«ΠΡΟΤΥΠΑ ΠΡΟΒΛΕΨΗΣ ΛΕΙΤΟΥΡΓΙΚΗΣ ΚΑΤΑΣΤΑΣΗΣ. Καθηγητής Ε.Μ.Π

Transcript

1 ΣΧΟΛΗ ΤΕΧΝΙΚΗΣ ΕΚΠΑΙ ΕΥΣΕΩΣ ΑΞΙΩΜΑΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΟΥ «ΠΡΟΤΥΠΑ ΠΡΟΒΛΕΨΗΣ ΛΕΙΤΟΥΡΓΙΚΗΣ ΚΑΤΑΣΤΑΣΗΣ Ο ΟΣΤΡΩΜΑΤΩΝ» ΠΤΥΧΙΑΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ Λγου (ΜΧ) Αναστασίου Γ. Κατηνά Επιβλέπων : Ανδρέας Λοΐζος Καθηγητής Ε.Μ.Π Ιανουάριος 016

2 .. Αναστάσιος Γ. Κατηνάς Πτυχιούχος Οικονοµολόγος Πανεπιστηµίου Μακεδονίας Msc Στατιστικής & Μοντελοποίησης Α.Π.Θ. Copyright Αναστάσιος Γ. Κατηνάς 016 Με επιφύλαξη παντός δικαιώµατος. All rights reserved. Απαγορεύεται η αντιγραφή, αποθήκευση και διανοµή της παρούσης εργασίας ολοκλήρου ή τµήµατος αυτής για εµπορικό σκοπό. Επιτρέπεται η ανατύπωση, αποθήκευση και διανοµή ή τµήµατος αυτής για σκοπό µη κερδοσκοπικό, εκπαιδευτικής ή ερευνητικής χρήσης, υπό την προϋπόθεση να αναφέρεται η πηγή προέλευσης. Ερωτήµατα που αφορούν τη χρήση της εργασίας, για κερδοσκοπικό σκοπό πρέπει να απευθύνονται προς τον συγγραφέα. Τα συµπεράσµατα και οι απόψεις που περιέχονται σε αυτό το έγγραφο εκφράζουν τον συγγραφέα και δεν πρέπει να ερµηνευτεί ότι εκφράζουν τις επίσηµες θέσεις της ΣΤΕΑΜΧ.

3 Στους γονείς µου Γιώργο και Πελαγία Ως ελάχιστο δείγµα ευγνωµοσύνης για την αγάπη, την υποµονή και την συµπαράσταση τους όλα αυτά τα χρόνια. 3

4 ΕΥΧΑΡΙΣΤΙΕΣ Με την ολοκλήρωση της φοίτησης του στην ΣΤΕΑΜΧ, τελευταίο κεφάλαιο της οποίας αποτελεί η παρούσα πτυχιακή εργασία, θα ήθελα να εκφράσω τις ευχαριστίες µου προς τους καθηγητές της Σχολής για τις γνώσεις που µου µετέδωσαν κατά την διάρκεια των µαθηµάτων. Ιδιαίτερα ευχαριστώ τον επιβλέποντα καθηγητή µου κ. Ανδρέα Λοΐζο, Καθηγητή ΕΜΠ, για την εµπιστοσύνη που µου έδειξε αναθέτοντάς µου την παρούσα εργασία και την καλή συνεργασία που είχαµε το παραπάνω χρονικό διάστηµα. Επίσης ευχαριστώ τον κ. Στέλιο Κώτσιο, Αν. Καθηγητή ΕΚΠΑ, για τις σηµαντικές γνώσεις, την µεθοδολογία και την επίλυση αποριών που µου προσέφερε, δίχως τις οποίες θα ήταν αδύνατη η πραγµατοποίηση της παρούσας εργασίας. Επιπλέον ευχαριστώ τον κ. Παναγιώτη Γεωργίου, Επιµελητή Καθηγητή της ΣΤΕΑΜΧ, για τις υποδείξεις και παρατηρήσεις που έκανε κατά την συγγραφή της. Στο σηµείο αυτό θα ήταν παράληψη να µην ευχαριστήσω τον ιοικητή της Σχολής, Σχη (ΜΧ) κ. Τσαντουλή ηµήτριο, για την ενθάρρυνση, την υποστήριξη, την συγκαταβατικότητα, την επίλυση οποιουδήποτε προβλήµατος και το ιδανικό κλίµα φοίτηση που δηµιούργησε στην Σχολή. Κλείνοντας θα ήθελα να ευχαριστήσω τους γονείς µου, για την αµέριστη συµπαράσταση και για το κουράγιο που µου έδωσαν κατά τη διάρκεια της φοίτησής µου στην ΣΤΕΑΜΧ. 4

5 ΠΕΡΙΛΗΨΗ Στην παρούσα εργασία θα πραγµατοποιηθεί µελέτη υφισταµένων προτύπων της λειτουργικής κατάστασης των οδοστρωµάτων αλλά και των µεθόδων που χρησιµοποιούνται για την εκτίµηση αυτής και την πρόβλεψη της εξέλιξης της στην διάρκεια της λειτουργίας της οδού. Στην συνέχεια θα προταθούν µέθοδοι για την µελέτη υφιστάµενων δεδοµένων, την αξιολόγηση της υπάρχουσας κατάστασής τους και την εν δυνάµει πρόβλεψη της µελλοντικής συµπεριφοράς τους. Η παρούσα εργασία θα περιοριστεί στην µελέτη και πρόβλεψη της λειτουργικής κατάστασης εύκαµπτων οδοστρωµάτων µε την χρήση του διεθνούς δείκτη τραχύτητας IRI. Λέξεις Κλειδιά είκτης Τραχύτητας IRI, Εύκαµπτα Οδοστρώµατα. 5

6 Π Ε Ρ Ι Ε Χ Ο Μ Ε Ν Α ΠΕΡΙΛΗΨΗ..5 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ..6 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΕΠΙΣΚΟΠΗΣΗ ΤΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Βασικές Έννοιες Οδοστρωµάτων Οδόστρωµα Στρώσεις Λειτουργικότητα οδοστρώµατος Λειτουργική κατάσταση του Οδοστρώµατος Παράγοντες που επηρεάζουν τη Λειτουργικότητα του Οδοστρώµατος Κύκλος Ζωής οδοστρώµατος Οµαλότητα Μετρήσεις Οµαλότητας Αξιολόγηση Οδοστρώµατος Γενικά είκτες Κατάστασης Οδοστρωµάτων είκτης Άνεσης Οδήγησης (RCI) είκτης Επιπεδότητας Οδοστρώµατος Εκτίµησης Κόστους (RIDE) είκτης (PSR) είκτης Παρούσας Λειτουργικότητας (PSI) είκτης Άνεσης Οδήγησης (RCI) ιεθνής είκτης Τραχύτητας (IRI) Συσχέτιση των δεικτών κατάστασης του οδοστρώµατος Μοντέλα Πρόβλεψης της Κατάστασης των Οδοστρωµάτων Είδη µοντέλων πρόβλεψης Ντετερµινιστικά µοντέλα Πιθανοτικά µοντέλα Υποκειµενικά µοντέλα Μοντέλα «ευφυών» µεθοδολογιών Εµπειρικά µοντέλα Μηχανιστικά µοντέλα Μοντέλα πρόβλεψης Επιδείνωσης AASHTO pavement performance model NJDOT model FHWA model Προβλέψεις και Συστήµατα ιαχείρισης Οδοστρωµάτων (Σ Ο) Σύστηµα ιαχείρισης Οδοστρωµάτων σε Επίπεδο ικτύου (Network level) Σύστηµα ιαχείρισης Οδοστρωµάτων σε Επίπεδο Έργου (Project level) Στάδια των Σ Ο Απογραφή Χαρακτηριστικών του Οδοστρώµατος...8 6

7 Επισκόπηση της Κατάστασης του Οδοστρώµατος Βάση εδοµένων Πρόβλεψη Κατάστασης Οδοστρώµατος Μοντέλα Πρόβλεψης Ανάλυση Κατάστασης Οδοστρώµατος...31 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο Ε ΟΜΕΝΑ Εγχώρια εδοµένα Μετρήσεων είκτη IRI 33. Αµερικανικά εδοµένα Μετρήσεων δείκτη IRI.35 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ο ΠΡΟΣΑΡΜΟΓΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΣΤΑ ΧΡΟΝΟΛΟΓΙΚΑ Ε ΟΜΕΝΑ Θεωρητική Προσέγγιση Προσαρµογή Γραµµικού Μοντέλου Προσαρµογή Πολυωνυµικών Μοντέλων Προσαρµογή Πολυωνυµικού Μοντέλου ου Βαθµού Προσαρµογή Πολυωνυµικού Μοντέλου 3 ου Βαθµού Προσαρµογή Πολυωνυµικού Μοντέλου 4 ου Βαθµού Μεικτά Μοντέλα Προσαρµογή Μοντέλου Πολυωνύµου ου Βαθµού και Αντίστροφης Συνάρτησης Προσαρµογή Μοντέλου Πολυωνύµου 3 ου Βαθµού και Αντίστροφης Συνάρτησης Προσαρµογή Μοντέλου Πολυωνύµου 3 ου Βαθµού και Αντίστροφης Συνάρτησης στο τετράγωνο.69 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ο ΕΠΕΚΤΑΣΗ ΠΡΟΣΑΡΜΟΓΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΣΕ ΝΕΑ ΧΡΟΝΟΛΟΓΙΚΑ Ε ΟΜΕΝΑ Προσαρµογή Συναρτήσεων Αµερικανικών Χρονολογικών εδοµένων Προσαρµογή Γραµµικού Μοντέλου Προσαρµογή Πολυωνυµικών Μοντέλων Προσαρµογή Πολυωνυµικού Μοντέλου ου Βαθµού Προσαρµογή Πολυωνυµικού Μοντέλου 3 ου Βαθµού Μεικτά Μοντέλα Προσαρµογή Μοντέλου Πολυωνύµου ου Βαθµού και Αντίστροφης Συνάρτησης Προσαρµογή Μοντέλου Πολυωνύµου 3 ου Βαθµού και Αντίστροφης Συνάρτησης Προσαρµογή Μοντέλου Πολυωνύµου 3 ου Βαθµού και Αντίστροφης Συνάρτησης στο τετράγωνο Προσαρµογή ελλιπούς πολυωνυµικού Μοντέλου 10 7

8 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 ο ΠΡΟΣΑΡΜΟΓΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΚΑΙ ΠΡΟΒΛΕΨΕΙΣ ΣΤΙΣ ΧΡΟΝΟΛΟΓΙΚΕΣ ΣΕΙΡΕΣ ΤΟΥ ΣΥΝΟΛΟΥ ΤΩΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΩΝ ΜΟΝΑ ΩΝ Εισαγωγή Εγχώρια εδοµένα (500 Παρατηρήσεις) ΜΟΡΦΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ: f ( x) = a+ bx ΜΟΡΦΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ: f ( x) = a+ bx ΜΟΡΦΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ: f ( x) = a+ bx ΜΟΡΦΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ: 5..5 ΜΟΡΦΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ: 5..6 ΜΟΡΦΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ: 5..7 ΜΟΡΦΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ: 5..8 ΜΟΡΦΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ: 5..9 ΜΟΡΦΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ: ΜΟΡΦΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ: ΜΟΡΦΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ: 5..1 ΜΟΡΦΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ: ΜΟΡΦΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ: ΜΟΡΦΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ: ΜΟΡΦΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ: ΜΟΡΦΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ: ΜΟΡΦΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ: f ( x) a bx cx = f ( x) a bx = f ( x) a bx cx dx 3 = f ( x) a bx cx dx ex 3 4 = f ( x) a bx dx 3 = f ( x) a bx dx 4 = f ( x) a bx dx 3 = f ( x) a bx cx 3 3 = f ( x) a bx cx 1 = f ( x) a bx cx = f ( x) a bx cx 3 1 = f ( x) a bx cx 3 = f ( x) = a+ bx + cx 140 f ( x) a bx cx 1 1 = ΜΟΡΦΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ: f ( x) = a+ bx + cx..144 b ΜΟΡΦΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ: f ( x) = ax + clog( x) Αµερικανικά εδοµένα (194 Παρατηρήσεις) ΜΟΡΦΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ: f ( x) = a+ bx ΜΟΡΦΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ: ΜΟΡΦΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ: f ( x) a bx cx = f ( x) a bx cx = ΜΟΡΦΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ: f ( x) = a+ bx + cx ΜΟΡΦΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ: f ( x) = a+ blog( x) ΜΟΡΦΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ: b f ( ) ( x x ) = a 158 b ( x + c ) b ΜΟΡΦΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ: f ( x) = ax..160 a b ΜΟΡΦΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ: f ( x) = x + x + c Συγκεντρωτική Αξιολόγηση Μοντέλων Συµπεράσµατα Γενικές Παρατηρήσεις Αξιολόγηση Μοντέλων µε Εγχώρια εδοµένα Αξιολόγηση Μοντέλων µε Αµερικανικά εδοµένα

9 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ο ΓΕΝΙΚΑ ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΑ ΠΡΟΤΑΣΕΙΣ Συµπεράσµατα στα ειγµατικά εδοµένα Επισηµάνσεις επί της Λειτουργίας των Μοντέλων Επισηµάνσεις επί των Οδικών Μετρήσεων Προτάσεις.173 ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ.174 9

10

11 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΕΠΙΣΚΟΠΗΣΗ ΤΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ 1.1 Βασικές Έννοιες Οδοστρωµάτων Οδόστρωµα Οδόστρωµα καλείται το ανώτερο της υποδοµής µίας κατασκευασµένης οδού το οποίο σκοπό έχει την παραλαβή και οµαλή διανοµή των φορτίων της κυκλοφορίας των οχηµάτων στο έδαφος. Ο ρόλος του οδοστρώµατος περιγράφεται από τις παρακάτω απαιτήσεις: Μετάδοση στο έδαφος των φορτίων των κυκλοφορούντων οχηµάτων ελαττωµένων σε τέτοιο βαθµό που να αποτρέπονται µεγάλες σε µέγεθος µόνιµες παραµορφώσεις. οµική επάρκεια του ίδιου του οδοστρώµατος στις επαναλαµβανόµενες επιπονήσεις της κυκλοφορίας και του περιβάλλοντος, δηλαδή αποφυγή ρηγµατώσεων, παραµορφώσεων και αποφλοιώσεων. Προστασία του εδάφους θεµελίωσης του οδοστρώµατος από τις επιδράσεις του περιβάλλοντος, οι οποίες θα προκαλέσουν απώλεια φέρουσας ικανότητας και µόνιµες παραµορφώσεις. ιατήρηση ενός ελάχιστου επιτρεπόµενου επιπέδου αντιολισθητικών χαρακτηριστικών της στρώσεως κύλισης και η εξασφάλιση της απαιτούµενης ποιότητας κύλισης των οχηµάτων για όλο το χρονικό διάστηµα της λειτουργίας του Στρώσεις Οι λειτουργίες αυτές πραγµατοποιούνται µέσω τριών διαδοχικών στρώσεων υλικών οι οποίες από άνω προς τα κάτω έχουν ως εξής: Ασφαλτικές επιστρώσεις Στρώση βάσης Στρώση υπόβασης Σχήµα 1.1 Στρώσεις 11

12 1. Λειτουργικότητα οδοστρώµατος 1..1 Λειτουργική κατάσταση του Οδοστρώµατος Με τον όρο λειτουργικότητα ή εξυπηρετικότητα εννοούµε την ικανότητα του οδοστρώµατος να εξυπηρετεί µε ασφάλεια, άνεση και οικονοµία τους χρήστες της οδού. Η κατάσταση της οδού επηρεάζει άµεσα τους χρήστες της και συνδέει την ασφάλεια µε διάφορα κόστη που τους επιβαρύνουν. Η διατήρησή της σε αποδεκτά πλαίσια είναι µείζονος σηµασίας και η µέτρηση της αξιοπιστίας και της αποτελεσµατικότητας αυτής αποτελεί το πρώτο βήµα για παρεµβάσεις και βελτιώσεις όποτε αυτό απαιτείται. Η ποιότητα της ασφαλτικής στρώσης του οδοστρώµατος σχετίζεται τόσο µε την µικροϋφή (αδρότητα της επιφάνειας των αδρανών) τόσο και µε την µακροϋφή (τραχύτητα της επιφάνειας του οδοστρώµατος) που συνδέεται µε την κοκκοµετρική σύνθεση της στρώσεως κυκλοφορίας και την ασφαλτική επίστρωση που χαρακτηρίζουν τα οδοστρώµατα. Για τον προσδιορισµό της λειτουργικής κατάστασης των οδοστρωµάτων εξετάζονται συνήθως χαρακτηριστικές ιδιότητες της οδού όπως η οµαλότητα, η αντιολισθηρότητα, η επιφανειακή υφή και οι επιφανειακές φθορές. Από τα παραπάνω χαρακτηριστικά, η αντιολισθηρότητα και η επιφανειακή υφή του οδοστρώµατος επηρεάζουν την ποιότητα κύλισης και την ασφάλεια των χρηστών της οδού και αφορούν στη στρώση κυκλοφορίας του οδοστρώµατος. Η διαµήκης και εγκάρσια οµαλότητα επηρεάζουν την άνεση κίνησης των χρηστών της οδού και συνδέονται µε τη στρώση κυκλοφορίας, αλλά και µε τις λοιπές στρώσεις οδοστρωσίας. Στην παρούσα εργασία θα ασχοληθούµε µε την µελέτη της οµαλότητας, των συνηθέστερων δεικτών αυτής και θα εµβαθύνουµε στην ανάλυση µετρήσεων του πλέον σηµαντικού και εφαρµόσιµου από αυτούς. 1.. Παράγοντες που επηρεάζουν τη Λειτουργικότητα του Οδοστρώµατος Οι κυριότεροι παράγοντες που επηρεάζουν την λειτουργικότητα και την εν γένει συµπεριφορά του οδοστρώµατος είναι: Ο Κυκλοφοριακός φόρτος. Ο κυκλοφοριακός φόρτος είναι άµεσα συνδεδεµένος µε το αναµενόµενο επίπεδο φθορών. Ένα οδόστρωµα µε µεγάλους κυκλοφοριακούς φόρτους αναµένεται να παρουσιάσει αυξηµένες φθορές σε σύντοµο χρονικό διάστηµα από την κατασκευή του σε σχέση µε ένα στο οποίο η κυκλοφορία είναι περιορισµένη. Συνεπώς η λειτουργικότητα οδών αυξηµένης κυκλοφορίας υποβαθµίζεται ταχύτερα και απαιτεί συνεχή παρατήρηση, πρόβλεψη εξέλιξης και έγκαιρη επέµβαση. Η υγρασία. Η παρουσία του νερού µπορεί να αποδυναµώσει σηµαντικά τη δύναµη υποστήριξης των φυσικών αδρανών και κυρίως του υπεδάφους. Μπορεί να εισέλθει στη δοµή του οδοστρώµατος µέσω ρωγµών και οπών στην επιφάνεια, πλευρικά µέσω του υπεδάφους και από το υποκείµενο νερό µέσω τριχοειδούς δράσης. Η ταχύτητα των οχηµάτων στο οδόστρωµα. Είναι γνωστό ότι η διακύµανση της ταχύτητας επηρεάζει την συµπεριφορά των υλικών της οδοστρωσίας και εποµένως την τάση, την παραµόρφωση και το βέλος κάµψης. Η ποιότητα κατασκευής του οδοστρώµατος. Ένα µη ορθά κατασκευασµένο οδόστρωµα προβλέπεται να έχει µικρότερη διάρκεια ζωής, ελαττωµένη λειτουργικότητα και µειωµένη διάρκεια αποτελεσµατικής λειτουργίας σε σχέση µε 1

13 αυτό που κατασκευάστηκε σύµφωνα µε όλες τις προβλεπόµενες προδιαγραφές. Αντίστοιχη είναι και η επίδραση της ποιότητας των υλικών. Η χρήση υποβαθµισµένων και φθηνών υλικών έχει ως συνέπεια τη µείωση της διάρκειας ζωής του οδοστρώµατος. Εσφαλµένη µελέτη και εκτίµηση. Η µελέτη διαστασιολόγησης του οδοστρώµατος µερικές φορές µπορεί να µην είναι σωστή λόγω κακής εκτίµησης ή υπολογισµού των σχεδιαστικών παραµέτρων. Έτσι, µπορεί να προταθούν µικρότερα από τα απαιτούµενα πάχη στρώσεων (υποδιαστασιολόγηση) ή µεγαλύτερα πάχη στρώσεων (υπερδιαστασιολόγηση). Στην πρώτη περίπτωση η διάρκεια ζωής του οδοστρώµατος µειώνεται, ενώ στην δεύτερη αυξάνεται αλλά σε βάρος του κόστους κατασκευής. Επιπλέον η αύξηση του κυκλοφοριακού φόρτου πλέον αυτής που εκτιµήθηκε στο στάδιο της µελέτης και ιδιαίτερα των βαρέων αξονικών φορτίων, µειώνουν επίσης τη διάρκεια ζωής του οδοστρώµατος. Η απρόβλεπτη αύξηση των αξονικών φορτίων µπορεί να οφείλεται και στην ύπαρξη υψηλού ποσοστού υπέρβαρων αξόνων. Οι ακραίες συνθήκες του περιβάλλοντος που επηρεάζουν τη συµπεριφορά του οδοστρώµατος είναι η υγρασία του υπεδάφους, η θερµοκρασία του περιβάλλοντος, ο παγετός και η παρουσία ή µη υλικών που διαστέλλονται παρουσία νερού (άργιλος κλπ). Οι υψηλές υγρασίες υπεδάφους, οι πολύ υψηλές και χαµηλές θερµοκρασίες περιβάλλοντος και η παρουσία υλικών που διαστέλλονται σε συνδυασµό µε την επίδραση των αξονικών φορτίων µειώνουν την διάρκεια ζωής του οδοστρώµατος Κύκλος Ζωής οδοστρώµατος Ο κύκλος ζωής του οδοστρώµατος αποτελεί ένα µέτρο επισήµανσης της λειτουργικής κατάστασης του οδοστρώµατος και περιλαµβάνει στοιχεία που αφορούν την κατασκευή του οδοστρώµατος, την µεταβολή της κατάστασης του µε το χρόνο και τους τρόπους µε τους οποίους η λειτουργική του κατάσταση µπορεί να επηρεαστεί από διάφορες µορφές συντήρησης ή ανακατασκευής. Το κόστος της κατασκευής σχετίζεται µε τον κύκλο ζωής του καθόσον περιλαµβάνει το κόστος της αρχικής κατασκευής, το κόστος συντήρησης, τον προσδιορισµό της εναποµένουσας τελικής αξίας και τον καθορισµό του κόστους των χρηστών. Παράλληλα ο κύκλος ζωής εξαρτά όλα τα συστήµατα για τον καθορισµό του κατάλληλου χρόνου για την πραγµατοποίηση της συντήρησης του οδικού δικτύου σε ένα ικανοποιητικό επίπεδο εξυπηρέτησης και µε το ελάχιστο κόστος. Για την αξιολόγηση της κατάστασης του οδοστρώµατος πραγµατοποιούνται µετρήσεις - συλλογή δεδοµένων και επεξεργασία αυτών προκειµένου να προκύψουν συµπεράσµατα σχετικά µε το επίπεδο λειτουργικότητας. Ενδείκτης όλων των παραπάνω καταστάσεων αποτελούν οι φθορές που παρουσιάζονται σταδιακά εντός του κύκλου ζωής του οδοστρώµατος η επισήµανση των οποίων αποτελεί την έναρξη του προγραµµατισµού για την πραγµατοποίηση των µελλοντικών επεµβάσεων συντήρησης και ανακατασκευής Οµαλότητα Μετρήσεις Οµαλότητας Με τον όρο επιπεδότητα ή οµαλότητα περιγράφονται επιφανειακές ανωµαλίες κατά µήκος του οδοστρώµατος. Ως οµαλότητα ορίζεται η απόκλιση της επιφάνειας του οδοστρώµατος από τη θεωρητικώς επίπεδη επιφάνεια. Η επιπεδότητα ενός οδοστρώµατος επηρεάζεται από διαµήκεις αλλά και εγκάρσιες παραµορφώσεις της επιφανείας του οδοστρώµατος και από την ύπαρξη ρωγµών και µπαλωµάτων. Η 13

14 οµαλότητα επηρεάζει τη δυναµική συµπεριφορά και την ποιότητα κύλισης των οχηµάτων, τη δυναµική των φορτίσεων του οδοστρώµατος, καθώς και την απορροή των επιφανειακών υδάτων. Μη επίπεδα οδοστρώµατα επηρεάζουν την πλευρική µετακίνηση του οχήµατος και δηµιουργούν κακές συνθήκες οδήγησης. Προβλήµατα οµαλότητας εµφανίζονται όταν παρατηρούνται µεγάλες αποκλίσεις, σε κατακόρυφο επίπεδο, του προφίλ της επιφάνειας του οδοστρώµατος σε σχέση µε το θεωρητικό προφίλ της οδού. Στην Αµερικανική βιβλιογραφία αντίστοιχα συναντάται, συνήθως αποκλειστικά, ο όρος «τραχύτητα». Η οµαλότητα διακρίνεται σε διαµήκη και σε εγκάρσια. Σχήµα 1. ιαµήκες και εγκάρσιο προφίλ του οδοστρώµατος. Τραχύτητα είναι η απουσία ή η έλλειψη οµαλότητας στην διαµήκη ή εγκάρσια διατοµή της επιφάνειας ενός δρόµου, η οποία προκαλεί κακής ποιότητας κύλιση. Η τραχύτητα µπορεί να παραχθεί από την καταπόνηση των επιφανειακών ή κατώτερων στρωµάτων της οδού, από κακή ποιότητα κατασκευής, ή και από κακή συµπύκνωση των κατώτερων κατασκευαστικών στρώσεων της οδού. Η σωστή και έγκαιρη διάγνωση των αιτιών που προκαλούν την εµφάνιση της τραχύτητας στο οδόστρωµα, µπορεί να αποτρέψει εύκολα την περαιτέρω εξάπλωση του φαινοµένου και την αύξηση του χρόνου ζωής του. Τα οδοστρώµατα πρέπει να τίθενται σε κυκλοφορία µετά την κατασκευή τους µε την µικρότερη δυνατή τραχύτητα. Η εξασφάλιση ενός ικανοποιητικού επιπέδου οµαλότητας και η άµεση συσχέτισή της µε το επίπεδο άνεσης έγινε γρήγορα αντιληπτή. Γι αυτό η οµαλότητα ήταν από τα πρώτα λειτουργικά χαρακτηριστικά που κατηγοριοποιήθηκαν και άρχισαν να συλλέγονται τακτικά δεδοµένα προκειµένου να αξιολογηθεί η κατάσταση υφιστάµενων οδοστρωµάτων. Οι πρώτες µέθοδοι µέτρησης που αναπτύχθηκαν ήταν απλές τόσο στην σύλληψή τους όσο και στην εφαρµογή. Τα πρώτα όργανα ήταν χειροκίνητα και η όλη διαδικασία µέτρησης ιδιαίτερα χρονοβόρα. Η πρόοδος στον τοµέα αυτό συνεχίστηκε ραγδαία καθόσον η ανάγκη για συντήρηση και επισκευή των έντονα χρησιµοποιηθέντων οδικών αξόνων και η ανάγκη για ασφάλεια και ποιότητα στις οδικές µεταφορές κατέστησε επιτακτική την ανάγκη για εξεύρεση ταχύτερων και αποτελεσµατικότερων µεθόδων και οργάνων µέτρησης και αξιολόγησης. Η πρώτη γενική διάκριση των µεθόδων αυτών τις κατατάσσει σε: Υποκειµενικές µεθόδους εκτίµησης της οµαλότητας Σε αυτές παρέχεται µία υποκειµενική εκτίµηση της οµαλότητας από οµάδες βαθµολόγησης που εκφράζουν την δική τους αντίληψη για την οµαλότητα και λειτουργικότητα της οδού. Αντικειµενικές µεθόδους εκτίµησης της οµαλότητας 14

15 Σε αυτές τις µεθόδους γίνεται αποκλειστικά χρήση κατάλληλων και εξειδικευµένων οργάνων µέτρησης και καταγραφής διαφόρων χαρακτηριστικών µε τα οποία συνδέεται η οµαλότητα. Από τα αποτελέσµατα αυτών των αντικειµενικών µετρήσεων προκύπτουν συµπεράσµατα σχετικά µε την λειτουργική κατάσταση της οδού. Τα αίτια της µειωµένης οµαλότητας µιας οδού αναζητούνται στα τεχνικά µέσα που χρησιµοποιήθηκαν από τον κατασκευαστή της, καθώς και στη επιµέλεια και τις ικανότητες του κατασκευαστή. Είναι φυσικό η οµαλότητα να επιδεινώνεται κατά την διάρκεια της χρήσης της οδού και να εµφανίζονται αποκλίσεις από την αρχική και προφανώς αρτιότερη οµαλότητα. Το φαινόµενο αυτό σχετίζεται µε την πλαστική παραµόρφωση της υπόβασης, την συµπίεση των φερόντων στρώσεων και την εν γένει παραµόρφωση της ασφαλτικής στρώσεως. Οι αποκλίσεις κατά την διαµήκη κατεύθυνση είναι δυνατό να οφείλονται σε κατασκευαστικές αστοχίες κατά τη διάστρωση των ασφαλτικών στρώσεων και σε βλάβες που παρουσιάζονται στο οδόστρωµα, όπως καθιζήσεις, διογκώσεις, πτυχώσεις, λακκούβες κτλ. Οι αποκλίσεις στην εγκάρσια οµαλότητα οφείλονται στις αυλακώσεις που δηµιουργούνται στην επιφάνεια του οδοστρώµατος, κυρίως στα ίχνη των τροχών των βαρέων οχηµάτων. Για την εκτίµηση της αρχικής οµαλότητας αλλά και της διαχρονικής της εξέλιξης πραγµατοποιούνται µετρήσεις για κάθε λωρίδα κυκλοφορίας της οδού στην τροχιά των τροχών των οχηµάτων. Τα συστήµατα αντικειµενικής µέτρησης της οµαλότητας σε αυτοκινητοδρόµους διακρίνονται σε δύο µεγάλες κατηγορίες ανάλογα µε τη µεθοδολογία µέτρησης της οµαλότητας. Στην πρώτη κατηγορία ανήκουν τα συστήµατα που φέρουν τροχό µέτρησης ο οποίος είναι προσαρµοσµένος σε ειδικό ρυµουλκό. Ως µετρήσεις λαµβάνονται οι κατακόρυφες µετακινήσεις του τροχού ως οριζόντιο επίπεδο αναφοράς το σκελετό του ρυµουλκό ή εναλλακτικά οι κάθετες επιταχύνσεις του άξονα του τροχού µε τη βοήθεια επιταχυνσιοµέτρων. Οι ταχύτητες µέτρησης της οµαλότητας ανάλογα µε τον τύπο του συστήµατος κυµαίνονται από 30χµ/ώρα-60χλµ/ώρα. Στη δεύτερη κατηγορία ανήκουν τα συστήµατα, που καταγράφουν το προφίλ του οδοστρώµατος µε ηλεκτρονικά µέσα. Αποτελούνται από συσκευή καταγραφής, συνήθως µε ακτίνες λέιζερ, που προσαρµόζεται στο µπροστινό τµήµα του οχήµατος και από ειδική µονάδα ηλεκτρονικού υπολογιστή για την επεξεργασία των δεδοµένων. Στην περίπτωση αυτή το οριζόντιο επίπεδο αναφοράς των µετρήσεων ορίζεται από ακτίνες λέιζερ. Η επεξεργασία των δεδοµένων συλλογής γίνεται µε κατάλληλα λογισµικά και τα στοιχεία που προκύπτουν αναλύονται για την αξιολόγηση της οµαλότητας των οδοστρωµάτων. Το πλεονέκτηµα των συστηµάτων αυτής της κατηγορίας είναι ότι εκτός από την µέτρηση της οµαλότητας είναι συνήθως δυνατή και η µέτρηση και άλλων χαρακτηριστικών του οδοστρώµατος, όπως µακροϋφή και οι ρηγµατώσεις. Οι ταχύτητες µέτρησης, κυµαίνονται από 0χλµ/ώρα 100χλµ/ώρα. Λόγω του πλήθους των συστηµάτων µέτρησης, αλλά και της ανάγκης για σύγκριση των µετρήσεων της οµαλότητας των διαφόρων συστηµάτων, καθιερώθηκε να εκφράζονται οι µετρήσεις της διαµήκους οµαλότητας µε τον ιεθνή είκτη τραχύτητας «Οµαλότητας» IRI (International Roughness Index). Ο δείκτης IRI λαµβάνει τιµές από 0-0 και εκφράζεται συνήθως σε µονάδες m/km ή mm/m. Λεπτοµέρειες για τον δείκτη αυτόν θα αναφερθούν λεπτοµερώς παρακάτω. 15

