ΠΤΥΧΙΑΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ. Θέμα.Προσομοιώσεις στον Μικρομαγνητισμό. Γεωργιάδης Ευάγγελος. Μπαντέκας Δημήτριος. σπουδαστές: Λούτας Ευάγγελος

Transcript

1 Τ.Ε.Ι. ΚΑΒΑΛΑΣ Σχολή Τεχνολογικών Εφαρμογών Τμήμα Νλεκτρολογίας ΠΤΥΧΙΑΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ Θέμα.Προσομοιώσεις στον Μικρομαγνητισμό σπουδαστές: Λούτας Ευάγγελος Γεωργιάδης Ευάγγελος υπεύθυνος καθηγητής: Μπαντέκας Δημήτριος

2 Χ. Ε. Ι. Κ Α Β λ ΤΜΗΜΑ HA FK TP!\,.Γ ΑρίΟμ. Πρ^,'^ Ι 3,C?,Z... Ημιρορην;α...\Μ - U ~ fp G Η πτυχιακή Εργασία είναι αφιερωμένη στους γονείς μας Γιώργο και Χαρά Ζήση και Ειρήνη

3 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΙΣΑΓΩΓΗ Διάρθρωση της τγτυχιακής Μαγνητισμός Μαγνητικές ιδιότητες Micromagnetics... 8 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΜΙΚΡΟΜΑΓΝΗΤΙΣΜΟΣ Η θεωρία του μικρομαγνητισμού Ελάττωση της ενέργειας Μοντέλα προσομοίωσης Ελάττωση ενέργειας μέσω των εξισώσεων γενικής περίπτωσης του Brown Ενέργεια μαγνητοσταηκή ή απομαγνήτισης (magnetostatic energy or demagnetizing energy) Εξωτερικό ή εφαρμοζόμενο πεδίο (external or applied field or Zeeman energy) Ενέργεια ανταλλαγής (exchange energy) Ενέργεια μαγνητοκρυσταλλικής ανισοτροπίας (magnetocrystalline anisotropy) Μαγνητοελαστική ενέργεια (magnetoelastic energy) H δυναμική εξίσωση (dynamic equation) ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΘΕΩΡΙΑ ΤΗΣ ΥΣΤΕΡΗΣΗΣ ΣΤΑ ΦΕΡΟΜΑΓΝΗΤΗίΑ ΥΑ1ΚΑ Εισαγιογή Το μοντέλο STONER-WOHLFARTH... 21

4 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΜΙΚΡΟΜΑΓΝΗΤΙΚΕΣ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΕΙΣ Εισαγωγή Η δομή των κόκκων Υτιολογισμός και προϋτιολογνσμός τιεδίου Υπολογισμός του κοντινού τιεδίου Υπολογισμός του μακρινού τιεδίου Άλλα πεδία Κρυσταλλική ανισοτροπία Πεδίο ανταλλαγής (exchange) Εικονικό μακρινό τιεδίο (virtual far field) Προσομοιώσεις Γεωμετρικές παράμετροι του υλικού Προσομοιώσεις ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΘΕΩΡΗΣΕΙΣ ΣΧΕΤΙΚΑ ΜΕ ΤΗΝ ΤΑΧΥΤΗΤΑ Καθορισμός της σύγκλησης Η προέλευση της αργής σύγκλησης των μεθόδων επίλυσης στον μικρομαγνητισμό Μέθοδοι επίλυσης κανονικών διαφορικών εξισώσεων(οοε solvers)- ακαμψία (stiffiiess) ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΑ ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ... 66

5 ΚΕΦΑΛΑΙ01 ΕΙΣΑΓΩΓΗ 1.1 Διάρθρωση της πτυχιακής Τα προηγμένα μαγνητικά υλικά είναι αυτά στα οτιοία οφείλεται η εκρηκτική ανάπτυξη στην χωρητικότητα αποθήκευσης των σκληρών δίσκων τουλάχιστον κατά 2 τάξεις μεγέθους τη δεκαετία του 90. Στο πρώτο κεφάλαιο της παρούσας πτυχιακής εργασίας παρακινούμενοι από το ρητό της εγκυκλοπαίδειας Britanica όη «λίγα θέματα στην επιστήμη είναι δυσκολότερο να κατανοηθούν από τον μαγνητισμό», θα παρουσιάσουμε κάποια βασικά σημεία για τον μαγνητισμό, τα μαγνηηκά υλικά, τις μαγνηηκές ιδιότητες και θα κλείσουμε με λίγα λόγια για τον μικρομαγνητισμό τις εφαρμογές του τώρα αλλά και στο άμεσο μέλλον. Στο δεύτερο κεφάλαιο παρουσιάζουμε την θεωρία του μικρομαγνητισμού και την προέλευσή του, τα μοντέλα που τον προσομοιώνουν, την ελάττωση της ενέργειας στην περίπτωση Brown και τις ενέργειες τιου συνθέτουν την επίλυση αυτής της ενέργειας ισορροπίας και τέλος παρουσιάζουμε την δυναμική εξίσωση κατά Landau- Lifshitz και Gilbert. Στο τρίτο κεφάλαιο αναφερόμαστε στα μοντέλα που χρησιμοποιούνται για την περιγραφή των μαγνητικών χαρακτηριστικών στις μαγνηηκές ταινίες και των ιδιοτήτων στα σκληρά μαγνηηκά υλικά και παρουσιάζουμε αναλυηκά το μοντέλο Stoner-Wohlfarth μιας και είναι αυτό που πραγματοποιεί την μοντελοποίηση για τα μαγνηηκά υλικά με το οποίο ασχολούμαστε στην παρούσα πτυχιακή εργασία. Η μικρομαγνητικές προσομοιώσεις είναι το θέμα που παρουσιάζουμε στο τέταρτο κειράλαιο. Συγκεκριμένα περιγράφουμε τον κώδικα Grains με τον οποίο

6 KeqxUaio 1 Εισαγαιγή πραγματοτιοιούμε και τις προσομοιώσεις της παρούσας εργασίας. Καταγράφουμε τις παραμέτρους που επηρεάζουν την γεωμετρία του υλικού καθώς και αυτές που επηρεάζουν την προσομοίωση. Στο τέλος παραθέτουμε μια σειρά από βρόγχους υστέρησης με σύντομη καταγραφή των τιαρατηρήσεών μας σχετικά με αυτές. Το πρόβλημα της σύγκλησης στις μικρομαγνητικές προσομοιώσεις καθώς και διάφορες μέθοδοι επίλυσης των ODEs με σκοπό να επιτύχουμε καλύτερη ταχύτητα υπολογισμών αλλά και απαίτηση λιγότερου αποθηκευτικού χώρου παρουσιάζονται στο πέμπτο κεφάλαιο. Στο έκτο κεφάλαιο καταλήγουμε με κάποια συμπεράσματα σχεπκά με τις μικρομαγνητικές προσομοιώσεις. 1.2 Μαγνητισμός Οποτεδήποτε υπάρχει κινούμενο ηλεκτρικό φορτίο ή μόνιμα μαγνητισμένο υλικό παράγεται ένα μαγνητικό πεδίο το οποίο με την σειρά του ασκεί μια δύναμη F και στα δύο, τον ηλεκτροφόρο αγωγό και στον μόνιμο μαγνήτη. Η μονάδα της έντασης Η του μαγνηπκού πεδίου είναι το αμπέρ ανά μέτρο, και αναφερόμενοι σε μαγνητικό πεδίο που παράγεται από ηλεκτρικό ρεύμα, μπορούμε να υπολογίσουμε την έντασή του από τον τύπο Ν,= J Hdl όπου Ν είναι ο ηλεκτροφόρος αγωγός με μήκος 1, dasedpath Ολοκληρώνοντας σε μια κλειστή διαδρομή γύρω από τον αγωγό και σε ακτίνα r. Η αντίδραση του μέσου στο, εφαρμοζόμενο μαγνητικό πεδίο ονομάζεται μαγνητική επαγωγή Β ή πυκνότητα ροής μερικές φορές, μονάδα της είναι το Tesla το οποίο είναι webers ανά metre^ και η σχέση μεταξύ μαγνητικής επαγωγής και μαγνητικού πεδίου είναι μια ιδιότητα που ονομάζεται διαπερατότητα του μέσου. Εάν σκιαγραφήσουμε τις γραμμές της μαγνητικής επαγωγής μπορούμε να έχουμε την ένταση και την διεύθυνση του μαγνητικού πεδίου. Ειδικότερα, η μαγνητική επαγ<ογή γύρω από έναν γραμμικό ηλεκτροφόρο αγιογό ακολουθεί τον κανόνα του δεξιού χεριού. Σ ένα σωληνοειδές οι μαγνητικές γραμμές είναι ομοιόμορφες μέσα σ αυτό αλλά σχηματίζουν μια κλειστή διαδρομή έξω από αυτό. Οι γραμμές της μαγνητικής επαγωγής γύρω από μια ράβδο μαγνήτη είναι παρόμοιες με εκείνες γύρω από ένα

7 σωλτ νοειδές μιας και τα δύο λειτουργούν σαν μαγνητικά δίπολα[σχήμα 1.1], Η τιοσότητα της μαγνητικής ροής ττου εισέρχεται σε μια κλειστή εττιφάνεια είναι ίση με την τιοσότητα της ροής που εξέρχεται, οπότε ισχύει J BdA = 0. Σχήμα 1.1: Οι γραμμές του πεδίου σε ένα μαγνητικό δίπολο Η μαγνητική επαγοογή προκύτττει από 2 συνιστώσες, την μαγνητική ροπή και την μαγνήτιση. Η μαγνητική ροπή m μπορεί να εκφραστεί σαν την μέγιστη ροπή επάνω Τ σ ένα μαγνητικό δίπολο τ»,., διαιρούμενη με την Β μαγνητική ένταση m -. Η Β μαγνήτιση παράγεται από την τροχιακή ορμή και περιστροφή των ηλεκτρσνίων μέσα στο στερεό και αναφέρεται ως μαγνητική ροπή ανά μονάδα έντασης σ ένα στερεό Μ =. Μια απλή συσχέτιση ανάμεσα στην μαγνήτιση Μ και την ένταση Β είναι Μ = όπου μ«είναι η διαπερατότητα στο κενό Οταν έχουμε την τιαρουσία /^ο μαγνήτισης και μαγνητικού πεδίου η μαγνητική επαγωγή στο κενό για παράδειγμα προκύπτει από το άθροισμα και των δύο Β=μο (Η+Μ). Για δική μας διευκόλυνση

