ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ"

Transcript

1 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ

2

3 o Κεφάλαιο ΑΝΑΛΥΣΗ Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό - Λάθος». * Η διαδικασία, µε την οποία κάθε στοιχείο ενός συνόλου Α αντιστοιχίζεται σ ένα ακριβώς στοιχείο ενός άλλου συνόλου Β είναι συνάρτηση. Σ Λ. * Η διαδικασία, µε την οποία κάθε στοιχείο ενός συνόλου Α αντιστοιχίζεται σε περισσότερα του ενός στοιχεία ενός άλλου συνόλου Β είναι συνάρτηση. Σ Λ Στις παρακάτω ερωτήσεις όλες οι συναρτήσεις είναι πραγµατικές συναρτήσεις µε πεδίο ορισµού ένα υποσύνολο του R., ρητός 3. * Η σχέση f, µε τύπο f () =, είναι, άρρητος συνάρτηση. Σ Λ 4. * Η σχέση + = όπου, R, είναι συνάρτηση. Σ Λ 5. * Η σχέση g µε τύπο g () = είναι συνάρτηση. Σ Λ 6. * Η σχέση f µε τύπο f () = είναι συνάρτηση. Σ Λ 7. * Η σχέση h µε τύπο h (t) = ± t, t R +, είναι συνάρτηση. Σ Λ 8. * Η σχέση f µε τύπο f (t) = t, t R +, είναι συνάρτηση. Σ Λ 9. * Αν για µια συνάρτηση f, που έχει πεδίο ορισµού το Α R, ισχύει f () = f () για κάποια, A, τότε =. Σ Λ

4 . * Aν οι συναρτήσεις f, g ορίζονται και οι δύο σ ένα σύνολο Α, τότε και η συνάρτηση S = f + g ορίζεται στο ίδιο σύνολο. Σ Λ. * Aν οι συναρτήσεις f, g ορίζονται και οι δύο σ ένα σύνολο Α, τότε και η συνάρτηση h = g f ορίζεται πάντοτε στο ίδιο ακριβώς σύνολο. Σ Λ. * Μια συνάρτηση γνησίως µονότονη είναι πάντοτε γνησίως αύξουσα. Σ Λ 3. * Κάθε πολυωνυµική συνάρτηση είναι συνεχής. Σ Λ 4. * Οι συναρτήσεις f () = ηµ και g () = συν είναι συνεχείς. Σ Λ 5. * Η συνάρτηση f () =, >, είναι συνεχής. Σ Λ 6. * Η συνάρτηση f () =, <, είναι συνεχής. Σ Λ 7. * Η έννοια της συνέχειας µιας συνάρτησης αναφέρεται µόνο σε σηµεία του πεδίου ορισµού της. Σ Λ 8. * Μια συνάρτηση f, µε πεδίο ορισµού το Α, λέγεται συνεχής, αν είναι συνεχής σε κάθε σηµείο του συνόλου Α. Σ Λ 9. * Μια συνάρτηση f λέγεται γνησίως αύξουσα σε ένα διάστηµα του πεδίου ορισµού της, όταν για οποιαδήποτε σηµεία, µε > ισχύει f ( ) < f ( ). Σ Λ. * Μια συνάρτηση f λέγεται γνησίως αύξουσα σε ένα διάστηµα του πεδίου ορισµού της, όταν για οποιαδήποτε σηµεία, µε < ισχύει f ( ) < f ( ). Σ Λ

5 . * Η παράγωγος f ( ) µιας παραγωγίσιµης συνάρτησης f σ ένα σηµείο του πεδίου ορισµού της είναι πραγµατικός αριθµός. Σ Λ. * Ο συντελεστής διεύθυνσης της εφαπτοµένης της καµπύλης που είναι η γραφική παράσταση µιας παραγωγίσιµης συνάρτησης f, στο σηµείο (, f( )) αυτής, είναι η παράγωγος της f στο. Σ Λ 3. * Η παράγωγος µιας παραγωγίσιµης συνάρτησης f σ ένα σηµείο του πεδίου ορισµού της εκφράζει το ρυθµό µεταβολής της = f (), ως προς, όταν =. Σ Λ 4. * Η παράγωγος f ( ) µιας συνάρτησης f σ ένα σηµείο του πεδίου ορισµού της ισούται µε το lim h f ( + h) - f ( ), h R, h. h 5. * Μια συνάρτηση f είναι παραγωγίσιµη σ ένα σηµείο του πεδίου ορισµού της, όταν και µόνο όταν υπάρχει το lim h f ( + h) - f ( ), h R, h. h Σ Σ Λ Λ 6. * Η συνάρτηση f () = είναι παραγωγίσιµη στο σηµείο =. Σ Λ 7. * Η συνάρτηση f () = είναι συνεχής στο σηµείο =. Σ Λ 8. * Αν µια συνάρτηση f είναι παραγωγίσιµη στο σηµείο του πεδίου ορισµού της, τότε το όριο lim h f ( + h) - f ( ), h, ισούται µε τον h συντελεστη διεύθυνσης της εφαπτοµένης της καµπύλης, που είναι η γραφική παράσταση της συνάρτησης f στο σηµείο (, f ( )) αυτής. Σ Λ 3

6 9. * Η παράγωγος της συνάρτησης f () = είναι f () =. Σ Λ 3. * Η παράγωγος της συνάρτησης g (κ) = κ q, όπου q Q, είναι g (κ) = qκ q-. Σ Λ 3. * Οι παράγωγοι των συναρτήσεων f () = ηµ και g () = συν είναι αντίστοιχα f () = (ηµ) = συν και g () = (συν) = - ηµ. Σ Λ 3. * Οι παράγωγοι των συναρτήσεων Ε () = e και L () = ln είναι αντίστοιχα Ε () = (e ) = e και L () = (ln) =. Σ Λ 33. * Αν η πρώτη παράγωγος µιας συνάρτησης g είναι η σταθερή συνάρτηση l, τότε η g είναι της µορφής g () = c, c R - {}. Σ Λ 34. * Αν η πρώτη παράγωγος µιας πολυωνυµικής συνάρτησης g είναι 4ου βαθµού, τότε η g είναι 5ου βαθµού. Σ Λ 35. * Αν η δεύτερη παράγωγος µιας πολυωνυµικής συνάρτησης g είναι σταθερή, τότε η g είναι το πολύ ου βαθµού. Σ Λ 36. * Η συνάρτηση f µε f () = lim h f ( + h) h - f (), h, όπου τα σηµεία του πεδίου ορισµού της f στα οποία η f είναι παραγωγίσιµη, λέγεται (πρώτη) παράγωγος της f. Σ Λ 37. * Η παράγωγος (αν υπάρχει) της συνάρτησης g λέγεται πρώτη παράγωγος της g. Σ Λ 38. * Η παράγωγος (αν υπάρχει) της συνάρτησης g λέγεται τρίτη παράγωγος της g. Σ Λ 39. * Η παράγωγος της συνάρτησης f () = 5 είναι f () = 5. Σ Λ 4. * Η παράγωγος της συνάρτησης s (t) = t είναι s (t) =. Σ Λ 4. ** Θέσεις πιθανών ακροτάτων συνάρτησης f ορισµένης 4

7 και συνεχούς σ ένα διάστηµα είναι µόνο τα σηµεία στα οποία η f παραγωγίζεται. Σ Λ 4. ** Αν η συνάρτηση f παρουσιάζει τοπικό ακρότατο σ ένα εσωτερικό σηµείο του πεδίου ορισµού της, και υπάρχει η παράγωγος f ( ), τότε f ( ) =. Σ Λ 43. ** Αν για συνάρτηση f, ορισµένη και συνεχή σ ένα διάστηµα, υπάρχει η f ( ) και είναι f ( ), µε εσωτερικό σηµείο του, τότε το είναι θέση τοπικού ακρότατου της f. Σ Λ 44. ** Έστω συνάρτηση f, ορισµένη και συνεχής σ ένα διάστηµα. Τα εσωτερικά σηµεία του, στα οποία η f παραγωγίζεται και η παράγωγος ισούται µε µηδέν, είναι θέσεις πιθανών τοπικών ακροτάτων της. Σ Λ 45. ** Έστω συνάρτηση f, ορισµένη και συνεχής σ ένα διάστηµα. Τα εσωτερικά σηµεία του, στα οποία η f παραγωγίζεται και η παράγωγος f () ισούται µε µηδέν, αποτελούν πάντοτε θέσεις τοπικών ακροτάτων της. Σ Λ 46. ** Αν η συνάρτηση f παρουσιάζει τοπικό ακρότατο σ ένα εσωτερικό σηµείο ενός διαστήµατος του πεδίου ορισµού της και είναι παραγωγίσιµη στο, τότε η εφαπτοµένη της γραφικής παράστασης της f στο σηµείο (, f ( )) είναι παράλληλη στον άξονα. Σ Λ 47. ** Στο σχήµα παρουσιάζεται η γραφική παράσταση µιας συνεχούς συνάρτησης f. Να χαρακτηρίσετε µε (Σ) ή (Λ) τις παρακάτω προτάσεις:

8 i. Το πεδίο ορισµού της f είναι [-, 7]. ii. Το πεδίο ορισµού της f είναι (-, 7]. iii. Η συνάρτηση f παρουσιάζει στο διάστηµα (, 4) τοπικό µέγιστο, για = 3. iv. Ισχύει ότι f (3). v. Ισχύει f () > για (, 3) και f () > για (3, 4). vi. Στο διάστηµα (, 3) η συνάρτηση f είναι αύξουσα. vii. Ισχύει f (5). viii. Οι εφαπτόµενες της γραφικής παράστασης της f στα σηµεία (3, f (3)) και (5, f (5)) είναι παράλληλες µεταξύ τους. i. Στο διάστηµα (, ) η συνάρτηση παρουσιάζει τοπικό ελάχιστο για =.. Ορίζεται το f (). Σ Σ Σ Σ Σ Σ Σ Σ Σ Σ Λ Λ Λ Λ Λ Λ Λ Λ Λ Λ Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής. * Ποιο από τα παρακάτω διαγράµµατα είναι γραφική παράσταση συνάρτησης; 6

9 A. B. Γ.. Ε.. * Ποιο από τα παρακάτω διαγράµµατα είναι γραφική παράσταση συνάρτησης; A. B. Γ.. Ε. 7

10 3. * Το διπλανό διάγραµµα είναι γραφική παράσταση της συνάρτησης Α. f () =,,, Β. f () =, Γ. f () =,, Ε. f () = e,, - < < - < < - < < - < <. f () =,, < - < 4. * Το πεδίο ορισµού της συνάρτησης, µε γραφική παράσταση που παρουσιάζεται στο διπλανό σχήµα, είναι Α. [, 3] Β. [, ) Γ. (, 3). (, + ) Ε. [, 4] * Το πεδίο ορισµού της συνάρτησης, µε γραφική παράσταση που παρουσιάζεται στο διπλανό σχήµα, είναι Α. (-, ) Β. (-, 3] Γ. (-, + ). (-, 3] Ε. (, 3] 3 3 8

11 6. * Το πεδίο ορισµού της συνάρτησης f () = - είναι Α. [-, ] Β. [-, ) Γ. (-, ). (-, ] Ε. (-, + ) 7. * Το πεδίο ορισµού της συνάρτησης f () = - είναι Α. [-, ] Β. [-, ) Γ. (-, ). (-, ] Ε. (-, + ) 8. * Το διάγραµµα που παρουσιάζεται στο διπλανό σχήµα είναι γραφική παράσταση της συνάρτησης Α. f () = - Β. f () = Γ. f () =. f () = - Ε. f () = - 9. * Το διάγραµµα που παρουσιάζεται στο διπλανό σχήµα είναι γραφική παράσταση της συνάρτησης Α. f () = Β. f () = - Γ. f () = - Ε. f () =. f () =. * Αν οι συναρτήσεις f, g έχουν κοινό πεδίο ορισµού το Α R, τότε η f συνάρτηση h = έχει πεδίο ορισµού g Α. το σύνολο R Β. τα A: f () Γ. τα A: g (). τα A: f () =, g () Ε. τα A: f () = g () = 9

12 . * Μια συνάρτηση f είναι συνεχής στο σηµείο του πεδίου ορισµού της, αν και µόνο αν Α. ισχύει f ( ) = Β. ισχύει f ( ) Γ. υπάρχει το lim f (). ισχύει lim f () = f () Ε. ισχύει lim f () f (). * f( ) σχ. f( ) σχ. f( ) σχ.3 f( ) f( ) σχ.4 σχ.5 Στα παραπάνω σχήµατα παρουσιάζονται πέντε γραφικές παραστάσεις ισάριθµων συναρτήσεων. Στη θέση συνεχής είναι η συνάρτηση Α. του σχήµατος Β. του σχήµατος Γ. του σχήµατος 3. του σχήµατος 4 Ε. του σχήµατος 5

