Οπτικι και κφματα. Δθμιτρθσ Παπάηογλου Σμιμα Επιςτιμθσ και Σεχνολογίασ Τλικών Πανεπιςτιμιο Κριτθσ

Transcript

1 Οπτικι και κφματα Δθμιτρθσ Παπάηογλου Σμιμα Επιςτιμθσ και Σεχνολογίασ Τλικών Πανεπιςτιμιο Κριτθσ

2 Δθμιτρθσ Παπάηογλου 013 Άδειεσ Χριςθσ -Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται ςτην άδεια χρήςησ Creative Cmmns και ειδικότερα Αναφορά - Μη εμπορική Χρήςη - Όχι Παράγωγο Ζργο v. 3.0 (Attributin Nn Cmmercial Nn-derivatives) - Για εκπαιδευτικό υλικό, όπωσ εικόνεσ, που υπόκειται ςε άλλου τφπου άδειασ χρήςησ, η άδεια χρήςησ αναφζρεται ρητϊσ.

3 Ιςτορικι ειςαγωγι

4 Αρχαιότθτα Ευκφγραμμθ διάδοςθ του φωτόσ Πυθαγόρασ, Δημόκριτοσ, Εμπεδοκλήσ, Πλάτων, Αριςτοτζλησ Νόμοσ τθσ ανάκλαςθσ 300 π.χ. Ευκλείδησ Κατοπτρικά ~ 50 μ.χ. Ήρων: Η διαδρομι που ακολουκεί το φϊσ από το ζνα ςθμείο ςτο άλλο είναι θ μικρότερθ. Διάκλαςθ 50 π.χ. Κλεομήδησ, 130 μ.χ. Κλαφδιοσ Πτολεμαίοσ (πίνακεσ διάθλαςησ) Κάτοπτρα 1900 π.χ. Αίγυπτοσ υγκλίνοντεσ φακοί 44 π.χ. (Αριςτοφάνησ Νεφζλεσ) ~ 30 μ.χ. Σζνεκασ Δθμιτρθσ Παπάηογλου 013 dpapa@materials.uc.gr

5 Μεςαίωνασ 1000 μ.χ. Αλχαηζν (Επίπεδο πρόςπτωςησ, ςφαιρικά και παραβολικά κάτοπτρα, λεπτομερήσ περιγραφή του ανθρϊπινου οφθαλμοφ) ~130 μ.χ. Bacn Διόρθωςη όραςησ με φακοφσ Μποροφμε να καταςκευάςουμε τθλεςκόπιο ςυνδυάηοντασ φακοφσ! ~ 1500 μ.χ. Lenard Da Vinci Camera Obscura ~ 150 μ.χ. Γυαλιά όραςησ ~1300 μ.χ. Κάτοπτρα με επίςτρωςη ~1500 μ.χ. Camera Obsura (Η πρϊτη φωτογραφική κάμερα!) Δθμιτρθσ Παπάηογλου 013 dpapa@materials.uc.gr

6 17 οσ -18 οσ αιώνασ 1611 Kepler Diptrice ολική ανάκλαςη 161 Snell Νόμοσ τησ διάθλαςησ 1637 Descartes La Diptrique, «Σο φϊσ είναι μια διαταραχι που διαδίδεται ςε ελαςτικό μζςο!» ~ 1657 Fermat Αρχή ελαχίςτου χρόνου ~1650 Grimaldi & Hke Περίθλαςη, «Σο φϊσ είναι μια ταχφτατθ δόνθςθ του μζςου που διαδίδεται με μεγάλθ ταχφτθτα» ~1665 Newtn Φαςματική ανάλυςη, Κατοπτρικά τηλεςκόπια, ςωματιδιακή φφςη του φωτόσ ~ 1665 Huygens Πόλωςη, το φϊσ είναι κφμα ~1676 Rmer Μζτρηςη τησ ταχφτητασ του φωτόσ Δθμιτρθσ Παπάηογλου 013 dpapa@materials.uc.gr 1608 Lippershey Διοπτρικό Τηλεςκόπιο 1610 Janssen Μικροςκόπιο 1668 Newtn Κατοπτρικό τηλεςκόπιο 1758 Dllnd Αχρωματικόσ φακόσ

