Δ1. Δ2. Δ3. Δ4. Λύση Δ1. Δ2. Δ3. Δ4. Δ1. Δ2. Δ3.

Transcript

1 1)Δύο σώματα με μάζες m 1 = 0,4 kg και m 2 = 0,6 kg κινούνται πάνω σε οριζόντιο επίπεδο με συντελεστή τριβής ολίσθησης μ = 0,2. Τα σώματα κινούνται σε αντίθετες κατευθύνσεις και συγκρούονται πλαστικά, έχοντας ακριβώς πριν τη στιγμή της σύγκρουσης ταχύτητες μέτρων υ 1 = 20 m/s και υ 2 = 5 m/s αντίστοιχα. Δ 1. Να υπολογίσετε και να σχεδιάσετε τις ορμές των δύο σωμάτων ακριβώς πριν την κρούση. Δ 2. Να υπολογίσετε την ταχύτητα του συσσωματώματος αμέσως μετά την κρούση. Δ 3. Να υπολογίσετε το χρονικό διάστημα για το οποίο το συσσωμάτωμα θα κινηθεί μετά την κρούση. Δ 4. Να υπολογίσετε την αύξηση της θερμικής ενέργειας μετά την κρούση των σωμάτων λόγω της τριβής στο τραχύ δάπεδο. Δίνεται η επιτάχυνση της βαρύτητας στην επιφάνεια της Γης g = 10 m / s². Δ 1. Έχουμε μια πλαστική κρούση των σωμάτων m 1 και m 2. (Η πλαστική κρούση είναι ειδική περίπτωση της ανελαστικής κρούσης) Η ορμή του σώματος μάζας m 1 : Ρ 1 = m 1 υ 1 = 0,4 20 = 8 kg m / s, Η ορμή του σώματος μάζας m 2 : Ρ 2 = m 2 υ 2 = 0,6 5 = 3 kg m / s. Δεν σχεδιάσαμε τις ορμές των σωμάτων m 1 και m 2, θέλουμε να το κάνετε μόνοι σας (είναι ιδιαίτερα εύκολο), στο σχήμα βλέπετε την διεύθυνση και φορά των υ 1 και υ 2 (η ορμή είναι ομόρροπο διάνυσμα με την ταχύτητα) ξέρετε και τα μέτρα των Ρ 1 και Ρ 2. Δ 2. Aρχή διατήρησης της ορμής: (ισχύει σε μονωμένο σύστημα σωμάτων, όταν δηλαδή η συνισταμένη των εξωτερικών δυνάμεων ΣF εξ = 0.) Ρ ολ,αρχ = Ρ oλ,τελ m 1 υ 1 m 2 υ 2 = (m 1 + m 2 ) υ υ = ( m 1 υ 1 m 2 υ 2 ) / (m 1 + m 2 ) υ = (8 3) / 1 υ = 5 m / s. Δ 3. Στο συσσωμάτωμα ασκείται συνισταμένη δύναμη ΣF x πάνω στη διεύθυνση κίνησης: ΣF x = T Τ = μ Ν Τ = μ (m 1 + m 2 ) g Τ = 0,2 (0,4 + 0,6) 10 Τ = 2 N. Ο 2ος Newton για το συσσωμάτωμα: ΣF x = (m 1 + m 2 ) α α = Τ / (m 1 + m 2 ) α = 2 / 1 = 2 m / s². To συσσωμάτωμα εκτελεί ευθύγραμμη ομαλά επιβραδυνόμενη κίνηση, άρα υ = υ α t 0 = υ α t t = υ / α t = 5 / 2 t = 2,5 s. Δ 4. H αρχή διατήρησης της ενέργειας: (η γενικότερη μορφή, η μόνη αρχή διατήρησης της ενέργειας που μπορούμε να εφαρμόσουμε στην περίπτωση ανελαστικής κρούσης) Κ = Q + K, όπου Κ η κινητική ενέργεια του συσσωματώματος αμέσως μετά την κρούση, Q η θερμική ενέργεια (θερμότητα λόγω της τριβής) και Κ η τελική κινητική ενέργεια του συσσωματώματος (Κ = 0) : Q = K Q = ½ (m 1 + m 2 ) υ² Q = ½ (1) 5² Q = 12,5 joule. 2)Μπαλάκι του τένις, μάζας m, αφήνεται να πέσει από ύψος h 2 από την επιφάνεια του εδάφους. Αφού χτυπήσει στο έδαφος αναπηδά και φτάνει σε ύψος h 2 από την επιφάνεια του εδάφους. Να υπολογίσετε : Δ 1. το μέτρο της ταχύτητας που έχει το μπαλάκι ακριβώς πριν προσκρούσει στο έδαφος, Δ 2. τη μεταβολή της ορμής του (μέτρο και κατεύθυνση) κατά τη διάρκεια της πρόσκρουσης του στο έδαφος. Δ 3. Αν η μέση συνισταμένη δύναμη που ασκείται στο μπαλάκι κατά τη διάρκεια της πρόσκρουσης έχει μέτρο 6 Ν να υπολογιστεί η χρονική διάρκεια της πρόσκρουσης. Στη συνέχεια το μπαλάκι αναπηδά στο έδαφος για δεύτερη φορά.

2 Δ 4. Εάν γνωρίζετε ότι κατά τη διάρκεια της δεύτερης αυτής πρόσκρουσης χάνεται στο περιβάλλον το 50% της ενέργειας που είχε το μπαλάκι πριν την πρόσκρουση, να υπολογίσετε το νέο μέγιστο ύψος από το έδαφος, h 3 στο οποίο θα ανέβει. Δίνεται η επιτάχυνση της βαρύτητας στην επιφάνεια της Γης g = 10 m / s 2, m = 100 g, h 1 = 80 cm, h 2 = 20 cm. Η αντίσταση του αέρα θεωρείται αμελητέα. Δ 1. Αρχή διατήρησης μηχανικής ενέργειας για το σώμα μάζας m μεταξύ των θέσεων Α Β : Κ Α + U A = K B + U B 0 + m g h 1 = ½ m υ Β ² + 0 υ Β ² = 2 g h 1 υ Β ² = υ Β ² = 16 υ Β = 4 m / s. Δ 2. Αρχή διατήρησης μηχανικής ενέργειας για το σώμα μάζας m μεταξύ των θέσεων B Γ : Κ Β + U Β = K Γ + U Γ ½ m υ Β ² + 0 = 0 + m g h 2 υ Β ² = 2 g h 2 υ Β ² = ,2 υ Β ² = 4 υ Β = 2 m / s. Kατά την πρόσκρουση του σώματος στο έδαφος η μεταβολή της ορμής του είναι: ΔΡ = Ρ τελ Ρ αρχ ΔΡ = m υ Β m υ Β = 0,1 (2 (-4)) = 0,6 kg m / s. Δ 3. O δεύτερος γενικευμένος νόμος του Newton: ΣF = ΔΡ / Δt Δt = ΔΡ / ΣF Δt = 0,6 / 6 Δt = 0,1 s. Δ 4. H ταχύτητα που επιστρέφει στο Β είναι ίδια με αυτή που είχε πριν υ Β = υ Β (το ύψος h 2 είναι το ίδιο), χάνεται στο περιβάλλον το 50% ενέργειας που είχε κατά την πρόσκρουση, άρα: Κ Β = (50 / 100) ½ m υ Β ² = ¼ 0,1 2² = 0,1 joule. Αρχή διατήρησης μηχανικής ενέργειας για το σώμα m μεταξύ των θέσεων B Δ : Κ Β + U Β = K Δ + U Δ 0,1 + 0 = 0 + m g h 3 h 3 = 0,1 / 0,1 10 = 0,1 m. 3) Σε οριζόντιο επίπεδο βρίσκεται ακίνητο ένα μήλο μάζας Μ = 200 g. Ένα μικρό βέλος μάζας m = 40 g κινείται οριζόντια με ταχύτητα μέτρου, υ 1 = 10 m / s, χτυπά το μήλο με αποτέλεσμα να το διαπεράσει. Αν γνωρίζετε ότι η χρονική διάρκεια της διάτρησης είναι Δt = 0,1 s και ότι το βέλος εξέρχεται από μήλο με ταχύτητα, μέτρου υ 2 = 2 m / s, να υπολογίσετε : Δ 1. το μέτρο της ορμής του μήλου ακριβώς μετά την έξοδο του βέλους από αυτό, Δ 2. τη μεταβολή της ορμής του βέλους εξαιτίας της διάτρησης, Δ 3. τη μέση δύναμη που ασκείται από το βέλος στο μήλο κατά τη χρονική διάρκεια της διάτρησης καθώς και τη μέση δύναμη που ασκείται από το μήλο στο βέλος στην ίδια χρονική διάρκεια, Δ 4. Το ποσοστό της αρχικής κινητικής ενέργειας του βέλους που μεταφέρεται στο περιβάλλον του συστήματος μήλοβέλος κατά τη διάρκεια της διάτρησης. Για την επίλυση του προβλήματος θεωρήστε το βέλος αλλά και το μήλο ως υλικά σημεία.

3 Δ 1. Αρχή διατήρησης της ορμής: (διανυσματική σχέση που ισχύει σε μονωμένο σύστημα) Ρ oλ.αρχ = Ρ oλ.τελ m υ 1 = m υ 2 + Μ υ Μ υ = m υ 1 m υ 2 υ = m (υ 1 υ 2 ) / Μ υ = 0,04 (10 2) / 0,2 υ = 0,32 / 0,2 υ = 1,6 m / s. Η ορμή του Μ: Ρ M = M υ = 0,2 1,6 = 0,32 kg m / s. Δ 2. Η μεταβολή της ορμής του σώματος m: ΔΡ m = Ρ τελ,m Ρ αρχ,m = m υ 2 m υ 1 ΔΡ m = m (υ 2 υ 1 ) ΔΡ m = 0,04 (2 10) ΔΡ m = 0,32 kg m / s. Δ 3. O δεύτερος γενικευμένος νόμος του Newton: για το m: ΣF m = ΔΡ m / Δt ΣF m = 0,32 / 0,1 ΣF m = 3,2 N για το Μ: ΣF M = ΔΡ M / Δt ΣF M = (Ρ M 0) / 0,1 ΣF M = 0,32 / 0,1 ΣF M = 3,2 N. Δ 4. H ενέργεια διατηρείται: (η γενικότερη μορφή αρχής διατήρησης της ενέργειας) Κ αρχ = Κ τελ + Q Q = Κ αρχ Κ τελ Q = ½ m υ 1 ² (½ m υ 2 ² + ½ M υ ²) Q = ½ 0,04 10² (½ 0,04 2² + ½ 0,2 1,6²) Q = 1,664 joule. Όπου Q η ενέργεια που μεταφέρεται από το σύστημα στο περιβάλλον. Δεδομένου ότι το σύστημα δίνεται (μήλο βέλος) και η ενέργεια Q δίνεται από το σύστημα στο περιβάλλον, η Q < 0. Ζητείται το ποσοστό: (Q / Κ αρχ ) 100% = (- 1,664 / 2) 100% (Q / Κ αρχ ) 100% = 83,2 %. 4) Μια βόμβα μάζας m = 3 kg βρίσκεται στιγμιαία ακίνητη σε ύψος H = 500 m από την επιφάνεια της Γης. Τη στιγμή εκείνη εκρήγνυται σε δύο κομμάτια. Το πρώτο κομμάτι έχει μάζα m 1 = 2 kg και εκτοξεύεται οριζόντια με αρχική ταχύτητα υ 1 = 40 m / s. Δ 1. Να υπολογίσετε με πόση ταχύτητα εκτοξεύεται το δεύτερο κομμάτι. Δ 2. Να υπολογίσετε την ταχύτητα, σε μέτρο και κατεύθυνση, του δεύτερου κομματιού, 6 s μετά από την έκρηξη. Δ 3. Ποια χρονική στιγμή φτάνει το κάθε κομμάτι στο έδαφος; Σχολιάστε το αποτέλεσμα. Δ 4. Εάν το πρώτο κομμάτι φτάνει στο έδαφος στο σημείο Α και το άλλο στο σημείο Β να υπολογίσετε την απόσταση ΑΒ. Δίνεται η επιτάχυνση της βαρύτητας στην επιφάνεια της Γης g = 10 m / s 2. Η αντίσταση του αέρα θεωρείται αμελητέα. Δ 1. Βλέπουμε στο αριστερό σχήμα την βόμβα μάζας m να φτάνει σε ύψος H. Στο δεξί σχήμα η βόμβα έχει μόλις εκραγεί στα m 1 και m 2 τμήματα που την αποτελούν. Ισχύει : m = m 1 + m 2 m 2 = m m 1 m 2 = 3 2 m 2 = 1 kg. Η αρχή διατήρησης της ορμής:

