ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ - ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΜΑΘΗΜΑ : HΛΕΚΤΡΟΜΑΓΝΗΤΙΣΜΟΣ Ι

Transcript

1 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ - ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΜΑΘΗΜΑ : HΛΕΚΤΡΟΜΑΓΝΗΤΙΣΜΟΣ Ι (Υποχρεωτικό ου Εξαμήνου) Διδάσκων : Δ.Σκαρλάτος, Επίκουρος Καθηγητής ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ # 5 : ΤΟ ΗΛΕΚΤΡΙΚΟ ΔΙΠΟΛΟ Ορισμός : Με τον όρο «ηλεκτρικό δίπολο» εννοούμε ένα σύστημα που αποτελείται από δύο ισα και αντίθετα σημειακά φορτία (+q, -q) που απέχουν μεταξύ τους απόσταση α, όπως φαίνεται στο Σχήμα A, όντας υποχρεωμένα να μετακινούνται ή να περιστρέφονται μαζί σαν να ήταν ενωμένα με μια νοητή ράβδο μήκους α. Κατά συνέπεια ορίζεται αμέσως το πιο χαρακτηριστικό μέγεθος του ηλεκτρικού διπόλου, που ονομάζεται διπολική ροπή, ως : p = qa σε Cb m (1) Η διπολική ροπή ενός ηλεκτρικού διπόλου είναι διανυσματικό μέγεθος με την απόσταση α μεταξύ των δύο σημειακών φορτίων να θεωρείται ως διάνυσμα με φορά εξ ορισμού από το αρνητικό στο θετικό φορτίο. Στην παραπάνω έκφραση το φορτίο λαμβάνεται κατ απόλυτη τιμή. Πολλές φορές το δίπολο αναπαριστάται με το διάνυσμα της διπολικής ροπής του. Ηλεκτρικό πεδίο του ηλεκτρικού διπόλου : Προκειμένου να μελετήσομε το ηλεκτρικό πεδίο της συγκεκριμένης διάταξης θεωρούμε το μέσον της απόστασης μεταξύ των δύο φορτίων του διπόλου σαν την αρχή ενός συστήματος αξόνων ΟΧΥΖ και διαπραγματευόμαστε το πρόβλημα σε σφαιρικές συντεταγμένες.θεωρούμε ένα τυχαίο σημείο του χώρου Ρ(χ,y,z) με διανύσματα θέσεως,, ως προς τα φορτία +q, -q και την αρχή του συστήματος συντεταγμένων (το μέσον της απόστασης α) αντίστοιχα. Το δυναμικό του ηλεκτρικού πεδίου του διπόλου στο σημείο Ρ θα είναι : q 1 V = V+ q + V q = q = 4 πε 1 4 πε 1 Ιδιαίτερο πρακτικό ενδιαφέρον παρουσιάζει η συμπεριφορά του διπόλου σε αποστάσεις 1 πολύ μακρυνές συγκρινόμενες με την απόσταση μεταξύ των φορτίων του α. Στην περίπτωση αυτή μπορούμε να γράψομε με βάση το Σχήμα ότι : 1 acosθ και Κατά συνέπεια για >>α το δυναμικό του ηλεκτρικού πεδίου του διπόλου στο σημείο Ρ θα είναι : 1 qa cos 1 p cos V θ θ, a = () 1 Σχήμα Α : Το ηλεκτρικό δίπολο 1