7 Δθμιτρθσ Παπάηογλου οσ αιώνασ 1801 Yung, αρχή τησ ςυμβολήσ ~180 Fresnel, κυματική διάδοςη (διαμήκη κφματα), περίθλαςη, ςυμβολή 185 Yung, Το φϊσ είναι εγκάρςιο κφμα 1845 Faraday, Μαγνητο-οπτικό φαινόμενο ~ 1849 Fizeau, επίγεια μζτρηςη τησ ταχφτητασ του φωτόσ 1870 Maxwell, «Σο φϊσ είναι θλεκτρομαγνθτικό κφμα!» 1881,1887 Michelsn, Mrely «Ο αικζρασ είναι ακίνθτοσ ωσ προσ τθ γθ»

8 0 οσ αιώνασ 1900 Pincare, «Δεν υπάρχει αικζρασ!» 1900 Planck, αρχή τησ κβαντομηχανικήσ 1905 Einstein, Σο φϊσ διαδίδεται ςτο κενό με ςτακερι ταχφτθτα ανεξάρτθτθ από τθν κίνθςθ τθσ πθγισ Το φϊσ ζχει ςωματιδιακή υφή 1913 Bhr, κβαντομηχανική περιγραφή του ατόμου του υδρογόνου 1948 Gabr, Ολογραφία 1950 Oπτικι Furier, οπτική & θεωρία τηλεπικοινωνιϊν 1958 Twnes, Laser (1917 Einstein Θεωρθτικι πρόβλεψθ) 1966 Ka, Οπτικζσ ίνεσ 1966 Ashkin, Φωτοδιαθλαςτικά υλικά 1969 Byle, Smith, CCD κάμερα 1987 Yablnvitch, Sajeev, Φωτονικά υλικά 1999 Pedry, Μετα-υλικά (1967 Veselag Θεωρθτικι πρόβλεψθ) Δθμιτρθσ Παπάηογλου 013 Πθγζσ: wikipedia,

9 Κφματα Δθμιτρθσ Παπάηογλου 013

10 Δθμιτρθσ Παπάηογλου 013 Εξίςωςθ κφματοσ 1 t 0 διαηαπασή ( r, t) ταχφτητα διάδοςησ Γραμμική ηο άθποιζμα ηων λύζεων είναι λύζη

11 Δθμιτρθσ Παπάηογλου 013 Γραμμικότθτα και αρχι τθσ επαλλθλίασ t 1 0 N N 1 t ( i) ( ) 0 i i1 1 t i1 1 N N 0 Ν κύμαηα t Η επαλληλία ηοςρ είναι κύμα

12 Δθμιτρθσ Παπάηογλου 013 Εξίςωςθ κφματοσ ςε μία διάςταςθ z 1 t 0

13 Δθμιτρθσ Παπάηογλου 013 Χαρακτθριςτικά κυμάτων Μήκος κύμαηος (πεπιοδικόηηηα ζηον σώπο) Περίοδος (πεπιοδικόηηηα ζηον σπόνο) Πλάηος Τατύηηηα Φάζη

14 Δθμιτρθσ Παπάηογλου 013 Είδη κσμάηων Διαμήκη Εγκάρζια Διάδοση Διαταραχή Διάδοση Διαταραχή απιθμηηικό μέγεθορ ( r, t) Τςπικό παπάδειγμα ηα ησηηικά κύμαηα διάνςζμα Ar (, t) Τςπικό παπάδειγμα οι ηαλανηώζειρ μιαρ σοπδήρ

15 Δθμιτρθσ Παπάηογλου 013 Αρμονικά κφματα Η διαηαρατή (r, t) είναι αρμονική ζσνάρηηζη ηοσ τρόνοσ πλάηορ >0 ( r, t) a( r)cs[ g( r) t] θάζη Ιζοθαζική επιθάνεια g() r t cnst Επιθάνεια ζηαθεπού πλάηοςρ () r cnst

