Οδηγός λύσης για το θέμα 2

HTML
DOWNLOAD

Μέγεθος: px

Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Οδηγός λύσης για το θέμα 2"

Ἰουλία Σπανού
6 χρόνια πριν
Προβολές:

1 Ειδικά Θέματα Συνορθώσεων & Εφαρμογές 8 ο εξάμηνο, Ακαδημαϊκό έτος Οδηγός λύσης για το θέμα 2 Χριστόφορος Κωτσάκης Τμήμα Αγρονόμων και Τοπογράφων Μηχανικών Πολυτεχνική Σχολή, ΑΠΘ

2 Τι προσπαθούμε να κάνουμε ; Να επιλύσουμε ένα αντίστροφο πρόβλημα: y( t) K( t, t ) x( t ) dt xt ( )? μέσω διακριτοποίησης της παραπάνω εξίσωσης και συνόρθωσης ενός σετ σημειακών μετρήσεων του σήματος y(t). (*) τέτοια προβλήματα εμφανίζονται συχνά σε πρακτικές εφαρμογές και οδηγούν πάντα σε ιδιαίτερα ασταθή προβλήματα συνόρθωσης γραμμικών μοντέλων! Σημειώσεις για το μάθημα Ειδικά Θέματα Συνορθώσεων και Εφαρμογές (8 ο εξάμηνο) Χ. Κωτσάκης, 218

3 Τι προσπαθούμε να κάνουμε ; Θεωρητικό μοντέλο αντίστροφου προβλήματος K (t, t ) x(t ) dt y (t ) Διακριτοποίηση + παρατηρήσεις με σφάλματα y Ax + v = y x A v Σχηματική μορφή των εξισώσεων παρατήρησης για τον προσδιορισμό άγνωστου σήματος από φιλτραρισμένες μετρήσεις. Σημειώσεις για το μάθημα Ειδικά Θέματα Συνορθώσεων και Εφαρμογές (8ο εξάμηνο) Χ. Κωτσάκης, 218

4 Τι προσπαθούμε να κάνουμε ; Θεωρητικό μοντέλο αντίστροφου προβλήματος Διακριτοποίηση + παρατηρήσεις με σφάλματα y( t) K( t, t ) x( t ) dt y Ax + v Ζητούμενο: η εκτίμηση του άγνωστου σήματος και η ανάλυση της ακρίβειας εκτίμησης από διαφορετικές μεθοδολογίες συνόρθωσης Σημειώσεις για το μάθημα Ειδικά Θέματα Συνορθώσεων και Εφαρμογές (8 ο εξάμηνο) Χ. Κωτσάκης, 218

5 Αρχείο δεδομένων (DataSet_2.xls) πίνακας σχεδιασμού Α (4 1) Σημειώσεις για το μάθημα Ειδικά Θέματα Συνορθώσεων και Εφαρμογές (8 ο εξάμηνο) Χ. Κωτσάκης, 218

6 Αρχείο δεδομένων (DataSet_2.xls) διάνυσμα παρατηρήσεων y (4 1) Σημειώσεις για το μάθημα Ειδικά Θέματα Συνορθώσεων και Εφαρμογές (8 ο εξάμηνο) Χ. Κωτσάκης, 218

7 Αρχείο δεδομένων (DataSet_2.xls) διάνυσμα αληθινών τιμών των παραμέτρων x (1 1) Σημειώσεις για το μάθημα Ειδικά Θέματα Συνορθώσεων και Εφαρμογές (8 ο εξάμηνο) Χ. Κωτσάκης, 218

8 Διαγνωστική ανάλυση των δεδομένων Σημειώσεις για το μάθημα Ειδικά Θέματα Συνορθώσεων και Εφαρμογές (8 ο εξάμηνο) Χ. Κωτσάκης, 218

Η μορφή του πίνακα σχεδιασμού Α 5 1 15 2 25 3 35 4 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1-16 -14-12 -1-8 -6-4 -2

