Οργάνωση και αναδιοργάνωση μαθηματικών εννοιών: Προσεγγίσεις από την Ψυχολογία και από τη Μαθηματική Εκπαίδευση. Ξένια Βαμβακούση

Transcript

1 Οργάνωση και αναδιοργάνωση μαθηματικών εννοιών: Προσεγγίσεις από την Ψυχολογία και από τη Μαθηματική Εκπαίδευση Ξένια Βαμβακούση

2 Σύνδεση με τα προηγούμενα

3 Η Συμπεριφοριστική οπτική στη μάθηση και τη διδασκαλία Πού εστιάζει; Γιατί; Λειτουργεί; Δε λειτουργεί; Πού;

4 Μια χρήσιμη διάκριση Εννοιολογική γνώση Γνώση για τα μαθηματικά αντικείμενα, τις ιδιότητές τους, τις σχέσεις τους και τις αρχές που διέπουν τη «λειτουργία» τους Σύνθετα δίκτυα αλληλοσυνδεόμενων ιδεών Διαδικαστική γνώση Γνώση αλγοριθμικού χαρακτήρα: «Τι πρέπει να κάνω για να» «ποια βήματα πρέπει να ακολουθήσω ώστε» Να συγκριθούν τα κλάσματα 14/17 και 3/2 «Για να συγκρίνω το 14/17 με το 3/2, πρέπει να τα κάνω ομώνυμα. Θα βρω το Ε.Κ.Π., και μετά» «Το 14/17 είναι μικρότερο από το 3/2, γιατί το 1 ο είναι μικρότερο από την μονάδα, ενώ το 2 ο είναι μεγαλύτερο»

5 Σχέση μεταξύ εννοιολογικής και διαδικαστικής γνώσης Διαφορετικές απόψεις για την ανάπτυξή τους Πρώτα οι εννοιολογικές αρχές, μετά οι διαδικασίες Πρώτα οι διαδικασίες, μετά οι εννοιολογικές αρχές Παράλληλη ανάπτυξη θετική συσχέτιση Υπάρχουν εμπειρικά δεδομένα υπέρ όλων των (αντικρουόμενων) απόψεων Είναι δυνατή η ύπαρξη της μιας, ακόμη και με την απουσία της άλλης Bempeni & Vamvakoussi, 2012; Rittle-Johnson & Siegler, 2001

6 Φαίνεται ότι υπάρχουν ατομικές διαφορές στον τρόπο με τον οποίο οι μαθητές συνδυάζουν τα δυο είδη γνώσης τα δυο είδη γνώσης εν γένει συσχετίζονται θετικά, αλλά η εννοιολογική γνώση έχει μεγαλύτερη επίδραση στη διαδικαστική, απ ό,τι το αντίστροφο. Σε κάθε περίπτωση, και τα δύο γνώσης είναι απαραίτητα για την ανάπτυξη της μαθηματικής σκέψης DeCorte, 2004; Hallet, Nunes, & Bryant, 2010,2012 ;Schneider &Stern, 2010

7 Πέντε+1 πράγματα που άλλαξαν τον τρόπο που βλέπουμε τη μάθηση και τη διδασκαλία και πώς συνδέονται με τη σύγχρονη έρευνα στη μαθηματική παιδεία

8 Πέντε +1 Μνήμη και γνωστικές δομές Η μνήμη και ο ρόλος της στην οργάνωση πληροφορίας σε δομές που υπόκεινται της κατανόησης και της σκέψης Επίλυση προβλήματος και συλλογισμός Στην experts vs. novices ερευνητική παράδοση Μικρά παιδιά και νόηση Μεταγνωστικές διαδικασίες και Πρόβλεψη, σχεδιασμός, καταμερισμός χρόνου, self-explanation, εντοπισμός κενών στην κατανόηση, ενεργοποίηση γνώσης Πολιτισμική εμπειρία και συμμετοχή σε «κοινότητες» Πέρα από την ψυχρή νόηση: Στάσεις, συναισθήματα, κίνητρα, επιστημολογικές πεποιθήσεις, πεποιθήσεις για τα μαθηματικά. Bransford, Brown, & Cocking, 2000

