Fundamentals of Signal Processing for Communications Systems

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Ήράκλειτος Αντωνοπούλου
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1 THE INSTITUTE OF ELECTRONICS, INFORMATION AND COMMUNICATION ENGINEERS TECHNICAL REPORT OF IEICE ZFMMSE Abstract Fundamentals of Signal Processing for Communications Systems Kazunori HAYASHI Graduate School of Informatics, Kyoto University, Yoshida Honmachi Sakyo-ku, Kyoto, , JAPAN Various signal processing schemes, which have been originally developed for wireless communications systems, are etensively applied for optical communications systems In order to understand fundamental ideas of those schemes efficiently in a systematic manner, we eplain some basic signal processing schemes for a linear regression model, which is considered as a typical problem in communications systems Key words ZF zero-forcing), minimum-norm solution, MMSE minimum mean-square-error), maimum likelihood, maimum ratio combining, compressed sensing 1 MIMO multi-input multi-output) ZF zero-forcing) MMSE minimum mean-square-error) T H diaga 1 a N a 1,, a N N N tra A deta A I 0 1

2 a p p > = 1 a l p - p = n i=1 i p ) 1 p a 0 a l 0-2 = 1 1) N T C N A = a 1 a N C M N y = y 1 y M T C M y = A + v 2) y A v = v 1 v M T C M A y v R y = Eyy H R = E H R v = Evv H = σ 2 vi ZF ZF ˆ zf = W H zfy = + W H zfv 3) W H zf ZF N M ZF W H zfa = I 4) A M = N) W H zf = A 1 5) A M > N 4) W zf 4) 3) SNR: signal-to-noise power ratio) W zf 3) E Wzfv) H H Wzfv H = tr W zfevv H H W zf = σvtr W 2 zfw H zf SNR W zf 6) W zf = arg min tr W H W st W H A = I 7) W C M N L zf W) = tr W H W + = tr W H W + ϕ H n W H a n e n) L zf W) W H = W + tr W H a n e n )ϕ H n a n ϕ H n 8) = W + AΦ H 9) ϕ n N e n n 1 0 N Φ = ϕ 1 ϕ N L zfw) = 0 W H W zf = AΦ H 7) A Φ = A H A) 1 10) W H zf = A H A) 1 A H 11) M = N W H zf = A 1 5) M = N ZF 2 ˆ ls = arg min C N A y ) A y 2 2 = A y) H A y) = H A H A H A H y y H A + y H y H A y 2 2 = A H A A H y = 0 13) ZF ˆ ls = A H A) 1 A H y 14) ZF 7) 2

3 A ZF noise enhancement) ZF 6) 11) σvtr W 2 zfw H zf = σvtr 2 A H A) 1 15) A A = U Ξ 0 M N) N V H 16) U C M M, V C N N Ξ A Ξ = diagξ 1 ξ N A H A = VΞ 2 V H A H A) 1 = VΞ 2 V H σvtr W 2 zfw H zf = σ 2 v 1 ξ n 2 17) A ξ n M < N 4) W zf ZF M < N y = A y A y = A l 2- ˆ mn = arg min C N 2 2 st y = A 18) L mn) = A y) H ϕ 19) L mn) = 0 ˆ H mn = A H ϕ A 3 3 MMSE ϕ = AA H ) 1 y 20) ˆ mn = A H AA H ) 1 y 21) ZF MMSE MMSE MMSE MMSE MMSE MMSE f f ˆ mmse = fy) 22) J mmse f = E fy) 2 2 y 23) y p y) y y) = E y = p y)d 24) 1, J mmse f =E fy) 2 2 y =E fy) y) + y) 2 2 y = fy) y) E y) 2 2 y + fy) y) H E y) y + E y) H y fy) y) = fy) y) E y) 2 2 y > = E y) 2 2 y 25) ˆ mmse =)fy) = y) MMSE y) 0 MMSE W lmmse W lmmse ˆ lmmse = W H lmmsey 26) W lmmse = arg min E W H A + v) 2 W C M N 2 27) J lmmse W) = E W H A + v) 2 2 = E W H A + W H v ) H W H A + W H v ) = E trw H A + W H v )W H A + W H v ) H = tr W H AE H A H W + tr W H AEv H W tr W H AE H + tr W H Ev H A H W + tr W H Evv H W tr W H Ev H tr E H A H W tr Ev H W + tr E H = tr W H AR A H W tr W H AR + σvtr 2 W H W tr R A H W + tr R 28) 1 3

