Θέματα Αρμονικής Ανάλυσης

Transcript

1 ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑ ΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Θέματα Αρμονικής Ανάλυσης Ενότητα 5: Οι κλασικές διαφορικές εξισώσεις Μιχ. Μ. Μαριάς

2 Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σεάδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε άλλου τύπου άδειας χρήσης, η άδεια χρήσης αναφέρεται ρητώς. 2

3 Χρηματοδότηση Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό έχει αναπτυχθεί στα πλαίσια του εκπαιδευτικού έργου του διδάσκοντα. Το έργο «Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο Πανεπιστήμιο» έχει χρηματοδοτήσει μόνο την αναδιαμόρφωση του εκπαιδευτικού υλικού. Το έργο υλοποιείται στο πλαίσιο του Επιχειρησιακού Προγράμματος «Εκπαίδευση και Δια Βίου Μάθηση» και συγχρηματοδοτείται από την Ευρωπαϊκή Ένωση (Ευρωπαϊκό Κοινωνικό Ταμείο) και από εθνικούς πόρους. 3

4 Περιεχόμενα ενότητας 1. Εξίσωση της θερμότητας. 2. Εξίσωση Poisson. 3. Εξίσωση Laplace. 4

5 Σκοποί ενότητας Σε αυτή την παράγραφο θα δούμε μια πρώτη εφαρμογή του Fourier στις κλασικές διαφορικές εξισώσεις με μερικές παραγώγους (δ.ε.μ.π.): της θερμότητας στον, του Poisson στον και του Laplace στον άνω ημιχώρο. Οι θεμελιώδεις λύσεις τους είναι ο πυρήνας του Gauss, η συνάρτηση Greenκαι ο πυρήνας Poisson αντίστοιχα. 5

6 Η εξίσωση της θερμότητας (1) Η εξίσωση της θερμότητας στον είναι η ακόλουθη:,,, 0.,,1 Η είναι η αρχική θερμοκρασία και μας εξασφαλίζει την μοναδικότητα της λύσης. Μπορούμε λοιπόν να φανταστούμε ότι η λύση, της (1) ζεί στον άνω ημιχώρο, :, 0, και συνεπώς η είναι η συνοριακή της τιμή. Άς υποθέσω ότι οι παρακάτω υπολογισμοί έχουν νόημα. 6

7 Η εξίσωση της θερμότητας (2) Με άλλα λόγια οι λογαριασμοί που ακολουθούν είναι τυπικοί (formal είναι ο αγγλοσαξονικός όρος). Με Fourier ως προς την μεταβλητή του χώρου, έχουμε από την (1):,!,! " " δηλαδή ή ακόμη Συνεπώς,! ", #,$ %4' $ #,$, ()*#,$ %4' $. 7

8 Η εξίσωση της θερμότητας (3) ()*#,$ %4' $ +, $. Άρα #,$ -./ / 0 $./ /, από τα αρχικά δεδομένα. Αντιστρέφοντας τον Fourier, έχω, #,$!$ 0 $./ /!$ " " 2, όπου ο 2 ικανοποιεί 23 $./ /. 8

9 Η εξίσωση της θερμότητας (4) Από το Λήμμα 2 (Ενότητα 4), έχουμε 2 / /. 4' /, 0,. Όπως είναι γνωστό, ο πυρήνας 2 λέγεται πυρήνας της θερμότητας (ή του Gauss)και ο ρόλος του στην Ανάλυση είναι πολύ σημαντικός. Χρήσιμες ιδιότητες του πυρήνα της θερμότητας είναι οι ακόλουθες: 9

10 Λήμμα 1(1) Λήμμα1: Αν 2 είναι ο πυρήνας της θερμότητας, τότε 1. Για κάθε 0, 2. Για κάθε, 0, (ιδιότητα της ημιομάδας) 2! " / 2 5 /, Απόδειξη: 1. Για κάθε 0έχουμε: 6 / /. / " 4' /! / :; 4' / απο το ολοκλήρωμα του Gauss.!7 : 1, 10

11 Λήμμα 1(2) 2. Συνάγεται με ανάποδο Fourier από την σχέση: 23 5 $ 23 / $./ / 5./ / 5./ 5 / / 23 5 / $ 11

12 Η εξίσωση του Poisson(1) Η εξίσωση του Poissonστον είναι η ακόλουθη, 2 Για να λύσουμε την (2) κάνουμε Fourierκαι έχουμε την ή ισοδύναμα και συνεπώς %4' $ # $ 0 $, # $ % 0 $ 4' $, = > 7 %7!7 ", 12

13 Η εξίσωση του Poisson(2) αφού για n 2, ο μετασχηματισμός Fourier της A / (για > 2έχουμε την ()* ). "@/είναι η Προφανώς το να λύσουμε την Poisson, είναι ισοδύναμο με το να αντιστρέψουμε την Λαπλασιανή αφού και συνεπώς Δ, C CC. Η πρόταση που ακολουθεί δίνει την αντίστροφη της Λαπλασιανής. 13

14 Θεώρημα 1(1) Θεώρημα 1: Αν, D, τότε 1. Αν > E 3, 2. Αν > E 2, = > C7 %7!7 ". = C 7 ()* %7!7 ". Απόδειξη: Δίνουμε την απόδειξη μόνο για > E 3. Η περίπτωση > 2, αφήνεται ως άσκηση. Σταθεροποιώ ένα και διαλέγω G μεγάλο τέτοιο ώστε 0για κάθε H,G. 14

