f ( x) x EΠΙΛΕΓΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Συναρτήσεις ( ) 1. Έστω συνάρτηση f γνησίως αύξουσα στο R τέτοια ώστε να ισχύει

Transcript

1 Συναρτήσεις Έστω συνάρτηση γνησίως αύξουσα στο R τέτοια ώστε να ισχύει Να δείξετε ότι (), για κάθε R ( ) +, για κάθε R Έστω συνάρτηση µε πεδίο ορισµού και σύνολο τιµών το R και τέτοια ώστε ( ) ( ) e +, για κάθε R α) Να δείξετε ότι η είναι β) Να βρείτε ( ) και ( ln) γ) Να λύσετε την εξίσωση: e e Έστω : R R ώστε (+y) () + (y) για κάθε, y R Αν η C τέµνει τον σε ένα ακριβώς σηµείο τότε: α) Να δείξετε ότι: ( ) β) Να δείξετε ότι η είναι περιττή γ) Να δείξετε ότι η είναι δ) Να λυθεί η εξίσωση ( + 9) + ( 9) ( 6 9) ε) Για κάθε α, β (R) να δείξετε ότι: ( α+ β) ( α) + ( β) 4 Α Έστω συνάρτηση µε πεδίο ορισµού το R και γνησίως αύξουσα Να δείξετε ότι: Β ίνεται η συνάρτηση ( ) + 3 α) Να δείξετε ότι η αντιστρέφεται β) Να λύσετε την εξίσωση: ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

2 Όριο Συνέχεια συνάρτησης EΠΙΛΕΓΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 5 α) Αν lim ( ) β) Αν ( ) lim τότε lim ( ) τότε lim ( ) ( ) γ) Έστω οι συναρτήσεις, g τέτοιες ώστε lim ( ) + g ( ) Να δείξετε ότι lim ( ) και lim g( ) δ) Έστω οι συναρτήσεις, g τέτοιες ώστε: lim ( () + g() ) και lim ( () g() ) Να δείξετε ότι lim () και lim g() ε) Έστω οι συναρτήσεις h, φ τέτοιες ώστε h ( ) φ ( ) h( ) ηµ lim h ( ), limφ( ) + για κάθε R Να δείξετε ότι 6 Έστω συνάρτηση ορισµένη στο R, ώστε lim ( ) l R και ( ) α) Να δείξετε ότι lim ( ) β) Να βρείτε το ( ) 3 + ηµ lim ηµ + 3 ηµ ηµ, για κάθε R 3 7 Έστω η συνάρτηση ( ) δ α + β + γ + µε δ<, α+β+γ+δ και 3α+β+γ< Να δείξετε ότι η εξίσωση ( ) έχει µία τουλάχιστον ρίζα στο (, ) 8 Έστω η συνάρτηση που είναι γνησίως φθίνουσα και συνεχής στο R Να δείξετε ότι υπάρχει τουλάχιστον ένα R τέτοιο ώστε ( ) 9 Έστω οι συναρτήσεις, g συνεχείς στο [, 4] για τις οποίες ισχύουν: α) ( ), [, 4] β) ( ) > γ) ( ) ( ) ( 3) ( 4) δ) g( ) [ ( ) ] ( ) ( ) Να δείξετε ότι: i) ( ) >, [, 4] ii) υπάρχει τουλάχιστον ένα [, ] τέτοιο ώστε g( ) iii) η δεν είναι

