x, x (, x ], επειδή η f είναι γνησίως αύξουσα στο (, x0]

Transcript

1 Απαντήσεις στο ο Διαγώνισμα Μαθηματικών Κατεύθυνσης Γ Λυκείου Θέμα ο Α Έστω ότι f( ), για κάθε (, ) (, ) Επειδή η f είναι συνεχής στο θα είναι γνησίως αύξουσα σε κάθε ένα από τα διαστήματα (, ] και [, ) Επομένως, για ισχύει f ( ) f ( ) f ( ) Άρα το f( ) δεν είναι τοπικό ακρότατο της f Θα δείξουμε, τώρα, ότι η f είναι γνησίως αύξουσα στο (, ) Πράγματι, έστω, (, ) με, (, ], επειδή η f είναι γνησίως αύξουσα στο (, ], θα ισχύει Αν f ( ) f ( ), [, ), επειδή η f είναι γνησίως αύξουσα στο [, ), θα ισχύει Αν f ( ) f ( ) Τέλος, αν, τότε όπως είδαμε f ( ) f ( ) f ( ) Επομένως, σε όλες τις περιπτώσεις ισχύει f ( ) f ( ), οπότε η f είναι γνησίως αύξουσα στο (, ) Ομοίως, αν f( ) για κάθε (, ) (, ) Α Θεωρήστε τον παρακάτω ισχυρισμό: «Δίνεται η συνάρτηση f :, με f ( ), τότε ισχύει ( ) για κάθε» α Ψ, β Η f δεν είναι παραγωγίσιμη στο διότι: f ( ) f () lim lim lim Α Έστω f μια συνάρτηση ορισμένη σε ένα διάστημα Δ Αρχική συνάρτηση ή παράγουσα της f στο Δ ονομάζεται κάθε συνάρτηση F που είναι παραγωγίσιμη στο Δ και ισχύει F( ) f ( ), για κάθε A4 α Σ β Σ γ Λ δ Σ ε Σ

2 Θέμα ο α Αφού η f παρουσιάζει για σημείο καμπής τότε f () Είναι και f ( ) 6( ) f ( ) ( ) Για έχουμε f Τότε f () 6( ) ( ) ( ) Για (,) είναι f ( ) (, ) είναι f ( ) με f ( ) ( ) και f ( ) 6( ) άρα η f είναι κοίλη στο, και η f είναι κυρτή στο παρουσιάζει σημείο καμπής στο και για, Επομένως η f β Αφού f( ) θα είναι και γνησίως αύξουσα και κατά συνέπεια «-», άρα η f αντιστρέφεται Είναι f( Df ) (, ) αφού lim f( ) Για τον τύπο της και lim f( ) f θέτουμε f ( ) y και λύνουμε ως προς : f ( ) y ( ) y ( ) y () Αν y y τότε y y Αν y y τότε y y Επομένως f ( ),, γ Λύνουμε την f ( ) ( ) ( )( ) Άρα f ( ) d 4 ( ) ( ) d 4 τμ δ Γνωρίζουμε ότι ( t) μον/sec και t ( ) 9 μον Έχουμε Είναι y t ( ) ( ( t) ) Άρα y t t t ( ) ( ( ) ) ( ) y( t ) ( ( t ) ) ( t ) y( t ) (9 ) y( t ) 48 μον/sec