4 (Διανυσματική σχέση που ισχύει σε μονωμένο σύστημα σωμάτων) Ρ ολ,,αρχ = Ρ ολ,τελ 0 = m 1 υ 1 m 2 υ 2 υ 2 = m 1 υ 1 / m 2 υ 2 = 2 40 / 1 υ 2 = 80 m / s. Δ 2. Tα δύο τμήματα εκτελούν οριζόντια βολή. Το κομμάτι μάζας m 2 έχει οριζόντια ταχύτητα: υ 2,x = υ 2 = 80 m / s και κατακόρυφη ταχύτητα: υ 2,y = g t = 10 6 = 60 m / s. Το μέτρο της ταχύτητας του m 2 : υ 2 ² = υ 2,x 2 + υ 2,y 2 υ 2 ² = 80² + 60² υ 2 = 100 m / s. H διεύθυνση της ταχύτητας του m 2 : εφ θ = υ 2,y / υ 2,x εφ θ = 60 / 80 = 3 / 4. Δ 3. Στο κατακόρυφο άξονα, το κάθε σώμα διανύει ύψος Η, σε χρόνο t : Η = ½ g t² t² = 2H / g t² = / 10 t² = 100 t = 10 s. Και οι δύο μάζες θα φτάσουν στο έδαφος ταυτόχρονα. Δ 4. Το βεληνεκές (μέγιστη απομάκρυνση στον οριζόντιο άξονα) του m 1 : Δx 1 = υ 1 t Δx 1 = = 400 m. Το βεληνεκές (μέγιστη απομάκρυνση στον οριζόντιο άξονα) του m 2 : Δx 2 = υ 2 t Δx 1 = = 800 m. Ισχύει: (ΑΒ) = Δx 1 + Δx 2 (ΑΒ) = (ΑΒ) = 1200 m. 5) Σώμα μάζας m 1 = 2 kg αφήνεται από κάποιο ύψος και μετά από 3 s χτυπάει με ταχύτητα μέτρου υ 1 στο έδαφος. Το σώμα αναπηδά με ταχύτητα μέτρου υ 2 = 20 m / s. Καθώς ανεβαίνει και σε ύψος 15 m από το έδαφος, συγκρούεται πλαστικά με άλλο σώμα μάζας m 2 = 3 kg που συγκρατείται ακίνητο στο ύψος αυτό, και τη στιγμή της κρούσης απελευθερώνεται. Να υπολογίσετε: Δ 1. την ταχύτητα υ 1 καθώς και το αρχικό ύψος από το οποίο αφέθηκε το σώμα m 1, Δ 2. τη μέση συνισταμένη δύναμη που δέχτηκε το σώμα μάζας m 1 κατά την κρούση του με το έδαφος, εάν ο χρόνος επαφής με αυτό ήταν 0,1 s, Δ 3. την ταχύτητα του συσσωματώματος αμέσως μετά την κρούση, Δ 4. το μέγιστο ύψος από το έδαφος που θα φθάσει το συσσωμάτωμα, Δίνεται η επιτάχυνση της βαρύτητας στην επιφάνεια της γης g = 10 m / s 2. Η αντίσταση του αέρα θεωρείται αμελητέα.

5 Δ 1. Κατά την ελεύθερη πτώση του σώματος m 1 από ύψος : h = ½ g t 1 ² h = ½ 10 3² h = 45 m, με ταχύτητα : υ 1 = g t 1 υ 1 = 10 3 υ 1 = 30 m / s. Άλλη λύση είναι η ενεργειακή: με την αρχή διατήρησης μηχανικής ενέργειας ή το θεώρημα μεταβολής κινητικής ενέργειας που εφαρμόσαμε στο Δ3. Δ 2. Ο δεύτερος νόμος του Newton για το m 1 : ΣF = ΔΡ 1 / Δt ΣF = (m 1 υ 2 -(- m 1 υ 1 )) / Δt ΣF = ( ) / 0,1 ΣF = 1000 N. Δ 3. Θεώρημα μεταβολής της κινητικής ενέργειας: ΔΚ = W Κ τελ Κ αρχ = W ½ m 1 υ 2 2 ½ m 1 υ 2 2 = m 1 g y υ 2 2 = υ g y υ 2 2 = 20² υ 2 2 = 100 υ 2 = 10 m / s. Αρχή διατήρησης της ορμής: P oλ,αρχ = P ολ,τελ m 1 υ = (m 1 + m 2 ) υ υ = m 1 υ 2 / (m 1 + m 2 ) υ = 2 10 / 5 υ = 4 m / s. Δ 4. Το συσσωμάτωμα θα φτάσει στο μέγιστο ύψος άρα υ = 0, Θεώρημα μεταβολής της κινητικής ενέργειας: ΔΚ = W Κ τελ Κ αρχ = W ½ (m 1 + m 2 ) υ 2 ½ (m 1 + m 2 ) υ 2 = (m 1 + m 2 ) g Η 0 ½ (m 1 + m 2 ) υ 2 = (m 1 + m 2 ) g Η Η = υ 2 / 2 g Η = 16 / 20 Η = 0,8 m, Το συνολικό ύψος που θα ανέβει το συσσωμάτωμα είναι: Η = Η + y H = 0, = 15,8 m. 6) Σώμα μάζας m 1 = 2 kg είναι δεμένο στο άκρο νήματος μήκους l = 1,25 m. Το σώμα αφήνεται από το σημείο Α, με το νήμα οριζόντιο, και διαγράφει το τεταρτοκύκλιο που φαίνεται στο σχήμα. Διερχόμενο από το κατώτερο σημείο της τροχιάς του Β, όπου η ταχύτητά του έχει μέτρο υ 1, συγκρούεται πλαστικά με σώμα μάζας m 2 = 3 kg που κινείται με ταχύτητα υ 2 αντίθετης κατεύθυνσης από την υ 1. Το συσσωμάτωμα που δημιουργείται κινείται με ταχύτητα μέτρου V = 4 m / s, με κατεύθυνση ίδια με την κατεύθυνση της ταχύτητας υ 2. Να υπολογίσετε: Δ 1. Το μέτρο της ταχύτητας υ 1. Δ 2. Την τάση του νήματος καθώς το σώμα m 1 διέρχεται από το σημείο Β. Δ 3. Το μέτρο της ταχύτητας υ 2. Δ 4. Την αύξηση της θερμικής ενέργειας κατά την κρούση. Δίνεται η επιτάχυνση της βαρύτητας στην επιφάνεια της γης g = 10 m / s 2. Η αντίσταση του αέρα θεωρείται αμελητέα. Δ 1. Το θεώρημα μεταβολής της κινητικής ενέργειας για το m 1, από την θέση Α στη θέση Β: ΔΚ = W Κ τελ Κ αρχ = W ½ m 1 υ = m 1 g l υ 1 2 = 2 g l υ 1 2 = ,25 υ 1 2 = 25 υ 1 = 5 m / s. Δ 2. H κεντρομόλος δύναμη που ασκείται στο m 1 : (δεν είναι νέα δύναμη είναι η συνισταμένη των δυνάμεων που ασκούνται στο σώμα, με διεύθυνση την ακτίνα και φορά προς τα μέσα) ΣF = m 1 υ 1 2 / l T m 1 g = m 1 υ 1 2 / l T = m 1 υ 1 2 / l + m 1 g T = 2 25 / 1, T = 60 N. Δ 3. H αρχή διατήρησης της ορμής: (διανυσματική σχέση που ισχύει σε μονωμένο σύστημα σωμάτων)

6 Ρ oλ,αρχ = Ρ ολ,τελ m 2 υ 2 m 1 υ 1 = (m 1 + m 2 ) v υ 2 = ((m 1 + m 2 ) v + m 1 υ 1 ) / m 2 υ 2 = ( ) / 3 υ 2 = 10 m / s. Δ 4. H θερμική ενέργεια κατά την κρούση Q, υπολογίζεται από την αρχή διατήρησης της ενέργειας: (την γενικότερη μορφή) Κ αρχ = Q + Κ τελ Q = Κ αρχ Κ τελ Q = ½ m 2 υ 2 ² +½ m 1 υ 1 ² ½ (m 1 + m 2 ) v² Q = ½ 3 10² +½ 2 5² ½ 5 4² Q = Q = 135 joule. 7) Ένα βλήμα μάζας m = 0,1 kg κινείται με οριζόντια ταχύτητα μέτρου υ = 100 m / s και προσκρούει σε ακίνητο στόχο μάζας M = 4,9 kg οπότε και δημιουργείται συσσωμάτωμα. Να βρείτε: Δ 1. Την ταχύτητα του συσσωματώματος. Δ 2. Τη θερμότητα η οποία ελευθερώθηκε λόγω της σύγκρουσης. Δ 3. Το μέτρο της μεταβολής της ορμής για κάθε σώμα ξεχωριστά κατά τη διάρκεια της σύγκρουσης. Δ 4. Το βλήμα διανύει μέσα στο στόχο απόσταση 1 m. Να βρεθεί η μέση δύναμη που ασκείται από το στόχο στο βλήμα κατά της διάρκεια της ενσωμάτωσής του, αν υποτεθεί ότι το βλήμα και ο στόχος εκτελούν ευθύγραμμες ομαλά μεταβαλλόμενες κινήσεις κατά τη χρονική διάρκεια της σύγκρουσης. Δ 1. Η αρχή διατήρησης της ορμής: (ισχύει σε μονωμένο σύστημα δύο σωμάτων) Ρ ολ,αρχ = Ρ ολ,τελ m υ =(m + M) υ υ = m υ / (m + M) υ = 0,1 100 / (0,1 + 4,9) υ = 2 m / s. Δ 2. H θερμότητα που απελευθερώθηκε λόγω της κρούσης Q, υπολογίζεται από την αρχή διατήρησης της ενέργειας: (η γενικότερη μορφή της) K αρχ = Q + K τελ Q = K αρχ K τελ Q = ½ m υ² ½ (Μ + m) υ ² Q = ½ 0,1 100² ½ 5 2² Q = 490 joule. Δ 3. Τo μέτρο της μεταβολής της ορμής για τα δύο σώματα είναι: για το σώμα m: ΔΡ m = Ρ τελ,m Ρ αρχ,m ΔΡ m = m υ m υ ΔΡ m = m (υ υ) ΔΡ m = 0,1 (2 100) ΔΡ m = 9,8 kg m / s. για το σώμα Μ: ΔΡ M = Ρ τελ,m Ρ αρχ,m ΔΡ M = M υ 0 ΔΡ M = M υ ΔΡ M = 4,9 2 = 9,8 kg m / s. Δ 4.