9 Πέντε +1 Μνήμη και γνωστικές δομές Επίλυση προβλήματος και συλλογιστική σκέψη (reasoning) Γνωσιακή Επιστήμη (Cognitive Science) (Γνωστική) Ψυχολογία, Τεχνητή Νοημοσύνη, Φιλοσοφία του Νου,. Λέξεις-κλειδιά Μνήμη, οργάνωση πληροφορίας, προϋπάρχουσα γνώση, έννοιες, συλλογιστική σκέψη, στρατηγικές, «ειδημοσύνη» (expertise)

10 Πέντε +1 Μικρά παιδιά και νόηση Γνωστική και Αναπτυξιακή Ψυχολογία Λέξεις-κλειδιά Τι μπορούν να κάνουν τα μικρά παιδιά, έρευνες με βρέφη, ειδική κατά πεδίο γνώση (domain-specific knowledge), άτυπη γνώση (informal knowledge)

11 Πέντε +1 Μεταγνωστικές διαδικασίες και αυτορρύθμιση (Γνωστική, Αναπτυξιακή, Εκπαιδευτική) Ψυχολογία Λέξεις-κλειδιά Έλεγχος, παρακολούθηση (monitoring), μετα-εννοιολογική επίγνωση (meta-conceptual awareness), thinking skills

12 Πέντε +1 Πολιτισμική εμπειρία και συμμετοχή σε «κοινότητες» Ανθρωπολογία, Κοινωνική Ψυχολογία Λέξεις-κλειδιά Κοινωνικο-πολιτισμικό περιβάλλον, εμπλαισιωμένη νόηση/μάθηση (situated cognition/learning) εργαλεία/τεχνουργήματα (tools, artifacts), επικοινωνία

13 Πέντε +1 Πέρα από την ψυχρή νόηση Στάσεις, συναισθήματα, κίνητρα, πεποιθήσεις, διάθεση (mood)

14

15

16

17

18

19

20 Ο στόχος της διαμόρφωσης της «μαθηματικής κλίσης» (mathematical disposition) (Ι) A well-organised and flexibly accessible domain-specific knowledge base involving the facts, symbols, algorithms, concepts, and rules that constitute the contents of mathematics as a subject-matter field. Heuristics methods, i.e. search strategies for problem solving which do not guarantee, but significantly increase the probability of finding the correct solution because they induce a systematic approach to the task. De Corte, 2004

21 Ο στόχος της διαμόρφωσης της «μαθηματικής κλίσης» (mathematical disposition) (ΙΙ) Meta-knowledge, which involves knowledge about one s cognitive functioning (metacognitive knowledge), on the one hand, and knowledge about one s motivation and emotions that can be used to deliberately improve volitional efficiency (metavolitional knowledge), on the other. Self-regulatory skills, which embrace skills relating to the selfregulation of one s cognitive processes (metacognitive skills or cognitive self-regulation), on the one hand, and of one s volitional processes (metavolitional skills or volitional self-regulation), on the other. (De De Corte, Corte, 2004) 2004

22 Ο στόχος της διαμόρφωσης της «μαθηματικής κλίσης» (mathematical disposition) (ΙΙΙ) Beliefs about the self in relation to mathematical learning and problem solving, about the social context in which mathematical activities take place, and about mathematics and mathematical learning and problem solving. (De De Corte, Corte, 2004) 2004

23 και η αντανάκλασή της στην εκπαίδευση Mathematical proficiency, as we see it, has five strands: conceptual understanding comprehension of mathematical concepts, operations, and relations procedural fluency skill in carrying out procedures fl exibly, accurately,efficiently, and appropriately strategic competence ability to formulate, represent, and solve mathematical problems adaptive reasoning capacity for logical thought, reflection, explanation, and justification productive disposition habitual inclination to see mathematics as sensible, useful, and worthwhile, coupled with a belief in diligence and one s own efficacy The most important observation we make about these five strands arethat they are interwoven and interdependent. National Research Council. (2001). Adding it up. Washington, D.C.: National Academy Press.