13 3. * Μια συνάρτηση f είναι παραγωγίσιµη σ ένα σηµείο του πεδίου ορισµού της, αν και µόνο αν Α. υπάρχει το lim Β. υπάρχει το lim h Γ. υπάρχει το lim h αριθµός. το lim Ε. το lim h h h f f ( + h) - f (h), h R, h h f ( + h) - f ( ), h R, h h f ( + h) - f ( ), h R, h και είναι πραγµατικός h ( + h) - f ( ) = +, h R, h h f ( + h) - f ( ) = -, h R, h h 4. * Η παράγωγος µιας παραγωγίσιµης συνάρτησης f, σ ένα σηµείο του πεδίου ορισµού της, εκφράζει Α. την τιµή της συνάρτησης στη θέση Β. την τιµή του κλάσµατος f ( + h) - f ( ), h h Γ. το ρυθµό µεταβολής της f () ως προς, όταν =. το ρυθµό µεταβολής της f () ως προς - Ε. κανένα από τα παραπάνω 5. * Παράγωγο f ( ) µιας παραγωγίσιµης συνάρτησης f σ ένα σηµείο του πεδίου ορισµού της ονοµάζουµε Α. το πηλίκον f ( + h) - f ( ), h R, h h Β. το lim ( f ( + h) - f ( ) ), h R, h Γ. το h lim h f ( + h) - f ( ), h R, h h

14 . το lim h f ( + h), h R, h h f ( h) Ε. το πηλίκον +, h R, h h 6. * Εάν S (t) είναι η θέση ενός κινητού τη χρονική στιγµή t, που κινείται ευθύγραµµα, τότε το κλάσµα S (t + h) - S (t ), h R, h εκφράζει h Α. τη στιγµιαία ταχύτητα του κινητού τη χρονική στιγµή t = t B. τη µέση ταχύτητα του κινητού στο χρονικό διάστηµα [t, t + h] Γ. τη µέση τιµή της επιτάχυνσης στο χρονικό διάστηµα [t, t + h]. τη στιγµιαία τιµή της επιτάχυνσης τη χρονική στιγµή t = t E. τη διαφορά του διαστήµατος που διήνυσε το κινητό από τη χρονική στιγ- µή t µέχρι τη χρονική στιγµή t + h 7. * Εάν S (t) είναι η θέση ενός κινητού τη χρονική στιγµή t, που κινείται ευθύγραµµα, τότε η τιµή Α = lim h S (t + h) - S (t ), h R, h εκφράζει h Α. τη στιγµιαία ταχύτητα του κινητού τη χρονική στιγµή t = t B. τη µέση ταχύτητα του κινητού στο χρονικό διάστηµα [t, t + h] Γ. τη µέση τιµή της επιτάχυνσης στο χρονικό διάστηµα [t, t + h]. τη στιγµιαία τιµή της επιτάχυνσης τη χρονική στιγµή t = t E. τη διαφορά του διαστήµατος που διήνυσε το κινητό από τη χρονική στιγ- µή t µέχρι τη χρονική στιγµή t + h

15 8. ** Αν η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιµη σε διάστηµα R και γνησίως φθίνουσα στο, τότε η f είναι αρνητική Α. µόνο σ ένα σηµείο του B. σε όλα τα εσωτερικά σηµεία του Γ. στο σηµείο µηδέν. µόνο στα σηµεία που µηδενίζουν την f E. κανένα από τα παραπάνω 9. * Αν για συνάρτηση f παραγωγίσιµη σ ένα διάστηµα, ισχύουν f ( ) = και f ( ) <, µε εσωτερικό σηµείο του, τότε η συνάρτηση f Α. παρουσιάζει τοπικό ελάχιστο για = B. είναι γνησίως φθίνουσα σε όλο το διάστηµα Γ. παρουσιάζει τοπικό µέγιστο για =. δεν παρουσιάζει ακρότατο για = E. είναι σταθερή συνάρτηση. * Αν για συνάρτηση f, παραγωγίσιµη σ ένα διάστηµα, ισχύουν f ( ) = και f ( ) >, µε εσωτερικό σηµείο του, τότε η συνάρτηση f Α. παρουσιάζει τοπικό ελάχιστο για = B. είναι γνησίως αύξουσα σε όλο το διάστηµα Γ. παρουσιάζει τοπικό µέγιστο για =. δεν παρουσιάζει ακρότατο για = E. είναι σταθερή συνάρτηση. * H συνάρτηση f, παραγωγίσιµη σ ένα ανοικτό διάστηµα, είναι γνησίως αύξουσα στο, αν ισχύει Α. f () =, για κάθε σηµείο του B. f () =, για κάθε σηµείο του Γ. f () >, για κάθε σηµείο του. f () <, για κάθε σηµείο του E. κανένα από τα παραπάνω 3

16 . * Η συνάρτηση f, παραγωγίσιµη σ ένα ανοικτό διάστηµα, είναι γνησίως φθίνουσα στο, αν ισχύει Α. f () =, για κάθε σηµείο του B. f () =, για κάθε σηµείο του Γ. f () >, για κάθε σηµείο του. f () <, για κάθε σηµείο του E. κανένα από τα παραπάνω 3. ** Έστω συνάρτηση f, παραγωγίσιµη σ ένα διάστηµα και εσωτερικό σηµείο του για το οποίο υπάρχει f ( ). Το εσωτερικό σηµείο, είναι σηµείο ακροτάτου της f, αν ισχύει Α. f ( ) = B. f ( ) Γ. f ( ) =. f ( ) = και f ( ) E. f ( ) > και f ( ) = 4. * Η παράγωγος της συνάρτησης f () = είναι (για h ) Α. lim h h ( + h) h. E. B. lim h ( + h) Γ. lim h h ( + h) h - 5. * Αν ο µεγιστοβάθµιος όρος µιας πολυωνυµικής συνάρτησης είναι α α, όπου α, α, τότε η παράγωγός της είναι Α. σταθερή συνάρτηση B. τριγωνοµετρική συνάρτηση Γ. πολυωνυµική συνάρτηση µε µεγιστοβάθµιο όρο τον α α-. πολυωνυµική συνάρτηση µε µεγιστοβάθµιο όρο τον α α- E. δεν µπορούµε να το γνωρίζουµε χωρίς τον τύπο της συνάρτησης 4

17 6. * Η συνάρτηση h () = είναι Α. σύνθεση των συναρτήσεων f () = και g () = B. σύνθεση των συναρτήσεων f () = και g () = Γ. άλλη µορφή της συνάρτησης f () =. άλλη µορφή της συνάρτησης f () = E. κανένα από τα παραπάνω 7. * Η συνάρτηση f () = ηµ3 είναι Α. άλλη µορφή της συνάρτησης f () = 3ηµ B. η παράγωγος της συνάρτησης f () = συν3 Γ. σύνθεση των συναρτήσεων f () = ηµ, g () = 3. η παράγωγος της συνάρτησης f () = E. κανένα από τα παραπάνω συν * Αν L () = f (g ()), όπου f, g παραγωγίσιµες συναρτήσεις, τότε Α. L () = f (g ()) B. L () = f () g () Γ. L () = f () + g (). L () = f (g ()) f () Ε. L () = f (g ()) g () 5

18 Ερωτήσεις αντιστοίχισης. * Αντιστοιχίστε τον κάθε τύπο συνάρτησης της στήλης Α µε το διάστηµα ή ένωση διαστηµάτων της στήλης Β, που είναι το πεδίο ορισµού της. Στήλη Α Στήλη Β f () = f () = 3 - R (, ) (-, ) (, + ) f () = f () = - f () = + (-, - ) (-, + ) (-, ) (, + ) (, ) [, ) 6

19 . * Αντιστοιχίστε τον κάθε τύπο συνάρτησης της στήλης Α µε το διάστηµα ή ένωση διαστηµάτων της στήλης Β, που είναι το πεδίο ορισµού της. Στήλη Α Στήλη Β [, + ) f () = [-, + ) f () = + (-, ) (, + ) (-, - ] [, + ) f () = f () = + (, + ) (-, ) (, ) (-, + ) 7

20 3. * Αντιστοιχίστε τον κάθε τύπο της συνάρτησης της στήλης Α µε τη γραφική της παράσταση στη στήλη Β. Στήλη Α Στήλη Β (A) ( ). f () = φ () = 6 (B) (Ε) 3. h () = (Γ) 5 (Ζ),5 -,5 5 8

21 4. * Στη στήλη Α παρουσιάζονται οι γραφικές παραστάσεις τριών συναρτήσεων. Αντιστοιχίστε καθεµιά από αυτές µε τη γραφική παράσταση της πρώτης παραγώγου της που βρίσκεται στη στήλη Β. Στήλη Α Στήλη Β (A) () =c (B) () φ ω = ω ω (3) = (Γ) ( ) = φ ω 9

22 5. * Στη στήλη Α παρουσιάζονται οι γραφικές παραστάσεις δύο συναρτήσεων. Αντιστοιχίστε καθεµιά από αυτές µε τη γραφική παράσταση της πρώτης παραγώγου της που βρίσκεται στη στήλη Β. Στήλη Α Στήλη Β (A) () =e (B) () =ln (Γ) 3

23 6. * Στη στήλη Α παρουσιάζονται οι γραφικές παραστάσεις δύο συναρτήσεων. Αντιστοιχίστε καθεµιά από αυτές µε τη γραφική παράσταση της πρώτης παραγώγου της που βρίσκεται στη στήλη Β. Στήλη Α Στήλη Β (A) () π = ηµ π π π 3π (Β) () π 3π =συν π (Γ) π π π π 3

24 7. * Αντιστοιχίστε κάθε τύπο συνάρτησης που είναι στη στήλη Α µε τον τύπο της συνάρτησης της πρώτης παραγώγου της που είναι στη στήλη Β. Στήλη Α Στήλη Β f () f () ( - ) 4 (3) 3-8 (3 - ) 6 (3 - ) * Αντιστοιχίστε κάθε τύπο συνάρτησης που είναι στη στήλη Α µε τον τύπο της συνάρτησης της πρώτης παραγώγου της που είναι στη στήλη Β. 3

25 Στήλη Α f () Στήλη B f () α α α β β + α α + β α + β α β + γ β β α - β α - β α + β β + α - γ β + α α + β 9. * Στη στήλη Α του παρακάτω πίνακα υπάρχουν τα πρώτα µέλη ισοτήτων, οι οποίες εκφράζουν τους κανόνες παραγώγισης. Στη στήλη Β υπάρχουν τα δεύτερα µέλη των ισοτήτων αυτών. Αντιστοιχίστε τα στοιχεία της στήλης Α 33

26 µε εκείνα της στήλης Β ώστε να προκύψουν οι γνωστοί κανόνες παραγώγισης. Στήλη Α Στήλη Β f () g () + f () g () (c f ()) = f () g () -f () g () g () (f () + g ()) = f () + g () (f () g ()) = f () = g () c f () f () g () [f (g ())] = f (g ()) g () f () g () Ερωτήσεις συµπλήρωσης - σύντοµης απάντησης. * Να συµπληρώσετε τα πεδία ορισµού των συναρτήσεων: α) f () = A =... 34

27 β) f () = γ) f () = + A =... A =... δ) f () = + A =... ε) f () = + A =.... * Αν lim f () = -, να βρείτε και να συµπληρώσετε τα lim g (), όταν: α) g () = 3 f () - lim g () =... β) g () = - 4 f () lim g () =... γ) g () = ( f ()) lim g () =... f () - δ) g () = 5-3 f () lim g () =... ε) g () = 3-8 f () + lim g () = * Να συµπληρώσετε τα παρακάτω όρια: α) lim ( ) =... β) lim γ) lim (5 3 + = ) =... δ) lim [(3 + ) (5-3)] =... ε) - lim π [ηµ + 3συν] =... στ) lim [ηµ - 4συν] =... 35

28 4. * Να συµπληρώσετε τα παρακάτω όρια: - α) lim = β) lim = γ) lim =... - ( + ) δ) lim = * Να συµπληρώσετε τις τιµές των παραγώγων των παρακάτω συναρτήσεων στα αντίστοιχα σηµεία: α) f () = f () =... β) f () = + f () =... γ) f () = - 3 f (- ) =... δ) f () = ηµ π f ( ) =... ε) f () = - f () = * Να βρείτε τις εξισώσεις των εφαπτοµένων των γραφικών παραστάσεων των παρακάτω συναρτήσεων στα αντίστοιχα σηµεία: α) f () = - A (, f ()) =... β) f () = - A (, f ()) =... γ) f () = 3 - A (-, f (- )) = * Για κάθε γραφική παράσταση της = f () χαράξτε την αντίστοιχη γραφική παράσταση της πρώτης παραγώγου της. 36

29 37

30 8. * Στη στήλη Α δίνονται τύποι συναρτήσεων. Συµπληρώστε στη στήλη Β τους αντίστοιχους τύπους των πρώτων παραγώγων τους. Στήλη Α f () Στήλη Β f () - ( - ) ( - ) ( - ) 3 ( -) - 3 ( -) 38