8 Κεφάλαιο 1 Εισαγαιγή εμείς χρησιμοτιοιούμε την μαγνητική τιόλωση ή ένταση της μαγνήτισης I η οτιοία προσδιορίζεται από τον τύπο 1= μομ,γιατί η μονάδα της είναι το Tesla σ αντίθεση με την Μ όπου είναι το A/m. Εάν έχουμε ένα δοσμένο μαγνητικό πεδίο Η και ένα μαγνητικό υλικό με πεπερασμένο μήκος, θα έχουμε την δημιουργία μαγνητικών πόλων κοντά στα άκρα του, το οποίο δημιουργεί ένα μαγνητικό πεδίο Hd, μπορεί να βρεθεί μέσω μετρήσεων της υστέρησης σε δείγματα πεπερασμένου μήκους όταν το εφαρμοζόμενο πεδίο μειώνεται στο μηδέν 0 αλλά το μετρούμενο πεδίο είναι αρνητικό λόγω της παραμένουσας μαγνήτισης. Μπορούμε να θεωρήσουμε ότι το πεδίο απομαγνήτισης Hd είναι η απροθυμία R η οποία είναι το μαγνητικό ανάλογο της ηλεκτρικής αντίστασης και εξαρτάται από την μαγνήτιση στο υλικό και από το σχήμα του δείγματος και το μέτρο του δίνεται από τον τύπο Hd=NdM όπου Nd είναι ένας παράγοντας απομαγνήτισης ο οποίος υπολογίζεται μόνο από την γεωμετρία του δείγματος. Τα μαγνητικό υλικά ταξινομούνται σύμφωνα με την ευαισθησία ή την Β πρώτη ομάδα, διαμαγνητικά (diamagnets) υλικά, περιέχουν χαλκό, ασήμι, χρυσό, βισμούθιο και βερύλιο στα οποία η ευαισθησία χ είναι μικρή και αρνητική x=-10 ^ και η μαγνητική τους απόκριση ανατίθεται στο εφαρμοζόμενο μαγνητικό πεδίο. Μια άλλη ομάδα διαμαγνητών είναι οι superconductors στους οποίους η ευαισθησία χ είναι χ=-1. Τα παραμαγνητικά (Paramagnets) υλικά αποτελούν τη δεύτερη ομάδα μαγνηηκϋΐν υλικών, για τα οποία η ευαισθησία χ είναι μικρή και θετική από χ=10'^ έως x=10'^, και η μαγνήασή τους είναι ασθενής αλλά ευθυγραμμίζεται παράλληλα με την διεύθυνση του μαγνητικού πεδίου. Παραμαγνητικά υλικά είναι το αλουμίνιο, η πλατίνα και το μαγγάνιο. Φερομαγνητικά (Ferromagnetic) υλικά όπως ο σίδηρος, το κοβάληο, το νικέλιο και διάφορα γήτνα μέταλλα και τα κράματά τους αποτελούν την τρίτη ομάδα τη οποία είναι η πιο δαιδεδομένη όσων αφορά τον μαγνητισμό. Η ευαισθησία αυτών των υλικών είναι θετική και πολύ μεγαλύτερη από 1 και έχει τιμές από 50 έως Τα τελευταία χρόνια μερικές νέες ομάδες υλικών που έχουν π»λύ στενή σχέση με τα φερομμαγνηηκά υλικά έχουν ανακαλυφθεί Αυτά τα υλικά είναι τα ferrimagnets, antiferromagnets, helimagnets and superparamagnets.

9 Τα φερομαγνητνκά υλικά μπορούν να ταξινομηθούν ούμφοινα με την coercivity σε σκληρά και μαλακά μαγνητικά υλικά. Ως μαλακά μαγνητικά υλικά καλούνται αυτά τιου έχουν χαμηλή τιμή στην coercivity, ενώ σκληρά μαγνηηκά υλικά καλούιααι εκείνα ττου έχουν υψηλότερη τιμή στην coercivity. Στα σκληρά μαγνητικά υλικά η coercivity εκτείνεται πάνω από loka/m και τα χρησιμοποιούμε από βαριές χρήσεις στην ηλεκτρολογία όπως ηλεκτρικούς κινητήρες και γεννήτριες έως πολύ μικρής κλίμακας χρήσεις όπως για παράδειγμα συσκευές ελέγχου για ακτίνες ηλεκτρονίων και μέτρα κινούμενης σπείρας καθώς και για συσκευές ενδιάμεσου εύρους ισχύος όπως μικρόφωνα και ηχεία. Η coercivity στα μαλακά μαγνητικά κυμαίνεται κάτω από IKA/m και τα χρησιμοποιούμε σε ηλεκτρικές συσκευές όπως παραγωγής και μετάδοσης ηλεκτρικής ισχύος, υποδοχής ραδιοσημάτων, μικροκυμάτων, πηνίων, ρελέ και ηλεκτρομαγνήτες [Jiles]. 1.3 Μαγνητικές ιδιότητες Μπορούμε να αναπαραστήσουμε τις μαγνητικές ιδιότητες ενός φερομαγνητικού υλικού παριστάνοντας γραφικά την μαγνηηκή επαγωγή Β για διάφορες τιμές πεδίου Η. Αυτή η γραφική αναπαράσταση[σχήμα 1.2] ονομάζεται βρόγχος υστέρησης (hysteresis loop) και ο όρος υστέρηση (hysteresis) σημαίνει (οταθυστέρηση» και μέσω αυτής μπορούμε να δούμε εάν φερομαγνητικό υλικό είναι κατάλληλο για εφαρμογές ή όχτ Επί παραδείγματα υλυτά για συσκευές μετατροπής χρειάζεται να έχουν υψηλή διαπερατότητα και χαμηλές απώλειες υστέρησης, υλικά για ηλεκτρομαγνήτες χρειάζεται να έχουν χαμηλή παραμένουσα μαγνήτιση (remanence) και πιεστικότητα (coercivity) ούτως ώστε να εξασφαλίζουν ότι η μαγνήτιση μπορεί εύκολα να μειωθεί στο μηδέν 0 όπως απαιτείται και τέλος υλικά για μόνιμους μαγνήτες χρειάζονται υψηλή παραμένουσα μαγνήτιση και πιεστικότητα ούτως ώστε να διατηρούν τη μαγνήτιση για όσο περισσότερο γίνεται Οι ιδιότητες των μαγνητικών υλικών που χρησιμοποιούμε σε μέσα σκληρών δίσκων μπορούν να υποδιαιρεθούν σε μακροσκοπυτές και μικροσκοπικές. Στις μακροσκοπικές ιδιότητες περιλαμβάνεται η πιεστικότητα (coercivity He), η remanence-thikness product(m,δ), η coercive squareness(s ), και η squareness(s). Η πιεστικότητα δηλώνει την δύναμη ενός αντίθετα εφαρμοζόμενου μαγνητικού πεδίου, το οπ»ίο μειώνει την μαγνητική επαγωγή στο μηδέν. Η παραμένουσα μαγνήτιση

10 Κεφάληω 1 Εισαγωγή τκριγράφη την πμή της παραμένουσας ετιαγίογής ή μαγνήτισης όταν έχουμε ατωμακρύνει το εφαρμοζόμενο πεδίο αφού όμως πρώτα το υλικό έχει πλήρως μαγνητιστεί Γενικά οι μακροσκοτηκές ιδιότητες καθορίζουν το σχήμα, το πλάτος και την ανάλυση του επιστρεφόμενου παλμού. Ατιό την άλλη πλευρά οι μικροσκοτηκές ιδιότητες όπως το μέγεθος του σωματιδίου, η συσχέτιση των σωματιδίων καθώς και ο κρυσταλλογραφικός προσανατολισμός των σωματιδίων καθορίζουν τις ιδιότητες του θορύβου των φιλμ [Tsiantos 2000], Σχήμα 1.2: Βρόγχος υστέρησης (Hysteresis loop) 1.4 Micromagnetics Σκοπός των μικρομαγνητικών μοντέλων είναι να προσδιορίζουν την συνολική ενέργεια ενός συστήματος που περιέχει φερομαγνητικά υλικά και στη συνέχεια να ελαττώσει αυτή την ενέργεια. Αυτό το ελάχιστο της ενέργειας συνήθως περιλαμβάνει την ενέργεια ανταλλαγής (exchange), την ενέργεια ανισοτροπίας (anisotropy), την ενέργεια του εφαρμοζόμενου πεδίου (applied field) και την μαγνητοστατική ενέργεια (magnetostatic self-energy). Έχει βρεθεί ότι μπορεί να υπάρχουν περισσότερα του ενός τοτηκά ελάχιστα για την ίδια συνολική ενέργεια ενός εφαρμοζόμενου πεδίου, όμως όταν ο κορεσμός της μαγνήτισης προκύτπει από ένα αρκετά μεγάλο πεδίο υπάρχει ένα μόνο ελάχιστο της συνολικής ενέργειας. Εάν θέλουμε να προσομοιώσουμε την μαγνητική συμπεριφορά των φερομαγνητικών υλικών μπορούμε να τα αναπαραστήσουμε σαν μια συλλογή από σωματίδια ή στοιχεία και ύστερα να επιλύσουμε ένα μεγάλο σύστημα κανονικών διαφορικών

