Εξισώσεις του Maxwell

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Εξισώσεις του Maxwell"

Transcript

1 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΙΡΑΙΩΣ ΤΜΗΜΑ ΨΗΦΙΑΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΤΗΛΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΑΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΑΣΥΡΜΑΤΕΣ ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΕΣ Εισαγωγή στα Η/Μ Κύματα Αθανάσιος Κανάτας Καθηγητής Παν/μίου Πειραιώς Εξισώσεις του Maxwell Τα χρονικά μεταβαλλόμενα ηλεκτρικά και μαγνητικά πεδία ακολουθούν κάποιους φυσικούς νόμους, που περιγράφονται από ένα σύνολο εξισώσεων γνωστές ως εξισώσεις Maxwell. Το ηλεκτρικό πεδίο και το μαγνητικό πεδίο H είναι διανυσματικά πεδία και γενικά έχουν πλάτος και κατεύθυνση που μεταβάλλονται με τις τρεις χωρικές συντεταγμένες x,y,z καθώς και με τη χρονική μεταβλητή t. 1

2 Συντακτικές Σχέσεις 3 Ισχύουν οι σχέσεις = και = όπου μ ο 4π*10 7 (Henry/m) η μαγνητική διαπερατότητα του κενού και ε ο 10 9 /36π (Farad/m) η διηλεκτρική επιτρεπτότητα του κενού. Γενικά ισχύει = και = Όταν οι μ,ε είναι βαθμωτές ποσότητες τότε το μέσο καλείται ισοτροπικό και τα διανύσματα B(D) και H() είναι παράλληλα. Νόμος του Faraday 4 Ένα χρονικά μεταβαλλόμενο μαγνητικό πεδίο γεννά ένα ηλεκτρικό πεδίο. Αποτελεί δηλαδή πηγή στροβιλισμού που παράγει ηλεκτρικό πεδίο που παρουσιάζει περιστροφή. =- t

3 Μαγνητική Επαγωγή 5 Κατεύθυνση Κίνησης Μαγνήτη S N G Κατεύθυνση Κίνησης Μαγνήτη Κατεύθυνση Κίνησης Μαγνήτη S N S N Μαγνητική Επαγωγή 6 3

4 Επαγόμενο Ηλεκτρικό Πεδίο 7 Κατεύθυνση Κίνησης Μαγνήτη S N Επιφάνεια πραγματική ή και φανταστική Νόμος του Gauss 8 Η απόκλιση του ηλεκτρικού πεδίου, δηλαδή η ηλεκτρική ροή που εξέρχεται από μια κλειστή επιφάνεια με όγκο V, είναι ίση με το ηλεκτρικό φορτίο που περικλείεται από την κλειστή αυτή επιφάνεια. Αν ρ αναπαριστά την πυκνότητα φορτίου εκφρασμένη σε culmb/m 3, τότε η διαφορική εξίσωση που περιγράφει το Νόμο του Gauss για την ηλεκτρική ροή είναι ( ) = = 4

5 Πηγές Μαγνητικού Πεδίου 9 Για να ολοκληρωθεί η αναπαράσταση των Η/Μ φαινομένων πρέπει να συσχετίσουμε την περιστροφή και την απόκλιση του μαγνητικού πεδίου με τις πηγές του. Η πηγή στροβιλισμού που προκαλεί την περιστροφή του μαγνητικού πεδίου είναι το ρεύμα. Ο νόμος του Ampere είναι η πρώτη έκφραση αυτής της διαπίστωσης και αφορά σταθερά ρεύματα. Ο Maxwell επέκτεινε τις πιθανές πηγές εισάγοντας την έννοια της χρονικά μεταβαλλόμενης ηλεκτρικής ροής ως πηγή χρονικά μεταβαλλόμενου μαγνητικού πεδίου και κατά συνέπεια επέκτεινε την εφαρμογή του νόμου του Ampere σε χρονικά μεταβαλλόμενες συνθήκες. Νόμος Ampere Maxwell 10 5

6 Υπόθεση Maxwell για Ρεύμα Μετατόπισης 11 Η πυκνότητα του ρεύματος μετατόπισης προτάθηκε από τον Maxwell ως η χρονική μεταβολή της ηλεκτρικής μετατόπισης, δηλαδή d = = t t Η υπόθεση ότι ένα χρονικά μεταβαλλόμενο ηλεκτρικό πεδίο είναι ισοδύναμο με μια πυκνότητα ηλεκτρικού ρεύματος και ως τέτοια παράγει μαγνητικό πεδίο, οδήγησε, σε συνδυασμό με το νόμο του Faraday, στις κυματικές εξισώσεις. Αναγκαιότητα για Ρεύμα Μετατόπισης 1 Το ολοκλήρωμα του μαγνητικού πεδίου στην κλειστή καμπύλη abcda, θα πρέπει με βάση το νόμο του Ampere να δίνει το ρεύμα που διέρχεται από οποιαδήποτε επιφάνεια έχει όριο την καμπύλη αυτή. b S S 1 a c d 6

7 Πηγές και Μαγνητικό Πεδίο 13 Για την περιστροφή του μαγνητικού πεδίου συνεπώς μπορούμε να γράψουμε = + t Επειδή τα δυαδικά των ηλεκτρικών φορτίων, δηλαδή τα μαγνητικά φορτία δεν υφίστανται ως απομονωμένα μαγνητικά μονόπολα στη φύση, συμπεραίνουμε ότι η απόκλιση της μαγνητικής επαγωγής B είναι πάντοτε μηδενική. Νόμος του Gauss για τη Μαγνητική Ροή 14 Η μαγνητική ροή που εξέρχεται από μια κλειστή επιφάνεια είναι πάντοτε μηδενική = Άρα οι γραμμές μαγνητικής ροής είναι πάντα κλειστές αφού δεν υπάρχουν φορτία στα οποία θα μπορούσαν να καταλήγουν. Ο αριθμός δηλαδή των γραμμών της μαγνητικής ροής που εισέρχονται σε μια περιοχή ισούται με τον αριθμό των γραμμών που εξέρχονται. 0 7

8 Εξισώσεις Maxwell 15 Για ένα χώρο ελεύθερο από ρεύματα πηγών και κινούμενων φορτίων Νόμος Ampere Maxwell Faraday Gauss για ηλεκτρική ροή Gauss για μαγνητική ροή Διαφορική Μορφή (Σημειακές σχέσεις) = + t =- t = = 0 Εξισώσεις Maxwell 16 Για ένα χώρο ελεύθερο από ρεύματα πηγών και κινούμενων φορτίων Νόμος Ampere Maxwell Faraday Gauss για ηλεκτρική ροή Gauss για μαγνητική ροή ò C Ολοκληρωτική Μορφή dl æ = ò ö ç + ds= I Sçè t ø ò C ò dl=-ò ds= V S t S ò ds = dv = Q ò S V ds = 0 ttal 8

9 Νόμος Διατήρησης Φορτίου 17 Οι πυκνότητες ρεύματος και φορτίου συνδέονται με το νόμο διατήρησης του φορτίου, σύμφωνα με τον οποίο Το συνολικό φορτίο σε ένα απομονωμένο σύστημα παραμένει σταθερό d ò ds =- dv S dt ò é ( ) dv ds ù ê = ëò ú V ò S û =- t Γέννηση Η/Μ Κυμάτων 18 9

10 Ημιτονοειδής Χρονική Μεταβολή 19 Συνήθως τα πεδία παράγονται από ρεύματα και δυναμικά με ημιτονοειδή χρονική μεταβολή, δηλαδή ( r, t) = Ε ( r) cs( t) ή ( r, t) = ( r) sin( t) Αν χρησιμοποιήσουμε την αναπαράσταση φασιθετών, γράφουμε ( r, t) = Re{ ( r) e jt } ΠΡΟΣΟΧΗ : Η έκφραση (r) είναι ανεξάρτητη του χρόνου Φασιθέτες και Πεδία 0 Τα πεδία είναι διανυσματικά ( r, t) = xˆ ( r, t) + yˆ ( r, t) + zˆ ( r, t) x y z () = ˆ () + ˆ () + ˆ () r x r y r z r x y z Επιπλέον τα πεδία είναι μιγαδικά () r = () r + () r = () r j e x xr xi x () r = () r + () r = () r j e y yr yi y () r = () r + () r = () r j e z zr zi z j ( r) x j () r y j () r z 10

11 Φασιθέτες και Πεδία 1 j t e x x j x x e x x jt jx ( r) jt x r, t = Re{ x r e } = Re{ x( r) e e } ( ) ( ) () r cs ét () r ù = x ë + x û Εξισώσεις Maxwell με Φασιθέτες ΠΡΟΣΟΧΗ : Θεωρώ χώρο ελεύθερο από κάθε είδους φορτία ή ρεύματα αγωγιμότητας =- t = t = 0 = 0 e t jt = j e jt =- j B H= D = 0 B = 0 j D 11

12 3 Η/Μ Κύματα Κυματική Εξίσωση 4 Με συνδυασμό των εξισώσεων του Maxwell προκύπτει για το ηλεκτρικό πεδίο - = 0 - = t t όπου u 1 1 =» = η ταχύτητα διάδοσης στο κενό sec 0 m 1

13 Εξίσωση του Helmhltz 5 Αν χρησιμοποιήσουμε τους αντίστοιχους φασιθέτες προκύπτει η εξίσωση Helmhltz Ε+ Ε= 0 Η+ Η= 0 Στην πράξη λύνουμε την εξίσωση για το ένα πεδίο και στη συνέχεια υπολογίζουμε το άλλο πεδίο. Χρησιμοποιώντας τον κυματικό αριθμό + = 0 k k f = = = = u u Επίλυση Κυματικής Εξίσωσης 6 + = = x y z k k 0 Μια κατάλληλη λύση είναι της μορφής j x = Ae - kr j y = Be - kr j z = Ce - kr k= xˆk + yˆk + zˆk r= xˆx + yˆ y+ zˆz x y z Θέτουμε ˆ ˆ ˆ = xa+ yb+ zc () r= - e j kr 13

14 Επίπεδα Κύματα 7 Η διανυσματική εξίσωση + = = x y z k k 0 ισχύει για κάθε συνιστώσα του πεδίου, δηλαδή x y z i i i 0,, i k i xyz Επίλυση Κυματικής Εξίσωσης Με τη μέθοδο διαχωρισμού των μεταβλητών, θεωρούμε x f x g y h z Αντικαθιστώντας στη διαφορική εξίσωση 0 ghf fhg fgh k fgh Διαιρώντας με fgh f g h f g h k 0 Σελίδα 8 14

15 Επίλυση Κυματικής Εξίσωσης Η εξίσωση αυτή διαχωρίζεται σε 3 εξισώσεις f d f kx kx f 0 f dx g d g ky 0 kyg g dy h d h kz k 0 zh h dz όπου k x, k y, k z, οι σταθερές διαχωρισμού k k k k x y z Σελίδα 9 Επίλυση Κυματικής Εξίσωσης Οι εξισώσεις αυτές είναι συνήθεις διαφορικές εξισώσεις ης τάξης. Αν γράψουμε τη χαρακτηριστική εξίσωση της πρώτης, αντικαθιστώντας f =ξ, τότε ξ =-k x, που έχει δύο λύσεις μιγαδικές ξ 1 =jk x =ξ * =(-jk x ) *. Άρα για την πρώτη διαφορική εξίσωση έχουμε λύσεις της μορφής e ±jk x x και για τις άλλες δύο e ±jk y y και e ±jk z z Άρα μια κατάλληλη λύση για τη συνιστώσα Ε x είναι της μορφής jk x jky jkz Ae x x y z Σελίδα 30 15

