Λύση Ισχύει : ΔΡ 1 = Ρ 1 Ρ 1 ΔΡ 1 = m 1 υ 1 m 1 υ 1 m 1 υ 1 = ΔΡ 1 + m 1 υ 1 υ 1 = (ΔΡ 1 + m 1 υ 1 ) / m 1 υ 1 = [ (6)] / 1 υ 1 = 2 m / s. Η αρ

Transcript

1 1)Σώμα μάζας m 1 = 0,3 kg που κινείται με οριζόντια ταχύτητα υ 1 = 100 m / s συγκρούεται πλαστικά με σώμα μάζας m 2 = 1,7 kg που βρίσκεται αρχικά ακίνητο πάνω σε λείο οριζόντιο επίπεδο. Να υπολογίσετε : Το μέτρο της ταχύτητας του συσσωματώματος αμέσως μετά την κρούση. Την μεταβολή της ορμής του σώματος m 1. Την θερμική ενέργεια (θερμότητα) που παράχθηκε κατά την κρούση. Λύση Αρχή διατήρησης της ορμής : (διανυσματική σχέση που ισχύει στο μονωμένο σύστημα των m 1 και m 2, η θετική φορά είναι η φορά προς τα δεξιά) Ρ ολ,πριν = Ρ ολ,μετά m 1 υ 1 = (m 1 + m 2 ) υ υ = m 1 υ 1 / (m 1 + m 2 ) υ = 0,3 100 / (0,3 + 1,7) υ = 30 / 2 υ = 15 m / s. ΔΡ 1 = Ρ 1 Ρ 1 ΔΡ 1 = m 1 υ m 1 υ 1 ΔΡ 1 = m 1 (υ υ 1 ) ΔΡ 1 = 0,3 (15 100) ΔΡ 1 = 25,5 kg m / s. Αρχή διατήρησης της ενέργειας : (η γενικότερη αρχή που ισχύει παντού) Κ ολ,πριν = Κ ολ,μετά + Q ½ m 1 υ 1 ² = ½ (m 1 + m 2 ) υ² + Q Q = ½ m 1 υ 1 ² ½ (m 1 + m 2 ) υ² Q = ½ 0,3 100² ½ (0,3 + 1,7) 15² Q = Q = 1275 joule. 2)Σώμα μάζας m 1 = 1 kg κινείται σε λείο οριζόντιο επίπεδο με ταχύτητα μέτρου υ 1 = 6 m / s και συγκρούεται κεντρικά με ακίνητο σώμα μάζας m 2 = 4 kg. Η μεταβολή της ορμής του σώματος m 1 είναι ΔΡ 1 = 4 kg m / s. Να βρεθεί το μέτρο της ταχύτητας του κάθε σώματος αμέσως μετά την κρούση. Να δικαιολογηθεί ότι η κρούση είναι ανελαστική. Να υπολογιστεί η θερμότητα που παράχθηκε κατά την κρούση.

2 Λύση Ισχύει : ΔΡ 1 = Ρ 1 Ρ 1 ΔΡ 1 = m 1 υ 1 m 1 υ 1 m 1 υ 1 = ΔΡ 1 + m 1 υ 1 υ 1 = (ΔΡ 1 + m 1 υ 1 ) / m 1 υ 1 = [ (6)] / 1 υ 1 = 2 m / s. Η αρχή διατήρησης της ορμής : Ρ ολ,αρχ = Ρ ολ,τελ m 1 υ 1 + m 2 0 = m 1 υ 1 + m 2 υ 2 υ 2 = (m 1 υ 1 m 1 υ 1 ) / m 2 υ 2 = ( ) / 4 υ 2 = 1 m / s. Θα υπολογίσουμε την ολική αρχική κινητική ενέργεια : Κ ολ,αρχ = ½ m 1 υ 1 ² + 0 Κ ολ,αρχ = ½ 1 6² Κ ολ,αρχ = 18 joule. Θα υπολογίσουμε την ολική τελική κινητική ενέργεια : Κ ολ,τελ = ½ m 1 υ 1 ² + ½ m 2 υ 2 ² Κ ολ,τελ = ½ 1 2² + ½ 4 1² Κ ολ,τελ = 4 joule. Αφού Κ ολ,τελ = 4 joule < Κ ολ,αρχ = 18 joule, η κρούση είναι ανελαστική. Αρχή διατήρησης της ενέργειας : (η γενικότερη σχέση που ισχύει παντού) Κ ολ,αρχ = Κ ολ,τελ + Q Q = Κ ολ,αρχ Κ ολ,τελ Q = 18 4 Q = 14 joule. 3)Βλήμα μάζας m = 1 kg το οποίο κινείται οριζόντια μα ταχύτητα υ = 200 m / s, συναντά ξύλινο κιβώτιο μάζας M = 99 kg, που αρχικά ηρεμεί σε οριζόντια επιφάνεια και σφηνώνεται σε αυτό. Η κρούση βλήματος κιβωτίου είναι πλαστική. Αμέσως μετά την κρούση το συσσωμάτωμα αρχίζει να ολισθαίνει και τελικά σταματά σε απόσταση x = 0,4 m. Να υπολογίσετε : Την ταχύτητα του συσσωματώματος, αμέσως μετά την κρούση. Την απώλεια της κινητικής ενέργειας κατά την κρούση. Το συντελεστή τριβής ολίσθησης μεταξύ του συσσωματώματος και της οριζόντιας επιφάνειας. Δίνεται g = 10 m / s².