9 Η μορφή του πίνακα σχεδιασμού Α Σημειώσεις για το μάθημα Ειδικά Θέματα Συνορθώσεων και Εφαρμογές (8 ο εξάμηνο) Χ. Κωτσάκης, 218

Η μορφή του πίνακα Ν 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 4 6 8 1 5 1 15 x 1-3 Σημειώσεις για

10 Η μορφή του πίνακα Ν x 1-3 Σημειώσεις για το μάθημα Ειδικά Θέματα Συνορθώσεων και Εφαρμογές (8 ο εξάμηνο) Χ. Κωτσάκης, 218

Η μορφή του πίνακα Ν (1 πρώτες γραμμές) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 4 6 8 1 12 14 16 18

11 Η μορφή του πίνακα Ν (1 πρώτες γραμμές) x 1-3 Σημειώσεις για το μάθημα Ειδικά Θέματα Συνορθώσεων και Εφαρμογές (8 ο εξάμηνο) Χ. Κωτσάκης, 218

Η μορφή του πίνακα Ν (2 πρώτες γραμμές) 2 4 6 8 1 12 14 16 18 2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 4 6 8 1 12 14 16

12 Η μορφή του πίνακα Ν (2 πρώτες γραμμές) x 1-3 Σημειώσεις για το μάθημα Ειδικά Θέματα Συνορθώσεων και Εφαρμογές (8 ο εξάμηνο) Χ. Κωτσάκης, 218

Η μορφή του πίνακα Ν (3 πρώτες γραμμές) 5 1 15 2 25 3 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 4 6 8 1 12 14 16 18 x

13 Η μορφή του πίνακα Ν (3 πρώτες γραμμές) x 1-3 Σημειώσεις για το μάθημα Ειδικά Θέματα Συνορθώσεων και Εφαρμογές (8 ο εξάμηνο) Χ. Κωτσάκης, 218

14 Ιδιοτιμές του πίνακα Ν+k I λ i k = k = Standard NEQ Matrix Regularized NEQ Matrix Eigenvalue index Σημειώσεις για το μάθημα Ειδικά Θέματα Συνορθώσεων και Εφαρμογές (8 ο εξάμηνο) Χ. Κωτσάκης, 218

15 Ιδιοτιμές του πίνακα Ν+k I λ i k = 1-3 k = 1-4 k = k = Eigenvalue index Σημειώσεις για το μάθημα Ειδικά Θέματα Συνορθώσεων και Εφαρμογές (8 ο εξάμηνο) Χ. Κωτσάκης, 218

16 Signal-to-noise ratio (SNR) 15 παρατηρήσεις SNR i y i y i Observation index Σημειώσεις για το μάθημα Ειδικά Θέματα Συνορθώσεων και Εφαρμογές (8 ο εξάμηνο) Χ. Κωτσάκης, 218

17 Ενδεικτικά αποτελέσματα συνόρθωσης Σημειώσεις για το μάθημα Ειδικά Θέματα Συνορθώσεων και Εφαρμογές (8 ο εξάμηνο) Χ. Κωτσάκης, 218

18 Εκτίμηση σήματος 1 8 Least-squares estimate Ridge estimate 6 4 xˆi Parameter index Max = , Min = , Mean = 3.29, RMS = Max = 189.3, Min = , Mean = 3.121, RMS = Σημειώσεις για το μάθημα Ειδικά Θέματα Συνορθώσεων και Εφαρμογές (8 ο εξάμηνο) Χ. Κωτσάκης, 218

19 Εκτίμηση σήματος Least-squares estimate Ridge estimate True signal 4 xˆi 2 Max = , Min = , Mean = 3.29, RMS = Max = 189.3, Min = , Mean = 3.121, RMS = Max = , Min = , Mean = 3.798, RMS = Parameter index Σημειώσεις για το μάθημα Ειδικά Θέματα Συνορθώσεων και Εφαρμογές (8 ο εξάμηνο) Χ. Κωτσάκης, 218

20 Ακρίβεια εκτίμησης σήματος 6 5 STDs of least-squares solution STDs of ridge regression solution 4 x ˆi Parameter index Οι τυπικές αποκλίσεις των εκτιμήσεων μέσω ΜΕΤ είναι 4-17 φορές μεγαλύτερες από τις αντίστοιχες τυπικές αποκλίσεις των αιχμηρών εκτιμήσεων! Σημειώσεις για το μάθημα Ειδικά Θέματα Συνορθώσεων και Εφαρμογές (8 ο εξάμηνο) Χ. Κωτσάκης, 218

εκτιμήσεις του σήματος έχουν σημαντικά μεγαλύτερο SNR από τις αντίστοιχες εκτιμήσεις μέσω ΜΕΤ!

