Άλγεβρα Β Λυκείου Επαναληπτικά θέματα ΟΕΦΕ α φάση

Transcript

1 Άλγεβρα Β Λυκείου Επαναληπτικά θέματα ΟΕΦΕ α φάση Συναρτήσεις Θεωρούμε τη συνάρτηση Α, 6 wwwaskisopolisgr f κ, με 4,4 και κ η οποία διέρχεται από το σημείο και τμήμα της γραφικής της παράστασης φαίνεται στο ακόλουθο σχήμα α) Να δείξετε ότι κ β) Να δείξετε ότι η συνάρτηση f είναι περιττή στο 4,4 γ) Να μεταφέρετε το σχήμα στο γραπτό σας, συμπληρώνοντας τη γραφική παράσταση της συνάρτησης f δ) Να γράψετε τα διαστήματα μονοτονίας της f και να βρείτε τα ακρότατα αυτής, καθώς και τις θέσεις τους g f 6, 4, 4 ε) Να σχεδιάσετε τη γραφική παράσταση της συνάρτησης α) Αν A ημθ Να δείξετε ότι Α= συνθ ημθ β) Να βρεθούν οι πραγματικοί αριθμοί 0,π ημ 4ημ συν συν 0 α) Να λύσετε την εξίσωση εφ Τριγωνομετρία για τους οποίους: π β) Θεωρούμε τους θετικούς πραγματικούς κ κπ, κ=,, i Να δείξετε ότι είναι διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου και να βρείτε τον πρώτο όρο και την διαφορά της ii Να βρείτε το κ ώστε ο αριθμός 607π να είναι λύση της παραπάνω εξίσωσης 4 Δίνεται η συνάρτηση f ημ4 ημ με συν f 8ημ 8ημ α) Να αποδείξετε ότι β) Να λύσετε την εξίσωση f 6ημ γ) Να αποδείξετε ότι, οι αριθμοί αριθμητικής προόδου π κπ, κ π π f,f 0,f με τη σειρά που δίνονται είναι διαδοχικοί όροι 6 6

2 5 Δίνεται η συνάρτηση f συν α) Να λυθεί η εξίσωση f f 0 β) Αν π να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης 6 Α α) Να λύσετε την εξίσωση ημ συν 0 () wwwaskisopolisgr 0 0 L f f f 8 β) Να αποδείξετε ότι οι λύσεις της () στο διάστημα 0,π είναι διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου Β Να αποδείξετε ότι 7 Δίνεται η συνάρτηση f 4συνα συν4α 4συνα συν4α 4 εφ α β ασυν όπου β 0 της f διέρχεται από τα σημεία A0,β 5, και Β για όλες τις τιμές του α που ορίζεται η ισότητα και α Αν γνωρίζετε ότι η γραφική παράσταση 4π,4β β τότε: α) Να αποδείξετε ότι α = 4 και β β) Να βρείτε τα σημεία τομής της γραφικής παράστασης της συνάρτησης f με την ευθεία y 4 διάστημα [0,π] γ) Να βρείτε τη μέγιστη και ελάχιστη τιμή της συνάρτησης f καθώς και την περίοδό της π Α f 4π f δ) Να βρείτε την τιμή των παραστάσεων 8 Δίνεται το σύστημα ημ π θ συν θ y π, θ ημ θ συνθ πy 00 f 0 B f 0 4 f 0 και α) Να δείξετε ότι το σύστημα έχει μοναδική λύση την, y συνθ ημθ, ημθ συνθ, θ α β) Δίνεται η συνάρτηση f 0 συν 4, α i Να βρείτε την τιμή του α για την οποία η συνάρτηση έχει μέγιστη τιμή το ii Για α =, να βρείτε τις τιμές του θ για τις οποίες y f θ όπου (, y) είναι η μοναδική λύση του συστήματος 9 Δίνεται η συνάρτηση διέρχεται από τα σημεία Α(0,-), π f αημ β όπου α και 0 β, της οποίας η γραφική παράσταση Β π, στο α) Να βρείτε τις τιμές των α και β Αν f συν β) Να βρείτε τη μέγιστη, την ελάχιστη τιμή της f και την περίοδό της γ) Να σχεδιάσετε τη γραφική παράσταση της f στο διάστημα [0,6π] και να μελετήσετε την f ως προς τη μονοτονία στο ίδιο διάστημα λf 0 f 04π y 4λ δ) Δίνεται το γραμμικό σύστημα: Σ λf π λf π y 0 Να βρείτε τις τιμές της παραμέτρου λ λ ώστε το παραπάνω σύστημα να έχει άπειρες λύσεις καθώς και τη μορφή των απείρων λύσεων