11 Κεφάλαιο 1 Εισαγαηητ εξισώσεοιν (Ordinary Differential Equations- ODEs) με μια δοσμένη αρχιιαί τιμή. Το σύστημα των (ODEs) δημιουργείτσι με την χρήση της Landau-Lifshitz-Gilbert (LLG) εξίσωσης, η οποία αναπαριστά την δυναμική συμπερκρορά ενός μαγνητικού σωματιδίου υπό την επίδραση ενός εφαρμοζόμενου πεδίου. Η λύση αυτής της ομάδας των εξισώσεων οδηγεί στο σωστό τοπικό ελάχιστο ενάργειας. Εξαιτίας τού γεγονότος ότι ο αριθμός των σωματιδίων μπορεί να είναι πάνω από 10000, η επίλυση του συστήματος των (ODEs) είναι μια δύσκολη εργασία και εάν υπάρχουν αλλαγές στις setup τταραμέτρους των συγκεκριμένων προσομοιώσεων μπορεί το πρόβλημα να μετατραπεί από μη-σταθερό (non-stiff) σε ήμι-σταθερό (mildly-stiff) ή ακόμα και σε σταθερό (stiff) και αυτό αυξάνει το επίπεδο της δυσκολίας και κατά συνέπεια τον χρόνο υτιολογισμού και επίλυσης αυτών των εξισώσεων. Ο αριθμηηκός μικρομαγνητισμός (Numerical micromagnetics) έχει χρησιμοποιηθεί για να προσομοιώσει πρακτ^ά υλικά με σκοπό να διερευνήσει τις μαγνητικές ιδιότητες σε δομές, σε πολύ μικρή κλίμακα όπου η φυσική μικροδομή των υλικών παίζει τιολύ σημαντικό ρόλο. Μερικά παραδείγματα από πρακτικά υλικά όπου η μικρομαγνητική μοντελοποίηση έχει χρησιμοποιηθεί είναι τα ακόλουθα: 1) Λεπτά φιλμ υψηλής πιεστικότητας (coercivity) για συσκευές μαγνητικής εγγραφής. 2) Εκλετττυσμένα (fine) σωματίδια για συσκευές μαγνητικής εγγραφής. 3) Μικρής κλίμακας μαλακά και ανθιστάμενα στη μαγνήτιση (Magneto-Resistive) μαγνητικά στοιχεία. 4) Μόνιμα μαγνητικά υλικά. Ωστόσο, η συμβατική τεχνολογία αποθήκευσης προσεγγίζει το υπερπαραμαγνητικό (superparamagnetic) όριο στο οποίο τα αποθηκευμένα bits μπορεί να σβηστούν από μόνα τους και νέα μαγνητικά υλικά με μαι διαφορετική προσέγγιση θα λάβουν χρήση. Μια προσέγγιση είναι να χρησιμοποιηθούν νέα μαγνητικά μέσα με υψηλή ανισοτροπία, αλλά αυτό απαιτεί οι κεφαλές εγγραφής να ελευθερώνουν πιο έντονο μαγνητικό πεδίο, το οποίο με τη σειρά του απαιτεί υψηλότερο κορεσμό μαγνήτισης του μαλακού μαγνητικού υλικού που χρησιμοποιείται στις κεφαλές εγγραφής. Για παράδειγμα, φιλμς από νέο μαλακό μαγνητικό υλικό βασισμένα σε Fe-Co-Ni με

12 Κεφάλαιο 1 κορεσμό μαγνήτισης 24KG, ξεπέρασαν όλα τα μέχρι τώρα διαθέσιμα μαλακά μαγνητικά υλικά, με μια ανώτερη διαπερατότητα από 1000 έως πάνω από 1.2GHz. Αυτά τα φιλμς έχουν μια coercivity στους δύσκολους άξονες (hard axes) O.60e και μια καθαρή (in-plain) μονοαξονική ομασοτροπία. Είναι πολύ ελπιδοφόρα, στο να επεκτείνουν το υπερπαραμγνητικό όριο της μαγνητικής εγγραςτής ενώ μπορούν να κατορθώσουν ένα ρυθμό δεδομένων πάνω από 2.4Gbits/s, όπως επίσης και σε συσκευές με ολοκληρωμένο πηνία σε gigahertz καθώς επίσης και σε άλλες ηλεκτρομαγνητικές συσκευές [Wang], Ένα άλλο εττίτευγμα της μικρομογνητικής μοντελοποίησης είναι η ανάπτυξη της Magnetoresistive Random Access Memory (MRAM). Αυτός ο νέος τύπος RAM είναι μια μη μεταβλητή σταθερής κατάστασης μνήμη και φιλοδοξεί να αντικαταστήσει την flash memory και την EEPROM όπου η ταχεία εγγραφή ή η υψηλή διατήρηση της εγγραιρής είναι τα ζητούμενα και στο απώτερο μέλλον σαν γενικό σκοπό διάβασμα/εγγραφή RAM. Από τη μια πλευρά 2 σημανηκοί στόχοι της ανάπτυξης της MRAM είναι να βελτιώσει την κατασκευαστική ικανότητα για την MRAM και να επεκτείνει την πυκνότητα της MRAM σε διαστάσεις των loonm, αλλά από την άλλη πλευρά 2 ενδεχόμενοι φραγμοί στην επιτυχία παραγωγής της MRAM είναι η απόδοση των μαγνητικών κελιών και η κλιμάκωση στις διαστάσεις των loonm [Eteoghton],

13 ΚΕΦ ΜΑΙΟ 2 ΜΙΚΡΟΜΑΓΝΗΤΙΣΜΟΣ 2.1 Η του μικρομαγνητισμου Ο μνκρομαγνηησμός είναι μια θεωρία, που πήρε το όνομά της από τον William Fuller Brown. Ο Brown βασίστηκε σε μια δημοσίευση των Landau και Lifshitz το 1935 επάνω στη δομή των τοίχων επικράτειας «domain walls» [σχήμα 2.1] ανάμεσα σε δύο αντυιαράλληλες μαγνητικές περιοχές και ήθελε να δώσει έμφαση στο γεγονός ότι αυτή η θεωρία θα έπρεπε να περιγράφει τις λεπτομέρειες των τοίχων (walls) οι οποίοι δαιχωρίζουν τις μαγνηηκές περιοχές σε αντίθεση με την θεωρία των domain η οποία μελετά τις περιοχές αλλά απορρίτττει τους walls ανάμεσα. Οι μικροσκοτηκές λεπτομέρειες της ατομικής δομής αγνοούνται και το υλικό μελετάται από την μακροσκοπική πλευρά θεωρώντας το σαν συνεχές [Scholz]. Η θεμελιώδης προσέγγιση στον μικρομαγνητισμό ενδόμυχα σχετίζεται με την δομή του υλικού και γι αυτό ο μυιρομαγνητισμός μπορεί να είναι χρήσιμος για τον σχεδωσμό καινούργιων υλικών. Fui παράδειγμα, το βασικό θέμα ως προς τη μικροδομή ενός λεπτού φιλμ σε μέσα εγγραφής είναι ο τύπος των κόκκων. Αυτά τα φιλμ είναι π»λυκρυσταλλικά με μαγνητικούς κρυστάλλους τοποθετημένους στο φιλμ με σχεδόν ομοιόμορφο τρόπο. Οι ιδιότητες της μαγνητικής υστέρησης των φιλμ βρίσκεται σε στενή συνάρτηση με την μικροδομή των φιλμ. Εάν σκεφτούμε το φιλμ ως ένα σύνολο στενά τοποθετημένων μαγνητικών κόκκων, οι ιδιότητες της υστέρησης δεν εξαρτώνται μόνο από τις πηγαίες μαγνηώκές ιδιότητες του κάθε κόκκου ανεξάρτητα αλλά και από την μαγνητική αλληλεπίδραση

14 συμπερτλαμβανομένοιν της μαγνητοσταηκής καν της exchange μεταξύ τνον κόκκων του φιλμ [Zhu]. Σχήμα 2.1: Τοίχος επικράτειας Ελάττωση της ενέργειας Σκοπός μας στον μνκρομαγνητνσμό είναι να προσδιορίσουμε την συνολική ενέργεια ενός συστήματος που περιέχει φερομαγνητικά υλικά και ύστερα να ελαττώσουμε την ενέργεια. Αυτό το ελάχιστο ενέργειας είναι η ισορροπία της διανεμημένης μαγνήτισης και συνήθως περιλαμβάνει την exchange energy, την anisotropy energy, την ενέργεια αλληλεπίδρασης με ένα εφαρμοζόμενο πεδίο, και την magnetostatic self-energy ή αλλιώς την ενέργεια απομαγνήτισης (demagnetizing energy). Αποδεικνύεται ότι μπορεί να υπάρχουν περισσότερα του ενός τοπικά ελάχιστα της συνολικής ενάργειας για ένα δοσμένο εφαρμοζόμενο πεδίο, όμως όταν έχουμε κορεσμό από ένα πολύ μεγάλο πεδίο υπάρχει μόνο ένα Μιας και μόνο μια από αυτές τις ελάχιστες ενέργειες ανταποκρίνεται στην κατάσταση της απολύτου ελαχίστης ενέργειας οι άλλες πρέπει να είναι σχεδόν ασταθείς (metastable). Αυτές μπορεί να επτμένουν για πολύ μεγάλους χρόνους. Αυτές οι επίμονες σχεδόν ασταθείς καταστάσεις είναι υπεύθυνες για την καταγωγή της υστέρησης [Tsiantos 2000]. Εάν θέλουμε να προσεγγίσουμε το ελάχιστο ενέργειας της μαγνήτισης Μ σε συγκεκριμένες θέσεις επάνω σε μια τυχαία δομή ή μικροδομή υπάρχουν 2

15 Κε(ράλαιο2 Μιχρομαγνηησμός διατυτιώσεις [σχήμα 2.2]. Αυτές οτ διατυττώσεις είναι η ενέργεια (στατική, static) και το ενεργό τιεδίο (δυναμική, dynamic). Η διατύτιωση του ενεργού τιεδίου μπορεί να υποδιαιρεθεί σε δύο μεθόδους, σε μία που ευθυγραμμίζει την μαγνήτιση Μ με το ενεργό τιεδίο, heff, άμεσα και η δεύτερη που ολοκληρώνει την μαγνήτιση Μ ως την ισορροτιία [Tsiantos 2000]. Σχήμα 2.2: Δυναμική και σταηκή διατύπωση στον μικρομαγνητισμό Μοντέλα προσομοίωσης Η μοντελοποίηση μέσω υπολογιστή σε συνδυασμό με πειραματικές μελέτες μπορούν να μας τιαράσχουν την κατάλληλη κατανόηση των συσχετίσεων μεταξύ των μαγνηηκών ιδιοτήτων των φιλμ και της απόδοσης εγγραφής με την μικροδομή των φιλμ και τις μαγνητικές τιαραμέτρους του υλικού όπως επίσης και την κατανόηση της βαθύτερης φυσικής που κυβερνά την διαδικασία μαγνήτισης αυτών των φιλμ. Η εξίσωση των Landau-Lifschitz-Gilbert (LLG) χρησιμοποιείται για να αποκτήσουμε την δυναμική συμπεριφορά της μαγνήτισης σ ένα σωματίδιο.