7 8) Δύο σώματα με μάζες m 1 = 1 kg και m 2 = 2 kg κινούνται το ένα προς το άλλο, σε λείο οριζόντιο επίπεδο με ταχύτητες μέτρου 4 m / s και 3 m / s και σε αντίθετες κατευθύνσεις. Τα σώματα κουβαλούν μικροποσότητες εκρηκτικών, τα οποία ενδέχεται να εκραγούν κατά τη μεταξύ τους σύγκρουση. Παρατηρούμε ότι μετά τη σύγκρουσή τους η ταχύτητα του σώματος 1 έχει μέτρο 8 m / s και κατεύθυνση αντίθετη από την αρχική κατεύθυνση κίνησης του σώματος 1. Να βρείτε: Δ 1. Την ταχύτητα του σώματος 2 μετά τη σύγκρουση. Δ 2. Τη μεταβολή της ορμής κατά μέτρο για κάθε σώμα ξεχωριστά. Δ 3. Τη μέση δύναμη που ασκεί το κάθε σώμα στο άλλο, αν η σύγκρουση διαρκεί Δt = 0,01 s. Δ 4. Κατά τη σύγκρουση εξερράγη κάποια ποσότητα εκρηκτικού ή απλώς παράχθηκε κάποιο ποσό θερμικής ενέργειας λόγω της σύγκρουσης; Να προσδιορίσετε το ποσό της θερμότητας που παράχθηκε λόγω της σύγκρουσης ή της ελάχιστης ενέργειας που ελευθερώθηκε από το εκρηκτικό, με βάση την απάντησή σας στο προηγούμενο ερώτημα. Δ 1. Το σχήμα της άσκησης: Η αρχή διατήρησης της ορμής: (είναι διανυσματική σχέση που ισχύει σε μονωμένο σύστημα σωμάτων) Ρ ολ,αρχ = Ρ ολ,τελ m 1 υ 1 m 2 υ 2 = m 2 υ 2 m 1 υ 1 m 2 υ 2 = m 1 υ 1 m 2 υ 2 + m 1 υ 1 υ 2 = (m 1 (υ 1 + υ 1 ) m 2 υ 2 ) / m 2 υ 2 = (1 (8 + 4) 2 3) / 2 υ 2 = 3 m / s. Δ 2. H μεταβολή της ορμής για το σώμα μάζας m 1 : ΔΡ 1 = Ρ 1 Ρ 1 ΔΡ 1 = m 1 υ 1 m 1 υ 1 ΔΡ 1 = m 1 (- υ 1 υ 1 ) ΔΡ 1 = 1 (- 8 4) ΔΡ 1 = 12 kg m / s. H μεταβολή της ορμής για το σώμα μάζας m 2 : ΔΡ 2 = Ρ 2 Ρ 2 ΔΡ 2 = m 2 υ 2 (- m 2 υ 2 ) ΔΡ 2 = m 2 ( υ 2 + υ 2 ) ΔΡ 2 = 2 (3 + 3 ) ΔΡ 2 = + 12 kg m / s. Δ 3. O 2oς γενικευμένος νόμος του Newton για το σώμα μάζας m 1 : ΣF 1 = ΔΡ 1 / Δt ΣF 1 = 12 / 0,01 ΣF 1 = 1200 N. O 2oς γενικευμένος νόμος του Newton για το σώμα μάζας m 2 : ΣF 2 = ΔΡ 2 / Δt ΣF 2 = + 12 / 0,01 ΣF 2 = Ν. Λογικό γιατί ισχύει ΣF 1 = ΣF 2 (δυνάμεις δράσης αντίδρασης). Δ 4. Η αρχή διατήρησης της ενέργειας: (στη γενικότερη της μορφή) K αρχ = Q + K τελ Q = K αρχ K τελ Q = (½ m 1 υ 1 ² + ½ m 2 υ 2 ²) (½ m 1 υ 1 ² + ½ m 2 υ 2 ²) Q = (½ 1 4² + ½ 2 3²) (½ 1 8² + ½ 2 3²) Q = 24 joule. Παρατηρούμε ότι K αρχ < K τελ άρα ποσότητα εκρηκτικών έχει εκραγεί. 9) Μικρή σφαίρα μάζας 0,1 kg αφήνεται από ύψος h να πέσει ελεύθερα πάνω σε οριζόντιο δάπεδο. Η σφαίρα προσκρούει στο δάπεδο με ταχύτητα μέτρου υ 1 = 5 m / s και αναπηδά κατακόρυφα έχοντας αμέσως μόλις χάσει την επαφή της με το δάπεδο, ταχύτητα μέτρου υ 2 = 2 m / s. Η χρονική διάρκεια της επαφής της σφαίρας με το δάπεδο είναι 0,1 s. Να υπολογιστούν: Δ 1. Η μεταβολή της ορμής της σφαίρας (κατά μέτρο και κατεύθυνση) κατά την κρούση της με το δάπεδο. Δ 2. Η μέση τιμή της δύναμης που ασκήθηκε από το δάπεδο στη σφαίρα κατά την κρούση. Δ 3. Το ύψος h από το οποίο αφέθηκε η σφαίρα. Δ 4. Το % ποσοστό της αρχικής μηχανικής ενέργειας της σφαίρας που μεταφέρθηκε στο περιβάλλον κατά την κρούση. Δίνονται η επιτάχυνση της βαρύτητας στην επιφάνεια της Γης g = 10 m / s 2 και ότι η αντίσταση του αέρα θεωρείται αμελητέα. Θεωρήστε ως επίπεδο δυναμικής ενέργειας μηδέν, το επίπεδο του δαπέδου.

8 Δ 1. Η μεταβολή της ορμής της σφαίρας: ΔΡ = Ρ 2 Ρ 1 ΔΡ = m υ 2 (- m υ 1 ) ΔΡ = m (υ 2 + υ 1 ) ΔΡ = 0,1 (2 + 5) = 0,7 kg m / s. H διεύθυνση της ΔΡ είναι κατακόρυφη και η φορά προς τα πάνω. Δ 2. O 2oς γενικευμένος νόμος του Newton: ΣF = ΔΡ / Δt ΣF = 0,7 / 0,1 = 7 Ν. Η ΣF και ΔΡ έχουν ίδια διεύθυνση και φορά. Η συνισταμένη δύναμη που ασκείται στο σώμα: ΣF = Ν m g N = m g + ΣF N = 0, N = 8 N. Δ 3. Η σφαίρα εκτελεί ελεύθερη πτώση: με ταχύτητα: υ 1 = g t t = υ 1 / g t = 5 / 10 t = ½ s. τo ζητούμενο ύψος: h = ½ g t² h = 5 / 4 h = 1,25 m. Δ 4. H αρχή διατήρησης της ενέργειας: (η γενικότερη μορφή) Κ αρχ = Κ τελ + Q Q = Κ αρχ Κ τελ Q = ½ m υ 1 ² ½ m υ 2 ² Q = ½ 0,1 5² ½ 0,1 2² Q = 1,05 joule. To ζητούμενο ποσοστό: (Q / Κ αρχ ) 100% = (1,05 / 1,25) 100% = 84%. 10) Ένα κιβώτιο μάζας Μ = 970 g βρίσκεται ακίνητο πάνω σε οριζόντιο δάπεδο με το οποίο εμφανίζει συντελεστή τριβής ολίσθησης μ = 0,2. Βλήμα μάζας m = 30 g κινείται με οριζόντια ταχύτητα μέτρου υ = 200 m / s συγκρούεται με το ακίνητο κιβώτιο και σφηνώνεται σ αυτό, οπότε δημιουργείται συσσωμάτωμα. Δ 1. Να υπολογίσετε το μέτρο της ταχύτητας με την οποία ξεκινά να κινείται το συσσωμάτωμα. Δ 2. Να βρείτε το μέτρο της μέσης δύναμης F που ασκείται από το βλήμα στο κιβώτιο, αν το βλήμα ακινητοποιήθηκε μέσα στο κιβώτιο σε χρονικό διάστημα Δt = 0,01 s. Δ 3. Να υπολογίσετε την απώλεια της κινητικής ενέργειας του συστήματος κιβώτιο βλήμα λόγω της κρούσης. Δ 4. Να βρείτε το διάστημα που θα διανύσει το συσσωμάτωμα, αμέσως μετά την κρούση, μέχρι να σταματήσει. Δίνεται η επιτάχυνση της βαρύτητας στην επιφάνεια της Γης g = 10 m / s 2.