16 Δθμιτρθσ Παπάηογλου 013 Σαχφτθτα φάςθσ Η ηατύηηηα θάζης p αναθέρεηαι ζηην ηατύηηηα διάδοζης ηων ιζοθαζικών επιθανειών ( r, t) g( r) t cnst d( r, t) 0 g( r) dr dt 0 dr ( g( r) qˆ ) dr dt dr dr qˆ dt g() r qˆ g() r qˆ issurface qˆ g( r) qˆ g( r) g() r p g() r

17 Δθμιτρθσ Παπάηογλου 013 Αρμονικά επίπεδα κφματα Η διαηαρατή (r, t) είναι αρμονική ζσνάρηηζη ζηον τρόνο αλλά και ζηον τώρο. Το πλάηος είναι ζηαθερό. ( r, t) cs[ k r t] κςμαηοδιάνςζμα κςμαηάπιθμορ (wavenumber) ιζοθαζική επιθάνεια k k kr cnst μήκορ κύμαηορ (wavelength)

18 Δθμιτρθσ Παπάηογλου 013 Τατύηηηα θάζης επίπεδοσ αρμονικού κύμαηος p g( r) ( k r) k / ζςσνόηηηα p k * ( k r) ( k x k y k z) k xˆ k yˆ k zˆ k x y z x y z

19 Δθμιτρθσ Παπάηογλου 013 Μιγαδικι περιγραφι αρμονικοφ κφματοσ ( r, t) a( r)cs[ g( r) t] A( r) μιγαδικό πλάηορ ig ( r) it it Re{ a( r) e e } Re{ A( r) e } * cc it * it it [ A( r) e A ( r) e ] A( r) e c. c. * Μποροφμε να παραλείπουμε το Re{..} μόνο ςε γραμμικοφσ υπολογιςμοφσ!

20 Δθμιτρθσ Παπάηογλου 013 Μιγαδικι περιγραφι και κυματικι εξίςωςθ i t it e A( r) ( ) e A( r) t ( ) ( ) 0 A r A r Αν ηο κύμα είναι επίπεδο και αρμονικό: A( r) k A( r) 0 Εξίζωζη Helmhltz

21 Πθγζσ, Φάςμα θλεκτρομαγνθτικισ ακτινοβολίασ

22 Δθμιτρθσ Παπάηογλου 013 Πθγζσ θλεκτρομαγνθτικισ ακτινοβολίασ Κλαςικι προςζγγιςθ Επιταχυνόμενα φορτία Μεταβαλλόμενα θλεκτρικά ρεφματα Δεν υπάρχει κατώτατο όριο ςτην ςυχνότητα Κβαντομθχανικι Ενεργειακζσ μεταπτώςεισ

23 Φάςμα θλεκτρομαγνθτικισ ακτινοβολίασ Δθμιτρθσ Παπάηογλου 013

24 Δθμιτρθσ Παπάηογλου 013

25 Δθμιτρθσ Παπάηογλου 013

26 Ηλεκτρομαγνθτιςμόσ

27 Εξιςώςεισ Maxwell D, B E t B 0, D H j t θλεκτρικι μετατόπιςθ D μαγνθτικι επαγωγι B Ζνταςθ θλεκτρικοφ πεδίου E P θλεκτρικι πόλωςθ ζνταςθ μαγνθτικοφ πεδίου H M μαγνιτιςθ Οι θλεκτρικζσ & μαγνθτικζσ ιδιότθτεσ περιγράφονται με διανφςματα! Δθμιτρθσ Παπάηογλου 013 dpapa@materials.uc.gr

28 Γιατί χρειαηόμαςτε τόςα διανφςματα; Δθμιτρθσ Παπάηογλου 013 D E αλλθλεπίδραςθ πεδίου με φλθ! E D P

29 Εξιςώςεισ Τλικοφ θλεκτρικι διαπερατότθτα του κενοφ θλεκτρικι διαπερατότθτα του μζςου διηλεκτρική ςταθερά D E P D E r E B ( ) istrpic H M B H rh μαγνθτικι διαπερατότθτα του κενοφ μαγνθτικι διαπερατότθτα του μζςου ςχετικι μαγνθτικι διαπερατότθτα του μζςου B H D M P B// H D// E Ηλεκηπικά ανιζόηποπο Μαγνηηικά ιζόηποπο E B D M E P H Ηλεκηπικά ιζόηποπο Μαγνηηικά ανιζόηποπο Δθμιτρθσ Παπάηογλου 013 dpapa@materials.uc.gr B H D M E P D// E, B // H Ηλεκηπικά ιζόηποπο Μαγνηηικά ιζόηποπο