21 Signal-to-noise ratio (SNR) 6 5 SNR of least-squares estimate SNR of ridge regression estimate Εκτιμήσεις παραμέτρων SNR i xˆ i xˆ i Parameter index Οι αιχμηρές εκτιμήσεις του σήματος έχουν σημαντικά μεγαλύτερο SNR από τις αντίστοιχες εκτιμήσεις μέσω ΜΕΤ! Σημειώσεις για το μάθημα Ειδικά Θέματα Συνορθώσεων και Εφαρμογές (8 ο εξάμηνο) Χ. Κωτσάκης, 218

22 Ακρίβεια εκτίμησης σήματος 6 5 STDs of least-squares solution STDs of ridge regression solution Bias of ridge regression solution 4 x ˆi bias (ξ i ) Parameter index Η παρέκκλιση (bias) των αιχμηρών εκτιμήσεων είναι αρκετά μικρότερη από τις τυπικές τους αποκλίσεις Σημειώσεις για το μάθημα Ειδικά Θέματα Συνορθώσεων και Εφαρμογές (8 ο εξάμηνο) Χ. Κωτσάκης, 218

23 Ακρίβεια εκτίμησης σήματος (μέσα τετραγωνικά σφάλματα) Mean Square Errors of least-squares solution Mean Square Errors of ridge regression solution τάξεις μεγέθους MSEM C xˆ ξξ T Parameter index mse = mse = Σημειώσεις για το μάθημα Ειδικά Θέματα Συνορθώσεων και Εφαρμογές (8 ο εξάμηνο) Χ. Κωτσάκης, 218

24 Συνορθωμένα σφάλματα (residuals) Σημειώσεις για το μάθημα Ειδικά Θέματα Συνορθώσεων και Εφαρμογές (8 ο εξάμηνο) Χ. Κωτσάκης, 218

25 Συνορθωμένα σφάλματα 2 Residuals of least-squares solution Residuals of ridge regression solution 15 1 vˆi Observation index Max = 172.9, Min = -135., Mean = -.576, RMS = Max = , Min = , Mean = , RMS = 53.4 Σημειώσεις για το μάθημα Ειδικά Θέματα Συνορθώσεων και Εφαρμογές (8 ο εξάμηνο) Χ. Κωτσάκης, 218

26 Συνορθωμένα σφάλματα 2 Residuals of least-squares solution Residuals of ridge regression solution 15 1 vˆi Observation index v T Pv = v T Pv = Σημειώσεις για το μάθημα Ειδικά Θέματα Συνορθώσεων και Εφαρμογές (8 ο εξάμηνο) Χ. Κωτσάκης, 218

27 Συνορθωμένα σφάλματα 5 4 HISTOGRAM of the residuals of least-squares solution v T Pv = HISTOGRAM of the residuals of ridge regression solution v T Pv = Σημειώσεις για το μάθημα Ειδικά Θέματα Συνορθώσεων και Εφαρμογές (8 ο εξάμηνο) Χ. Κωτσάκης, 218

28 Παρέκκλιση (bias) αιχμηρών εκτιμήσεων σήματος Σημειώσεις για το μάθημα Ειδικά Θέματα Συνορθώσεων και Εφαρμογές (8 ο εξάμηνο) Χ. Κωτσάκης, 218