16 1.3 Αξιολόγηση Οδοστρώµατος Γενικά Η αξιολόγηση οδοστρώµατος είναι ένα σύνολο εργασιών που αποσκοπεί στον καθορισµό των λειτουργικών και δοµικών συνθηκών ενός τµήµατος οδού, και πραγµατοποιείται είτε στα πλαίσια συστηµατικών προγραµµατισµένων διενεργειών ελέγχου, είτε µε αφορµή τον προγραµµατισµό διαδικασιών εφαρµογής διορθωτικών έργων. Η λειτουργική κατάσταση περιλαµβάνει παραµέτρους όπως την ποιότητα κύλισης ενός οχήµατος και την υφή της επιφάνειας του προς µελέτη τµήµατος οδού. Με την αξιολόγηση οι αρµόδιοι φορείς µπορούν να εντοπίσουν κινδύνους και τις αιτίες που τους προκαλούν, προωθώντας µε αυτόν τον τρόπο σωστές στρατηγικές πρόληψης και αποκατάστασης. Τους ελέγχους αξιολόγησης µπορούµε να κατατάξουµε σε δύο κατηγορίες, σε µη δειγµατοληπτικούς όπου η αξιολόγηση γίνεται χωρίς την καταστροφική επέµβαση επί τµήµατος της υπό εξέταση οδού και σε δειγµατοληπτικούς όπου λαµβάνονται δοκίµια και ακολουθούνται πειραµατικές εργαστηριακές µετρήσεις για την αξιολόγηση της υφιστάµενης κατάστασης. Η λήψη πυρήνων και οι εκσκαφές αποτελούν τις κύριες µορφές δειγµατοληπτικών ελέγχων που πραγµατοποιούνται για τον προσδιορισµό των προβληµατικών κατασκευαστικών στρωµάτων µιας οδού. Οι µη δειγµατοληπτικός έλεγχος χρησιµοποιείται για τον έλεγχο λειτουργικών και δοµικών χαρακτηριστικών του οδοστρώµατος. Στα λειτουργικά χαρακτηριστικά περιλαµβάνεται η τραχύτητα και η ολισθηρότητα ενός δρόµου είκτες Κατάστασης Οδοστρωµάτων Προκειµένου να πραγµατοποιηθεί η αξιολόγηση της λειτουργικής κατάστασης ενός οδικού τµήµατος για λόγους διαχείρισης της συντήρησης αλλά και γενικότερων αποφάσεων κατασκευής οδών, έχει προσδιοριστεί µία σειρά από αριθµητικούς δείκτες που αποδίδουν µια ποσοτική αποτίµηση των χαρακτηριστικών της κατάστασης του οδοστρώµατος. Η διαχείριση οδοστρωµάτων βασίζεται στον καθορισµό δεικτών κατάστασης οδοστρωµάτων, οι οποίοι εκφράζουν την κατάσταση στην οποία βρίσκεται το κάθε οδόστρωµα από δοµικής και λειτουργικής πλευράς, και βάσει των οποίων µπορούν να εκτιµηθούν οι ανάγκες της συντήρησης τα επόµενα χρόνια. Επίσης η χρήση των δεικτών αυτών συµβάλει στην προσπάθεια να αξιολογηθούν συγκεκριµένα χαρακτηριστικά του οδοστρώµατος, οι φθορές και η δοµική του κατάσταση µε σαφή και συνολικό τρόπο. Αυτοί οι δείκτες, οι οποίοι εµπεριέχουν διάφορα στοιχεία από πληροφορίες, όπως κατάσταση (λειτουργική και δοµική) οδοστρώµατος, δεδοµένα οδοστρώµατος, γεωµετρία οδού αντιπροσωπεύουν ένα µέτρο των επιπτώσεων στους χρήστες της οδού. Γενικά οι δείκτες κατάστασης χρησιµοποιούνται για να περιγράψουν τις επιπτώσεις των παραγόντων επιρροής στη συµπεριφορά τµηµάτων οδοστρώµατος και βοηθούν: Στον καθορισµό του χρόνου παρεµβάσεων της συντήρησης σε οποιοδήποτε τµήµα οδού. Στην επιλογή συγκεκριµένων τεχνικών συντήρησης. Στην επίβλεψη της συνολικής κατάστασης του δικτύου. 16

17 Η ανάπτυξη µιας ολοκληρωµένης µεθοδολογίας για τη δηµιουργία ενός ολοκληρωµένου συστήµατος το οποίο περιλαµβάνει όλους τους δείκτες εύκαµπτων οδοστρωµάτων θεωρείται εξαιρετικά δύσκολη καθώς οι δείκτες επηρεάζονται από τις ιδιαιτερότητες της κάθε χώρας, την οργάνωση, την συντήρηση των οδοστρωµάτων, τις κλιµατολογικές συνθήκες και άλλους παράγοντες. Οι δείκτες κατάστασης µπορούν να έχουν οποιαδήποτε κλίµακα τιµών, η πιο συνήθης είναι από 0 έως 5, ή από 0 έως 10 ή από 0 έως 100, µε 0 την καλύτερη ή χειρότερη κατάσταση. Στα συστήµατα διαχείρισης οδοστρωµάτων χρησιµοποιούνται δύο είδη δεικτών, οι µεµονωµένοι δείκτες κατάστασης που δείχνουν τις µεταβολές µιας συγκεκριµένης φθοράς και οι σύνθετοι δείκτες που δείχνουν τις µεταβολές της γενικής κατάστασης (συνάθροιση όλων των φθορών) οδοστρώµατος συναρτήσει των παραγόντων επιρροής. Παρακάτω θα περιγραφούν οι σηµαντικότεροι δείκτες φθοράς που αναφέρονται συχνά στη βιβλιογραφία και οι σχέσεις που συνδέουν τους δείκτες µεταξύ τους είκτης Άνεσης Οδήγησης (Riding Comfort Index, RCI) Ο είκτης Άνεσης Οδήγησης RCI, παλιότερα γνωστός ως Βαθµολόγηση Παρούσας Εξυπηρετικότητας PPR (Present Performance Rating), προέκυψε από την βαθµολόγηση της ποιότητας οδήγησης που έγινε εµπειρικά από οµάδα ειδικών για οδοστρώµατα διαφόρων καταστάσεων µε εξαγωγή του µέσου όρου των βαθµολογιών. Αναπτύχθηκε τα τέλη της δεκαετίας του '50 και τις αρχές της δεκαετίας του '60 στον Καναδά. Ο δείκτης RCI προτάθηκε µε σκοπό να περιγράψει την συνολική κατάσταση του οδοστρώµατος, κατέληξε ωστόσο να αποτελεί µέτρο της επιπεδότητας του οδοστρώµατος είκτης Επιπεδότητας Οδοστρώµατος Εκτίµηση Κόστους Οδήγησης (Roughness Index for Driving Expenditure, RIDE) Ο δείκτης αυτός έχει ως στόχο τη συσχέτιση του κόστους λειτουργίας του οχήµατος µε την κατάσταση της οδού από άποψη επιπεδότητας. Ο δείκτης µετρά την κατακόρυφη επιτάχυνση ενός οχήµατος λόγω των ανωµαλιών του οδοστρώµατος µε βάση την ανάλυση συχνοτήτων του προφίλ της οδού. Ο δείκτης µπορεί να µετρηθεί µε τη χρήση κατάλληλου επιταχυνσιόµετρου που στερεώνεται στο κινούµενο όχηµα. Ο δείκτης µετράται σε mm / sec και λαµβάνει τιµές µεταξύ 150 (περίπου) για οδόστρωµα χωρίς ανωµαλίες και 1500 (περίπου) για οδόστρωµα µε σηµαντικές ανωµαλίες είκτης PSR (Present Serviceability Rating) Αποτελεί την πρώτη προσέγγιση για την αξιολόγηση της οµαλότητας ενός οδοστρώµατος. Πρόκειται για ένα σύστηµα βαθµολογικής κατάταξης που βασίζεται στην ποιότητα κύλισης και λαµβάνει τιµές από 0 (ουσιαστικά αδιάβατο) έως 5 (άριστο). Η εξέλιξη του δείκτη αυτού οδήγησε στην υιοθέτηση του δείκτη PSI ο οποίος παρουσιάζεται αµέσως παρακάτω. 17

18 είκτης Παρούσας Λειτουργικότητας (Present Serviceability Index - PSI) Ο είκτης Παρούσας Λειτουργικότητας PSI συνδέει τη λειτουργική κατάσταση του οδοστρώµατος µε την ποιότητα οδήγησης. Πρόκειται για το αποτέλεσµα της εµπειρίας που προέκυψε στα πλαίσια του οδικού πειράµατος AASHO και βασίζεται σε αντικειµενικές µετρήσεις ορισµένων φυσικών παραµέτρων της επιφάνειας του οδοστρώµατος όπως η διακύµανση της εγκάρσιας κλίσης, οι ρηγµατώσεις (ποσοστό ρηγµατωµένης επιφάνειας), το βάθος αυλακώσεων και το ποσοστό επιφάνειας µε τοπικές επισκευές. Ο δείκτης παρούσας λειτουργικότητας (PSI) βασίζεται στη δοκιµή AASHO και στον δείκτη PSR. Αρχικά η βαθµολόγηση παρούσας λειτουργικότητας (Present Serviceability Rating PSR) ήταν µία υποκειµενική εκτίµηση της οδηγικής ποιότητας που πραγµατοποιούσε µία οµάδα παρατηρητών που οδηγούσε πραγµατικά πάνω στο οδόστρωµα που αξιολογούσε. εδοµένου, ότι αυτό το είδος της αξιολόγησης δεν ήταν πρακτικό σε µεγάλης κλίµακας οδικά δίκτυα, ήταν αναγκαία η µετάβαση σε ένα σύστηµα που δε θα χρειαζόταν η οµάδα των παρατηρητών. Για τη µετάβαση από το PSR στο PSI χρησιµοποιήθηκαν οι αξιολογήσεις µίας οµάδας παρατηρητών µεταξύ του 1958 έως 1960 σε διάφορα οδικά δίκτυα στις πολιτείες του Ιλινόις, Μινεσότα και Ιντιάνα για το PSR. Αυτές οι πληροφορίες στη συνέχεια συσχετίστηκαν µε διάφορες µετρήσεις όπως οι ρηγµατώσεις, η διακύµανση κλίσης κλπ. ώστε να αναπτυχθούν οι εξισώσεις PSI. Περαιτέρω, οι βαθµολογητές κλήθηκαν να εκφέρουν άποψη για το αν ένα συγκεκριµένο οδικό δίκτυο είχε αποδεκτή ή µη τιµή PSR ως κύρια εθνική οδό. Ο δείκτης PSI λαµβάνει τιµές από 0 5 όπου 0 είναι η χείριστη κατάσταση του οδοστρώµατος ενώ 5 η βέλτιστη. Η τιµή,5 συνήθως θεωρείται ως επίπεδο προειδοποίησης για αποκατάσταση του οδοστρώµατος. Όταν ο δείκτης έχει τιµή µικρότερη του τότε το οδόστρωµα θεωρείται ότι βρίσκεται σε κακή κατάσταση και απαιτείται άµεση αποκατάστασή του. Στις ΗΠΑ, η τιµή του PSI για νέα οδοστρώµατα πρέπει να έχει τιµή που κυµαίνεται από 4, έως 4,7, ανάλογα µε την ποιότητα κατασκευής. Ο δείκτης PSI µπορεί να υπολογιστεί για εύκαµπτα οδοστρώµατα από την παρακάτω εξίσωση : ( ) ( ) 1/ PSI = 5, 03 1, 91Log 1+ SV 0, 01 C+ P 1,38RD Όπου: SV: είναι η µέση τιµή διακύµανσης της εγκάρσιας κλίσης και στα δύο ίχνη των τροχών, RD: είναι το µέσο βάθος αυλάκωσης (σε in) µετρούµενο και στα δύο ίχνη των τροχών µε ράβδο µήκους 4 ft, C: είναι το ποσοστό της ρηγµατωµένης επιφάνειας (µήκος ρωγµών σε ft/1000 ft ) και P: είναι το ποσοστό των µπαλωµάτων ( ft /1000 ft ). Η επιπεδότητα, η οποία εκφράζεται από την µέση τιµή της κλίσης (SV), συµβάλλει πολύ ουσιαστικά στη τιµή του PSI (περίπου κατά 95%), ενώ µόνο το 5% συνδέεται µε την επιρροή άλλων παραγόντων όπως οι επιφανειακές φθορές. Ιδιαίτερα ασθενής είναι, για παράδειγµα, η συµβολή των αυλακώσεων όπως προέκυψε από συσχέτιση του δείκτη παρούσας λειτουργικότητας µε επί τόπου παρατηρήσεις σε δρόµους. 18

19 Στον παρακάτω πίνακα φαίνεται η Αξιολόγηση της κατάστασης των οδοστρωµάτων µε βάση τις τιµές του δείκτη PSI. Πίνακας 1.1 Αξιολόγηση Τιµών PSI ΚΑΤΑΣΤΑΣΗ ΠΕΡΙΓΡΑΦΗ PSI Πολύ καλή Μόνο καινούργια (ή σχεδόν καινούργια), άριστα κατασκευασµένα οδοστρώµατα µπορούν να θεωρηθούν τόσο λεία χωρίς φθορές (ρηγµατώσεις και παραµορφώσεις) για να ανήκουν σε αυτήν την κατηγορία. Τα περισσότερα οδοστρώµατα που κατασκευάζονται ή ανακατασκευάζονται στη διάρκεια του έτους στο οποίο λαµβάνονται τα δεδοµένα βαθµολογούνται σε φυσιολογικές συνθήκες ως πολύ καλά. 4-5 Καλή Μέτρια Κακή Πολύ κακή Τα οδοστρώµατα αυτής της κατηγορίας, αν και δεν είναι τόσο λεία στην επιφάνεια όπως αυτά που αναφέρθηκαν παραπάνω, προσφέρουν µιας πρώτης τάξεως οδηγική απόλαυση και παρουσιάζουν ελάχιστα, αν όχι κανένα, ορατά σηµάδια καταπόνησης στην επιφάνειά τους. Στα εύκαµπτα οδοστρώµατα ίσως υπάρξει µία ένδειξη αυλακώσεων και αραιές τυχαίες ρηγµατώσεις. Στα δύσκαµπτα οδοστρώµατα ίσως υπάρξει απαρχή ελαφρών ενδείξεων καταπόνησης όπως νεοσχηµατιζόµενες ελαφρές ρηγµατώσεις και αυλακώσεις. Η οδηγική άνεση σε τέτοιου είδους οδοστρώµατα είναι σαφώς κατώτερη συγκρινόµενη µε την άνεση σε καινούργια οδοστρώµατα και ίσως να είναι και µετά βίας ανεκτή κάτω από υψηλές ταχύτητες κίνησης. Οι επιφανειακές φθορές που εµφανίζονται στα εύκαµπτα οδοστρώµατα περιλαµβάνουν ρηγµατώσεις, αυλακώσεις και εκτενή µπαλώµατα. Στα δύσκαµπτα οδοστρώµατα αυτής της κατηγορίας παρουσιάζονται αστοχίες, ρηγµατώσεις και παραµορφώσεις. Η κατάσταση των οδοστρωµάτων αυτής της κατηγορίας έχει επιδεινωθεί σε τέτοιο βαθµό που επηρεάζει την ταχύτητα και την ελεύθερη ροή της κυκλοφορίας. Τα εύκαµπτα οδοστρώµατα παρουσιάζουν µεγάλης έκτασης λακκούβες και βαθιές ρηγµατώσεις. Η φθορά περιλαµβάνει αποκόλληση αδρανών, ρηγµατώσεις και αυλακώσεις που παρουσιάζονται σε ποσοστό µεγαλύτερο από 50% της επιφάνειας του οδοστρώµατος. Η φθορά στα δύσκαµπτα οδοστρώµατα περιλαµβάνει εκτεταµένης µορφής αστοχίες, ρηγµατώσεις και παραµορφώσεις. Τα οδοστρώµατα αυτής της κατηγορίας έχουν επιδεινωθεί σε µεγάλο βαθµό. Η διάσχισή τους είναι δυνατή µόνο για µικρές ταχύτητες κυκλοφορίας µε ιδιαίτερη οδηγική

20 δυσφορία για τον χρήστη της οδού. Μεγάλης έκτασης λακκούβες και βαθιές ρηγµατώσεις είναι έντονα ορατές. Η φθορά κυριαρχεί σε ποσοστό µεγαλύτερο από 75% της επιφάνειας του οδοστρώµατος είκτης Άνεσης Οδήγησης (Riding Comfort Index - RCI) Ο είκτης Άνεσης Οδήγησης RCI, παλιότερα γνωστός ως Βαθµολόγηση Παρούσας Εξυπηρετικότητας PPR (Present Performance Rating), προέκυψε από τη βαθµολόγηση της ποιότητας οδήγησης που έγινε εµπειρικά από οµάδα ειδικών για οδοστρώµατα διαφόρων καταστάσεων µε εξαγωγή του µέσου όρου των βαθµολογιών. Αναπτύχθηκε τα τέλη της δεκαετίας του '50 και τις αρχές της δεκαετίας του '60 στον Καναδά. Προκειµένου να προσδιοριστεί η ποιότητα οδήγησης πρώτο βήµα ήταν η ταξινόµηση των ανοµοιόµορφων τιµών από τα δεδοµένα που έχουν συλλεχθεί σε διαφορετικά φάσµατα. Ο δείκτης RCI προτάθηκε µε σκοπό να περιγράψει την συνολική κατάσταση του οδοστρώµατος, κατέληξε ωστόσο να αποτελεί µέτρο της επιπεδότητας του οδοστρώµατος. Ο δείκτης RCI είναι κυρίως συνάρτηση των ανοµοιοµορφιών αυτών και µετράται σε κλίµακα από 0-5, όπου το 0 δείχνει καλά κατασκευασµένο οδόστρωµα ενώ το 5 αντιπροσωπεύει εξαιρετικά τραχύ οδόστρωµα ιεθνής είκτης Τραχύτητας (International Roughness Index - IRI) Είναι φανερό ότι η επιπεδότητα µπορεί να εκτιµηθεί µε διάφορες µεθόδους και συσκευές µε αποτέλεσµα να καθίσταται δυσχερής η ενιαία έκφραση και σύγκριση των µετρήσεων επιπεδότητας σε διεθνές επίπεδο. Για τον λόγο αυτό η Παγκόσµια Τράπεζα χρηµατοδότησε στις αρχές της δεκαετίας του 1980 το πείραµα της διεθνούς οδικής τραχύτητας «IRRE». Αντικειµενικός σκοπός του πειράµατος και των µελετών ήταν η ανάπτυξη µίας απλής στην βαθµονόµηση κλίµακας η οποία να συσχετίσει όλα τα υφιστάµενα µέτρα της οµαλότητας. Η ερευνητική οµάδα έθεσε σε πειραµατική µελέτη τον διεθνή δείκτη τραχύτητας γνωστό και ως δείκτη ΙRΙ. Εκφράζει τον τρόπο µε τον οποίο όχηµα και οι επιβαίνοντες ανταποκρίνονται στην υφιστάµενη ποιότητα κύλισης µίας επιφάνειας οδοστρώµατος καθόσον αυτή αποτελεί έναν από τους κύριους παράγοντες που επηρεάζουν το επίπεδο εξυπηρέτησης µίας οδού. Ο δείκτης σταδιακά υιοθετήθηκε από τις περισσότερες πολιτείες των ΗΠΑ και από αρκετές χώρες σε όλο τον κόσµο. Η ποιότητα κύλισης µε βάση την οµαλότητα (έλλειψη ανωµαλιών) της επιφάνειας των οδοστρωµάτων δεν εκτιµάται πλέον υποκειµενικά (όπως στην περίπτωση του δείκτη PSR) άλλα η οµαλότητα υπολογίζεται αντικειµενικά και είναι δυνατό να καταγραφεί µέσω ειδικών οργάνων και να αξιολογηθεί µε αντικειµενικά κριτήρια. Επειδή σε ένα µη οµαλό οδόστρωµα υφίστανται έλλειψη άνεσης και ασφάλειας, ανάγκη για µείωση της ταχύτητας κύλισης, πιθανές φθορές του οχήµατος και αυξηµένο κόστος λειτουργίας του οχήµατος, γι αυτούς τους λόγους η χρησιµότητα του δείκτη IRI είναι προφανής διότι συµβάλει στην αξιόπιστη εκτίµηση της λειτουργικής κατάστασης του οδοστρώµατος και στην επίκαιρη λήψη µέτρων αποκατάστασης. Ο δείκτης καθορίστηκε µετά από µαθηµατική προσοµοίωση ενός απλού τροχού µε ελατήρια ανάρτησης γνωστών µηχανικών χαρακτηριστικών και βάρους ίσου µε ένα τυπικό άξονα επιβατικού οχήµατος, ο οποίος κινείται πάνω σε επιφάνειες 0

21 µε διαφορετικό βαθµό οµαλότητας µε ταχύτητα 80 Km/h. Το όχηµα αυτό χαρακτηρίζεται ως τέταρτο όχηµα και είναι αυτό ακριβώς που εκφράζει δηλαδή ένα µοντέλο του ¼ του οχήµατος. Το τεταρτο όχηµα είναι ένα θεωρητικό µοντέλο µε συγκεκριµένο τροχό, αναρτήσεις, αποσβεστήρες και µάζα. Το µοντέλο αυτό αποτελείται από έναν απλό τροχό που αντιπροσωπεύεται από ένα κατακόρυφο ελατήριο σταθεράς k t,την µάζα του άξονα που υποστηρίζεται από τον τροχό m u,ένα ελατήριο ανάρτησης σταθεράς ks και έναν αποσβεστήρα ανάρτησης σταθεράς C s και την µάζα M s του σώµατος που υποστηρίζεται από το παραπάνω ελατήριο ανάρτησης. Οι παράµετροι των παραπάνω σταθερών ονοµάζονται «παράµετροι χρυσού αµαξιού» και δίνονται στον παρακάτω πίνακα: Πίνακας 1. Παράµετροι «Χρυσού Αµαξιού» Παράµετρος Τιµή Μονάδα ks 63,3 S M s kt 653 S M s Cs 6 1 S M s mu 0,15 - M s Σχηµατικά το µοντέλο φαίνεται στο παρακάτω σχήµα. Σχήµα1.3 Προσοµοίωµα Αυτοκινήτου Ο δείκτης IRI µπορεί να εκφραστεί ως σειρά διαφορικών εξισώσεων οι οποίες προσοµοιώνουν τις κινήσεις του τεταρτο οχήµατος. Αποτελεί το άθροισµα των κινήσεων των µαζών, κανονικοποιηµένων µε το µήκος της κατατοµής. Μαθηµατικά εκφράζεται ως εξής: l : το µήκος της κατατοµής σε Km. / 1 l s s u IRI = Z Z dt l όπου: 0 1

22 S : η ταχύτητα της προσοµοίωσης (80 Km/h) Z : η παράγωγος ως προς τον χρόνο του ύψους του ελατηρίου της µάζας σώµατος s Z u : η παράγωγος ως προς τον χρόνο του ύψους του ελατηρίου της µάζας τροχού IRI: εκφράζεται σε m/km Ο δείκτης IRI λόγω του υπολογιστικού προσοµοιώµατος που τον υποστηρίζει εκφράζει την οµαλότητα του εκάστοτε οδοστρώµατος εξασφαλίζοντας τη δυνατότητα σύγκρισης των µετρήσεων από διαφορετικά συστήµατα αλλά και σε διαφορετικές χρονικές φάσεις λειτουργίας του οδοστρώµατος. Η πραγµατική τιµή του δείκτη προσδιορίζεται λαµβάνοντας υπόψη µία ακριβή καταγραφή της κατανοµής της επιφάνειας του οδοστρώµατος ο δε αλγόριθµος υπολογισµού είναι ιδιαίτερα σύνθετος. Όλες οι µετρήσεις του δείκτη IRI πραγµατοποιούνται µε την χρήση οχήµατος στο οποίο είναι ενσωµατωµένες κατάλληλες µετρητικές διατάξεις. Πραγµατοποιούνται δύο µετρήσεις σε κάθε µία από τις δύο τροχιές των τροχών και εξάγεται το αριστερό και δεξιό IRI. Ο µέσος όρος των δύο µετρήσεων αποτελεί την µέση τιµή που ταυτίζεται µε την έννοια του IRI. Ο δείκτης IRI µετράται συνήθως σε m/km και λαµβάνει τιµές από 0 0, όπου 0 είναι η βέλτιστη κατάσταση οδοστρώµατος. Η µέγιστη τιµή που µπορεί να πάρει συνήθως είναι γύρω στα 6 m/km καθώς για µεγαλύτερες τιµές των 8 m/km η κατάσταση του οδοστρώµατος έχει φτάσει ήδη σε πολύ χαµηλά επίπεδα και απαιτείται ανακατασκευή. Θεωρητικά όµως δεν υπάρχει άνω όριο της τιµής του IRI. Ο δείκτης ΙRΙ λαµβάνει πρακτικά τιµές από 0 έως 0 µονάδες για διάφορους τύπους οδοστρωµάτων και καταστάσεων των επιφανειών τους. Το µηδέν αντιστοιχεί σε απολύτως επίπεδη επιφάνεια, αυξάνεται έως 6 για ανεκτή επιπεδότητα, έως 1 για πολύ κακή επιπεδότητα µε το οδόστρωµα να έχει λακκούβες και µπαλώµατα και τέλος λαµβάνει τη µέγιστη τιµή του, το 0, που αντιστοιχεί σε πολύ κακή επιπεδότητα µη ασφαλτοστρωµένων οδοστρωµάτων. Αναλυτικότερα το εύρος των τιµών για διάφορους τύπους οδοστρωµάτων και καταστάσεις φαίνεται στα παρακάτω σχήµατα. Σχήµα 1.4 ιαβάθµιση και Περιγραφή Τιµών IRI. Ο IRI έχει γραµµική αναλογικότητα ως προς την οµαλότητα. Αυτό σηµαίνει ότι αν όλες οι µετρούµενες τιµές από τα όργανα αυξηθούν κατά το ίδιο ποσοστό, τότε η τιµή του αυξάνεται κατά το ίδιο ακριβώς ποσοστό. Η µονάδα µέτρησης του IRI ουσιαστικά είναι αδιάστατη αλλά πολλαπλασιάστηκε µε 1000 για να αντιπροσωπεύει m/km.

23 Στον παρακάτω πίνακα παρουσιάζονται τα όρια λειτουργικότητας του οδοστρώµατος µε βάση τις τιµές του δείκτη IRI. Κατάσταση Οδοστρώµατος Πολύ καλή Καλή Μέτρια Πίνακας 1.3 Όρια Λειτουργικότητας IRI Χαρακτηριστικά (άνεση οδήγησης και αντίκτυπο τραχύτητας) Λείο οδόστρωµα, καλές οδηγικές συνθήκες, όρια ταχύτητας τείνουν να ξεπεραστούν Γενικά λεία επιφάνεια, λίγες και µεµονωµένες ανωµαλίες που δεν επηρεάζουν την οδηγική άνεση, εύκολα υπερβαίνονται τα όρια ταχύτητας Οδόστρωµα σχετικά ανοµοιόµορφο, λίγες µικρές προσκρούσεις, ταχύτητα οδήγησης κοντά στα όρια ταχύτητας, προσοχή στην επιφάνεια του δρόµου κατά την οδήγηση ιεθνής είκτης Τραχύτητας IRI (m/km) 0,95 0,96,68,69 3,47 Κακή Οδόστρωµα ανοµοιόµορφο, αρκετές µικρές προσκρούσεις και µερικά µεγάλα χτυπήµατα, ταχύτητα οδήγησης ποικίλλει, απαραίτητα συγκέντρωση κατά την οδήγηση 3,48 5,05 Πολύ Κακή Οδόστρωµα πολύ ανοµοιόµορφο, αρκετές µικρές και µεγάλες προσκρούσεις, ταχύτητα οδήγησης κάτω από τα όρια ταχύτητας, άβολη οδήγηση, φθορές και ανωµαλίες οδοστρώµατος πρέπει να αποφευχθούν, απαραίτητα συγκέντρωση κατά την οδήγηση 5, Συσχέτιση των δεικτών κατάστασης του οδοστρώµατος ιάφορες ερευνητικές προσπάθειες έχουν οδηγήσει σε συσχετίσεις µεταξύ των δεικτών κατάστασης του οδοστρώµατος. Για τα εύκαµπτα οδοστρώµατα αναφέρονται οι παρακάτω σχέσεις, οι οποίες χρησιµοποιούνται ευρύτατα στην βιβλιογραφία : RCI = 8,5 7, 49 log ( IRI ) PSI = 5,0 e -0,18 IRI 0,35 IRI RIDE = 144, 78e PSI = PCI / 0 1 IRI = ln(0, PSI ) = 5,555ln(0, PSI ) 0,

24 1.4 Μοντέλα Πρόβλεψης της Λειτουργικής Κατάστασης των Οδοστρωµάτων Με την πάροδο του χρόνου η κατάσταση των οδοστρωµάτων, λόγω των φορτίων κυκλοφορίας και των µεταβολών του περιβάλλοντος (θερµοκρασία, υγρασία), επιδεινώνεται µέχρις ότου, µε το πέρας µίας χρονικής περιόδου, να καθίσταται αναγκαία η συντήρησή του. Μοντέλο επιδείνωσης οδοστρώµατος ή µοντέλο πρόβλεψης της συµπεριφοράς του, είναι µία µαθηµατική περιγραφή, που χρησιµοποιείται για να προβλέψει τη µελλοντική επιδείνωσή του και η οποία βασίζεται σε στοιχεία της υφιστάµενης κατάστασης του οδοστρώµατος, σε παράγοντες επιδείνωσης και στις επιπτώσεις της συντήρησης. Η σηµασία µίας ακριβούς πρόβλεψης είναι µεγάλη καθώς επηρεάζει πολλά από τα στοιχεία του συστήµατος διαχείρισης οδοστρωµάτων. Τα µοντέλα πρόβλεψης είναι αναπόσπαστα στοιχεία για πολλές διαδικασίες λήψης αποφάσεων καθώς είναι χρήσιµα για τις απαντήσεις του τι, που και πότε θα πραγµατοποιηθεί µία εργασία συντήρησης. ηλαδή, τα µοντέλα πρόβλεψης βοηθούν να καθοριστεί ο τύπος της συντήρησης, το ποσοστό του οδικού δικτύου που χρειάζεται συντήρηση και η χρονική στιγµή της συντήρησης Είδη µοντέλων πρόβλεψης Τα µοντέλα πρόβλεψης µπορούν να διακριθούν σε τέσσερις (4) κατηγορίες τα ντετερµινιστικά, τα πιθανοτικά, τα υποκειµενικά και τα µοντέλα «ευφυών» µεθοδολογιών. Μία άλλη συνήθης κατηγοριοποίησή τους είναι σε εµπειρικά, µηχανιστικά και εµπειρικά-µηχανιστικά Ντετερµινιστικά µοντέλα Τα ντετερµινιστικά µοντέλα εξάγουν µία συγκεκριµένη τιµή για τις παραµέτρους συµπεριφοράς του οδοστρώµατος µε τη χρήση µαθηµατικής συνάρτησης. Οι µορφές τους µπορεί να είναι γραµµικές ή µη γραµµικές εξισώσεις και συνήθως εξάγονται µε τη χρήση στατιστικών αναλύσεων των ανεξάρτητων και εξαρτηµένων µεταβλητών. Τα ντετερµινιστικά µοντέλα πολλές φορές αδυνατούν να ενσωµατώσουν αβεβαιότητες της συµπεριφοράς του οδοστρώµατος που προκύπτουν από ραγδαίες µεταβολές στον κυκλοφοριακό φόρτο ή σε περιβαλλοντικές επιβαρύνσεις. Η χρήση τους διευκολύνει σε µία πρώτη εκτίµηση της εξέλιξης της κατάστασης υπό κατά το δυνατόν σταθερές συνθήκες Πιθανοτικά µοντέλα Στα πιθανοτικά µοντέλα, η µελλοντική κατάσταση του οδοστρώµατος είναι τυχαία εξαρτηµένη µεταβλητή και η τιµή της τελευταίας καθορίζεται από µία συνάρτηση πιθανότητας. Προβλέπουν µία κατανοµή για τη ζωή του οδοστρώµατος, για το επίπεδο καταπόνησής του αλλά και για άλλες µετρήσεις της κατάστασής του. Περιλαµβάνουν τα Μαρκοβιανά και ηµιµαρκοβιανά µοντέλα. 4

25 Υποκειµενικά µοντέλα Τα µοντέλα αυτά προκύπτουν από την τυποποίηση της εµπειρίας των ειδικών όσον αφορά στη διαδικασία φθοράς των οδοστρωµάτων. Είναι µοντέλα που αναπτύσσονται σε περιπτώσεις έλλειψης στατιστικών δεδοµένων σαν ύστατη λύση ανάγκης. Τα µοντέλα αυτά όµως δεν µπορούν να ανταποκριθούν στις απαιτήσεις ενός συστήµατος διαχείρισης οδοστρωµάτων παρά µόνο ως βάση ανάπτυξης πιο προηγµένων µοντέλων έπειτα από συλλογή δεδοµένων από το οδικό δίκτυο Μοντέλα «ευφυών» µεθοδολογιών Τα µοντέλα «ευφυών» µεθοδολογιών αποτελούν έναν νέο τοµέα εφαρµογών στην πρόβλεψη φθορών οδοστρωµάτων. Χαρακτηριστικά µοντέλα σε αυτή την κατηγορία είναι οι γενετικοί αλγόριθµοι και τα µοντέλο τεχνητών νευρωνικών δικτύων Εµπειρικά µοντέλα Στα πρότυπα αυτά η εξαρτηµένη µεταβλητή είναι κάποιος δείκτης της συµπεριφοράς του οδοστρώµατος. Βασίζονται σε παρατηρήσεις ή µετρήσεις των χαρακτηριστικών των οδοστρωµάτων. Χρησιµοποιούνται υποκειµενικοί δείκτες κατάστασης των οδοστρωµάτων όπως ποιότητα κύλισης, εξυπηρετικότητα καθώς και στατιστικοί δείκτες. Αυτοί οι δείκτες συµπεριφοράς του οδοστρώµατος συσχετίζονται µε µία ή περισσότερες ανεξάρτητες µεταβλητές όπως δοµική αντοχή, φορτία κυκλοφορίας και περιβαλλοντικές συνθήκες Μηχανιστικά µοντέλα Τα πρότυπα αυτά βασίζονται στη συµπεριφορά στη συµπεριφορά των υλικών κατασκευής κάτω από τη συνδυασµένη επίδραση των φορτίων κυκλοφορίας και του περιβάλλοντος. Τα µοντέλα των υλικών που χρησιµοποιούνται µέχρι τώρα είναι απλοποιηµένα και αντιπροσωπεύουν τη συµπεριφορά τους µόνο κάτω από περιορισµένες συνθήκες. Αν και έχουν γίνει πολλές προσπάθειες προς αυτήν την κατεύθυνση δεν έχει αναπτυχθεί ένα εµπεριστατωµένο και αξιόπιστο µηχανιστικό µοντέλο, και λόγω της πολυπλοκότητας της διαδικασίας επιδείνωσης των οδοστρωµάτων, αυτή η προσέγγιση φαίνεται προς το παρόν δύσκολη. 1.5 Μοντέλα πρόβλεψης - Επιδείνωσης Για τη δηµιουργία ενός µοντέλου πρόβλεψης - επιδείνωσης είναι απαραίτητη η ποσοτικοποίηση των παραγόντων που επηρεάζουν την κατάσταση των οδοστρωµάτων. Οι παράγοντες αυτοί είναι περιβαλλοντικοί, κυκλοφοριακοί και δοµικοί. Οι περιβαλλοντικοί παράγοντες δύναται να είναι ο αριθµός των κύκλων ψύξης/ζέσης, η θερµοκρασία, η υγρασία, η βροχόπτωση, το βάθος του υδροφόρου ορίζοντα. Οι κυκλοφοριακοί παράγοντες συνήθως περιλαµβάνουν τη µέση ετήσια ηµερήσια κυκλοφορία οχηµάτων ή τον ισοδύναµο αριθµό µονοαξονικών φορτίων. Οι δοµικοί παράγοντες µπορεί να είναι ο τύπος του οδοστρώµατος, η αντοχή του, το πάχος του, το υλικό του υπεδάφους του. 5

