Οπτικι και κφματα. Δθμιτρθσ Παπάηογλου Τμιμα Επιςτιμθσ και Τεχνολογίασ Υλικών Πανεπιςτιμιο Κριτθσ

Transcript

1 Οπτικι και κφματα Δθμιτρθσ Παπάηογλου Τμιμα Επιςτιμθσ και Τεχνολογίασ Υλικών Πανεπιςτιμιο Κριτθσ

2 Άδειεσ Χριςθσ -Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται ςτθν άδεια χριςθσ Creative Cmmns και ειδικότερα Αναφορά - Μη εμπορική Χρήςη - Όχι Παράγωγο Έργο v. 3.0 (Attributin Nn Cmmercial Nn-derivatives) - Για εκπαιδευτικό υλικό, όπωσ εικόνεσ, που υπόκειται ςε άλλου τφπου άδειασ χριςθσ, θ άδεια χριςθσ αναφζρεται ρθτϊσ.

3 Περίκλαςθ

4 Κφμα ςυναντά εμπόδιο - Περίκλαςθ Τα θύκαηα παξαθάκπηνπλ ην εκπόδην κε απνηέιεζκα ε πεξηνρή ηεο ζθηάο λα είλαη κηθξόηεξε θαη ηα όξηα ηεο λα είλαη πην αζαθή ζε ζρέζε κε ηελ γεωκεηξηθή ζθηά. Τν θαηλόκελν όπνπ ηα θύκαηα παξαθάκπηνπλ έλα εκπόδην νλνκάδεηαη περίθλαση.

5 Κυματικι διάδοςθ: Αρχι του Huygens (1665) Κάκε ςθμείο ενόσ πρωτεφοντοσ μετϊπου κφματοσ αποτελεί πθγι ςφαιρικών δευτερευόντων κυμάτων, ζτςι ϊςτε ςε μιά μεταγενζςτερθ χρονικι ςτιγμι το κφριο μζτωπο κφματοσ να είναι θ περιβάλλουςα αυτϊν των κυμάτων. Επίςθσ τα δευτερεφοντα κφματα διαδίδονται με ταχφτθτα και ςυχνότθτα που είναι ίςεσ με τισ αντίςτοιχεσ του πρωτεφοντοσ κφματοσ ςε κάκε ςθμείο ςτο χϊρο. (Huygens 1665) Ερμθνεφει τθν ανάκλαςθ & τθν διάκλαςθ Αποτυγχάνει να ερμθνεφςει τθν περίκλαςθ! Πθγι: wikiedia

6 Κυματικι διάδοςθ: Αρχι του Huygens-Fresnel (180) το πλάτοσ του κφματοσ ςε κάκε ςθμείο μια μεταγενζςτερθ χρονικι ςτιγμι προκφπτει από τθν υπζρκεςθ όλων των δευτερευόντων κυμάτων λαμβάνοντασ υπόψθ τα πλάτθ τουσ και τισ ςχετικζσ τουσ φάςεισ. Ερμθνεφει τθν ανάκλαςθ & τθν διάκλαςθ και τθν περίκλαςθ! Αρχι τθσ επαλλθλίασ! Πλάτοσ > λ Πλάτοσ = λ Πθγι: wikiedia

7 Περίκλαςθ ωσ μια κατανεμθμζνθ ςυμβολι ζσμβολή Περίθλαζη από άνοιγμα Σσμβολή από δύο πηγές Σημειακές πηγές

8 Περίκλαςθ και μικοσ κφματοσ μικρό μήκος κύμαηος Η πεξίζιαζε εμαξηάηαη ηζρπξά από ην κήθνο θύκαηνο μεγάλο μήκος κύμαηος Καζώο ην κήθνο θύκαηνο απμάλεηαη ε πεξίζιαζε γίλεηαη πην ηζρπξή!

