High-order Well-balanced Schemes

Transcript

1 High-order Well-balanced Schemes Sebastian Noelle, Yulong Xing, Chi-Wang Shu Contents!"# %$& ('()*!+, -.$/$& -1 -!'-%$& ("#!'8,%$&'-( :9;! <,%$&.$& (!>=% AB! -$C 'DFE G 6571("#!'8,%$&'-( :9;! <,%$&.$& (!:+%$& $C - > 4 HI"#( ($&JK$&"#A!'8LM ; 1'1%$&(9N98$C -( O!+$C 'PF Q 7 R 6ST!' FR 7

2

3 "!#$ %&'!(*)+,$ - '&.!#)/)1134)5761'!$'898:34;589-'<6 *-7 +, =?>@- 575-''A-CBD<E1F)BG&HI';)89-AHIA +,J)BG;895- F8K!L 1M N1A 1- O)B)13P*%&K58?<QRE8;1E+S*)89EI) TJ!L M1M UV -' )B$- )&%W - 9%FXEINI Y6Z*)E1- C +,?-<1-8"<-7[)5'<=F\] 88:34;58K5-6 *-7 +, G5AB^H_`6I9*- 'a5589)e1?)bvg;895- a6,b1''bd)5a5;8 )+cr7_c<qre8;1e+da75=.\[a6i*- E*#e!$)`- 89**'f)Bg*- 1 +, T&)1 ;5*<6Z)Z1134)5761'`5- - EI75Tg)134)*- 8895)5*HZh:C6I:UV' -')'7)!L-7G!$'898:34;589-'<6FBD)5"J 78I- 89*.)B<QRE8;19ITW6YG)1'.)1 ;5*<6,)!# 8834;891- <6cQRE6&75EI T!L19-7,-<5c3g,1-'918L3 ;J189 6 )i588" Q&E189;IK&=,>J8-<9)Y-'89E61F<QRE89;I9ij&kLl mn k*tg!l1'cx)<! %W 8)R- :eho%5* To56p589*)_`+,)-788 1_q_rstuIv wry<qre8;19i= zae1+,'-<8o'ni'+, Rf*)<!{'NI- 88 RL *)8E1)p)BE1'*E1; 6 L!$'898 J*8R8:H '*EI;<6 Q&E189;IK&= }~. _ gƒr G 1 y 7ô IŠKŠ^ RŒ Œ? RŽ' 5 i o &Ž ^ I o L P o o V &ĩ 1Ž &ŠY 1 o KŠ^ K o D V aˆv ^šiˆ A I 5 VœŒY K o Z o o 9Ž',žI IŠ^ Vĩ, Ÿ ô 5ĩ Œb ŠKŠK A o &ŠD & oÿ5 Z Ÿ ˆV ĩ 1. Introduction * [ p & O &œoœvšk DŸ5 &Ž ^ I o bœa F I Ž 5 [ 5 gÿ I o 1Ž' 5 aˆ œ 5 ' IŠ^ ^ŸF o &ŠD & gÿ ŠD WŒ` ŒYô ^Ÿ Ẑ K I V, ^ĩ 5 o K 1 [ I ^ [Ž ˆV P 1 I ^ U t + f(u, ) = s(u, ) ŒYˆV 5 ' U ^ GŽ'ˆV Y 7 1ŠK Ž' K 1 _ž1 Ÿ<Ž' I f(u, ) D #Ž ô J o V & o s(u, ) ^ GŽ'ˆV Y 7 1 V 'Ÿ5 LŽ' 5 '?ˆV, 7 1 V 'Ÿ5 `Ž' 5 ' ª p W OŸ Iĩ C P ' I «ši Iĩ Ž' DŸ5 IŠe ' 1Ÿ<Ž ^ži F I? &Ž'ˆV 5 `Ÿ5 I o D 5 RŽ' K 1 o f V &ĩœvš^ f I ˆ œ 5 ' g 1ŠK DŸa o &ŠD & oÿ5 YŠ^ WŒ` $ ^ oÿ5šk o V YŽ ˆV F 7ô IŠKŠ^ RŒ Œ? RŽ' 5 f 1 g RŽ ^ I iœy KŽ Ô V I g &Ž` g IŽ7Ž 1 Ž' Iœ IŠ^ Iš1 I V Š^ 1 Ž' ^Ÿ,Œ? WžI 1 g RŽ ^ I y : W±A gÿ ˆV ĩ 1 5 o 9Ž' Kž1,ĩ RžI 5ĩ 1Ž W² ± o V I³³5Š^ F g RŒ ±A o & g OŽŒa iœvô I C o RŒ : ± µ 1ĩœo & ' K ošœy 9Ž'ˆ Ž ˆV Z Ž & o V I ' ˆ œg IŠ^ DŸOŸ 1 o 7 žr &Ž ^ I Š^ WŒ` G g &ĩ 5Š^ 7 I ^ ŒY 9Ž'ˆ bž ô o DŸ5 IŠ` &œvœo W ^ĩ &Ž ^ I Ž yž ô o &ŠD & oÿ5 ]Š^ WŒ` 7 I ^ D s(u, ) = o 7 g &Š^ŠK V &Ž,Ž' ] oÿ ŷ 1 O V 9¹OŸ oš9žºcœb O ^ œošk V 5 Ž œv Ž,Ž'ˆV Oœ I ^ ŽcžW IŠK o P I C o o 9Ž' i V 9» 5 ' 5 oÿ5 'Ÿ ˆV I FŽ ô iÿ5 5Š^Šf WžI 5 &š1 P I C o o 9Ž' ž1 IŠ^ Vĩ 'Ÿ ˆV 5ĩ & Ž'ˆV C I o 'Ÿ5 YŽ ^ Ÿ<Ž'ŠK Ž Ž ô C D 'Ÿ ' Ž ^³ &Ž ^ I O I.Ž ˆV œo RŽ' ^ IŠg 1œg ' &Ž I s(u, )

4 ?ô 5 ' J D 5 RˆV RŒa 5ž V J V IŽ DŸ & VŠ^ L VŸ5 5œŽ' K 1?ˆV b o &ŠD & gÿ JŠD WŒ 1 K W & Ž' 5 _ 1 ĩ 9Ž 7Ž I ] 7Ž' RŽ' _ IŠ^ Ž ^ I o ` K ŒYô ^Ÿ ˆ]Ž'ˆV _ I V Ÿ Ž' 5 ' ^ V IŸŽ Š^ M o IŠ^ I oÿ [ s(u, ) Ž'ˆV o ši I ^ 5 Ž oÿ ˆ( 7Ž 1 ] Ž RŽ 7 1ŠK VŽ ^ I o C & ' c o o &Š^Š^ Z V 1 Ž ' Kž D &Š f(u, ) Ž ˆV { I [ o o &Š^ŠK V &Žpœ IŠ^ o Iĩ ^ IŠ^ & o Ž ˆV I Ž I ' y Kĩœ I Ž' I 1ŽpœVˆ ^Ÿ &Š ĩ & V ^ Vš P 1, V &ĩœvš^ I.Ž'ˆV p Ž' KŠ^ŠLŒ? RŽ' 5 I, 7Ž 1 ĩ Rž K ošzœ? RŽ' 5, 7 1ŠK VŽ ^ I & JŽ'ˆV ô IŠKŠ^ RŒ Œ? RŽ' 5 Y 1 g RŽ ^ I " VŽ p _ 7Ž o V K K ĩ 1, 5Ž' & ^Š"ŠD RŽ' 5 ` ^ ]Ž ô ^ œo &œ 5 <?ˆV 1 ŸŽ ^ži, I $Œa 5Š^ŠK o IŠ^ I oÿ ] Ÿ ˆV ĩ Y D?Ž MœV 7 ž1 V IŸŽ Š^ Z Iĩ, & $Ž ô _ Ž' 1 7Ž' &Ž? 7 1ŠK VŽ ^ I o?ˆv aĩ 1 7ŽG ^ œ I Ž' I Ž# I VžW I Ž' &š1 L & VŒa 5Š^ŠK o IŠ^ I oÿ, Ÿ ô 5ĩ G ^ "Ž ĝ RŽ Ž'ˆV 5 Ÿ & IŸŸ V RŽ' 5Š^ M ' IŠ^žI, 7 p IŠKŠGœg 7Ž' V g RŽ ^ I g?ž M oÿ ˆ 7Ž I [ Ž RŽ 7 1ŠK Ž' K 1 o ŒY KŽ ˆ] ' 5ŠD RŽ' Kž1 5Š^ OŸ 1 I ' ĩ 7ˆV * ]Ÿ 1 œg & ' ^ I V I V Œa 5Š^Š9 A o IŠ^ I oÿ O Ÿ ô 5ĩ ŒY KŠ^Š ^ Ž ' oÿ?ž' o oÿ5 &Ž ^ I 5 ' 1 ' "Ž Ž'ˆV ` Ž' 1 _ 7Ž' RŽ' Y 7 1ŠK Ž' K 1 &ˆV oÿ Y KŽJŸ5 I V V IŽ$ ' IŠ^žI p &Š^Šoœ 5 Ž V ' o &Ž ^ I o LŽ _ oÿ Ô 7Ž 1 i Ž RŽ L V ošk LŽ ˆV Ž ' V oÿ5 &Ž ^ I p ' I f D b IŠK ' 1 p &Š^ŠK $Ž ô I p 7 oÿ ˆ œ 5 Ž V ' o RŽ' K 1 o RŽ ˆ o $ ' V ^ ^ Vš 5 o V _ĩ ˆ * ŸŽ ^ I ² Œb ŒY ^Š^Šœo Rž D J oÿ ĉ V I œošk RŒb ži 9Ž# ^ $ V KŽ a 9¹OŸ5 VŠ9Ž#Ž C ^ši cœa 5Š^Š9 A o IŠ^ I oÿ 'Ÿ ˆV ŒYˆV DŸ ˆ I ˆV ^šiˆ A I 5 IŸŸ V RŽ' I o V I A 1 'Ÿ ^Š^Š^ &Ž I ' ] K Ž ô pœv 7 oÿ & V ^ 'Ÿ 1 1Ž' K V KŽ ^? ^ [Ž ˆV c IŠ^ Ž' K 1 * ZŽ ô ^?œo Iœg?Œb C o Ž'ˆV, 7ô IŠKŠ^ RŒ Œ? RŽ' 5 a o RŽ' K 1 Z 1 a œv ' &Ž' &Ž œg FŽ i V ž1 5 O P Œd ' Ÿ5 5 Ž Š^ O 5ž1 5Š^ Iœ MŒb ŠKŠK g &ŠD & oÿ5 Oô Kš1ˆ 1 ' V 5 b o V KŽ, K» oÿ 1 o V KŽ ži 1ŠK Vĩ I D Ÿ5 I Ž ^ V I o IŠK ^ o V KŽ ŠK ĩ 5 Žp 5Ž ˆV V ] &Ž7Ž' 5ĩœŽpŽ 5 œvš^ I K Ž'ˆV M p I K ^ VšI ' V K 1Ž c ^ Ž ô M &Š^šI 1 KŽ ˆV p,œyô ^Ÿ ˆ IŠKŠ^ RŒ g cž' ( IŸ ˆV ^ 5ž1 iž ˆV ZŒb ŠKŠK g &ŠD & oÿ5 [œv ' Iœ 5 Ž MŒY KŽ ˆV 1 ŽŠ^ 1 K Vši IŽ ˆV ` V DŸ cœv ' Iœ 5 Ž ^? I $Ž ˆV c 1 ^ši ^ o IŠ Ÿ ˆV ĩ I oÿ Ô 1 fˆv ^šiˆ A I 5 L 1Ÿ5Ÿ5 V ' 1Ÿ _ I o i V 1 Ÿ5 KŠ^ŠD RŽ 1,œ 5 P I ' p & oÿ5 Y K iž'ˆv `œv ' 5 gÿ Y & IŠ^ Ž' K 1 [ D 'Ÿ I Ž' K V KŽ ^?ô œo Iœg b D J 1 š & V ^³5 p I L P IŠ^ŠK RŒ` * ŸŽ ^ I Z cœb o Ž? ^ 'Ÿ g b c V _ 5 a & ^ Ž Ž' K Vš[ V ^Š^ K V ' ^ V 7Ž' RŽ'?ô 5 Œb K Ž' oÿ5 _Ž'ˆV p ' ^ g &Š$ŒYˆV DŸ ˆ( V (Ž,Œa 5Š^Š9 A o &ŠD & gÿ Z V & Y Ž RŽ' K 1 o & ' O Ž RŽ' ŽYŽ'ˆV D Yœg 1 K ŽYŽ'ˆV cœo Iœg ` 7œVŠ^ KŽ' Y ^ Ž ižœa i IœVœV ' 1 1Ÿ ˆV º#?ô o ' 7Ž` &œvœo IŸ ˆ V 5 Ÿ<Ž' K 1 IœVœVŠ^ K LŽ' c o V KŽ K» oÿ 1 I g V 9Ž' Fž1 IŠ^ Vĩ F I o O D Ÿ5 I Ž ^ V I g &Š^ 5 K 'Ÿ ˆV AŽpŽ' RŽ i V ^ŠK ^ V ' ^ P I pœyô ^Ÿ ˆ{Ž ˆV I o 'Ÿ5 ZŽ' 5 ' Ÿ5 g Ÿ 1 œ 1 ^ Ž ( V p, I?œo oÿž' _ & až ˆV p P 1?ˆV MŸ ô IŠKŠ^ 5 oši i ^ cž Ÿ5 I o 7Ž ' oÿ<ž_ o V KŽ V 9» 5 ' 5 oÿ5 _ 1œg ' &Ž I YŒYˆV DŸ ˆ( I cô Kš1ˆ 1 ' V 5 1Ÿ5Ÿ o ' &Ž c & g V I V Ÿ5 KŠ^Š^ &Ž 1 p P 1 Ž'ˆV Ÿ5 I o 5 'žr RŽ' Kž1 c o ( V 9» 5 ' 5 oÿ5 I o Ž'ˆV p 7 1 V 'Ÿ5,Ž ] I o ŒYˆV DŸ ˆ Ÿ5 I ^ oÿ D _ P I g IŽ ˆ Ž' 5 ' p Y K ZŽ ô cÿ5 I & $ V ^ŠK ^ V ' K o 7 1ŠK VŽ ^ I o

5 ² Ž Ž Ž ² Ž?ô 7 Ÿ I g IœVœV ' 1 1Ÿ ˆ C V Kš1 V d P I š1 5 V ' IŠ, V ^ŠK ^ V ' & g d g V 9Ž' ži 1ŠK Vĩ Ÿ ˆV ĩ D?Ÿ Rž1 5 ' i ^ Ÿ<Ž ^ I?ˆV I iž' I i ^ bž' _ o g MŒa 5Š^Š9 A o IŠ^ I oÿ p 1 g I R V ' G P I $Ž'ˆV? K Ž' 5šI &Š I ož ô a ' D o &Š & 5? o &Ž ^ I ^ o o 7 Ÿ<Ž' K 1 œv ' 5 Ž' ši V 5 &ŠJ P ' Iĩ 5Œa I Ÿ5 Iĩœ 1 pž ˆV D K Ž' 5šI &Šb K Ž' V 9Ž & VŠ^ Mœg & Ž' V g 7 Ÿ< ^ I &Š^ K³,Ž'ˆV D IœVœV ' 1 IŸ ŷ P 1 ĩ Rž ^ Vš Œ? RŽ _ 1 o KŠ^ K o D P 1 ô &Š^Š^ RŒ Œ? RŽ' 5 o RŒ` * Ÿ<Ž' K 1 Œa iœv ' 5 Ž, o DŸ5 IŠf 7 oš9ž c 7ô RŒY K VšZŽ ô M IŸŸ V IŸ5 & o Œb ŠKŠK o &ŠD & oÿ5 œv ' Iœ 5 ^ " & V &Ž'ˆ_ŸŠD I ' 7. & o 'Ÿ ˆV. P 1 G ` V g " I oÿ ô &Š^ŠK VšI ^ VšY g RŒ` ŸŽ ^ I Ÿ I Ž & ^ o? 7 1,Ÿ5 I oÿ5šk o V K Vši ' 5 p &. Preliminaries: equilibria and the residual * Ž ˆV D _ ŸŽ ^ I Œa O K Ž' oÿ5 cœyˆv ^Ÿ ˆ Ÿ ĝ & IŸ<Ž' 5 ' K³ p Ž R Ž ^ I o I 7Ž' RŽ' J & g D Ÿ5 o ' cž'ˆv! bœyˆv DŸ ˆ ĩ 1 V 9Ž' I cž'ˆv 5ž D RŽ' K 1 & `Ž'ˆV 7 7Ž 5 P ' I ª 7Ž' &Ž ^ I o I p 7Ž' &Ž * Zœg & Ž DŸ VŠD & ŽŒb _ P I 'ĩ a I "Ž ô C ' D o &Š & ' 7 ^ šiš^ Z I Ž`ŒYˆV DŸ ˆ] & ' Ž'ˆV, o I? I "Ž'ˆV o V KŽ c K» 5 ' 5 oÿ5 c &Š^šI I ' KŽ ˆV p a K Ÿ<Ž ^ I I I V ô I o ] & o MŽ ˆV g V 9Ž',žI 1ŠK Vĩ, &Š^šI 1 KŽ ô «K Ÿ<Ž ^ I I ZŽ ô, &Ž ô 5 Yô I o "$#%&#('*)$+(,.-,/ ƒ, 1" Ž_ g _ &š & ^ Ÿ I g 7 D 5 Ž'ˆV M Ž' 5 Ž ˆV c ô &Š^Š^ RŒ Œa &Ž Y o RŽ' K 1 o &? o &ŠD & oÿ5 pš^ WŒ` I ^ I c 5 V &ĩœvš^ I G P I ^ U = (h, m) T, f(u) = (m, m /h + gh /) T, s(u, ) = ghb (), ŒYˆV 5 ' h ^ #Ž'ˆV YŒa &Ž fˆv 5 ^šiˆž ^ $Ž'ˆV?ĩ Iĩ 5 Ž o m V ^ 'Ÿ ô & 'ši a ^ ˆ & VŠ^ ^Ÿ b() ^ FŽ ô œv ' 'Ÿ ' ^ g &Ž7Ž' I Ž' Iœ IšI &œoˆ ] & RžI Mš1 Kž1 5 ' P oÿ ˆV 5 ^šiˆž & o g D Ž ˆV,š1 ' Wž KŽ' RŽ' K 1 o &Š IŸŸ ŠK ' &Ž ^ I 3( & M oÿ ˆ 7 7Ž 5 p YŸ & [ g, ' 5ŒY ' 9Ž Ž Z ^ [Ž ˆV P 1 P I ` Iĩ žw I D & ošk V t + c(v, )V = V = V (U, ),