2 Κατά συνέπεια για >>α η ένταση του ηλεκτρικού πεδίου του διπόλου στο σημείο Ρ θα είναι : V 1 V 1 V pcosθ psinθ E = V = θ φ E + θ, a θ sinθ φ () Παρατηρούμε ότι η ένταση του ηλεκτρικού πεδίου του διπόλου έχει μόνο και θ συνιστώσα και όχι φ-συνιστώσα. Ένας εναλλακτικός τρόπος γραφής της έκφρασης για την ένταση του ηλεκτρικού πεδίου του διπόλου εξάγεται εκφράζοντας την ηλεκτρική διπολική ροπή του συναρτήσει της γωνίας θ ως εξής : a a a cos sin cos sin cos sin = θ θθ a = a θ a θθ qa = qa θ qa θθ p = pcosθ psinθθ psinθθ = pcosθ p Κατά συνέπεια θα έχομε ότι : pcosθ pcosθ p 1 1 ( p ) E = ( ), p cos p E = + = p θ i a (4) Το πλεονέκτημα της παραπάνω έκφρασης είναι το ότι δίνει το ηλεκτρικό πεδίο του διπόλου με μια έκφραση ανεξάρτητη του συστήματος αναφοράς και συναρτήσει μόνο της απόστασης από το κέντρο του και της γωνίας που αυτή σχηματίζει με τον άξονα του διπόλου. Δυναμικές γραμμές και ισοδυναμικές επιφάνειες : Η εξίσωση των δυναμικών γραμμών του πεδίου του διπόλου εξάγεται εάν λάβομε υπόψιν ότι το στοιχειώδες μήκος σε σφαιρικές συντεταγμένες δίδεται από την έκφραση : d = d + dθϑ+ sinθd ϕφ Επομένως κατά τα γνωστά η εξίσωση θα είναι : p cosθ E = = = cotθdθ cotθdθ ln C1 ln sinθ C ln ln sin θ C psinθ θ θ = + = + = + d d d dθ E d = Csin θ Στο επόμενο Σχήμα B εικονίζονται δυναμικές γραμμές και ισοδυναμικές επιφάνειες του ηλεκτρικού πεδίου του διπόλου σε σύγκριση με τα αντίστοιχα ενός «φυσικού» διπόλου, δηλαδή ενός συστήματος ίσων και αντίθετων σημειακών φορτίων που δεν είναι υποχρεωμένα να κινούνται μαζί.τα δύο πεδία φαίνονται πρακτικά ίδια σε μεγάλες αποστάσεις από την πηγή τους.

3 Σχήμα Β : Δυναμικές γραμμές (εστιγμένες) και ισοδυναμικές επιφάνειες (συνεχείς) του πεδίου ενός ηλεκτρικού διπόλου (Σχήμα από το βιβλίο των Μ.Nayfeh M.Bussel: Electicity and Magnetism, Wiley,1985). Το ηλεκτρικό δίπολο σε εξωτερικό ομογενές Ηλεκτρικό Πεδίο : Στην περίπτωση που το δίπολο τοποθετηθεί παράλληλα στις δυναμικές γραμμές ενός ομογενούς ηλεκτρικού πεδίου,όπως φαίνεται στο Σχήμα Γ(α), η συνισταμένη δύναμη και η αντίστοιχη ροπή στρέψεώς του είναι μηδέν. Στην περίπτωση που αρχικά ο άξονας του διπόλου σχηματίζει τυχαία γωνία θ με τις δυναμικές γραμμές του ομογενούς πεδίου, όπως φαίνεται στο Σχήμα Γ(β), τα δύο φορτία που το συγκροτούν δέχονται ίσες και αντίθετες δυνάμεις με μηδενική συνισταμένη αλλά μη μηδενική συνισταμένη ροπή, η δράση της οποίας τείνει να το περιστρέψει και να το προσανατολίσει παράλληλα προς τις δυναμικές γραμμές. Η συνολική ροπή των δύο δυνάμεων ως προς κάθετο άξονα που διέρχεται από το μέσον της απόστασης μεταξύ των φορτίων του διπόλου,που θεωρείται και η αρχή του συστήματος συντεταγμένων,θα είναι : τ = F + ( ) F + a a με μέτρο : τ = F sinθ + Fsinθ = afsinθ = aqesinθ = pesinθ τ = p E (5) (+) α α/ θ θ (-) (α) (β) (γ) Σχήμα Γ : Το δίπολο σε εξωτερικό ομογενές Ηλεκτρικό πεδίο

