Σχέσεις, Ιδιότητες, Κλειστότητες

Transcript

1 Σχέσεις, Ιδιότητες, Κλειστότητες Ορέστης Τελέλης Τµήµα Ψηφιακών Συστηµάτων, Πανεπιστήµιο Πειραιώς Ο. Τελέλης Πανεπιστήµιο Πειραιώς Σχέσεις 1 / 26

2 Εισαγωγή & Ορισµοί ιµελής Σχέση R από το A στο B είναι υποσύνολο του A B: R A B. ηλαδή «κάποια στοιχεία του A σχετίζονται µε κάποια στοιχεία του B». Αν R A B και (a, b) R, τότε: λέµε ότι: «το στοιχείο a σχετίζεται µε το στοιχείο b» γράφουµε επίσης: a R b ( ισοδύναµα µε (a, b) R ). Οι σχέσεις γενικεύουν την έννοια γραφήµατος συνάρτησης: Γράφηµα συνάρτησης f : A B είναι G f = { (x, y) : y = f(x), x A } Για κάθε x A υπάρχει µοναδικό y τέτοιο ώστε (x, y) G f. Κάθε γράφηµα συνάρτησης είναι σχέση το αντίστροφο δεν ισχύει. Ο. Τελέλης Πανεπιστήµιο Πειραιώς Σχέσεις 2 / 26

3 Εισαγωγή & Ορισµοί Αναπαράσταση / Περιγραφή ιµελών Σχέσεων: Με παράθεση των διατεταγµένων Ϲευγών που ανήκουν στη σχέση. Με πίνακα που αναπαριστά τα διατεταγµένα Ϲεύγη της σχέσης. Με γράφηµα που αναπαριστά τα διατεταγµένα Ϲεύγη της σχέσης. Παράδειγµα: A = { a, b, c, d }, B = { 1, 2, 3 } και: R = { (a, 1), (b, 3), (c, 1), (c, 3), (d, 2) } a b c d a b c d Ο. Τελέλης Πανεπιστήµιο Πειραιώς Σχέσεις 3 / 26

4 Συνολοθεωρητικές Πράξεις µεταξύ Σχέσεων Αν R 1, R 2 είναι διµελείς σχέσεις από το A στο B, τότε και: είναι διµελείς σχέσεις από το A στο B. R 1 R 2, R 1 R 2, R 1 R 2, R 1 R 2 Παράδειγµα: Φοιτητές A = {a, b, c, d}, Μαθήµατα B = {µ 1, µ 2, µ 3, µ 4, µ 5, µ 6 }. Σχέση R 1 : A παρακολούθηση B µ 1 µ 2 µ 3 µ 4 µ 5 µ 6 a 1 b 1 1 c d 1 1 εξέταση Σχέση R 2 : A B µ 1 µ 2 µ 3 µ 4 µ 5 µ 6 a 1 1 b 1 1 c d R 1 R 2 : ϕοιτητές που παρακολούθησαν και εξετάστηκαν σε µαθήµατα: R 1 R 2 = { (a, µ 1 ), (b, µ 2 ), (d, µ 4 ), (d, µ 6 ) } Ο. Τελέλης Πανεπιστήµιο Πειραιώς Σχέσεις 4 / 26

5 Πράξεις Μεταξύ Σχέσεων µε Πίνακες Θεωρούµε σχέσεις R, Q, από το A στο B, µε πίνακες R, Q Ενωση R Q. Σχέση µε πίνακα: U = R Q (λογικό «ή»), όπου: u ij = 1 αν: είτε m ij = 1, είτε m ij = 1 (είτε και τα δύο). u ij = 0 αν: r ij = 0 και q ij = 0. Τοµή R Q. Σχέση µε πίνακα P = R Q (λογικό «και»), όπου: p ij = 1 αν: r ij = 1 και q ij = 1. p ij = 0 αν: είτε r ij = 0, είτε q ij = 0 (είτε και τα δύο). Ο. Τελέλης Πανεπιστήµιο Πειραιώς Σχέσεις 5 / 26