16 Επίλυση Κυματικής Εξίσωσης Η λύση αυτή μεταφράζεται ως η x συνιστώσα ενός κύματος που διαδίδεται στην κατεύθυνση που ορίζει το διάνυσμα διάδοσης k= xˆk + yˆk + zˆk x y z γιατί το εσωτερικό γινόμενο με το διάνυσμα θέσης r= xˆx+ yˆ y+ zˆz είναι k r= kx+ ky + kz x y z που είναι k φορές η κάθετη απόσταση από την αρχή των αξόνων σε ένα επίπεδο κάθετο στο διάνυσμα k. Σελίδα 31 Επίλυση Κυματικής Εξίσωσης Το διάνυσμα διάδοσης γράφεται k= nˆk= nˆ kx + ky + kz Άρα για τη x συνιστώσα του πεδίου μπορούμε να γράψουμε - j Όμοια Αν θέσουμε Τότε = Ae kr x j y = Be - kr ˆ ˆ ˆ = xa+ y B+ zc ( ) r= - e j z = Ce - kr j kr Σελίδα 3 16

17 Επίλυση Κυματικής Εξίσωσης 33 Ξεκινώντας από την τρίτη εξίσωση του Maxwell Καταλήγουμε στην jkr ( e ) - -jkr = 0 = e = 0 k = Δηλαδή το διάνυσμα του ηλεκτρικού πεδίου είναι κάθετο στην κατεύθυνση διάδοσης Επίπεδα Κύματα Ισοφασικές Επιφάνειες Ο γεωμετρικός τόπος των σημείων για τα οποία k r= σταθερά δηλαδή η φάση είναι σταθερή, είναι επίπεδο και μάλιστα κάθετο στην κατεύθυνση διάδοσης Το επίπεδο αυτό αποτελεί μια ισοφασική επιφάνεια για το ηλεκτρικό πεδίο που δίνεται από την εξίσωση j r= - kr () e 17

18 Ομοιόμορφα Επίπεδα Κύματα 35 Ομοιόμορφα καλούνται τα κύματα που το πλάτος τους είναι σταθερό σε όλη την ισοφασική επιφάνεια. Π.χ. κύμα διαδίδεται στον άξονα z, ˆ z k= zk Το είναι κάθετο στην κατεύθυνση διάδοσης, δηλ. ανήκει στο επίπεδο xy και έχει συνιστώσες x, y μόνο. Το κύμα είναι επίπεδο, άρα kr = k zx ˆ ˆx+ k zy ˆ ˆ y+ k zz ˆ ˆz= k z Επειδή είναι ομοιόμορφο, το πλάτος είναι σταθερό στο επίπεδο xy άρα δεν μπορεί να εξαρτάται από τα x,y, δηλ. r = z = xˆ z + yˆ z ( ) ( ) ( ) ( ) x y Εγκάρσια Η/Μ Κύματα (ΤΕΜ) 36 Υπολογίζουμε και το μαγνητικό πεδίο από την εξίσωση περιστροφής Προκύπτει =- j B=-j H ( ˆ ) H= n όπου 1 Z = =» 10» 377 Y η χαρακτηριστική αντίσταση του κενού Ohm 18

19 Εγκάρσια Η/Μ Κύματα (Ρυθμός ΤΕΜ) 37 Η ένταση του μαγνητικού πεδίου είναι κάθετη στο ηλεκτρικό πεδίο και την κατεύθυνση διάδοσης. Τα δύο πεδία βρίσκονται στο ισοφασικό επίπεδο του σχήματος. Τα ισοφασικά επίπεδα είναι παράλληλα. -jkr jt ( r, t) = Re{ e e } = Re ˆn -j( kr -t) { e } ( t k r) ( k r t) = cs - = cs - Ρυθμοί (mdes) Η/Μ Πεδίων 38 Ένας ρυθμός (mde) είναι μια συγκεκριμένη σχέσηδιάταξη στο χώρο του του H. Δεδομένου ενός προβλήματος οριακών Η/Μ συνθηκών υπάρχουν συνήθως πολλές διατάξεις Η/Μ πεδίων που ικανοποιούν τις κυματικές εξισώσεις, τις εξισώσεις του Maxwell και τις οριακές συνθήκες. Όλες αυτές οι διατάξεις λύσεις για τα Η/Μ πεδία καλούνται ρυθμοί (mdes). Ο ρυθμός ΤΕΜ είναι μια λύση όπου και H, σε οποιοδήποτε σημείο του χώρου, περιέχονται σε ένα τοπικό επίπεδο το οποίο είναι ανεξάρτητο του χρόνου, και κάθετο στην κατεύθυνση διάδοσης. 19

20 Μήκος Κύματος 39 Η απόσταση που πρέπει να ταξιδέψει το κύμα ώστε να μεταβληθεί η φάση του κατά π, δηλαδή k r= k ˆ ˆ n r= = k όπου θεωρήσαμε ότι παρατηρούμε το κύμα στη διεύθυνση της διάδοσης. Αντικαθιστώντας για k παίρνουμε c = = = = k f c Ταχύτητα Φάσης 40 Η ταχύτητα που πρέπει να έχει παρατηρητής στον άξονα y ώστε σε χρόνο λ /c να καλύψει απόσταση λ y. v p y y c c cs c c cs 0

21 Παράδειγμα Επίπεδου Η/Μ Κύματος 41 Διάδοση στην κατεύθυνση του άξονα z, δηλαδή δεν υπάρχει εξάρτηση από τις μεταβλητές x,y. kr = k z Επιπλέον θεωρούμε ότι το ηλεκτρικό πεδίο έχει μόνο x συνιστώσα, δηλαδή () () () - r = z = xˆ z = xˆ Ae Αντίστοιχα προκύπτει για το μαγνητικό πεδίο A - H( z) = yˆ e jk z = yˆ Hy ( z) Z x j kz Παράδειγμα Επίπεδου Η/Μ Κύματος 4 Αν Α πραγματικός και + jt { x } (, ) = xˆ (, ) = xˆre ( ) zt zt ze x é æ z ö ù = xˆ Acs( t- k ) ˆ z = xacs t- ê çè u ë øú û jt { y } (, ) = yˆ (, ) = yˆre ( ) zt zt H ze y A A é æ zö ù = yˆ cs( t- k ) ˆ z = y cs t- Z Z ê çè u ë øú û 1

22 Παράδειγμα Επίπεδου Η/Μ Κύματος 43 Η λύση για το ηλεκτρικό πεδίο είναι μια συνάρτηση που ταξιδεύει προς τη θετική κατεύθυνση του άξονα z με ταχύτητα u. é æ z ö ù Πράγματι, η συνάρτηση cs t - ê ç u υποδεικνύει ë è øú û ότι όσο αυξάνεται το z τόσο μειώνεται η τιμή του ορίσματος. Για να διατηρήσουμε σταθερό το όρισμα θα πρέπει σε χρόνο Δt να έχουμε μετατόπιση κατά Δz με ταχύτητα u, ώστε ( ) ( + ) z z z z t+ t - = t- = σταθερά t= u u u Παράδειγμα Επίπεδου Η/Μ Κύματος 44

23 Παράδειγμα Επίπεδου Η/Μ Κύματος 45 x x t = Σταθερό H y z y Για να εκφράσουμε μαθηματικά την όδευση του κύματος x( zt, + t) = x( z- zt, ) = x( z- ctt, ) ή ( zt, ) = ( z-zt, - t) = ( z-ctt, -t) x x x Παράδειγμα Επίπεδου Η/Μ Κύματος 46 x zt, 3

24 Αντίθετα οδεύοντα κύματα 47 Μια πιο πλήρης επίλυση της κυματικής εξίσωσης δίνει κύματα που οδεύουν σε αντίθετες κατευθύνσεις () + -jkr - + jkr r = e + e 1 ˆ kr kr Hr n Z + + -j - + j () = ( e - e ) H 1 1 n ˆ = ˆ Z H n = Z Στάσιμα κύματα 48 Υποθέτουμε σημείο στο χώρο όπου υπάρχουν δύο αντίθετα οδεύοντα κύματα. Αποδεικνύεται jt ( r, ) = Re ( r) = Re ( r) όπου jt- Εr ( ) t é e ù é e ù ëê úû êë úû ( - ) + - ( + ) ( ) ( ) { t 0} = + + cs k r cs - tan é ê ë ( k r) -1 0 = Σε δεδομένη θέση η περιβάλλουσα r δεν εξαρτάται από το χρόνο (παραμένει σταθερή στο χώρο), και το κύμα καλείται στάσιμο κύμα. tan ù ú û () 4

25 Στάσιμα κύματα 49 Ο λόγος της μέγιστης προς την ελάχιστη τιμή καλείται λόγος στάσιμων κυμάτων (Standing Wave Rati) και συμβολίζεται SWR () 1 max SWR = r r () = + 1 min = = όπου ο συντελεστής ανάκλασης = Στάσιμα κύματα 50 Λόγος Στασίμων κυμάτων Συντελεστής ανάκλασης 1 SWR SWR 1 Ένα απλό οδεύον κύμα 1 SWR Πλήρως στάσιμο (ίσα πλάτη) 5

26 Στάσιμα κύματα 51 Περίπτωση πλήρως στάσιμου κύματος =1 + + () = + cs( ) r kr + - = + é + ( ) ù ( ) = ë 1+ cs k r û = cs k r ( ) ( ) + - = cs k r = cs k r Ένα σημείο σταθερής φάσης δεν μετατοπίζεται στο χώρο με την πάροδο του χρόνου. Στάσιμα κύματα 5 6

27 Στάσιμα κύματα 53 3j j Στάσιμα κύματα j 1 j 7

28 Ισχύς και Ενέργεια Η/Μ Πεδίου 55 Θεώρημα Pynting : Το διάνυσμα Pynting σε κάθε σημείο του χώρου, είναι ένα μέτρο του ρυθμού της ενεργειακής ροής ανά μονάδα επιφάνειας στο σημείο αυτό. = Η κατεύθυνση της ροής είναι κάθετη στα διανύσματα, και ταυτίζεται με την κατεύθυνση του διανύσματος. 56 Χρονική Μέση Τιμή Διανύσματος Pynting Υπολογίζεται στη διάρκεια μιας περιόδου 1 () Re * Pav r = é() r H () r ù êë úû Είναι η πυκνότητα ισχύος ή η χρονική μέση τιμή του ρυθμού ροής της ενέργειας ανά μονάδα επιφάνειας Έχει μονάδα Watt/m. Εξαιρετικά χρήσιμο μέγεθος για τον υπολογισμό της ισχύος που ακτινοβολεί μια κεραία. Ισχύει P () r nˆ nˆ av = = Z 8

29 57 Πόλωση Η/Μ Κυμάτων Γραμμική Κυκλική Ελλειπτική Πόλωση Η/Μ Κυμάτων 58 Η πόλωση ενός ομοιόμορφου επίπεδου κύματος είναι ο γεωμετρικός τόπος που διαγράφεται από το άκρο του διανύσματος του ηλεκτρικού πεδίου. Αφού το ηλεκτρικό πεδίο είναι πάντα κάθετο στην κατεύθυνση διάδοσης, ο γεωμετρικός τόπος διαγράφεται σε επίπεδο κάθετο στην κατεύθυνση διάδοσης. Η πόλωση συνεπώς αναφέρεται στη χρονική μεταβολή του ηλεκτρικού πεδίου σε κάποιο σταθερό σημείο στο χώρο. Περιγράφει τόσο τη χρονικά μεταβαλλόμενη κατεύθυνση του ηλεκτρικού πεδίου όσο και το πλάτος του. 9

