Έξι βαθμοί διαχωρισμού

Transcript

1 Έξι βαθμοί διαχωρισμού Βασισμένα στα

2 Το πείραμα του Milgram 300 άνθρωποι από διάφορα μέρη της Αμερικής Να παραδώσουν ένα γράμμα στη Βοστώνη Χέρι-χέρι ανάμεσα σε ανθρώπους που χαιρετάνε με το μικρό τους όνομα

3 Το πείραμα του Milgram Μέσος όρος 6.2

4 Είναι ένας μικρός κόσμος Λέμε ότι ένα γράφημα εμφανίζει την ιδιότητα του μικρού κόσμου όταν έχει μικρή διάμετρο ή μικρή μέση απόσταση. Συνήθως η μέση απόσταση είναι της τάξης του logn

5 Μικροί κόσμοι Collaboration graph 401,000 nodes, 676,000 edges (average degree 3.37) Diameter: 23, Average distance: 7.64 Cross-post graph, giant component 30,000 nodes, 800,000 edges (average degree 53.3) Diameter: 13, Average distance: 3.8 Web graph 200 million nodes, 1.5 billion edges (average degree 15) Average connected distance: 16 Inter-domain Internet 3500 nodes, 6500 edges (average degree 3.71) 95% of pairs of nodes within distance 5

6 Μικροί τυχαίοι κόσμοι Ας προσπαθήσουμε να μοντελοποιήσουμε ένα σύστημα ανθρώπινων γνωριμιών ως τυχαίο γράφημα. Έστω ότι κάθε άνθρωπος γνωρίζει k άλλους Αν αυτό γίνεται ομοιόμορφα τυχαία τότε Θεώρημα (E,R): η διάμετρος είναι logn/logk Δυστυχώς όμως οι ανθρώπινες γνωριμίες δεν είναι ομοιόμορφα τυχαίες

7 Ένα γεωγραφικό τυχαίο μοντέλο Ένα πλέγμα. Σύνδεση με τους γείτονες και κάποιον μακρινό κόμβο. πιθανότητα μακρινής σύνδεσης ανάλογη της απόστασης d -r. p(u,v)=d(u,v) -r /Σd(u,w) -r

8 Γεωγραφία Αν r είναι μεγάλο (r>2), η σύνδεση γίνεται γεωγραφικά συγκεντρωμένα Το γράφημα έχει μεγάλη μέση απόσταση Θεώρημα: Κάθε αποκεντρωμένος αλγόριθμος πραγματοποιεί μέση διαδρομή (n (r 2)/(r 1) )

9 Γεωγραφία Αν r είναι μικρό (r<2), η σύνδεση γίνεται ομοιόμορφα τυχαία. Το γράφημα έχει μικρή μέση απόσταση Αλλά δεν μπορούμε να βρούμε εύκολα τη συντομότερη διαδρομή Θεώρημα: Κάθε αποκεντρωμένος αλγόριθμος πραγματοποιεί μέση διαδρομή (n (2 r)/3 )

10 r=2 Για r=2 και η μέση απόσταση είναι μικρή και μπορούμε να βρούμε μια διαδρομή εύκολα Πρόβλημα: Σε ένα πλέγμα nxn, ξεκινώντας από έναν κόμβο s, θέλουμε να φτάσουμε σε κόμβο t (γνωρίζουμε τις συντεταγμένες) γνωρίζοντας μόνο τις ακμές των κόμβων που επισκεπτόμαστε Αλγόριθμος: Διάλεξε κάθε φορά την ακμή που πλησιάζει (L1) περισσότερο στον t Θεώρημα: Ο παραπάνω αλγόριθμος έχει μέση διαδρομή Ο((logn) 2 )

11

12 Απόδειξη Ας ορίσουμε φάσεις του αλγορίθμου. Βρισκόμαστε στη φάση j όταν είμαστε σε απόσταση από 2 j+1 έως 2 j Θα δείξουμε ότι δεν πραγματοποιούμε πολλά βήματα σε κάθε φάση Xj ο αριθμός των βημάτων στη φάση j, ψάχνουμε το E[Xj]