6 Σύνθεση Σχέσεων R: σχέση από το A στο B, µε πίνακα R S: σχέση από το B στο C, µε πίνακα S Σύνθεση S R της R µε την S. Προσοχή στη σειρά! Για κάθε a A, c C: (a, c) (S R) υπάρχει b B: (a, b) R και (b, c) S Σύνθεση µε πίνακες. Ο πίνακας της S R είναι M S R = R S Προσοχή στη σειρά! συµβολίζει µια πράξη παρόµοια µε πολλαπλασιασµό πινάκων όπου: ο πολλαπλασιασµός στοιχείων αντικαθίσταται µε λογικό «και». η άθροιση αντικαθίσταται µε λογικό «ή». Ο. Τελέλης Πανεπιστήµιο Πειραιώς Σχέσεις 6 / 26

7 Παραδείγµατα R = S = Ποιός είναι ο πίνακας της σύνθεσης της R µε την S; Σύνθεση της σχέσης «Πατέρας» µε τον εαυτό της Εστω R η σχέση όπου (a, b) R αν «ο a είναι πατέρας του b». Πώς µπορεί να περιγραφεί η σχέση R R; Ο. Τελέλης Πανεπιστήµιο Πειραιώς Σχέσεις 7 / 26

8 ιµελείς Σχέσεις Μια διµελής σχέση από το A στο A λέγεται διµελής σχέση επί του A. Παραδείγµατα: R = { (a, b) Z + Z + a b 10 } (12, 1) R, αλλά (12, 3) R και (1, 12) R. Μια διµελής σχέση επί του: B = { µ 1, µ 2, µ 3, µ 4, µ 5, µ 6 } µπορεί να περιέχει διατεταγµένα Ϲεύγη µαθηµάτων όπου, σε κάθε Ϲεύγος, το πρώτο µάθηµα είναι προαπαιτούµενο του δεύτερου. Πόσες διµελείς σχέσεις επί συνόλου A µε n στοιχεία υπάρχουν; Καθεµία είναι υποσύνολο του A A, όπου A A = n 2. Το πλήθος υποσυνόλων του A A είναι 2 n2. Ο. Τελέλης Πανεπιστήµιο Πειραιώς Σχέσεις 8 / 26

9 Ανακλαστικές Σχέσεις (επί συνόλου) ιµελής σχέση R επί του A είναι ανακλαστική αν: a R a, για κάθε a A. Παραδείγµατα: A = { a : a είναι µάθηµα άρτιου εξαµήνου }, R = { (a, b) A A : a και b εξετάζονται την ίδια ηµέρα }. R διµελής σχέση επί του Z + µε (a, b) R αν και µόνο αν b διαιρεί τον a Ανακλαστική Σχέση Μη Ανακλαστική Σχέση Ο. Τελέλης Πανεπιστήµιο Πειραιώς Σχέσεις 9 / 26

10 Παραδείγµατα Ποιές από τις παρακάτω σχέσεις επί του Z είναι ανακλαστικές; R 1 = { (a, b) : a b } - είναι, διότι: a a R 2 = { (a, b) : a > b } - δεν είναι, διότι a a. R 3 = { (a, b) : a = b ή a = b } R 4 = { (a, b) : a = b } - είναι, διότι: a = a - είναι, διότι: a = a R 5 = { (a, b) : a = b + 1 } - δεν είναι, διότι: a a + 1 R 6 = { (a, b) : a + b 3 } - δεν είναι, διότι: > 3 Πόσες ανακλαστικές σχέσεις επί συνόλου A µε n στοιχεία υπάρχουν; Καθεµία είναι υποσύνολο του A A, που περιέχει το (a, a) για κάθε a A. Τόσες, όσα υποσύνολα µε τα υπόλοιπα στοιχεία του A A: 2 n(n 1). Ο. Τελέλης Πανεπιστήµιο Πειραιώς Σχέσεις 10 / 26