6 ŒYô ^Ÿ ˆ Œb aœa I VŠD,Š^ 1 JŽ' Ÿ &Š^ŠŽ ˆV 5 R K gÿ?ÿ I g Ž & Ž V ^ œošk ^ f 7Ž' &Ž ^ I o I c 7Ž' &Ž &Ž až'ô RŽJŸ5 I o 7Ž' I 1Ž V $ o &Žf KĩœVŠ^ cž'ô RŽ ^ JŸ I g Ž & Ž & K gÿ U V 5œ 5 o o _ &ŠD I Ž ô 1 VšIˆ Ž ô OžR & ' ^ I VŠK P V gÿ<ž ^ I?ˆV 5 P I ' I G I V O ˆV I oš^ b 5 œg Ÿ<Ž` V 1 ež' ^ž ^ IŠ. V ^ŠK ^ V ' ^ I c ô &Š^Š^ RŒ Œ? RŽ Ž ˆV p 1 o KŠ^ K o ^ V žr I D & VŠ^, I V (U, ) = (m, E) #ŒYˆV 5 ' Ž'ˆV, V ^Š^ K V ' ^ V V 5 'ši E D YšI ^ži M E(U, b) = m + g(h + b). h * iž'ˆv Y P 1ŠKŠ^ RŒY K oš,œb ` Ÿ5 ^ `žr & ' K 1 o fÿšd I ' 7 ĩ &Ž'ˆ] V ^ŠK ^ V ' ^ 7?ˆV cÿ5š^ 1? I # &Š^Š. V ^Š^ K V ' D V E smooth E &. V ^ŠK ^ V ' ^ o I 1 L Ž RŽ ^ I g & ' 7Ž' RŽ' µ I o 5 'žr RŽ' K 1 Š^ WŒ` º s(u, b) I o f(u) const Ž' RŽ' K 1 o & ' Ž RŽ' ^ oÿ5šk o V Ÿ5 I o 7Ž' I 1Ž` 7Ž' &Ž E ŽŒa pÿ I g Ž & Ž? 7Ž' &Ž ` 7 œo & RŽ' M Z 7Ž' &Ž ^ I o I O ˆV Ÿ O 1 `Ÿ I Ž IŸ<Ž E 1 š1 1 " o Iĩ ^Ÿ ŒY KŽ ĉ³ 5 ' `ži ŠK Ÿ KŽ I WŸ 1 o 7Ž' & Ž"œo V ' I W & o c I F I V g E ĩ 1 7 V & ošk F P V oÿž ^ I [ P I?Ž'ˆV c 5 g 7 KŽ J V ^Š^ K V ' D P I 'Ÿ5 IŠ^ I? o &ŠD & oÿ5 Š^ WŒ` ²I C 7ĝ &Š^ŠK RŒ Œ? RŽ' 5? o &Ž ^ I o º?ˆV,ŠD 1 C &Ž` Ž ŒYˆV E LaR m I o ZˆV 5 oÿ5 E = g(h + b) const ĩ &Ž'ˆ[ ' ^ži 5 a o RŒ` VŒYˆV E river m D Y V 1 V³5 RŽ 7 4 IŠKŠD D Ÿ5 I Ž ^ V I g? ^ži b g RŒ` E waterfall œo & & ošk 7 1 V Ÿ CŽ p Y 7Ž o ^ [ ^ y 1 ± E tot & C 1 7Ž ' IœVô ^Ÿ 5Ž' P 1 C 7ĝ &Š^ŠK RŒ Œa &Ž 5 VŒYˆV E jet b) y = fu & g ^?Ž'ˆV cÿ 1 ^ IŠ^ D J P 1 'Ÿ5 K ZŽ ˆV, oœvœg `ˆV D œvˆv 5 ' f 1 3 oš9ž' 9 AŠ^ W 1 5 Y ô &Š^ŠK RŒdŒa &Ž 5 ºCŸ & o Y &Ž? ' 7Ž` & o [ĩ Rž K oš Ÿ & o (u, v) (u(y), ) g(h + W?ˆV 5 ', & ' C p I M 1,Ÿ5Š^ 1 a & # V ^ŠK ^ V ' ^ o œg Ÿ D &Š^ŠK M K AŽ D _ ^ĩœg 1 7Ž & ŽcŽ V &Ž' OŽ'ô RŽ Ž Œb ŠKŠK g &ŠD & oÿ5 y Ÿ ô 5ĩ & ' M ^ši V Ž œo 7 ž1 C 1 VŠ^ [ pÿ5 5 Ž' & ^ 7 o Ÿ5Š^ 1 Y I f V ^ŠK ^ V ' ^ i 5 1Ÿ<Ž'ŠK Ž'ˆV 5 F V ^ŠK ^ V ' ^ i p W M œo 7 ž1 M IœVœV ' W K p RŽ' 5Š^ pœy 9Ž'ˆV ^ ] iÿ5 5 Ž' & ^ [ I 5? & f IŸŸ V IŸ5

7 Ÿ<Ž' K 1 Ž ' &Ž' F V ^ŠK ^ V ' ^ O P I CŒYˆV ^Ÿ ˆ(Ž ˆV i I V Ÿ _Ž 5 ' p F I 7 œo & & ošk c ^ Ž'ˆV 7 o 7 J & <?ô ^ G K gÿš^ o Ž ˆV bš^ I J &Ž" ' 7ŽG I G YœV ' &Ž IŽ œg?ˆv L p I K,Ž' IŠI D.Ž'ˆV Ÿ I g Ž' oÿž ^ I p I ",Œb ŠKŠK A o &ŠD & oÿ5 pÿ5š^ 1 J &. o V KŽ C K» oÿ F Iœ 5 RŽ 1 ' * ŸŽ ^ I Œb [ I Ž'ŠK ^ V ] Œa 5Š^Š9 A o IŠ^ I oÿ y o V KŽ ]ži 1ŠK o [ &œvœo IŸ ˆ ˆV ^ŠK [Ž ô M P &ĩ 5Œa I K V o ŸŽ ^ I ^ Ÿ5 RžI ' b K ]œv ' ^ oÿ ^œvš^ IŠKŠ. V KŠ^ ^ V D V Œa,Ÿ5 I ' i I ŽYŽ'ˆV, 7œ Ÿ5 9 gÿ, 7Ž œo P I Yĩ Rž K Vš Œ? RŽ? o RŒ`? ^ o o 7 Ÿ<Ž' K 1 "$#"$# ~ ƒw~, + - 1" Ži o i &š & ^ Ÿ 1 o 7 D _Ž'ˆV [ Ž' 5 I o &ŠD & gÿ MŠD WŒ` I ^ < & ' Oœo I 7Ž' ^Ÿ5 Š^ I Š^ M ^ Ž 5 ' 7Ž [ K ( IŠ^ Ž' K 1 o `ŸŠ^ 1 Ž M V ^ŠK ^ V ' K V ] gœyˆv 5 '?ˆV 5 P I ' I VŒa U t = K Ž ' oÿ5 FŽ'ˆV, ' ^ g &Š :²I ` &Ž' Ž ô &Ž R := f(u) + s(u, ). U t = R, & o MŽ ˆV c IŠ^ Ž' K 1 U ž D RŽ' a P ' I 7Ž I Z Ž RŽ K $ I o [ I VŠ^ O K R * ŸŽ ^ I Œa OŒY ^ŠKŠ? 7Ž o Ÿ5Š^ 1 _ & ` 5œo I ' I VŠK p V KŠ^ ^ V D ' RŽ' ^ 7 P K Vš <?ˆV ^ Y 1 VĩœŽ' K 1 Z ^ĩœvšk ^ YŽ ô &Ž & R = ( f(u) + t(u, )) P I M 7Ž' &Ž ^ I o I IŠ^ Ž' K 1 o 5?ŒYˆV t(u, ) D O Ž' 5 'ĩ K 7 ^ VšyŽ'ˆV ^ s(u, ) Ž' oÿž V ' I Œa Ÿ 1 o 7Ž ' oÿ<žcˆv Kš1ˆ A I 5 1Ÿ5Ÿ5 V ' &Ž cœa 5Š^ŠK o IŠ^ I oÿ Z o V KŽ i 9» 5 ' 5 gÿ _ 1œ 5 RŽ 1 ' * ŸŽ ^ I Œa P Ÿ5 o M o V KŽ ži 1ŠK Vĩ ( 'Ÿ ˆV M I 5 gÿ Ÿ5 I o D 5 [Ÿ 5Š^Š WžI 5 &š1 &.Ž'ˆV F ' D o &Š ŠKŠK A o &ŠD & oÿ5 O o 1 RŽ o L & ' FŸ5 I o 7Ž ' oÿ<ž' i P 1 JŽ'ˆV R ši VŠD & Y & g Z i K oši VŠD &?œo I 7Ž? & #Ž ˆV 7 ^ 1Ž' 5š1 ' IŠ^ 3. Schemes based on well-balanced finite difference operators * OŽ ˆV D b ŸŽ ^ I 1Œb ` P Ÿ5 o b I O cÿ5š^ 1 f I V ^ŠK ^ V ' ^ C P 1 JŒYˆV DŸ ˆpŽ'ˆV I V Ÿ?Ž' 5 ' D 7 œo & & VŠ^? K iž'ˆv F 5 g 7 Y I VĩœŽ' K 1 V 5žI ŠK 1œiŒb ŠKŠK g &ŠD & oÿ5 ˆV ^šiˆ A I 5

8 1Ÿ5Ÿ5 V ' &Ž, g V 9Ž' K» 5 ' 5 oÿ5 c Iœ 5 RŽ' I? P I Ž ˆV 7 D o IŠ I [ 1 Ž ˆV 7 9» 5 ' 5 gÿ 1œg ' &Ž 1 '.Œb i ^ži iœa 5Š^Š9 A o &ŠD & gÿ o V KŽ O K» oÿ 1. o V KŽ pž1 IŠ^ Vĩ I o ^ 'Ÿ 1 Ž' K V 1 o IŠK ^ Z 'Ÿ ˆV 5ĩ?ˆV, V ^Š^ K V ' D o o 5 `Ÿ5 I o D 5 RŽ' K 1 M ^ oÿš^ o Ž'ˆV,Š^ I &Ž` Ž? P 1?Ž ˆV c ô &Š^Š^ RŒ Œa &Ž Y o RŽ' K 1 o?ô [ 1 V * ^ĩ 5 o K 1 o &Š?ˆ œg IŠ^ DŸ[ Ž' 5 I CŸ5 I o 5 'žr RŽ ^ I {Š^ WŒ` iœy KŽ ˆ@ I V Ÿ Ž' 5 ' p $ V o LŸ I g 7 D 5 RŽ' K 1 c D $ši ^ži 5 1 K W < ` 7Ž' & Ž#Ž ˆV Y D Ÿ5 o ' 7 ^ I _œv 7 Ž7 ^ VšMŽ ˆV Œb ŠKŠ# o &ŠD & gÿ [ g V 9Ž' K» 5 ' 5 oÿ5 'Ÿ ˆV 5ĩ?ˆV _ 5 Ž' 5 o ^ I Ž' p o V KŽ ži 1ŠK Vĩ I o «'Ÿ ˆV 5ĩ ` D C ˆV RŒY ^ Ž'ˆV _ P 1ŠKŠ^ RŒY ^ VšM V o Ÿ<Ž' K 1 o C V 5 &Š^ K³ RŽ' K 1 ZŽ' MŽ'ˆV VŠKŽ K A ^ĩ 5 o ^ I o IŠŸ5 I ^ U t + f 1 (U,, y) + f (U,, y) y = s(u,, y) Ÿ & ( 1 V K Iĩ 9Ž' o RŽ' K 1 o 1 O V I œošk 1 aœa Ÿ5 I ^ŠK {ši 5 o 5 &Š^ K³ ZŽ'ˆV œo 1œg 7 ]Ž Ÿ ˆV V D 1 o cž MŽ ˆV _ŽŒb I A V Kĩ 5 g 7 ^ I o IŠG ô &Š^Š^ RŒ Œ? RŽ' 5 F o RŽ' K 1 o `ŒY KŽ ˆ Š^ I &Ž` ŽY 1 o KŠ^ K o ^ V #.% #, (, ~, ~1ƒR~ ~ ~ ~ p o 7Ž_Ÿ I g 7 D 5 Ž'ˆV MŸ I Ž'ô RŽ I ^ D c 'Ÿ5 IŠ^ I C g &ŠD & oÿ5 pš^ WŒ?ô MŸ5 1 7 i & Ž' 5 p YŒY ^ŠKŠ. c 5 œošk 1 OŠD RŽ c & ' K Ž' 5 ' 7Ž Z ^ [œo 7 ž ^ Vš 5 V IŸ<Ž'ŠK ZŸ 5 Ž' I K 7Ž I Z Ž RŽ c IŠ^ Ž' K 1 o I 7 I ^ º U f(u) = s(u, )., p 1 ŽŒa p I ' 7 VĩœŽ' K 1 o a I ZŽ ˆV, o RŽ' K 1 1 K W & o MŽ ˆV c 7Ž I Z Ž RŽ, IŠ^ Ž ^ I I Ž ô &ŽYŒb c I C K Ž' 5 ' 7Ž MŽ pœo 7 ž1 V 1Ÿ<Ž Š^ U +, #.% # *. +. -,. /&1 354*. V (U, ) U V (U, ) = constant! #" $% '& () * &Ž' OŽ ĝ RŽi K I ±?Ž ô M V ^Š^ K V ' ^ V žr & ' ^ I VŠK,ô Wž1 M 5 5 { 5 V IŽ a(u, ) K o 7Ž I [ & V (U, )

