ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ"

Transcript

1 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΘΕΜΑ Α Ερώτηση θεωρίας Αν η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο R και c είναι μια πραγματική σταθερά, να δείξετε ότι: ( c f) = c f, Έστω F = c f Έχουμε F( + h) F = c f( + h) c f = c[ f( + h) f] Για h 0 έχουμε: F( + h) F f( + h) f = c h h Επομένως F( + h) F f( + h) f lim = lim c cf h 0 h h 0 = h Άρα ( cf ) = cf

2 Ερώτηση θεωρίας α) Να αποδείξετε ότι η παράγωγος της συνάρτησης f β) Τι ορίζουμε στιγμιαία ταχύτητα ενός κινητού; = είναι f = α) Έχουμε f( + h) f = ( + h) = h Για h 0 έχουμε: f( + h) f h = = h h Επομένως f( + h) f lim = lim= h 0 h h 0 Άρα ( ) = β) Την οριακή τιμή της μέσης ταχύτητας ενός κινητού την ονομάζουμε στιγμιαία ταχύτητα του κινητού στη χρονική στιγμή t 0 ή απλώς ταχύτητα του κινητού στο t 0, δηλαδή υ St ( + h) St S h h = lim 0 0 = lim h 0 h 0

3 Ερώτηση θεωρίας α) Αν οι συναρτήσεις f και g είναι παραγωγίσιμες να δείξετε ότι: ( f + g) = f + g β) Τι εκφράζει η παράγωγος μιας συνάρτησης f σ ένα σημείο 0 του πεδίου ορισμού της; α) Έστω η συνάρτηση F = f + g Έχουμε F( + h) F = [ f( + h) + g( + h)] [ f + g] = ( f( + h) f) + ( g ( + h) g ) Για h 0 έχουμε: F( + h) F ( f( + h) f) + ( g( + h) g) = = h h f( + h) f g ( + h) g + h h Επομένως F( + h) F f( + h) f g( + h) g lim = lim + lim = h 0 h h 0 h h 0 h f + g Άρα ( f + g) = f + g β) Η παράγωγος μιας συνάρτησης f σ ένα σημείο 0 του πεδίου ορισμού της εκφράζει το ρυθμό μεταβολής του y = f ως προς, όταν = 0

4 Ερώτηση θεωρίας 4 α) Να αποδείξετε ότι η παράγωγος της σταθερής συνάρτησης σταθερά, ισούται με μηδέν β) Πότε μια συνάρτηση f με πεδίο ορισμού A λέγεται συνεχής; γ) Να παραγωγίσετε τις παρακάτω συναρτήσεις: f = c, όπου c πραγματική = ( + ) 8 4, g = + 5, h = e ηµ, ϕ = 5 + ln και s f = ηµ α) Έχουμε f ( + h) f = c c= 0 και για h 0, ( + ) f h f h = 0, οπότε και lim h 0 ( + ) f h f h = 0 Άρα ( c ) = 0 β) Μια συνάρτηση f με πεδίο ορισμού το σύνολο A λέγεται συνεχής αν για κάθε 0 ισχύει lim f f ( ) 0 = 0 A, γ) ( ) ( ) f = + = + + = +, = + = + = +, g h = e ηµ = e ηµ + e ηµ = e ηµ + e συν, = 4 + = 4 + = 4 + = =, ϕ 5 ln 5 ln ηµ ηµ ηµ συν s = = = ηµ ηµ ηµ 4

5 Ερώτηση θεωρίας 5 Δίνεται μια συνάρτηση f με πεδίο ορισμού το A Πότε θα λέμε ότι η f παρουσιάζει στο A τοπικό μέγιστο; Μια συνάρτηση f με πεδίο ορισμού το A λέμε ότι παρουσιάζει στο όταν f f ( ) για κάθε σε μια περιοχή του A τοπικό μέγιστο, 5

6 Ερώτηση θεωρίας 6 Πότε λέμε ότι μια συνάρτηση f με πεδίο ορισμού το Α, παρουσιάζει τοπικό ελάχιστο στο 0 A; Η συνάρτηση f με πεδίο ορισμού το A, λέμε ότι παρουσιάζει τοπικό ελάχιστο στο 0 A, όταν f f( 0 ) για κάθε σε μια περιοχή του 0 6

7 Ερώτηση θεωρίας 7 Έστω η συνάρτηση f με πεδίο ορισμού το A Πώς ορίζεται η (πρώτη) παράγωγος της f ; Αν Β είναι το σύνολο των A στα οποία η f είναι παραγωγίσιμη τότε ορίζεται μια νέα συνάρτηση, με την οποία κάθε B αντιστοιχίζεται στο f( + h) f f = lim h 0 h Η συνάρτηση αυτή λέγεται (πρώτη) παράγωγος της f και συμβολίζεται με f 7

8 Ερώτηση θεωρίας 8 α) Πότε μια συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο σημείο 0 του πεδίου ορισμού της; β) Να αποδείξετε ότι η παράγωγος της συνάρτησης f f = = είναι ίση με α) Μια συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο σημείο 0 του πεδίου ορισμού της αν το όριο f( 0 + h) f( 0) lim υπάρχει και είναι πραγματικός αριθμός h 0 h β) Έστω η συνάρτηση f = Έχουμε f( h) f ( h) h h h h + = + = + + = + Για h 0, είναι f( + h) f ( + h) h = = + h h h Επομένως, f( + h) f lim = lim ( + h ) = h 0 h h 0 Άρα ( ) = 8

9 Ερώτηση θεωρίας 9 Γράψτε τις παραγώγους των παρακάτω συναρτήσεων: f = ν, όπου ν φυσικός g = e, όπου πραγματικός h = ln, όπου > 0 t = συν, όπου πραγματικός =, f ν ν g = e, h =, t = ηµ 9

10 Ερώτηση θεωρίας 0 Γράψτε τις παραγώγους των παρακάτω συναρτήσεων: cf ( ), f g, f g με g 0 και c = σταθερά ( c f) = c f, [ ] f g = f g + f g, f f g f g = g g 0

11 ΘΕΜΑ Β Άσκηση Δίνεται η συνάρτηση 4 f = e + Nα βρεθεί: α) Η πρώτη παράγωγος της συνάρτησης f β) Να αποδειχθεί ότι f + ( 4) f = 0 γ) Να δείξετε ότι το μέγιστο της συνάρτησης f είναι το 4 e α) f = ( e ) = e ( + 4 ) = ( + 4) e β) = + + = f ( 4) f 0 ( 4) e ( 4) e 0 4 ( ) e + = 0 0 = 0 που ισχύει γ) 4 = + = και επειδή f 0 ( 4) e e + 0, + 4= 0 = Η παράγωγος γίνεται θετική όταν + 4> 0 > 4 < και αρνητική όταν + 4< 0 < 4 > O πίνακας προσήμων της παραγώγου διαμορφώνεται ως εξής: Από τον πίνακα φαίνεται ότι η συνάρτηση για = έχει μέγιστο το f() = e = e

12 Άσκηση Ένα τρίγωνο ΑΒΓ μεταβάλλεται έτσι ώστε το άθροισμα της βάσης του ΒΓ και του ύψους του ΑΔ να είναι 0cm α) Να δείξετε ότι το εμβαδόν του τριγώνου συναρτήσει της βάσης του ΒΓ= είναι E = 0 β) Να βρείτε το μήκος της βάσης του ΒΓ ώστε το εμβαδόν του τριγώνου να είναι μέγιστο Στην περίπτωση αυτή να υπολογίσετε το εμβαδόν του τριγώνου α) Το εμβαδόν του τριγώνου είναι E = BΓ A Αν ονομάσουμε τη βάση ΒΓ= τότε επειδή ΒΓ+ ΑΔ=0 έχουμε +AΔ=0, AΔ=0- με > 0 και A = 0 > 0 0 > άρα 0 < < 0 Οπότε το εμβαδόν γράφεται E = 0, 0,0 E = (0 ) = (0 ), άρα β) Για να βρούμε το μήκος της βάσης ΒΓ του τριγώνου για το οποίο το εμβαδόν του είναι μέγιστο, πρώτα βρίσκουμε την παράγωγο της συνάρτησης Ε() E = (0 ), E = 0 Στη συνέχεια βρίσκουμε τις ρίζες της παραγώγου, δηλαδή λύνουμε την εξίσωση E = 0 Από την E = 0 0 = 0 = 0 cm Κατόπιν φτιάχνουμε πίνακα προσήμων της παραγώγου Από τον πίνακα διαπιστώνουμε ότι το εμβαδόν του τριγώνου γίνεται μέγιστο όταν η βάση του ΒΓ==0 cm Το εμβαδόν του τριγώνου στην περίπτωση αυτή είναι E(0) = = = 50 cm

13 Άσκηση Δίνεται η συνάρτηση f 6 α = + με α R α) Να βρείτε την πρώτη παράγωγο της συνάρτησης f β) Να βρείτε τα ακρότατα της συνάρτησης f γ) Να βρείτε το α αν η συνάρτηση έχει τοπικό ελάχιστο ίσο με 5 α) Το πεδίο ορισμού της συνάρτησης είναι το R = + = f ( 6 α) β) f = 0 = 0 ( ) = 0 = 0 ή = 4 Το πρόσημο και η μονοτονία της f φαίνονται στον παρακάτω πίνακα Από τον πίνακα μεταβολών της f διαπιστώνουμε ότι η συνάρτηση παρουσιάζει τοπικό ελάχιστο για = 4, ίσο με f (4) Όμως f = + α = + α = + α (4) f(4) γ) Βρήκαμε στο προηγούμενο ερώτημα ότι f (4) = + α Αλλά f (4) = 5, οπότε + α = 5 α = 7

14 Άσκηση 4 Δίνεται η συνάρτηση f με τύπο f = α 5+, όπου α R α) Αν η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της f στο σημείο της, παράλληλη στην ευθεία y =, τότε να υπολογίσετε το α β) Αν α = i f Να υπολογίσετε το όριο lim ii Να μελετήσετε την f ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα A f είναι = α) Η παράγωγος της συνάρτησης f ισούται με f α 5 Ο συντελεστής διεύθυνσης της εφαπτομένης είναι f α 5 διεύθυνσης της ευθείας y = είναι ίσος με, οπότε ισχύει f = α 5 = α = = και ο συντελεστής β) i ( ) f 5+ lim = lim = lim = lim = Στα προηγούμενα το τριώνυμο 5 + έχει ρίζες τους αριθμούς και άρα 5+ = παραγοντοποιείται ως εξής: ii Έχουμε f = 5+ = 6 5, 5 f = 0 6 5= 0 =, 6 5 f > 0 6 5> 0 > και 6 5 f < 0 6 5< 0 < 6 4

15 5 Άρα η f είναι γνησίως φθίνουσα στο, 6 και γνησίως αύξουσα στο 5, + 6, άρα 5 5 παρουσιάζει ολικό ελάχιστο στο =, το 6 f = 6 5

16 Άσκηση 5 f = e, R Δίνεται η συνάρτηση f με τύπο α Να υπολογίσετε το όριο lim f 0 β Να μελετήσετε την f ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα γ Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της γραφικής παράστασης της f στο σημείο της (, ) A f α Είναι lim f = lim e = lime lim = = β Έχουμε ( ) ( ) ( ) f = e = e + e = e + e = e, > 0 f = 0 e = 0 = 0, e > 0 f > 0 e > 0 > 0 και e > 0 f < 0 e < 0 < 0 e Άρα η f είναι γνησίως φθίνουσα στο (,0] και γνησίως αύξουσα στο [ ) παρουσιάζει ολικό ελάχιστο στο = 0, το f ( 0) = 0, +, άρα 6

17 γ Έχουμε f e = = 0 και f = e= e Η εξίσωση της εφαπτομένης έχει τη μορφή y η εξίσωση της εφαπτομένης γίνεται: y= e+ β () = λ+ β, όπου το λ ισούται με το f, οπότε Επίσης οι συντεταγμένες του σημείου επαφής A(, 0) επαληθεύουν την εξίσωση (), οπότε έχουμε: 0 = e + β β = e, άρα η εξίσωση της εφαπτομένης γίνεται: y= e e 7

18 Άσκηση 6 Με ένα σύρμα μήκους 00cm κατασκευάζουμε ένα ορθογώνιο παραλληλόγραμμο μήκους και πλάτους y α Να εκφράσετε τη διαγώνιο του ορθογωνίου ως συνάρτηση του β Να βρείτε τις διαστάσεις του ορθογωνίου ώστε το μήκος της διαγωνίου να γίνει ελάχιστο Έχουμε το παρακάτω ορθογώνιο Η περίμετρος ισούται με 00 cm, οπότε + y = 00 y = 50 () και επειδή τα μήκη των πλευρών του ορθογωνίου είναι θετικοί αριθμοί, έχουμε y > 0 50 > 0 < 50 και > 0, άρα ( 0,50) Επίσης εφαρμόζουμε το Πυθαγόρειο Θεώρημα στο ορθογώνιο τρίγωνο ΑΔΓ και παίρνουμε d = + y () και αντικαθιστώντας το y από την () στην () έχουμε d d = + 50 = Άρα η συνάρτηση της διαγωνίου του ορθογωνίου είναι d = με ( 0,50) β Παραγωγίζουμε τη συνάρτηση της διαγωνίου και έχουμε d = ( ) = + + Επίσης d = 0 = 5, 8

19 d > 0 > 5 και d < 0 < 5 (αφού >0 ) Έτσι η d είναι γνησίως φθίνουσα στο ( 0, 5 ] και γνησίως αύξουσα στο [ ) 5,50, άρα παρουσιάζει ολικό ελάχιστο στο = 5 Τότε από την () έχουμε ότι y = 5, άρα η διαγώνιος του ορθογωνίου γίνεται ελάχιστη όταν = yδηλαδή όταν είναι τετράγωνο 9

20 Άσκηση 7 Δίνεται η συνάρτηση f k, k 0 παράσταση της συνάρτησης f, τότε: α) Να δείξετε ότι k = = + > Αν το σημείο (, ) M ανήκει στη γραφική β) Να δείξετε ότι f = + γ) Να μελετήσετε την f ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα α) Αφού το σημείο M (, ) ανήκει στη γραφική παράσταση της συνάρτησης f θα ισχύει f() = + k = k + = k > 0 k k k + = = = β) Για k =, έχουμε f = + Πρέπει + 0, που ισχύει για κάθε R Άρα το πεδίο ορισμού της f είναι το R Η παράγωγος της f είναι f = ( + ) = =, R γ) Έχουμε: f = 0 = 0 = > 0 f > 0 > 0 > 0 + Η μονοτονία και τα ακρότατα της f φαίνονται στον παρακάτω πίνακα: Από τον παραπάνω πίνακα προκύπτει ότι η f: 0

21 Είναι γνησίως αύξουσα στο [ 0, + ) Είναι γνησίως φθίνουσα στο (,0] Έχει ελάχιστο το f (0) = 0 + =

22 Άσκηση 8 Δίνεται η συνάρτηση f, με τύπο f = α) Να βρεθεί το πεδίο ορισμού της f β) Να βρείτε τα σημεία τομής της γραφικής παράστασης της f με τους άξονες και yy f γ) Να υπολογιστεί το lim δ) Να βρεθεί η εξίσωση της εφαπτομένης της γραφικής παράστασης της f στο σημείο που αυτή τέμνει τον άξονα α) Πρέπει 0 Άρα το πεδίο ορισμού της f είναι το [ 0, + ) β) Για τα σημεία τομής με τον άξονα, λύνουμε την εξίσωση f = 0 = 0 = = Άρα η γραφική παράσταση της f τέμνει τον άξονα στο σημείο A (, 0) Για το σημείο τομής με τον άξονα yy, έχουμε f (0) = 0 = Άρα η γραφική παράσταση της f τέμνει τον άξονα yy στο σημείο B(0, ) γ) Είναι ( ) ( + ) f lim = lim = lim = + + = lim = lim = ( ) ( + ) ( + ) ( ) ( + ) ( + ) = = = 4 lim ( + ) ( + ) ( + ) ( + ) δ) Το κοινό σημείο της γραφικής παράστασης της f με τον άξονα είναι το A (, 0) (από το β ερώτημα) Η εφαπτομένη είναι η ε : y = λ+ β, με λ = f ( 0 ) = f () ()