11 Συµµετρικές Σχέσεις R A A συµµετρική αν: για κάθε (a, b) R, ισχύει και (b, a) R. R = { (a, b) Z + Z + a b } είναι µη συµµετρική. Αν A = {a, b, c} οι ακόλουθες σχέσεις επί του A είναι συµµετρικές: R =, T = { (a, a), (b, b) }, Q = A A Συµµετρική Σχέση Μη Συµµετρική Σχέση Ο. Τελέλης Πανεπιστήµιο Πειραιώς Σχέσεις 11 / 26

12 Αντισυµµετρικές Σχέσεις R A A είναι αντισυµµετρική αν: a R b και b R a συνεπάγονται a = b. Υπάρχουν σχέσεις που είναι συµµετρικές και αντισυµµετρικές; ΝΑΙ: π.χ., { (a, a), (b, b) }. Υπάρχουν σχέσεις που δεν είναι συµµετρικές, ούτε αντισυµµετρικές; ΝΑΙ: π.χ., { (a, b), (a, c), (c, a) }. Ο. Τελέλης Πανεπιστήµιο Πειραιώς Σχέσεις 12 / 26

13 Παραδείγµατα Ποιές από τις παρακάτω σχέσεις επί του Z είναι συµµετρικές / αντισυµµετρικές; R 1 = { (a, b) : a b } - όχι συµ. (2 5, 5 2), είναι αντισυµ. R 2 = { (a, b) : a > b } - όχι συµ., είναι αντισυµ., διότι: για κάθε (a, b) R 2, (b, a) R 2. R 3 = { (a, b) : a = b ή a = b } - είναι συµ., όχι αντισυµ.: (5 R 3 ( 5)) (( 5) R 3 5) 5 = 5 R 4 = { (a, b) : a = b } - συµ. και αντισυµ. R 5 = { (a, b) : a = b + 1 } - όχι συµ., είναι αντισυµ., διότι: για κάθε (a, b) R 5, (b, a) R 5 R 6 = { (a, b) : a + b 3 } - συµ., όχι αντισυµ.: (2 R 6 1) (1 R 6 2) 1 = 2 Ο. Τελέλης Πανεπιστήµιο Πειραιώς Σχέσεις 13 / 26

14 Παράδειγµα Η σχέση «ο a διαιρεί τον b» στο Z + είναι συµµετρική; Είναι αντισυµµετρική; εν είναι συµµετρική: π.χ., ο 2 διαιρεί τον 4, αλλά ο 4 δε διαιρεί τον 2. Είναι αντισυµµετρική: Εστω ότι ο a διαιρεί τον b. Τότε a = k b, για k Z +. Εστω ότι και ο b διαιρεί τον a. Τότε b = λ a, για λ Z +. Τότε έχουµε a = k λ a, άρα ϑα πρέπει k = λ = 1. επειδή a, b, k, λ είναι ϑετικοί ακέραιοι. Εποµένως a = b. Ο. Τελέλης Πανεπιστήµιο Πειραιώς Σχέσεις 14 / 26

15 Μεταβατικές Σχέσεις R A A λέγεται µεταβατική αν: a R b και b R c συνεπάγονται a R c. Ποιές από τις παρακάτω σχέσεις είναι µεταβατικές; R 1 = { (1, 1), (1, 2), (2, 1), (2, 2), (3, 4), (4, 1), (4, 4) } R 2 = { (1, 1), (1, 2), (2, 1) } R 3 = { (1, 1), (1, 2), (1, 4), (2, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 1), (4, 4) } R 4 = { (2, 1), (3, 1), (3, 2), (4, 1), (4, 2), (4, 3) } R 5 = { (1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (2, 2), (2, 3), (2, 4), (3, 3), (3, 4), (4, 4) } Ο. Τελέλης Πανεπιστήµιο Πειραιώς Σχέσεις 15 / 26