9 +, # " # * # s i s(u, ) = i t i s(u, ) $ 4 4 s i (V (U, )) t i() pœy ^ŠKŠL 7 ^ši M Vĩ DŸ5 IŠ$ 'Ÿ ˆV iœyˆv DŸ ˆ Ÿ & œv ' 5 'ži _ 5 V IŸ<Ž'ŠK ]Ž'ˆV p Ž' 1 Ž RŽ O IŠ^ Ž' K 1 o ŒYˆV DŸ ˆ &Ž D P ' 7 VĩœŽ' K 1 ^ P 1 _ o IŠ^ I oÿ išd WŒ 7 I ^ ŒY KŽ ˆ U I V Ÿ ZŽ &Ž D P ^ Vš VĩœŽ' K 1 ĩ I yˆv ZŽ ĝ RŽpŽ ô ] ô IŠKŠ^ RŒ Œa &Ž 5 C 7 7Ž ŒY KŽ ˆ( MŠ^ I _ &Ž ' 7ŽC 7Ž 1 ] Ž RŽ &Ž D o YŽ'ˆV 1 VĩœŽ ^ I g 5 & o ŒY KŠ^Š#Ÿ5 Iĩĩ 5 Ž 1 Ž ˆV D FŠ^ &Ž 5 F K Ž ˆV D V o ŸŽ ^ I?ô I Z D iž [ IŸ ˆV ^ 5ž1 c pœb ŠKŠK o &ŠD & oÿ5 i 'Ÿ ˆV 5ĩ I D fž Ÿ5 Iĩœg 7?Ž'ˆV I V Ÿ?Ž' 5 ' 1 L ^ ' 7 o œvž ^ I I o Ž o ' 7ŽL ^ši CŠ^ K o & f 'Ÿ ˆV 5ĩ?ŒY KŽ ˆp & ^ Ž DŸ5 &Š Vĩ DŸ5 IŠ IœVœV ' W K p RŽ' K 1 c Iœ 5 RŽ' I P I Ž'ˆV f o V ^žr RŽ' Kž1 J & o CŽ'ˆV J ^žr RŽ' Kž1. ^,Ž ô J Ÿ5 Iĩœ 1, I V Ÿ $Ž' 5 'ĩ ŒYˆV 5 &œvœvš^ ^ MŽ iž ô, V ^ŠK ^ V ' K V 7 1ŠK Ž' K 1 MŽ'ô RŽ`Œa Œb 1 VŠD ZŠ^ I CŽ i o IŠ^ I oÿ o o F cš^ ^ V I L o V KŽ K» oÿ F Iœ 5 RŽ' I D Ž _ 1 V F ' RŽ' ^ 7 P K oš D(af 1 + bf ) = ad(f 1 ) + bd(f ) P I `Ÿ 1 o 7Ž' & Ž a b I o ] & ' V 9Ž' ' I pš1 D M P V oÿ<ž' K 1 o & o f 1 Ÿ ô 5ĩ P I 7 I ^ ŒY KŽ ˆ p I V Ÿ CŽ ši ^ži Z D ' & D MŽ O c išk ^ V & f Ÿ ˆV ĩ ` 9 " IŠKŠgŽ ô F œo RŽ' ^ IŠg ^žr RŽ ^ži L & ' IœVœV ' W ^ p RŽ' Š^ ^ V I L o V KŽ C K» oÿ Iœ 5 RŽ 1 ' oÿ ˆ] Š^ ^ V I ` Ÿ ˆV ĩ CŒa I oš^ Zô WžI, Ž ' V oÿ RŽ' K 1 Z ' I D (f(u)) i s i (V (U, )) D i (t i ()), ŒYˆV 5 ' I Š^ K V & a o V KŽ c V 9» 5 ' 5 oÿ5 Iœ 5 RŽ 1 ' b o MŽ p &œoœv W ^ p RŽ FŽ ô œo &Ž D &Š D 5 ' KžR &Ž ^ži i P o 7Ž'ˆV 5 Y ' 7Ž ' ^ŸŽY I V ` &Ž7Ž Ž ^ I ZŽ išk ^ V & ` 'Ÿ ˆV 5ĩ?ŒYô ^Ÿ ˆ] &Ž D P :²I D = D 1 = = D P I Ž ô O Ž' I V Ž RŽ O IŠ^ Ž' K 1 ` &Ž' ^Ÿ5 Ž ô &ŽcŒb i I ošk ' V ^ ' _Ž'ô RŽ,Ž'ˆV o V KŽ O K P 5 ' 5 oÿ5 Z 1œg ' &Ž I c Ÿ5 Iĩ [ ^ Ž DŸ5 &Ša P 1 Ž'ˆV ] Ž' I V Ž RŽ ] IŠ^ Ž ^ I Ž'ô RŽpŒa [ I K Ž Ž' Ž,œo 7 ž1 I W P I JšI 5 o 5 &Š 7 1ŠK VŽ ^ I o $Ž'ˆV? o V KŽ F 9» 5 ' 5 gÿ Y Iœ 5 RŽ' I $Ÿ5 & g c K» 5 ' 5 Ž I ` oÿ ẐŠ^ ^ V I ` Ÿ ˆV ĩ?œa Cĝ WžI ƒw J,, #.% # 3 4 & $ & 4 #" $ ( 4 &. " $. * *. ( " " $ 4 ** *. & 4*

10 ± š ± Ž?ô,œV I G & GŽ ˆV D Y ' VŠKŽ? D Y RŽ'ˆV 5 Y 7Ž & ^šiˆž7 P 1 Œ? & O & g ZŸ & [ g P 1 V o [ K y ± Y V RŒ &Š^ I cĝ WžI aˆv Kš1ˆ A I 5 $Œa 5Š^Š9 A o &ŠD & gÿ 'Ÿ ˆV 5ĩ # P 1 $Ž ˆV Y g &ŠD & oÿ5 ašd WŒ` o o 5 `Ÿ5 I o D 5 RŽ' K 1 RŒb ži 1Ž ˆV 7 'Ÿ ˆV 5ĩ? I CŠK ^ V & ô 5 oÿ5 Ž'ˆV 5 OŒY ^Š^Š. g 1 7 Ÿ5 KŠ^ŠD RŽ 1 _ŒYˆV 5 Ž ô 7 1ŠK VŽ ^ I iÿ I Ž & ^ o f D Ÿ5 I Ž ^ V 9Ž' K YŒb 1 VŠ^ V Ž cÿ5 I o ^ V 5 o I VŠ^ K o & 'Ÿ ˆV 5ĩ o &ĩ 5Š^ 'Ÿ ˆV 5ĩ ŒYˆV DŸ ˆ & ' c V 1 VŠ^ K V & C 5ž1 5 K LŽ ô _ o V f(u) I o Ž ˆV I V Ÿ s(u, ) ^ 7 I ^ & ' [ g IŽ ˆ@ŠK ^ V & P V oÿž ^ I o i I U b P I p 5 IĩœVŠK 1 ô Kš1ˆ 1 ' V 5 F o V KŽ p K» oÿ «'Ÿ ˆV 5ĩ Ž Œa ŒY KŠ^Šf o Ž'ˆV o Ž ŷ I 5 F o V KŽ p K» 5 ' 5 oÿ5 «'Ÿ ˆV 5ĩ i I C & V &ĩœvš^ _Ž' [ V 5ĩ I o 7Ž RŽ' _Ž'ˆV g I ^ŸF ^ V I ŒY ^ŠKŠ V IŽaš1 Kž1 `Ž ô C 5Ž' I KŠD a &.Ž ô C g I 'Ÿ ˆV 5ĩ & o M 5 P 5 Ž' g ±. P I ` oÿ ˆ Ž & ^Š^ G œv 7 ŽJŽ ô C g I ^Ÿ ^ I Œb F o Ž?Ÿ I g 7 D 5 bž ô KŽ o &Ž ^ I MŒYô 5 OŽ'ˆV 'Ÿ ˆV Z ^ o ŒY 9Ž'ˆV I Žp ] o V 7œVŠ^ KŽ7Ž ^ Vš Ž'ˆV ` ] 'Ÿ ˆV 5ĩ Z 1 _ 5 'Ÿ ' ^ g ^ < p V IŽ DŸ iž'ô RŽcŽ'ˆV IœVœV ' W K p RŽ' K 1 Ž' Ÿ5 I Z, 5ž1 5 Ž o IŠKŠ^ OŒY ' 9Ž Z 1 Ž I ŒYˆV d d = f(u) d =j r k= r a k d k+j D d (d) j ŒYô 5 ' r = 3 P I CŽ'ˆV _ o Ž ˆ I 5 ª &œvœo W ^ĩ &Ž ^ I I o Ž'ˆV pÿ ¹OŸ ^ 5 Ž a V 5œ 5 o V I VŠ^ ^ V I Š^ 1 yž ˆV [ 7ĩ &Ž'ˆV V _ K o V ^Ÿ RŽ 1 ' _ K ž1 IŠ^ž ^ Vš]Ž'ˆV Zš1 D P V oÿž ^ I k?ˆv I M D i V RŒ d D?Ž p o Ž ô, o V KŽ _ V 9» 5 ' 5 oÿ5, Iœ 5 RŽ' I ŒY KŽ ˆ D d d = f(u), o o I ŠK Ž' o FŽ ˆV Iĩ CŸ5 5¹OŸ ^ 5 Ž' I VŽ' & ^ V iž ˆV ' I ošiôž'ˆv 7ĩ &Ž'ˆV V ' a ^ o DŸ5 &Ž 1 p & k d b I o &œvœvš^ KŽiŽ &œvœo W ^ĩ &Ž K Ž'ˆV 7 1 V 'Ÿ5 MŽ' 5 ' p t i ()?ˆ o t i( j ) r k= r a k t i ( k+j ) = D d (t i ()) j. µ Š^ I Š^ I IŽ ˆV? g V 9Ž' K» oÿ Iœ 5 RŽ 1 1 I Ž & ^ V P ' I Ž'ˆV `ˆV ^šiˆv 1 ' D œo Ÿ V ', & o [ŒYˆV ^ Y V. g ^ ` ˆV ^šiˆ] 1 ' ` IŸŸ V RŽ' d ` &œvœv ' W d = f(u) ^ p RŽ' K 1 Ž (Ž ˆV Z o Ž V 5 ' KžR RŽ' Kž1 p P I i & ši ' ^ P V oÿ<ž' K 1?ô 5 ' P I ' pž'ˆv M ' VŠKŽ & J 1œg 7 KŽ ^ I K ^ C Ž' KŠ^Š$žR &Š^ ^ I o Œa Ÿ5 I oÿ5šk o V cž ĝ RŽCŽ ˆV ˆV Kš1ˆ A I 5 o V KŽ V 9» 5 oÿ «Ÿ ˆV ĩ _ I F Ž RŽ & RžI 1 oœy KŽ ˆV 1 ŽŽ'ˆV c g 7œVŠ^ KŽ7Ž ^ Všg I o ]ŒY KŽ ˆ Ž'ˆV œ Ÿ D &ŠYĝ & o Š^ ^ Vš I `Ž ô ] I o 'Ÿ5 MŽ' 5 'ĩ i Ÿ5 ^ I g Rž1 I L p I K Ž' I K g 5 V IŸ<Ž'ŠK yž'ˆv 7Ž I Z Ž RŽ RŒ, IŒa `Ÿ 1 o 7 D 'Ÿ ˆV 5ĩ LŒY 9Ž'î 1G R ' K DŸ ô G o p œvšk KŽ7Ž' K ošo 7 oÿ ˆ 1 Ž ô 1 & o 1 1 Ÿ ˆV ĩ, Ÿ5 ^ g ± 5 ' iž ˆV i o V

11 I f(u) ^ `ŒY KŽ7Ž' 5 I Y i V ª & f + (U) & o f (U) o 5 o V Z & f ± (U) = 1 [f(u) ± αu] ŒYˆV 5 ' f(u) ŒY KŽ ˆMŽ ˆV C p R K V «5 ^ VšcŽ I O RžI J 9Ž'ˆV 5? _Š^ Ÿ5 IŠo ' α = ma U U ši ^ I 1 1 f I # YšIŠ^ I o IŠI ' 5š1 K 1 1 $ R 7 ` R ± P I #ĩ I ' J Ž & ^Š^ V RŒ ĩ I _ O K gÿ RŽ ^ I Ž pž'ˆv ^ o œvš^ 9Ž Ž ^ Všo Z ' 5œoŠ^ 1Ÿ ^ Vš ±αu ^ & ŒY 9Ž'ˆ ( ) ±α sign V (U,) U V (U, ) iœa I VŠD V Ž ] I ' 7 Vĩ ˆV 5 ' cž'ô RŽ V (U,) U Y V IŽFŸ ô I VšI c Kš1?ˆV _Ÿ5 I o 7Ž' I 1Ž 7ô I VŠD ] g 7 V KŽ' I VŠ^ [ 1 o 7Ž ] ZŽ ˆV 7 ^³5 α & V (U,) ^ y I 5 Ž' [ p I K Ž' I K y V I Vš1ˆ I 7Ž' 9 Ÿ D &Šfž ^ 'Ÿ 7 KŽ?ˆV iž' 5 ' U V (U, ) Ÿ5 & IŠ^ i g c ' 5œoŠ^ 1Ÿ [ p(v (U, )) P 1 & M P V oÿ<ž' K 1 gœyˆv 1,Ÿ ˆV I DŸ c ˆV I oš^ [ p 7 oÿ ˆ]Ž'ô RŽ p(v (U, )) D 1 ŸŠ^ 1,Ž' I Fœ 1 ' 7 ^ VŠ^ c K ( I 5 YŽ' M _ VŠD RŽ',Ž ˆV I ' KšI U K o IŠ 1 g œvšk KŽ7Ž' K oš[œy KŽ ˆ?ô ^ ĩ K gÿ5 &Ž ^ I y C V &Žc &» Ÿ<Žc IŸŸ V IŸ5 I ±αu ŒYˆV ^Ÿ ˆ ŠK ^ I VŠ^ y I Ž'ˆV O 4 1Ÿ<Ž f(u) = f + (U) + f (U) 1 cž'ˆv [ 7Ž I 7Ž' &Ž 7 1ŠK Ž' K 1 p &Ž D P ^ Vš &Ž'ˆV & Ž K gÿ5 ^ IŠž D 'Ÿ 1 KŽ,Ž ) ( p(v (U,)) ) ±α sign ( V (U,) U V (U, ) I ^ dž'ˆv 1" & ^ ' DŸ ô O g œvšk KŽ7Ž' K oš g 5 ±α sign U p(v (U, )) Ÿ Iĩ _ Ÿ5 I o 7Ž' I 1Ž f & o y Ž ˆV [Ÿ I g 7 D Ž' 5 oÿ5 I YŽ ˆV IœVœV ' W K p RŽ' K 1 Ž'ˆV» Ÿ<Ž[ & cž'ˆv (ž D Ÿ5 1 9Ž Ž p MŽ RŒ? & V iž ô IœVœV ' W ^ p RŽ' K 1 I D M³ 5 ' f(u)?ˆv o œvšk KŽ7Ž' K oš &œvœv ' W K p &Ž ^ I K Ž'ˆV ^ 9Ž' o RŽ' K 1 g Ÿ Iĩ ( KĩœVŠ^ ˆV y 7Ž Ž RŽ y IŠ^ Ž ^ I D [œv 7 I Z P I ' I 9 f ± (U) = 1 f(u) ˆV oÿ (Ž Œb, KĩœVŠ^ Z œvš^ 9ŽYŽ'ˆV c 5 ' ^žw &Ž ^ži b ^ [Ž ˆV c I o 'Ÿ5 Ž' 5 ' I º 1 t i() = 1 t i() + 1 t i(), & o p IœVœVŠ^ _Ž'ˆV F ' &ĩ Y o V p œvš^ 9Ž Ž ^ Vš œv ' Ÿ V V?Ž' _ &œoœv W ^ p RŽ?Ž'ˆV 5 ŒY KŽ ˆ Ž ˆV Y V 1 VŠ^ K V & fÿ 5¹pŸ5 K Ž' Ÿ Iĩ ^ VšC P 1 Ž ô d &œvœo W ^ĩ &Ž ^ I o "Ž a 7œ ŸŽ ^ži 5Š^?ˆV D?ŒY ^ŠKŠš1 o & & Ž' 5 k :²I Ž'ˆ g Y I Ž & ^ f ± (U) ƒw J,, # " # % 3$ 4 )! 4*5. * * #. " " $ 4 () ( 44 4 p V RŒ ^ 'Ÿ g CŽ'ˆV O 7 7Ž Ÿ5 1 7?ˆV P ' I Œb 1 V 'Ÿ ' K ( P I Ž'ˆV O Ÿ &ŠD & Ÿ5 I Ÿ & O C IœVœVŠ^ K iž 7 7Ž ĩ JœV ' Rž D Ž ô &ŽaŒa ô Wž1 `Ÿ 7Ž & ^ V RŒYŠK ši F & I Ž Ž ˆV, 7Ž 1 p Ž RŽ' IŠ^ Ž' K 1 o LŽ' œv ' 5 'ži O K MŽ ˆV C P I ' «& J œv DŸ5 IŠKŠ^ I P I Y

