1 I X (f) := f(x t ) dt. f B

Transcript

1 8 7!"$#!%') ""! -/.$ )! 98/:/; < E < <?A@"@C F IH J@ LKNMPOQK$RPSUT)VXW-YZR6KN[JMPT\VX]9SUY_^!R6`bacYUT)VdT)dfe`gRR6`bY9[hT\YUikjl^$^$SUOUT4RP`gaZYnmo`bpqKrd LT)T$cautvT\Vbpw`bYUKrY x { ) \} <?~ I I!$#!! x \ ƒ < f ˆ J ŠT)MC^Œ ajm Ž Q } \; L) 24JQ 7 6 " #""#"o X ) "# šœ d-rmct)^!r ; X f {Ÿ - < 9 I X f) : Ž )ž $ X fx t ) dt? < < f < ) v < < < l < / < < o < ž!) < J ) < < X ž < µ 4 { µ) t : t } Žr < < <."

2 } < 7 ) ŒŸ Žr < )- ' f µ) t ) µ) { t dt <} and - f µ) Ž t ) { µ) t } dt < ) < - < r < < < < < < ~ < ) fx) exp 2x)) < / ž J ) U < < < 6 ž - < < ' a exp µ) t )) 2 dt < < Q - < µ / ž < µ a/2. < \! 4 < < 9 K ajmciud < r; "ž < < š tqds Kr^!R ^$VbT)dd` ^"T4RP`gacY 7 # < < < : "$# ƒ 7 <.! "!2) Ž P."

3 ƒ W YcR6MPa i_su^!rp`gazy T\YUi ds_pwp T)M aruk MPKrdSUVgRPd LKNMPOQKNR6SUT\VX`bYZR6KN[JMPT\V3S_YU^!RP`gaZY9T\VbdT\d MCd-RU`gR RP`bYU[ R6`pqKrd KNRT\`VgKrind-R6S_iU`bKrda!/d acpqk OQKNMPOQKNR6SUT\V" S_YU^!RP`bacY9T\Vbd!#. ~ - %$ q. $#. A - ). 5".. ~ $E. 54. E2 4 ž <. 5"5. A# ; $ ) U2$4. ' $E ) U2$$ ] K9YUpqT\Y) T\^ T4O_OUMPacT)^%nR6aqOQKNMPO K$RPS9T\VF`bYZR6KN[JMPT\V3S_YU^!RP`gaZY9T\Vbd # # š O_OQKrYUi_`uacY.-œT/ YU`b[ZRR9KraJMPKrpwd ;:;<4?@8A3 C39 E?:F F 6IH 8CJK4ILNMO6PMQEI:NR4IE ; µ) { µ) t : t µt : t } ž < Q µ < o < o µ) 4 -! < ) < $ l < I f) : f µ) ) d < f Ž? " ) < < < 6 < - µ). < ' ) ) - < TS < < ) µ) Ž - < - < exp 2 µ) 6% ) d.."!.

4 ~ ƒ Ž Ž Ž < F ) ~ - P# < - < < < < P% l h ) Ÿ Žr < < ) v < < < Q; 6 4 < < # #. ~ - IP% < < R ž δ) ) 4 v 6 < γ µ w$ < o F - H a Z) : inf{t : Z t a} Ž < a < exp 2 µ) ) d - < : exp 2 µ) ) d - 2 ) Z. %Q < H R δ) ) δ 2 µ) < 2γ µ < ~ d δ2) {R H <} R δ) ) \ < " < "%. % µ. Ÿ $E < R δ) R δ2) ž - - δ δ 2 Ž r Ÿ 2$ 6#!5!" 2"5 # #!U < δ < < Œ\ ~ocÿ Ÿ r <! 5" ž. Œ \ I} P ~ < Ž } < 4 ž. <. d µ) { H <} λ µ) )." 2 b2n% #"%

5 Ž ~ ž < λ - < < 4 \ 2µ 4 µ) ). } d exp2r 3) ) < R 3) < \ž - l ' % < $E )! < 9 < < Ž l - < ) "% <!% % \ < < ž 4 ' < ) < µ). H π/2 R 3) ). X c < < < < 6!2"2 4. % $E < < < ) < < < f < exp 2a µ) ) d µ) { H } /a R δ) ) δ 2µ/a. - R δ) Ž < L L a exp /2) ) ) 2 d < H r /2) ) a r log a)/a). < b $%X \ 2{ a exp /2) ) ) d H /2) } r /2) ) < a r Ž /2 4 < l 4 "%' < < % < δ < 2!) < 4 /2) ž.. < < < < ) a exp µ) ) ) 2 d < µ < ;! < I6$% f' - <." # $% 5$% < < I6$% < $ < # < %

6 < < } Ž 4 Ž #! 2 - # 2 Ÿ < Ž Ž - $ < U IP% % Ž < < ; exp µ) )) 2 d! N ) - 6 < / < coh µ) ) ) 2 d - < br~ ) ; ) c 9 P# < < < 9 b $%' exp 2 µ) ) exp µ) )) 2 d < < ) ~ - %$ < < < ) < - ~ $E %' < 2N# < < o 9 { < < ~ - %$ - < Ž ) m µ q. % % < < < Ž < c $% < X /' Z <!4 < Ž < $ ) Ž { 4 < - ' < ) #"% Ž ' Ž < ; -!5 ' ) < - ) - ž - ) - J!5 J; < <! - ; Ž expξ t ) R t d exp2ξ) I"P% - < {ξ t } ξ x o < {R t } - < ž expx) {R c u : u } { c R u : u } <!) < \ ξ u x u νu ž < ν f x < R ž - ) ν δ 2 ν) %' < < ν < )."