26 Παρακάτω περιγράφονται ενδεικτικά κάποια από τα µοντέλα πρόβλεψης που έχουν αναπτυχθεί στις διάφορες µελέτες AASHTO pavement performance model Αυτό το µοντέλο επιδείνωσης είναι από τα πιο γνωστά µοντέλα φθοράς και χρησιµοποιείται ευρύτατα στη Βόρεια Αµερική. Βασίζεται σε συγκεκριµένες φθορές, εξαρτάται από τα κυκλοφοριακά φορτία και δείχνει την επιδείνωση του οδοστρώµατος συναρτήσει του PSI. Οι εξισώσεις που περιγράφουν το µοντέλο AASHTO είναι: PSI = 5,10 1,91Log 1+ SV 0, 01C 0, 0014R C= 1600N SN SN R= 4,98Y SN N 0,166 0,5 0, SV = 68, 5 N + 1,83 p Log p = 9,36Log SN+ 1 O, 0 ( ) ( ) a= 0, a ( SN+ 1) 5,19 ( ) 1/ όπου: PSI = είκτης παρούσας λειτουργικότητας SV = µέση τιµή διακύµανσης εγκάρσιας κλίσης C = συνολική ρηγµατωµένη περιοχή (m/km/lane) R = βάθος αυλάκωσης (mm) Ν = κυκλοφοριακό φορτίο σε ισοδύναµα µονοαξονικά φορτία 80 kn (million) SN = δοµικός αριθµός Υ = ηλικία οδοστρώµατος 1.5. NJDOT model Το µοντέλο αυτό αναπτύχθηκε από το New Jersey Department of Transportation και χρησιµοποιεί το δείκτη ποιότητας οδήγησης RQI (ride quality index) για να προσδιορίσει τον αναµενόµενο χρόνο ζωής των οδοστρωµάτων. Είναι ίδιο για όλους τους τύπους και όλα τα οδοστρώµατα. Περιγράφεται από την εξίσωση: 0 t ( a bc ) RQI = RQI e όπου: RQI = δείκτης ποιότητας οδήγησης RQI0 = δείκτης ποιότητας οδήγησης για t = 0 t = ln(1/age) α = 33,6 b = 34,65 c = 1,0 Η σχέση του δείκτη ποιότητα οδήγησης RQI µε το διεθνή δείκτη τραχύτητας IRI είναι: RQI = 5 0,87 ( RTIRI ) e ( ) RTIRI = 0,951IRI LTPP + 3,884 όπου: 6

27 RTIRI = IRI µετρηµένο µε τη µηχανή RT3000 (in/mile) IRI(LTPP) = IRI µετρηµένο µε το πρόγραµµα LTPP (in/mile) FHWA model Η Federal Highway Administration πραγµατοποίησε µία σειρά πειραµάτων µέσω των οποίων προέκυψαν κάποιες εξισώσεις που περιγράφουν την επιδείνωση της κατάστασης για διάφορους τύπους οδοστρωµάτων. Όσον αφορά τα εύκαµπτα ασφαλτικά οδοστρώµατα η κατάσταση του οδοστρώµατος δίνεται από τον τύπο: ( ) 0 S t 0 IRI t = IRI e r T 1.6 Προβλέψεις και Συστήµατα ιαχείρισης Οδοστρωµάτων Η απαίτηση διαχείρισης της συντήρησης των οδοστρωµάτων οδήγησε στην ανάπτυξη των Συστηµάτων ιαχείρισης Οδοστρωµάτων (Σ..Ο). Γενικά ως Σύστηµα ιαχείρισης Οδοστρώµατος ορίζεται: «η διαδικασία χειρισµού µε συστηµατικό και συντονισµένο τρόπο των δραστηριοτήτων που εµπλέκονται στη διαχείριση των οδοστρωµάτων». Γίνεται αντιληπτό ότι µία τέτοια διαδικασία έχει βασικό στόχο την αξιολόγηση της λειτουργικής κατάστασης µίας οδού, την πρόβλεψη της εξέλιξης της φθοράς και της υποβάθµισης της εξυπηρετικότητας στην διάρκεια του χρόνου και την επιλογή του κατάλληλου χρονικού σηµείου επέµβασης για την αποκατάσταση της λειτουργικής κατάστασης της οδού σε ικανοποιητικό βαθµό. Ένα Σύστηµα ιαχείρισης Οδοστρωµάτων (Σ Ο) χαρακτηρίζεται από δύο επίπεδα αναφοράς: το επίπεδο δικτύου και το επίπεδο έργου. Στο επίπεδο δικτύου περιλαµβάνεται όλο το οδικό δίκτυο µιας ευρύτερης περιοχής ή ακόµη και της χώρας, ενώ στο επίπεδο έργου περιλαµβάνεται κάποιο συγκεκριµένο τµήµα ή τµήµατα του οδικού δικτύου. Τα σύγχρονα ολοκληρωµένα συστήµατα αναπτύσσονται κατά τέτοιο τρόπο ώστε να δύναται να λειτουργούν τόσο σε επίπεδο δικτύου όσο και σε επίπεδο έργου, ανάλογα µε τις απαιτήσεις Σύστηµα ιαχείρισης Οδοστρωµάτων σε Επίπεδο ικτύου (Network level) Η διαχείριση οδοστρωµάτων σε επίπεδο δικτύου αποσκοπεί στην εξαγωγή συµπερασµάτων σχετικά µε την συντήρηση του οδικού δικτυού. Ένα Σ Ο σε επίπεδου δικτύου: Απεικονίζει την παρούσα κατάσταση του δικτύου, Εµφανίζει το πώς συµπεριφέρθηκε το οδόστρωµα µέχρι σήµερα, Κάνει προβλέψεις για µελλοντικές ανάγκες, Εκτιµά τις επιπτώσεις των εναλλακτικών επενδύσεων κεφαλαίου στη µελλοντική συµπεριφορά του οδοστρώµατος και Αξιολογεί το πρόγραµµα δράσης συναρτήσει της πολιτικής που σχεδιάζεται να ακολουθηθεί. 7

28 1.6. Σύστηµα ιαχείρισης Οδοστρωµάτων σε Επίπεδο Έργου (Project level) Η διαχείριση οδοστρωµάτων σε επίπεδο έργου ασχολείται µε λεπτοµέρειες και τεχνικές που σχετίζονται µε ένα συγκεκριµένο µεγάλο τµήµα ή τµήµατα οδικού δικτύου. Οι αποφάσεις λαµβάνονται από ανώτερα διοικητικά στελέχη µε άριστη τεχνική κατάρτιση. Ένα Σ Ο σε επίπεδο έργου: Καθορίζει τις προτεραιότητες και αποφασίζει τη συντήρηση, ή την αποκατάσταση, ή την ανακατασκευή του συγκεκριµένου τµήµατος του οδοστρώµατος βάσει των κριτηρίων που δόθηκαν από τα ανώτερα διοικητικά στελέχη. Τροφοδοτεί την τράπεζα δεδοµένων µε στοιχεία συµπεριφοράς και λειτουργίας του οδοστρώµατος, τα οποία χρησιµοποιούνται σαν δεδοµένα στις δραστηριότητες διαστασιολόγησης, κατασκευής και συντήρησης του οδοστρώµατος. Εφαρµόζει κοστολογική ανάλυση συναρτήσει της ολικής διάρκειας ζωής του οδοστρώµατος ή της περιόδου ανάλυσης, λαµβάνοντας υπόψη όλες τις εναλλακτικές λύσεις. Λαµβάνει υπόψη του όλους τους βασικούς σχεδιαστικούς παράγοντες, όπως ποιότητα υπεδάφους, κυκλοφορικό φορτίο, µηχανικές ιδιότητες υλικών, κλιµατολογικές συνθήκες, κόστος υλικών κλπ, όταν πρόκειται να µελετήσει ένα νέο οδόστρωµα, Γενικότερα ασχολείται µε τη λεπτοµερή ανάλυση του οδοστρώµατος των επιλεγέντων τµηµάτων του δικτύου και περιλαµβάνει αναλυτική διάγνωση των φθορών που εµφανίσθηκαν, καθορίζει τις πιθανές αιτίες που τις προκάλεσαν και προτείνει εναλλακτικές διορθωτικές λύσεις. ίνει λεπτοµέρειες για το πώς και πότε θα πρέπει να γίνει επέµβαση βελτίωσης του οδοστρώµατος, χρησιµοποιώντας µεθοδολογίες κόστους-οφέλους Στάδια των Σ Ο Ένα Σύστηµα ιαχείρισης Οδοστρωµάτων ανεξαρτήτως επιπέδου αναφοράς συνίσταται από τα παρακάτω στάδια : Απογραφή χαρακτηριστικών του οδοστρώµατος Επισκόπηση της κατάστασης του οδοστρώµατος Βάση δεδοµένων Πρόβλεψη κατάστασης οδοστρώµατος Ανάλυση κατάστασης οδοστρώµατος Εκτίµηση της κατάστασης των οδοστρωµάτων Απογραφή Χαρακτηριστικών του Οδοστρώµατος Η απογραφή των χαρακτηριστικών του οδοστρώµατος έχει υποστηρικτικό και πληροφοριακό χαρακτήρα, πλην όµως είναι απολύτως αναγκαία στη διαχείριση των οδοστρωµάτων. Ως χαρακτηριστικά καταγράφονται: 8

29 Πληροφορίες θέσης, που περιλαµβάνει την αρχή και πέρας του κάθε διακεκριµένου τµήµατος του οδοστρώµατος. Η κατηγορία οδού. Στην περίπτωση επιθεώρησης µεγάλου τµήµατος οδοστρώµατος ή δικτύου, αυτό διακρίνεται σε κλάδους. Ο κλάδος είναι µια ευδιάκριτη αυτοτελή οντότητα όπως αυτοκινητόδροµος, κύρια ή δευτερεύουσα αρτηρία, διασταύρωση, ανισόπεδος κόµβος, κλπ. Οι διαστάσεις του δρόµου, µήκος, πλάτος και αριθµός λωρίδων. Ο τύπος του οδοστρώµατος και ο τύπος της επιφανειακής στρώσης Τα ιστορικά δεδοµένα της κατασκευής όπως: ηµεροµηνία αρχικής κατασκευής, ηµεροµηνίες σε περίπτωση ολοκλήρωσης σε στάδια, ιστορικό συντήρησης ή αποκατάστασης, υλικά που χρησιµοποιήθηκαν και κυρίως στην επιφανειακή στρώση, πάχη στρώσεων, ποιότητα-φέρουσα ικανότητα υλικού έδρασης, και ότι άλλο κρίνεται χρήσιµο. Ιστορικά δεδοµένα κυκλοφοριακού φόρτου Επισκόπηση της Κατάστασης του Οδοστρώµατος Η επισκόπηση της κατάστασης του οδοστρώµατος είναι ίσως η βασικότερη των εργασιών διότι από τα αποτελέσµατα της θα καθοριστούν οι τρέχουσες και οι µελλοντικές ανάγκες συντήρησης και αποκατάστασης του οδοστρώµατος. Με τα δεδοµένα της επισκόπησης αξιολογείται η κατάσταση του οδοστρώµατος, συναρτήσει δεικτών κατάστασης. Οι µέθοδοι επισκόπησης-αξιολόγησης µε τη χρήση µηχανηµάτων είναι περισσότερο αντικειµενικές και επαναληπτικές από ότι οι υποκειµενικές µέθοδοι οπτικής επισκόπησης-αξιολόγησης Βάση εδοµένων Οι πληροφορίες της απογραφής και της επισκόπησης της κατάστασης του οδοστρώµατος αποθηκεύονται σε βάση δεδοµένων έτσι ώστε να χρησιµοποιηθούν τόσο για την παραγωγή εκθέσεων και αξιολόγηση εναλλακτικών λύσεωνστρατηγικών αποκατάστασης όσο και για µελλοντικές παρόµοιες εργασίες. Επίσης µπορούν να αξιοποιηθούν σε ευρύτερα προγράµµατα διαχείρισης οδικών δικτύων. Επιπλέον η µορφή της βάσης δεδοµένων ποικίλει. Μπορεί να είναι πολύ απλή έως πολύ σύνθετη και εκτεταµένη. Σε κάθε περίπτωση θα πρέπει να είναι κατανοητή, αξιόπιστη και εύχρηστη. Ένα θεµελιώδες χαρακτηριστικό της βάσης δεδοµένων είναι το σύστηµα αναφοράς για την εισαγωγή, την ανάκληση και τον εντοπισµό των δεδοµένων. Για το σκοπό αυτό υπάρχουν διάφορες µέθοδοι, συνηθέστερες των οποίων είναι οι παρακάτω: η µέθοδος των χιλιοµετρικών αποστάσεων, ή η µέθοδος των χιλιοµετρικών αποστάσεων σε απόλυτες γεωγραφικές συντεταγµένες και η µέθοδος των αριθµηµένων κόµβων. Ένα άλλο βασικό και πολύ χρήσιµο στοιχείο είναι η απεικόνιση του περιεχοµένου µιας βάσης δεδοµένων. Αυτό γίνεται µε διάφορους τρόπους όπως: Με κατάλογο και πίνακες εκτύπωσης Με διαγράµµατα Με προφίλ της οδού Με χάρτη δικτύου 9

30 Τα δεδοµένα που καταχωρούνται στη βάση δεδοµένων διακρίνονται σε: Γενικά δεδοµένα: κωδικός και κατηγορία οδού, θέση οδού, σύνδεση µε υπάρχον γεωγραφικό σύστηµα πληροφοριών, κλιµατολογικές συνθήκες. Κατασκευαστικά δεδοµένα: γεωµετρικά και εδαφολογικά δεδοµένα, ιστορικό κατασκευής, τύπος και πάχος οδοστρώµατος, χαρακτηριστικά υλικών βάσης, υπόβασης και θεµελίωσης και χαρακτηριστικά αποχέτευσης/ αποστράγγισης. εδοµένα λειτουργικής κατάστασης οδοστρώµατος: ιστορικό κατάστασης οδοστρώµατος, διαµήκης επιπεδότητα (τροχοαυλακώσεις), εγκάρσια επιπεδότητα (οµαλότητα), ολισθηρότητα, επιφανειακή υφή, στεγανότητα, φέρουσα ικανότητα, επιφανειακές φθορές οδοστρώµατος όπως αποσυνθέσεις, αυλακώσεις, καθιζήσεις, ρυτιδώσεις, διογκώσεις, εµφάνιση λάκκων. εδοµένα κυκλοφορίας: κυκλοφοριακός φόρτος, σύνθεση οχηµάτων, µέσος χρόνος διαδροµής, καθυστερήσεις, ατυχήµατα. εδοµένα ανάλυσης κόστους-οφέλους: κόστη συντήρησης, αποκατάστασης, ανακατασκευής, χρόνου διαδροµής, λειτουργίας οχήµατος και κοινωνικό κόστος λόγω ατυχηµάτων, θορύβου και ατµοσφαιρικής ρύπανσης. Από τα δεδοµένα αυτά κάποια πρέπει να συλλεχθούν µία φορά στην αρχή ή µετά από σηµαντικές παρεµβάσεις στο οδόστρωµα (όπως τα γεωµετρικά χαρακτηριστικά οδού, είδος και πάχος οδοστρώµατος), ενώ κάποια άλλα πρέπει να συλλέγονται τακτικά και αφορούν σε παραµέτρους που µεταβάλλονται µε το χρόνο (φθορά οδοστρώµατος, κυκλοφοριακός φόρτος κ.λπ.) Οι συνιστώσες ενός Συστήµατος ιαχείρισης Οδοστρωµάτων είναι οι εξής: Έρευνες κατάστασης οδοστρωµάτων: περιλαµβάνουν µετρήσεις και συλλογή δεδοµένων συνήθως πεδίου ή σε εργαστήριο, καθώς και από συσσώρευση της γνώσης των ειδικών. Τα στοιχεία που συνήθως συλλέγονται είναι τα κατασκευαστικά, λειτουργικά, κυκλοφοριακά και η ανάλυση κόστους-ωφελειών. Βάση δεδοµένων µε όλες τις πληροφορίες για τα οδοστρώµατα: περιλαµβάνει και διαµορφώνει τα απαραίτητα στοιχεία για τα οδοστρώµατα ώστε να χρησιµοποιηθούν κατάλληλα. Σχεδιασµός ανάλυσης: περιλαµβάνει τους αλγόριθµους (α) βελτιστοποίησης κόστους-ωφελειών των εναλλακτικών τεχνικών συντήρησης για ένα καθορισµένο χρονικό διάστηµα ή (β) πρόβλεψης των µεταβολών κατάστασης του οδοστρώµατος µε τη χρήση µαθηµατικών µοντέλων που χρησιµοποιούνται για να µεταφραστούν τα δεδοµένα σε έναν κατανοητό και χρησιµοποιήσιµο τρόπο. Κριτήρια λήψης αποφάσεων: περιλαµβάνουν τους κανόνες, τις περισσότερες φορές περίπλοκης φύσης, που αναπτύσσονται για να βοηθήσουν τη διαχείριση να πάρει τις σωστές αποφάσεις για τη συντήρηση ή ανακατασκευή του δικτύου. ιαδικασίες εφαρµογής: περιλαµβάνουν τις µεθόδους για την εφαρµογή αποφάσεων διαχείρισης στα τµήµατα του δικτύου ή τα εναλλακτικά σχέδια µετά από επανάληψη της παραπάνω διαδικασίας Πρόβλεψη Κατάστασης Οδοστρώµατος Μοντέλα Πρόβλεψης Η πρόβλεψη της µελλοντικής κατάστασης του οδοστρώµατος είναι ίσως η «αχίλλειος πτέρνα» σε ένα σύστηµα-πρόγραµµα διαχείρισης οδοστρωµάτων. Για την πρόβλεψη της κατάστασης του οδοστρώµατος δεν υπάρχει ένα µοντέλο πρόβλεψης το οποίο θα µπορούσε να λειτουργήσει αξιόπιστα για όλες τις θέσεις και συνθήκες. Η 30

31 κατάσταση του οδοστρώµατος προσδιορίζεται από µια πλειάδα παραµέτρων-φθορών που η κάθε µία µεταβάλλεται µε τον χρόνο σχεδόν ανεξάρτητα από την άλλη. Στις παραµέτρους περιλαµβάνονται επιφανειακά χαρακτηριστικά όπως οµαλότητα, δοµικά χαρακτηριστικά κ.α Ανάλυση Κατάστασης Οδοστρώµατος Στο στάδιο αυτό γίνεται η επεξεργασία όλων των δεδοµένων και παρουσιάζεται αναλυτικά η υφιστάµενη καθώς και η µελλοντική κατάσταση του οδοστρώµατος. Η παρουσίαση γίνεται µε γραµµικά διαγράµµατα και πίνακες, για όλο το µήκος αναφοράς του έργου, σε επίπεδου δικτύου ή έργου. Επίσης, καθορίζονται εναλλακτικά σενάρια επέµβασης βασιζόµενα στην περιοδική συντήρηση της επιφανειακής στρώσης και στην ελαστικότητα των εργασιών αποκατάστασης ή/και ενίσχυσης του οδοστρώµατος. 31

32

33 ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ε ΟΜΕΝΑ.1 Εγχώρια εδοµένα Μετρήσεων είκτη IRI Για την αξιολόγηση των µοντέλων πρόβλεψης θα χρησιµοποιήσουµε τις µετρήσεις της τιµής του δείκτη IRI µίας οδικής απόστασης 5000 µέτρων. Οι µετρήσεις λαµβάνονται ανά δέκα (10) µέτρα οπότε συγκεντρώνονται συνολικά 500 µετρήσεις για το υπόψη οδικό τµήµα. Οι µετρήσεις έχουν επαναληφθεί για τα ίδια ακριβώς σηµεία του οδοστρώµατος ετήσια και για περίοδο επτά ετών. Στα παρακάτω διαγράµµατα φαίνονται οι επτά ετήσιες µετρήσεις για την περίοδο για το οδικό τµήµα µήκους 5000 µέτρων καθώς και ο µέσος όρος αυτών. ιάγραµµα.1 ιάγραµµα IRI ιάγραµµα IRI 7 Ετών Μήκους 5 Χλµ IRI Χιλιοµετρική Θέση (10µ) ιάγραµµα. ιάγραµµα Μέσου όρου Τιµών IRI ΜΕΣΟΣ ΟΡΟΣ IRI 7 ΕΤΩΝ IRI 3,5 3,5 1,5 1 0, Χιλιοµετρική Θέση (10µ) Μία πρώτη αξιολόγηση αποφαίνεται για την ικανοποιητική κατάσταση της οδού καθόσον µε εξαίρεση µερικές σηµειακές εξάρξεις η µεγάλη πλειοψηφία των µετρήσεων κυµαίνεται κάτω του 1,5 της κλίµακας του IRI. Ακόµα και οι πιο ακραίες τιµές δεν ξεπερνούν την τιµή 5,0. εν φαίνεται να έχει πραγµατοποιηθεί επέµβαση επιδιόρθωσης του οδοστρώµατος. 33

34 Η κατανοµή σε κλάσεις των µετρήσεων του δείκτη IRI για κάθε έτος φαίνεται στον παρακάτω πίνακα. Πίνακας.1 Κατανοµή Τιµών IRI Κλάση IRI007 IRI008 IRI009 IRI010 IRI011 IRI01 IRI , ,-0, ,4-0, ,6-0, ,8-1, ,0-1, ,-1, ,4-1, ,6-1, ,8-, ,0-, ,-, ,4-, ,6-, ,8-3, ,0-3, ,-3, ,4-3, ,6-3, ,8-4, ,0-4, ,-4, ,4-4, ,6-4, ,8-5, Η κατανοµή συχνοτήτων των τιµών των µετρήσεων για τα επτά έτη φαίνεται στο παρακάτω ιστόγραµµα µε εύρος κλάσεως 0, (5 κλάσεις). ιάγραµµα.3 ιάγραµµα Κατανοµής Τιµών IRI Κατανοµή Τιµών IRI , 0,6 1 1,4 1,8,,6 3 3,4 3,8 4, 4,6 5 Τιµές IRI

35 Η ετήσια µέση τιµή, η τυπική απόκλιση και ο συντελεστής µεταβλητότητας Cv των 500 µετρήσεων παρατηρήσεων του δείκτη IRI στα 500 οδικά σηµεία εµφανίζεται στον παρακάτω πίνακα: Μέση τιµή y του IRI n=500 Τυπική απόκλιση S του IRI n=500 Συντελεσ τής Μεταβλη τότητας Πίνακας.. Μέση τιµή IRI για το σύνολο των 500 µετρήσεων , , , , , , , , , , , , , , Αµερικανικά εδοµένα Μετρήσεων δείκτη IRI Για την αξιολόγηση των µοντέλων πρόβλεψης θα χρησιµοποιήσουµε επιπλέον τις µετρήσεις της τιµής του δείκτη IRI µίας οδικής απόστασης 9700 µέτρων στις ΗΠΑ. Οι µετρήσεις λαµβάνονται ανά πενήντα (50) µέτρα οπότε συγκεντρώνονται συνολικά 194 µετρήσεις για το υπόψη οδικό τµήµα. Οι µετρήσεις έχουν επαναληφθεί για τα ίδια ακριβώς σηµεία του οδοστρώµατος ετήσια και για περίοδο ένδεκα ετών. Στα παρακάτω διαγράµµατα φαίνονται οι ένδεκα ετήσιες µετρήσεις για την περίοδο , µε απουσία της µέτρησης του έτους 007, για το οδικό τµήµα µήκους 9700 µέτρων. Τα δεδοµένα είναι από 6 διαφορετικά τµήµατα ενός οδοστρώµατος συνολικού µήκους 3,45 χλµ. Το συνολικό τµήµα ελέγχου αποτελείται από τα οδικά τµήµατα στις χιλιοµετρικές θέσεις 11,55 13,5 χλµ., 14,9-15,15 χλµ., 19,9 1,65 χλµ.,,5 3,50 χλµ., 4,30 6,45 χλµ., 8,65 31,5 χλµ.. Το σύνολο του αριθµού των µετρήσεων είναι εκατόν ενενήντα τέσσερις (194) και η συνολική καλύπτουσα απόσταση τα 9,7 χλµ.. Οι µετρήσεις πραγµατοποιούνται ανά πενήντα (50) µέτρα. Στα παραπάνω οδικά τµήµατα υφίστανται µετρήσεις και για τα ένδεκα έτη παρατηρήσεις ενώ αφαιρέθηκαν όλες οι µετρήσεις οι οποίες δεν ανταποκρίνονταν στο σύνολο των ετών. ιάγραµµα.4 ιάγραµµα IRI ιάγραµµα IRI 11 Ετών IRI ,6 1 1,4 1,8 13, 0 0,4 0,8 1, 1,6,6 3 3,4 4,6 5 5,4 5,8 6, 8,8 9, 9, ,4 30,8 31, Χιλιοµετρική Θέση

36 Μία πρώτη αξιολόγηση αποφαίνεται για την καλή κατάσταση αρκετών τµηµάτων της οδού. Υφίστανται αρκετές εξάρξεις που ξεπερνούν την τιµή,5 αλλά η µεγάλη πλειοψηφία των µετρήσεων κυµαίνεται κάτω του,0 της κλίµακας του IRI. Ελάχιστες ακραίες τιµές ξεπερνούν την τιµή 5,0. Η αισθητά βελτιωµένη κατάσταση των µετρήσεων των ετών 013 και 014 οφείλεται προφανώς σε επέµβαση αποκατάστασης. Μετά το έτος 01 φαίνεται ξεκάθαρα ότι έχει πραγµατοποιηθεί επέµβαση επιδιόρθωσης και συντήρησης αυτού. Οι τιµές του IRI σε όλο το ελεγχόµενο µήκος βρίσκονται εµφανώς χαµηλότερα από τις τιµές όλων των προηγούµενων ετών. Η κατανοµή σε κλάσεις των µετρήσεων του δείκτη IRI για κάθε έτος φαίνεται στον παρακάτω πίνακα. Πίνακας.3 Κατανοµή Τιµών IRI Κλάση , ,-0, ,4-0, ,6-0, ,8-1, ,0-1, ,-1, ,4-1, ,6-1, ,8-, ,0-, ,-, ,4-, ,6-, ,8-3, ,0-3, ,-3, ,4-3, ,6-3, ,8-4, ,0-4, ,-4, ,4-4, ,6-4, ,8-5, ,0-5, ,-5, ,4-5, ,6-5, ,8-6, Η κατανοµή συχνοτήτων των τιµών των µετρήσεων για τα ένδεκα έτη φαίνεται στο παρακάτω ιστόγραµµα µε εύρος κλάσεως 0, (7 κλάσεις). 36

37 ιάγραµµα.5 ιάγραµµα Κατανοµής Τιµών IRI Κατανοµή Τιµών IRI , 0,6 1 1,4 1,8,,6 3 3,4 3,8 4, 4,6 5 5,4 Τιµές IRI Η ετήσια µέση τιµή, η τυπική απόκλιση και ο συντελεστής µεταβλητότητας Cv των 194 µετρήσεων παρατηρήσεων του δείκτη IRI στα 194 οδικά σηµεία εµφανίζεται στον παρακάτω πίνακα: Πίνακας.4 Μέση τιµή IRI για το σύνολο των 194 Ετήσιων µετρήσεων IRI Μέση τιµή n=500 y 1,686 1,7136 1,8007 1,7479 1,813 1,8898 1,677 1,6694 1,749 0,7109 0,7114 Τυπική απόκλισ η S του IRI n=500 Συντελε στής Μεταβλ ητότητα ς 0,5436 0,5114 0,5550 0,561 0,609 0,668 0,6637 0,6905 0,733 0,199 0,14 0,330 0,984 0,308 0,315 0,3409 0,3535 0,4077 0,4136 0,4150 0,3093 0,986 37

38

39 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΠΡΟΣΑΡΜΟΓΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΣΤΑ ΧΡΟΝΟΛΟΓΙΚΑ Ε ΟΜΕΝΑ 3.1 Θεωρητική Προσέγγιση Προκειµένου να πραγµατοποιήσουµε πρόβλεψη της µελλοντικής κατάστασης του οδοστρώµατος µε βάση του δείκτη IRI θα προσαρµόσουµε κατάλληλη µαθηµατική καµπύλη η οποία θα περιγράφει µε τον καλύτερο δυνατό τρόπο τα υφιστάµενα δεδοµένα και παράλληλα θα δύναται να προσφέρει αξιόπιστη πρόβλεψη σε επόµενη χρονική στιγµή µε βάση τις ήδη υπάρχουσες πληροφορίες. Για τον σκοπό αυτό θα χρησιµοποιηθούν διάφορα µαθηµατικά µοντέλα τα οποία χαρακτηρίζονται από τις αντίστοιχες µαθηµατικές συναρτήσεις. Όπως είναι φυσικό η λειτουργική κατάσταση του οδοστρώµατος αναµένεται να επιδεινώνεται µε την πάροδο του χρόνου. Αυτό όταν χρησιµοποιούµε το δείκτη IRI εµφανίζεται ως σταδιακή αύξηση της τιµής του στην διάρκεια του χρόνου. Η συστηµατική αυτή αύξηση των τιµών της χρονοσειράς αποκαλείται τάση (trend). Στην περίπτωση αυτή η κίνηση µεταβολή των τιµών στον χρόνο µπορεί να οριστεί µε την µεταβλητή του χρόνου tκαι να εκφραστεί ως συνάρτησή του ως εξής: Y = f t + e t ( ) t Όπου: f ( t ) : αποτελεί µία γραµµική ή µη γραµµική συνάρτηση του χρόνου t e : αποτελεί το τυχαίο σφάλµα για το οποίο ισχύει E( e ) 0 t ( ) ( ) t t e t = και Var e = E e = σ. Αυτό σηµαίνει ότι η χρονολογική σειρά κινείται γύρω από την τάση της. Όλα τα υποδείγµατα της παραπάνω µορφής ονοµάζονται υποδείγµατα τάσης και είναι αυτά τα οποία θα χρησιµοποιηθούν για την αξιολόγηση και πρόβλεψη της κατάστασης του οδοστρώµατος σε επόµενη χρονική στιγµή. Η απλούστερη µορφή τάσης είναι η γραµµική τα δε υποδείγµατα που περιγράφει ονοµάζονται υποδείγµατα γραµµικής τάσης. Σε αυτά οι τιµές περιγράφονται στον χρόνο από µία γραµµική συνάρτηση της µορφής : Yt = β0+ β1t+ et Όπου: β : αποτελεί την σταθερά της συνάρτησης 0 β 1: αποτελεί την παράµετρο της συνάρτησης η οποία εκφράζει την µεταβολή της συνάρτησης από την µία χρονική στιγµή t σε επόµενη t+ 1 µε την προϋπόθεση ότι = 0 θα ισχύει: e t Y = Y Y t t+ 1 t Στην περίπτωση που β 1> 0 η χρονολογική σειρά κατά µέσο όρο ακολουθεί ανοδική τάση ενώ εάν β 1< 0 η χρονολογική σειρά ακολουθεί καθοδική τάση και µειώνεται κατά µέσο όρο κατά την ποσότητα β 1 σε κάθε επόµενη χρονική στιγµή. Όµοια συµπεριφορά µε τα γραµµικά παρουσιάζουν και άλλες κατηγορίες υποδειγµάτων όπως είναι τα πολυωνυµικά της µορφής Y = β + β t+ β t + e και τα t 0 1 t 39

