ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ LAPLACE

Transcript

1 Όταν θα έχουµε τελειώσει το κεφάλαιο αυτό θα µπορούµε να: υπολογίσουµε το µετασχηµατισµό aplace στοιχειωδών σηµάτων. αναφέρουµε τις ιδιότητες του µετασχηµατισµού aplace. Σεραφείµ Καραµπογιάς 6. ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ APACE ορίσουµε το Μετασχηµατισµό aplace M και το Μονόπλευρο Μετασχηµατισµό aplace MM καιναπεριγράψουµετιςβασικέςδιαφορέςτους. περιγράψουµε τι είναι συνάρτηση µεταφοράς συστήµατος και εξηγήσουµε έννοιες όπως περιοχή σύγκλισης, πόλος και µηδενικό. διατυπώσουµε τη σχέση που υπάρχει µεταξύ µετασχηµατισµού Fourier και µετασχηµατισµού aplace.

2 υπολογίζουµεεύκολατοναντίστροφοµετασχηµατισµό aplaceµιαςσυνάρτησης, χωρίς να καταφεύγουµε στην εξίσωση αντιστροφής επιλύουµε γραµµικές διαφορικές εξισώσεις µε αρχικές συνθήκες µε τη βοήθεια του µονόπλευρουµετασχηµατισµού aplace. υπολογίζουµε τη συνάρτηση µεταφοράς ενός ΓΧΑ συστήµατος µε τη βοήθεια της διαφορικής εξίσωσης, η οποία συνδέει την είσοδο και την έξοδο του συστήµατος. υπολογίζουµε την έξοδο ενός συστήµατος, το οποίο δε βρίσκεται απαραίτητα σε κατάσταση ηρεµίας, όταν γνωρίζουµε την είσοδό του και τη διαφορική εξίσωση η οποία συνδέει την είσοδο και την έξοδο του συστήµατος. προσδιορίζουµε τη συµπεριφορά ενός συστήµατος από τη θέση των πόλων της συνάρτησης µεταφοράς του στο µιγαδικό επίπεδο. Μετασχηµατισµός aplace 6-

3 ΟΡΙΣΜΟΣ Ο Mετασχηµατισµός aplace αντιστοιχεί στο σήµα συνεχούς χρόνου x τη συνάρτηση x X x e d O Μετασχηµατισµός aplace X του σήµατος x είναι µιγαδική συνάρτηση, της µιγαδικής µεταβλητής σ jω. Im ω σ jω σ e Το µιγαδικό επίπεδο Μετασχηµατισµός aplace 6-3

4 Να υπολογιστεί ο Mετασχηµατισµός aplace του αιτιατού εκθετικού σήµατος: x a e u όπου α µιγαδικός αριθµός Απάντηση X a µε περιοχή σύγκλισης e{ } > e{ a} x Im Το αιτιατού εκθετικού όταν e[a] >. e{a} e Μετασχηµατισµός aplace 6-4

5 Να υπολογιστεί ο Mετασχηµατισµός aplace του αυστηρά µη αιτιατού εκθετικού σήµατος Απάντηση a x e u X a µε περιοχή σύγκλισης e{ } <e{ a} x Im Το αυστηρά µη αιτιατού εκθετικού όταν e[a] <. e{a} e Μετασχηµατισµός aplace 6-5

6 Να υπολογιστεί ο Mετασχηµατισµός aplace του σήµατος x e u e u Απάντηση e u e u 3 3 µε περιοχή σύγκλισης e{ } > x Im e Μετασχηµατισµός aplace 6-6

7 Να υπολογιστεί ο Mετασχηµατισµός aplace του σήµατος x x e b x b> b< Απάντηση Im e b b b b b µε περιοχή σύγκλισης b <e{ } < b b b e Μετασχηµατισµός aplace 6-7

8 Να υπολογιστεί ο Mετασχηµατισµός aplace του σήµατος a x e u x Απάντηση X e a u a µε περιοχή σύγκλισης e{ } >e{ a} Ανα έχουµε: u µε περιοχή σύγκλισης e{ } > Μετασχηµατισµός aplace 6-8