3 f συν, α) Να βρεθεί η μέγιστη τιμή, η ελάχιστη τιμή και η περίοδος της συνάρτησης f() 0Δίνεται η συνάρτηση β) Να βρείτε τα σημεία τομής της C f με τον άξονα ' στο [0, π] π 5π π f f f 6 γ) Να βρεθεί η τιμή της παράστασης K π f 4 α) Δείξτε ότι A β) Δείξτε ότι η Β π εφ εφπ ημ ημ συν ημ Α Β wwwaskisopolisgr γ) Να λύσετε την εξίσωση δ) Έστω η συνάρτηση f A B Βρείτε τη μέγιστη τιμή Μ, την ελάχιστη τιμή ε και την περίοδο της συνάρτησης f Δίνεται η συνάρτηση f ημ, και η παράσταση 9π π συνπ θ συν θ σφπ θ σφ θ A π συνπ θ ημ π θ εφ θ εφπ θ α) Να δείξετε ότι Α β) Να βρείτε τη μέγιστη και την ελάχιστη τιμή της συνάρτησης f Στη συνέχεια, να βρείτε την περίοδο της f και να κάνετε τη γραφική της παράσταση σε διάστημα πλάτους μιας περιόδου f A, όπου Α η τιμή της παράστασης του α ερωτήματος γ) Να βρείτε τα για τα οποία ισχύει 5π δ) Να συγκρίνετε τις τιμές f 4 και π f 6 α) Να αποδείξετε ότι δεν υπάρχει γωνία ω για την οποία ισχύουν συγχρόνως ημω και συνω β) Θεωρούμε γωνία α rad για την οποία ισχύουν: ημα 0 συνα y 0 0y 9 όπου 0, y0 μία από τις λύσεις του συστήματος 9 y 7 i Να λύσετε το παραπάνω σύστημα 4 4 ii Να αποδείξετε ότι ημα, συνα, εφα και σφα iii Να υπολογίσετε τη τιμή της παράστασης π π π π Α ημ α συνα συν α ημ α συν α 5 4Δίνεται η συνάρτηση f β ημ α με παράστασης α) Να αποδείξετε ότι α και α η τιμή που προκύπτει από τον υπολογισμό της α ημ 40 ω εφ 5 ω εφ 65 ω ημ ω 50

4 wwwaskisopolisgr 7π β) Αν η γραφική παράσταση της f διέρχεται από το σημείο Μ,, να αποδείξετε ότι β 9 γ) Να βρείτε τη μέγιστη και την ελάχιστη τιμή της f, καθώς και την περίοδό της Στη συνέχεια να χαράξετε τη γραφική της παράσταση σε πλάτος μιας περιόδου π δ) Να λύσετε την εξίσωση f συν Πολυώνυμα 5Δίνεται το πολυώνυμο P λ 4λ λ λ λ α) Να βρείτε τον βαθμό του Ρ() για τις διάφορες τιμές του λ β) Για λ= να βρεθεί το Ρ() και να δείξετε ότι η γραφική παράσταση της συνάρτησης Ρ διέρχεται από το σημείο (,-) P γ) Να λύσετε την ανίσωση 6Δίνεται το πολυώνυμο Ρ α β 0 με α, β α) Αν το πολυώνυμο P() έχει παράγοντα το + και το υπόλοιπο της διαίρεσης με το το -6 να αποδείξετε ότι α = και β = 6 P 0 β) Να λυθεί η εξίσωση γ) Να λυθεί η ανίσωση P 0 είναι 7Δίνεται ότι το πολυώνυμο: P α β 4 όπου α,β έχει παράγοντες τους, α) Να αποδείξετε ότι α και β = 0 Ρ 0 β) Να λύσετε την εξίσωση γ) Έστω C η γραφική παράσταση της συνάρτησης P Να βρείτε i) Τις συντεταγμένες του σημείου στο οποίο η C τέμνει τον άξονα y y ii) Τις τιμές του για τις οποίες η C είναι κάτω από τον άξονα ' 8Δίνονται τα πολυώνυμα P 5 6 και α) Να λύσετε την εξίσωση P F () 4 F 5 6 β) Να βρείτε το διάστημα, που ανήκει το, έτσι ώστε η γραφική παράσταση της συνάρτησης Ρ(), να βρίσκεται κάτω από τον άξονα ' α, v μία γεωμετρική πρόοδος με πρώτο όρο τη μεγαλύτερη ρίζα της εξίσωσης και λόγο λ γ) Έστω ν τη μεσαία ρίζα της (), τότε: i Να υπολογίσετε την τάξη του όρου της γεωμετρικής προόδου α ν, που ισούται με 9 α008 α005 ii Να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης α α P α β α, όπου α και β είναι πραγματικοί αριθμοί 9Δίνεται το πολυώνυμο α) Αν ο αριθμός είναι ρίζα του πολυωνύμου P() και το υπόλοιπο της διαίρεσης του πολυωνύμου P() δια του είναι -8, να βρεθούν τα α και β 7 β) Για α= και β i) Να λυθεί η εξίσωση P()=0 ii) Να γίνει η διαίρεση του πολυωνύμου P() δια του πολυωνύμου + και να γραφεί το P() με την ταυτότητα της ευκλείδειας διαίρεσης iii) Να λυθεί η ανίσωση P 7