16 Παραδείγµατα Ποιές από τις παρακάτω σχέσεις είναι µεταβατικές; R 1 = { (a, b) : a b } R 2 = { (a, b) : a > b } R 3 = { (a, b) : a = b ή a = b } R 4 = { (a, b) : a = b } R 5 = { (a, b) : a = b + 1 } - είναι - είναι - είναι - είναι - δεν είναι R 6 = { (a, b) : a + b 3 } - δεν είναι: 2 R 6 1, 1 R 6 2, αλλά (2, 2) R 6. Ο. Τελέλης Πανεπιστήµιο Πειραιώς Σχέσεις 16 / 26

17 Παράδειγµα Η σχέση «ο a διαιρεί τον b» στο Z + είναι µεταβατική; Ναι. ιότι, έστω ότι ο a διαιρεί τον b και ο b διαιρεί τον c. Τότε υπάρχουν k, λ Z + ώστε b = k a και c = λ b. Τότε είναι και c = k λ a. Εποµένως ο a διαιρεί τον c. Ο. Τελέλης Πανεπιστήµιο Πειραιώς Σχέσεις 17 / 26

18 Σύνοψη Σχέσεις, Ιδιότητες, Αναπαράσταση Ανακλαστικές (a, a) R Συµµετρικές (a, b) R = (b, a) R Αντισυµµετρικές (a, b) R (b, a) R = a = b Μεταβατικές (a, b) R (b, c) R = (a, c) R Αναπαράσταση µε Πίνακες 0 1 Συνολοθεωρητικές Πράξεις (και µε Πίνακες). Σύνθεση Σχέσεων (και µε Πίνακες). Ο. Τελέλης Πανεπιστήµιο Πειραιώς Σχέσεις 18 / 26

19 υνάµεις Σχέσεων και Μεταβατικότητα Εστω R διµελής σχέση επί του A, όπου A = n. Τότε: R 1 = R R n+1 = R n R Παράδειγµα: ίνεται η σχέση R = { (1, 1), (2, 1), (3, 2), (4, 3) } Να ϐρεθούν όλες οι δυνάµεις R n, n = 2, 3, 4,... Θεώρηµα: R µεταβατική R n R, για n = 2, 3, 4,... Θεώρηµα. R [n] = M R n, όπου: R [n] = n ϕορές {}}{ R (R ( ) ), M R n ο πίνακας της R n. Ο. Τελέλης Πανεπιστήµιο Πειραιώς Σχέσεις 19 / 26

20 Γραφική Αναπαράσταση Σχέσεων επί Συνόλου DEFINITION 1 A directed graph, or digraph, consists of a set V Με κατευθυνόµενα γραφήµατα E of ordered pairs of elements of V called edges vertex of the edge (a, b), and the vertex b is called Εστω R διµελής σχέση επί συνόλου A Ενα κατευθυνόµενο γράφηµα για τηνan R edge αποτελείται of the form από: (a, a) is represented using an edge is called a loop. Ενα σύνολο κόµβων/κορυφών, V = A. EXAMPLE 7 The directed graph with vertices a, b, c, and d, and Ενα σύνολο ακµών E = R που (c, b), είναι and διατεταγµένα (d, b) is displayed Ϲεύγηin επί Figure του V. 3. a d FIGURE 3 b c The relation R on a set A is represented by the di Το γράφηµα της σχέσης: vertices and the ordered pairs (a, b), where (a, b) to-one correspondence between the relations on a se set of vertices. R = Thus, { (a, b), every (a, statement d), (b, b), about (b, relation d), graphs, and vice(c, versa. a), Directed (c, b), (d, graphs b) } give a visua such, they are often used to study relations and thei A to a set B can be represented by a directed graph A and a vertex for each element of B, as shown in representation provides much less insight than the d Ο. Τελέλης Πανεπιστήµιο Πειραιώς Σχέσεις 20 / 26