9 Ιδιότητες του Μετασχηµατισµού aplace Γραµµικότητα a x b x a X b X Με περιοχή σύγκλισης τουλάχιστον Μετατόπιση στο χρόνο x e X µετηνίδιαπσ Μετατόπιση στη µιγαδική συχνότητα e x X µεπσ e{ } Μετασχηµατισµός aplace 6-9

10 Κλιµάκωση στο χρόνο και στη συχνότητα x X σ < e{ } < σ Αν ΜεΠΣ τότε x a a X a σ σ ΜεΠΣ < e{ } < a a Παραγώγιση στη συχνότητα n x n d X n d µετηνίδιαπσ Μετασχηµατισµός aplace 6-

11 Ολοκλήρωση στη συχνότητα x X ξ dξ µετηνίδιαπσ Μετασχηµατισµός aplace παραγώγου dx d X µετηνίδιαπσ Μετασχηµατισµός aplace ολοκληρώµατος x τ dτ X Με περιοχή σύγκλισης τουλάχιστον { e{ } } > Μετασχηµατισµός aplace 6-

12 Θεώρηµα της συνέλιξης στο χρόνο y x x Y X X Με περιοχή σύγκλισης τουλάχιστον Μετασχηµατισµός aplace 6-

13 ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΟΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ APACE x π j σ j σ j X e d Το ολοκλήρωµα έχει τη έννοια ότι η ολοκλήρωση εκτελείται πάνω στην ευθεία e[] σ, η οποία πρέπει να περιέχεται στο πεδίο σύγκλισης του X. Μετασχηµατισµός aplace 6-3

14 Να υπολογιστεί ο αντίστροφος Μετασχηµατισµός aplace της συνάρτησης X 3 7 µε περιοχή σύγκλισης e > 4 3 Απάντηση a x e u a X x e u a x e u x e b X 3 7 X 3 [ e e ] u x 3 X X a e{ } > e{ a} e 3 { } < e{ a} a a e{ } > e{ a} b b< e{ } < b b Μετασχηµατισµός aplace 6-4

15 Να υπολογιστεί ο αντίστροφος Μετασχηµατισµός aplace της συνάρτησης X 3 µε περιοχή σύγκλισης e > Απάντηση x a e u a X x e u a x e u x e b x X X X [ e e e ] b u X a e{ } > e{ a} a e{ } < e{ a} a e{ } > e{ a} b< e{ } < b b Μετασχηµατισµός aplace 6-5

16 Να υπολογιστεί ο αντίστροφος Μετασχηµατισµός aplace της συνάρτησης X µε περιοχή σύγκλισης e > 4 3 Μιγαδικέςρίζες ρ 3 j και ρ 3 j a x e u X e{ } > e{ a} a X / / a x e u 3 j X3 j a3 j e { } < 3 j e{ a} Απάντηση a x e ux x e X a 3 3 j j e u e u b x e e{ } > e{ a} b X b b< e{ } < b co 3 u Μετασχηµατισµός aplace 6-6

17 } { } {, a e e a X u e x a > } {, > e U u a X x e a { } } {, co > e u e u e u j j ω ω ω ω { } } { } {, co a e e a a u e a > ω ω 3 4 X 3 Σεραφείµ Καραµπογιάς Μετασχηµατισµός aplace co u e x 9 4 4

18 Να υπολογιστεί ο αντίστροφος Μετασχηµατισµός aplace της συνάρτησης 5 5 X µε περιοχή σύγκλισης e > 4 3 Απάντηση X x δ e co 3 u Μετασχηµατισµός aplace 6-8

19 Ο ΜΟΝΟΠΛΕΥΡΟΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ APACE Παραγώγιση στο χρόνο d x X x d [ x ] X X x e d Μετασχηµατισµός aplace παραγώγου dx d Σεραφείµ Καραµπογιάς X Ολοκλήρωση στο χρόνο Μετασχηµατισµός aplace ολοκληρώµατος x τ dτ X x τ dτ x τ dτ X Θεώρηµα αρχικής και τελικής τιµής x lim X lim x lim X Μετασχηµατισµός aplace 6-9