3 Λύση Ισχύει η Αρχή διατήρησης της ορμής : (διανυσματική σχέση που ισχύει στο μονωμένο σύστημα σωμάτων m, M) P ολ,αρχ = P ολ,τελ m υ + 0 = (m + M) υ υ = m υ / (m + M) υ = / (1 + 99) υ = 200 / 100 υ = 2 m / s. η απώλεια της κινητικής ενέργειας είναι : ΔΚ ολ = Κ ολ,αρχ Κ ολ,τελ (λόγω του Κ ολ,αρχ > Κ ολ,τελ ) ΔΚ ολ = ½ m υ² ½ (Μ + m) υ ² ΔΚ ολ = ½ 1 200² ½ (1 + 99) 2² ΔΚ ολ = ΔΚ ολ = joule. Θεώρημα μεταβολής της κινητικής ενέργειας : (άλλη έκφραση της αρχής διατήρησης της ενέργειας που εφαρμόζεται στο συσσωμάτωμα με αρχική θέση την θέση αμέσως μετά την κρούση και τελική την θέση που το συσσωμάτωμα έχει σταματήσει) ΔΚ συσ = W T Κ τελ Κ αρχ = W T 0 ½ (Μ + m) υ ² = μ (Μ + m) g x μ = υ ² / (2 g x) μ = 2² / (2 10 0,4) μ = 4 / 8 μ = 0,5.

4 4)Ένα σώμα μάζας Μ = 1,8 kg είναι δεμένο στο άκρο νήματος l = 0,4 m. Το σώμα ισορροπεί σε κατακόρυφη θέση όταν βλήμα μάζας m = 0,2 kg κινείται σε οριζόντια θέση με μέτρο ταχύτητας υ 0 και συγκρούεται πλαστικά με το σώμα μάζας Μ. Το συσσωμάτωμα των δύο σωμάτων παραμένει δεμένο στο νήμα και το νήμα εκτρέπεται από την κατακόρυφη διεύθυνση κατά γωνία θ = 60. Να υπολογίσετε : Το μέτρο της ταχύτητας του συσσωματώματος, ελάχιστα μετά την κρούση. Το μέτρο της ταχύτητας υ 0 του σώματος m. Το ποσοστό επί τοις εκατό της ελάττωσης της κινητικής ενέργειας του συσσωματώματος κατά την κρούση. Δίνεται : g = 10 m / s². Λύση Ισχύει : συν θ = y / l y = l συν θ. Επίσης : h = l y h = l l συν θ h = l (1 συν θ). Ισχύει η αρχή διατήρησης της μηχανικής ενέργειας : (άλλη έκφραση της γενικότερης αρχής διατήρησης της ενέργειας που ισχύει στο συσσωμάτωμα, αφού η μόνη δύναμη που παράγει έργο είναι το βάρος του, για αρχική θέση την θέση αμέσως μετά την κρούση και τελική θέση την θέση όπου το συσσωμάτωμα είναι στιγμιαία ακίνητο και η γωνία θ = 60 ) Ε αρχ = Ε τελ Κ αρχ + U αρχ = Κ αρχ + U αρχ ½ (m + M) υ² + 0 = 0 + (m + M) g h ½ υ² = g l (1 συν θ) υ = [2 g l (1 συν θ)] υ = [2 10 0,4 (1 ½)] υ = 4 m / s.