31 9. * Στη στήλη Α δίνονται τύποι συναρτήσεων. Συµπληρώστε στη στήλη Β τους αντίστοιχους τύπους των πρώτων παραγώγων τους. Στήλη Α Στήλη Β f () f () ηµ ηµ συν - ηµ συν ηµ ηµ. * Στη στήλη Α δίνονται τύποι συναρτήσεων. Συµπληρώστε στη στήλη Β τους αντίστοιχους τύπους των πρώτων παραγώγων τους. Στήλη Α Στήλη Β f () f () - ln e e -3 + ln - 39

32 . * Στον παρακάτω πίνακα δίνονται οι τύποι τεσσάρων συναρτήσεων. Να συµπληρώσετε τη στήλη Β µε το αντίστοιχο πεδίο ορισµού τους, τη στήλη Γ µε την πρώτη παράγωγό τους και τη στήλη και τη δεύτερη παράγωγό τους. Στήλη Α h () = Στήλη Β πεδίο ορισµού Στήλη Γ πρώτη παράγωγος Στήλη δεύτερη παράγωγος φ () = - f () = + g () = - 4

33 Ερωτήσεις ανάπτυξης. ** ίνεται η συνάρτηση f µε f () = Να βρείτε: α) το πεδίο ορισµού της, Α β) για ποιες τιµές του Α έχουµε f () = γ) το πεδίο ορισµού Β της συνάρτησης g () = ** ίνεται η συνάρτηση g µε g () = +. α) Για ποιες τιµές του R έχουµε g () = ; β) Να βρείτε: i) το πεδίο ορισµού Α της συνάρτησης f () = + ii) το πεδίο ορισµού Β της συνάρτησης h () = + 3. ** ίνεται η συνάρτηση g µε g () = -. α) Για ποιες τιµές του R έχουµε g () = ; β) Για ποιες τιµές του R η συνάρτηση g () είναι θετική; γ) Να βρείτε: i) το πεδίο ορισµού Α της συνάρτησης f () = ii) το πεδίο ορισµού Β της συνάρτησης h () = iii) το πεδίο ορισµού Γ της συνάρτησης φ () = 4. ** ίνεται η συνάρτηση g µε g () = - 4. α) Για ποιες τιµές του R έχουµε g () = ; β) Να βρείτε το πεδίο ορισµού Α της συνάρτησης f () =

34 5. ** ίνονται οι συναρτήσεις f, g µε f () = και g () = 3 -, R. Να βρείτε: α) τον τύπο της συνάρτησης f () + g () και να προσδιορίσετε το πεδίο ορισµού της, Α β) τον τύπο της συνάρτησης 3f () - g () και να προσδιορίσετε το πεδίο ορισµού της, Β γ) τον τύπο της συνάρτησης f () g () και να προσδιορίσετε το πεδίο ορισµού της, Γ δ) τον τύπο της συνάρτησης της, f () g () και να προσδιορίσετε το πεδίο ορισµού 6. ** ίνονται οι συναρτήσεις f, g µε f () = - 3 +, g () = 5 -, R. Να βρείτε: α) το lim f () και το lim g () β) το lim [f () + g ()] 7. ** ίνεται η συνάρτηση φ µε φ () = α) το πεδίο ορισµού της, Α β) το lim φ () γ) το lim [φ ()] Να βρείτε: ** ίνεται η συνάρτηση f µε f () = 6 - α) το πεδίο ορισµού της, Α β) το lim 3-3 f (). Να βρείτε: 4

35 9. ** ίνονται οι συναρτήσεις f, g µε f () = , g () = -, R. Να βρείτε: α) τα lim f (), lim g () β) το - - lim - f () g (). ** Αν lim f () = -, να βρείτε το lim φ (), όταν: α) φ () = 3 f () β) φ () = 3 f () - γ) φ () = f 5 f () 3 () - δ) φ () = f () - 4. ** ίνεται η συνάρτηση f µε f () =. Να βρείτε: +- α) το πεδίο ορισµού της, Α β) το lim f () -. ** ίνεται η συνάρτηση f µε f () = α) το πεδίο ορισµού της, Α β) το lim - 3 f () 9 -. Να βρείτε: ** ίνεται η συνάρτηση f µε f () = α) το πεδίο ορισµού της, Α β) το lim f () 3-3. Να βρείτε:

36 3-4. ** Για ποιες τιµές του α R η συνάρτηση f () = α το σύνολο R των πραγµατικών αριθµών; + έχει πεδίο ορισµού 5. ** Για ποιες τιµές του α R η συνάρτηση f () = ορισµού το σύνολο R των πραγµατικών αριθµών; (α + ) έχει πεδίο 6. ** ίνεται η συνάρτηση f µε f () = α) το πεδίο ορισµού της, Α β) το lim f (). -. Να βρείτε: + 4 γ) Να εξετάσετε, αν η f () είναι συνεχής στη θέση =. 7. ** ίνεται η συνάρτηση f µε f () = - 3 +, 3. α, = 3 α) Για 3 είναι συνεχής η συνάρτηση; β) Για ποια τιµή του α R η συνάρτηση f () είναι συνεχής στο σηµείο = 3; 8. ** ίνεται η συνάρτηση f µε f () = α) το lim f () α,,. Να βρείτε: = β) την τιµή του α R, ώστε η συνάρτηση f να είναι συνεχής στο σηµείο =. 44

37 ** ίνεται η συνάρτηση f µε f () = - α α) το πεδίο ορισµού της, Α β) το lim ,,. Να βρείτε: = γ) την τιµή του α R, ώστε η f να είναι συνεχής στο σηµείο =. ** ίνεται η συνάρτηση f µε f () = , - α,. Να βρείτε την = τιµή του α R, ώστε η συνάρτηση f να είναι συνεχής στο σηµείο =.. ** Η διαγώνιος ενός τετραγώνου είναι δ. Να εκφράσετε, ως συνάρτηση της διαγωνίου δ: α) την περίµετρό του β) το εµβαδό του. ** Οι κάθετες πλευρές ΑΒ, ΑΓ ενός ορθογωνίου τριγώνου ΑΒΓ (Α = 9 ) µεταβάλλονται έτσι ώστε το εµβαδό του να παραµένει σταθερό και ίσο µε m. Να εκφράσετε το µήκος της πλευράς ΑΒ, ως συνάρτηση του µήκους της πλευράς ΑΓ. 3. ** Ένας κυκλικός τοµέας ακτίνας r έχει εµβαδό 3 cm. Να εκφράσετε την περίµετρό του, ως συνάρτηση της ακτίνας r. 4. ** ίνεται η συνάρτηση f µε f () = α) την f (3), R. Να βρείτε: 3 β) το συντελεστή διεύθυνσης της εφαπτοµένης της καµπύλης της συνάρτησης f, στο σηµείο µε = 3 γ) την εξίσωση της παραπάνω εφαπτοµένης 45

38 5. ** ίνεται η συνάρτηση f µε f () = α, R, α R. α) Να βρείτε την f (). β) Να προσδιορίσετε το α, ώστε ο συντελεστής διεύθυνσης της εφαπτοµένης της καµπύλης της f στο σηµείο (, f ()) να είναι ** ίνεται η συνάρτηση f µε f () = +, R. α) Να βρείτε την f (). β) Να προσδιορίσετε το συντελεστή διεύθυνσης της εφαπτοµένης της καµπύλης της f στο σηµείο µε =. γ) Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτοµένης της καµπύλης της f στο σηµείο (, f ()). 7. ** ίνεται η συνάρτηση f µε f () = , R. Να βρείτε: α) την f () β) την εξίσωση της εφαπτοµένης της γραφικής παράστασης της συνάρτησης f, που είναι παράλληλη στον άξονα. 8. ** ίνεται η συνάρτηση f µε f () = - α, R, α R. α) Να βρείτε την f (). β) Να προσδιορίσετε το α, ώστε η εφαπτοµένη της γραφικής παράστασης της συνάρτησης f στο σηµείο (, f ()) να σχηµατίζει µε τον άξονα γωνία ** Να βρεθεί η γωνία που σχηµατίζει µε τον άξονα η εφαπτοµένη της καµπύλης, που είναι γραφική παράσταση της συνάρτησης f () = στο σηµείο ( 4, f ( 4 )). 46

39 3. ** Η θέση ενός κινητού που κινείται ευθύγραµµα, δίνεται συναρτήσει του χρόνου από τον τύπο S (t) = t + t, όπου το t µετριέται σε sec και το S σε µέτρα. Να βρείτε: α) τη µέση ταχύτητα του κινητού στο χρονικό διάστηµα [, 4] sec β) τη στιγµιαία ταχύτητα του κινητού, όταν t = sec ( sec µετά την εκκίνησή του). 3. ** Η θέση ενός κινητού, που εκτελεί ευθύγραµµη κίνηση, δίνεται συναρτήσει του χρόνου t (σε sec) από τον τύπο S (t) = 3t - t. Να βρείτε: α) τη µέση ταχύτητα του κινητού στο χρονικό διάστηµα [, 4] sec β) τη στιγµιαία ταχύτητα του κινητού, όταν t = 3 sec (3 sec µετά την εκκίνησή του). 3. ** Η ταχύτητα, ενός κινητού, που κινείται ευθύγραµµα, συναρτήσει του χρόνου t (σε sec), δίνεται από τον τύπο υ (t) = 3t - 5. α) Να εκφράσετε το ρυθµό µεταβολής της ταχύτητας (επιτάχυνση) του κινητού ως προς t, όταν t = t. β) Να υπολογίσετε το ρυθµό µεταβολής της ταχύτητας (επιτάχυνση) του κινητού ως προς t, όταν t = sec ( sec µετά την εκκίνησή του). 33. ** Ένας πληθυσµός µικροβίων Ρ µεταβάλλεται συναρτήσει του χρόνου t (σε ώρες) σύµφωνα µε τον τύπο Ρ (t) = 3-5 ( + t) -. α) Να βρείτε τον αρχικό αριθµό µικροβίων (t = ). β) Να βρείτε τον αριθµό των µικροβίων όταν t = 9 ώρες. γ) Να βρείτε το ρυθµό µεταβολής του πληθυσµού των µικροβίων ως προς το χρόνο, όταν t = 9 ώρες. 34. ** Ο πληθυσµός Α µιας περιοχής δίνεται, συναρτήσει του χρόνου t (σε έτη) από τον τύπο Α (t) = e 4t (σε χιλιάδες). Να βρείτε το ρυθµό µεταβολής του πληθυσµού αυτής της περιοχής, ως προς το χρόνο, ύστερα από 5 έτη. 47

40 35. ** ίνονται οι συναρτήσεις f, g µε f () = e α) Την πρώτη παράγωγο i) της f και ii) της g. β) Τις παραγώγους i) f () και ii) g (). 3, g () = e. Να βρείτε: 36. ** Να βρείτε πολυώνυµο Ρ () τρίτου βαθµού, τέτοιο ώστε Ρ () = -, Ρ () = 5, Ρ () =, Ρ () =. 37. ** ίνεται η συνάρτηση f µε f () = -. α) Να βρείτε: i) την f () ii) την f () β) Να αποδειχθεί ότι: ( - ) f () + f () =, για κάθε R. 38. ** ίνεται η συνάρτηση f µε f () = e. α) Να βρείτε: i) την f () ii) την f () β) Να δείξετε ότι: f () - f () =, για κάθε R. 39. ** ίνεται η συνάρτηση f µε f () = e α, α R. Να βρείτε: α) Την f () β) Την f () γ) Τις τιµές του α, ώστε να ισχύει η σχέση f () + f () = 3f (), για κάθε R. 4. ** ίνεται η συνάρτηση f µε f () = (3 - ) 3 ( + ). Να βρείτε: α) Την f () β) Το f (). 4. ** ίνεται η συνάρτηση f µε f () = α) Το πεδίο ορισµού της, Α β) Την f (). e e -. Να βρείτε: + 48

41 4. ** ίνεται η συνάρτηση f µε f () =. Να βρείτε: e - α) Το πεδίο ορισµού της, Α β) Την f (). 43. ** ίνεται η συνάρτηση f µε f () = α) Το πεδίο ορισµού της, Α β) Την f (). - ηµ - συν. Να βρείτε: 44. ** ίνεται η συνάρτηση f µε f () = , R. Να βρείτε: 3 α) Την f () β) Τα σηµεία της καµπύλης της συνάρτησης, στα οποία οι εφαπτόµενες σ αυτήν, είναι παράλληλες στον άξονα. 45. ** ίνεται η συνάρτηση f µε f () = ( + ), R. Να βρείτε: α) Την f () β) Το συντελεστή διεύθυνσης λ της εφαπτοµένης της καµπύλης της f στο σηµείο µε τετµηµένη ** ίνεται η συνάρτηση f µε f () = , R. Να βρείτε: α) Την f () β) Την εξίσωση της εφαπτοµένης της καµπύλης της f, που σχηµατίζει µε τον άξονα γωνία ** ίνεται η συνάρτηση f µε f () = α ( + ), R, α R. α) Να βρείτε την f (). β) Να προσδιορίσετε τον α, ώστε ο συντελεστής διεύθυνσης της εφαπτοµένης της καµπύλης της f στο σηµείο (, f ()) να είναι 4. γ) Να βρείτε την εξίσωση της παραπάνω εφαπτοµένης ευθείας. 49