9 Δ 1. Αρχή διατήρησης της ορμής στις θέσεις πριν και μετά την κρούση (δείτε στο σχήμα): (διανυσματική σχέση που ισχύει σε μονωμένο σύστημα, όπου ΣF εξ = 0) Ρ ολ,αρχ = Ρ ολ,τελ m υ + 0 = (m + M) v v = m υ / (M + m) v = 6 m / s. Δ 2. Ο 2ος γενικευμένος νόμος του Newton για το κιβώτιο M: ΣF = ΔP / Δt F = (Μ v 0) / Δt F = (Μ v 0) / Δt = (Μ v 0) / Δt F = (0,97 6 / 0,01) F = 582 Ν. (Επειδή η Τ είναι εξωτερική δύναμη και κατά τη διάρκεια της κρούσης θεωρείται αμελητέα, δείτε σχολικό βιβλίο στη σελίδα 45). Δ 3. Η μεταβολή της κινητικής ενέργειας του συστήματος λόγω της κρούσης: ΔΚ συστ = Κ τελ Κ αρχ ΔΚ συστ = ½ (m + Μ) v² ½ m υ² ΔΚ συστ = ½ (0,03 + 0,97) 6² ½ 0,03 200² ΔΚ συστ = 582 joule. Το μείον εκφράζει την μείωση της κινητικής ενέργειας του συστήματος, στην εκφώνηση διατυπώνεται σαν απώλεια. Δ 4. Το συσσωμάτωμα εκτελεί ομαλά επιβραδυνόμενη κίνηση μέχρι να σταματήσει άρα ισχύουν: S = v t ½ α t² (1) και 0 = v α t (2). Από τις (1) και (2) με απαλοιφή του χρόνου έχουμε S = v² / 2 α (3) 2ος Newton για το συσσωμάτωμα: ΣF = (Μ+m) α, όπου Τ = μ Ν και ΣF = T, συνδυάζοντας τις σχέσεις: μ (Μ + m) g = (Μ + m) α α = μ g (4) Οπότε αντικαθιστώντας την (4) στην (3) σχέση έχουμε: S = v² / (2 μ g) = 36 / 4 = 9 m. Β τρόπος Θεώρημα μεταβολής της κινητικής ενέργειας για το συσσωμάτωμα (m + Μ) μεταξύ των θέσεων Α και Γ του σχήματος: Κ τελ Κ αρχ = W T 0 ½ (m + Μ) v² = Τ S ½ (m + Μ) v² = μ (M + m) S S = v² / 2 μ g S = 36 / 4 S = 9 m. 11) Δύο σφαίρες με μάζες m 1 = 6 kg και m 2 = 4 kg κινούνται σε οριζόντιο δάπεδο με αντίθετη φορά και συγκρούονται πλαστικά. Τη στιγμή της σύγκρουσης τα μέτρα των ταχυτήτων των σφαιρών ήταν υ 1 = 20 m / s και υ 2 = 10 m / s. Δ 1. Να βρεθεί η ταχύτητα του συσσωματώματος αμέσως μετά την κρούση. Δ 2. Να βρεθεί η απώλεια της μηχανικής ενέργειας του συστήματος των δύο σφαιρών κατά την πλαστική κρούση. Δ 3. Αν η κρούση διαρκεί 0,1 s, να βρεθεί το μέτρο της μέσης δύναμης που ασκεί το ένα σώμα στο άλλο. Δ 4. Να βρεθεί το διάστημα για το οποίο κινήθηκε το συσσωμάτωμα μετά την κρούση. Θεωρείστε ότι κατά τη διάρκεια της κρούσης η μετατόπιση του συσσωματώματος είναι αμελητέα, ενώ ο συντελεστής τριβή συσσωματώματος δαπέδου είναι μ = 0,32. Δίνεται η επιτάχυνση της βαρύτητας στην επιφάνεια της Γης: g = 10 m / s 2. Δ 1.

10 H αρχή διατήρησης της ορμής: P oλ,αρχ = P ολ,τελ m 1 υ 1 m 2 υ 2 = (m 1 + m 2 ) υ υ = (m 1 υ 1 m 2 υ 2 ) / (m 1 + m 2 ) υ = ( ) / (6 + 4) υ = 8 m / s. Η πλαστική κρούση (ανήκει στις ανελαστικές κρούσεις) οδηγεί στη δημιουργία συσσωματώματος. Δείτε τα πρόσημα στην αρχή διατήρησης της ορμής, θετική φορά έχουμε πάρει προς τα δεξιά. Δ 2. H αρχή διατήρησης της ενέργειας: Κ αρχ = Q + Κ τελ Q = Κ αρχ Κ τελ Q = (½ m 1 υ 1 ² + ½ m 2 υ 2 ²) ½ (m 1 + m 2 ) υ² Q = (½ 6 20² + ½ 4 10²) ½ (6 + 4) 8² Q = = 1080 joule. Όπου Q η ενέργεια που δαπανήθηκε για την δημιουργία του συσσωματώματος και η θερμότητα που δόθηκε κατά την δημιουργία αυτή στο περιβάλλον (στη πραγματικότητα περιέχει και άλλες μορφές ενέργειας που δεν σχολιάζονται στη φυσική σε επίπεδο λυκείου) Ο δημιουργός της άσκησης ζητάει: ΔΕ = Ε αρχ Ε τελ = Κ αρχ Κ τελ γιατί μηχανική ενέργεια σε αυτή την περίπτωση είναι μόνο η κινητική ενέργεια (δεν έχουμε κίνηση κατά τον άξονα y άρα η βαρυτική δυναμική ενέργεια είναι σταθερή και η μεταβολή της μηδέν). Διατύπωση της αρχής διατήρησης της ενέργειας: Η ενέργεια μετασχηματίζεται και μεταφέρεται, αλλά ούτε δημιουργείται, ούτε καταστρέφεται (αν και διαρκώς υποβαθμίζεται). Η αρχή διατήρησης της ενέργειας δεν αποδεικνύεται και φυσικά ισχύει σε όλο το σύμπαν. Δ 3. H δύναμη που ασκείται από το m 1 στο m 2 από τον 2ο γενικευμένο νόμο του Newton: F 1,2 = ΔΡ 2 / Δt F 1,2 = (m 2 υ (- m 2 υ 2 )) / Δt F 1,2 = m 2 (υ + υ 2 ) / Δt F 1,2 = 4 (8 + 10) / 0,1 F 1,2 = 720 N. H δύναμη που ασκείται από το m 2 στο m 1 από τον 2ο γενικευμένο νόμο του Newton: F 2,1 = ΔΡ 1 / Δt F 2,1 = (m 1 υ m 1 υ 1 ) / Δt F 2,1 = m 1 (υ υ 1 ) / Δt F 2,1 = 6 (8 20) / 0,1 F 2,1 = 720 N. To αποτέλεσμα μας είναι λογικό γιατί οι F 1,2 και η F 2,1 είναι δυνάμεις δράσης αντίδρασης. Δηλαδή: Έστω ένα φτερό που βρίσκεται σε τροχιά γύρω από τον Ήλιο (η υπόθεση έχει αρκετά φυσικά παράδοξα). Ο Ήλιος ασκεί την ίδια δύναμη στο φτερό με αυτή που το φτερό ασκεί στο Ήλιο.! Οι δυνάμεις εμφανίζονται σε ζεύγη δυνάμεων δράσης αντίδρασης. Δ 4. Το συσσωμάτωμα ισορροπεί στον y άξονα: ΣF y = 0 N (m 1 + m 2 ) g = 0 N = (m 1 + m 2 ) g. Θεώρημα μεταβολής της κινητικής ενέργειας για το συσσωμάτωμα στις θέσεις (Ι) και (ΙΙ) : Κ (ΙΙ) Κ (Ι) = W T 0 ½ (m 1 + m 2 ) υ² = Τ Δx ½ (m 1 + m 2 ) υ² = μ (m 1 + m 2 ) g Δx Δx = υ² / (2 μ g) Δx = 8² / (2 0,32 10) Δx = 10 m. Το έργο της τριβής μετατρέπει την κινητική ενέργεια του συσσωματώματος σε θερμότητα που μεταφέρεται στο περιβάλλον (κυρίως στο δάπεδο).

11 12) Στις παρακάτω γραφικές παραστάσεις φαίνονται οι θέσεις δύο σωμάτων, A και Β που συγκρούονται στη θέση x = 4 m, σε συνάρτηση με το χρόνο. Η μάζα του σώματος Α είναι m A = 1 kg και η μάζα του σώματος Β είναι m B = 3 kg. Δ 1. Να μεταφέρετε στο απαντητικό σας φύλλο και να συμπληρώσετε τον πίνακα που ακολουθεί. Πριν την Κρούση Μετά την κρούση Α Β Α Β Ταχύτητα Ορμή Κινητική Ενέργεια Δ 2. Με βάση τον προηγούμενο πίνακα, να εξηγήσετε ποιες αρχές διατήρησης ισχύουν στη συγκεκριμένη κρούση. Δ 3. Αν η χρονική διάρκεια του φαινομένου της κρούσης είναι Δt = 0,01 s, (που είναι τόσο μικρό ώστε δεν μπορεί να παρασταθεί στην κλίμακα του χρόνου που έχουμε διαλέξει για τα διαγράμματα θέσης χρόνου) να βρεθεί η δύναμη που άσκησε το σώμα Α στο σώμα Β κατά τη διάρκεια της κρούσης. Δ 4. Να βρεθεί το ποσοστό της κινητικής ενέργεια του κινούμενου σώματος που μεταφέρθηκε στο ακίνητο ως αποτέλεσμα της κρούσης. Δ 1. Κινήσεις (φυσική Α λυκείου): Για το σώμα Α : υ A = κλίση στο (x A,1 t) διάγραμμα υ A = εφ θ 1 = (4 0) / (2 0) υ A = 2 m / s. υ A = κλίση στο (x A,2 t) διάγραμμα υ A = εφ θ 2 = (0 4) / (6 2) υ A = -1 m / s. Για το σώμα Β : υ Β = κλίση στο (x Β,1 t) διάγραμμα υ Β = εφ θ 3 = 0 υ Β = 0.

12 υ Β = κλίση στο (x Β,2 t) διάγραμμα υ Β = εφ θ 4 = (8 4) / (6 2) υ A = 1 m / s. Ακολουθούν υπολογισμοί: Η ορμή του σώματος m A πριν την κρούση: P A = m A υ A P A = 1 2 = 2 kg m / s. Η ορμή του σώματος m A μετά την κρούση: P A = m A υ A P A = 1 1 = 1 kg m / s. Η ορμή του σώματος m Β πριν την κρούση: P Β = m Β υ Β P Β = 3 0 = 0. Η ορμή του σώματος m Β μετά την κρούση: P Β = m Β υ Β P Β = 3 1 = 3 kg m / s. Η κινητική ενέργεια του m A πριν την κρούση: Κ A = ½ m A υ A ² Κ A = ½ 1 2² = 2 joule. Η κινητική ενέργεια του m A μετά την κρούση: Κ A = ½ m A υ A ² Κ A = ½ 1 1² = 0,5 joule. Η κινητική ενέργεια του m Β πριν την κρούση: Κ Β = ½ m Β υ Β ² Κ Β = 0. Η κινητική ενέργεια του m Β μετά την κρούση: Κ Β = ½ m Β υ Β ² Κ Β = ½ 3 1² = 1,5 joule. Με όλα τα παραπάνω συμπληρώνουμε τον πίνακα: Πριν την Κρούση Μετά την κρούση Α Β Α Β Ταχύτητα + 2 m / s 0 1 m / s + 1 m / s Ορμή +2 kg m / s 0 1 kg m / s + 3 kg m / s Κινητική Ενέργεια 2 joule 0 0,5 joule 1,5 joule Δ 2. Από τις τιμές του παραπάνω πίνακα παρατηρούμε: Ότι ισχύει η αρχή διατήρησης της ορμής: P ολ,αρχ = Ρ ολ,τελ P A + P Β = P A + P Β = = 2. Ότι ισχύει η αρχή διατήρησης της κινητικής ενέργειας: Κ ολ,αρχ = Κ ολ,τελ Κ A + Κ Β = Κ A + Κ Β = 0,5 + 1,5 2 = 2. Αφού η κινητική ενέργεια διατηρείται η κρούση είναι ελαστική. Δ 3. Ο 2ος γενικευμένος Newton: F A,B = ΔP Β / Δt F A,B = P B 0 / Δt F A,B = 3 / 10-2 F A,B = Ν. Δ 4. Το ζητούμενο ποσοστό της κινητικής ενέργειας του κινούμενου σώματος (Κ Α ) που μεταφέρθηκε στο ακίνητο σώμα (ΔΚ Β = Κ Β Κ Β ) : (ΔΚ Β / Κ αρχ )% = ((Κ Β Κ Β ) / Κ Α ) 100% (ΔΚ Β / Κ αρχ )% = ((1,5 0) / 2) 100% = (ΔΚ Β / Κ αρχ )% = 0,75 100% = 75%. 13) Σε σώμα μάζας m που κινείται με ταχύτητα μέτρου υ 0, σε λείο οριζόντιο δάπεδο, δρα δύναμη σταθερού μέτρου F, με κατεύθυνση αντίθετη της υ 0. Θεωρούμε θετική την κατεύθυνση της υ 0. Όταν η μεταβολή της ορμής του σώματος είναι -3m υ 0 να υπολογιστούν: Δ 1. Η ταχύτητα του σώματος. Δ 2. Η χρονική διάρκεια κατά την οποία προκλήθηκε η προηγούμενη μεταβολή ορμής. Δ 3. Το έργο της δύναμης F για την μετατόπιση κατά την οποία η δύναμη F είναι ομόρροπη με την ταχύτητα του σώματος. Δ 4. Το μέτρο της μετατόπισης που αντιστοιχεί στο έργο που υπολογίσατε στο ερώτημα Δ 3. Οι απαντήσεις σας θα πρέπει να είναι εκφράσεις των m, F, και υ 0. Δ 1. Η μεταβολή της ορμής: ΔP = P τελ P αρχ 3m υ 0 = P τελ m υ 0 P τελ = 3m υ 0 + m υ 0 P τελ = 2m υ 0 m υ = 2m υ 0 υ = 2 υ 0. Η ταχύτητα υ θα έχει αντίθετη φορά από την αρχική ταχύτητα υ 0 (η υ θα έχει αρνητική φορά). Η κίνηση του σώματος ξεκινάει με υ 0, F να έχουν αντίθετη φορά τα διανύσματα τους και καταλήγει με τα υ, F να έχουν την ίδια φορά.