24 Και πάλι ΗΠΑ Van de Walle, Karp,Bay-Williams, 2015

25 Ο ρόλος της προϋπάρχουσας γνώσης Στη μάθηση των Μαθηματικών

26 Προϋπάρχουσα γνώση και μαθηματικά: H άποψη του «κοινού νου» «Η προϋπάρχουσα γνώση είναι πολύ σημαντική στα μαθηματικά. Τα μαθηματικά είναι σαν μια αλυσίδα αν λείπει κάποιος κρίκος, σπάει η αλυσίδα. Αν κάποιο παιδί έχει κενά στα μαθηματικά, δεν μπορεί να προχωρήσει»

27 Η προϋπάρχουσα γνώση μπορεί να είναι ελλιπής ή ανύπαρκτη μπορεί να υπάρχει και να μας βοηθάει να μάθουμε κάτι καινούργιο μπορεί να υπάρχει, αλλά να μας δυσκολεύει στο να μάθουμε κάτι καινούργιο

28 Μια μικρή ιστορία

29 «Πουλιά» / Birds

30 «Αγελάδες» / Cows

31 «Άνθρωποι» / Humans

32 Συμπέρασμα; Προϋπάρχουσα γνώση και ερμηνεία Η προϋπάρχουσα γνώση διαμορφώνει την ερμηνεία και κατανόηση της νέας πληροφορίας Είτε διευκολύνοντας, είτε θέτοντας περιορισμούς Βασική αρχή του εποικοδομητισμού

33 Ερμηνεία Παρένθεση

34 και αντίληψη

35 και απομνημόνευση Να απομνημονευθεί η σειρά: Η σειρά μπορεί να γίνει αντιληπτή (να ερμηνευθεί): Ως σειρά τυχαίων, μεμονωμένων ψηφίων Ως σειρά όχι τυχαίων αριθμών 1, 4, 9, 16, 25, 36, 100

36 Προϋπάρχουσα γνώση και αρνητικές επιδράσεις: Φαινόμενα

37 Συστηματικά λάθη Το 1/2 είναι μικρότερο από το 1/3 Γιατί το 2 είναι μικρότερο από το 3 Το 0,28 είναι μεγαλύτερο από το 0,3 γιατί το 28 είναι μεγαλύτερο από το 3 Ο πολλαπλασιασμός «μεγαλώνει» και η διαίρεση «μικραίνει» Δεν υπάρχει άλλος αριθμός ανάμεσα στο 2/5 και στο 3/5 ούτε ανάμεσα στο και το 0.006

38 αλλά και Moss, 2005 p. 317

39 Βεβαιότητα (η ψευδαίσθηση της κατανόησης)..ανάμεσα στο 2.3 και το 2.4 δεν υπάρχει άλλος αριθμός και γι αυτό είμαι σίγουρη! Ελένη, Γ Γυμνασίου Durkin & Rittle-Johnson, 2015; Merenluoto & Lehtinen, 2004

40 Αμεσότητα (Ανάμεσα στο 0,005 and 0,006) δεν υπάρχει άλλος αριθμός. Όχι, μισό λεπτό! Υπάρχουν πάρα πολλοί αριθμοί: Είναι το 0,0051, το 0,0052 και τα λοιπά. Αλλά μπορεί να είναι και το 0,00511 ή το 0, και ακόμα περισσότεροι. Μάνος, Γ Γυμνασίου

41 Επιμονή» Ι Ο Γιάννης (Α Λυκείου) ερωτάται αν η ανισοτική σχέση 5δ > 4/δ ισχύει πάντα. Δοκιμάζει με 3 φυσικούς αριθμούς. 3 νύξεις: Ισχύει για όλους τους αριθμούς που ξέρεις; Θα ήθελες να δοκιμάσεις με κάποιο άλλο είδος αριθμού; Θα ήταν δυνατόν να βρεις έναν αριθμό, για τον οποίο η ανισότητα δεν ισχύει; Τελικά, ερωτάται ευθέως αν θα μπορούσε να δοκιμάσει έναν αρνητικό αριθμό, ή ένα κλάσμα <1. Ναι, μπορώ Θα έπρεπε να έχω σκεφτεί τους αρνητικούς και τα κλάσματα, αλλά δε μου πέρασε από το μυαλό. Christou & Vosniadou, 2012

42 «Επιμονή» ΙΙ 215 πρωτοετείς φοιτητές σε μαθηματικό τμήμα ερωτώνται: Υπάρχει ρητός αριθμός q, μεγαλύτερος από το 3/5, τέτοιος ώστε να ισχύει ότι «δεν υπάρχει αριθμός ανάμεσα στο q και στο 3/5»; Αν υπάρχει τέτοιος αριθμός, γράψτε τον, Αν όχι, γράψτε «δεν υπάρχει τέτοιος αριθμός». 76 (35.3%) έγραψαν τον «επόμενο» του 3/5. Gainnakoulias, Soyoul, Zachariades, 2007