40 β1 µοντέλα αντίστροφης συνάρτησης της µορφής Yt = β0+ + e k t όπου k N. Αυτά t µπορούν να µετατραπούν µε κατάλληλο µετασχηµατισµό σε γραµµικά και δύνανται να µελετηθούν µε τον ίδιο τρόπο µε αυτά. Η προσαρµογή της συνάρτησης στα χρονολογικά δεδοµένα θα γίνει µε βάση την µέθοδο των ελαχίστων τετραγώνων Ordinary Least Squares (OLS). Η αξιολόγηση και η επιλογή του βέλτιστου µοντέλου κατά περίπτωση θα πραγµατοποιηθεί µε βάση τα κριτήρια της στατιστικής θεωρίας. Τα δεδοµένα της εκτιµώµενης χρονοσειράς προκειµένου να χαρακτηρίζουν µε τον καλύτερο δυνατό τρόπο την συνολική κατάσταση του δρόµου θα αντιπροσωπεύονται από την µέση τιµή του δείκτη IRI για το σύνολο των παρατηρήσεων που ελήφθησαν στο υπό εξέταση οδόστρωµα. 3. Προσαρµογή Γραµµικού Μοντέλου Η προσαρµογή µοντέλου της µορφής Yt = β0+ β1t+ et προσδιόρισε για την µέση τιµή των δειγµατικών δεδοµένων των τιµών των µετρήσεων του δείκτη IRI για κάθε ένα από τα επτά έτη τις παρακάτω τιµές και παραµέτρους: Μέση τιµή Πίνακας Μέτρα Θέσης και Απόκλισης Τυπική ιασπορά Συντελεστής Απόκλιση ( ιακύµανση) Μεταβλητότητας Cv Μέση τιµή y του IRI n=500 Πίνακας Μέση τιµή IRI για το σύνολο των 500 µετρήσεων Πίνακας Προβλεπόµενη Μέση τιµή IRI για το σύνολο των 500 µετρήσεων για επόµενα έτη +3 έτη +5 έτη +8 έτη +11 έτη +13 έτη +18 έτη +0 έτη Μέση τιµή y του IRI n= H γραµµική συνάρτηση που προσαρµόζεται καλύτερα στα χρονολογικά δεδοµένα µε βάση την βελτιστοποίηση των ελαχίστων τετραγώνων (OLS) είναι: f t =1, , x. Η γραφική παράσταση της παραπάνω συνάρτησης ( ) καθώς και το νέφος των προσδιοριστικών σηµείων φαίνεται στο παρακάτω σχήµα: 40

41 Σχήµαa Προσαρµογή Γραµµικής Συνάρτησης fhxl x ιαστήµατα Εµπιστοσύνης για την εκτιµώµενη Τιµή IRI Στον παρακάτω πίνακα φαίνεται το 95% διάστηµα εµπιστοσύνης για την µέση τιµή y των εκτιµηθεισών παρατηρήσεων του δείκτη IRI στο γραµµικό υπόδειγµα µε βάση την κατανοµή Student για πέντε (5) βαθµούς ελευθερίας. Η κρίσιµη τιµή λαµβάνει την τιµή t 5, 0,05 =,571. Το διάστηµα εµπιστοσύνης υπολογίζεται από την σχέση: ˆ S y t y yˆ + t n 5, 0,05 5, 0,05 S n Mean Prediction Confidence Interval Table Observed Predicted Standard Error Confidence Interval {1.0505, } { , } {1.0693,1.15} { , } { , } {1.0468,1.1164} { ,1.1907} Επιπλέον µε βάση τα διαστήµατα εµπιστοσύνης που προσδιορίζονται, καθορίζονται τα όρια µέσα στα οποία το υπόδειγµα προβλέπει να βρίσκονται οι τιµές των παρατηρήσεων. Στο παρακάτω σχήµα φαίνονται οι λωρίδες εµπιστοσύνης οι οποίες καθορίζουν τα παραπάνω όρια της πρόβλεψης δηµιουργώντας ένα φάσµα πρόβλεψης. Σχήµα Λωρίδες Εµπιστοσύνης των ιαστηµάτων εµπιστοσύνης 95%,75%,50%,15% 41

42 Προβλεπόµενη τιµή εδοµένων Παρατηρήσεων Η προβλεπόµενη τιµή µε βάση την ευθεία παλινδρόµησης για τις παρατηρούµενες (µετρηµένες) τιµές του IRI παρουσιάζονται στον παρακάτω πίνακα. Πίνακας Παρατηρούµενη και Προβλεπόµενη Τιµή IRI µε βάση την ευθεία παλινδρόµησης Τιµές/έτη Μετρήσιµη Παρατηρούµενη ( εδοµένα) Προβλεπόµενη Στο παρακάτω πίνακα φαίνονται τα σφάλµατα (κατάλοιπα) τα οποία προέκυψαν από το γραµµικό υπόδειγµα ως διαφορά της παρατηρούµενης και προβλεπόµενης τιµής σύµφωνα µε την σχέση: e= yˆ y Πίνακας Κατάλοιπα έτος e ιάγραµµα Καταλοίπων Ανάλυση της ιακύµανσης (ANOVA) Στο παρακάτω πίνακα παρουσιάζονται τα αποτελέσµατα που προέκυψαν από την ανάλυση της διακύµανσης Analysis Of Variance (ANOVΑ). Πίνακας ANOVA DF SS MS F Statistic P-Value x Error Total Παρατηρούµε ότι ισχύει SST=SSR+SSE αφού: = γεγονός το οποίο είναι φυσικό για το γραµµικό υπόδειγµα. Για την αξιολόγηση του µοντέλου της παλινδρόµησης θα πραγµατοποιηθεί µία σειρά από ελέγχους για να διαπιστωθεί η σηµαντικότητα των εκτιµώµενων παραµέτρων. Ο πρώτος έλεγχος αφορά την σηµαντικότητα της στατιστικής F που δίνεται από την σχέση: 4

43 MSR SSR / ( p 1) F = = MSE SSE / ( n p ) Όπου: p 1: οι βαθµοί ελευθερίας για την παλινδρόµηση n p : οι βαθµοί ελευθερίας για τα σφάλµατα και p : το πλήθος των εκτιµώµενων παραµέτρων συµπεριλαµβανοµένου και του σταθερού όρου. n : το πλήθος των παρατηρήσεων Η τιµή που υπολογίζεται από την παραπάνω σχέση συγκρίνεται µε την τιµή της κατανοµής F για επίπεδο σηµαντικότητας 5% και µε p 1 και n p βαθµούς ελευθερίας. Εάν η τιµή της εκτιµώµενης στατιστικής F υπερισχύει της τιµής της κατανοµής F > Fa, p 1, n p τότε δεχόµαστε την στατιστική σηµαντικότητα των σχέσεων µεταξύ των µεταβλητών και την συνολική καταλληλότητα του µοντέλου. Στην προκειµένη περίπτωση η τιµή της κατανοµής F 0,05,1,5 για έναν και πέντε βαθµούς ελευθερίας είναι F 0,05,1,5 =6,61 > F = κατά συνέπεια η σηµαντικότητα των σχέσεων των εκτιµηθέντων µεταβλητών και η γενική καταλληλότητα του µοντέλου δεν είναι ικανοποιητική. Παράλληλα η µεγάλη τιµή της στατιστικής p δείχνει την µη καταλληλότητα του µοντέλου. Ο δεύτερος έλεγχος αφορά την σηµαντικότητα των εκτιµηθησών παραµέτρων της γραµµικής συνάρτησης. Οι δύο παράµετροι της γραµµικής συνάρτησης, ο σταθερός όρος καθώς και ο ένας συντελεστής της παλινδρόµησης θα ελεγχθούν ως προς την σηµαντικότητά τους σε επίπεδο σηµαντικότητας 5%. Θα χρησιµοποιηθούν για τον σκοπό αυτό οι υπολογισθείσες τιµές της στατιστικής t από τον παρακάτω πίνακα. Στην περίπτωση που η τιµή της στατιστικής t κατά απόλυτη τιµή ξεπερνά την κρίσιµη τιµή για το δεδοµένο επίπεδο σηµαντικότητας 5% τότε επιβεβαιώνεται η σηµαντικότητα της εκτιµηθείσας παραµέτρου. Η κρίσιµη τιµή για επίπεδο σηµαντικότητας 5% υπολογίζεται από την κατανοµή Student και είναι για πέντε βαθµούς ελευθερίας t =,571, οπότε εάν t >,571 τότε η παράµετρος είναι στατιστικά σηµαντική. 5, 0,05 Στην προκειµένη περίπτωση για τον σταθερό όρο έχουµε t =47.573>,571 οπότε επιβεβαιώνεται η σηµαντικότητα του σταθερού όρου. Για τον συντελεστή της παλινδρόµησης έχουµε t = <,571 συνεπώς ο συντελεστής κλίσης της γραµµικής συνάρτησης δεν είναι στατιστικά σηµαντικός. Παράλληλα η µικρή και µεγάλη τιµή της στατιστικής p για τον σταθερό όρο και τον συντελεστή αντίστοιχα µαρτυρούν για ακόµα µία φορά την σηµαντικότητα του σταθερού και την µη σηµαντικότητα του συντελεστή. Πίνακας Εκτίµησης Παραµέτρων Estimate Standard Error t Statistic P-Value *10^-8 x Στον παρακάτω πίνακα φαίνεται το 95% διάστηµα εµπιστοσύνης για την τιµή των εκτιµηθέντων παραµέτρων του γραµµικού υποδείγµατος µε βάση την κατανοµή Student για πέντε (5) βαθµούς ελευθερίας. 43

44 Πίνακας ιαστήµατος Εµπιστοσύνης Παραµέτρων Estimate Standard Error Confidence Interval {1.0419, } x { , } Συντελεστής Προσδιορισµού R (Coefficient of Determination). Ο επόµενος έλεγχος αφορά τον υπολογισµό του συντελεστή προσδιορισµού R Αποτελεί έναν δείκτη για το πόσο ικανοποιητικό είναι το υπόδειγµα το οποίο έχουµε εκτιµήσει. Όσο µεγαλύτερη η τιµή του R προσεγγίζουσα την µονάδα, τόσο καλύτερη είναι η προσαρµογή της συνάρτησης του υποδείγµατος στα δειγµατικά δεδοµένα και κατά συνέπεια τόσο καλύτερη είναι η ερµηνευτική ικανότητα του µοντέλου. Αντίθετα όσο µικρότερη είναι η τιµή του τόσο µικρότερη είναι η προσαρµογή της επιλεγµένης συνάρτησης στα δεδοµένα και το υπόδειγµα δεν ερµηνεύει ικανοποιητικά τα δεδοµένα. Ο Συντελεστής Προσδιορισµού ορίζεται από την σχέση: SSR SST SSE SSE R = = = 1 SST SST SST Όπου: SSR= ( yˆi y) το άθροισµα τετραγώνων της παλινδρόµησης το οποίο αποτελεί i το µέρος της διασποράς των y i (του ολικού σφάλµατος) το οποίο ερµηνεύεται από την ανεξάρτητη µεταβλητή x µέσω της ευθείας των ελαχίστων τετραγώνων. i ( ˆ ) SSE= y y i i το άθροισµα τετραγώνων των σφαλµάτων (καταλοίπων) που προσδιορίζει το µέρος του σφάλµατος το οποίο δεν ερµηνεύει η ευθεία ελαχίστων τετραγώνων και παραµένει ανερµήνευτο. i ( ) SST = y y i το ολικό άθροισµα των τετραγώνων που προσδιορίζει το ολικό σφάλµα Στην περίπτωση των γραµµικών υποδειγµάτων καθώς και των υποδειγµάτων που µετατρέπονται σε γραµµικά ισχύει γενικά ότι: SST = SSR+ SSE Η τιµή του συντελεστή προσδιορισµού είναι: R = Η παραπάνω τιµή είναι ιδιαίτερη χαµηλή για γραµµικό υπόδειγµα. Επειδή πλησιάζει το µηδέν αυτό σηµαίνει ότι τα δεδοµένα βρίσκονται γενικά κατανεµηµένα εκατέρωθεν µίας ευθείας παράλληλης στον άξονα xx στην τιµή y= y = διότι για R =0 η ευθεία της παλινδρόµησης εκφυλίζεται σε ευθεία παράλληλη στον άξονα xx στο ύψος της µέσης τιµής των δειγµατικών δεδοµένων. Κανονικοποιηµένη Ρίζα Μέσου Τετραγωνικού Σφάλµατος (Normalized root mean square error) (NRMSE). Αποτελεί χρήσιµο µέτρο σφάλµατος της πρόβλεψης όπου η τετραγωνική ρίζα του µέσου τετραγωνικού σφάλµατος διαιρείται µε την δειγµατική τυπική απόκλιση των παρατηρήσεων της χρονοσειράς (των παρατηρήσεων που χρησιµοποιούνται για 44

45 τον σχηµατισµό των σφαλµάτων). Εάν οι τιµές του NRMSE βρίσκονται κοντά στο µηδέν τότε η πρόβλεψη µας είναι πολύ καλή. ίνεται από την σχέση : NRMSE= 1 n 1 n j= n ( y ˆ j y j) j= 1 j= n ( y j y j) j= 1 Η κανονικοποιηµένη ρίζα του Μέσου Τετραγωνικού Σφάλµατος για την περίπτωση της γραµµικής συνάρτησης λαµβάνει την τιµή NRMSE= η οποία απέχει από το µηδέν και προσεγγίζει την µονάδα γεγονός το οποίο αποτελεί ένδειξη για την µη καλή προβλεπτική ικανότητα του παραπάνω µοντέλου. 3.3 Προσαρµογή Πολυωνυµικών Μοντέλων Συχνά για την µελέτη και πρόβλεψη χρονολογικών σειρών χρησιµοποιούνται p f x = β + β x+ β x + + β x πολυώνυµα βαθµού p της µορφής: ( ) Αυτό πραγµατοποιείται στην περίπτωση που διαπιστώσουµε ότι η σχέση µεταξύ της εξαρτηµένης µεταβλητής και του χρόνου δεν είναι γραµµική. Τότε µία καµπύλη γραµµή µπορεί ενδεχοµένως να περιγράψει καλύτερα την τάση των πραγµατικών δεδοµένων της χρονολογικής σειράς. Πολλές πολυωνυµικές καµπύλες µπορούν να προσαρµοστούν και να περιγράψουν τα δεδοµένα ικανοποιητικά ιδιαίτερα όταν το πολυώνυµο είναι µεγάλου βαθµού. Στην περίπτωση αυτή η βραχυχρόνια πρόβλεψη είναι ιδιαίτερα ικανοποιητική. Όµως το µειονέκτηµα της µεθόδου γενικά είναι ότι οι µακροχρόνιες προβλέψεις µε πολυώνυµα ξεφεύγουν γρήγορα προς το συν ή πλην άπειρο όταν δίνουν πρόβλεψη έξω από το διάστηµα παρατήρησης για το οποίο έγινε η εκτίµηση των παραµέτρων τους. p Προσαρµογή Πολυωνυµικού Μοντέλου ου Βαθµού Η προσαρµογή µοντέλου της µορφής Yt = β0+ β1t+ βt + et προσδιόρισε για την µέση τιµή των δειγµατικών δεδοµένων των τιµών των µετρήσεων του δείκτη IRI για κάθε ένα από τα επτά έτη τις παρακάτω τιµές και παραµέτρους: Μέση τιµή Πίνακας Μέτρα Θέσης και Απόκλισης Τυπική ιασπορά Συντελεστής Απόκλιση ( ιακύµανση) Μεταβλητότητας Cv Μέση τιµή y του IRI n=500 Πίνακας Μέση τιµή IRI για το σύνολο των 500 µετρήσεων

46 Προβλεπόµενη Μέση τιµή IRI για το σύνολο των 500 µετρήσεων για επόµενα έτη +3 έτη +5 έτη +8 έτη +11 έτη +13 έτη +18 έτη +0 έτη Μέση τιµή y του IRI n= H πολυωνυµική συνάρτηση ου βαθµού που προσαρµόζεται καλύτερα στα χρονολογικά δεδοµένα µε βάση την βελτιστοποίηση των ελαχίστων τετραγώνων (OLS) είναι: f t = 1,1653-0, x+ 0, x. Η γραφική παράσταση της παραπάνω ( ) συνάρτησης καθώς και το νέφος των προσδιοριστικών σηµείων φαίνεται στο παρακάτω σχήµα: Σχήµα Προσαρµογή Πολυωνυµικής Συνάρτησης 1.5 fhxl x ιαστήµατα Εµπιστοσύνης για την εκτιµώµενη Τιµή IRI Στον παρακάτω πίνακα φαίνεται το 95% διάστηµα εµπιστοσύνης για την µέση τιµή y των εκτιµηθεισών παρατηρήσεων του δείκτη IRI στο γραµµικό υπόδειγµα µε βάση την κατανοµή Student για τέσσερις (4) βαθµούς ελευθερίας. Η κρίσιµη τιµή λαµβάνει την τιµή t 4, 0,05 =,776. Το διάστηµα εµπιστοσύνης υπολογίζεται από την σχέση: ˆ S y t y yˆ + t n 4, 0,05 4, 0,05 S n Mean Prediction Confidence Interval Table Observed Predicted Standard Error Confidence Interval { ,1.170} { ,1.134} { , } { , } {1.0433, } 46

47 { , } {1.0656,1.1571} Επιπλέον µε βάση τα διαστήµατα εµπιστοσύνης που προσδιορίζονται, καθορίζονται τα όρια µέσα στα οποία το υπόδειγµα προβλέπει να βρίσκονται οι τιµές των παρατηρήσεων. Στο παρακάτω σχήµα φαίνονται οι λωρίδες εµπιστοσύνης οι οποίες καθορίζουν τα παραπάνω όρια της πρόβλεψης δηµιουργώντας ένα φάσµα πρόβλεψης. Σχήµα Λωρίδες Εµπιστοσύνης των ιαστηµάτων εµπιστοσύνης 95%,75%,50%,15% Προβλεπόµενη τιµή εδοµένων Παρατηρήσεων Η προβλεπόµενη τιµή µε βάση την ευθεία παλινδρόµησης για τις παρατηρούµενες (µετρηµένες) τιµές του IRI παρουσιάζονται στον παρακάτω πίνακα. Πίνακας Παρατηρούµενη και Προβλεπόµενη Τιµή IRI µε βάση την ευθεία παλινδρόµησης Τιµές/έτη Μετρήσιµη- Παρατηρούµενη ( εδοµένα) Προβλεπόµενη Στο παρακάτω πίνακα φαίνονται τα σφάλµατα (κατάλοιπα) τα οποία προέκυψαν από το γραµµικό υπόδειγµα ως διαφορά της παρατηρούµενης και προβλεπόµενης τιµής σύµφωνα µε την σχέση: e= yˆ y Πίνακας Κατάλοιπα έτος e

48 Σχήµα ιάγραµµα Καταλοίπων Ανάλυση της ιακύµανσης (ANOVA) Στο παρακάτω πίνακα παρουσιάζονται τα αποτελέσµατα που προέκυψαν από την ανάλυση της διακύµανσης Analysis Of Variance (ANOVΑ). Σχήµα Πίνακας ANOVA DF SS MS F Statistic P-Value x x Error Total Παρατηρούµε ότι ισχύει SST=SSR+SSE αφού: =( ) γεγονός το οποίο είναι φυσικό για το πολυωνυµικό υπόδειγµα το οποίο µπορεί να µετατραπεί σε γραµµικό. Για την αξιολόγηση του µοντέλου της παλινδρόµησης θα πραγµατοποιηθεί µία σειρά από ελέγχους για να διαπιστωθεί η σηµαντικότητα των εκτιµώµενων παραµέτρων. Ο πρώτος έλεγχος αφορά την σηµαντικότητα της στατιστικής F που δίνεται από την σχέση: MSR SSR / ( p 1) F = = MSE SSE / ( n p ) Όπου: p 1: οι βαθµοί ελευθερίας για την παλινδρόµηση n p : οι βαθµοί ελευθερίας για τα σφάλµατα και p : το πλήθος των εκτιµώµενων παραµέτρων συµπεριλαµβανοµένου και του σταθερού όρου. n : το πλήθος των παρατηρήσεων Η τιµή που υπολογίζεται από την παραπάνω σχέση συγκρίνεται µε την τιµή της κατανοµής F για επίπεδο σηµαντικότητας 5% και µε p 1 και n p βαθµούς ελευθερίας. Εάν η τιµή της εκτιµώµενης στατιστικής F υπερισχύει της τιµής της κατανοµής F > Fa, p 1, n p τότε δεχόµαστε την στατιστική σηµαντικότητα των σχέσεων µεταξύ των µεταβλητών και την συνολική καταλληλότητα του µοντέλου. Στην προκειµένη περίπτωση η τιµή της κατανοµής F 0,05,,4 για δύο και τέσσερις βαθµούς ελευθερίας είναι F 0,05,,4 =6,94 < F =0, ,8699=7,

49 κατά συνέπεια η γενική καταλληλότητα του µοντέλου είναι ικανοποιητική. εν επιβεβαιώνεται η σηµαντικότητα του συντελεστή του τετραγωνικού όρου για τον οποίο ισχύει F 0,05,1,4 =7,71< F =6,8699 ούτε του άλλου συντελεστή της παλινδρόµησης x καθόσον F x = < F 0,05,1,4 =7,71. Εκτίµηση Παραµέτρων x Ο δεύτερος έλεγχος αφορά την σηµαντικότητα των εκτιµηθεισών παραµέτρων της γραµµικής συνάρτησης. Οι τρεις παράµετροι της πολυωνυµικής συνάρτησης, ο σταθερός όρος καθώς και οι δύο συντελεστές της παλινδρόµησης θα ελεγχθούν ως προς την σηµαντικότητά τους σε επίπεδο σηµαντικότητας 5%. Θα χρησιµοποιηθούν για τον σκοπό αυτό οι υπολογισθείσες τιµές της στατιστικής t από τον παρακάτω πίνακα. Στην περίπτωση που η τιµή της στατιστικής t κατά απόλυτη τιµή ξεπερνά την κρίσιµη τιµή για το δεδοµένο επίπεδο σηµαντικότητας 5% τότε επιβεβαιώνεται η σηµαντικότητα της εκτιµηθείσας παραµέτρου. Η κρίσιµη τιµή για επίπεδο σηµαντικότητας 5% υπολογίζεται από την κατανοµή Student και είναι για τέσσερις βαθµούς ελευθερίας t =,776 οπότε εάν t >, 776 τότε η παράµετρος είναι στατιστικά σηµαντική. 4, 0,05 Στην προκειµένη περίπτωση για τον σταθερό όρο έχουµε t =40.05>,776 οπότε επιβεβαιώνεται η σηµαντικότητα του σταθερού όρου. Για τον τετραγωνικό συντελεστή της παλινδρόµησης έχουµε t =.6093<,776 και για τον συντελεστή του x t =.7379<,776 συνεπώς και οι δύο συντελεστές της πολυωνυµικής συνάρτησης είναι οριακά στατιστικά µη σηµαντικοί. Πίνακας Εκτίµησης Παραµέτρων Estimate Standard Error t Statistic P-Value *10^-6 x x Στον παρακάτω πίνακα φαίνεται το 95% διάστηµα εµπιστοσύνης για την τιµή των εκτιµηθέντων παραµέτρων του γραµµικού υποδείγµατος µε βάση την κατανοµή Student για τέσσερις (4) βαθµούς ελευθερίας. Πίνακας ιαστήµατος Εµπιστοσύνης Παραµέτρων Estimate Standard Error Confidence Interval {1.0848,1.4577} x { , } x { , } Συντελεστής Προσδιορισµού R (Coefficient of Determination). Ο επόµενος έλεγχος αφορά τον υπολογισµό του συντελεστή προσδιορισµού R Η τιµή του συντελεστή προσδιορισµού είναι: R = 0,

50 Η παραπάνω τιµή είναι σχετικά σηµαντική για το υπόδειγµα. Η τιµή 0, προσδιορίζει ότι το 65,39% της µεταβλητότητας της εξαρτηµένης µεταβλητής y (δείκτης IRI) ερµηνεύεται από την παλινδρόµηση. Κανονικοποιηµένη Ρίζα Μέσου Τετραγωνικού Σφάλµατος (Normalized root mean square error) (NRMSE). Η κανονικοποιηµένη ρίζα του Μέσου Τετραγωνικού Σφάλµατος για την περίπτωση της γραµµικής συνάρτησης λαµβάνει την τιµή NRMSE= η οποία βέβαια µπορεί να απέχει από το µηδέν αλλά και δεν προσεγγίζει την µονάδα γεγονός το οποίο αποτελεί ένδειξη για την σχετικά καλή προβλεπτική ικανότητα του παραπάνω µοντέλου Προσαρµογή Πολυωνυµικού Μοντέλου 3 ου Βαθµού 3 Η προσαρµογή µοντέλου της µορφής Yt = β0+ β1t+ βt + β3t + et προσδιόρισε για την µέση τιµή των δειγµατικών δεδοµένων των τιµών των µετρήσεων του δείκτη IRI για κάθε ένα από τα επτά έτη τις παρακάτω τιµές και παραµέτρους: Μέση τιµή Πίνακας Μέτρα Θέσης και Απόκλισης Τυπική ιασπορά Συντελεστής Απόκλιση ( ιακύµανση) Μεταβλητότητας Cv Μέση τιµή y του IRI n=500 Πίνακας Μέση τιµή IRI για το σύνολο των 500 µετρήσεων Πίνακας Προβλεπόµενη Μέση τιµή IRI για το σύνολο των 500 µετρήσεων για επόµενα έτη +3 έτη +5 έτη +8 έτη +11 έτη +13 έτη +18 έτη +0 έτη Μέση τιµή y του IRI n= H πολυωνυµική συνάρτηση 3 ου βαθµού που προσαρµόζεται καλύτερα στα χρονολογικά δεδοµένα µε βάση την βελτιστοποίηση των ελαχίστων τετραγώνων (OLS) είναι: 3 f t = x x x. Η γραφική παράσταση της ( ) παραπάνω συνάρτησης καθώς και το νέφος των προσδιοριστικών σηµείων φαίνεται στο παρακάτω σχήµα: 50

51 Σχήµα Προσαρµογή Πολυωνυµικής Συνάρτησης 1.5 fhxl x ιαστήµατα Εµπιστοσύνης για την εκτιµώµενη Τιµή IRI Στον παρακάτω πίνακα φαίνεται το 95% διάστηµα εµπιστοσύνης για την µέση τιµή y των εκτιµηθεισών παρατηρήσεων του δείκτη IRI στο γραµµικό υπόδειγµα µε βάση την κατανοµή Student για τρεις (3) βαθµούς ελευθερίας. Η κρίσιµη τιµή λαµβάνει την τιµή t 3, 0,05 =3,18. Το διάστηµα εµπιστοσύνης υπολογίζεται από την σχέση: ˆ S y t y yˆ + t n 3, 0,05 3, 0,05 S n Mean Prediction Confidence Interval Table Observed Predicted Standard Error Confidence Interval {1.1157,1.1695} { , } {1.0461, } { ,1.0868} { , } { , } { , } Επιπλέον µε βάση τα διαστήµατα εµπιστοσύνης που προσδιορίζονται, καθορίζονται τα όρια µέσα στα οποία το υπόδειγµα προβλέπει να βρίσκονται οι τιµές των παρατηρήσεων. Στο παρακάτω σχήµα φαίνονται οι λωρίδες εµπιστοσύνης οι οποίες καθορίζουν τα παραπάνω όρια της πρόβλεψης δηµιουργώντας ένα φάσµα πρόβλεψης. Σχήµα Λωρίδες Εµπιστοσύνης των ιαστηµάτων εµπιστοσύνης 95%,75%,50%,15% 51

52 Προβλεπόµενη τιµή εδοµένων Παρατηρήσεων Η προβλεπόµενη τιµή µε βάση την ευθεία παλινδρόµησης για τις παρατηρούµενες (µετρηµένες) τιµές του IRI παρουσιάζονται στον παρακάτω πίνακα. Πίνακας Παρατηρούµενη και Προβλεπόµενη Τιµή IRI µε βάση την ευθεία παλινδρόµησης Τιµές/έτη Μετρήσιµη- Παρατηρούµενη ( εδοµένα) Προβλεπόµενη Στο παρακάτω πίνακα φαίνονται τα σφάλµατα (κατάλοιπα) τα οποία προέκυψαν από το γραµµικό υπόδειγµα ως διαφορά της παρατηρούµενης και προβλεπόµενης τιµής σύµφωνα µε την σχέση: e= yˆ y Πίνακας Κατάλοιπα έτος e Σχήµα ιάγραµµα Καταλοίπων Ανάλυση της ιακύµανσης (ANOVA) Στο παρακάτω πίνακα παρουσιάζονται τα αποτελέσµατα που προέκυψαν από την ανάλυση της διακύµανσης Analysis Of Variance (ANOVΑ). Πίνακας ANOVA DF SS MS F Statistic P-Value x x x Error Total Παρατηρούµε ότι ισχύει SST=SSR+SSE αφού: =( )

53 γεγονός το οποίο είναι φυσικό για το πολυωνυµικό υπόδειγµα το οποίο µπορεί να µετατραπεί σε γραµµικό. Για την αξιολόγηση του µοντέλου της παλινδρόµησης θα πραγµατοποιηθεί µία σειρά από ελέγχους για να διαπιστωθεί η σηµαντικότητα των εκτιµώµενων παραµέτρων. Ο πρώτος έλεγχος αφορά την σηµαντικότητα της στατιστικής F που δίνεται από την σχέση: MSR SSR / ( p 1) F = = MSE SSE / ( n p ) Όπου: p 1: οι βαθµοί ελευθερίας για την παλινδρόµηση n p : οι βαθµοί ελευθερίας για τα σφάλµατα και p : το πλήθος των εκτιµώµενων παραµέτρων συµπεριλαµβανοµένου και του σταθερού όρου. n : το πλήθος των παρατηρήσεων Η τιµή που υπολογίζεται από την παραπάνω σχέση συγκρίνεται µε την τιµή της κατανοµής F για επίπεδο σηµαντικότητας 5% και µε p 1 και n p βαθµούς ελευθερίας. Εάν η τιµή της εκτιµώµενης στατιστικής F υπερισχύει της τιµής της κατανοµής F > Fa, p 1, n p τότε δεχόµαστε την στατιστική σηµαντικότητα των σχέσεων µεταξύ των µεταβλητών και την συνολική καταλληλότητα του µοντέλου. Στην προκειµένη περίπτωση η τιµή της κατανοµής F 0,05,3,3 για τρεις και τρεις βαθµούς ελευθερίας είναι F 0,05,3,3 =9,8 < F = =64, Κατά συνέπεια επιβεβαιώνεται η σηµαντικότητα των σχέσεων των εκτιµηθέντων µεταβλητών ενώ η γενική καταλληλότητα του µοντέλου είναι ικανοποιητική. Οµοίως επιβεβαιώνεται η σηµαντικότητα του συντελεστή του τετραγωνικού όρου και του κυβικού συντελεστή για τους οποίους ισχύει F = > F x 0,05,1,3 =10,1 και F 3 = > F x 0,05,1,3 =10,1 αντίστοιχα. Αντίθετα δεν επιβεβαιώνεται η σηµαντικότητα του συντελεστή του x διότι η επιµέρους τιµή της F είναι F =6.8699< F 0,05,1,3 =10,1. x Εκτίµηση Παραµέτρων Ο δεύτερος έλεγχος αφορά την σηµαντικότητα των εκτιµηθεισών παραµέτρων της γραµµικής συνάρτησης. Οι τέσσερις παράµετροι της πολυωνυµικής συνάρτησης, ο σταθερός όρος καθώς και οι τρεις συντελεστές της παλινδρόµησης θα ελεγχθούν ως προς την σηµαντικότητά τους σε επίπεδο σηµαντικότητας 5%. Θα χρησιµοποιηθούν για τον σκοπό αυτό οι υπολογισθείσες τιµές της στατιστικής t από τον παρακάτω πίνακα. Στην περίπτωση που η τιµή της στατιστικής t κατά απόλυτη τιµή ξεπερνά την κρίσιµη τιµή για το δεδοµένο επίπεδο σηµαντικότητας 5% τότε επιβεβαιώνεται η σηµαντικότητα της εκτιµηθείσας παραµέτρου. Η κρίσιµη τιµή για επίπεδο σηµαντικότητας 5% υπολογίζεται από την κατανοµή Student και είναι για τρεις βαθµούς ελευθερίας t =3,18 οπότε εάν t > 3,18τότε η παράµετρος είναι στατιστικά σηµαντική. 3, 0,05 Στην προκειµένη περίπτωση για τον σταθερό όρο έχουµε t = >3,18 οπότε επιβεβαιώνεται η σηµαντικότητα του σταθερού όρου. 53

54 Για τον κυβικό συντελεστή της παλινδρόµησης έχουµε t = >3,18 για τον τετραγωνικό συντελεστή της παλινδρόµησης έχουµε t = >3,18 και για τον συντελεστή του x t = >3,18 συνεπώς και οι τρεις συντελεστές της πολυωνυµικής συνάρτησης είναι στατιστικά σηµαντικοί. Πίνακας Εκτίµησης Παραµέτρων Estimate Standard Error t Statistic P-Value x x x Στον παρακάτω πίνακα φαίνεται το 95% διάστηµα εµπιστοσύνης για την τιµή των εκτιµηθέντων παραµέτρων του γραµµικού υποδείγµατος µε βάση την κατανοµή Student για τρεις (3) βαθµούς ελευθερίας. Πίνακας ιαστήµατος Εµπιστοσύνης Παραµέτρων Estimate Standard Error Confidence Interval { ,1.315} x { , } x { , } 3 x { , } Συντελεστής Προσδιορισµού R (Coefficient of Determination). Ο επόµενος έλεγχος αφορά τον υπολογισµό του συντελεστή προσδιορισµού R Η τιµή του συντελεστή προσδιορισµού είναι: R = Η παραπάνω τιµή είναι πολύ µεγάλη και προσεγγίζει την µονάδα. Αυτό σηµαίνει ότι η προσαρµογή της συνάρτησης του υποδείγµατος στα δειγµατικά δεδοµένα είναι σχεδόν άριστη και κατά συνέπεια η ερµηνευτική ικανότητα του µοντέλου είναι πάρα πολύ µεγάλη. Η τιµή προσδιορίζει ότι το 95,54% της µεταβλητότητας της εξαρτηµένης µεταβλητής y (δείκτης IRI) ερµηνεύεται από την παλινδρόµηση. Κανονικοποιηµένη Ρίζα Μέσου Τετραγωνικού Σφάλµατος (Normalized root mean square error) (NRMSE). Η κανονικοποιηµένη ρίζα του Μέσου Τετραγωνικού Σφάλµατος για την περίπτωση της πολυωνυµικής συνάρτησης λαµβάνει την τιµή NRMSE= η οποία δεν απέχει ιδιαίτερα από το µηδέν και δεν προσεγγίζει την µονάδα γεγονός το οποίο αποτελεί ένδειξη για την σχετικά πολύ καλή προβλεπτική ικανότητα του παραπάνω µοντέλου. 54

