Φροντιστήρια. Κεφαλά. ( x) = + ( ) ( ) ( )

Transcript

1 Ασκήσεις Μαθηµατικών Όρια και Παράγωγος (4 ο θέµα) Έστω συνάρτηση παραγωγίσιµη στο µε ( ) =, η οποία για κάθε, y R * ικανοποιεί τη σχέση ( y) = + ( y) ( ) Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση είναι παραγωγίσιµη σε κάθε * R, µε ( ) = Έστω συνάρτηση παραγωγίσιµη στο µε ( ) =, η οποία ικανοποιεί τις σχέσεις: - > για κάθε R - ( y) ( y) + y 6 = για κάθε, y R Να αποδείξετε ότι η είναι παραγωγίσιµη σε κάθε = R, µε 3 Έστω συνάρτηση παραγωγίσιµη στο α, µε ( α ) = α 3, η οποία ικανοποιεί τη σχέση ( + y) = + ( y) + y + 4 ( ) για κάθε, y R Να αποδείξετε R, µε ( ) = 3 ότι η συνάρτηση είναι παραγωγίσιµη σε κάθε Εύρεση Παραγώγου Συναρτήσεων ιαφόρων Ειδών (3 ο θέµα) 4 Να βρείτε την παράγωγο της συνάρτησης π = π ηµ 5 ίνονται οι συναρτήσεις, g παραγωγίσιµες στο R και άρτια i Να δείξετε ότι περιττή ii Αν =, = και ( g ) = ηµ ( ), για κάθε R, g να βρείτε την 6 Έστω συνάρτηση = α + β + y, α και R Να δείξετε ότι: = +, όπου, ρίζες της

2 Εύρεση Παραγώγου Συναρτήσεων ιαφόρων Ειδών ( ο θέµα) 7 Να αποδείξετε ότι η ν-οστή παράγωγος της συνάρτησης µε τύπο ( v ) π = ηµ ν + v, v N µε v = ηµ είναι: 8 i Έστω : ( α, β) R συνάρτηση, γνησίως µονότονη και συνεχής Αν η είναι παραγωγίσιµη στο ( α, β ) µε ( ) τότε: παραγωγίζεται στο ( ) και ισχύει ( ) ( ( )) ii ίνεται η συνάρτηση e, = ( ) = + να βρείτε τον αριθµό ( ) ( ) 9 Να βρεθούν οι παρακάτω όρια: ( απλές χαζές ) i ( + ) ii lim + lim ηµ e Συνδυαστική (4 ο θέµα) Έστω µια συνάρτηση η οποία για κάθε, y R ικανοποιεί τη σχέση y y Να αποδείξετε ότι: i ( y) ( y) για κάθε, y R ii Η συνάρτηση είναι παραγωγίσιµη σε κάθε R, = ίνονται οι µιγαδικοί αριθµοί z = + α i και w = β i, όπου α, β σταθεροί πραγµατικοί αριθµοί και η συνάρτηση = z w, R Να αποδείξετε ότι η Re( zw) = µε ( ) = παραγωγίζεται στο ίνονται οι µιγαδικοί αριθµοί z i w = + α και για κάθε R είναι z w z + w, να αποδείξετε ότι: i Re( zw ) ii α = e w = + + i, R και < α Αν

3 3 ίνεται συνάρτηση : R να αποδείξετε ότι: i Αν η έχει τοπικό ελάχιστο στο α και είναι παραγωγίσιµη στο α, τότε α ii Αν η έχει τοπικό ελάχιστο στο β και είναι παραγωγίσιµη στο β, τότε β iii Αν η είναι παραγωγίσιµη στο α,, α β τέτοιο ώστε, = iv Αν η είναι παραγωγίσιµη στο α,, α β τέτοιο ώστε, = κ και α < < β, τότε υπάρχει και ( α ) < κ < β, τότε υπάρχει 4 Έστω συνάρτηση : R R δυο φορές παραγωγίσιµη στο R, η οποία ικανοποιεί τη 6 9 για κάθε R Να αποδείξετε ότι: σχέση i ( ) = ( ) ii Υπάρχει ένα τουλάχιστον (, ) iii ( ) = ( ) iv Η εξίσωση τέτοιο, ώστε = = έχει δύο τουλάχιστον ρίζες στο (, ) 5 Α Να δείξετε ότι η εξίσωση + = έχει µοναδική ρίζα στο (, ) e Β ίνεται ο µιγαδικός αριθµός z e i, ( ) = + < i Να βρείτε γεωµετρικό τόπο της εικόνας του z ii Να δείξετε ότι υπάρχει µιγαδικός αριθµός z της µορφής ελάχιστη απόσταση από την αρχή των αξόνων που έχει την 6 Η συνάρτηση είναι δύο φορές παραγωγίσιµη στο R µε την να είναι κυρτή στο R ( ) + i Αν ο αριθµός ω = είναι φανταστικός : + i ( ) i Να αποδείξετε ότι ένας µιγαδικός είναι αντίθετος µε το συζυγή του αν και µόνον αν είναι φανταστικός = ii Αποδείξτε ότι iii Αποδείξτε ότι η παρουσιάζει σηµείο καµπής στο =