5 Ισχύει η αρχή διατήρησης της ορμής : Ρ πριν = Ρ μετά m υ 0 = (m + M) υ υ 0 = [(m + M) / m] υ υ 0 = [(0,2 + 1,8) / 0,2] 4 υ 0 = 40 m / s. (ΔΚ / Κ αρχ ) % = [(Κ αρχ Κ τελ ) / Κ αρχ ] 100 % γιατί Κ αρχ > Κ τελ, (ΔΚ / Κ αρχ ) % = {[½ m υ 0 ² ½ (M + m) υ²] / (½ m υ 0 ²)} 100 % (ΔΚ / Κ αρχ ) % = {[m υ 0 ² (M + m) υ²] / (m υ 0 ²)} 100 % (ΔΚ / Κ αρχ ) % = {[0,2 40² (0,2 + 1,8) 4²] / (0,2 40²)} 100 % (ΔΚ / Κ αρχ ) % = {[320 32] / 320} 100 % (ΔΚ / Κ αρχ ) % = (288 / 320) 100 % (ΔΚ / Κ αρχ ) % = 0,9 100 % (ΔΚ / Κ αρχ ) % = 90 %. 5)Έστω σώμα (Σ) μάζας Μ = 1 kg και κωνικό βλήμα (β) μάζας m = 0,2 kg. Για να σφηνώσουμε με τα χέρια μας ολόκληρο το βλήμα στο σταθερό σώμα (Σ), όπως φαίνεται στο σχήμα, πρέπει να δαπανήσουμε ενέργεια 100 J. Έστω τώρα ότι το σώμα (Σ) που είναι ακίνητο σε λείο οριζόντιο επίπεδο, πυροβολείται με το βλήμα (β). Το βλήμα αυτό κινούμενο οριζόντια με κινητική ενέργεια Κ προσκρούει το σώμα (Σ) και ακολουθεί πλαστική κρούση. Για Κ = 100 J θα μπορούσε το βλήμα να σφηνωθεί ολόκληρο στο σώμα (Σ) ; Να αιτιολογήσετε την απάντηση σας. Ποια είναι η ελάχιστη κινητική Κ που πρέπει να έχει το βλήμα, ώστε να σφηνωθεί ολόκληρο στο σώμα (Σ) ; Για ποια τιμή του λόγου m / M το βλήμα με κινητική ενέργεια Κ = 100 J σφηνώνεται ολόκληρο στο (Σ) ; Να αιτιολογήσετε την απάντηση σας. Λύση Τα 100 J που δίνονται, απαιτούνται για να σφηνωθεί το βλήμα. Το πόσο των 100 J είναι η θερμική ενέργεια κατά την δημιουργία του συσσωματώματος. Εφόσον έχουμε την δημιουργία συσσωματώματος, το φαινόμενο είναι η πλαστική κρούση. Φυσικά ισχύει η αρχή διατήρησης της ορμής : (διανυσματική σχέση που ισχύει σε κάθε κρούση όπου το σύστημα των σωμάτων m και M είναι μονωμένο, δηλαδή η συνισταμένη των εξωτερικών δυνάμεων είναι μηδέν ΣF εξ = 0) Ρ ολ,πριν = Ρ ολ,μετά m υ + Μ 0 = (m + M) v v = [m / (m + M)] υ (Ι). Επειδή η κρούση είναι πλαστική, ισχύει η αρχή διατήρησης της ενέργειας : (γενικότερη μορφή της αρχής διατήρησης της ενέργειας που ισχύει παντού) Ε ολ,πριν = Ε ολ,μετά Κ ολ,πριν = Κ ολ,μετά + Q Q = Κ ολ,πριν Κ ολ,μετά (ισχύει φυσικά Κ ολ,πριν > Κ ολ,μετά ) Q = ½ m υ² ½ (Μ + m) v²