13 Το σώμα αρχικά επιβραδύνεται ομαλά, μέχρι να σταματήσει έστω ότι η ταχύτητα του σώματος μηδενίζεται την χρονική στιγμή t = t 1. (Την χρονική στιγμή t 1 μπορούμε να την υπολογίσουμε: υ 1 = υ 0 α t 1 0 = υ 0 α t 1 α t 1 = υ 0 t 1 = υ 0 / α ενώ 2ος Newton F = m α θα μας δώσει την επιτάχυνση α.) Από την χρονική στιγμή t = t 1 και μετά, η επίδραση της δύναμης F στο σώμα το επιταχύνει ομαλά. Το ότι η επιβράδυνση και η επιτάχυνση έχουν σταθερή τιμή (γι αυτό και η κίνηση είναι ομαλή) οφείλεται στο ότι η δύναμη είναι σταθερή (2ος Newton). Δ 2. 2ος γενικευμένος νόμος του Newton: ΣF = ΔP / Δt F = 3m υ 0 / Δt Δt = 3m υ 0 / F. Αν και προβλέψιμο το ερώτημα, τονίζει τον διανυσματικό χαρακτήρα του 2ου γενικευμένου νόμου του Newton. Δ 3. και Δ 4. Τo θεώρημα μεταβολής της κινητικής ενέργειας για τις θέσεις (Ι) την χρονική στιγμή t = t 1 (κάτω δεξιά σχήμα) ως την θέση (ΙΙ) (κάτω αριστερά σχήμα) : W F = ΔK W F = Κ τελ Κ αρχ W F = ½ m υ² 0 W F = ½ m (2υ 0 ) ² W F = 2m υ 0 ². O ορισμός του έργου: W F = F Δx = 2m υ 0 ² Δx = 2m υ 0 ² / F. 14) Συμπαγής ελαστική μπάλα μάζας m = 0,5 kg αφήνεται ελεύθερη από ύψος h = 1,25 m πάνω από οριζόντιο μαρμάρινο δάπεδο. Αν μετά από την πρώτη αναπήδηση η μπάλα φτάνει στην ίδια θέση απ όπου αφέθηκε μετά από χρόνο 1,1 s, τότε : Δ 1. Να υπολογιστεί η ορμή της μπάλας αμέσως πριν και αμέσως μετά την κρούση με το δάπεδο, Δ 2. Να σχεδιαστούν τα διανύσματα: της αρχικής και τελικής ορμής καθώς και της μεταβολής της ορμής. Να υπολογιστεί το μέτρο της μεταβολής της ορμής της μπάλας κατά την κρούση, Δ 3. Να σχεδιαστούν ποιοτικά τα διανύσματα των δυνάμεων που ασκούνται στη μπάλα κατά τη διάρκεια της κρούσης και να βρεθεί η μέση δύναμη που δέχεται το δάπεδο κατά τη διάρκεια της σύγκρουσης μπάλας και δαπέδου. Θεωρήστε ότι δεν υπάρχει αντίσταση του αέρα και ότι η επιτάχυνση της βαρύτητας είναι g = 10 m / s 2.

14 Δ 1. Θα πρέπει να υπολογίσουμε την ταχύτητα υ 1, με τους εξής τρόπους: α. Με το θεώρημα μεταβολής της κινητικής ενέργειας για το σώμα m μεταξύ των θέσεων Α και Β: (μια άλλη έκφραση της αρχής διατήρησης της ενέργειας που ισχύει παντού) ΔΚ = W mg ½ m υ 1 ² 0 = mgh υ 1 ² = 2 g h υ 1 ² = ,25 υ 1 ² = 25 υ 1 = 5 m / s. β. Με την αρχή διατήρησης της μηχανικής ενέργειας μεταξύ των θέσεων Α και Β: (έκφραση της αρχής διατήρησης της ενέργειας που ισχύει σε σύστημα σωμάτων που δρουν μόνο διατηρητικές δυνάμεις.) Ε Α = Ε Β Κ Α + U A = Κ B + U B 0 + m g h = ½ m υ 1 ² + 0 υ 1 ² = 2 g h υ 1 ² = ,25 υ 1 ² = 25 υ 1 = 5 m / s. γ. το m εκτελεί ελεύθερη πτώση: h = ½ g t 1 ² και υ 1 = g t 1. To σώμα μετά την κρούση ανεβαίνει μέχρι το ίδιο ύψος: άρα ισχύει (με τους α., β. τρόπους όπως και πριν αλλά W mg = m g h ) ότι : υ 2 = υ 1. Η ζητούμενη ορμή: Ρ 1 = m υ 1 = 0,5 5 = 2,5 kg m / s, επίσης: Ρ 2 = m υ 2 = 0,5 5 = + 2,5 kg m / s. Δ 2. Τα διανύσματα που ζητούνται: Δ 3. Τα διανύσματα που ζητούνται: ΔP = P 2 P 1 = 2,5 (-2,5) = 5 kg m / s. Θετική φορά προς τα πάνω. O χρόνος καθόδου t κ : h = ½ g t κ ² t κ ² = 2 h / g t κ ² = 2 1,25 / 10 t κ ² = t κ = s. O χρόνος καθόδου ισούται με τον χρόνο ανόδου: t κ = t αν άρα: t ολ = t κ + t αν + Δt Δt = t ολ (t κ + t αν ) Δt = 1,1 (0,5 + 0,5) = 0,1 s. Όπου Δt είναι ο χρόνος που διαρκεί η κρούση. 2ος γενικευμένος νόμος του Newton: ΣF = ΔP / Δt ΣF = 5 / 0,1 = 50 Ν. ΣF = N mg N = ΣF + mg N = ,5 10 = 55 N. H δύναμη που μας ζητείται είναι η δύναμη από το σώμα στο δάπεδο Ν 1, ενώ εμείς βρήκαμε την Ν την δύναμη από το δάπεδο στο σώμα. Ν και Ν 1,είναι δυνάμεις δράσης αντίδρασης με ίδιο μέτρο, Ν 1 = Ν = 55 Ν και η φορά της Ν 1 φαίνεται στο σχήμα.

15 15) Τα καρότσια που φαίνονται στην πιο κάτω εικόνα βρίσκονται ακίνητα πάνω στην οριζόντια επιφάνεια του πάγκου στο εργαστήριο Φυσικών Επιστημών, και συνδέονται μεταξύ τους με νήμα. Ένα ελατήριο ελάχιστης μάζας, το οποίο είναι σταθερά συνδεδεμένο στο καρότσι Α, βρίσκεται συμπιεσμένο ανάμεσά τους. Κάποια στιγμή καίμε το νήμα που συνδέει τα δύο καρότσια, τα καρότσια απελευθερώνονται, κινούνται αντίθετα και φτάνουν ταυτόχρονα στις άκρες του πάγκου. Αν αγνοήσουμε τις τριβές κατά την κίνηση των καροτσιών, να υπολογίσετε: Δ 1. Το λόγο του μέτρου της ταχύτητα του Α προς το μέτρο της ταχύτητας του Β, υ Α / υ Β, κατά τη διάρκεια της κίνησης των καροτσιών. Δ 2. Το λόγο των μαζών τους, m A / m B καθώς και το λόγο των μέτρων των ορμών τους P A / P B των καροτσιών Α και Β. Δ 3. Το λόγο των μέσων τιμών των δυνάμεων F A / F B που αναπτύχθηκαν στα καρότσια αμέσως μετά την καύση του νήματος και για όσο χρονικό διάστημα τα καρότσια ήταν σε επαφή με το ελατήριο. Δ 4. Το λόγο των κινητικών ενεργειών Κ Α / Κ Β, που απέκτησαν τα καρότσια. Δ 1. Τα καρότσια εκτελούν ευθύγραμμη ομαλή κίνηση (γιατί αγνοούμε τις τριβές) άρα στον ίδιο χρόνο Δt θα έχουν διανύσει τις αποστάσεις Δx Α και Δx Β που φαίνονται στο σχήμα: υ Α = Δx Α / Δt = 0,45 / Δt και υ Β = Δx Β / Δt = 0,9 / Δt, αρκεί να διαιρέσουμε κατά μέλη: υ Α / υ Β = (Δx Α / Δt) / (Δx Β / Δt) υ Α / υ Β = (0,45 / Δt) / (0,9 / Δt) υ Α / υ Β = 0,45 / 0,9 υ Α / υ Β = ½. Δ 2. H αρχή διατήρησης της ορμής: (διανυσματική σχέση που ισχύει σε μονωμένο σύστημα σωμάτων) Ρ ολ,αρχ = Ρ ολ,τελ 0 = m A υ A m Β υ Β m A υ A = m Β υ Β m A / m Β = υ Β / υ Α m A / m Β = 2 / 1. Ο λόγος των μέτρων των ορμών των καροτσιών Α και Β : Ρ A / Ρ Β = m A υ A / m Β υ Β Ρ A / Ρ Β = 1. Δ 3. Ο 2ος γενικευμένος νόμος του Newton για το καρότσι Α και το καρότσι Β: F Α = ΔΡ Α / Δt και F Β = ΔΡ Β / Δt, διαιρούμε κατά μέλη : F Α / F Β = (ΔΡ Α / Δt) / (ΔΡ Β / Δt) F Α / F Β = ΔΡ Α / ΔΡ Β F Α / F Β = 0 m A υ A / 0 m Β υ Β F Α / F Β = m A υ A / m Β υ Β F Α / F Β = (m A / m Β ) (υ A / υ Β ) F Α / F Β = 2 ½ F Α / F Β = 1. Δ 4. Ο λόγος των κινητικών ενεργειών: Κ Α / Κ Β = ½ m A υ A ² / ½ m Β υ Β ² Κ Α / Κ Β = (m A / m Β ) (υ Α / υ Β )² Κ Α / Κ Β = 2 (½)² Κ Α / Κ Β = ½. 16) Βλήμα μάζας m 1 = 100 g κινείται με ταχύτητα μέτρου, υ = 160 m / s και σφηνώνεται σε ξύλινο κιβώτιο μάζας m 2 = 1,9 kg, που βρίσκεται αρχικά ακίνητο σε λείο οριζόντιο επίπεδο. To βλήμα σφηνώνεται στο κιβώτιο σε χρονικό διάστημα Δt = 0,02 s. Να βρεθούν: Δ 1. Η τιμή της τελικής ορμής του συσσωματώματος. Δ 2. Η μείωση της κινητικής ενέργειας του βλήματος κατά τη διάρκεια της κρούσης Δ 3. Ο ρυθμός με τον οποίο μεταβάλλεται η ορμή του κιβωτίου κατά τη διάρκεια της ενσφήνωσης του βλήματος στο κιβώτιο εάν θεωρηθεί ότι είναι σταθερός σε όλη τη διάρκεια της ενσφήνωσης Λίγο μετά την κρούση το συσσωμάτωμα εισέρχεται σε μη λείο οριζόντιο επίπεδο και αφού κινηθεί για κάποιο χρονικό διάστημα πάνω στο μη λείο οριζόντιο επίπεδο, σταματά.