4 Από την παραπάνω έκφραση αναδεικνύεται και το νόημα της εισαγωγής του μεγέθους της ηλεκτρικής διπολικής ροπής του διπόλου p = qa. Αποτελεί ένα μέτρο του πόσο εύκολα ή δύσκολα μπορεί να περιστραφεί ένα ηλεκτρικό δίπολο σε δεδομένο εξωτερικό ηλεκτρικό πεδίο, γεγονός που εξαρτάται από το φορτίο κάθε σημειακού φορτίου που το απαρτίζει και την μεταξύ τους απόσταση. Ένα άλλο μέγεθος που μπορούμε να υπολογίσομε είναι το έργο της ροπής του ζεύγους δυνάμεων που ασκείται στο δίπολο για την περιστροφή του από μια αρχική θέση όπου ο άξονάς του σχηματίζει γωνία θ με τις δυναμικές γραμμές του πεδίου σε μια τελική θέση όπου ο άξονάς του σχηματίζει γωνία θ με τις δυναμικές γραμμές του πεδίου, όπως φαίνεται στο Σχήμα Γ(γ). θ dw = τ dθ = pe sinθdθ = pe sin θdθ = pe(cosθ cos θ ) Το έργο αυτό θα ισούται πρακτικά με τη διαφορά δυναμικής ενέργειας του διπόλου μεταξύ αρχικής και τελικής του θέσης. Συγκεκριμένα : U U = pe(cosθ cos θ ) Θεωρώντας ως στάθμη μηδενικής δυναμικής ενέργειας την θέση του διπόλου στο πεδίο για την οποία θ = π/, η έκφραση για την δυναμική του ενέργεια σε μια τυχαία θέση που καθορίζεται από μια τυχαία γωνία θ θα είναι : U = pecosθ U = p E i (6) θ [Παρατήρηση: Το γεγονός ότι το στοιχειώδες έργο της ροπής των δυνάμεων που ασκούνται στο δίπολο ετέθει dw = -τdθ οφείλεται στο ότι η δράση της τείνοντας να παραλληλίσει τη διπολική ροπή στις δυναμικές γραμμές του πεδίου οδηγεί σε ελάττωση της γωνίας θ] Το ηλεκτρικό δίπολο σε εξωτερικό ανομοιογενές Ηλεκτρικό Πεδίο : Στην περίπτωση όπου το δίπολο βρίσκεται σε εξωτερικό ανομοιογενές πεδίο, όπως στο Σχήμα Δ, οι δυνάμεις που δέχονται τα δύο φορτία που το συγκροτούς είναι διαφορετικές κατά μέτρο, διεύθυνση και φορά δίνοντας μη μηδενική συνισταμένη. Συγκεκριμένα με βάση το Σχήμα Δ θα έχομε ότι : F = F+ + F = q E( + a) E( ) Εάν η απόσταση a μεταξύ των δύο φορτίων του διπόλου είναι σχετικά μικρή (a ), η παραπάνω έκφραση μπορεί να προσεγγιστεί με την : E E E E E E F q a + ay + az = p + py + pz F = ( p i ) E y z y z Κατά τον ίδιο τρόπο η δυναμική ενέργεια του διπόλου θα είναι : Για a μπορούμε να γράψομε : U = qv( + a) qv( ) V V V U q a + ay + az = q( V) ia = pi( V) U = pie (8) y z (7) 4

5 Παρατηρούμε ότι η δύναμη παίρνει πολύπλοκη μορφή,ενώ η δυναμική ενέργεια έχει την ίδια έκφραση με την περίπτωση του ομογενούς πεδίου. Σχήμα Δ : Το δίπολο σε εξωτερικό ανομοιογενές Ηλεκτρικό πεδίο Ενέργεια αλληλεπίδρασης μεταξύ δυο ηλεκτρικών διπόλων: Θεωρούμε δύο ηλεκτρικά δίπολα με διπολικές ροπές p 1 και p τα κέντρα των οποίων απέχουν μεταξύ τους απόσταση πολύ μεγαλύτερη από τις αποστάσεις μεταξύ των δύο ίσων και αντίθετων φορτίων σε κάθε δίπολο, όπως εικονίζεται στο ακόλουθο Σχήμα Ε. Ζητείται η ενέργεια της μεταξύ τους αλληλεπίδρασης. Η ενέργεια αλληλεπίδρασής τους θα είναι ουσιαστικά η δυναμική ενέργεια του διπόλου στο ηλεκτρικό πεδίο του διπόλου 1 (ή ισοδύναμα η δυναμική ενέργεια του διπόλου 1 στο ηλεκτρικό πεδίο του διπόλου ). Το ηλεκτρικό πεδίο του διπόλου 1 σε μακρυνές αποστάσεις από το κέντρο του δίδεται από την έκφραση (4): 1 E = ( p i) p και είναι ανομοιογενές. Κατά συνέπεια η δυναμική ενέργεια του διπόλου στο πεδίο του 1 βάσει της σχέσεως (8) θα είναι : = = 1 1 ( ) = U p ie p i p i p U ( p i)( p i) p i p (9) p p 1 Σχήμα Ε Το πρόσημό της θα καθορίσει εάν αυτά έλκονται (αρνητική) ή απωθούνται (θετική). Εφαρμογές: (α) Δυο δίπολα με συνευθειακές και ομόρροπες διπολικές ροπές έλκονται. Θεωρούμε την αρχή του άξονα Χ στο κέντρο του πρώτου διπόλου και ότι η απόσταση με- ταξύ των κέντρων τους είναι πολύ μεγάλη ώστε να ισχύει η σχέση (9). Έχομε ότι: p 1 î p Χ 5