4 J lmmse W) W H = AR A H W AR + σ 2 vw = 0 29) W H lmmse = R A H AR A H + σ 2 vi) 1 30) MMSE MMSE, y) S S N y ˆ S N P ˆ y) ˆ S N ˆ map = arg ma P y) 31) SN P y) = py )P ) py) 32) P ) ˆ ml = arg ma py ) 33) SN py ) 2) v py ) = 1 π M detr v ep y ) A 2 2 σv 2 34) ˆ ml = arg min S N y A ) A S S S N N 3 5 ) 2) C, a = a 1 y = a + v 36) a M T C M y 1,, y M SNR ) y 1,, y M ) SNR w mrc ˆ mrc = w H mrcy = w H mrca + w H mrcv 37) SNR γ mrc = E wh mrca 2 E w H mrcv 2 = σ2 w H mrcaa H w mrc σ 2 vw H mrcw mrc 38) E 2 = σ 2 Aw = λw w H w H Aw = λw H w A λ = wh Aw w H w ) 38) SNR aa H w mrc aa H aa H 1 w mrc = a 39) γ mrc = σ2 a H aa H a σ 2 va H a = σ2 a H a σ 2 v = a 1 2 σ 2 σ 2 v + a 2 2 σ 2 σ 2 v + + a M 2 σ 2 σ 2 v 40) SNR SNR 36) 2) w mrc ˆ mrc = w H mrcy = w H mrca + w H mrcv 41) 4

5 ˆ mrc SNR γ mrc = E wh mrca 2 E w H mrcv 2 = wh mrcar A H w mrc σ 2 vw H mrcw mrc 42) w mrc AR A H SNR γ mrc = wh mrcar A H w mrc w H mrcr v w mrc 43) w mrc AR A H R v AR A H w = λr v w 3 6 A A y ) v y R y = Eyy H = AR A H + σ 2 vi 44) R y M λ 1 > = λ 2 > = > = λ M, AR A H M ν 1 > = ν 2 > = > = ν M R y M λ m q m λ m q m = R y q m = AR A H + σ 2 vi)q m = ν m + σ 2 v)q m λ m ν m λ m = ν m + σ 2 v, m = 1, 2,, M 45) M > N A R AR A H M N 0 45) λ m = νm + σ 2 v, m = 1,, N σ 2 v, m = N + 1,, M 46) rank A H = N A H N A H ) M N q N A H ) R y q = σ 2 vq q σ 2 v M N 46) M N q N+1,, q M N A H ) q H ma = 0, m = N + 1,, M 47) Q S = q 1,, q N Q N = q N+1,, q M RQ S ) RQ N ) 2 R ) ) 47) RQ N ) = N A H ) q 1,, q M RQ S ) = RQ N ) ) RA) = N A H ) RQ S ) = RA) RQ N ) = RA) 47) A A 3 7 N M < N y = A 3 5 M < N y = A ˆ l0 = arg min 0 st y = A 48) l 0 l 0 - NP l 0 - l 1 - ˆ l1 = arg min 1 st y = A 49) A M < N ϵ > 0 ˆ cl1 = arg min 1 st A y 2 2 < = ϵ 50) µ > 0 50) ˆ l1 l 2 = arg min µ A y 2 2 ) 51) 51) l 1 - l 2 - l 1 l 2 Lasso least absolute shrinkage and 5