12 Ž' 5 «ŒY KŽ ˆ m o &Ž ^ I o V D? _ž1 Ÿ<Ž' I I o OŒa CŒb 1 VŠ^ Mô WžI Š^ &Ž ^ I o ˆV ^œo b K m Ž'ˆV P I ' I º V 1 (U, ) = constant, V m (U, ) = constant P 1 LŽ'ˆV F 7Ž I i Ž RŽ' F IŠ^ Ž ^ I o LŽ ô &ŽbŒa `Œa I VŠD išk I `Ž _œo 7 ž1 a 5 V IŸ<Ž'ŠK FŒb 1 VŠ^ Ž'ˆV 5 7Ž ^ŠKŠ I K ª P I ` Ÿ Iĩœ 1 K oš IŸ ẐŸ5 Iĩœ I V 1ŽY I "Ž ô c 7 1 V 'Ÿ5 Ž' 5 ' ª ^ MŽ'ˆV P I ' I "ŒYˆV Ÿ 1 VŠ^ O & ' V KŽ & ' Z P o oÿ<ž' K 1 o, & s i V 1 (U, ),, V m (U, ) G I o Ž'ˆV ` P o oÿ<ž' K 1 o I o Ÿ5 I VŠD i K» 1ŽJ P I b V 9» 5 ' 5 ŽbŸ5 Iĩœg 1 V 5 Ž L & Ž'ˆV I V Ÿ s i t ž1 ŸŽ I?ˆV ĩ I K o K VšZœV ' Ÿ5 o i ^ FŽ ô 5 Ž'ˆV i I i I Ž ĝ RŽC P I FŽ ˆV p 'Ÿ5 &ŠD & CŸ5 1 7 I &š1 I K I VŽ' & ŠKŠF o &ŠD & gÿ ˆV ^šiˆv 1 ' 'Ÿ ˆV 5ĩ ( ˆV I oš^ IŠ^ Oĩ 5 Ž' K 1 Ž ô &ŽFŠ^ Ÿ5 &Š#Ÿ ô & IŸŽ D Ž' ^Ÿ Ÿ 1 œ 1 KŽ ^ I D `Ž œv DŸ5 IŠKŠ^ Z g 7 K (ˆV Kš1ˆ 1 ' V 5 S Ÿ ˆV ĩ K { I 5 Ž I Ž & ^ Ž7Ž' 5 p V 1 A 1 'Ÿ ^ŠKŠD RŽ' I ' (œv ' Iœ 5 Ž P I 7Ž ' I ošm D Ÿ5 I Ž ^ V 9Ž' K ô 5 Ÿ5 IĩœV Ž' K ošpž ˆV Vĩ 5 ' ^Ÿ &Š g RŽ Ž ˆV ŠK Ÿ &Š i+ 1 Ÿ ĝ & IŸ<Ž' 5 ' ^ 7Ž DŸ` p &Ž ' 9 VŸ5 I o ^ 7Ž ^ Vš & GŽ ˆV, ' Kš1ˆŽa Kš1 5 ži Ÿ<Ž 1 ' b & GŽ ˆV IŸ5 I V D & Z RŽ R D? Ÿ5 I o 7Ž' I 1Ž? p RŽ' K p P I a V 5 oÿ5 CŽ ˆV D?Ÿ ô & IŸŽ 5 ' D Ž' ^ŸF Ÿ5 Iĩœg 7 KŽ ^ I U i+ 1 i œo Ÿ V ' b V IŽa &ŠKŽ LŽ'ˆV F I š1 Vĩ 5 ŽJœV ' 5 Ž p & RžI Y P 1 LŽ'ˆV F 'Ÿ5 IŠ^ I bÿ5 1 7 ' P?Ž ±. P 1 Yĩ I ' V Ž' I KŠD?ô c 7ô IŠKŠ^ RŒ Œ? RŽ' 5? o &Ž ^ I o 7 I ^. K W Ž I CŽ'ˆV P I ' ^ h t + (hu) = (hu) t + (hu + 1 ) gh?ô,š^ I, RŽY ' 7ŽY IŠ^ Ž' K 1 [ ' RŽ' ^ 7 o ^ ZŽ'ˆV P I ' = ghb, ^ I W V 1 hu =, V h + b = constant,.?ô i o ' 7Ž_Ÿ 1ĩœg 1 V 5 Ž, & až ˆV O I o 'Ÿ5 Ž' 5 ' D V V Ÿ 1ĩœg 7 KŽ ^ I & až ˆV O Ÿ5 I o Ÿ5 Iĩœ I V 1Ž` I "Ž'ˆV c 7 1 V Ÿ FŽ 5 ' ^ [Ž ˆV P 1 & D ^ ghb = g (h + b) b + 1 g ( b ) s 1 = s 1 (V ) = g (h + b) s = 1g t 1 () = b() g I o t () = b () gœyˆv DŸ ˆ ' RŽ' ^ 7 o ' 7 o œvž ^ I oÿ 1 VŽ'ˆV,Ž Ÿ ˆV V D V _ 7 ^ši V & RžI,Ÿ5 I ] g o 7 ZŽ 1 Ž' I K ˆV ^šiˆ A I 5 FŒb ŠKŠK A o &ŠD & oÿ5 [ o o 9Ž' K» 5 ' 5 oÿ5 'Ÿ ˆV 5ĩ _ P I CŽ ˆV i ô &Š^ŠK RŒ Œ? RŽ' 5 o RŽ' K 1 o iœy 9Ž'ˆ{ŠD 1 RŽp Žp IŠ^ Ž ^ I K 1 < GŒb y ^ o K 1 o &ŠYž1 5 7 ^ I { & Ž'ˆV

13 ² 7ô IŠKŠ^ RŒ Œ? RŽ' 5, 1 g RŽ ^ I g cÿ5 I y IŠ^ ] g Mô & o VŠK y (Ž ˆV Z I Ž' Ÿ ˆV V D V I ±A & o I ( V &Ž] 7ˆV RŒY ô 5 ' Iĩ ( Vĩ 5 ' DŸ5 &ŠC ' VŠ9Ž OŒY ^ŠKŠC ˆV RŒY ^ Ÿ<Ž ^ I Ž' [ V 5ĩ I o 7Ž RŽ' Ž ˆV iši œo 1œg 7Ž' K F I JŽ'ˆV iœb ŠKŠK g &ŠD & oÿ5 ô Kš1ˆ 1 ' V 5 F o V KŽ 9» 5 ' 5 gÿ, Ÿ ô 5ĩ #"$#, (, ~ -+ ~[ ~ ~ IŠ^ŠK RŒY ^ Vš Ž ô, ^ i & $ I Ž & ^ V ^ VšiŒb ŠKŠK g &ŠD & oÿ5 [ Ÿ ˆV ĩ? M Ÿ Iĩœ 1 K oš Ž'ˆV 7 1 V 'Ÿ5 Ž' 5 'ĩ F 1 ] 7ˆV RŒY d K ŸŽ ^ I ^ `Œa š1 5 V ' IŠK ^³5 ( o V KŽ ži 1ŠK Vĩ Ÿ ˆV ĩ iž' I Ž & ^ ˆV Kš1ˆ A I 5 pœa 5Š^Š9 A o IŠ^ I oÿ { 'Ÿ ˆV 5ĩ?ˆV (Ÿ ' oÿ5 ^ IŠ K» oÿ g 5ŽŒb 5 Ž'ˆV o o 9Ž' ž1 IŠ^ Vĩ ( & o Ž ˆV ( o V KŽ y 9» 5 ' 5 gÿ 'Ÿ ˆV 5ĩ Z D pž ĝ RŽ Ž ˆV Ÿ 1 o Ž' gÿ<ž ^ I dœv Ÿ5 V ' P 1 o V KŽ yž1 IŠ^ Vĩ 'Ÿ ˆV 5ĩ y &œvœvš^ ^ ZŽ Ž ˆV y 7 1ŠK VŽ ^ I d I o V IŽZŽ' Ž'ˆV P V oÿž ^ I žw IŠK o ] Ÿ 1 o V 5 gÿ I ` o V KŽ ži IŠ^ Vĩ c 'Ÿ ˆV 5ĩ & ', 1 7 V KŽ' I VŠ^, P I Ÿ5 IĩœV Ž RŽ' K 1 o Y ^ (Ÿ 1 œošk 5 ZšI Iĩ Ž' [ & o P I c o ^ Vš( I o &œž' Kž1 p 7ô?ô M Ž & ^Š^ _ &?Ž ô O o V KŽ MžI IŠ^ Vĩ Ÿ ˆV ĩ Ÿ5 & g M P I V o K $ f ± RŒb ži 5 # g Ÿ5 & g 7 Z & K» 5 ' 5 Ž Ÿ5 IĩœV Ž RŽ ^ I g &Š P ' I Œb 1 $Ž'ˆV ]ĩ I K Ž' 5 o I oÿ [ & FŽ ˆV ]Œa 5Š^Š9 A o &ŠD & gÿ œv 1œg 7Ž y ' V ^ i 9» 5 ' 5 Ž Ž Ÿ ô V ^Ÿ &Š IœVœV ' 1 IŸ ô?ô O p & ^ D Z ^ yž ô pœv ž K 1 o, 7 o o 7 Ÿ<Ž' K 1 Ž' ^ši [Œb ŠKŠK g &ŠD & oÿ5 ˆV Kš1ˆ I 5 F o V KŽ p K» oÿ «'Ÿ ˆV 5ĩ ^ FŽ ] Ÿ Iĩœ 1 _Ž'ˆV p 7 1 V Ÿ cž' 5 ' K Ž' [ 7 V & L 5ž1 5 &Š Ž p o IŸ ˆ] & fœyˆv DŸ ˆ] ^ F ^ 'Ÿ ' Ž' K³ ] ^ o œg o 5 Ž'ŠK [ o K VšZ o V KŽ 9» 5 ' 5 gÿ ] P I ' _ oš^ yÿ 1 o ^ 7Ž 1ŽOŒY KŽ ˆ@Ž'ô RŽO I IœVœV ' W K p RŽ' K oš Ž'ˆV ] o ^žr RŽ ^ži Ž 5 ' p K Ž'ˆV OŸ 1 o 7 žr &Ž ^ I (ŠD WŒ i P IŠ^ŠK RŒ [ ^ ^ŠD &, D ]ˆV p I o V Ÿ 1ĩœg 7 Ž ˆV C K Ž' 5šI &Š & "Ž ˆV, I V Ÿ Ž 5 ' «^ 1Ž' 7 o «& G 5ž1 5 &ŠgŽ 5 ' p 5 Ž'ˆV 5 [Ÿ IĩœV VŽ C IŸ ˆ & CŽ ˆV Œ? W Ÿ 1 o 7 D 7Ž 5 ŽOŒY KŽ ˆ Ž ĝ RŽO & Ÿ 1 œo Ž ^ VšyŽ ô Ÿ I ' ' œg 1 o ^ Vš( g Ž 5 ' p o ŽŸ 1 o 7 D `Ž ô Ÿ I,Ž ô &Ž 7 I ^ D C M 'Ÿ5 &ŠD & F o &ŠD & gÿ cšd WŒ?ˆV iÿ5 1 7 & # Ž' 5 p?œy ^ŠKŠ, œvš^ I ' ZŠD RŽ Kĩ ^Š^ I Š^ I Œa F p I 7 1 I ' VĩœŽ ^ I o b I ZŽ ô C o RŽ' K 1 1 K W I o pž'ˆv, Ž' 1 Ž RŽ, IŠ^ Ž ^ I & Ž'ô RŽYŒa c & ' F ^ Ž Ž' MŽ pœv ' 5 'ži F V IŸŽ Š^ º U +, # #.. -, U #" $% '& () * ^. )&1 V (U, ) U + p() q() 354*. & p() $ q() = constant

14 +, # # 4 s(u, ) $ 4 4 ^ s(u, ) = j s j (V (U, )) t j(). /& s j t j &Ž' JŽ'ô RŽ ' VĩœŽ ^ I š1 Kž1 5 _ô 5 ' b D # 1 a ' 7Ž ' ^ŸŽ ^ži LŽ'ô & Ž ĝ RŽ$ K ŸŽ ^ I K V V Ž' Ž'ˆV c I o 9Ž' K 1 o &Š V 9¹OŸ oš9ž' K Y Š^ &Ž OŽ' iž ˆV o o 9Ž',žI IŠ^ Vĩ C P I ' _ VŠD RŽ' K 1 cÿ 1 o ^ až ˆV c 5ĩ K A D 'Ÿ ' Ž C P 1 VŠ^ &Ž ^ I Z & #Ž ˆV, o IŠ^ I oÿ ŠD WŒ ^ ²1 d dtūi(t) = 1 (f(u( i+ 1 ), t) f(u( 1 i i 1 ), t)) + s(u, )d. i I i?ô YŽ ^ĩ F D Ÿ5 5Ž ^³ &Ž ^ I i ^ L o 7 g &Š^ŠK œg 7 P 1 ĩ Ž ˆV FŸŠD I ' 7 DŸ5 IŠˆV Kš1ˆp I 5 Y V Vš1 VŽ7Ž' O 5Ž ˆV P I ' c 7Ž' RŽ' K ošp I V Y Vĩ 5 ' DŸ5 &ŠG Ÿ ˆV ĩ I VŒa o Ž`œV ' 5 ŽYŽ'ˆV,œV ' & Ÿ5 o Ž Z Ÿ I g Ž' oÿžž'ˆv œ I ^ ŽŒY ^ _žr IŠK V ]Ž'ˆV ' Ÿ5 I o 7Ž ' oÿ<ž' K 1 œv ' & Ÿ5 o 1 I o iž'ˆv 5 ] Ÿ5 Iĩœ 1 YŽ ˆV C ^ 1Ž' 5š1 ' IŠg I.Ž ˆV 7 1 V Ÿ `Ž' 5 ' K Ž i 5žI ' IŠŽ p ŒY KŽ ˆ[Ž'ˆV I Ÿ<Ž ^ži C & I 5œV ^ Vš Ž ˆV, 5 1Ÿ<Ž? o &ŠD & gÿ CœV 1œg 7Ž pœy KŽ ô I Ž` ' gÿ ^ Vš_Ž'ˆV ô Kš1ˆ 1 ' V 5 b 1Ÿ5Ÿ5 V ' 1Ÿ & Ž'ˆV Ÿ ˆV ĩ?ˆv C 'Ÿ ˆV F ^ bž'ˆv 5 M o o &Š^Š^ ^ Ž ' oÿ OŒY KŽ ˆ iĩ ^ V I `Ÿ ĝ & Vš1 F 1 MŽ'ˆV o ZŽ 5 ' ] VŸ 1 œg & ' ZŒY 9Ž'ẐŽ'ˆV, I ' ^ši ^ o &Š 'Ÿ ˆV 5ĩ?ô Z g ' 7Ži 7Ž œ{ ^ V V ^Š^ ^ Vš Ž ô ] IŠKš1 I ' 9Ž'ˆV ^ Ž' y Ÿ I g Ž' oÿž P ' I Ž'ˆV U ± i+ š1 Kž1 5 [Ÿ 5Š^Š. WžI ' IšI iž ˆV ' Ÿ 1 o 7Ž ' oÿ<ž' K 1 OœV ' Ÿ5 o 1 ŒYô ^Ÿ ˆ[ & ' ˆV ^šiˆ 1 Ū i 1 ' V 5 $ IŸ5Ÿ5 V RŽ a &œvœo W ^ĩ &Ž ^ I o Ž FŽ ˆV a V 1Ÿ<ŽGžR IŠK V o IŠKŠ^ U( i+ 1 ) AŽ$Ÿ & _ a 5žI Ž ŒY ' KŽ7Ž ] I Ž 1 ^ U + i+ 1 = r k= r+1 w k Ū i+k S + Ū (Ū) i, U = i+ 1 r 1 k= r w k Ū i+k S Ū (Ū) i. ŒYô 5 ' P 1 OŽ'ˆV V Ž'ˆd 1 ' &œvœo W ^ĩ &Ž ^ I & g Ž ˆV yÿ ¹OŸ5 K 1Ž r = 3 & g 5œ 5 g Z o I VŠ^ K o & 'Š^ p I ZŽ ˆV, IŽ ˆV V? ^ o DŸ5 &Ž 1 ' a ^ ž1 IŠ^ž K Vš Ž ô Ÿ5 5Š^Š w k w k Wž1 5 &š1 Ū 5 ' (Œa I Ž & ^ d Š^ K o & [ Iœ 5 RŽ' I S ± Ū (v) ŠK ^ V & [ K ŒYˆV DŸ ˆ D v 1 Ž' I K o P 1 S Ÿ I g Ž' oÿž ^ I ŒY KŽ ˆ V {Ÿ5 5¹OŸ ^ 5 Ž' Ÿ5 &ŠDŸ oš^ &Ž w k P ' I Ž ˆV cÿ5 5Š^Š" WžI ' IšI Ū I O ^ V iˆv D?Ž p o Ž ô ` Iœ 5 RŽ' I S ± Ū (v)