6 με την βοήθεια της σχέσης (Ι), Q = ½ m υ² ½ (Μ + m) {[m / (m + M)] υ}² Q = ½ m υ² {1 [m / (M + m)]} Q = Κ ολ,πριν {[(Μ + m) m] / (M + m)} Q = Κ ολ,πριν {M / (M + m)} Κ ολ,πριν = Q {(M + m) / M} (ΙΙ). αφού (M + m) > M, έχουμε Κ ολ,πριν > Q. δηλαδή δεν θα μπορούσε φυσικά το βλήμα να σφηνωθεί στο σώμα με κινητική ενέργεια Κ = 100 J. Για να σφηνωθεί το βλήμα στο σώμα : από την σχέση (ΙΙ) Κ ολ,πριν = Q {(M + m) / M} Κ ολ,πριν = 100 {(1 + 0,2) / 1} Κ ολ,πριν = 120 J. Φυσικά η σχέση αυτή αφορά την ελάχιστη κινητική ενέργεια. Αν Κ ολ,πριν = 100 J και Q = 100 J, τότε : Κ ολ,πριν = Q {(M + m) / M} 100 = 100 {1 + (m / M)} 1 = 1 + (m / M) (m / M) = 0, ουσιαστικά το όριο lim (m / M) 0. Δηλαδή η μάζα m να είναι αμελητέα σε σχέση με την μάζα Μ. 6)Σώμα μάζας m κινείται σε οριζόντια διεύθυνση με ταχύτητα υ 1 = υ και διαπερνά σώμα Μ = 3 m που βρίσκεται ακίνητο σε λείο οριζόντιο επίπεδο. Η ταχύτητα του σώματος Μ μετά την κρούση είναι υ 2 = 0,2 υ. Να βρεθούν : Η ταχύτητα του βλήματος m μετά την κρούση, Η μεταβολή της ορμής του βλήματος m και η μεταβολή της ορμής του σώματος Μ, Το ποσοστό (ΔΚ / Κ αρχ ) % που χάνεται κατά την κρούση, δ. Το μέτρο της δύναμης που ασκείται κατά τη διάρκεια της κρούσης στο βλήμα m και το μέτρο της δύναμης που ασκείται στο σώμα Μ. Να θεωρήσετε τα m, υ, Δt γνωστά. Λύση

7 Η κρούση είναι ανελαστική, ισχύει η αρχή διατήρησης της ορμής : Ρ ολ,πριν = Ρ ολ,μετά m υ = m υ 1 + Μ υ 2 m υ = m υ m 0,2 υ m υ 1 = m υ 0,6 m υ υ 1 = 0,4 υ. Η μεταβολή της ορμής του σώματος μάζας Μ : ΔΡ Μ = Ρ 2 Ρ 2 ΔΡ Μ = Μ υ 2 0 ΔΡ Μ = 3 m 0,2 υ ΔΡ Μ = 0,6 m υ. Ισχύει : ΔΡ m = ΔΡ Μ = 0,6 m υ, (όπου ΔΡ m είναι η μεταβολή της ορμής του σώματος μάζας m) Το ποσοστό (ΔΚ / Κ αρχ ) % που χάνεται κατά την κρούση : (ΔΚ / Κ αρχ ) % = [(Κ τελ Κ αρχ ) / Κ αρχ ] 100 % (ΔΚ / Κ αρχ ) % = [(½ m υ 1 ² + ½ Μ υ 2 ²) / (½ m υ 1 ²)] 100 % (ΔΚ / Κ αρχ ) % = {[½ m (0,4 υ)² + ½ (3 m) (0,2 υ)²] / [½ m υ²]} 100 % (ΔΚ / Κ αρχ ) % = {[(0,4² + 3 0,2²) 1] / 1} 100 % (ΔΚ / Κ αρχ ) % = 0, % (ΔΚ / Κ αρχ ) % = 72 %. To μείον δηλώνει την απώλεια. δ. Ο δεύτερος γενικευμένος νόμος του Νεύτωνα για την μάζα m : F m = ΔΡ m / Δt F m = 0,6 m υ / Δt. Ο δεύτερος γενικευμένος νόμος του Νεύτωνα για την μάζα M : F M = ΔΡ M / Δt F M = + 0,6 m υ / Δt. Ισχύει F M = F m όπως περιμέναμε γιατί οι δυνάμεις F M και F m είναι δυνάμεις δράσης αντίδρασης. 7)Σώμα μάζας Μ = 3 kg είναι αρχικά ακίνητο πάνω σε λείο οριζόντιο επίπεδο. Σώμα μάζας m = 2 kg κινείται οριζόντια με ταχύτητα υ 1 = 50 m / s και : Ι. σφηνώνεται στο σώμα, ΙΙ. εξέρχεται από αυτό με ταχύτητα υ 1 = 30 m / s. Να βρείτε και στις δύο περιπτώσεις : Την μεταβολή της ορμής του σώματος m, Την δύναμη που ασκήθηκε στο σώμα Μ, Την απώλεια της κινητικής ενέργειας του συστήματος.