16 Δ 4. Σε πόσο χρόνο από τη στιγμή της εισόδου στο μη λείο δάπεδο θα σταματήσει το συσσωμάτωμα και πόσο διάστημα θα έχει διανύσει ; Δίνονται: η επιτάχυνση της βαρύτητας g = 10 m / s 2 και ο συντελεστής της τριβής ολίσθησης μεταξύ κιβωτίου και μη λείου επιπέδου μ = 0,2. Δ 1. Η αρχή διατήρησης της ορμής: Ρ ολ,αρχ = Ρ ολ,τελ Ρ ολ,τελ = m 1 υ = 0,1 160 = 16 kg m / s. Θα μπορούσε η άσκηση να ζητάει την ταχύτητα του συσσωματώματος: m 1 υ = (m 1 + m 2 ) v v = m 1 υ / (m 1 + m 2 ) v = 0,1 160 / (0,1 + 1,9) v = 16 / 2 v = 8 m / s. Δ 2. Η μείωση της κινητικής ενέργειας του βλήματος (όχι του συστήματος των σωμάτων): ΔΚ = Κ τελ,1 Κ αρχ,1 ΔΚ = ½ m 1 v² ½ m 1 υ² ΔΚ = ½ m 1 (v² υ²) ΔΚ = ½ 0,1 (8² 160²) ΔΚ = 1276,8 joule. To μείον εκφράζει την μείωση της κινητικής ενέργειας του βλήματος. Δ 3. Ο 2ος γενικευμένος νόμος του Newton: ΣF κιβ = (ΔΡ / Δt) κιβ ΣF κιβ = (Ρ τελ,κιβ Ρ αρχ, κιβ ) / Δt ΣF κιβ = (m 2 v 0) / Δt ΣF κιβ = 1,9 8 / ΣF κιβ = 760 Ν. Δ 4. Η τριβή Τ = μ Ν και ΣF y = 0 N (m 1 + m 2 ) g = 0 N = (m 1 + m 2 ) g N = (0,1 + 1,9) 10 = 20 N, άρα Τ = μ Ν Τ = 0,2 20 = 4 Ν. Ο 2ος Newton: ΣF = (m 1 + m 2 ) α Τ = (m 1 + m 2 ) α α = Τ / (m 1 + m 2 ) α = 4 / 2 = 2 m / s² To συσσωμάτωμα εκτελεί ευθύγραμμα ομαλά επιβραδυνόμενη κίνηση μέχρι που σταματάει, η ταχύτητα του δίνεται: v 1 = v α t 1 0 = v α t 1 t 1 = v / α t 1 = 8 / 2 = 4 s. To διάστημα δίνεται: Δx = v t 1 ½ α t 1 ² Δx = 8 4 ½ 2 4² Δx = = 16 m. Θα μπορούσαμε επίσης να βρούμε την μετατόπιση Δx με το θεώρημα μεταβολής της κινητικής ενέργειας. 17) Σώμα μάζας m 1 κινούμενο σε οριζόντιο επίπεδο συγκρούεται με ταχύτητα μέτρου, υ 1 = 10 m / s ελαστικά με ακίνητο σώμα μάζας m 2,με το οποίο βρίσκεται στην ίδια ευθεία. Η χρονική διάρκεια της κρούσης θεωρείται αμελητέα. Αμέσως μετά την κρούση, το σώμα μάζας m 1 κινείται αντίρροπα με ταχύτητα μέτρου, υ 1 = 5 m / s ενώ το σώμα μάζας m 2 αποκτά ταχύτητα μέτρου υ 2 = 5 m / s Δ 1. Να προσδιορίσετε το λόγο των μαζών m 1 / m 2. Δ 2. Να βρεθεί το ποσοστό της αρχικής κινητικής ενέργειας του σώματος μάζας m 1 που μεταβιβάστηκε στο σώμα μάζας m 2 λόγω της κρούσης. Δ 3. Αν m 1 = 0,5 kg να βρεθεί ο ρυθμός με τον οποίο μεταβάλλεται η ορμή του σώματος αυτού κατά τη διάρκεια της ολίσθησης του πάνω στο δάπεδο μετά την κρούση, εάν θεωρηθεί ότι είναι σταθερός σε όλη τη διάρκεια της ολίσθησης. Δ 4. Να υπολογισθεί πόσο θα απέχουν τα σώματα όταν σταματήσουν. Ο συντελεστής τριβής ολίσθησης μεταξύ του επιπέδου και κάθε σώματος είναι μ = 0,1. Δίνεται g = 10 m / s 2.

17 Δ 1. Η αρχή διατήρησης της ορμής: P ολ,αρχ = Ρ ολ,τελ m 1 υ 1 = m 1 υ 1 + m 2 υ 2 m 1 (υ 1 + υ 1 ) = m 2 υ 2 m 1 / m 2 = υ 2 / (υ 1 + υ 1 ) m 1 / m 2 = 5 / (10 + 5) m 1 / m 2 = 1 / 3. Άρα m 1 / m 2 = 1 / 3 m 2 = 3 m 1. Δ 2. Το ποσοστό της αρχικής κινητικής ενέργειας του m 1 σώματος που μεταβιβάστηκε στο m 2 : (ΔΚ 2 / Κ 1,αρχ )% = ((Κ 2,τελ Κ 2,αρχ ) / Κ 1,αρχ ) 100% (ΔΚ 2 / Κ 1,αρχ )% = ((½ m 2 υ 2 ² 0) / ½ m 1 υ 1 ²) 100% (ΔΚ 2 / Κ 1,αρχ )% = (½ 3 m 1 5² / ½ m 1 10²) 100% (ΔΚ 2 / Κ 1,αρχ )% = 75%. Δ 3. Ο ρυθμός που μεταβάλλεται η ορμή του m 1 είναι: (ΔΡ / Δt) 1 = ΣF 1 (ΔΡ / Δt) 1 = Τ 1 (ΔΡ / Δt) 1 = Τ 1 (ΔΡ / Δt) 1 = μ Ν 1 (ΔΡ / Δt) 1 = μ m 1 g (ΔΡ / Δt) 1 = 0,1 0,5 10 = 0,5 N. Δ 4. Θεώρημα μεταβολής της κινητικής ενέργειας για το m 1 από την αρχική έως την τελική του θέση: ΔΚ 1 = W T1 Κ 1,τελ Κ 1,αρχ = T 1 Δx 1 0 ½ m 1 υ 1 ² = μ m 1 g Δx 1 Δx 1 = υ 1 ² / 2 μ g Δx 1 = 5² / 2 0,1 10 Δx 1 = 12,5 m. Θεώρημα μεταβολής της κινητικής ενέργειας για το m 2 από την αρχική έως την τελική του θέση: ΔΚ 2 = W T2 Κ 2,τελ Κ 2,αρχ = T 2 Δx 2 0 ½ m 2 υ 2 ² = μ m 2 g Δx 2 Δx 2 = υ 2 ² / 2 μ g Δx 2 = 5² / 2 0,1 10 Δx 2 = 12,5 m. H απόσταση d των σωμάτων είναι (δείτε το σχήμα): d = Δx 1 + Δx 2 d = 12,5 + 12,5 = 25 m. 18) Ένας πύραυλος μάζας M = kg, κινείται ευθύγραμμα, σε περιοχή ασήμαντης βαρύτητας, με σταθερή ταχύτητα μέτρου υ 0 = 200 m / s. Ξαφνικά, με μια έκρηξη ο πύραυλος χωρίζεται σε δύο κομμάτια με μάζες m 1 και m 2 για τις οποίες ισχύει m 1 = 3 m 2. Το πρώτο, κομμάτι μάζας m 1, αμέσως μετά την έκρηξη έχει ταχύτητα μέτρου υ 1 = 400 m / s, στην ίδια κατεύθυνση με την αρχική ταχύτητα υ 0. Να προσδιορίσετε: Δ 1. Την ταχύτητα υ 2 του δεύτερου κομματιού. Δ 2. Τη μεταβολή ορμής ΔΡ 1 και ΔΡ 2 του κάθε κομματιού εξαιτίας της έκρηξης. Τι παρατηρείτε; Δ 3. Την ενέργεια που ελευθερώθηκε λόγω της έκρηξης.

