ΜΑΘΗΜΑ ΣΥΝΕΠΕΙΕΣ ΤΟΥ Θ.Μ.Τ Μονοτονία συνάρτησης Ασκήσεις Εξισώσεις Θεωρητικές Συνέχεια του µαθήµατος 31. e 3 = 0. e + e 3, x R.

Transcript

1 ΜΑΘΗΜΑ.6 ΣΥΝΕΠΕΙΕΣ ΤΟΥ Θ.Μ.Τ Μονοτονία συνάρτησης Ασκήσεις Εξισώσεις Θεωρητικές Συνέχεια του µαθήµατος ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Να λύσετε την εξίσωση Η εξίσωση γράφεται e + e e 0 Προφανής ρίζα Θεωρούµε τη συνάρτηση f() Οπότε θέλουµε να λύσουµε την εξίσωση f() 0 Προφανής ρίζα είναι η 0, αφού f(0) Είναι f () e () + e + e +. Να λύσετε την εξίσωση e () + + e e, R 0 e + e > 0 f γνησίως αύξουσα, 4 Προφανής ρίζα είναι η, αφού Η εξίσωση γράφεται Θεωρούµε τη συνάρτηση + 4 f() ( ) + ( ) + ( 4 ) Οπότε θέλουµε να λύσουµε την εξίσωση f() 0 Είναι f () ( ) ln + 4 ( ) ln 4 < 0, 0 e + e άρα η ρίζα 0 είναι µοναδική ( 4 ), R Προφανής ρίζα 0 αφού <, άρα ln < 0 και οµοίως ln 4 < 0. Εποµένως, η f είναι γνησίως φθίνουσα, άρα η ρίζα είναι µοναδική.

2 . Να λύσετε την εξίσωση Περιορισµός : Η εξίσωση γράφεται + ln. > 0, για να ορίζεται ο ln. + ln 0. Θεωρούµε τη συνάρτηση f() + ln, > 0. Οπότε θέλουµε να λύσουµε την εξίσωση f() 0 Προφανής ρίζα είναι η, αφού f() Είναι f () + > 0 Προφανής ρίζα + ln f γνησίως αύξουσα η ρίζα είναι µοναδική. 4. Στο διάστηµα (0, + ), να βρείτε το πλήθος των ριζών της εξίσωσης + 0 Θεωρούµε τη συνάρτηση f() +, [0, + ) Οπότε, σ το διάστηµα (0, + ), θέλουµε να βρούµε το πλήθος των ριζών της εξίσωσης f() 0. Είναι f () ( ) Πρόσηµο της f και µονοτονία της f 0 + f () 0 + f() 0 ց ր Φανταζόµαστε πρόχειρη γραφική παράσταση f() + + f(0) Επειδή η f είναι συνεχής και γνησίως φθίνουσα στο διάστηµα (0, ), η εικόνα του (0, ) θα είναι το διάστηµα (f(), f(0)) (, ). Και επειδή 0 (, ), θα υπάρχει µοναδικό ρ (, ), ώστε f( ρ ) 0. + f() + + Επειδή η f είναι συνεχής και γνησίως αύξουσα στο διάστηµα (, + ), η εικόνα του (, + θα είναι το διάστηµα (f(), + ) (, + ). Και επειδή 0 (, + ), θα υπάρχει µοναδικό ρ (, + ), ώστε f( ρ ) 0. Τελικά, το πλήθος των ριζών είναι.

3 . Να αποδείξετε ότι οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων f(), g() e έχουν ένα µόνο κοινό σηµείο. D f R και D g R Θα αποδείξουµε ότι η εξίσωση f() g() έχει µοναδική λύση. ότι η εξίσωση f() g() 0 έχει µοναδική λύση. Θεωρούµε τη συνάρτηση h() f() g(), R h() e Προφανής ρίζα + Θα αποδείξουµε ότι η εξίσωση h() 0 έχει µοναδική λύση Προφανής λύση είναι η 0, αφού h(0) 0 e Είναι h () + 0 e + > 0 h γνησίως αύξουσα άρα η λύση είναι µοναδική Να βρείτε το πλήθος των ριζών της εξίσωσης ( e e ) e e e e e ( ) ( e e + e e + () e ) e. Είναι + 0, διότι αν ήταν + 0, από την () θα ήταν και 0, δηλαδή και, που είναι άτοπο. Οπότε η () e + e 0 + Θεωρούµε τη συνάρτηση f() e,. + Οπότε θέλουµε το πλήθος των ριζών της εξίσωσης f() 0 f () ( ) ( ( ) (+ ) [ + + (+ ) e ) + e + ] e + Μονοτονία και Bolzano

4 4 [ (+ ) + (+ ) + ] e + e (+ ) e > 0 για κάθε (, ) (, 0) (0, + ) και επειδή η f είναι συνεχής στο 0 η f γνησίως αύξουσα στο διάστηµα (, ) και στο διάστηµα (, + ). Άρα f((, )) ( f(), f()) () και f((, + ).) ( f() f() [ + [ + [( ) f(), + + e ] 0 e ] + () f((, )) (, + ) f() + f() + και επειδή 0 (, + ), f()) () e ] ( )( ) θα υπάρχει µοναδικό ρ (, ) ώστε f( ρ ) 0 + [ + [( ) + [ + + e ] + e ] ( )(+ ) e ] (+ ) + e + + e () f((, + ).) (, + ) και επειδή 0 (, + ), θα υπάρχει µοναδικό ρ (, + ) ώστε f( ρ ) 0 Τελικά, το πλήθος των ριζών είναι.

