Σήματα και Συστήματα ΙΙ

Transcript

1 Σήματα και Συστήματα ΙΙ Ενότητα 3: Διακριτός και Ταχύς Μετασχηματισμός Fourier (DTF & FFT) Α. Ν. Σκόδρας Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Τεχνολογίας Υπολογιστών Επιμέλεια: Αθανάσιος Ν. Σκόδρας, Καθηγητής Γεώργιος Α. Βασκαντήρας, Υπ. Διδάκτορας

2 Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε άλλου τύπου άδειας χρήσης, η άδεια χρήσης αναφέρεται ρητώς. Το περιεχόμενο της παρουσίασης (κείμενο, εικόνες, γραφήματα) δημιουργήθηκε από τον διδάσκοντα στα πλαίσια σύστασης του υλικού διδασκαλίας του ανοικτού μαθήματος Σήματα και Συστήματα ΙΙ, εκτός αν αναγράφεται διαφορετικά. 2

3 Χρηματοδότηση Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό έχει αναπτυχθεί στα πλαίσια του εκπαιδευτικού έργου των διδασκόντων καθηγητών. Το έργο «Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο Πανεπιστήμιο Πατρών» έχει χρηματοδοτήσει μόνο τη αναδιαμόρφωση του εκπαιδευτικού υλικού. Το έργο υλοποιείται στο πλαίσιο του Επιχειρησιακού Προγράμματος «Εκπαίδευση και Δια Βίου Μάθηση» και συγχρηματοδοτείται από την Ευρωπαϊκή Ένωση (Ευρωπαϊκό Κοινωνικό Ταμείο) και από εθνικούς πόρους. 3

4 Σκοπός Μελέτη Κυκλική Ολίσθηση Κυκλική Γραμμική Συνέλιξη Αντιστροφή διάταξης δυαδικών ψηφίων Υπολογιστική Πολυπλοκότητα 4

5 Σχέσεις ανάλυσης και Σύνθεσης Σημάτων Ο πίνακας αυτός είναι από το βιβλίο: Introduction to Digital Signal Processing, J.G. Proakis, D.G. Manolakis, Macmillan Publishing,

6 Διακριτός Μετασχηματισμός Fourier Discrete Fourier Transform (DTF) 6

7 7

8 Παράδειγμα 1: όπου or 8

9 Η μετατόπιση στον χρόνο επηρεάζει μόνο τη φάση! 9

10 Η μετατόπιση στον χρόνο επηρεάζει μόνο τη φάση! Εικόνα Fourier Πλάτος Fourier Φάση 10

11 Παράδειγμα 2: x(n) = δ(n) 11

12 Παράδειγμα 3: 12

13 FFT Interactive Demo: 1D Case 13

14 FFT Interactive Demo: 2D Case 14

15 FFT Interactive Demo: 2D Case 15

16 Circular shift of a sequence of finite length is equivalent to the linear shift of its periodic extension 16

17 Κυκλική Ολίσθηση: Προς ποια κατεύθυνση; Μετατόπιση προς τα δεξιά του άξονα των χρόνων, δηλαδή προς θετικό n, ισοδυναμεί με κυκλική ολίσθηση αντίθετη προς την κίνηση των δεικτών του ρολογιού. 17

18 18

19 19

20 Κυκλική Συνέλιξη 20

21 Ιδιότητες Διακριτού Μετασχηματισμού Fourier 21

22 Διακριτός Μετασχηματισμός Fourier σε Μορφή Πίνακα W N =e j2π/n είναι η Ν-ιοστή ρίζα 22

23 Παράδειγμα 4: 23

24 και έτσι ή αλλά 24

25 για 25

26 26

27 27

28 FFT 8 σημείων 28

29 FFT 8 σημείων- Μια εναλλακτική απεικόνιση x(0) x(4) x(2) x(6) x(1) x(5) x(3) x(7) X(0) X(1) X(2) X(3) X(4) X(5) X(6) X(7) a b 29

30 DIT FFT 8 σημείων- Διάγραμμα Ροής 30

31 Αντιστροφή της Σειράς των bits 31

32 In-place computation means storing the results back in the original data locations. In-place computation requires either input or output data shuffling. Shuffling / Scrambling / Bitreversal (for radix-2) / Digitreversal (for any radix) are all synonymous. 32