43 Η πολύπλοκη αλληλεπίδραση της προϋπάρχουσας με τη νέα γνώση Ο Πάνος (Γ Γυμνασίου) δηλώνει ότι: Υπάρχουν 9 αριθμοί ανάμεσα στους 0,001 και 0,01. Υπάρχουν άπειροι αριθμοί ανάμεσα στους 3/8 and 5/8. Μετά από παρακίνηση, εξηγεί: Ανάμεσα στο 0,001 και το 0,01 υπάρχουν 9 αριθμοί. Ή δέκα δεν είμαι σίγουρος γι αυτό. Αλλά αν τους κάνεις κλάσματα, τότε μπορείς να βρεις περισσότερους αριθμούς ανάμεσα, άπειρους αριθμούς. Vamvakoussi & Vosniadou, 2004

44 Προϋπάρχουσα γνώση Θεωρητικές προσεγγίσεις

45 Προϋπάρχουσα γνώση Μαθηματική Εκπαίδευση H ιδέα του «εμποδίου» (G. Brousseau) Οντογενετικά, επιστημολογικά, διδακτικά εμπόδια Η ιδέα της «διαισθητικής γνώσης» (Ε. Fischbein) Σύνδεση με συλλογισμό Γνωστική/Αναπτυξιακή Ψυχολογία Η προσέγγιση της «θεωρίας πλαισίου» στην εννοιολογική αλλαγή (Σ. Βοσνιάδου) Πώς αναπτύσσεται και οργανώνεται η προϋπάρχουσα γνώση Πώς αλληλεπιδρά με τη νέα γνώση

46 H διαίσθηση και τα Μαθηματικά έχουν πολύ στενές σχέσεις Ήταν για πολλούς αιώνες (διαισθητικά) προφανές ότι η γεωμετρική ευθεία είναι συνεχής Ήταν για πολλούς αιώνες διαισθητικά προφανής η καθολικής ισχύς του ισχυρισμού ότι «από σημείο εκτός ευθείας περνά μόνο μία παράλληλή της ευθεία» Ο Cantor αποδεικνύει ότι ο πληθάριθμος του [0, 1] είναι ίσος με τον πληθάριθμο του R και γράφει: «Το βλέπω, αλλά δεν το πιστεύω» O Hardy θεώρησε ότι οι τύποι που του έστειλε ο Ramanuhan ήταν σωστοί, πριν αποδειχθούν Ο Poincaré έγραψε μια εργασία με θέμα «Intuition and Logic in Mathematics» (1905)

47 Για τους κοινούς θνητούς άρα και τους μαθητές, μπορεί να θεωρείται αυτονόητο ότι: Κάθε αριθμός έχει τον επόμενό του Η πιο σύντομη οδός ανάμεσα σε δυο σημεία είναι η ευθεία Όταν διπλασιάζεται η πλευρά του τετραγώνου, διπλασιάζεται και το εμβαδόν του (α+β) 2 = α 2 +β 2...

48 Δεν είναι απλό να οριστεί και να περιγραφεί η μαθηματική διαίσθηση με ένα τυπικό τρόπο Τι είναι; Πώς λειτουργεί; Πώς αναπτύσσεται; Τι είναι διαισθητικό για ποιον; Ο Ε. Fischbein έκανε μια πολύ συστηματική προσπάθεια να ορίσει τη διαισθητική γνώση και να περιγράψει τις ιδιότητές της Με μεγάλη επιρροή στη μαθηματική εκπαίδευση

49 Η θεωρία του Ε. Fischbein Ι Οι διαισθήσεις είναι γνωσιακές πεποιθήσεις (cognitive beliefs) με τα εξής χαρακτηριστικά: Εμφανίζονται άμεσα Θεωρούνται αυτονόητες Συνοδεύονται από ισχυρό αίσθημα βεβαιότητας Είναι ανθεκτικές (π.χ. στη διδασκαλία) Έχουν σημαντική επιρροή στην ανθρώπινη συμπεριφορά Fischbein, 1987