5 0Δίνεται το πολυώνυμο Ρ α β με α, β και το πολυώνυμο 5 wwwaskisopolisgr Q α) Να βρεθούν α,β αν η αριθμητική τιμή του P( ) για = - είναι -8 και έχει παράγοντα το + β) Αν α = και β = -, να βρείτε το πηλίκο Π() της διαίρεσης του P() δια του Q( ) και να γράψετε το P() με την ταυτότητα της ευκλείδειας διαίρεσης P Q γ) Να λύσετε την εξίσωση 4 Δίνεται πολυώνυμο P α 7 β, όπου α και β είναι πραγματικοί αριθμοί Αν η διαίρεση του Ρ () δια - δίνει υπόλοιπο και η αριθμητική τιμή του για = - είναι 0, τότε: α) Να βρείτε τις τιμές των α, β β) Για τις τιμές α = -5 και β = 0 i Να βρείτε το πηλίκο Π() της διαίρεσης του P(X) δια του Q και να γράψετε το P() με την βοήθεια της ταυτότητας ευκλείδειας διαίρεσης P υ όπου υ() το υπόλοιπο της διαίρεσης του Ρ() δια Q() ii Να λύσετε την εξίσωση iii Να βρείτε τα διαστήματα στα οποία η γραφική παράσταση της πολυωνυμικής συνάρτησης Q() βρίσκεται πάνω από τον άξονα ' Δίνεται η πολυωνυμική συνάρτηση f α) Να λύσετε την εξίσωση f 0 β) Να λύσετε τις τριγωνομετρικές εξισώσεις ημ α, συν β όπου α η διπλή ρίζα της παραπάνω εξίσωσης και β η άλλη ρίζα της ίδιας εξίσωσης γ) Να βρείτε τις τιμές του έτσι, ώστε η γραφική παράσταση της f, να μην είναι πάνω από τον άξονα f : δ) Να γράψετε την ταυτότητα της ευκλείδειας διαίρεσης P α β α 5β με α, β Έστω το πολυώνυμο α) Να βρείτε τις τιμές των α,β έτσι ώστε το + να είναι παράγοντας του Ρ() και το υπόλοιπο της διαίρεσης Ρ(): ( - ) να ισούται με -9 β) Για α = -7 και β = : i Να λύσετε την εξίσωση Ρ() = 0 ii Να κάνετε τη διαίρεση P() :( -) και να γράψετε την ταυτότητα της διαίρεσης υ iii Αν υ() το υπόλοιπο της προηγούμενης διαίρεσης να λύσετε την ανίσωση 0 P 4Έστω P α α πολυώνυμο, α Αν το πολυώνυμο P() διαιρεθεί με το -, δίνει υπόλοιπο α + α) Να βρείτε τις τιμές του αριθμού α β) Γ ι α α = και πολυώνυμο Q() = + +: i Να αποδείξετε ότι το πηλίκο π() και το υπόλοιπο υ() της Ευκλείδειας διαίρεσης του P() με το Q() είναι + και - + αντίστοιχα P ii Να λύσετε την ανίσωση Q iii Να λύσετε την εξίσωση π Q 5Δίνεται η συνάρτηση f με τύπο: f α β γ, για την οποία ισχύουν: Το υπόλοιπο της διαίρεσης της f δια + είναι 4 Η C f διέρχεται από το σημείο Α(0,8) Η f έχει παράγοντα το -