16 Κεφάλακ)2 Μυφομπγνητισμός Στην τταρούσα πτυχιακή εργασία χρησιμοποιήσαμε το υπολογιστικό μοντέλο GRAINS των Μ. Jones and J.J.Miles [Jones], ότιου χρησιμοτιοιούν την εξίσωση LLG για να προσομοιώσουν την μαγνητική συμπεριφορά σε μια μεταλλική εξατμιζόμενη ταινία. Αρχικά το GRAINS εκτελεί την ολοκλήρωση με την χρήση μιας μεταβλητής τάξεως και βήματος μεθόδου Adams (NAG D02CHF routine), ύστερα το γνωστό ODEPACK ενσωματώθηκε από τον Β. Τσιάντο [Tsiantos 2000], και τελικά χρησιμοποιήθηκε η ρουτίνα LSODKR [Tsiantos 2000], 2.2 Ελάττωση ενέργειας μέσω των εξισώσεων γενικής περίτττωσης του Brown. Υποδιαιρώντας το μαγνητικό υλικό σ ένα αριθμό στοιχείων (ί=1,...,ν) η συνολική ενέργεκι του αθροίσματος των στοιχείων μπορεί να εκφραστεί ως; r/ - ^ ^m,i + (2.1) όπου είναι η μαγνητοστατική ενέργεια ή αλλιώς η ενέργεια απομαγνήτισης,, είναι η εξωτερική ενέργεια του εφαρμοζόμενου πεδίου ή αλλιώς η ενέργεια Zeeman, E^j είναι η ενέργεια ανταλλαγής, E^j είναι η ενέργεια ανισοτροπίας και Ε^, είναι η μαγνητοελαστική (magnetoelastic) ενέργεια. Αυτή η ενέργεια (Ε^^^ ) μπορεί ύστερα να ελαττωθεί ώστε να αποκτήσουμε την μαγνήτιση στην ισορροπία για οποιοδήποτε δοσμένο εφαρμοζόμενο πεδίο με το να αλλάζουμε την διεύθυνση της μαγνήτισης. Το βασικό αποτέλεσμα αυτού ελαττώνεται όταν; του χειρισμού είναι η απόδειξη όπ η ενέργεια Μ χη ^^ = 0 δηλαδή όταν η μαγνήτιση Μ ευθυγραμμίζεται με το «πραγματικό πεδίο» το οποίο δίνεται από; 1 de μ, ά Μ ^ (2.2) και σε καρτεσιανές συντεταγμένες [Miles] de. de ^. de ^ de ^ dm X ^ dm, dm, (2.3)

17 2.3 Ενέργεια μαγνητοστατική ή απομαγνήτισης (magnetostatic energy or demagnetizing energy) H μαγνητοστατική ενέργεια προέρχεται από τις κλασσικές αλληλεπιδράσεις μεταξύ των μαγνητικών δίπολων. Η μαγνητοστατική ενέργεια δίνεται; Ε ^ ^ Μ {r) Η ^{r)d v (2.3) Το πραγμαηκό πεδίο που προκύπτει από το μαγνητοστατικό πεδίο δίνεται από; // = -Υ φ έτσι ώστε H ( r ) = M ( r ) - «( r - r ) ^ k - ' f [ V - M ( r ') ( r - r )! k - ^ f (2.4) 2.4 Εξωτερικό ή εφαρμοζόμενο ττεδίο (external or applied field or Zeeman energy) H ενέργεια ενός μαγνητικού σώματος υπό την επίδραση ενός εξωτερικού πεδίου δίνεται; = - μ ^ μ (2.5) 2.5 Ενέργεια ανταλλαγής (exchange energy) Τα φερομαγνητικά (fenoma&etic) ή τα φεριμαγνητικά (ferrimagnetic) υλικά χαρακτηρίζονται από μια αυτοφυή μαγνήτιση κατά την απουσία ενός εφαρμοζόμενου πεδίου. Αυτή η αυτοφυής μαγνήτιση προέρχεται από το ταίριασμα (coupling) του Heisenberg μεταξύ δύο περιστροφιόν και το πραγματικό πεδίο δίνεται από τη σχέση; /^ ο Μ, (2.6) ή εναλλακτικά η ενέργεαι ανταλλαγής αποκτάται από ένα άθροισμα διακριτών I f ( σωματιδίων; Ε ^ ^ ^ ^ ι ' ^ j ~ ^ i ' ij Μ 2 ' 2 % τότε Η [ = ---- ^ C ijm j Mo % (2.7)

18 2.6 Ενέργεια μαγνητοκρυσταλλικής ανισοτροπίας (m lotropy) Η μαγνητοκρυσταλλικής ανισοτροπίας είναι συνήθως μικρή συγκρινόμενη με την ενέργεια ανταλλαγής αλλά η διεύθυνση της μαγνήτισης καθορίζεται μόνο από την ενέργεια ανισοτροπίας, γιατί η αλληλεπίδραση της ενέργειας ανταλλαγής προστιαθεί μόνο να ευθυγραμμίσει παράλληλα τις μαγνητικές ροπές, ανεξαρτήτως κατά ττια διεύθυνση. Η ενέργεια της ανισοτροπίας δίνεται από; Η k = - 1 d E, μ, dm (2.8) η οποία για ομοαξονική ανισοτροπία ( κρύσταλλοι τοποθετημένοι εξαγωνικά απορρίπτοντας την ασθενή ανισοτροτπα του βασικού επιπέδου) {Κ, Μ) + y ok,m ; -{Κ, Μ)\\ (Κ, Μ γ τια όλο που ο δεύτερος και οι υψηλότεροι αυτού τιαράγοντες κανονικά αγνοούνται. Βάζοντας 2Κ =----- και απορρίπτοντας όλους τους τιαράγοντες εκτός του πρώτου. έχουμε Η, = Η, {Κ^ Μ)Κ, (2.9) 2.7 Μαγνητοελαστική ενέργεια (magnetoelastic energy) Η μαγνητοελαστική ενέργεια, η οποία προέρχεται από την magnetostriction energy, συνήθως τιαραλείπεται για δύο λόγους. Όταν ένας φερομαγνήτης μαγνητίζεται συρρικνώνεται (ή διαστέλλεται) κατά τη διεύθυνση της μαγνήτισης. Ως αποτέλεσμα, η ένταση αλλάζει και μαζί με αυτή ο κορεσμός της μαγνήτισης, ο οποίος ορίζεται ως η μαγνητική ροτιή στον κορεσμό ανά μονάδα έντασης. Ωστόσο, στον μικρομαγνητισμό μια βασική υπόθεση είναι ότι ο κορεσμός της μαγνήτισης παραμένω (παθερός. Δεύτερον, ένα μεγάλο μέρος της πηγαίας magnetostriction σ ένα φερομαγνηηκό κρύσταλλο μπορεί να εκφρασθεί από τον ίδιο μαθηματικό τύτιο ως μαγνητοκρυσταλλική ανισοτροπία. Εάν οι σταθερές της ανισοτροπίας έχουν

19 ληφθεί από πείραμα, η επίδραση της magnetostriction έχει ίδη τιεριληφθεί, και γτ αυτό δεν χρειάζεται να την λάβουμε υπόψη ως έναν επιπλέον παροτγοντα [Scholz], 2.8 Η δυναμική εξίσωση (dynamic equation) Η επίλυση της εξίσωσης του Brown μας δίνα την διανομή της μαγνήτισης στην ισορροττία. Εάν εμείς ενδιαφερόμαστε για τις δυναμικές ιδιότητες και την εξέλιξη στον χρόνο της μαγνήτισης, θα πρέττει να λάβουμε υπόψη την μετάπτωση της μαγνήτισης σε ένα μαγνητικό πεδίο. Η ροπή 1δίνεται από τον ρυθμό αλλαγής της γωνιακής επιτάχυνσης g με το χρόνο η ροπή που δρα σε μια μαγνηηκή ροττή m σε ένα μαγνητικό πεδίο Η δίνεται από 1 = τηχη η μαγνηηκή ροττή συνδέεται με την γωνιακή ετητάχυνση με τον γυρομετρικό (gyrometric) λόγο γ γ 2m. As g» 2 είναι ο παράγοντας Lande, e το βασικό φορτίο, και m. η μάζα του ηλεκτρονίου. Η σταθερά του μαγνηηκού ττεδίου Ρο έχει ενσωματωθεί στην γ. Από τον παραπάνω ορισμό η γ είναι θετική αλλά το φορτίο ηλεκτρονίου είναι αρνητικό. Ως αποτέλεσμα, παίρνουμε = - ym X Η dt (2.10) ως την εξίσωση της κίνησης της μαγνητικής ροπής του ηλεκτρονίου. Μπορούμε να αντικαταστήσουμε την μαγνητική ροπή των ηλεκτρονίων από την μαγνήτιση. Το μαγνητικό πεδίο, το οποίο οδ-ηγεί την μετάπτωση, μπορεί να

