7 η ΕΚΑ Α ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 61. Έστω συνάρτηση f παραγωγίσιµη στο R, τέτοια ώστε. (e + 1)dt = x 1

Transcript

1 ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 7 η ΕΚΑ Α 6. Έστω συνάρτηση f παραγωγίσιµη στο R, τέτοια ώστε t (e + )dt για κάθε R Για δυνατούς παίκτες i) είξτε ότι e f() + f() ii) είξτε ότι η f αντιστρέφεται και βρείτε την f iii) Να εξετάσετε την f ως προς την κυρτότητα iν) Να λύσετε την εξίσωση f() και να βρείτε το πρόσηµο των τιµών της f ν) Να υπολογίσετε το εµβαδόν του χωρίου που ορίζεται από τη C f, τον άξονα και τις ευθείες και e + νi) Να δείξετε ότι, για κάθε > ισχύει ( ) f () < f() <. Προτεινόµενη λύση i) t (e + )dt e t + t e f() + f() e f() + f() () ii) () (e f() + f()) e f() f () + f () f ()(e f() + ) f () > () e + Άρα η f είναι γνησίως αύξουσα, εποµένως, οπότε αντιστρέφεται. Αποδεικνύουµε ότι το σύνολο τιµών της f (δηλαδή το π.ορισµού της f ) είναι το R Έστω τυχαίο y R. (Άρα για κάθε y R ). Αναζητάµε λύση της εξίσωσης y f() (), ως προς. Η ισότητα e f() + f() () e y + y. ηλαδή η λύση της (), που αναζητάµε, είναι η e y + y Και εποµένως, µε εναλλαγή των µεταβλητών, f () e + (4) iii) () iv) e f () f () < αφού f () >, οπότε η f είναι κοίλη στο R (e ) + t (e + )dt Για f() η υπόθεση δίνει και επειδή η f είναι γνησίως αύξουσα, η ρίζα είναι µοναδική. Πρόσηµο : Όταν <, αφού f γνησίως αύξουσα f() < f() Όταν >, αφού f γνησίως αύξουσα f() > f()

2 v) Για κάθε [, + e], από (iν) έχουµε f(), άρα E + e d Θέτουµε f() u, άρα f - (u) e u + u και d (e u + )du Νέα άκρα ολοκλήρωσης : Όταν, τότε u f() Όταν e +, τότε u f(e + ) Η (4) για f () e + οπότε u f(f - ()) + e Άρα Ε d u u(e + )du u ue du + udu u(e u ) du u + u u u ue e du + u u ue e + u τετραγωνικές µονάδες νi) Αρκεί να αποδείξουµε f () < < f () f () < < Στο διάστηµα [, ] η f είναι παραγωγίσιµη, άρα ικανοποιεί το Θ.Μ.Τ f () Άρα υπάρχει ξ (, ) έτσι ώστε f (ξ) ηµιουργούµε το κλάσµα του Θ.Μ.Τ Οπότε, αρκεί να αποδείξουµε f () < f (ξ) < Είναι f () <, άρα f γνησίως φθίνουσα, και αφού < ξ < f () > f (ξ) > f () Αλλά, από τη () είναι f () f () e + e + Οπότε > > f ()

3 6. Έστω συνάρτηση f συνεχής στο R και γνησίως µονότονη για την οποία ισχύει f () + f () + 6f() + 4f(). είξτε ότι i) f() και f() ii) Η f είναι γνησίως φθίνουσα iii) Υπάρχει ένα µόνο (, ) τέτοιο ώστε α +β α και β f ( ) iν) Υπάρχει ένα µόνο (, ) τέτοιο ώστε 5f ( ) f + f + f 4 ν) Η f αντιστρέφεται και να λύσετε την ανίσωση f(f ( + 4) ) >. Προτεινόµενη λύση i) f () + f () + 6f() + 4f() f () + f () f() 4f() f () 6f() f () 4f() + 4 (f() ) + ( f() ) f() και f() f() και f() ii) Είναι < και f() > f(), και αφού f γνησίως µονότονη, θα είναι γνησίως φθίνουσα iii) f( ) Αναζητώ ρίζα της εξίσωσης στο διάστηµα (, )» f()»» f()»» g()» όπου g() f() Η g είναι συνεχής στο [, ] σαν πράξεις συνεχών συναρτήσεων. g() f() > και g() f() < Εποµένως, µε βάση το θεώρηµα Blzan, θα υπάρχει µία τουλάχιστον ρίζα της εξίσωσης g() στο διάστηµα (, ) Όµως οι συναρτήσεις f και είναι γνησίως φθίνουσες, άρα και το άθροισµά τους, δηλαδή η g. Εποµένως η ρίζα είναι µοναδική. iν) < < f f() > f > f() f() > f > f() () < < f() > f > f() () < 4 < f() > f 4 > f() ()