7 } } < Ž I"P% < 4 < < < \. < < ) \ exp 2a µ) ) d µ) { <} < R ž δ 2) < R < δ 2) N < < ; < Ž!$ exp2a µ) ) d µ) { <} < R ž δ 3) ) X Ž - Ž < ) < <. 2. #. \ < < < Ž Ž < < - t {R δ 2 ) /a} d IP "% δ 2 2 µ ) /a. a < µ < a < "P% {R δ 3 ) </a} d I. % δ 3 2 µ ) /a. < a #" #..". % exp 2 µ) ) d µ Q t < $E < H < ' 2$% )- 4 Z µ) t : exp µ) t ) exp 2 µ) ) d t < L S < < _ 2N% o - <.". 5 6 " ~ - \!.$ < \! < $ < œ < ) N < - - ƒ - < < Ž. < \ < f - % "% "%' \!) < < ; I"P% o) Ž < ) b2n% % Ž ) Ž < - 2"2 % < XH ;! < /2) { } a exp /2) ) ) d 2 L /2) /2) { <} ) a exp /2) ) ) d 2.""

8 < < < L /2) ) < Ž /2). ƒ < 4 _Ÿ Ž. < ) #"%'Z #" "% #. % < %' 2) <!) < ; o < ž. )- Ÿ < < < ) < : < F < - < f < )! ) < < l < < < < œ - - \ < < - < }. % ; $E \!P% : < <.S < < ) < < - ) Ž < <!!) < Žr S ~ ƒ $E < < ) % < Ž Ÿ 4 < < < < < F < ' )! < % < <!) < %'oÿ < )! µ) ž < µ R δ) ž δ µ) - ž < µ. < - < ) <."

9 Ref. Functional a µ ) Hitting/occupation time 2) 2) 7) 22) 23) 2) 24) 3) 25) 8) 35) exp 2a µ) ) d H R 2 2µ/a) ) R 2 2µ/a) /a exp 2a µ) ) { µ) } d H /ar 2µ/a) ) exp 2a µ) ) { µ) exp 2a µ) ) { µ) exp2a µ) ) { µ) } d <} d <} d a exp /2) ) ) 2 d H r /2) ) d 2 2µ/a) {R </a} R 2 2µ/a) /a d 2 2µ/a) {R /a} R 2 2µ/a) /a d 22µ/a) {R </a} R 22µ/a) /a r log a)/a)." 5

10 Ref. Functional a µ ) Hitting/occupation time 9) 36) { /2) } a exp /2) ) ) 2 d H r /2) ) r log a)/a) 37) 69) 5) 49) 4) 34) 6) 52) 53) { /2) <} a exp /2) ) ) 2 d H λ a/2) ) a exp /2) )) 2 d H r a/2) ) λ Exp a) r log a) a { µ) <} d H λ µ) ) λ Exp2µ) {R δ2) </a} d H /ar δ) ) δ exp2r 3) ) ) d H π/2 R 3) ) exp 2R 3) ) d H R 2) ) R 3) ) 2γ d γ H /γ ) R 2γ )/γ )) ). "

11 ^ / ƒ M 6 M 4I:;CR 354?M 6 CR J%:3;<4?@8 3 R E E 6PE4 LN@474? 3 4? F M E ; { µ) t : t } ž < µ f Ž / < $ 65 2$# % I f) : f u µ) P#!% ) du < a.. fx) dx <. Q - 4 ) f < / < o' < \ µ) < < < I f) < < l < MPaJO acd` RP`gacY "!$#%#'!)'.-/23!) f : R R :;!< -;?#;!;@A#C;EF.F!HA;AIKJ ;6L'#M%3NO!P!RQ r : lim x fx)?#;!;s?- T 9U6A;76%;EF I : f u µ) )) 2 du. f x) V f x)) 2 dx <. R6 Z W3!H4X9!$ YO!RQ7 Z t : f µ) α t ) t A#CZE[ α t : inf{ : I t} <. \ 72FI]AI 6L_Q:6L f76a f µ) )) 2 d inf{t : Z t r}. Z!)`a-PF!;@b;cFde dz t dβ t f Z t ) dt β!)`gb6l?"n!<?!$? x) : Z f) ) f x)) 2 2 f x) µ f x). I % I %. 4

12 4 f µ) u ) f) u u f f µ) ) d µ) Qž 2 f µ) ) d u u $E f µ) ) d f µ) )) 2 µ) ) d. : ž ž u ž α t Z t Z αt f µ) ) d αt f µ) )) 2 µ) ) d. I f µ) )) 2 and α t f I α α µ) t t ; Ž $ < < µ) t β t : αt Z t Z β t β t t < f µ) ) d t t t Ž < ~ ƒ )) 2 f µ) α )) 2 µ) α ) dα f Z ) d. t < < r lim t fµ) t ) r a.. Z It f µ) t ) < r I H r Z) a... $

13 < - K p T)M5 ; f Ž r \ - Hx µ) ) Z x < " < f µ) )) 2 d inf{t : Z t fx)} a.. ) L f ) Ž < f < ) < < : < ) Ž M µ) t /!! Q : up{ µ) : t} : up{ µ : t} µ. {ρ µ) t : M µ) t µ) t : t } ž $ 24 < < 6 "% R. I65$% < µ < L ; f P% µ) t t ) µ t t. MPaJO acd` RP`gacY f V?!H "6L f.!p!$ FI_I T.A % 6L_Q:6 ;EF f!hkn#:6la?9!hfÿ VW-; VYO!PQ:!HI" ρ µ) A t : t f ρ µ) )) 2 d and α t : inf{ : A t}. d N6L#:9 Z Q!< Z t : f) fρ µ) ) α t R6 t A#CZE[ α t <. \ 7 f76a I : f µ) )) 2 µ) { } d inf{t : Z t r } r : f) r. \ 6a#7. Z!)`a-PF!;@b;U6L#cFde!$% dz t dβ t f f) Z t ) dt L t Z) Z f76a β!hk gb6l?"n!<v!$!)u 'S8F#:6LLV9!)[Y6L#:9 {L t Z) : t } fn!;#c!)#:6llvl7n- /2 ;V:6L Lb Z?!H`?!)"6Lf9!R!;FII..