20 αναγνωριστεί με το πραγματικό ηχδίο αλλά εμείς απλά γράφουμε Η. Έτσι, Η εξίσωση περιγράφει την μη απορρυττέα μετάτιτωση του διανύσματος της μαγνήτισης Μ σχετικά με τη διεύθυνση του πεδίου. Πρόκειται για την ευρέως γνωστή μετάπτωση Larmor [σχήμα 2.3] με τη συχνότητα Larmor να είναι ω = γη. Είναι γνωστό ατιό πειράματα, ότι αλλαγές στην μαγνήτιση εξασθενούν σε πεπερασμένο χρόνο. Αφού αυτή η απόρριψη δεν μπορεί να προκόψει ακριβώς από βασικές αρχές, απλά προστίθεται από ένα φαινομενολογικό παράγοντα. Στην πραγμα πκόιητα προκαλείται από μια σύνθετη αλληλετπδραση των μαγνητικών ροπών των ηλεκτρονίων με το κρυσταλλικό πλέγμα Ο Gilbert πρότεινε ένα c παράγοντα της μορφής με την χωρίς διαστάσεις απορριφθείσα (damping) παράμετρο α. Μια παλιότερη μοριρή της Landau και Lifshitz είναι ισοδύναμη της α, η οποία συνήθως γράιρεται ως με την χωρίς διαστάσεις damping παράμετρο λ. Η σχέση μεταξύ της α και της λ μπορεί να προκόψει ως ακολούθως. Πρώτα, εφαρμόζουμε το Μ και στις δύο πλευρές της εξίσωσης του Gilbert dm α,,, dm ---- = -γμ χη Μ χ dt Μ, dt (2.11) Εφόσον το δεξί μέρος της εξίσωσης μηδενίζεται, παίρνουμε Μ. = 0 dt

21 Έτσι, εξασφαλίζεται, ότν ο κορεσμός της μαγνήτισης Μ[ = Μ, παραμένει σταθερή κατά την κίνηση. Όταν εφαρμόζουμε Μ χ και στις δύο πλευρές της εξίσωσης του Gilbert, παίρνουμε Μχ = -γμ χ(μ χη ) + Μ χγμ χ 1 dt ' ^ ^ Μ, Ι dt J = -γμ χ(μ χη )+ μ Λ dt j -γ Μ χ (Μ χ Η )-α dt (2.12) Μ X Μ V Η - Μ X Η Σχήμα 2,3: Η μετάπτωση Larmor με dumping Εάν αντικαταστήσουμε αυτό το αποτέλεσμα στην (2.11), φθάνουμε στην (ΐ + α ^ ) ^ = - γ Μ χ Η -γ Μ χ(μ χη). dt Μ = - γ 'Μ χ Η - - ^ Μ χ ( Μ χ Η ). [Scholz] Ο Kikuchi και πιο πρόσιρατα ο Mallinson επισήμαναν ότι αφού οι παράγοντες απόρριψης και μετάπτωσης είναι ορθογωνικοί ο ένας με τον άλλο και επίσης με το Μ, μπορεί να υπάρξει μόνο μία τφαγμαηκή περιγραιρή της κίνησης της απορριφθείσας μετάπτωσης (damped precessional motion) και όη οι δύο τύποι (Landau- Lifshitz και Gilbert) είναι ισοδύναμοι, όπως παρουσιάστηκε από τον Brown. Ο παραπάνω τύπος αναφέρεται ως η Landau- Lifshitz -Gilbert (LLG)

22 Κεφάλαιο 2 Μικρομαγνητισμχ^ς equation, ή ο Landau- Lifehitz τύτιος της εξίσοοσης του Gilbert. Ο τρόπος επίλυσης της LLG εξίσωσης μας επιτρέπει να βρούμε την κατάσταση ισορροπίας με την χρήση κανονικών ODE solvers, οχ οποίοι είναι από δημιουργίας σχεδιασμένοι να ακολουθούν μια τροχιά τιου ορίζεται από ένα βαθμωτό άνυσμα. Ένας τυπικός solver θα χρησιμοποιήσει μια υψηλής τάξης πολυώνυμο προσέγγιση για να λύσει με ακρίβεια για Μ(ί), και γι αυτό θα αναμένεται να αναγνωρίσει το σωστό τοτηκό ελάχιστό υπό τον όρο ότι οι περιορισμοί για την ακρίβεια δεν είναι αρκετά ελαστικοί [Miles].

23 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 θεωρία της Υστέρησης στα Φερομαγνητικά Υλικά ΘΕΩΡΙΑ ΤΗΣ ΥΣΤΕΡΗΣΗΣ ΣΤΑ ΦΕΡΟΜΑΓΝΗΤΙΚΑ YAHCA 3.1 Εισαγωγή Θα ήταν πολύ χρήσιμο να μπορούμε να περιγράψουμε την υστέρηση μαθηματικά με σκοπό να μοντελοποιήσουμε τις μαγνηηκές ιδιότητες των φερομαγνητικών υλικών. Το μοντέλο Preisach χρησιμοποιείται ευρέως στη βιομηχανία μαγνητικής εγγραςχής για την περιγραφή των μαγνητικών χαρακτηριστικών των κασετών εγγραφής, ενώ το μοντέλο Stoner-Wohlfaith της αντιστροςχής της υστέρησης το οποίο εφαρμόζεται σε σωματίδια μονής-περιοχής, έχει βρει εφαρμογή για την μοντελοποίηση των ιδιοτήτων των σκληρών μαγνητικών υλικών. Οι περιοχές ομοιόμορφης μαγνήτισης αναφέρονται ως επικράτειες (domains). Η περιοχή μετάβασης από την μια επικράτεια στην άλλη αναφέρεται ως τοίχος επικράτειας (domain wall). Η κυρίαρχη αιτία της υστέρησης σε δείγματα π»λυπεδίων βασίζεται στην κίνηση του τοίχου επικράτειας (domain-wallmotion) [Jiles]. 3.2 To μοντέλο STONER-WOHLFARTH Ένα μαγνητικό μέσο αποτελούμενο από μικρά σωματίδια μπορεί να έχει μια πολύ μεγαλύτερη πιεστικότητα (coercivity) από ένα συνεχές μέσο. Οι Stoner-Wohlfarth πρότειναν ένα μοντέλο για να αναλύσουν αυτή την περίπτωση μέσω ενός ελλειψοειδούς σωματιδίου και χρησιμοποίησαν ένα θεώρημα που είχε παρουσιάσει ο Maxwell, ότι το πεδίο απομαγνήτισης ενός ομοιόμορφα μαγνητισμένου ελλειψοειδούς είναι επίσης ομοιόμορφο. Έτσι, είναι δυνατόν να έχουμε ένα αντικείμενο στο οποίο το εςκιρμοζόμενο πεδίο, το πεδίο απομαγνήτισης, και η μαγνήτιση είναι όλα ομοιόμορφα Αυτό το μοντέλο ονομάζεται «the coherent magnetization model», Εάν τα υλικά είναι αρκετά μεγάλα τότε είναι δυνατόν να

24 Κεφάλαιο 3 Θεωρία της Υστέρησης στα Φερομαγνητικά Υλικά υτιάρξουν άλλα μοντέλα μαγνήτισης, αλλά για σώματα στα οτιοία η μεγαλύτερη τους διάσταση είναι μικρότερη ατιό το πλάτος ενός τοίχου επικράτειας, τότε μόνο το μοντέλο της ομοιόμορφης μαγνήτισης είναι δυνατό. Σ αυτές τις περιπτώσεις λέμε ότι το σωματίδιο είναι μονής επικράτειας (single domain particle). Φυσικά εάν το σωματίδιο είναι πολύ μικρό, η θερμική ενέργεια μπορεί να είναι αρκετή ώστε να το απομαγνητίσει, και το σωματίδιο θα γίνει υπερτιαραμαγνητικό (superparamagnetic). Αυτό σημάίνει ότι θα συμπεριφέρεται σαν τιαραμαγνηηκό σωματίδιο με μια πολύ μεγάλη ροπή. Το μοντέλο Stoner-Wohlfarth υποθέτει ότι το σωματίδιο είναι ελλειψοειδές και ότι οι εύκολοι άξονες (easy axes) του είναι ευθυγραμμισμένες με τους μονοαξονακούς εύκολους άξονες της μαγνητοκρυσταλλικής (magnetocrystalline). Υποθέτει ακόμα ότι ενώ η μαγνήτιση περιστρέφεται το μέγεθός της παραμένει σταθερό. Επειδή εμείς υποθέτουμε ότι το σωματίδιο είναι μονής επικράτειας, δηλαδή ότι είναι ομοιόμορφα μαγνητισμένο η ενέργεια ανταλλαγής είναι μηδέν. Καθώς η μαγνήτιση του σωματιδίου περιστρέφεται, το πεδίο απομαγνήτισης αλλάζει σε μέγεθος και έτσι η ενέργεια απομαγνήπσης αλλάζει γιατί η παράγοντες απομαγνήτισης κατά μήκος των διαφόρων αξόνων του σωματιδίου διαφέρουν. Ύστερα η μαγνήτιση θα προσανατολισθεί κατά τέτοιο τρόπο ώστε η συνολική ενέργεια- το άθροισμα του εςταρμοζόμενου πεδίου, της ενέργειας απομαγνήτισης και της ανισοτροπίας σχήματος (shape anisotropy) - μειώνεται Το άθροισμα των δύο τελευταίων ενεργειών θα αναφέρεται απλά ως ενέργεια ανισοτροπίας. Θα υποθέσουμε ότι ένα πεδίο εφαρμόζεται οριζόντια σ ένα σωματίδιο του οποίου οι εύκολοι άξονες δημιουργούν μια γωνία β με αυτό όπως φαίνεται στο παρακάτω σχήμα [3.1]. Όλες οι γωνίες μετρώνται κατά τη διεύθυνση των δεικτών του ρολογιού, έτσι ώστε θ, η γωνία που σχηματίζη η μαγνήτιση σε σχέση με τους εύκολους άξονες του σωματιδίου, όπως απεικονίζεται, να είναι αρνητική. Εμείς τώρα θα δούμε, ότι εάν το εφαρμοζόμενο πεδίο είναι μηδέν, η μαγνήτιση θα εκτείνεται κατά μήκος των εύκολων αξόνων του σωματιδίου; ωστόσο, μπορεί να προσανατολισθεί με άλλο τρόπο κατά μήκος των αξόνων. Έτσι, η ενέργεια ανισοτροπάας θα είναι διπλά περιοδική καθώς η μαγνήτιση περιστρέφεται. Επίσης θα δούμε ότι η ενέργεια του ειραρμοζόμενου πεδίου είναι μη κατευθυνόμενη και έτσι είναι μονά περιοδυοή.