18 Δ 4. Αν υποθέσετε ότι η έκρηξη, δηλαδή η διάσπαση του πυραύλου στα δύο κομμάτια του διαρκεί χρονικά Δt = 0,2 s, να προσδιορίσετε τη μέση δύναμη που δέχτηκε κάθε ένα από τα δύο κομμάτια στα οποία χωρίστηκε ο πύραυλος κατά τη διάρκεια της κρούσης. Δ 1. Για τις μάζες ισχύει m 1 = 3 m 2 και m 1 + m 2 = M, άρα 3 m 2 + m 2 = M 4 m 2 = M 4 m 2 = άρα m 2 = 10 4 kg και m 1 = kg. Επειδή ο πύραυλος κινείται σε περιοχή ασήμαντης βαρύτητας, οι μόνες δυνάμεις που αναπτύσσονται είναι οι δυνάμεις κατά την έκρηξη που είναι εσωτερικές, το σύστημα είναι μονωμένο άρα θα ισχύει η Αρχή Διατήρησης της Ορμής: Ρ πριν = Ρ μετά Μ υ 0 = m 1 υ 1 + m 2 υ = υ = υ 2 υ 2 = 400 m / s. Το (-) δείχνει ότι το δεύτερο κομμάτι του δορυφόρου θα κινηθεί με ταχύτητα αντίθετης φοράς της αρχικής. Δ 2. Η μεταβολή της ορμής του m 1 κομματιού: ΔΡ 1 = P 1,τελ P 1,αρχ ΔΡ 1 = m 1 υ 1 m 1 υ 0 ΔΡ 1 = m 1 (υ 1 υ 0 ) ΔΡ 1 = ( ) ΔΡ 1 = kg m / s. Η μεταβολή της ορμής του m 1 κομματιού: ΔΡ 2 = P 2,τελ P 2, αρχ ΔΡ 2 = m 2 υ 2 m 2 υ 0 ΔΡ 2 = m 2 (υ 2 υ 0 ) ΔΡ 2 = 10 4 ( ) ΔΡ 2 = kg.m /s. Παρατηρούμε ότι οι μεταβολές της ορμής των δύο σωμάτων είναι αντίθετες, πράγμα που είναι αναμενόμενο λόγω της διατήρησης ορμής του συστήματος. Δ 3. Η ολική αρχική κινητική ενέργεια του συστήματος: Κ ολ,αρχ = ½ Μ υ 0 2 Κ ολ,αρχ = ½ Κ ολ,αρχ = jοule. Η ολική τελική κινητική ενέργεια του συστήματος: Κ ολ,τελ = ½ m 1 υ ½ m 2 υ 2 2 Κ ολ,τελ = ½ ½ Κ ολ,τελ = joule. Επομένως η ενέργεια που ελευθερώθηκε λόγω έκρηξης E θα είναι: E = Κ ολ,τελ Κ ολ,αρχ Ε = Ε = joule. Δ 4. Από τον 2ο γενικευμένο νόμο του Νewton: ΣF = ΔΡ / Δt ΣF = / ΣF = N 19) Σώμα μάζας Μ = 4 kg είναι δεμένο στην άκρη νήματος μήκους L = 1 m και ισορροπεί κατακόρυφα. Κάποια στιγμή ανυψώνουμε το σώμα, σε κατακόρυφη απόσταση Η = 45 cm από την αρχική του θέση, όπως φαίνεται στο παρακάτω σχήμα, και το αφήνουμε ελεύθερο.

19 Δ 1. Υπολογίστε την ταχύτητα που έχει το σώμα μάζας Μ όταν περνά από την κατακόρυφο. Δ 2. Τη στιγμή που το σώμα μάζας M διέρχεται από την κατακόρυφο, δεύτερο σώμα μάζας m = 0,5 kg κινούμενο οριζόντια και αντίθετα από το σώμα μάζας M σφηνώνεται σε αυτό, με αποτέλεσμα να δημιουργηθεί συσσωμάτωμα. Ποια πρέπει να είναι η ταχύτητα του σώματος μάζας m ώστε το συσσωμάτωμα να παραμείνει ακίνητο αμέσως μετά την κρούση; Δ 3. Υπολογίστε τη μεταβολή του μέτρου της δύναμης που ασκεί το νήμα στο σώμα μάζας Μ και στο συσσωμάτωμα αμέσως πριν και αμέσως μετά την κρούση. Δ 4. Με ποια ταχύτητα θα πρέπει να κινείται το σώμα μάζας m πριν από την κρούση, ώστε το συσσωμάτωμα που θα προκύψει να κινηθεί αμέσως μετά την κρούση στην ίδια κατεύθυνση με αυτή που κινούταν το σώμα μάζας M πριν την κρούση και να φθάσει σε θέση που να σχηματίζει με την κατακόρυφο γωνία θ, για την οποία συν θ = 0,8 ; Δίνεται η επιτάχυνση της βαρύτητας στην επιφάνεια της Γης g = 10 m / s 2. Η αντίσταση του αέρα θεωρείται αμελητέα. Δ 1. Ισχύει η αρχή διατήρησης μηχανικής ενέργειας: (επειδή στο σύστημα επιδρούν διατηρητικές δυνάμεις όπως το βάρος Μ g, επίπεδο μηδενικής δυναμικής ενέργειας παίρνουμε την κατώτερη θέση του σώματος (κατακόρυφη θέση). Το έργο της τάσης του νήματος Τ είναι μηδέν δεδομένου ότι είναι κάθετο στη διεύθυνση κίνησης που είναι η εφαπτόμενη σε κάθε σημείο της κυκλικής τροχιάς) E αρχ = Ε τελ Κ αρχ + U αρχ = Κ τελ + U τελ 0 + Μ g H = ½ M υ 1 ² + 0 υ 1 ² = 2 g H υ 1 ² = υ 1 ² = 9 υ 1 = 3 m / s. Δ 2. Έχουμε πλαστική κρούση, άρα ισχύει η αρχή διατήρησης της ορμής: (Ξανά: το σύστημα είναι μονωμένο, η ΣF εξ = 0, θετική φορά στο σχήμα η φορά προς τα αριστερά) Ρ ολ,αρχ = Ρ ολ,τελ Ρ Μ + Ρ m = Ρ Μ + Ρ m Μ υ 1 m υ 2 = 0 υ 2 = Μ υ 1 / m υ 2 = 4 3 / ½ υ 2 = 24 m / s. Δ 3. Η κεντρομόλος δύναμη πριν την κρούση, για το σώμα M : F κ = Τ Μ g M υ 1 ² / L = T M g T = M υ 1 ² / L + M g T = 4 9 / T = 76 N. Η κεντρομόλος δύναμη μετά την κρούση, για το σώμα Μ + m : F κ = Τ (m + Μ) g 0 = T (m + M) g T = (m + M) g T = (4 + ½) 10 T = 45 Ν. Η μεταβολή του μέτρου της δύναμης που ασκεί το νήμα στο σώμα Μ πριν την κρούση, αλλά και στο Μ + m μετά την κρούση είναι: ΔΤ = Τ - Τ ΔΤ = ΔΤ = 31 Ν. Δ 4. Θα υπολογίσουμε αρχικά το ύψος h που ανέβηκε το συσσωμάτωμα, όπου η ταχύτητα του σώματος είναι μηδέν (το συσσωμάτωμα στιγμιαία ακινητοποιείται). Στο παρακάτω σχήμα βλέπουμε: το συν θ = y / L y = L συν θ και L = h + y h = L y h = L L συν θ h = L (1 συν θ) h = 1 (1 0,8) h = 0,2 m.

20 Θεώρημα μεταβολής της κινητικής ενέργειας: (ισχύει παντού, αφορά στη περίπτωση μας το συσσωμάτωμα από την κατακόρυφη θέση, στη θέση όπου η ταχύτητα του μηδενίζεται, το έργο του βάρους είναι αρνητικό γιατί η φορά του βάρους (προς τα κάτω) είναι αντίθετη της φοράς κίνησης (προς τα πάνω)) ΔΚ = W w Κ τελ Κ αρχ = W w 0 ½ (M + m) v ² = (Μ + m) g h v ² = 2 g h v ² = ,2 v = 2 m / s. Ισχύει η αρχή διατήρησης της ορμής για την νέα πλαστική κρούση: Ρ ολ,αρχ = Ρ ολ,τελ Ρ Μ + Ρ m = Ρ Μ + Ρ m m υ 2 = Μ υ 1 (Μ + m) v υ 2 = (Μ υ 1 (Μ + m) v ) / m υ 2 = (4 3 (4 + ½) 2) / ½ υ 2 = 6 m / s. 20) Ένα σώμα Α μάζας 2 kg κινείται σε λείο οριζόντιο επίπεδο με ταχύτητα μέτρου υ 1 = 12 m / s και συγκρούεται με ακίνητο σώμα Β. Μετά την κρούση τα δύο σώματα κινούνται σαν ένα σώμα με την ίδια ταχύτητα. Κατά τη κρούση αυτή, το σώμα Α σώμα χάνει το 75% της κινητικής του ενέργειας. Δ 1. Να υπολογισθεί το μέτρο της ταχύτητας των δύο σωμάτων μετά την κρούση. Δ 2. Να βρεθεί η μάζα του σώματος Β. Δ 3. Να βρεθεί η μεταβολή του μέτρου της ταχύτητας και το μέτρο της μεταβολής της ορμής του σώματος Α. Δ 4. Αν τα δύο σώματα μετά την κρούση δεν είχαν την ίδια ταχύτητα, αλλά το σώμα Α εκινείτο ομόρροπα με την αρχική κατεύθυνση κίνησής και με ταχύτητα μέτρου υ 1 = 1 m / s, ποια θα ήταν η ταχύτητα του σώματος Β (μέτρο και κατεύθυνση) ; Δ 1. Στην εκφώνηση δίνεται: Κ Α,μετά = Κ Α,πριν (75 / 100) Κ Α,πριν Κ Α,μετά = (25 / 100) Κ Α,πριν ½ m A υ κ ² = ¼ ½ m A υ 1 ² υ κ ² = ¼ υ 1 ² υ κ ² = ¼ 12² υ κ ² = 36 υ κ = 6 m / s. Και τα δύο σώματα κινούνται με την υ κ ταχύτητα συσσωματώματος. Δ 2. Έχουμε πλαστική κρούση άρα ισχύει η αρχή διατήρησης της ορμής: (μια διανυσματική σχέση που ισχύει σε μονωμένο σύστημα σωμάτων) Ρ ολ,πριν = Ρ ολ,πριν m A υ = (m A + m B ) υ κ m A υ 1 = m A υ κ + m B υ κ m B = m A (υ 1 -υ κ ) / υ κ m B = 2 (12 6) / 6 m B = 2 kg. Δ 3. H μεταβολή του μέτρου της ταχύτητας του σώματος Α είναι ίση με: Δυ = υ κ υ 1 Δυ = 6 12 Δυ = 6 m / s, το μείον οφείλεται στην ελάττωση της ταχύτητας του Α. Η μεταβολή της ορμής του σώματος Α είναι ίση με: ΔΡ = Ρ τελ Ρ αρχ ΔΡ = m A υ κ m A υ 1 ΔΡ = ΔΡ = 12 kg m / s, άρα το μέτρο της μεταβολής της ορμής θα είναι ίσο με ΔP = + 12 kg m / s. Δ 4. Από την αρχή διατήρησης της ορμής προκύπτει: Ρ ολ,πριν = Ρ ολ,πριν m A υ = m A υ 1 + m Β υ 2 υ 2 = m A (υ 1 υ 1 ) / m Β υ 2 = 2 (12 1) / 2 υ 2 = 11 m / s. Η φορά της ταχύτητας είναι ίδια με την φορά της υ 1 ταχύτητας.