30 Δθμιτρθσ Παπάηογλου 013 Εξιςώςεισ Maxwell (Ολοκληρωτική μορφή) Ddv dv Dn ds q V V s V B dv 0 B n ds 0 s B ( E) n ds n ds E dl Bn ds t t S S L S D ( H) n ds jn ds n ds H dl I Dn ds t t S S S L S

31 Εξίςωςθ Η/Μ κφματοσ Εξαγωγι τθσ κυματικισ εξίςωςθσ για ιςότροπο υλικό B ( E) ( B) t t ( E) E ( H) t B H D E ( E) ( E) E 0, j 0 E 0 E ( ) 0 t t t E D E Εξίςωςθ κφματοσ rr rr c ταχφτθτα διάδοςθσ ςτο κενό ταχφτθτα διάδοςθσ Δθμιτρθσ Παπάηογλου 013 dpapa@materials.uc.gr

32 Δθμιτρθσ Παπάηογλου 013 Διατιρθςθ Ενζργειασ Διάνυςμα Pynting B ( EH) H E H t D B E H H E j E E H t t D EH je E ( ) t a b b a a b D B ( E H) je E H 0 t t D B ( E H) dv ( E H ) dv je dv 0 t t V V V S D B ( E H) n ds ( E H ) dv dv 0 t t j E V V

33 Δθμιτρθσ Παπάηογλου 013 Διατιρθςθ Ενζργειασ Διάνυςμα Pynting D B ( E H) n ds ( E H ) dv je dv 0 t t S V V Ροι Η/Μ ακτινοβολίασ Πυκνότθτα θλεκτρικισ, Μαγνθτικισ ενζργειασ Απώλειεσ S EH Διάνυςμα Pynting

34 Δθμιτρθσ Παπάηογλου 013 Αρμονικά επίπεδα κφματα Επίπεδο αρμονικό κφμα A A i( t) e kr A A t t A ik A, A ik A, ia, A k r ( k xˆ k yˆ k zˆ ) ( xxˆ y yˆ z zˆ ) k x k y k z x y z x y z it ikr A A ( ˆ ˆ ˆ e x y z) e x y z it A e i ( k xˆ k yˆ k zˆ ) e x y z A ik A ikr e A i( kr t) [ Ae ] A A e i( krt ) i( krt ) A k A it ikr e e i

35 Δθμιτρθσ Παπάηογλου 013 Θεωρώντασ ότι το Η/Μ κφμα μασ είναι επίπεδο και αρμονικό D D e, E E e, B B e, H H e i( krt ) i( krt ) i( krt ) i( krt ) Οι εξιςώςεισ Maxwell απλοποιοφνται: B D, E t ik D 0, ik E ib D i 0, i i 0, k B k H D B H j t k D 0 k D k B 0 k B k E B k B, E B k H D k D, H D ε ιςότροπα υλικά D// E, B // H οπότε ιςχφει ότι k D k E k B k H

36 ΙΟΣΡΟΠΑ ΤΛΙΚΑ ΑΝΙΟΣΡΟΠΑ ΤΛΙΚΑ H D B E S k D// E, B // H H D B E S B// H k Ηλεκηπικά ανιζόηποπο Μαγνηηικά ιζόηποπο D B E H D// E S k Ηλεκηπικά ιζόηποπο Μαγνηηικά ανιζόηποπο D E k D, k B, E B, H D Δθμιτρθσ Παπάηογλου 013 dpapa@materials.uc.gr B H S k Ηλεκηπικά ανιζόηποπο Μαγνηηικά ανιζόηποπο

37 Δθμιτρθσ Παπάηογλου 013 Διάνυςμα Pynting ςε ιςότροπα υλικά (αρμονικά πεδία) ε ιςότροπα υλικά k D k E D// E, B // H k B k H Επίπεδα αρμονικά κφματα A A e i( kr t) S E H S E H 1 S E c k E B E B B S E r E k 1 n 1 H B n S n c E