25 Κεφάλαιο 3 θεωρία της Υστέρησης στα Φερομαγνητιχά Υλικά Ο Maxwell έδειξε ότι για ένα ομοιόμορφα μαγνητισμένο ελλειψοειδές, το πεδίο απομαγνήτισης είναι επάσης ομοιόμορφο, παρ όλο που δεν είναι ανππαράλληλο σ αυτό. Το πεδίο απομαγνήτισης μπορεί να γραφεί ως το προϊόν του τανυστή απομαγνήτισης. Ο τανυστής απομαγνήτισης είναι διαγώνιος εάν το ζεύγος συντεταγμένων έχουν επιλεγεί να είναι οι κύριοι άξονες του ελλειψοειδούς. Σ αυτή Σχήμα 3,1: Περιγραφή σφαιροειδούς σωματιδίου από τους Stoner-Wohlfarth την περίτττωση τα διαγώνια στοιχεία αναφέρσνται ως τιαράγοντες απομαγνήτισης, και το πεδίο απομαγνήτισης Η δίνεται από (3.1) όπου D,Dy,Dj είναι οι παράγοντες απομαγνήτισης κατά μήκος τιον 3 κύριων αξόνων του ελλειψοειδούς. Ο Maxwell έδειξε ακόμη ότι D,+Dy + D^=l. (3.2) Για ένα σφαιροειδές, εάν y και ζ είναι οι δύο ίσοι άξονες, τότε D, = D. = 1 ^. ' " 2 Είναι αρκετά γνωστό ότι γι αυτό το σφαιροειδές D - ρ^= 1η(α + ι/α Μ ) - 1 ί γιαα>1, α ^ - ΐ [ ν α " - 1 J (3.3) (3.4)

26 θεωρίη της Υστέρησης στα Φερομηγνητικά Υλικά D, = ^ 1 1, sin~ V l-a ^ 1- α I ν ΐ - α " γιαα< 1, (3.5) όπου α είναι η αναλογία του μήκους του σωματιδίου κατά μήκος του άξονα χ προς το μήκος του σωματιδίου κατά μήκος άλλων αξόνων. Μπορεί να δειχθεί ότι καθώς το α προσεγγίζει τη μονάδα και για τους δύο τύπους, ο παράγοντας απομαγνήτισης προσεγγίζει το τιμή για μια σφαίρα. Μπορεί ακόμη να δειχθεί ότι όταν α=0, τότε =1, και για μεγάλο α γίνεται (3.4) γίνεται D,= - ^ ( ln 2 a - l), (3.6) και έτσι, ουσιαστικά πηγαίνει στο μηδέν επειδή J/ 2 Ένα γράςιημα του D ως συνάρτηση του α, έδειξε ότι 0 < < 1, και φαίνεται στο σχήμα [3.2]. Χρησιμοποιώντας τις μεταβλητές που απεικονίζονται στο [σχήμα 3.1] κοη την έκφραση για την ενέργεια απομαγνήτισης = -γ Jm -HodV, αποδηκνύεται ότι η ενέργεια απομαγνήτισης δίνεται από τον Wd = γ Μ Hd V = cos' θ+ θ j. (3.7) Εάν η D, είναι μικρότερη από τότε η γίνεται ελάχιστη όταν θ=0. Εάν τώρα το εφαρμοζόμενο πεδίο είναι μη μηδενικό, τότε πρέπει να προσθέσουμε μια ενέργεια εφαρμοζόμενου πεδίου, W σ αυτό, ότιου σύμφωνα με τη W = jbhdv, έχουμε W = -ΡοΗ Μ = -μ^μ, [η, cos θ + Η, sin θ J. (3.8)

27 θεωρία της Υστέρησης στα Φερομαγνητικά Υλικά Aspect ratio, ο 3.2: Ο παράγοντας απομαγνήτυτης ενός σιραφοειδούς ςπίναρτήση του aspect ratio. Εάν το σώμα τιαραμένεν ομοιόμορφα μαγνητισμένο, τότε η exchange energy είναι σταθερή. Αφού η μονοαξονική μαγνητοκρυσταλλική ανισοτροτιία έχει την ίδια χωρική μεταβολή όπως το πεδίο απομαγνήτισης, εάν οι εύκολοί τους άξονες συμπίπτουν, τότε οι δύο μπορούν να ενωθούν σ ένα μονό όρο, και ο ενεργός παράγοντας απομαγνήτισης πρέπει να αυξηθεί κατά Κ. Ωστόσο, εάν ο εύκολος άξονας του σωματιδίου δεν ευθυγραμμίζεται με τους άξονες της μαγνητοκρυσταλλικής, ένας ενεργός εύκολος άξονας ανάμεσα στα δύο πρέπει να υπολογισθεί Ένα γράιρημα της συνολικής ενέργειας, το άθροισμα της (3.7) και (3.8), φαίνεται στο σχήμα [3.3], για τρεις τιμές εφαρμοζόμενου πεδίου: μηδέν,, και Η,,, όπου Η ^ = 2Κ/Μ ονομάζεται πεδίο ανασοτροπίας. Φαίνεται ότι για μηδενικό εφαρμοζόμενο πεδίο, η ενέργεια έχει δύο ίσα ελάχιστα που απέχουν μεταξύ τους 180. Τότε η μαγνήτιση θα μπορούσε να προσανατολισθεί κατά μήκος οποιοσδήποτε από αυτές τις διευθύνσεις. Καθώς το πεδίο αυξάνεται, το ελάχιστο κοντά στις 180" ελαπώνεται ως προς την ενέργεια και μετακινείται προς τα αριστερά ενώ το ελάχιστο κοντά στις 0 αυξάνει και μετακηνείται προς τα δεξιά. Στο κρίσιμο πεδίο, το ελάχιστο κοντά στις 0" εξαφανίζεται και πάνω από αυτό το πεδίο υπάρχει μόνο ένα ελάχιστο. Όταν το πεδίο μειώνεται πίσω στο μηδέν, ο ενεργειακός φραγμός ανάμεσα στα δύο ελάχιστα εμποδίζω τη μαγνήτιση στο να πάει στο ελάχιστο κοντά στις 0. Έτσι,

28 Κεφάλαιο 3 θεωρία της Υστέρησης στα Φερομαγνητικά Υλικά φέρνοντας σε κορεσμό ένα μαγνηηκό υλικό είναι μια μέθοδος ώστε να το φέρουμε σε μια μοναδική μαγνητική κατάσταση. Με σκοτιό να λύσουμε το ενεργειακό ελάχιστο, ^ίρνουμε την συνολική ενέργεια η οποία δίνεται από την W -μομ.ν[η, cos0+hy cos" θ+ ^ ^ s in " ej, (3.9) την διαφορίζουμε σε σχέση με το θ, και την θέτουμε ίση με το μηδέν. Έτσι, αφού διαιρέσουμε με μ,μ,v,παίρνουμε 1 d W = μομ,ν m cos0-csin0cos0 = O, (3.10) όπον (3.11) Σχήμα 3 J : Η ενέργεια συναρτήσει της γωνίας μαγνήτισης για τρία εφαρμοζόμενα πεδία. Παρατηρήθηκε ότι για ωοειδή σωματίδια,, είναι μικρότερη από j /ζ, έτσι ώστε η C να είναι θετυσ). Για να καθορίσουμε εάν αυτό είναι ένα ελάχιστο ή ένα μέγιστο.

29 Κεφάλαιο 3 Θεωρία της Υστέρησης στα Φερομαγνητικά Υλικά τκιίρνουμε τη 2'' τιαράγωγο της ενέργειας ως προς θ, και παρατηρούμε J ---- ^ Υ cos θ - Η sin θ + C(sin^ θ - cos^ θ ). (3.12) μομ,ν 5Θ Αφού το σύστημα ψάχνει για ένα ενεργειακό ελάχιστο, αυτή η ποσότητα πρέπει να είναι θετική σε μια σταθερή κατάσταση ισορροπίας. Για να βρούμε το κρίσιμο πεδίο,,το οτιοίο είναι, η ημή του πεδίου στην οποία ένα από τα ελάχιστα εξαφανίζεται, λύνουμε για την τιμή η οποία κάνει την 2 παράγωγο μηδέν. Έτσι, εμείς παίρνουμε τη COS0 - Hy sin θ + C(sin^ θ - cos^ θ)=0. (3.13) Μτιορούμε να λύσουμε προς οο3θ πολλαπλασιάζοντας (3.10) με είηθ, πολλαπλασιάζοντας (3.13) με οοεθ και προσθέτοντας τα αποτελέσματα. Τότε κάτιοιος παίρνει cos0 = (H7C)''^ ή Η, =Ccos^0. (3.14) Παρόμοια, μτιορούμε να λύσουμε ως προς 8ίηθ πολλαπλασιάζοντας (3.13) με είηθ, πολλαπλασιάζοντας (3.10) με - οοεθ, και προσθέτοντας τα αποτελέσματα παίρνουμε sino = -(Hy/C ) ^* ή Hy = -Csin 0. (3.15) Αφού sin^ 0 + cos^ 0 = 1, μπορούμε να εξαλείψουμε τη θ από τον (3.14) και από τον (3.15). Έτσι H f + H f = C '^. (3.16) Η λύση αυτής της εξίσωσης ονομάζεται Slonczewski asteroid και απεucovίζεται στο [σχήμα 3.4]. Για να καθορίσουμε τη μαγνήτιση και την σταθερότητά της για ένα σωματίδιο κατά Stoner-Wohlfarth, κάνουμε τη γραφική παράσταση του διανύσματος του μαγνητικού πεδίου από την αρχή των συντεταγμένων όπως φαίνεται για δύο διανύσματα πεδίου στο [σχήμα 3.4]. Η διεύθυνση της μαγνήτισης αποκτάται με την σχεδίαση μιας εφαπτόμενης από τον αστεροειδή ως την άκρη του διανύσματος πεδίου. Το διάνυσμα της μαγνήτισης αποκτάται με τη σχεδίαση ενός διανύσματος του οποίου το μήκος δίνεται από M,V κατά μήκος αυτής της γραμμής. Φαίνεται όη όταν εφαρμόζουμε το Ηι, η άκρη του διανύσματος πεδίου πέφτει εκτός του αστεροειδούς, και υπάρχει μια μοναδική κατάσταση για τη μαγνήτιση, που υποδεικνύεται από το Μ,; ωστόσο, όταν εφαρμόζεται το H j, πέφτει εσωτερικά του αστεροειδούς και υπάρχουν 2 σταθερές καταστάσεις για τη μαγνήτιση, όπου και οι 2 υποδεικνύονται από το M j.