9 Περίκλαςθ και διαςτάςεισ ανοίγματοσ κηθξό άλνηγκα κεγάιν άλνηγκα πρακηικά δεν παραηηρούμε περίθλαζη! Δαθηύιηνη πεξίζιαζεο Η πεξίζιαζε είλαη ηζρπξή όηαλ ην πιάηνο ηνπ αλνίγκαηνο είλαη ζπγθξίζηκν κε ην κήθνο θύκαηνο

10 Προςζγγιςθ Fresnel: Εφαρμογι για ςθμειακι πθγι ηώνεσ Fresnel ikr iks Ue e du ( P) K( ) ds r s παράγοντασ κλίςθσ Κ(χ): μζγιςτοσ για χ =0 και μθδζν για χ = π/ ikr iks Ue e U( P) K( ) ds r s S

11 Helmhltz Kirchhff Απμονικό κύμα V ( r, t) U ( r) e it Εξίσωση Helmhltz 1 V( r, t) U ( r) k U ( r) 0, k V( r, t) 0 t Χρησιμοποιούμε το θεώρημα Green: V A dv Anˆ ds S ικανοποιούν την κυματική εξίσωση A( r) U( r) U( r) U( r) U( r)

12 A( r) U ( r) U ( r) U ( r) U ( r) U ( r) U ( r) U ( r) U( r) U U U U k U U k U U ( r) ( r) ( r) ( r) ( r) ( r) ( r) ( r) 0 Επομζνωσ για τθν ςυγκεκριμζνθ ςυνάρτθςθ A ιςχφει: S Anˆ ds A dv 0 V Χρθςιμοποιοφμε ωσ βοθκθτικό κφμα U μια ςθμειακι πθγι που βρίςκεται ςτο ςθμείο P: U() r iks e s Εφόςον U (r) είναι απροςδιόριςτο ςτο ςθμείο P χρθςιμοποιοφμε ςφαιρικι επιφάνεια ακτίνασ ε που το περιβάλει

13 το επιυανειακό ολοκλήρωμα περιγράυεται ως: S U( r) U( r) [ U ( r) U ( r) ] ds [ U ( ) ˆU ( ) U ( ) ˆU ( )] ds n n r n r r n r S Στην επιυάνεια S : 1 e nˆ U( r) ( ) e e ik iks iks s iks iks s s nˆ s iks e 1 ( ik) nˆ s s e Θεωρώντας ότι η συαιρική επιυάνεια S σσρρικνώνεται στο σημείο P: 0 Επίσης από τον ορισμό της στερεάς γωνίας: d ds

14 lim 0 S [ U ( r) nˆ U( r) U( r) nˆ U ( r)] ds 4 ik ik e 1 e lim [ U ( r) ( ik) nˆ U ( r)] d ik ik lim [ U ( r) e ( 1 ik) e nˆ U ( r)] d U ( P) d 4 U ( P) 0 1 U ( P) [ U ( r) nˆ U ( r) U ( r) nˆ U ( r)] ds 4 S

15 Θεωρία περίκλαςθσ Kirchhff Οριακζσ ςυνκικεσ Kirchhff A : U() r Ui () r U ( r) Ui ( r), n n B : U ( r) 0, U() r 0 n C : U ( r) 0 U() r 0 n ikr e Ui() r U r ikr Ui () r e 1 U ( ik )cs( n, r) n r r

16 iks iks 1 e e U ( r) U ( P) U ( r) ( ) ds 4 A B C n s s n ik ( rs) U e U ( P) i [cs( n, r) cs( n, s)] ds A rs Εξίςωςθ περίκλαςθσ Fresnel - Kirchhff παράγοντασ κλίςθσ!