6 wwwaskisopolisgr α) Να δείξετε ότι: α =, β = -0 και γ = 8 f 0 β) i Να λυθεί η εξίσωση ii Να βρεθούν τα διαστήματα στα οποία η C f είναι κάτω από τον άξονα ' 4 γ) Να λύσετε την ανίσωση: f f f 8 Ρ 7 λ 6 7 μ για το οποίο ισχύουν: 5 4 6Έστω πολυώνυμο i) Το είναι παράγοντας του Ρ ii) Το υπόλοιπο της διαίρεσης του Ρ με το α) Δείξτε ότι λ = και μ = 0 β) Για λ = και μ = 0, i) Να γραφεί η ταυτότητα της διαίρεσης του είναι Ρ με το ii) Να βρεθούν τα διαστήματα που η γραφική παράσταση του Ρ είναι πάνω από την ευθεία y γ) Έστω το πολυώνυμο: Q α β 7 α β κ 6 κ Βρείτε τους αριθμούς α,β και κ ώστε Ρ Q για κάθε 7Δίνεται το πολυώνυμο α) Να βρείτε τον αριθμό λ 4 Ρ λ λ λ 7 λ 5, λ το οποίο είναι ου βαθμού Για λ β) Να βρείτε τα σημεία στα οποία η γραφική παράσταση της πολυωνυμικής συνάρτησης Ρ άξονα γ) Έστω επίσης το πολυώνυμο Q μ μ, μ i Να δείξετε ότι μ και να γράψετε την ταυτότητα της διαίρεσης του Qδια του ii Να λύσετε την ανίσωση τέμνει τον το οποίο έχει παράγοντα το Q 55 P 0 Εκθετική Λογαριθμική συνάρτηση 8Δίνονται οι συναρτήσεις f 5 log, g 085, 0, Α Να αποδείξετε ότι: f g f y f f y f f ν 4 f f ν y f y Β Να λύσετε την εξίσωση f 5 4g Γ Να λύσετε την ανίσωση f f 4 9Έστω, y θετικοί αριθμοί, με α) Δείξτε ότι ισχύει: ln y log log y ln, ν ln y log y β) Αν ισχύει η ισότητα βρείτε ποια σχέση συνδέει τους αριθμούς, y ln log γ) Αν είναι y = y y και το y είναι λύση της εξίσωσης e 004 δ) Αν για το πολυώνυμο P 4 4 ισχύει Pln 6 0, να βρείτε τους αριθμούς, y, να δείξετε ότι y e,e 6

7 0Έστω η συνάρτηση f με τύπο f ln e e α) Να βρεθεί το Πεδίο Ορισμού της και να δειχθεί ότι το γράφημά της τέμνει τον yy' A 0, ln στο σημείο wwwaskisopolisgr β) Να λυθεί η εξίσωση f () = γ) Να βρεθούν τα διαστήματα που η γραφική παράσταση της f βρίσκεται κάτω από την ευθεία y = Έστω η συνάρτηση f ln, 0 α) Να λύσετε την εξίσωση f ημ f συν f αν 00 β) Αν α > 0 και γ) Έστω α,β, γ 0 π 0, 4 f α f α f α 5050 να αποδείξετε ότι α e Να αποδείξετε ότι: αν οι f α,f β,f γ τότε οι α,β,γ είναι διαδοχικοί όροι γεωμετρικής προόδου δ) Να λύσετε την ανίσωση f f f 0 Έστω η συνάρτηση f ln e α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f f ln7 f β) Να λύσετε την εξίσωση: είναι διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου γ) Να αποδείξετε ότι οι αριθμοί f (α), f (β), f (γ) είναι διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου αν και μόνο αν: e β e α e γ 0 f f f 00 e 0e 00 δ) Να αποδείξετε ότι: e e e e Δίνεται η συνάρτηση f ln α β,όπου α, β π Α Αν ln6 f ln5 ln π,τότε: π α) Να αποδείξετε ότι: α β f συνe f β) Να λύσετε την εξίσωση ημ e Β Αν η γραφική παράσταση της f τέμνει τον άξονα ' στο σημείο Α(,0), τότε: α) Να αποδείξετε ότι: α β 0 4 f β) Να λύσετε την ανίσωση 6 ln e 4 Δίνεται η συνάρτηση g α, α) Για ποιες πραγματικές τιμές του α ορίζεται στο η συνάρτηση g και είναι γνησίως φθίνουσα στο πεδίο ορισμού της β) Γ ια α g ημ g συν να λυθεί η εξίσωση ln 5Δίνεται η συνάρτηση f ln α) Να βρεθεί το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f και το σημείο τομής της γραφικής της παράστασης με τον άξονα ' β) Να δείξετε ότι f για κάθε 0 και e, e f 7