20 ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΤΟΥ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥ APACE Επίλυση γραµµικής διαφορικής εξίσωσης µε τη βοήθεια Μονόπλευρου Μετασχηµατισµού aplace Η χρήση του µετασχηµατισµού aplace στην ανάλυση ΓΧΑ συστηµάτων Μετασχηµατισµός aplace 6-

21 Να επιλυθεί η διαφορική εξίσωση d x d 3 x x ξ dξ u µε αρχικές συνθήκες: x και x ξ dξ Παραγώγιση στο χρόνο d x X x d Ολοκλήρωση στο χρόνο Σεραφείµ Καραµπογιάς x τ dτ X x τ dτ Απάντηση X 3 3 x X { } [ e 3e ] u Μετασχηµατισµός aplace 6-

22 ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΜΕΤΑΦΟΡΑΣ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ x ΓΧΑ y X h H Y Ένα γραµµικό χρονικά αναλλοίωτο σύστηµα περιγράφεται πλήρως από την κρουστική του απόκριση h. Το σήµα εισόδου, x, και το σήµα εξόδου, y, ενός ΓΧΑ συστήµατος συνδέονται µε το ολοκλήρωµα της συνέλιξης. y x τ h τ dτ y x h Τασήµαταεισόδου-εξόδουσυσχετίζονταιµετηδιαφορικήεξίσωσης. ΤοθεώρηµατηςΣυνέλιξης. N a d y M b d x d d y x h Y H X Σεραφείµ Καραµπογιάς Μετασχηµατισµός aplace 6-

23 Παρατηρούµε ότι η συνάρτηση µεταφοράς, H, ενός συστήµατος µπορεί να βρεθεί, ως πηλίκο των µετασχηµατισµών aplace εξόδου-εισόδου. Υπενθυµίζεται ότι Και µε τη βοήθεια της H Y X d y { x } d M { y } N { h } N a X d x e d bx d Y H yb e d H a h e d έχουµε Η ευστάθεια και η αιτιότητα προσδιορίζουν την περιοχή σύγκλισης της συνάρτησης µεταφοράς του συστήµατος. Παρατηρούµε ότι η συνάρτηση µεταφοράς, H, ενός ΓΧΑ συστήµατος είναι µία ρητή συνάρτηση, δηλαδή, µπορείναεκφραστείωςλόγοςδύοπολυωνύµωντηςµεταβλητής. Σεραφείµ Καραµπογιάς Σηµειώνεται επίσης στον υπολογισµό της H ενός συστήµατος δεν υπεισέρχονται οι αρχικές συνθήκες στις οποίες βρίσκεται πιθανόν το σύστηµα. Μετασχηµατισµός aplace 6-3

24 Για το ηλεκτρικό κύκλωµα C σε σειρά A x Σεραφείµ Καραµπογιάς C B y η διαφορική εξίσωση είναι d y a y b x d Γ Εφαρµόζοντας µετασχηµατισµό aplace στα δύο µέλη της εξίσωσης έχουµε διαδοχικά d y a y { b x } d d y a d { y } b{ x } d d x X Y a Y b X a Y b X Y H X a H b e u a a a h b e u Με περιοχή σύγκλισης e > e a { } { } Μετασχηµατισµός aplace 6-4

25 Να προσδιοριστεί η συνάρτηση µεταφοράς και η κρουστική απόκριση του κυκλώµατος i υ V in υ Απάντηση Η διαφορική εξίσωση για το σύστηµα είναι και η κρουστική απόκριση είναι h dυ d υ υ in H / η συνάρτηση µεταφοράς είναι e{ } > / { H } e u Μετασχηµατισµός aplace 6-5

26 Αν το κύκλωµα αρχικά ηρεµεί, και στην είσοδό του, κατά τη χρονική στιγµή, εφαρµόσουµε πηγή σταθερής τάσης V, να προσδιοριστεί η τάση υ στα άκρα της αντίστασης σε συνάρτηση µε το χρόνο. i υ V in υ Η συνάρτηση µεταφοράς είναι H / / e{ } Απάντηση > V υ H V in V u V e u V V V e u Μετασχηµατισµός aplace 6-6

