α,+ ) R, µε f(α) > 0 για την [ ] R µε f(0) = 2012, η οποία έχει x +

Transcript

1 Σύογος Θετικών Επιστόνων ράµας ιαγωνισµός στη µνήµη του καθηγητή: Βασίη Ξανθόπουου Μαθατικά : Τάξη: Γ ράµα Μαρτίου Θέµα ο : α, R, µε α > για την συν για κάθε α, Έστω η παραγωγίσιµη συνάρτηση οποία ισχύει : i να αποδείξετε ότι α > ii να βρείτε το σύνοο τιµών της συναρτήσει του α iii να αποδείξετε ότι Θέµα ο ίνεται ότι ω ωσυνω Έστω η παραγωγίσιµη συνάρτηση : R R µε, η οποία έχει ασύµπτωτη στο ± την ευθεία ψ χ Θεωρούµε επίσης τους µιγαδικούς αριθµούς i µε R Α να βρεθούν οι πάγιες ασύµπτωτες της συνάρτησης Β Β να βρεθούν τα όρια:, Β να δείξετε ότι υπάρχουν πραγµατικοί αριθµοί ξ, ξ µε ξ < < ξ ώστε ξ ξ Β να δείξετε ότι υπάρχει σείο Μ της γραφικής παράστασης της συνάρτησης, τέτοιο ώστε η εφαπτοµένη στο σείο Μ να είναι κάθετη στην ΟΜ Ο αρχή των αξόνων Γ αν υπάρχουν χ, χ, χ πραγµατικοί αριθµοί µε χ < χ < χ ώστε ο µιγαδικός να είναι πραγµατικός αριθµός, να δείξετε ότι η συνάρτηση δεν αντιστρέφεται

2 Σύογος Θετικών Επιστόνων ράµας ιαγωνισµός στη µνήµη Του καθηγητή: Βασίη Ξανθόπουου ΛΥΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ : Θέµα ο i α συν a a a α - a για κάθε χ R, άρα χ χ Ισχύει Τάξη: Γ ράµα Μαρτίου Για χ a, α - a, άρα α α Αά για α προκύπτει α άτοπο Άρα α > ii Με παραγώγιση της αρχικής σχέσης και επειδή ω ωσυνω, έχουµε a και, Άρα και διατηρεί πρόσο στο Α a, αφού ως παραγωγίσιµη πράξεις παραγωγίσιµων συναρτήσεων είναι και συνεχής a a a και επειδή α > έχουµε Για χ α, a a > a a, άρα a a > ηαδή a > Συνεπώς > στο a,, άρα στο a, Εποµένως το σύνοο τιµών της είναι Α a, για κάθε χ a, Άρα Επίσης επειδή είναι γνησίως αύξουσα, για χ > α είναι > a > Άρα, άρα και Χρειάζεται απόδειξη Οπότε Α a, iii Ισχύει συν Άρα Και επειδή > έχουµε Από τις, προκύπτει Επίσης

3 4 ιαιρώ µε τη σχέση : από την οποία µε kριτήριο παρεµβοής προκύπτει ότι Επίσης Άρα Από τα παραπάνω η σχέση 4 δίνει ότι Θέµα ο Α Έστω η συνάρτηση ορισµένη στο Α, Έπειδή η έχει ασύµπτωτη στο ± την ευθεία ψ χ, θα ισχύει:, και, Στην αναζήτηση πάγιας ασύµπτωτης ψ χ β στο για την έχουµε: > β

4 4 > Άρα στο πάγια ασύµπτωτη είναι η ψ Για την πάγια ασύµπτωτη ψ χ β στο έχουµε <, και β < Άρα στο πάγια ασύµπτωτη είναι η ψ B B Έχουµε Άρα και Άρα B B Έστω η συνάρτηση h ορισµένη στο, Ισχύει: h - < και

5 h, άρα θα υπάρχει α κοντά στο - τέτοιο ώστε α > Εποµένως για την συνάρτηση h έχουµε Ορισµένη και συνεχής στο α, και hαh < Άρα σύµφωνα µε το θεώρα του Bolano θα υπάρχει τουάχιστον ένα ξ < µε ξ a,, ξ Οµοίως για την συνάρτηση h στο διάστα, h έτσι ώστε hξ, επειδή θα υπάρχει β κοντά στο τέτοιο ώστε β > Άρα θα υπάρχει τουαχένα ξ > µε ξ, β, έτσι ώστε hξ ξ Άρα υπάρχουν πραγµατικοί αριθµοί ξ, ξ µε ξ < < ξ ώστε ξ ξ B Αρκεί να δείξω ότι υπάρχει σείο Μ, της C στο οποίο η εφαπτοµένη της, ψ ε, είναι κάθετη στην ΟΜ Η ε γίνεται χ ψ - και είναι παράηη µε το δ, Επίσης ΟΜ, Άρα αρκεί δ ΟΜ Έστω η συνάρτηση ορισµένη στο ξ,ξ µε ξ,ξ τέτοια ώστε ξ ξ i ερώτα Για την ισχύει: συνεχής στο ξ,ξ παραγωγίσιµη στο ξ,ξ και χ ξ ξ Άρα σύµφωνα µε το θεώρα Rolle θα υπάρχει τουάχιστον ένα χ ξ,ξ έτσι ώστε χ Οπότε σύµφωνα µε τη σχέση ΟΜ δ 5

6 6 Γ R, άρα R, και i Άρα και Αά εποµένως η γίνεται και µε αντικατάσταση στην αφού παίρνουµε : 4 Με εφαρµογή ΘΜΤ στα διαστήµατα χ, χ και χ, χ για την συνάρτηση παραγωγίσιµη στο R, άρα και συνεχής θα υπάρχουν t χ, χ και t χ, χ έτσι ώστε t και t Αά χ < t < χ < t < χ και σύµφωνα µε τη σχέση 4 έχουµε t t και t t Άρα η συνάρτηση δεν αντιστρέφεται