8 wwwaskisopolisgr γ) Να λυθεί η εξίσωση f f για κάθε 0 και e, e δ) Να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης A lnf e lnf e lnf e lnf e lnf e 6Α Δίνεται η συνάρτηση φ ln, για ln L φ φ φ 4 φ i Να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης ii Να λυθεί η ανίσωση φ φ B Δίνεται η συνάρτηση f ln e e e e i Για ποιες τιμές του με > 0 ορίζεται η συνάρτηση f f ln ln για κάθε > e ii Να λυθεί η εξίσωση 4 7Δίνεται η συνάρτηση f ln 4 α) Να ορίσετε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f και να αποδείξετε ότι γραφική της παράσταση διέρχεται από την αρχή των αξόνων A f f f f 0 f f f β) Να υπολογίσετε τη τιμή της παράστασης γ) Να λύσετε την ανίσωση f f ln f f δ) Να λύσετε την εξίσωση e 4e 8Δίνονται οι συναρτήσεις g ln ln και f ln α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της g και να συγκρίνετε τους αριθμούς g, β) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f γ) Αν κ > 4 να λύσετε την ανίσωση f log κ 7 6 : είναι το πολυώνυμο δ) Αν το υπόλοιπο της διαίρεσης υ f β g α g α g α g α, να δείξετε ότι ln στο πεδίο ορισμού της g και β ανήκει στο πεδίο ορισμού της f 9Δίνεται η συνάρτηση f 0 0 ln e, ln e e ln e e ln e e α) Να συγκρίνετε τους αριθμούς β) Να λύσετε την ανίσωση γ) Έστω 0 ln e e : i Να αποδείξετε ότι f ( 0 ) = 6 y 6 y ii Να αποδείξετε ότι f f 0 για κάθε βln α e όπου α ανήκει, και να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης ln e, Είναι το f ( 0 ) ελάχιστο της συνάρτησης; 8

9 wwwaskisopolisgr 40Δίνεται η συνάρτηση f 4 ln 4 α) Να αποδείξετε ορισμού της f είναι το διάστημα A = (-,) β) Να αποδείξετε ότι η f είναι περιττή γ) Να βρείτε (αν υπάρχει) την τετμημένη του σημείου τομής της γραφικής παράστασης της f με γραφική παράσταση της συνάρτησης h ln ln δ) Να λύσετε την ανίσωση ln e f 4f ln ln 4Δίνονται οι συναρτήσεις: f με και h ln ln ln ln με > 0 g ln f ln α) Δίνεται η συνάρτηση i Να υπολογίσετε το f ln ii Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης g ln f ln β) Να δείξετε ότι h ln γ) Να λύσετε την εξίσωση g() = h() με > δ) Να βρείτε τις τιμές του ώστε να υπάρχει θ και να ισχύει f ln f ln ημθ 6f e e e e 4Έστω οι συναρτήσεις f ln e e και g e 4e α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f και να απλοποιηθεί ο τύπος της 5e β) Να λυθεί η εξίσωση g e ln e γ) Βρείτε τις τιμές του ώστε η γραφική παράσταση της συνάρτησης f άξονα δ) Να λύσετε την ανίσωση f 6 e g 4e e 9 να μην είναι πάνω από τον 4Δίνεται η συνάρτηση f ln α α) Να βρείτε τις τιμές του α για τις οποίες η συνάρτηση f ορίζεται σε όλο το Για ποιές από αυτές τις τιμές η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα στο ; β) Να αποδείξετε ότι f για κάθε και στη συνέχεια, αν 0 α, να λύσετε την f ανίσωση f e f γ) Δίνεται ότι η τιμή της παραμέτρου α είναι ίση με e i Να αποδείξετε ότι α και να βρείτε τον τύπο της συνάρτησης f ii Να λύσετε την ανίσωση ln ln f ln ln f iii Αφού αποδείξετε ότι f f ln ln 9 ln 4 α log8log5 log5 e e, να λύσετε την εξίσωση

10 wwwaskisopolisgr f f 4 0