27 V V V u V e u V e υ u Ανητάσησταάκρατηςαντίστασηςαρχικάείναιυ καιστηνείσοδότου, κατάτη χρονική στιγµή, εφαρµόσουµε πηγή σταθερής τάσης V, ναπροσδιοριστείη τάσηυ σταάκρατηςαντίστασηςσεσυνάρτησηµετοχρόνο. i υ V in υ Η διαφορική εξίσωση για το σύστηµα είναι Απάντηση Παραγώγιση στο χρόνο V d xv X υ x d Ολοκλήρωση στο χρόνο Λόγωτηςεισόδουυ in V u Λόγωτηςαρχικήςσυνθήκηςυ x τ dτ x τ dτ X [ ] e u υ e u V V e u υ V υ dυ d υ υ in Μετασχηµατισµός aplace 6-7

28 Αν έχουµε αρχικές συνθήκες τότε στη διαφορική εξίσωση N a d y M b d x d d συµπεριλαµβάνουµε τις αρχικές συνθήκες λόγω των ιδιοτήτων της παραγώγισης στο χρόνο και της ολοκλήρωσης στο χρόνο που έχει ο µονόπλευρος µετασχηµατισµός aplace. Παραγώγιση στο χρόνο d x X x d Ολοκλήρωση στο χρόνο x τ dτ X x τ dτ καιστην Y H X εµφανίζεταικαιέναςεπιπλέoνόροςοοποίοςπροέρχεταιαπό τις αρχικές συνθήκες. Σηµειώνεται ότι η συνάρτηση µεταφοράς ενός συστήµατος είναι ανεξάρτητη της εισόδου και των αρχικών συνθηκών και ότι εξαρτάται µόνο από τα στοιχεία του συστήµατος. Μετασχηµατισµός aplace 6-8

29 Να προσδιορισθεί η αρχική και η τελική τιµή του σήµατος του αποίου ο µονόπλευρος µετασχηµατισµός aplace είναι X 7 Εφαρµόζοντας το θεώρηµα της αρχικής τιµής βρίσκουµε ότι Σεραφείµ Καραµπογιάς 7 7 x lim lim 7 Εφαρµόζοντας το θεώρηµα της τελικής τιµής βρίσκουµε ότι x lim 7 lim 7 5 Το σήµα x που έχει µονόπλευρο µετασχηµατισµό aplace είναι x 5u eu καιεπαληθεύουµεότι x 7 και x 5. Μετασχηµατισµός aplace 6-9

30 Παρατηρήσεις για το µετασχηµατισµό aplace Η συνάρτηση µεταφοράς, H, ενός ΓΧΑ συστήµατος είναι µία ρητή συνάρτηση, δηλαδή, µπορείναεκφραστείωςλόγοςδύοπολυωνύµωντηςµεταβλητής. D N H Για να είναι ένα σύστηµα αιτιατό πρέπει η περιοχή σύγκλισης να είναι το δεξιό ηµιεπίπεδο του µιγαδικού επιπέδου µε σύνορο τη γραµµή που είναι κάθετη στον πραγµατικόάξοναστηθέση e{a } max. Αν ο βαθµός του πολυωνύµου του N είναι µεγαλύτερος ή ίσος από το βαθµό του πολυωνύµου D, τότε, πριν αναλύσουµε σε απλά κλάσµατα, πρέπει να κάνουµε τη διαίρεση N / D. D N c D N H u x { } { } { } c c c X H y δ c c y δ c H Για να είναι ένα σύστηµα ΦΕΦΕ ευσταθές θα πρέπει ο βαθµός του πολυωνύµου N να είναιµικρότεροςαπότοβαθµότουπολυωνύµου D. Σεραφείµ Καραµπογιάς Μετασχηµατισµός aplace 6-3

