ΕΔΟΥΑΡΔΟΥ ΛΑΓΑΝΑ Ph.D. Κεντρικό : Λεωφ. Κηφισίας 56, Αμπελόκηποι Αθήνα Τηλ.: ,

Transcript

1 ΕΔΟΥΑΡΔΟΥ ΛΑΓΑΝΑ Ph.D., Αμπελόκηποι Αθήνα Τηλ.: , ΛΥΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ - ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΚΕΝΤΡΟ ΘΕΩΡΗΤΙΚΗΣ ΦΥΣΙΚΗΣ & ΧΗΜΕΙΑΣ

2 Τηλ.: , edlag@otenet.gr, ΣΜΑΡΑΓΔΑ ΣΑΡΑΝΤΟΠΟΥΛΟΥ, MSC, ΥΠΟΨΗΦΙΑ ΔΙΔΑΚΤΩΡ ΕΜΠ KENTΡΟ ΘΕΩΡΗΤΙΚΗΣ ΦΥΣΙΚΗΣ & ΧΗΜΕΙΑΣ Λεωφ. Κηφισίας 56, Αμπελόκηποι, Αθήνα Τηλ.: edlag@otenet.gr, Δεν επιτρέπεται η ολική ή μερική αναδημοσίευση του κειμένου ή των σχημάτων χωρίς την γραπτή άδεια του συγγραφέα.

3 Τηλ.: , edlag@otenet.gr, (α) Ένα οδεύον κύμα σε χορδή που χαρακτηρίζεται από τάση Τ και γραμμική πυκνότητα μάζας μ, περιγράφεται από τη διαταραχή Ψ(x, t) A cos(ωt kx). Να αποδειχθεί ότι ο μέσος ρυθμός παραγωγής έργου (εγκάρσια δύναμη επί την εγκάρσια ταχύτητα) ισούται με τον μέσο ρυθμό παροχής ενέργειας στη χορδή. (β) Να αποδειχθεί ότι σε οδεύον κύμα η πυκνότητα κινητικής ενέργειας ισούται με την πυκνότητα δυναμικής ενέργειας. Είναι αναγκαίο το οδεύον κύμα να είναι αρμονικό; Nα βρεθεί η σχέση μεταξύ της πυκνότητας ενέργειας ενός στάσιμου αρμονικού κύματος και ενός οδεύοντος αρμονικού κύματος, ιδίου πλάτους Α. Ψ(x, t) H εγκάρσια δύναμη δίνεται από τη σχέση FT. Συνεπώς: x F TAk sin(ωt kx) Η εγκάρσια ταχύτητα θα είναι: Ψ(x, t) Aω sin(ωt kx) t Ο ρυθμός παραγωγής έργου θα είναι: dw Ψ(x, t) F A Tωk sin (ωt kx) dt t και λαμβάνοντας τη μέση τιμή sin (ωt kx) προκύπτει ότι ο μέσος ρυθμός παραγωγής έργου ισούται με: dw A Tωk dt T Από τη σχέση διασποράς της ιδανικής χορδής έχουμε ω k, οπότε απαλείφοντας τον μ κυματαριθμό k λαμβάνουμε: dw A Tμω dt Ψ Ο ρυθμός παροχής ενέργειας στη χορδή (παρεχόμενη ισχύς) ισούται με P Z όπου Ζ είναι t η εμπέδηση της χορδής: Z Tμ. Άρα: P TμA ω sin (ωt kx) Λαμβάνοντας τη μέση τιμή προκύπτει: A P Tμω 3