14 # - K p T)M5 \ < < { % < <!$% < ) < < Ž < $E < f) fρ µ) Žr Z t t ) t t < I A. A < f ρ µ) ) dm µ) d µ) f ρ µ) ) d f )M µ) t t < < α t β t f ρ µ) t α t r t f ρ µ) ) d r " ) 2 t ) 2 f ρ µ) ) µf ρ µ) ) d. < ) d f )M µ) α t α t f f) Z ) d L t Z) L t Z) : f )M µ) ) α ) t < {Z t : t }. < ) t < <!$% Z t < r : f) r α t <. ) < r ) Z A lim f) fρ µ) t ) r t f ρ µ) )) 2 ρ µ) ) d < Ž < - K p T)M5 # < < < r <! r < ) ž < 4 L <. < ) < < < < l <.!2 < <

15 % M 4I R M 9 E4I:;9N M E 8CJKE78 F M M 6X M 4I: R J%:;3;<4? 8 3 CR E!"# Ž ) < < 4 "%o P% Ž )- Ž o4 "%' #. X < _H <. % C2N%' - f 2"2 2 ƒ 2) ) < ) Ž - < 2$%' MPaJO acd` RP`gacY. "!R P?6 <6L%$OI \ '7ZR6 µ) µ a ;UR-H-;?"!HFY'!$N7'!R!$7 -$ T exp 2a µ) ) d H R 2 2µ/a) P% ) f76a f76a ^ R!)` g 79a7-2 2µ/a) 6L#79"3!) 7F9!; AR?6A F )[FI 2 2µ/a exp 2a µ) ) d µ) { H } /a R 2µ/a) ) 2µ/a)!)AR?6A F$?'N'!H R #LVL < µ < a 6L#F$OI 2 2µ/a) {R exp 2a µ) ) d µ) { d. % } </a} f76a R!)AR?6A F?'!H-)-$ "'7!PN!P;$_I 2 2µ/a) /a i %%' f76a K exp 2a µ) ) d µ) { <} R!)AR?6A W<6L?3!H-)-$ ":@!RfF!P-$OI 2 2µ/a) /a " "% {R 2 2µ/a) /a} d 2N% exp2a µ) ) d µ) { d "#"% 22µ/a) <} {R </a} f76a R 22µ/a) /a. - K p T)M 5k < r < 4 - P%. % v C2N%'!#"% < r < ž <!4 - < < \ Ž µ). $#

16 T Ÿ a ; < < < Ž < a %' ) r < < F F < a ""% < r < fx) exp x). f ) < < < Z Ž x) µ) expx). 2 < ~ ƒ ; $ "P%% d Z t d β t 2µ dt Z f). 2 Z t Z ž - - δ 2 2µ P% < < < Ž Ž - < ; I"P% < ξ ž < ν µ. } Ž \ Ž - < " r Žr 4 L!P% < r ν Ž '. < < fx) a < ) exp ax) ) < 4 Ž < A t : t ρ µ) ž. < Ž Z exp 2a ρ µ) ) d < µ I65$% % lž - < ~ ƒ : < < < Z t : a exp a ρµ) )) α t Z t β t µ a t 2 ) a Z ) d L t Z) Z. α < Ž < exp 2a µ) ) d µ) { } A L Z) 4 Z. r. ). H /a Z). exp 2a ρ µ) ) d

17 S < X!"% % < H /a Z) 4 < 6 H /a R 2µ/a) ). F < < ;! H /a Z) < { œ < } F6 $% < < F Ž < {/a Z t : t } ž - 2 2µ/a - /a - - < < /a 4 < Ž R2 2µ/a) < < < ž - < X. r < - ^ i < < Ž. % H /a Z) H R 2 2µ/a) ). H R 2 2µ/a) ) H /a R 2µ/a) ) - R 2µ/a) Ž - < ; F Q ) F % %' 2$% A ) t t < ; exp 2a µ) ) d α ) t : inf{ : A ) t} { exp a µ) ) : t } a α ) t ž - 2 2µ/a - < 4 ; R ) 2 2µ/a) < ž - - exp 2a µ) ) µ) { } d H R 2 2µ/a) ) /a exp 2a µ) ) µ) { α ) d. 2 2µ/a) {R </a}. α ) - } dα) % < "6% < % {R 2 2µ/a) </a} d! $%

18 i 2$% < Ž exp 2a µ) ) µ) { K < ) "#"% < Ž $ µ. < < ž - A 2) t : <} d exp 2a µ) ) µ) { H R 2 2µ/a) ) Ž t α ) d. 2 2µ/a) {R /a} α ) <} dα) {R 2 2µ/a) /a} d.!5$% < ; µ 4 exp2a µ) ) d α 2) t : inf{ : A 2) t}. { expa µ) ) : t } a α 2) t 2 2µ/a ) - R 22µ/a) < r ^ Ž exp2a µ) ) d µ) { <} - d. 22µ/a) {R </a} %. $% /a. - K p T)M 5 ) : A 6 rp% < < Hx µ) ) exp 2a µ) ) d x fx) exp ax)/a. < ; o ž! - -. " H fx) R 2 2µ/a) ). P% <!

19 Ž 2.". <. $r 5 4. < - < < ρ 4 < ;! < < < ). 6% 2 c A 64. C2) a µ /2 < 4 ""% $% % exp 2 /2) ) d /2) { H } ρ) 2 ž - H ) {<} d 9 5$% H) exp 2 /2) ) d /2) { <} {} d. "r 24 "4 γ H ) )) E exp γ {} d 2γ. ž < 2 "A A 65" $% ) E x exp γh )) exp x 2γ) x γ < < - ) < exp 2 /2) ) d /2) { H <} λ ) λ < P% ) ) \. <. "%.". % -. %.$ %F. # < - a 2 a < X { ž ž < ; < ž I"P%. "5 ' Q. "%.". % ž