31 Ένα ΓΧΑ σύστηµα είναι ΦΕΦΕ ευσταθές, αν η κρουστική απόκρισή του είναι απόλυτα ολοκληρώσιµη, δηλαδή, αν h Στην περίπτωση αυτή υπάρχει ο MF και αυτό πραγµατοποιείται όταν το πεδίο σύγκλισης του M περιέχει το φανταστικό άξονα. F H θέση των πόλων ενός σήµατος στο µιγαδικό επίπεδο προσδιορίζει τη συµπεριφορά τουσήµατος. d < { x } X jω Σεραφείµ Καραµπογιάς Για να είναι ένα σύστηµα ΦΕΦΕ ευσταθές θα πρέπει o φανταστικός άξονας να περιέχεται στοπεδίοσύγκλισηςτουµετασχηµατισµού aplace. Για να είναι ένα σύστηµα ΦΕΦΕ ευσταθές θα πρέπει ο βαθµός του πολυωνύµου N να είναιµικρότεροςαπότοβαθµότουπολυωνύµου D. Για να είναι ένα σύστηµα αιτιατό πρέπει η περιοχή σύγκλισης να είναι το δεξιό ηµιεπίπεδο του µιγαδικού επιπέδου µε σύνορο τη γραµµή που είναι κάθετη στον πραγµατικόάξοναστηθέση e{a } max. Μετασχηµατισµός aplace 6-3

32 H θέση των πόλων ενός σήµατος στο µιγαδικό επίπεδο προσδιορίζει τη συµπεριφορά τουσήµατος. Παρατηρήσεις για την περιοχή σύγκλισης του µετασχηµατισµού aplace jω x x x σ x co e x e co co 3 3u 3 u u e3 u X X X Im Im Im Im 3 j3 j 3 j x x 3 Ευσταθές Ασταθές j 3 j 3 j e e e e Μετασχηµατισµός aplace 6-3

33 Να υπολογιστεί η κρουστική απόκριση του ΓΧΑ συστήµατος το οποίο έχει συνάρτηση µεταφοράς Απάντηση: e{ } > Im Αιτιατό σύστηµα 3 3 H e [ ] h e e u 3 { } <e < Im Ευσταθές σύστηµα h e u 3 e 3 e u Σεραφείµ Καραµπογιάς 3 3 e { } < Im Μη αιτιατό µη ευσταθές σύστηµα h e u 3 e e Μετασχηµατισµός aplace 6-33 u

34 υ in C υ ou Συστήµατα Αναλογικού Χρόνου x ΓΧΑ y h H Y X Σεραφείµ Καραµπογιάς Τασήµαταεισόδου-εξόδουσυσχετίζονταιµετηδιαφορικήεξίσωσης. dυou d υ C ou υin C N a d y d M b d x d Η συνάρτηση µεταφοράς του ΓΧΑ συστήµατος είναι H C Im Y X C H C e e{ } > C H N Η ευστάθεια και η αιτιατότητα προσδιορίζουν την περιοχή σύγκλισης M b a Μετασχηµατισµός aplace 6-34

35 Στην περίπτωση που ο µετασχηµατισµός aplace έχει πόλους στο φανταστικό άξονα, όπως το σήµα x co ω u X ω x Im ω j ω j e Το σήµα έχει και µετασχηµατισµό Fourier και είναι jω X ω π δ ω ω δ ωω ω ω Για την οριακή αυτή περίπτωση, στην οποία υπάρχουν πόλοι στο φανταστικό άξονα, είναι δυνατή η µετάβαση από το µετασχηµατισµό aplace στο µετασχηµατισµό Fourier. Μετασχηµατισµός aplace 6-35

36 Μετασχηµατισµός aplace 6-36 N a j b X X ω N b j X X ω ω δ π ω ω Η συνάρτηση X γράφεται ως άθροισµα δύο συναρτήσεων της µεταβλητής, όπου η µία είναι αναλυτική στο φανταστικό άξονα και η άλλη περιέχει τους πόλους, δηλαδή και ο µετασχηµατισµός Fourier βρίσκεται από τη σχέση δηλαδήστησυνάρτηση X jω προσθέτουµετουςκατάλληλουςόρουςκρουστικώνσυναρτήσεων