30 Πόλωση Η/Μ Κυμάτων 59 Υπάρχουν 3 κατηγορίες πόλωσης Γραμμική Κυκλική Ελλειπτική (γενική περίπτωση) -jkr jt ( r, t) = Reé e e ù ê ë ú û -j kr jt = Reé( xˆ yˆ zˆ x y z ) e e ù ê + + ë úû Θεωρώ διάδοση κατά μήκος του άξονα z και επιπλέον παρατηρούμε το ηλεκτρικό πεδίο για z=0 nˆ = zˆ = 0 z = 0 k r = 0 z Πόλωση Η/Μ Κυμάτων 60 Γενικά οι συνιστώσες x,y του ηλεκτρικού πεδίου είναι μιγαδικές jx = e x y x = e y j y ( 0, t) = ( 0, t) + ( 0, t) x y jx jt j y jt = Re é ˆ Re ˆ x e e ùx é y e e ù êë úû + ê ú y ë û = cs t+ + t+ ( ) xˆ cs( ) x x y y Όλες οι περιπτώσεις πόλωσης προκύπτουν επιλέγοντας κατάλληλες τιμές για τα πλάτη και τις φάσεις yˆ 30

31 Γραμμική Πόλωση 61 Θεωρούμε ότι x y Άρα x y ( 0, t) = cs( t+ ) x ( 0, t) = cs( t+ ) y xˆ yˆ ( 0, t) = + cs( t+ ) x Δηλαδή ευθεία γραμμή που σχηματίζει γωνία ψ ως προς τον άξονα x, ίση με τη φάση του πεδίου. y Γραμμική Πόλωση 6 x cst x 0,t y cst y æy ( 0, t 1 ) æ ö - ö -1 y = tan tan = ç ( 0, t) ç è x ø è x ø 31

32 Γραμμική Πόλωση 63 Αν επιλέγαμε ή τότε x y y x y x ( 0, t) = cs( t+ ) x xˆ ( 0, t) = cs( t+ + ) yˆ =- cs( t+ ) y y yˆ Γραμμική Πόλωση 64 0,t x x cst y cst y Αν επιλέγαμε μηδενισμό της x, ή της y συνιστώσας τότε το ηλεκτρικό πεδίο θα είχε μόνο την συνιστώσα y ή x αντίστοιχα. 3

33 Κυκλική (Ωρολογιακή) Πόλωση 65 Αν υποθέσουμε ότι Τότε Άρα x y ( 0, t) = cs( t) x 0 y xˆ æ ö ç çè ø x y ( 0, t) = cs ç t- yˆ = sin( t) ( 0, t) = é ù é ù y ( 0, t -1 ) -1 sin( t) -1 = tan tan tan étan( t) ù ê = = = t ( 0, t) ú ê cs( t) ú ë û ê x ú ê ú ë û ë û yˆ Κυκλική (Ωρολογιακή) Πόλωση 66 x y 33

34 Κυκλική (Ανθωρολογιακή) Πόλωση 67 Αν υποθέσουμε ότι Τότε Άρα x y ( 0, t) = cs( t) x 0 y x y xˆ æ ö ç çè ø ( 0, t) = csçt+ yˆ =- sin( t) yˆ ( ) 0, t = και =- t Κυκλική (Ανθωρολογιακή) Πόλωση 68 x y 34

35 Ελλειπτική Πόλωση 69 Αν αντί για ίσα πλάτη θεωρήσουμε x 1 y 1 x y 0 Ο γεωμετρικός τόπος των σημείων από τα οποία διέρχεται το διάνυσμα του ηλεκτρικού πεδίου είναι έλλειψη με μεγάλο ημιάξονα που συμπίπτει με τον άξονα x και μέγεθος ( 0,t) = 1+ Και μικρό ημιάξονα που συμπίπτει με τον άξονα y και ( 0,t) = 1- max min Ελλειπτική (Ωρολογιακή) Πόλωση 70 x 1 0,t max y 0,t min 35

36 Ελλειπτική (Ανθωρολογιακή) Πόλωση 71 1 x 0,t max y 0,t min Ελλειπτική Πόλωση 7 Αν x 1 y 1 x y 0 τότε στρέφεται η έλλειψη και ο μεγάλος ημιάξονας συμπίπτει με τον άξονα y, ενώ ο μικρός με τον άξονα x, παραμένοντας ωρολογιακή για 1 >, και ανθωρολογιακή για 1 <. Υπάρχει και η γενική περίπτωση όπου ο μεγάλος και ο μικρός άξονας της έλλειψης δεν συμπίπτουν με τους άξονες x,y, αλλά υπάρχει μια κλίση της έλλειψης για m x y m 0,1,,3,... 36

37 Ελλειπτική Πόλωση 73 x x x y y y y x Ελλειπτική Πόλωση 74 tan x y cs x y s x y x y 4 x y cs s 4 x y x y x y cs 1 A 1 B s sign x y 37

38 Ελλειπτική Πόλωση 75 Αν η διαφορά φάσης δεν είναι περιττό πολλαπλάσιο των 90 ο και x y 45 A 1cs B 1cs x Η φορά περιστροφής είναι ωρολογιακή αν sin 0 Και ανθωρολογιακή αν sin 0 x Σύνοψη Συνθηκών για Είδος Πόλωσης 76 Γραμμική Πόλωση έχουμε αν Μια από τις δύο συνιστώσες είναι μηδενική ή Η διαφορά φάσης των δύο συνιστωσών είναι ακέραιο πολλαπλάσιο του π, δηλαδή Κυκλική Πόλωση αν x y n n0,1,,... Τα πλάτη των δύο ορθογώνιων συνιστωσών είναι ίσα και η διαφορά φάσης είναι περιττό πολλαπλάσιο του π/ 1 x y n n 0,1,,... 38

39 Σύνοψη Συνθηκών για Είδος Πόλωσης 77 Ελλειπτική Πόλωση έχουμε αν Η διαφορά φάσης των δύο συνιστωσών είναι περιττό πολλαπλάσιο του π/ και τα πλάτη δεν είναι ίσα, 1 x y n n 0,1,,... Ή ανεξαρτήτως των πλατών η διαφορά φάσης δεν είναι πολλαπλάσιο του π/ x y n n0,1,,... Σύνοψη για Φορά Περιστροφής 78 Η φορά περιστροφής προκύπτει παρατηρώντας το κύμα ενώ απομακρύνεται και περιστρέφοντας τη συνιστώσα που προηγείται προς τη συνιστώσα που έπεται. Η περιστροφή γίνεται πάντα προς τη μικρότερη γωνία που σχηματίζουν οι δύο συνιστώσες. Γενικά υπολογίζουμε x y Επίσης προσέξτε την κατεύθυνση διάδοσης του κύματος και τοποθετήστε σωστά τις xyz ανάλογα με το δεξιόστροφο κοχλία. 39

40 Φορά Περιστροφής για Κυκλική Πόλωση 79 Α) Κατεύθυνση ẑ A.1) H συνιστώσα Ε x προηγείται x y n n0,1,,... Άρα στρέφω x προς y και έχω CW A.) H συνιστώσα Ε y προηγείται x y n n0,1,,... Άρα στρέφω y προς x και έχω CCW Φορά Περιστροφής για Κυκλική Πόλωση 80 B) Κατεύθυνση ẑ B.1) H συνιστώσα Ε x προηγείται x y n n0,1,,... Άρα στρέφω x προς y και έχω CCW B.) H συνιστώσα Ε y προηγείται x y n n0,1,,... Άρα στρέφω y προς x και έχω CW 40

41 Φορά Περιστροφής για Ελλειπτική Πόλωση 81 Ισχύουν τα ίδια με την κυκλική όταν τα πλάτη είναι διαφορετικά αλλά η διαφορά φάσης είναι περιττό πολλαπλάσιο του π/. Όταν n ẑ Α) Κατεύθυνση Α.1) x y 0 A.) 0 x y Η πόλωση είναι CW Η πόλωση είναι CCW ẑ B) Κατεύθυνση B.1) x y 0 B.) 0 x y Η πόλωση είναι CCW Η πόλωση είναι CW 8 Ευχαριστώ για την προσοχή σας Αθανάσιος Κανάτας Καθηγητής Πανεπιστημίου Πειραιώς Τηλ: e mail: kanatas@unipi.gr 41

ΑΣΥΡΜΑΤΕΣ ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΕΣ

ΑΣΥΡΜΑΤΕΣ ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΕΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΙΡΑΙΩΣ ΤΜΗΜΑ ΨΗΦΙΑΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΤΗΛΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΑΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΑΣΥΡΜΑΤΕΣ ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΕΣ Εισαγωγή στα Η/Μ Κύματα Αθανάσιος Κανάτας Καθηγητής Παν/μίου Πειραιώς Ιδιότητες των μέσων

Διαβάστε περισσότερα

ΗΜ & Διάδοση ΗΜ Κυμάτων

ΗΜ & Διάδοση ΗΜ Κυμάτων ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα ΗΜ & Διάδοση ΗΜ Κυμάτων Ενότητα : Κυματική Εξίσωση & Επίπεδο ΗΜ Κύμα Σαββαΐδης Στυλιανός Τμήμα Ηλεκτρονικών Μηχανικών Τ.Ε. Άδειες

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Γ. Επικαμπύλια και Επιφανειακά Ολοκληρώματα. Γ.1 Επικαμπύλιο Ολοκλήρωμα

ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Γ. Επικαμπύλια και Επιφανειακά Ολοκληρώματα. Γ.1 Επικαμπύλιο Ολοκλήρωμα ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Γ Επικαμπύλια και Επιφανειακά Ολοκληρώματα Η αναγκαιότητα για τον ορισμό και την περιγραφή των ολοκληρωμάτων που θα περιγράψουμε στο Παράρτημα αυτό προκύπτει από το γεγονός ότι τα μεγέθη που

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΙΡΑΙΩΣ ΤΜΗΜΑ ΨΗΦΙΑΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΤΗΛΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΑΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΙΡΑΙΩΣ ΤΜΗΜΑ ΨΗΦΙΑΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΤΗΛΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΑΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ 3/5/016 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΙΡΑΙΩΣ ΤΜΗΜΑ ΨΗΦΙΑΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΤΗΛΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΑΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΑΣΥΡΜΑΤΕΣ ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΕΣ Παραδείγματα Κεραιών Αθανάσιος Κανάτας Καθηγητής Παν/μίου Πειραιώς Δίπολο Hetz L d

Διαβάστε περισσότερα

ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ

ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΚΑΙ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΗΛΕΚΤΡΟΜΑΓΝΗΤΙΚΩΝ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ, ΗΛΕΚΤΡΟΟΠΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΩΝ ΥΛΙΚΩΝ Καθ. Ηλίας Γλύτσης, Τηλ. 21-7722479, e-mail:

Διαβάστε περισσότερα

(ΚΕΦ 32) f( x x f( x) x z y

(ΚΕΦ 32) f( x x f( x) x z y (ΚΕΦ 3) f( x x f( x) x z y ΣΥΝΟΨΗ ΗΛΕΚΤΡΟΜΑΓΝΗΤΙΣΜΟΥ J. C. Maxwell (~1860) συνόψισε τη δουλειά ως τότε για το ηλεκτρικό και μαγνητικό πεδίο σε 4 εξισώσεις. Όμως, κατανόησε ότι οι εξισώσεις αυτές (όπως

Διαβάστε περισσότερα

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ Σκοπός Σκοπός του κεφαλαίου είναι η ανασκόπηση βασικών μαθηματικών εργαλείων που αφορούν τη μελέτη διανυσματικών συναρτήσεων [π.χ. E(, t) ]. Τα εργαλεία αυτά είναι