55 3.3.3 Προσαρµογή Πολυωνυµικού Μοντέλου 4 ου Βαθµού 3 4 Η προσαρµογή µοντέλου της µορφής Yt = β0+ β1t+ βt + β3t + β4t + et προσδιόρισε για την µέση τιµή των δειγµατικών δεδοµένων των τιµών των µετρήσεων του δείκτη IRI για κάθε ένα από τα επτά έτη τις παρακάτω τιµές και παραµέτρους: Μέση τιµή Πίνακας Μέτρα Θέσης και Απόκλισης Τυπική ιασπορά Συντελεστής Απόκλιση ( ιακύµανση) Μεταβλητότητας Cv Μέση τιµή y του IRI n=500 Πίνακας Μέση τιµή IRI για το σύνολο των 500 µετρήσεων Πίνακας Προβλεπόµενη Μέση τιµή IRI για το σύνολο των 500 µετρήσεων για επόµενα έτη +3 έτη +5 έτη +8 έτη +11 έτη +13 έτη +18 έτη Μέση τιµή y του IRI n= H πολυωνυµική συνάρτηση 4 ου βαθµού που προσαρµόζεται καλύτερα στα χρονολογικά δεδοµένα µε βάση την βελτιστοποίηση των ελαχίστων τετραγώνων (OLS) είναι: 3 4 f t = x x x x. Η γραφική ( ) παράσταση της παραπάνω συνάρτησης καθώς και το νέφος των προσδιοριστικών σηµείων φαίνεται στο παρακάτω σχήµα: Σχήµα Προσαρµογή Πολυωνυµικής Συνάρτησης 1.5 fhxl x 55

56 ιαστήµατα Εµπιστοσύνης για την εκτιµώµενη Τιµή IRI Στον παρακάτω πίνακα φαίνεται το 95% διάστηµα εµπιστοσύνης για την µέση τιµή y των εκτιµηθεισών παρατηρήσεων του δείκτη IRI στο γραµµικό υπόδειγµα µε βάση την κατανοµή Student για δύο () βαθµούς ελευθερίας. Η κρίσιµη τιµή λαµβάνει την τιµή t, 0,05 =4,30. Το διάστηµα εµπιστοσύνης υπολογίζεται από την σχέση: ˆ S y t y yˆ + t n, 0,05, 0,05 S n Mean Prediction Confidence Interval Table Observed Predicted Standard Error Confidence Interval {1.168,1.1616} { ,1.0907} {1.0505,1.0768} {1.0594, } {1.0777,1.0993} { , } {1.0768, } Επιπλέον µε βάση τα διαστήµατα εµπιστοσύνης που προσδιορίζονται, καθορίζονται τα όρια µέσα στα οποία το υπόδειγµα προβλέπει να βρίσκονται οι τιµές των παρατηρήσεων. Στο παρακάτω σχήµα φαίνονται οι λωρίδες εµπιστοσύνης οι οποίες καθορίζουν τα παραπάνω όρια της πρόβλεψης δηµιουργώντας ένα φάσµα πρόβλεψης. Σχήµα Λωρίδες Εµπιστοσύνης των ιαστηµάτων εµπιστοσύνης 95%,75%,50%,15% Προβλεπόµενη τιµή εδοµένων Παρατηρήσεων Η προβλεπόµενη τιµή µε βάση την ευθεία παλινδρόµησης για τις παρατηρούµενες (µετρηµένες) τιµές του IRI παρουσιάζονται στον παρακάτω πίνακα. 56

57 Πίνακας Παρατηρούµενη και Προβλεπόµενη Τιµή IRI µε βάση την ευθεία παλινδρόµησης Τιµές/έτη Μετρήσιµη- Παρατηρούµενη ( εδοµένα) Προβλεπόµενη Στο παρακάτω πίνακα φαίνονται τα σφάλµατα (κατάλοιπα) τα οποία προέκυψαν από το γραµµικό υπόδειγµα ως διαφορά της παρατηρούµενης και προβλεπόµενης τιµής σύµφωνα µε την σχέση: e= yˆ y Πίνακας Κατάλοιπα έτος e Σχήµα ιάγραµµα Καταλοίπων Ανάλυση της ιακύµανσης (ANOVA) Στο παρακάτω πίνακα παρουσιάζονται τα αποτελέσµατα που προέκυψαν από την ανάλυση της διακύµανσης Analysis Of Variance (ANOVΑ). Σχήµα Πίνακας ANOVA DF SS MS F Statistic P-Value x x x x Error Total Παρατηρούµε ότι ισχύει SST=SSR+SSE αφού: =( ) γεγονός το οποίο είναι φυσικό για το πολυωνυµικό υπόδειγµα το οποίο µπορεί να µετατραπεί σε γραµµικό. 57

58 Για την αξιολόγηση του µοντέλου της παλινδρόµησης θα πραγµατοποιηθεί µία σειρά από ελέγχους για να διαπιστωθεί η σηµαντικότητα των εκτιµώµενων παραµέτρων. Ο πρώτος έλεγχος αφορά την σηµαντικότητα της στατιστικής F που δίνεται από την σχέση: MSR SSR / ( p 1) F = = MSE SSE / ( n p ) Όπου: p 1: οι βαθµοί ελευθερίας για την παλινδρόµηση n p : οι βαθµοί ελευθερίας για τα σφάλµατα και p : το πλήθος των εκτιµώµενων παραµέτρων συµπεριλαµβανοµένου και του σταθερού όρου. n : το πλήθος των παρατηρήσεων Η τιµή που υπολογίζεται από την παραπάνω σχέση συγκρίνεται µε την τιµή της κατανοµής F για επίπεδο σηµαντικότητας 5% και µε p 1 και n p βαθµούς ελευθερίας. Εάν η τιµή της εκτιµώµενης στατιστικής F υπερισχύει της τιµής της κατανοµής F > Fa, p 1, n p τότε δεχόµαστε την στατιστική σηµαντικότητα των σχέσεων µεταξύ των µεταβλητών και την συνολική καταλληλότητα του µοντέλου. Στην προκειµένη περίπτωση η τιµή της κατανοµής F 0,05,4, για τέσσερις και δύο βαθµούς ελευθερίας είναι: F =19, < F = =190, ,05,4, Κατά συνέπεια η γενική καταλληλότητα του µοντέλου είναι ικανοποιητική. Οµοίως επιβεβαιώνεται η σηµαντικότητα του συντελεστή του τετραγωνικού όρου και του κυβικού για τους οποίους ισχύει F = > F x 0,05,1, =18,5 και F 3 = x > F 0,05,1, =18,5 αντίστοιχα. Αντίθετα δεν επιβεβαιώνεται η σηµαντικότητα του 4 συντελεστή του x και του x διότι οι επιµέρους τιµές της F είναι F = < F 0,05,1, =18,5 και F 4 = < F 0,05,1, =18,5 αντίστοιχα. x Εκτίµηση Παραµέτρων x Ο δεύτερος έλεγχος αφορά την σηµαντικότητα των εκτιµηθεισών παραµέτρων της γραµµικής συνάρτησης. Οι πέντε παράµετροι της πολυωνυµικής συνάρτησης, ο σταθερός όρος καθώς και οι τέσσερις συντελεστές της παλινδρόµησης θα ελεγχθούν ως προς την σηµαντικότητά τους σε επίπεδο σηµαντικότητας 5%. Θα χρησιµοποιηθούν για τον σκοπό αυτό οι υπολογισθείσες τιµές της στατιστικής t από τον παρακάτω πίνακα. Στην περίπτωση που η τιµή της στατιστικής t κατά απόλυτη τιµή ξεπερνά την κρίσιµη τιµή για το δεδοµένο επίπεδο σηµαντικότητας 5% τότε επιβεβαιώνεται η σηµαντικότητα της εκτιµηθείσας παραµέτρου. Η κρίσιµη τιµή για επίπεδο σηµαντικότητας 5% υπολογίζεται από την κατανοµή Student και είναι για δύο βαθµούς ελευθερίας t =4,30 οπότε εάν t > 4,30τότε η παράµετρος είναι στατιστικά σηµαντική., 0,05 Στην προκειµένη περίπτωση για τον σταθερό όρο έχουµε t = >4,30 οπότε επιβεβαιώνεται η σηµαντικότητα του σταθερού όρου. 4 Για τον συντελεστή του x της παλινδρόµησης έχουµε t =.5654>4,30 για τον κυβικό συντελεστή της παλινδρόµησης έχουµε t =3.4181>4,30 για τον 58

59 τετραγωνικό συντελεστή της παλινδρόµησης έχουµε t =4.9739>4,30 και για τον συντελεστή του x t =5.931>4,30 συνεπώς οι τρεις από τους τέσσερις συντελεστές της πολυωνυµικής συνάρτησης είναι µη στατιστικά σηµαντικοί. Πίνακας Εκτίµησης Παραµέτρων Estimate Standard Error t Statistic P-Value x x x x Στον παρακάτω πίνακα φαίνεται το 95% διάστηµα εµπιστοσύνης για την τιµή των εκτιµηθέντων παραµέτρων του γραµµικού υποδείγµατος µε βάση την κατανοµή Student για δύο () βαθµούς ελευθερίας. Πίνακας ιαστήµατος Εµπιστοσύνης Παραµέτρων Estimate Standard Error Confidence Interval { ,1.4314} x { , } x { , } 3 x { , } 4 x { , } Συντελεστής Προσδιορισµού R (Coefficient of Determination). Ο επόµενος έλεγχος αφορά τον υπολογισµό του συντελεστή προσδιορισµού R Η τιµή του συντελεστή προσδιορισµού είναι: R = Η παραπάνω τιµή είναι πολύ µεγάλη και προσεγγίζει την µονάδα. Αυτό σηµαίνει ότι η προσαρµογή της συνάρτησης του υποδείγµατος στα δειγµατικά δεδοµένα είναι σχεδόν άριστη και κατά συνέπεια η ερµηνευτική ικανότητα του µοντέλου είναι πάρα πολύ µεγάλη. Η τιµή προσδιορίζει ότι το 98,96% της µεταβλητότητας της εξαρτηµένης µεταβλητής y (δείκτης IRI) ερµηνεύεται από την παλινδρόµηση. Κανονικοποιηµένη Ρίζα Μέσου Τετραγωνικού Σφάλµατος (Normalized root mean square error) (NRMSE). Η κανονικοποιηµένη ρίζα του Μέσου Τετραγωνικού Σφάλµατος για την περίπτωση της πολυωνυµικής συνάρτησης λαµβάνει την τιµή NRMSE= η οποία δεν απέχει ιδιαίτερα από το µηδέν και δεν προσεγγίζει την µονάδα γεγονός το οποίο αποτελεί ένδειξη για την σχετικά πολύ καλή προβλεπτική ικανότητα του παραπάνω µοντέλου. 59

60 3.4 Μεικτά Μοντέλα Στην συνέχεια µερικά «µικτά» µοντέλα θα χρησιµοποιηθούν για καλύτερη προβλεπτική και προσαρµοστική ικανότητα Προσαρµογή Μοντέλου Πολυωνύµου ου Βαθµού και Αντίστροφης Συνάρτησης 1 Η προσαρµογή µοντέλου της µορφής Yt = β0+ β1t + βt + et προσδιόρισε για την µέση τιµή των δειγµατικών δεδοµένων των τιµών των µετρήσεων του δείκτη IRI για κάθε ένα από τα επτά έτη τις παρακάτω τιµές και παραµέτρους: Μέση τιµή Πίνακας Μέτρα Θέσης και Απόκλισης Τυπική ιασπορά Συντελεστής Απόκλιση ( ιακύµανση) Μεταβλητότητας Cv Μέση τιµή y του IRI n=500 Πίνακας Μέση τιµή IRI για το σύνολο των 500 µετρήσεων Πίνακας Προβλεπόµενη Μέση τιµή IRI για το σύνολο των 500 µετρήσεων για επόµενα έτη +3 έτη +5 έτη +8 έτη +11 έτη +13 έτη +18 έτη +0 έτη Μέση τιµή y του IRI n= H «µικτή» αντίστροφη και πολυωνυµική συνάρτηση ου βαθµού που προσαρµόζεται καλύτερα στα χρονολογικά δεδοµένα µε βάση την βελτιστοποίηση των ελαχίστων τετραγώνων (OLS) είναι: f ( t ) = x. Η γραφική παράσταση της παραπάνω x συνάρτησης καθώς και το νέφος των προσδιοριστικών σηµείων φαίνεται στο παρακάτω σχήµα: 60

61 Σχήµα Προσαρµογή Πολυωνυµικής Συνάρτησης 1.5 fhxl x ιαστήµατα Εµπιστοσύνης για την εκτιµώµενη Τιµή IRI Στον παρακάτω πίνακα φαίνεται το 95% διάστηµα εµπιστοσύνης για την µέση τιµή y των εκτιµηθεισών παρατηρήσεων του δείκτη IRI στο γραµµικό υπόδειγµα µε βάση την κατανοµή Student για τέσσερις (4) βαθµούς ελευθερίας. Η κρίσιµη τιµή λαµβάνει την τιµή t 4, 0,05 =,776. Το διάστηµα εµπιστοσύνης υπολογίζεται από την σχέση: ˆ S ˆ S y t4, 0,05 y y+ t4, 0,05 n n Mean Prediction Confidence Interval Table Observed Predicted Standard Error Confidence Interval {1.1137, } {1.0684, } { , } { ,1.0896} { , } {1.0743, } {1.0847,1.1489} Επιπλέον µε βάση τα διαστήµατα εµπιστοσύνης που προσδιορίζονται, καθορίζονται τα όρια µέσα στα οποία το υπόδειγµα προβλέπει να βρίσκονται οι τιµές των παρατηρήσεων. Στο παρακάτω σχήµα φαίνονται οι λωρίδες εµπιστοσύνης οι οποίες καθορίζουν τα παραπάνω όρια της πρόβλεψης δηµιουργώντας ένα φάσµα πρόβλεψης. Σχήµα Λωρίδες Εµπιστοσύνης των ιαστηµάτων εµπιστοσύνης 95%,75%,50%,15% 61

62 Προβλεπόµενη τιµή εδοµένων Παρατηρήσεων Η προβλεπόµενη τιµή µε βάση την ευθεία παλινδρόµησης για τις παρατηρούµενες (µετρηµένες) τιµές του IRI παρουσιάζονται στον παρακάτω πίνακα. Πίνακας Παρατηρούµενη και Προβλεπόµενη Τιµή IRI µε βάση την ευθεία παλινδρόµησης Τιµές/έτη Μετρήσιµη- Παρατηρούµενη ( εδοµένα) Προβλεπόµενη Στο παρακάτω πίνακα φαίνονται τα σφάλµατα (κατάλοιπα) τα οποία προέκυψαν από το γραµµικό υπόδειγµα ως διαφορά της παρατηρούµενης και προβλεπόµενης τιµής σύµφωνα µε την σχέση: e= yˆ y Πίνακας Κατάλοιπα έτος e ιάγραµµα Καταλοίπων Ανάλυση της ιακύµανσης (ANOVA) Στο παρακάτω πίνακα παρουσιάζονται τα αποτελέσµατα που προέκυψαν από την ανάλυση της διακύµανσης Analysis Of Variance (ANOVΑ). Πίνακας ANOVA DF SS MS F Statistic P-Value x x Error Total Παρατηρούµε ότι ισχύει SST=SSR+SSE αφού: =( ) γεγονός το οποίο είναι φυσικό για το µικτό πολυωνυµικό υπόδειγµα το οποίο µπορεί να µετατραπεί σε γραµµικό. 6

63 Για την αξιολόγηση του µοντέλου της παλινδρόµησης θα πραγµατοποιηθεί µία σειρά από ελέγχους για να διαπιστωθεί η σηµαντικότητα των εκτιµώµενων παραµέτρων. Ο πρώτος έλεγχος αφορά την σηµαντικότητα της στατιστικής F που δίνεται από την σχέση: MSR SSR / ( p 1) F = = MSE SSE / ( n p ) Όπου: p 1: οι βαθµοί ελευθερίας για την παλινδρόµηση n p : οι βαθµοί ελευθερίας για τα σφάλµατα και p : το πλήθος των εκτιµώµενων παραµέτρων συµπεριλαµβανοµένου και του σταθερού όρου. n : το πλήθος των παρατηρήσεων Η τιµή που υπολογίζεται από την παραπάνω σχέση συγκρίνεται µε την τιµή της κατανοµής F για επίπεδο σηµαντικότητας 5% και µε p 1 και n p βαθµούς ελευθερίας. Εάν η τιµή της εκτιµώµενης στατιστικής F υπερισχύει της τιµής της κατανοµής F > Fa, p 1, n p τότε δεχόµαστε την στατιστική σηµαντικότητα των σχέσεων µεταξύ των µεταβλητών και την συνολική καταλληλότητα του µοντέλου. Στην προκειµένη περίπτωση η τιµή της κατανοµής F 0,05,,4 για δύο και τέσσερις βαθµούς ελευθερίας είναι: F =6,94 < F = = ,05,,4 Κατά συνέπεια η σηµαντικότητα των σχέσεων των εκτιµηθέντων µεταβλητών και η γενική καταλληλότητα του µοντέλου είναι ικανοποιητική. Οµοίως επιβεβαιώνεται η σηµαντικότητα του συντελεστή του τετραγωνικού όρου και του 1 x για τους οποίους ισχύει F = > x 0,05,1,4 F =.1> F 0,05,1,4 =7,71 αντίστοιχα. Εκτίµηση Παραµέτρων Ο δεύτερος F =7,71 και 1 x έλεγχος αφορά την σηµαντικότητα των εκτιµηθεισών παραµέτρων της γραµµικής συνάρτησης. Οι τρεις παράµετροι της µικτής πολυωνυµικής συνάρτησης, ο σταθερός όρος καθώς και οι δύο συντελεστές της παλινδρόµησης θα ελεγχθούν ως προς την σηµαντικότητά τους σε επίπεδο σηµαντικότητας 5%. Θα χρησιµοποιηθούν για τον σκοπό αυτό οι υπολογισθείσες τιµές της στατιστικής t από τον παρακάτω πίνακα. Στην περίπτωση που η τιµή της στατιστικής t κατά απόλυτη τιµή ξεπερνά την κρίσιµη τιµή για το δεδοµένο επίπεδο σηµαντικότητας 5% τότε επιβεβαιώνεται η σηµαντικότητα της εκτιµηθείσας παραµέτρου. Η κρίσιµη τιµή για επίπεδο σηµαντικότητας 5% υπολογίζεται από την κατανοµή Student και είναι για τέσσερις βαθµούς ελευθερίας t 4, 0,05 =,776, οπότε εάν t >, 776τότε η παράµετρος είναι στατιστικά σηµαντική. Στην προκειµένη περίπτωση για τον σταθερό όρο έχουµε t = >,776 οπότε επιβεβαιώνεται η σηµαντικότητα του σταθερού όρου. 63

64 Για τον τετραγωνικό συντελεστή της παλινδρόµησης έχουµε t = >,776 και για τον συντελεστή του 1 x t = >,776 συνεπώς και οι δύο συντελεστές της πολυωνυµικής συνάρτησης είναι στατιστικά σηµαντικοί. Πίνακας Εκτίµησης Παραµέτρων Estimate Standard Error t Statistic P-Value *10^ x x Στον παρακάτω πίνακα φαίνεται το 95% διάστηµα εµπιστοσύνης για την τιµή των εκτιµηθέντων παραµέτρων του γραµµικού υποδείγµατος µε βάση την κατανοµή Student για τέσσερις (4) βαθµούς ελευθερίας. Πίνακας ιαστήµατος Εµπιστοσύνης Παραµέτρων Estimate Standard Error Confidence Interval { ,1.0539} { ,0.179} x x { , } Συντελεστής Προσδιορισµού R (Coefficient of Determination). Ο επόµενος έλεγχος αφορά τον υπολογισµό του συντελεστή προσδιορισµού R Η τιµή του συντελεστή προσδιορισµού είναι: R = Η παραπάνω τιµή είναι πολύ µεγάλη και προσεγγίζει την µονάδα. Αυτό σηµαίνει ότι η προσαρµογή της συνάρτησης του υποδείγµατος στα δειγµατικά δεδοµένα είναι σχεδόν άριστη και κατά συνέπεια η ερµηνευτική ικανότητα του µοντέλου είναι πάρα πολύ µεγάλη. Η τιµή προσδιορίζει ότι το 91,30% της µεταβλητότητας της εξαρτηµένης µεταβλητής y (δείκτης IRI) ερµηνεύεται από την παλινδρόµηση. Κανονικοποιηµένη Ρίζα Μέσου Τετραγωνικού Σφάλµατος (Normalized root mean square error) (NRMSE). Η κανονικοποιηµένη ρίζα του Μέσου Τετραγωνικού Σφάλµατος για την περίπτωση της πολυωνυµικής συνάρτησης λαµβάνει την τιµή NRMSE= η οποία δεν απέχει ιδιαίτερα από το µηδέν και δεν προσεγγίζει την µονάδα γεγονός το οποίο αποτελεί ένδειξη για την σχετικά καλή προβλεπτική ικανότητα του παραπάνω µοντέλου. 64

65 3.4. Προσαρµογή Μοντέλου Πολυωνύµου 3 ου Βαθµού και Αντίστροφης Συνάρτησης 1 3 Η προσαρµογή µοντέλου της µορφής Yt = β0+ β1t + βt + et προσδιόρισε για την µέση τιµή των δειγµατικών δεδοµένων των τιµών των µετρήσεων του δείκτη IRI για κάθε ένα από τα επτά έτη τις παρακάτω τιµές και παραµέτρους: Μέση τιµή Πίνακας Μέτρα Θέσης και Απόκλισης Τυπική ιασπορά Συντελεστής Απόκλιση ( ιακύµανση) Μεταβλητότητας Cv Πίνακας Μέση τιµή IRI για το σύνολο των 500 µετρήσεων Μέση τιµή y του IRI n= Πίνακας Προβλεπόµενη Μέση τιµή IRI για το σύνολο των 500 µετρήσεων για επόµενα έτη +3 έτη +5 έτη +8 έτη +11 έτη +13 έτη +18 έτη +0 έτη Μέση τιµή y του IRI n= H «µικτή» αντίστροφη και πολυωνυµική συνάρτηση 3 ου βαθµού που προσαρµόζεται καλύτερα στα χρονολογικά δεδοµένα µε βάση την βελτιστοποίηση των ελαχίστων τετραγώνων (OLS) είναι: f ( t ) = x. Η γραφική παράσταση της παραπάνω x συνάρτησης καθώς και το νέφος των προσδιοριστικών σηµείων φαίνεται στο παρακάτω σχήµα: Σχήµα Προσαρµογή Πολυωνυµικής Συνάρτησης 1.5 fhxl x 65

66 ιαστήµατα Εµπιστοσύνης για την εκτιµώµενη Τιµή IRI Στον παρακάτω πίνακα φαίνεται το 95% διάστηµα εµπιστοσύνης για την µέση τιµή y των εκτιµηθεισών παρατηρήσεων του δείκτη IRI στο γραµµικό υπόδειγµα µε βάση την κατανοµή Student για τέσσερις (4) βαθµούς ελευθερίας. Η κρίσιµη τιµή λαµβάνει την τιµή t 4, 0,05 =,776. Το διάστηµα εµπιστοσύνης υπολογίζεται από την σχέση: ˆ S y t y yˆ + t n 4, 0,05 4, 0,05 S n Mean Prediction Confidence Interval Table Observed Predicted Standard Error Confidence Interval {1.1061, } { ,1.1045} { , } {1.051,1.0865} {1.0594,1.0891} { ,1.1016} { ,1.1307} Επιπλέον µε βάση τα διαστήµατα εµπιστοσύνης που προσδιορίζονται, καθορίζονται τα όρια µέσα στα οποία το υπόδειγµα προβλέπει να βρίσκονται οι τιµές των παρατηρήσεων. Στο παρακάτω σχήµα φαίνονται οι λωρίδες εµπιστοσύνης οι οποίες καθορίζουν τα παραπάνω όρια της πρόβλεψης δηµιουργώντας ένα φάσµα πρόβλεψης. Σχήµα Λωρίδες Εµπιστοσύνης των ιαστηµάτων εµπιστοσύνης 95%,75%,50%,15% Προβλεπόµενη τιµή εδοµένων Παρατηρήσεων Η προβλεπόµενη τιµή µε βάση την ευθεία παλινδρόµησης για τις παρατηρούµενες (µετρηµένες) τιµές του IRI παρουσιάζονται στον παρακάτω πίνακα. 66

67 Πίνακας Παρατηρούµενη και Προβλεπόµενη Τιµή IRI µε βάση την ευθεία παλινδρόµησης Τιµές/έτη Μετρήσιµη- Παρατηρούµενη ( εδοµένα) Προβλεπόµενη Στο παρακάτω πίνακα φαίνονται τα σφάλµατα (κατάλοιπα) τα οποία προέκυψαν από το γραµµικό υπόδειγµα ως διαφορά της παρατηρούµενης και προβλεπόµενης τιµής σύµφωνα µε την σχέση: e= yˆ y Πίνακας Κατάλοιπα έτος e ιάγραµµα Καταλοίπων Ανάλυση της ιακύµανσης (ANOVA) Στο παρακάτω πίνακα παρουσιάζονται τα αποτελέσµατα που προέκυψαν από την ανάλυση της διακύµανσης Analysis Of Variance (ANOVΑ). Πίνακας ANOVA DF SS MS F Statistic P-Value x 3 x Error Total Παρατηρούµε ότι ισχύει SST=SSR+SSE αφού: =( ) γεγονός το οποίο είναι φυσικό για το µικτό πολυωνυµικό υπόδειγµα το οποίο µπορεί να µετατραπεί σε γραµµικό. Για την αξιολόγηση του µοντέλου της παλινδρόµησης θα πραγµατοποιηθεί µία σειρά από ελέγχους για να διαπιστωθεί η σηµαντικότητα των εκτιµώµενων παραµέτρων. 67

68 Ο πρώτος έλεγχος αφορά την σηµαντικότητα της στατιστικής F που δίνεται από την σχέση: MSR SSR / ( p 1) F = = MSE SSE / ( n p ) Όπου: p 1: οι βαθµοί ελευθερίας για την παλινδρόµηση n p : οι βαθµοί ελευθερίας για τα σφάλµατα και p : το πλήθος των εκτιµώµενων παραµέτρων συµπεριλαµβανοµένου και του σταθερού όρου. n : το πλήθος των παρατηρήσεων Η τιµή που υπολογίζεται από την παραπάνω σχέση συγκρίνεται µε την τιµή της κατανοµής F για επίπεδο σηµαντικότητας 5% και µε p 1 και n p βαθµούς ελευθερίας. Εάν η τιµή της εκτιµώµενης στατιστικής F υπερισχύει της τιµής της κατανοµής F > Fa, p 1, n p τότε δεχόµαστε την στατιστική σηµαντικότητα των σχέσεων µεταξύ των µεταβλητών και την συνολική καταλληλότητα του µοντέλου. Στην προκειµένη περίπτωση η τιµή της κατανοµής F 0,05,,4 για δύο και τέσσερις βαθµούς ελευθερίας είναι: F =6,94 < F = =5, ,05,,4 Κατά συνέπεια η σηµαντικότητα των σχέσεων των εκτιµηθέντων µεταβλητών και η γενική καταλληλότητα του µοντέλου είναι ικανοποιητική. Οµοίως επιβεβαιώνεται η σηµαντικότητα του συντελεστή του κυβικού όρου και του 1 x για τους οποίους ισχύει F 3 = > x 0,05,1,4 αντίστοιχα. Εκτίµηση Παραµέτρων Ο δεύτερος F =7,71 και 1 x F = > F 0,05,1,4 =7,71 έλεγχος αφορά την σηµαντικότητα των εκτιµηθεισών παραµέτρων της γραµµικής συνάρτησης. Οι τρεις παράµετροι της µικτής πολυωνυµικής συνάρτησης, ο σταθερός όρος καθώς και οι δύο συντελεστές της παλινδρόµησης θα ελεγχθούν ως προς την σηµαντικότητά τους σε επίπεδο σηµαντικότητας 5%. Θα χρησιµοποιηθούν για τον σκοπό αυτό οι υπολογισθείσες τιµές της στατιστικής t από τον παρακάτω πίνακα. Στην περίπτωση που η τιµή της στατιστικής t κατά απόλυτη τιµή ξεπερνά την κρίσιµη τιµή για το δεδοµένο επίπεδο σηµαντικότητας 5% τότε επιβεβαιώνεται η σηµαντικότητα της εκτιµηθήσας παραµέτρου. Η κρίσιµη τιµή για επίπεδο σηµαντικότητας 5% υπολογίζεται από την κατανοµή Student και είναι για τέσσερις βαθµούς ελευθερίας t 4, 0,05 =,776, οπότε εάν t >, 776τότε η παράµετρος είναι στατιστικά σηµαντική. Στην προκειµένη περίπτωση για τον σταθερό όρο έχουµε t =81.5>,776 οπότε επιβεβαιώνεται η σηµαντικότητα του σταθερού όρου. Για τον κυβικό συντελεστή της παλινδρόµησης έχουµε t = >,776 και για τον συντελεστή του 1 x t = >,776 συνεπώς και οι δύο συντελεστές της πολυωνυµικής συνάρτησης είναι στατιστικά σηµαντικοί. 68

69 Πίνακας Εκτίµησης Παραµέτρων Estimate Standard Error t Statistic P-Value *10^ x 3 x Στον παρακάτω πίνακα φαίνεται το 95% διάστηµα εµπιστοσύνης για την τιµή των εκτιµηθέντων παραµέτρων του γραµµικού υποδείγµατος µε βάση την κατανοµή Student για τέσσερις (4) βαθµούς ελευθερίας. Πίνακας ιαστήµατος Εµπιστοσύνης Παραµέτρων Estimate Standard Error Confidence Interval { , } { , } x 3 x { , } Συντελεστής Προσδιορισµού R (Coefficient of Determination). Ο επόµενος έλεγχος αφορά τον υπολογισµό του συντελεστή προσδιορισµού R Η τιµή του συντελεστή προσδιορισµού είναι: R = Η παραπάνω τιµή είναι πολύ µεγάλη και προσεγγίζει την µονάδα. Αυτό σηµαίνει ότι η προσαρµογή της συνάρτησης του υποδείγµατος στα δειγµατικά δεδοµένα είναι σχεδόν άριστη και κατά συνέπεια η ερµηνευτική ικανότητα του µοντέλου είναι πάρα πολύ µεγάλη. Η τιµή προσδιορίζει ότι το 86,55% της µεταβλητότητας της εξαρτηµένης µεταβλητής y (δείκτης IRI) ερµηνεύεται από την παλινδρόµηση. Κανονικοποιηµένη Ρίζα Μέσου Τετραγωνικού Σφάλµατος (Normalized root mean square error) (NRMSE). Η κανονικοποιηµένη ρίζα του Μέσου Τετραγωνικού Σφάλµατος για την περίπτωση της πολυωνυµικής συνάρτησης λαµβάνει την τιµή NRMSE= η οποία δεν απέχει ιδιαίτερα από το µηδέν και δεν προσεγγίζει την µονάδα γεγονός το οποίο αποτελεί ένδειξη για την σχετικά καλή προβλεπτική ικανότητα του παραπάνω µοντέλου Προσαρµογή Μοντέλου Πολυωνύµου 3 ου Βαθµού και Αντίστροφης Συνάρτησης στο τετράγωνο. 3 Η προσαρµογή µοντέλου της µορφής Yt = β0+ β1t + βt + et προσδιόρισε για την µέση τιµή των δειγµατικών δεδοµένων των τιµών των µετρήσεων του δείκτη IRI για κάθε ένα από τα επτά έτη τις παρακάτω τιµές και παραµέτρους: 69

70 Μέση τιµή Πίνακας Μέτρα Θέσης και Απόκλισης Τυπική ιασπορά Συντελεστής Απόκλιση ( ιακύµανση) Μεταβλητότητας Cv Μέση τιµή y του IRI n=500 Πίνακας Μέση τιµή IRI για το σύνολο των 500 µετρήσεων Πίνακας Προβλεπόµενη Μέση τιµή IRI για το σύνολο των 500 µετρήσεων για επόµενα έτη +3 έτη +5 έτη +8 έτη +11 έτη +13 έτη +18 έτη +0 έτη Μέση τιµή y του IRI n= H «µικτή» αντίστροφη και πολυωνυµική συνάρτηση 3 ου βαθµού που προσαρµόζεται καλύτερα στα χρονολογικά δεδοµένα µε βάση την βελτιστοποίηση των ελαχίστων τετραγώνων (OLS) είναι: f ( t ) = x. Η γραφική παράσταση της παραπάνω x συνάρτησης καθώς και το νέφος των προσδιοριστικών σηµείων φαίνεται στο παρακάτω σχήµα: Σχήµα Προσαρµογή Πολυωνυµικής Συνάρτησης 1.5 fhxl x ιαστήµατα Εµπιστοσύνης για την εκτιµώµενη Τιµή IRI Στον παρακάτω πίνακα φαίνεται το 95% διάστηµα εµπιστοσύνης για την µέση τιµή y των εκτιµηθεισών παρατηρήσεων του δείκτη IRI στο γραµµικό υπόδειγµα µε βάση την κατανοµή Student για τέσσερις (4) βαθµούς ελευθερίας. Η κρίσιµη τιµή λαµβάνει την τιµή t 4, 0,05 =,776. Το διάστηµα εµπιστοσύνης υπολογίζεται από την σχέση: 70