37 Εφαρµογή Το σύστηµα µε κρουστική απόκριση έχειµετασχηµατισµό aplace H 4 4 h e u µε διάγραµµα πόλων µηδενικών και πεδίο σύγκλισης Ο µετασχηµατισµός aplace γράφεται ως H H a N b j ω H 4 Σεραφείµ Καραµπογιάς N jω π b X ω X δ ωω 4 4 Im e Από την οποία µεταβαίνουµε στο µετασχηµατισµό Fourier H ω H πδ ω jω jω jω 4 πδ ω ή ισοδύναµα ως H ω πδ ω jω jω 4 Μετασχηµατισµός aplace 6-37

38 Βαθυπερατά συστήµατα πρώτης τάξης. Τα βαθυπερατά ΓΧΑ σύστηµα πρώτης τάξης περιγράφονται από τη διαφορική εξίσωση dy d a y b x Η συνάρτηση µεταφοράς των βαθυπερατών ΓΧΑ συστηµάτων πρώτης τάξης έχει τη µορφή Hω b H a b H jω j ω a ω c Η απόκριση συχνότητας των βαθυπερατών ΓΧΑ συστηµάτων πρώτης τάξης έχει τη µορφή jω ω c ω c ω Απόκριση πλάτους βαθυπερατού συστήµατος πρώτης τάξης Μετασχηµατισµός aplace 6-38

39 Υψιπερατά συστήµατα πρώτης τάξης. Σεραφείµ Καραµπογιάς Τα υψιπερατά ΓΧΑ σύστηµα πρώτης τάξης περιγράφονται από τη διαφορική εξίσωση d y d x a y b d d Η συνάρτηση µεταφοράς των υψιπερατών ΓΧΑ συστηµάτων πρώτης τάξης έχει τη µορφή H b a b H jω j ω a ω Η απόκριση συχνότητας των υψιπερατών ΓΧΑ συστηµάτων πρώτης τάξης έχει τη µορφή Hω c ωc j ω ω c ω Απόκριση πλάτους υψιπερατού συστήµατος πρώτης τάξης Μετασχηµατισµός aplace 6-39

40 α Το ωµικό στοιχείο εµφανίζει αντίσταση και η ένταση ρεύµατος που τη διαρρέει βρίσκεται σεσυµφωνίαφάσηςµετηντάσησταάκρατης. υ υ i i υ i β Το πηνίο εµφανίζει επαγωγική αντίσταση η εµπέδηση Z jω και η ένταση του ρεύµατοςπουτοδιαρρέειõóôåñåßôçòôüóçòσταάκρατουêáôüð/. υ υ i i i υ Z γ Ο πυκνωτής εµφανίζει χωρητική αντίσταση /Cω και η ένταση του ρεύµατος που το διαρρέειβρίσκεταισεδιαφοράφάσης π/ µετηντάσησταάκρατου Z C / jcω. υ C υ C i C i i Μετασχηµατισµός aplace 6-4 υc Z C

41 Μετασχηµατισµός aplace 6-4 ω ω ω U in I H C j j ω ω ω ω H Z ω ω ω C Z C i υ in δ ΗσύνθετηαντίστασηκυκλώµατοςείναιΖω Uω / Ιω. Άσκηση Να βρεθεί η σύνθετη αντίσταση του κυκλώµατος C σε σειρά C j j j ω ω ω ω ω jc j ω Cω j

42 Το κυκλωµατικό σύµβολο το οποίο χρησιµοποιούµε για την αναπαράσταση του τελεστικού ενισχυτή είναι Σύµβολο τελεστικού ενισχυτή 3 Ο τελεστικός ενισχυτής είναι φτιαγµένος για να αισθάνεται τη διαφορά δυναµικού µεταξύ των σηµάτων τάσης που εφαρµόζονταιστουςακροδέκτεςεισόδουτουυ υ και εµφανίζει τη διαφορά πολλαπλασιασµένη επί Α στην έξοδό Όταν αναφερόµαστε για τάση σε κάποιο ακροδέκτη εννοούµε τη διαφορά δυναµικού µεταξύ του ακροδέκτη και της γης. V 4 5 V 3 Τροφοδοσία τελεστικού ενισχυτή 4 5 Τελεστικός ενισχυτής 3 A υ υ A υ υ υo Ο τελεστικός ενισχυτής είναι ενισχυτής διαφορικής εισόδου µονής εξόδου differenial inpu ingle oupu. Το κέδρος Α ονοµάζεται διαφορικό κέρδος ή κέρδος ανοικτού κυκλώµατος Μετασχηµατισµός aplace 6-4