Διαβάστε περισσότερα

Experiments are the only means of knowledge. Anyother is poetry and imagination. M.Plank 2 ΟΙ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΤΟΥ MAXWELL

Experiments are the only means of knowledge. Anyother is poetry and imagination. M.Plank 2 ΟΙ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΤΟΥ MAXWELL ΚΥΜΑΤΙΚΗ-ΟΠΤΙΚΗ 7 xpeiments ae the only means o knowledge. Anyothe is poety and imagination. M.Plank 2 ΟΙ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΤΟΥ MAXWLL Σε µια πρώτη παρουσίαση του θέµατος δίνονται οι εξισώσεις του Maxwell στο

Διαβάστε περισσότερα

11 ΧΡΟΝΙΚΑ ΜΕΤΑΒΑΛΛΟΜΕΝΑ ΠΕΔΙΑ

11 ΧΡΟΝΙΚΑ ΜΕΤΑΒΑΛΛΟΜΕΝΑ ΠΕΔΙΑ xx ΤΟΜΟΣ ΙI 11 ΧΡΟΝΙΚΑ ΜΕΤΑΒΑΛΛΟΜΕΝΑ ΠΕΔΙΑ 741 11.1 Διαφορική και ολοκληρωτική μορφή των εξισώσεων Maxwell Ρεύμα μετατόπισης...................................... 741 11.2 Οι εξισώσεις Maxwell σε μιγαδική

Διαβάστε περισσότερα

Περιοχές Ακτινοβολίας Κεραιών

Περιοχές Ακτινοβολίας Κεραιών Κεραίες ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ Δημοσθένης Βουγιούκας Αναπληρωτής Καθηγητής Τμήμα Μηχανικών Πληροφοριακών & Επικοινωνιακών Συστημάτων Περιοχές Ακτινοβολίας Κεραιών 2 1 Σημειακή Πηγή 3 Κατακόρυφα Πολωμένο

Διαβάστε περισσότερα

y T - yy z x T + yy T + yz T + yx T + xy T + zy T - xz T - zx T - zz T - xx T + xx T + zx T + xz T + zz T - zy T - xy T - yx T - yz

y T - yy z x T + yy T + yz T + yx T + xy T + zy T - xz T - zx T - zz T - xx T + xx T + zx T + xz T + zz T - zy T - xy T - yx T - yz Συµπληρωµατικές Σηµειώσεις στα ΗΜ Πεδία (Κ. Χιτζανίδης Μάιος 2017 ΗΜ τάσεις σε υλικές επιφάνειες T + yy T + yz T + yx T + zy T + xy T - xx T - xz T - zx T - zz T + zz T + zx T + xz T + xx T - xy T - zy

Διαβάστε περισσότερα

Ηλεκτρομαγνητισμός. Ηλεκτρικό πεδίο νόμος Gauss. Νίκος Ν. Αρπατζάνης

Ηλεκτρομαγνητισμός. Ηλεκτρικό πεδίο νόμος Gauss. Νίκος Ν. Αρπατζάνης Ηλεκτρομαγνητισμός Ηλεκτρικό πεδίο νόμος Gauss Νίκος Ν. Αρπατζάνης Εισαγωγή Ο νόµος του Gauss: Μπορεί να χρησιµοποιηθεί ως ένας εναλλακτικός τρόπος υπολογισµού της έντασης του ηλεκτρικού πεδίου. Βασίζεται

Διαβάστε περισσότερα

8 η Διάλεξη Ηλεκτρομαγνητική ακτινοβολία, φαινόμενα συμβολής, περίθλαση

8 η Διάλεξη Ηλεκτρομαγνητική ακτινοβολία, φαινόμενα συμβολής, περίθλαση 11//17 8 η Διάλεξη Ηλεκτρομαγνητική ακτινοβολία, φαινόμενα συμβολής, περίθλαση Φίλιππος Φαρμάκης Επ. Καθηγητής 1 Ηλεκτρομαγνητισμός Πως συνδέονται ο ηλεκτρισμός με τον μαγνητισμό; Πως παράγονται τα κύματα;

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ 1. ΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ. 1.3.1 Μετατροπή από καρτεσιανό σε κυλινδρικό σύστηµα... 6 1.3.2 Απειροστές ποσότητες... 7

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ 1. ΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ. 1.3.1 Μετατροπή από καρτεσιανό σε κυλινδρικό σύστηµα... 6 1.3.2 Απειροστές ποσότητες... 7 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ 1. ΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ 1.1 Φυσικά µεγέθη... 1 1.2 ιανυσµατική άλγεβρα... 2 1.3 Μετατροπές συντεταγµένων... 6 1.3.1 Μετατροπή από καρτεσιανό σε κυλινδρικό σύστηµα... 6 1.3.2 Απειροστές ποσότητες...

Διαβάστε περισσότερα

ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ

ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ & ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΗΛΕΚΤΡΟΜΑΓΝΗΤΙΚΩΝ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ, ΗΛΕΚΤΡΟΟΠΤΙΚΗΣ & ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΩΝ ΥΛΙΚΩΝ Καθ. Η. Ν. Γλύτσης, Tηλ.: 21-7722479 - e-mail:

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΤΟΜΟΣ Ι ΕΙΣΑΓΩΓΗ 1

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΤΟΜΟΣ Ι ΕΙΣΑΓΩΓΗ 1 ΤΟΜΟΣ Ι ΕΙΣΑΓΩΓΗ 1 1 ΟΙ ΒΑΣΙΚΟΙ ΝΟΜΟΙ ΤΟΥ ΗΛΕΚΤΡΟΣΤΑΤΙΚΟΥ ΠΕΔΙΟΥ 7 1.1 Μονάδες και σύμβολα φυσικών μεγεθών..................... 7 1.2 Προθέματα φυσικών μεγεθών.............................. 13 1.3 Αγωγοί,

Διαβάστε περισσότερα

Κλασική Ηλεκτροδυναμική

Κλασική Ηλεκτροδυναμική Κλασική Ηλεκτροδυναμική Ενότητα 18: Νόμοι Maxwell Ανδρέας Τερζής Σχολή Θετικών Επιστημών Τμήμα Φυσικής Σκοποί ενότητας Σκοπός της ενότητας είναι να παρουσίασει τις εξισώσεις Maxwell. 2 Περιεχόμενα ενότητας

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΥΡΜΑΤΕΣ ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΕΣ

ΑΣΥΡΜΑΤΕΣ ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΕΣ 7/4/017 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΙΡΑΙΩΣ ΤΜΗΜΑ ΨΗΦΙΑΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΤΗΛΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΑΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΑΣΥΡΜΑΤΕΣ ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΕΣ Εισαγωγή στις Κεραίες Αθανάσιος Κανάτας Καθηγητής Παν/μίου Πειραιώς Μηχανισμός Ακτινοβολίας

Διαβάστε περισσότερα

ΗΛΕΚΤΡΟΜΑΓΝΗΤΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΠΗΓΕΣ ΜΑΓΝΗΤΙΚΟΥ ΠΕΔΙΟΥ

ΗΛΕΚΤΡΟΜΑΓΝΗΤΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΠΗΓΕΣ ΜΑΓΝΗΤΙΚΟΥ ΠΕΔΙΟΥ ΗΛΕΚΤΡΟΜΑΓΝΗΤΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΠΗΓΕΣ ΜΑΓΝΗΤΙΚΟΥ ΠΕΔΙΟΥ 1 .1 ΤΟ ΜΑΓΝΗΤΙΚΟ ΠΕΔΙΟ ΚΙΝΟΥΜΕΝΟΥ ΦΟΡΤΙΟΥ Ας θεωρούμε το μαγνητικό πεδίο ενός κινούμενου σημειακού φορτίου q. Ονομάζουμε τη θέση του φορτίου σημείο πηγής

Διαβάστε περισσότερα

Ηλεκτρομαγνητικά Κύματα Κεραίες

Ηλεκτρομαγνητικά Κύματα Κεραίες Ηλεκτρομαγνητικά Κύματα Κεραίες Τρόπος βαθμολόγησης Ασκήσεις που θα δίδονται κατά την διάρκεια του μαθήματος (+1 μονάδα) 1 η Πρόοδος 50% του βαθμού η Πρόοδος 50% του βαθμού Τελική εξέταση 100% του βαθμού

Διαβάστε περισσότερα

Μικροκυματικές Επικοινωνίες & Τεχνολογίες Χιλιοστομετρικών Κυμάτων

Μικροκυματικές Επικοινωνίες & Τεχνολογίες Χιλιοστομετρικών Κυμάτων Μικροκυματικές Επικοινωνίες & Τεχνολογίες Χιλιοστομετρικών Κυμάτων ΕΙΣΑΓΩΓΗ - Το μάθημα αυτό πραγματεύεται θεμελιώδεις έννοιες των γραμμών μεταφοράς στην επιστημονική περιοχή των ηλεκτρονικών συστημάτων

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΥΡΜΑΤΕΣ ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΕΣ

ΑΣΥΡΜΑΤΕΣ ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΕΣ 8/3/018 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΙΡΑΙΩΣ ΤΜΗΜΑ ΨΗΦΙΑΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΤΗΛΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΑΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΑΣΥΡΜΑΤΕΣ ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΕΣ Εισαγωγή στις Κεραίες Αθανάσιος Κανάτας Καθηγητής Παν/μίου Πειραιώς Μηχανισμός Ακτινοβολίας

Διαβάστε περισσότερα

website:

website: Αριστοτέλειο Πανεπιστήμιο Θεσσαλονίκης Τμήμα Φυσικής Μηχανική Ρευστών Μαάιτα Τζαμάλ-Οδυσσέας 3 Μαρτίου 2019 1 Τανυστής Παραμόρφωσης Συνοδεύον σύστημα ονομάζεται το σύστημα συντεταγμένων ξ i το οποίο μεταβάλλεται

Διαβάστε περισσότερα

ΛΥΣΕΙΣ ΕΞΙΣΩΣΗΣ ΚΥΜΑΤΟΣ ΣΤΟΥΣ ΚΥΜΑΤΟΔΗΓΟΥΣ ΔΙΑΦΟΡΩΝ ΔΙΑΤΟΜΩΝ

ΛΥΣΕΙΣ ΕΞΙΣΩΣΗΣ ΚΥΜΑΤΟΣ ΣΤΟΥΣ ΚΥΜΑΤΟΔΗΓΟΥΣ ΔΙΑΦΟΡΩΝ ΔΙΑΤΟΜΩΝ ΔΗΜΟΚΡΙΤΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΡΑΚΗΣ ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ & ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΤΟΜΕΑΣ : Φυσικής και Εφαρμοσμένων Μαθηματικών Μάθημα : Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Διδάσκων: Αν. καθηγητής Χρ. Σχοινάς Προαιρετική

Διαβάστε περισσότερα

( ) ( ) ( )z. HMY Φωτονική. Διάλεξη 08 Οι εξισώσεις του Maxwell. r = A r. B r. ˆ det = Βαθμωτά και διανυσματικά μεγέθη

( ) ( ) ( )z. HMY Φωτονική. Διάλεξη 08 Οι εξισώσεις του Maxwell. r = A r. B r. ˆ det = Βαθμωτά και διανυσματικά μεγέθη HMY - Φωτονική Διάλεξη 8 Οι εξισώσεις του Mawell Βαθμωτά και διανυσματικά μεγέθη Πολλαπλασιασμός Πρόσθεση διανυσμάτων Βαθμωτό: το μέγεθος που για τον προσδιορισμό του χρειάζεται μόνο το μέτρο του και η