71 ˆ S y t y yˆ + t n 4, 0,05 4, 0,05 S n Mean Prediction Confidence Interval Table Observed Predicted Standard Error Confidence Interval {1.117, } {1.0678,1.095} { ,1.0839} {1.0598,1.0835} { ,1.0873} {1.075, } {1.0806,1.14} Επιπλέον µε βάση τα διαστήµατα εµπιστοσύνης που προσδιορίζονται, καθορίζονται τα όρια µέσα στα οποία το υπόδειγµα προβλέπει να βρίσκονται οι τιµές των παρατηρήσεων. Στο παρακάτω σχήµα φαίνονται οι λωρίδες εµπιστοσύνης οι οποίες καθορίζουν τα παραπάνω όρια της πρόβλεψης δηµιουργώντας ένα φάσµα πρόβλεψης. Σχήµα Λωρίδες Εµπιστοσύνης των ιαστηµάτων εµπιστοσύνης 95%,75%,50%,15% Προβλεπόµενη τιµή εδοµένων Παρατηρήσεων Η προβλεπόµενη τιµή µε βάση την ευθεία παλινδρόµησης για τις παρατηρούµενες (µετρηµένες) τιµές του IRI παρουσιάζονται στον παρακάτω πίνακα. Πίνακας Παρατηρούµενη και Προβλεπόµενη Τιµή IRI µε βάση την ευθεία παλινδρόµησης Τιµές/έτη Μετρήσιµη- Παρατηρούµενη ( εδοµένα) Προβλεπόµενη

72 Στο παρακάτω πίνακα φαίνονται τα σφάλµατα (κατάλοιπα) τα οποία προέκυψαν από το γραµµικό υπόδειγµα ως διαφορά της παρατηρούµενης και προβλεπόµενης τιµής σύµφωνα µε την σχέση: e= yˆ y Πίνακας Κατάλοιπα έτος e ιάγραµµα Καταλοίπων Ανάλυση της ιακύµανσης (ANOVA) Στο παρακάτω πίνακα παρουσιάζονται τα αποτελέσµατα που προέκυψαν από την ανάλυση της διακύµανσης Analysis Of Variance (ANOVΑ). Πίνακας ANOVA DF SS MS F Statistic P-Value x 3 x Error Total Παρατηρούµε ότι ισχύει SST=SSR+SSE αφού: =( ) γεγονός το οποίο είναι φυσικό για το µικτό πολυωνυµικό υπόδειγµα το οποίο µπορεί να µετατραπεί σε γραµµικό. Για την αξιολόγηση του µοντέλου της παλινδρόµησης θα πραγµατοποιηθεί µία σειρά από ελέγχους για να διαπιστωθεί η σηµαντικότητα των εκτιµώµενων παραµέτρων. Ο πρώτος έλεγχος αφορά την σηµαντικότητα της στατιστικής F που δίνεται από την σχέση: MSR SSR / ( p 1) F = = MSE SSE / ( n p ) Όπου: p 1: οι βαθµοί ελευθερίας για την παλινδρόµηση 7

73 n p : οι βαθµοί ελευθερίας για τα σφάλµατα και p : το πλήθος των εκτιµώµενων παραµέτρων συµπεριλαµβανοµένου και του σταθερού όρου. n : το πλήθος των παρατηρήσεων Η τιµή που υπολογίζεται από την παραπάνω σχέση συγκρίνεται µε την τιµή της κατανοµής F για επίπεδο σηµαντικότητας 5% και µε p 1 και n p βαθµούς ελευθερίας. Εάν η τιµή της εκτιµώµενης στατιστικής F υπερισχύει της τιµής της κατανοµής F > Fa, p 1, n p τότε δεχόµαστε την στατιστική σηµαντικότητα των σχέσεων µεταξύ των µεταβλητών και την συνολική καταλληλότητα του µοντέλου. Στην προκειµένη περίπτωση η τιµή της κατανοµής F 0,05,,4 για δύο και τέσσερις βαθµούς ελευθερίας είναι: F =6,94 < F = =51,40. 0,05,,4 Κατά συνέπεια η σηµαντικότητα των σχέσεων των εκτιµηθέντων µεταβλητών και η γενική καταλληλότητα του µοντέλου είναι ικανοποιητική. Οµοίως 1 επιβεβαιώνεται η σηµαντικότητα του συντελεστή του κυβικού όρου και του για x τους οποίους ισχύει F 3 = > x 0,05,1,4 F = > F 0,05,1,4 =7,71 αντίστοιχα. Εκτίµηση Παραµέτρων Ο δεύτερος F =7,71 και 1 x έλεγχος αφορά την σηµαντικότητα των εκτιµηθεισών παραµέτρων της γραµµικής συνάρτησης. Οι τρεις παράµετροι της µικτής πολυωνυµικής συνάρτησης, ο σταθερός όρος καθώς και οι δύο συντελεστές της παλινδρόµησης θα ελεγχθούν ως προς την σηµαντικότητά τους σε επίπεδο σηµαντικότητας 5%. Θα χρησιµοποιηθούν για τον σκοπό αυτό οι υπολογισθείσες τιµές της στατιστικής t από τον παρακάτω πίνακα. Στην περίπτωση που η τιµή της στατιστικής t κατά απόλυτη τιµή ξεπερνά την κρίσιµη τιµή για το δεδοµένο επίπεδο σηµαντικότητας 5% τότε επιβεβαιώνεται η σηµαντικότητα της εκτιµηθείσας παραµέτρου. Η κρίσιµη τιµή για επίπεδο σηµαντικότητας 5% υπολογίζεται από την κατανοµή Student και είναι για τέσσερις βαθµούς ελευθερίας t 4, 0,05 =,776, οπότε εάν t >, 776τότε η παράµετρος είναι στατιστικά σηµαντική. Στην προκειµένη περίπτωση για τον σταθερό όρο έχουµε t =170.34>,776 οπότε επιβεβαιώνεται η σηµαντικότητα του σταθερού όρου. Για τον κυβικό συντελεστή της παλινδρόµησης έχουµε t = >,776 1 και για τον συντελεστή του t = >,776 συνεπώς και οι δύο συντελεστές x της πολυωνυµικής συνάρτησης είναι στατιστικά σηµαντικοί. Πίνακας Εκτίµησης Παραµέτρων Estimate Standard Error t Statistic P-Value *10^ x 3 x

74 Στον παρακάτω πίνακα φαίνεται το 95% διάστηµα εµπιστοσύνης για την τιµή των εκτιµηθέντων παραµέτρων του γραµµικού υποδείγµατος µε βάση την κατανοµή Student για τέσσερις (4) βαθµούς ελευθερίας. Πίνακας ιαστήµατος Εµπιστοσύνης Παραµέτρων Estimate Standard Error Confidence Interval { ,1.0755} { , } x 3 x { , } Συντελεστής Προσδιορισµού R (Coefficient of Determination). Ο επόµενος έλεγχος αφορά τον υπολογισµό του συντελεστή προσδιορισµού R Η τιµή του συντελεστή προσδιορισµού είναι: R = Η παραπάνω τιµή είναι πολύ µεγάλη και προσεγγίζει την µονάδα. Αυτό σηµαίνει ότι η προσαρµογή της συνάρτησης του υποδείγµατος στα δειγµατικά δεδοµένα είναι σχεδόν άριστη και κατά συνέπεια η ερµηνευτική ικανότητα του µοντέλου είναι πάρα πολύ µεγάλη. Η τιµή προσδιορίζει ότι το 9,75% της µεταβλητότητας της εξαρτηµένης µεταβλητής y (δείκτης IRI) ερµηνεύεται από την παλινδρόµηση. Κανονικοποιηµένη Ρίζα Μέσου Τετραγωνικού Σφάλµατος (Normalized root mean square error) (NRMSE). Η κανονικοποιηµένη ρίζα του Μέσου Τετραγωνικού Σφάλµατος για την περίπτωση της πολυωνυµικής συνάρτησης λαµβάνει την τιµή NRMSE= η οποία δεν απέχει ιδιαίτερα από το µηδέν και δεν προσεγγίζει την µονάδα γεγονός το οποίο αποτελεί ένδειξη για την σχετικά καλή προβλεπτική ικανότητα του παραπάνω µοντέλου. 74

75 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ΕΠΕΚΤΑΣΗ ΠΡΟΣΑΡΜΟΓΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΣΕ ΝΕΑ ΧΡΟΝΟΛΟΓΙΚΑ Ε ΟΜΕΝΑ 4.1 Προσαρµογή Συναρτήσεων Αµερικανικών Χρονολογικών εδοµένων Στο κεφάλαιο αυτό θα παρουσιαστεί η προσαρµογή συναρτήσεων µε την χρήση άλλων χρονολογικών δεδοµένων όπως αυτά παρουσιάστηκαν στην.. Σκοπός είναι να δοκιµαστεί η αξιοπιστία των µοντέλων σε ποικίλα δεδοµένα, η σύγκριση και η εξαγωγή συµπερασµάτων. 4. Προσαρµογή Γραµµικού Μοντέλου Η προσαρµογή µοντέλου της µορφής Yt = β0+ β1t+ et προσδιόρισε για την µέση τιµή των δειγµατικών δεδοµένων των τιµών των µετρήσεων του δείκτη IRI για κάθε ένα από τα επτά έτη τις παρακάτω τιµές και παραµέτρους: Μέση τιµή Πίνακας Μέτρα Θέσης και Απόκλισης Τυπική ιασπορά Συντελεστής Απόκλιση ( ιακύµανση) Μεταβλητότητας Cv Μέση τιµή y του IRI n=500 Πίνακας Μέση τιµή IRI για το σύνολο των 194 µετρήσεων Πίνακας Προβλεπόµενη Μέση τιµή IRI για το σύνολο των 500 µετρήσεων για επόµενα έτη +4 έτη +6 έτη +9 έτη +1 έτη +14 έτη +19 έτη +1 έτη Μέση τιµή y του IRI n= H γραµµική συνάρτηση που προσαρµόζεται καλύτερα στα χρονολογικά δεδοµένα µε βάση την βελτιστοποίηση των ελαχίστων τετραγώνων (OLS) είναι: f t = x. Η γραφική παράσταση της παραπάνω συνάρτησης ( ) καθώς και το νέφος των προσδιοριστικών σηµείων φαίνεται στο παρακάτω σχήµα: 75

76 Σχήµα Προσαρµογή Γραµµικής Συνάρτησης fhxl x ιαστήµατα Εµπιστοσύνης για την εκτιµώµενη Τιµή IRI Στον παρακάτω πίνακα φαίνεται το 95% διάστηµα εµπιστοσύνης για την µέση τιµή y των εκτιµηθεισών παρατηρήσεων του δείκτη IRI στο γραµµικό υπόδειγµα µε βάση την κατανοµή Student για τέσσερις (4) βαθµούς ελευθερίας. Η κρίσιµη τιµή λαµβάνει την τιµή t 4, 0,05 =,776. Το διάστηµα εµπιστοσύνης υπολογίζεται από την σχέση: ˆ S y t y yˆ + t n 4, 0,05 4, 0,05 S n Mean Prediction Confidence Interval Table Observed Predicted Standard Error Confidence Interval {1.614, } {1.6686, } {1.7171,1.7976} { , } { , } { , } Επιπλέον µε βάση τα διαστήµατα εµπιστοσύνης που προσδιορίζονται, καθορίζονται τα όρια µέσα στα οποία το υπόδειγµα προβλέπει να βρίσκονται οι τιµές των παρατηρήσεων. Στο παρακάτω σχήµα φαίνονται οι λωρίδες εµπιστοσύνης οι οποίες καθορίζουν τα παραπάνω όρια της πρόβλεψης δηµιουργώντας ένα φάσµα πρόβλεψης. Σχήµα Λωρίδες Εµπιστοσύνης των ιαστηµάτων εµπιστοσύνης 95%,75%,50%,15% 76

77 Προβλεπόµενη τιµή εδοµένων Παρατηρήσεων Η προβλεπόµενη τιµή µε βάση την ευθεία παλινδρόµησης για τις παρατηρούµενες (µετρηµένες) τιµές του IRI παρουσιάζονται στον παρακάτω πίνακα. Πίνακας Παρατηρούµενη και Προβλεπόµενη Τιµή IRI Τιµές/έτη Μετρήσιµη Παρατηρούµενη ( εδοµένα) Προβλεπόµενη Στο παρακάτω πίνακα φαίνονται τα σφάλµατα (κατάλοιπα) τα οποία προέκυψαν από το γραµµικό υπόδειγµα ως διαφορά της παρατηρούµενης και προβλεπόµενης τιµής σύµφωνα µε την σχέση: e= yˆ y Πίνακας Κατάλοιπα έτος e Σχήµα ιάγραµµα Καταλοίπων Ανάλυση της ιακύµανσης (ANOVA) Στο παρακάτω πίνακα παρουσιάζονται τα αποτελέσµατα που προέκυψαν από την ανάλυση της διακύµανσης Analysis Of Variance (ANOVΑ). Σχήµα Πίνακας ANOVA DF SS MS F Statistic P-Value x Error Total Παρατηρούµε ότι ισχύει SST=SSR+SSE αφού: = γεγονός το οποίο είναι φυσικό για το γραµµικό υπόδειγµα. Για την αξιολόγηση του µοντέλου της παλινδρόµησης θα πραγµατοποιηθεί µία σειρά από ελέγχους για να διαπιστωθεί η σηµαντικότητα των εκτιµώµενων παραµέτρων. Ο πρώτος έλεγχος αφορά την σηµαντικότητα της στατιστικής F που δίνεται από την σχέση: 77

78 MSR SSR / ( p 1) F = = MSE SSE / ( n p ) Όπου: p 1: οι βαθµοί ελευθερίας για την παλινδρόµηση n p : οι βαθµοί ελευθερίας για τα σφάλµατα και p : το πλήθος των εκτιµώµενων παραµέτρων συµπεριλαµβανοµένου και του σταθερού όρου. n : το πλήθος των παρατηρήσεων Η τιµή που υπολογίζεται από την παραπάνω σχέση συγκρίνεται µε την τιµή της κατανοµής F για επίπεδο σηµαντικότητας 5% και µε p 1και n p βαθµούς ελευθερίας. Εάν η τιµή της εκτιµώµενης στατιστικής Fυπερισχύει της τιµής της κατανοµής F > Fa, p 1, n p τότε δεχόµαστε την στατιστική σηµαντικότητα των σχέσεων µεταξύ των µεταβλητών και την συνολική καταλληλότητα του µοντέλου. Στην προκειµένη περίπτωση η τιµή της κατανοµής F 0,05,1,4 για έναν και τέσσερις βαθµούς ελευθερίας είναι F 0,05,1,4 =7,71 < F = κατά συνέπεια η σηµαντικότητα των σχέσεων των εκτιµηθέντων µεταβλητών και η γενική καταλληλότητα του µοντέλου είναι ιδιαίτερα ικανοποιητική. Παράλληλα η µικρή τιµή της στατιστικής p δείχνει την καταλληλότητα του µοντέλου. Ο δεύτερος έλεγχος αφορά την σηµαντικότητα των εκτιµηθεισών παραµέτρων της γραµµικής συνάρτησης. Οι δύο παράµετροι της γραµµικής συνάρτησης, ο σταθερός όρος καθώς και ο ένας συντελεστής της παλινδρόµησης θα ελεγχθούν ως προς την σηµαντικότητά τους σε επίπεδο σηµαντικότητας 5%. Θα χρησιµποποιηθούν για τον σκοπό αυτό οι υπολογισθείσες τιµές της στατιστικής t από τον παρακάτω πίνακα. Στην περίπτωση που η τιµή της στατιστικής t κατά απόλυτη τιµή ξεπερνά την κρίσιµη τιµή για το δεδοµένο επίπεδο σηµαντικότητας 5% τότε επιβεβαιώνεται η σηµαντικότητα της εκτιµηθείσας παραµέτρου. Η κρίσιµη τιµή για επίπεδο σηµαντικότητας 5% υπολογίζεται από την κατανοµή Student και είναι για τέσσερις βαθµούς ελευθερίας t =,776, οπότε εάν t >, 776τότε η παράµετρος είναι στατιστικά σηµαντική. 4, 0,05 Στην προκειµένη περίπτωση για τον σταθερό όρο έχουµε t = >,776 οπότε επιβεβαιώνεται η σηµαντικότητα του σταθερού όρου. Για τον συντελεστή της παλινδρόµησης έχουµε t =4.5831>,776 συνεπώς ο συντελεστής κλίσης της γραµµικής συνάρτησης είναι στατιστικά σηµαντικός. Παράλληλα η µικρή τιµή της στατιστικής p για τον σταθερό όρο και τον συντελεστή αντίστοιχα µαρτυρούν για ακόµα µία φορά τόσο την σηµαντικότητα του σταθερού όσο και του συντελεστή. Πίνακας Εκτίµησης Παραµέτρων Estimate Standard Error t Statistic P-Value *10^-7 x

79 Στον παρακάτω πίνακα φαίνεται το 95% διάστηµα εµπιστοσύνης για την τιµή των εκτιµηθέντων παραµέτρων του γραµµικού υποδείγµατος µε βάση την κατανοµή Student για πέντε (5) βαθµούς ελευθερίας. Πίνακας ιαστήµατος Εµπιστοσύνης Παραµέτρων Estimate Standard Error Confidence Interval {1.5578, } x { , } Συντελεστής Προσδιορισµού R (Coefficient of Determination). Η τιµή του συντελεστή προσδιορισµού είναι: R = Η παραπάνω τιµή είναι γενικά υψηλή για γραµµικό υπόδειγµα. Η τιµή προσδιορίζει ότι το 84,00% της µεταβλητότητας της εξαρτηµένης µεταβλητής y (δείκτης IRI) ερµηνεύεται από την παλινδρόµηση. Κανονικοποιηµένη Ρίζα Μέσου Τετραγωνικού Σφάλµατος (Normalized root mean square error) (NRMSE). Η κανονικοποιηµένη ρίζα του Μέσου Τετραγωνικού Σφάλµατος για την περίπτωση της γραµµικής συνάρτησης λαµβάνει την τιµή NRMSE= η οποία βέβαια µπορεί να απέχει από το µηδέν αλλά και δεν προσεγγίζει την µονάδα γεγονός το οποίο αποτελεί ένδειξη για την σχετικά καλή προβλεπτική ικανότητα του παραπάνω µοντέλου. 4.3 Προσαρµογή Πολυωνυµικών Μοντέλων Προσαρµογή Πολυωνυµικού Μοντέλου ου Βαθµού Η προσαρµογή µοντέλου της µορφής Yt = β0+ β1t+ βt + et προσδιόρισε για την µέση τιµή των δειγµατικών δεδοµένων των τιµών των µετρήσεων του δείκτη IRI για κάθε ένα από τα επτά έτη τις παρακάτω τιµές και παραµέτρους: Μέση τιµή Πίνακας Μέτρα Θέσης και Απόκλισης Τυπική ιασπορά Συντελεστής Απόκλιση ( ιακύµανση) Μεταβλητότητας Cv Μέση τιµή y του IRI n=500 Πίνακας Μέση τιµή IRI για το σύνολο των 194 µετρήσεων

80 Πίνακας Προβλεπόµενη Μέση τιµή IRI για το σύνολο των 500 µετρήσεων για επόµενα έτη +4 έτη +6 έτη +9 έτη +1 έτη +14 έτη +19 έτη +1 έτη Μέση τιµή y του IRI n= H πολυωνυµική συνάρτηση ου βαθµού που προσαρµόζεται καλύτερα στα χρονολογικά δεδοµένα µε βάση την βελτιστοποίηση των ελαχίστων τετραγώνων (OLS) είναι: f t = x x. Η γραφική παράσταση της ( ) παραπάνω συνάρτησης καθώς και το νέφος των προσδιοριστικών σηµείων φαίνεται στο παρακάτω σχήµα: 3.0 fhxl Σχήµα Προσαρµογή Πολυωνυµικής Συνάρτησης x ιαστήµατα Εµπιστοσύνης για την εκτιµώµενη Τιµή IRI Στον παρακάτω πίνακα φαίνεται το 95% διάστηµα εµπιστοσύνης για την µέση τιµή y των εκτιµηθεισών παρατηρήσεων του δείκτη IRI στο γραµµικό υπόδειγµα µε βάση την κατανοµή Student για τρεις (3) βαθµούς ελευθερίας. Η κρίσιµη τιµή λαµβάνει την τιµή t 3, 0,05 =3,18. Το διάστηµα εµπιστοσύνης υπολογίζεται από την σχέση: ˆ S y t y yˆ + t n 3, 0,05 3, 0,05 S n Mean Prediction Confidence Interval Table Observed Predicted Standard Error Confidence Interval { , } { ,1.7867} { ,1.8563} {1.7138,1.8696} {1.7664,1.8988} { , } 80

81 Επιπλέον µε βάση τα διαστήµατα εµπιστοσύνης που προσδιορίζονται, καθορίζονται τα όρια µέσα στα οποία το υπόδειγµα προβλέπει να βρίσκονται οι τιµές των παρατηρήσεων. Στο παρακάτω σχήµα φαίνονται οι λωρίδες εµπιστοσύνης οι οποίες καθορίζουν τα παραπάνω όρια της πρόβλεψης δηµιουργώντας ένα φάσµα πρόβλεψης. Σχήµα Λωρίδες Εµπιστοσύνης των ιαστηµάτων εµπιστοσύνης 95%,75%,50%,15% Προβλεπόµενη τιµή εδοµένων Παρατηρήσεων Η προβλεπόµενη τιµή µε βάση την ευθεία παλινδρόµησης για τις παρατηρούµενες (µετρηµένες) τιµές του IRI παρουσιάζονται στον παρακάτω πίνακα. Πίνακας Παρατηρούµενη και Προβλεπόµενη Τιµή IRI Τιµές/έτη Μετρήσιµη Παρατηρούµενη ( εδοµένα) Προβλεπόµενη Στο παρακάτω πίνακα φαίνονται τα σφάλµατα (κατάλοιπα) τα οποία προέκυψαν από το γραµµικό υπόδειγµα ως διαφορά της παρατηρούµενης και προβλεπόµενης τιµής σύµφωνα µε την σχέση: e= yˆ y Πίνακας Κατάλοιπα έτος e Σχήµα. ιάγραµµα Καταλοίπων 81

82 Ανάλυση της ιακύµανσης (ANOVA) Στο παρακάτω πίνακα παρουσιάζονται τα αποτελέσµατα που προέκυψαν από την ανάλυση της διακύµανσης Analysis Of Variance (ANOVΑ). Σχήµα Πίνακας ANOVA DF SS MS F Statistic P-Value x x Error Total Παρατηρούµε ότι ισχύει SST=SSR+SSE αφού: =( ) γεγονός το οποίο είναι φυσικό για το πολυωνυµικό υπόδειγµα το οποίο µπορεί να µετατραπεί σε γραµµικό. Για την αξιολόγηση του µοντέλου της παλινδρόµησης θα πραγµατοποιηθεί µία σειρά από ελέγχους για να διαπιστωθεί η σηµαντικότητα των εκτιµώµενων παραµέτρων. Ο πρώτος έλεγχος αφορά την σηµαντικότητα της στατιστικής F που δίνεται από την σχέση: MSR SSR / ( p 1) F = = MSE SSE / ( n p ) Όπου: p 1: οι βαθµοί ελευθερίας για την παλινδρόµηση n p : οι βαθµοί ελευθερίας για τα σφάλµατα και p : το πλήθος των εκτιµώµενων παραµέτρων συµπεριλαµβανοµένου και του σταθερού όρου. n : το πλήθος των παρατηρήσεων Η τιµή που υπολογίζεται από την παραπάνω σχέση συγκρίνεται µε την τιµή της κατανοµής F για επίπεδο σηµαντικότητας 5% και µε p 1και n p βαθµούς ελευθερίας. Εάν η τιµή της εκτιµώµενης στατιστικής Fυπερισχύει της τιµής της κατανοµής F > Fa, p 1, n p τότε δεχόµαστε την στατιστική σηµαντικότητα των σχέσεων µεταξύ των µεταβλητών και την συνολική καταλληλότητα του µοντέλου. Στην προκειµένη περίπτωση η τιµή της κατανοµής F 0,05,,3για δύο και τρεις βαθµούς ελευθερίας είναι F 0,05,,3 =9,55 < F = = κατά συνέπεια η γενική καταλληλότητα του µοντέλου είναι ικανοποιητική. εν επιβεβαιώνεται η σηµαντικότητα του συντελεστή του τετραγωνικού όρου για τον οποίο ισχύει F 0,05,1,3 =10,1> F = Επιβεβαιώνεται η σηµαντικότητα του x άλλου συντελεστή της παλινδρόµησης x καθόσον F x = > F 0,05,1,3 =10,1. Εκτίµηση Παραµέτρων Ο δεύτερος έλεγχος αφορά την σηµαντικότητα των εκτιµηθεισών παραµέτρων της γραµµικής συνάρτησης. Οι τρεις παράµετροι της πολυωνυµικής συνάρτησης, ο σταθερός όρος καθώς και οι δύο συντελεστές της παλινδρόµησης θα ελεγχθούν ως προς την σηµαντικότητά τους σε επίπεδο σηµαντικότητας 5%. Θα χρησιµποποιηθούν για τον σκοπό αυτό οι υπολογισθείσες τιµές της στατιστικής t από τον παρακάτω πίνακα. Στην περίπτωση 8

83 που η τιµή της στατιστικής t κατά απόλυτη τιµή ξεπερνά την κρίσιµη τιµή για το δεδοµένο επίπεδο σηµαντικότητας 5% τότε επιβεβαιώνεται η σηµαντικότητα της εκτιµηθείσας παραµέτρου. Η κρίσιµη τιµή για επίπεδο σηµαντικότητας 5% υπολογίζεται από την κατανοµή Student και είναι για τέσσερις βαθµούς ελευθερίας t =3,18 οπότε εάν t > 3,18 τότε η παράµετρος είναι στατιστικά σηµαντική. 3, 0,05 Στην προκειµένη περίπτωση για τον σταθερό όρο έχουµε t = 4.4 >3,18 οπότε επιβεβαιώνεται η σηµαντικότητα του σταθερού όρου. Για τον τετραγωνικό συντελεστή της παλινδρόµησης έχουµε t = <3,18 και για τον συντελεστή του x t = <3,18 συνεπώς και οι δύο συντελεστές της πολυωνυµικής συνάρτησης είναι στατιστικά µη σηµαντικοί. Σχήµα Πίνακας Εκτίµησης Παραµέτρων Estimate Standard Error t Statistic P-Value x x Στον παρακάτω πίνακα φαίνεται το 95% διάστηµα εµπιστοσύνης για την τιµή των εκτιµηθέντων παραµέτρων του γραµµικού υποδείγµατος µε βάση την κατανοµή Student για τέσσερις (4) βαθµούς ελευθερίας. Σχήµα Πίνακας ιαστήµατος Εµπιστοσύνης Παραµέτρων Estimate Standard Error Confidence Interval { , } x { , } x { , } Συντελεστής Προσδιορισµού R (Coefficient of Determination). Ο επόµενος έλεγχος αφορά τον υπολογισµό του συντελεστή προσδιορισµού R Η τιµή του συντελεστή προσδιορισµού είναι: R = Η παραπάνω τιµή είναι σχετικά σηµαντική για το υπόδειγµα. Η τιµή προσδιορίζει ότι το 84,7% της µεταβλητότητας της εξαρτηµένης µεταβλητής y (δείκτης IRI) ερµηνεύεται από την παλινδρόµηση. Κανονικοποιηµένη Ρίζα Μέσου Τετραγωνικού Σφάλµατος (Normalized root mean square error) (NRMSE). Η κανονικοποιηµένη ρίζα του Μέσου Τετραγωνικού Σφάλµατος για την περίπτωση της γραµµικής συνάρτησης λαµβάνει την τιµή NRMSE= η οποία βέβαια µπορεί να απέχει από το µηδέν αλλά και δεν προσεγγίζει την µονάδα γεγονός το οποίο αποτελεί ένδειξη για την σχετικά καλή προβλεπτική ικανότητα του παραπάνω µοντέλου. 83

84 4.3. Προσαρµογή Πολυωνυµικού Μοντέλου 3 ου Βαθµού 3 Η προσαρµογή µοντέλου της µορφής Yt = β0+ β1t+ βt + β3t + et προσδιόρισε για την µέση τιµή των δειγµατικών δεδοµένων των τιµών των µετρήσεων του δείκτη IRI για κάθε ένα από τα επτά έτη τις παρακάτω τιµές και παραµέτρους: Μέση τιµή Πίνακας Μέτρα Θέσης και Απόκλισης Τυπική ιασπορά Συντελεστής Απόκλιση ( ιακύµανση) Μεταβλητότητας Cv Μέση τιµή y του IRI n=500 Πίνακας Μέση τιµή IRI για το σύνολο των 194 µετρήσεων Πίνακας Προβλεπόµενη Μέση τιµή IRI για το σύνολο των 500 µετρήσεων για επόµενα έτη +4 έτη +6 έτη +9 έτη +1 έτη +14 έτη +19 έτη +1 έτη Μέση τιµή y του IRI n= H πολυωνυµική συνάρτηση 3 ου βαθµού που προσαρµόζεται καλύτερα στα χρονολογικά δεδοµένα µε βάση την βελτιστοποίηση των ελαχίστων τετραγώνων (OLS) είναι: 3 f t = x x x. Η γραφική παράσταση ( ) της παραπάνω συνάρτησης καθώς και το νέφος των προσδιοριστικών σηµείων φαίνεται στο παρακάτω σχήµα: Σχήµα Προσαρµογή Πολυωνυµικής Συνάρτησης 3.5 fhxl x 84

85 ιαστήµατα Εµπιστοσύνης για την εκτιµώµενη Τιµή IRI Στον παρακάτω πίνακα φαίνεται το 95% διάστηµα εµπιστοσύνης για την µέση τιµή y των εκτιµηθεισών παρατηρήσεων του δείκτη IRI στο γραµµικό υπόδειγµα µε βάση την κατανοµή Student για δύο () βαθµούς ελευθερίας. Η κρίσιµη τιµή λαµβάνει την τιµή t, 0,05 =4,303. Το διάστηµα εµπιστοσύνης υπολογίζεται από την σχέση: ˆ S y t y yˆ + t n, 0,05, 0,05 Mean Prediction Confidence Interval Table Observed Predicted Standard Error Confidence Interval { ,1.8443} { ,1.866} {1.6474,1.8766} {1.6681,1.8903} {1.6869, } {1.7544,.0565} Επιπλέον µε βάση τα διαστήµατα εµπιστοσύνης που προσδιορίζονται, καθορίζονται τα όρια µέσα στα οποία το υπόδειγµα προβλέπει να βρίσκονται οι τιµές των παρατηρήσεων. Στο παρακάτω σχήµα φαίνονται οι λωρίδες εµπιστοσύνης οι οποίες καθορίζουν τα παραπάνω όρια της πρόβλεψης δηµιουργώντας ένα φάσµα πρόβλεψης. Σχήµα Λωρίδες Εµπιστοσύνης των ιαστηµάτων εµπιστοσύνης 95%,75%,50%,15% S n Προβλεπόµενη τιµή εδοµένων Παρατηρήσεων Η προβλεπόµενη τιµή µε βάση την ευθεία παλινδρόµησης για τις παρατηρούµενες (µετρηµένες) τιµές του IRI παρουσιάζονται στον παρακάτω πίνακα. Πίνακας Παρατηρούµενη και Προβλεπόµενη Τιµή IRI Τιµές/έτη Μετρήσιµη Παρατηρούµενη ( εδοµένα) Προβλεπόµενη

86 Στο παρακάτω πίνακα φαίνονται τα σφάλµατα (κατάλοιπα) τα οποία προέκυψαν από το γραµµικό υπόδειγµα ως διαφορά της παρατηρούµενης και προβλεπόµενης τιµής σύµφωνα µε την σχέση: e= yˆ y Πίνακας Κατάλοιπα έτος e ιάγραµµα Καταλοίπων Ανάλυση της ιακύµανσης (ANOVA) Στο παρακάτω πίνακα παρουσιάζονται τα αποτελέσµατα που προέκυψαν από την ανάλυση της διακύµανσης Analysis Of Variance (ANOVΑ). Πίνακας ANOVA DF SS MS F Statistic P-Value x x x Error Total Παρατηρούµε ότι ισχύει SST=SSR+SSE αφού: =( ) γεγονός το οποίο είναι φυσικό για το πολυωνυµικό υπόδειγµα το οποίο µπορεί να µετατραπεί σε γραµµικό. Για την αξιολόγηση του µοντέλου της παλινδρόµησης θα πραγµατοποιηθεί µία σειρά από ελέγχους για να διαπιστωθεί η σηµαντικότητα των εκτιµώµενων παραµέτρων. Ο πρώτος έλεγχος αφορά την σηµαντικότητα της στατιστικής F που δίνεται από την σχέση: MSR SSR / ( p 1) F = = MSE SSE / ( n p ) Όπου: p 1: οι βαθµοί ελευθερίας για την παλινδρόµηση n p : οι βαθµοί ελευθερίας για τα σφάλµατα και 86