23 f = =, > 0 Η παράγωγος της f είναι Έτσι η σχέση () λ = f () = = Επίσης το σημείο A(, 0) ε, άρα ισχύει 0 = λ + β β = λ = Άρα η εξίσωση της εφαπτομένης της γραφικής παράστασης της f στο σημείο Α είναι y =

24 Άσκηση 9 Δίνεται η συνάρτηση f = α ln + βαβ,, R Θεωρούμε ότι η ευθεία ε: y = +, είναι εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της f στο σημείο της B (, ) α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f β) Να βρείτε την παράγωγο της f γ) Αποδείξτε ότι α = και β = δ) Για α = και β =, να μελετηθεί η f ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα α) Πρέπει > 0 Άρα το πεδίο ορισμού είναι το ( 0, + ) β) Η παράγωγος της f είναι f = α ln + α ln = αln + α = αln + α, > 0 γ) Αφού η ευθεία ε : y = + είναι εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της f στο σημείο της B (, ), θα ισχύει: λ = f () = αln + α α = και B, C f() = α ln + β = β = f (ούτως ή άλλως το σημείο Β ανήκει στην ευθεία) δ) Αντικαθιστώντας τις τιμές των α και β που βρέθηκαν στο προηγούμενο ερώτημα, έχουμε f = ln +, > 0 και f = ln +, > 0 f = 0 ln + = 0 ln = = e f > 0 ln + > 0 ln > ln > ln e > e 4

25 Η μονοτονία και τα ακρότατα της f φαίνονται στον παρακάτω πίνακα: Από τον παραπάνω πίνακα προκύπτει ότι η f : Είναι γνησίως αύξουσα στο Είναι γνησίως φθίνουσα στο, + e 0, e Έχει ελάχιστο το f = ln + = + e e e e 5

26 Άσκηση 0 Έστω η συνάρτηση f 0 = α) Να βρείτε το lim h 0 0 ( h) + h β) Βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της γραφικής παράστασης της f στο σημείο με τετμημένη 0 = γ) Βρείτε το lim f α) Η συνάρτηση f ορίζεται στο A = R 0 Έχουμε f () = =, οπότε 0 ( + h) f( + h) f() lim = lim = f (), () h 0 h h 0 h Όμως για κάθε R είναι 00 = 0 και () 0 f f =, () Άρα η () λόγω της () γίνεται lim h 0 0 ( h) 0 + = h β) Έστω y = λ + β η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της f Η εφαπτομένη της C f στο σημείο της με τετμημένη o = έχει συντελεστή διεύθυνσης λ = f = 0 Άρα η εξίσωση της εφαπτομένης είναι της μορφής y = 0 + β Επειδή η εφαπτομένη διέρχεται από το σημείο M, f, δηλαδή από το M (,) σχέση = 0 + β, οπότε β = 00 Άρα η εξίσωση της ζητούμενης εφαπτομένης είναι y = 0 00, ισχύει η γ) f lim = lim = ( ) 009 lim = lim(0 ) = 0 6

27 Άσκηση g Δίνεται η συνάρτηση f με τύπο f = e, όπου g παραγωγίσιμη στο R Αν η γραφική παράσταση της συνάρτησης g διέρχεται από το σημείο Α(0,) και η εφαπτομένη της στο Α είναι παράλληλη στην ευθεία (ε): y = + 0 τότε: α) Να βρεθεί το f (0) β) Να βρεθεί η εξίσωση της εφαπτομένης της καμπύλης της f στο σημείο (0, f (0)) α) Αφού η γραφική παράσταση της g διέρχεται από το σημείο Α(0,), θα ισχύει g (0) = Αφού η εφαπτομένη της συνάρτησης g στο Α(0,) είναι παράλληλη στην ευθεία (ε), τότε g (0) = g (0) = λ ε Για κάθε R είναι Άρα f (0) = e () g f = e g και για = 0, έχουμε = = = g (0) f (0) e g (0) e e β) Η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της f, στο σημείο της με τετμημένη 0 = 0 δίνεται από τον τύπο y = α+ βαβ,, R, () Για να την προσδιορίσουμε, αρκεί να υπολογίσουμε τους αριθμούς αβ, Ξέρουμε ότι: () A= f (0) = e, () οπότε η () από () γίνεται: y = e + β, (4) Το σημείο επαφής είναι το ( 0, (0)) g (0) A f ή A( 0, e ) ή ( 0, ) A e Επειδή το σημείο A ανήκει στην εφαπτομένη, οι συντεταγμένες του θα επαληθεύουν την εξίσωσή της (4), οπότε έχουμε: e= e 0 + β β = e Οπότε η εξίσωση της εφαπτομένης είναι y = e + e 7

28 Άσκηση Η εφαπτομένη (ε) της γραφικής παράστασης μιας παραγωγίσιμης συνάρτησης f στο σημείο της M (, ) σχηματίζει με τον άξονα γωνία 0 o α) Να βρείτε την τιμή f () β) Να υπολογίσετε το συντελεστή διεύθυνσης της ευθείας (ε) γ) Να υπολογίσετε το όριο lim h 0 f( + h) h α) Το σημείο M (, ) ανήκει στη γραφική παράσταση της συνάρτησης f, άρα ισχύει: f () = () β) Η ευθεία (ε) σχηματίζει με τον άξονα γωνία 0 o, άρα έχει συντελεστή διεύθυνσης o λ = f () = εϕ0 = () γ) Είναι: f( + h) f( + h) f() lim = lim = f () = h 0 h h 0 h 8

29 Άσκηση ΘΕΜΑ Γ Ένας ποδοσφαιριστής αφού τοποθετήσει τη μπάλα στο έδαφος την κλωτσά με δύναμη προς τα πάνω Η τροχιά που διαγράφει η μπάλα υποθέτουμε ότι δίνεται από τη συνάρτηση f( t) = 8t 5t (όπου t ο χρόνος σε sec) α) Να εκφράσετε την ταχύτητα της μπάλας συναρτήσει του χρόνου β) Να υπολογίσετε την ταχύτητα της μπάλας για t = sec και t = sec Πως ερμηνεύετε τα πρόσημα; γ) Σε ποια χρονική στιγμή η μπάλα ξαναβρίσκεται στο έδαφος; δ) Ποιο είναι το μέγιστο ύψος στο οποίο έφτασε η μπάλα; α) Η ταχύτητα u της μπάλας συναρτήσει του χρόνου t δίνεται από την παράγωγο της συνάρτησης f() t ut () = f'() t = (8t 5 t)' ut = 8 0t () β) Από την () για t =, έχουμε u() = 8 0 = 8 m/ sec Το θετικό πρόσημο της ταχύτητας φανερώνει ότι η μπάλα τη χρονική στιγμή t = sec κινείται στη θετική κατεύθυνση (προς τα πάνω) για t =, έχουμε u() = 8 0 = m/ sec Τo αρνητικό πρόσημο της ταχύτητας φανερώνει ότι η μπάλα τη χρονική στιγμή t = sec κινείται στην αρνητική κατεύθυνση (προς τα κάτω) γ) Η μπάλα βρίσκεται στο έδαφος όταν f() t = 0 Από την f() t = 0 8t 5t = 0 t(8 5 t) = 0, t = 0sec ή 8 5t = 0 t =, 6sec Άρα η μπάλα βρίσκεται στο έδαφος στην αρχή του χρόνου, όταν δηλαδή από, 6sec Άρα t [0,6] t = 0sec, και μετά δ) Για να βρούμε το μέγιστο ύψος στο οποίο έφτασε η μπάλα πρώτα θα βρούμε τις ρίζες της παραγώγου της συνάρτησης f Δηλαδή θα λύσουμε την εξίσωση f '( t ) = 0 8 Από την f '( t ) = 0 8 0t = 0 t = =,8sec 0 Στη συνέχεια φτιάχνουμε πίνακα προσήμων της παραγώγου λαμβάνοντας υπ όψιν ότι ο χρόνος που κινήθηκε η μπάλα ήταν από 0 έως, 6sec 9

30 Από τον πίνακα φαίνεται ότι η μπάλα έφτασε στο μέγιστo ύψος όταν ήταν f(,8) = 8(,8) 5(,8) =, 4 6, = 6, m t =,8sec και αυτό 0

31 Άσκηση Ο πληθυσμός μιας χώρας δίνεται για μια περίοδο 50 ετών από τη συνάρτηση Π(t) = - t + t χρονική στιγμή t = 0 αντιστοιχεί στην αρχή του έτους 960 (σε εκατομμύρια), όπου t [ 0,50] είναι ο χρόνος σε έτη και η α) Πόσος ήταν ο πληθυσμός στην αρχή της περιόδου και πόσος στο τέλος; β) Να βρείτε τη μέγιστη τιμή του πληθυσμού στην περίοδο αυτή των 50 ετών Σε ποιο έτος προέκυψε αυτή; γ) Ποιος ήταν ο ρυθμός μεταβολής του πληθυσμού στα μέσα της χρονικής αυτής περιόδου δηλαδή όταν t = 5; α) Στην αρχή της περιόδου ( t = 0) δηλαδή το 960, ο πληθυσμός της χώρας ήταν Π(0) = = 0 εκατομμύρια κάτοικοι 00 5 Στο τέλος της περιόδου ( t = 50) δηλαδή στην αρχή του 00, ο πληθυσμός της χώρας ήταν Π(50) = = 7,5 εκατομμύρια κάτοικοι 00 5 β) Για να βρούμε τη μέγιστη τιμή του πληθυσμού βρίσκουμε πρώτα την παράγωγο της συνάρτησης Π(t) Π (t) = - t + t + 0 = t + = t +, Στη συνέχεια βρίσκουμε τις ρίζες της παραγώγου Δηλαδή λύνουμε την εξίσωση Π () = 0 00 t + = 0 t = t = = 0 έτη H παράγωγος γίνεται θετική όταν t+ > 0 t > 5t > 00 t < 0 και αρνητική όταν t > 0 Κατόπιν φτιάχνουμε πίνακα προσήμων της παραγώγου λαμβάνοντας υπ όψιν ότι η περίοδος του χρόνου κατά την οποία εξετάζουμε τη μεταβολή του πληθυσμού είναι από 0 έως 50 χρόνια, δηλαδή από το 960 έως το 00

32 Η μέγιστη τιμή του πληθυσμού προέκυψε όταν t = 0 δηλαδή, 0 χρόνια από την έναρξη της μέτρησης του χρόνου και αντιστοιχεί στην αρχή του 980 Ο πληθυσμός της χώρας τότε ήταν: Π (0) = = = = εκατομμύρια δ) Ο ρυθμός μεταβολής του πληθυσμού όταν t = 5 είναι η τιμή της παραγώγου της συνάρτησης Π(t) για t = Π '(5) = 5 + = + = + = =

33 Άσκηση Σε ισόπλευρο τρίγωνο ΑΒΓ με πλευρά α = 0cm εγγράφουμε ορθογώνιο ΔΕΖΗ όπως φαίνεται στο σχήμα Αν ΒΕ = α) Να εκφράσετε το εμβαδόν του ορθογωνίου ΔΕΖΗ συναρτήσει του β) Να υπολογίσετε το ρυθμό μεταβολής του εμβαδού του ορθογωνίου όταν = γ) Να βρείτε για ποια τιμή του το εμβαδόν Ε του τριγώνου αυτού γίνεται μέγιστο δ) Ποιές είναι τότε οι διαστάσεις του ορθογωνίου και πόσο είναι το εμβαδόν του α) Αφού το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ισόπλευρο οι γωνίες του θα είναι 60 ο Άρα εϕ60 ο Ε =, Ε = ΒΕ εϕ60 ο, Ε = ΒΕ Επειδή ΒΕ = ZΓ =, ΕΖ = 0 Πρέπει > 0 είναι τo (0,0) και επειδή ΕΖ> 0 0 > 0 0 > άρα το πεδίο ορισμού To εμβαδόν Ε του ορθογωνίου ΔΕΖΗ συναρτήσει του είναι: Ε = (0 ) = (0 ) cm β) Ο ρυθμός μεταβολής του εμβαδού του ορθογωνίου για = είναι Ε ' = (0 )' = 0 4 άρα Ε ' = 0 4 () Για = είναι Ε '() = 0 8 = Άρα ο ρυθμός μεταβολής του εμβαδού όταν = είναι Ε '() = γ) Για να βρούμε για ποια τιμή του το εμβαδόν του ορθογωνίου γίνεται μέγιστο βρίσκουμε της ρίζες της παραγώγου της συνάρτησης Ε, δηλαδή λύνουμε την εξίσωση Ε ' = 0 Από την Ε ' = = 0 = 5cm Στη συνέχεια σχηματίζουμε πίνακα προσήμων της παραγώγου, με την υπενθύμιση ότι 0 < < 0

34 Από τον πίνακα προκύπτει ότι το εμβαδόν γίνεται μέγιστο για = 5cm δ) Αφού το εμβαδόν του ορθογωνίου γίνεται μέγιστο για = 5cm, δηλαδή όταν ΒΕ = ΖΓ = 5cm, η βάση του ορθογωνίου θα είναι τότε ΕΖ = α 5 = 0 0 = 0cm, το Ε(5) 50 δε ύψος του ορθογωνίου Ε θα είναι Ε = = = 5 cm ΕΖ 0 Tο μέγιστο εμβαδόν είναι: Ε (5) = = = 50 cm 4

35 Άσκηση 4 Δίνονται οι συναρτήσεις f, g με τύπους f = + και g = I Να εξετάσετε αν οι συναρτήσεις είναι ίσες II Να βρείτε το όριο lim f III IV Να δείξετε ότι η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα στο πεδίο ορισμού της Να βρείτε τη γωνία που σχηματίζει η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της f στο σημείο της A, f 4 4 I Οι συναρτήσεις f και g έχουν το ίδιο πεδίο ορισμού, το διάστημα [ 0,+ ) Επίσης ( + ) ( ) f = = = = = g άρα f = g, II III Είναι lim f = lim = lim lim = = 0 Υπολογίζουμε την παράγωγο της συνάρτησης f και έχουμε: για > 0, f = ( ) = () =, άρα f > 0 για κάθε > 0, επομένως η f είναι γνησίως αύξουσα στο πεδίο ορισμού της, το διάστημα [ 0,+ ) IV Έχουμε f = = 4 4 5

36 Άρα αν ω είναι η γωνία που σχηματίζει η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της f στο σημείο της A, f 4 4, τότε ισχύει π εφ ω =, άρα ω = 4 6

37 Άσκηση 5 f = 5 + a + 4, όπου a μια πραγματική σταθερά I Να βρείτε το α ώστε ο ρυθμός μεταβολής της f ως προς να μηδενίζεται για = Δίνεται η συνάρτηση II Για a = Να βρείτε για ποια τιμή του ο ρυθμός μεταβολής της f γίνεται ελάχιστος I Ο ρυθμός μεταβολής της f είναι η παράγωγός της, = + + = +, f 5 a 4 0 a οπότε f ' = α = 0 α = II Έχουμε f = 0+, οπότε για να βρούμε σε ποιο σημείο γίνεται ελάχιστος θα πρέπει να βρούμε το ελάχιστο της f Έτσι παραγωγίζουμε την f και έχουμε: f = ( 0+ ) = 6 0 Επίσης 5 f = = 0 =, 5 5 f > > 0 > και f < < 0 < οπότε : 5 η f είναι γνησίως φθίνουσα στο, και γνησίως αύξουσα στο 5, +, άρα 5 παρουσιάζει ολικό ελάχιστο στο = 5 Επομένως ο ρυθμός μεταβολής της f γίνεται ελάχιστος στο = 7

38 Άσκηση 6 Δίνεται η συνάρτηση f ln ( ) = + I Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f II Να υπολογιστεί η παράγωγος της συνάρτησης f III Να μελετήσετε την f ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα IV Να βρείτε το όριο lim f I Για να ορίζεται η f πρέπει + > 0 Όμως το τριώνυμο + έχει διακρίνουσα = ( ) 4 = 8< 0, άρα + > 0 για κάθε, επομένως το πεδίο ορισμού της f είναι όλο το II Η συνάρτηση f προκύπτει αν στη συνάρτηση h ln τη συνάρτηση g = +, δηλαδή είναι f h g παράγωγο έχουμε = αντικαταστήσουμε το με ( ) =, οπότε για την f = h g g = + = + + III Έχουμε f = 0 = 0 =, + f > 0 > 0 > + f < 0 < 0 < + (αφού + > 0 για κάθε ) και 8