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΩΤΑΤΟ ΣΥΜΒΟΥΛΙΟ ΕΠΙΛΟΓΗΣ ΠΡΟΣΩΠΙΚΟΥ ΕΡΩΤΗΜΑΤΟΛΟΓΙΟ

ΑΝΩΤΑΤΟ ΣΥΜΒΟΥΛΙΟ ΕΠΙΛΟΓΗΣ ΠΡΟΣΩΠΙΚΟΥ ΕΡΩΤΗΜΑΤΟΛΟΓΙΟ ΑΝΩΤΑΤΟ ΣΥΜΒΟΥΛΙΟ ΕΠΙΛΟΓΗΣ ΠΡΟΣΩΠΙΚΟΥ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΩΝ ΕΤΟΥΣ 008 ( ΠΡΟΚΗΡΥΞΗ 5Π /008) ΚΕΝΤΡΙΚΗ ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΥ Κλάδος-Ειδικότητα: ΠΕ 1.05 ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗΝ ΠΡΩΤΗ ΘΕΜΑΤΙΚΗ

Διαβάστε περισσότερα

Νόμος Ampere- Διανυσματικό Δυναμικό

Νόμος Ampere- Διανυσματικό Δυναμικό Νόμος Ampere- Διανυσματικό Δυναμικό Δομή Διάλεξης Μαγνητικό πεδίο ευθύγραμμων αγωγών Ο στροβιλισμός και η κλίση μαγνητικού πεδίου: ο νόμος του Ampere Εφαρμογές του Νόμου του Ampere To διανυσματικό δυναμικό

Διαβάστε περισσότερα

ΣΕΜΦΕ ΕΜΠ Φυσική ΙΙΙ (Κυματική) Διαγώνισμα επί πτυχίω εξέτασης 02/06/2017 1

ΣΕΜΦΕ ΕΜΠ Φυσική ΙΙΙ (Κυματική) Διαγώνισμα επί πτυχίω εξέτασης 02/06/2017 1 ΣΕΜΦΕ ΕΜΠ Φυσική ΙΙΙ (Κυματική) Διαγώνισμα επί πτυχίω εξέτασης /6/7 Διάρκεια ώρες. Θέμα. Θεωρηστε ενα συστημα δυο σωματων ισων μαζων (μαζας Μ το καθενα) και δυο ελατηριων (χωρις μαζα) με σταθερες ελατηριων

Διαβάστε περισσότερα

ΕΝΟΤΗΤΑ ΙΙΙ ΜΑΓΝΗΤΙΚΟ ΠΕ ΙΟ

ΕΝΟΤΗΤΑ ΙΙΙ ΜΑΓΝΗΤΙΚΟ ΠΕ ΙΟ ΕΝΟΤΗΤΑ ΙΙΙ ΜΑΓΝΗΤΙΚΟ ΠΕ ΙΟ 19 Μαγνητικό πεδίο Μαγνητικό πεδίο ονοµάζεται ο χώρος στον οποίο ασκούνται δυνάµεις σε οποιοδήποτε κινούµενο φορτίο εισάγεται σε αυτόν. Επειδή το ηλεκτρικό ρεύµα είναι διατεταγµένη

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ

ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ A u B Μέτρο Διεύθυνση Κατεύθυνση (φορά) Σημείο Εφαρμογής Διανυσματικά Μεγέθη : μετάθεση, ταχύτητα, επιτάχυνση, δύναμη Μονόμετρα Μεγέθη : χρόνος, μάζα, όγκος, θερμοκρασία,

Διαβάστε περισσότερα

ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ. q e = C Φορτίο Ηλεκτρονίου 1.1. Ηλεκτρικό Πεδίο 2.1. Ηλεκτρικό Πεδίο Σημειακού Φορτίου Q Ηλεκτρικό Πεδίο Σημειακού

ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ. q e = C Φορτίο Ηλεκτρονίου 1.1. Ηλεκτρικό Πεδίο 2.1. Ηλεκτρικό Πεδίο Σημειακού Φορτίου Q Ηλεκτρικό Πεδίο Σημειακού ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ q e = 1.6 10 19 C Φορτίο Ηλεκτρονίου 1.1 F = k Q 1 Q 2 r 2 = 9 10 9 Q 1 Q 2 r 2 Νόμος Coulomb 1.2 E = F q E = k Q r 2 E = k Q r 2 e r E = 2kλ ρ E = 2kλ ρ e ρ ε 0 = 1/4πk = 8.85 10 12 S. I. Ε

Διαβάστε περισσότερα

max 0 Eκφράστε την διαφορά των δύο θετικών λύσεων ώς πολλαπλάσιο του ω 0, B . Αναλύοντας το Β σε σειρά άπειρων όρων ώς προς γ/ω 0 ( σειρά

max 0 Eκφράστε την διαφορά των δύο θετικών λύσεων ώς πολλαπλάσιο του ω 0, B . Αναλύοντας το Β σε σειρά άπειρων όρων ώς προς γ/ω 0 ( σειρά . Να αποδείξετε ότι σε ένα ταλαντούμενο σύστημα ενός βαθμού ελευθερίας, μάζας και σταθεράς ελατηρίου s με πολύ ασθενή απόσβεση (γω, όπου γ r/, r η σταθερά αντίστασης και s/ ) το πλήρες εύρος στο μισό του

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΗΛΕΚΤΡΟΜΑΓΝΗΤΙΚΟΥ ΠΕΔΙΟΥ. Κ. Γ. Ευθυμιάδης Αικ. Σιακαβάρα Ε. Παπαδημητράκη-Χλίχλια Ι. Α. Τσουκαλάς

ΘΕΩΡΙΑ ΗΛΕΚΤΡΟΜΑΓΝΗΤΙΚΟΥ ΠΕΔΙΟΥ. Κ. Γ. Ευθυμιάδης Αικ. Σιακαβάρα Ε. Παπαδημητράκη-Χλίχλια Ι. Α. Τσουκαλάς ΘΕΩΡΙΑ ΗΛΕΚΤΡΟΜΑΓΝΗΤΙΚΟΥ ΠΕΔΙΟΥ Κ. Γ. Ευθυμιάδης Αικ. Σιακαβάρα Ε. Παπαδημητράκη-Χλίχλια Ι. Α. Τσουκαλάς ΘΕΩΡΙΑ ΗΛΕΚΤΡΟΜΑΓΝΗΤΙΚΟΥ ΠΕΔΙΟΥ Α Έκδοση Συγγραφείς Κ. Γ. Ευθυμιάδης Αικ. Σιακαβάρα Ε. Παπαδημητράκη-Χλίχλια

Διαβάστε περισσότερα

Δομή της παρουσίασης

Δομή της παρουσίασης ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΙΡΑΙΩΣ ΣΧΟΛΗ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ & ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΩΝ ΤΜΗΜΑ ΨΗΦΙΑΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΤΗΛΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΑΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ Εισαγωγή στις Τηλεπικοινωνίες Διάλεξη η Τα Σήματα στις Τηλεπικοινωνίες

Διαβάστε περισσότερα

Φυσική για Μηχανικούς

Φυσική για Μηχανικούς Φυσική για Μηχανικούς Ο νόμος του Gauss Εικόνα: Σε μια επιτραπέζια μπάλα πλάσματος, οι χρωματιστές γραμμές που βγαίνουν από τη σφαίρα αποδεικνύουν την ύπαρξη ισχυρού ηλεκτρικού πεδίου. Με το νόμο του Gauss,

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στις Τηλεπικοινωνίες

Εισαγωγή στις Τηλεπικοινωνίες ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΙΡΑΙΩΣ ΣΧΟΛΗ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ & ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΩΝ ΤΜΗΜΑ ΨΗΦΙΑΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΤΗΛΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΑΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ Εισαγωγή στις Τηλεπικοινωνίες Ανάπτυξη σε Σειρές Furier Αθανάσιος Κανάτας

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΙΣ ΗΛΕΚΤΡΙΚΕΣ ΜΗΧΑΝΕΣ

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΙΣ ΗΛΕΚΤΡΙΚΕΣ ΜΗΧΑΝΕΣ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΙΣ ΗΛΕΚΤΡΙΚΕΣ ΜΗΧΑΝΕΣ ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΑ Η ηλεκτρική μηχανή είναι μια διάταξη μετατροπής μηχανικής ενέργειας σε ηλεκτρική και αντίστροφα. απώλειες Μηχανική ενέργεια Γεννήτρια Κινητήρας Ηλεκτρική ενέργεια

Διαβάστε περισσότερα

Φυσική για Μηχανικούς

Φυσική για Μηχανικούς Φυσική για Μηχανικούς Ο νόμος του Gauss Εικόνα: Σε μια επιτραπέζια μπάλα πλάσματος, οι χρωματιστές γραμμές που βγαίνουν από τη σφαίρα αποδεικνύουν την ύπαρξη ισχυρού ηλεκτρικού πεδίου. Με το νόμο του Gauss,

Διαβάστε περισσότερα

Δομή Διάλεξης. Ορισμός Ηλεκτρικού Δυναμικού και συσχέτιση με το Ηλεκτρικό Πεδίο

Δομή Διάλεξης. Ορισμός Ηλεκτρικού Δυναμικού και συσχέτιση με το Ηλεκτρικό Πεδίο Ηλεκτρικό Δυναμικό Δομή Διάλεξης Ορισμός Ηλεκτρικού Δυναμικού και συσχέτιση με το Ηλεκτρικό Πεδίο Ιδιότητες ηλεκτρικού δυναμικού (χρησιμότητα σε υπολογισμούς, σημείο αναφοράς, αρχή υπέρθεσης) Διαφορικές

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στις Τηλεπικοινωνίες. Δομή της παρουσίασης

Εισαγωγή στις Τηλεπικοινωνίες. Δομή της παρουσίασης ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΙΡΑΙΩΣ ΣΧΟΛΗ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ & ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΩΝ ΤΜΗΜΑ ΨΗΦΙΑΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΤΗΛΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΑΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ Εισαγωγή στις Τηλεπικοινωνίες Μετασχηματισμός Furier Αθανάσιος Κανάτας

Διαβάστε περισσότερα

1. Νόμος του Faraday Ορισμός της μαγνητικής ροής στην γενική περίπτωση τυχαίου μαγνητικού πεδίου και επιφάνειας:

1. Νόμος του Faraday Ορισμός της μαγνητικής ροής στην γενική περίπτωση τυχαίου μαγνητικού πεδίου και επιφάνειας: 1. Νόμος του Faaday Ορισμός της μαγνητικής ροής στην γενική περίπτωση τυχαίου μαγνητικού πεδίου και επιφάνειας: dφ d A Φ d A Αν το μαγνητικό πεδίο είναι ομογενές και η επιφάνεια επίπεδη: Φ A Ο νόμος του

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΕ 14 6η ΕΡΓΑΣΙΑ Παράδοση ( Οι ασκήσεις είναι ϐαθµολογικά ισοδύναµες)

ΦΥΕ 14 6η ΕΡΓΑΣΙΑ Παράδοση ( Οι ασκήσεις είναι ϐαθµολογικά ισοδύναµες) ΑΣΚΗΣΗ 1 ΦΥΕ 14 6η ΕΡΓΑΣΙΑ Παράδοση 30-06-08 ( Οι ασκήσεις είναι ϐαθµολογικά ισοδύναµες) Α) Τρία σηµειακά ϕορτία τοποθετούνται στις κορυφές ενός τετραγώνου πλευράς α, όπως ϕαίνεται στο σχήµα 1. Υπολογίστε

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμογές Νόμος Gauss, Ηλεκτρικά πεδία. Ιωάννης Γκιάλας 7 Μαρτίου 2014

Εφαρμογές Νόμος Gauss, Ηλεκτρικά πεδία. Ιωάννης Γκιάλας 7 Μαρτίου 2014 Εφαρμογές Νόμος Gauss, Ηλεκτρικά πεδία Ιωάννης Γκιάλας 7 Μαρτίου 14 Άσκηση: Ηλεκτρικό πεδίο διακριτών φορτίων Δύο ίσα θετικά φορτία q βρίσκονται σε απόσταση α μεταξύ τους. Να βρεθεί η ακτίνα του κύκλου,

Διαβάστε περισσότερα

8. ΜΑΓΝΗΤΙΣΜΟΣ. Φυσική ΙΙ Δ. Κουζούδης. Πρόβλημα 8.6.