38 Δθμιτρθσ Παπάηογλου 013 S E S H S H E E

39 Δθμιτρθσ Παπάηογλου 013 Πόςο γριγορα ταλαντώνεται το πεδίο ; Η ταλάντωςθ του Η/Μ πεδίου ςτο οπτικό κφμα είναι κατά πολφ ταχφτερθ από τον χρόνο απόκριςθσ του ανιχνευτι μασ! sec 1 περίοδος ~ fs z = cnst

40 Δθμιτρθσ Παπάηογλου 013 Πώσ ανιχνεφουμε τθν Η/Μ ακτινοβολία; Ανιχνευτής Η περίοδοσ ταλάντωςθσ του διανφςματοσ Pynting είναι < fs ςτθν περιοχι του ορατοφ. Κανζνασ ανιχνευτισ δεν είναι τόςο γριγοροσ. Στην πραγματικότητα μετράμε την μζςθ τιμι τθσ ενζργειασ που μεταφζρεται από το οπτικό κφμα ςε πολλζσ περιόδουσ ταλάντευςθσ

41 Δθμιτρθσ Παπάηογλου 013 Ζνταςθ ακτινοβολίασ Η μζςθ τιμι του μζτρου του διανφςματοσ Pynting ωσ προσ τον χρόνο ονομάηεται ζνταςθ ακτινοβολίασ I S n c t E t (W/m ) Για αρμονικά κφματα: E( r, t) E ( r)cs( t) 1 1 E E E E cs ( t) [1 cs( t)] t t t 1 I n c E

42 Δθμιτρθσ Παπάηογλου 013 Ζνταςθ ακτινοβολίασ 1 I n c E

43 Δθμιτρθσ Παπάηογλου 013 Δείκτθσ διάκλαςθσ Ο δείκτησ διάθλαςησ ςυνδζεται με την ταχφτθτα διάδοςθσ μιασ ιςοφαςικήσ επιφάνειασ ενόσ Η/Μ κφματοσ δείκτησ διάθλαςησ c ( 1) n r r r r Εξαρτάται από την ςυχνότητα

44 Διαςπορά Η ταχφτητα τησ Η/Μ ακτινοβολίασ ςε ζνα διηλεκτρικό μζςο εξαρτάται από την ςυχνότητα Πθγι: wikipedia Δθμιτρθσ Παπάηογλου 013

45 Οπτικζσ ιδιότθτεσ Δθμιτρθσ Παπάηογλου 013

46 Δθμιτρθσ Παπάηογλου 013 Διαςπορά- Κλαςικι προςζγγιςθ Το διηλεκτρικό δεν είναι ςυνεχζσ αλλά αποτελείται από μεγάλο αριθμό ατόμων που μποροφν να πολωθοφν. Το μεταβαλλόμενο ηλεκτρικό πεδίο Ε(t) του η/μ κφματοσ "οδηγεί" τα άτομα ςε εξαναγκαςμζνη ταλάντωςη Κάθε ταλαντωτήσ ζχει μια φυςική ςυχνότητα ςυντονιςμοφ ω 0 D E P P E e Διθλεκτρικι επιδεκτικότθτα Μπορεί να είναι και τανυςτισ (ανιςότροπα υλικά)

47 Διαςπορά- Κλαςικι προςζγγιςθ Ιςότροπο υλικό Το μοντζλο είναι μαθηματικά ιςοδφναμο με εξαναγκαςμζνο ταλαντωτή μετατόπιςθ Αρμονικό πεδίο d x e e m k x q E e dt Δφναμθ επαναφοράσ* it * m e it it dt e e it xe x() t d x k x m x e k x e k m Δθμιτρθσ Παπάηογλου 013 dpapa@materials.uc.gr

48 Απλοποιθμζνο μοντζλο: Απουςία απωλειών d x it e e e m m x q E e dt it x() t x e m x e m x e q E e it it it e e e x q m e e 1 E Nqe 1 it P( t) Nqe x( t) P( t) E e me D( t) E( t) P( t) re( t) r 1 Nq 1 e me Δθμιτρθσ Παπάηογλου 013 dpapa@materials.uc.gr