20 ^ - < R 2 2µ/a) fexpa µ) )) d - < < 4! #! " # a R 22µ/a) a R 2 2µ/a) ) 2 fa R 22µ/a) ) d ) ) 2 f a R 2 2µ/a) < )!"% % % -!) ) < ) b2$%. 2$% %' { 2"5 #! <! MPaJO acd` RP`gacY. \ KR-H-;?"!HFY!;F7;!P /!)-<_-$3 d δ2) {R H </a} /a R δ) ) δ f76a;kg`7.l:- 6a#:9L:?6aUP?6 F$OI ž < R { 2 2µ/a) - Q < R 22µ/a) ). 2N%'. H /a R 2µ/a) ). 5 /a. 8. 2)6% dt 2 2µ/a) {R t </a} dt 2 2µ/a) {R t </a} < o Ž dt 22µ/a) {R t </a}. ; Ž - δ 2µ/a < d. 2N% -. 5"

21 Ž : ' "#!"!"# L I %/ L c < 4 < < < A < - { < F c µ A exp2µµ) )) 2 d - ž c µ A exp2µµ) < < < < )) 2 d 4µ 2 µ /2. < r 2"2 F ~ a exp /2) < < $E ) ) 2 d < < c c µ A exp/2)!4 { < < A. ž )) 2 d ž < < a. 2"2 ) Ž < FH ; < ) < < <. %." % ' Ž ) Ž < ;! - < < < ž < < Ž 4 < < < ) Ž Žr < - MPaJO acd` RP`gacY. # c fa E[ /2) \ : R-H-;?"!HFY!;N:;!P!$:. '-; T a exp /2) ) ) 2 d H r β /2) ) f76a a r log a)/a)?' /2)!)KMg 6L"F!<? ;!; f!p O69!) β AR?6A F$OI /2 2{ a exp /2) ) ) d H /2) } r β /2). % ). 54. #"%

22 f76a a? r?6a? Q?!)%6L#!)[Y gb6l?"n!<vz!$ "!P β/2) O69!) APV6A[ $_I /2 ^ 2{ a exp /2) ) ) d H /2) <} λ β /2).$ % ) f76a a λ!h 9 f:;!<?-h-/ 3!)69! N "!R 5?6:? :6 a) V /2)!)`?!) I β T Ž ž Ž < $E " < < < v < < < F µ /2 ~ a ) fx) : log a exp x) f x) a expx) ). log a exp µ) t )) loga ) < α < u < < < ~ ƒ 2 µ) t d a exp µ) ) 2 A t : t Z u : f α µ) u ) log t t d a exp µ) ) ) 2 <! ) $ d a exp µ) ) d a exp µ) ) ).. $% 2 a a exp µ) α u ) Ž A. Ÿ < Ž Z loga/ a)) < Z u < α u <. } Ž. $% / - < Z Z u Z β /2) u µ 2 ) u ) d expz ). 5$

23 < β ž /2) < /2 4 {' < Z u u r " d a exp µ) ) ) H Z) 2 \ \ < Ž. #"% µ /2 < ). % Ž ). Ž < ) < ) ^ ) < )." %'.S r < < : < < # A Ž < < ) \! < Ž < µ \ 2{ ) 2 a exp µ) ) ) d a exp) µ) <} L µ) ) d < < L µ) ) < v ) 2 a exp) L µ) ) d Z < l < ~ < ~ ƒ µ) Ž. ž < #r a exp ) ) 2 Z d dz 2 Z d 2µZ d. < Z L µ) ) < ' \ µ. 4 a exp ) ) Z a ) Z 2 a exp u) ) Z u d u 2µ 2µ ) a exp u) a exp u) ) 2 Z u du. C : a exp u) ) 2 Z u du c ) < Ž C. S Žr C H Z) < % H Z) <. 5$% µ /2 < C H Z) a exp c ) ) Z c a ) Z 2 β $%

24 < < < β ž Z c < C H Z) 2{ a exp /2) ) ) d C /2) <} H Z) ξ Z /2a ) /' - K p T)M 5 < Hp /2) ) 6 $% : < g2$$% inf{ : β /2) ξ} < \ a ). d a exp /2) ) ) H qβ /2) ) 2 < ) p q log a )/a exp p)). Ÿ - < H ;! <. %." %' < < < H ) < ;! Ž 2"2 < Ž 4 Ž < < Žr ) 4 - ~ ±) a : { /2) R ± } Ž a exp /2) ) ) d. 2 MPaJO acd` RP`gacY. k K c )) F k c K) : E exp k ) a c L /2) ) K ) g2)p% a 8k exp r 2 ) 8k coh r 2 8k ) 2ca ) 8K ) inh r 2 8k )!"$#%' )! -.$ /2 r loga )/a). F k k) E exp k )) E exp k H r β /2) ) a exp /2) exp r ) 2 8k ). 5!2 )) ) ) 2 d

25 F K) E exp K E exp K H λ β /2) ) a a 2 2K 4 /2) )) { <} a exp /2) ) ) d )) 2 - F k ) E exp k ) a Ÿ ž Ÿ < ;!) < Œ ) - ) a < ž ) a ) a E exp ) a 8k coh r 2 /2) )) { } a exp /2) ) ) d 2 k H r β )) /2) ) 8k exp r ) 2. 8k ) inh r 2 8k ) " %% $ $ $ 2"2 h' < < < < - ) < < H ) ±) a exp2 /2) ) /2) { <} d a exp /2) )) 2 exp2 /2) ) /2) { } d. a exp /2) )) 2. "% < µ /2 Q: < R ) { <} d a ) ) 2 a ž. 5$# " H ) ž L /2) ). a < ž { } a ) 2 d w <

26 ; ž < < H ) H ) - ) ) a 4 8 { <} a ) d 2 \ { } a ) d 2 L /2) ) ) a ) < H ) H ) L H ) ) L H ) a ) d 2 L H ) L H ) < ) E exp K ) L H ) u ) ž {} a ) 2 d : {<} a ) 2 d :. H ). E exp K ) a E exp K Hu/2a) /2) ) )) exp L H ) ) a ) d 2 ) L /2) ) u u 4 a) 8 K ) <." %œ - g2$$% % <!4 < < ž < : < < # )) E exp k ) a c L /2) ) K ) a E exp k E exp k X 2) d c X2) a ) 2 X 2) d γ X2) a ) 2. 5 X2) )) ) < < )) 4 α 8K ) g2n "%

