Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ. Ημερομηνία: Τρίτη 10 Απριλίου 2018 Διάρκεια Εξέτασης: 3 ώρες ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ

Transcript

1 ΑΠΟ /4/8 ΕΩΣ 4/4/8 ΤΑΞΗ: ΜΑΘΗΜΑ Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Ημερομηνία: Τρίτη Απριλίου 8 Διάρκεια Εξέτασης: ώρες ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α Α Έστω μία συνάρτηση ορισμένη σε ένα διάστημα Δ Αν o η είναι συνεχής στο Δ και o ( ) για κάθε εσωτερικό σημείο του Δ τότε να αποδείξετε ότι η είναι σταθερή σε όλο το διάστημα Δ Μονάδες 7 Α Θεωρήστε τον παρακάτω ισχυρισμό: «Αν μία συνάρτηση είναι δύο φορές παραγωγίσιμη και κυρτή σ ένα διάστημα Δ, τότε θα ισχύει πάντοτε ( ) για κάθε Δ» α Να χαρακτηρίσετε τον παραπάνω ισχυρισμό γράφοντας στο τετράδιό σας το γράμμα Α, αν είναι αληθής, ή το γράμμα Ψ, αν είναι ψευδής (μονάδα ) β Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας στο ερώτημα α (μονάδες ) Μονάδες 4 Α Πότε η ευθεία λέγεται κατακόρυφη ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης μιας συνάρτησης ; Μονάδες 4 Α4 Να γράψετε στο τετράδιό σας το γράμμα κάθε πρότασης και δίπλα σε κάθε γράμμα τη λέξη Σωστό, για τη σωστή πρόταση, και τη λέξη Λάθος, για τη λανθασμένη α Μία συνεχής συνάρτηση διατηρεί πρόσημο σε καθένα από τα διαστήματα στα οποία οι διαδοχικές ρίζες της χωρίζουν το πεδίο ορισμού της β Αν μία συνάρτηση δεν είναι συνεχής σε ένα σημείο του πεδίου ορισμού της, τότε υποχρεωτικά δεν υπάρχει το όριό της στο ΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΟΡΙΖΟΝΤΑΙ ΓΙΑ ΑΠΟΚΛΕΙΣΤΙΚΗ ΧΡΗΣΗ ΤΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΗΣ ΜΟΝΑΔΑΣ ΣΕΛΙΔΑ: ΑΠΟ 4

2 ΑΠΟ /4/8 ΕΩΣ 4/4/8 γ Αν lim ( ) και ( ) κοντά στο, τότε lim ( ) δ Κάθε συνάρτηση για την οποία ισχύει ( ), για κάθε ( a, ) (, ), είναι σταθερή στο ( a, ) (, ) ε Αν η συνάρτηση είναι συνεχής σε ένα διάστημα Δ και α, β, γ, τότε ισχύει: ( ) d ( ) d ( ) d Μονάδες 5 ΘΕΜΑ Β Δίνεται η συνάρτηση ( ) ln, Β Να βρείτε τις οριζόντιες και κατακόρυφες ασύμπτωτες της γραφικής παράστασης της συνάρτησης εάν υπάρχουν Β Να αποδείξετε ότι η εξίσωση ( ) έχει μοναδική ρίζα στο διάστημα (, e ) Μονάδες 6 Μονάδες 7 Β Να υπολογίσετε το εμβαδό του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της συνάρτησης, τον άξονα και τις ευθείες e, e Β4 Να υπολογίσετε το όριο lim ( ) Μονάδες 8 Μονάδες 4 ΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΟΡΙΖΟΝΤΑΙ ΓΙΑ ΑΠΟΚΛΕΙΣΤΙΚΗ ΧΡΗΣΗ ΤΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΗΣ ΜΟΝΑΔΑΣ ΣΕΛΙΔΑ: ΑΠΟ 4