17 Περίκλαςθ Fresnel, Fraunhfer Όταν οι διαςτάςεισ του ανοίγματοσ Α είναι μικρζσ ςε ςχζςθ με τισ αποςτάςεισ r, s, r, s cs( n, r) cs( n, s) cs, rs rs U cs ik ( rs) U ( P) i e ds rs A

18 ( x, y, z) ( xy,,0) (0,0,0) ( x, y, z) r ( x, y,0) ( x, y, z) ( x x, y y, z) s ( x, y, z ) ( x, y,0) ( x x, y y, z ) r x y z, s x y z r r ( x x ) ( y y ) z x y ( x x y y ) x y z r ( x x y y ) x y r 1 r r s ( x x) ( y y) z x y ( x x y y ) x y z s s ( x x y y ) x y s 1 s s

19 Εφαρμόηοντασ ανάπτυγμα ςε ςειρά: 1 a 3 4 a a a 5a r s x x y y x y ( x x y y ) r μθ γραμμικοί όροι Fraunhfer 3 r r r x x y y x y ( x x y y) s s s s 3 Fresnel γραμμικοί όροι

20 U cs e ik ( r s) ik f ( x, y) U ( P) i e ds rs A Fraunhfer: μακρινοφ πεδίου f ( x, y) x x r y y x x ςυνκικθ: s y y 4( x y ) r, s, ( x, y) A Fresnel x x y y x x y y x y 1 1 f ( x, y) ( ) r s r s

21 Περίθλαση Fresnel Περίθλαση Fraunhfer Η θαηαλνκή ηεο έληαζεο κεηαβάιιεηαη ζπλερώο θαζώο απνκαθξπλόκαζηε από ην άλνηγκα.

22 Αν αντί για ςθμειακι πθγι το πζταμα φωτίηεται με επίπεδο μζτωπο κφματοσ θ κατανομι μακρινοφ πεδίου (Fraunhfer) περιγράφεται από τθν ςχζςθ: τυπικό πλάτοσ ςφαιρικοφ κφματοσ ςε απόςταςθ s cs ik s e ik s U( P) i U e ds s A x x y y μεταςχθματιςμόσ Furier (FT) τθσ ςυνάρτθςθσ ανοίγματοσ * * Χωρικζσ ςυχνότθτεσ: x x y y x ik y s i ( x fxy f y) fx, f y e ds A( x, y) e dxdy s s A ςυνάρτθςθ ανοίγματοσ 1, ( x, y) A A( x, y) 0, ( x, y) A

23 Διαςτάςεισ τθσ κατανομισ περίκλαςθσ Υπάρχει μια γενικι ςχζςθ που να ςυνδζει τισ φυςικζσ διαςτάςεισ τθσ κατανομισ μακρινοφ πεδίου (Fraunhfer) με τισ βαςικζσ φυςικζσ παραμζτρουσ του προβλιματοσ; i ( x f y f ) x y U ( x, y ) U A( x, y) e dxdy, Ξεθηλάκε από ηελ παξαδνρή όηη έρνπκε λα θάλνπκε κε έλα πεπεξαζκέλν άλνηγκα κε ηππηθή δηάζηαζε D τυχαίο άνοιγμα τυπικι διάςταςθ ανοίγματοσ

24 θαλνληθνπνηνύκε ηηο ζπληεηαγκέλεο x, y ζηελ πεξηνρή ηνπ αλνίγκαηνο κε ηελ δηάζηαζε D x y, y D D i ( D x fx D y f y) (, ) (, ) x x U x y D U A D x D y e dx dy f D x x D y y, f y s s s s U f f D U A D x D y e dxdy i ( x fx y f y ) ( x, y ) (, ) μεταςχθματιςμόσ Furier (FT) τθσ ςυνάρτθςθσ ανοίγματοσ ςτισ νζεσ «κανονικοποιθμζνεσ» ςυντεταγμζνεσ

25 περίκλαςθ, χωρικζσ ςυχνότθτεσ κατανομι περίκλαςθσ, πραγματικόσ χϊροσ U ( x, y ) 0, f f c x y D x D y D ( ) ( ) c x y c s s s r τυπικζσ διαςτάςεισ κατανομισ περίκλαςθσ r max c s D