27 ž < X ) 2) - < P - ž - - Q γ c 4 a ) b2. % 8K ). ' Q 2" : Ž 2) ƒ 4 ". 2 2N#. < ž - X δ) δ 2 Ž : m < Ž [ ) x t E x exp )) x ) X δ) md) φt) δ/2 exp 2 t] 2 φ ) < v φv) Ž 3 u v t φ v) φ b2"2n% u) φ) md) φ) 4 Ž < uv] < < v t ž φ Ž φ. b2"2n% < φ ma) A < 2.r < E exp A ) 2k d a ) 2 2γ ε {}A) X 2) 2 ] E exp k ε {} < ~{ )) md) < < < Ž ) < r X 2) )) d γ X2) a ) 2 φ). φ - ) b2"2n% < φv) v t < φ v) < φ) 2$ ƒ % ) ) b2n#"% 2k a v) φv) b2 % 2 φ ) % φ ) 2γφ).. 5 g2 %

28 } } < < αα ) 2k < v) a v) α α 2 ± 8k ) : α ±. g2 % v) : v a )α and v) : v a )α A < < φv) : A v) v) \ g2 %' Ÿ œ < ) - < - -) b2n#!% ) 2γ ) ) 2γ ))) φ) w < w 8k /a < Ÿ < L4 - g2)p%. - b2$ "% b2n#!% < l) γ g2. % r loga )/a). - K p T)M 5 k - < Ž r γ % < a )) X E exp δ) ) δ/2 8k k a ) d 2 a ) ) ) δ/2. < Ž < < < δ < 2 \ X ž ) f a )) < v < a E exp k X δ) a ) d 2 8k a ) δ/2 x ) x ) ) δ/2 x v) : v a )α and x v) : v a )α. < b2$ "% l) Ž -. ž < - < < < < Ž %'. F -. 5" g2$ $%

29 Ž!" " ' 4 < ) #"% - b2$5"% % žx. <. { < ) Ž 2. ) < - L < o < H λ < < < ) b2"5$% < - < : ž - Ÿ < Ÿ Ž r < žx < ) b2$5"%'u < < : < < # A < < < Ž < r < r Ž < < ) < r." %. A# < œ r < Žr $E < < 2 žx. %' < Ž F ) < ) - \ < - MPaJO acd` RP`gacY. 6 µ d µ) { H } λ µ) ) f76a!)p?6 [ $@?' µ) λ!)m? 9 f'7;!<?-h-/ "!P; 5?67V76 2µ O!)A;69! N 67?F Qa?69! -$!)N f7'n7' µ). "6a?L ;U/ N! YO \ 6L: 3I FI Ÿ < < < r." %X. #r < - ) < #r d µ) { L <} µ) ) d Z d < Z < l < c ) < dz 2 Z d 2µZ d. < Z L µ) ) < ' \ µ. < < \ Ž C : C. Z u du Z c Z 2 β 2µ. 5"5 #!$% g2$5$% #!$%

30 ~ < β ž g2$5$% "6a VL \?S?R69 - I ) Z µ) t ) < L µ) ) < % < A t : l µ) t t t µ) { } dµ) 2 L t µ) ) µ) < < ; - { µ) } d and α t : inf{ : A t}. 2 L t µ) )!) < µ) α t µ) ) α t α t µ) { } dµ) l µ) α t α t { µ) } d µ α t µ) { d lµ) } α t < F < X : Ž ) α t { µ) d } µ t l µ). < 24 6 P% < < α t Ž ~ β t : α t d µ) { } ž F α t < µ) < Ž α t t l µ) # P% β α t µ t. t A t A Λ t Λ : Λ µ) ) : up{t : µ) t }. { µ) : t } ) α t < A Λ t lim µ) µ) t A α Λ. t Λ 2""

31 ' < ž # P%X α < Ž A β A µa Λ Λ l µ) Λ < l µ) β A Λ µa Λ l µ). A A Λ inf{t : β t µt l µ) }. ž β ž < P < \ 2µ Ž < β l µ) < ) Λ l µ) U ) ) { - A t : t µ) { d and } α t : inf{ : A t} Ž < < µ) ) µ) α t α t α t γ t µt l µ) α t {γ t : t } ž ž Ž $ ) t! " Ž - t < β γ 4 ) ) "# #) l µ) α t l µ) up { γ µ} t µ) { } dµ) l µ) α t up{ γ µ}. < $E < 24 < l µ) ) $E µ) α t 6. % β ) ) < - ;. )- < #" "% - ~ }. F6 2"2 $#" < Ž #" "% Ž < - < ) < Ž - F { g < ' #. % % 2"4

32 ' MPaJO acd` RP`gacY. \ 'KR-H-;?"!HFYR69 - -;O exp 2 R 3) ) d H R 2) ) f76a;kg`7.l:- 6a#:9L:?6aUP?6W<6L $OI #" "% x Λ x R 3) ) : up{t : R 3) t Ž - - 2). 2. # x}. < Ÿ $ < % < ΛxR 3) ) exp 2 R 3) ) d ž A t : t H ) exp 2 ) d exp 2 ) d x. ; Ž α t ž < ; - < {Z t : t } Z t : exp αt ) P - Z exp x) and < Z t < t < A H. x Ž #! "%' A H H Z) t % < /ž " " Ÿ < ) < < < q r < $E r )! MPaJO acd` RP`gacY. \ 'KR-H-;?"!HFY!;N:;!P /'-;3 ' " < < f76a R 3) ) 2γ d H /γ ) R δ) )? ; g`:9l:- 6L#:9a7?6L"AR?6A %<6L $OI γ δ 2γ )/γ ) 2"$ #. %

33 ž < { < < < o ) ž - #. % - < \ #. %X \ Ž H /γ ) R δ) ) γ ) 2 H R δ) ) < #. Ž < #. % Žr < γ ) 2 ) L H R δ) ) d. < < < Z 2) Ẑ 2) d δ 2) δ 2 ) 2γ d. # 2N% δ 3 γ 2 δ 3 % < ) # 2N% - < #C2N% {Z 2) < #"#!% < < # 2$%X Ž ž < u < < r Z 2) d ) 4 < Ẑ 2) < d. %' #"#"% : } { ) 2 Ẑ 2) /) : }. # % X # %' ' Ž #C2N% < Ž x δ 2 < < < ) #C2N% < Z 2) d ) 2γ # % < < Z 2) d ) 2γ x / ) 4 x 2γ 2) Ẑ 2) x # % dx. Ẑ 2) /) d ) 2γ 2 ) < < < - < u ) # % # %' 2".