5 7. Να λύσετε τις εξισώσεις i) + ii) ( ) i) + 0 Θεωρούµε τη συνάρτηση f() + Έχει προφανή ρίζα τη 0, αφού f(0) Είναι f () + Προφανής ρίζα ii) Η εξίσωση γράφεται ( ) + +, R ln + > 0 f γνησίως αύξουσα Άρα η ρίζα είναι µοναδική. + ( ) 0 f( ) 0 f( ) f(0) () Επειδή η f είναι γνησίως αύξουσα, θα είναι. Οπότε, η () 0 Προσαρµογή στην f

6 6 8. Να λύσετε τις εξισώσεις i) 000 ln( + ) 0 i) ii) ln( + ) Θεωρούµε τη συνάρτηση f() 000 ln( + ), R Οπότε θέλουµε να λύσουµε την εξίσωση f() 0 Προφανής ρίζα είναι η 0, αφού Προφανής ρίζα f(0) ln( 0 + ) 0 ln Είναι f () ( + ) () + Το τριώνυµο του αριθµητή έχει < 0, άρα είναι οµόσηµο του α 000, δηλαδή θετικό για κάθε R. () f γνησίως αύξουσα, άρα η ρίζα 0 είναι µοναδική ii) Η εξίσωση ln( + ) 0 000( ) ln( + + ) 0 000( ) ln[ ( ) + ] 0 f( ) f(0) () Αποδείχθηκε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα, άρα και. Οπότε, η () 0 Προσαρµογή στην f

7 7 9. i) Να µελετήσετε τη µονοτονία της συνάρτησης f() ( ) ii) Να λύσετε την ανίσωση i) D R f f () ( ) + ln < 0, αφού Άρα f γνησίως φθίνουσα. ii) + > > + + [ 6 ( + ) ] Προσαρµογή στην f + + [ 6 ( + ) ] < δηλαδή ln < ( ) ( ) 6 > + + > ( ) + + ( ) ( ) ( + ) ( + ) > ( ) ( + ) + > ( ) f( ) > f( + ) () Επειδή η f είναι γνησίως φθίνουσα, άρα, ( + ) η () < + < 0 < <

8 8 0. Έστω συνάρτηση f:r R δύο φορές παραγωγίσιµη µε f () > 0 για κάθε R. Να αποδείξετε ότι, για κάθε R ισχύει Αρκεί να αποδείξουµε f() + f ( + ) > f( + ) > f () +f() f ( + ) > f( + ) f() > f () f ( + ) > ( ) f( ) ( + ) f + > f () Επειδή fπαραγωγίσιµη στο διάστηµα [, + ], µε Θ.Μ.Τ υπάρχει ξ (, + ) ώστε f (ξ) ( ) f( ) ( + ) f + () Η εµφάνιση του κλάσµατος f ( β) f ( α) β α γράφει τυφλά Θ.Μ.Τ f () > 0 στο R f γνησίως αύξουσα στο R < ξ < + f γν. αύξουσα f () < f (ξ) < f ( + ) f () < ( ) f( ) ( + ) f + () < f ( + ). ίνεται συνάρτηση f δύο φορές παραγωγίσιµη στο διάστηµα [α, β] µε f (α) 0 και f () > 0 για κάθε (α, β). Να αποδείξετε, ότι η f είναι γνησίως αύξουσα στο [α, β]. f () > 0 για κάθε (α, β) f γνησίως αύξουσα στο [α, β] Για κάθε µε α < < β f γν. αύξουσα f (α) < f () < f (β) Αλλά 0 f (α) Άρα 0 < f () f γνησίως αύξουσα στο [α, β].

9 9. ίνεται συνάρτηση f δύο φορές παραγωγίσιµη µε f () < 0 για κάθε [α, β] και f(α) f(β) 0. Να αποδείξετε, ότι f() > 0 για κάθε (α, β). Με το θεώρηµα Rolle συµπεραίνουµε ότι, υπάρχει ξ (α, β) ώστε να ισχύει f (ξ) 0 () f () < 0 για κάθε [α, β] f γνησίως φθίνουσα στο [α, β] () Για κάθε µε α < < ξ () f (α) > f () > f (ξ) () f () > 0 άρα f γνησίως αύξουσα στο [α, ξ] Εποµένως, για κάθε µε α < ξ είναι f(α) <f() f(ξ) 0 < f() στο (α, ξ] () Για κάθε µε ξ < < β () () f (ξ) > f () > f (β) Η υπόθεση f(α) f(β) γράφει τυφλά Θ.Rolle 0 > f () άρα f γνησίως φθίνουσα στο [ξ, β] άρα, για κάθε µε ξ < < β είναι f(ξ) >f() >f(β) f() > 0 στο διάστηµα (ξ, β) (4) Από τις (), (4) παίρνουµε f() > 0 στο διάστηµα (α, β)

10 0. Συνάρτηση f είναι συνεχής στο [0, + ) και παραγωγίσιµη στο (0, + ). f 0 0 και η f είναι γνησίως αύξουσα στο (0, + ), να αποδείξετε Αν ( ) ότι η συνάρτηση g() Έστω (0, + ) τυχαίο. f( ) f συνεχής στο κλειστό [0, ] και παραγωγίσιµη στο (0, ), µε Θ.Μ.Τ υπάρχει ξ (0, ) ώστε f (ξ) 0 < ξ < f Είναι g () () είναι γνησίως αύξουσα στο (0, + ). ( ) ( ) f f 0 0 f (0) < f (ξ) < f () f( ) f( ) () < f () f() < f () () f () ( ) f( ) > 0, άρα g γνησίως αύξουσα. Η υπόθεση, f συνεχής στο κλειστό και παραγωγίσιµη στο ανοικτό, γράφει τυφλά Θ.Μ.Τ ή Rolle