8. ΜΑΓΝΗΤΙΣΜΟΣ. Φυσική ΙΙ Δ. Κουζούδης. Πρόβλημα 8.6. 1 8. ΜΑΓΝΗΤΙΣΜΟΣ Πρόβλημα 8.6. Το σύρμα του παρακάτω σχήματος έχει άπειρο μήκος και διαρρέεται από ρεύμα I. Υπολογίστε με τη βοήθεια του νόμου του Biot-Savart με ολοκλήρωση το μέτρο και την κατεύθυνση

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στις Τηλεπικοινωνίες. Δομή της παρουσίασης

Εισαγωγή στις Τηλεπικοινωνίες. Δομή της παρουσίασης 6 Nv 6 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΙΡΑΙΩΣ ΣΧΟΛΗ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ & ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΩΝ ΤΜΗΜΑ ΨΗΦΙΑΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΤΗΛΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΑΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ Εισαγωγή στις Τηλεπικοινωνίες Ανάπτυξη σε Σειρές Furier Αθανάσιος

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΧΕΣ ΛΕΙΤΟΥΡΓΙΑΣ ΗΛΕΚΤΡΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΩΝ ΕΝΑΛΛΑΣΣΟΜΕΝΟΥ ΡΕΥΜΑΤΟΣ

ΑΡΧΕΣ ΛΕΙΤΟΥΡΓΙΑΣ ΗΛΕΚΤΡΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΩΝ ΕΝΑΛΛΑΣΣΟΜΕΝΟΥ ΡΕΥΜΑΤΟΣ ΑΡΧΕΣ ΛΕΙΤΟΥΡΓΙΑΣ ΗΛΕΚΤΡΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΩΝ ΕΝΑΛΛΑΣΣΟΜΕΝΟΥ ΡΕΥΜΑΤΟΣ Οι ηλεκτρικές μηχανές εναλλασσομένου ρεύματος (ΕΡ) χωρίζονται σε δύο κατηγορίες: στις σύγχρονες (που χρησιμοποιούνται συνήθως ως γεννήτριες)

Διαβάστε περισσότερα

ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΤΩΝ ΡΕΥΣΤΩΝ- ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ NAVIER STOKES

ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΤΩΝ ΡΕΥΣΤΩΝ- ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ NAVIER STOKES ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΤΩΝ ΡΕΥΣΤΩΝ- ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ NAVIER STOKES ΙΣΟΡΡΟΠΙΑ ΔΥΝΑΜΕΩΝ ΣΕ ΕΝΑΝ ΑΠΕΙΡΟΣΤΟ ΟΓΚΟ ΡΕΥΣΤΟΥ Στο κεφάλαιο αυτό θα εξετάσουμε την ισορροπία των δυνάμεων οι οποίες ασκούνται σε ένα τυχόν σωματίδιο ρευστού.

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στις Τηλεπικοινωνίες. Δομή της παρουσίασης

Εισαγωγή στις Τηλεπικοινωνίες. Δομή της παρουσίασης 1 Oct 16 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΙΡΑΙΩΣ ΣΧΟΛΗ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ & ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΩΝ ΤΜΗΜΑ ΨΗΦΙΑΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΤΗΛΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΑΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ Εισαγωγή στις Τηλεπικοινωνίες Διάλεξη 4 η Γεωμετρική Αναπαράσταση

Διαβάστε περισσότερα

Ηλεκτρομαγνητισμός. Χρήσιμες μαθηματικές έννοιες. Νίκος Ν. Αρπατζάνης

Ηλεκτρομαγνητισμός. Χρήσιμες μαθηματικές έννοιες. Νίκος Ν. Αρπατζάνης Ηλεκτρομαγνητισμός Χρήσιμες μαθηματικές έννοιες Νίκος Ν. Αρπατζάνης Παράγωγος ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΕΡΜΗΝΕΙΑ y y = f(x) x φ y y y = f(x) x φ y y y = f(x) φ x 1 x 1 + х x x 1 x 1 + х x x 1 x tanϕ = y x tanϕ = dy dx

Διαβάστε περισσότερα

Μαγνητικά Πεδία σε Σύγχρονες Μηχανές. 3.1 Μαγνητικά πεδία σε μηχανές με ομοιόμορφο διάκενο.

Μαγνητικά Πεδία σε Σύγχρονες Μηχανές. 3.1 Μαγνητικά πεδία σε μηχανές με ομοιόμορφο διάκενο. Χ. Δημουλιά, Σύγχρονες Ηλεκτρικές Μηχανές Κεφάλαιο 3 1 Κεφάλαιο 3 Μαγνητικά Πεδία σε Σύγχρονες Μηχανές 3.1 Μαγνητικά πεδία σε μηχανές με ομοιόμορφο διάκενο. Θα εξετάσουμε εδώ το μαγνητικό πεδίο στο διάκενο

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥΣ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥΣ ( - h). Αν η συνάρτηση είναι συνεχής στο 0 = και lim = h 0 h να αποδείξετε ότι η είναι παραγωγίσιμη στο 0 = και να βρείτε την (). () - + 6. Αν η συνάρτηση είναι συνεχής στο 0 =

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις 6 ου Κεφαλαίου

Ασκήσεις 6 ου Κεφαλαίου Ασκήσεις 6 ου Κεφαλαίου 1. Μία ράβδος ΟΑ έχει μήκος l και περιστρέφεται γύρω από τον κατακόρυφο άξονα Οz, που είναι κάθετος στο άκρο της Ο με σταθερή γωνιακή ταχύτητα ω. Να βρεθεί r η επαγώμενη ΗΕΔ στη

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΑΠΟ ΤΗ ΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΑΠΟ ΤΗ ΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΑΠΟ ΤΗ ΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ 1.1. ΕΙΣΑΓΩΓΗ Γράφημα μιας πραγματικής συνάρτησης : ή ( )/ σύνολο: f Οι θέσεις του κινητού σημείου G ( x, y)/ y f( x), xa. f A y f x A είναι το M x, y, ώστε

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο31 Εξισώσεις Maxwellκαι ΗλεκτροµαγνητικάΚύµατα. Copyright 2009 Pearson Education, Inc.

Κεφάλαιο31 Εξισώσεις Maxwellκαι ΗλεκτροµαγνητικάΚύµατα. Copyright 2009 Pearson Education, Inc. Κεφάλαιο31 Εξισώσεις Maxwellκαι ΗλεκτροµαγνητικάΚύµατα ΠεριεχόµεναΚεφαλαίου 31 Τα µεταβαλλόµενα ηλεκτρικά πεδία παράγουν µαγνητικά πεδία. Ο Νόµος του Ampère-Ρεύµα µετατόπισης Νόµος του Gauss s στο µαγνητισµό

Διαβάστε περισσότερα

Φυσική για Μηχανικούς

Φυσική για Μηχανικούς Φυσική για Μηχανικούς Ο νόμος του Gauss Εικόνα: Σε μια επιτραπέζια μπάλα πλάσματος, οι χρωματιστές γραμμές που βγαίνουν από τη σφαίρα αποδεικνύουν την ύπαρξη ισχυρού ηλεκτρικού πεδίου. Με το νόμο του Gauss,

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΤΡΗΣΗ ΚΑΙ ΦΑΣΜΑΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΜΗ ΙΟΝΙΖΟΥΣΑΣ ΗΛΕΚΤΡΟΜΑΓΝΗΤΙΚΗΣ ΑΚΤΙΝΟΒΟΛΙΑΣ

ΜΕΤΡΗΣΗ ΚΑΙ ΦΑΣΜΑΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΜΗ ΙΟΝΙΖΟΥΣΑΣ ΗΛΕΚΤΡΟΜΑΓΝΗΤΙΚΗΣ ΑΚΤΙΝΟΒΟΛΙΑΣ ΜΕΤΡΗΣΗ ΚΑΙ ΦΑΣΜΑΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΜΗ ΙΟΝΙΖΟΥΣΑΣ ΗΛΕΚΤΡΟΜΑΓΝΗΤΙΚΗΣ ΑΚΤΙΝΟΒΟΛΙΑΣ Οποτε ακούτε ραδιόφωνο, βλέπετε τηλεόραση, στέλνετε SMS χρησιµοποιείτε ηλεκτροµαγνητική ακτινοβολία (ΗΜΑ). Η ΗΜΑ ταξιδεύει µε

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ & ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΤΗΛΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΩΝ

ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ & ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΤΗΛΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΩΝ ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ & ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΤΗΛΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΩΝ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΗΛΕΚΤΡΟΜΑΓΝΗΤΙΚΟΥ ΠΕΔΙΟΥ ΗΛΕΚΤΡΟΣΤΑΤΙΚΟ ΠΕΔΙΟ ΣΕ Γ.Ο.Ι. ΧΩΡΟΥΣ

Διαβάστε περισσότερα

Το Φως Είναι Εγκάρσιο Κύμα!

Το Φως Είναι Εγκάρσιο Κύμα! ΓΙΩΡΓΟΣ ΑΣΗΜΕΛΛΗΣ Μαθήματα Οπτικής 3. Πόλωση Το Φως Είναι Εγκάρσιο Κύμα! Αυτό που βλέπουμε με τα μάτια μας ή ανιχνεύουμε με αισθητήρες είναι το αποτέλεσμα που προκύπτει όταν φως με συγκεκριμένο χρώμα -είδος,

Διαβάστε περισσότερα

ΗΛΕΚΤΡΟΜΑΓΝΗΤΙΣΜΟΣ και ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΕΡΩΤΗΜΑΤΟΛΟΓΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ

ΗΛΕΚΤΡΟΜΑΓΝΗΤΙΣΜΟΣ και ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΕΡΩΤΗΜΑΤΟΛΟΓΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 1 ΗΛΕΚΤΡΟΜΑΓΝΗΤΙΣΜΟΣ και ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΕΡΩΤΗΜΑΤΟΛΟΓΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 1) Να αναφέρετε τις 4 παραδοχές που ισχύουν για το ηλεκτρικό φορτίο 2) Εξηγήστε πόσα είδη κατανοµών ηλεκτρικού φορτίου υπάρχουν. ιατυπώστε τους

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Διανυσματικά Πεδία Επικαμπύλια Ολοκληρώματα Θεώρημα Green Ιωάννης Λυχναρόπουλος Μαθηματικός, MSc, PhD Επικαμπύλιο Ολοκλήρωμα

Διαβάστε περισσότερα

ΗΛΕΚΤΡΟΜΑΓΝΗΤΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΗΛΕΚΤΡΟΜΑΓΝΗΤΙΚΗ ΕΠΑΓΩΓΗ

ΗΛΕΚΤΡΟΜΑΓΝΗΤΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΗΛΕΚΤΡΟΜΑΓΝΗΤΙΚΗ ΕΠΑΓΩΓΗ ΗΛΕΚΤΡΟΜΑΓΝΗΤΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΗΛΕΚΤΡΟΜΑΓΝΗΤΙΚΗ ΕΠΑΓΩΓΗ 1 3.1 ΠΕΙΡΑΜΑΤΑ ΕΠΑΓΩΓΗΣ Το Σχ. 3.1 δείχνει μερικά από τα πειράματα που πραγματοποίησε o Michael Faraday. Στο Σχ. 3.1(α, β, γ) ένα πηνίο συνδέεται με γαλβανόμετρο.