3 Έστω συνάρτηση µε πεδίο ορισµού και σύνολο τιµών [α, β] Αν ισχύει ( ) ( ) κάθε, [ α, β] να δείξετε ότι: α) η συνεχής στο [α, β] β) η g( ) ( ) είναι γνησίως φθίνουσα στο [α, β] γ) υπάρχει µοναδικό [ α, β] τέτοιο ώστε ( ), για Έστω η συνάρτηση ()+e α) Να αποδείξετε ότι η αντιστρέφεται β) Να λύσετε την εξίσωση e γ) Να λύσετε την ανίσωση ( ( ) + ) > δ) Θεωρούµε τη συνεχή και γνησίως µονότονη συνάρτηση g:r R η οποία για κάθε Rικανοποιεί τη σχέση g()+e g() + Να αποδείξετε ότι: i) η g είναι γνησίως αύξουσα ii) η C g διέρχεται από την αρχή των αξόνων ε) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση (gog)() g( ), έχει µια τουλάχιστον λύση στο διάστηµα (,) Έστω συνάρτηση :R R, συνεχής και ισχύει ( ) α) Να βρείτε το όριο lim ( ) β) Να βρείτε τον τύπο της γ) Να βρείτε τα όρια: lim ( ), lim ( ) + + συν ηµ, δ) Να δείξετε ότι η εξίσωση () έχει µια τουλάχιστον θετική ρίζα 3 ίνεται η συνάρτηση :R R και ισχύει: 3 ()+() 3 για κάθε R α) Να δείξετε ότι η είναι συνάρτηση β) Να δείξετε ότι η εξίσωση () έχει µοναδική λύση στο διάστηµα (-, ) γ) Να δείξετε ότι για κάθε > είναι ()< δ) Να υπολογίσετε το όριο: ε) Να υπολογίσετε το όριο: ( ) lim + 3 lim + ( )

4 ΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ 4 Αν ( ) g ( ) ηµ, και g() g (), να δείξετε ότι η είναι παραγωγίσιµη στο, 5 ίνεται συνάρτηση µε πεδίο ορισµού (, ) και ( ) < ( ) ( ( ) ) ( ) ( ) ( ) + Να δείξετε ότι: 4 6 Αν πολυωνυµική συνάρτηση ώστε (4) και ( ( ) ) ( ) <, 4 φορές παραγωγίσιµη ώστε, για κάθε R, να βρείτε τον τύπο της 7 Έστω P( ) α ( ρ )( ρ ) ( ρ ) ν K ν, όπου, ρ,, ρν a Να δείξετε ότι: P ( ) i) + + K + P( ) ρ ρ ρν ii) Το P ( ) P( ) ( P ( ) ) δεν έχει πραγµατικές ρίζες ρ K, διαφορετικά µεταξύ τους 8 Σε ορθοκανονικό σύστηµα αξόνων δίνεται ισόπλευρο τρίγωνο ΟΑΒ, όπου Ο (, ), Α (α, ) µε α> Ένα σηµείο Μ κινείται από το Ο προς το Α µε ταχύτητα υ λcm/sec Αν Κ η προβολή του Μ στην ευθεία ΟΒ να βρείτε: α) Το εµβαδό Ε(t) του τριγώνου ΜΟΚ, ως συνάρτηση του χρόνου t β) Το ρυθµό µεταβολής του Ε(t) την χρονική στιγµή t, που το Μ βρίσκεται στο σηµείο Α 9 Έστω συνάρτηση δύο φορές παραγωγίσιµη στο [α, β] µε α> και (α) (β) Να δείξετε ότι: α) Υπάρχει ένα τουλάχιστον ξ (α, β) τέτοιο ώστε ξ (ξ) (ξ) β) Αν () για κάθε (α, β), τότε το ξ είναι µοναδικό γ) Η εφαπτοµένη της C στο Μ (ξ, (ξ)) διέρχεται από την αρχή των αξόνων α) Αν το πολυώνυµο S() είναι περιττού βαθµού, να δείξετε ότι η S() έχει µία τουλάχιστον λύση β) ίνονται τα πολυώνυµα P() και Q(), ώστε P() Q() και P () Q () για κάθε R Να αποδείξετε ότι η εξίσωση P () Q () έχει ακριβώς µία λύση 7 γ) Αν για το πολυώνυµο () ισχύει: ( ) ( ) + ( ) ( ) g( ) µε g() πολυώνυµο που δεν έχει ρίζα στο R, τότε να δείξετε ότι η εξίσωση () έχει ακριβώς µία λύση