26 Γενίκευςθ για Η/Μ κφμα Γενικεφοντασ για φωτιςμό από επίπεδο H/M κφμα ζνταςθσ ακτινοβολίασ I, κάκετα ςτο άνοιγμα (cs0) και παρατιρθςθ ςε απόςταςθ R θ κατανομι μακρινοφ πεδίου (Fraunhfer) του θλεκτρικοφ πεδίου γράφεται: ik ( x x y y )/ R E ( r, t) E ( r, t) e dxdy i 1 I E ( r, t) e R c A i( krt )

27 Παραδείγματα: Ορκογώνιο άνοιγμα (, ) h d sinc h sinc d I x y I x y R R R * * sinc x sin x x Τυπικζσ κατανομζσ περίκλαςθσ (ςε ψευδοχρϊματα) από ορκογϊνια ανοίγματα

28 Ορκογώνιο άνοιγμα αναλυτικόσ υπολογιςμόσ d/ y h/ x i y i y R R E ( r, t) E ( r, t) e dy e dx d/ h/ y d/ / y h i R i y i R i y R R E ( r, t) e e y x / d h/ d h sin( y) sin( x) E (, t) h R d R r d h y x R R ( hd) (, )sinc h d E r t x sinc y R R c * hd h d ( r) ( r, ) ( r, ) sinc sinc I E t E t I x y R R R

29 Ειδικι περίπτωςθ ορκογώνιου ανοίγματοσ: Σχιςμι ( h d) d d (,0) sinc, (, ) 0, 0 I x I y I x y x R R Τυπικζσ κατανομζσ περίκλαςθσ (ςε ψευδοχρϊματα) από ςχιςμζσ

30 Σχιςμι αναλυτικόσ υπολογιςμόσ h d E ( r, t) ( h d) E ( r, t)sinc x sinc y R R h d h sin( x ) R 0 x 0 x R h sin( x ) R 1 x 0 x R d d (,0) sinc, (, ) 0, 0 I x I y I x y x R R d y R

31 Κυκλικό άνοιγμα 1 S D D I ( r) 4 I [ J k q / ( k q)] R R R Συνάρτθςθ Bessel τάξθσ m i m i( mu cs ) Jm( u) e d 0 S D 4 Τυπικζσ κατανομζσ περίκλαςθσ (ςε ψευδοχρϊματα) από κυκλικά ανοίγματα

32 Κυκλικό άνοιγμα αναλυτικόσ υπολογιςμόσ Κυλινδρικό ςφςτθμα ςυντεταγμζνων: x sin, x qsin y cs, x q cs ds dxdy d d x x y y q(cs cs sin sin ) q cs Σε αυτό το ςφςτθμα θ κατανομι τθσ περίκλαςθσ δίνεται από τθν ςχζςθ: D / k i q cs R E ( r, t) E ( r, t) e d d 00 m i i( m ucs ) d m m m( ), m( ) m 1( ) du 0 J u e d u J u u J u

33 D/ kq D / E ( r, t) E( r, t) J d kq R E (, ) (, ) ' 0 r t E r t J d R 0 kq D D E (, t) J1 0 J10 kq kq r R d d, R R D J1 k kq D D D q R ( ) E ( r, t) R 4 D k q R D J1 k q c * S R I ( r) E ( r, t) E ( r, t) 4I R D k q R

34 Διακριτικι ικανότθτα Κριτιριο Rayleigh 1. lmin 1. D min D f

35 Διατεταγμζνα περιοδικά ανοίγματα περίκλαςθ από ζνα άνοιγμα a x b y sin M sin N I R R ik ( x xy y )/ R I () r e dxdy ( R) a x b y A00 sin sin R R Παράγοντασ ςυμβολισ