39 Άρα η f είναι γνησίως φθίνουσα στο (,] και γνησίως αύξουσα στο [ ) παρουσιάζει ολικό ελάχιστο στο =, το f = ln + = ln,+, άρα IV Ισχύει f = = =, οπότε f lim = lim = =

40 Άσκηση 7 Δίνεται η συνάρτηση f = , f α) Να υπολογιστεί το lim + 8 β) Να βρεθεί το σημείο της γραφικής παράστασης της f στο οποίο η εφαπτομένη έχει τον ελάχιστο συντελεστή διεύθυνσης α) Παραγοντοποιούμε την f( ) με τη βοήθεια του διπλανού σχήματος Horner και έχουμε: ( + ) ( + + 6) lim + 8 ( + ) ( + 4) f = και f lim = = ( ) = lim = = = + 4 ( ) ρ = β) Ο συντελεστής διεύθυνσης της εφαπτομένης της γραφικής παράστασης της συνάρτησης f σε M, f( ), δίνεται από τον τύπο f = + 0+, οποιοδήποτε σημείο Συμβολίζουμε με λ = + 0+, τη συνάρτηση που εκφράζει το συντελεστή διεύθυνσης και μελετάμε τα ακρότατα της Η παράγωγος της συνάρτησης λ είναι λ = 6+ 0, 5 λ = = 0 = 5 λ > > 0 > Η μονοτονία και τα ακρότατα της λ φαίνονται στον παρακάτω πίνακα: Από τον παραπάνω πίνακα προκύπτει ότι η συνάρτηση λ : 40

41 Είναι γνησίως αύξουσα στo Είναι γνησίως φθίνουσα στο 5, + 5, Είναι Έχει ελάχιστο για 5 = f = = = = Άρα ο συντελεστής διεύθυνσης της εφαπτομένης της γραφικής παράστασης της f γίνεται ελάχιστος στο σημείο 5 5 M, f, δηλαδή στο 5 4 M, 7 4

42 Άσκηση 8 Αν η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της συνάρτησης f = + α β+, και α, β, στο σημείο της Μ,, είναι παράλληλη στον άξονα, ' τότε: α) Να δείξετε ότι α = και β = 6 β) Να μελετήσετε την f ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα f γ) Να υπολογίσετε το όριο lim f ( ) + 6 α) Η παράγωγος της f είναι η f = + α β, Το σημείο Μ, ανήκει στη γραφική παράσταση της f, άρα f ( ) = + α + β + = α + β = 9 () Αφού η εφαπτομένη στο σημείο Μ,, είναι παράλληλη στον άξονα, ' θα ισχύει f = 0 α β = 0 α + β = () Αν λύσουμε το σύστημα των εξισώσεων () και () προκύπτει β = 6 και α = β) Αντικαθιστώντας τα α και β από το α) ερώτημα είναι f = 6+, και f = 6, f = 0 6= 0 = 0 = ή = f > 0 6> 0 > 0 () Το πρόσημο του τριωνύμου φαίνεται στον παρακάτω πίνακα: Άρα η ανίσωση () αληθεύει για < ή > Το ίδιο ισχύει και για την f > 0 Η μονοτονία και τα ακρότατα της f φαίνονται στον παρακάτω πίνακα: 4

43 Από τον παραπάνω πίνακα προκύπτει ότι η f : Είναι γνησίως αύξουσα στα διαστήματα (, ] και [, + ) Είναι γνησίως φθίνουσα στο [, ] Έχει τοπικό μέγιστο το f ( ) = ( ) ( ) 6 ( ) + = + 6+ = 7 = και τοπικό ελάχιστο το f = 6 + = = γ) Παραγοντοποιούμε την f = 6+ =, με τη βοήθεια του διπλανού σχήματος Horner και έχουμε: ( ρ = ) f = Τότε είναι: f ( + ) ( 7+ ) ( + ) ( 7+ ) lim = lim = lim = f () lim = = = = ( ) 4

44 Άσκηση 9 λ Θεωρούμε τη συνάρτηση f = e +, και λ α) Να βρείτε τις f και f () β) Να υπολογίσετε τις τιμές του λ για τις οποίες ισχύει f () + f f =, για κάθε γ) Για τη μικρότερη από τις τιμές του λ που βρήκατε στο β) ερώτημα, να μελετήσετε τη μονοτονία και τα ακρότατα της f λ f = e + = λe +, και λ α) Είναι ( λ ) f e λ λ = λ λ = λ e, β) Για κάθε, ισχύει + f f = λ e + λe + e + = λ λ λ f () λ e 0 λ λ λ λ λ e + λe + e = λ + λ e = 0 λ + λ = 0 λ = ή λ = γ) Για λ =, έχουμε f = e +, και f = e +, ln f = 0 e + = 0 e = = ln = ln = f > 0 e + > 0 e > e < ln e < < ln < ln > Η μονοτονία και τα ακρότατα της f φαίνονται στον παρακάτω πίνακα: 44

45 Από τον παραπάνω πίνακα προκύπτει ότι η συνάρτηση f : ln Είναι γνησίως φθίνουσα στο, Είναι γνησίως αύξουσα στο ln, + Έχει ελάχιστο το ln ln ln ln ln ln f = e + = e + = + = ln + 45

46 Άσκηση 0 Έστω η συνάρτηση f με τύπο = α + β + γ, με αβγ,, και α 0 f α) Να βρείτε τις τιμές των αβγ,,, ώστε η γραφική παράσταση της συνάρτησης f να διέρχεται από το σημείο Α(, ) και η κλίση της εφαπτομένης της καμπύλης της f στο σημείο της Β(,0) να είναι ίση με 4 β) Για α =, β = 4 και γ = 0, υπολογίστε το όριο lim f + f ' 4 α) Αφού η γραφική παράσταση της f διέρχεται από το σημείο A(, ), θα ισχύει f () = α + β + γ = () Επίσης το ίδιο θα ισχύει και για το σημείο B (,0), δηλαδή f () = 0 4α + β + γ = 0 () Αφού η κλίση της εφαπτομένης της καμπύλης στο Β (,0) είναι ίση με 4 θα ισχύει f '() = 4 Για κάθε, έχουμε f ' = α+ β Άρα f '() = 4 4α + β = 4, () Αφαιρώντας την () από την () έχουμε α + β = (4) Λύνοντας το σύστημα των () και (4) βρίσκουμε: α = και β = 4, οπότε από την () προκύπτει 4+ γ = γ = 0 β) Για α =, β = 4 και γ = 0 ο τύπος της συνάρτησης είναι: κάθε, έχουμε f ' = 4 4 Τότε f 4 = και για f + f + + lim = lim = lim = lim = lim ' ( 4) ( )( + )( + ) ( )( + )( + ) = lim = lim ( )( + ) = lim[( + )( + )] = 4 = 6 46

47 Άσκηση Δίνεται η συνάρτηση f με τύπο α) Βρείτε το συντελεστή διεύθυνσης λ σημείο της Μ (, f) f = της εφαπτομένης της καμπύλης της f σε κάθε β) Για ποια τιμή του, ο συντελεστής διεύθυνσης λ γίνεται ελάχιστος; f( + h) f( ) γ) Υπολογίστε το όριο lim h 0 h δ) Βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της γραφικής παράστασης της f στο σημείο της με τετμημένη 0 = Επειδή η συνάρτηση f είναι πολυωνυμική,το πεδίο ορισμού της είναι το σύνολο Α= α) Ο συντελεστής διεύθυνσης της εφαπτομένης της καμπύλης της f σε κάθε σημείο της Μ (, f) είναι ο παράγωγος αριθμός f '( ), οπότε έχουμε f ' = ( )' = ' + ( )' (6 )' + (0)' = = λ β) Ζητάμε τις τιμές του για τις οποίες η συνάρτηση λ = + 6 6, έχει ελάχιστο Έχουμε λ = + = + ' ( 6 6) ' 6 6 Λύνουμε την εξίσωση 6 6 f() Η μονοτονία και τα ακρότατα της λ φαίνονται στον παρακάτω πίνακα: 47

48 Από τον παραπάνω πίνακα προκύπτει ότι η λ : Είναι γν φθίνουσα στο (, ] Είναι γν αύξουσα στο [, ), αφού 0 +, αφού 0 Έχει ελάχιστο στο =, το λ( ) = 9 λ < για κάθε (, ) λ > για κάθε (, + ) f( + h) f( ) γ) Από τον ορισμό της παραγώγου μιας συνάρτησης f έχουμε = f h f( + h) f( ) Έτσι έχουμε lim = f '( ) = = 9 h 0 h 0 0 lim '( 0) h 0 δ) Η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της f, σε σημείο της με τετμημένη 0 = δίνεται από τον τύπο y = α+ β, αβ,, () Για να την προσδιορίσουμε, αρκεί να υπολογίσουμε τους αριθμούς αβ, ( γ ) Ξέρουμε ότι: α = f ( ) = 9, () οπότε η () από () γίνεται: y = 9+ β, () Το σημείο επαφής είναι το Α (, f ( )) ή Α (,09) Επειδή το σημείο Α ανήκει στην εφαπτομένη, οι συντεταγμένες του θα επαληθεύουν την εξίσωσή της (), οπότε έχουμε: 09 = 9 + β β = 00 Οπότε η εξίσωση της εφαπτομένης είναι y =

49 Άσκηση Δίνεται η συνάρτηση f με τύπο f = αln + β, > 0 και αβ>, 0 α) Βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της γραφικής παράστασης της f στο σημείο της με τετμημένη 0 = β) Βρείτε τα σημεία Α και Β που η εφαπτομένη τέμνει τους άξονες ' και y' y γ) Βρείτε το εμβαδόν του τριγώνου ΟΑΒ δ) Αν β είναι μέγιστο = ( α ), βρείτε το α ώστε το εμβαδόν ( α) Ε του παραπάνω τριγώνου να Πρέπει > 0, άρα η συνάρτηση f έχει πεδίο ορισμού το σύνολο Α = (0, + ) α) Η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της f, σε σημείο της με τετμημένη = δίνεται από τον τύπο y = κ+ λκλ,, () 0 Η συνάρτηση f έχει παράγωγο την f ' = ( αln + β)' = α(ln )' + β' = α + β Για να την προσδιορίσουμε, αρκεί να υπολογίσουμε τους αριθμούς κλ, Ξέρουμε ότι: y = f '() = α + β, () οπότε η () από () γίνεται: Το σημείο επαφής είναι το A, f() ήa, β Επειδή το σημείο Α ανήκει στην εφαπτομένη, οι συντεταγμένες του θα επαληθεύουν την εξίσωσή της (), οπότε έχουμε: β = ( α + β) + λ λ = α Οπότε η εξίσωση της εφαπτομένης είναι y = α + β α β) Το σημείο τομής της ευθείας y = α + β α με τον άξονα yy βρίσκεται αν θέσουμε, όπου = 0 Το σημείο τομής της ευθείας y = α + β α με τον άξονα βρίσκεται αν θέσουμε όπου y = 0 άρα 0 = α ( α + β) α ( α + β) = α =, α β 0 α + β +, ( α + β > 0 επειδή αβ>, 0) οπότε έχουμε το σημείο A( α,0) α + β ( α β) λ, y = + + άρα y = ( α + β )0 α y = α οπότε έχουμε το σημείο Β ( 0, α ) 49

50 γ) Το τρίγωνο ΟΑΒ είναι ορθογώνιο με τη γωνία Ο= ˆ 90, οπότε το εμβαδόν του τριγώνου α α ( ΟΑ)( ΟΒ ) α + β α ΟΑΒ = = = α και επειδή αβ>, 0 α + β θα έχουμε ΟΑΒ = δ) Για β α ( α + β) = ( α ),το εμβαδόν ΟΑΒ γίνεται Για κάθε α > 0 είναι α α α ΟΑΒ = = = + + α + ( α α + ) α ( α ) α α α ( α ) '( α α + ) α ( α α + ) ' Ε '( α) = ( ) ' = = α α + ( α α + ) ( + ) ( ) + ( α α + ) ( α α + ) α α α α α α α = = Έχουμε α + α Ε = = + = = = ( α α + ) '( α) 0 0 α α 0 α( α) 0 α 0 ή α = Επίσης ' Ε α > α + α > < α < Η μονοτονία και τα ακρότατα φαίνονται στον παρακάτω πίνακα Άρα το εμβαδόν Ε ( α) παρουσιάζει μέγιστο για α = 50

51 Άσκηση Μία βιομηχανία παράγει ηλιακούς θερμοσίφωνες Το κόστος Κ σε ευρώ για την παραγωγή προϊόντων σε μία ημέρα δίνεται κατά προσέγγιση από τον τύπο Κ = , [ 0,50] Αν οι εισπράξεις από την πώληση των προϊόντων δίνονται από τη σχέση Ε = 00, να βρείτε: α) Πόσο είναι το ημερήσιο κόστος αν η βιομηχανία δεν παράγει κανένα προϊόν β) Ποιο είναι το μέγιστο κόστος παραγωγής γ) Το συνολικό αριθμό των προϊόντων που πρέπει να πουληθούν ώστε η βιομηχανία να έχει το μέγιστο κέρδος α) Αν η βιομηχανία δεν παράγει κανένα προϊόν θα έχουμε = 0 προϊόντα, οπότε θα έχουμε 0 Κ (0) = = 00 ευρώ β) Η παράγωγος της Κ = με [ 0,50] είναι K' = (50 )' + (00)' ( )' = 50 = 50 0 K = 50 = 0 = 50 = 50 = 5 = 5 0,50 K > 0 50 > 0 < 50 0 < 50 0 < 5 0 [ ] Η μονοτονία και τα ακρότατα της Κ φαίνονται στον παρακάτω πίνακα 5

52 Από τον παραπάνω πίνακα προκύπτει ότι η K : Είναι γνησίως αύξουσα στο [0,5 ], γιατί K 0 Είναι γνησίως φθίνουσα στο [5,50], γιατί K 0 Έχει μέγιστο το > για κάθε ( 0,5 ) < για κάθε ( 5,50) (5 ) K (5 ) = = = 00 Άρα το μέγιστο συνολικό κόστος είναι και πραγματοποιείται όταν = 5 γ) Το κέρδος δίνεται από τη συνάρτηση P =Ε Κ = 00 ( ) = = Η παράγωγος της P = με [ 0,50] είναι 6 00 P = (50 ) ( ) (00) = = P = = 0 = 00 = 0 [ 0,50] Η μονοτονία και τα ακρότατα της Pφαίνονται στον παρακάτω πίνακα 5

53 Από τον παραπάνω πίνακα προκύπτει ότι η P : Είναι γνησίως αύξουσα στο[0,0], αφού P > 0 για κάθε (0,0) Είναι γνησίως φθίνουσα στο[0,50] αφού P < 0 για κάθε (0,50) Έχει μέγιστο το P(0) = = = 400 = = 6 Άρα το μέγιστο συνολικό κέρδος είναι 700 και πραγματοποιείται όταν 0 = 5

54 Άσκηση 4 Δίνεται η συνάρτηση f : R R, η οποία ικανοποιεί τη σχέση f( + h) f() = h + 8h για κάθε h R α) Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο 0 = με f '() = 8 β) Αν f (4) = 4, τότε: i) Να αποδείξετε ότι f () = 5 ii) Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της γραφικής παράστασης της συνάρτησης f στο σημείο της με τετμημένη 0 = α) Για κάθε h 0 έχουμε: f( + h) f() h + 8 h hh ( + 8) = = = h + 8 h h h Είναι: f( + h) f() lim = lim( h + 8) = 8 h 0 h h 0 Άρα η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο 0 = με f '() = 8 β) i) Η δοθείσα σχέση ισχύει για κάθε h άρα θα ισχύει και για h =, οπότε έχουμε: f (4) = 4 ( ) () 8 (4) () 9 4 () 9 () 5 f + f = + f f = f = f = ii) Η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της f στο σημείο της με τετμημένη = έχει συντελεστή διεύθυνσης λ = f () = 8 0 Άρα η εξίσωση της εφαπτομένης είναι της μορφής y = 8+ β Επειδή η εφαπτομένη διέρχεται από το σημείο Μ (, f ()), δηλαδή από το M (,5), ισχύει η σχέση 5 = 8 + β, οπότε β = 9 Άρα η εξίσωση της ζητούμενης εφαπτομένης είναι y =