43 Εφαρµογές Αντιστρεπτός ενισχυτής τάσης Invering amplifier Σεραφείµ Καραµπογιάς υ I G υo υ I υ O A A A A Ω Ω 3 A A A A Στο παράδειγµα αρνητικής ανάδρασης αρχίσαµε µε ένα τελεστικό ενισχυτή που έχει πολύ µεγάλο κέρδος Α και εφαρµόζοντας αρνητική ανάδραση αποκτήσαµε ένα κέρδος κλειστού βρόχου / που είναι σταθερό, προβλέψιµο και µε όση ακρίβεια θέλουµε, επιλέγοντας παθητικά στοιχεία ανάλογης ακρίβειας. Προσφορά κέρδους και αύξηση ακρίβειας. Μετασχηµατισµός aplace 6-43

44 Εφαρµογές Αντιστρεπτός ολοκληρωτής Σεραφείµ Καραµπογιάς V I i i Z Z V O Η αναστρέφουσα συνδεσµολογία µε γενικευµένες σύνθετες αντιστάσεις στην ανάδραση και την είσοδο. υ I i i υ C C Αναστρέφων ολοκληρωτής Miller. 3 3 υ O Τοκέρδοςκλειστούβρόχου, ηποιοσωστά, η συνάρτηση µεταφοράς κλειστού βρόχου, είναι V V O I Z Z Γιατηνιδικήπερίπτωσηόπου Z και Z /C, η συνάρτηση µεταφοράς είναι V V O i C και η απόκριση συχνότητας είναι V V O i jω C Ητάσηεξόδουυ Ο είναιτοολοκλήρωµατης υ I, δηλαδή, υo υi ξ dξ C Μετασχηµατισµός aplace 6-44

45 Εφαρµογές Αντιστρεπτός διαφοριστής Σεραφείµ Καραµπογιάς V I i i Z Z V O Η αναστρέφουσα συνδεσµολογία µε γενικευµένες σύνθετες αντιστάσεις στην ανάδραση και την είσοδο. υ I i C i υ Αναστρέφων διαφοριστής. 3 3 υ O Τοκέρδοςκλειστούβρόχου, ηποιοσωστά, η συνάρτηση µεταφοράς κλειστού βρόχου, είναι V V O I Z Z Γιατηνιδικήπερίπτωσηόπου Z και Z /C, η συνάρτηση µεταφοράς είναι V V O i C και η απόκριση συχνότητας είναι V V O i jω C Ητάσηεξόδουυ Ο είναιτοολοκλήρωµατης υ I, δηλαδή, υ O C dυi d Μετασχηµατισµός aplace 6-45

46 Εφαρµογές Αθροιστής µε βάρη Σεραφείµ Καραµπογιάς υ υ υ n i i i n n i i f 3 υ O Ητάσηεξόδουυ Ο είναι f f υ O υ υ,..., f n υ n Αθροιστής µε βάρη. Παρατηρούµεότιητάσηεξόδουείναιίσηµετοσταθµισµένοάθροισµατωντάσεωνεισόδου, µεβάρηίσαµετολόγο f /,,,, n. Μετασχηµατισµός aplace 6-46

47 Βασικά στοιχεία υλοποίησης συστηµάτων αναλογικού χρόνου x x 3 x x x x y Αθροιστής 3 3 x a a x x y Πολλαπλασιαστής a x a x ξ dξ x C y Ολοκληρωτής a C Μετασχηµατισµός aplace 6-47