42 48. ** ίνεται η συνάρτηση f µε f () = - 4 +, R. α) Να βρείτε την f () β) Να προσδιορίσετε το σηµείο Α της γραφικής παράστασης της συνάρτησης f, στο οποίο η εφαπτοµένη της σχηµατίζει γωνία 45 µε τον άξονα. 49. ** ίνεται η συνάρτηση f µε f () = - α +β, α, β R και η ευθεία = 3 -, R. Να υπολογίσετε τα α, β ώστε η ευθεία = 3 - να είναι εφαπτοµένη της γραφικής παράστασης της f στο σηµείο µε τετµηµένη. 5. ** ίνεται η συνάρτηση f µε f () = , R. Να βρείτε: 3 α) Την f (). β) Τις εξισώσεις των εφαπτοµένων της γραφικής παράστασης της f, που είναι παράλληλες στην ευθεία = ** ίνεται η συνάρτηση f µε f () = α) Να δείξετε ότι f (α) = -, R,. 4 3 για κάθε α R, α. α β) Να προσδιορίσετε την εξίσωση της ευθείας που εφάπτεται στο σηµείο (α, ) της γραφικής παράστασης της f. α 5. ** ίνεται η συνάρτηση f µε f () = , R. α) Να βρείτε την f (). β) Να εξετάσετε τη µονοτονία της. γ) Να προσδιορίσετε τα ακρότατά της (αν υπάρχουν). 5

43 53. ** ίνονται οι συναρτήσεις f, g µε τύπους: f () = και g () = 4 - +, R. Να βρείτε: α) i) την f () και ii) την g (). β) Τις θέσεις για τις οποίες οι συναρτήσεις παρουσιάζουν ακρότατο γ) Τις τιµές των ακροτάτων αυτών. 54. ** ίνεται η συνάρτηση f µε f () = , R. Να βρείτε: 3 α) Την f () β) Για ποιες τιµές του έχουµε f () = γ) Ποιες από τις παραπάνω τιµές των είναι θέσεις ακροτάτων για την f δ) Τις τιµές των ακροτάτων. 55. ** ίνεται η συνάρτηση f µε f () = κ + λ + 3, R, κ, λ R. α) Να βρείτε τα κ, λ ώστε η f να έχει στη θέση = τοπικό ακρότατο ίσο µε -. β) Τι είδους ακρότατο παρουσιάζει η συνάρτηση στη θέση = ; 56. ** ίνεται η συνάρτηση f µε f () = 3-3, R. Να βρεθούν τα διαστή- µατα που η f είναι: α) Αύξουσα β) Φθίνουσα 57. ** ίνεται η συνάρτηση f µε f () = e -. α) Να βρεθούν οι f (), f (). β) Να µελετηθεί η συνάρτηση f, ως προς τη µονοτονία της. γ) Να προσδιοριστούν τα ακρότατά της (αν υπάρχουν). 58. ** ίνεται η συνάρτηση f µε f () = ( - ) e, R. α) Να βρεθούν: i) το πεδίο ορισµού της, ii) η f () και η f (). β) Να µελετηθεί η f ως προς: i) τη µονοτονία της, ii) τα ακρότατά της και να εντοπιστούν αυτά, αν υπάρχουν. 5

44 59. ** ίνεται η συνάρτηση f µε f () = κ 3 + λ + 3 -, R, κ, λ R. α) Να βρείτε την f (). β) Να προσδιορίσετε τα κ, λ, ώστε η f να έχει τοπικά ακρότατα στα σηµεία µε τετµηµένες =, = -. γ) Να βρείτε τις τιµές των ακροτάτων. 6. ** Από όλα τα ορθογώνια παραλληλόγραµµα µε την ίδια περίµετρο, ποιο είναι εκείνο που έχει το µέγιστο εµβαδό; 6. ** Από όλα τα ορθογώνια παραλληλόγραµµα µε εµβαδό 6 m, να βρείτε τις διαστάσεις εκείνου, που έχει την µικρότερη περίµετρο. 6. ** Να αποδείξετε ότι από όλα τα ισοσκελή τρίγωνα, που είναι εγγεγραµµένα σε κύκλο ακτίνας R, το ισόπλευρο έχει µεγαλύτερο εµβαδό. 63. ** Να βρεθούν δύο αριθµοί, µε σταθερό άθροισµα, που να έχουν το µεγαλύτερο γινόµενο. 64. ** Η τιµή πώλησης ενός µηχανικού εξαρτήµατος είναι. δρχ. Το κόστος του συναρτήσει του χρόνου κατασκευής (σε ώρες) προσεγγίζεται από τον τύπο της συνάρτησης: Κ (t) = t + 5t - α) Πότε πραγµατοποιήθηκε το µέγιστο κέρδος; β) Πόσο είναι αυτό; 65. ** Η ενέργεια που καταναλώνει ένας µικροοργανισµός που κινείται µέσα στο αίµα ενός ασθενούς µε ταχύτητα υ, προσεγγίζεται από τον τύπο της συνάρτησης: Ε (υ) = [ (υ - 35) + 75] υ α) Με ποια ταχύτητα πρέπει να κινηθεί για να καταναλώσει τη µικρότερη ενέργεια; β) Πόση είναι η ελάχιστη ενέργεια; 5

45 66. ** Η ενέργεια W (t), που αποδίδεται από ένα πηνίο, µεταβάλλεται µε το χρόνο t σύµφωνα µε τον τύπο της συνάρτησης: W (t) = 6t - t 4 και µετριέται σε Joules. α) Να εκφράσετε το ρυθµό µεταβολής της ενέργειας ως προς το χρόνο (την ισχύ του πηνίου) τη χρονική στιγµή t = t. β) Σε ποια χρονική στιγµή το πηνίο έχει µέγιστη ισχύ; γ) Πόσα Watt είναι η µέγιστη ισχύς; 67. ** Η τιµή εισιτηρίου των αστικών λεωφορείων είναι σταθερή τα τελευταία 8 χρόνια στις δρχ. Το κόστος µεταφοράς ανά επιβάτη στη διάρκεια των 8 χρόνων προσεγγίζεται από τον τύπο της συνάρτησης: όπου t (, 8] ο χρόνος. Κ (t) = t + 5 t α) Να προσδιοριστεί η χρονική στιγµή κατά την οποία πραγµατοποιήθηκε το µέγιστο κέρδος. β) Πόσο είναι αυτό το κέρδος; 68. ** Η θετική αντίδραση ενός οργανισµού σ ένα φάρµακο περιγράφεται (δίνεται) από τον τύπο της συνάρτησης f () = (α - ), α > σταθερά και η ηµερήσια δόση του φαρµάκου σε mg. Ποια είναι η ενδεδειγµένη ποσότητα δόσης του φαρµάκου ώστε να έχουµε τη µεγαλύτερη θετική αντίδραση του οργανισµού; 69. ** Ένα εργοστάσιο ζαχαροπλαστικής παρασκευάζει µεταξύ άλλων ταψάκια γαλακτοµπούρεκου. Υπολογίστηκε ότι η παρασκευή ταψιών την εβδοµάδα κοστίζει περίπου ( ) δρχ. Αν η τιµή πώλησης του ταψιού είναι ( - ) δρχ., πόσα ταψάκια γαλακτοµπούρεκο πρέπει να παράγει την εβδοµάδα, ώστε να έχει το µεγαλύτερο δυνατό κέρδος; 53

46 54

Μαθηματικά Γενικής Παιδείας Κεφάλαιο 1ο Ανάλυση ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΝΑΛΥΣΗ

Μαθηματικά Γενικής Παιδείας Κεφάλαιο 1ο Ανάλυση ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΝΑΛΥΣΗ Μαθηματικά Γενικής Παιδείας Κεφάλαιο ο Ανάλυση ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΝΑΛΥΣΗ Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό - Λάθος». * Η διαδικασία, με την οποία κάθε στοιχείο ενός συνόλου Α

Διαβάστε περισσότερα

1. Η διαδικασία, με την οποία κάθε στοιχείο ενός συνόλου Α αντιστοιχίζεται σ ένα ακριβώς στοιχείο ενός άλλου συνόλου Β είναι συνάρτηση.

1. Η διαδικασία, με την οποία κάθε στοιχείο ενός συνόλου Α αντιστοιχίζεται σ ένα ακριβώς στοιχείο ενός άλλου συνόλου Β είναι συνάρτηση. Μαθηματικά Γενικής Παιδείας Ανάλυση o Κεφάλαιο ΑΝΑΛΥΣΗ Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό - Λάθος». Η διαδικασία, με την οποία κάθε στοιχείο ενός συνόλου Α αντιστοιχίζεται σ ένα ακριβώς στοιχείο ενός άλλου συνόλου

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ - ΥΠΟ ΕΙΞΕΙΣ ΣΥΝΤΟΜΕΣ ΛΥΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ - ΥΠΟ ΕΙΞΕΙΣ ΣΥΝΤΟΜΕΣ ΛΥΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ - ΥΠΟ ΕΙΞΕΙΣ ΣΥΝΤΟΜΕΣ ΛΥΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ 4 o Κεφάλαιο ΑΝΑΛΥΣΗ Απαντήσεις στις ερωτήσεις του τύπου Σωστό-Λάθος. Σ 0. Σ 9. Λ. Λ. Σ 40. Σ. Σ. Σ 4. Λ 4. Λ. Σ 4. Σ 5. Σ 4. Σ 4. Λ 6. Σ 5. Λ 44.

Διαβάστε περισσότερα

ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΕΘΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ΚΕΝΤΡΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΗΣ ΕΡΕΥΝΑΣ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ ΤΩΝ ΜΑΘΗΤΩΝ ΤΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ. Μάθημα Γενικής Παιδείας

ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΕΘΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ΚΕΝΤΡΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΗΣ ΕΡΕΥΝΑΣ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ ΤΩΝ ΜΑΘΗΤΩΝ ΤΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ. Μάθημα Γενικής Παιδείας ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΕΘΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ΚΕΝΤΡΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΗΣ ΕΡΕΥΝΑΣ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ ΤΩΝ ΜΑΘΗΤΩΝ ΤΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Μάθημα Γενικής Παιδείας ΑΘΗΝΑ 001 Ομάδα Σύνταξης Εποπτεία: Παπασταυρίδης Σταύρος,

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΘΕΜΑ Α Ερώτηση θεωρίας Αν η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο R και c είναι μια πραγματική σταθερά, να δείξετε ότι: ( c f( )) = c f ( ),. Έστω F( )

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΘΕΜΑ Α Ερώτηση θεωρίας Αν η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο R και c είναι μια πραγματική σταθερά, να δείξετε ότι: ( c f) = c f, Έστω F = c f Έχουμε

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ. ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΣΤO 1o ΚΕΦΑΛΑΙΟ ( ΠΑΡΑΓΩΓΟΙ) ΜΕ ΛΥΣΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ. ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΣΤO 1o ΚΕΦΑΛΑΙΟ ( ΠΑΡΑΓΩΓΟΙ) ΜΕ ΛΥΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΣΤO o ΚΕΦΑΛΑΙΟ ( ΠΑΡΑΓΩΓΟΙ) ΜΕ ΛΥΣΕΙΣ 000 ΘΕΜΑ ο Α.α) Δίνεται η συνάρτηση F f g αποδείξετε ότι: F f g. cf,. Αν οι συναρτήσεις

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ www.apodeiis.gr ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ 1 1. Να βρείτε το πεδίο ορισμού των συναρτήσεων: 1 i. ii. 1. Να βρείτε τα πεδία ορισμού των συναρτήσεων: i. 1 1 ii. ln. Δίνεται η συνάρτηση g, i. Να αποδείξετε

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ (1η σειρά)

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ (1η σειρά) 3 1 0 011 ΘΕΡΙΝΑ ΤΜΗΜΑΤΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ (1η σειρά) ΘΕΜΑ 1 Α. Έστω η συνάρτηση F()=f()+g(). Aν οι συναρτήσεις f, g είναι παραγωγίσιμες, να αποδείξετε ότι F

Διαβάστε περισσότερα

ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ «ΠΡΟΟΔΟΣ» ΚΥΡΙΑΚΗ 22 ΝΟΕΜΒΡΙΟΥ 2015 ΓΡΑΠΤΗ ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΟ ΜΑΘΗΜΑ «ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ» Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ «ΠΡΟΟΔΟΣ» ΚΥΡΙΑΚΗ 22 ΝΟΕΜΒΡΙΟΥ 2015 ΓΡΑΠΤΗ ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΟ ΜΑΘΗΜΑ «ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ» Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ «ΠΡΟΟΔΟΣ» ΚΥΡΙΑΚΗ ΝΟΕΜΒΡΙΟΥ 5 ΓΡΑΠΤΗ ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΟ ΜΑΘΗΜΑ «ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ» Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ ο A. Να δώσετε τον ορισμό της συνέχειας μιας συνάρτησης στο πεδίο ορισμού της. ( Μονάδες)