13 Απόδειξη Για 0 j log(logn), στη χειρότερη περίπτωση χρησιμοποιούμε μόνο τις γειτονικές επαφές Άρα θα χρειαστούμε το πολύ 2 log(logn)+1 βήματα Το πολύ O(logn) βήματα

14 Για log(logn) j logn Απόδειξη Θα υπολογίσουμε την πιθανότητα κάθε κόμβος που επισκεπτόμαστε να έχει μακρινή επαφή που μας βγάζει από την φάση j. X w6=u,v d(u, w) 2 apple =4 2n 2 X j=1 2n 2 X j=1 (4j)(j 2 ) j 1 apple 4+4ln(2n 2) apple 4ln(6n)

15 Απόδειξη Πιθανότητα να επιλέξουμε μια κορυφή d(u, v) 2 4ln(6n) Πόσες κορυφές μας πηγαίνουν στην επόμενη φάση; Όλες που είναι σε απόσταση 2 j X 1+ 2 j i = j (1 + 2 j ) > 2 2j 1 i=1 Απόσταση από την τρέχουσα κορυφή; Κάθε μία apple 2 j+1 +2 j < 2 j+2 Άρα πιθανότητα να αλλάξουμε φάση 2 2j 1 4ln(6n)2 2j+4 = ln(6n)

16 Απόδειξη Μέσος αριθμός βημάτων μέχρι να αλλάξουμε φάση 1X E[X j ]= Pr[X j i] apple i=1 1X ln(6n) i=1 i 1 = 128 ln(6n) =O(log n) Από γραμμικότητα μέσης τιμής ο μέσος αριθμός βημάτων του αλγορίθμου O(log 2 n)

17 Ιεραρχικά μοντέλα Ένα b-αδικό δέντρο ιεραρχίας Οι κόμβοι του γραφήματος είναι τα φύλλα Ορίζουμε ως απόσταση h(u,v), το ύψος του χαμηλότερου κοινού προγόνου στο δέντρο Από την κορυφή u δημιουργούμε μια ακμή προς μία κορυφή v με πιθανότητα ανάλογη f(h(u,v))/σ f(h(u,w)). Δημιουργούμε k τέτοιες ακμές. Θα εξετάσουμε την περίπτωση f(h)=b -ah και k=clog 2 n

18 Θεώρημα Θεώρημα: Για a=1, υπάρχει αποκεντρωμένος αλγόριθμος που έχει μέσο αριθμό βημάτων O(logn) Ας δούμε πρώτα το άθροισμα στην πιθανότητα κάθε ακμής

19 Ιεραρχικά μοντέλα Έστω οι κορυφές u και t. Έστω w ο ελάχιστος κοινός τους πρόγονος, Τ το υποδέντρο με ρίζα w και Τ το υποδέντρο του Τ ύψους i-1 που περιέχει την t. Υπάρχουν b i-1 φύλλα στο Τ Κάθε τέτοιο φύλλο έχει απόσταση i από την u. Άρα κάθε ακμή της u έχει πιθανότητα τουλάχιστον b -i /logn προς κάποιο τέτοιο φύλλο.δ Κάθε ακμή της u έχει πιθανότητα τουλάχιστον 1/blogn να συνδεθεί με φύλλο του Τ Συνολικά η πιθανότητα να μην συνδεθεί με κάποιο φύλλο του Τ είναι το πολύ

20 Ιεραρχικά μοντέλα Από union bound με πιθανότητα τουλάχιστον 1-n -θ+1 όλες οι κορυφές του γραφήματος έχουν ακμή προς φύλλο του Τ Μπορούμε να φτάσουμε από οποιαδήποτε κορυφή στην t σε O(logn) βήματα: Ακολουθούμε μια ακμή προς Τ και επαναλαμβάνουμε επαγωγικά. Θεώρημα: Για a<>1, δεν υπάρχει αποκεντρωμένος αλγόριθμος με μέσο αριθμό βημάτων O(logn)