15 ² & o [ &œvœošk MŽ ˆV ªŽ i ' Ÿ5 I o 7Ž ' oÿ<žaž ô P V oÿ<ž' K 1 o p i & o q i?ˆ o ^ I p + i+ 1 q + i+ 1 = S + Ū ( p) i = = S + Ū ( q) i = r k= r+1 r k= r+1 9Ž'ŷŽ ˆV O ' Ÿ5 I o 7Ž ' oÿž žr &Š^ V w k p i+k, p = S i+ 1 Ū ( p) i = w k q i+k, q = S i+ 1 Ū ( q) i = p ± i+ 1 & o q ± i+ 1 r 1 k= r r 1 k= r w k p i+k w k q i+k. #Œb p 1 Ž' I K Ž ô pœg 1 K ŽŒY D 7 pžr &Š^ V & V (U, ) V (U, ) ± = U ± i+ 1 +p ± i+ µ Š^ I Š^ I I o I ˆV Kš1ˆ i+ 1 1 p ± q ± q ± i+ 1 i+ 1 i+ 1 I 5 p IŸŸ V RŽ' Mœ I ^ ŽŒY ^ &œvœv ' W K p &Ž ^ I Ž' Ž'ˆV [ P V oÿž ^ & p() & o q() &Ž Ž ˆV OŸ5 5Š^Šf g 1 V o V I oÿ 1 D, [ˆV ^šiˆ A I 5 &œoœv W ^ p RŽ ^ I (Ž V (U( i+ 1 RŒ ), ) i+ 1 1 Vĩ FŽ ô &Ž i+ 1 U V (U, ) ± i+ 1 D až ô c Ž' I V M Ž RŽ' IŠ^ Ž' K 1 [ ' RŽ' ^ 7 P K Vš o o &ĩ 5Š^ V (U, ) = c U + p() = c q() P I J Iĩ `Ÿ 1 o 7Ž' & Ž c A Ž ˆV FŸ 5Š^Šo Wž1 5 &ši I o & '?Ÿ5 IĩœV Ž' i ^ Ž ˆV ' &ĩ Ū i p i q i 4 I ˆV K 1 š &Š^ŠLŸ 1ĩœV Ž V IŸŽ Š^ I 1 IŠKŠLŸ5 IĩœV Ž' ŒY KŽ ˆ Ž ˆV O ' &ĩ i Vĩ 5 ' ^Ÿ &Š 1 g I RŽ' V P ' I U p() & g VŽ ˆV Œb,ŸŠ^ I Š^ O &ŠD ĝ WžI q() Ū i + p i = c q i P I Ž'ˆV? I bÿ I g Ž & Ž c ^ oÿ JŽ ˆV b Ÿ I g Ž' oÿž žw IŠK o & o I U ± p ± q ± i+ 1 i+ 1 i+ Ÿ IĩœV VŽ [ P ' I Ž ˆV Ÿ 5Š^ŠG Wž1 5 &š1 & o ŒY KŽ ˆ]Ž'ˆV CŠ^ K o & Iœ 5 RŽ 1 1 ' Ū j p j q j S ū ± (v) VŒa,ŸŠ^ I Š^ Oô Wž1 U ± + p ± i+ 1 i+ 1 P I?Ž ô c I,Ÿ5 I o 7Ž' I 1Ž c Ž'ô RŽ` D ^ P I?Ž ô ' &ĩ,ÿ 1 o 7Ž' & Ž Ÿ ˆV ĩ V (U, ) ± i+ 1 = c q ± i+ 1 = c?ˆv D Y D Y & [ Kĩœ I Ž' & Ž? 4 IŸŽ?Ž O 7 ^ši MŽ ˆV,Œa 5Š^Š9 A o IŠ^ I oÿ c

16 µ Š^ I Š^ I P 1 ` i Ž' I V M Ž RŽ' IŠ^ Ž' K 1 d f(u) d j U s j (V (U, )) t j () = f(u) j &Ž D P ^ Vš ' 7 o œvž ^ I o I o = f(u) s(u, ) =. s j (V (U, )) t j ()?ô 5 ' P I ' I f(u) j s j(v (U, )) t j () D J,Ÿ 1 o 7Ž' & Ž `Œa I VŠD V 5 Ž cÿ ˆV 1 V KŽ' I VŠK ŒYˆV DŸ ˆ 7ô I VŠD ] g ˆV ^šiˆ A I 5 F &œvœv ' W K p &Ž ^ I o až' (t j ) ± t i+ 1 j ( i+ 1 ) 7 oÿ ˆ Ž'ô RŽ ^ f(u ± ) i+ 1 j s j (V (U, ) ± ) (t i+ 1 j ) ± = constant i+ 1 P 1 [ Ž' I V 7Ž' &Ž IŠ^ Ž' K 1 &Ž D P ^ Vš VĩœŽ ^ I g I o ŒY KŠ^Š U œ Ÿ K P iž ô FŸ ˆV 1 ^Ÿ5 L I P 1 LŽ ô C ô &Š^Š^ RŒ Œ? RŽ' 5 b o RŽ' K 1 o J &ŽJŽ'ˆV o O I.Ž ˆV D (t j ) V o ŸŽ ^ I ± i+ 1 ^ o &Š^Š^ I Œb ` o 5 pž _ Ÿ 1 œ 1 YŽ'ˆV ^ Ž 5š1 ' IŠV &.Ž'ˆV F I o 'Ÿ5?Ž 5 ' K iž'ˆv ` P 1ŠKŠ^ RŒ? ^ VšpŒ? W p K ] 1 ' až p I VŽ' & ^ ] Œa 5Š^ŠK o IŠ^ I oÿ M 'Ÿ ˆV 5ĩ s(u, )d = s j (V (U, ))t j()d I i j I i = ( 1 ( ) s j (V (U, ) + ) + s i 1 j (V (U, ) ) t i+ 1 j ()d j I i ( + s j (V (U, )) 1 ( ) ) ) s j (V (U, ) + ) + s I i i 1 j (V (U, ) ) t i+ 1 j ()d = ( 1 ( ) s j (V (U, ) + ) + s i 1 j (V (U, ) ) (t i+ 1 j ( i+ 1 ) t j( i 1 )) j ( + s j (V (U, )) 1 ( s j (V (U, ) + ) + s I i i 1 j (V (U, ) )) ) ) t i+ j()d. 1?ô cœv V 'œg 7, I $Ž ˆV D Ÿ 1 œ 1 KŽ ^ I ] ^ `Ž O o V Ž'ô RŽŽ ˆV c ^ Ž ši &Š. & $Ž'ˆV _ I V Ÿ Ž' 5 ' o &ŠD.Ž'ˆV b o ' 7ŽŽ' 5 ' &Ž"Ž'ˆV J ' Kš1ˆŽ"ô & g c 7 D b & 1 ŒYô 5 1 až ˆV,ŠD I 7ŽYŽ ^ ' &œoœg & b ^ [Ž ˆV D `Ÿ I RŒdŒa, & ' C ' 1 iž O V 'Ÿ ' K CŽ ˆV o g &Š P I ' ª I GŽ'ˆV c &Š^šI 1 KŽ ˆV W d dtūi(t) = 1 i ( ˆf i+ 1 ˆf i 1 ) + 1 i ŝ i, V (U, ) = const

17 ŒY 9Ž'ˆ I ŝ i = j ( 1 ( ) ( ) ) s j (V (U, ) + ) + s i 1 j (V (U, ) ) (ˆt i+ 1 j ) i+ 1 (ˆt j ) i 1 + s i,j ŒYˆV 5 ' ^ ` ˆV ^šiˆv 1 ' Y &œvœv ' W K p &Ž ^ I OŽ', g V 9Ž' K 1 ]ŒY KŠ^Š (ˆt j ) i+ 1 t j ( i+ 1 ) gœyˆv 1 g c Ÿ5 ^ Z g ŠK RŒ, V I o ^ Y I MˆV Kš1ˆ A I 5? &œvœo W ^ĩ &Ž ^ I MŽ Ž ˆV, ^ Ž ši &Š s i,j I i ( s j (V (U, )) 1 ( s j (V (U, ) + ) + s i 1 j (V (U, ) )) ) t i+ j() d. 1?ô Z Vĩ 5 ' DŸ5 &Šb o ^ i 5 o V ĩ I V IŽ 1 V p o oÿ ˆ 1 cž'ˆv 1" R ˆfi+ 1 ' K DŸ ô b o F (U, U + ) = 1 i+ 1 i+ 1 [ ] f(u ) + f(u + ) α(u + U ). i+ 1 i+ 1 i+ 1 i+ 1 V {Ž y p 1 ĩ K gÿ5 &Ž ^ I {Ž yž'ˆv ^ p o. b ' 5œoŠ^ 1Ÿ ^ Vš α(u + i+ 1 K ŒY 9Ž'ˆ?ˆV o DŸ5 IŠ o M o RŒ α sign(q())(v (U, ) + V (U, ) ) g Ÿ Iĩ i+ 1 i+ 1 ²1 ˆf i+ 1 = 1 U i+ 1 ) [ ] f(u ) + f(u + ) α sign(q())(v (U, ) + V (U, ) ). i+ 1 i+ 1 i+ 1 i+ 1 q() ^ pœa I VŠD V 5 Ž' ] 1 Vĩ iˆv 5 ' Ž ô &Ž V V &Ž_Ÿ ĝ & Vš1 Kš1?ˆV Ÿ I g Ž & Ž α ˆV I VŠD O 7 V KŽ' I VŠ^ O I o 7Ž O Ž ˆV, K³ I 1 ^ M 1 ' V 5 LŽ' p I K Ž' I K q() 5 V 1 VšIˆ] & Ž K gÿ D &Š.ž D Ÿ5 1 9Ž?ˆV ^?ĩ K gÿ5 &Ž ^ I? o &Ž R» ŸŽ IŸŸ V IŸ5 I?Ž'ˆV Ž' I V M Ž RŽ' IŠ^ Ž' K 1 ^ α sign(q())(v (U, ) + V (U, ) ) = i+ 1 i+ 1 g Ÿ5 & g 7, I ^ < 5 oÿ5 I gž ˆV _» Ÿ<ŽF & #Ž ˆV 7 cž D Ÿ5 1 9Ž MŽ p Y Ÿ5 Iĩ Y³ 5 ' O & o Ž ˆV, Vĩ 5 ' DŸ5 &Š g ÖŽ o o ` I Ž?Ž p, ^ [ p KĩœVŠ^ C P I ' ˆf i+ 1 = 1 IŠ^Š^ RŒY K Vš Ž ô ^ VŒa FŽ' RŽ?Ž ô c &œvœv ' W K p &Ž ^ I I (ˆt j ) i+ 1 = 1 [ ] f(u ) + f(u + ). i+ 1 i+ 1 (ˆt j ) i+ 1 [ (t j ) + (t i+ 1 j ) + i+ 1 ^ ] I K ] p 7 ^ĩ KŠD &?Œ? W º

18 ŒYô 5 ' I I J Ž ^ I V p g 5 P I ' I I ˆV Kš1Ô I b &œoœv W ^ p RŽ ^ I g $Ž (t j ) ± t i+ 1 j ( i+ 1 ) ' RŽ' ^ 7 P K oš ^ ` &Ž' Ž'ô RŽ?Œa F ^ĩœvšk ĩ 5 Ž I P 1 bž'ˆv ši V 5 &Š Ÿ V IŽY I VŠ^ P 1 #Ž ˆV? Ž' 1, 7 1ŠK Ž' K 1?ô 5 ' b D " o Fž D Ÿ5 1 9Ž FŽ ^ cž'ˆv Y 7 1 V 'Ÿ5 fž ] &Ÿ5 Iĩœo & ' ŒY KŽ ˆ[Ž'ˆV, Vĩ 5 ' ^Ÿ &Š o ²I < I pž'ˆv ' 5 p & ^ V ^ Vš I V Ÿ ]Ž' 5 ' YŒa ( KĩœVŠ^ g 7 ( V KŽ' I VŠK (ˆV Kš1ˆ A I 5 s i,j I o ' _ o I V ' &Ž V ' Ž žw IŠK g RŽ iž'ˆv M ^ Ž ši &Š?ˆV M IœVœV ' W K p RŽ' K 1 I?Ž ˆV ZžW IŠK o &ŽcŽ ô 1 & o ',œ I ^ 1Ž _ I i I VŽ' & ^ V Ž ˆV ' Ÿ 1 o 7Ž ' oÿ<ž' K 1 œv ' Ÿ V ' AŽ ^ 1 7 Ž ( I o 5 'ži iž'ô RŽ ˆV Kš1ˆ I 5 IŸŸ V IŸ5 ^ ši g & & Ž P I I V Ÿ ˆV ĩ I I o Z 5žI M K # D 'Ÿ I Ž' K V KŽ ^? 5 D 7Ža ^ MŽ'ˆV, 7 1ŠK VŽ ^ I Ž'ˆV V I A 1 'Ÿ ^Š^Š^ &Ž I ' œv 1œg 7Ž i D p I K Ž' I K o ƒr J,, # # 4 $ )!!& " $ " $ " $ 3$ " $ 4*. * *.. #" " $ 3$ 4 3 ) (! & 4* &?ô,œv I # I GŽ'ˆV ^ 7 oš9ž` D Y RŽ ô 5 ` 7Ž & ^šiˆž7 P 1 Œ? & O & g [Ÿ & ], P I V g Z ^ I ±?ô O Ž o K 1 Ž' ]Ž ˆV Z 7 7Ž 5 Ÿ5 1 7 i P 1ŠKŠ^ RŒ` CŽ ˆV Z I p D I Ž'ô RŽc P 1,Ž ô OŒb ŠKŠK g &ŠD & oÿ5 M o V KŽ c K» oÿ c 'Ÿ ˆV I ZŽ ˆV y ô &Š^ŠK RŒ Œ? RŽ' 5 [ o RŽ' K 1 o ^ ŒY KŽ ˆ Š^ I RŽZ ' 7Ž[ 7Ž I 7Ž' &Ž IŠ^ Ž' K 1 K 1 Œa LŽ 1 LŽ ô a ' &ĩ b V Ÿ 1ĩœg 7 KŽ ^ I c I VŽ ô a Ÿ5 I o cÿ5 Iĩœ I V 1Ž# & VŽ'ˆV I o 'Ÿ5 Ž 5 ' 1 Y ^ ^ _ IœVœVŠ^ OŽ'ˆV ' Ÿ5 I o 7Ž ' oÿž ^ I ZŽ pž'ˆv, P V oÿž ^ I (b(), ) ŒY 9Ž'îŸ5 ¹OŸ ^ 5 Ž' JŸ IĩœV VŽ P ' I T (h, hu) &Ž', I Ž & ^ & o i 5 o V T b ± i+ 1 (t 1 ) ± i+ 1 ( ) = b ±, (t i+ 1 ) ± = b ± i+ 1 i+. 1 o OŽ ô o o 9Ž' K 1 o O & 9 CŽ ˆV Ž' I V { 7Ž' RŽ' Ÿ5 I o 7Ž' I Ž D? IŸ ˆV. Œa Cĝ WžI c f(u ) i+ 1 j = 1 ( ) g h 1 i+ 1 = 1 ( g h + b i+ 1 i+ 1 ( ) s j V (U, ) (t i+ 1 j ) i+ 1 ) (b g 1 ( i+ + g 1 ) ( h b i+ 1 i+ 1 = 1 ( g c h b + b i+ 1 i+ 1 i+ 1 h i+ 1 ) + g c b i+ 1 ) = 1 g c, h + b = c u = P 1 M 7 1ĩ + b + h + + b + i+ 1 i 1 i 1 ) b i+ 1

