Doppler, ηλεκτρομαγνητικά κύματα και μερικές εφαρμογές τους!

Transcript

1 1 Doppler, ηλεκτρομαγνητικά κύματα και μερικές εφαρμογές τους! Με αφορμή τις συχνές ερωτήσεις μαθητών για το Doppler και το φως και κυρίως λόγω της επιμονής ενός άριστου μαθητή που από την Β Λυκείου ενθουσιάζονταν με απλά παραδείγματα σχετιζόμενα με την επαγωγή, τα ηλεκτρικά και μαγνητικά πεδία (τον είχε ενθουσιάσει το ότι στις άκρες των φτερών ενός αεροπλάνου εμφανίζεται επαγωγική τάση, όσο απλοϊκό και αν είναι στην πραγματικότητα) που συχνά με ρωτούσε για εφαρμογές του φαινομένου Doppler που δεν διδάσκονται στο ελληνικό σχολείο (στο Ι.Β. όμως ναι). Έτσι επειδή το φαινόμενο αυτό εφαρμόζεται από υπερηχογραφήματα Triplex μέχρι δυαδικά συστήματα αστέρων και απομάκρυνση γαλαξιών θέλησα να συγκεντρώσω για διάφορους ενθουσιώδεις μαθητές μερικές τέτοιες πληροφορίες. Ας τα πάρουμε όμως από την αρχή. Γνωρίζουμε ότι οι σχέσεις για το φαινόμενο Doppler όταν εφαρμόζεται σε ηλεκτρομαγνητικά κύματα είναι διαφορετικές από αυτές που χρησιμοποιούμε για τον ήχο. Καταρχήν με το φως, σε αντίθεση με τον ήχο, δεν υπάρχει διαφορά αν κινείται η πηγή ή ο παρατηρητής αλλά σημασία έχει μόνο η σχετική τους κίνηση. Αν μια πηγή φωτός κινείται με ταχύτητα u προς έναν παρατηρητή Α ο οποίος είναι ακίνητος ως προς αδρανειακό σύστημα αναφοράς, όπως στο παραπάνω σχήμα, στο αδρανειακό αυτό σύστημα αναφοράς αν η πηγή εκπέμπει κύματα συχνότητας f o και περιόδου Τ ο =(1/f o ), τι συχνότητα θα λαμβάνει ο παρατηρητής Α; Έστω Τ το χρονικό διάστημα μεταξύ εκπομπής δύο διαδοχικών κορυφών που παρατηρεί ο παρατηρητής Α, αυτό δεν είναι το χρονικό διάστημα που φτάνουν δυο διαδοχικές κορυφές στην θέση του παρατηρητή διότι εκπέμφθηκαν σε διαφορετικές θέσεις ως προς το σύστημα αναφοράς του. Μετρώντας την συχνότητα f που μετράει, δεν λαμβάνει υπόψη την διαφορά στους χρόνους διέλευσης για διαδοχικές κορυφές. Οπότε η συχνότητα που λαμβάνει δεν είναι 1/Τ.

2 2 Σε χρόνο Τ οι κορυφές μπροστά από την πηγή διανύουν απόσταση ct και η πηγή απόσταση ut προς την ίδια κατεύθυνση. Η απόσταση λ μεταξύ δύο διαδοχικών κορυφών (μήκος κύματος) είναι λ=(c-u)t, όπως μετριέται από το σύστημα αναφοράς του παρατηρητή Α. Η συχνότητα που θα μετρά είναι f=c/λ=c/(c-u)t (1) Λόγω διαστολής χρόνου δεν είναι σχετικιστικά σωστό να πούμε ότι Τ=Τ ο, επειδή μάλιστα ο χρόνος Τ 0 μετριέται στο πλαίσιο ηρεμίας (rest frame) της πηγής είναι ο ιδιόχρονος (proper time - ιδιοχρόνος είναι το χρονικό διάστημα που διαχωρίζει δύο φαινόμενα τα οποία έλαβαν χώρα στο ίδιο σημείο του χώρου). Έτσι λοιπόν Άρα (2) Άρα η (1) λόγω της (2) γίνεται Και εφαρμόζοντας διαφορά τετραγώνων θα έχουμε Για να συνοψίσουμε, η εφαρμογή των μετασχηματισμών Lorentz στο φαινόμενο Doppler μας δίνει για την περίπτωση όπου η πηγή πλησιάζει τον παρατηρητή με συχνότητα u Ενώ όταν η πηγή απομακρύνεται από τον παρατηρητή με ταχύτητα u