55 ΘΕΜΑ Δ Άσκηση Δίνεται η συνάρτηση f = α) Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της στο σημείο Α (9, f (9)) της C f β) Aν η εφαπτομένη τέμνει τους άξονες στα σημεία Β και Γ να υπολογίζετε το μήκος της ΒΓ γ) Από το σημείο Α φέρνουμε κάθετη στον άξονα ' η οποία τον τέμνει στο σημείο Δ Να βρείτε το σημείο της καμπύλης y = το οποίο είναι το πλησιέστερο στο σημείο Δ α) Η συνάρτηση f ορίζεται όταν 0 Άρα το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f είναι: Α = [0, + ) Ο συντελεστής διεύθυνσης της εφαπτομένης της γραφικής παράστασης της συνάρτησης f στο σημείο της Α (9, f (9)) είναι η παράγωγος της συνάρτησης f στο σημείο 0 = 9 Η παράγωγος της συνάρτησης f = είναι: f = ( ) = για κάθε > 0 () Για = 9 από την () έχουμε: f (9) = = 9 Άρα ο συντελεστής διεύθυνσης της εφαπτομένης στο σημείο Α (9, f (9)) είναι λ = Η εφαπτομένη έχει εξίσωση y = + β Επειδή όμως το σημείο Α(9, f (9)) ανήκει στην εφαπτομένη και y = f(9) = 9 = 9, έχουμε: 9 9= 9+ β όπου β = 9 9= Άρα η εξίσωση της εφαπτομένης είναι: 9 y = + β) Από την εξίσωση της εφαπτομένης - για = 0 έχουμε 9 9 y = 0 + = - για y = 0 έχουμε = +, =, = 9 Άρα η εξίσωση της εφαπτομένης τέμνει τους άξονες στα σημεία Γ ( 9,0) Το μήκος της ΒΓ είναι: 9 Β (0, ) και 55

56 ΒΓ = ( 9) + = 8+ = = 4 4 γ) Η κάθετη από το Α στον άξονα τον τέμνει στο σημείο (9,0) Έστω Ε το σημείο της καμπύλης y =, 0 το οποίο είναι το πλησιέστερο στο σημείο Δ Επειδή το σημείο Ε ανήκει στην καμπύλη είναι Ε (, ) Έχουμε ( Ε ) = ( 9) + ( 0) = = 9+ 8 Για να βρούμε τις τιμές του για τις οποίες η συνάρτηση d = 9+ 8 έχει ελάχιστο, βρίσκουμε πρώτα την παράγωγό της Είναι: 9 d = ( 9+ 8) = 9+ 8 Κατόπιν μηδενίζουμε την παράγωγο Έχουμε: 9 d = 0 9= 0 = Στη συνέχεια κατασκευάζουμε πίνακα προσήμων της d 9 από τον οποίο έχουμε ότι η d παρουσιάζει ελάχιστο στο = Άρα το πλησιέστερο σημείο της καμπύλης στο σημείο Δ του οριζόντιου άξονα 9 είναι το E (,9 ) 56

57 Άσκηση Δίνεται η συνάρτηση f = λ + ( µ ), Αν η εφαπτομένη ευθεία στη γραφική παράσταση της συνάρτησης f στο σημείο Α(, 4) είναι παράλληλη στην ευθεία y = 5 6 α) Nα βρεθούν οι τιμές των πραγματικών αριθμών λµ, β) Για λ = και µ = να βρεθούν τα ακρότατα της συνάρτησης α) Αφού το σημείο Α(, 4) είναι σημείο της γραφικής παράστασης της συνάρτησης f οι συντεταγμένες του θα την επαληθεύουν οπότε θα είναι: f () = 4 λ + ( µ ) = 4 4λ + µ = 4 4λ + µ = 8 () Αφού η εφαπτομένη ευθεία στη γραφική παράσταση της συνάρτησης f στο σημείο Α (, 4) είναι παράλληλη στην ευθεία y = 5 6 οι δύο ευθείες θα έχουν τον ίδιο συντελεστή διεύθυνσης Ο συντελεστής διεύθυνσης της εφαπτομένης της καμπύλης C f είναι η παράγωγος της συνάρτησης στο σημείο 0 = άρα λ = f () = 5 f = λ + ( µ ) f = λ + µ f () = λ + µ f () = 5 4λ + µ = 6 () Από τις () και () προκύπτει ότι: 4λ + µ = 8 4λ + µ = 8 µ = 4λ + µ = 6 4λ µ = 6 λ = β) Αν λ = και µ = τότε η συνάρτηση f γίνεται: f = + ( ) f = + και f = + Για να βρούμε τα ακρότατα της συνάρτησης f πρώτα βρίσκουμε τις ρίζες τις παραγώγου δηλαδή λύνουμε την εξίσωση f = 0 + = 0 = Η παράγωγος γίνεται θετική όταν f > 0 > και f < 0 < και αρνητική όταν < Στη συνέχεια διαμορφώνουμε πίνακα προσήμων της παραγώγου 57

58 Από τον πίνακα φαίνεται ότι η συνάρτηση για f ( ) = ( ) + ( ) = = = έχει ελάχιστο το 58

59 Άσκηση Ο διευθυντής μιας θεατρικής παράστασης έχει διαπιστώσει ότι όταν η τιμή του εισιτηρίου είναι 8 ευρώ τότε την παράσταση τη βλέπουν την παράσταση 500 θεατές την εβδομάδα Κάθε φορά που το εισητήριο μειώνεται κατά 0,50 ευρώ την εβδομάδα οι θεατές αυξάνονται εβδομαδιαίως κατά 50 α) Να δείξετε ότι ο αριθμός των θεατών ως συνάρτηση της τιμής του εισιτηρίου είναι f = β) Πόσο πρέπει να είναι το εισιτήριο ώστε το θέατρο να έχει τη μέγιστη δυνατή είσπραξη την εβδομάδα; γ) Πόσοι θεατές παρακολουθούν τότε την παράσταση και πόσα ευρώ είναι μεγαλύτερη η είσπραξη τότε από την είσπραξη όταν το εισιτήριο είναι 8 ευρώ; α) Αν η μείωση του εισιτηρίου γίνει α φορές το ποσό των 0,5ευρώ, τότε η τιμή του 8 εισιτηρίου θα είναι = 8 0,50 α α =, 0,5 Οι θεατές θα είναι α και από την σχέση () θα έχουμε ότι το πλήθος των θεατών 8 θα είναι f = = ( 8 ) 00 = = ,5 β) Επειδή: Είσπραξη = (αριθμός θεατών) (τιμή εισιτηρίου) H είσπραξη του θεάτρου είναι: Ε = f = (00 00 ), Ε = Για να βρούμε πότε η είσπραξη γίνεται μέγιστη πρώτα θα βρούμε την παράγωγο της συνάρτησης Ε Ε = (00 00 ) = Στη συνέχεια βρίσκουμε τις ρίζες της παραγώγου, δηλαδή λύνουμε την εξίσωση Ε = 0 = 6,5 Η παράγωγος γίνεται θετική όταν 00 00> 0 < 6,5 και αρνητική όταν > 6,5 Κατόπιν φτιάχνουμε πίνακα προσήμων της παραγώγου με την υπενθύμιση ότι η τιμή του εισιτηρίου κυμαίνεται από 0 έως 8 ευρώ Από τον πίνακα φαίνεται ότι είσπραξη γίνεται μέγιστη όταν η τιμή του εισιτηρίου είναι 6, 5 ευρώ 59

60 γ) Η είσπραξη είναι τότε Ε (6,5) = 00 6,5 00 6,5 = = 45ευρώ Την παράσταση την παρακολουθούν τότε 45: 6,5 = 650 θεατές την εβδομάδα Όταν η τιμή του εισιτηρίου είναι 8 ευρώ την παράσταση παρακολουθούν 500 θεατές και η είσπραξη είναι: Ε (8) = = 4000 ευρώ Άρα η είσπραξη όταν το εισιτήριο είναι 6,5 ευρώ είναι 5 ευρώ μεγαλύτερη απ αυτή όταν το εισιτήριο είναι 8 ευρώ 60

61 Άσκηση4 Δίνεται η συνάρτηση σταθερά f = λ με πεδίο ορισμού το και λ μια πραγματική i Αν η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της f στο σημείο της A, f παράλληλη στην ευθεία με εξίσωση y = +, τότε α) να υπολογίσετε το λ β) να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης ii Αν λ =, τότε α) να βρείτε τα σημεία που η γραφική παράσταση της f τέμνει τους άξονες β) να μελετήσετε την f ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα f γ) να υπολογίσετε το όριο lim i f = = λ + 5 α) Η παράγωγος της συνάρτησης f είναι ( λ ) Αφού η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της f στο σημείο της A, f είναι είναι παράλληλη στην ευθεία με εξίσωση y = +, ισχύει f ( ) = 4λ+ 5= λ = β) Η εφαπτομένη έχει συντελεστή διεύθυνσης, άρα θα έχει εξίσωση y = + β Επίσης το A, f ανήκει και στην εφαπτομένη, που σημαίνει ότι οι συντεταγμένες σημείο επαφής του θα επαληθεύουν την εξίσωσή της και f = =, άρα = + β β = 0 Επομένως η εξίσωση της εφαπτομένης είναι: y = ii α) Για να βρούμε σε ποια σημεία τέμνει η γραφική παράσταση της f τον άξονα, λύνουμε την εξίσωση: f = = 0 = ή = 4 στα σημεία A(,0) και ( 4,0) τον τέμνει στο σημείο Γ ( 0,4) αφού άρα τέμνει τον άξονα Τον άξονα yy β) Έχουμε f = + 5, οπότε 5 f = 0 =, 5 f > 0 > και 5 f < 0 < B f 0 = 4 6

62 5 Επομένως η f είναι γνησίως φθίνουσα στο, και γνησίως αύξουσα στο 5, +, άρα παρουσιάζει στο = ολικό ελάχιστο το f = 4 γ) Έχουμε f ( + ) ( + 4) ( ) lim = lim = lim = ( + 5 ) ( + 5+ ) ( + ) ( + 4) ( ) lim = lim ( + )( ) = 6 4 ( + 4) 4 6

63 Άσκηση 5 λ Δίνεται η συνάρτηση µ, f = e + e όπου ο αριθμός λ είναι το όριο αριθμός µ η ελάχιστη τιμή της συνάρτηση g = ln, > 0 I Να υπολογίσετε τους αριθμούς λ και µ + lim 0 και ο II Να δείξετε ότι η συνάρτηση f δεν έχει ακρότατα III Να δείξετε ότι η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της f στο σημείο A 0, f ( 0) είναι παράλληλη στην εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της g στο σημείο (, g( e )) B e I Έχουμε ( ) ( + ) lim 0 lim = lim = lim = = 0 0 ( ) 0 lim( ) 0 Επίσης g = ( ln ) = ln + ( ln ) = ln Ισχύει g = 0 ln = 0 = ln =, ln γν αύξουσα g < 0 ln < 0 ln < ln 0 < < και ln γν αύξουσα g > 0 ln > 0 ln > ln >, άρα λ = Επομένως η g είναι γνησίως φθίνουσα στο ( 0, ] και γνησίως αύξουσα στο [,+ ), άρα παρουσιάζει στο = ολικό ελάχιστο το f = e e, οπότε II Η συνάρτηση f γίνεται g =, άρα µ = f ( e e ) ( e ) ( e ) e e e e ( e e ) 0, άρα η f είναι γνησίως φθίνουσα σε όλο το, οπότε δεν έχει ακρότατα = = = = = + < για κάθε III Έστω λ ο συντελεστής διεύθυνσης της εφαπτομένης της γραφικής παράστασης της f στο σημείο A 0, f ( 0) και λ αντίστοιχα της γραφικής παράστασης της g στο σημείο (, g( e )) B e Για να είναι παράλληλες οι εφαπτόμενες αρκεί να δείξουμε ότι λ = λ Έχουμε 0 0 λ = f ( 0) = e e = και ( λ ) ( = g e = ln e ) = Άρα λ = λ, οπότε αποδείχτηκε 6

64 Άσκηση 6 Δίνεται συνάρτηση f συνεχής στο = με I Να βρείτε την τιμή f lim f ( + ) = =, () II Αν επιπλέον η f είναι παραγωγίσιμη στο με f ( ) ( ) ( 4) α) να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της γραφικής παράστασης της f στο σημείο (, ) A f, β) να μελετήσετε την f ως προς τη μονοτονία και να δείξετε ότι η συνάρτηση f έχει δύο τοπικά ελάχιστα και ένα τοπικό μέγιστο γ) Να δείξετε ότι η γραφική παράστασή της f έχει τρία σημεία όπου η εφαπτομένη είναι οριζόντια I Έχουμε II lim ( + ) ( + ) ( + + ) lim ( ) ( + + ) f f = = lim ( ) f f lim f = lim = lim f άρα = lim f = και επειδή η f είναι συνεχής στο = έχουμε f f, = lim = α) Είναι f = ( ) ( ) ( 4) = 6, οπότε η εξίσωση της εφαπτομένης έχει τη μορφή y = 6+ β () και το σημείο επαφής A έχει συντεταγμένες A (,) οι οποίες επαληθεύουν την εξίσωση (), άρα = 6+ β β = 8, επομένως η () γίνεται y = 6+ 8 β) Σχηματίζουμε το πινακάκι προσήμου για την f 64

65 Άρα η f είναι γνησίως φθίνουσα στα διαστήματα (,] και [ ] στα [, ] και [ 4,+ ), οπότε έχει δύο τοπικά ελάχιστα τα f και ( 4) μέγιστο το f ( ),4 και γνησίως αύξουσα f και ένα τοπικό γ) Για να βρούμε σε ποια σημεία της γραφικής παράστασης της f η εφαπτομένη είναι οριζόντια, αρκεί να βρούμε σε ποια σημεία μηδενίζεται η παράγωγος, έτσι: f = 0 4 = 0 ( = ή = ή = 4 ) Άρα στα σημεία B, f, Γ, f ( ) και 4, f ( 4) παράστασης της f είναι οριζόντιες η εφαπτόμενες της γραφικής 65

66 Άσκηση 7 + Δίνεται η συνάρτηση f() =, e α) Να υπολογίσετε τις f () και f () β) Να δείξετε ότι f () f () = f() γ) Να δείξετε ότι η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της f, στο σημείο της A ( α,f( α )) είναι η ευθεία α α +α+ ε :y= + α α e e δ) Να βρείτε την τιμή του α> 0, για την οποία η τεταγμένη του σημείου τομής της εφαπτομένης του (γ) ερωτήματος, με τον άξονα y y είναι μέγιστη α) Είναι ( + ) e ( + ) ( e ) e ( + ) e e ( ) f () = = = =, e e e e e ( e ) e e e ( ) και f () = = = =, e e e e + + β) Έχουμε f () f () = = = = f() e e e e γ) Η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της f στο σημείο της A ( α,f( α )), α είναι ε :y=λ +β () α α Είναι λ= f( α ) = Έτσι η () γίνεται ε :y= +β () e α Επίσης το σημείο A (,f) e α α α ανήκει στην ε, άρα ισχύει: α α+ α α +α+ f( α ) = α+β = +β β= α α α α e e e e α α +α+ Τελικά η σχέση () γίνεται ε :y= + α α e e δ) Στην εξίσωση της εφαπτομένης θέτουμε 0 α α +α+ α +α+ y= 0+ = α α α e e e = και βρίσκουμε Άρα η τεταγμένη του σημείου τομής της εφαπτομένης με τον άξονα y y είναι ίση με α +α+ e α 66

67 Θεωρούμε τη συνάρτηση g( α ) =, α> 0 α +α+ e α 0,+ Το πεδίο ορισμού της g είναι το ( α ) ( α α +α+ e α +α+ ) ( e ) Η παράγωγος της g είναι g( α ) = = α e α ( α ) ( α α+ e α +α+ e α+ α α ) e α + α = = =, α> 0 α α α e e e α + α α> g( α ) = 0 = 0 α +α= 0 α( α ) = 0 0 α= 0 α= α e α + α α> g α> α > > α +α> α α > α> 0 0 0<α< α e Η μονοτονία και τα ακρότατα της g φαίνονται στον παρακάτω πίνακα: Από τον παραπάνω πίνακα προκύπτει ότι η συνάρτηση g(α) : Είναι γνησίως αύξουσα στo ( 0, ] Είναι γνησίως φθίνουσα στο [, + ) Έχει μέγιστο για α= Άρα η τεταγμένη του σημείου τομής της εφαπτομένης με τον άξονα y y γίνεται μέγιστη όταν α= 67