50 Η θεωρία του Ε. Fischbein ΙΙ και τα εξής χαρακτηριστικά: Δεν είναι απλές, μεμονωμένες πεποιθήσεις Συχνά σχετίζονται με γνωστικά σχήματα Βασίζονται στην συνολική εικόνα μιας κατάστασης Είναι άδηλες δηλ. το υποκείμενο δεν έχει επίγνωση ότι τις χρησιμοποιεί Είναι παραγωγικές δηλ. επιτρέπουν «άλματα» από το οικείο στο μη οικείο Fischbein, 1987

51 Γνωστικά σχήματα Ανοίγει παρένθεση

52 Schemas (or Schemata) Organized packages of information about the world, events, (actions), or people stored in long-term memory. Eysenck & Keane, 6 th ed., p.401

53 Σχήματα Περιγράφουν τον τρόπο με τον οποίο οι άνθρωποι κατανοούν σύνθετες αλληλουχίες γεγονότων Ενεργοποιούνται όταν οι άνθρωποι χρησιμοποιούν προηγούμενες γνώσεις για να ανταπεξέλθουν σε καταστάσεις της καθημερινής ζωής (top-down διαδικασία) Έχει προταθεί ότι προκύπτουν με επαγωγικές διαδικασίες από τις καθημερινές εμπειρίες. Επίσης, ότι ένα νέο σχήμα μπορεί να προκύψει από ένα παλιό μέσω του μηχανισμού της αναλογίας.

54 Σενάριο: Μια ειδική περίπτωση σχήματος

55 Ένα ειδικού τύπου γνωστικό σχήμα: Σενάριο (script) Αποφασίζετε να φάτε με την παρέα σας σε ένα εστιατόριο το βράδυ. Τι είδους γνώσεις ενεργοποιείτε; Ποιες ενέργειες πυροδοτούνται; Θα μπούμε στο εστιατόριο, θα κάτσουμε, θα παραγγείλουμε, θα μας φέρουν το φαγητό, θα φάμε, θα πληρώσουμε, θα φύγουμε. Δεν μπορούμε να παραγγείλουμε κάτι εκτός καταλόγου, δε χρειάζεται να μαζέψουμε και να πλύνουμε τα πιάτα,.

56 Ένα ειδικού τύπου γνωστικό σχήμα: Σενάριο (script) Αποφασίζετε να φάτε με την παρέα σας σε ένα εστιατόριο το βράδυ. Τι είδους γνώσεις ενεργοποιείτε; Ποιες ενέργειες πυροδοτούνται; Θα μπούμε στο εστιατόριο, θα κάτσουμε, θα παραγγείλουμε, θα μας φέρουν το φαγητό, θα φάμε, θα πληρώσουμε, θα φύγουμε. Δεν μπορούμε να παραγγείλουμε κάτι εκτός καταλόγου, δε χρειάζεται να μαζέψουμε και να πλύνουμε τα πιάτα,.

57 Ορισμένες φορές τα «σενάρια» πρέπει να τροποποιηθούν Σε κάποια εστιατόρια πρέπει να κλείσεις τραπέζι πριν εμφανιστείς για φαγητό. Σε κάποια εστιατόρια θα έρθει ο σομελιέ και θα πρέπει να κάνεις ότι δοκιμάζεις και εγκρίνεις το κρασί..

58 Ο Piaget... είναι ένα πρόσωπο-κλειδί στο χώρο της μελέτης της γνωστικής ανάπτυξης έχει συνεισφέρει ιδιαίτερα σημαντικές ιδέες ήταν από τους πρώτους ψυχολόγους που χρησιμοποίησαν τον όρο «σχήμα»

59 (Γνωστικό) σχήμα Α cohesive, repeatable action sequence possessing component actions that are tightly interconnected and governed by a core meaning Piaget, 1952, p.7 We must remind ourselves that by "action" Piaget meant "all movement, all thought, or all emotions that responds to a need" (Piaget, 1968, p. 6). Thompson et al., 2014 Τα γνωστικά σχήματα είναι οι δομικοί λίθοι της νοήμονος συμπεριφοράς - Έχουν έντονο προσαρμοστικό χαρακτήρα