33 Υπολογιστική Πολυπλοκότητα Computational Complexity 33

34 FFT ή DFT O FFT είναι απλά ένας αποτελεσματικός αλγόριθμος υπολογισμού του DFT! 34

35 FFT Decimation in Frequency (DIF) Algorithm 35

36 8-point DIF FFT - Διάγραμμα Ροής 36

37 16-point DIF FFT - Διάγραμμα Ροής 37

38 16-point DIF FFT - Διάγραμμα Ροής 38

39 Γραμμική Συνέλιξη Συνέλιξη x (n) x (n) x ( l) x (n l) x (n l) x ( l) l l *Σημείωση: Η γραμμική συνέλιξη δυο ακολουθιών μήκους Ν 1 και Ν 2 οδηγεί σε μια ακολουθία μήκους Ν 1 + Ν 2-1. Κυκλική Συνέλιξη N *Σημείωση: Ένας ίσος αριθμός δειγμάτων απαιτείται για την κυκλική συνέλιξη. 1 N1 x (n) x (n) x ( l) x (n l) x (n l) x ( l) l0 l0 39

40 Συνέλιξη Ο πολλαπλασιασμός δύο DFT οδηγεί σε κυκλική συνέλιξη των ακολουθιών στο πεδίο του χρόνου. Για να δημιουργήσουμε ένα FIR φίλτρο απαιτείται γραμμική συνέλιξη. Η μετατροπή μιας κυκλικής συνέλιξης σε γραμμική συνέλιξη επιτυγχάνεται μέσω των αλγορίθμων ονομάζονται OVERLAP-ADD και OVERLAP-SAVE. 40

41 Παράδειγμα Γραμμικής Συνέλιξης 41

42 Γραμμική Συνέλιξη μέσω DFT 42

43 43

44 Χρήση του FFT συνεπάγεται την περιοδική εφαρμογή του τετραγωνικού παραθύρου 44

45 Τετραγωνικό Παράθυρο 45

46 Διαδικασία υπολογισμού του MF ενός συνημιτονικού σήματος με χρήση τετραγωνικού παραθύρου το οποίο περιέχει ακέραιο αριθμό κύκλων 46

47 Η παραθύρωση προκαλέι διαρροή συχνοτήτων! Process of transforming a cosine wave having a noninteger number of cycles in the window The leakage error comes about because the periods of the cosine wave are not harmonically related to window length, namely, there is a non-integer number of cycles in the window. 47

48 Συνήθεις συναρτήσεις παραθύρου 48

49 Κατηγορίες Σημάτων & Μετασχηματισμών Fourier Μετασχηματισμός Fourier Σήματα συνεχή και μη περιoδικά Σειρές Fourier Σήματα συνεχή και περιoδικά Μετασχηματισμός Fourier Διακριτού Χρόνου Σήματα διακριτά και μη περιoδικά Διακριτός Μετασχηματισμός Fourier Σήματα διακριτά και περιoδικά 49

50 Σχέσεις ανάλυσης και Σύνθεσης Σημάτων Ο πίνακας αυτός είναι από το βιβλίο: Introduction to Digital Signal Processing, J.G. Proakis, D.G. Manolakis, Macmillan Publishing,

51 Περιοδικά Μη περιοδικά ΣΧΕΣΕΙΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ & ΣΥΝΘΕΣΗΣ ΣΗΜΑΤΩΝ x(t) k Συνεχούς Χρόνου 1 k 2 k e jk t jkot x(t) e dt o 1 x(n) 1 n0 1 k 0 j2 N X(k) W X (k) x(n) W W N Διακριτού Χρόνου e nk N nk N 1 jt x(t) ( ) e d 2 jt ( ) x(t) e dt 1 j jn x(n) ( e ) e d 2 j ( e ) x(n) e n jn 51

52 Σημείωμα Χρήσης Έργων Τρίτων Το Έργο αυτό κάνει χρήση των ακόλουθων έργων: Εικόνες/Σχήματα/Διαγράμματα/Φωτογραφίες Διαφάνεια 6: J.G. Proakis, D. G. Manolakis: Digital Signal Processing: Principles, Algorithms and Applications, Prentice- Hall, Διαφάνεια 7, 20: Α. Σκόδρας, Β. Αναστασόπουλος: Ψηφιακή Επεξεργασία Εικόνων και Σημάτων, ΕΑΠ, Διαφάνεια 44, 45, 46, 47, 48: R.W. Ramirez: The FFT: Fundamentals and Concepts, Tektronix,

53 Σημείωμα Αναφοράς Copyright Πανεπιστήμιο Πατρών, Αθανάσιος Σκόδρας. «Σήματα και Συστήματα ΙΙ, Διακριτός και Ταχύς Μετασχηματισμός Fourier (DTF & FFT)». Έκδοση: 1.0. Πάτρα Διαθέσιμο από τη δικτυακή διεύθυνση: opencourses.php 53