68 Άσκηση 8 = 4 α) Να βρεθεί το πεδίο ορισμού της f β) Να βρεθεί το σημείο της γραφικής παράστασης της f στο οποίο η εφαπτομένη σχηματίζει με π τον άξονα, γωνία ω= 4 γ) Να μελετήσετε την f ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα Δίνεται η συνάρτηση f () ln ( ) δ) Να δείξετε ότι 4 4 e, για κάθε > α) Πρέπει > 0 > Άρα το πεδίο ορισμού της f είναι το (, + ) β) Έστω A( 0,f( 0) ) το ζητούμενο σημείο της γραφικής παράστασης της f Η παράγωγος της f είναι + + ( ) ( ) f () = = = =, > Επειδή η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της f στο σημείο Α σχηματίζει με τον άξονα π, γωνία ω=, θα ισχύει 4 0 > π f ( 0) =εφ = = > 0 0 0( 0 ) 0 = 0 = 0 = 9 9 Επίσης έχουμε f () = ln Άρα το ζητούμενο σημείο είναι το A, ln γ) Από το β) ερώτημα έχουμε f () =, > ( ) + + > f () = 0 = = 0, η οποία έχει ρίζες = ή = Όμως ξέρουμε ότι >, οπότε μόνο η = είναι δεκτή + + > f () > 0 > > 0 () Το πρόσημο του τριωνύμου φαίνεται στον παρακάτω πίνακα: 68

69 Άρα η ανίσωση () αληθεύει για < < () Όμως ξέρουμε ότι > () Από τη συναλήθευση των () και () προκύπτει ότι η ανίσωση f () > 0 αληθεύει για < < Η μονοτονία και τα ακρότατα της f φαίνονται στον παρακάτω πίνακα: Από τον παραπάνω πίνακα προκύπτει ότι η f: Είναι γνησίως αύξουσα στο (, ] Είναι γνησίως φθίνουσα στο [,+ ) Έχει μέγιστο το 4 f = ln = 4 δ) Αφού η f παρουσιάζει μέγιστο το f =, θα ισχύει f f() ln( ) ln( ) επειδή ln γν αυξ ln ( ) ln ( ) ln e e, για κάθε > 4 69

70 Άσκηση 9 Δίνεται η συνάρτηση f() = +κ,, κ Αν η εφαπτομένη ε της γραφικής παράστασης στο σημείο με τεταγμένη 4, είναι παράλληλη στον άξονα, ' τότε: α) Να δείξετε ότι κ= 4 και να βρείτε την εξίσωση αυτής της εφαπτομένης β) Να δείξετε ότι η εξίσωση της εφαπτομένης ε της γραφικής παράστασης της f σε οποιοδήποτε σημείο της Α( α,f( α )), με α> 0 είναι η y= α α 4 γ) Αν η εφαπτομένη ε τέμνει την ε στο σημείο Β και τον άξονα στο Γ, να δείξετε ότι το εμβαδόν του σχηματιζόμενου τραπεζίου ΟΓΒΔ (όπου (0, 4) ), δίνεται από τον τύπο α + 4 Εα =, α> 0 α δ) Να βρεθεί το σημείο Α της γραφικής παράστασης της f για το οποίο το εμβαδό Εα γίνεται ελάχιστο α) Η παράγωγος της f είναι f () =, Έστω Μ(, 0 4), το σημείο επαφής Επειδή η εφαπτομένη στο σημείο Μ είναι παράλληλη στον άξονα, ισχύει f ( 0) = 0 0 = 0 0 = 0 Το σημείο Μ( 0, 4), ανήκει στη γραφική παράσταση της f, άρα ισχύει 4= 0 +κ κ= 4 Επειδή η εφαπτομένη είναι παράλληλη στον άξονα και διέρχεται από το Μ, θα είναι ε :y= 4 β) Η μορφή της εξίσωσης της εφαπτομένης είναι y=λ +β () όπου λ= f( α ) = α Άρα η () γίνεται y= α +β () Επειδή το σημείο Α( α,f( α )) ανήκει σε αυτήν, έχουμε α 4= α α+β β= α 4 Τελικά η ζητούμενη ευθεία είναι η ε :y= α α 4 γ) Στο διπλανό σχήμα φαίνεται η γραφική παράσταση της f, η εφαπτομένη στο σημείο Α και το τραπέζιο ΟΓΒΔ Στην εξίσωση της ε, θέτω y= 0 και προκύπτει α> 0 α + 4 0= α α 4 = α Άρα η ε τέμνει τον άξονα στο σημείο Γ 4,0 α α + 70

71 Λύνουμε το σύστημα των εξισώσεων των ε και ε και προκύπτει y= α α 4 4= α α 4 y= 4 y= 4 α α α α = 0 = = α y= 4 y = 4 α Άρα οι ευθείες ε και ε τέμνονται στο σημείο B, 4 ( ΟΓ ) + ( Β ) Το εμβαδόν του ζητούμενου τραπεζίου ΟΓΒΔ είναι Ε = ( Ο ), δηλαδή είναι α + 4 α + α + 4 α + 4 Ε( α ) = α 4= 4 =, α> 0 4α α δ) Η παράγωγος της συνάρτησης Εα είναι α + 4 α α + 4 α 4α α 4 α 4 Ε ( α ) = = =, α> 0 α α α α 4 α > 0 α> 0 Ε ( α ) = 0 = 0 α 4= 0 α = α= α α 4 α > 0 α> 0 Ε ( α ) > 0 > 0 α 4> 0 α > α > α> α Η μονοτονία και τα ακρότατα της συνάρτησης Εα φαίνονται στον παρακάτω πίνακα: Από τον παραπάνω πίνακα προκύπτει ότι η Εα : Είναι γνησίως αύξουσα στο, + ) Είναι γνησίως φθίνουσα στο (0, Έχει ελάχιστο για α= Είναι f = 4= 4= 7

72 Άρα το εμβαδόν του τραπεζίου γίνεται ελάχιστο αν φέρουμε την εφαπτομένη της γραφικής παράστασης στο σημείο της A(, ) 7

73 Άσκηση 0 Δίνεται η συνάρτηση f = ( ) ( ), α) Να μελετήσετε τη συνάρτηση f ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα β) Να βρείτε το σημείο της γραφικής παράστασης C f της συνάρτησης f, στο οποίο η εφαπτομένη της έχει το μέγιστο συντελεστή διεύθυνσης γ) Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της C f στο σημείο της με τετμημένη 0 = f + δ) Να υπολογίσετε το όριο lim + α) Για κάθε είναι: f () = ( )( ) ( ) = ( ) ( ) ( ) = ( )( ) = 6( )( ) [ ] Είναι: f = 0 6( )( ) = 0 = ή = f > 0 6( )( ) > 0 < < f () = και f () = 0 Επομένως: Η συνάρτηση f είναι γνησίως φθίνουσα στο διάστημα (,] Η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα στο διάστημα, [ ] [ ) Η συνάρτηση f είναι γνησίως φθίνουσα στο διάστημα,+ Η συνάρτηση f παρουσιάζει τοπικό ελάχιστο για = με τιμή f () = Η συνάρτηση f παρουσιάζει τοπικό μέγιστο για = με τιμή f () = 0 7

74 β) Αναζητούμε την τιμή του για την οποία η συνάρτηση λ = f = 6( )( ) παρουσιάζει ολικό μέγιστο Για κάθε είναι: λ = f = [ 6( )( )] = 6( ) 6( ) = = + 8 = 6( ) Είναι: λ = 0 6( ) = 0 = λ > 0 6( ) > 0 < 0 < Άρα ο συντελεστής διεύθυνσης λ γίνεται μέγιστος για = Είναι f = ( ) ( ) = = 4 Επομένως το ζητούμενο σημείο είναι το Μ (, f ), δηλαδή το Μ(, ) γ) Η εφαπτομένη τηςc f στο σημείο της με τετμημένη 0 = έχει συντελεστή διεύθυνσης λ = f = 6 ( ) ( ) = 6 ( ) = Άρα η εξίσωση της εφαπτομένης είναι της μορφής y = + β Επειδή η εφαπτομένη διέρχεται από το σημείο Μ (, f ), δηλαδή από το Μ(, ), ισχύει η σχέση = + β, οπότε β = 4 Άρα η εξίσωση της ζητούμενης εφαπτομένης είναι y = 4 74

75 δ) Είναι: f + = ( ) ( ) ( ) = ( )[( ) ] = ( )( )( ) + = ( )( ) Για (,) (, ) είναι: f + ( )( )( ) ( )( )( ) = = = ( ) = + ( )( ) ( )( ) f Άρα lim + = lim( ) = + 75

76 Άσκηση * Δίνεται η συνάρτηση f = αe, α f * α) Να αποδείξετε ότι f = για κάθε β) Να μελετήσετε τη συνάρτηση f ως προς τη μονοτονία για τις διάφορες τιμές του α * γ) Να αποδείξετε ότι f '' = f για κάθε 4 δ) Αν α > 0 να βρείτε σε ποιο σημείο 0 > 0 η γραφική παράσταση C f της συνάρτησης f, έχει το μέγιστο συντελεστή διεύθυνσης * α) Το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f είναι Α= * Για κάθε είναι: f f = αe ( ) = αe = f = f * Άρα f = για κάθε () β) Για κάθε * είναι e > 0, οπότε: (Στο html να γίνει εκθέτης) αν α > 0 είναι f( ) > 0άρα και f > 0 αν α < 0 είναι f( ) < 0άρα και f < 0 Επομένως: αν α > 0 τότε η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα σε καθένα από τα διαστήματα (,0) και ( 0, + ) αν α < 0 τότε η συνάρτηση f είναι γνησίως φθίνουσα σε καθένα από τα διαστήματα και 0, + (,0) * γ) Για κάθε είναι: f () f f f f f f = = = = f ( ) * Άρα f = f για κάθε () 4 δ) Αναζητούμε την τιμή του ( 0,+ ) για την οποία η συνάρτηση f λ = f = παρουσιάζει ολικό μέγιστο 76

77 Για κάθε είναι: λ = f = f 4 Είναι: ( ) 0,+ f > 0 4 λ = 0 f = 0 = 0 = f > 0 λ > 0 f > 0 > 0 < < 4 Άρα ο συντελεστής διεύθυνσης λ γίνεται μέγιστος για Είναι f α = αe = e Επομένως το ζητούμενο σημείο είναι το = α Μ (, f ), δηλαδή το Μ (, ) e 77

78 Άσκηση + Δίνεται η συνάρτηση f =, e α) Να αποδείξετε ότι f + 4 f + 4 f = 0για κάθε β) Να μελετήσετε τη συνάρτηση f ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα γ) Να αποδείξετε ότι e + για κάθε δ) Να βρείτε την τιμή του για την οποία η συνάρτηση f, έχει τον ελάχιστο ρυθμό μεταβολής ως προς Ποια είναι η ελάχιστη τιμή του ρυθμού μεταβολής; α) Για κάθε είναι: (+ ) e (+ )( e ) e (+ ) e ( 4 ) e 4 f = = = = ( e ) ( e ) ( e ) e f = = = = ( e ) ( e ) ( e ) e ( 4 ) e ( 4 )( e ) 4e ( 4 ) e (8 4) e 8 4 Επομένως για κάθε είναι: f + 4 f + 4 f = = = = 0 e e e e e 4 β) Για κάθε είναι f = e Είναι: f = 0 4= 0 = 0 f > 0 4> 0 < 0 f (0) = Επομένως: Η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα στο διάστημα (,0] 78

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ. ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ Μαθηματικά Γενικής Παιδείας Γ.Λυκείου ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ) Να βρείτε το πεδίο ορισμού των συναρτήσεων: ( ) 6+ 9, g ( ), h ( ) 5 +, k

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ - ΥΠΟ ΕΙΞΕΙΣ ΣΥΝΤΟΜΕΣ ΛΥΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ - ΥΠΟ ΕΙΞΕΙΣ ΣΥΝΤΟΜΕΣ ΛΥΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ - ΥΠΟ ΕΙΞΕΙΣ ΣΥΝΤΟΜΕΣ ΛΥΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ 4 o Κεφάλαιο ΑΝΑΛΥΣΗ Απαντήσεις στις ερωτήσεις του τύπου Σωστό-Λάθος. Σ 0. Σ 9. Λ. Λ. Σ 40. Σ. Σ. Σ 4. Λ 4. Λ. Σ 4. Σ 5. Σ 4. Σ 4. Λ 6. Σ 5. Λ 44.

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ o Κεφάλαιο ΑΝΑΛΥΣΗ Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό - Λάθος». * Η διαδικασία, µε την οποία κάθε στοιχείο ενός συνόλου Α αντιστοιχίζεται σ ένα ακριβώς στοιχείο

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2016 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2016 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 6 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 6 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΘΕΜΑ ο

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 4: Διαφορικός Λογισμός

Κεφάλαιο 4: Διαφορικός Λογισμός ΣΥΓΧΡΟΝΗ ΠΑΙΔΕΙΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΕΣΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ Κεφάλαιο 4: Διαφορικός Λογισμός Μονοτονία Συνάρτησης Tζουβάλης Αθανάσιος Κεφάλαιο 4: Διαφορικός Λογισμός Περιεχόμενα Μονοτονία συνάρτησης... Λυμένα παραδείγματα...

Διαβάστε περισσότερα

παράσταση της f τέμνει τον άξονα ψ ψ στο σημείο με τεταγμένη 3 και διέρχεται από το σημείο

παράσταση της f τέμνει τον άξονα ψ ψ στο σημείο με τεταγμένη 3 και διέρχεται από το σημείο ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΣΥΛΛΟΓΗ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ου ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ ΑΣΚΗΣΗ η (Κατσίποδας Δημήτρης) Δίνονται οι συναρτήσεις f() = με a, β R και g() = 5.Αν η γραφική παράσταση της f τέμνει τον άξονα ψ ψ στο σημείο

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ (1η σειρά)

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ (1η σειρά) 3 1 0 011 ΘΕΡΙΝΑ ΤΜΗΜΑΤΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ (1η σειρά) ΘΕΜΑ 1 Α. Έστω η συνάρτηση F()=f()+g(). Aν οι συναρτήσεις f, g είναι παραγωγίσιμες, να αποδείξετε ότι F

Διαβάστε περισσότερα

Ρητοί αριθμοί λέγονται οι αριθμοί που έχουν ή μπορούν να πάρουν τη μορφή

Ρητοί αριθμοί λέγονται οι αριθμοί που έχουν ή μπορούν να πάρουν τη μορφή ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ (ΕΙΣΑΓΩΓΗ)-ΘΕΩΡΕΙΑ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Το σύνολο των πραγματικών αριθμών Υπενθυμίζουμε ότι το σύνολο των πραγματικών αριθμώv αποτελείται από τους ρητούς και τους άρρητους αριθμούς και παριστάνεται

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 4: ΕΜΒΑΔΟΝ ΕΠΙΠΕΔΟΥ ΧΩΡΙΟΥ [Κεφ.3.7 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΑΣΚΗΣΕΙΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 4: ΕΜΒΑΔΟΝ ΕΠΙΠΕΔΟΥ ΧΩΡΙΟΥ [Κεφ.3.7 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΕΜΒΑΔΟΝ ΕΠΙΠΕΔΟΥ ΧΩΡΙΟΥ [Κεφ..7 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Β Άσκηση. Να υπολογίσετε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική

Διαβάστε περισσότερα

1.1 ΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΟΡΙΑ ΣΥΝΕΧΕΙΑ

1.1 ΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΟΡΙΑ ΣΥΝΕΧΕΙΑ . ΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΟΡΙΑ ΣΥΝΕΧΕΙΑ Α. ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΕΥΡΕΣΗ ΠΕΔΙΟΥ ΟΡΙΣΜΟΥ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΠΕΡΙΟΡΙΣΜΟΣ P Q Q v P P ln P P P P, P P, Q P P Ποιο είναι το πεδίο ορισμού των