8 Λύση Ι. Έχουμε πλαστική κρούση και ισχύει η αρχή διατήρησης της ορμής : Ρ ολ,πριν = Ρ ολ,πριν m υ 1 = (m + M) υ υ = m υ 1 / (m + M) υ = 2 50 / (2 + 3) υ = 20 m / s. H μεταβολή της ορμής του σώματος m : ΔΡ m = P 1 P 1 ΔΡ m = m υ m υ 1 ΔΡ m = m (υ υ 1 ) ΔΡ m = 2 (20 50) ΔΡ m = 60 kg m / s. Ισχύει : ΔΡ Μ = ΔΡ m ΔΡ Μ = (- 60) ΔΡ Μ = + 60 kg m / s. Η δύναμη που ασκήθηκε στο σώμα Μ : F Μ = ΔΡ Μ / Δt F Μ = 60 / 2 F Μ = 30 Ν. Η απώλεια της κινητικής ενέργειας του συστήματος : ΔΚ = Κ ολ,τελ Κ ολ,αρχ ΔΚ = ½ (m + Μ) υ² ½ m υ 1 ² ΔΚ = ½ (2 + 3) 20² ½ 2 50² ΔΚ = ΔΚ = joule. II.

9 Έχουμε ανελαστική κρούση και ισχύει η αρχή διατήρησης της ορμής : Ρ ολ,πριν = Ρ ολ,πριν m υ 1 = m υ 1 + M υ 2 M υ 2 = m υ 1 m υ 1 υ 2 = m (υ 1 υ 1 ) / Μ υ 2 = 2 (50 30) / 3 υ 2 = 40 / 3 m / s. H μεταβολή της ορμής του σώματος m : ΔΡ m = P 1 P 1 ΔΡ m = m υ 1 m υ 1 ΔΡ m = m (υ 1 υ 1 ) ΔΡ m = 2 (30 50) ΔΡ m = 40 kg m / s. Ισχύει : ΔΡ Μ = ΔΡ m ΔΡ Μ = (- 40) ΔΡ Μ = + 40 kg m / s. Η δύναμη που ασκήθηκε στο σώμα Μ : F Μ = ΔΡ Μ / Δt F Μ = 40 / 2 F Μ = 15 Ν. Η απώλεια της κινητικής ενέργειας του συστήματος : ΔΚ = Κ ολ,τελ Κ ολ,αρχ ΔΚ = (½ m υ 1 ² + ½ Μ υ 2 ²) ½ m υ 1 ² ΔΚ = [½ 2 30² + ½ 3 (40 / 3)²] ½ 2 50² ΔΚ = [900 + (800 / 3)] 2500 ΔΚ = 1333,33 joule. 8)Σώμα μάζας m 1 = 0,2 kg εκτοξεύεται οριζόντια με ταχύτητα μέτρου υ 1 = 100 m / s, εναντίον σώματος μάζας m 2 = 1 kg που αρχικά ηρεμεί σε οριζόντιο μη λείο επίπεδο. Το σώμα μάζας m 1 βγαίνει σε χρόνο Δt = 0,2 s από το σώμα μάζας m 2 με ταχύτητα μέτρου υ 1 = 80 m / s. Μετά την κρούση το σώμα μάζας m 2 ολισθαίνει στο οριζόντιο επίπεδο και σταματά αφού διανύσει απόσταση Δx = 4 m. Να βρεθούν : Ο συντελεστής τριβής ολίσθησης μεταξύ του σώματος μάζας m 2 και του επιπέδου. Η δύναμη που ασκείται κατά την κρούση στο σώμα μάζας m 1. Η κινητική ενέργεια που χάνεται κατά την κρούση. Δίνεται g = 10 m / s².