4 7 Έστω µια συνάρτηση : α, R και, (, ) γ δ α β τέτοια, ώστε ( γ ) < ( α ) < ( β ) < ( δ ) ( ) Αν η συνάρτηση είναι δυο φορές παραγωγίσιµη, να αποδείξετε ότι η εξίσωση = έχει µια τουλάχιστον ρίζα στο (, ) α β 8 ίνεται η παραγωγίσιµη συνάρτηση : (, + ) (, + ) για την οποία ισχύουν = και ( ) = e e i Να δείξετε ότι = ii Να µελετήσετε την ως προς τη µονοτονία και τα ακρότατα iii + ln Να δείξετε ότι + ln, για > iv Να δείξετε ότι η ευθεία ε : y = e εφάπτεται στην γραφική παράσταση της συνάρτησης g e, = > 9 ίνεται η συνάρτηση : R R, γις την οποία ισχύουν: 4 = +, για κάθε R και, για κάθε R i Να λυθεί η εξίσωση = ii Αν επιπλέον, η είναι συνεχής στο, 4 Συνδυαστική (3 ο θέµα) ολικά ακρότατα της στο, 4 και ( ) >, να βρεθούν τα Αν η είναι παραγωγίσιµη κυρτή και γνησίως αύξουσα στο R αποδείξτε ότι: ξ > i Υπάρχει ξ R τέτοιο ώστε ii lim = + + Εύθεία (ε) εφαπτοµένη C (3 ο θέµα) = + α +β + β να βρείτε τα α, β R ώστε η ίνεται η συνάρτηση εφαπτοµένη της C στο σηµείο της A, να διέρχεται και από το B, 5

5 Επίλυση εξισώσεων (4 ο θέµα) Να βρείτε τις τιµές του πραγµατικού αριθµού λ για τις οποίες ισχύει λ λ λ λ 99 + = + 3 Να λύσετε την εξίσωση Συνδυαστικές Ασκήσεις ΘΜΤ και θ Rlle (3 ο θέµα) α + + α + 3 = α α, α >, R 4 Υποθέτουµε ότι µια συνάρτηση είναι συνεχής σε ένα διάστηµα και δυο α β Υποθέτουµε επίσης ότι το ευθύγραµµο φορές παραγωγίσιµη στο διάστηµα (, ) τµήµα µε άκρα Α( α, ( α )) και B (, ) ένα τρίτο σηµείο έστω, τέτοιο ώστε ( ξ ) = β β τέµνει τη γραφική παράσταση της σε Γ ( γ γ ) Να αποδείξετε ότι υπάρχει σηµείο (, ) ξ α β, 5 Μια συνάρτηση είναι δυο φορές παραγωγίσιµη στο R και τέτοια ώστε, για κάθε R Να αποδείξετε ότι δεν υπάρχουν τρία σηµεία της γραφικής παράστασης της που να είναι συνευθειακά Συνδυαστικές Ασκήσεις ΘΜΤ, θ Rlle και θ Blzan (4 ο θέµα) 6 Μια συνάρτηση είναι συνεχής στο διάστηµα, παραγωγίσιµη στο διάστηµα ( α, β ) και µε ( β) ( α ) = ( β α ) Να αποδείξετε ότι υπάρχουν αριθµοί, και 3 στο διάστηµα ( α, β ), τέτοιοι ώστε: = 3 7 Μια συνάρτηση : R είναι συνεχής στο, παραγωγίσιµη στο ( α, β ) και τέτοιο ώστε ( α ) = 3β και ( β ) = 3α i Να αποδείξετε ότι η εξίσωση = 3 έχει µία τουλάχιστον ρίζα ( α, β ) ii Να αποδείξετε ότι υπάρχουν αριθµοί ξ και ώστε ξ ξ = 9 ξ του διαστήµατος (, ) α β, τέτοιοι