4 4 () + () + () 5f() > f + f + f 4 > 5f() f + f + f 4 f() < < f() 5 Επειδή η f είναι συνεχής στο [, ] µε f() f() f + f + f 4 και ο αριθµός είναι µεταξύ των f() και f(), σύµφωνα 5 µε το θεώρηµα των ενδιάµεσων τιµών θα υπάρχει ένα τουλάχιστον ε(, ) έτσι f + f + f 4 ώστε f( ) 5f ( ) f 5 + f + f 4 Επειδή δε η f είναι γνησίως φθίνουσα, το είναι µοναδικό ν) Επειδή η f είναι γνησίως φθίνουσα είναι άρα αντιστρέφεται f(f ( + 4) ) > f(f ( + 4) ) > f() f ( + 4) < (αφού f γν.φθίνουσα) f ( + 4) < f(f ( + 4)) > f() (αφού f γν.φθίνουσα) + 4 > + > < ή >

5 5 6. Έστω συναρτήσεις f και g ορισµένες στο R και τέτοιες ώστε για κάθε R να ισχύει (f()) + (g()) (ηµ) i) είξτε ότι α) f() g() β) Οι συναρτήσεις είναι συνεχείς στο ο ηµ g() ii) Υπολογίστε τα όρια, +ηµ Προτεινόµενη λύση i) α) H σχέση (f()) + (g()) (ηµ) για δίνει (f()) + (g()) i) β) (f()) + (g()) (ηµ) (f()) (ηµ) (g()) Και επειδή (f()) θα είναι και (ηµ) (g()) Όµως ( ) ηµ, άρα ( ) (g()) (ηµ) g() ηµ f() g() ηµ g() ηµ ηµ ηµ Οπότε, µε βάση το κριτήριο της παρεµβολής, θα είναι και Αφού λοιπόν g() g() g(), η g είναι συνεχής στο ο Οµοίως αποδεικνύεται ότι και η f είναι συνεχής στο ο ii) Για, η (f()) + (g()) (ηµ) g() + ( ηµ ) g() Με τον ίδιο τρόπο, όπως στο (iβ), βρίσκουµε ότι. ηµ g() ηµ g() Εναι ί +ηµ ηµ + ηµ g() ηµ + +

6 6 64. Έστω συνάρτηση f ορισµένη στο R για την οποία ισχύουν f( + y) f()f(y) για κάθε, y R, f() και f (h) h h είξτε ότι i) f() ii) f() > για κάθε R iii) Η f είναι παραγωγίσιµη στο R Προτεινόµενη λύση i) Η σχέση f( + y) f()f(y) (), για y δίνει f() (f()) ii) f() Στην (), όπου, y θέτουµε : f() f Αν υπάρχει κάποιο έτσι ώστε f( ) τότε f() f( + ( )) f( )f( ) f( ), που είναι άτοπο Άρα f() > για κάθε R iii) Έστω τυχαίο ο R () f(ο+ h) f( ο) f( ο)f(h) f( ο) h h h h f( ο) ( ) f h h h f (h) f( ο ) f( ο ). f( ο ) h h Άρα f παραγωγίσιµη στο R και µάλιστα ισχύει f () f()