30 Θεωρία της Υστέρησης στα Φερομαγνητικά Υλικά Σχήμα 3.4: Slonczewski asteroid Η κανονικοποιημένη συναστώσα της μαγνή-ησης κατά μήκος του εςκχρμοζόμενου η^δίου δίνεται από ιη = οο5(θ + β). (3.17) Το εφαρμοζόμενο πεδίο που επιτυγχάνει αυτή τη μαγνήτιση το τιαίρνουμε λύνοντας την (3.10) Csin(2e) καθώς Η = - (3.18) 2sin(0+P) Η μεταβολή της θ με το εφαρμοζόμενο πεδίο παρουσιάζεται στο [σχήμα 3.5]. Φαίνετοα ότι για θετικά πεδία, η θ προσεγγίζει τη -β μονοτονικά ενώ η μαγνήτιση προσπαθεί να ευθυγραμμιστεί με το ειραρμοζόμενο πεδίο. Για αρνητικά πεδία, η θ αυξάνεται μέχρι που φθάνει την μεγίστη τιμή της και τότε μεταστρέφεται.

31 Θ. jpk της Υστέρησης στα Φερομαγνητικά Υλικά Σχήμα 3.5: Η μεταβολή της θ με το εφαρμοζόμενο τιεδίο για β=^.5 Εμείς θα προσδιορίσουμε την κρίσιμη γωνία ιος τη γωνία στην οποία το σωματίδιο μεταστρέφεται. Την αποκτούμε λύνοντας για την ημή της θ η οποία κάνει την (3.12) ίση με μηδέν. Έτσι είναι δυνατόν να σχεδιάσουμε την m συναρτήσει της Η μεταβάλλοντας τη θ μεταξύ β και. Αυτό σημαίνει, ότι κάποιος τφέπει να επιλύσει την αβέβαιη εξίσωση H cos(p+0m) - C cos(20^j) = O. (3.19) Eccv αντικαταστήσουμε την (3.18) σ αυτήν, και χρησιμοττοιήσουμε τις τριγωνομετρικές ταυτότητες της εφαπτομένης, παίρνουμε tanθ^^ = (tanβ)'^^ (3.20) Εάν κάποιος σχεδίαζε τη συνιστώσα της μαγνήτισης κατά μήκος του άξονα του εφαρμοζόμενου πεδίου, το οποίο είναι, Μ,οο5(θ + β), ως συνάρτηση του εφαρμοζόμενου ττεδίου, θα αποκτούσε τον βρόγχο υστέρησης ττου φαίνεται στο [σχήμα 3.6] για τρεις τιμές του β. Αυτά τα loops δείχνουν ότι για σωματίδια σε αρνητική κατάσταση, όταν το εφαρμοζόμενο πεδίο φθάνει το κρίσιμο πεδίο, το σωματίδιο ξαφνικά μεταστρέφεται στην θετική κατάσταση. Εάν η μαγνήτιση ήταν ακόμη αρνητική πριν τη μεταστροφή, αυτό το πεδίο είναι ακόμη η πιεστικότητα. Από

32 Κεφάλαιο 3 θεωρία της Υστέρησης στα Φερομαγνητικά Υλικά την άλλη μεριά, εάν η μαγνήτιοη ήταν ίδη θετική, η Η,^ είναι μεγαλύτερη από την πιεστικότητα. Η μεγαλύτερη τιμή της β, για την οποία η είναι ίση με την πιεστικότητα,είναι 45. Φαίνεται ότι όλοι οι βρόγχοι υστέρησης έχουν δύο κρίσιμα πεδία τα οποία είναι ίδια σε μέγεθος αλλά αντίθετα σε σήμα. ;! ί ' ; S i «I - ;! l! : :/ l i I h i f I! ^liedfield I Σχήμα 3.6: Πιθανοί βρόγχοι υστέρησης για σωματίδιο Stoner-Wohlfarit για β= 5", 25' και 45' Το κρίσιμο πεδίο ενός σωματιδίου συναρτήσει της γωνίας β του σωματιδίου σε σχέση με το εφαρμοζόμενο πεδίο μπορεί τότε να υπολογιστεζ από την (3.16) ως '' (cos β^''^ + sin β^^)^''^ (3.21) 'Οπως φαίνεται στο [σχήμα 3.7] αυτό το πεδίο είναι μέγιστο όταν β=0 ή ^. Όταν το β αυξάνει από το 0, το κρίσιμο πεδίο του σωματιδίου μειώνεται μέχρι το β= ^ και τότε αυξάνει πάλι στην τιμή που είχε για β=0 ή όταν β^/^2'

33 Ec 'ρία της Υίττέρησης ττα Φερομαγνητικά Υλικά Panicle field angle (degrees) 3 ^ Μεταβολή της πιεστικότητα και του κρίσιμου πεδίου με τη γωνία του σωματιδίου Για ημές του β πέραν του καθώς το πεδίο αυξάνει από αρνητικό κορεσμό, η μαγνήτιση πήγαινα μέσω του μηδενός πριν μεταστραφεί Έτσι, έχουμε να διακρίνουμε μεταξύ του κρίσιμου πεδίου, το ^ δ ίο στο οποίο η μαγνήτιση μεταστρέφεται, και την πιεστικότητα, το πεδίο στο οποίο η μαγνήτιση είναι μηδέν. Η πιεστικότητα ακολουθεί το κρίσιμο πεδίο μέχρι τα ^. Πέραν αυτού υπακούει στην (3.18) με την θ να τίθεται συμπλήρωμα της β, όπως φαίνεται στο [σχήμα 3.7], Έτσι το πεδίο στο οποίο το χαμηλότερο τμήμα της καμπύλης διασχίζει τον άξονα του Η είναι μια μονοτονικά φθίνουσα συνάρτηση του β. Για σωματίδια τα οποία είναι μεγαλύτερα αλλά είναι ακόμη μονής επικράτειας (single domain) άλλες μέθοδοι μη ομοιόμορφης αντιοτροφής είναι δυνατοί Αυτές οι μέθοδοι χαρακτηρίζονται από μικρότερες τιμές της Η(, και μερικές φορές αναφέρονται ως «incoherent reversal modes». Παρ όλο που αυτά τα μοντέλα έχουν μια διαφορετική εξάρτηση με το β, έχουν τις ίδιες ιδιότητες όπως τα σωματίδια κατά

34 θεωρία της Υστέρησης στα Φερομαινητικά Υλικά Stoner-Wohlfarth: δύο σταθερές καταστάσεις, μια μονοτονικά φθίνουσα συνάρτηση της Hg με το β, και ένα μέγιστο στην Η^. όταν το β=0 ή με ^. Γενικά τα πραγματικά σωματίδια είναι ελλειψοειδή αλλά με «γωνίες». Αυτές οι γωνίες επιτρέπουν οι αντιστροφές της μαγνητισης να είναι με πυρήνα με πεδία σημανπκά μικρότερα από εκείνα που ήταν απαραίτητα για να σχηματίσουν πυρήνες αντιστροίρής στα ελλειψοειδή. Αφού το σχήμα των σωματιδίων εμποδίζει την ύπαρξη αναλυτικών λύσεων γι αυτά, μοντέλα αντιστροιρής αυτάιν των τύτιων έχουν μελετηθεί αριθμηηκά. Έχη δειχθεί ότι για πραγματικά σωματίδια, παρ όλο που οι ιδιαίτερες ιδιότητές τους διαφέρουν σε μέγεθος και σε διάφορες λεπτομέρειες, οι γενικές ιδιότητες είναι ίδιες όπως εκείνες στα σωματίδια των Stoner-Wohlfarth: αυτό σημαίνει, ότι έχουν δύο σταθερές καταστάσεις για ένα προκαθορισμένο εύρος μεγέθους σωματιδίων; το πεδίο μεταστροφής τους αρχικά φθίνει υπό γαηάα και ύστερα αυξάνει; και η τηεσηκότητα τους είναι μια μονοτονικά φθίνουσα συνάρτηση της γωνίας. Μια διαφορά μεταξύ των ελλειψοειδών σωματιδίων και των μη ελλειψοειδών είναι ότι για τα τελευταία υπάρχει ποσότητα πυρήνα, η οποία μόλις ανηστραφεί, προκαλεί και το υπόλουιο σωματίδιο στο να αντίστροφε! Αυτό αναφέρεται ακόμα και ως ποσότητα ενεργοποίησης. Μπορεί επίσης ως η μεγαλύτερη σφαίρα να χαραχθεί μέσα στο σωματίδιο [Torre].

35 ΚΕΦΑΑΑΙΟ 4 Μικρομαγνητχκές Προσομοιώσεις ΜΙΚΡΟΜΑΓΝΉΤΙΚΕΣ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΕΙΣ 4.1 Εισαγωγή Η βιομηχανία μαγνητικής εγγραιρής ενδιαφέρεται για την ανάτττυξη μέσων εγγραφής υψηλής ττυκνότητας και ένα τέτοιο μέσω το οτιοίο τα τελευταία χρόνια κέρδισε το ενδιαφέρον είναι οι ME(Metal Evaporated) ταινίες. Ο ρόλος των προσομοιώσεων εγγραφής είναι το να προσομοιώσουν την δομή των MET στο μικροσκοτηκό και ύστερα να προβλέψουν ποιοι παράγοντες αυτής της δομής καθορίζουν την συνολικά επιτυγχανόμενη ττυκνότητα εγγραφής. Σκοπός είναι να βρούμε την βέλτιστη θεωρητικά δομή για εγγραφή, η οτιοία μπορεί αργότερα να κατευθύνει τους κατασκευαστές. Έτσι η προσομοίωση εγγραιρής αποτελείται από ένα λεπτομερές τρισδιάστατο μοντέλο του μέσου εγγραφής και του εφαρμοζόμενου μαγνηπκού πεδίου[σχήμα 4.1]. Με τη χρησιμοποίηση αποτελεσμάτων από την κλασσική φυσική είναι δυνατόν να υπολογιστεί η αλλαγή της μαγνήτισης μέσα στην προσομοιούμενη δομή καθώς μεταβάλλεται το εφαρμοζόμενο μαγνητικό πεδίο (το πεδίο εγγραφής). Αυτό επιτρέπει να υπολογιστούν βρόγχοι υστέρησης από τα οποία μπορεί να γίνουν προβλέψεις για την πυκνότητα εγγραφής, ή μπορούν να εκτελεσθούν πλήρης προσομοιώσεις εγγραφής. Ο κώδικας GRAINS αποτελείται από τις ακόλουθες υτιό ενότητες, Παραγωγή της δομής του υλικού, Προϋπολογισμός τ(ον τανυστών αλληλεπίδρασης, και Προσομοίωση.