36 Διατεταγμζνα περιοδικά ανοίγματα αναλυτικόσ υπολογιςμόσ mna, ik ( xx yy )/ R E ( r, t) E ( r, t) e dxdy mn i 1 I E ( r, t) e R c i( krt ) Για κάκε άνοιγμα Α mn μεταςχθματίηουμε τισ ςυντεταγμζνεσ x,y ςτισ τοπικζσ για το άνοιγμα A 00 x m x y n b y M1, N1 ik ( a m x bn y )/ R ik ( x x y y )/ R E( r, t) E( r, t) e e dxdy mn, 0 A 00

37 M 1, N 1 M 1, N 1 ik ( a m x bn y )/ R m, n m, n k a x k b y 1 k a x 1 k b y i M i N M i m N i n R R 1e 1e R R e e k a x k b y m0 n0 i i R R ( )( ) k a x k a x k b y k b y i M i i N i R R R R R e e e e e e e ik ( a m x bn y )/ R e 1e 1e k a x k a x i M i M R R e k a x k b y i ( M 1) i ( N 1) R R e e e e k a x k b y i m i n R k b y k b y i N i N R R k a x k a x k b y k b y i i i i R R R R e e e e e mn, * k a x k b y sin M sin N R R k a x k b y sin sin R R * J 1 j0 j J 1 1

38 k a x k b y k a x sin sin k b y M N i ( M 1) i ( N 1) R R R R ik ( x xy y )/ R E( r, t) E( r, t) e e e dxdy k a x k b y A00 sin sin R R c I E t E t * ( r) ( r, ) ( r, ) a x b y sin M sin N I R R ( R) a x b y sin sin R R A 00 e ik ( x x y y )/ R dxdy

39 Τυπικέσ τιμέσ του παράγοντα ςυμβολήσ a a b b sin ( M q) sin ( N g) sin ( q) sin ( g) q x R, g y R Μζγιςτο Ν (ι Μ ) Τιμι για Ν= (ι Μ=) lim g0 b b g sin ( N g) sin ( ) N N b g b sin ( g ) sin ( ) b 4cs ( g)

40 Παραδείγματα: ςχιςμζσ (πλάτοσ d, απόςταςθ α) I d ( r) 4I cs ( )sinc ( ) R b d kd kb sin sin tan y R

41 Παραδείγματα: Ν ςχιςμζσ (πλάτοσ d, απόςταςθ α) I d sin ( N ) ( r) I sinc ( ) R Ν ςχιςμζσ sin ( ) kd kb sin sin tan y R

42 Παραδείγματα: διάταξθ Μ x N ορκογώνιων ανοιγμάτων Κατανομι ζνταςθσ Μ x N ορκογϊνιων ανοιγμάτων (πλάτουσ d και φψουσ h): hd sin f a M x sin f b N y ( r) sinc sinc I I f d x f h y R sin f a x sin f b N y * f R * Τυπικι κατανομι περίκλαςθσ (ςε ψευδο-χρϊματα) από διάταξθ x ορκογϊνιων ανοιγμάτων (h = d, = b=d)

43 (x) (3x) (5x) (5x5) (10x10) (0x0) Τυπικζσ κατανομζσ περίκλαςθσ (ςε ψευδο-χρϊματα) από διατάξεισ ορκογϊνιων ανοιγμάτων ((h = d, = b=d)

44 Παραδείγματα: διάταξθ Μ x N κυκλικών ανοιγμάτων Κατανομι ζνταςθσ Μ x N ορκογϊνιων ανοιγμάτων (πλάτουσ d και φψουσ h): I S sin sin f a M x f b N y J1 fdq () r I R sin f a x sin f f b N y Dq * f * R Τυπικι κατανομι περίκλαςθσ (ςε ψευδο-χρϊματα) από διάταξθ x κυκλικϊν ανοιγμάτων ( = b=d)

45 (x) (3x) (5x) (5x5) (10x10) (0x0) Τυπικζσ κατανομζσ περίκλαςθσ (ςε ψευδο-χρϊματα) από διατάξεισ κυκλικϊν ανοιγμάτων ( = b=d)