3 ΑΠΟ /4/8 ΕΩΣ 4/4/8 ΘΕΜΑ Γ Έστω η συνεχής και παραγωγίσιμη συνάρτηση :[,6] Η γραφική παράσταση της συνάρτησης ( ) δίνεται στο παρακάτω σχήμα Δίνεται ακόμα (), 4 και 8 όπου και τα εμβαδά των χωρίων του σχήματος Γ Να αποδείξετε ότι () 4 και (6) 4 Γ Να βρείτε τη μονοτονία, τα ακρότατα και το σύνολο τιμών της συνάρτησης () Μονάδες 6 Μονάδες 6 Γ Να προσδιορίσετε τα διαστήματα στα οποία η είναι κοίλη, κυρτή καθώς και τις θέσεις των σημείων καμπής Μονάδες 6 Γ4 Να αποδείξετε ότι υπάρχουν, (,6) ώστε οι εφαπτόμενες στα σημεία, ( ) και, ( ) να σχηματίζουν γωνίες, με τον άξονα τέτοιες ώστε Μονάδες 7 ΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΟΡΙΖΟΝΤΑΙ ΓΙΑ ΑΠΟΚΛΕΙΣΤΙΚΗ ΧΡΗΣΗ ΤΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΗΣ ΜΟΝΑΔΑΣ ΣΕΛΙΔΑ: ΑΠΟ 4

4 ΑΠΟ /4/8 ΕΩΣ 4/4/8 ΘΕΜΑ Δ Δίνεται η παραγωγίσιμη συνάρτηση : για την οποία ισχύουν: o ( ) ( ) ( t) dt () e για κάθε o () () 7 Δ Να δείξετε ότι υπάρχει (,) ώστε ( ) Δ Να αποδείξετε ότι ( t) dt () και στη συνέχεια να δείξετε ότι ( ), Μονάδες 5 Μονάδες 6 Δ α Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης (ε) της C στο σημείο της, ( ), a και στη συνέχεια να δείξετε ότι η (ε) έχει και άλλο κοινό σημείο Ν με τη γραφική παράσταση της συνάρτησης β Αν Ω είναι το χωρίο που περικλείεται από τη εφαπτομένη (ε) και τη C, να βρείτε τον θετικό πραγματικό αριθμό α ώστε το εμβαδό του χωρίου Ω να είναι ( ) 78 Μονάδες 9 Δ4 Ένα κινητό Κ ξεκινά από την αρχή των αξόνων και κινείται κατά μήκος της καμπύλης y, Όταν το Κ περνάει από το Γ(, 8), τότε η ταχύτητα u απομάκρυνσής του από τον άξονα yy είναι μονάδες ανά δευτερόλεπτο Να βρείτε την ταχύτητα u απομάκρυνσής του από τον άξονα, τη χρονική στιγμή που το Κ περνάει από το σημείο Γ Μονάδες 5 ΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΟΡΙΖΟΝΤΑΙ ΓΙΑ ΑΠΟΚΛΕΙΣΤΙΚΗ ΧΡΗΣΗ ΤΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΗΣ ΜΟΝΑΔΑΣ ΣΕΛΙΔΑ: 4 ΑΠΟ 4

5 ΑΠΟ /4/8 ΕΩΣ 4/4/8 ΤΑΞΗ: ΜΑΘΗΜΑ Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Ημερομηνία: Τρίτη Απριλίου 8 Διάρκεια Εξέτασης: ώρες ΘΕΜΑ Α Α Θεωρία σελίδα ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Α Λάθος Για παράδειγμα έστω η συνάρτηση γνησίως αύξουσα στο R, η ( ) είναι θετική στο R αφού () ( ) 4 Επειδή η 4 είναι κυρτή στο R Εντούτοις η ( ) 4 είναι ( ) δεν Α Θεωρία σελίδα 6 Α4 α Σωστό β Λάθος γ Σωστό δ Λάθος ε Σωστό ΘΕΜΑ Β Β Η έχει πεδίο ορισμού το (, ) Είναι: lim ( ) lim ln γιατί lim ln και lim Άρα η ευθεία είναι κατακόρυφη ασύμπτωτη της C lim ( ) lim ln γιατί lim ln και lim Άρα η συνάρτηση δεν έχει οριζόντια ασύμπτωτη στο B Η συνάρτηση είναι συνεχής στο [, e ] ως διαφορά συνεχών συναρτήσεων e () ln και ( e) ln e Άρα () ( e) e e e Επομένως από το θεώρημα Bolzano, θα υπάρχει ένα τουλάχιστον (, e) τέτοιο ώστε ( ) ΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΟΡΙΖΟΝΤΑΙ ΓΙΑ ΑΠΟΚΛΕΙΣΤΙΚΗ ΧΡΗΣΗ ΤΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΗΣ ΜΟΝΑΔΑΣ ΣΕΛΙΔΑ: ΑΠΟ 7