6 pp p ip = p p, p i= p ii = p, p i= p i i = p, U = < Το αρνητικό πρόσημο της ενέργειας αλληλεπίδρασης (δυναμική ενέργεια του ενός στο πεδίο του άλλου) υποδηλώνει έλξη. (β) Δυο δίπολα με ομόρροπες παράλληλες διπολικές ροπές και με τα κέντρα τους στην ίδια ευθεία απωθούνται. Θεωρούμε ως αρχή το κέντρο του πρώτου διπόλου και ότι η απόσταση μεταξύ των κέντρων τους είναι πολύ μεγάλη ώστε να ισχύει η σχέση (9). Έχομε ότι: pp p ip = p p, p i= p i =, U = > p 1 Το θετικό πρόσημο της ενέργειας αλληλεπίδρασης (δυναμική ενέργεια του ενός στο πεδίο του άλλου) υποδηλώνει άπωση. (γ) Δυο δίπολα με αντίρροπες παράλληλες διπολικές ροπές και με τα κέντρα τους στην ίδια ευθεία έλκονται. Θεωρούμε ως αρχή το κέντρο του πρώτου διπόλου και ότι η απόσταση μεταξύ των κέντρων τους είναι πολύ μεγάλη ώστε να ισχύει η σχέση (9). Έχομε ότι: pp p p = p p, p = i i p i =, U = < p 1 Το αρνητικό πρόσημο της ενέργειας αλληλεπίδρασης (δυναμική ενέργεια του ενός στο πεδίο του άλλου) υποδηλώνει έλξη. p p Η σημασία της εισαγωγής της έννοιας του ηλεκτρικού διπόλου : Το ηλεκτρικό δίπολο αρχικά φαίνεται σαν μια νοητική κατασκευή. Στην ουσία η εισαγωγή του έγινε για να περιγραφεί η συμπεριφορά ατόμων και μορίων σε εξωτερικά ηλεκτρικά πεδία. Στα άτομα το κέντρο κατανομής του θετικού (πυρήνας) και αρνητικού (ηλεκτρόνια) φορτίου ταυτίζονται. Εάν το άτομο εισαχθεί σε εξωτερικό ηλεκτρικό πεδίο, όπως στο Σχήμα ΣΤ, η κίνηση των ηλεκτρονίων διαταράσσεται και το κέντρο της κατανομής τους μετατοπίζεται κατά χ σε σχέση με τον πυρήνα. Κατά τον τρόπο αυτό το άτομο πολώνεται και αποκτά μια διπολική ροπή p ανάλογη του εξωτερικού πεδίου Ε. Η ροπή αυτή ονομάζεται επαγόμενη διπολική ροπή και εξαφανίζεται όταν το άτομο βρεθεί ξανά εκτός του πεδίου. Παράλληλα πολλά μόρια μπορεί να έχουν μια μόνιμη διπολική ροπή και ονομάζονται πολικά μόρια. Χαρακτηριστικά παραδείγματα φαίνονται στο Σχήμα Ζ. Συγκεκριμένα : Στο μόριο του HCl το μοναδικό ηλεκτρόνιο του ατόμου του υδρογόνου βρίσκεται τον περισσότερο χρόνο κινούμενο πιο κοντά στο άτομο του Cl. Έτσι τα κέντρα θετικού και αρνητικού φορτίου δεν συμπίπτουν και το μόριο παρουσιάζει μόνιμη διπολική ροπή που κατευθύνεται από το άτομο του Cl σε αυτό του H. Στο μόριο του CO η κατανομή του φορτίου είναι επίσης ασύμμετρη και η αντίστοιχη διπολική ροπή κατευθύνεται από το άτομο του Ο σε αυτό του C. 6