48 a Σύστηµα πρώτης τάξης µε πόλους και µηδενικά Η διαφορική εξίσωση και η συνάρτηση µεταφοράς για σύστηµα πρώτης τάξης µε πόλους και µηδενικά είναι b b d y y a b x b d η διαφορική εξίσωση γράφεται ως έτσι έχουµε την υλοποίηση x y a y τ dτ b x τ dτ b a b x b dx d H a b x τ dτ b x a a x a y τ dτ b x τ dτ b x Σεραφείµ Καραµπογιάς y Άµεσο σχήµα I b -a x τ dτ b x τ dτ a y τ dτ y τ dτ Μετασχηµατισµός aplace 6-48

49 x b b H a -a H y Άµεσο σχήµα I Λόγω της αντιµεταθετικής ιδιότητας της συνέλιξης µπορούµε να εναλλάξουµε τη σειρά σύνδεσης των συστηµάτων και έτσι έχουµε τη συνδεσµολογία x a -a H b b H y από την οποία έχουµε υλοποίηση x a b y Άµεσο σχήµα I I -a b Μετασχηµατισµός aplace 6-49

50 dy d y dx a y a a b x b b d d d d x d Σεραφείµ Καραµπογιάς H b a b b a a x H b a H y b -a b -a Άµεσο σχήµα I x H a H b y -a b Άµεσο σχήµα II -a b Μετασχηµατισµός aplace 6-5

51 ίνεται το κύκλωµα του Σχήµατος. Αρχικά ο διακόπτης βρίσκεται σε επαφή στηθέση καιτοσύστηµαέχειαποκατασταθεί. Τηχρονικήστιγµή, την οποία θεωρούµε ως αρχή µετρήσεως του χρόνου, ο διακόπτης έρχεται σε επαφή στη θέση. Να υπολογιστεί η ένταση του ρεύµατος i, από την οποία διαρρέεται το κύκλωµα, ως συνάρτηση του χρόνου. υ in 4V Ω i H Απάντηση I i e u Μετασχηµατισµός aplace 6-5

52 Στοκύκλωµα του Σχήµατος ο διακόπτης κλείνει τηχρονικήστιγµή. Η είσοδος του κυκλώµατος υ in έχει τη µορφή που φαίνεται στο Σχήµα. Αν ο πυκνωτής είναι αρχικά αφόρτιστος, να υπολογιστεί η ένταση του ρεύµατος i, από την οποία διαρρέεται το κύκλωµα σε συνάρτηση µε το χρόνο. υ in MΩ V ec i υ in Cµ F υ c Απάντηση i 5 [ e u e u ] Μετασχηµατισµός aplace 6-5

53 Για το κύκλωµα C που περιγράφεται στο Σχήµα α Να προσδιοριστεί η γραµµική διαφορική εξίσωση η οποία συνδέει την είσοδοτουκυκλώµατοςυ in καιτηνέξοδότουυ o. β Να προσδιοριστεί η συνάρτηση µεταφοράς και η κρουστική απόκριση του συστήµατος. Είναι το σύστηµα ευσταθές; γ Αν η είσοδος του κυκλώµατος είναι υ in e 3 u, µε τη βοήθεια του ΜΜ ναυπολογίσετετηνέξοδο υ o για >, ότανοιαρχικέςσυνθήκες είναιυ o - και dυ o /d. A i 3Ω B υ in C, 5 F υ o H Γ Μετασχηµατισµός aplace 6-53

54 Απάντηση Σεραφείµ Καραµπογιάς α Η γραµµική διαφορική εξίσωση είναι d υ d dυ d C υ C υ in β Η συνάρτηση µεταφοράς του συστήµατος είναι H C C 3 και η κρουστική απόκριση του συστήµατος είναι γ Η έξοδος του συστήµατος είναι υ h { H } [ e e ] u 3 5 e u 5 e u e u Μετασχηµατισµός aplace 6-54

55 Με τη βοήθεια του Μετασχηµατισµού aplace να υπολογιστεί η έξοδος ενός ΓΧΑ συστήµατος που έχει κρουστική απόκριση x u u ότανηείσοδόςτουείναιτοσήµα: h u u Απάντηση y u u u 3 u 3 Μετασχηµατισµός aplace 6-55

56 y u u u 3 u 3, <, < 3, < 3, αλλιώς x h y u -3 u u- -- u- Μετασχηµατισµός aplace 6-56