6 Συνδυαστικές Ασκήσεις ΘΜΤ και θ Rlle (4 ο θέµα) 8 Η συνάρτηση ορίζεται στο διάστηµα (, + ), είναι παραγωγίσιµη και η γραφική της παράσταση C τέµνει την διχοτόµο διαφορετικά σηµεία Να δείξετε ότι: i Υπάρχουν δυο εφαπτοµένες της ii Υπάρχουν δυο εφαπτοµένες της συστήµατος συντεταγµένων δ του πρώτου τεταρτηµορίου σε τρία C παράλληλες στην δ C που διέρχονται από την αρχή (, ) Ο του 9 i ύο συναρτήσεις και g που έχουν πεδίο ορισµού το διάστηµα είναι: Συνεχείς στο Παραγωγίσιµες στο( α, β ), για κάθε ( α, β ) Να αποδείξετε ότι υπάρχει ξ ( α, β ), τέτοιο ώστε: ii Αν g β α ξ = g β g α g ξ π < α < β <, να αποδείξετε ότι υπάρχει (, ) ηµα ηµβ = σϕθ συνβ συνα θ α β, τέτοιο ώστε: Απόδειξη Ανισοτήτων (3 ο θέµα) 3 Για µια συνάρτηση υποθέτουµε ότι: Είναι συνεχής στο διάστηµα, + ), + Είναι παραγωγίσιµη στο διάστηµα = Η είναι γνησίως αύξουσα στο (, + ) Αν g( ) =, να δείξετε ότι >, για κάθε (, ) g +

7 3 3 ίνεται η συνάρτηση = α + β + γ + δ, α > Να αποδείξετε ότι για δυο οποιουδήποτε πραγµατικούς αριθµούς, µε ισχύει αγ β 3 3α 3 Μια συνάρτηση είναι παραγωγίσιµη στο διάστηµα και η είναι γνησίως γ = Να αποδείξετε ότι φθίνουσα Επίσης υπάρχει (, ) ( α)( β γ ) + ( β)( γ α ) < γ α β, τέτοιο ώστε 33 Να αποδείξετε ότι + < + < +, + Απόδειξη Ανισοτήτων (4 ο θέµα) για κάθε > ηµ π 34 Αν =, να αποδείξετε ότι <, για, 35 Μια συνάρτηση είναι συνεχής στο διάστηµα,, δυο φορές παραγωγίσιµη στο ξ,, τέτοιο ώστε διάστηµα, και τέτοια ώστε = = Αν υπάρχει ξ >, να αποδείξετε ότι: i Υπάρχουν, (, ) ii Υπάρχει (, ) τέτοια ώστε τέτοιο ώστε < < 36 Μια συνάρτηση είναι παραγωγίσιµη στοr και η παράγωγος της είναι γνησίως αύξουσα συνάρτηση i Να αποδείξετε ότι για οποιουσδήποτε πραγµατικούς αριθµούς α και β µε α +β ( α ) + ( β) α β, ισχύει < ii Να αποδείξετε ότι για αποιουσδήποτε πραγµατικούς αριθµούς α και β µε α β α+β e + e α β, ισχύει > e Εύρεση της αξιοποιώντας αν: ( ) = g ( ) τότε = g +c (4 ο θέµα) 37 Έστω συνάρτηση παραγωγίσιµη στο R µε για κάθε R, και τέτοια ώστε : ( ) = και = συν ηµ συν για κάθε R i Να αποδείξετε ότι < για κάθε R