49 Διαςπορά παρουςία απωλειών d x dx it e e e e m m x m q E e dt dt it x() t x e m x e m x e im x e q E e it it it it e e e e x q e m e 1 E i Nqe 1 it P( t) Nqe x( t) P( t) E e me i D( t) E( t) P( t) re( t) r 1 Nq 1 i e me Δθμιτρθσ Παπάηογλου 013 dpapa@materials.uc.gr

50 Δθμιτρθσ Παπάηογλου 013 Nq 1 r i i e 1 me Η διηλεκτρική ςταθερά μπορεί να ζχει φανταςτικό μζροσ Επομζνωσ και ο δείκτησ διάθλαςησ όταν ζχουμε απορρόφηςη είναι μιγαδικόσ r ( n i) n n 1 1 n ( ), ( )

51 Δθμιτρθσ Παπάηογλου 013 E P n

52 Ομαλή διαςπορά ςτην περιοχή του ορατοφ Δθμιτρθσ Παπάηογλου 013

53 Φανταςτικό μζροσ του δείκτη διάθλαςησ και απορρόφηςη E( r, t) E e i( kr t) i( nknr ˆ t ) n k ˆ (, t) e k n E r E n n i E( r, t) E e e k nˆ r i( nk nˆ rt ) nˆ zˆ E(, ) E kz i( nkzt) z t e e I( z) I(0) e kz I( z) I(0) e az Δθμιτρθσ Παπάηογλου 013 dpapa@materials.uc.gr 4 a k cm 1 ( ) υντελεςτισ απορρόφθςθσ

54 Δθμιτρθσ Παπάηογλου 013 Βάκοσ διείςδυςθσ d: το βάκοσ ςτο οποίο λόγω τθσ απορρόφθςθσ θ ζνταςθ ακτινοβολίασ ζχει πζςει ςτο 1/e (~37%) τθσ αρχικισ τθσ τιμισ d 1 a water (@550 nm) a 510 cm d ~ 0m 6 1 Al (@550 nm) a cm d ~ 6.6nm

55 Πθγι: Δθμιτρθσ Παπάηογλου 013

56 Διάδοςθ

57 Δθμιτρθσ Παπάηογλου 013 Κυματικι διάδοςθ Κλαςικι προςζγγιςθ Εξιςώςεισ Maxwell Εξιςώςεισ υλικοφ Οριακζσ ςυνκικεσ Δφςκολθ θ εφαρμογι τθσ ςε όλα τα προβλιματα αφοφ απαιτείται θ λφςθ τθσ κυματικισ εξίςωςθσ! Εφαρμόηεται με επιτυχία ςε αρικμθτικζσ λφςεισ Οπτικζσ ακτίνεσ Εναλλακτικζσ προςεγγίςεισ Αρχι του Huygens Αρχι του Huygens-Fresnel Προςζγγιςθ Kirchhff

58 Δθμιτρθσ Παπάηογλου 013 Οπτικζσ ακτίνεσ Οπτικι ακτίνα: Καμπφλη που αντιςτοιχεί ςτην διεφθυνςη διάδοςησ τησ ενζργειασ Ιςότροπο μζςο οι οπτικζσ ακτίνεσ είναι κάθετεσ ςτα μζτωπα κφματοσ οι οπτικζσ ακτίνεσ είναι παράλληλεσ με το κυματοδιάνυςμα k Πολφ απλι περιγραφι Αγνοεί τθν κυματικι φφςθ του φωτόσ

59 Πωσ διαδίδονται οι οπτικζσ ακτίνεσ ; Ήρων ο Αλεξανδρινόσ (~ 50 μ.χ.) «Η διαδρομι που ακολουκεί το φϊσ από το ζνα ςθμείο ςτο άλλο είναι θ μικρότερη» Μικρότερθ διαδρομι (Ήρων) Ερμθνεφει τθν ανάκλαςθ αποτυγχάνει ςτθν διάκλαςθ υντομότερθ διαδρομι (Fermat) Μικρότερθ διαδρομι (Ήρων) Fermat (1657 μ.χ.) «Η διαδρομι που ακολουκεί μια δζςμθ φωτόσ ανάμεςα ςε δφο ςθμεία είναι αυτι που διαςχίηεται ςτον ελάχιςτο χρόνο!» l ray t dl 1 c gemetrical path n dl O ptical path Δθμιτρθσ Παπάηογλου 013 dpapa@materials.uc.gr