Διαβάστε περισσότερα

lim είναι πραγµατικοί αριθµοί, τότε η f είναι συνεχής στο x 0. β) Να εξετάσετε τη συνέχεια της συνάρτησης f (x) =

lim είναι πραγµατικοί αριθµοί, τότε η f είναι συνεχής στο x 0. β) Να εξετάσετε τη συνέχεια της συνάρτησης f (x) = Ερωτήσεις ανάπτυξης. ** α) Να αποδείξετε ότι αν τα όρια lim - f () - f - είναι πραγµατικοί αριθµοί, τότε η f είναι συνεχής στο. ( ) και β) Να εξετάσετε τη συνέχεια της συνάρτησης f () = lim + στο σηµείο

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ. ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ Μαθηματικά Γενικής Παιδείας Γ.Λυκείου ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ) Να βρείτε το πεδίο ορισμού των συναρτήσεων: ( ) 6+ 9, g ( ), h ( ) 5 +, k

Διαβάστε περισσότερα

Διαφορικός Λογισμός. Κεφάλαιο Συναρτήσεις. Κατανόηση εννοιών - Θεωρία. 1. Τι ονομάζουμε συνάρτηση;

Διαφορικός Λογισμός. Κεφάλαιο Συναρτήσεις. Κατανόηση εννοιών - Θεωρία. 1. Τι ονομάζουμε συνάρτηση; Κεφάλαιο 1 Διαφορικός Λογισμός 1.1 Συναρτήσεις Κατανόηση εννοιών - Θεωρία 1. Τι ονομάζουμε συνάρτηση; 2. Πως ορίζονται οι πράξεις της πρόσθεσης, της διαφοράς, του γινομένου και του πηλίκου μεταξύ δύο συναρτήσεων;

Διαβάστε περισσότερα

1. * Η γραφική παράσταση µιας συνάρτησης f έχει εφαπτοµένη στο x 0 την ευθεία y = αx + β, µε α 0, όταν. είναι + είναι -

1. * Η γραφική παράσταση µιας συνάρτησης f έχει εφαπτοµένη στο x 0 την ευθεία y = αx + β, µε α 0, όταν. είναι + είναι - Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής. * Η γραφική παράσταση µιας συνάρτησης f έχει εφαπτοµένη στο την ευθεία = α + β, µε α, όταν Α. ( Β. η f είναι συνεχής στο = α R Γ. η f δεν είναι συνεχής στο. το όριο Ε. το

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 2ο: ΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ 2ο ΜΕΡΟΣ

Κεφάλαιο 2ο: ΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ 2ο ΜΕΡΟΣ Κεφάλαιο ο: ΙΑΦΟΡΙΚΟ ΟΓΙΜΟ ο ΜΕΡΟ Ερωτήσεις του τύπου «ωστό - άθος» 1. * Αν η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιµη στο R και f (α) f (β), α, β R, α < β, τότε ισχύει f () για κάθε (α, β).. * Αν η συνάρτηση f

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο : ΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο : ΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο : ΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ Usus est magister optimus (η χρήση είναι ο καλύτερο δάσκαλο ) y M(,f()) C f A( 0,f( 0 )) M ε O 0 (α) ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΠΑΠΠΑΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ. α) Το σημείο (-1,1) ανήκει στη γραφική παράσταση της f; α) Να βρεθεί η τιμή του α, ώστε η τιμή της f στο χ 0 =2 να είναι 1.

ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ. α) Το σημείο (-1,1) ανήκει στη γραφική παράσταση της f; α) Να βρεθεί η τιμή του α, ώστε η τιμή της f στο χ 0 =2 να είναι 1. Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ 1.Δίνεται η συνάρτηση f()= 4 1 α) Το σημείο (-1,1) ανήκει στη γραφική παράσταση της f; β) Αν χ=, ποια είναι η τιμή της f; γ) Αν f()=1, ποια είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο : ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο : ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ 1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο : ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ 1. Πότε µια συνάρτηση f σε ένα διάστηµα του πεδίου ορισµού της λέγεται γνησίως αύξουσα και πότε γνησίως φθίνουσα; 2. Να αποδείξετε ότι η παράγωγος

Διαβάστε περισσότερα

3. lim [f(x) g(x)] = lim f(x) lim g(x) x xo x xo x xo x xo x xo v f(x) lim f(x) x xo lim = x xo g(x) lim g(x) x xo v lim [f(x)] = lim f(x) 6. li

3. lim [f(x) g(x)] = lim f(x) lim g(x) x xo x xo x xo x xo x xo v f(x) lim f(x) x xo lim = x xo g(x) lim g(x) x xo v lim [f(x)] = lim f(x) 6. li Μετά το τέλος της µελέτης του 1ου κεφαλαίου, ο µαθητής θα πρέπει να γνωρίζει: Τον ορισµό της συνάρτησης και τον τρόπο εύρεσης του πεδίου ορισµού της. Τις πράξεις µεταξύ συναρτήσεων, τις γραφικές παραστάσεις

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΙΑ ΠΡΟΕΤΟΙΜΑΣΙΑ ΓΙΑ ΤΙΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΙΑ ΠΡΟΕΤΟΙΜΑΣΙΑ ΓΙΑ ΤΙΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2 ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΥΜΗΤΤΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΙΑ ΠΡΟΕΤΟΙΜΑΣΙΑ ΓΙΑ ΤΙΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ - Σελίδα 1 από 6 - 1. Η ΔΟΜΗ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ Στις εξετάσεις του Μαίου-Ιουνίου µας δίνονται δύο θέµατα θεωρίας και

Διαβάστε περισσότερα

παράσταση της f τέμνει τον άξονα ψ ψ στο σημείο με τεταγμένη 3 και διέρχεται από το σημείο

παράσταση της f τέμνει τον άξονα ψ ψ στο σημείο με τεταγμένη 3 και διέρχεται από το σημείο ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΣΥΛΛΟΓΗ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ου ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ ΑΣΚΗΣΗ η (Κατσίποδας Δημήτρης) Δίνονται οι συναρτήσεις f() = με a, β R και g() = 5.Αν η γραφική παράσταση της f τέμνει τον άξονα ψ ψ στο σημείο

Διαβάστε περισσότερα

f ( x) x EΠΙΛΕΓΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Συναρτήσεις ( ) 1. Έστω συνάρτηση f γνησίως αύξουσα στο R τέτοια ώστε να ισχύει

f ( x) x EΠΙΛΕΓΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Συναρτήσεις ( ) 1. Έστω συνάρτηση f γνησίως αύξουσα στο R τέτοια ώστε να ισχύει Συναρτήσεις Έστω συνάρτηση γνησίως αύξουσα στο R τέτοια ώστε να ισχύει Να δείξετε ότι (), για κάθε R ( ) +, για κάθε R Έστω συνάρτηση µε πεδίο ορισµού και σύνολο τιµών το R και τέτοια ώστε ( ) ( ) e +,

Διαβάστε περισσότερα

ΤΟΠΙΚΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΑΚΡΟΤΑΤΩΝ

ΤΟΠΙΚΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΑΚΡΟΤΑΤΩΝ Ενότητα 1 ΤΟΠΙΚΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΑΚΡΟΤΑΤΩΝ Ασκήσεις για λύση 3 3, < 1). Δίνεται η συνάρτηση f ( ). 6, Να βρείτε : i ) την παράγωγο της f, ii) τα κρίσιμα σημεία της f. ). Να μελετήσετε ως προς τη μονοτονία

Διαβάστε περισσότερα

Ρητοί αριθμοί λέγονται οι αριθμοί που έχουν ή μπορούν να πάρουν τη μορφή

Ρητοί αριθμοί λέγονται οι αριθμοί που έχουν ή μπορούν να πάρουν τη μορφή ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ (ΕΙΣΑΓΩΓΗ)-ΘΕΩΡΕΙΑ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Το σύνολο των πραγματικών αριθμών Υπενθυμίζουμε ότι το σύνολο των πραγματικών αριθμώv αποτελείται από τους ρητούς και τους άρρητους αριθμούς και παριστάνεται

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ 1ΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ (χωρίς αποδείξεις) ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΟΡΙΑ- ΣΥΝΕΧΕΙΑ 1. Να δώσετε τον ορισμό της συνάρτησης

ΘΕΩΡΙΑ 1ΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ (χωρίς αποδείξεις) ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΟΡΙΑ- ΣΥΝΕΧΕΙΑ 1. Να δώσετε τον ορισμό της συνάρτησης ΘΕΩΡΙΑ ΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ (χωρίς αποδείξεις ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΟΡΙΑ- ΣΥΝΕΧΕΙΑ. Να δώσετε τον ορισμό της συνάρτησης Συνάρτηση από το σύνολο Α στο Β λέγεται μια διαδικασία με την οποία κάθε στοιχείο x του Α, αντιστοιχίζεται

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ Γ.Π. ΚΕΦ 1,2,3

ΑΣΚΗΣΕΙΣ Γ.Π. ΚΕΦ 1,2,3 Ασκηση 1 ΑΣΚΗΣΕΙΣ Γ.Π. ΚΕΦ 1,2,3 Δίνεται η συνάρτηση α. Να εξετάσετε την f ως προς τα ακρότατα. β. Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της C f στο (1,f(1)). γ. Αν το α παίρνει τιμές που προκύπτουν από

Διαβάστε περισσότερα

2. ** ίνεται η συνάρτηση f (x) = logx. α) Να εξετάσετε αν ισχύουν οι προϋποθέσεις του θεωρήµατος µέσης τιµής στο [1, 20] για τη συνάρτηση f.

2. ** ίνεται η συνάρτηση f (x) = logx. α) Να εξετάσετε αν ισχύουν οι προϋποθέσεις του θεωρήµατος µέσης τιµής στο [1, 20] για τη συνάρτηση f. Ερωτήσεις ανάπτυξης. ** Έστω µια συνάρτηση f παραγωγίσιµη στο R, η οποία έχει δύο τουλάχιστον ρίζες. α) Να αποδείξετε ότι µεταξύ δύο ριζών της f περιέχεται τουλάχιστον µια ρίζα της f. β) Αν η f έχει δύο

Διαβάστε περισσότερα

1.1 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ. 1. Ορισµός. 2. Συµβολισµός. 3. Επεξήγηση συµβόλων. 4. Γραφική παράσταση της συνάρτησης f : A R

1.1 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ. 1. Ορισµός. 2. Συµβολισµός. 3. Επεξήγηση συµβόλων. 4. Γραφική παράσταση της συνάρτησης f : A R . ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑ. Ορισµός Ονοµάζουµε συνάρτηση µια διαδικασία µε την οποία κάθε στοιχείο ενός συνόλου Α αντιστοιχίζεται σε ένα ακριβώς στοιχείο κάποιου συνόλου Β. Σηµείωση: Στο εξής θα είναι Α R και

Διαβάστε περισσότερα

ερµηνεύσετε τα αποτελέσµατα του ερωτήµατος (α).