Διαβάστε περισσότερα

2. Οι νόµοι της κίνησης, οι δυνάµεις και οι εξισώσεις κίνησης

2. Οι νόµοι της κίνησης, οι δυνάµεις και οι εξισώσεις κίνησης Οι νόµοι της κίνησης, οι δυνάµεις και οι εξισώσεις κίνησης Βιβλιογραφία C Kittel, W D Knight, A Rudeman, A C Helmholz και B J oye, Μηχανική (Πανεπιστηµιακές Εκδόσεις ΕΜΠ, 1998) Κεφ, 3 R Spiegel, Θεωρητική

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ ΦΥΣΙΚΗ ΙΙ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ ΦΥΣΙΚΗ ΙΙ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ ΦΥΣΙΚΗ ΙΙ 1. Οι δυναμικές γραμμές ηλεκτροστατικού πεδίου α Είναι κλειστές β Είναι δυνατόν να τέμνονται γ Είναι πυκνότερες σε περιοχές όπου η ένταση του πεδίου είναι μεγαλύτερη δ Ξεκινούν

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ

ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ. ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΟΡΙΟ ΣΥΝΕΧΕΙΑ Ορισμός. Αν τα και είναι τα μοναδιαία διανύσματα των αξόνων και αντίστοιχα η συνάρτηση που ορίζεται από τη σχέση όπου (συνιστώσες) είναι

Διαβάστε περισσότερα

Ενδεικτικές Λύσεις Θεμάτων Τελικών Εξετάσεων στη Θεματική Ενότητα ΦΥΕ34

Ενδεικτικές Λύσεις Θεμάτων Τελικών Εξετάσεων στη Θεματική Ενότητα ΦΥΕ34 Κυματική ΦΥΕ34 0/07/0 Ελληνικό Ανοικτό Πανεπιστήμιο Ενδεικτικές Λύσεις Θεμάτων Τελικών Εξετάσεων στη Θεματική Ενότητα ΦΥΕ34 KYMATIKH Διάρκεια: 80 λεπτά Ονοματεπώνυμο: Τμήμα: Θέμα ο (Μονάδες:.5) Α) Θεωρούμε

Διαβάστε περισσότερα

Ηλεκτρομαγνητισμός. Ηλεκτρικό πεδίο νόμος Gauss. Νίκος Ν. Αρπατζάνης

Ηλεκτρομαγνητισμός. Ηλεκτρικό πεδίο νόμος Gauss. Νίκος Ν. Αρπατζάνης Ηλεκτρομαγνητισμός Ηλεκτρικό πεδίο νόμος Gauss Νίκος Ν. Αρπατζάνης Νόμος Gauss Ο νόµος του Gauss εκφράζει τη σχέση μεταξύ της συνολικής ηλεκτρικής ροής που διέρχεται από μια κλειστή επιφάνεια και του φορτίου

Διαβάστε περισσότερα

3 + O. 1 + r r 0. 0r 3 cos 2 θ 1. r r0 M 0 R 4

3 + O. 1 + r r 0. 0r 3 cos 2 θ 1. r r0 M 0 R 4 Μηχανική Ι Εργασία #7 Χειμερινό εξάμηνο 8-9 Ν. Βλαχάκης. (α) Ποια είναι η ένταση και το δυναμικό του βαρυτικού πεδίου που δημιουργεί μια ομογενής σφαίρα πυκνότητας ρ και ακτίνας σε όλο το χώρο; Σχεδιάστε

Διαβάστε περισσότερα

ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ

ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ & ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΗΛΕΚΤΡΟΜΑΓΝΗΤΙΚΩΝ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ, ΗΛΕΚΤΡΟΟΠΤΙΚΗΣ & ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΩΝ ΥΛΙΚΩΝ Καθ. Η. Ν. Γλύτσης, Tηλ.: 210-7722479 - e-mail:

Διαβάστε περισσότερα

Φυσική για Μηχανικούς

Φυσική για Μηχανικούς Φυσική για Μηχανικούς Εικόνα: Το Σέλας συμβαίνει όταν υψηλής ενέργειας, φορτισμένα σωματίδια από τον Ήλιο ταξιδεύουν στην άνω ατμόσφαιρα της Γης λόγω της ύπαρξης του μαγνητικού της πεδίου. Μαγνητισμός

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Διανυσματικά Πεδία Επικαμπύλια Ολοκληρώματα Θεώρημα Green Ιωάννης Λυχναρόπουλος Μαθηματικός, MSc, PhD Επικαμπύλιο Ολοκλήρωμα

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΗΛΕΚΤΡΙΚΗΣ ΕΝΕΡΓΕΙΑΣ ΙΙ

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΗΛΕΚΤΡΙΚΗΣ ΕΝΕΡΓΕΙΑΣ ΙΙ ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΗΛΕΚΤΡΙΚΗΣ ΕΝΕΡΓΕΙΑΣ ΙΙ Ενότητα 5: Η Ομοιογενής Γραμμή Μεταφοράς Λαμπρίδης Δημήτρης Ανδρέου Γεώργιος Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Διανυσματικά Πεδία Επικαμπύλια Ολοκληρώματα Θεώρημα Green Ιωάννης Λυχναρόπουλος Μαθηματικός, MSc, PhD Επικαμπύλιο Ολοκλήρωμα

Διαβάστε περισσότερα

ΕΜΒΟΛΙΜΗ ΠΑΡΑΔΟΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ. Μερικές βασικές έννοιες διανυσματικού λογισμού

ΕΜΒΟΛΙΜΗ ΠΑΡΑΔΟΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ. Μερικές βασικές έννοιες διανυσματικού λογισμού ΕΜΒΟΛΙΜΗ ΠΑΡΑΔΟΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Μερικές βασικές έννοιες διανυσματικού λογισμού ΒΑΣΙΚΕΣ ΑΡΧΕΣ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ 1. Oρισμοί Διάνυσμα ονομάζεται η μαθηματική οντότητα που έχει διεύθυνση φορά και μέτρο.

Διαβάστε περισσότερα

( ) Κλίση και επιφάνειες στάθµης µιας συνάρτησης. x + y + z = κ ορίζει την επιφάνεια µιας σφαίρας κέντρου ( ) κ > τότε η

( ) Κλίση και επιφάνειες στάθµης µιας συνάρτησης. x + y + z = κ ορίζει την επιφάνεια µιας σφαίρας κέντρου ( ) κ > τότε η Έστω Κλίση και επιφάνειες στάθµης µιας συνάρτησης ανοικτό και σταθερά ( µε κ f ( ) ορίζει µια επιφάνεια S στον f : ) τότε η εξίσωση, ονοµάζεται συνήθως επιφάνεια στάθµης της f. εξίσωση, C συνάρτηση. Αν

Διαβάστε περισσότερα

ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΜΑΘΗΜΑ : ΗΛΕΚΤΡΟΜΑΓΝΗΤΙΣΜΟΣ I (Βασικό 3 ου Εξαμήνου) Διδάσκων : Δ.Σκαρλάτος ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟ ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ. Α. Τριγωνομετρικές Ταυτότητες

ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΜΑΘΗΜΑ : ΗΛΕΚΤΡΟΜΑΓΝΗΤΙΣΜΟΣ I (Βασικό 3 ου Εξαμήνου) Διδάσκων : Δ.Σκαρλάτος ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟ ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ. Α. Τριγωνομετρικές Ταυτότητες ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΜΑΘΗΜΑ : ΗΛΕΚΤΡΟΜΑΓΝΗΤΙΣΜΟΣ I (Βασικό 3 ου Εξαμήνου) Διδάσκων : Δ.Σκαρλάτος ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟ ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ Α. Τριγωνομετρικές Ταυτότητες Β. Αναπτύγματα σε σειρές Για

Διαβάστε περισσότερα

ΚΙΝΗΜΑΤΙΚΗ ΤΩΝ ΡΕΥΣΤΩΝ

ΚΙΝΗΜΑΤΙΚΗ ΤΩΝ ΡΕΥΣΤΩΝ ΚΙΝΗΜΑΤΙΚΗ ΤΩΝ ΡΕΥΣΤΩΝ ΕΙΣΑΓΩΓΗ Σκοπός της κινηματικής είναι η περιγραφή της κίνησης του ρευστού Τα αίτια που δημιούργησαν την κίνηση και η αναζήτηση των δυνάμεων που την διατηρούν είναι αντικείμενο της

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά για μηχανικούς ΙΙ ΑΣΚΗΣΕΙΣ

Μαθηματικά για μηχανικούς ΙΙ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Μαθηματικά για μηχανικούς ΙΙ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Κεφάλαιο 1 1 Να βρείτε (και να σχεδιάσετε) το πεδίο ορισμού των πιο κάτω συναρτήσεων f (, ) 9 4 (γ) f (, ) f (, ) 16 4 1 Να υπολογίσετε το κάθε όριο αν υπάρχει ή να

Διαβάστε περισσότερα

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ 4. bt (γιατί;).

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ 4. bt (γιατί;). ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΦΥΕ 1 Τμήμα Α Ακ.Έτος: 6-7 Διδάσκων Σ.Ε.Π. : Τρύφων Δάρας ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ 4 ΚΑΜΠΥΛΕΣ ΣΤΟ ΧΩΡΟ Μία συνάρτηση της μορφής r ():[ aβ, ] (αντίστοιχα r ():[, ] aβ ) λέμε ότι παριστάνει

Διαβάστε περισσότερα

Συνήθεις Διαφορικές Εξισώσεις Ι Ασκήσεις - 09/11/2017. Άσκηση 1. Να βρεθεί η γενική λύση της διαφορικής εξίσωσης. dy dx = 2y + x 2 y 2 2x

Συνήθεις Διαφορικές Εξισώσεις Ι Ασκήσεις - 09/11/2017. Άσκηση 1. Να βρεθεί η γενική λύση της διαφορικής εξίσωσης. dy dx = 2y + x 2 y 2 2x Συνήθεις Διαφορικές Εξισώσεις Ι Ασκήσεις - 09/11/017 Άσκηση 1. Να βρεθεί η γενική λύση της διαφορικής εξίσωσης dx y + x y. x Παρατηρούμε ότι η δ.ε. είναι ομογενής. Πράγματι, dx y x + 1 x y x y x + 1 (

Διαβάστε περισσότερα

Πηγές μαγνητικού πεδίου Νόμος Ampere. Ιωάννης Γκιάλας 21 Μαίου 2014

Πηγές μαγνητικού πεδίου Νόμος Ampere. Ιωάννης Γκιάλας 21 Μαίου 2014 Πηγές μαγνητικού πεδίου Νόμος Ampere Ιωάννης Γκιάλας 21 Μαίου 214 Στόχοι διάλεξης Να κατανοηθεί πως προκαλείται το μαγνητικό πεδίο Νόμος Biot-Savart Μαγνητικό πεδίο ευθύγραμμου ρευματοφόρου αγωγού Μαγνητική

Διαβάστε περισσότερα

ΚΑΡΤΕΣΙΑΝΟ ΣΥΣΤΗΜΑ ΣΕ ΔΥΟ ΔΙΑΣΤΑΣΕΙΣ

ΚΑΡΤΕΣΙΑΝΟ ΣΥΣΤΗΜΑ ΣΕ ΔΥΟ ΔΙΑΣΤΑΣΕΙΣ ΚΑΡΤΕΣΙΑΝΟ ΣΥΣΤΗΜΑ ΣΕ ΔΥΟ ΔΙΑΣΤΑΣΕΙΣ Δυο κάθετοι μεταξύ τους προσανατολισμένοι και βαθμονομημένοι άξονες A Α Έστω σημείο Α στο επίπεδο Η θέση του προσδιορίζεται από τις προβολές στους άξονες A, A 0 A Η