60 Κυματικι διάδοςθ: Αρχι του Huygens (1665 μ.χ.) Κάθε ςημείο ενόσ πρωτεφοντοσ μετϊπου κφματοσ αποτελεί πηγή ςφαιρικών δευτερευόντων κυμάτων, ζτςι ϊςτε ςε μιά μεταγενζςτερη χρονική ςτιγμή το κφριο μζτωπο κφματοσ να είναι η περιβάλλουςα αυτϊν των κυμάτων. Επίςησ τα δευτερεφοντα κφματα διαδίδονται με ταχφτητα και ςυχνότητα που είναι ίςεσ με τισ αντίςτοιχεσ του πρωτεφοντοσ κφματοσ ςε κάθε ςημείο ςτο χϊρο. (Huygens 1665) Ερμθνεφει τθν ανάκλαςθ & τθν διάκλαςθ Αποτυγχάνει να ερμθνεφςει τθν περίκλαςθ! Δθμιτρθσ Παπάηογλου 013 Πθγι: wikipedia

61 Κυματικι διάδοςθ: Αρχι του Huygens-Fresnel (180 μ.χ.) το πλάτοσ του κφματοσ ςε κάθε ςημείο μια μεταγενζςτερη χρονική ςτιγμή προκφπτει από την υπζρθεςη όλων των δευτερευόντων κυμάτων λαμβάνοντασ υπόψη τα πλάτη τουσ και τισ ςχετικζσ τουσ φάςεισ. Ερμθνεφει τθν ανάκλαςθ & τθν διάκλαςθ και τθν περίκλαςθ! Αρχι τθσ επαλλθλίασ! Πλάτοσ > λ Πλάτοσ = λ Πθγι: wikipedia Δθμιτρθσ Παπάηογλου 013 dpapa@materials.uc.gr

62 Ειδικό κζμα Δθμιτρθσ Παπάηογλου 013 Γεωμετρικι οπτικι και εξιςώςεισ Maxwell

63 Δθμιτρθσ Παπάηογλου 013 Γεωμετρικι οπτικι και εξιςώςεισ Maxwell Είναι η γεωμετρική οπτική μια καλή προςζγγιςη των εξιςϊςεων Maxwell; Για να απαντήςουμε ςτο ερϊτημα θα πρζπει να εφαρμόςουμε μια διαδικαςία απλοποίηςησ των εξιςϊςεων Maxwell. ik L( r) it ik L( r) E e( r) e e, H h( r) e e it L() r e( r), h( r) Συνάρτηςη γεωμετρικοφ οπτικοφ δρόμου (Real number) Διανυςματικά πλάτη (cmplex number) Επίςησ θεωροφμε ότι δεν ζχουμε ελεφθερα φορτία και ρεφματα 0, j0

64 D 0, D E ( E) 0 E E 0 B 0, B H ( H) 0 H H 0 L ikl( r) it e( r) ik e( r) ( r) e( r) e e 0 ikl( r) it h( r) ik h( r) L( r) h( r) e e 0 * 1 e( r) L( r) e( r) ln( ) e( r) ik h( r) ( r) 1 L h( r) ln( ) h( r) ik + (M1) (M) * E [ e( r) e ] e e e( r) e e e( r) e ik L( r) it it ik L( r) it ik L( r) e e( r) e e ik e e( r) L( r) [ e( r) ik e( r) L( r)] e e it ikl( r) it ikl( r) ikl( r) it + 1 ln( ) Δθμιτρθσ Παπάηογλου 013 dpapa@materials.uc.gr

65 Δθμιτρθσ Παπάηογλου 013 B E, B H t H, D E t it ikl( r) ikl( r) it e [ e( r) e ] i h( r) e e it ikl( r) ikl( r) it D e [ h( r) e ] i e( r) e e L e( r) ik ( r) e( r) i h( r) h( r) ikl( r) h( r) i e( r) 1 L( r) e( r) c h( r) e( r) ik 1 L( r) h( r) c e( r) h( r) ik (M3) (M4)