29 Παρέκκλιση αιχμηρών εκτιμήσεων 2 Ridge regression estimate Bias of ridge regression estimate 15 1 xˆi i Parameter index Max = 189.3, Min = , Mean = 3.121, RMS = Max = 36.28, Min = , Mean = -.148, RMS = Σημειώσεις για το μάθημα Ειδικά Θέματα Συνορθώσεων και Εφαρμογές (8 ο εξάμηνο) Χ. Κωτσάκης, 218

30 Παρέκκλιση αιχμηρών εκτιμήσεων 25 2 Ridge regression estimate Bias of ridge regression estimate Parameter index Σε ορισμένα σημεία η παρέκκλιση έχει παρόμοια (ή και λίγο μεγαλύτερη) τιμή με την αντίστοιχη εκτίμηση του σήματος. Συνολικά όμως, η λύση αιχμηρής εκτίμησης παραμένει στατιστικά καλύτερη από την κλασσική λύση ελαχίστων τετραγώνων. Σημειώσεις για το μάθημα Ειδικά Θέματα Συνορθώσεων και Εφαρμογές (8 ο εξάμηνο) Χ. Κωτσάκης, 218

31 Παρέκκλιση αιχμηρών εκτιμήσεων 2 15 rms = HISTOGRAM of ridge-regression parameter estimates rms = HISTOGRAM of ridge-regression parameter biases Σημειώσεις για το μάθημα Ειδικά Θέματα Συνορθώσεων και Εφαρμογές (8 ο εξάμηνο) Χ. Κωτσάκης, 218

32 Προσεγγιστικός υπολογισμός της παρέκκλισης (bias) Διάνυσμα παρέκκλισης (αυστηρή σχέση) 1 ξ k( N ki) x αληθινές τιμές παραμέτρων Διάνυσμα παρέκκλισης (προσεγγιστική εκτίμηση) ˆ 1 ξ k( N ki) xˆ τιμές παραμέτρων με βάση τις αιχμηρές τους εκτιμήσεις Σημειώσεις για το μάθημα Ειδικά Θέματα Συνορθώσεων και Εφαρμογές (8 ο εξάμηνο) Χ. Κωτσάκης, 218

33 Προσεγγιστικός υπολογισμός της παρέκκλισης (bias) Bias of RR solution (rigorous) Parameter index Bias of RR solution (approximate) Max = , Min = , Mean =.18, RMS = Max = 36.28, Min = , Mean = -.148, RMS = Σημειώσεις για το μάθημα Ειδικά Θέματα Συνορθώσεων και Εφαρμογές (8 ο εξάμηνο) Χ. Κωτσάκης, 218

34 Προσεγγιστικός υπολογισμός της παρέκκλισης (bias) Bias of RR solution (approximate) Bias of RR solution (rigorous) Parameter index Σημειώσεις για το μάθημα Ειδικά Θέματα Συνορθώσεων και Εφαρμογές (8 ο εξάμηνο) Χ. Κωτσάκης, 218

35 Τεχνική έκθεση o Περιγραφή της διαδικασίας επίλυσης του θέματος και όλων των σχετικών αλγορίθμων που χρησιμοποιήθηκαν. o Παράθεση των αποτελεσμάτων σε κατάλληλους πίνακες με τη βοήθεια συνοδευτικών γραφημάτων (όπου κρίνετε ότι είναι απαραίτητο). o Παράθεση του σχετικού κώδικα ή των υπολογιστικών φύλλων που χρησιμοποιήσατε. o Αναλυτικός σχολιασμός των αποτελεσμάτων. Σημειώσεις για το μάθημα Ειδικά Θέματα Συνορθώσεων και Εφαρμογές (8 ο εξάμηνο) Χ. Κωτσάκης, 218

Σχετικά έγγραφα

Οδηγός λύσης θέματος 2

Ειδικά Θέματα Συνορθώσεων & Εφαρμογές 8 ο εξάμηνο, Ακαδημαϊκό έτος 216-217 Οδηγός λύσης θέματος 2 Χριστόφορος Κωτσάκης Τμήμα Αγρονόμων Τοπογράφων Μηχανικών Πολυτεχνική Σχολή, ΑΠΘ Τι προσπαθούμε να κάνουμε