8 ii Να βρείτε τη συνάρτηση ( ) 38 ίνονται ο µιγαδικός αριθµός z µε z και η συνάρτηση η οποία είναι = z και + = z e για κάθε παραγωγίσιµη στο R µε R i z Να αποδείξετε ότι = e ii Να αποδείξετε ότι η αντιστρέφεται και να βρείτε τη συνάρτηση 39 Έστω συνάρτηση ορισµένη και παραγωγίσιµη στο * R µε ( ) = 3 και εφαπτοµένη που φέρουµε σε οποιοδήποτε σηµείο ( ) = Η M, της C αποκόπτει από τους άξονες ένα ευθύγαµµο τµήµα του οποίου µέσον είναι το σηµείο Μ g = είναι σταθερή στο R * i Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση ii Να βρείτε τη συνάρτηση Εύρεση της αξιοποιώντας αν: ( ) = g ( ) τότε = g +c (3 ο θέµα) 4 Έστω συνάρτηση ορισµένη και παραγωγίσιµη στο R για την οποία ισχύει ότι: συν = για κάθε Να βρείτε τη συνάρτηση 4 Έστω συνάρτηση παραγωγίσιµη στο R για την οποία ισχύουν οι σχέσεις: για κάθε R, ( ) = και + = για κάθε R i Να αποδείξετε ότι ( ) = e, R ii Να βρείτε το σύνολο τιµών της iii Να δείξετε ότι η αντιστρέφεται και να ορίσετε τη συνάρτηση Πρόσηµο της (3 ο θέµα) 4 ίνεται συνάρτηση ορισµένη στο 5, 6, γνησίως αύξουσα και δυο φορές 6 = παραγωγίσιµη σε αυτό Ακόµα > και i Να βρείτε το πρόσηµο της στο 5, 6 ii Να δείξετε ότι η εξίσωση ( 5) = έχει µια µόνο ρίζα στο 5, 6

9 Εύρεση Ασυµπτώτων (3 ο θέµα) 43 Αν για τη συνάρτηση ισχύει η σχέση + 5 ( ) ( ), ( ) για κάθε R { } να δείξετε ότι η γραφική της παράσταση έχει κατακόρυφη ασύµπτωτη Εύρεση Συνάρτησης µέσω της Συνθήκης α = β θ Rlle για την (4 ο θέµα) ΜΕΘΟ ΟΣ ίνεται η παραγωγίσιµη συνάρτηση µε πεδίο ορισµού το α,, µε α β και οι µιγαδικοί αριθµοί z = e α + i ( α ), w = ( β) ie β κάθε (, ) i Αν α και z = να βρείτε το πραγµατικό αριθµό α ii Αν Im( zw ) ( ) = = να δείξετε ότι υπάρχει ακριβώς ένα (, ) για α β έτσι ώστε iii Αν ο µιγαδικός αριθµός u = zw Ι να δείξετε ότι υπάρχει τουλάχιστον ένα, ξ = ξ ξ α β έτσι ώστε 45 ίνεται η παραγωγίσιµη συνάρτηση µε πεδίο ορισµού το, e, έτσι ώστε να ισχύει ( e) ( ) = + ( ) Να δείξετε ότι υπάρχει τουλάχιστον ένα (, e) έτσι ώστε η e εφαπτοµένη της B, C στο σηµείο A(, ) να διέρχεται από το σηµείο ( ) 46 ίνεται η παραγωγίσιµη συνάρτηση ( ) µε πεδίο ορισµού το R και ( ) e ( ) = ( ) α + = α Να δείξετε ότι υπάρχει τουλάχιστον ένα (, ) α α + έστι ώστε 47 Αν η συνάρτηση είναι παραγωγίσιµη στο, µε ( ) =, τότε να δείξετε ότι υπάρχει τουλάχιστον ένα (, ) τέτοιο ώστε ( ) = 3 ( ) ( )