10 Λύση Έχουμε ισορροπία του σώματος m 2 στον άξονα y : ΣF y = 0 N 2 w 2 = 0 N 2 = m 2 g. Έχουμε ανελαστική κρούση άρα ισχύει η αρχή διατήρησης της ορμής : Ρ ολ,πριν = Ρ ολ,μετά m 1 υ 1 = m 1 υ 1 + m 2 υ 2 m 2 υ 2 = m 1 υ 1 m 1 υ 1 υ 2 = m 1 (υ 1 υ 1 ) / m 2 υ 2 = 0,2 (100 80) / 1 υ 2 = 4 m / s. Θεώρημα μεταβολής της κινητικής ενέργειας : (για το σώμα m 2 με αρχική θέση την θέση ελάχιστα μετά την κρούση και τελική θέση την θέση όπου το μένει ακίνητο) ΔΚ = W ΣF Κ τελ Κ αρχ = W Τ2 0 ½ m 2 υ 2 ² = Τ 2 Δx η τριβή μεταξύ του σώματος m 2 και του οριζόντιου επιπέδου : Τ 2 = μ Ν 2, ½ m 2 υ 2 ² = μ Ν 2 Δx ½ m 2 υ 2 ² = μ m 2 g Δx μ = υ 2 ² / (2 g Δx) μ = 4² / (2 10 4) μ = 0,2. Ο 2ος γενικευμένος νόμος του Νεύτωνα στο σώμα μάζας m 1 : F 1 = ΔP 1 / Δt F 1 = (P 1 P 1 ) / Δt F 1 = (m 1 υ 1 m 1 υ 1 ) / Δt F 1 = m 1 (υ 1 υ 1 ) / Δt F 1 = 0,2 (80 100) / 0,2 F 1 = 20 Ν. Η κινητική ενέργεια που χάνεται κατά την κρούση : ΔΚ = Κ τελ Κ αρχ ΔΚ = (½ m 1 υ 1 ² + ½ m 1 υ 2 ²) ½ m 1 υ 1 ² ΔΚ = (½ 0,2 80² + ½ 1 4²) ½ 0,2 100² ΔΚ = ( ) 1000 ΔΚ = 352 joule.

11 9)Βλήμα μάζας m 1 = 0,1 kg εκτοξεύεται οριζόντια εναντίων δύο σωμάτων με μάζες m 2 = 3 kg και m 3 = 1,9 kg που βρίσκονται αρχικά ακίνητα πάνω σε μη λείο οριζόντιο επίπεδο. Το βλήμα διαπερνά το πρώτο κιβώτιο και καρφώνεται στο δεύτερο. Μετά την κρούση τα κιβώτια μετατοπίζονται κατά Δx 2 = 9 m και Δx 3 = 16 m όπου και σταματούν. Να υπολογιστεί η αρχική ταχύτητα υ 0 του βλήματος. Δίνονται : g = 10 m / s², ο συντελεστής τριβής ολίσθησης μ = 0,2 μεταξύ των σωμάτων m 2 κ m 3 και του οριζόντιου δαπέδου. Λύση Η 1η κρούση μεταξύ των σωμάτων m 1 και m 2 είναι ανελαστική, ισχύει η αρχή διατήρησης της ορμής : Ρ ολ,πριν = Ρ ολ,μετά m 1 υ 0 = m 1 υ 1 + m 2 υ 2 (Ι). Θεώρημα μεταβολής της κινητικής ενέργειας για το σώμα m 2, για αρχική θέση την θέση αμέσως μετά την κρούση και τελική θέση την θέση που το σώμα m 2 είναι ακίνητο : ΔΚ 2 = W T2 K τελ,2 K αρχ,2 = W T2 0 ½ m 2 υ 2 ² = Τ 2 Δx 2 ½ m 2 υ 2 ² = μ m 2 g Δx 2 υ 2 ² = 2 μ g Δx 2 υ 2 = (2 μ g Δx 2 ) υ 2 = (2 0,2 10 9) υ 2 = 6 m / s.

12 Η 2η κρούση μεταξύ των σωμάτων m 1 και m 3 είναι πλαστική, ισχύει η αρχή διατήρησης της ορμής : Ρ ολ,πριν = Ρ ολ,μετά m 1 υ 1 = (m 1 + m 2 ) υ (ΙΙ). Θεώρημα μεταβολής της κινητικής ενέργειας για το συσσωμάτωμα m 1 + m 3 για αρχική θέση την θέση αμέσως μετά την κρούση και τελική θέση την θέση που το συσσωμάτωμα είναι ακίνητο : ΔΚ = W T K τελ K αρχ = W T 0 ½ (m 1 + m 3 ) υ² = Τ Δx 3 ½ (m 1 + m 3 ) υ² = μ (m 1 + m 3 ) g Δx 3 υ² = 2 μ g Δx 3 υ 2 = (2 μ g Δx 3 ) υ = (2 0, ) υ = 8 m / s. Από την σχέση (ΙΙ) : m 1 υ 1 = (m 1 + m 2 ) υ υ 1 = (m 1 + m 2 ) υ / m 1 υ 1 = (0,1 + 1,9) 8 / 0,1 υ 1 = 160 m / s. Από την σχέση (Ι) : m 1 υ 0 = m 1 υ 1 + m 2 υ 2 υ 0 = (m 1 υ 1 + m 2 υ 2 ) / m 1 υ 0 = (0, ) / 0,1 υ 0 = 340 m / s.