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. Να μελετήσετε ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα τις παρακάτω συναρτήσεις: f (x) = 0 x(2ln x + 1) = 0 ln x = x = e x =

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. Να μελετήσετε ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα τις παρακάτω συναρτήσεις: f (x) = 0 x(2ln x + 1) = 0 ln x = x = e x = ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 0: ΕΥΡΕΣΗ ΤΟΠΙΚΩΝ ΑΚΡΟΤΑΤΩΝ [Ενότητα Προσδιορισμός των Τοπικών Ακροτάτων - Θεώρημα Εύρεση Τοπικών Ακροτάτων του κεφ..7 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΛΕΤΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ

ΜΕΛΕΤΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ 5 ΜΕΛΕΤΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ Εισαγωγή Στο κεφάλαιο αυτό θα δούμε πώς, με τη βοήθεια των πληροφοριών που α- ποκτήσαμε μέχρι τώρα, μπορούμε να χαράξουμε με όσο το δυνατόν μεγαλύτερη ακρίβεια τη γραφική παράσταση

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΙΑ ΠΡΟΕΤΟΙΜΑΣΙΑ ΓΙΑ ΤΙΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΙΑ ΠΡΟΕΤΟΙΜΑΣΙΑ ΓΙΑ ΤΙΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2 ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΥΜΗΤΤΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΙΑ ΠΡΟΕΤΟΙΜΑΣΙΑ ΓΙΑ ΤΙΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ - Σελίδα 1 από 6 - 1. Η ΔΟΜΗ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ Στις εξετάσεις του Μαίου-Ιουνίου µας δίνονται δύο θέµατα θεωρίας και

Διαβάστε περισσότερα

(, ) ( x0, ), τότε να αποδείξετε ότι το. x, στο οποίο όμως η f είναι συνεχής. Αν f ( x) 0 στο

(, ) ( x0, ), τότε να αποδείξετε ότι το. x, στο οποίο όμως η f είναι συνεχής. Αν f ( x) 0 στο Λύσεις θεμάτων ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ -4- Πανελλαδικών Εξετάσεων 6 Στο μάθημα: «Μαθηματικά Προσανατολισμού Θετικών Σπουδών και Σπουδών Οικονομίας και Πληροφορικής» Γ Λυκείου, /4/6 ΘΕΜΑ ο Α Πότε λέμε ότι μία συνάρτηση

Διαβάστε περισσότερα

ΤΟΠΙΚΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΑΚΡΟΤΑΤΩΝ

ΤΟΠΙΚΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΑΚΡΟΤΑΤΩΝ Ενότητα 1 ΤΟΠΙΚΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΑΚΡΟΤΑΤΩΝ Ασκήσεις για λύση 3 3, < 1). Δίνεται η συνάρτηση f ( ). 6, Να βρείτε : i ) την παράγωγο της f, ii) τα κρίσιμα σημεία της f. ). Να μελετήσετε ως προς τη μονοτονία

Διαβάστε περισσότερα

3. lim [f(x) g(x)] = lim f(x) lim g(x) x xo x xo x xo x xo x xo v f(x) lim f(x) x xo lim = x xo g(x) lim g(x) x xo v lim [f(x)] = lim f(x) 6. li

3. lim [f(x) g(x)] = lim f(x) lim g(x) x xo x xo x xo x xo x xo v f(x) lim f(x) x xo lim = x xo g(x) lim g(x) x xo v lim [f(x)] = lim f(x) 6. li Μετά το τέλος της µελέτης του 1ου κεφαλαίου, ο µαθητής θα πρέπει να γνωρίζει: Τον ορισµό της συνάρτησης και τον τρόπο εύρεσης του πεδίου ορισµού της. Τις πράξεις µεταξύ συναρτήσεων, τις γραφικές παραστάσεις

Διαβάστε περισσότερα

Η Θεωρία στα Μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ Λυκείου

Η Θεωρία στα Μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ Λυκείου Η Θεωρία στα Μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ Λυκείου wwwaskisopolisgr έκδοση 5-6 wwwaskisopolisgr ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 5 Τι ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση; Έστω Α ένα υποσύνολο του Ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ. α) Το σημείο (-1,1) ανήκει στη γραφική παράσταση της f; α) Να βρεθεί η τιμή του α, ώστε η τιμή της f στο χ 0 =2 να είναι 1.

ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ. α) Το σημείο (-1,1) ανήκει στη γραφική παράσταση της f; α) Να βρεθεί η τιμή του α, ώστε η τιμή της f στο χ 0 =2 να είναι 1. Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ 1.Δίνεται η συνάρτηση f()= 4 1 α) Το σημείο (-1,1) ανήκει στη γραφική παράσταση της f; β) Αν χ=, ποια είναι η τιμή της f; γ) Αν f()=1, ποια είναι

Διαβάστε περισσότερα

1.3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ. 1. Ορισµός της παραγώγου συνάρτησης

1.3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ. 1. Ορισµός της παραγώγου συνάρτησης . ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΘΕΩΡΙΑ. Ορισµός της παραγώγου συνάρτησης Έστω µια συνάρτηση µε πεδίο ορισµού Α, και Β το σύνολο των Α στα οποία η είναι παραγωγίσιµη. Τότε ορίζεται νέα συνάρτηση µε την οποία κάθε

Διαβάστε περισσότερα

αβ (, ) τέτοιος ώστε f(x

αβ (, ) τέτοιος ώστε f(x ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΘΕΜΑ Α Άσκηση α) Έστω μια συνάρτηση f, η οποία είναι ορισμένη σε ένα κλειστό διάστημα [ αβ., ] Αν η f είναι συνεχής στο [ αβ, ]

Διαβάστε περισσότερα

ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ «ΠΡΟΟΔΟΣ» ΚΥΡΙΑΚΗ 22 ΝΟΕΜΒΡΙΟΥ 2015 ΓΡΑΠΤΗ ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΟ ΜΑΘΗΜΑ «ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ» Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ «ΠΡΟΟΔΟΣ» ΚΥΡΙΑΚΗ 22 ΝΟΕΜΒΡΙΟΥ 2015 ΓΡΑΠΤΗ ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΟ ΜΑΘΗΜΑ «ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ» Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ «ΠΡΟΟΔΟΣ» ΚΥΡΙΑΚΗ ΝΟΕΜΒΡΙΟΥ 5 ΓΡΑΠΤΗ ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΟ ΜΑΘΗΜΑ «ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ» Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ ο A. Να δώσετε τον ορισμό της συνέχειας μιας συνάρτησης στο πεδίο ορισμού της. ( Μονάδες)

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β ΜΕΡΟΣ (ΑΝΑΛΥΣΗ) ΚΕΦ 1 ο : Όριο Συνέχεια Συνάρτησης

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β ΜΕΡΟΣ (ΑΝΑΛΥΣΗ) ΚΕΦ 1 ο : Όριο Συνέχεια Συνάρτησης ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β ΜΕΡΟΣ (ΑΝΑΛΥΣΗ) ΚΕΦ ο : Όριο Συνέχεια Συνάρτησης Φυλλάδιο Φυλλάδι555 4 ο ο.α) ΕΝΝΟΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ.α) ΕΝΝΟΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 8: ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ [Ενότητα Μονοτονία Συνάρτησης του κεφ.2.6 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου].

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 8: ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ [Ενότητα Μονοτονία Συνάρτησης του κεφ.2.6 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 8: ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ [Ενότητα Μονοτονία Συνάρτησης του κεφ..6 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Παράδειγμα 1. ΘΕΜΑ Β Να μελετηθούν ως προς την μονοτονία

Διαβάστε περισσότερα

V. Διαφορικός Λογισμός. math-gr

V. Διαφορικός Λογισμός. math-gr V Διαφορικός Λογισμός Παντελής Μπουμπούλης, MSc, PhD σελ blospotcom, bouboulismyschr ΜΕΡΟΣ Η έννοια της Παραγώγου Α Ορισμός Εφαπτομένη καμπύλης συνάρτησης: Έστω μια συνάρτηση και A, ένα σημείο της C Αν

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Β. 0και 4 x 3 0.

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Β. 0και 4 x 3 0. ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 1: ΕΝΝΟΙΑ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ. IΣΟΤΗΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ - ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΣΥΝΘΕΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ [Ενότητα

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 4. [ ] z, w. 3 f x, x 1,3 όπου 3 μιγαδικοί των οποίων οι εικόνες

ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 4. [ ] z, w. 3 f x, x 1,3 όπου 3 μιγαδικοί των οποίων οι εικόνες ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 4 1. i) Να δείξετε ότι υπάρχει μοναδικό 3 3 0 1, ώστε: 3 e, 1 ln 0 + 0 = 0 ii) Δίνεται ο μιγαδικός 3 z = ln + i, > 0 a) Να βρείτε την ελάχιστη απόσταση k της εικόνας του z από την αρχή

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΚΟΡΥΦΗ-ΟΡΙΖΟΝΤΙΑ ΜΕΤΑΤΟΠΙΣΗ ΚΑΜΠΥΛΗΣ Να σχεδιάσετε στο ίδιο σύστημα αξόνων τις γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων: f ()=, g()= +3,h()= -3 Να σχεδιάσετε στο ίδιο σύστημα

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικά θέματα στα Μαθηματικά προσανατολισμού-ψηφιακό σχολείο ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ

Επαναληπτικά θέματα στα Μαθηματικά προσανατολισμού-ψηφιακό σχολείο ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο -ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Απο το Ψηφιακό Σχολείο του ΥΠΠΕΘ Επιμέλεια: Συντακτική Ομάδα mathpgr Συντονιστής:

Διαβάστε περισσότερα

Δ Ι Α Φ Ο Ρ Ι Κ Ο Σ Λ Ο Γ Ι Σ Μ Ο Σ Μονοτονία & Ακρότατα Συνάρτησης

Δ Ι Α Φ Ο Ρ Ι Κ Ο Σ Λ Ο Γ Ι Σ Μ Ο Σ Μονοτονία & Ακρότατα Συνάρτησης ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ / ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ Δ Ι Α Φ Ο Ρ Ι Κ Ο Σ Λ Ο Γ Ι Σ Μ Ο Σ Μονοτονία & Ακρότατα Συνάρτησης 1. Ποιους ορισμούς πρέπει να ξέρω για τη μονοτονία ; Πότε μια συνάρτηση θα ονομάζεται γνησίως αύξουσα σε

Διαβάστε περισσότερα

6.1 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

6.1 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΟΡΙΣΜΟΣ 6. ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 6.1 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Ονομάζουμε συνάρτηση από ένα σύνολο Α σε ένα σύνολο Β μια διαδικασία (κανόνα) f, με την οποία κάθε στοιχείο του συνόλου Α αντιστοιχίζεται σε ένα ακριβώς

Διαβάστε περισσότερα

ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ 2002 ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ 2002 ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ ο Α) Έστω η συνάρτηση f, η οποία είναι συνεχής στο διάστημα [α,β] με f(α) f(β). Να αποδείξετε ότι για κάθε αριθμό η μεταξύ των f(α) και

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΕΙΑ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ

ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΕΙΑ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΕΙΑ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Φροντιστήριο Μ.Ε. «ΑΙΧΜΗ» Κ.Καρτάλη 8 Βόλος Τηλ. 43598 ΠΊΝΑΚΑΣ ΠΕΡΙΕΧΟΜΈΝΩΝ 3. Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ... 5 ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ...

Διαβάστε περισσότερα

ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ- ΣΥΝΟΛΟ ΤΙΜΩΝ ΚΟΙΛΟΤΗΤΑ ΣΗΜΕΙΑ ΚΑΜΠΗΣ. i) Για την εύρεση µονοτονίας µιας συνάρτησης υπολογίζω την f ( x )

ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ- ΣΥΝΟΛΟ ΤΙΜΩΝ ΚΟΙΛΟΤΗΤΑ ΣΗΜΕΙΑ ΚΑΜΠΗΣ. i) Για την εύρεση µονοτονίας µιας συνάρτησης υπολογίζω την f ( x ) () Μονοτονία ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ- ΣΥΝΟΛΟ ΤΙΜΩΝ ΚΟΙΛΟΤΗΤΑ ΣΗΜΕΙΑ ΚΑΜΠΗΣ i) Για την εύρεση µονοτονίας µιας συνάρτησης υπολογίζω την f ( ) και βρίσκω το πρόσηµό της ii) Αν προκύψει να είναι αύξουσα ή φθίνουσα,

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. Να εξετάσετε αν ισχύουν οι υποθέσεις του Θ.Μ.Τ. για την συνάρτηση στο διάστημα [ 1,1] τέτοιο, ώστε: C στο σημείο (,f( ))

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. Να εξετάσετε αν ισχύουν οι υποθέσεις του Θ.Μ.Τ. για την συνάρτηση στο διάστημα [ 1,1] τέτοιο, ώστε: C στο σημείο (,f( )) ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 6: ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ (Θ.Μ.Τ.) [Θεώρημα Μέσης Τιμής Διαφορικού Λογισμού του κεφ..5 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Παράδειγμα. ΘΕΜΑ

Διαβάστε περισσότερα

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΘΕΜΑ ο _6950 α) Να κατασκευάσετε ένα γραμμικό σύστημα δυο εξισώσεων με δυο αγνώστους με συντελεστές διάφορους του μηδενός, το οποίο να

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΩΝ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Δ ΤΑΞΗΣ ΕΣΠΕΡΙΝΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΩΝ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Δ ΤΑΞΗΣ ΕΣΠΕΡΙΝΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ Κ: Κορίνθου 55 Κ: Κανακάρη 0, Τηλ. 60 65.60 Fa. 60 65.66 ΘΕΜΑ Α ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΩΝ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Δ ΤΑΞΗΣ ΕΣΠΕΡΙΝΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ Α)

Διαβάστε περισσότερα

1.1 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ. 1. Ορισµός. 2. Συµβολισµός. 3. Επεξήγηση συµβόλων. 4. Γραφική παράσταση της συνάρτησης f : A R

1.1 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ. 1. Ορισµός. 2. Συµβολισµός. 3. Επεξήγηση συµβόλων. 4. Γραφική παράσταση της συνάρτησης f : A R . ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑ. Ορισµός Ονοµάζουµε συνάρτηση µια διαδικασία µε την οποία κάθε στοιχείο ενός συνόλου Α αντιστοιχίζεται σε ένα ακριβώς στοιχείο κάποιου συνόλου Β. Σηµείωση: Στο εξής θα είναι Α R και

Διαβάστε περισσότερα

Θεώρημα Βolzano. Κατηγορία 1 η. 11.1 Δίνεται η συνάρτηση:

Θεώρημα Βolzano. Κατηγορία 1 η. 11.1 Δίνεται η συνάρτηση: Κατηγορία η Θεώρημα Βolzano Τρόπος αντιμετώπισης:. Όταν μας ζητούν να εξετάσουμε αν ισχύει το θεώρημα Bolzano για μια συνάρτηση f σε ένα διάστημα [, ] τότε: Εξετάζουμε την συνέχεια της f στο [, ] (αν η

Διαβάστε περισσότερα

Η συνάρτηση y = αχ 2. Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΜEd

Η συνάρτηση y = αχ 2. Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΜEd Η συνάρτηση y = αχ Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΜEd 1 Η συνάρτηση y = αχ με α 0 Μια συνάρτηση της μορφής y = α + β + γ με α 0 ονομάζεται τετραγωνική συνάρτηση.