19 ŒYˆV ^Ÿ ˆ[ D ` iÿ I g Ž & Ž Kĩ ^Š^ I Yĩ I V ^œv VŠD RŽ ^ I [Š^ I o až f(u + ) i+ 1 j ( ) s j V (U, ) + (t i+ 1 j ) + = 1 i+ 1 g c. 5 gÿ Ž ô cˆv ^šiˆ A I 5 a o o 9Ž' cži 1ŠK Vĩ Ÿ ˆV ĩ YŸ5 I ] g _ V Kš1 V Z P IŠ^Š^ RŒY K Vš Ž ˆV c I g Rž1 F D P 1?Ž ˆV c ô &Š^Š^ RŒdŒ? RŽ? o RŽ' K 1 o # #(' ~,, ), $+ + - ~ƒ, ~ ~ `ô Wž1 a oÿÿ ' 7 P VŠKŠ^ _ 7 ^ši o ˆV ^šiˆ A I 5 $Œa 5Š^Š9 A o IŠ^ I oÿ, o V KŽ ` V 9» 5 ' 5 oÿ5 ` & o o V KŽ [ži IŠ^ Vĩ Œa 5Š^Š9 A o IŠ^ I oÿ Ÿ ˆV ĩ O P I i (Ÿ5Š^ 1 _ & ˆ œ 5 ' g 1ŠK DŸp o IŠ^ I oÿ Š^ WŒ` * Ž ˆV D _ V o ŸŽ ^ I GŒb pÿ 1 o ^ Ž ˆV MšI 5 o 5 &Š^ K³ RŽ ^ I & až ˆV 7 p D I CŽ ]Ž'ˆV Y V Vš1 Ž7Ž [ V ^ 'Ÿ 1 1Ž' K V 1 o &Š^ 5 K ĩ Ž'ˆV V ŠKŠK g &ŠD & oÿ5 ˆV Kš1ˆ I 5 Ÿ ô 5ĩ #ŒY ^ŠKŠ? V Kš1 V c P I $ FŸ5Š^ 1 G & Ÿ I g 7 žr RŽ' K 1,Š^ WŒ` # ' RŽ D 7 P ^ Vš ' 7 VĩœŽ' K 1 o I o?ˆv J o I ^Ÿ$ D? ^ Ž ˆV J ' &ĩ L 1 Ž ô &Ž P I.Ž'ˆV f o o 9Ž' LžI 1ŠK Vĩ Ÿ ˆV ĩ g oÿ ˆ I?Ž'ˆV cž' Ÿ ˆV o ^ V c I L Ÿ5 Iĩœg 7 ^ VšiŽ'ˆV I V Ÿ Ž' 5 ' I o ] ' 5œVŠD IŸ5 K Vš Ž ˆV Cž ^ 'Ÿ 7 KŽ _Ž' 5 ' «K MŽ ˆV C Vĩ 5 ' ^Ÿ &Šo o g Ÿ5 & g 7 Ž ˆV ĩ Ž ô o aÿ & O Ÿ I g 7 D 5 ' I [ši V 5 &Š^ K³ RŽ' K 1 & b o V KŽ iži 1ŠK Vĩ i Ÿ ô 5ĩ 5ž1 5 (Ž ˆV 1 VšIˆ Ž ˆV ( V &Žc ' V ^ i ] ' Ÿ 1 o 7Ž ' oÿ<ž' K 1 & g ži 1ŠKž1 _Ž'ˆV OŸ 1 œošk 5Ž pœ IŠ^ o Iĩ ^ IŠf K y IŸ ŷÿ 5Š^Š P I 'Œa I ' y ^ Ž' Kĩ?ô ĩ Ž'ˆV V i & ' OŽ'ˆV 5 ' P 1 Z I ^ 5 cž' g 7 M P I i _ VŠKŽ K Kĩ o 7 ^ I g &Šoœo 1 VŠK p L ^ MŸ 1 œošk 5 š1 5 Iĩ 5Ž ' I &Ž'ô & OŽ ˆV o V KŽ CžI IŠ^ Vĩ 'Ÿ ˆV 5ĩ 5 I Ž ˆV,Ÿ 1ĩœVŠK DŸ5 &Ž M ' Ÿ5 I o 7Ž ' oÿ<ž' K 1 OœV ' Ÿ V V Ÿ5 I M c WžI 1 ^ ' P 5 až' [ 1 ±. P I Yĩ 1, 5Ž' & ^ŠD? & ĩ Ž'ˆV V?ô c 7 K * ^ 'Ÿ ' Ž' Ÿ ô 5ĩ a P 1 I ^ Ž I CŽ'ˆV P I ' I j t U h (, t)v h ()d I j f(u h (, t)) v h ()d + ˆf j+ 1 v h( ) j+ 1 ˆf j 1 v h( + ) = j 1 I j s(u h (, t), t)v h ()d U h (, )v h ()d = U ()v h ()d. I j I j ^ Ž #Œa M 5 o V M ˆV Kš1ˆ A I 5 c IœVœV ' W ^ p RŽ' K 1 V h (U h, ) = U h+p h Ž' q h V (U h, ) ŒYˆV 5 ' I o I p h q h L œo Ÿ<Ž' K 1 o C & p & o q K Ž G 5 P 1 c 7 oÿ ˆ V h œv ŸŽ ^ I RŒ 1 Vĩ iž ĝ RŽ ^ cž ˆV [ Ž' I V 7Ž' &Ž M IŠ^ Ž ^ I ' RŽ' ^ 7 P K oš U o &ĩ 5Š^ U() + p() = c q()

20 P 1 F Iĩ cÿ 1 o 7Ž' & Ž µ Š^ I Š^ I V ^ oÿ CŽ ô c & o D YŽ ô œv ' Ÿ<Ž' K 1 [ I $Ž ˆV D 7Ž I [ Ž RŽ 7 1ŠK Ž' K 1 U h L œv ' Ÿ<Ž ^ I Z ^ Š^ ^ V I Y Iœ 5 RŽ 1 L P 1?Ž ˆV c ' &ĩ,ÿ 1 o 7Ž' & Ž I i 7 gÿ ˆ{ 7Ž 1 Ž RŽ' [ IŠ^ Ž ^ I ĝ WžI U h () + p h () = c q h () c RŽY 5ž1 5 ' pœg 1 K Ž?ˆV D? KĩœVŠ^ K V h (U h, ) = U h() + p h () = c. q h () d f(u) d j U ' RŽ D 7 P ^ Vš ' 7 VĩœŽ' K 1 o I o JŒb s j (V (U, )) t j () =. aœb 1 VŠ^ o 5,Ž V KŽ' & ošk,ÿ ˆV 1 J? P o oÿ<ž' K 1 WŒYˆV DŸ ˆ_ ˆV I oš^ a `ˆV Kš1ˆ A I 5 (t j ) h IœVœV ' W K p RŽ' K 1 OŽ' & g Z ˆV I oš^ ] ' RŽ D 7 P pž ˆV cÿ5 I o V 9Ž' K 1 t j f(u h ()) j s j (V h (U h (), ))(t j ) h () = constant P 1 G IŠKŠ?ô JŸ 1 o Ž' gÿ<ž ^ I, I ŒY KŠ^Š g J ˆV RŒY C P I "Ž ˆV b 7ô IŠKŠ^ RŒ Œa &Ž 5 " o RŽ' K 1 o (t j ) ^ [Ž ˆV, o [ & GŽ ˆV D ` V o Ÿ<Ž' K 1 h Kĩ ^Š^ I?Ž iž ô c Ÿ5 Iĩœg 7 KŽ ^ I ] I GŽ'ˆV c 7 1 V Ÿ FŽ 5 ' ^ [Ž ˆV _Œb ŠKŠ. o IŠ^ I oÿ Z o V KŽ ž1 IŠ^ Vĩ p Ÿ ˆV ĩ 1 "Œa i V Ÿ 1ĩœg 7 Ž ô p K Ž ši &Š$ & až ô O 7 1 V 'Ÿ5 Ž 5 ' S 1 Ž'ˆV ' ^šiˆžyô & o ] ^ V C I 1 5º s(u h, )v h d I i = ( 1 ( ) s j (V (U h, ) + ) + s i 1 j (V (U h, ) ) t i+ 1 j ()v hd j I i ( + s j (V (U h, )) 1 ( s j (V (U h, ) + ) + s I i i 1 j (V (U h, ) )) ) ) t i+ 1 j ()v hd = ( 1 ( ) s j (V (U h, ) + ) + s i 1 j (V (U h, ) ) i+ 1 j ( ) t j ( i+ 1 )v h( ) t i+ 1 j ( i 1 )v h( + ) t i 1 j ()v h()d I ( i + s j (V (U h, )) 1 ( s j (V (U h, ) + ) + s I i i 1 j (V (U h, ) )) ) ) t i+ 1 j ()v hd.

21 _Ž ˆV œvšd IŸ cž ˆV D F I o 'Ÿ5,Ž ŒY 9Ž'ˆ pô Kš1ˆ 1 ' V 5 IœVœV ' W ^ p RŽ' K 1 [ I f 9ŽCšI ^ži 5 ( 1 j ( ) s j (V h (U h, ) + ) + s i 1 j (V h (U h, ) ) i+ 1 ( (ˆt j ) h,i+ 1 v h( ) (ˆt i+ 1 j ) h,i 1 v h( + ) i 1 ( + s j (V h (U h, )) 1 I i ŒYˆV 5 ' ^ O yô Kš1ˆ 1 ' V 5 O &œoœv W ^ p RŽ ^ I {Ž (ˆt j ) h,i+ 1 P IŠ^ŠK RŒ` ²I & g I P ' I ŸŽ ^ I ˆf i+ 1 = 1 ) (t j ) h ()v h ()d I i ( s j (V h (U h, ) + ) + s i 1 j (V h (U h, ) )) ) t i+ j()v 1 h d 5 o V KŽ ^ I t j ( i+ 1 )?ŒYˆV 7 [ ] f((u h ) ) + f((u i+ 1 h ) + ) α sign(q())(v i+ 1 h (U h, ) + V i+ 1 h (U h, ) ), i+ 1 (ˆt j ) h,i+ 1 = 1 [ ] (t j ) h ( ) + (t i+ 1 j ) h ( + ). i+ 1 7 g &Š^ŠK 1 Œa œ 5 P I ' Ž ˆV CŠ^ Kĩ KŽ 5 a I MŽ ˆV P V oÿž ^ I R Ž b IŸ ˆ Y o VšI 5 Ž Ž' U Ž &ši RŒ, I I o fœv V 'œg 7? D $Ž p & ^ Ž' & ^ Ž ˆV ` 7Ž I Ž RŽ h ` IŠ^ Ž' K 1 ŒYˆV DŸ ˆp &Ž D U o?ˆv I g Rž1 YŠK ^ĩ 9Ž' 5 Jœo Ÿ V ' `Ÿ 1 VŠ^ i Ž' R _Ž ˆV œv 7 7 V (U, ) = constant žw &Ž ^ I & g oÿ ˆ_ 7Ž I c 7Ž' &Ž I & ^ oÿ a 9 ož ˆV ašk ^ĩ 9Ž' 5 f D " o IŸŽ. RŽ ô b ' VŠKŽ ^ Všĩ K o 7 1ŠK Ž' K 1 p W i V ŠK 1 VšI a ' RŽ' ^ 7 P U h V h (U h, ) = constant CŽ ˆV 5 P I ' œv ' Iœ 1 Ž Z o ' 7ŽCŸ ô Ÿ ]ŒYˆV Ž'ˆV 5, I ]Š^ Kĩ KŽ ^ Vš[ ^ C V o 1 7 I (Ž ˆV P V oÿž ^ I V h (U h, ) K 1Ÿ ˆ Y V oši Ž Ž' Ž &ši 1 JŒYˆV ZŽ ô Ÿ 5Š^Š` WžI ' IšI, & V h (U h, ) o 5 V {Ž KĩœVŠ^ 5ĩ 5 ŽiŽ ô ] Š^ Kĩ KŽ 5 & ' [Ÿ5 IĩœV Ž' { V KŽ' I VŠK & g i o I V ' &Ž V ' A b MŸ5 5 Ž' & ^ (Ÿ5 5Š^Š# D g &š1ši [Ž'ˆV ^ CœV ' Ÿ V ' _ V ^ VšMŠ^ ^ KŽ ^ Všg Ž ˆV Ž ô 1Ÿ<Ž g &Š ŠK ^ĩ 9Ž' 5 D Y ^ĩœvšk ĩ 5 Ž ] I o V IŽ` I U h V h (U h, ) ˆV 5 ]Ž'ˆV cš^ Kĩ KŽ ^ VšOœV ' Ÿ V V ^ a ^ œošk Ž OŽ ˆV D aœa W 1 1 K "Ž'ˆV Ž' I V O Ž RŽ U ' RŽ' ^ 7 P K Vš V (U, ) = constant ^ IŸ ˆV. 1 o Ÿ5 5Š^Š.ŒY KŠ^Š g C g IšIšI O I a ' V ^ ^ VšcŠ^ ^ KŽ ^ Všp K oÿ5 V h (U h, ) ^ a 1 g &Š Ž Ž ˆV Iĩ CŸ5 I o 7Ž' I 1Ž 1ô 5 oÿ5 ŒY ^Š^Š o &Ž? g Š^ Kĩ KŽ Z & o OŽ ˆV 5 P I ' `Ž'ˆV C 7Ž I O 7Ž' &Ž U h ^?œv ' 5 'ži?ô ^ J o V D 7ô $Ž'ˆV F Ÿ5 ^œž' K 1 I.Ž ˆV 'Ÿ ˆV 5ĩ CŸ5 I OŸŠ^ & 'Š^ c I o 5 'ži Ž ô &ŽLŽ ˆV F IŸ5Ÿ5 V IŸ _ ^ f p I K Ž' I K o 5 ` # & ošk ^ Ÿ<Ž ^ I ²1 < F &ŠD 7 c 7Ž' &Ž Y 5Š^ RŒ Ž ˆV œv ' Iœ 1 KŽ ^ & ^ ^ VšyŽ'ˆV V IŸŽpœV 7 žr &Ž ^ I & CŽ ˆV 7Ž I 7Ž' &Ž IŠ^ Ž ^ I?ˆV,œV ' I G D ` 7Ž & ^šiˆž7 P 1 Œ? & p & o Z D?Ž ˆV 5 P I ' F 1ĩ 9Ž Ž )

22 1 ƒr J,, # # 4! 4*!. *.. - " " $ $4 ()! & $ #?ô J Ž' 5 o K 1 c & ož ˆV bœb ŠKŠK g &ŠD & oÿ5 ˆV ^šiˆ A I 'Ÿ ˆV 5ĩ Ž FŽ ˆV a 7 7Ž Ÿ I P 1ŠKŠ^ RŒ` JŽ ˆV, ' &ĩ D I bž'ô RŽa P I až ô CŒa 5Š^ŠK o IŠ^ I oÿ o V KŽ ži 1ŠK o 'Ÿ ˆV 5ĩ I ZŽ ˆV y ô &Š^ŠK RŒ Œ? RŽ' 5 [ o RŽ' K 1 o ^ ŒY KŽ ˆ Š^ I RŽZ ' 7Ž[ 7Ž I 7Ž' &Ž IŠ^ Ž' K 1 ^ I Œb,Ÿ & ] 1 7 ^ŠK pž1 5 ' 9 P OŽ ô &ŽYŽ ˆV c 5 o V KŽ ^ I o ` & (t i ) h ŒYô 5 ' (t 1 ) h () = b h (), (t ) h () = (b h ()) b h () ^ až'ˆv L œv ' Ÿ<Ž ^ I M & b() Ž Ž'ˆV C o V KŽ, 5Š^ 5ĩ 1ŽY œo IŸ5 V h ŠK I OŽ f(u h ) j s j (V h (U h, ))(t j ) h = 1 g c ŒYô 5 [Ž ˆV c 7Ž I Z Ž RŽ h + b = c ^ Y ' 1Ÿ ˆV ' RŽ' ^ 7 P K oš 1 V? V K ' 5ĩ 1Ž u = V 5Œ@ &œvœo IŸ ˆ Ž, I VŽ' & ^ iœb ŠKŠg o &ŠD & gÿ ĩ Ž'ˆV V 5 Ÿ &ŠDŸ VŠD RŽ' K VšŽ'ˆV ` I V Ÿ Ž' 5 ' S V 1Ÿ<Ž Š^ RŽCŽ ô i 7Ž I 7Ž' &Ž 1.Œa 1 F ^ Ž ' oÿ P 1 ª 5Ž ˆV V FŽ' ] ' WžI Ÿ5 IĩœV Ž RŽ' K 1 o &ŠfŸ Ž, ^ { ±?ˆV Ž I KŽ ^ I o IŠ ªĩ Ž ô o C I i ˆV RŒY Ž' [ Ÿ &œo I VŠ^ Z I F p & ^ Ž' & ^ V ^ VšyŸ 5 Ž' I K Ž' 1 Ž RŽ' V IŸŽ Š^ I b 9 p &Š^Šaĩ K gÿ5 &Ž ^ I 1 5 KŽ ˆV YŽ ô c K o 9Ž' ^ IŠ"Ÿ 1 o KŽ ^ I ] I YŽ'ˆV, o V Z D YœV ' Rž D, 5 P 5 YŽ'ˆV c ^ Ž 5 ' 7Ž ^ Vš ' 1 5 až' ± 4. Schemes based on well-balanced quadrature * [Ž'ˆV ^ F 7 Ÿ<Ž' K 1 Œb P 1ŠKŠ^ RŒ ±G & g [ V 5žI ŠK 1œ[ I &ŠKŽ 5 ' o &Ž ^ži, &œvœo IŸ ÔŽ' pœb ŠKŠK g &ŠD & oÿ5 K Vš AŽ ^ o I y 1 Œa 5Š^Š9 A o &ŠD & gÿ o 1 RŽ o p ' VŠ^ _ P I Ÿ5 5Š^Ša Wž1 5 &š1 & Ž'ˆV p ' ^ g &Šf g V ^ ^ & g (Š^ 1 V CŽ [ˆV ^šiˆ A I 5 IŸŸ V RŽ' _ g V 9Ž' pži 1ŠK Vĩ 'Ÿ ˆV ŒYˆV DŸ ˆ] ^?Œa 5Š^ŠK o IŠ^ I oÿ O P 1 Yĩ Rž ^ Vš Œa &Ž Y V ^ŠK ^ V ' ^?ô M 7 Ÿ<Ž' K 1 D, 1 š & V ^³5 1 P IŠ^ŠK RŒ` º I I Ž'ˆV O ' ^ g &ŠL I bž'ˆv O o IŠ^ I oÿ ŠD WŒ K Ž ' oÿ5 Z K o o 7 Ÿ<Ž' K 1 V Œb c V o V K V o Ÿ<Ž' K 1 K W iši V 5 &Š.ŸŠD I ' I # 5ĩ D ^ 'Ÿ ' Ž' ` o o 9Ž' Cž1 IŠ^ Vĩ F 'Ÿ ˆV 5ĩ a I o Oš1 Kž1 F g V 9Ž' K 1 O P 1? oÿ ˆ[ Ÿ ˆV ĩ JŽ Œb ŠKŠK g &ŠD & oÿ5 [ P I & ( V ^ŠK ^ V ' K V 7Ž' &Ž I F IŸ ˆ( V V ^Š^ ^ VšZ VŠK Ÿ ] & fž'ˆv V 'Ÿ ˆV `?Ž'ˆV œo K Ÿ 5ŒY D IŽ ˆ ' Ÿ5 I o 7Ž ' oÿ<ž' K 1 & LŽ'ˆV i V RŽ V Ž ˆV i o I V ' &Ž V ' c &