21 ations for the directed graphs shown in Figure are reflexive, symlations Παραδείγµατα for the directed graphs shown in Figure 6 are reflexive, sym- /or transitive. /or transitive. loops at every vertex of the directed graph of R, it is reflexive. is e loops at every vertex of the directed graph of R, it is reflexive. R is symmetric because there is an edge from to but not one from to symmetric because there is an edge from a to b but not one from b to th directions connecting and c. Finally, is not transitive because othείναι directions οι παρακάτω connecting σχέσεις b andείναι c. Finally, ανακλαστικές, R is notσυµµετρικές, transitive because αντισυµµετρικές, and an edge from to c, but no edge from to c. b and µεταβατικές; an edge from b to c, but no edge from a to c. a a a a b b b c c d b c c d (a) Directed graph of R (b) Directed graph of S (a) Directed graph of R (b) Directed graph of S he FIGURE The Directed Graphs of the he FIGURE 6 The Directed Graphs of the Relations and S. h Relations R and S. R. R. Ο. Τελέλης Πανεπιστήµιο Πειραιώς Σχέσεις 21 / 26

22 Ανακλαστική Κλειστότητα Θεωρούµε την R = { (1, 1), (1, 2), (2, 1), (3, 2) } επί του A = {1, 2, 3}. εν είναι ανακλαστική: (2, 2) R. Ανακλαστική Κλειστότητα της R είναι η ανακλαστική σχέση που: περιέχει την R, περιέχεται σε κάθε ανακλαστική σχέση που περιέχει την R. Αν = { (a, a) : a A }, η ανακλαστική κλειστότητα της R είναι η R. Ποιά (γνωστή µας σχέση) είναι η ανακλαστική κλειστότητα της R = { (a, b) : a < b } επί του Z; Ο. Τελέλης Πανεπιστήµιο Πειραιώς Σχέσεις 22 / 26

23 Συµµετρική Κλειστότητα Θεωρούµε R = { (1, 1), (1, 2), (2, 2), (2, 3), (3, 1), (3, 2) } στο A = {1, 2, 3} εν είναι συµµετρική: (1, 2) R, αλλά (2, 1) R. Συµµετρική Κλειστότητα της R είναι η συµµετρική σχέση που: περιέχει την R, περιέχεται σε κάθε συµµετρική σχέση που περιέχει την R. Η συµµετρική κλειστότητα της R είναι η R R 1, όπου: R 1 = { (b, a) : (a, b) R } Ποια (γνωστή µας σχέση) είναι η συµµετρική κλειστότητα της σχέσης R = { (a, b) : a > b } επί του Z; Ο. Τελέλης Πανεπιστήµιο Πειραιώς Σχέσεις 23 / 26

24 Μεταβατική Κλειστότητα Μεταβατική επέκταση διµελούς σχέσης R επί συνόλου A είναι η R 2 = R R: για κάθε (a, b) R και (b, c) R, είναι (a, c) R 1 Εστω A = {a, b, c, d} και R = { (a, b), (b, c), (c, b), (c, d) }. a b c d a b c d R a b c d a b c d R R 2 a b c d a b c d R R 2 R 3 Μεταβατική Κλειστότητα της R είναι η σχέση R = R R 2 R 3 Ο. Τελέλης Πανεπιστήµιο Πειραιώς Σχέσεις 24 / 26

25 Σηµαντικές Παρατηρήσεις Η σχέση R k = k ϕορές {}}{ (( (R R) ) R) R περιέχει (x, y), για τα οποία: υπάρχουν k ζεύγη (x, z 1 ), (z 1, z 2 ),..., (z k 2, y) στην R. στο γράφηµα υπάρχει κατευθυνόµενο µονοπάτι µήκους k από το x στο y. Στη γραφική απεικόνιση της R: Προσθέτουµε µία ακµή x y για κάθε µονοπάτι από τον x στον y. Τότε έχουµε τη γραφική απεικόνιση της R. Στον υπολογισµό του πίνακα M R της R (µέσω πράξεων ): ε ϑα χρειαστεί να υπολογίσουµε περισσότερο από τον M [n] R Ο. Τελέλης Πανεπιστήµιο Πειραιώς Σχέσεις 25 / 26

26 Παράδειγµα R = { (a, b), (b, c), (c, d), (d, e) } R: a b c d e R R 2 : a b c d e R : a b c d e R = R R 2 R 3 Ο. Τελέλης Πανεπιστήµιο Πειραιώς Σχέσεις 26 / 26