ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΚΑΙ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ

Transcript

1 ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΚΑΙ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΗΜΥ 311: Διακριτή Ανάλυση και Δομές Χειμερινό Εξάμηνο 016 Σειρά Ασκήσεων 5: Απαρίθμηση, Αρχή της Θυρίδας, Συνδυασμοί και Μεταθέσεις, Γραφήματα και Ιδιότητες Exercse 1 a) 4 10 b) 5 10 c) Α {{Α}, {Β},,{ΑΒ},,{ΑΒΓ},, {ΑΒΓΔ}} Α 15 Exercse a) 4 3 b) 4 x 3 x c) 4 Exercse

2 Exercse 4 k0 : αριθμοί με mod9 0 με k0 k1 : αριθμοί με mod9 1 με k1. k8 : αριθμοί με mod9 8 με k8 Pgeonhole Prncple 9 ομάδες αριθμών (k) 19 αριθμοί (N) roundup(19/9) k 18. Άρα για 0 k > 18 έχουμε τουλάχιστον μια κατηγορία k 3 Exercse 5 0 K, 10 M a) 5 μπάλες b) 3 μπάλες

3 3 Exercse 6 f f ώ Ό f f ) ( ) ( :,, ) ( ) ( 3 Γιατί για κάθε υπάρχει απεικόνιση f() Generalzed Pgeonhole Prncple objects are placed nto boxes 1 At least one so that: 1:1 ) ( ) ( not f f H f δεν είναι αμφιμονοσήμαντος συνάρτηση

4 Exercse 7 PCs: Υπολογιστές Prs: Εκτυπωτές 0 PCs 0 Prs (συνδεδεμένοι με τον κάθε υπολογιστή) Άρα 80 x καλώδια, και: PC Pr 1 1,..., PC,...,Pr 0 0 where1 0, PC Pr 0ώ Τα 160 καλώδια αποτελούν λύση, καθώς οποιοδήποτε set 0 PCs συνδέεται με διαφορετικούς εκτυπωτές. Χειρότερη περίπτωση το set των PCs, με 1 0 όπου υπάρχει ένας μοναδικός τρόπος διαφορετικής σύνδεσης PCs Prs. Είναι η βέλτιστη λύση; Αν πάρω 1619 καλώδια, θα έχω floor(1619/0) 80, δηλαδή κάποιος Pr θα είναι συνδεδεμένος με το πολύ 80 PCs. (Διότι θα χρειαζόμασταν 81 x καλώδια, ώστε κάθε Pr να είναι συνδεδεμένος με 81 PCs). Οπότε περισσεύουν 19 Prs για 0 PCs, δεν επαρκούν για να μας δώσουν λύση. Άρα, βέλτιστη λύση τα 160 καλώδια. Exercse 8 Ζεύγη με άθροισμα (1,10) (,9) (3,8) (4,7) (5,6) Αν επιλέξω τους 5 πρώτους αριθμούς με το «χειρότερο» τρόπο θα έχω έναν από κάθε ζεύγος, 1,, 5. πχ (1, 9, 3, 4, 6). Οπότε με κάθε αριθμό που προσθέτω θα έχω και τουλάχιστον ένα ζεύγος με άθροισμα 11. 4

5 Exercse 9 Έχουμε 6 3 x 365 διαφορετικούς τρόπους Exercse 10 a) (9 x 8 x 7 x 6 x 5) x 6 [κάθε θέση 9 άτομα 6 θέσεις για τη νύφη] b) (8 x 7 x 6 x 5) x (5 x 6) [κάθε θέση 8 άτομα 5x6 θέσεις για το γαμπρό και τη νύφη] c) (8 x 7 x 6 x 5 x 4) x (6 x ) [κάθε θέση 8 άτομα 6 θέσεις ο γαμπρός ή 6 θέσεις για τη νύφη] Exercse 11 C (150,51) 3 51 ( ) 99, C(150,51) 150! 51!99! Exercse 1 1, 11, 55, 165, 330, 46, 46, 330, 165, 55, 11, 1 5

6 Exercse 13 n + 1 k ( n + 1) n! k!( n + 1 k) n + 1 k ( k 1)! n! n ( k + 1)! n + 1 n k k 1 Επαγωγικά Όπου ή κ.ο.κ. Exercse 14 Όχι, απόδειξη με handshakng theorem: m deg( v) 13 ό 6

7 Exercse 15 a) Είναι bpartte b) Είναι bpartte c) Δεν είναι bpartte Exercse 16 hs graph has a lot of subgraphs. Frst of all, any nonempty subset of the vertex set can be the vertex set for a subgraph, and there are 15 such subsets. If the set of vertces of the subgraph does not contan vertex a, then the subgraph can of course have no edges. If t does contan vertex a, then t can contan or fal to contan each edge from a to whchever other vertces are ncluded. A careful enumeraton of all the possbltes gves the 34 graphs shown below. 7

8 Γενικά για τους επαγώμενους (αν δεν υπολογίσουμε τον κενό υπογράφο) ισχύει: ώ n

9 Exercse 17 n a) ώ 1 b) 1 ή: n n(n 1) έ : n(n 1)(n ) 3 έ : 3! 1 3 n(n 1)(n )(n 3) 4 έ : 4! n ( 1) n 0 43 Exercse 18 A1: 1 3 A: 1 3 9

10 Exercse 19 a) a0 0 1 A0 1 1 b 0 0 1, B c C c A a b C B Είναι ισομορφικοί b) a A b B , c C d D a b A B c d C D Δεν είναι ισομορφικοί 10

11 Exercse 0 άθροισμα των 1 άθροισμα των 1 Φαίνεται ότι δεν είναι ισομορφικά γιατί δεν υπάρχει το αντίστοιχο στο G1. 11

12 Exercse 1 a) Euler Crcut: ΟΧΙ Euler Path: B A D F E D C E B C b) Euler Crcut: ΟΧΙ Euler Path: A B D A C B C D C 1

13 Exercse a) Hamlton Path: B E F C A D b) Hamlton Crcut: OXI 13

14 Exercse 3 a) n n 1 3 b)