + ) α) Να αποδείξετε ότι f () e για κάθε [, + ) β) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση f () = έχει ακριβώς μία πραγματική ρίζα γ) Να λύσετε στο διάστημα [, + ) την εξίσωση: f(t) dt = f(t) + f(- t) 4) Έστω η συνάρτηση f:, για την οποία ισχύει (f ()) -f() + συν = για κάθε α) Να αποδείξετε ότι η f είναι συνεχής στο = β) Να βρείτε το όριο f 4) Να βρείτε το όριο της συνάρτησης f() = 3, για τις διάφορες τιμές του λ(, + ) 4) Έστω η δύο φορές παραγωγίσιμη συνάρτηση f:, για την οποία ισχύει f " () + 4f ' () + f () > για κάθε Να αποδείξετε ότι: α) η συνάρτηση g: με τύπο g() = f (χ) στρέφει τα κοίλα προς τα πάνω στο R, β) η συνάρτηση g του ερωτήματος (α) έχει ελάχιστο, γ) f () > για κάθε

11 43) Αν η συνάρτηση f είναι τρεις φορές παραγωγίσιμη στο να βρεθεί το όριο: 6 f ( h ) f ( h ) 3 f ( 3h ) 8 f ( h ) A h 3 h 44) Έστω οι παραγωγίσιμες συναρτήσεις f, g: (, + ), για τις οποίες για κάθε > ισχύουν: g και g f e f και f()= g()= α) Να αποδείξετε ότι οι συναρτήσεις f και g είναι ίσες β) Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση h, με h() = e της συνάρτησης f γ) Να βρείτε τα όρια: i) f ( ) ii) e f, > είναι σταθερή και να βρείτε τον τύπο f ( ) 45) Έστω η συνάρτηση f:, για την οποία ισχύει ( f( ) ) - ( f( ) + χ) για κάθε α) Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f είναι συνεχής στο = f () β) Να βρείτε το γ) Αν η συνάρτηση f είναι συνεχής στο R, να αποδείξετε ότι η εξίσωση f () = 6 έχει λύση στο διάστημα [, ) - 46) Α) Δίνεται η συνάρτηση ln f ( ), > α) Να μελετηθεί ως προς την μονοτονία, τα ακρότατα και τα σημεία καμπής, β) Αποδείξτε ότι ( ), για κάθε α>e, γ) Αποδείξτε ότι e π > π e, Β) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση ln( +) + + = έχει μοναδική πραγματική ρίζα -

12 47) Α) Δίνεται η συνάρτηση h() = ln+,, α) Να αποδείξετε ότι η h αντιστρέφεται και να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα β) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση ln+= έχει μια ακριβώς ρίζα ρ, γ) Να υπολογίσετε τα όρια Β) Έστω η συνάρτηση h και h f ( ) ln, > α) Να αποδείξετε ότι η f παρουσιάζει ελάχιστο στο ρ, του Αβ) ερωτήματος e h d β) Να εξετάσετε αν η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της f στο (,f()) εφάπτεται στη γραφική της g, όπου g() = f γ) Να υπολογίσετε το όριο, όπου ρ, του Αβ) ερωτήματος - 48) Δίνεται η συνάρτηση f :[α,β] Να αποδείξετε ότι: α) Αν η f έχει τοπικό ελάχιστο στο α και είναι παραγωγίσιμη στο α, τότε f (α) β) Αν η f έχει τοπικό ελάχιστο στο β και είναι παραγωγίσιμη στο β, τότε f (β) γ) Αν η f είναι παραγωγίσιμη στο [αβ] και f (α)<<f (β), τότε υπάρχει a τέτοιο ώστε f ( )=, δ) Αν η f είναι παραγωγίσιμη στο [αβ] και f (α)<κ<f (β), τότε υπάρχει a τέτοιο ώστε f ( )=k, -, 49) Έστω η συνάρτηση f : με τύπο f e, α) Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f είναι συνεχής στο = β) Να βρείτε την ασύμπτωτη της f στο + και να δείξετε ότι έχει άπειρα σημεία με τη C f γ) Αν g() = e f (), i) Να βρείτε το εμβαδόν του χωρίου που ορίζεται από τις γραφικές παραστάσεις των f και g και τις ευθείες = και = π ii) Να αποδείξετε ότι g() + g(-) = ημ, iii) Nα υπολογίσετε το ολοκλήρωμα I= g d -

13 5) Έστω η παραγωγίσιμη στο συνάρτηση f και η ευθεία που ενώνει τα σημεία Α(α, f (α)) και Β(β, f (β)), <α<β της γραφικής παράστασης της f να διέρχεται από την αρχή των αξόνων Α Να δειχθεί ότι: i) Ισχύει f f ii) Αν η f είναι δύο φορές παραγωγίσιμη στο (α,β) με f (), για κάθε, εφαπτομένη της αυτήν C f οποία περνά από την αρχή των αξόνων και η τότε υπάρχει C f να εφάπτεται μόνο μια φορά σε B Αν η f είναι κοίλη στο (-, ] να δειχτεί ότι: i) Αν υπάρχει το ii) Η συνάρτηση g f ( ) f ( ) τότε ισχύει ότι: f ( ) f ( ) f ( ), < με f()= είναι γνησίως φθίνουσα Γ Αν το σημείο Β(β, f(β)) ανήκει στην εφαπτομένη της C f στο Α(α, f(α)) να δείξετε ότι: i) Για τη συνάρτηση f f a a, a f a ii) Υπάρχει ξ, τέτοιο ώστε: f f f a εφαρμόζεται το Θ Rolle στο διάστημα [α, β] - 3