60 Ένα δίχρονο παιδί κουνάει το χέρι του για να διώξει μια μύγα. Σφήκα; Ένας έφηβος χρησιμοποιεί το λεωφορείο για τις μετακινήσεις του. Μετρό; Ένα παιδί Δημοτικού ή Γυμνασίου διαβάζει το πρόβλημα: «Η μία κουβέρτα κάνει 3 ώρες για να στεγνώσει. Πόση ώρα χρειάζονται οι 5 κουβέρτες;» Ένα παιδί Γυμνασίου ερμηνεύει το αxβ ως «α φορές το β» Αφομοίωση Συμμόρφωση Εξισορρόπηση Νέα κατάσταση Κατάσταση Ανισορροπίας

61 Γνωστικά σχήματα Κλείνει η παρένθεση

62 «Σχήμα» κατά Fischbein ( ) Fischbein, 1999, p. 39

63 Δύο ειδών σχήματα Συγκεκριμένα σχήματα (δράσης) Specific (action) schemata π.χ. τα βήματα για την εκτέλεση μιας πράξης, της επίλυσης μιας εξίσωσης, της χάραξης του ύψους ενός τριγώνου, της επίλυσης μιας κατηγορίας προβλημάτων Δομικά σχήματα (structural schemata). Συνδυάζουν αρχές με προγράμματα δράσης Π.χ. το σχήμα της αιτιότητας Fischbein, 1999, p. 39

64 To σχήμα της καταμέτρησης *. * A principle Vergnaud, 2009, p.85

65 Η θεωρία του Ε. Fischbein ΙΙΙ Οι διαισθήσεις είναι απολύτως απαραίτητο γνωσιακό χαρακτηριστικό Δεν μπορούμε πάντα να αναλύουμε κάθε κατάσταση για να αποφασίσουμε πώς θα αποκριθούμε Υπάρχουν διάφοροι τύποι διαισθήσεων Το διαισθητικά προφανές εξαρτάται και από το υποκείμενο Το «ενεστωτικό άπειρο» μπορεί να είναι αντι-διαισθητικό για ένα κοινό θνητό, αλλά όχι για ένα μαθηματικό Κάποιες διαισθήσεις δεν «ξεριζώνονται» ποτέ και ενδεχομένως συνυπάρχουν με την επιστημονική γνώση σε όλη τη διάρκεια της ζωής ενός ανθρώπου

66 Η θεωρία του Fishbein έχει συνδυαστεί ερευνητικά με μια oικογένεια θεωριών για το συλλογισμό από το χώρο της Γνωστικής Ψυχολογίας με βασική υπόθεση αυτή της διπλής επεξεργασίας (dual process)

67 Σύμφωνα με αυτή την υπόθεση υπάρχουν δύο (γνωστικά) συστήματα επεξεργασίας που σχετίζονται με τη συλλογισμό και τη λήψη αποφάσεων: Το «διαισθητικό», το οποίο είναι αυτόματο, γρήγορο, συνειρμικό και δεν επιβαρύνει τη μνήμη Το «αναλυτικό», το οποίο απαιτεί την πρόθεση και το έλεγχο του υποκειμένου, είναι αργό, και επιβαρύνει τη μνήμη Evans & Over, 1996; Kahneman, 2000

68 Υπό το αυτό το πρίσμα, πώς εξηγείται το παρακάτω; Η Μαρία γράφει (α + β) = α 2 + β Λειτουργεί το «διαισθητικό» σύστημα. Αν δεν επέμβει το «αναλυτικό», η Μαρία δίνει λανθασμένη απάντηση. Η Μαρία σταματά για λίγο. Λέει «Μια στιγμή αυτό δεν είναι σωστό. Αυτό είναι ταυτότητα. Ποιο είναι το ανάπτυγμα; Α, ναι». Η Μαρία γράφει το σωστό ανάπτυγμα. Τι μεσολάβησε;

69 Εννοιολογική αλλαγή: Η προσέγγιση της «θεωρίας πλαισίου» Υποθέσεις Από πολύ νωρίς, τα παιδιά ερμηνεύουν και οργανώνουν τις εμπειρίες τους στο πλαίσιο του φυσικού και κοινωνικοπολιτισμικού τους περιβάλλοντος σε λίγα, σχετικά συνεκτικά, επεξηγηματικά πλαίσια, τις λεγόμενες «θεωρίες πλαισίου». Οι μαθητές βασίζονται στην προϋπάρχουσα γνώση για αποδώσουν στη νέα Προσθετικοί μηχανισμοί μάθησης Όταν η νέα γνώση δεν είναι συμβατή με την προϋπάρχουσα, τότε προκαλείαι εσωτερική ασυνέπεια και παρανοήσεις. Συνθετικές αντιλήψεις/συνθετικά μοντέλα: αντανακλούν την αφομοίωση της νέας πληροφορίας, χωρίς όμως να αίρονται οι αρχές και οι παραδοχές της αρχικής θεωρίας πλαισίου Vamvakoussi & Vosniadou, 2010; Vosniadou, 2013; Vosniadou, Vamvakoussi & Skopeliti, 2008