66 Γεωμετρική προςζγγιςη: 1 0 k 0 k 1 e( r) L( r) e( r) ln( ) e( r) ik 1 * e( r) L( r) 0 h( r) L( r) h( r) ln( ) h( r) ik h( r) L( r) 0 ( ) ( ) c ( ) ( ) L L r e r h r e r ik L( r) h( r) c e( r) 0 1 L( r) h( r) c e( r) h( r) ik 1 k 0 ( r) e( r) c h( r) 0 Οι (α),(β) προκφπτουν από τισ (γ),(δ) (α) (β) (γ) (δ) L L L ( r) [ ( r) e( r) h( r)] 0 h( r) ( r) 0 L( r) [ L( r) h( r) e( r)] 0 e( r) L( r) 0 Επιπλζον ςυνθήκη τα, και το πεδίο e(r), h(r) δεν μεταβάλλονται απότομα ςε διαςτάςεισ λ ο Δθμιτρθσ Παπάηογλου 013 dpapa@materials.uc.gr

67 Δθμιτρθσ Παπάηογλου 013 L ( r) h( r) c e( r) 0 1 ( ) h( r) L( r) e( r) c 1 L( r) [ L( r) e( r)] c e( r) 0 c L L L ( r) [ e( r) ( r)] e( r)[ ( r)] c e( r) 0 0 (a) n L L L L ( r) ( r) ( r) x y z [ ( r)] ( ) ( ) ( ) n ( r) Εξίςωςθ εικόνασ

68 Δθμιτρθσ Παπάηογλου 013 Διάνυςμα Pynting και γεωμετρικι προςζγγιςθ E H S EH ikl( r) it e() r e e ikl( r) it h() r e e 1 [ ( ) ikl( r) it * ( ) ikl( r) it ] [ ( ) ikl( r) it * ( ) ikl( r) it e e e e e e e e ] S e r e r h r h r 4 1 [ ( ) ( ) ik ( r) it * ( ) * ( ) ik ( r) it ( ) * e e e e ( ) L L S e r h r e r h r e r h r e * ( r) h( r)] S e r h r e r h r e r h r t 4 * * * [ ( ) ( ) ( ) ( )] Re[ ( ) ( )]

69 nˆ t 1 * Re[ ( ) ( )] 1 1 * S Re ( ) [ ( ) ( )] t e r L r e r S e r h r 1 c h( r) L( r) e( r) c S Re ( ) [ * ( ) ( )] * S t L r e r e r e ( r ) [ e ( r ) L ( r )] c 1 1 L( r) e( r) c 1 1 S n() t r L( r) L( r) c L( r) n( r) t e 1 ( r ) n ˆ ( ) ˆ e r n S w t e nˆ Η μζςθ τιμι του διανφςματοσ Pynting είναι κάκετθ ςτθν επιφάνεια L = cnst Δθμιτρθσ Παπάηογλου 013 dpapa@materials.uc.gr

70 Ροι θ/μ ακτινοβολίασ S w t e nˆ L L () r nˆ () r Οι οπτικζσ ακτίνεσ είναι καμπφλεσ κάθετεσ ςτισ γεωμετρικζσ κυματικζσ επιφάνειεσ! O s r ray Γεωμετρικζσ κυματικζσ επιφάνειεσ O dr L() r dr nˆ n( r) L( r) ds L() r ds Εξίςωςθ ακτίνασ Δθμιτρθσ Παπάηογλου 013 dpapa@materials.uc.gr

71 1 L( r) n( r) dr d dr d dr n( r) L( r) [ n( r) ] [ L( r)] [ L( r)] ds ds ds ds ds d dr 1 1 [ n( r) ] L( r) [ L( r)] {[ L( r)] } ds ds n( r) n( r) n ( r) d dr 1 [ n( r) ] n ( r) ds ds n( r) d ds dr [ n( r) ] n( ) ds r Εξίςωςθ ακτίνασ Δθμιτρθσ Παπάηογλου 013 dpapa@materials.uc.gr