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά κατεύθυνσης Γ Λυκείου Επαναληπτικές ασκήσεις

Μαθηματικά κατεύθυνσης Γ Λυκείου Επαναληπτικές ασκήσεις Μαθηματικά κατεύθυνσης Γ Λυκείου + Επαναληπτικές ασκήσεις ς Στέλιος Μιχαήλογλου Δημήτρης Πατσιμάς Βαγγέλης Ραμαντάνης Ευάγγελος Τόλης wwwaskisopolisgr η έκδοση Μάρτιος 6 wwwaskisopolisgr Παράγωγοι Εκφωνήσεις

Διαβάστε περισσότερα

13 Μονοτονία Ακρότατα συνάρτησης

13 Μονοτονία Ακρότατα συνάρτησης 3 Μονοτονία Ακρότατα συνάρτησης Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Θεώρημα Αν μια συνάρτηση f είναι συνεχής σ ένα διάστημα Δ, τότε: Αν f ( ) > 0για κάθε εσωτερικό του Δ, η f είναι γνησίως αύξουσα στο Δ. Αν

Διαβάστε περισσότερα

2 η Εργασία Ημερομηνία Αποστολής : 21 Ιανουαρίου Άσκηση 1. Να υπολογίσετε τα παρακάτω όρια χρησιμοποιώντας τον Κανόνα του L Hopital:

2 η Εργασία Ημερομηνία Αποστολής : 21 Ιανουαρίου Άσκηση 1. Να υπολογίσετε τα παρακάτω όρια χρησιμοποιώντας τον Κανόνα του L Hopital: η Εργασία Ημερομηνία Αποστολής : Ιανουαρίου 7 Άσκηση. Να υπολογίσετε τα παρακάτω όρια χρησιμοποιώντας τον Κανόνα του L Hopil: α. β. γ. lim 6 lim lim sin. (Υπόδειξη: χωρίς να την αποδείξετε, χρησιμοποιήστε

Διαβάστε περισσότερα

Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ. και η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο x. την παράγωγο f' ( x. 0 ) (ή και στιγμιαίο ρυθμό μεταβολής).

Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ. και η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο x. την παράγωγο f' ( x. 0 ) (ή και στιγμιαίο ρυθμό μεταβολής). Ρυθμός μεταβολής Α ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ i Αν δύο μεταβλητά μεγέθη x, y συνδέονται με τη σχέση y = f( x) και η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο x τότε ονομάζουμε ρυθμό μεταβολής του y ως προς το

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2008

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2008 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 8 ΘΕΜΑ ο Έστω, α,β, α β και ν α + + i = βi () β + αi α) Να αποδείξετε ότι ο δεν είναι πραγµατικός αριθµός. β) Να αποδείξετε

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2012

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2012 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 0 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 0 ΘΕΜΑ ο : Έστω, C με Re( ) και Re( ) Αν f() ( )( )( )( ) και

Διαβάστε περισσότερα

1.4 ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΤΩΝ ΠΑΡΑΓΩΓΩΝ

1.4 ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΤΩΝ ΠΑΡΑΓΩΓΩΝ 1 1. ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΤΩΝ ΠΑΡΑΓΩΓΩΝ ΘΕΩΡΙΑ 1. Θεώρηµα γνησίως αύξουσας Αν µία συνάρτηση είναι παραγωγίσιµη σ ένα διάστηµα και για κάθε εσωτερικό σηµείο του ισχύει f () > 0 τότε η f είναι γνησίως αύξουσα στο.

Διαβάστε περισσότερα

2.7 ΤΟΠΙΚΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

2.7 ΤΟΠΙΚΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ .7 ΤΟΠΙΚΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ I. Αν μια συνάρτηση παρουσιάζει τοπικό ακρότατο σε ένα εσωτερικό σημείο του πεδίου ορισμού της και είναι παραγωγισιμη σε αυτό τότε ( ).(Θεώρημα Fermat) II.

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ - ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο Εξισώσεις - Ανισώσεις Δευτέρου Βαθμού

ΑΛΓΕΒΡΑ - ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο Εξισώσεις - Ανισώσεις Δευτέρου Βαθμού ΑΛΓΕΒΡΑ - ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο Εξισώσεις - Ανισώσεις Δευτέρου Βαθμού 97 98 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΝΑΠΤΥΞΗΣ 1. Να λυθεί η εξίσωση: 1 1 1 ( x+ )(x ) = x 3 3 9. Αν η εξίσωση (x - 3) λ + 3 = λ x έχει ρίζα τον αριθμό, να υπολογιστεί

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΗ 1. εξισώσεις x= π 3, x= π 2. ΑΣΚΗΣΗ 2 Δίνονται οι συναρτήσεις : f (x)= 1. 1 u 2 x. du και g(x)= 1 f (t )dt

ΑΣΚΗΣΗ 1. εξισώσεις x= π 3, x= π 2. ΑΣΚΗΣΗ 2 Δίνονται οι συναρτήσεις : f (x)= 1. 1 u 2 x. du και g(x)= 1 f (t )dt ΑΣΚΗΣΗ Δίνεται η συνάρτηση f με τύπο: f (x)= ημ x, x (0,π). α) Να μελετήσετε την f ως προς τη μονοτονία και τα κοίλα. β) Να βρείτε της ασύμπτωτες της γραφικής παράστασης της f. γ) Να βρείτε το σύνολο τιμών

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ο : ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΤΟ 2 Ο ΘΕΜΑ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ο : ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΤΟ 2 Ο ΘΕΜΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ο : ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΤΟ 2 Ο ΘΕΜΑ Άσκηση 1 Δίνονται οι ανισώσεις: 3x και 2 x α) Να βρείτε τις λύσεις τους (Μονάδες 10) β) Να βρείτε το σύνολο των κοινών τους λύσεων (Μονάδες 15) α) Έχουμε 3x 2x x 2

Διαβάστε περισσότερα

3.5 Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ y=α/x-η ΥΠΕΡΒΟΛΗ Ποσά αντιστρόφως ανάλογα- Η υπερβολή

3.5 Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ y=α/x-η ΥΠΕΡΒΟΛΗ Ποσά αντιστρόφως ανάλογα- Η υπερβολή ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ y=α/ Η ΥΠΕΡΒΟΛΗ.5 Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ y=α/-η ΥΠΕΡΒΟΛΗ Ποσά αντιστρόφως ανάλογα- Η υπερβολή Δύο ποσά λέγονται αντιστρόφως ανάλογα, όταν η τιμή του ενός πολλαπλασιαστεί επί έναν αριθµό, τότε η τιµή του

Διαβάστε περισσότερα

Αναλυτικές λύσεις όλων των θεμάτων στα Μαθηματικά των Πανελλαδικών εξετάσεων και των Επαναληπτικών εξετάσεων Θεολόγης Καρκαλέτσης

Αναλυτικές λύσεις όλων των θεμάτων στα Μαθηματικά των Πανελλαδικών εξετάσεων και των Επαναληπτικών εξετάσεων Θεολόγης Καρκαλέτσης Αναλυτικές λύσεις όλων των θεμάτων στα Μαθηματικά των Πανελλαδικών εξετάσεων και των Επαναληπτικών εξετάσεων 9 Θεολόγης Καρκαλέτσης Μαθηματικός teomail@schgr Πρόλογος Στο βιβλίο αυτό περιέχονται όλα τα

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ B ΓΥΝΜΑΣΙΟΥ. 1. Να λυθούν οι εξισώσεις και οι ανισώσεις :

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ B ΓΥΝΜΑΣΙΟΥ. 1. Να λυθούν οι εξισώσεις και οι ανισώσεις : ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ. Να λυθούν οι εξισώσεις και οι ανισώσεις : α) γ) x x 3x 7x 9 4 5 0 x x x 3 6 3 4 β) δ) 3x x 3 x 4 3 5 x x. 4 4 3 5 x 4x 3 x 6x 7. Να λυθεί στο Q, η ανίσωση :. 5 8 8 3. Να λυθούν

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Προσανατολισμού Γ Λυκείου Κανιστράς Δημήτριος. Συναρτήσεις Όρια Συνέχεια Μια πρώτη επανάληψη Απαντήσεις των ασκήσεων.

Μαθηματικά Προσανατολισμού Γ Λυκείου Κανιστράς Δημήτριος. Συναρτήσεις Όρια Συνέχεια Μια πρώτη επανάληψη Απαντήσεις των ασκήσεων. Άσκηση Μαθηματικά Προσανατολισμού Γ Λυκείου Κανιστράς Δημήτριος Συναρτήσεις Όρια Συνέχεια Μια πρώτη επανάληψη Απαντήσεις των ασκήσεων Μέρος ο i. Δίνεται η γνησίως μονότονη συνάρτηση f : A IR. Να αποδείξετε

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 07 3. Να αποδείξετε την ταυτότητα + + αβ βγ γα = Να αποδείξετε ότι για όλους τους α, β, γ ισχύει + + αβ + βγ + γα Πότε ισχύει ισότητα; = = + + =

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ - ΥΠΟΔΕΙΞΕΙΣ ΣΤΙΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ - ΥΠΟΔΕΙΞΕΙΣ ΣΤΙΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ - ΥΠΟΔΕΙΞΕΙΣ ΣΤΙΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ 34 Κεφάλαιο ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ o ΜΕΡΟΣ Απαντήσεις στις ερωτήσεις του τύπου Σωστό-Λάθος. Λ 4. Λ 43. Λ. Σ 5. Λ 44. Σ 3. Λ 6. Λ 45. α) Σ 4. Σ 7. Λ β) Λ 5. Σ 8. Σ

Διαβάστε περισσότερα

Σημαντικές παρατηρήσεις

Σημαντικές παρατηρήσεις ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β ΜΕΡΟΣ (ΑΝΑΛΥΣΗ) ΚΕΦ ο : Διαφορικός Λογισμός Σημαντικές παρατηρήσεις Φυλλάδιο Φυλλάδι555 5 ο ο Η έννοια της παραγώγου Να υπάρχει διάστημα της μορφής ή ή α,,β

Διαβάστε περισσότερα

1ο Κεφάλαιο: Συστήματα

1ο Κεφάλαιο: Συστήματα ο Κεφάλαιο: Συστήματα Γραμμικά συστήματα i. Ποια εξίσωση λέγεται γραμμική; ii. Πως μεταβάλλεται η ευθεία y, 0 ή 0 για τις διάφορες τιμές των α,β,γ; iii. Τι ονομάζεται λύση μιας γραμμικής εξίσωσης; iv.

Διαβάστε περισσότερα

2o Επαναληπτικό Διαγώνισμα 2016

2o Επαναληπτικό Διαγώνισμα 2016 wwwaskisopolisgr o Επαναληπτικό Διαγώνισμα 6 Διάρκεια: ώρες ΘΕΜΑ A A Να αποδείξετε ότι αν δύο συναρτήσεις f,g είναι παραγωγίσιμες στο του πεδίου ορισμού τους, τότε και η συνάρτηση f g είναι παραγωγίσιμη

Διαβάστε περισσότερα

1.8 ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

1.8 ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΟΡΙΟ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 73 8 ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ρισμός της συνέχειας Έστω οι συναρτήσεις g h παρακάτω σχήματα των οποίων οι γραφικές παραστάσεις δίνονται στα C h 6 l ( C l g( C g l l (a Παρατηρούμε ότι:

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΘΕΜΑ Α

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΘΕΜΑ Α ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΘΕΜΑ Α Άσκηση i. Έστω μια συνάρτηση ορισμένη σε ένα διάστημα Δ. Αν F είναι μια παράγουσα της στο Δ, τότε να αποδείξετε ότι: όλες οι συναρτήσεις της

Διαβάστε περισσότερα

1. ** Να βρεθεί το ευρύτερο δυνατό υποσύνολο του R στο οποίο ορίζεται καθεµιά από τις παρακάτω συναρτήσεις: , x [0, 2π] εφx -1

1. ** Να βρεθεί το ευρύτερο δυνατό υποσύνολο του R στο οποίο ορίζεται καθεµιά από τις παρακάτω συναρτήσεις: , x [0, 2π] εφx -1 Ερωτήσεις ανάπτυξης. ** Να βρεθεί το ευρύτερο δυνατό υποσύνολο του R στο οποίο ορίζεται καθεµιά από τις παρακάτω συναρτήσεις: α) f () = ( -) 4 - + β) f () = - - + 3 4 - - γ) f () = δ) f () = - + - - 5-3

Διαβάστε περισσότερα

Κώστας Γλυκός ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ. Γενικής κεφάλαιο 1 Κατεύθυνση Κεφάλαιο 2 Κατεύθυνση σχολικές ασκήσεις 287 ασκήσεις και τεχνικές σε 18 σελίδες. Kglykos.

Κώστας Γλυκός ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ. Γενικής κεφάλαιο 1 Κατεύθυνση Κεφάλαιο 2 Κατεύθυνση σχολικές ασκήσεις 287 ασκήσεις και τεχνικές σε 18 σελίδες. Kglykos. Κώστας Γλυκός Γενικής κεφάλαιο Κατεύθυνση Κεφάλαιο Κατεύθυνση σχολικές ασκήσεις 87 ασκήσεις και τεχνικές σε 8 σελίδες Ι δ ι α ί τ ε ρ α μ α θ ή μ α τ α 6 9 7 0 0 8 8 8 8 Kglykosgr / / 0 6 εκδόσεις Καλό

Διαβάστε περισσότερα

Ο μαθητής που έχει μελετήσει το κεφάλαιο αυτό θα πρέπει να είναι σε θέση:

Ο μαθητής που έχει μελετήσει το κεφάλαιο αυτό θα πρέπει να είναι σε θέση: Ο μαθητής που έχει μελετήσει το κεφάλαιο αυτό θα πρέπει να είναι σε θέση:. Να γνωρίζει τον ορισμό της παραγώγου συνάρτησης σε ένα σημείο και να τον ερμηνεύει ως ρυθμό μεταβολής.. Να γνωρίζει τις έννοιες

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Προσανατολισμού Γ Λυκείου, 1.1-1.7. ΚΑΡΑΓΙΑΝΝΗΣ ΙΩΑΝΝΗΣ Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών Μ Α Θ Η Μ Α Τ Α ΣΤΑ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α

Μαθηματικά Προσανατολισμού Γ Λυκείου, 1.1-1.7. ΚΑΡΑΓΙΑΝΝΗΣ ΙΩΑΝΝΗΣ Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών Μ Α Θ Η Μ Α Τ Α ΣΤΑ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α ΚΑΡΑΓΙΑΝΝΗΣ ΙΩΑΝΝΗΣ Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών Μ Α Θ Η Μ Α Τ Α ΣΤΑ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α Π Ρ Ο Σ Α Ν Α Τ Ο Λ Ι Σ Μ Ο Υ Θ Ε Τ Ι Κ Ω Ν Σ Π Ο Υ Δ Ω Ν, Ο Ι Κ Ο Ν Ο Μ Ι Α Σ & Π Λ Η Ρ Ο Φ Ο Ρ Ι Κ Η Σ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

Διαβάστε περισσότερα

ΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΙΟΥ-ΙΟΥΝΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ. 1 ο δείγμα

ΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΙΟΥ-ΙΟΥΝΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ. 1 ο δείγμα ΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΙΟΥ-ΙΟΥΝΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ 1 ο δείγμα Α1 Αν α> με α 1 τότε για οποιουσδήποτε θ1, θ> να αποδείξετε ότι ισχύει: logα(θ1θ) = logαθ1 + logαθ Α Πότε ένα πολυώνυμο

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. ΘΕΜΑ 2ο

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. ΘΕΜΑ 2ο ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΘΕΜΑ ο _6950 α) Να κατασκευάσετε ένα γραμμικό σύστημα δυο εξισώσεων με δυο αγνώστους με συντελεστές διάφορους του μηδενός, το οποίο να είναι αδύνατο. β) Να παραστήσετε γραφικά

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ σε μια σελίδα Α4 ανά έτος.. προσαρμοσμένα στις επιταγές του ΔΝΤ (IMF:.4o μεσοπρόθεσμο.) ( WWF:.εξοικονόμηση πόρων.

ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ σε μια σελίδα Α4 ανά έτος.. προσαρμοσμένα στις επιταγές του ΔΝΤ (IMF:.4o μεσοπρόθεσμο.) ( WWF:.εξοικονόμηση πόρων. ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ σε μια σελίδα Α4 ανά έτος.. προσαρμοσμένα στις επιταγές του ΔΝΤ (IMF:.4o μεσοπρόθεσμο.) ( WWF:.εξοικονόμηση πόρων.) ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ TEXΝΟΛΟΓ. 5... ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

Θέματα απολυτήριων εξετάσεων ΑΣΚΗΣΕΙΣ

Θέματα απολυτήριων εξετάσεων ΑΣΚΗΣΕΙΣ Α. Να συμπληρωθούν οι ισότητες: (α + β) =.., (α β) 3 = και (α + β)(α β) =.. Β. Να αποδείξετε τη δεύτερη. Θέμα ο Να γράψετε τα τρία (3) κριτήρια ισότητας τριγώνων. Να λυθεί η εξίσωση: 3 + 4 = 7 + 1 Άσκηση

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ 2014 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ 2014 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ 4 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑ Α Α. Έστω μια συνάρτηση f ορισμένη σε ένα διάστημα Δ. Αν Η f είναι συνεχής στο Δ και f = για κάθε εσωτερικό σημείο του Δ τότε να αποδείξετε

Διαβάστε περισσότερα

7. Αν υψώσουμε και τα δύο μέλη μιας εξίσωσης στον κύβο (και γενικά σε οποιαδήποτε περιττή δύναμη), τότε προκύπτει

7. Αν υψώσουμε και τα δύο μέλη μιας εξίσωσης στον κύβο (και γενικά σε οποιαδήποτε περιττή δύναμη), τότε προκύπτει 8 7y = 4 y + y ( 8 7y) = ( 4 y + y) ( y) + 4 y y 4 y = 4 y y 8 7y = 4 y + ( 4 y) = ( 4 y y) ( 4 y) = 4( 4 y)( y) ( 4 y) 4( 4 y)( y) = 0 ( 4 y) [ 4 y 4( y) ] = 4 ( 4 y)( y + 4) = 0 y = ή y = 4) 0 4 H y

Διαβάστε περισσότερα

Για να παραστήσουμε ένα σύνολο χρησιμοποιούμε συνήθως έναν από τους παρακάτω τρόπους :

Για να παραστήσουμε ένα σύνολο χρησιμοποιούμε συνήθως έναν από τους παρακάτω τρόπους : ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ. Σύνολα ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΥΝΟΛΟΥ ΓΡΑΦΗ ΣΥΝΟΛΟΥ Για να παραστήσουμε ένα σύνολο χρησιμοποιούμε συνήθως έναν από τους παρακάτω τρόπους : ) Παράσταση με αναγραφή των στοιχείων Όταν δίνονται

Διαβάστε περισσότερα

2.6 ΣΥΝΕΠΕΙΕΣ ΤΟΥ ΘΕΩΡΗΜΑΤΟΣ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ

2.6 ΣΥΝΕΠΕΙΕΣ ΤΟΥ ΘΕΩΡΗΜΑΤΟΣ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ 6 ΣΥΝΕΠΕΙΕΣ ΤΟΥ ΘΕΩΡΗΜΑΤΟΣ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΣΤΑΘΕΡΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ Αν θέλουμε να δείξουμε ότι μια συνάρτηση είναι σταθερή σε ένα διάστημα Δ αποδεικνύουμε ότι η είναι συνεχής στο Δ και ότι για κάθε

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΛΛΑΔΙΟ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΦΥΛΛΑΔΙΟ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΦΥΛΛΑΔΙΟ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΘΕΜΑ ο _6950 α) Να κατασκευάσετε ένα γραμμικό σύστημα δυο εξισώσεων με δυο αγνώστους με συντελεστές διάφορους του

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ 2 α) Να κατασκευάσετε ένα γραμμικό σύστημα δυο εξισώσεων με δυο αγνώστους με συντελεστές διάφορους του μηδενός, το οποίο να είναι αδύνατο.

ΘΕΜΑ 2 α) Να κατασκευάσετε ένα γραμμικό σύστημα δυο εξισώσεων με δυο αγνώστους με συντελεστές διάφορους του μηδενός, το οποίο να είναι αδύνατο. α) Να κατασκευάσετε ένα γραμμικό σύστημα δυο εξισώσεων με δυο αγνώστους με συντελεστές διάφορους του μηδενός, το οποίο να είναι αδύνατο. (Μονάδες 10) β) Να παραστήσετε γραφικά στο επίπεδο τις δυο εξισώσεις

Διαβάστε περισσότερα

2. Αν έχουμε μια συνάρτηση f η οποία είναι συνεχής σε ένα διάστημα Δ.

2. Αν έχουμε μια συνάρτηση f η οποία είναι συνεχής σε ένα διάστημα Δ. Κατηγορία η Εύρεση μονοτονίας Τρόπος αντιμετώπισης:. Αν έχουμε μια συνάρτηση f η οποία είναι συνεχής σε ένα διάστημα Δ. Αν f( ) σε κάθε εσωτερικό σημείο του Δ, τότε η f είναι γνησίως αύξουσα σε όλο το

Διαβάστε περισσότερα

Καθηγητήσ Μαθηματικών: Κωτςάκησ Γεώργιοσ e-mail: kotsakis @ windowslive. com.

Καθηγητήσ Μαθηματικών: Κωτςάκησ Γεώργιοσ e-mail: kotsakis @ windowslive. com. Καθηγητήσ Μαθηματικών: Κωτςάκησ Γεώργιοσ e-mail: kotsakis @ windowslive. com. A. Οι κανόνες De L Hospital και η αρχική συνάρτηση κάνουν πιο εύκολη τη λύση των προβλημάτων με το Θ. Rolle. B. Η αλγεβρική

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 2ο: ΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ 2ο ΜΕΡΟΣ

Κεφάλαιο 2ο: ΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ 2ο ΜΕΡΟΣ Κεφάλαιο ο: ΙΑΦΟΡΙΚΟ ΟΓΙΜΟ ο ΜΕΡΟ Ερωτήσεις του τύπου «ωστό - άθος» 1. * Αν η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιµη στο R και f (α) f (β), α, β R, α < β, τότε ισχύει f () για κάθε (α, β).. * Αν η συνάρτηση f

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ - ΥΠΟΔΕΙΞΕΙΣ ΣΤΙΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ - ΥΠΟΔΕΙΞΕΙΣ ΣΤΙΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ - ΥΠΟΔΕΙΞΕΙΣ ΣΤΙΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ Κεφάλαιο ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ο ΜΕΡΟΣ Απαντήσεις στις ερωτήσεις του τύπου Σωστό-Λάθος. Σ 6. Λ 8. Λ. Σ 7. Σ 9. Λ 3. Λ 8. Λ 3. Σ 4. Σ 9. Σ 3. α Σ 5. Σ. Σ β Σ 6. Λ.

Διαβάστε περισσότερα

ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 7: ΣΥΝΕΠΕΙΕΣ ΘΕΩΡΗΜΑΤΟΣ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ

ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 7: ΣΥΝΕΠΕΙΕΣ ΘΕΩΡΗΜΑΤΟΣ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 7: ΣΥΝΕΠΕΙΕΣ ΘΕΩΡΗΜΑΤΟΣ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ [Κεφ..6: Συνέπειες του Θεωρήματος της Μέσης Τιμής πλην της Ενότητας Μονοτονία Συνάρτησης του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ

Διαβάστε περισσότερα

20 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ - ΟΡΙΣΜΟΙ

20 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ - ΟΡΙΣΜΟΙ ΕΚΔΣΕΙΣ ΚΕΛΑΦΑ 19 Μιγαδικός αριθμός λέγεται η έκφραση α + i, με α, ΙR. Φανταστικός αριθμός λέγεται η έκφραση i, με ΙR. Αν z = α + i, α, ΙR, το α λέγεται πραγματικό μέρος του z. Αν z = α + i, α, ΙR, το

Διαβάστε περισσότερα

Καρτεσιανές συντεταγμένες Γραφική παράσταση συνάρτησης Εφαρμογές

Καρτεσιανές συντεταγμένες Γραφική παράσταση συνάρτησης Εφαρμογές Καρτεσιανές συντεταγμένες Γραφική παράσταση συνάρτησης Εφαρμογές Να βρείτε για καθεμιά από τις παρακάτω γραμμές αν είναι γραφική παράσταση κάποιας συνάρτησης. 4-1 1 () (1) (3) (4) (5) (6) Αν υπάρχει ευθεία

Διαβάστε περισσότερα

II. Συναρτήσεις. math-gr

II. Συναρτήσεις. math-gr II Συναρτήσεις Παντελής Μπουμπούλης, MSc, PhD σελ blogspotcom, bouboulismyschgr ΜΕΡΟΣ 1 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Α Βασικές Έννοιες Ορισμός: Έστω Α ένα υποσύνολο του συνόλου των πραγματικών αριθμών R Ονομάζουμε πραγματική

Διαβάστε περισσότερα

2.7. ր ց ց ր. Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας A Οµάδας. 1. H παράγωγος µιας συνάρτησης f είναι. f (x) > 0 3(x 1 ) 3 (x 2 ) 2 (x 3) > 0

2.7. ր ց ց ր. Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας A Οµάδας. 1. H παράγωγος µιας συνάρτησης f είναι. f (x) > 0 3(x 1 ) 3 (x 2 ) 2 (x 3) > 0 .7 Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 67 7 A Οµάδας. H παράγωγος µιας συνάρτησης είναι () = ( ) ( ) ( ) Για ποιες τιµές του η παρουσιάζει τοπικό µέγιστο και για ποιες τοπικό ελάχιστο; D = R, όπου και παραγωγίζεται.

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2010 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2010

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2010 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2010 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ 3ο : Δίνεται η συνάρτηση f :(,) R με f() η οποία για κάθε (,

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗ ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ. Λυμένες Ασκήσεις

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗ ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ. Λυμένες Ασκήσεις ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗ ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Λυμένες Ασκήσεις 1. Στο παρακάτω σχήμα να βρείτε τις συντεταγμένες των σημείων Α, Β, Γ, Δ, Ε, Ζ, Η, Θ και Ι Οι συντεταγμένες των ζητούμενων σημείων είναι: Α(2,3),

Διαβάστε περισσότερα

4.3 Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ f (x) x

4.3 Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ f (x) x 1 4.3 Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ f () A Ομάδας Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 164 167 1. Να βρείτε τη γωνία που σχηματίζει με τον άξονα η ευθεία = + = 3 1 i = + 1 iv) = 3 + εφω = 1 ω = 45 ο εφω = 3 ω = 60 ο i εφω

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2014

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2014 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 04 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 04 ΘΕΜΑ ο : * Θεωρούμε τους μιγαδικούς αριθμούς της μορφής xxi,

Διαβάστε περισσότερα

ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΚΑΣΤΕΛΛΑΝΩΝ ΜΕΣΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ

ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΚΑΣΤΕΛΛΑΝΩΝ ΜΕΣΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ ΑΛΓΕΒΡΑ ΠΡΟΑΠΑΙΤΟΥΜΕΝΑ ΑΠΟ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Ομόσημοι Ετερόσημοι αριθμοί Αντίθετοι Αντίστροφοι αριθμοί Πρόσθεση ομόσημων και ετερόσημων ρητών αριθμών Απαλοιφή παρενθέσεων Πολλαπλασιασμός και Διαίρεση ρητών αριθμών

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 00 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ Α A. Έστω μια συνάρτηση ορισμένη σε ένα διάστημα. Αν F είναι μια παράγουσα της στο, τότε να αποδείξετε ότι:

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις στη συνέχεια συναρτήσεων. τέτοια ώστε. lim. και

Ασκήσεις στη συνέχεια συναρτήσεων. τέτοια ώστε. lim. και Ασκήσεις στη συνέχεια συναρτήσεων Άσκηση η Να βρεθούν τα ολικά ακρότατα των συναρτήσεων ) x, 0, ) x x a x x x, x x x x Άσκηση η Αν : a, συνεχής στο, τέτοια ώστε x x και x x Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΑΓΟΠΟΥΛΟΣ ΑΝΤΩΝΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Σελίδα 1

ΠΑΝΑΓΟΠΟΥΛΟΣ ΑΝΤΩΝΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Σελίδα 1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 11 Ο ΜΕΤΡΗΣΗ ΚΥΚΛΟΥ 11.6 ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ ΤΟΥ ΕΜΒΑΔΟΥ ΚΥΚΛΟΥ ΜΕ ΚΑΝΟΝΙΚΑ ΠΟΛΥΓΩΝΑ 11.7 ΕΜΒΑΔΟΝ ΚΥΚΛΙΚΟΥ ΤΟΜΕΑ ΚΑΙ ΚΥΚΛΙΚΟΥ ΤΜΗΜΑΤΟΣ 11.8 ΤΕΤΡΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΚΥΚΛΟΥ ΘΕΩΡΙΑ 1 (Εμβαδόν κυκλικού δίσκου) Θεωρούμε

Διαβάστε περισσότερα

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2013 ÔÑÉÐÔÕ Ï

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2013 ÔÑÉÐÔÕ Ï ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 3 Ε_3.Μλ3ΘΤ(ε) ΤΑΞΗ: ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ: ΜΑΘΗΜΑ: ΘΕΜΑ Α Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

Τράπεζα Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας- Άλγεβρα Β ΓΕ.Λ.-Σχολικό έτος 2014-2015 ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΔΙΑΒΑΘΜΙΣΜΕΝΗΣ ΔΥΣΚΟΛΙΑΣ. Σχολικό έτος: 2014-2015

Τράπεζα Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας- Άλγεβρα Β ΓΕ.Λ.-Σχολικό έτος 2014-2015 ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΔΙΑΒΑΘΜΙΣΜΕΝΗΣ ΔΥΣΚΟΛΙΑΣ. Σχολικό έτος: 2014-2015 ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΔΙΑΒΑΘΜΙΣΜΕΝΗΣ ΔΥΣΚΟΛΙΑΣ Α Λ Γ Ε Β Ρ Α Β Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ Σχολικό έτος: 014-015 Τα θέματα εμπλουτίζονται με την δημοσιοποίηση και των νέων θεμάτων από το Ι.Ε.Π. Γ ε ν ι κ ή Ε π ι μ έ λ ε ι

Διαβάστε περισσότερα

Συναρτήσεις Όρια Συνέχεια

Συναρτήσεις Όρια Συνέχεια Κωνσταντίνος Παπασταματίου Μαθηματικά Γ Λυκείου Κατεύθυνσης Συναρτήσεις Όρια Συνέχεια Συνοπτική Θεωρία Μεθοδολογίες Λυμένα Παραδείγματα Επιμέλεια: Μαθηματικός Φροντιστήριο Μ.Ε. «ΑΙΧΜΗ» Κ. Καρτάλη 8 (με

Διαβάστε περισσότερα

Βασικές Γνώσεις Μαθηματικών Α - Β Λυκείου

Βασικές Γνώσεις Μαθηματικών Α - Β Λυκείου Βασικές Γνώσεις Μαθηματικών Α - Β Λυκείου Αριθμοί 1. ΑΡΙΘΜΟΙ Σύνολο Φυσικών αριθμών: Σύνολο Ακέραιων αριθμών: Σύνολο Ρητών αριθμών: ακέραιοι με Άρρητοι αριθμοί: είναι οι μη ρητοί π.χ. Το σύνολο Πραγματικών

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΑΞΗ Β

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΑΞΗ Β ΥΜΝΑΣΙΟ - 010 48 Α. Τι λέγεται τετραγωνική ρίζα ενός θετικού αριθμού α και πώς συμβολίζεται αυτή; Β. Ποιος αριθμός ονομάζεται άρρητος;. Πώς ορίζονται οι πραγματικοί αριθμοί; Α. Τι λέγεται ημίτονο μιας

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ Σ-Λ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΕΣΠΕΡΙΝΟY. 0, τότε είναι και παραγωγίσιμη στο σημείο αυτό.

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ Σ-Λ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΕΣΠΕΡΙΝΟY. 0, τότε είναι και παραγωγίσιμη στο σημείο αυτό. ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ Σ-Λ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΕΣΠΕΡΙΝΟY Αν μια συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη σ ένα σημείο, τότε είναι και συνεχής στο σημείο αυτό Αν μια συνάρτηση f είναι συνεχής σ ένα

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηµατικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης ΚΕΦΑΛΑΙΟ. 1 ο :Μιγαδικοί Αριθµοί

Μαθηµατικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης ΚΕΦΑΛΑΙΟ. 1 ο :Μιγαδικοί Αριθµοί ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο :Μιγαδικοί Αριθµοί. Ποιο σύνολο ονοµάζεται σύνολο των µιγαδικών αριθµών ;. Tι ονοµάζεται µιγαδικός αριθµός; Ποιο είναι το πραγµατικό και ποιο το φανταστικό του µέρος ; 3. Tι ονοµάζεται εικόνα

Διαβάστε περισσότερα

6.2 ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

6.2 ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 1 6. ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΘΕΩΡΙΑ 1. Οι συντεταγµένες σηµείου Ο Ο άξονας τετµηµένων άξονας τεταγµένων (ΟΚ) µε πρόσηµο = α, η τετµηµένη του Μ (ΟΛ) µε πρόσηµο = β, η τεταγµένη του Μ Το ζευγάρι (α,

Διαβάστε περισσότερα