ερµηνεύσετε τα αποτελέσµατα του ερωτήµατος (α). Ερωτήσεις ανάπτυξης. ** Για να υπολογίσει κάποιος την (0 ) χρησιµοποιεί για + προσέγγιση τον αριθµό +, ενώ ένας άλλος τον αριθµό. 3 α) Να εκτιµήσετε ποια από τις δύο προσεγγίσεις δίνει το ελάχιστο (απόλυτο)

Διαβάστε περισσότερα

Ημερομηνία: Πέμπτη 5 Ιανουαρίου 2017 Διάρκεια Εξέτασης: 3 ώρες ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ

Ημερομηνία: Πέμπτη 5 Ιανουαρίου 2017 Διάρκεια Εξέτασης: 3 ώρες ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΑΠΟ 18/1/016 ΕΩΣ 05/01/017 η ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗ ΠΕΡΙΟΔΟΣ ΤΑΞΗ: ΜΑΘΗΜΑ: Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Ημερομηνία: Πέμπτη 5 Ιανουαρίου 017 Διάρκεια Εξέτασης: 3 ώρες ΘΕΜΑ Α ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ Α1. Έστω η συνάρτηση

Διαβάστε περισσότερα

ΣΧΕ ΙΑ ΚΡΙΤΗΡΙΩΝ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ ΤΟΥ ΜΑΘΗΤΗ ΣΤΗΝ ΑΝΑΛΥΣΗ. ( ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1ο )

ΣΧΕ ΙΑ ΚΡΙΤΗΡΙΩΝ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ ΤΟΥ ΜΑΘΗΤΗ ΣΤΗΝ ΑΝΑΛΥΣΗ. ( ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1ο ) ΣΧΕ ΙΑ ΚΡΙΤΗΡΙΩΝ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ ΤΟΥ ΜΑΘΗΤΗ ΣΤΗΝ ΑΝΑΛΥΣΗ ( ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1ο ) Τα κριτήρια αξιολόγησης που ακολουθούν είναι ενδεικτικά. Ο καθηγητής έχει τη δυνατότητα διαµόρφωσής τους σε ενιαία θέµατα, επιλογής

Διαβάστε περισσότερα

και είναι παραγωγισιμη στο σημειο αυτό, τότε : f ( x 0

και είναι παραγωγισιμη στο σημειο αυτό, τότε : f ( x 0 ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο 7 ΤΟΠΙΚΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΘΕΩΡΗΜΑ FERMAT ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ (Θεώρημα Frmat) Εστω μια συναρτηση ορισμενη σ ένα διαστημα Δ και ένα εσωτερικο σημειο του Δ Αν η παρουσιάζει τοπικό ακρότατο στο

Διαβάστε περισσότερα

ÖÑÏÍÔÉÓÔÇÑÉÏ ÈÅÌÅËÉÏ ÇÑÁÊËÅÉÏ ÊÑÇÔÇÓ

ÖÑÏÍÔÉÓÔÇÑÉÏ ÈÅÌÅËÉÏ ÇÑÁÊËÅÉÏ ÊÑÇÔÇÓ ΘΕΜΑ Α ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ (ΑΛΓΕΒΡΑ) ΕΠΑ.Λ. 8 ΙΟΥΝΙΟΥ 07 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ Α. Αν οι συναρτήσεις f, g είναι παραγωγίσιµες στο, να αποδείξετε ότι: ( f (x) + g (x)) = f (x) + g(x) Μονάδες 0 Α. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 3ο: ΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ 2ο ΜΕΡΟΣ

Κεφάλαιο 3ο: ΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ 2ο ΜΕΡΟΣ Κεφάλαιο 3ο: ΙΑΦΟΡΙΚΟ ΟΓΙΜΟ ο ΜΕΡΟ Ερωτήσεις του τύπου «ωστό - άθος». * Αν µια συνάρτηση f είναι συνεχής στο διάστηµα [α, β], παραγωγίσιµη στο διάστηµα (α, β) και f (α) = f (β), τότε υπάρχει τουλάχιστον

Διαβάστε περισσότερα

1. ** α) Αν η f είναι δυο φορές παραγωγίσιµη συνάρτηση, να αποδείξετε ότι. β α. = [f (x) ηµx] - [f (x) συνx] β α. ( )

1. ** α) Αν η f είναι δυο φορές παραγωγίσιµη συνάρτηση, να αποδείξετε ότι. β α. = [f (x) ηµx] - [f (x) συνx] β α. ( ) Ερωτήσεις ανάπτυξης. ** α) Αν η f είναι δυο φορές παραγωγίσιµη συνάρτηση, να αποδείξετε ότι β ( f () f () ) + α ηµ d β α = [f () ηµ] - [f () συν] β α. ( ) β) Αν f () = ηµ, να αποδείξετε ότι f () + f ()

Διαβάστε περισσότερα

1. ** Αν F είναι µια παράγουσα της f στο R, τότε να αποδείξετε ότι και η

1. ** Αν F είναι µια παράγουσα της f στο R, τότε να αποδείξετε ότι και η Ερωτήσεις ανάπτυξης. ** Αν F είναι µια παράγουσα της f στο R, τότε να αποδείξετε ότι και η συνάρτηση G () = F (α + β) είναι µια παράγουσα της h () = f (α + β), α α στο R. β + γ α+ γ. ** α) Να δείξετε ότι

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Γενικής Παιδείας. iv) f(x)= v) f(x)= ln(x 2-4) vi) f(x) =, v) f(x) = 6 x 5. vi) vii) f(x) = ln(x 2-2) viii) f(x) = lnx 2.

Μαθηματικά Γενικής Παιδείας. iv) f(x)= v) f(x)= ln(x 2-4) vi) f(x) =, v) f(x) = 6 x 5. vi) vii) f(x) = ln(x 2-2) viii) f(x) = lnx 2. Ερωτήσεις ανάπτυξης Β. Να βρεθούν τα πεδία ορισμού των συναρτήσεων: 5 4 i) f() = ii) f()= iii) f()= iv) f()= ln( ) e v) f()= ln( -4) 4 4 vi) f() =, 5. Να βρείτε το πεδίο ορισμού των συναρτήσεων f με τύπο:

Διαβάστε περισσότερα

Μ Α Θ Η Μ Α Τ Α Γ Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ

Μ Α Θ Η Μ Α Τ Α Γ Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Α Γ Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ (Α ΜΕΡΟΣ: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ) Μαθηματικά Προσανατολισμού Γ Λυκείου- Μαθηματικός Περιηγητής ΕΝΟΤΗΤΑ

Διαβάστε περισσότερα

ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ 2002 ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ 2002 ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ ο Α) Έστω η συνάρτηση f, η οποία είναι συνεχής στο διάστημα [α,β] με f(α) f(β). Να αποδείξετε ότι για κάθε αριθμό η μεταξύ των f(α) και

Διαβάστε περισσότερα

1. ** Να βρεθεί το ευρύτερο δυνατό υποσύνολο του R στο οποίο ορίζεται καθεµιά από τις παρακάτω συναρτήσεις: , x [0, 2π] εφx -1

1. ** Να βρεθεί το ευρύτερο δυνατό υποσύνολο του R στο οποίο ορίζεται καθεµιά από τις παρακάτω συναρτήσεις: , x [0, 2π] εφx -1 Ερωτήσεις ανάπτυξης. ** Να βρεθεί το ευρύτερο δυνατό υποσύνολο του R στο οποίο ορίζεται καθεµιά από τις παρακάτω συναρτήσεις: α) f () = ( -) 4 - + β) f () = - - + 3 4 - - γ) f () = δ) f () = - + - - 5-3

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 3ο: ΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ 1o ΜΕΡΟΣ

Κεφάλαιο 3ο: ΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ 1o ΜΕΡΟΣ Κεφάλαιο 3ο: ΙΑΦΟΡΙΚΟ ΟΓΙΜΟ 1o ΜΕΡΟ Ερωτήσεις του τύπου «ωστό - άθος» 1. * Η εφαπτοµένη της γραφικής παράστασης µιας σταθερής συνάρτησης σε οποιοδήποτε σηµείο του πεδίου ορισµού της συµπίπτει µε τη γραφική

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2008

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2008 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 8 ΘΕΜΑ ο Έστω, α,β, α β και ν α + + i = βi () β + αi α) Να αποδείξετε ότι ο δεν είναι πραγµατικός αριθµός. β) Να αποδείξετε

Διαβάστε περισσότερα

ii) f(x)= iv) f(x)= ii) f(x)= x iv) f(x)= 2x x ii) f(x)= iv) f(x)= x) f(x)= 2ln x ln x να έχει πεδίο ορισμού το R.

ii) f(x)= iv) f(x)= ii) f(x)= x iv) f(x)= 2x x ii) f(x)= iv) f(x)= x) f(x)= 2ln x ln x να έχει πεδίο ορισμού το R. 1 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 1. Να βρεθεί το πεδίο ορισμού των συναρτήσεων: 7 5 8 1 i) f()= ii) f()= 3 5 4 3 4 iii) f()= iv) f()= 3 3 8 7. Να βρεθεί το πεδίο ορισμού των συναρτήσεων: i) f()= 5 6 ii) f()= iii) f()= 1

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηµατικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης ΚΕΦΑΛΑΙΟ. 1 ο :Μιγαδικοί Αριθµοί

Μαθηµατικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης ΚΕΦΑΛΑΙΟ. 1 ο :Μιγαδικοί Αριθµοί ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο :Μιγαδικοί Αριθµοί. Ποιο σύνολο ονοµάζεται σύνολο των µιγαδικών αριθµών ;. Tι ονοµάζεται µιγαδικός αριθµός; Ποιο είναι το πραγµατικό και ποιο το φανταστικό του µέρος ; 3. Tι ονοµάζεται εικόνα

Διαβάστε περισσότερα

Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής. 1. * Από τα παρακάτω διαγράµµατα, γραφική παράσταση συνάρτησης είναι το

Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής. 1. * Από τα παρακάτω διαγράµµατα, γραφική παράσταση συνάρτησης είναι το Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής. * Από τα παρακάτω διαγράµµατα, γραφική παράσταση συνάρτησης είναι το διάγραµµα Α. B. Γ.. Ε. 7 . * Από τα παρακάτω διαγράµµατα δεν είναι γραφική παράσταση συνάρτησης το διάγραµµα

Διαβάστε περισσότερα

1.4 ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΤΩΝ ΠΑΡΑΓΩΓΩΝ

1.4 ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΤΩΝ ΠΑΡΑΓΩΓΩΝ 1 1. ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΤΩΝ ΠΑΡΑΓΩΓΩΝ ΘΕΩΡΙΑ 1. Θεώρηµα γνησίως αύξουσας Αν µία συνάρτηση είναι παραγωγίσιµη σ ένα διάστηµα και για κάθε εσωτερικό σηµείο του ισχύει f () > 0 τότε η f είναι γνησίως αύξουσα στο.

Διαβάστε περισσότερα

4 0 Κεφάλαιο Στοιχεία Διαφορικού Λογισμού

4 0 Κεφάλαιο Στοιχεία Διαφορικού Λογισμού 4 0 Κεφάλαιο Στοιχεία Διαφορικού Λογισμού Η έννοια της παραγώγου Η έννοια της παραγώγου είναι η επόμενη, μετά την έννοια του ορίου, σημαντική έννοια που συναντούμε κατά τη μελέτη της θεωρίας συναρτήσεων.

Διαβάστε περισσότερα

1.3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ. 1. Ορισµός της παραγώγου συνάρτησης

1.3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ. 1. Ορισµός της παραγώγου συνάρτησης . ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΘΕΩΡΙΑ. Ορισµός της παραγώγου συνάρτησης Έστω µια συνάρτηση µε πεδίο ορισµού Α, και Β το σύνολο των Α στα οποία η είναι παραγωγίσιµη. Τότε ορίζεται νέα συνάρτηση µε την οποία κάθε

Διαβάστε περισσότερα

2. Έστω η συνάρτηση f :[0, 6] με την παρακάτω γραφική παράσταση.

2. Έστω η συνάρτηση f :[0, 6] με την παρακάτω γραφική παράσταση. . Έστω η συνάρτηση f : με την παρακάτω γραφική παράσταση. Α. Να προσδιορίσετε τα διαστήματα στα οποία η f είναι γνησίως αύξουσα, γνησίως φθίνουσα, κυρτή, κοίλη, καθώς και τα τοπικά ακρότατα και τα σημεία

Διαβάστε περισσότερα

2.7. ր ց ց ր. Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας A Οµάδας. 1. H παράγωγος µιας συνάρτησης f είναι. f (x) > 0 3(x 1 ) 3 (x 2 ) 2 (x 3) > 0

2.7. ր ց ց ր. Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας A Οµάδας. 1. H παράγωγος µιας συνάρτησης f είναι. f (x) > 0 3(x 1 ) 3 (x 2 ) 2 (x 3) > 0 .7 Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 67 7 A Οµάδας. H παράγωγος µιας συνάρτησης είναι () = ( ) ( ) ( ) Για ποιες τιµές του η παρουσιάζει τοπικό µέγιστο και για ποιες τοπικό ελάχιστο; D = R, όπου και παραγωγίζεται.

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ Σ-Λ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΕΣΠΕΡΙΝΟY. 0, τότε είναι και παραγωγίσιμη στο σημείο αυτό.