34 ž } ' - K p T)M 5 < < ) #. %X Ž < R 3µ) < < < Ž - < exp 2 R 3µ) ) d d 2 9ž H R 22µ) ) < 2 dx µ cothµx) d 2 dx x. - #! $% f - 4 < < - # $%X µ. ) < o ) g2n% d δ2) {R H <} R δ) ) < R ž δ) - δ #!5"%X Ž $E ) ) - < #r % #!5"%9 - # #"!% ) # 2N% δ 2 < < Ẑ 2) δ 2 δ 3 ) d δ "% ) Z 2) δ ' #! $% µ < ) #" "%L #!5$% < δ d. $% Z 2) d Z 2) δ δ 2) 2 ) 2γ δ d. P% δ < < Ž - x δ < < < w ) P% < γ δ )/δ 2) ) δ 2) 2 Z 2) d Z x 2) ) 2δ )/δ 2) δ 2 x dx. "% 2δ )/δ 2"!2

35 ; Ÿ < Ž < < < < < ) Ž ž - - δ 2) 2 < Y ) 2) < < \ /2 Z 2) d ) 2δ )/δ 2) δ 2 "% δ 2 δ 2 - Z 2) - < < < < /x 2/δ Z 2) / d Z 2) d 2δ )/δ u) ' < Z 2) Y u 2) du 2δ )/δ < "%' M H 3F C3 OC< N6 8AC< L 4?8 M 6 M 4I:;CR 354?M C6PCR J:;3;<4?@8A3; R E < 9 < < < 9 IP#"% f)d <. < I f) f < - < < 6 < < Ž 7 ZQ < < ) γ µ % < ) x Ψ γ x) E x exp I γf)) E x exp γ ž < )- }! - t { Ψ γ µ) t ) exp γ $ 2"$# < < ) f µ) ) d } : t < ~ "# )) f µ) ) d.

36 ^ MPaJO acd` RP`gacY \?#;!;!)%'S8F#76aL?.!)FY?27F;!) 7 R6?-)- Ψ γ x V t t )) Ψ γ x) E x Ψ γ µ) t ) exp γ f µ). % ) d. 6L_Q:6L lim Ψ 2N% γx). x <. % < " ; < x <!) < ) l < < < < Ψ γ x) E x Ψ γ µ) H ) exp < Ψ γ µ) t ) exp Ψ γ ) Ψ γ ) t γ f µ) ) d γ H < ' ) E exp γ < Ž " < ) Ψ γ ) exp γ f µ) ) d exp γ 2N% - K p T)M #!% < E x exp γ < Ψ S ~ ƒ \ < γ < MPaJO acd` RP`gacY T 9 2EF f!h :YO6:!H-H!R / #3!P;!; I \ 7 H x f µ) ) d )) f µ) ) d Ψ γx) Ψ γ ). )) #"% ) f µ) ) d F t ). ) f µ) ) d Ž )!)!;#A"!)L #;!)'?' 7[!H : x Ψ γ x)!)?n!ff.!p;!pqfs8 F#:6LLV9!)[Ÿ?' #'!)'?9-/@3!)4576a7;!< -; a-pf!;@b; 6L -;: 2 v x) µ v x) γ fx) vx) lim vx). x 2" %

37 Ž Ž Ž Ž Ž < µ) - I t γf) γ t < f µ) ) d 4 Ž b < } 2 % < - % 4 n 2 A5 %'. % < Ψ γ. < ~ 6 %' < < l L - 2N 5. %' < < ' - Ž < < ' f ) - - ϕ γ ψ?[? 7'P?-bL-RN!$N γ.;6l:!hqlv69!<vu#;!;f < < h < < ' c c 2 < < h c ψ γ c 2 ϕ γ. } Ž < Ž < ϕ γ x) P x H ϕ γ ) x ) < ). ψ γ x) ψ γ ) x - < ϕ ψ Ž % f. < µ lim P xh ) < ) Žr ϕ γ ). - ψ γ. \ Ψ γ < 2N% ) - Ψ γ c < Ž ) < ψ γ - K p T)M < - T\pqO_VbK # Ÿ < ; f < Ψ γ < a exp /2) )) 2 d 2"

38 ) % b $%' Ž < < ) < fx) a expx)) 2 2 v x) µ v x) γ a expx)) 2 vx). x ln g) vln ) ) < µ. 2 2 g ) µ 2 ) g ) γ a ) 2 % g) < < < ž ž v. 5!2 2$5 < { Ž - µ /2 < 2γ ηξ) g) ξ a ln a ) < < % < 2γ η a η $% 2γ η. ; β : a/2 2γ < $% ηξ) A exp ) β 2 β)ξ exp ) β 2 β)ξ. < %X ψ) exp β 2 β) 2β ln ) a ) ) 2 β 2 ). a < ψ ) )) E x exp γ a exp /2) )) 2 d expx) ) 2 a) a expx) 2"" a 2 8γ a) 5$%.