7 7 65. Έστω συνάρτηση f: R R γνησίως αύξουσα και συνεχής µε i) Να βρείτε το όριο f ( ηµ ) συν π ii) Να δείξτε ότι f() iii) Να βρείτε το k R ώστε η συνάρτηση να είναι συνεχής στο R. αν g() κ αν iv) Για k να δείξτε ότι η γραφική παράσταση της g τέµνει την ευθεία y σ ένα τουλάχιστον σηµείο ο (, ) Προτεινόµενη λύση i) f ( ηµ ) f ( ηµ ) ηµ π συν π ηµ συν Για το όριο Για το όριο () π f ( ηµ ) ηµ π ηµ συν π f ( ηµ ) συν () θέτουµε ηµ u, οπότε u αφού π Εποµένως f ( ηµ ) ηµ f (u) u u π ( ηµ ) π ( συν ) ii) f συνεχής f συνεχής και στο f() Θέτουµε h(),. Τότε h() και f() h() h() συν ηµ π () (h() h()) H () f() iii) Για κάθε η g είναι συνεχής σαν πηλίκο συνεχών συναρτήσεων. Για να είναι συνεχής στο Rθα πρέπει να είναι συνεχής και στο, δηλαδή πρέπει g() g() κ k iν) Αρκεί να δείξουµε ότι η εξίσωση g() έχει µία τουλάχιστον ρίζα στο διάστηµα (, )

8 Έστω η συνάρτηση φ() g() H φ είναι συνεχής στο [, ] σαν πράξεις συνεχών συναρτήσεων. φ() g() f() Όµως < και f γνησίως αύξουσα f() < f() f() > φ() > φ() g() < Εποµένως, µε βάση το θεώρηµα Blzan, υπάρχει ξ (, ) ώστε φ(ξ) g(ξ) ξ 8

9 9 66. Έστω η συνάρτηση f() e i) Να την εξετάσετε ως προς την µονοτονία και τα ακρότατα ii) Να βρείτε το σύνολο τιµών της f iii) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση f() 5 έχει µία µόνο ρίζα, της οποίας να βρείτε το πρόσηµο iν) Να δείξετε ότι η f αντιστρέφεται ν) Να βρείτε τις τιµές του για τις οποίες ισχύει ( ) ( ) e + ( ) e + νi) Να δείξετε ότι για κάθε R ισχύει f(e ) f( +) Προτεινόµενη λύση i) Η f είναι συνεχής και παραγωγίσιµη στοr µε f () ( ) e <. Άρα είναι γνησίως φθίνουσα και χωρίς ακρότατα ii) (e ) + + Αλλά Και Άρα ( ) + () f() (e ) e + + ( ) + e + e Αλλά Και Άρα ( ) () ( ) + f() + ( ) Εποµένως το σύνολο τιµών της f είναι το (, + ) iii) Είναι f() e e Από (i) και (ii) προκύπτει η πρόχειρη C f Επειδή το 5 f(a) και f γν.φθίνουσα, η εξίσωση f() 5 έχει µοναδική ρίζα. + e + γ 5 Όταν (, ) τότε f() >, και επειδή 5 >, το θα ανήκει στο (, ), δηλαδή iν) < Επειδή η f είναι γνησίως φθίνουσα, θα είναι, άρα αντιστρέφεται O

10 ν) ( ) ( ) e + ( ) e + e ( ) ( ) e f() f( ) ( ) νi) Επειδή η f είναι γνησίως φθίνουσα, αρκεί να αποδείξουµε ότι e + e Θεωρούµε τη συνάρτηση g() e Το πρόσηµο της g και η µονοτονία της g + g + g Από τον πίνακα φαίνεται ότι η g παρουσιάζει ελάχιστο για το g() Άρα για κάθε R ισχύει g() g() e