4 Τηλ.: , edlag@otenet.gr, dw Είναι πλέον φανερό ότι P. dt (β) Θεωρούμε ένα οδεύον κύμα της μορφής Ψ(x,t) f(x υt) να διαδίδεται σε χορδή τάσης Τ και γραμμικής πυκνότητας μάζας μ. Η πυκνότητα κινητικής ενέργειας ισούται με: Ψ ρk μ μυ [f (x υt)] t Η πυκνότητα δυναμικής ενέργειας θα είναι: 4 Ψ ρδ T T[f (x υt)] x Λαμβάνοντας υπόψη το ότι η φασική ταχύτητα σε μια χορδή ισούται με T υ και συνεπώς μ T μυ, εύκολα προκύπτει ότι ρk ρδ. Από την πορεία της απόδειξης είναι σαφές ότι το αποτέλεσμα δεν εξαρτάται από το εάν το κύμα είναι αρμονικό ή όχι. Χωρίς βλάβη της γενικότητας, υποθέτουμε ότι το στάσιμο αρμονικό κύμα δίνεται από την έκφραση: Ψ(x, t) Asin kx cosωt Υπολογίζουμε στη συνέχεια την πυκνότητα κινητικής ενέργειας καθώς και την πυκνότητα δυναμικής ενέργειας. Θα είναι: και: Ψ ρk μ μω A sin kxsin ωt t Ψ ρδ T Tk A cos kx cos ωt x Εάν λάβουμε τη μέση τιμή ως προς το χρόνο και προσθέσουμε, θα βρούμε τη μέση πυκνότητα ενέργειας: ρe Tk A cos kx Tk A sin kx μω A όπου λάβαμε υπόψη ότι: cos a sin a καθώς και τη σχέση διασποράς: T ω υ Tk μω μ k. Για ένα αρμονικό οδεύον κύμα ιδίου πλάτους Α θα έχουμε: Ψ(x,t) Acos(kx ωt) και άρα: Συνεπώς: και λαμβάνοντας τη μέση τιμή: Ψ ρk ρδ μ μω A sin (ωt kx) t ρe ρk ρδ μω A sin (ωt kx) ρe μω A

5 Τηλ.: , edlag@otenet.gr, Συγκρίνοντας προκύπτει ότι η πυκνότητα ενέργειας ενός στάσιμου αρμονικού κύματος είναι η μισή ενός οδεύοντος αρμονικού κύματος, ιδίου πλάτους Α. (α) Η σχέση διασποράς στην ιονόσφαιρα είναι η εξής: ω ω0 c k. Δείξτε ότι υ c. Δείξτε επίσης ότι υυgr c. Από την τελευταία έκφραση δείξτε ότι υgr c. (β) Κυματομάδα αποτελείται από δύο μήκη κύματος λ και λ+δλ όπου Δλ / λ είναι πολύ μικρό. Δείξτε ότι ο αριθμός μηκών κύματος λ που περιέχονται μεταξύ δύο διαδοχικών μηδενισμών της περιβάλλουσας διαμόρφωσης είναι λ / Δλ. (α) Διαιρώντας την σχέση διασποράς με k λαμβάνουμε: ω ω0 c c k k ω Όμως η ταχύτητα φάσης ορίζεται ως υ και άρα: k ω υ c υ c k Για να αποδείξουμε ότι υ υ c διαφορίζουμε τη δοσμένη σχέση διασποράς: gr ω dω ωdω c kdk c k dk Άρα υυgr c από όπου με βάση το ότι υ c εύκολα προκύπτει ότι υgr c. (β) Έστω ότι η κυματομάδα περιγράφεται από την: Ψ(x,t) Acos(ωt kx) cos(ω t k x) Για t=0 προκύπτει: (k k )x (k k )x Ψ(x, 0) Acos(kx) cos(k x) A cos cos (k k )x Η περιβάλλουσα διαμόρφωσης καθορίζεται από τον όρο cos x π Οι μηδενισμοί επιτυγχάνονται όταν (k k ) (n ), n=0,,,... Εύκολα προκύπτει ότι δύο διαδοχικοί μηδενισμοί απέχουν: 3π π π Δx x x (k k ) (k k ) (k k ) 5

6 Τηλ.: , edlag@otenet.gr, π π Όμως: k, k λ λ λ λ Δλ Άρα: k k π π π λ λ λλ λ O αριθμός μηκών κύματος θα είναι: Δx π λ λ λ π Δλ Δλ Θεωρείστε το πείραμα Young δύο σημειακών σύμφωνων πηγών μηκών κύματος λ 6800 Å και λ 6600 Å.Η κάθε πηγή έχει ένταση IS mw/cm. H απόσταση της ευθείας που συνδέει τις δύο πηγές από το παράλληλο πέτασμα είναι l=4m. Να υπολογισθεί η ένταση του φωτός στη θέση του πετάσματος που θα σχηματιζόταν ο κεντρικός κροσσός αν λ λ. Είναι γνωστό ότι η θέση του πετάσματος που θα σχηματιζόταν ο κεντρικός κροσσός αν λ λ είναι το σημείο Ο του παρακάτω σχήματος. Το κύμα που προσπίπτει στο πέτασμα θα δίνεται από την υπέρθεση: 6