87 p : το πλήθος των εκτιµώµενων παραµέτρων συµπεριλαµβανοµένου και του σταθερού όρου. n : το πλήθος των παρατηρήσεων Η τιµή που υπολογίζεται από την παραπάνω σχέση συγκρίνεται µε την τιµή της κατανοµής F για επίπεδο σηµαντικότητας 5% και µε p 1και n p βαθµούς ελευθερίας. Εάν η τιµή της εκτιµώµενης στατιστικής Fυπερισχύει της τιµής της κατανοµής F > Fa, p 1, n p τότε δεχόµαστε την στατιστική σηµαντικότητα των σχέσεων µεταξύ των µεταβλητών και την συνολική καταλληλότητα του µοντέλου. Στην προκειµένη περίπτωση η τιµή της κατανοµής F 0,05,3, για τρεις και δύο βαθµούς ελευθερίας είναι F 0,05,3, =19, > F = = Κατά συνέπεια δεν επιβεβαιώνεται η σηµαντικότητα των σχέσεων των εκτιµηθέντων µεταβλητών και η γενική καταλληλότητα του µοντέλου. Οµοίως δεν επιβεβαιώνεται ούτε η σηµαντικότητα του συντελεστή του τετραγωνικού όρου και του κυβικού συντελεστή για τους οποίους ισχύει F = < F x 0,05,1, =18.5 και F 3 = < F x 0,05,1, =18.5 αντίστοιχα ούτε η σηµαντικότητα του συντελεστή του x διότι η επιµέρους τιµή της Fείναι F x = < F 0,05,1, =18,5. Εκτίµηση Παραµέτρων Ο δεύτερος έλεγχος αφορά την σηµαντικότητα των εκτιµηθεισών παραµέτρων της γραµµικής συνάρτησης. Οι τέσσερις παράµετροι της πολυωνυµικής συνάρτησης, ο σταθερός όρος καθώς και οι τρεις συντελεστές της παλινδρόµησης θα ελεγχθούν ως προς την σηµαντικότητά τους σε επίπεδο σηµαντικότητας 5%. Θα χρησιµποποιηθούν για τον σκοπό αυτό οι υπολογισθείσες τιµές της στατιστικής t από τον παρακάτω πίνακα. Στην περίπτωση που η τιµή της στατιστικής t κατά απόλυτη τιµή ξεπερνά την κρίσιµη τιµή για το δεδοµένο επίπεδο σηµαντικότητας 5% τότε επιβεβαιώνεται η σηµαντικότητα της εκτιµηθείσας παραµέτρου. Η κρίσιµη τιµή για επίπεδο σηµαντικότητας 5% υπολογίζεται από την κατανοµή Student και είναι για δύο βαθµούς ελευθερίας t, 0,05 =4,303 οπότε εάν t > 4,303τότε η παράµετρος είναι στατιστικά σηµαντική. Στην προκειµένη περίπτωση για τον σταθερό όρο έχουµε t = >4.303 οπότε επιβεβαιώνεται η σηµαντικότητα του σταθερού όρου. Για τον κυβικό συντελεστή της παλινδρόµησης έχουµε t = <4.303 για τον τετραγωνικό συντελεστή της παλινδρόµησης έχουµε t = <4.303 και για τον συντελεστή του x t =1.0658<4.303 πολυωνυµικής συνάρτησης δεν είναι στατιστικά σηµαντικοί. συνεπώς και οι τρεις συντελεστές της Πίνακας Εκτίµησης Παραµέτρων Estimate Standard Error t Statistic P-Value x x x

88 Στον παρακάτω πίνακα φαίνεται το 95% διάστηµα εµπιστοσύνης για την τιµή των εκτιµηθέντων παραµέτρων του γραµµικού υποδείγµατος µε βάση την κατανοµή Student για τρεις (3) βαθµούς ελευθερίας. Πίνακας ιαστήµατος Εµπιστοσύνης Παραµέτρων Estimate Standard Error Confidence Interval {0.9437,.1614} x { , } x { , } 3 x { , } Συντελεστής Προσδιορισµού R (Coefficient of Determination). Ο επόµενος έλεγχος αφορά τον υπολογισµό του συντελεστή προσδιορισµού R Η τιµή του συντελεστή προσδιορισµού είναι: R = Η παραπάνω τιµή είναι µεγάλη και προσεγγίζει την µονάδα. Αυτό σηµαίνει ότι η προσαρµογή της συνάρτησης του υποδείγµατος στα δειγµατικά δεδοµένα είναι πολύ καλή και κατά συνέπεια η ερµηνευτική ικανότητα του µοντέλου είναι µεγάλη. Η τιµή προσδιορίζει ότι το 89,38% της µεταβλητότητας της εξαρτηµένης µεταβλητής y (δείκτης IRI) ερµηνεύεται από την παλινδρόµηση. Κανονικοποιηµένη Ρίζα Μέσου Τετραγωνικού Σφάλµατος (Normalized root mean square error) (NRMSE). Η κανονικοποιηµένη ρίζα του Μέσου Τετραγωνικού Σφάλµατος για την περίπτωση της πολυωνυµικής συνάρτησης λαµβάνει την τιµή NRMSE= η οποία δεν απέχει ιδιαίτερα από το µηδέν και δεν προσεγγίζει την µονάδα γεγονός το οποίο αποτελεί ένδειξη για την σχετικά καλή προβλεπτική ικανότητα του παραπάνω µοντέλου. 4.4 Μεικτά Μοντέλα Προσαρµογή Μοντέλου Πολυωνύµου ου Βαθµού και Αντίστροφης Συνάρτησης 1 Η προσαρµογή µοντέλου της µορφής Yt = β0+ β1t + βt + et προσδιόρισε για την µέση τιµή των δειγµατικών δεδοµένων των τιµών των µετρήσεων του δείκτη IRI για κάθε ένα από τα επτά έτη τις παρακάτω τιµές και παραµέτρους: Μέση τιµή Πίνακας Μέτρα Θέσης και Απόκλισης Τυπική ιασπορά Συντελεστής Απόκλιση ( ιακύµανση) Μεταβλητότητας Cv

89 Μέση τιµή y του IRI n=500 Πίνακας Μέση τιµή IRI για το σύνολο των 194 µετρήσεων Πίνακας Προβλεπόµενη Μέση τιµή IRI για το σύνολο των 500 µετρήσεων για επόµενα έτη +4 έτη +6 έτη +9 έτη +1 έτη +14 έτη +19 έτη +1 έτη Μέση τιµή y του IRI n= H «µικτή» αντίστροφη και πολυωνυµική συνάρτηση ου βαθµού που προσαρµόζεται καλύτερα στα χρονολογικά δεδοµένα µε βάση την βελτιστοποίηση των ελαχίστων τετραγώνων (OLS) είναι: f ( t ) = x. Η γραφική παράσταση της παραπάνω x συνάρτησης καθώς και το νέφος των προσδιοριστικών σηµείων φαίνεται στο παρακάτω σχήµα: Σχήµα Προσαρµογή Πολυωνυµικής Συνάρτησης 3.5 fhxl x ιαστήµατα Εµπιστοσύνης για την εκτιµώµενη Τιµή IRI Στον παρακάτω πίνακα φαίνεται το 95% διάστηµα εµπιστοσύνης για την µέση τιµή y των εκτιµηθεισών παρατηρήσεων του δείκτη IRI στο γραµµικό υπόδειγµα µε βάση την κατανοµή Student για τρεις (3) βαθµούς ελευθερίας. Η κρίσιµη τιµή λαµβάνει την τιµή t 3, 0,05 =3,18. Το διάστηµα εµπιστοσύνης υπολογίζεται από την σχέση: ˆ S y t y yˆ + t n 3, 0,05 3, 0,05 S n Mean Prediction Confidence Interval Table Observed Predicted Standard Error Confidence Interval { , } {1.6557, } 89

90 {1.6819,1.874} {1.7705, } {1.7666, } { ,1.9787} Επιπλέον µε βάση τα διαστήµατα εµπιστοσύνης που προσδιορίζονται, καθορίζονται τα όρια µέσα στα οποία το υπόδειγµα προβλέπει να βρίσκονται οι τιµές των παρατηρήσεων. Στο παρακάτω σχήµα φαίνονται οι λωρίδες εµπιστοσύνης οι οποίες καθορίζουν τα παραπάνω όρια της πρόβλεψης δηµιουργώντας ένα φάσµα πρόβλεψης. Σχήµα Λωρίδες Εµπιστοσύνης των ιαστηµάτων εµπιστοσύνης 95%,75%,50%,15% Προβλεπόµενη τιµή εδοµένων Παρατηρήσεων Η προβλεπόµενη τιµή µε βάση την ευθεία παλινδρόµησης για τις παρατηρούµενες (µετρηµένες) τιµές του IRI παρουσιάζονται στον παρακάτω πίνακα. Πίνακας Παρατηρούµενη και Προβλεπόµενη Τιµή IRI Τιµές/έτη Μετρήσιµη Παρατηρούµενη ( εδοµένα) Προβλεπόµενη Στο παρακάτω πίνακα φαίνονται τα σφάλµατα (κατάλοιπα) τα οποία προέκυψαν από το γραµµικό υπόδειγµα ως διαφορά της παρατηρούµενης και προβλεπόµενης τιµής σύµφωνα µε την σχέση: e= yˆ y Πίνακας Κατάλοιπα έτος e

91 Σχήµα ιάγραµµα Καταλοίπων Ανάλυση της ιακύµανσης (ANOVA) Στο παρακάτω πίνακα παρουσιάζονται τα αποτελέσµατα που προέκυψαν από την ανάλυση της διακύµανσης Analysis Of Variance (ANOVΑ). Πίνακας ANOVA DF SS MS F Statistic P-Value x x Error Total Παρατηρούµε ότι ισχύει SST=SSR+SSE αφού: =( ) γεγονός το οποίο είναι φυσικό για το µικτό πολυωνυµικό υπόδειγµα το οποίο µπορεί να µετατραπεί σε γραµµικό. Για την αξιολόγηση του µοντέλου της παλινδρόµησης θα πραγµατοποιηθεί µία σειρά από ελέγχους για να διαπιστωθεί η σηµαντικότητα των εκτιµώµενων παραµέτρων. Ο πρώτος έλεγχος αφορά την σηµαντικότητα της στατιστικής F που δίνεται από την σχέση: MSR SSR / ( p 1) F = = MSE SSE / ( n p ) Όπου: p 1: οι βαθµοί ελευθερίας για την παλινδρόµηση n p : οι βαθµοί ελευθερίας για τα σφάλµατα και p : το πλήθος των εκτιµώµενων παραµέτρων συµπεριλαµβανοµένου και του σταθερού όρου. n : το πλήθος των παρατηρήσεων Η τιµή που υπολογίζεται από την παραπάνω σχέση συγκρίνεται µε την τιµή της κατανοµής F για επίπεδο σηµαντικότητας 5% και µε p 1και n p βαθµούς ελευθερίας. Εάν η τιµή της εκτιµώµενης στατιστικής Fυπερισχύει της τιµής της κατανοµής F > Fa, p 1, n p τότε δεχόµαστε την στατιστική σηµαντικότητα των σχέσεων µεταξύ των µεταβλητών και την συνολική καταλληλότητα του µοντέλου. 91

92 Στην προκειµένη περίπτωση η τιµή της κατανοµής F 0,05,,4 για δύο και τρεις βαθµούς ελευθερίας είναι: F =9.55 < F = = ,05,,3 Κατά συνέπεια η σηµαντικότητα των σχέσεων των εκτιµηθέντων µεταβλητών και η γενική καταλληλότητα του µοντέλου είναι ικανοποιητική. Οµοίως 1 επιβεβαιώνεται η σηµαντικότητα του συντελεστή του αλλά όχι και του x τετραγωνικού όρου για τους οποίους ισχύει αντίστοιχα F 1 = > F 0,05,1,3 =10.1 x και F = < F x 0,05,1,3 =10.1. Εκτίµηση Παραµέτρων Ο δεύτερος έλεγχος αφορά την σηµαντικότητα των εκτιµηθεισών παραµέτρων της γραµµικής συνάρτησης. Οι τρεις παράµετροι της µικτής πολυωνυµικής συνάρτησης, ο σταθερός όρος καθώς και οι δύο συντελεστές της παλινδρόµησης θα ελεγχθούν ως προς την σηµαντικότητά τους σε επίπεδο σηµαντικότητας 5%. Θα χρησιµοποποιηθούν για τον σκοπό αυτό οι υπολογισθείσες τιµές της στατιστικής t από τον παρακάτω πίνακα. Στην περίπτωση που η τιµή της στατιστικής t κατά απόλυτη τιµή ξεπερνά την κρίσιµη τιµή για το δεδοµένο επίπεδο σηµαντικότητας 5% τότε επιβεβαιώνεται η σηµαντικότητα της εκτιµηθείσας παραµέτρου. Η κρίσιµη τιµή για επίπεδο σηµαντικότητας 5% υπολογίζεται από την κατανοµή Student και είναι για τρεις βαθµούς ελευθερίας t 3, 0,05 =3.18, οπότε εάν t > 3.18τότε η παράµετρος είναι στατιστικά σηµαντική. Στην προκειµένη περίπτωση για τον σταθερό όρο έχουµε t =8.173>3.18 οπότε επιβεβαιώνεται η σηµαντικότητα του σταθερού όρου. Για τον τετραγωνικό συντελεστή της παλινδρόµησης έχουµε t =.1571<3.18 και για τον συντελεστή του 1 t = <3.18 συνεπώς και οι x δύο συντελεστές της πολυωνυµικής συνάρτησης είναι µη στατιστικά σηµαντικοί. Πίνακας Εκτίµησης Παραµέτρων Estimate Standard Error t Statistic P-Value x x Στον παρακάτω πίνακα φαίνεται το 95% διάστηµα εµπιστοσύνης για την τιµή των εκτιµηθέντων παραµέτρων του γραµµικού υποδείγµατος µε βάση την κατανοµή Student για τέσσερις (4) βαθµούς ελευθερίας. Πίνακας ιαστήµατος Εµπιστοσύνης Παραµέτρων Estimate Standard Error Confidence Interval {1.5395,1.9319} { ,0.088} x x { , } 9

93 Συντελεστής Προσδιορισµού R (Coefficient of Determination). Ο επόµενος έλεγχος αφορά τον υπολογισµό του συντελεστή προσδιορισµού R Η τιµή του συντελεστή προσδιορισµού είναι: R = Η παραπάνω τιµή είναι µεγάλη και προσεγγίζει την µονάδα. Αυτό σηµαίνει ότι η προσαρµογή της συνάρτησης του υποδείγµατος στα δειγµατικά δεδοµένα είναι καλή και κατά συνέπεια η ερµηνευτική ικανότητα του µοντέλου είναι µεγάλη. Η τιµή προσδιορίζει ότι το 85,80% της µεταβλητότητας της εξαρτηµένης µεταβλητής y (δείκτης IRI) ερµηνεύεται από την παλινδρόµηση. Κανονικοποιηµένη Ρίζα Μέσου Τετραγωνικού Σφάλµατος (Normalized root mean square error) (NRMSE). Η κανονικοποιηµένη ρίζα του Μέσου Τετραγωνικού Σφάλµατος για την περίπτωση της πολυωνυµικής συνάρτησης λαµβάνει την τιµή NRMSE= η οποία δεν απέχει ιδιαίτερα από το µηδέν και δεν προσεγγίζει την µονάδα γεγονός το οποίο αποτελεί ένδειξη για την σχετικά καλή προβλεπτική ικανότητα του παραπάνω µοντέλου Προσαρµογή Μοντέλου Πολυωνύµου 3 ου Βαθµού και Αντίστροφης Συνάρτησης 1 3 Η προσαρµογή µοντέλου της µορφής Yt = β0+ β1t + βt + et προσδιόρισε για την µέση τιµή των δειγµατικών δεδοµένων των τιµών των µετρήσεων του δείκτη IRI για κάθε ένα από τα επτά έτη τις παρακάτω τιµές και παραµέτρους: Μέση τιµή Πίνακας Μέτρα Θέσης και Απόκλισης Τυπική ιασπορά Συντελεστής Απόκλιση ( ιακύµανση) Μεταβλητότητας Cv Μέση τιµή y του IRI n=500 Πίνακας Μέση τιµή IRI για το σύνολο των 194 µετρήσεων Πίνακας Προβλεπόµενη Μέση τιµή IRI για το σύνολο των 500 µετρήσεων για επόµενα έτη +4 έτη +6 έτη +9 έτη +1 έτη +14 έτη +19 έτη +1 έτη Μέση τιµή y του IRI n=

94 H «µικτή» αντίστροφη και πολυωνυµική συνάρτηση 3 ου βαθµού που προσαρµόζεται καλύτερα στα χρονολογικά δεδοµένα µε βάση την βελτιστοποίηση των ελαχίστων τετραγώνων (OLS) είναι: f ( t ) = x x συνάρτησης καθώς και το νέφος των προσδιοριστικών σηµείων φαίνεται στο παρακάτω σχήµα: 3 +. Η γραφική παράσταση της παραπάνω Σχήµα Προσαρµογή Πολυωνυµικής Συνάρτησης 3.5 fhxl x ιαστήµατα Εµπιστοσύνης για την εκτιµώµενη Τιµή IRI Στον παρακάτω πίνακα φαίνεται το 95% διάστηµα εµπιστοσύνης για την µέση τιµή y των εκτιµηθεισών παρατηρήσεων του δείκτη IRI στο γραµµικό υπόδειγµα µε βάση την κατανοµή Student για τρεις (3) βαθµούς ελευθερίας. Η κρίσιµη τιµή λαµβάνει την τιµή t 3, 0,05 =3,18. Το διάστηµα εµπιστοσύνης υπολογίζεται από την σχέση: ˆ S y t y yˆ + t n 3, 0,05 3, 0,05 S n Mean Prediction Confidence Interval Table Observed Predicted Standard Error Confidence Interval { ,1.7917} {1.666, } {1.6858,1.877} {1.76, } { ,1.8857} { ,1.9835} Επιπλέον µε βάση τα διαστήµατα εµπιστοσύνης που προσδιορίζονται, καθορίζονται τα όρια µέσα στα οποία το υπόδειγµα προβλέπει να βρίσκονται οι τιµές των παρατηρήσεων. Στο παρακάτω σχήµα φαίνονται οι λωρίδες εµπιστοσύνης οι οποίες καθορίζουν τα παραπάνω όρια της πρόβλεψης δηµιουργώντας ένα φάσµα πρόβλεψης. 94

95 Σχήµα Λωρίδες Εµπιστοσύνης των ιαστηµάτων εµπιστοσύνης 95%,75%,50%,15% Προβλεπόµενη τιµή εδοµένων Παρατηρήσεων Η προβλεπόµενη τιµή µε βάση την ευθεία παλινδρόµησης για τις παρατηρούµενες (µετρηµένες) τιµές του IRI παρουσιάζονται στον παρακάτω πίνακα. Πίνακας Παρατηρούµενη και Προβλεπόµενη Τιµή IRI Τιµές/έτη Μετρήσιµη Παρατηρούµενη ( εδοµένα) Προβλεπόµενη Στο παρακάτω πίνακα φαίνονται τα σφάλµατα (κατάλοιπα) τα οποία προέκυψαν από το γραµµικό υπόδειγµα ως διαφορά της παρατηρούµενης και προβλεπόµενης τιµής σύµφωνα µε την σχέση: e= yˆ y Πίνακας Κατάλοιπα έτος e Σχήµα ιάγραµµα Καταλοίπων 95

96 Ανάλυση της ιακύµανσης (ANOVA) Στο παρακάτω πίνακα παρουσιάζονται τα αποτελέσµατα που προέκυψαν από την ανάλυση της διακύµανσης Analysis Of Variance (ANOVΑ). Πίνακας ANOVA DF SS MS F Statistic P-Value x 3 x Error Total Παρατηρούµε ότι ισχύει SST=SSR+SSE αφού: =( ) γεγονός το οποίο είναι φυσικό για το µικτό πολυωνυµικό υπόδειγµα το οποίο µπορεί να µετατραπεί σε γραµµικό. Για την αξιολόγηση του µοντέλου της παλινδρόµησης θα πραγµατοποιηθεί µία σειρά από ελέγχους για να διαπιστωθεί η σηµαντικότητα των εκτιµώµενων παραµέτρων. Ο πρώτος έλεγχος αφορά την σηµαντικότητα της στατιστικής F που δίνεται από την σχέση: MSR SSR / ( p 1) F = = MSE SSE / ( n p ) Όπου: p 1: οι βαθµοί ελευθερίας για την παλινδρόµηση n p : οι βαθµοί ελευθερίας για τα σφάλµατα και p : το πλήθος των εκτιµώµενων παραµέτρων συµπεριλαµβανοµένου και του σταθερού όρου. n : το πλήθος των παρατηρήσεων Η τιµή που υπολογίζεται από την παραπάνω σχέση συγκρίνεται µε την τιµή της κατανοµής F για επίπεδο σηµαντικότητας 5% και µε p 1και n p βαθµούς ελευθερίας. Εάν η τιµή της εκτιµώµενης στατιστικής Fυπερισχύει της τιµής της κατανοµής F > Fa, p 1, n p τότε δεχόµαστε την στατιστική σηµαντικότητα των σχέσεων µεταξύ των µεταβλητών και την συνολική καταλληλότητα του µοντέλου. Στην προκειµένη περίπτωση η τιµή της κατανοµής F 0,05,,4 για δύο και τρεις βαθµούς ελευθερίας είναι: F =9.55 < F = = ,05,,3 Κατά συνέπεια η σηµαντικότητα των σχέσεων των εκτιµηθέντων µεταβλητών και η γενική καταλληλότητα του µοντέλου είναι ικανοποιητική. Επιβεβαιώνεται η σηµαντικότητα του συντελεστή του όρου 1 αλλά όχι και του κυβικού για τους x οποίους ισχύει F 1 = > F 0,05,1,3 =10.1 και F 3 = < F x 0,05,1,3 =10.1 x αντίστοιχα. 96

97 Εκτίµηση Παραµέτρων Ο δεύτερος έλεγχος αφορά την σηµαντικότητα των εκτιµηθεισών παραµέτρων της γραµµικής συνάρτησης. Οι τρεις παράµετροι της µικτής πολυωνυµικής συνάρτησης, ο σταθερός όρος καθώς και οι δύο συντελεστές της παλινδρόµησης θα ελεγχθούν ως προς την σηµαντικότητά τους σε επίπεδο σηµαντικότητας 5%. Θα χρησιµοποποιηθούν για τον σκοπό αυτό οι υπολογισθείσες τιµές της στατιστικής t από τον παρακάτω πίνακα. Στην περίπτωση που η τιµή της στατιστικής t κατά απόλυτη τιµή ξεπερνά την κρίσιµη τιµή για το δεδοµένο επίπεδο σηµαντικότητας 5% τότε επιβεβαιώνεται η σηµαντικότητα της εκτιµηθείσας παραµέτρου. Η κρίσιµη τιµή για επίπεδο σηµαντικότητας 5% υπολογίζεται από την κατανοµή Student και είναι για τρεις βαθµούς ελευθερίας t 3, 0,05 =3.18, οπότε εάν t > 3.18τότε η παράµετρος είναι στατιστικά σηµαντική. Στην προκειµένη περίπτωση για τον σταθερό όρο έχουµε t = >3.18 οπότε επιβεβαιώνεται η σηµαντικότητα του σταθερού όρου. Για τον κυβικό συντελεστή της παλινδρόµησης έχουµε t =.3364<3.18 και για τον συντελεστή του 1 x t =1.955<3.18 συνεπώς και οι δύο συντελεστές της πολυωνυµικής συνάρτησης είναι στατιστικά µη σηµαντικοί. Πίνακας Εκτίµησης Παραµέτρων Estimate Standard Error t Statistic P-Value x 3 x Στον παρακάτω πίνακα φαίνεται το 95% διάστηµα εµπιστοσύνης για την τιµή των εκτιµηθέντων παραµέτρων του γραµµικού υποδείγµατος µε βάση την κατανοµή Student για τέσσερις (4) βαθµούς ελευθερίας. Πίνακας ιαστήµατος Εµπιστοσύνης Παραµέτρων Estimate Standard Error Confidence Interval {1.608, } { , } x 3 x { , } Συντελεστής Προσδιορισµού R (Coefficient of Determination). Ο επόµενος έλεγχος αφορά τον υπολογισµό του συντελεστή προσδιορισµού R Η τιµή του συντελεστή προσδιορισµού είναι: R = Η παραπάνω τιµή είναι µεγάλη και προσεγγίζει την µονάδα. Αυτό σηµαίνει ότι η προσαρµογή της συνάρτησης του υποδείγµατος στα δειγµατικά δεδοµένα είναι καλή και κατά συνέπεια η ερµηνευτική ικανότητα του µοντέλου είναι µεγάλη. Η τιµή 97

98 προσδιορίζει ότι το 87,15% της µεταβλητότητας της εξαρτηµένης µεταβλητής y (δείκτης IRI) ερµηνεύεται από την παλινδρόµηση. Κανονικοποιηµένη Ρίζα Μέσου Τετραγωνικού Σφάλµατος (Normalized root mean square error) (NRMSE). Η κανονικοποιηµένη ρίζα του Μέσου Τετραγωνικού Σφάλµατος για την περίπτωση της πολυωνυµικής συνάρτησης λαµβάνει την τιµή NRMSE= η οποία δεν απέχει ιδιαίτερα από το µηδέν και δεν προσεγγίζει την µονάδα γεγονός το οποίο αποτελεί ένδειξη για την σχετικά καλή προβλεπτική ικανότητα του παραπάνω µοντέλου Προσαρµογή Μοντέλου Πολυωνύµου 3 ου Βαθµού και Αντίστροφης Συνάρτησης στο τετράγωνο 3 Η προσαρµογή µοντέλου της µορφής Yt = β0+ β1t + βt + et προσδιόρισε για την µέση τιµή των δειγµατικών δεδοµένων των τιµών των µετρήσεων του δείκτη IRI για κάθε ένα από τα επτά έτη τις παρακάτω τιµές και παραµέτρους: Μέση τιµή Πίνακας Μέτρα Θέσης και Απόκλισης Τυπική ιασπορά Συντελεστής Απόκλιση ( ιακύµανση) Μεταβλητότητας Cv Μέση τιµή y του IRI n=500 Πίνακας Μέση τιµή IRI για το σύνολο των 194 µετρήσεων Πίνακας Προβλεπόµενη Μέση τιµή IRI για το σύνολο των 500 µετρήσεων για επόµενα έτη +4 έτη +6 έτη +9 έτη +1 έτη +14 έτη +19 έτη +1 έτη Μέση τιµή y του IRI n= H «µικτή» αντίστροφη και πολυωνυµική συνάρτηση 3 ου βαθµού που προσαρµόζεται καλύτερα στα χρονολογικά δεδοµένα µε βάση την βελτιστοποίηση των ελαχίστων τετραγώνων (OLS) είναι: f ( t ) = x. Η γραφική παράσταση της παραπάνω x συνάρτησης καθώς και το νέφος των προσδιοριστικών σηµείων φαίνεται στο παρακάτω σχήµα: 98

99 Σχήµα Προσαρµογή Πολυωνυµικής Συνάρτησης 3.5 fhxl x ιαστήµατα Εµπιστοσύνης για την εκτιµώµενη Τιµή IRI Στον παρακάτω πίνακα φαίνεται το 95% διάστηµα εµπιστοσύνης για την µέση τιµή y των εκτιµηθεισών παρατηρήσεων του δείκτη IRI στο γραµµικό υπόδειγµα µε βάση την κατανοµή Student για τρεις (3) βαθµούς ελευθερίας. Η κρίσιµη τιµή λαµβάνει την τιµή t 3, 0,05 =3.18. Το διάστηµα εµπιστοσύνης υπολογίζεται από την σχέση: ˆ S y t y yˆ + t n 3, 0,05 3, 0,05 Mean Prediction Confidence Interval Table Observed Predicted Standard Error Confidence Interval { ,1.790} { , } {1.6866,1.8147} {1.74, } { , } { , } Επιπλέον µε βάση τα διαστήµατα εµπιστοσύνης που προσδιορίζονται, καθορίζονται τα όρια µέσα στα οποία το υπόδειγµα προβλέπει να βρίσκονται οι τιµές των παρατηρήσεων. Στο παρακάτω σχήµα φαίνονται οι λωρίδες εµπιστοσύνης οι οποίες καθορίζουν τα παραπάνω όρια της πρόβλεψης δηµιουργώντας ένα φάσµα πρόβλεψης. Σχήµα Λωρίδες Εµπιστοσύνης των ιαστηµάτων εµπιστοσύνης 95%,75%,50%,15% S n 99

100 Προβλεπόµενη τιµή εδοµένων Παρατηρήσεων Η προβλεπόµενη τιµή µε βάση την ευθεία παλινδρόµησης για τις παρατηρούµενες (µετρηµένες) τιµές του IRI παρουσιάζονται στον παρακάτω πίνακα. Πίνακας Παρατηρούµενη και Προβλεπόµενη Τιµή IRI Τιµές/έτη Μετρήσιµη Παρατηρούµενη ( εδοµένα) Προβλεπόµενη Στο παρακάτω πίνακα φαίνονται τα σφάλµατα (κατάλοιπα) τα οποία προέκυψαν από το γραµµικό υπόδειγµα ως διαφορά της παρατηρούµενης και προβλεπόµενης τιµής σύµφωνα µε την σχέση: e= yˆ y Πίνακας Κατάλοιπα έτος e ιάγραµµα Καταλοίπων Ανάλυση της ιακύµανσης (ANOVA) Στο παρακάτω πίνακα παρουσιάζονται τα αποτελέσµατα που προέκυψαν από την ανάλυση της διακύµανσης Analysis Of Variance (ANOVΑ). Πίνακας ANOVA DF SS MS F Statistic P-Value x 3 x Error Total Παρατηρούµε ότι ισχύει SST=SSR+SSE αφού: =( ) γεγονός το οποίο είναι φυσικό για το µικτό πολυωνυµικό υπόδειγµα το οποίο µπορεί να µετατραπεί σε γραµµικό. 100

101 Για την αξιολόγηση του µοντέλου της παλινδρόµησης θα πραγµατοποιηθεί µία σειρά από ελέγχους για να διαπιστωθεί η σηµαντικότητα των εκτιµώµενων παραµέτρων. Ο πρώτος έλεγχος αφορά την σηµαντικότητα της στατιστικής F που δίνεται από την σχέση: MSR SSR / ( p 1) F = = MSE SSE / ( n p ) Όπου: p 1: οι βαθµοί ελευθερίας για την παλινδρόµηση n p : οι βαθµοί ελευθερίας για τα σφάλµατα και p : το πλήθος των εκτιµώµενων παραµέτρων συµπεριλαµβανοµένου και του σταθερού όρου. n : το πλήθος των παρατηρήσεων Η τιµή που υπολογίζεται από την παραπάνω σχέση συγκρίνεται µε την τιµή της κατανοµής F για επίπεδο σηµαντικότητας 5% και µε p 1και n p βαθµούς ελευθερίας. Εάν η τιµή της εκτιµώµενης στατιστικής Fυπερισχύει της τιµής της κατανοµής F > Fa, p 1, n p τότε δεχόµαστε την στατιστική σηµαντικότητα των σχέσεων µεταξύ των µεταβλητών και την συνολική καταλληλότητα του µοντέλου. Στην προκειµένη περίπτωση η τιµή της κατανοµής F 0,05,,3για δύο και τρεις βαθµούς ελευθερίας είναι: F =9,55 < F = = ,05,,3 Κατά συνέπεια η σηµαντικότητα των σχέσεων των εκτιµηθέντων µεταβλητών και η γενική καταλληλότητα του µοντέλου είναι ικανοποιητική. Επιβεβαιώνεται η 1 σηµαντικότητα του συντελεστή του όρου του αλλά όχι και του κυβικού για τους x οποίους ισχύει F 1 =1.064> F 0,05,1,3 =10.1 και F 3 = < F 0,05,1,3 =10.1 αντίστοιχα. x Εκτίµηση Παραµέτρων Ο δεύτερος έλεγχος αφορά την σηµαντικότητα των εκτιµηθεισών παραµέτρων της γραµµικής συνάρτησης. Οι τρεις παράµετροι της µικτής πολυωνυµικής συνάρτησης, ο σταθερός όρος καθώς και οι δύο συντελεστές της παλινδρόµησης θα ελεγχθούν ως προς την σηµαντικότητά τους σε επίπεδο σηµαντικότητας 5%. Θα χρησιµοποποιηθούν για τον σκοπό αυτό οι υπολογισθείσες τιµές της στατιστικής t από τον παρακάτω πίνακα. Στην περίπτωση που η τιµή της στατιστικής t κατά απόλυτη τιµή ξεπερνά την κρίσιµη τιµή για το δεδοµένο επίπεδο σηµαντικότητας 5% τότε επιβεβαιώνεται η σηµαντικότητα της εκτιµηθείσας παραµέτρου. Η κρίσιµη τιµή για επίπεδο σηµαντικότητας 5% υπολογίζεται από την κατανοµή Student και είναι για τρεις βαθµούς ελευθερίας t 3, 0,05 =3.18, οπότε εάν t > 3.18τότε η παράµετρος είναι στατιστικά σηµαντική. Στην προκειµένη περίπτωση για τον σταθερό όρο έχουµε t =58.583>3.18 οπότε επιβεβαιώνεται η σηµαντικότητα του σταθερού όρου. x 101