3 3 Η μετατόπιση Doppler (Doppler shift) είναι f-f 0 =Δf και αν c>>u τότε ή καλύτερα. Στην εξίσωση αυτή, u είναι η ταχύτητα της πηγής ή του παρατηρητή, c η ταχύτητα τους φωτός και f η εκπεμπόμενη συχνότητα. Οπότε Δf είναι η μεταβολή στην παρατηρούμενη συχνότητα. Οι αντίστοιχες σχέσεις για το μήκος κύματος είναι: Στην περίπτωση που η πηγή πλησιάζει τον παρατηρητή με ταχύτητα u Ενώ όταν η πηγή απομακρύνεται από τον παρατηρητή με ταχύτητα u Όπου λ το μήκος κύματος που λαμβάνει ο παρατηρητής και λ 0 το μήκος κύματος που εκπέμπει η πηγή. Ας παίξουμε λιγάκι με μερικά απλά προβλήματα. Πρόβλημα 1 Αν ένας ραδιοσταθμός FM με συχνότητα εκπομπής 101,5MHz λαμβάνεται από παρατηρητή στα 101,7ΜΗz, ποια είναι η ταχύτητα του παρατηρητή σε σχέση με τον εκπομπών ραδιοσταθμό. Και επειδή η f είναι μεγαλύτερη της f 0 η πηγή πλησιάζει τον παρατηρητή.

4 4 Πρόβλημα 2 Έστω ότι άτομα H 2 σε ένα μακρινό γαλαξία εκπέμπουν φως μήκους κύματος 658nm ενώ στη Γη λαμβάνουμε 689nm. Αναφέρατε αν ο γαλαξίας πλησιάζει ή απομακρύνεται από την Γη και υπολογίσατε την ταχύτητά του. Καταρχήν επειδή το λαμβανόμενο μήκος κύματος είναι μεγαλύτερο από το εκπεμπόμενο, ο γαλαξίας απομακρύνεται από την Γη (περισσότερα για αυτό αργότερα). Η εκπεμπόμενη συχνότητα είναι Η λαμβανόμενη συχνότητα είναι Η μετατόπιση Doppler λοιπόν είναι Δf=0, Hz και έτσι η ταχύτητα απομάκρυνσης του γαλαξία θα είναι

5 5 Τελευταίες Παρατηρήσεις Αν εφαρμόσουμε το φαινόμενο Doppler σε ένα δυαδικό σύστημα αστέρων όπου τα αστέρια στρέφονται γύρω από το κέντρο μάζας τους θα έχουμε. (Να αναφέρουμε ότι το εσώτερο αστέρι έχει την μεγαλύτερη μάζα και ότι τα αστέρια είναι πάντα διαμετρικά αντίθετα μεταξύ τους). Αν το εξωτερικό αστέρι είναι φωτεινότερο το φως του φτάνει στον παρατηρητή με μειωμένο μήκος κύματος (blueshifted) στην 1 η περίπτωση και με μεγαλύτερο μήκος κύματος (redshifted) στην δεύτερη περίπτωση. Αν λ ο είναι το μήκος κύματος της φασματικής γραμμής και λ το μήκος κύματος που λαμβάνουμε στη Γη, η μετατόπιση z είναι Αν η ταχύτητα της πηγής είναι μικρή σε σχέση με αυτήν του φωτός τότε προκύπτει ότι πράγμα που αποδεικνύει ότι η μετατόπιση Doppler είναι ανάλογη της ταχύτητας της πηγής. Βέβαια η μέτρηση μας είναι για την συνιστώσα της ταχύτητας στην ευθεία όψεως μας και όχι για την συνολική ταχύτητα του αστεριού. Όσον αφορά τους γαλαξίες το μήκος κύματος του φωτός φτάνει redshifted (δηλαδή μεγαλύτερο του μήκους κύματος κατά την εκπομπή). Αυτό αποδεικνύει ότι οι γαλαξίες απομακρύνονται από την Γη. Βέβαια για να ακριβολογούμε το φαινόμενο αυτό προβλέπεται από την Γενική θεωρία της Σχετικότητας (διαστελλόμενο Σύμπαν).

6 6 Τέλος αξίζει να αναφέρουμε και τον νόμο του Hubble σύμφωνα με τον οποίο όσο μακρύτερα είναι ο γαλαξίας τόσο γρηγορότερα απομακρύνεται από εμάς. V=H d d απόσταση Γης Γαλαξία v ταχύτητα απομάκρυνσης Η σταθερά Hubble (σταθερή στον χώρο αλλά μεταβάλλεται με το χρόνο με πιο πρόσφατη τιμή 72km s -1 Mpc -1 ) Σημαντικότατη ανακάλυψη διότι μπορέσαμε να δούμε ένα σύμπαν δυναμικό, εξελισσόμενο και σε εκτόνωση. Πρόβλημα 3 Γραμμή φάσματος που μετριέται στη Γη στα 440nm όταν λαμβάνεται από μακρινό γαλαξία μετριέται στα 520nm. Ποια η ταχύτητα απομάκρυνσης του γαλαξία και ποια η απόσταση του. = =0,1818 Τέλος από τον νόμο του Hubble