6 ΑΠΟ /4/8 ΕΩΣ 4/4/8 H συνεχής στο (, ) Για (, ) είναι ( ) για κάθε συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα στο (, ) οπότε η είναι - Επομένως ο αριθμός (, e) θα είναι μοναδική ρίζα της εξίσωσης ( ) B Η συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα στο (, ) οπότε: Άρα η Για [ e, e] είναι: e e ( e) ( ) ( e) Επομένως ( e) ( ) Το εμβαδό του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της συνάρτησης, τον άξονα και τις ευθείες e, e θα είναι: e e e e e e ( ) ( ) d ln d ln d d ( ) ln d [ln ] e e e e e e e e e [ ln ] e d ln( e) ln e e ln( e) e ln e d ln( e) e e e ln( e) e ( e e) ln( e) eln( e) e e ln( e) e ln( e) e ln( e) e ln ln e e ln ln e e ln e ln e ln e e ln eln ln ln (e ) lim ( ) lim ln lim ln, γιατί: ln lim ln lim lim lim lim DLH Β4 Είναι ΘΕΜΑ Γ Γ Η συνάρτηση ( ) είναι συνεχής στο [,6] και όπως φαίνεται στο σχήμα είναι ( ) για [,] και ( ) για [,6] Θα ισχύει: 4 ( ) d 4 [ ( )] 4 () () 4 () 4 () ( ) d 8 [ ( )] 8 (6) () 8 (6) 4 8 (6) 4 Γ ΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΟΡΙΖΟΝΤΑΙ ΓΙΑ ΑΠΟΚΛΕΙΣΤΙΚΗ ΧΡΗΣΗ ΤΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΗΣ ΜΟΝΑΔΑΣ ΣΕΛΙΔΑ: ΑΠΟ 7

7 ΑΠΟ /4/8 ΕΩΣ 4/4/8 6 + Είναι ( ) για (,) οπότε η είναι γνησίως αύξουσα στο [,] και ( ) για (,6) οπότε η είναι γνησίως φθίνουσα στο [,6] Η συνάρτηση παρουσιάζει τοπικό ελάχιστο στο = το (), μέγιστο στο = το () 4 και ελάχιστο στο =6 το (6) 4 Στο διάστημα [,] η έχει σύνολο τιμών το [,6] το ( ) (6), () [ 4,4] [,6] [ 4,4] ( ) (), () [,4] και στο Άρα το σύνολο τιμών της είναι το Γ Είναι ( ) γνησίως αύξουσα σε καθένα από τα διαστήματα [, ] και [4, 6] ενώ είναι γνησίως φθίνουσα στο διάστημα [, 4] Επομένως η συνάρτηση είναι κυρτή σε καθένα από τα διαστήματα [, ] και [4, 6] και κοίλη στο διάστημα [, 4] Η έχει δύο σημεία, () 4, (4) καμπής στο και Γ4 Ισχύει ( ) και ( ) Αρκεί να δείξουμε ότι υπάρχουν, (,6) τέτοια ώστε ( ) ( ) ( ) ( ) o συνεχής στο [, ] o παραγωγίσιμη στο (,) άρα από το θεώρημα μέσης τιμής θα υπάρχει ένα τουλάχιστον (,) τέτοιο ώστε: () () 4 ( ) o συνεχής στο [, 6] o παραγωγίσιμη στο (,6) ΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΟΡΙΖΟΝΤΑΙ ΓΙΑ ΑΠΟΚΛΕΙΣΤΙΚΗ ΧΡΗΣΗ ΤΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΗΣ ΜΟΝΑΔΑΣ ΣΕΛΙΔΑ: ΑΠΟ 7