102 Για τον κυβικό συντελεστή της παλινδρόµησης έχουµε t =.89367<3.18 και για 1 τον συντελεστή του t =1.366<3.18 συνεπώς και οι δύο συντελεστές της x πολυωνυµικής συνάρτησης είναι στατιστικά µη σηµαντικοί. Πίνακας Εκτίµησης Παραµέτρων Estimate Standard Error t Statistic P-Value x 3 x Στον παρακάτω πίνακα φαίνεται το 95% διάστηµα εµπιστοσύνης για την τιµή των εκτιµηθέντων παραµέτρων του γραµµικού υποδείγµατος µε βάση την κατανοµή Student για τέσσερις (4) βαθµούς ελευθερίας. Πίνακας ιαστήµατος Εµπιστοσύνης Παραµέτρων Estimate Standard Error Confidence Interval {1.6486, } { , } x 3 x { , } Συντελεστής Προσδιορισµού R (Coefficient of Determination). Ο επόµενος έλεγχος αφορά τον υπολογισµό του συντελεστή προσδιορισµού R Η τιµή του συντελεστή προσδιορισµού είναι: R = Η παραπάνω τιµή είναι µεγάλη και προσεγγίζει την µονάδα. Αυτό σηµαίνει ότι η προσαρµογή της συνάρτησης του υποδείγµατος στα δειγµατικά δεδοµένα είναι καλή και κατά συνέπεια η ερµηνευτική ικανότητα του µοντέλου είναι µεγάλη. Η τιµή προσδιορίζει ότι το 87,19% της µεταβλητότητας της εξαρτηµένης µεταβλητής y (δείκτης IRI) ερµηνεύεται από την παλινδρόµηση. Κανονικοποιηµένη Ρίζα Μέσου Τετραγωνικού Σφάλµατος (Normalized root mean square error) (NRMSE). Η κανονικοποιηµένη ρίζα του Μέσου Τετραγωνικού Σφάλµατος για την περίπτωση της πολυωνυµικής συνάρτησης λαµβάνει την τιµή NRMSE= η οποία δεν απέχει ιδιαίτερα από το µηδέν και δεν προσεγγίζει την µονάδα γεγονός το οποίο αποτελεί ένδειξη για την σχετικά καλή προβλεπτική ικανότητα του παραπάνω µοντέλου Προσαρµογή ελλιπούς πολυωνυµικού Μοντέλου Η προσαρµογή µοντέλου της µορφής Yt = β0+ β1t + et προσδιόρισε για την µέση τιµή των δειγµατικών δεδοµένων των τιµών των µετρήσεων του δείκτη IRI για κάθε ένα από τα επτά έτη τις παρακάτω τιµές και παραµέτρους: 10

103 Μέση τιµή Πίνακας Μέτρα Θέσης και Απόκλισης Τυπική ιασπορά Συντελεστής Απόκλιση ( ιακύµανση) Μεταβλητότητας Cv Μέση τιµή y του IRI n=500 Πίνακας Μέση τιµή IRI για το σύνολο των 194 µετρήσεων Πίνακας Προβλεπόµενη Μέση τιµή IRI για το σύνολο των 500 µετρήσεων για επόµενα έτη +4 έτη +6 έτη +9 έτη +1 έτη +14 έτη +19 έτη +1 έτη Μέση τιµή y του IRI n= H γραµµική συνάρτηση που προσαρµόζεται καλύτερα στα χρονολογικά δεδοµένα µε βάση την βελτιστοποίηση των ελαχίστων τετραγώνων (OLS) είναι: f t = x. Η γραφική παράσταση της παραπάνω συνάρτησης ( ) καθώς και το νέφος των προσδιοριστικών σηµείων φαίνεται στο παρακάτω σχήµα: Σχήµα Προσαρµογή Γραµµικής Συνάρτησης 3.5 fhxl x ιαστήµατα Εµπιστοσύνης για την εκτιµώµενη Τιµή IRI Στον παρακάτω πίνακα φαίνεται το 95% διάστηµα εµπιστοσύνης για την µέση τιµή y των εκτιµηθεισών παρατηρήσεων του δείκτη IRI στο γραµµικό υπόδειγµα µε βάση την κατανοµή Student για τέσσερις (4) βαθµούς ελευθερίας. Η κρίσιµη τιµή λαµβάνει την τιµή t 4, 0,05 =,776. Το διάστηµα εµπιστοσύνης υπολογίζεται από την σχέση: ˆ S y t y yˆ + t n 4, 0,05 4, 0,05 S n 103

104 Mean Prediction Confidence Interval Table Observed Predicted Standard Error Confidence Interval {1.6441,1.7605} { , } { , } {1.7413, } {1.7771, } { , } Επιπλέον µε βάση τα διαστήµατα εµπιστοσύνης που προσδιορίζονται, καθορίζονται τα όρια µέσα στα οποία το υπόδειγµα προβλέπει να βρίσκονται οι τιµές των παρατηρήσεων. Στο παρακάτω σχήµα φαίνονται οι λωρίδες εµπιστοσύνης οι οποίες καθορίζουν τα παραπάνω όρια της πρόβλεψης δηµιουργώντας ένα φάσµα πρόβλεψης. Σχήµα Λωρίδες Εµπιστοσύνης των ιαστηµάτων εµπιστοσύνης 95%,75%,50%,15% Προβλεπόµενη τιµή εδοµένων Παρατηρήσεων Η προβλεπόµενη τιµή µε βάση την ευθεία παλινδρόµησης για τις παρατηρούµενες (µετρηµένες) τιµές του IRI παρουσιάζονται στον παρακάτω πίνακα. Πίνακας Παρατηρούµενη και Προβλεπόµενη Τιµή IRI Τιµές/έτη Μετρήσιµη Παρατηρούµενη ( εδοµένα) Προβλεπόµενη Στο παρακάτω πίνακα φαίνονται τα σφάλµατα (κατάλοιπα) τα οποία προέκυψαν από το γραµµικό υπόδειγµα ως διαφορά της παρατηρούµενης και προβλεπόµενης τιµής σύµφωνα µε την σχέση: e= yˆ y Πίνακας Κατάλοιπα έτος e

105 Σχήµα ιάγραµµα Καταλοίπων Ανάλυση της ιακύµανσης (ANOVA) Στο παρακάτω πίνακα παρουσιάζονται τα αποτελέσµατα που προέκυψαν από την ανάλυση της διακύµανσης Analysis Of Variance (ANOVΑ). Πίνακας ANOVA DF SS MS F Statistic P-Value x Error Total Παρατηρούµε ότι ισχύει SST=SSR+SSE αφού: = γεγονός το οποίο είναι φυσικό για το γραµµικό υπόδειγµα. Για την αξιολόγηση του µοντέλου της παλινδρόµησης θα πραγµατοποιηθεί µία σειρά από ελέγχους για να διαπιστωθεί η σηµαντικότητα των εκτιµώµενων παραµέτρων. Ο πρώτος έλεγχος αφορά την σηµαντικότητα της στατιστικής F που δίνεται από την σχέση: MSR SSR / ( p 1) F = = MSE SSE / ( n p ) Όπου: p 1: οι βαθµοί ελευθερίας για την παλινδρόµηση n p : οι βαθµοί ελευθερίας για τα σφάλµατα και p : το πλήθος των εκτιµώµενων παραµέτρων συµπεριλαµβανοµένου και του σταθερού όρου. n : το πλήθος των παρατηρήσεων Η τιµή που υπολογίζεται από την παραπάνω σχέση συγκρίνεται µε την τιµή της κατανοµής F για επίπεδο σηµαντικότητας 5% και µε p 1και n p βαθµούς ελευθερίας. Εάν η τιµή της εκτιµώµενης στατιστικής Fυπερισχύει της τιµής της κατανοµής F > Fa, p 1, n p τότε δεχόµαστε την στατιστική σηµαντικότητα των σχέσεων µεταξύ των µεταβλητών και την συνολική καταλληλότητα του µοντέλου. Στην προκειµένη περίπτωση η τιµή της κατανοµής F 0,05,1,4 για έναν και τέσσερις βαθµούς ελευθερίας είναι F 0,05,1,4 =7,71 < F = κατά συνέπεια η σηµαντικότητα των σχέσεων των εκτιµηθέντων µεταβλητών και η γενική καταλληλότητα του µοντέλου είναι ιδιαίτερα ικανοποιητική. 105

106 Παράλληλα η µικρή τιµή της στατιστικής p δείχνει την καταλληλότητα του µοντέλου. Ο δεύτερος έλεγχος αφορά την σηµαντικότητα των εκτιµηθεισών παραµέτρων της γραµµικής συνάρτησης. Οι δύο παράµετροι της γραµµικής συνάρτησης, ο σταθερός όρος καθώς και ο ένας συντελεστής της παλινδρόµησης θα ελεγχθούν ως προς την σηµαντικότητά τους σε επίπεδο σηµαντικότητας 5%. Θα χρησιµποποιηθούν για τον σκοπό αυτό οι υπολογισθείσες τιµές της στατιστικής t από τον παρακάτω πίνακα. Στην περίπτωση που η τιµή της στατιστικής t κατά απόλυτη τιµή ξεπερνά την κρίσιµη τιµή για το δεδοµένο επίπεδο σηµαντικότητας 5% τότε επιβεβαιώνεται η σηµαντικότητα της εκτιµηθείσας παραµέτρου. Η κρίσιµη τιµή για επίπεδο σηµαντικότητας 5% υπολογίζεται από την κατανοµή Student και είναι για τέσσερις βαθµούς ελευθερίας t =,776, οπότε εάν t >, 776τότε η παράµετρος είναι στατιστικά σηµαντική. 4, 0,05 Στην προκειµένη περίπτωση για τον σταθερό όρο έχουµε t = >,776 οπότε επιβεβαιώνεται η σηµαντικότητα του σταθερού όρου. Για τον συντελεστή της παλινδρόµησης έχουµε t =4.57>,776 συνεπώς ο συντελεστής κλίσης της γραµµικής συνάρτησης είναι στατιστικά σηµαντικός. Παράλληλα η µικρή τιµή της στατιστικής p για τον σταθερό όρο και τον συντελεστή αντίστοιχα µαρτυρούν για ακόµα µία φορά τόσο την σηµαντικότητα του σταθερού όσο και του συντελεστή. Πίνακας Εκτίµησης Παραµέτρων Estimate Standard Error t Statistic P-Value *10^-7 x Στον παρακάτω πίνακα φαίνεται το 95% διάστηµα εµπιστοσύνης για την τιµή των εκτιµηθέντων παραµέτρων του γραµµικού υποδείγµατος µε βάση την κατανοµή Student για πέντε (5) βαθµούς ελευθερίας. Πίνακας ιαστήµατος Εµπιστοσύνης Παραµέτρων Estimate Standard Error Confidence Interval { ,1.7593} x { , } Συντελεστής Προσδιορισµού R (Coefficient of Determination). Η τιµή του συντελεστή προσδιορισµού είναι: R = Η παραπάνω τιµή είναι γενικά υψηλή για το υπόδειγµα. Η τιµή προσδιορίζει ότι το 83,64% της µεταβλητότητας της εξαρτηµένης µεταβλητής y (δείκτης IRI) ερµηνεύεται από την παλινδρόµηση. Κανονικοποιηµένη Ρίζα Μέσου Τετραγωνικού Σφάλµατος (Normalized root mean square error) (NRMSE). 106

107 Η κανονικοποιηµένη ρίζα του Μέσου Τετραγωνικού Σφάλµατος για την περίπτωση της γραµµικής συνάρτησης λαµβάνει την τιµή NRMSE= η οποία βέβαια µπορεί να απέχει από το µηδέν αλλά και δεν προσεγγίζει την µονάδα γεγονός το οποίο αποτελεί ένδειξη για την σχετικά καλή προβλεπτική ικανότητα του παραπάνω µοντέλου. 107

108

109 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 ΠΡΟΣΑΡΜΟΓΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΚΑΙ ΠΡΟΒΛΕΨΕΙΣ ΣΤΙΣ ΧΡΟΝΟΛΟΓΙΚΕΣ ΣΕΙΡΕΣ ΤΟΥ ΣΥΝΟΛΟΥ ΤΩΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΩΝ ΜΟΝΑ ΩΝ 5.1 Εισαγωγή Στο κεφάλαιο αυτό θα πραγµατοποιηθεί επεξεργασία και προσαρµογή διαφόρων συναρτήσεων στο σύνολο των στατιστικών µονάδων που αποτελούν οι 500 ετήσιες παρατηρήσεις εγχώριων δεδοµένων καθώς και οι 194 παρατηρήσεις των Αµερικανικών. Για κάθε προσαρµοζόµενη συνάρτηση ακολουθεί πρόβλεψη της τιµής της συνάρτησης 13 έτη από την τελευταία πραγµατική µέτρηση. Οι προβλέψεις κατανέµονται σε κλάσεις και αξιολογούνται. Αντικειµενικός σκοπός είναι η εξεύρεση της συνάρτησης εκείνης η οποία προσφέρει την καλύτερη προσαρµογή στα δεδοµένα. Ο έλεγχος της καλής προσαρµογής της συνάρτησης και της αξιοπιστίας των προβλέψεων γίνεται µε δύο κριτήρια, την τιµή του συντελεστή προσδιορισµού R και την Κανονικοποιηµένη Ρίζα του Μέσου Τετραγωνικού Σφάλµατος. Οι πίνακες που παρουσιάζονται εµφανίζουν τις παρατηρούµενες τιµές στις εξής κλάσεις: ( -0), (0 0.5), (0.5 1), (1 1.5), (1.5 ), (.5), (.5 3), (3 3.5), (3.5 5), (5 10), (10 0), (0 - + ). Στις παραπάνω κλάσεις υφίσταται περιθώριο για να συµπεριληφθούν και ακραίες τιµές, όπως είναι οι αρνητικές, οι οποίες δεν υφίστανται στην έννοια του δείκτη οµαλότητας IRI, αλλά και οι θετικές µε πολύ µεγάλη και προφανώς µη παρατηρούµενη τιµή. Τα ακραία όρια συµπεριλήφθηκαν διότι στην περίπτωση που η προσαρµοζόµενη ευθεία που θα προκύψει από την προσαρµογή της µεθόδου των ελαχίστων τετραγώνων είναι φθίνουσα, ή αύξουσα αλλά λαµβάνει ταχέως µεγάλες τιµές, τότε θα προκύψει προφανώς από την συνάρτηση πρόβλεψη µε µη αποδεκτή τιµή, αρνητική ή πολύ µεγάλη και η οποία στην συνέχεια θα απορριφθεί από εµάς. Στην περίπτωση που το µοντέλο της συνάρτησης που αξιολογούµε εξάγει µεγάλο αριθµό µη συµβατών µε τις απαιτήσεις µας τιµών όπως αρνητικών ή ακραία µεγάλων τιµών εκτός των συνήθων ορίων του δείκτη IRI, τότε το µοντέλο της συνάρτησης θα απορριφθεί. Επιπλέον γίνεται διαχωρισµός και µε βάση την τιµή της Κανονικοποιηµένης Ρίζας Μέσου Τετραγωνικού Σφάλµατος (NRMSE) οπότε οι παραπάνω κλάσεις διαχωρίζονται σε επιµέρους τρεις ως εξής: (0 0.1), [ ), [ ]. Η κατανοµή στις παραπάνω κατατάξεις γίνεται και µε βάση την τιµή του συντελεστή προσδιορισµού R στις εξής κατηγορίες: [0 0.5), [ ), [ ]. Στην συνέχεια ακολουθούν δύο διαγράµµατα, της κατανοµής των τιµών των προβλέψεων του δείκτη IRI καθώς και της κατανοµής µε κριτήριο την τιµή του συντελεστή προσδιορισµού R. Στα εγχώρια δεδοµένα προσαρµόζονται συνολικά δεκαεννέα (19) συναρτήσεις και στα Αµερικανικά οκτώ (8). Στο τέλος ακολουθεί αξιολόγηση και εξαγωγή συµπερασµάτων για το σύνολο των προσαρµοζόµενων συναρτήσεων. 109

110 5. Εγχώρια εδοµένα (500 Παρατηρήσεις) ΜΟΡΦΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ: f ( x) = a+ bx Τιµές Προβλέψεων 13 έτη µετά την τελευταία µέτρηση ΣΥΝ < >0 R R < R < Σύνολο ιαστήµατα Πρόβλεψης < >0 NRMSE < >0.4 R R < R < Σύνολο Σύνολο < ιαστήµατα Πρόβλεψης < >0 NRMSE R R < R < Σύνολο Σύνολο >

111 Κατανοµή Τιµών Προβλέψεων είκτη IRI Κατανοµή µε Κριτήριο την Τιµή Συντελεστή προσδιορισµού a: R 0.75 b: 0.5 R <0.75 c: R <0.5 R 111

112 5.. ΜΟΡΦΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ: f ( x) = a+ bx Τιµές Προβλέψεων 13 έτη µετά την τελευταία µέτρηση ΣΥΝ < >0 R R < R < Σύνολο ιαστήµατα Πρόβλεψης < >0 NRMSE < >0.4 R R < R < Σύνολο Σύνολο < ιαστήµατα Πρόβλεψης < >0 NRMSE R R < R < Σύνολο Σύνολο >0.4 11

113 Κατανοµή Τιµών Προβλέψεων είκτη IRI Κατανοµή µε Κριτήριο την Τιµή Συντελεστή προσδιορισµού a: R 0.75 b: 0.5 R <0.75 c: R <0.5 R 113

114 5..3 ΜΟΡΦΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ: f ( x) = a+ bx Τιµές Προβλέψεων 13 έτη µετά την τελευταία µέτρηση < >0 R R < R < Σύνολο ιαστήµατα Πρόβλεψης < >0 NRMSE < >0.4 R R < R < Σύνολο Σύνολο < ιαστήµατα Πρόβλεψης < >0 NRMSE R R < R < Σύνολο Σύνολο >

115 Κατανοµή Τιµών Προβλέψεων είκτη IRI Κατανοµή µε Κριτήριο την Τιµή Συντελεστή προσδιορισµού a: R^>=0.75 b: 0.5<=R^<0.75 c: R^<0.5 R 115

116 5..4 ΜΟΡΦΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ: f ( x) = a+ bx+ cx Τιµές Προβλέψεων 13 έτη µετά την τελευταία µέτρηση ΣΥΝ < >0 R R < R < Σύνολο ιαστήµατα Πρόβλεψης < >0 NRMSE < >0.4 R R < R < Σύνολο Σύνολο ιαστήµατα Πρόβλεψης < >0 NRMSE < R R < R < Σύνολο Σύνολο >

117 Κατανοµή Τιµών Προβλέψεων είκτη IRI Κατανοµή µε Κριτήριο την Τιµή Συντελεστή προσδιορισµού R a: R 0.75 b: 0.5 R <0.75 c: R <

118 5..5 ΜΟΡΦΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ: f ( x) = a+ bx Τιµές Προβλέψεων 13 έτη µετά την τελευταία µέτρηση < >0 R R < R < Σύνολο ιαστήµατα Πρόβλεψης < >0 NRMSE < >0.4 R R < R < Σύνολο Σύνολο R R 0.75 < 17 R < < ιαστήµατα Πρόβλεψης < >0 NRMSE Σύνολο Σύνολο >

119 Κατανοµή Τιµών Προβλέψεων είκτη IRI Κατανοµή µε Κριτήριο την Τιµή Συντελεστή προσδιορισµού a: R^>=0.75 b: 0.5<=R^<0.75 c: R^<0.5 R 119

120 ΜΟΡΦΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ: f ( x) = a+ bx+ cx + dx Τιµές Προβλέψεων 13 έτη µετά την τελευταία µέτρηση ΣΥΝ < >0 R R < R < Σύνολο ιαστήµατα Πρόβλεψης < >0 NRMSE < >0.4 R R < R < Σύνολο Σύνολο ιαστήµατα Πρόβλεψης < >0 NRMSE < >0.4 R R < R < Σύνολο Σύνολο

121 Κατανοµή Τιµών Προβλέψεων είκτη IRI Κατανοµή µε Κριτήριο την Τιµή Συντελεστή προσδιορισµού a: R 0.75 b: 0.5 R <0.75 c: R <0.5 R 11

122 ΜΟΡΦΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ: f ( x) = a+ bx+ cx + dx + ex Τιµές Προβλέψεων 13 έτη µετά την τελευταία µέτρηση ΣΥΝ < >0 R R < R < Σύνολο ιαστήµατα Πρόβλεψης < >0 NRMSE < >0.4 R R < R < Σύνολο Σύνολο ιαστήµατα Πρόβλεψης < >0 NRMSE < >0.4 R R < R < Σύνολο Σύνολο

123 Κατανοµή Τιµών Προβλέψεων είκτη IRI Κατανοµή µε Κριτήριο την Τιµή Συντελεστή προσδιορισµού a: R 0.75 b: 0.5 R <0.75 c: R <0.5 R 13

124 ΜΟΡΦΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ: f ( x) = a+ bx+ dx Τιµές Προβλέψεων 13 έτη µετά την τελευταία µέτρηση ΣΥΝ < >0 R R < R < Σύνολο ιαστήµατα Πρόβλεψης < >0 NRMSE < >0.4 R R < R < Σύνολο Σύνολο < ιαστήµατα Πρόβλεψης < >0 NRMSE R R < R < Σύνολο Σύνολο >0.4 14

125 Κατανοµή Τιµών Προβλέψεων είκτη IRI Κατανοµή µε Κριτήριο την Τιµή Συντελεστή προσδιορισµού a: R 0.75 b: 0.5 R <0.75 c: R <0.5 R 15

126 ΜΟΡΦΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ: f ( x) = a+ bx+ dx Τιµές Προβλέψεων 13 έτη µετά την τελευταία µέτρηση ΣΥΝ < >0 R R < R < Σύνολο ιαστήµατα Πρόβλεψης < >0 NRMSE < >0.4 R R < R < Σύνολο Σύνολο < ιαστήµατα Πρόβλεψης < >0 NRMSE R R < R < Σύνολο Σύνολο >0.4 16

127 Κατανοµή Τιµών Προβλέψεων είκτη IRI Κατανοµή µε Κριτήριο την Τιµή Συντελεστή προσδιορισµού a: R 0.75 b: 0.5 R <0.75 c: R <0.5 R 17

128 ΜΟΡΦΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ: f ( x) = a+ bx + dx Τιµές Προβλέψεων 13 έτη µετά την τελευταία µέτρηση ΣΥΝ < >0 R R < R < Σύνολο ιαστήµατα Πρόβλεψης < >0 NRMSE < >0.4 R R < R < Σύνολο Σύνολο ιαστήµατα Πρόβλεψης < >0 NRMSE < R R < R < Σύνολο Σύνολο >0.4 18

129 Κατανοµή Τιµών Προβλέψεων είκτη IRI Κατανοµή µε Κριτήριο την Τιµή Συντελεστή προσδιορισµού a: R 0.75 b: 0.5 R <0.75 c: R <0.5 R 19

130 ΜΟΡΦΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ: f ( x) = a+ bx + cx Τιµές Προβλέψεων 13 έτη µετά την τελευταία µέτρηση ΣΥΝ < >0 R R < R < Σύνολο ιαστήµατα Πρόβλεψης < >0 NRMSE < >0.4 R R < R < Σύνολο Σύνολο ιαστήµατα Πρόβλεψης < >0 NRMSE < R R < R < Σύνολο Σύνολο >

131 Κατανοµή Τιµών Προβλέψεων είκτη IRI Κατανοµή µε Κριτήριο την Τιµή Συντελεστή προσδιορισµού a: R 0.75 b: 0.5 R <0.75 c: R <0.5 R 131

132 ΜΟΡΦΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ: f ( x) = a+ bx + cx Τιµές Προβλέψεων 13 έτη µετά την τελευταία µέτρηση ΣΥΝ < >0 R R < R < Σύνολο ιαστήµατα Πρόβλεψης < >0 NRMSE < >0.4 R R < R < Σύνολο Σύνολο ιαστήµατα Πρόβλεψης < >0 NRMSE < R R < R < Σύνολο Σύνολο >0.4 13

133 Κατανοµή Τιµών Προβλέψεων είκτη IRI Κατανοµή µε Κριτήριο την Τιµή Συντελεστή προσδιορισµού a: R 0.75 b: 0.5 R <0.75 c: R <0.5 R 133

134 5..13 ΜΟΡΦΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ: f ( x) = a+ bx + cx Τιµές Προβλέψεων 13 έτη µετά την τελευταία µέτρηση ΣΥΝ < >0 R R < R < Σύνολο ιαστήµατα Πρόβλεψης < >0 NRMSE < >0.4 R R < R < Σύνολο Σύνολο ιαστήµατα Πρόβλεψης < >0 NRMSE < R R < R < Σύνολο Σύνολο >

135 Κατανοµή Τιµών Προβλέψεων είκτη IRI Κατανοµή µε Κριτήριο την Τιµή Συντελεστή προσδιορισµού a: R 0.75 b: 0.5 R <0.75 c: R <0.5 R 135

136 ΜΟΡΦΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ: f ( x) = a+ bx + cx Τιµές Προβλέψεων 13 έτη µετά την τελευταία µέτρηση ΣΥΝ < >0 R R < R < Σύνολο ιαστήµατα Πρόβλεψης < >0 NRMSE < >0.4 R R < R < Σύνολο Σύνολο ιαστήµατα Πρόβλεψης < >0 NRMSE < R R < R < Σύνολο Σύνολο >

137 Κατανοµή Τιµών Προβλέψεων είκτη IRI Κατανοµή µε Κριτήριο την Τιµή Συντελεστή προσδιορισµού a: R 0.75 b: 0.5 R <0.75 c: R <0.5 R 137

138 ΜΟΡΦΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ: f ( x) = a+ bx + cx Τιµές Προβλέψεων 13 έτη µετά την τελευταία µέτρηση ΣΥΝ < >0 R R < R < Σύνολο ιαστήµατα Πρόβλεψης < >0 NRMSE < >0.4 R R < R < Σύνολο Σύνολο ιαστήµατα Πρόβλεψης < >0 NRMSE < R R < R < Σύνολο Σύνολο >

139 Κατανοµή Τιµών Προβλέψεων είκτη IRI Κατανοµή µε Κριτήριο την Τιµή Συντελεστή προσδιορισµού a: R 0.75 b: 0.5 R <0.75 c: R <0.5 R 139

140 ΜΟΡΦΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ: 1 1 f ( x) = a+ bx + cx Τιµές Προβλέψεων 13 έτη µετά την τελευταία µέτρηση ΣΥΝ < >0 R R < R < Σύνολο ιαστήµατα Πρόβλεψης < >0 NRMSE < >0.4 R R < R < Σύνολο Σύνολο ιαστήµατα Πρόβλεψης < >0 NRMSE < R R < R < Σύνολο Σύνολο >

141 Κατανοµή Τιµών Προβλέψεων είκτη IRI Κατανοµή µε Κριτήριο την Τιµή Συντελεστή προσδιορισµού a: R 0.75 b: 0.5 R <0.75 c: R <0.5 R 141

142 ΜΟΡΦΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ: f ( x) = a+ bx + cx Τιµές Προβλέψεων 13 έτη µετά την τελευταία µέτρηση ΣΥΝ < >0 R R < R < Σύνολο ιαστήµατα Πρόβλεψης < >0 NRMSE < >0.4 R R < R < Σύνολο Σύνολο ιαστήµατα Πρόβλεψης < >0 NRMSE < R R < R < Σύνολο Σύνολο >0.4 14

143 Κατανοµή Τιµών Προβλέψεων είκτη IRI Κατανοµή µε Κριτήριο την Τιµή Συντελεστή προσδιορισµού a: R 0.75 b: 0.5 R <0.75 c: R <0.5 R 143

144 ΜΟΡΦΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ: f ( x) = a+ bx + cx Τιµές Προβλέψεων 13 έτη µετά την τελευταία µέτρηση ΣΥΝ < >0 R R < R < Σύνολο ιαστήµατα Πρόβλεψης < >0 NRMSE < >0.4 R R < R < Σύνολο Σύνολο ιαστήµατα Πρόβλεψης < >0 NRMSE < R R < R < Σύνολο Σύνολο >

145 Κατανοµή Τιµών Προβλέψεων είκτη IRI Κατανοµή µε Κριτήριο την Τιµή Συντελεστή προσδιορισµού a: R 0.75 b: 0.5 R <0.75 c: R <0.5 R 145

146 5..19 ΜΟΡΦΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ: f ( x) = ax b + clog( x) Τιµές Προβλέψεων 13 έτη µετά την τελευταία µέτρηση ΣΥΝ < >0 R R < R < Σύνολο ιαστήµατα Πρόβλεψης < >0 NRMSE < >0.4 R R < R < Σύνολο Σύνολο < ιαστήµατα Πρόβλεψης < >0 NRMSE R R < R < Σύνολο Σύνολο >

147 Κατανοµή Τιµών Προβλέψεων είκτη IRI Κατανοµή µε Κριτήριο την Τιµή Συντελεστή προσδιορισµού a: R 0.75 b: 0.5 R <0.75 c: R <0.5 R 147

148 5.3 Αµερικανικά εδοµένα (194 Παρατηρήσεις) ΜΟΡΦΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ: f ( x) = a+ bx Τιµές Προβλέψεων 13 έτη µετά την τελευταία µέτρηση ΣΥΝ < >0 R R < R < Σύνολο ιαστήµατα Πρόβλεψης < >0 NRMSE < >0.4 R R < R < Σύνολο Σύνολο ιαστήµατα Πρόβλεψης < >0 NRMSE < R R < R < Σύνολο Σύνολο >

149 Κατανοµή Τιµών Προβλέψεων είκτη IRI Κατανοµή µε Κριτήριο την Τιµή Συντελεστή προσδιορισµού R a: R 0.75 b: 0.5 R <0.75 c: R <

150 ΜΟΡΦΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ: f ( x) = a+ bx + cx Τιµές Προβλέψεων 13 έτη µετά την τελευταία µέτρηση ΣΥΝ < >0 R R < R < Σύνολο ιαστήµατα Πρόβλεψης < >0 NRMSE < >0.4 R R < R < Σύνολο Σύνολο ιαστήµατα Πρόβλεψης < >0 NRMSE < R R < R < Σύνολο Σύνολο >

151 Κατανοµή Τιµών Προβλέψεων είκτη IRI Κατανοµή µε Κριτήριο την Τιµή Συντελεστή προσδιορισµού R a: R 0.75 b: 0.5 R <0.75 c: R <

152 ΜΟΡΦΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ: f ( x) = a+ bx + cx Τιµές Προβλέψεων 13 έτη µετά την τελευταία µέτρηση ΣΥΝ < >0 R R < R < Σύνολο ιαστήµατα Πρόβλεψης < >0 NRMSE < >0.4 R R < R < Σύνολο Σύνολο ιαστήµατα Πρόβλεψης < >0 NRMSE < R R < R < Σύνολο Σύνολο >0.4 15

153 Κατανοµή Τιµών Προβλέψεων είκτη IRI Κατανοµή µε Κριτήριο την Τιµή Συντελεστή προσδιορισµού R a: R 0.75 b: 0.5 R <0.75 c: R <

154 ΜΟΡΦΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ: f ( x) = a+ bx + cx Τιµές Προβλέψεων 13 έτη µετά την τελευταία µέτρηση ΣΥΝ < >0 R R < R < Σύνολο ιαστήµατα Πρόβλεψης < >0 NRMSE < >0.4 R R < R < Σύνολο Σύνολο < ιαστήµατα Πρόβλεψης < >0 NRMSE R R < R < Σύνολο Σύνολο >

155 Κατανοµή Τιµών Προβλέψεων είκτη IRI Κατανοµή µε Κριτήριο την Τιµή Συντελεστή προσδιορισµού R a: R 0.75 b: 0.5 R <0.75 c: R <

156 5.3.5 ΜΟΡΦΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ: f ( x) = a+ blog( x) Τιµές Προβλέψεων 13 έτη µετά την τελευταία µέτρηση ΣΥΝ < >0 R R < R < Σύνολο ιαστήµατα Πρόβλεψης < >0 NRMSE < >0.4 R R < R < Σύνολο Σύνολο < ιαστήµατα Πρόβλεψης < >0 NRMSE R R < R < Σύνολο Σύνολο >

157 Κατανοµή Τιµών Προβλέψεων είκτη IRI Κατανοµή µε Κριτήριο την Τιµή Συντελεστή προσδιορισµού R a: R 0.75 b: 0.5 R <0.75 c: R <

158 5.3.6 ΜΟΡΦΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ: b f ( ) ( x x ) = a b ( x + c ) Τιµές Προβλέψεων 13 έτη µετά την τελευταία µέτρηση ΣΥΝ < >0 R R < R < Σύνολο ιαστήµατα Πρόβλεψης < >0 NRMSE < >0.4 R R < R < Σύνολο Σύνολο ιαστήµατα Πρόβλεψης < >0 NRMSE < R R < R < Σύνολο Σύνολο >

159 Κατανοµή Τιµών Προβλέψεων είκτη IRI Κατανοµή µε Κριτήριο την Τιµή Συντελεστή προσδιορισµού R a: R 0.75 b: 0.5 R <0.75 c: R <

160 5.3.7 ΜΟΡΦΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ: f ( x) = ax b Τιµές Προβλέψεων 13 έτη µετά την τελευταία µέτρηση ΣΥΝ < >0 R R < R < Σύνολο ιαστήµατα Πρόβλεψης < >0 NRMSE < >0.4 R R < R < Σύνολο Σύνολο ιαστήµατα Πρόβλεψης < >0 NRMSE < R R < R < Σύνολο Σύνολο >

161 Κατανοµή Τιµών Προβλέψεων είκτη IRI Κατανοµή µε Κριτήριο την Τιµή Συντελεστή προσδιορισµού R a: R 0.75 b: 0.5 R <0.75 c: R <

162 5.3.8 ΜΟΡΦΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ: ( ) a b f x = x + x + c Τιµές Προβλέψεων 13 έτη µετά την τελευταία µέτρηση ΣΥΝ < >0 R R < R < Σύνολο ιαστήµατα Πρόβλεψης < >0 NRMSE < >0.4 R R < R < Σύνολο Σύνολο < ιαστήµατα Πρόβλεψης < >0 NRMSE R R < R < Σύνολο Σύνολο >0.4 16

163 Κατανοµή Τιµών Προβλέψεων είκτη IRI Κατανοµή µε Κριτήριο την Τιµή Συντελεστή προσδιορισµού R a: R 0.75 b: 0.5 R <0.75 c: R <