3 Θέμα ο Α α) Έστω h f Η h είναι συνεχής στο,4 Αφού g και f () f () 9 f (4) g( ) d, θα ισχύει f f 9 f 4 f f f 4 4 h h h 4 Άρα οι h, h Έστω ότι οι h, h 4 δεν είναι όλοι ομόσημοι, h είναι ετερόσημοι Τότε σύμφωνα με το Θεώρημα Bolzano θα υπάρχει, τέτοιο, ώστε h f Παρόμοια αν είναι κάποιες άλλες τιμές από τις h β) Έστω, f, h, h 4 ετερόσημες τυχαίο σημείο της C f, στο οποίο η εφαπτομένη είναι: Θα πρέπει να δείξουμε ότι υπάρχει μοναδικό,4 y f f ώστε f f f f f Έστω h Εφαρμόζουμε Rolle στο f Η h είναι συνεχής στο, Η h είναι παραγωγίσιμη στο, h και h,, όπου Σύμφωνα με το Θεώρημα Rolle υπάρχει, τέτοιο, ώστε h f f από το (α) ώστε Θα πρέπει να δείξουμε ότι η έχει το πολύ μια ρίζα για να δείξουμε τη μοναδικότητα η f f, θα υπάρχει, ώστε f που είναι άτοπο διότι και f Έστω ότι έχει δύο ρίζες Από το Θ Rolle στην στο για κάθε,4

4 Β α) Δίνεται Θέτουμε h h 6 lim f h h h, με h lim Είναι h h Από την έχουμε: f h 6 lim f 6 6 lim f β) f d f d f f d 5 f f d f d Διότι: Αφού f τότε η f είναι γνησίως αύξουσα και: f f f f f f f f f d 6 8 f d f d f d d f d f d f d f d γ) Θα δείξουμε 4 f d Θέτω 4 f d d d 4 f f d Για είναι 4 f f f d Για είναι f f d

5 5 f f d f f Εφαρμόζουμε Θεώρημα Μέσης Τιμής για την h f στα, και, Επομένως υπάρχει, τέτοιο ώστε: h f h και, τέτοιο ώστε: h Επίσης η h f h h h h h είναι γνησίως αύξουσα Άρα h h f f Επομένως f 4 f d και ισχύει Θέμα 4 ο Α α Θέτουμε f g h g με h f f g f h f g h lim 4 h 4 lim g lim f Επίσης f g lim f 4 DLH f g f g lim f 4 f g f g 4 f 4 4g 4 4 g 4 β Η εφαπτομένη της g στο θα είναι: y g g y g g Επειδή η g είναι κοίλη τότε g g g Επειδή lim g g τότε lim g ( )

6 Β Εξετάζουμε αν η G είναι συνεχής στο g g g limg lim lim g G g g έ lim lim lim g g e g e e διότι e lim lim Επομένως η G είναι συνεχής στο D, Έχουμε G g g Θα δείξουμε ότι G g g g Εφαρμόζουμε ΘΜΤ για την g στο, Η g είναι συνεχής στο, Η g είναι παραγωγίσιμη στο, Τότε υπάρχει, ώστε g G g g g Επειδή η g είναι κοίλη, η g είναι γνησίως φθίνουσα Άρα g g g g g g g g Άρα G για, Συνεπώς η G είναι γνησίως φθίνουσα στο, Τότε Γ α Γνωρίζουμε ότι f για κάθε δηλαδή f f d f f 4 f f Όμως f f d

7 f f f 4 f f 4 f Από και θα είναι β Έστω f 4 G 5 g f 6 g 4 d ln 4 4 G Υπολογίζουμε: g f d ln G G d ln 4 d ln 4 Γνωρίζουμε ότι η G έχει μέγιστο για διότι η G είναι γνησίως φθίνουσα στο, άρα: G G G G G 4 G 4 G 4 d d d 4G 4G d ln 4 ln d ln 4 G d ln 4 () Επίσης θα υπολογίσουμε: g f g g g 4 4, και,4 g g 4 g g g g 4 g Εφαρμόζουμε δύο ΘΜΤ στην g στα Τότε υπάρχει, ώστε Και υπάρχει,4 ώστε g g g g g g 4 g g g 4 g 4 Αφού η g είναι κοίλη, η g είναι γνησίως φθίνουσα Συνεπώς g g g g g g 4 g g g 4 g ()

8 Γνωρίζουμε ότι η είναι συνεχής ως πράξεις συνεχών στο, και από () και () Σύμφωνα με το θεώρημα Bolzano θα υπάρχει τουλάχιστον μία λύση στο,