39 l < ž 5"% E x exp γ < ) < < 4 "% < X X x ) X exp /2) ) /2) x - < )) x ) 2 a) a X ) d a 2 8γ a). 2 a x $% l)- - 5$% $%%' 5$% x a E exp γ e 2 d )) e 2 d e 2γ 2 Z /2 ) Žr < Z /2 Γ - ˆŽZ < \ / ). F) Ž - žx. < < < < ) 6 L µ) µ - R < < l < < wÿ ) <. µ)%_ ) - ' Ž <. \ - \ < < / ) g2n%' < 24 Œ' : 5$#. - µ). MPaJO acd` RP`gacY f9!r!rq f C 8;#!;A3#.ZSF f) e 2µ P% d V X 3!)4X.!; "!P; ;`YF7'767[6 d 2 µ 2 dx 2 2 f x) ) d fx) dx. $% 2""5

40 ' \ 7 H X) < [I I"!) X <?'N' 6L_Q:6L f76a 2µ. X Ž - < < I f) : X!)bP 7 f µ) ) d µ) { <} b9 f:;!<?-h-/ < / < 2 5 % - 3!HA6.! P% F < x S X x) f) e 2µ d H X) fx ) d "!R 5?6:?:6 ) / < o lim x SX x). < H X) < X <. )) Ψ γ x) : E x exp γi f) 4 < < 2 Ψ x) µ Ψ x) γ ) x) fx) Ψx) lim x Ψx). x < Ž 2). S X Ψ γ x) P x H µ) ) ) P x H µ) ) < ) Ψ γ ) <? / < Ψ γ x) x. < 4 < 2 u x) µ u!. % x) γ fx) ux). ; ) ψ γ ϕ γ < ) 3 Ž "%' ψγ ϕ γ < ) 3 Ž!. %' < f - < Ž < P#!%' Ž "% 246

41 Ž!. % < r 2). < ) - ψ γ. 8 ψ γ ψ γ ψ γ x) x ψ γ x) ψ γ) Sx) S ) ψ γ ) S) ψ γ) x S ) < Sx) exp 2µ x) < µ). x Ψ γ x) \ \ x E exp γ - ) ψ γx) ψ γ ) 2µ ψ γ x) 2µ ψ γ ) ψ γ) f µ) ) { µ) <} d )) F 2µ ψ γ ) 2µ ψ γ ) ψ γ). 2N% ψ γ ) : 2µ ψ γ ) ψ γ) < ' ψ γ f C. 8 < < Ž -!. % l < ψγ Ž X < ψ γ ψγ < ψγ < S ~ ƒ 2 u x) µ f x) ) u x) γ fx) ux) x. 2 fx) ž $E < { ψγ X t HX)) exp γ t H X) } fx ) d) : t < < Ž < 4 f " X x < H X) )) E x exp γ fx ) d ψ γ x) ψ γ ). #"% 24"

42 S Ž < ψ γ x) 2µ e 2µx dx 2µ 2µ ψ γ x) ψ γx)) e 2µx dx 2µ ψ γ ). c X < ) \ 2µ 2N% #"%X H X) )) 2µ e 2µx E x exp γ fx ) d dx - T\pqO_VbK : 2N%' < < < 4 < I : E exp γ < œ exp 2 µ) ) µ) { ž f µ) ) { µ) <} d )) <} d. R 2 2µ) I 2 2µ) {R d a.. } ) 2) ) Ž < I. fx) e 2x < < 2) ž < µ. < 4 Ž µ) I ' < < \ H µ) ) H µ) ) exp 2 µ) ) d < X - < ) ) 2µ. x < µ) x <. Ÿ < Ž exp ) 2 µ) d Hx ˆ µ) ) e 2x Hx ˆ µ) ) ) µ) exp 2 ˆ x) d exp 2 e 2x inf{t : R 2µ) t e x } 24P ) µ) ˆ d

43 < < < ˆµ) : - < < ž ž A inf{t : R 2µ) t < ˆR 2µ) 2µ. ƒ -!) - ˆR 2µ) < µ - 8 < Œ e x } inf{t : e x R 2µ) t } inf{e 2x t : e x R 2µ) e 2x t } e 2x inf{t : ˆR 2µ) t } - e x. exp 2 µ) ) d. µ) { H <} ˆR 2µ) ) ˆR 2µ) e ξ < ξ F < < - P ) 2µ. < < < < ) " % < < Žr < L - R - 2 "A.". %' M 3;9; 8 3 H O3N L54 4IL;MQ8 6 M F E ž < 4 % \ " % ˆR 2µ) < < : < / < < )! #! 2 %' m UKNaJMPKrp #5 W2AR?[V6LZgb6L?"N!<V!$ P?6 <6L $? L H ) )!R -;#a?- ;!) "!P; 6L:f# -;Q7- H ). \ '7 -$#L?-U;!) 6L#79 {L H ) : }!) a-rn!$@b;cfde!h2;76 "6L3a )! {L H ) X 2 X dβ 2 )!)?83!H:N9!$S?- FO?6L g 79a7-6L#:9 ) : } AR?6A;!)FY <6L $? 24.

44 H!)! {L!) $A83!H 7N.!;S?-"N_?6L g`7.l7-6l#:9 "!R H ) ) : } UP?6!)[Y QL?-R L H ) P?!H <6L )! I m UKNaJMPKrp #5 T 9A? ;EF µ)? -$ L ; -;#LV-b;!) t µ) ) F -$Q7- µ) R"!P;@6L:f# :.YE3% L?6L!) t. d%n' ; R?--$#L?-f!H ["-$Q:- µ) Q! \ 7 V f76a L µ) ) : lim t L t µ) ). {L µ) ) : } {Z 2µ) : } {L µ) ) : } {Z 22µ) : } Z δ2µ) δ 2?6LUa-RN!$NUb;cFde dx t 2 X t d t δ 2µX t ) dt 6a7 f#;!pq:-/ "!P '!)N!R! V-QL?-R 9 f'7;!<v-)-/ O!)A;69! N"!P5V67? 8 X :6 µ. J W;3# 5'!;F7;!P;!;:? -;!)'- /_"!R Z 2µ) Z 22µ) Nb;76"!)L 2µ) V 22µ)?6aU!)'N f:n:9i Z Z S : < < ž - < \. vž - < < X ) \ δ 2. ; L R δ) ) 4 < r < ž - R δ) < - < ; % m UKNaJMPKrp #5 kt T 9 E[ 3)!)P?6 F$OI \ : R f76a $V'!RI I {L R 3) ) : } {Z 2) : } 2) N737FO?6a@g`:9a7-6a#:9 b3!h:n9!$ O5AR?6A <6a Z 2) :F!H : ;cfde Z T 9 E[ δ 2?' dx 2 X d 2 d. R δ) {L H R δ) ) : }. \ 7 { Ẑ2) δ 2)δ 3 } : δ 2 f76a Ẑ N7':?83!H:N9!$EV-NFO?6aMg`7.L:- 6.!;OY[ )<6a $ $? 2) X-$7FYE; I 242 $% 5$%