21 21) Ένα σώμα Σ 1, μάζας m 1 = 2 kg, είναι στερεωμένο στο άκρο Κ μη εκτατού και αβαρούς νήματος και βρίσκεται πάνω σε λείο οριζόντιο επίπεδο (κάτοψη του οποίου φαίνεται στο σχήμα). Το άλλο άκρο του νήματος, είναι στερεωμένο σε ακλόνητο σημείο Ο. Το μήκος του νήματος είναι 1 m. Ένα δεύτερο σώμα Σ 2 μάζας m 2 = 1 kg κινείται πάνω στο λείο επίπεδο με ταχύτητα σταθερού μέτρου υ = 40 m / s. Η διεύθυνση της ταχύτητας είναι εφαπτομένη στο σημείο Κ (όπως φαίνεται στο σχήμα). Όταν το σώμα Σ 2 φτάνει στο σημείο Κ συγκρούεται μετωπικά με το σώμα Σ 1. Μετά την κρούση το σώμα Σ 2 αποκτά ταχύτητα ίση με υ 2 = 8 m / s και συνεχίζει να κινείται ευθύγραμμα στην ίδια διεύθυνση. Να θεωρήσετε ότι η κρούση γίνεται ακαριαία. Δ 1. Να βρεθεί η ταχύτητα του σώματος Σ 1 αμέσως μετά την κρούση. Δ 2. Να δικαιολογήσετε γιατί μετά την κρούση το σώμα Σ 1 εκτελεί ομαλή κυκλική κίνηση και να υπολογίσετε το χρόνο που κάνει για να φτάσει στο σημείο Λ για πρώτη φορά. Δ 3. Να υπολογίσετε την απόσταση μεταξύ των δύο σωμάτων όταν το σώμα Σ 1 έχει εκτελέσει δύο πλήρεις περιστροφές. Δ 4. Να μελετήσετε αν κατά την κρούση διατηρείται η κινητική ενέργεια του συστήματος των δύο σωμάτων Σ 1 και Σ 2. Δ 1. Η αρχή διατήρησης της ορμής: (Ισχύει σε ένα μονωμένο σύστημα σωμάτων, δηλαδή σε ένα σύστημα όπου η συνισταμένη (ΣF εξ = 0) των εξωτερικών (δυνάμεις που ασκούνται από σώματα εκτός του συστήματος) δυνάμεων είναι μηδέν) Ρ ολ,αρχ = Ρ ολ,τελ m 2 υ = m 2 υ 2 + m 1 υ 1 Η αρχή διατήρησης της ορμής είναι διανυσματική σχέση, έχουμε πάρει θετική φορά προς τα πάνω. m 1 υ 1 = m 2 υ m 2 υ 2 υ 1 = m 2 (υ υ 2 ) / m 1 υ 1 = 1 (40 8) / 2 = 16 m / s. Δ 2. Μετά την κρούση των σωμάτων το m 1 εκτελεί ομαλή κυκλική κίνηση γιατί ασκείτε πάνω του κεντρομόλος δύναμη από το νήμα ΟΚ. Στο m 1 ασκούνται οι δυνάμεις: το βάρος του w, η κάθετη δύναμη από το δάπεδο Ν και η δύναμη F (ή Τ η τάση του νήματος) από το νήμα (το επίπεδο είναι λείο, αλλιώς θα είχαμε και τριβή Τ τρ = μ Ν)..

22 Η επίδραση μόνο της F επηρεάζει την κίνηση μας, η F έχει διεύθυνση την ακτίνα και φορά προς τα μέσα. Η κεντρομόλος δύναμη είναι η F άρα F = m 1 υ 1 ² / R θα μπορούσαμε να την υπολογίσουμε, όπως και την κεντρομόλο επιτάχυνση α κ = υ 1 ² / R. Ισχύει στην ομαλή κυκλική κίνηση η σχέση της ταχύτητας με την περίοδο και την ακτίνα: υ 1 = 2π R / T T = 2π R / υ 1 T = 2π 1 / 16 T = π / 8 s. H περίοδος είναι η χρονική διάρκεια (όχι χρονική στιγμή) που διαρκεί η πλήρης περιφορά ενός σώματος γύρω από το Ο, το σώμα σε χρόνο t = T (στην χρονική στιγμή) έχει μόλις διαγράψει ένα κύκλο. Άρα τον μισό κύκλο σε χρόνο: t KΛ = Τ / 2 = π / 16 s. Δ 3. Το Σ 1 διαγράφει 2 πλήρεις περιφορές σε χρόνο t = 2 T t = 2 (π / 8) t = π / 4 s. To Σ 2 εκτελεί ευθύγραμμη ομαλή κίνηση με ταχύτητα υ 2 = Δx 2 / t Δx 2 = υ 2 t Δx 2 = 8 π / 4 = 2π m. To Σ 1 θα βρίσκεται ξανά στη θέση Κ (t = 2 T), άρα η απόσταση d των δύο σωμάτων: d = Δx 2 0 d = Δx 2 = 2 π m. Δ 4. H αρχική κινητική ενέργεια του συστήματος (αρχικά το m 1 είναι ακίνητο): Κ ολ,αρχ = ½ m 2 υ² Κ ολ,αρχ = ½ 1 40² Κ ολ,αρχ = 800 joule. H τελική κινητική ενέργεια του συστήματος: Κ ολ,τελ = ½ m 1 υ 1 ² + ½ m 2 υ 2 ² Κ ολ,τελ = ½ 2 16² + ½ 1 8² Κ ολ,τελ = 288 joule. Η κρούση είναι ανελαστική εφόσον Κ ολ,αρχ > Κ ολ,τελ. Η ΔΚ απώλειας ενέργειας έγινε θερμότητα κατά την κρούση. 22) Μια ράβδος μήκους R = 1 m και αμελητέας μάζας βρίσκεται πάνω σε λείο οριζόντιο επίπεδο (κάτοψη του οποίου φαίνεται στο σχήμα) και μπορεί να περιστρέφεται γύρω από το σημείο Ο. Στο άλλο της άκρο είναι στερεωμένο σώμα Σι μάζας m 1 = 2 kg το οποίο εκτελεί ομαλή κυκλική κίνηση με γραμμική ταχύτητα μέτρου υ 1 = 20 m/s, ξεκινώντας τη χρονική στιγμή t = 0 s από το σημείο Κ. Στο σημείο Λ (αντιδιαμετρικό του Κ) βρίσκεται ακίνητο σώμα Σ 2 μάζας m 2 = 1 kg. Δ 1. Να σχεδιαστεί και να υπολογιστεί το μέτρο της κεντρομόλου δύναμης που ασκείται στο σώμα Σ 1. Από πού ασκείται η δύναμη αυτή; Όταν το σώμα Σ 1 φτάνει στο σημείο Λ συγκρούεται μετωπικά με το σώμα Σ 2. Μετά την κρούση το σώμα Σ 2 αποκτά ταχύτητα ίση με υ 2 = 20 m/s και κινείται ευθύγραμμα πάνω στο λείο επίπεδο. Να θεωρήσετε ότι η κρούση γίνεται ακαριαία. Δ 2. Να βρεθεί η ταχύτητα του σώματος Σ 1 αμέσως μετά την κρούση. Δ 3. Να βρεθεί ο χρόνος από τη χρονική στιγμή t = 0 s που το σώμα Σ 1 ξεκίνησε από το σημείο Κ μέχρι τη χρονική στιγμή που ξαναβρέθηκε στο σημείο Κ. Δ 4. Να μελετήσετε αν κατά την κρούση διατηρείται η κινητική ενέργεια του συστήματος των δύο σωμάτων Σ 1 και Σ 2. Δ 1. Η κεντρομόλος δύναμη δίνεται: F κ = m 1 υ 1 ² / R F κ = 2 20² / 1 F κ = 800 Ν.

23 Βλέπουμε στο σχήμα την ζητούμενη διεύθυνση και φορά της F κ ενώ στο δεξί σχήμα βλέπουμε σε τομή τις δυνάμεις που ασκούνται στο σώμα. Ενδιαφέρουσα η ερώτηση: Η F κ δεν είναι παρά η συνισταμένη των δυνάμεων που ασκούνται στο σώμα με διεύθυνση την ακτίνα και φορά προς το κέντρο του κύκλου, άρα κεντρομόλος είναι η δύναμη που ασκείται από την ράβδο στο σώμα (δεδομένου ότι το βάρος w και η κάθετη δύναμη από το δάπεδο Ν βρίσκονται σε άλλο άξονα και έχουν συνισταμένη μηδέν). Δ 2. Ισχύει η αρχή διατήρησης της ορμής: Ρ ολ,αρχ = Ρ ολ,τελ m 1 υ 1 = m 1 υ 1 + m 2 υ 2 υ 1 = (m 1 υ 1 m 2 υ 2 ) / m 1 υ 1 = ( ) / 2 υ 1 = 10 m / s. Παρατηρούμε ότι δεν άλλαξε η φορά κίνησης του σώματος, κάτι που είναι σημαντικό στο επόμενο ερώτημα. Δ 3. Το ημικύκλιο (ΚΛ) διανύεται από το σώμα m 1 σε μισή περίοδο: Υπολογίζουμε την γωνιακή ταχύτητα: υ 1 = ω 1 R ω 1 = υ 1 / R ω 1 = 20 / 1 ω 1 = 20 rad / s. Η περίοδος: ω 1 = 2π / Τ 1 Τ 1 = ω 1 / 2π Τ 1 = 20 / 2π Τ 1 = π / 10 s. Άρα t 1 = Τ 1 / 2 t 1 = π / 20 s. Το ημικύκλιο (ΛK) διανύεται από το σώμα m 1 σε μισή περίοδο (επίσης) αλλά αλλάζει η περίοδος, αφού αλλάζει η ταχύτητα λόγω κρούσης: H νέα γωνιακή ταχύτητα: υ 1 = ω 1 R ω 1 = υ 1 / R ω 1 = 10 / 1 = 10 rad / s. Η νέα περίοδος: ω 1 = 2π / Τ 1 Τ 1 = 2π / ω 1 Τ 1 = 2π / 10 Τ 1 = π / 5 s. Άρα t 1 = Τ 1 / 2 t 1 = π / 10 s. Δηλαδή ο συνολικός χρόνος κίνησης είναι: t ολ = t 1 + t 1 t ολ = π / 20 + π / 10 t ολ = 3π / 20 s. Το ερώτημα αυτό είναι πολύ καλό. Δ 4. Ουσιαστικά μας ρωτάει για το είδος της κρούσης, ας βρούμε την συνολική αρχική και τελική κινητική ενέργεια του συστήματος των δύο μαζών: Κ ολ,αρχ = ½ m 1 υ 1 ² Κ ολ,αρχ = ½ 2 20² = 400 joule. Κ ολ,τελ = ½ m 1 υ 1 ² + ½ m 2 υ 2 ² Κ ολ,τελ = ½ 2 10² + ½ 1 20² Κ ολ,τελ = = 300 joule. Παρατηρούμε ότι Κ ολ,αρχ > Κ ολ,τελ άρα η κρούση είναι ανελαστική. 23) Μια ράβδος μήκους R = 1 m και αμελητέας μάζας βρίσκεται πάνω σε λείο οριζόντιο επίπεδο και μπορεί να περιστρέφεται γύρω από το σημείο Ο. Στο άλλο άκρο της είναι στερεωμένο σώμα Σ 1 μάζας m 1 = 2 kg το οποίο εκτελεί ομαλή κυκλική κίνηση με γραμμική ταχύτητα μέτρου υ 1 = 20 m / s, ξεκινώντας από το σημείο Κ. Στο σημείο Λ (αντιδιαμετρικό του Κ) βρίσκεται ακίνητο σώμα Σ 2 μάζας m 2 = 1 kg. Δ 1. Να σχεδιαστεί και να υπολογιστεί το μέτρο της κεντρομόλου δύναμης που ασκείται στο σώμα Σ 1 από τη ράβδο.