10 Ύπαρξη Μοναδικής ή το πολύ Μια Ρίζας των ( ) =, =, = (3 ο θέµα) 48 ίνεται η παραγωγίσιµη συνάρτηση µε πεδίο ορισµού το (, + ), έτσι ώστε να + = + για > Να δείξετε ότι η C τέµνει τον άξονα το πολύ σε ένα σηµείο ισχύει 6 3ln ( ) 49 ίνεται η συνάρτηση h ln( ) διάστηµα, 4 = + α, και η µε = ( 4) Αν παραγωγίσιµη στο h ικανοποιεί τις υποθέσεις του Θεωρήµατος του Rlle στο διάστηµα, 4, να δείξετε ότι υπάρχει τουλάχιστον ένα, 4 ln + = έτσι ώστε 5 ίνονται οι συναρτήσεις = e + και g = e + 4 Να δείξετε ότι οι γραφικές παραστάσεις των, g έχουν ένα µόνο κοινό σηµείο, το οποίο να προσδιοριστεί Ύπαρξη Τιµής ξ (Τιµών ξ, ξ) ώστε να ισχύει οσµένη Συνθήκη 5 Μία συνάρτηση είναι συνεχής στο διάστηµα, παραγωγίσιµη στο διάστηµα ( α, β ) και τέτοια ώστε ( β) ( α ) = 4( β α ) Να αποδείξετε ότι υπάρχουν αριθµοί ξ, ξ, ξ 3 που ανήκουν στο διάστηµα( α, β ), τέτοιοι ώστε: ξ + 3 ξ + 4 ξ = 36 3 Σταθερή Συνάρτηση ( ο θέµα) π π 5 Έστω συνάρτηση παραγωγίσιµη στο R τέτοια ώστε: =, = π = για κάθε R ( ) 4 + = για κάθε R i Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση ii Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση είναι σταθερή στο R και g = συν + + ηµ

11 iii Να βρείτε τη συνάρτηση ( ) Σταθερή Συνάρτηση (3 ο θέµα) :,, 53 Έστω συνάρτηση ( + ) ( + ) παραγωγίσιµη στο ώστε: ( ) = και i Να δείξετε ότι = > για κάθε > για κάθε (, + ) g = ii Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση iii Να βρείτε τη συνάρτηση ( ) 54 Έστω συνάρτηση τρεις φορές παραγωγίσιµη στο ( 3 ( ) = και τέτοια ώστε ) = για κάθε 3 (, ) = ( + ) ln για κάθε (, + ), + και τέτοια είναι σταθερή στο (, + ), + µε = =, + Να αποδείξετε ότι Σταθερή Συνάρτηση (4 ο θέµα) 55 Έστω συνάρτηση δυο φορές παραγωγίσιµη στο (, + ) µε ( e), τέτοια ώστε = ln για κάθε (, ) = ln για κάθε (, + ) Εύρεση της αν δίνεται ή = και = ( e) e + Να αποδείξετε ότι 56 Να βρείτε τη συνάρτηση η οποία είναι παραγωγίσιµη στο R που είναι τέτοια ώστε: 4, < e e ( ) = και = +, 57 Να βρείτε τη συνάρτηση η οποία είναι τρεις φορές παραγωγίσιµη στο R µε ( ) = ( ) = ( ) = και τέτοια ώστε = για κάθε R e

12 Εύρεση της αξιοποιώντας το: ( ) = ( ) τότε ( ) = c e = c e (3 ο θέµα) 58 ( ο θέµα) Έστω συνάρτηση δυο φορές παραγωγίσιµη στο R για την οποία, + = για κάθε R ισχύουν οι σχέσεις: = = και Να βρείτε τη συνάρτηση ( ) 59 (3 ο θέµα) Έστω συνάρτηση δυο φορές παραγωγίσιµη στο R για την οποία, 3 = για κάθε R Να βρείτε ισχύουν οι σχέσεις: = = και τη συνάρτηση ( ) ΜΕΘΟ ΟΣ Εφαρµογή Fermat 6 Έστω συνάρτηση συνεχής στο α, για κάθε (, ) µε ( α ) = και α β, να βρείτε το σύνολο τιµών της συνάρτησης β = 4 Αν είναι ΑΝΕΞΑΡΤΗΤΕΣ 6 Να λυθεί η εξίσωση : = e Η είναι παραγωγίσιµη στο ( a,b ) και συνεχής στο [ a,b ] νδο ξ,ξ,ξ 3 ( a,b) µε ξ ξ : ( ξ ) + ( ξ ) ( ξ ) = 3 63 Νδο + e + 64 Αν παραγωγίσιµη στο, A νδο : ( h) ( ) ( ) = lim h h 65 Αν ορισµένη στο (,+ ), ( ) = 3 και ( y) = + ( y ),,y (, + ) να βρεθεί η ( )

13