7 Τηλ.: , edlag@otenet.gr, Ψ(x,t) Aex[i(ω t kx)] Aex[i(ω t k x)] Αν υποθέσουμε ότι τα δύο κύματα φτάνουν στο πέτασμα τη χρονική στιγμή t=0, προκύπτει: Ψ(x,0) Aex( ikx) Aex( ikx) Για μεγάλες αποστάσεις όπως στην περίπτωσή μας (l>>λ) θα ισχύει x l, οπότε: Λόγω του ότι για την ένταση ισχύει Ψ(x,0) Aex( ikl) Aex( ikl) I Ψ ΨΨ προκύπτει: I A A A ex[i(k k )l A ex[ i(k k )l A A cos[(k k )l] A { cos[(k k )l]} I 4A cos [(k k )l / ] Συνεπώς I 4I cos [(k k )l / ],όπου S IS mw/cm, k π/ λ, k π/ λ και l=4m. Ξεκινώντας από το νόμο του Snell να αποδειχθεί ο τύπος των διαθλαστικών επιφανειών: n n (n n ) q R 7

8 Τηλ.: , edlag@otenet.gr, Ο νόμος του Snell με βάση το παραπάνω σχήμα θα δώσει: nsinθ nsinφ Για μικρές γωνίες θα ισχύει προσεγγιστικά: nθ nφ Όμως: θ=α+β φ+γ=β Συνεπώς: n(αβ) n (β γ) nα nγ (n n )β Από τα σχηματιζόμενα τρίγωνα προκύπτει προσεγγιστικά: h h h tan α α,tanβ β,tan γ γ R q Αντικαθιστώντας τα παραπάνω προκύπτει ο ζητούμενος τύπος των διαθλαστικών επιφανειών: n n (n n ) q R Βρείτε το είδωλο του ευθυγράμμου τμήματος ΑΒ για n n και για n n. Υπολογίστε τη μεγέθυνση Μ. Ο τύπος των επιπέδων διόπτρων προκύπτει από τον τύπο των σφαιρικών διόπτρων όταν R. 8

9 Τηλ.: , edlag@otenet.gr, n n Δηλαδή q Από τη σχέση αυτή, φαίνεται ότι το πρόσημο του q είναι αντίθετο από το πρόσημο του, γεγονός που συνεπάγεται ότι το είδωλο σχηματίζεται στην ίδια περιοχή με το αντικείμενο. Διακρίνουμε τις εξής δύο περιπτώσεις: η περίπτωση Για n n n n q και αφού n n, τότε q Επομένως, το είδωλο AB, θα δημιουργηθεί όπως φαίνεται στο παρακάτω σχήμα. η περίπτωση Για n n n n q και αφού n n, τότε q Επομένως, έχουμε το είδωλο AB, στη θέση που φαίνεται στο παρακάτω σχήμα. 9

10 Τηλ.: , edlag@otenet.gr, Η μεγέθυνση ορίζεται ως εξής n n όμως q nq M n Επομένως, η μεγέθυνση που υπολογίζεται με αυτό τον τρόπο είναι ίση με τη μονάδα, δηλαδή το είδωλο που σχηματίζεται από επίπεδη διαθλώσα επιφάνεια έχει πάντα το ίδιο μέγεθος με το αντικείμενο και είναι πάντοτε ορθό. 0

11 Τηλ.: , edlag@otenet.gr, Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Ι, ΙΙ Φυσική Στερεάς Κατάστασης Ανάλυση Ι, ΙΙ Πυρηνική Φυσική & Στοιχειώδη Σωμάτια ΜΜΦ Ι, ΙΙ Σύγχρονη Φυσική Πιθανότητες - Στατιστική Ειδική Σχετικότητα Φυσική Ι, II, III, IV Χημεία Πρακτικά Χημείας Mηχανική Ι, ΙΙ Ηλεκτρονική Ι, ΙΙ Ηλεκτρομαγνητισμός I, II Πρακτικά Ηλεκτρονικής Κβαντομηχανική Ι, ΙΙ Συστήματα Τηλεπικοινωνιών Στατιστική Φυσική Υπολογιστές Επιλογές H σίγουρη λύση που οδηγεί στο πτυχίο