8 ΑΠΟ /4/8 ΕΩΣ 4/4/8 άρα από το θεώρημα μέσης τιμής θα υπάρχει ένα τουλάχιστον (,6) τέτοιο ώστε: (6) () ( ) επομένως ( ) ( ) ( ) ΘΕΜΑ Δ Δ Θεωρούμε τη συνάρτηση g( ) ( ) Η g είναι συνεχής στο [, ] ως διαφορά συνεχών συναρτήσεων Η g είναι παραγωγίσιμη στο (, ) με g( ) ( ) g() () () και () () 7 () () () 8 () 7 8 () g οπότε είναι g() g() Άρα ισχύει το θεώρημα του Rolle στο διάστημα [,], οπότε θα υπάρχει ένα τουλάχιστον (,) τέτοιο ώστε g( ) ( ) ( ) Δ Ισχύει προκύπτει: ( ) ( ) ( t) dt () e για κάθε Αν θέσουμε όπου το ξ ( ) ( ) ( t) dt () e ( ) ( ) ( t) dt () e ( ) ( ) ( ) t dt e t dt t dt e ( ) ( ) () ( ) () ( ) () Ισχύει ( ) ( t) dt () e ( ) e ( ) ( t) dt () ( ) ( ) ( ) ( ) c, Άρα ΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΟΡΙΖΟΝΤΑΙ ΓΙΑ ΑΠΟΚΛΕΙΣΤΙΚΗ ΧΡΗΣΗ ΤΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΗΣ ΜΟΝΑΔΑΣ ΣΕΛΙΔΑ: 4 ΑΠΟ 7

9 ΑΠΟ /4/8 ΕΩΣ 4/4/8 ( t) dt () t c dt c ct c 4 4 t Όμως c c c c c c 4 4 Άρα είναι ( ) ( ), Δ α Είναι ( ), Η εξίσωση της εφαπτομένης (ε) της C στο σημείο της, ( ), a είναι: y a a a y a a a y a a a y a a ( ) ( )( ) ( ) Οι τετμημένες των κοινών σημείων της εξίσωσης C με την ευθεία (ε) προκύπτουν από την λύση της y a a a a a a a ( ) ( ) a a a a a a a ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( a) ( a) a ( a)( a a ) a ή a a a ή a a Το τριώνυμο a a έχει Άρα τα κοινά σημεία των (ε) και 9 και ρίζες, C είναι το, aa a a και το, 8 β Το πρόσημο της παράστασης πίνακα ( ) y a a φαίνεται στον παρακάτω ( ) -α α y ΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΟΡΙΖΟΝΤΑΙ ΓΙΑ ΑΠΟΚΛΕΙΣΤΙΚΗ ΧΡΗΣΗ ΤΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΗΣ ΜΟΝΑΔΑΣ ΣΕΛΙΔΑ: 5 ΑΠΟ 7

10 ΑΠΟ /4/8 ΕΩΣ 4/4/8 Άρα για ( a, a) η C είναι πάνω από την ευθεία (ε), οπότε: a 4 a ( ) ( ) a a d a a d a 4 a a a a a a a 4a a a a a a a a a 4a 7a τμ Όμως 4 7a ( ) a a 644 a Δ4 Έστω () t και y y() t οι συντεταγμένες του Κ τη χρονική στιγμή tt, Έχουμε y t ( ) ( t) και y( t) ( t) ( t) () Έστω t η χρονική στιγμή που το Κ διέρχεται από το Γ Είναι t ( ), ( t) u και y( t) u Για t t η () γίνεται: y( t) u y( t ) ( t ) ( t ) u u 4 μονάδες/sec ΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΟΡΙΖΟΝΤΑΙ ΓΙΑ ΑΠΟΚΛΕΙΣΤΙΚΗ ΧΡΗΣΗ ΤΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΗΣ ΜΟΝΑΔΑΣ ΣΕΛΙΔΑ: 6 ΑΠΟ 7

11 ΑΠΟ /4/8 ΕΩΣ 4/4/8 ΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΟΡΙΖΟΝΤΑΙ ΓΙΑ ΑΠΟΚΛΕΙΣΤΙΚΗ ΧΡΗΣΗ ΤΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΗΣ ΜΟΝΑΔΑΣ ΣΕΛΙΔΑ: 7 ΑΠΟ 7