11 67. ίνεται η συνάρτηση f() ( )ln +, > i) Να βρείτε τις ασύµπτωτες της C f ii) Να αποδείξετε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα στο διάστηµα [, + ) και γνησίως φθίνουσα στο (, ] iii) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση f() έχει ακριβώς δύο θετικές ρίζες iν) Αν, είναι οι ρίζες του (iii) ερωτήµατος µε <, να αποδείξετε ότι υπάρχει ξ (, ) τέτοιο ώστε ξf (ξ) f(ξ) και ότι η εφαπτοµένη της C f στο σηµείο Μ( ξ, f(ξ)) διέρχεται από την αρχή των αξόνων. Προτεινόµενη λύση i) Κατακόρυφες ασύµπτωτες [( ) ln + ] ( )( ) + Άρα η ευθεία είναι κατακόρυφη ασύµπτωτη Πλάγιες οριζόντιες ασύµπτωτες ( ) ln [( )ln + ] + ln + + (+ ) Άρα δεν υπάρχουν πλάγιες ασύµπτωτες ii) f () ln + + ln + Προφανής ρίζα της f είναι το Και επειδή f () + > για κάθε >, η f είναι γνησίως αύξουσα. Για (, ] < Για (, + ) > iii) f f f () < f () f () < f γν.φθίνουσα στο (, ] f () > f () f () > f γν.αύξουσα στο [, + ) f() [( )ln + ] (+ )(+ ) + (+ ) + + +

12 f() ( )( ) + (+ ) + f() ( )ln + Από (ii) και τα παραπάνω προκύπτει πρόχειρη γραφική παράσταση Το σύνολο τιµών της f είναι δύο φορές το διάστηµα [, + ). Και επειδή [, + ) θα υπάρχουν (, ) και (, + ) που είναι ακριβώς δύο ρίζες της εξίσωσης f() iν) Αναζητώ ρίζα της εξίσωσης f () f() f () f() f () f() f( ) Πάµε για Rlle στη συνάρτηση g() στο διάστηµα [, ]. g παραγωγίσιµη, άρα και συνεχής σαν πηλίκο παραγωγίσιµων f ( ) g( ) και g( f ( ) ) Άρα υπάρχει ξ (, ) ώστε g (ξ) O - y Η εφαπτοµένη στο Μ(ξ, f(ξ)) έχει εξίσωση y f(ξ) f (ξ)( ξ) Για να διέρχεται από την αρχή των αξόνων πρέπει και αρκεί f(ξ) f (ξ)( ξ) ξf (ξ) f(ξ) που ισχύει

13 68. ίνεται η συνεχής συνάρτηση f: R R, η οποία για κάθε Rικανοποιεί τις t σχέσεις f() και f() + dt. Να αποδείξετε ότι : f (t) t i) Η f είναι παραγωγίσιµη στο R µε f () ii) Η συνάρτηση g() (f()) f() είναι σταθερή στο R. iii) f() + iν) + f (t)dt < + 9 στο R. + f (t)dt στο R. + Προτεινόµενη λύση i) t Η συνάρτηση είναι συνεχής στο R σαν πηλίκο συνεχών f (t) t t η συνάρτηση dt είναι παραγωγίσιµη στο R f (t) t t η συνάρτηση f() + + dt είναι παραγωγίσιµη στο R f (t) t Άρα f () + ii) g () f()f () f() f () f () (f() ) f() (f() ) f() g() c iii) g() c ( ) f() c () Η υπόθεση f() + Η () για δίνει ( ) f () t dt για δίνει f() f (t) t f() c c c 9 Η () γίνεται ( ) f() 9 ( ) f() ( ) f() ± () Η συνάρτηση h() f() είναι συνεχής στο R (διαφορά συνεχών) και επειδή f(), είναι h() για κάθε R. Άρα η h διατηρεί σταθερό πρόσηµο. Επειδή όµως h() f() >, θα είναι h() >, δηλαδή f() > Οπότε η () f() f()

14 4 iν) Έστω γ R. Αρκεί γ + f (t)dt f (t)dt < f (t)dt γ γ + + f (t)dt γ + γ f(t)dt ( ) γ + f(t)dt Πάµε για Θ. Μ. Τ στη συνάρτηση K() διαστήµατα [, +], [ +, + ] Θα υπάρχουν λοιπόν Κ (ξ ) < + + γ f(t)dt ( ) f(t)dt + (+ ) f (t)dt σε κάθε ένα από τα γ ξ (, + ) και ξ ( +, + ) τέτοια ώστε Κ (+ ) K() (+ ) και Κ (ξ ) Κ (+ ) K(+ ) (+ ) (+ ) Οπότε, από την (), αρκεί να αποδείξουµε ότι Κ (ξ ) < Κ (ξ ) Και επειδή ξ < ξ, αρκεί Είναι K() f (t)dt K () f() γ K () + ότι η Κ είναι γν.αύξουσα. δηλαδή ότι Κ () > + 9 Κ () f () > γ () + + 9