Διαβάστε περισσότερα

Εναλλασσόμενο και μιγαδικοί

Εναλλασσόμενο και μιγαδικοί (olts) Εναλλασσόμενο και μιγαδικοί Γενικά Σε κυκλώματα DC, οι ηλεκτρικές μεγέθη εξαρτώνται αποκλειστικά από τις ωμικές αντιστάσεις, φυσικά μετά την ολοκλήρωση πιθανών μεταβατικών φαινομένων λόγω παρουσίας

Διαβάστε περισσότερα

Πρόλογος. Κατάλογος Σχημάτων

Πρόλογος. Κατάλογος Σχημάτων Περιεχόμενα Πρόλογος Κατάλογος Σχημάτων v xv 1 ΜΔΕ πρώτης τάξης 21 1.1 Γενικότητες........................... 21 1.2 Εισαγωγή............................ 24 1.2.1 Γεωμετρικές θεωρήσεις στο πρόβλημα της

Διαβάστε περισσότερα

Έστω μια ΓΜ η οποία περιγράφεται από ένα δίθυρο κύκλωμα με γενικευμένες παραμέτρους ABCD, όπως φαίνεται στο Σχήμα 5.1. Οι σταθερές ABCD είναι:

Έστω μια ΓΜ η οποία περιγράφεται από ένα δίθυρο κύκλωμα με γενικευμένες παραμέτρους ABCD, όπως φαίνεται στο Σχήμα 5.1. Οι σταθερές ABCD είναι: 5 Κεφάλαιο ΗΛΕΚΤΡΙΚΑ ΜΕΓΕΘΗ ΓΡΑΜΜΩΝ ΜΕΤΑΦΟΡΑΣ 5.1 Εισαγωγή Στο κεφάλαιο αυτό παρουσιάζονται οι βασικές σχέσεις για τον υπολογισμό της ενεργού και άεργου ισχύς στα δύο άκρα μιας γραμμής μεταφοράς (ΓΜ),

Διαβάστε περισσότερα

ΗΛΕΚΤΡΟΜΑΓΝΗΤΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ Ο ΝΟΜΟΣ ΤΟΥ GAUSS

ΗΛΕΚΤΡΟΜΑΓΝΗΤΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ Ο ΝΟΜΟΣ ΤΟΥ GAUSS ΗΛΕΚΤΡΟΜΑΓΝΗΤΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ Ο ΝΟΜΟΣ ΤΟΥ GAUSS 1 1. ΗΛΕΚΤΡΙΚΗ ΡΟΗ O νόμος του Gauss και o νόμος του Coulomb είναι δύο εναλλακτικές διατυπώσεις της ίδιας βασικής σχέσης μεταξύ μιας κατανομής φορτίου και του

Διαβάστε περισσότερα

ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΟΣ ΗΛΕΚΤΡΟΜΑΓΝΗΤΙΣΜΟΣ ΜΙΚΡΟΚΥΜΑΤΑ

ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΟΣ ΗΛΕΚΤΡΟΜΑΓΝΗΤΙΣΜΟΣ ΜΙΚΡΟΚΥΜΑΤΑ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΣΤΕΡΕΑΣ ΕΛΛΑΔΑΣ ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ Τ.Ε. ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΟΣ ΗΛΕΚΤΡΟΜΑΓΝΗΤΙΣΜΟΣ ΜΙΚΡΟΚΥΜΑΤΑ.. Α.Μ.. ΛΑΜΙΑ 2015 Παράδοση και προφορική εξέταση της εργασίας Για να ληφθεί

Διαβάστε περισσότερα

Γενικές εξετάσεις Φυσική Γ λυκείου θετικής και τεχνολογικής κατεύθυνσης

Γενικές εξετάσεις Φυσική Γ λυκείου θετικής και τεχνολογικής κατεύθυνσης Γενικές εξετάσεις 0 Φυσική Γ λυκείου θετικής και τεχνολογικής κατεύθυνσης ΘΕΜΑ Α Στις ημιτελείς προτάσεις Α-Α4 να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθμό της πρότασης και δίπλα το γράμμα που αντιστοιχεί στη

Διαβάστε περισσότερα

ΚΥΜΑΤΙΚΗ-ΟΠΤΙΚΗ 1. Σχήµα 1 Σχήµα 2

ΚΥΜΑΤΙΚΗ-ΟΠΤΙΚΗ 1. Σχήµα 1 Σχήµα 2 ΚΥΜΑΤΙΚΗ-ΟΠΤΙΚΗ The law of natue ae witten in the language of mathematic G.Galileo God ued beautiful mathematic in ceating the wold P.Diac ΣΥΝΤΟΜΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΙΣΑΓΩΓΗ Α. ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ.Ροή

Διαβάστε περισσότερα

Υποστηρικτικό υλικό για την εργασία «Πειραματική διάταξη για τη μελέτη της ροής ρευστού σε σωλήνα» του Σπύρου Χόρτη.

Υποστηρικτικό υλικό για την εργασία «Πειραματική διάταξη για τη μελέτη της ροής ρευστού σε σωλήνα» του Σπύρου Χόρτη. Υποστηρικτικό υλικό για την εργασία «Πειραματική διάταξη για τη μελέτη της ροής ρευστού σε σωλήνα» του Σπύρου Χόρτη. Η εργασία δημοσιεύτηκε στο 9ο τεύχος του περιοδικού Φυσικές Επιστήμες στην Εκπαίδευση,

Διαβάστε περισσότερα

Κλασική Ηλεκτροδυναμική Ι

Κλασική Ηλεκτροδυναμική Ι ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Κλασική Ηλεκτροδυναμική Ι ΕΙΣΑΓΩΓΗ Διδάσκων: Καθηγητής Ι. Ρίζος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.

Διαβάστε περισσότερα

2.5. Απλές λύσεις κυματικών εξισώσεων σε δύο και τρεις διαστάσεις

2.5. Απλές λύσεις κυματικών εξισώσεων σε δύο και τρεις διαστάσεις ΚΕ. Εισαγωγή στην φυσική της κυματικής κίνησης.-0.5. Απλές λύσεις κυματικών εξισώσεων σε δύο και τρεις διαστάσεις.5.1 Σφαιρικά κύματα ως απλές λύσεις της εξίσωσης d Alembet στις τρεις διαστάσεις.5. Κυλινδρικά

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά για μηχανικούς ΙΙ ΛΥΣΕΙΣ/ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ

Μαθηματικά για μηχανικούς ΙΙ ΛΥΣΕΙΣ/ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ Μαθηματικά για μηχανικούς ΙΙ ΛΥΣΕΙΣ/ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ Κεφάλαιο 1 1 Να βρείτε (και να σχεδιάσετε) το πεδίο ορισμού των πιο κάτω συναρτήσεων f (, ) 9 4 (γ) f (, ) f (, ) 16 4 1 D (, ) :9 0, 4 0 (, ) :

Διαβάστε περισσότερα

πάχος 0 πλάτος 2a μήκος

πάχος 0 πλάτος 2a μήκος B1) Δεδομένου του τύπου E = 2kλ/ρ που έχει αποδειχθεί στο μάθημα και περιγράφει το ηλεκτρικό πεδίο Ε μιας άπειρης γραμμής φορτίου με γραμμική πυκνότητα φορτίου λ σε σημείο Α που βρίσκεται σε απόσταση ρ

Διαβάστε περισσότερα

ΚΥΜΑΤΑ, ΦΩΣ ΚΑΙ ΔΙΑΔΟΣΗ

ΚΥΜΑΤΑ, ΦΩΣ ΚΑΙ ΔΙΑΔΟΣΗ ΗΛΕΚΤΡΟΜΑΓΝΗΤΙΚΑ ΚΥΜΑΤΑ, ΦΩΣ ΚΑΙ ΔΙΑΔΟΣΗ y f( x) x x z ΣΥΝΟΨΗ ΗΛΕΚΤΡΟΜΑΓΝΗΤΙΣΜΟΥ J. C. Maxwell (~86) συνόψισε τη δουλειά ως τότε για το ηλεκτρικό και μαγνητικό πεδίο σε 4 εξισώσεις. q EdA Edl Νόμος Gauss

Διαβάστε περισσότερα

ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ & ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΗΛΕΚΤΡΟΤΕΧΝΙΑ

ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ & ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΗΛΕΚΤΡΟΤΕΧΝΙΑ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ & ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΗΛΕΚΤΡΟΤΕΧΝΙΑ 1 ΝΟΜΟΣ ΤΟΥ OHM (ΩΜ) Για πολλά υλικά ο λόγος της πυκνότητας του ρεύματος προς το ηλεκτρικό πεδίο είναι σταθερός και ανεξάρτητος από το ηλεκτρικό

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενα. A(x 1, x 2 )

Περιεχόμενα. A(x 1, x 2 ) Περιεχόμενα A(x 1, x 2 7 Ολοκληρώματα της Μαγνητοϋδροδυναμικής και Μαγνητοϋδροδυναμικά Κύματα Σχήμα 7.1: Οι τριδιάστατες ελικοειδείς μαγνητικές γραμμές στις οποίες εφάπτεται το διάνυσμα του μαγνητικού

Διαβάστε περισσότερα

Αρχή λειτουργίας στοιχειώδους γεννήτριας εναλλασσόμενου ρεύματος

Αρχή λειτουργίας στοιχειώδους γεννήτριας εναλλασσόμενου ρεύματος Αρχή λειτουργίας στοιχειώδους γεννήτριας εναλλασσόμενου ρεύματος ΣΤΟΧΟΣ : Ο μαθητής να μπορεί να, εξηγεί την αρχή λειτουργίας στοιχειώδους γεννήτριας εναλλασσόμενου ρεύματος, κατανοεί τον τρόπο παραγωγής

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στις Τηλεπικοινωνίες. Δομή της παρουσίασης

Εισαγωγή στις Τηλεπικοινωνίες. Δομή της παρουσίασης ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΙΡΑΙΩΣ ΣΧΟΛΗ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ & ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΩΝ ΤΜΗΜΑ ΨΗΦΙΑΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΤΗΛΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΑΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ Εισαγωγή στις Τηλεπικοινωνίες Εφαρμογές της Ανάλυσης Fourier Αθανάσιος

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΩΝ ΚΑΙ ΕΛΑΣΤΙΚΑ ΚΥΜΑΤΑ

ΘΕΩΡΙΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΩΝ ΚΑΙ ΕΛΑΣΤΙΚΑ ΚΥΜΑΤΑ ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΧΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΩΝ ΚΑΙ ΕΛΑΣΤΙΚΑ ΚΥΜΑΤΑ Ενότητα 1: Στοιχεία Διανυσματικού Λογισμού Σκορδύλης Εμμανουήλ Καθηγητής Σεισμολογίας,

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενα διάλεξης

Περιεχόμενα διάλεξης 7η Διάλεξη Οπτικές ίνες Γ. Έλληνας, Διάλεξη 7, σελ. 1 Περιεχόμενα διάλεξης Διασπορά Πόλωσης Γ. Έλληνας, Διάλεξη 7, σελ. Page 1 Πόλωση Γενική θεωρία Γ. Έλληνας, Διάλεξη 7, σελ. 3 Μηχανικό ανάλογο Εγκάρσια

Διαβάστε περισσότερα