6 selection operator) 6 ˆ lasso = arg min A y 2 2 st 1 < = t 52) 50), 51) ) s r H v r = Hs + v 53) H h h L h 1 h 0 h L hl H = 0 0 C M M h L h 0 h 0,, h L DFT: discrete Fourier transform) π 1 1 2π 1 M 1) D = 1 j j 1 e M e M M 2πM 1) 1 2πM 1) M 1) j j 1 e M e M H h 0, h 1,, h L H = D H ΛD 54) λ 1 λ M = MD h 0 h L 0 M L 1) 1 2 ZF 5) 55) r = D H ΛDs + v 56) ŝ = W H r 57) W H = D H ΛD) 1 = D 1 Λ 1 D H = D H Λ 1 D 58) MMSE 30) ) 1 W H = σs 2 H H σs 2 HH H + σvi 2 ) 1 = σs 2 D H Λ H D σs 2 D H ΛΛ H D + σvi 2 1 = D H Λ H ΛΛ H + σ2 v I) D Ess H = σ 2 s I D W H ZF MMSE IDFT D H DFT D FFT: fast Fourier transform) ZF MMSE MLSE: maimum likelihood sequence estimation) 4 2 σ 2 s r = Hp + v 59) p = p 1 p M T H 59) r = Ph + v 60) Λ = diagλ 1 λ M 2λ 1,, λ M T, 6

7 P p 1 p M p 2 p 2 p 1 p 3 P = p M p M 1 p 1 h H 61) 60) h H 53) s Ehh H MMSE ZF P 3 ZF 2 60) h 4 3 MIMO MIMO 2) N M s C N r C M H C M N v C M r = Hs + v 62) 62) MIMO 62) MIMO H MIMO 11 MIMO MIMO 4 4 N M d 1 3 Ehh H MMSE d sinθ 0 1 d θ incoming plane wave antenna M-1)d n θ n d sin θ n d sin θn ϕ n = 2π η 63) η 1 s 1, s 2,, s N m r m = s ne jϕnm + v m 64) v m 0, σ 2 v r = r 1 r M T = v = v 1 aθ) = 1, e j2π d sin θ η s n aθ n ) + v 65) v M T,, e N 1)d sin θ j2π η A = aθ 1 ) aθ N ) s = s 1 2) T 66) s N T r = As + v 67) s A N M M > N 47) q H ma = 0, m = N + 1,, M 68) q m R = Err H M N Sθ) = 1 M m=n+1 ah θ)q m 2 69) θ, θ = θ n n = 1,, N) 0 MUSIC multiple signal classification)

8 5, 8 10 ) z = + jy j: ) fz) z z fz) = 1 fz) z 2 j fz) y fz) z = fz) + j fz) y z z = z z = 1 z z = z z = 0 ) ) A 1) A 2) A 3) A 4) z = z 1 z M T, z m = m + jy m z H = M + j y 1 + j y 2 + j y M A 5) a, A ) z H a = a A 6) z H ) z H Az = Az A 7) z H ) T a = a A 8) ) T A = A + A T A 9) ) fz) f = f 1 f 2 + j f y 1 + j f y 2 f M + j f y M A 10) Z Z H tr Z H tr f = 2 f z H A 11) ) Z H A = A A 12) ) Z H AZ = AZ A 13) 1,,, ,,, vol 43, no 4, pp , DL Donoho, Compressed sensing, IEEE Trans Inf Theory, vol52, no4, pp , April EJ Candes and T Tao, Decoding by linear programming, IEEE Trans Inf Theory, vol51, no12, pp , Dec EJ Candes, J Romberg, and T Tao, Robust uncertainty principles: eact signal reconstruction from highly incomplete frequency information, IEEE Trans Inf Theory, vol52, no2, pp , Feb R Tibshirani, Regression shrinkage and selection via the lasso, J R Statist Soc B, vol58, no1, pp , K Hayashi, M Nagahara, T Tanaka, A User s Guide to Compressed Sensing for Communications Systems, IEICE Trans Commun, Vol E96-B, No 03, pp , Mar L Schwartz, 6,, S Haykin, Adaptive Filter Theory, 3rd Edition, Prentice Hall, T Kailath, A Sayed, B Hassibi, Linear Estimation, Prentice Hall, MIMO R O Schmidt, Multiple Emitter Location and Signal Parameter Estimation, IEEE Trans Antennas and Propag, Vol AP-34, Vo 3, pp , ,, Fundamentals Review, Vol 8, No 3, pp , Jan

Σχετικά έγγραφα

Feasible Regions Defined by Stability Constraints Based on the Argument Principle

Feasible Regions Defined by Stability Constraints Based on the Argument Principle Ken KOUNO Masahide ABE Masayuki KAWAMATA Department of Electronic Engineering, Graduate School of Engineering, Tohoku University