7 Σχήμα ΣΤ : Επαγόμενη διπολική ροπή σε άτομο που βρίσκεται σε εξωτερικό ηλεκτρικό πεδίο Σχήμα Ζ : Μόνιμη διπολική ροπή σε μόρια (Σχήματα από το βιβλίο των M.Alonso- E.J.Finn : Physics, Addison Wesley,199) Στο μόριο του H O, όπου οι δύο δεσμοί H-O σχηματίζουν γωνία λίγο μεγαλύτερη από 9, τα ηλεκτρόνια συγκεντρώνονται τον περισσότερο χρόνο γύρω από το άτομο του O που καθίσταται αρνητικότερο σε σχέση με τα δύο άτομα H. Κάθε δεσμός H-O συνεισφέρει μια ηλεκτρική διπολική ροπή. Λ ογω συμμετρίας του μορίου η συνισταμένη διπολική ροπή κείται κατά μήκος του άξονα συμμετρίας του μορίου. Τέλος στο μόριο του CO έχει μηδενική ολική διπολική ροπή. Είναι προφανές ότι η ύπαρξη ή μη μόνιμης διπολικής ροπής στα μόρια επηρρεάζει σημαντικά τη συμπεριφορά τους σε ένα εξωτερικό ηλεκτρικό πεδίο και η γνώση της είναι σημαντική για την μελέτη τέτοιων φαινομένων. 7

8 Παράδειγμα : Ένα ηλεκτρικό δίπολο βρίσκεται στο πεδίο ενός σημειακού φορτίου Q με το κέντρο του σε απόσταση από αυτό, όπως στο Σχήμα. (α) Ποιά δύναμη δέχεται το δίπολο ; (β)ποιά δύναμη δέχεται το σημειακό φορτίο από το δίπολο.σχολιάστε το αποτέλεσμα στη βάση του αξιώματος δράσεως-αντιδράσεως. Λύση : (α) Το πεδίο του σημειακού φορτίου Q είναι ανομοιογενές με ένταση : Q e Q i + yj + E = K = K zk e = K eq y z ( + + ) Κατά συνέπεια για να βρούμε τη δύναμη που ασκεί το φορτίο στο δίπολο θα εφαρμόσομε τη σχέση : F = p i E η οποία γράφεται αναλυτικά ως : ( ) ( ) i ( ) ( ) F i + Fy j+ Fzk = p i + py j+ pzk i + j+ k Ei + Ey j+ Ezk = p + py + pz Ei + Ey j+ Ezk y z y z Ισοδύναμα : F = p + p + p E y z y z F = p + p + p E y z y y z y F = p + p + p E y z z y z z Για τη συνιστώσα F θα έχομε ότι : 8 /

9 F = p + py + pz KeQ = / y z + y + z ( ) 1 y KQ e p p / 5/ y p z 5/ z + + 5/ = ( y z ) ( y z ) ( y z ) ( + y + z ) ( ) p p + ypy + zp z p p ypy zp z = KQ e KQ + + = / ( + y + z ) ( + y + z 5/ e 5 ) Ομοίως θα έχομε ότι : ( + + ) p y p yp y y zpz Fy = KeQ 5 ( + + ) p z p yp z y zpz Fz = KeQ 5 Κατά συνέπεια : ( p ) ( )( i + pyj + pzk p + ypy + zpz i + yj + zk ) ( p ) Q ( ) Q Q p p F i i = = = p 5 5 = Q ( p i ) Q = p F p = ( p ) i (β) Η δύναμη που δέχεται το φορτίο Q από το δίπολο θα είναι : F = QE Q dip όπου στο συγκεκριμένο πρόβλημα : 1 1 Edip = ( p )( ) p = ( p ) i 4 i p Άρα : πε 1 F = Q Q ( p ) p i = F Όπως αναμένονταν από το αξίωμα δράσεως-αντιδράσεως. 9