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ Σ-Λ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΕΣΠΕΡΙΝΟY. 0, τότε είναι και παραγωγίσιμη στο σημείο αυτό. ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ Σ-Λ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΕΣΠΕΡΙΝΟY Αν μια συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη σ ένα σημείο, τότε είναι και συνεχής στο σημείο αυτό Αν μια συνάρτηση f είναι συνεχής σ ένα

Διαβάστε περισσότερα

Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΙΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥΣ (ΜΕΧΡΙ ΚΑΙ ΡΥΘΜΟ ΜΕΤΑΒΟΛΗΣ)

Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΙΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥΣ (ΜΕΧΡΙ ΚΑΙ ΡΥΘΜΟ ΜΕΤΑΒΟΛΗΣ) ΘΕΜΑ ο Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΙΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥΣ (ΜΕΧΡΙ ΚΑΙ ΡΥΘΜΟ ΜΕΤΑΒΟΛΗΣ) Α. Να αποδείξετε ότι αν μία συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη σ ένα σημείο 0,τότε είναι και συνεχής στο σημείο αυτό Β. Να αποδείξετε ότι

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις στις συναρτήσεις, όρια και παράγωγο

Ασκήσεις στις συναρτήσεις, όρια και παράγωγο Ασκήσεις στις συναρτήσεις, όρια και παράγωγο Σπύρος Γλένης, Μαθηματικός Εάν α) 0,, β) να βρείτε τα παρακάτω: t,,, Να βρείτε το ( h) ( ) για τις παρακάτω συναρτήσεις: h i) ii) iii), ρητός 0, άρρητος Δίνονται

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2016 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2016 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 6 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 6 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΘΕΜΑ ο

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 4. [ ] z, w. 3 f x, x 1,3 όπου 3 μιγαδικοί των οποίων οι εικόνες

ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 4. [ ] z, w. 3 f x, x 1,3 όπου 3 μιγαδικοί των οποίων οι εικόνες ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 4 1. i) Να δείξετε ότι υπάρχει μοναδικό 3 3 0 1, ώστε: 3 e, 1 ln 0 + 0 = 0 ii) Δίνεται ο μιγαδικός 3 z = ln + i, > 0 a) Να βρείτε την ελάχιστη απόσταση k της εικόνας του z από την αρχή

Διαβάστε περισσότερα

Ερωτήσεις κατανόησης σελίδας Κεφ. 1

Ερωτήσεις κατανόησης σελίδας Κεφ. 1 Ερωτήσεις κατανόησης σελίδας 50 5 Κεφ.. Ο όγκος του διπλανού ορθογωνίου παραλληλεπιπέδου εκφράζεται µε τη συνάρτηση V() = ( )( ). Το πεδίο ορισµού της συνάρτησης αυτής είναι το διάστηµα : A. [0, + ] B.

Διαβάστε περισσότερα

, όταν f είναι μια συνάρτηση παραγωγίσιμη στο x. 0, τότε ονομάζουμε ρυθμό μεταβολής του y ως προς το x στο σημείο x. 0 την παράγωγο f ( x 0

, όταν f είναι μια συνάρτηση παραγωγίσιμη στο x. 0, τότε ονομάζουμε ρυθμό μεταβολής του y ως προς το x στο σημείο x. 0 την παράγωγο f ( x 0 ΡΥΘΜΟΣ ΜΕΤΑΒΟΛΗΣ ΟΡΙΣΜΟΣ : Αν δυο μεταβλητά μεγέθη, y συνδέονται με τη σχέση y f (, όταν f είναι μια συνάρτηση παραγωγίσιμη στο, τότε ονομάζουμε ρυθμό μεταβολής του y ως προς το στο σημείο την παράγωγο

Διαβάστε περισσότερα

1ο Κεφάλαιο: Συστήματα

1ο Κεφάλαιο: Συστήματα ο Κεφάλαιο: Συστήματα Γραμμικά συστήματα i. Ποια εξίσωση λέγεται γραμμική; ii. Πως μεταβάλλεται η ευθεία y, 0 ή 0 για τις διάφορες τιμές των α,β,γ; iii. Τι ονομάζεται λύση μιας γραμμικής εξίσωσης; iv.

Διαβάστε περισσότερα

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2013 ÔÑÉÐÔÕ Ï

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2013 ÔÑÉÐÔÕ Ï ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 3 Ε_3.Μλ3ΘΤ(ε) ΤΑΞΗ: ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ: ΜΑΘΗΜΑ: ΘΕΜΑ Α Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

2.7 ΤΟΠΙΚΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

2.7 ΤΟΠΙΚΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ 7 ΤΟΠΙΚΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 45 Πότε μια συνάρτηση με πεδίο ορισμού Α παρουσιάζει στο τοπικό μέγιστο και πότε τοπικό ελάχιστο ; (, 5) Απάντηση : α) Μια συνάρτηση, με πεδίο

Διαβάστε περισσότερα

ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ- ΣΥΝΟΛΟ ΤΙΜΩΝ ΚΟΙΛΟΤΗΤΑ ΣΗΜΕΙΑ ΚΑΜΠΗΣ. i) Για την εύρεση µονοτονίας µιας συνάρτησης υπολογίζω την f ( x )

ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ- ΣΥΝΟΛΟ ΤΙΜΩΝ ΚΟΙΛΟΤΗΤΑ ΣΗΜΕΙΑ ΚΑΜΠΗΣ. i) Για την εύρεση µονοτονίας µιας συνάρτησης υπολογίζω την f ( x ) () Μονοτονία ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ- ΣΥΝΟΛΟ ΤΙΜΩΝ ΚΟΙΛΟΤΗΤΑ ΣΗΜΕΙΑ ΚΑΜΠΗΣ i) Για την εύρεση µονοτονίας µιας συνάρτησης υπολογίζω την f ( ) και βρίσκω το πρόσηµό της ii) Αν προκύψει να είναι αύξουσα ή φθίνουσα,

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ Ο Να εξετάσετε ποιες από τις παρακάτω προτάσεις είναι σωστές και ποιες λανθασµένες.. Αν η συνάρτηση είναι συνεχής στο

Διαβάστε περισσότερα

Η Θεωρία στα Μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ Λυκείου

Η Θεωρία στα Μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ Λυκείου Η Θεωρία στα Μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ Λυκείου wwwaskisopolisgr έκδοση 5-6 wwwaskisopolisgr ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 5 Τι ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση; Έστω Α ένα υποσύνολο του Ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΗΝ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΗΝ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Επιμέλεια: ιώργος Ράπτης ΘΕΤ ΣΤΗΝ ΕΩΕΤΡΙ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕ 1 ο. Να αποδείξετε ότι το εμβαδό τραπεζίου με βάσεις 1, και ύψος υ δίνεται από τον τύπο: ( 1+ ) υ Ε= ονάδες 1 B. ν φν, λν και αν είναι: η γωνία, η πλευρά

Διαβάστε περισσότερα

Ερωτήσεις ανάπτυξης. α) να βρείτε το σηµείο x 0. β) να αποδείξετε ότι η κλίση της εφαπτοµένης της

Ερωτήσεις ανάπτυξης. α) να βρείτε το σηµείο x 0. β) να αποδείξετε ότι η κλίση της εφαπτοµένης της Ερωτήσεις ανάπτυξης. ** Η συνάρτηση είναι παραγωγίσιµη στο R και η ευθεία (ε) είναι εφαπτοµένη της C στο σηµείο (0, (0)). Μετακινούµε τη C παράλληλα προς τους άξονες, όπως φαίνεται στο σχήµα, και ονοµάζουµε

Διαβάστε περισσότερα

0. Η ) λέγεται επιτάχυνση του κινητού τη χρονική στιγμή t 0 και συμβολίζεται με t ). Είναι δηλαδή : t ) v t ) S t ).

0. Η ) λέγεται επιτάχυνση του κινητού τη χρονική στιγμή t 0 και συμβολίζεται με t ). Είναι δηλαδή : t ) v t ) S t ). Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΡΥΘΜΟΣ ΜΕΤΑΒΟΛΗΣ 8 ΟΡΙΣΜΟΣ Τι λέμε ρυθμό μεταβολής του μεγέθους y ως προς το μέγεθος για, αν y f( είναι παραγωγίσιμη συνάρτηση ; Απάντηση : Αν δύο μεταβλητά μεγέθη, y συνδέονται

Διαβάστε περισσότερα

x R, να δείξετε ότι: i)

x R, να δείξετε ότι: i) ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Έστω μια συνάρτηση f παραγωγίσιμη στο R για την οποία ισχύουν: f ( ), f ( ) για κάθε R και f ( ) f ( ) α) Να βρείτε τον τύπο της f για κάθε R g( ) β) Αν g είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΙΟΥ-ΙΟΥΝΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ. 1 ο δείγμα

ΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΙΟΥ-ΙΟΥΝΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ. 1 ο δείγμα ΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΙΟΥ-ΙΟΥΝΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ 1 ο δείγμα Α1 Αν α> με α 1 τότε για οποιουσδήποτε θ1, θ> να αποδείξετε ότι ισχύει: logα(θ1θ) = logαθ1 + logαθ Α Πότε ένα πολυώνυμο

Διαβάστε περισσότερα

f( ) + f( ) + f( ) + f( ). 4 γ) υπάρχει x 2 (0, 1), ώστε η εφαπτοµένη της γραφικής παράστασης της

f( ) + f( ) + f( ) + f( ). 4 γ) υπάρχει x 2 (0, 1), ώστε η εφαπτοµένη της γραφικής παράστασης της ΘΕΜΑΤΑ. Η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιµη στο κλειστό διάστηµα [, ] και ισχύει f () > για κάθε (, ). Αν f() και f(), να δείξετε ότι: α. η ευθεία y τέµνει τη γραφική παράσταση της f σ' ένα ακριβώς σηµείο

Διαβάστε περισσότερα

(, ) ( x0, ), τότε να αποδείξετε ότι το. x, στο οποίο όμως η f είναι συνεχής. Αν f ( x) 0 στο

(, ) ( x0, ), τότε να αποδείξετε ότι το. x, στο οποίο όμως η f είναι συνεχής. Αν f ( x) 0 στο Λύσεις θεμάτων ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ -4- Πανελλαδικών Εξετάσεων 6 Στο μάθημα: «Μαθηματικά Προσανατολισμού Θετικών Σπουδών και Σπουδών Οικονομίας και Πληροφορικής» Γ Λυκείου, /4/6 ΘΕΜΑ ο Α Πότε λέμε ότι μία συνάρτηση

Διαβάστε περισσότερα

1.8 ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

1.8 ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΟΡΙΟ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 73 8 ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ρισμός της συνέχειας Έστω οι συναρτήσεις g h παρακάτω σχήματα των οποίων οι γραφικές παραστάσεις δίνονται στα C h 6 l ( C l g( C g l l (a Παρατηρούμε ότι:

Διαβάστε περισσότερα

Γ. ΛΥΚΕΙΟΥ. Μαθηματικά θετικής τεχνολογικής κατεύθυνσης. Θ. Κουτσανδρέας

Γ. ΛΥΚΕΙΟΥ. Μαθηματικά θετικής τεχνολογικής κατεύθυνσης. Θ. Κουτσανδρέας Γ. ΛΥΚΕΙΟΥ Μαθηματικά θετικής τεχνολογικής κατεύθυνσης ΑΝΑΛΥΣΗ ΚΕΦ. Ο ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ Θ. Κουτσανδρέας Γεράσιμος Κεφ. ο Διαφορικός Λογισμός Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ Παράγωγος αριθμός στο o R Έστω συνάρτηση

Διαβάστε περισσότερα

2.8. Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας A Οµάδας. 1.i)

2.8. Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας A Οµάδας. 1.i) 1.8 Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 77 79 A Οµάδας 1.i) Να βρείτε τα διαστήµατα στα οποία η συνάρτηση () 5 5 4 + είναι κυρτή ή κοίλη και να προσδιορίσετε (αν υπάρχουν) τα σηµεία καµπής της γραφικής της

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ - ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ. (εκπαιδευτικό υλικό Θετικής κατεύθυνσης ) ΜΕΡΟΣ Α : ΑΛΓΕΒΡΑ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ - ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ. (εκπαιδευτικό υλικό Θετικής κατεύθυνσης ) ΜΕΡΟΣ Α : ΑΛΓΕΒΡΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ - ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ (εκπαιδευτικό υλικό Θετικής κατεύθυνσης 999-000) ΜΕΡΟΣ Α : ΑΛΓΕΒΡΑ Κεφάλαιο ο: ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό - Λάθος».

Διαβάστε περισσότερα

ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 10: ΕΥΡΕΣΗ ΤΟΠΙΚΩΝ ΑΚΡΟΤΑΤΩΝ

ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 10: ΕΥΡΕΣΗ ΤΟΠΙΚΩΝ ΑΚΡΟΤΑΤΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΕΥΡΕΣΗ ΤΟΠΙΚΩΝ ΑΚΡΟΤΑΤΩΝ [Ενότητα Προσδιορισμός των Τοπικών Ακροτάτων - Θεώρημα Εύρεση Τοπικών Ακροτάτων του κεφ..7 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΑΣΚΗΣΕΙΣ Άσκηση.

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 2ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ 2ο ΜΕΡΟΣ

Κεφάλαιο 2ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ 2ο ΜΕΡΟΣ Κεφάλαιο ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ο ΜΕΡΟΣ Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό - Λάθος». * Αν η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο R και f (α) f (β), α, β R, α < β, τότε ισχύει f () για κάθε (α, β). Σ Λ. * Αν η συνάρτηση

Διαβάστε περισσότερα

f( x 1, x ( ) ( ) f x > f x. ( ) ( )

f( x 1, x ( ) ( ) f x > f x. ( ) ( ) MONOTONIA ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΜΜΕΤΡΙΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ I MONOTONIA ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΘΕΩΡΙΑ Στο διπλανό σχήµα δίνεται η γραφική παράσταση µιας συνάρτησης f στο α,β Παρατηρούµε ότι διάστηµα [ ] καθώς αυξάνουν οι τιµές του

Διαβάστε περισσότερα

1 x και y = - λx είναι κάθετες

1 x και y = - λx είναι κάθετες Κεφάλαιο ο: ΕΥΘΕΙΑ Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό-Λάθος» 1. * Συντελεστής διεύθυνσης μιας ευθείας (ε) είναι η εφαπτομένη της γωνίας που σχηματίζει η ευθεία (ε) με τον άξονα. Σ Λ. * Ο συντελεστής διεύθυνσης

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Ο ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Ο ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΕΠΑΛ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ Επιμέλεια : Παλαιολόγου Παύλος Μαθηματικός ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο : ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ : ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΙΜΗ

Διαβάστε περισσότερα

Κώστας Γλυκός ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ. Γενικής κεφάλαιο 1 Κατεύθυνση Κεφάλαιο 2 Κατεύθυνση σχολικές ασκήσεις 287 ασκήσεις και τεχνικές σε 18 σελίδες. Kglykos.