5 Έστω µία συνάρτηση παραγωγίσιµη στο [, ], µε συνεχή παράγωγο στο [, ] και τέτοια ώστε να + και ()> Nα δείξετε ότι: ισχύουν: ( ) ( ) α) Αν g( ) ( ) παράλληλη στον, τότε υπάρχει ένα τουλάχιστον σηµείο της C g στο οποίο η εφαπτοµένη είναι β) Υπάρχει ένα τουλάχιστον (,) τέτοιο ώστε ( ) Έστω συνάρτηση παραγωγίσιµη στο R ώστε ( ) ( ) Να βρείτε τον τύπο της + για κάθε R και () 3 ίνεται η συνάρτηση παραγωγίσιµη στο [,+ ) µε () α) Να αποδείξετε ότι και η συνάρτηση g ( ), >,είναι παραγωγίσιµη στο (,+ ) β) Να αποδείξετε ότι ισχύει: ( ) ( ) ( ) g γ) Αν η είναι γνησίως αύξουσα στο (,+ ), να αποδείξετε ότι και η g είναι γνησίως ( ) αύξουσα στο (, + ) και ισχύει (α ) > α(α) > α (), για α> 4 Έστω συνάρτηση παραγωγίσιµη στο [, ] µε γνησίως αύξουσα και (), () Να δείξετε ότι: α) () < (), (, ) β) ()<, (, ) 5 Έστω συνάρτηση παραγωγίσιµη στο R µε ()>, για κάθε R Να δείξετε ότι η εξίσωση ()+3 έχει ακριβώς µια ρίζα 6 Α) Έστω συνάρτηση παραγωγίσιµη στο [α, β] µε (α) (β) < Να δείξετε ότι υπάρχει ξ (α, β) τέτοιο ώστε (ξ) Β) Έστω συνάρτηση παραγωγίσιµη στο [α, δ] και α<β<γ<δ µε (γ) < (α) < (δ) < (β) Να δείξετε ότι υπάρχουν ξ, ξ (α, δ) τέτοια ώστε (ξ ) (ξ )

6 7 ίνεται η συνάρτηση ( ) EΠΙΛΕΓΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ β β ln +, µε <α<β α) Να µελετηθεί ως προς τη µονοτονία eα β) Να δείξετε ότι: β α β < e 8 ίνεται η συνάρτηση ( ) +, [,5] α) Να βρείτε τα διαστήµατα µονοτονίας και τα ακρότατα της β) Να βρείτε τις πραγµατικές τιµές του α, για τις οποίες η εξίσωση ()α 6, έχει µία τουλάχιστον λύση 9 Αν µια συνάρτηση είναι παραγωγίσιµη σ ένα διάστηµα και στρέφει τα κοίλα άνω στο να δείξετε + ότι για κάθε, είναι ( ) + ( ) 3 Έστω συνάρτηση παραγωγίσιµη στο R µε συνεχή στο R και ισχύει (())+ 3 +(), για κάθε R Να δείξετε ότι η είναι γνησίως αύξουσα στο R 3 α) Να αποδείξετε ότι: e, για κάθε R β) Να βρείτε όλους τους, ψ R ώστε να ισχύει: ( e ψ) + ( ψ) 3 α) ίνεται η συνάρτηση g() 3 Να αποδείξετε ότι η εξίσωση g() έχει ακριβώς δυο ρίζες β) ίνεται η συνάρτηση :R R, τέτοια ώστε να ισχύει: ( 3) () 3(), για κάθε R i) να αποδείξετε ότι υπάρχει τουλάχιστον ένας R τέτοιος ώστε (( )) ii) αν επιπλέον η είναι συνεχής στο R, να αποδείξετε ότι υπάρχει ξ R τέτοιος ώστε (ξ)ξ 33 ίνεται πραγµατική συνάρτηση g δύο φορές παραγωγίσιµη στο R, τέτοια ώστε g()> και g ( ) g( ) [ g ( ) ] > για κάθε R Να αποδείξετε ότι: i) η συνάρτηση g g είναι γνησίως αύξουσα και + για κάθε, R ii) g g( ) g( ) ΘΕΜΑ ης ΕΣΜΗΣ 997

7 34 ίνεται η παραγωγίσιµη συνάρτηση : (, + ) R για την οποία ισχύουν: ( ) ( ) ( ) >, > και +, > και η γραφική της παράσταση διέρχεται από το σηµείο Α(, ) α) Να δείξετε ότι η παράγωγος της είναι συνεχής στο ανοικτό διάστηµα (,+ ) και να βρείτε τη συνάρτηση β) Να δείξετε ότι: ( ) ( ) < dt <, > t F + t, > t γ) Να βρείτε τη συνάρτηση: ( ) ( )dt t δ) Να αποδείξετε ότι e e dt <, για κάθε > ΘΕΜΑ ης ΕΣΜΗΣ 998