70 Η περίπτωση των αριθμών Ποιους αριθμούς ευνοεί το κοινωνικο-πολιτισμικό περιβάλλον στα πρώτα χρόνια της ζωής ενός παιδιού; Με ποιο τρόπο; Γλωσσικά εργαλεία, τραγουδάκια, χρήση των δακτύλων, παιχνίδια,

71 Πρώιμες κατανοήσεις του αριθμού Γύρω στα 4-5 έτη, τα παιδιά παρουσιάζουν ενδείξεις μιας πρώιμης κατανόησης του αριθμού ως καταμετρητή διακριτών ποσοτήτων Η πρωτοσχολική εκπαίδευση Εστιάζει στην αριθμητική των φυσικών αριθμών Υποστηρίζει την εξωτερίκευση και συστηματικοποίηση της αρχικής κατανόησης για τον αριθμό Νομιμοποιεί συλλογισμούς που βασίζονται στην καταμέτρηση και την προσθετική σκέψη Andress et al., 2008; Carey & Gelman, 1991; Carey, 1985, 2004 ; Geary, 1996; Gelman, 1990, 2003; Moss & Case, 1999; Ni & Zhou, 2005; Resnick & Singer, 1993

72 Θεωρία πλαισίου για τον αριθμό ως φυσικό: Τι είναι οι αριθμοί και πώς συμπεριφέρονται Τι είδους ερωτήσεις απαντούν οι αριθμοί; Σε τι είδους καταστάσεις χρησιμοποιούνται συνήθως; Πώς συμβολίζονται; Τι ιδιότητες έχουν; Σε τι είδους σχέσεις εμπλέκονται; Σε τι είδους πράξεις; Ποιους κανόνες χρησιμοποιούμε για να τους συγκρίνουμε; Vamvakoussi & Vosniadou, 2010

73 Είναι οι φυσικοί και οι μη φυσική μέλη της ίδιας κατηγορίας; Έχουμε συμφωνήσει να λέμε ότι τα κλάσματα είναι αριθμοί....σίγουρα, όμως, δεν είναι κανονικοί αριθμοί, όπως οι φυσικοί (1, 2, 3, ). Συμφωνείς ή διαφωνείς; Ποιο το συμφωνήσαμε; Συνωμότησε η ανθρωπότητα; ( ) Είναι το 1/3 ένας αριθμός; Θεωρούμε το 1/3 αριθμό; Γιατί όταν λέμε «ένα», εννοούμε»ένα μολύβι» «δύο»,»δύο μολύβια. Ένα τρίτο είναι κάτι σαν «έχω τρία, παίρνω ένα». Και τι μου λες τώρα, ότι αυτό είναι αριθμός; Δέσποινα, 28, απόφοιτη πανεπιστημίου)

74 Συνθετικά μοντέλα Όσο περισσότερα ψηφία, τόσο μικρότερος ο δεκαδικός Όσο μεγαλύτεροι οι όροι, τόσο μικρότερο το κλάσμα

75 Συνθετικά μοντέλα Ο Πάνος (Γ Γυμνασίου) δηλώνει ότι: Υπάρχουν 9 αριθμοί ανάμεσα στους 0,001 και 0,01. Υπάρχουν άπειροι αριθμοί ανάμεσα στους 3/8 and 5/8. Μετά από παρακίνηση, εξηγεί: Ανάμεσα στο 0,001 και το 0,01 υπάρχουν 9 αριθμοί. Ή δέκα δεν είμαι σίγουρος γι αυτό. Αλλά αν τους κάνεις κλάσματα, τότε μπορείς να βρεις περισσότερους αριθμούς ανάμεσα, άπειρους αριθμούς. Vamvakoussi & Vosniadou, 2004

76 Πώς σκέφτονται τα παιδιά του Δημοτικού για το σχήμα της γης; Από έρευνες της Βοσνιάδου και των συνεργατών της