Κώστας Γλυκός ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ. Γενικής κεφάλαιο 1 Κατεύθυνση Κεφάλαιο 2 Κατεύθυνση σχολικές ασκήσεις 287 ασκήσεις και τεχνικές σε 18 σελίδες. Kglykos. Κώστας Γλυκός Γενικής κεφάλαιο Κατεύθυνση Κεφάλαιο Κατεύθυνση σχολικές ασκήσεις 87 ασκήσεις και τεχνικές σε 8 σελίδες Ι δ ι α ί τ ε ρ α μ α θ ή μ α τ α 6 9 7 0 0 8 8 8 8 Kglykosgr / / 0 6 εκδόσεις Καλό

Διαβάστε περισσότερα

V. Διαφορικός Λογισμός. math-gr

V. Διαφορικός Λογισμός. math-gr V Διαφορικός Λογισμός Παντελής Μπουμπούλης, MSc, PhD σελ blospotcom, bouboulismyschr ΜΕΡΟΣ Η έννοια της Παραγώγου Α Ορισμός Εφαπτομένη καμπύλης συνάρτησης: Έστω μια συνάρτηση και A, ένα σημείο της C Αν

Διαβάστε περισσότερα

Ι. Πραγματικές ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ πραγματικής μεταβλητής (έως και ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗ)

Ι. Πραγματικές ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ πραγματικής μεταβλητής (έως και ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗ) Ι. Πραγματικές ΥΝΑΡΤΗΕΙ πραγματικής μεταβλητής (έως και ΑΝΤΙΤΡΟΦΗ). Η γραφική παράσταση της συνάρτησης f βρίσκεται κάτω από τον άξονα.. Δίνεται η συνάρτηση = f (). Οι τετμημένες των σημείων τομής της C

Διαβάστε περισσότερα

20 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ - ΟΡΙΣΜΟΙ

20 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ - ΟΡΙΣΜΟΙ ΕΚΔΣΕΙΣ ΚΕΛΑΦΑ 19 Μιγαδικός αριθμός λέγεται η έκφραση α + i, με α, ΙR. Φανταστικός αριθμός λέγεται η έκφραση i, με ΙR. Αν z = α + i, α, ΙR, το α λέγεται πραγματικό μέρος του z. Αν z = α + i, α, ΙR, το

Διαβάστε περισσότερα

lim lim ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ 1. Tι ορίζουμε ως εφαπτομένης της C f στο σημείο της A x, f ( )); Έστω f μια συνάρτηση και A x, f ( )) ένα σημείο της C

lim lim ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ 1. Tι ορίζουμε ως εφαπτομένης της C f στο σημείο της A x, f ( )); Έστω f μια συνάρτηση και A x, f ( )) ένα σημείο της C ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ. Tι ορίζουμε ως εφαπτομένης της C στο σημείο της A, ( ; ( Έστω μια συνάρτηση και A, ( ένα σημείο της C. Αν υπάρχει το ( ( ( lim και είναι ένας πραγματικός αριθμός λ, τότε ορίζουμε ως

Διαβάστε περισσότερα

Ερωτήσεις αντιστοίχισης

Ερωτήσεις αντιστοίχισης Ερωτήσεις αντιστοίχισης. * Σε κάθε γραφική παράσταση C f της στήλης Α του πίνακα Ι να αντιστοιχίσετε τη γραφική παράσταση C f από τη στήλη Β, συµπληρώνοντας τον πίνακα ΙΙ. : C f : C f. - α. 2. β. 2π 3.

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ - ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο Εξισώσεις - Ανισώσεις ευτέρου Βαθµού

ΑΛΓΕΒΡΑ - ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο Εξισώσεις - Ανισώσεις ευτέρου Βαθµού ΑΛΓΕΒΡΑ - ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο Εξισώσεις - Ανισώσεις ευτέρου Βαθµού 108 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΝΑΠΤΥΞΗΣ 1. Να λυθεί η εξίσωση: 1 1 1 ( x+ )(x ) = x 3 3 9. Αν η εξίσωση (x - 3) λ + 3 = λ x έχει ρίζα τον αριθµό, να υπολογιστεί

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ σε μια σελίδα Α4 ανά έτος.. προσαρμοσμένα στις επιταγές του ΔΝΤ (IMF:.4o μεσοπρόθεσμο.) ( WWF:.εξοικονόμηση πόρων.

ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ σε μια σελίδα Α4 ανά έτος.. προσαρμοσμένα στις επιταγές του ΔΝΤ (IMF:.4o μεσοπρόθεσμο.) ( WWF:.εξοικονόμηση πόρων. ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ σε μια σελίδα Α4 ανά έτος.. προσαρμοσμένα στις επιταγές του ΔΝΤ (IMF:.4o μεσοπρόθεσμο.) ( WWF:.εξοικονόμηση πόρων.) ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ TEXΝΟΛΟΓ. 5... ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

β = (9, x) να είναι ΤΕΤΡΑΚΤΥΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΕΣΗΣ ΕΚΠΑΙ ΕΥΣΗΣ Αµυραδάκη 20, Νίκαια ( ) ΤΑΞΗ...Β ΛΥΚΕΙΟΥ... ΜΑΘΗΜΑ...ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤ/ΣΗΣ...

β = (9, x) να είναι ΤΕΤΡΑΚΤΥΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΕΣΗΣ ΕΚΠΑΙ ΕΥΣΗΣ Αµυραδάκη 20, Νίκαια ( ) ΤΑΞΗ...Β ΛΥΚΕΙΟΥ... ΜΑΘΗΜΑ...ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤ/ΣΗΣ... Αµυραδάκη 0, Νίκαια (104903576) ΝΟΕΜΒΡΙΟΣ 01 ΘΕΜΑ 1 ο i) Αν Α( x 1, y 1 ) και Β(x, y ) δυο σηµεία του καρτεσιανού επιπέδου και (x, y) οι συντεταγµένες του µέσου Μ του ΑΒ, να αποδείξετε ότι : x 1 + x x

Διαβάστε περισσότερα

Α1. Να διατυπωθεί και να δοθεί η γεωµετρική ερµηνεία του θεωρήµατος Μέσης Τιµής του ιαφορικού Λογισµού. (3 µονάδες)

Α1. Να διατυπωθεί και να δοθεί η γεωµετρική ερµηνεία του θεωρήµατος Μέσης Τιµής του ιαφορικού Λογισµού. (3 µονάδες) Α Να διατυπωθεί και να δοθεί η γεωµετρική ερµηνεία του θεωρήµατος Μέσης Τιµής του ιαφορικού Λογισµού Α Έστω µια συνάρτηση ορισµένη σε ένα διάστηµα Αν η είναι συνεχής στο και ( ) = για κάθε εσωτερικό σηµείο

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΩΣΤΟΥ ΛΑΘΟΥΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Γ ΓΕΝΙΚΗΣ ΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΩΣΤΟΥ ΛΑΘΟΥΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Γ ΓΕΝΙΚΗΣ ΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΩΣΤΟΥ ΛΑΘΟΥΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Γ ΓΕΝΙΚΗΣ 1 ΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ 1. Ένα σηµείο Α(χ, ψ) ανήκει στη γραφική παράσταση της f αν f(ψ)=χ. 2. Αν µια συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα σε ένα διάστηµα A,

Διαβάστε περισσότερα

F είναι ίσος µε ν. i ÏÅÖÅ ( ) h 3,f 3.

F είναι ίσος µε ν. i ÏÅÖÅ ( ) h 3,f 3. Επαναληπτικά Θέµατα ΟΕΦΕ 0 Γ' ΤΑΞΗ ΓΕΝ. ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΘΕΜΑ A ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ Α. Για δύο συµπληρωµατικά ενδεχόµενα Α και A ενός δειγµατικού χώρου Ω να P A = P A.

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. Να μελετήσετε ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα τις παρακάτω συναρτήσεις: f (x) = 0 x(2ln x + 1) = 0 ln x = x = e x =

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. Να μελετήσετε ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα τις παρακάτω συναρτήσεις: f (x) = 0 x(2ln x + 1) = 0 ln x = x = e x = ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 0: ΕΥΡΕΣΗ ΤΟΠΙΚΩΝ ΑΚΡΟΤΑΤΩΝ [Ενότητα Προσδιορισμός των Τοπικών Ακροτάτων - Θεώρημα Εύρεση Τοπικών Ακροτάτων του κεφ..7 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ - ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο Εξισώσεις - Ανισώσεις Δευτέρου Βαθμού

ΑΛΓΕΒΡΑ - ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο Εξισώσεις - Ανισώσεις Δευτέρου Βαθμού ΑΛΓΕΒΡΑ - ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο Εξισώσεις - Ανισώσεις Δευτέρου Βαθμού 97 98 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΝΑΠΤΥΞΗΣ 1. Να λυθεί η εξίσωση: 1 1 1 ( x+ )(x ) = x 3 3 9. Αν η εξίσωση (x - 3) λ + 3 = λ x έχει ρίζα τον αριθμό, να υπολογιστεί

Διαβάστε περισσότερα

Ρ Υ Θ Μ Ο Σ Μ Ε Τ Α Β Ο Λ Η Σ

Ρ Υ Θ Μ Ο Σ Μ Ε Τ Α Β Ο Λ Η Σ Ρ Υ Θ Μ Ο Σ Μ Ε Τ Α Β Ο Λ Η Σ Ο Ρ Ι Σ Μ Ο Ι ) Αν δύο μεταβλητά μεγέθη χ, ψ συνδέονται με την σχέση ψ = f ( χ ), όταν f μία παραγωγίσιμη συνάρτηση στο χ 0, τότε ονομάζουμε ρυθμό μεταβολής του ψ ως προς

Διαβάστε περισσότερα

ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΛΥΣΕΙΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ 2017

ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΛΥΣΕΙΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ 2017 ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΛΥΣΕΙΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ 7 ΘΕΜΑ Α A Έστω συνάρτηση f, η οποία είναι συνεχής σε ένα διάστημα Δ Αν f σε κάθε εσωτερικό σημείο του Δ, τότε να αποδείξετε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ( ) ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ - Γ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ( ) ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ - Γ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ (-6-) ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ - Γ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ ο : Α. Αν η συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη σ ένα σημείο του πεδίου ορισμού της, να γραφεί η εξίσωση της εφαπτομένης της

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Β. 0και 4 x 3 0.

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Β. 0και 4 x 3 0. ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 1: ΕΝΝΟΙΑ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ. IΣΟΤΗΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ - ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΣΥΝΘΕΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ [Ενότητα

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ. Γ. Το µέτρο της διαφοράς δύο µιγαδικών αριθµών είναι ίσο µε την απόσταση των εικόνων τους στο µιγαδικό επίπεδο.

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ. Γ. Το µέτρο της διαφοράς δύο µιγαδικών αριθµών είναι ίσο µε την απόσταση των εικόνων τους στο µιγαδικό επίπεδο. ΑΡΧΗ ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΤΕΚΝΩΝ ΕΛΛΗΝΩΝ ΤΟΥ ΕΞΩΤΕΡΙΚΟΥ ΚΑΙ ΤΕΚΝΩΝ ΕΛΛΗΝΩΝ ΥΠΑΛΛΗΛΩΝ ΣΤΟ ΕΞΩΤΕΡΙΚΟ ΠΕΜΠΤΗ 6 ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΥ 4 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ (ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ) ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙ ΩΝ:

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 4: ΕΜΒΑΔΟΝ ΕΠΙΠΕΔΟΥ ΧΩΡΙΟΥ [Κεφ.3.7 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΑΣΚΗΣΕΙΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 4: ΕΜΒΑΔΟΝ ΕΠΙΠΕΔΟΥ ΧΩΡΙΟΥ [Κεφ.3.7 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΕΜΒΑΔΟΝ ΕΠΙΠΕΔΟΥ ΧΩΡΙΟΥ [Κεφ..7 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Β Άσκηση. Να υπολογίσετε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική

Διαβάστε περισσότερα

Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α

Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α ΤΑΞΗ: ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ: ΜΑΘΗΜΑ: Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑ Α ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ Α. Έστω µια συνάρτηση f παραγωγίσιµη σ ένα διάστηµα (α, β), µε εξαίρεση ίσως ένα σηµείο του, στο

Διαβάστε περισσότερα