45 Ž H } MQJ%M 6 M 3;<"M E 7 Ÿ Ÿ < < Žr - ž < l % -?65 # #!5! 4v5" ;Q bl~o/~ - } $ ) ) ž - ) h Ž Ž } - $!% # "$! % "$ % % # - $%'?: Ž "5 )!. < Už \ $ l ) H ) } l - %!P. ; <!54!5 4ž ' ) \?65" $# 2 cž _ "$ # %'-! QžX < Jž \ž \ž \!"$r # Cž U S N ž}w µ % ž ƒ. % $ # "! #".! #r U!"!24 < Žc?A@"@! < :!2"". N@! %$ - 7! \ ) ž h ' ) < l < '." v N#! v5 \ _ ~ < Ž } Žc < 3; Ž ' \ < - Ÿ ž Žr ž 7 ' Z 7 - )! % " $ "- ' $ $ % - % Ž #"# % # 5. )žx \! )ž c ".!!~ I} ' "} } S Ž Ž < ž " ) - $! \2$5 2N# #! \!"!4 5 ~ } ' } } S < ' < ž $ " # \24N ' "% 6. 6! )!"" 24P# ) ž

46 } ' 6 ~ } ' } } < ž 6 Žr -!) ~of}! "% "- " $% --- " 2"2)4ž \!"4" \! " Q~ } ' Q} } < Ž \ ž # %.$. %!5"#. )!" " P ~ I} } $E < Ÿ < Ž < ž < $ 6 4!" v65!54" ). ~ } } ž < - \"# 64! 6"#! 4Z65!5 2 : _~ ~o : ž < % - J # 5. v5" "54 P# ~oj~ < < ) < " "$# % '. 5 54Z65"5" ~o_~ < ž % -.". ". 2)")!!4" : 4~! $ % - % $ Ÿ ) < Jž Z65" 2) 6 ƒ Až/J~." -.-- % )ž ' )?65 # 65 ' 7 ƒ?s Ÿ - < ' F - } ~ $ ' 7 ƒ ~o - " $"."---.- $%' -"-."."." $"." " % $ % < \: - ) - 2$# #! \ž v5"54"! \!! : r } 7 < ƒ ž ž - - " $ % " $ $ $ F2. 6?

47 ~ } Ž } 7 ˆ Ÿ < ž } $ % # "$! % "$ % % # - $%' )! ): Žr. # v65"5 \! " ' - % " ' # ". 7 IU < S < Ž Ž ž < Ž % -? Z65" $ 2 ' _J} #$." -- - $ % \ž ' )?65 2)! "# o} 7 7 cq } F < ) ž < # ) #! 65"5 ) ƒ $!% % $" # $.$#! $ $ #.$# $ { ) < < \; v65!2.! ƒ < Ž." $" % "$#% #-! )ž ' 4?5"54"!! 7 ž - " 4Z65!5 7 J; }! # -." $ % " $ $ $ $ c! $#!"# Z65 r. 7 U; - f4 ' ) 7 ) } œ -) - % "P. ; - < )ž ' ) \! 65" $#r. : } o < ) ž - - $! # % " $!)!".. : Z} S!" 2) ) < ž - 9 6$r 6$ 54 24

48 ' S.". ' } }h < ž Ž % -"$ ' - )2 P#. v65"5!54. 2 ' )} } ž 6 2)?65!5"54. # ' P} } ' ž?p#!5 Q $ - 2M X < Ž Q $E 2M X < " "$.! 4 6 Q $E 2M X < v Ž ) P "# )!""4. ' P} } Q $E 2M X < ' 9ž \ < < Ž A.? # \ "4".$ ' c} } QS ~ $E < ' ž < % -. 6!2! )!!.. ' _ } ž v Z~o } -!!" % "- " $% -- 2" "# ž ' ) )! c!"4!. 5 7 )Q } ž Žr ~o!ÿ 6." $" %!Ž $#r ) -"$# - -! "-! $#.$ 4Pž ' ) r65! 4" \ 2$ 7 _Q } ) ž." $ % " $$ $ J#!5 2N "# 2N# Z65! $ 2) ~ov: Ž }! # # % - / \ž ' ) J!" " 2N _ f ) "?P 2 "# 64!v5" $# 2. _! S # $# $ $!. 5 ) <..".". \!!4" 246 )- ž <

49 < < } ƒ 2"2 _ } CS ~ - %$ - 7 / S rÿ - "6F."-- $# $ %.$#." $!"."---.- % "!! " % "- $! X "!2)_Ÿ < 2N# _ } -? ž < $ ) % # " #% J!"$#r 2 ž{ ' % - 42$ 2). 2N )!!. 2 S! < $ # "! #". " 5 54"\ "!2) 2$ ~o Ÿ #$ -." % - % # #! 7 Ÿ $5 o}?8 ' < ){!4. v65!54" #! o} -"$ -"$% # "$! % žx < \ž?65"5$r # o} -q 4 w Ž % -!5!"!! 4X65"5" < #. #" o} ž œ $# "-! "- " "- v... 24v65"5. 9 #. % #. o} $ % # "$! % -$%' " Už ' )! c "4" # 2 o} - % $ % # "$ % "$ % % # - -$%' " %% -"$ -. " $ : Ž v65"5 F 2465