15 5 69. ίνεται η συνάρτηση f() + ln( + ), R. i) Να µελετήσετε την f ως προς την µονοτονία. ii) Να λύσετε την εξίσωση ( ( ) + + ) ln 4 + iii) Να αποδείξετε ότι η f έχει δύο σηµεία καµπής και ότι οι εφαπτόµενες στα σηµεία καµπής τέµνονται σε σηµείο του άξονα y y. iν) Να υπολογίσετε το ολοκλήρωµα Ι d Προτεινόµενη λύση i) H f είναι παραγωγίσιµη στο R µε f () + + ( + + ) + Όµως + + > αφού < και + >. Άρα f () >, εποµένως η f είναι γνησίως αύξουσα. ii) Η εξίσωση γράφεται ( ( ) + + ) ln ln ( ) ln ( ) + ln ( ) + ln ( ) f( ) f( ) () Kαι επειδή η f γνησίως αύξουσα, άρα, iii) Είναι f () ( + ) + ln(4 +) + ln ( ) ln ( )+ + ( ) + ln ( )+ η () και f () ή Πρόσηµο της f και κυρτότητα της f + f + f + ή

16 6 Η f παρουσιάζει καµπή στις θέσεις και και τα σηµεία καµπής είναι Α(, + ln), Β (, + ln) Οι εφαπτοµένες στα σηµεία καµπής έχουν εξισώσεις y f( ) f ( )( + ) και y f() f ()( ) y ( + ln) + και y ( + ln) ( ) y + ln και y + ln Λύνοντας το σύστηµά τους βρίσκουµε το σηµείο τοµής τους Κ(, + ln ) που ανήκει στον άξονα y y. iν) Ι d ( + + ) ln( ) d d + Για το ολοκλήρωµα + ln( + )d ln( + )d () ln( + )d θέτουµε + u οπότε du d Όταν, τότε u Όταν, τότε u Άρα ln( )d + ln udu και αντικατάσταση στη ()

17 7 7. Έστω συνάρτηση f:(, + ) R τέτοια ώστε f(y) f(y) + y f() για κάθε, y R και f (). f (h) i) είξτε ότι + h h ii) είξτε ότι η f παραγωγίζεται στο (, + ) και ισχύει f () f() + iii) Ο τύπος της f είναι ο f() ln iν) Να βρείτε το εµβαδόν του χωρίου που ορίζεται από την C f τον και τις ευθείες και e. Λύση i) Από την δοσµένη συναρτησιακή σχέση για y h έχουµε f(h) f(h) + h f() Επίσης για h f() h f (h) h h f (h) + (h ) (h ) h f (h) + h h + h (h ) (h ) f (h) (h )(h + ) f (h) (h+ ) + h h Όµως f () οπότε f (h) h h ii) Έστω ο > τότε f () f (h) (h+ ) + h h f (h) h h + (h+ ) h + f ( ) f f ( ) λόγω της συναρτησιακής σχέσης f ( ) + f f ( )

18 8 Θέτω f ( ) + f f ( ) f + h οπότε h και όταν τότε h Οπότε το παραπάανω όριο γίνεται Οπότε h f ( ) f ( ο ) +. ( ) f ( ) h f (h) + h h ( )( + ) f ( ) h h f (h) + h (h ) (h ) ( + ) f ( ) h h h f (h) h + h f ( ) f (h) (h+ ) + h h f ( ) +. επειδή το είναι τυχαίο σηµείο του (, + ) έχουµε f () f () f() + iii) f () f() + + άρα η f παραγωγίζεται στο (, + ) και ισχύει f () f() 4 (ln)

19 9 ln + c για έχουµε f() c c οπότε f() ln iν) Επειδή η f είναι συνεχής στο [, e] και f() για κάθε [, e] το ζητούµενο εµβαδόν είναι ίσο µε Ε e ln d e ln d ln e d e e e d e e e e + e 9 τετραγωνικές µονάδες