15 Θεώρημα 1 (2) Ας είναι Ω J Β,G \B,N Από τον τύπο του Green: * 7 Δf 7 % 7 Δg 7!7 * Q R > %*!S U V,J * > %*!S TQ R αφού η μηδενίζεται πάνω στην H,G. Αν πάρω * 7 = > %7,, 15

16 Θεώρημα 1 (3) τότε επί των σφαιρών H,W, * => * YZ[ W > =\ > W. Επιπλέον, επειδή η *είναι αρμονική μέσα στον Ω J, έχω U V,J = > %7 C 7!7 * ] R > %* >!S U V,J = > N > +N^ N!^ + U V,J N 0 0+= \ >. = > N +N^ N!^ 16

17 Θεώρημα 1 (4) Ως πόρισμα του Θεωρήματος έχουμε ότι αν, D, η λύση της εξίσωσης δίνεται από τον τύπο: C, 7 = > %7!7 = > %7!7. " 7 " Πράγματι, παραγωγίζοντας μέσα από το ολοκλήρωμα, έχουμε = > Δ %7 7!7 ", απο το θεώρημα. 17

18 Η εξίσωση του Laplace (1) Η εξίσωση του Laplace στον άνω ημίχωρο,7 :,7 0, είναι η ακόλουθη:,7 + 6 `Δ 0,, Πρόκειται δηλαδή για το πρόβλημα της αρμονικής επέκτασης στον άνω ημίχωρο. Το πρόβλημα λύνεται μέσω του πυρήνα Poissonπου θα κατασκευάσουμε με δύο τρόπους. Ξεκινούμε με την κλασσική προσέγγιση. Με Fourierως προς,έχουμε από την (3) 6 # $,7 6,! " 18

19 Η εξίσωση του Laplace (2) % Δ, "! %, " Δ! 4' $ # $,7. Η ολοκληρώσιμη λύση της ως άνω εξίσωσης είναι η # $,7, $ 6,$,7 0. Για τον υπολογισμό της,7,πρέπει να βρούμε την αντίστροφη Fourier της 6 /. Θυμίζω ότι η συνάρτηση Γ ορίζεται από τον τύπο Γ b c d e!c,gb 0. D 19

20 Πρόταση 1 Πρόταση 1: Για κάθε 7 0, όπου Ο πυρήνας 6 7!$ = " 7 + λέγεται πυρήνας Poisson. = Γ >+1 2 ' /. f 6 = 7 7 +, 20

21 Ιδιότητες του πυρήνα Poisson Δύο χρήσιμες ιδιότητες του πυρήνα Poisson είναι οι ακόλουθες: Πρόταση 2: Τα κάτωθι ισχύουν 1. Για κάθε 7 0, f 6! " Για κάθε 7,7 0, (ιδιότητα της ημιομάδας). f 65 f 6/ f 65 6 /, 21

22 Βιβλιογραφία A. Carbery, Harmonic Analysis of the Calderόn-Zygmund School, , Bull. London Math. Soc., 30, (1998), W. Rudin, Real and Complex Analysis, McGraw-Hill, E. M. Stein, Harmonic Analysis, Princeton University Press, Princeton E. M. Stein, Singular Integrals and Differentiability Properties of Functions, Princeton University Press, E. M. Stein, G. Weiss, Introduction to Fourier Analysis on Euclidean Spaces, Princeton University Press,

23 Σημείωμα Αναφοράς Copyright Πανεπιστήμιο, Μιχάλης Μαριάς. «Θέματα Αρμονικής Ανάλυσης. Οι κλασικές διαφορικές εξισώσεις». Έκδοση: 1.0. Θεσσαλονίκη Διαθέσιμο από τη δικτυακή διεύθυνση:

24 Σημείωμα Αδειοδότησης Το παρόν υλικό διατίθεται με τους όρους της άδειας χρήσης Creative CommonsΑναφορά -Παρόμοια Διανομή [1] ή μεταγενέστερη, Διεθνής Έκδοση. Εξαιρούνται τα αυτοτελή έργα τρίτων π.χ. φωτογραφίες, διαγράμματα κ.λ.π., τα οποία εμπεριέχονται σε αυτό και τα οποία αναφέρονται μαζί με τους όρους χρήσης τους στο «Σημείωμα Χρήσης Έργων Τρίτων». Ο δικαιούχος μπορεί να παρέχει στον αδειοδόχοξεχωριστή άδεια να χρησιμοποιεί το έργο για εμπορική χρήση, εφόσον αυτό του ζητηθεί. [1]

25 Διατήρηση Σημειωμάτων Οποιαδήποτε αναπαραγωγή ή διασκευή του υλικού θα πρέπει να συμπεριλαμβάνει: το Σημείωμα Αναφοράς το Σημείωμα Αδειοδότησης τη δήλωση Διατήρησης Σημειωμάτων το Σημείωμα Χρήσης Έργων Τρίτων (εφόσον υπάρχει) μαζί με τους συνοδευόμενους υπερσυνδέσμους.

26 ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑ ΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Τέλος ενότητας Επεξεργασία: Αναστασία Γ. Γρηγοριάδου Θεσσαλονίκη, Χειμερινό εξάμηνο