36 Μικρομαγνητικές Προσομοιώσεις Laws of Physics Real Interaction Real Applied Reality Material Dynamics Field Mathematical Description Simulatet Simulated Simulated Material Interaction External Field Computation Σχήμα 4.1: Τα κύρια συστατικά του προβλήματος Η πρώτη από αυτές παίρνει ένα σύνολο παραμέτρων από τον χρήστη, οι οποίες ελέγχουν την δομή του υλικού, και παράγει ένα μοντέλο υλικού. Το μοντέλο υλικού ορίζει τα σχήματα και τις θέσεις ενός αριθμού κόκκων τα οποία είναι στενά τοποθετημένα σε τρισδιάστατο χώρο με ένα ημι-τυχαίο τρόπο. Γενικά το υλικό θα αποτελείται από τιερισσότερες από 10,000 στήλες. Ένα παράδαγμα δομής υλικού φαίνεται στο [σχήμα 4.2]. Η δεύτερη ενότητα χρησιμοποιεί την δομή του υλικού για να προϋπολογίσει τιμές οι οποίες χρησιμοποιούνται συνεχώς κατά την φάση της προσομοίωσης. Αυτό περιλαμβάνει κυρίως τον υπολογισμό ενός μεγάλου αριθμού από 3x3 τανυστές καθ ένας από τους οποίους περιγράφει πως θα αλληλεπιδράσει μαγνηπκά ένα δοσμένο ζευγάρι κόκκων του υλικού. Το τελευταίο μέρος είναι η προσομοίωση αυτή καθ εαυτή. Η προσομοίωση περιλαμβάνει την εφαρμογή ενός μεταβαλλόμενου εξωτερικού πεδίου στο υλικό. Για κάθε τιμή του εξωτερικού πεδίου η μαγνήηση του κάθε κόκκου στο υλικό πρέπει να υπολογίζεται. Μ αυτό τον τρόπο η μέση μαγνήτιση του δείγματος μπορεί να βρεθεί μεταβάλλοντας το εξωτερκό πεδίο και μια καμπύλη υστέρησης η προσομοίωση εγγραφής μπορεί να υπολογιστεί

37 Μικρομαγνητικές Προσομοιώσεις Σχήμα 4.2: Ένα μικρό μέρος μιας τυτηκής προσομοίωσης δομής MET 4.2 Η δομή των κόκκων Οι παράμετροι που περιγράφουν την γεωμετρία του υλικού παρουσιάζονται στον [πίνακα 4.1], Για όλες τις προσομοιώσεις ο αριθμός των κόκκων ήταν ο ίδιος, και αυτός ήταν 32χ1χ32( x-y-z διαστάσεων). Οι παράμετροι Χ,Υ,Ζ ελέγχουν τον αριθμό τοον κόκκων σε κάθε άξονα του τρισδιάστατου υλικού. Η παράμετρος CrossSection καθορίζει το τι είδος γεωμετρικού σχήματος πρέπει να ταιριάζει στην παραμορφωμένη περιοχή πλέγματος. Εάν το CrossSection=spline τότε η παράμετρος Smooth προσδιορίζει πόσα οριακά σημεία χρησιμοποιούνται για να αναπαραστήσουν το σχήμα σανίδα (spline), μια τιμή 1.0 δίνει περίπου 17 οριακά σημεία(ύοηη(1ηγγ points). Μια άλλη παράμετρος σχετική με τη σανίδα είναι η παράμετρος Fill, η οποία υπαγορεύει σε ποια έκταση η σανίδα γεμίζει (fill) την περιοχή, μια ημή Fill=2.0 δίνει μια πυκνότητα στοιβάγματος περί τα 90%.

38 Κεφάλαιο 4 Μικρομαγνητικές Προσομοιώσεις Η τιαράμετρος AiisType κοθορίζη ένα σύνολο από στήλες, οι οποίες μπορεί να είναι ευθείες ή κεκλιμένες κατά κάποιο τρόπο. Η ThetaO ΤΜράμετρος καθορίζει την απόκλιση του πρώτου κόκκου στην στήλη (με Υ=0) και μια συνάρτηση του άξονα που ορίζεται από την AxisType δίνει την αλλαγή αυτής της γωνίας συναρτήσει της Υ. Η τιαράμετρος MeanTheta χρησιμοποιείται για να προσδιορίσει την μέση κλίση της γωνίας στήλης όταν AxisType=Funcl, σ αυτή την περίτττωση η κλήση της γωνίας στήλης αλλάζει, αρχομένης από ThelaO, με σταθερά γωνιακά βήματα ανεβαίνει στην στήλη, έτσι ώστε να επιτευχθεί η προσδιοριζόμενη μέση κλήση της στήλης. Η παράμετρος LimitedRandom χρησιμοποιείται για να περιορίσει των αριθμό των διαφόροτν δυνατών σχημάτων κόκκου. Ένας άλλος τρόπος για τον περιορισμό του αριθμού των διαφόρων σχημάτων είναι να θέσουμε την LinkXandZ=l. Για να απεικονίσουμε την δημιουργηθείσα δομή η τιαράμετρος OutputXZSlice πρέπει να έχει την τιμή 1. Η μεταβλητή Dscale ρυθμίζει το μέγεθος των τιαραγόμενων εικόνων. Είναι σημαντικό για την σταθερότητα του υπολογισμού ότι οι Xs,Zg και η Thickness δεν πρέπει να είναι μικρότερες από για να κάνουμε την δομή πολύ μικρή πρέπει να δώσουμε στην GlobalScale την κατάλληλη ημή.

39 Μιχρομΰγνητικές Προσομοιώσεις Parameter Typical value Description (sim 2.1) ΧΥΖ number of grains (x-y-z coordinates) ActiveRegionSize 1 The size of the active region AxisType 1 Shape of columns CrossScction 3 Cross section shape (spline,polygon,cirlce) MeanTheta 0.0 The mean of the lean angle for each column of the material ThetaO 0.0 The angle at which the base of a column leans Fill 10.0 The degree to which the spbne crosssections fill the grid Random 0.0 Randomness of cross-section shapes ( ) IntSeed 3 Seed to random generator UmitedRandom 1 Restricts the number of different grain shapes LinkXandZ 0 Option to offset grid points so that dx=dz OutputXZslice 1 Output postscript picture of material layer or column Dscale 20.0 Display scale in postscript output Spacing 0.05 Spacing between grains columns X,Ys Aspect ratio of material in the X-Z plane Thickness 1.0 The total material thickness (Y-axis) GlobalScale 1.6e-8 The scaling applied to the unit grid Πίνακας 4.1: Παράμετροι too ετιηρεάζουν την δομή του υλικού.

40 Κες)άληιο4 Μικρομαγνηπκές Προσομοιώσεις 4.3 Υπολογισμός και προϋπολογισμός πεδίου Κατά τη διάρκεια της προσομοίωσης είναι απαραίτητο να υπολογιστεί, για κάθε κόκκο, το συνολικό πεδίο αλληλεττίδρασης. Αυτό είναι το πεδίο που προκύτττει λόγω της μαγνήτισης του κάθε κόκκου. Για να υπολογίσουμε την επίδρασή του σε οποιαδήποτε θέση βρίσκεται ο κόκκος απαιτείται ένα άθροισμα των συνεισιρορών όλων το3ν άλλων κόκκων. Αυτός ο υπολογισμός 0( ) είναι το κεντρικό πρόβλημα των υπολογιστικών micromagnetics. Με σκοπό να μειώσουμε αυτή την πολυπλοκότητα ο υπολογισμός χωρίζεται σε δύο μέρη, στο κοντινό (near) και στο μακρινό (far) πεδίο. Το κοντινό πεδίο ενός κόκκου είναι αυτό που προκύπτει εξαιτίας της μαγνήτισης των κοντινότερων γειτονικά κόκκων. Το μακρινό πεδίο είναι αυτό το οποίο προκύπτει εξαιτίας της μαγνήτισης όλων των άλλων κόκκων. Στον [πίνακα 4.2] φαίνονται οι παράμετροι που επηρεάζουν τον υπολογισμό των πεδίων. V i r t u a l F a r F ie ld R e g io n E A x i s T h e t a R a n g e - ExchangtScalt C r y s t a l i n e A n is o tr o p y Values οί Ν χ, and Ν, which define η Dimensions of the virtual far field n Range of theta angles in defining easy a Range of phi angles in defining easy iods Anisotropy constant Ratio of anisotropy along to between colnmns The strength of anisotropy field Penniability of free space Saturation magnetisation Πίνακας 4.2: Παράμετροι που επηρεάζουν τον υπολογισμό του πεδίου 4.4 Υπολογισμός του κοντινού πεδίου Για κάθε κόκκο ορίζεται μια γειτονική περιοχή. Ένας κόκκος α είναι γειτονικός ενός κόκκουδεάν χ,- χ ^ ]< AND [y.-yhl^n^ AND ζ.-ζ^ < Ν ζ Όλοι οι κόκκοι που εκτείνονται στη θέση του b και μέσα στην γειτονική περιοχή του α, συνεισφέρουν στο πεδίο άμεσα. Αυτό υπολογίζεται με τη χρήση διανύσματος τανυστή (tensor) ο οποίος ενσωματώνει το σχήμα ίου απομακρυσμένου σωματιδίου. Οι τανυστές προϋπολογίζονται και αποθηκεύονται για να χρησιμοποιηθούν στην προσομοίωση. 38