23 Ž Ž Ž Ž 3 ² ˆV b ši VŠD &.œo I 7ŽG & Ž ˆV b 7 D o IŠI ^ Ž ˆV b K Ž' 5 ' K 1 & Ž'ˆV JŸ ŠKŠD W I o CŽ ô J ' Ÿ 1 o 7Ž ' oÿ<ž' K 1 & až ˆV O K oši VŠD & œo I 7Ž, & až ô p 7 D o IŠL RŽŽ ˆV ZŸ 5Š^Šf ^ 1Ž' 5 4 IŸ5 C `Œa O o o O Z o &Ž ^ I & YŒb ŠKŠK A o &ŠD & oÿ5 K oš V o ŸŽ ^ I <?ˆV 5 1 K 7Ž' &Ž,Ž ô &ŽcŽ ˆV 7 ZŸ I g 9Ž' K 1 o ši o I ' I 1Ž' 5 JŽ ô &ŽfŽ ˆV Y Rž1 5 &Š^Š 'Ÿ ˆV 5ĩ? D $Œb ŠKŠK g &ŠD & oÿ5 * o o 7 Ÿ<Ž' K 1 Œa a ' IŠK ^³5 ˆV D Jš1 5 V ' IŠoœV ' Iš1 ' I o ^ Všc V ^Š^ K V ' ^ V Ÿ I g Ž' oÿž ^ I o * Mœo & DŸ VŠD & Œb YŽ' RŽ ˆV ô IŠKŠ^ RŒ Œ? RŽ o RŽ' K 1 o I ZœV IŽ IŽ œ i & o Ÿ 1 o 7 D FŽ'ˆV iš^ I i RŽ, ' 7Ž ^ži. o RŒ` I o,œ? RŽ 7 4 IŠKŠD IŠK ^ši V ŒY 9Ž'ˆ,Ž ô LšI ' ^ f VŸ œž" P 1 G D 'Ÿ I Ž' K V KŽ ^ "ŒYˆV ^Ÿ ˆ & ' V IŽ? IŠK ^ši V pœy KŽ ẐŽ ˆV CšI ' ^ Œa Ÿ5 & MŽ ˆV 5 P I ' o IŠ^ I oÿ FšI V 5 &Š V ^Š^ K V ' ^ V 7 1ŠK Ž' K 1 o P 1,Ž ˆV Z 7ô IŠKŠ^ RŒ Œ? RŽ' 5, 1 g RŽ ^ I g & ( I bž'ˆv pž' Ÿ ˆV V D V cœv 7 Ž ˆV 5 ' cÿ5 I [ 1 V &œvž ZŽ' O &Ž'ˆV 5 Ÿ5Š^ 1? I f o &ŠD & oÿ5,š^ WŒ` * V o Ÿ<Ž' K 1 o Œb, D Ÿ5 o ' Y 7 1 ^ Ž 5 ' 7Ž ^ Všp I œ Ÿ<Ž? & $ Š^ &Ž M 'Ÿ ˆV 5ĩ #%&# ƒ ~ _ gƒ { ~ (, ~g -.+ ~], ƒr~,!, ^ 5 ',Œb,Ÿ5 I o ^ V 5 Y ši 5 o 5 &Š. o IŠ^ I oÿ CŠ^ WŒ K [Ž'ˆV P I ' < 1" Ž U( i, t) 1 U(, t) d i I i R i (t) 1 i I i R(, t) d g Y &œoœv W ^ p RŽ aÿ ŠKŠ WžI ' IšI. & gž ˆV Y IŠ^ Ž ^ I & o cž ˆV? ' ^ g &Š?ˆV Œa aÿ5 I o D 5 7 D D Ÿ5 5Ž, 'Ÿ ˆV 5ĩ? I "Ž'ˆV P I ' d dt U i(t) = R i for i = 1,..., N. Z~,, #%&# 4?Œa 5Š^Š9 A o &ŠD & gÿ p P I Y & Z V ^ŠK ^ V ' K V Ž RŽ ( R i = for i = 1,..., N & %! &( ( V (U, ) V = constant. & Ž & * W oÿ ˆ 'Ÿ ˆV 5ĩ?ĝ WžI, &ŠD 7 i 5 ]Ÿ &Š^ŠK 4. 4 K ˆV ŠK KŽ ' &Ž V ' I ^ ( I `Ž [ D Ž' K Vš1 V D 7ˆ(Ž ˆV P ' I 3 4 Ÿ ˆV ĩ P I YŒYˆV DŸ ˆ :²I R i = O( p ) V

24 P 1 F V KŠ^ ^ V ^ V V RŽ ŒYˆV 5 ' Ž' 5 oÿ5 M I GŽ'ˆV, RžI ' IŠKŠ Ÿ ô 5ĩ p 7ˆV 1 VŠD g ˆV ^šiˆv `Ž ĝ & ]Ž ô _ I & LŸ5 I o ^ 7 K gÿ Ž ˆV 7 1ŠK Ž' K 1 U & g &ŠD 7 OŽ ˆV _Ž Iœ Iš1 ' IœVˆ p W [ g ^ 'Ÿ 1 Ž ^ o I o gœa b Ÿ5 I o D 5 R Ž I V o V 1 Šgĩ I V C RžI Ω R M(Ω) * [ši V 5 &Š ô 1 L &Ž ˆp ' 5š1 VŠD & J I o p 7 ^ Vš1 VŠ^ I fœo & Ž' JŒY 9Ž'ˆp 7œ ŸŽLŽ 1 5 ši o Iĩ 1 7 V ' I 1 & o R Ž'ˆV 5 ' P 1 Y KŽJ D f V IŽb Ž' ' I Kš1ˆŽ7 P I 'Œ? & Ž,š1 Kž1 Y & V ^ VšŽ' Ž ˆV ` ^ Ž ši &Š ^ ^ 1 1 $Ž V o V C cÿ 1 o ^ 7Ž 1ŽJ o 1 RŽ o? P 1 LŽ ô ^ J K Ž ši &Š RŒb ži RŽ'ˆV K¹OŸ VŠKŽ ^ aÿ5 I o &Ža I o O ˆV I oš^ p o &Žb F Wž1 I D 1 & g pœb F g ŠK ^ 5ž1 YŽ ĝ RŽY ^ 'Ÿ g K oš,ž ˆV «K ' ŸŽ Š^ i K Ž' 5 ' p J I I V ' L p I LŽ ˆV FœV ' 5 Ž' &Ž ^ I p & " 5ž1 5 &ŠV ' Ÿ5 5 ŽJŒa 5Š^Š9 A o IŠ^ I oÿ o V KŽ ž1 IŠ^ Vĩ c Ÿ ô 5ĩ Yĩ Ž`Ž' ' I o œo & ' 5 Ž?ˆV ^ œg 1 K Ž I #ž ^ 5Œ D `ŸŠ^ 1 5Š^ M ' 5ŠD RŽ' ZŽ pž'ˆv Œa I O 1 Z V 1 *Ÿ I g 7 žr RŽ' Kž1 œv ' oÿž'? & $ĩ 1 7 V ' a ^ y g I W± g ši ^ ŒY 9Ž'ˆd 'Ÿ ˆV 5ĩ OŒYˆV ^Ÿ ˆ & ' 7 D D Ÿ5 5Ž ^ Ž' Kĩ 1" RŽ' 5 YŒb (ŒY KŠ^Š g 7 ` V VšI 5 VŽ7Ž' pž ^ ^ 'Ÿ ' Ž' K³ RŽ' K 1 o ` I ` K ±"Ž Z 5 ' Kž1 P VŠ^ŠK D Ÿ5 5Ž 'Ÿ ˆV? ^?Œa 5Š^Š V RŒY Z P 1 Ÿ 1 o 7 žr &Ž ^ I MŠD WŒ` 1Ž'ˆV c K¹OŸ VŠKŽ O ^ ] V ^ 'Ÿ ' Ž' K³ K Vš I D P 1 V ^ 'Ÿ 1 1Ž' K V KŽ ^ F ^ Ž ô i IŠ^ Ž' K 1 A bž ˆV o P o oÿ<ž' K 1 f D F o I VŠ^ K o & Ž'ˆV 7 1ŠK Ž' K 1 U ŒY ^ŠKŠ 5ž1 5Š^ IœO ˆV Ÿ L ^ p o V KŽ Ž ^ 1 b 7Ž' RŽ' K 1 o & ' i 7ˆV Ÿ f(u) D Ÿ5 I Ž ^ V I g ` V Ž' pž ˆV & ^ V Vš1 I V ^ &Ž`Ÿ5 I o KŽ ^ I " g &ŽYŽ ˆV _ ˆV Ÿ A U t = Ž'ˆV c ˆV Ÿ p ^? V g Ž' I V I Ž ô 5 & o ZˆV 5 gÿ Ÿ5 Iĩ, ^ ' 1Ÿĩ I V 1 & o f(u) U Vĩœo ` 1 až ˆV c ˆV Ÿ pœo I '? t U(, t) I C o &ŠD & gÿ _ŠD WŒ` g KŽC D C K & ošk _Ž OŽ' RŽ &ŠD 7 [ ^ 'Ÿ 1 Ž ^ o 9Ž' K ^ Ž ô V &Ž' b ŒYô ^Ÿ ˆ] p W O,šI ^ži 5 Z 5 KŽ ˆV ` pž ô,œv 1 VŠ^ 5 ª KŽ' 5ŠK # 1 Y pž ˆV c V ^ 'Ÿ ' Ž' K³ RŽ ^ I * ši V 5 &Š & D Ÿ5 I Ž ^ V KŽ ^ $ ^ _Ž'ˆV a o f(u) I #Ž ˆV Y V &Ž' ŒY KŠ^ŠŠK I _Ž 7 ^ Vš1 VŠ^ I b œg & Ž' K Ž ˆV ]ĩ 1 7 o R?ô MŽ' 5 ' Ÿ & ZŽ ' RŽ' {ŸŠD I ' 7 DŸ5 IŠKŠ^ ž D Ž'ˆV f(u) Ž'ˆV 5 1 M & GŒa O 7 1ŠK VŽ ^ I o? I #Ÿ 1 o 5 'žw &Ž ^ I ZŠ^ WŒ` K oši VŠD & ' 9Ž' K a K [Ž ô I o 'Ÿ5 Ž' 5 ' I Š^ '?Œb ŠKŠ. o o 5 7Ž # " # ~ +(-. ƒ, + - ƒ ƒ p ~ƒr~, +(- * y 1 ' Ž žw IŠK g RŽ iž'ˆv p ^ 1Ž' 5š1 ' IŠf I Ž ˆV & ^ #Œa O 7œVŠ^ KŽ ' 5š1 VŠD & Y & o ] K oši VŠD &?œo I 7Ž?ŒY 9Ž'ˆ[ ' œ Ÿ<Ž?Ž' 1" 5 ši V ĩ 1 7 o R = R reg + R sing. d R ^ 1Ž' 9Ž

25 ² o IŠK 1šI I g 7Š^ I Œa œvš^ 9ŽYŽ'ˆV cÿ ŠKŠ Wž1 5 &š1 b & "Ž'ˆV, ' ^ g &Š.ž ^ & R i = R i reg + R i sing. _ 1 Vĩ Ž ĝ RŽ`Ž'ˆV _ K Vš1 VŠD & Yœo I 7Ž Y & #Ž ˆV _ 7 D o IŠ" & ' cÿ 1 oÿ 1Ž' ' &Ž Z &Ž`Ž ˆV Ÿ 5Š^Š K Ž 7 4 1Ÿ 5 V I o Z V Ÿ 1ĩœg 7 ^ Ž 1 7 R i sing R i sing = Ri 1/+ sing + R i+1/ sing, & o R i = R i reg + Ri 1/+ sing + R i+1/ sing ^ d dt U i(t) = R i reg + Ri 1/+ sing + R i+1/ sing. I bž ô C ' 7Žb I Ÿ<Ž ^ I Œa Fš1 Kž1 F & M RžI 5 'ž K Œ@ˆV RŒ Ž _Ž ' &ŽbŽ'ˆV F ' 5š1 VŠD & b I o pž'ˆv 7 ^ VšI oš^ I aÿ5 Iĩœg 1 V 5 Ž J I Ž ˆV ' ^ V o &Š I MŽ ˆV & K 1 * [?ˆV 5 1 K Œb ši ^ži Lš1 5 V ' IŠI 7 V¹pŸ5 K Ž#Ÿ 1 o KŽ ^ I o GŒYˆV DŸ ˆ,šI o I ' I Ž 5 $Ž'ô RŽ#Ž ô b 'Ÿ ˆV 5ĩ ^ 1 ^ GŒb ŠKŠK o &ŠD & oÿ5 P I, & V ^ŠK ^ V ' K V S 7Ž' &Ž * o o 7 Ÿ<Ž' K 1.Œa i ^ 'Ÿ g Z o _ 5 V & # 'Ÿ ˆV Y & o [ 1 o KŠ^ K o ^ V 7Ž' &Ž a P 1 YŒYˆV DŸ ẐŽ'ˆV,Ÿ 1 o KŽ ^ I o Y I, ' RŽ D 7 o #"$#%&# ~ƒr~ + - ƒ ƒ ~]ƒr~, + - VœVœ 1 CŽ ô &Ž ^ I ^ Ũ() U() b() b() & ' œo K Ÿ 5ŒY D O 7ĩ &Ž'ˆ ' Ÿ5 I o 7Ž ' oÿž ^ I o I bž'ˆv MŸ ŠKŠb WžI 5 &š1 Ū i, b RžI 5 CŽ'ˆV MŸ ŠKŠD i 1 Ž I i (1) i... (p) o 1 RŽ o œg 1 K Ž' [ŒY KŽ ˆV ^ Ÿ 5Š^Š Ž' { o 7 d ^ Ž'ˆV i I 1 g I RŽ' V ^ ²I 5Š^ RŒ * i o o 7 Ÿ<Ž' K 1 Œa ŒY KŠ^ŠF V 5žI ŠK 1œ{ ' Ÿ5 I o 7Ž ' oÿž ^ I o ŒY 9Ž'ẐŽ'ˆV P IŠ^Š^ RŒY K Vš œv ' Iœ 5 Ž º Z~,, # " #! & ( (U, b)!. * V * (Ūi, b i ) 4 4 *. 4. (Ũ, b) (U, b)

26 (U, b) Œa 5Š^Š9 A o IŠ^ I oÿ P I Ž'ˆV p V ^Š^ K V ' ^ V (1) i... (p) i I i K ^ * I o &Š^ Iš1 Ž' Ṽ ( (j) i 7Ž' RŽ' V & o (Ž ˆV O o 1 RŽ o œg 1 K Ž ) := V (Ũ((j) (j) i ), b( i )) V for j = 1... p. ²1 VŠ^ Ž Ž ô c &œvœv ' W K p &Ž C 7 D o IŠ 1 5Ž R := R(Ũ, b) = f(ũ) + s(ũ, b) ^ ²I K( R; I i ) := p j=1 (j) ω j R( i ) 1 i i+1/ i 1/ R()d M 1 g I RŽ' V, I $Ž ˆV &œvœv ' W K p &Ž, ' ^ g &Š RžI YŽ ˆV K Ž' 5 ' K 1 ` & LŸ ŠKŠ R Š^ Ž I i & o ^ R i reg := K( R; I i ).,ŒY ^ŠKŠ" 7Ž g Z o 1 ' &Ž V ' aœy KŽ ˆ[Ž ô P IŠ^ŠK RŒY ^ Vš œv 1œg 7Ž º [~ (,, # # ^ Œb ŠKŠK A o &ŠD & oÿ5 y P 1 _Ž'ˆV ] V ^ŠK ^ V ' K o 7Ž' &Ž V ^ &. &.4 ^ (Ũ, b) R i reg = # " # " # ~, + - ƒ ƒ ~ƒr~, +(-? V RŒ Ž' V Ž FŽ ô? ^ VšI VŠD & $œo I 7Ž$ & ož ˆV? ' ^ g &Š 1 5Žf o G P Ÿ5 o $ Vœ I i & K Ž 7 4 1Ÿ I Z K g V 9Ž' K p IŠF ĩ IŠKŠ YŒa ^ 1Ž' gÿ i+1/ ε I V g V & ' ŠD W I 9Ž'ˆV K yž'ˆv D,Š^ W 1 5.Œb pÿ5 I o 7Ž ' oÿ<ž, I V g yÿ 1 Ž ^ o I o C P V gÿ<ž ^ I g ε, i+1/ + ε) Û ε (y) & g ˆbε (y) VŒYˆV?ô C I o o V & ' OžR &Š^ V Y & ' y = i+1/ ^ ^ Û ε (±ε) = Ũ( i+1/±) = Ũ ± i+1/ ˆbε (±ε) = b( i+1/ ±) = b ± i+1/, ( i+1/

27 ŒYˆV 5 ' Ũ & o b I iž'ˆv OœV ^ Ÿ5 5ŒY D 7 O ĩ IŽ ŷ ' Ÿ 1 o 7Ž ' oÿ<ž' K 1 o C P 1 ^ I W ^ < ` RŒdŒa, g V Ž ˆV c ^ VšI VŠD &?œo I 7Ž? & GŽ ˆV, ' ^ V o &Š. 1 MŽ'ˆV I ^ ž D 1 ŒYˆV 5 ' I R i+1/ sing R i+1/+ sing 1 := lim ε ε 1 := lim ε ε ε ε ˆR ε (y)dy ˆR ε (y)dy, ˆR ε (y) := R(Ûε(y), ˆb ε (y)). Z~,, # # # 1 V! $?Œa 5Š^Š9 A o IŠ^ I oÿ p P I?Ž'ˆV, V ^Š^ K V ' ^ V 7Ž' &Ž Ṽ i+1/ = Ṽi+1/+ = V R i+1/ sing = R i+1/+ sing =. #"$# # ~ ~ ~ƒ - _~ -.- / -.!, ~ gƒr~ c 4 I bœa Fĝ WžI ` ^ Ž ' V oÿ M c o &Ž ^ I M & "Œa 5Š^Š9 A o IŠ^ I oÿ ^ Vš, P 1 b IŸ Ô V o KŠD ^ Vš& A VŠ^ Ÿ i I Ž ˆV i 7 ĩ 9 * D Ÿ5 5Ž, o o 9Ž' ž1 IŠ^ Vĩ _ Ÿ ô 5ĩ µ I _ o K V ^ VšMŽ ˆV Œb Ÿ5 & ( Kĩĩ D RŽ' 5Š^ 7Ž' & ošk D 7ô MŽ ˆV P 1ŠKŠ^ RŒY K oš_ž'ˆv 5 1 [º ~ gƒr~ #%&#. 4 ²1 d dt U i(t) = R i reg + R i 1/+ sing V ( + R i+1/ sing, & R i K reg R i+1/ $ sing R i 1/+ & sing i $ 4 (i 1). 4 *) * V 4& 4. K 1 K! ^ $ (Ũ, b) & *.&! & 3 4 4*4 +,. # " $ 4 ²1 & 4. * * V (,. d dt U i(t).

28 ?ô ^ F o V D ˆV C I o Fš1 5 V ' IŠ# D 'Ÿ o ' 7 ^ I ( & bœa 5Š^ŠK o IŠ^ I oÿ Ÿ ô 5ĩ * Ž'ˆV i V Ž V o ŸŽ ^ I RŒa aœy KŠ^ŠVŸ 1 o Ž' gÿ<ž# 5ž1 5 &Š Ÿ ˆV ĩ #ŒYˆV DŸ ĉ 4 &Š^Š K Ž' Ž'ˆV J P &ĩ Œb 1 C I Ž Š^ ^ V [ ^ [?ˆV I ' 5 K Iĩ I Vš Ž ˆV «Ž ô C ' Ÿ5 5 ŽY 7 Ÿ I g M 1 ' a 'Ÿ ˆV C & o V o 5Žc &Š ±f I o Ž'ˆV iˆv ^šiˆ A I 5 C Ÿ ô 5ĩ F & µ 1 Ž' g $ I 5Ž IŠ & o Ž ˆV i & Ž'ˆV I o ± # # ~ -.,,, ~ )$+(,.-,/ ƒ,.+ ƒw~ ƒ +, * cž ˆV D G ŸŽ ^ I,Œa JŒY ^ŠKŠ ˆV RŒ(Ž'ô RŽ$ 7 1ĩ J ' Ÿ ŽG Ÿ ô 5ĩ 4 &Š^Š1 ^ Ž YŽ'ˆV L P &ĩ 5Œa I 1 Ž Š^ ^ V K Ž ô œv ' 5ž ^ I o ŸŽ ^ I * V o ŸŽ ^ I o K gœb ŒY ^ŠKŠ$Ž'ˆV 5 ' P 1 ž1 5 ' 9 P _Ž ˆV Œb ŠKŠK g &ŠD & oÿ5 K VšCœV ' Iœ 5 Ž ^ $ P 1 $Ž ˆV Ÿ I g Ž' oÿž ^ I &Ž ˆV o 1 RŽ o 1 & & o Ž'ˆV ^ VšI VŠD & FŠ^ W ` ^ Ž ' V oÿ ] K g V 9Ž' K 1 o & o F oÿ cž ˆV D ĝ I 5 d 1 V I `?ˆV I ' 5 ^ KĩœVŠ^ ^ MŽ ô &ŽMŽ ô RžI ' IŠKŠ 'Ÿ ˆV O & ' Œa 5Š^Š9 A o IŠ^ I oÿ 1Ÿ5Ÿ5 I K oš_ž' 5 o V KŽ ^ I ^ I # #.% # ƒr~ ƒ +3,,. ~ ~ -.-, ) ~ƒ, oƒ ] GƒR g, ƒr~ ƒ +3,,. ~ ~ -.-, ) ~1ƒ, oƒ ] g ši ^ ŒY KŽ ˆ & *Ÿ5 IŠKŠ^ $ * *. Ž ô &Ž œv ' 5 'ži,ž'ˆv [ V ^ 7 Ÿ ĝ & 'ši m & g _Ž'ˆV `Œ? RŽ' 5 'ŠK ži 5Š YŒa? P IŠ^Š^ RŒ g o ' 7 ` 5ŽJ &Š ±?ˆV 5 η = h+b 5š1 K [Ž'ˆV, Ÿ 1 o Ž' gÿ<ž ^ I ZœV ' Ÿ5 '? O Ÿ 1 o Ž' gÿ<ž ^ Vš Ž ˆV c V ^ 'Ÿ ô & 'ši Ž ˆV,Œ? RŽ' 5 m Š^ 5ž1 5Š η & o Ž ˆV &Ž Ž I?ô 5 K 1 ± JŽ ˆV g V ]Ž ˆV ] ' Ÿ5 I o 7Ž ' oÿ<ž' b ô 5 ^šiˆž I & h() := η() b().?ô 5 ' P I ' I 1 9.Ž'ˆV F V ^ 'Ÿ ô & 'ši ` I o Ž ô Œ? RŽ JŠ^ 5ž1 5Šg I `Ÿ5 I o 7Ž' I ŽLŽ g ši ^ pœy 9Ž'ˆ Ž ˆV ŒY ^Š^ŠG ' 5 p & ^ Ÿ 1 o 7Ž' & Ž o ^ VšpŽ'ˆV _ ' Ÿ5 I o 7Ž ' oÿ<ž' K 1 * œo & Ž DŸ oš^ I Ž'ˆV _ŠD 1 c RŽC Ž m = ^ $œo 7 ž1 _Ž ˆV ' I Vš1ˆV I VŽ#Ž'ˆV Y ' Ÿ 1 o 7Ž ' oÿ<ž' K 1 1 5ŽL o fĩ 5 Ž' K 1 η = const ^ yœo I ' K VšMŽ ô &Ž I, 5 o V ^ & D Š^ &Ž 5 1 (Ž' V gÿ5 RŽ' o g i Žc &Š h ^ 1 ' V 5 cž' (š1 o & & Ž pœg 7 KŽ ^ž 9Ž y I YŽ ˆV [Œa &Ž _ˆV Kš1ˆ1Ž?ô ^ ^ 1 V M ^ { oÿ ˆ Œ? W OŽ'ô RŽYŽ'ˆV cœa 5Š^Š9 A o IŠ^ I oÿ ^ Vši Š^ &Ž ^ I & D `œv ' 5 'ži 5 M ^ ± <?ô 5 ' P I ' I Ž'ˆV ˆ ' 1 7Ž' &Ž DŸc ' Ÿ5 I o 7Ž ' oÿ<ž' K 1 D FŒa 5Š^ŠK o IŠ^ I oÿ ] P I CŽ'ˆV iš^ I &Ž, Ž 1Ÿ5Ÿ5 I K oš_ž' 5 o V KŽ ^ I ' )$+(,.-.,./ ƒ,+ ƒr~ ƒ +3,, ~ ~ --,. ) ~ƒ, gƒ * { ŸŽ W±#Ž ˆV & Ž'ˆV I V 5ž ^ ( O ' Ÿ 1 o 7Ž ' oÿ<ž' K 1 ŒYˆV ^Ÿ ˆ(œV 7 ž1 ` IŠKŠ# I o

29 Kĩ o 7 ^ I g &Š# V ^ŠK ^ V ' ^ O P I FŽ ˆV 7ô IŠKŠ^ RŒ Œ? RŽ 1 g RŽ ^ I ˆV ^Š^ Œa _ ' P Ž' OŽ ĝ RŽ œo &œ 5 $ P 1 GŽ'ˆV ` 5Ž' & ^ŠD 5 &Œa?Œb 1 VŠD cš^ 1 bž' ši ^ži bž ˆV 1 5, D C ^ i C Ž 7ˆV ŠKŠ C Kž1 5 iÿ 5Š^Š WžI 5 &š1 (U i ) & o [ g IŽ7Ž' I ª P o oÿ<ž' K 1 b() oœa Ÿ ô 7 CŠ^ Ÿ &Š. ' P oÿ žr &Š^ V V i & JŽ'ˆV i V ^ŠK ^ V ' K o SžR & ' ^ I VŠK?ˆV i & ' 5 o V ( ^ĩœvšk DŸ KŽ Š^ ( ]Ž'ˆV p V K ' 5ĩ 1Ž Ž ô &Ž 1 U(V i, )d = U i. i I i 1 Ž, o œg & o P I, [ 1ĩ 5 Žc & o D Ÿ5 o FŽ'ˆV ^ ' 5ŠD RŽ' K 1 Ÿ & ' P VŠ^ŠK º U(V, ) ^ CŽ'ˆV K ži ' _ I V (U, ) ` 5ŠD RŽ ^ I U(V (U, ), ) = U 1 Ÿ ˆV 1 1 `Ž'ˆV V i V V D 1 o 7 `Ž ô Fœo I ' IšI &œvĝ fœv ' Ÿ ^ VšM : W± Š^ Ÿ5 IŠg 1 o KŠ^ K o ^ V ª oÿ ˆpŽ ĝ RŽ Ž ˆV pÿ 1 ' œ I o ^ Vš[Ÿ I g 7 ž1 žr & ' D & VŠ^ ô Wž1 cž ô O I iÿ ŠKŠL Wž1 5 &š1 U(V i, b()) I FŽ ˆV p Vĩ DŸ5 IŠ$ o RŽ' AŽ, D œv Rž1 5 ^ W±$Ž ĝ RŽ G 9 bž ˆV p V &Ž' U i U() & o I K ŠK Ÿ &Š$ V ^ŠK ^ V ' K o b() V (U(), ) V P I &Š^ŠfŸ ŠKŠD Ž ˆV (Ž'ˆV I i 5 P 5 ' 5 oÿ5 b 1 o KŠ^ K o ^ V 7Ž' RŽ' Ÿ5 IĩœV Ž' _ž D 1 Ÿ5 I ^ oÿ D?ŒY KŽ ˆ Ž ˆV až ' V ašk Ÿ &Š V V ^ŠK ^ V ' K V Ž RŽ' i V?ô ' Ÿ5 I o 7Ž ' oÿž ^ I D Ÿ IĩœVŠ^ Ž' ( Š^ ^ KŽ ^ Vš[Ž ô ' Ÿ5 I o 7Ž ' oÿž ^ I Ṽ () ŒY KŽ ˆ 7œ ŸŽcŽ Ž'ˆV M ' P oÿ pžr IŠK V 5 ( ^ ± <?ˆV [ & 'ši Vĩ 5 Ž,Ž'ô RŽ_ 1 V V Ÿ I g Ž' oÿž ^ I, D "Œa 5Š^ŠK o IŠ^ I oÿ C P I i V ^ŠK ^ V ' K V 7Ž' &Ž G D G o RŒ Ž' ' I Kš1ˆ1Ž P I 'Œa I ' º 9 #Ž ˆV, V &Ž' i & ' CšIŠ^ I o IŠKŠ^ p K [ V ^Š^ K V ' ^ V ˆV IŠD V a P I ` š1šk 1 o &Š V ^Š^ K V ' ^ V Ž RŽ V LŽ'ˆV 5 P 1 i IŠKŠ`Ÿ5 5Š^Š^ b I o Ž ˆV ] V ^Š^ K V ' ^ V Š^ Kĩ KŽ ^ 1 ± V i = V 5 P 1 'Ÿ5 bž ô &Ž Ṽ () V ~ -- /(- ~ ƒw~ ƒ +, + ~ ƒw ƒr~ p~ - # * ± µ I 7Ž ' o &Š^ŠD & o 1 1œg ³ I o f & ' C 7Ž' & Ž Ÿ5 IĩœV Ž' K oš <?ˆV ^?š1 Kž1 až'ˆv,šk RŒ I 5 Y 1Ÿ5Ÿ o ' &Ž C V ^ŠK ^ V ' K V Ÿ 1 o Ž' gÿ<ž ^ I Ũ () := U(V i, b()) V i 1 F ^ ŒYˆV ^Ÿ ˆ D i I VŠ^ o I { Vœ I {Ž ˆV žr IŠK V ŒY 9Ž'ˆV K Ž'ˆV i Ÿ5 5Š^Š 1 5ŽO o I 5œ th i & o ˆV 5 oÿ5 V G g o Ž'ˆV ˆV ^šiˆ A I Ÿ5 I ' Ÿ<Ž ^ I µ I 7Ž ' 5Žp IŠ Ÿ 1ĩœV Ž Ũ Ÿ I g Ž' oÿž ^ I Zœg 1ŠK V 1 D &Š Q i () = p( (I j, U j Ũ j ), j = i k,..., i + k) ŒYˆV ^Ÿ ˆ[ ^ 1Ž' 5 'œg 1Š^ &Ž až ˆV c K» 5 ' 5 oÿ5? & GŽ ˆV cÿ5 5Š^Š" WžI ' IšI & o MŽ ˆV cÿ5 5Š^Š" WžI ' IšI U j & YŽ ô MŠ^ RŒ 1 ' V 5 _ ' Ÿ5 I o 7Ž ' oÿž ^ I Ũ ` IŽ MŽ ô &Ž 1 VŠK Ÿ5 I ^ oÿ D _ŒY 9Ž'ˆ 9 U j Ũ j